U 9 Propiedad Fundamental de La Semejanza

8/2/2019 U 9 Propiedad Fundamental de La Semejanza

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MINISTERIO DE EDUCACIN

UNIDAD 9 Propiedad fundamental

de la semejanza

En el lenguaje de todos losdas, las palabras semejanteyparecidose usan como sinnimos para refe-

rirse a personas y objetos que tienen algo en comn. Hay figuras que no son exactamente iguales, sino

muy parecidas entre s porque, si bien tienen la misma forma, no tienen el mismo tamao. Por ejemplo,

el original y la ampliacin de una fotografa son iguales en todo menos en el tamao. En Matemtica se

dice que esas figuras son semejantes y cuando decimos de la misma forma no hablamos solamente de

figuras parecidas, sino que nos referimos a otras precisiones sobre sus caractersticas que descubrirs a

medida que trabajes en esta unidad. La construccin de figuras semejantes tiene muchas aplicaciones

interesantes en la arquitectura y en el arte.

1. Figuras semejantes

Vas a comenzar por la bsqueda de procedimientos que permiten obtener una figura que tenga lamisma forma que otra.

a) Record lo que ya estudiaste en la unidad 9 del CUADERNO DE ESTUDIO 2 leyendo el texto que sigue.

Si en dos figuras los vrtices correspondientes estn alineados segn rectas que se cortan enun nico punto o centro y los ngulos correspondientes son iguales, entonces las dos figurastienen la misma forma y se dice que una figura es la imagen de la otra, por una transforma-cin llamada homotecia.

Para identificar una homotecia es necesario sealar un punto (centro) y un nmero (razn).En este caso, la razn es el cociente entre pares de distancias, es decir, entre la distancia al

centro de un punto cualquiera P' de la imagen y la distancia al centro del punto P que lecorresponde en la figura original.

Por ejemplo en la figura anterior, a razn kes el cociente.

k=A'C = B'C = C'C = D'C = E'C = 2.

AO BO CO DO EO

El polgono A'B'C'D'E' es la imagen de ABCDE por la homotecia de centro O y razn k.

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Cuando la razn kes un nmero positivo, la homotecia es directa como en la figura ante-

rior. Si la razn es un nmero negativo, la homotecia es inversa.El signo de la razn depende de la posicin de O respecto de A y A'. Si la razn es positiva,

A y su imagen A se encuentran sobre una misma semirrecta de origen O; en cambio, si A y Apertenecen a semirrectas opuestas de origen O, la razn es negativa y el centro se encuentraentre A y A.

b) Constru las siguientes figuras segn el procedimiento que se indica.

1. Dibuj en tu carpeta un tringulo ABC. Marc un punto O exterior y constru la imagen ABC que

resulta de aplicar aABC

la homotecia de centroO

y razn -2.2. Dibuj un tringulo MNP, marc un punto interiorO y constru la imagen M'N'P' aplicando a MNP

la homotecia de centro O y razn 1,5.

3. Dibuj un cuadriltero cualquiera ABCD y segu las mismas instrucciones que en los puntos 1 y 2.

c) Por qu considers que la aplicacin de homotecias es un buen procedimiento para hallar figuras seme-

jantes? Discut tu respuesta con tus compaeros.

2. Distintas definiciones de semejanza

En los libros de Matemtica se pueden encontrar diversas definiciones de semejanza. En esta activi-dad vas a analizar dos de ellas.

a) Le las siguientes definiciones.

Dos rectngulos son semejantes si en cada uno de ellos la razn entre el largo y el ancho esla misma. Dos rectngulos son semejantes si sus respectivos largos tienen la misma relacin que susanchos.

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Al tringulo ABC se le ha aplicado una homotecia de centro O y razn -1.


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b) Observ los dos rectngulos que aparecen a continuacin y,

1. escrib, en smbolos, la relacin a la que se refiere la primera de las definiciones anteriores;

2. hac lo mismo que en el punto anterior utilizando la segunda definicin.

c) Considers que las dos definiciones son equivalentes? Por qu?

d) Tom una hoja de papel de tamao A4. Med el largo y el ancho y anot sus medidas.

1. Marc los puntos medios de los lados ms largos, unilos con una lnea y cort la hoja en dos partes

por esa lnea. Cmo son los rectngulos que obtuviste respecto al rectngulo original?

2. Cort otra vez una de las partes en dos. Cmo son respecto a la anterior? Y con respecto a la hoja

entera?

3. Volv a hacer lo mismo y verific a travs de las medidas del largo y el ancho si sigue habiendo la

misma relacin.

4. Si en lugar de partir de una hoja tamao A4, hubieras tomado un papel tamao oficio, las relacionesanteriores, tambin se cumpliran?

e) Dibuj dos rectngulos iguales de lados a y b. Al largo y al ancho de uno de ellos agregale dos segmentos,

c y d que sean respectivamente proporcionales a a y a b, es decir: a = c, por ejemplo c = 1 a y d= 1 bb d 3 3

El nuevo rectngulo de lados a + c y b + d, es semejante al primero? Explic por qu.

Las experiencias anteriores permiten enunciar que:

para que dos rectngulos sean semejantes es suficiente que sus lados sean proporcionales.


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3. Son semejantes?

A continuacin analizars otros procedimientos de construccin de figuras.

a) A las figuras que se encuentran a continuacin se les agreg una banda de ancho constante. Observalas

con atencin y resolv las consignas. Tal vez te ayude calcar las figuras para poder trabajar con ellas.

1. Para obtener figuras semejantes, en todos los casos, basta agregarle a la figura inicial una banda de

ancho constante en todo su contorno?

2. Sucede lo mismo si a una figura se le quita una banda de ancho constante en todo su contorno?

3. Analiz caso por caso y compar tus observaciones con las de tus compaeros.

4. En el caso de un rectngulo, qu sucede al quitarle sucesivamente bandas del mismo ancho en todos los

lados? Los sucesivos rectngulos que resultan, tienen la misma forma que el original? Los vrtices, quedan ali-neados sobre las diagonales del rectngulo original? Compar tus respuestas con las de tus compaeros.

Habrs podido observar que en las figuras triangulares o en los polgonos regulares como el

cuadrado, al agregar o quitar una banda de ancho constante se obtiene una figura semejante a

la original. Esto no sucede en el caso de polgonos irregulares como el rectngulo: si bien con

ese procedimiento se obtiene una figura del mismo nmero de lados no tiene la misma forma.

Entonces, se puede concluir que algunos procedimientos para generar tringulos semejantes no

se pueden extender a todas las figuras.


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Para la siguiente actividad vas a necesitar varillas articuladas.

4. Otros polgonos semejantes

Para realizar esta actividad debers armar un paralelogramo con las varillas articuladas. Sus lados arti-culados te permitirn analizar qu ocurre al moverlos.

a) Observ las siguientes figuras para responder a las preguntas del tem b.

Habrs observado que los dos paralelogramos de arriba tienen lados proporcionales, pero no

son semejantes y lo mismo ocurre en los de abajo a la derecha. Los de abajo a la izquierda tie-

nen lados iguales pero son paralelogramos distintos con ngulos diferentes.

b) Comenten con otros compaeros las posibles respuestas a estas preguntas:Para que dos paralelogramos sean semejantes,

1. es suficiente con que los lados consecutivos sean proporcionales?

2. se puede hablar, por ejemplo, de la forma de un nico paralelogramo cuyos lados estn en la

razn 2 : 3?

Habrn concluido que:

para que dos paralelogramos sean semejantes, adems de la proporcionalidad de sus lados,

es necesaria la igualdad de sus ngulos.


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c) Copi en tu carpeta y complet la siguiente afirmacin seleccionando una de las dos opciones y justifi-

c tu eleccin.

Para afirmar que dos paralelogramos tienen todos sus ngulos iguales...:

1. es necesario verificar la igualdad de todos sus ngulos, uno por uno.

2. es suficiente asegurar que los dos paralelogramos tienen un ngulo igual.

d) Dibuj un pentgono irregular ABCDE cualquiera.

1. Eleg un vrtice, por ejemplo A.

2. A partir de l, traz las semirrectas a las que pertenecen las diagonales AD y AC.

3. Remarc con color el lado BC y traz BC prolongando BC 1 cm a partir del extremo C.

4. Traz un segmento CD paralelo a CD de modo que D pertenezca a la prolongacin de la diagonal.

5. Traz DE paralelo a DE.

6. Traz EE.

7. Observ tu dibujo y respond:

El polgono ABCDE, es semejante al polgono ABCDE? Por qu?

e) Observ el dibujo que aparece a continuacin y respond:

1. En la figura de la izquierda, el pentgono ms pequeo es semejante al pentgono ms grande? Por qu?

2.El pentgono de la derecha resulta de haber aplicado al ms pequeo dos movimientos sucesivos: una tras-

lacin hacia la derecha y luego una rotacin de 90. Este tercer pentgono, es semejante al ms grande?


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Como resultado de estas experiencias habrs descubierto que dos figuras colocadas en cual-

quier posicin son semejantes si tienen los respectivos ngulos iguales y los respectivos ladosproporcionales.

La semejanza presenta un aspecto ms dinmico que las homotecias. Esto es as porque lasfiguras semejantes pueden ser consideradas en posiciones muy distintas y seguirn siendosemejantes aunque se les apliquen diversas combinaciones de movimientos, de rotacin y tras-lacin, adems de ampliaciones y reducciones.

5. Para ver cunto aprendiste

a) Reunite con un compaero para leer los siguientes enunciados, algunos son verdaderos y otros falsos.

Luego de discutir, analizar y comparar las respuestas, copien en sus carpetas todas las afirmaciones que

sean verdaderas. Recuerden que para probar la falsedad de un enunciado, basta con encontrar un con-

traejemplo, es decir, un ejemplo en el que el enunciado resulte falso.

1. Para identificar un tringulo es suficiente con conocer un lado y los dos ngulos adyacentes.2. Para identificar un tringulo es suficiente con conocer las medidas de los tres ngulos.

3. Conociendo la medida de uno de los ngulos de un tringulo escaleno se puede conocer

la medida de los dems ngulos.

4. Si se duplican los lados de un tringulo, se obtiene otro tringulo, semejante al primero.

5. Para construir un paralelogramo es suficiente con conocer dos lados consecutivos.

6. Para construir un rectngulo es suficiente con conocer dos lados consecutivos.

7. Para que dos paralelogramos sean semejantes, adems de la proporcionalidad de sus

lados, es necesaria la igualdad de sus ngulos.

8. Conociendo la medida de uno de los ngulos de un paralelogramo se puede conocer la

medida de los dems.

9. Los polgonos regulares del mismo nmero de lados son semejantes.

6. Semejanza de tringulos

En esta actividad realizars ciertas experiencias que te permitirn establecer las condiciones necesariasy suficientes para que dos tringulos sean semejantes.

a) Dibuj un tringulo cualquiera ABC. Med sus lados y sus ngulos con la mayor precisin que puedas.

Anot las medidas de los lados AB, BC y CD y de los ngulos a, b y c.


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b) Tom como datos las medidas de los ngulos a y b que anotaste y constru un tringulo ABC seme-

jante al ABC sabiendo que el lado AB = 1,5 AB.

c) Constru otro tringulo ABC semejante al ABC sabiendo que AB = 2 AB , AC= 2 AC, y = .

d) Constru otro tringulo EFG semejante al ABC sabiendo que EF = 0,5 AB, EG = 0,5 AC, y FG = 0,5 BC.

e) Si de dos tringulos slo se sabe que dos de sus lados son respectivamente proporcionales, se puede

asegurar que un tringulo es semejante al otro? Por qu?

Criterios de semejanza de tringulos

Despus de haber realizado las experiencias anteriores aprendiste que para saber si dos trin-gulos son semejantes basta comprobar que se cumple alguna de las siguientes condiciones lla-madas criterios de semejanza de tringulos.

CRITERIO 1: Los dos tringulos tienen dos pares de ngulos respectivamente iguales.

CRITERIO 2: Los dos tringulos tienen un ngulo igual y los lados que lo forman son pro-porcionales.

CRITERIO 3:Los dos tringulos tienen los tres lados proporcionales.

f) Segn la experiencia que realizaste en la consigna b de la actividad 3, una banda de ancho constante

agregada o quitada a un rectngulo modifica la proporcin entre sus lados, vale decir que modifica su

forma. Por qu el mismo procedimiento aplicado a los tringulos no modifica su forma?

g) Observ los siguientes tringulos y respond.

Es cierto que lo que determina la semejanza de dos tringulos es el paralelismo de sus lados? Por qu?


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El establecimiento de los criterios de semejanza permite afirmar que en el caso del trin-

gulo nico polgono rgido las dos condiciones de semejanza (lados proporcionales ongulos respectivamente iguales) son inseparables y una de ellas implica necesariamente laotra. As, dos tringulos cuyos ngulos son ordenadamente iguales tienen tambin lados pro-porcionales y recprocamente, si dos tringulos tienen sus lados proporcionales, tambin susngulos son iguales.

Para finalizar

El trabajo que realizaste en esta unidad te permiti vincular lo que ya sabas acerca de la homotecia

con la idea de semejanza entre figuras. El concepto de semejanza es ms amplio que el de homotecia.En este ltimo, las figuras se pueden agrandar o achicar, pero su posicin queda rgidamente determi-

nada por un punto (centro) y un nmero (razn). En cambio la semejanza presenta un aspecto ms

dinmico, las figuras pueden ser consideradas en posiciones muy distintas y seguirn siendo semejan-

tes aunque se les apliquen diversas combinaciones de movimientos de rotacin y traslacin adems de

ampliaciones y reducciones.

Exploraste las condiciones necesarias y suficientes para que un polgono sea semejante a otro y en

particular los criterios de semejanza entre tringulos, criterios que pueden reducirse al paralelismo

entre sus lados o la igualdad de sus ngulos.

Lo ms importante es que a travs de este tipo de actividades adquieras la clara conciencia de que

un concepto matemtico, incluso si es muy cercano a la experiencia, debe tener un significado precisoy unvoco.

En la unidad siguiente y a partir de lo que aprendiste en esta conocers el Teorema de Tales (siglo VI a. C.)

que desde el punto de vista histrico es probablemente, la primera demostracin de una propiedad geo-

mtrica mediante el razonamiento lgico de la que se tenga registro.


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DESAFOS MATEMTICOS

1. Con 12 fsforosCon doce fsforos se puede construir la f igura de una cruz

(podrs verlo en el ejemplo), cuya rea equivale a la suma

de las superficies de cinco cuadrados limitados por fsfo-

ros. Cambi la disposicin de los fsforos de tal modo que

el contorno de la figura obtenida sea equivalente slo a

cuatro de esos cuadrados.

2. Con ocho fsforos

Con ocho fsforos se pueden construir varias figuras convexas, por ejemplo las que se muestran a conti-

nuacin. Estas figuras tienen distinta superficie. El desafo consiste en construir con 8 fsforos de perme-

tro la figura de superficie mxima.

3. Las figuras semejantes

Sin hacer mediciones ni clculos, cmo ayudaras a una

persona que no hubiera estudiado semejanza en esta

unidad a responder a las siguientes preguntas?

En una escuadra de dibujo, son semejantes lostringulos exterior e interior?

En un marco rectangular, son semejantes los rec-

tngulos exterior e interior?

4. Un ladrillo pequeo

Un ladrillo, de los usados en la construccin, pesa unos cuatro kilogra-

mos. Cunto pesar un ladrillito de juguete hecho del mismo material y

cuyas dimensiones: largo, ancho y alto sean todas cinco veces

menores que las de un ladrillo comn?

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