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Escribe aquí el tema de la clase Pág. 01

TEOREMA DE THALES Y PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

RAZÓN DE SEGMENTOS

Es el cociente de sus longitudes expresado en

una misma unidad de medida; entonces de

acuerdo a lo mencionado la razón de CDyAB

es el número CD

AB

Ejemplo:

Si AB = 10 cm y CD = 15 cm, entonces la razón

de AB y CD es CD

AB=

3

2

cm15

cm10

SEGMENTOS PROPORCIONALES

Dos segmentos CDyAB son proporcionales a

otros dos, RTyPQ , si:

CD

AB =

RT

PQ

Ejemplo:

AB = 2cm, CD = 4cm y PQ = 3cm, RT = 6cm,

como CD

AB=

2

1 y

RT

PQ=

2

1, entonces CDyAB son

proporcionales a RTyPQ .

TEOREMA DE THALES

Tres o más rectas paralelas, determinan en

una recta secante a ellas, segmentos que son

proporcionales, a los segmentos determinados

por las mismas rectas paralelas en cualquier

otra secante a ellas.

Si: 321 L//L//L

Entonces: EF

DE

BC

AB

También: EF

DF

BC

AC

DE

DF

AB

AC

TEMA:

SEMEJANZA – PROPORCIONALIDAD Y

RELACIONES MÉTRICAS

A

B

C

D

E

F

L1

L2

L3

Escribe aquí el tema de la clase Pág. 02

COROLARIO

Si: 321 L//L//L por Tales: NC

BN

MA

BM

En el ABC: si AC//MN se cumple:

NC

BN

MA

BM

TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR

En todo triángulo, los lados concurrentes con

una bisectriz interior son proporcionales a los

segmentos determinados por dicha bisectriz

en el lado al cual es relativa.

En el ABC:

n

m

a

c

TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR

En todo triángulo, los lados concurrentes con

una bisectriz exterior son proporcionales a los

segmentos determinados por dicha bisectriz

en el lado al cual es relativa.

En el ABC:

n

m

a

c

TEOREMA DEL INCENTRO

En todo triángulo el incentro determina en la

bisectriz segmentos proporcionales a la suma

de los lados adyacentes al ángulo bisecado y

el tercer lado.

En el ABC “I”:

incentro

b

ca

n

m

A

B

C

M

L1

L2

L3

N

A

B

C D

a c

m n

A

B

C D

c a

m n

A

B

C

I

c

b

a m

n

Escribe aquí el tema de la clase Pág. 03

SEMEJANZA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

Definición: Dos figuras geométricas son

semejantes si tienen igual forma y tamaños

diferentes. En dos figuras geométricas

semejantes sus elementos homólogos son

proporcionales.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Definición: Dos triángulos son semejantes si

sus ángulos interiores tienen igual medida

respectivamente y sus lados homólogos son

proporcionales.

Los lados homólogos en triángulos

semejantes, son aquellos lados opuestos a

ángulos de igual medida.

Notación: ABC MNQ

Símbolo de semejanza: se lee “es

semejante” Pares de lados homólogos:

MQyAC;NQyBC;MNyAB

Se cumple: KMQ

AC

NQ

BC

MN

AB

Donde: K es razón de semejanza

Casos de semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes, si dos

ángulos del primer triángulo son de igual

medida que dos ángulos del segundo

triángulo respectivamente

Si: mBAC = mNMQ y mACB = mMQN

Entonces: ABC MNQ

Dos triángulos son semejantes, si un

ángulo del primer triángulo es de igual

medida que un ángulo del segundo y los

lados que los determinan son

proporcionales respectivamente.

Si: mBAC = mNMQ y MQ

MN

AC

AB

Entonces: ABC MNQ

Dos triángulos son semejantes si los tres

lados del primer triángulo son

respectivamente proporcionales a los tres

lados del segundo triángulo.

M Q

N

A

B

C

A

B

C

N

M Q

M Q

N

c

b A

B

C

ck

bk

Escribe aquí el tema de la clase Pág. 04

Si: MQ

AC

NQ

BC

MN

AB

Entonces: ABC MNQ

Algunos casos de Semejanza

1.

MBN ABC

2.

ABHAHC ABC

3.

ABC PBQ

PROPIEDADES

1. L: Lado del cuadrado PQRS

2. ABCD : Trapecio, AD//PQ//BC

3.

x = ba

ab

M Q

N

a c

b A

B

C

ck

bk

ak

A

B

C

M N

B

A

C H

C A

B

P

Q

A

B

C

Q R

P S

L

b

h bh

hbL

A

B C

D

P Q

a

b

PQ = ba

ab2

x a

b

Escribe aquí el tema de la clase Pág. 05

4. ABCD : Rombo

PQRS : Cuadrado de lado “L”

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Y EN LA

CIRCUNFERENCIA

PROYECCIÓN ORTOGONAL

La proyección ortogonal de un punto sobre una

recta es el pie de la perpendicular trazada

desde dicho punto hacia la recta. Además la

proyección ortogonal de un segmento sobre

una recta es el segmento que une las

proyecciones ortogonales de los extremos del

segmento dado.

Proyección ortogonal de P sobre L : P´

Proyección ortogonal de AB sobre L : ´B´A

TEOREMAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

AH : proyección ortogonal de AB sobre AC

HC : proyección ortogonal de BC sobre AC

Teoremas

1. c2 = bm a2 = bn

2. a2 + c2 = b2 3. ac = bh 4. h2 = mn

RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

TEOREMA DE LAS CUERDAS

En la figura, las cuerdas AB y CD se intersecan

en P, entonces: ab = xy

A

B

C

D

P

Q R

S

d

D

L = dD

Dd

A´

B

P

L

A

B´ P´

A

B

C

a

b

c h

H

m n

A

B

C

D

P

a

b

x

y

Escribe aquí el tema de la clase Pág. 06

TEOREMA DE LAS SECANTES

En la figura; por el punto P se trazan las rectas PBA y PDC secantes a la circunferencia, entonces:

ab = mn

TEOREMA DE LA TANGENTE

En la figura, por el punto P se trazan la

tangente PA y la secante PBC , entonces:

m2 = ab

A

B

D

b

a

m

n

P

C

A

B

C

b

a

m

P

Escribe aquí el tema de la clase Pág. 07