u Sujets –Détection des droites –Transformée de Hough (espace paramétré) avec la pente et lordonnée à lorigine avec la normale et langle –Détection

Sujets– Détection des droites

– Transformée de Hough (espace paramétré)* avec la pente et l’ordonnée à l’origine

* avec la normale et l’angle

– Détection des droites dans l’espace transformé

– Détection des cercles/ellipses Lectures: Notes de cours

PIF-6003Sujets spéciaux en informatique I

Détection des droites

Si nous avons une image binaire dont les pixels avec une valeur de niveau de gris à PIXMAX font partis de segments de droites– La détection des droites pourrait être effectuée en:

* Déterminant l’ensemble des droites potentielles

)(

2

)1( 22 nO

nnC n

* Chercher les points proches de chaque droite potentielle=> n3 comparaisons

Figure 7.15 [rf. GONZALEZ, p. 434]

Transformée de Hough (avec la pente et l’ordonnée à l’origine)


Représentation discrète d’un espace paramétré : transformée de Hough

Tableau de compteurs de points colinéaires


Représentation discrète d’un espace paramétré : transformée de Hough

Image contenant deux segments de droite Représentation du tableau de compteurs

(a) (b)

Transformée de Hough (avec la pente et l’ordonnée à l’origine)

Faiblesse – Pour a -> => droite verticale b -> – Difficile à représenter dans l’espace paramétré


Transformée de Hough (avec la normale et l’angle)


Forme normale de la droite

= x cos + y sin L’espace paramétré est borné par:

-(H2+L2)1/2, (H2+L2)1/2H: Hauteur de l’image

L: Largeur de l’image

-/2,/2


Transformée de Hough (exemples)

Espace paramétré {où s’étend de ± 90°

et de ± 2D}

Image avec5 points spécifiques

A

B

Espace paramétré ( A relie les pts 1, 3 et 5

et B les pts 2, 3 et 4 )

Espace paramétré ( inversion des signes

de et à ± 90° )


Algorithme général– Effectuer la transformée de Hough

* Pour chaque pixel à PIXMAX Calculer les droites chacune paramétrées , pouvant passer par ce

pixel Faire la mise à jour des compteurs de points colinéaires (espace

paramétré) aux positions ,

– Détecter les droites* Parcourir l’espace paramétré et déterminer si le nombre de

points colinéaires dépasse un seuil fixé par l’usager


Détection des droites dans l’espace transformé (exemples)

Détection des droites dans l’espace transformé (exemple OpenCV: houghlines.c)






Détection des cercles

Expression du cercle en coordonnées polaires

sin

cos

ryy

rxx

c

c

L’espace projeté est paramétré par xc et yc donnés par

sin

cos

ryy

rxx

c

c

Détection des cercles

Algorithme général– Effectuer la transformée de Hough (cercle de rayon r)

* Pour chaque pixel à PIXMAX Calculer les centres des cercles donnés par xc,yc pouvant contenir ce

pixel Faire la mise à jour des compteurs des centres de cercle (espace

paramétré) aux positions xc,yc

– Détecter les cercles* Parcourir l’espace paramétré et déterminer si le nombre de

points cocirculaires dépasse un seuil fixé par l’usager

Détection des cercles (Exemple)

Image monnaie

Détection des ellipses (Exemple)

(ex: findThresholdFaceNIR.c)





//


Extraction des contoursà partir de l’image seuillée




Extraction des contours et ellipses à partir de l’image seuillée


• Si nous avons N points d’un contour p1 …. pN dans une images et pi = [xi, yi]T. Posons x = [x2, xy, y2, x, y, 1]Tet p = [x, y]T, alors nous pouvons écrire:

• Cette forme générale d’une ellipse est caractérisée par le vecteur de paramètres a = [a, b, c, d, e, f]T. L’approximation d’un contour par une ellipse revient à trouver un vecteur a0 qui approxime le mieux les points pi

d’un contour au sens des moindres carrés, et qui est la sol’n de:

D() est une fonction distance


• En utilisant la distance algébrique le problème de minimisation de moindre carré précédent devient linéaire et peut être résolu de façon directe sous la forme:

• Pour éviter la sol’n triviale a = 0 nous devons imposer une contrainte sura avec la matrice C (constraint matrix):


• Ensuite, nous pouvons réécrire la fonction de minimisation basée sur la distance algébrique sous la forme:

• Avec X la matrice (design matrix) de la forme suivante et S = XTX (scattering matrix):


• Le vecteur a0 optimal correspond au vecteur propre associé à la seule valeur propre négative découlant du système suivant :

Algorithme:1) Créer la matrice X à partir des point pi = [xi, yi] d’un contour2) Calculer la matrice S = XTX3) Créer la matrice C4) Calculer les valeurs propres du système précédent et trouver la valeur propre négative n à laquelle est associée le vecteur propre optimal a0


• Exemples d’approximation découlant de l’application de l’algorithme précédent:

Bruit de contour gaussien croissant


• Exemple de programme OpenCV (RTGazeTracking.c):

Création de la matrice de contraintes C

Détection des ellipses (Exemple)• Exemple de programme OpenCV (RTGazeTracking.c) (suite ….):

Création de la matrice X




Résumé

Segmentation des images par détection des droites– Détection des droites

– Transformée de Hough

– Détection des droites dans l’espace transformé

– Détection des cercles/ellipses

Documents

u Sujets –Détection des droites –Transformée de Hough (espace paramétré) *avec la pente et lordonnée à lorigine *avec la normale et langle –Détection

u Sujets –Détection des droites –Transformée de Hough (espace paramétré) avec la pente et lordonnée à lorigine avec la normale et langle –Détection