236 ARCH. MATH.

Uber die Automorphismengruppen endlicher

Von

PETER SCH~fID

Gruppen

1. ~bersieht. 1.1. Sei G eine endliehe Gruppe, ~b(G) ihre Frat t ini~uppe. Ist die Kommutatorgruppe G' yon G in ~b (G) enthalten, so ist G naeh einem bekannten Satz yon WIEZA~DT nilpotent. Wit interpretieren dieses Ergebnis so: Die Gruppe der in- neren Automorphismen yon G ist immer dann nilpotent, wenn sie trivial auf die Faktorgruppe G/r wirkt. Daraufhin liegt die Vermutung nahe, dab jede Auto- morphismengruppe yon G, die auf G/~(G) nur die Identit~t induziert, nilpotent ist.

Wir beweisen gleich etwas mehr : Sei A eine AutomorphismengTuppe der endlichen Gruppe G, die G/r zentralisiert. Dann stabilisiert A eine geeignete Untergruppen- reihe yon G, die aus charakteristischen Untergruppen yon G bestehg. A isg ein nil- potenter Subnormalteiler des Holomorphs yon G (Theorem 1).

1.2. Wirkt eine Gruppe A automorph auf die Gruppe G, dann sei ffir eine Unter- ~ p p e H yon G wie fiblich CA (H) der Zentralisator yon H in A, d.h. die Unte r~uppe derjenigen Elemente yon A, die jedes Element von H festlassen. Ist H/K ein Faktor yon G, d.i. eine FaktorgTuppe der Untergruppe H nach ihrem Normalteiler K, dann ist CA (H/K) die Menge aller a. e A, die H und K ats Ganze invariant lassen und auf H/K den trivialen Automorphismus bewirken.

Sind H und K charakteristische Unter~uppen yon G, so ist die volle Automorphis- mengTuppe Aug(G) yon G eine Erweiterung yon CAut(a)(H/K) mit einer gewissen Untergruppe yon Aug(H/K). Zum Beispiel ist Aut(G) eine Erweiterung der naeh Theorem 1 nilpotenten Gruppe C~ut(a)(G/(l)(G)) mit einer Untergruppe yon Aut(G/~D(G)). Durch die Kenntnis weiterer ausgezeichneter Untergruppenpaare K <~ H, ffir die fiber CAut(a) (H/K) hinlgnglich scharfe Aussagen gemacht werden kSn- nen, ge~finnt man Einblick in die Struktur der Automorphismengruppen zusammen- gesetzter Gruppen.

Ein Schritt in dieser Richtung ist Theorem 3: Sei S das Urbild des Soekels yon G/r (G) in G. CAut(a)(S/q5 (G)) ist ein auflSsbarer Normalteiler yon Aut (G) mit nil- potenter Kommutatorgruppe, in dessen Ordnung nur solche Primzahlen aufgehen, die die 0rdnung der Figtinggruppe F(G) yon G teilen. Uberdies ist CAut(G)(S/r (S)) ein nilpotenter Normalteiler yon Aug(G), der eine charakteristische Reihe yon G stabilisiert.

Hieraus erh~lt man insbesondere Informationen fiber die Automorphismengruppen auflSsbarer Gruppen. Die Augomorphismengruppe einer auflSsbaren Gruppe G i s t

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eine Erweiterung der nilpotenten Gruppe CAut(a)(F(G)/~(F(G))) mit einem sub- direkten Produkt linearer Gruppen. Wir geben in Theorem 4 eine hinreichende Be- dingung an, wann die Automorphismengruppe einel aufl6sbaren Gruppe aufl6sbar ist.

1.3. Wir bezeichnen mit 6Pc die Menge aller Automorphismengruppen der endlichen Gruppe G, die geeignete Untergruppenreihen yon G stabflisieren. Bekanntlieh sind die Gruppen in Sf~ nilpotent [3, Theorem 1]. In einer friiheren Arbeit [6] haben wir die merkwiirdige, verbandstheoretische Struktur yon 2T a untersucht (vgl. Lemma 1 (d)). Unter .Mqwendung yon Theorem 1 zeigen ~Sr nun: Besitzt die endliehe Gruppe G eine Kompositionskette q5 (G) = 2"1 <3 F2 <3... <3 Fn = t" (G) m i t in G charakteristi- sehen 2"i, d a n n i s t Sac ein Teilverband des UntergTuppenverbandes yon Aut(G) (Theorem 6).

1.4. Die wichtigsten Begriffe und Bezeichnungen haben ~Sr schon eingeffihrt. Dar- fiberhinaus verwenden ~Sr die folgenden Symbole: Z (G) = Zentrum der Gruppe G, Op (G) = grSl~ter Norma]teiler yon G mit p-Potenzordnung, I G] ---- Ordnung yon G, ~z (G) = Menge der Primteiler yon ] G ]. [H, K] ist die Kommutatorgruppe der Unter- gruppen H und K. Ffir hShere Kommuta to r~uppen ffihren wit die Abkfirzung

y H K m = [ H , K . . . . . K] ( m ~ l )

ein. KI t ~- K [H, K] ist die normale Hfille yon K im Erzeug-nis J -~ (H, K) . Genau dann ist K subnormal in J (K <3 <~ J), wenn es eine natfirliche Zahl m gibt, so dal~ y H K m ~ K ist.

Eine (absteigende) Subnormalreihe yon G ist eine Untergruppenreihe, bei der jedes Glied Normalteiler des vorangehenden ist; eine charakteristisehe Reihe ist eine Aut(G)-Kompositionsreihe. Wir gebrauchen den Ausdruck Kette, wenn die End- glieder einer Reihe yon UntergTuppen yon G nicht notwendig G und 1 sind.

Wir stellen in Abschnitt 2 einige grundlegende S~tze fiber Stabflit~itsgruppen yon Untergruppenreihen einer Gruppe zusammen und beweisen Theorem i. Im dritten Absehnitt diskutieren u4r die in 1.2 aufgeworfenen Fragen. Den Absehlul3 der Unter- suehung bildet der Beweis yon Theorem 6.

2. StabiUt~its~uppen. Sei A eine Automorphismengruppe der endlichen Gruppe G. Wir denken uns stets G und A im Holomorph yon G eingebettet. A stabilisiert die UntergTuppenreihe G ~ GI > G2 > "'" > Gm+l ---- 1 yon G, fails A jede Nebenklasse yon G~ nach G~+I lest l~I3t (1 g i --< m). Die eindeutig bestimmte gr61~te Automor- phismengTuppe mit dieser Eigenschaft heil3t die Stabilit~tsgTuppe der Untergruppen- reihe. Mit 6aa ~Srd die Gesamtheit der AutomorphismengTuppen yon G bezeichnet, die geeignete UntergTuppenreihen yon G stabilisieren. Offensiehtlieh stabilisiert jede Gruppe in See eine Subnormalreihe yon G und mit einer solchen auch jede Verfeine- rung.

Wit werden h~ufig die folgenden Ergebnisse [6, Lemmata 1, 5 und 6 sowie Theo- rem 4] anwenden:

Lemma 1. Sei G eine endliche Gruppe.

238 P. SCHMID AIKGH. MATH.

(a) Sei A ~= Aut (G). Folgende Aussagen sind gleichwertig:

(i) A �9 5:~. (ii) A ist ein nilpotenter Subnormalteiler yon G A.

(iii) Es gibt eine nati&liche Zahl ~ , so daft yG A m = 1 ist.

(b) Ist A �9 5:c , so gilt [G, A] ~ F(G) und a(A) = a([G, A]).

(e) Sei A eine p. Untergruppe yon Aut (G)/iir eine Primzahl p. Genau dann gilt A �9 5'~, wenn A ~= CAut(C)(G/Op(G)) ist.

(d) Seien A und B Gruppen aus 5fv. Genau dann gilt (A , B'~ �9 5fa, wenn (A, B~ nilpotent ist.

Wir definieren ~ als die Menge derjenigen Automorphismengruppen yon G, die eine charakteristische geihe yon G stabilisieren. Im allgemeinen ist :co~ eine echte Teilmenge yon dea.

Lemma 2. Sei A eine Automorphismengruppe yon G. Genau dann gilt A �9 ~ca, wenn A subnormal ira Holomorph yon G ist.

Be weis. Sei zun~chst A �9 .9~ A stabilisiert dann eine charakteristisehe geihe yon G. Die Stabi]it~tsgruppe dieser Untergruppenreihe ist offenbar ein Normalteiler yon Aut(G). Da S nach Lemma 1 (a) nilpotent ist, haben wir A<3 <3 S <3 Aut (G), folglich A <3 <3Aut(G). Daraus folgt, daf~ GA subnormal im Holomorph yon G i s t (denn G. Aut(G)/G ~---Aut(G)). Da nach Lemma 1 (a) A <3 <3 GA ist, ist damit die Notwendigkeit der Bedingung gezeigt.

Is t A subnormal im Holomorph yon G, so ist A<3 <~ GA, daher A �9 Sea, und A <3 <3 Aut (G). Die normale Hiille .4 yon A in Aut (G) ist folglich nilpotent. Mit A liegt offensichtlich auch jede Konjugierte (unter Aut(G)) in 5~a. Auf Grund yon Lemma 1 (d) ist daher A �9 5:v, und es gibt nach Lemma 1 (a) eine natiirliche Zahl m, so daf~ yG,,im = 1 ist. Wegen A<3 Aut(G) gilt [G, A]~ = [G, A] fiir alle ~ �9 Aut(G). Durch Induktion nach i beweist man, dab yG.d~ eine charakteristische Untergruppe yon Gis t (1 --~ i g m ) . A und A stabilisieren die Normalreihe

G ~>[G,d] ~>~,GX2 ~> ... E>TGXm = ~.

Wie behauptet ist A �9 5f~. Aus dem Beweis yon Lemma 2 ergibt sich insbesondere, dab gerade die Auto-

morphismengruppen aus 5fa, die subnormal in Aut (G) sind, in df~ liegen. Der folgende Hilfssatz ist im wesentlichen bekannt [1, Hiffssatz 1.1]:

Lemma 3. Seien H und K Normalteiler der (nicht notwendig endlichen) Gruppe G; es sei K ~ H und C ~- Ca (H/K). Dann gilt CAut(~)(H/K) ~ CAut(a)(G/C).

Bewei s . Sei A - ~ CAut(a)(H/K) gesetzt. Da H ~ G A , K<3GA ist, haben wir CaA (H/K) <~ G A. Sicherlich gilt A G CaA (H/K). Folglieh ist

[G, A] ~= CaA (H /K) n G = Cv(H /K) .

Korollar. Sei H <~G, Ca(H)~= H. Dann stabilisiert CAut(G)(H) die Normalreihe G [:> Z ( H) ~> l, ist daher insbesondere abelsch.

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Bern e r k u n g . Die Voraussetzungen des Korollars sind zum Beispiel erffillt, wenn G nilpotent und H ein maximaler abelscher Normalteiler yon G ist [2, p. 185], oder falls G aufl6sbar und H ~-- F(G) ist [2, p. 218), oder wenn G ~-separiert, 0=, (G) ---- 1 und H = O~ (G) ist (~ Primzahlmenge, g ' das Komplement) [2, 13. 228]. In all diesen F~llen ist CAut(a) (H) eine abelsche Gruppe, in deren 0rdnung nach Lemma 1 (b) nur Primteiler yon ]Z(H)[ aufgehen.

Theorem 1. Sei G eine endliehe Gruppe, q3 (G) ihre Frattinigruppe. CAut(G)(G/~) (G)) ist ein Element von 5:~, insbesondere also nilpotent.

Beweis . Wir setzen A ---= CAut(a)(G/q3(G)). Beim Beweis des Theorems stfitzen wit uns ganz besonders auf einen Satz yon P. HALL, wonach g ( A ) C ~r(q3(G)) gilt [4, S. 274].

Bekanntlich ist q3 (G) eine nilpotente charakteristische Unte r~uppe yon G. Aus q3 (G) = 1 folgt A --~ 1. Sei daher q3 (G) =~ 1 u n d p ein Primteiler yon I q3 (G) I- P sei das p-Sylowkomplement yon q3(G). P ist eine eharakteristische Untergruppe yon q3 (G) und damit yon G, insbesondere also A-zul~ssig. Wir bezeichnen mit Querstriehen Faktorgruppen modulo P. A induziert auf G eine Automorphismen~uppe A*. Wegen P ~< q3(G) gilt q3(G) = q3(G) [4, S. 270]. Da naeh Vorgabe [G, A] < r ist, haben wir also [~, A*] < ~ (G). q3 (0) ist ein p-Normalteiler yon ~. Wir folgern mit dem erw/ihnten Satz von HALL, dab A* eine p-Gruppe ist. Nun k6nnen wir Lemma 1 (e) anwenden und erhalten A * e 5:a. Naeh Lemma 1 (a) gibt es also eine natfirliehe Zahl n, so da$ ~, G A n < P ist.

Der Primteiler p yon ] q3 (G) ] war beliebig vorgegeben. Seien p~ . . . . . Pr s/~mtliehe Primfaktoren yon I q3 (G) ], P1 . . . . . Pr die zugeh6rigen Sylowkomplemente yon q3 (G). Es gibt dann natfirliche Zahlen nl . . . . . nr, so dab y G A no < Pe ist (o ~ 1 . . . . , r).

~fir m ---- max(nl , . . . , nr) gilt y G A m < ( '~P~ ---- 1. Nach Lemma l(a) ist A ~ 5:a.

Da A <~ Aut (G) ist, folgt die Behauptung A e 5:~ aus Lemma 2.

A n m e r k u n g . Man kann eine obere Schranke fiir die Nilpotenzklasse yon CAut(a) (G/q3 (G)) in Abh/~ngigkeit yon der Klasse yon q3 (G) und den Exponenten der Faktoren der absteigenden Zentralreihe von q3 (G) angeben. Dabei hat man/~hnlich zu verfahren wie in [5]. Wir wollen an dieser Stelle yon einer Ausfiihrung absehen.

Ffir viele Zwecke mag die folgende Fassung yon Theorem 1 nfitzlich sein:

Theorem 1'. Seien H und K Untergruppe~ einer Gruppe. H sei endlich, u ~ es gelte [H, K] < r Dann ist K subnormal in <H, K> = H K und K/CK(H) nilpotent.

3. Automorphismengruppen zusammengesetzter Gruppen. Die Automorphismen- gTuppe einer endlichen Gruppe Gist eine Erweiterung der nach Theorem i nilpotenten Gruppe CAut(a) (G/q3 (G)) mit einer gewissen Untergruppe yon Aut (G/q3 (G)). Dureh Ss dieser Art gewinnt man Einblick in die Struktur der AutomorphismengTuppen zusammengesetzter Gruppen. Wit machen hier einen Anfang in dieser Richtung.

Theorem 2. Seien H und K Normalteiler der endliche~ Gruppe G; es gelte K ~: H n q3(G) und Ca(H/K) <: H. Sei A ~ CAut(a)(H/K).

240 P. SCHMID ARCH. MATH.

(a) Die Kommutatorgruppe A" yon A ist ein Element von 5 ~ , und es gilt

~(A)C=g(F(H)).

(b) Gilt sogar K ~ C)(H), dann ist A ~ ~G und in/olgedessen nilpotent.

Beweis . Wegen der Voraussetzung Ca(H/K) ~ H ist nach Lemma 3 [G, A] ~ H.

(a) K ist nach Vorgabe ein A-zuls Normalteiler yon G. A induziert auf G/K eine Automorphismen~oTuppe A*. Der Kern des kanonisehen Homomorphismus yon A au fA* ist CA (G/K). Da K ~ C) (G) vorausgesetzt ist, gilt naeh Theorem 1 CA (G/K)

5 fc Wegen [G, A] ~ H stabilisiert A* die Normalreihe G/K~>H/K~>K/K. Nach [3, Theorem 1] ist folglich A/CA(G/K) ~_ A* abelseh.

Es ist noch .~(A)C g(F(H)) zu zeigen. Nach Lemma 1 (b) teilt jeder Primteiler yon f A*I die Ordnung yon F(H/K). Wegen K ~ C)(G) ist F(H/K) = F(H) /K [4, S. 270] und K ~ F (H). Folglich haben ~_r g(A*) C ,'~ (F (H)) und, nach neuerlieher Anwendung yon Lemma 1 (b), ~ (CA (G/K)) C ~ (F (H)).

(b) Sei nun K ~ C) (H). Da H A-zul~ssig ist, induziert A auf H eine Automorphis-

mengruppe .4. Wegen [H, A] ~ K ~ C)(H) wirkt .4 trivial auf H/C)(H). Nacb

Theorem 1 gibt es daher eine natfirliche Zahl n, so dab NHA n = 7,H.4n ---- 1 ist. Wegen [G, A] ~ H g~lt damit yGA n+l ~ 1. Wie behauptet ist A ~ ~ c .

Sind in Theorem 2 H und K charakteristische Untergwuppen yon G, dann ist Aut (G) eine Erweiterung der hinltinglich bekannten Gruppe CAut(a)(H/K) mit einer Unter- gruppe von Aut(H/K). Das ist der interessante Fall. Wir stellen ein interessantes Anwendungsbeispiel zu Theorem 2 heraus. Dazu beweisen wir das folgende (mSg- lieherweise wohlbekannte)

Lemma 4. Sei SlY(G) der Sockel yon G/C)(G). Dann gilt Cr ---- F(G).

Beweis . Wegen F(G/C)(G)) ~- F(G)/C)(G) kSnnen wir fiir den Beweis des Lemmas C) (G) ---- 1 annehmen. Bekanntlich ist dann S --~ F (G) • E, wobei E der nicht-abelsche Soekel yon G sei; F (G) ist der abelsche Soekel yon G. Sei C = CG (S). Da F (G) abelseh ist, ist klar, dal3 C ~ F (G) ist. Mehr Aufwand erfordert der Beweis der umgekehrten Enthaltenseinsbeziehung. Wegen C) (G) = 1 hat F (G) nach [4, S. 278] ein Komplement K in G. Wir behaupten, daI3 C (h K ~- 1 ist. Angenommen, es existiert ein Element 1 ~: x e C c~ K. Dann ist die normale Hiille L = (x} ~ = (x)K ein in K enthaltener ~qormalteiler yon G, der mit S elementweise vertauschbar ist. Fiir einen minimalen Normaltefler M ~ L yon G gilt also M ' ~ [M, S] ---- 1. Das htitte aber M ~ F (G) n n K = I zur Folge. Aus C >-- -~ (G), G = F (G) �9 K und C c~ K = 1 ergibt sich nun dm'ch Betrachtung der Ordnungen C ---- F (G).

Theorem 3. Sei G eine endliche Gruppe, S/C)(G) der Sockel von G/C)(G). Dana ist C_r ein au/15~barer Normalteiler yon Aut(G), dessen Kommutatorgruppe in ~ liegt, und in dessen Ordnung nur Primteiler von I F (V) ] au/gehen. Uberdies ist CAnt(G) (S/C) (S)) ein Element yon 5~ mithin ein nilpotenter ~u yon Aut (G).

Den Beweis erbringt man unmittelbar mit Theorem 2 und Lemma 4. Wir bemer- ken, dab S = F (G) ist, falls G auflSsbar ist. Die folgenden Anwendungen mSgen die Ntitzlichkeit yon Theorem 3 deutlich machen:

Vol. XXIII, 1972 Automorphismengruppen endlicher Gruppen 241

- - Sei A eine Automorphismengruppe der aufl6sbaren Gruppe G, die trivial auf F(G)/q~(G) operiert. Ist A perfekt (A = A') oder [A[ teflerfremd zu IF(G)[, dann besteht A nur aus dem identischen Automorphismus.

- - Die Automorphismengruppe einer auflSsbaren Gruppe Gist eine Er~veiterung der nilpotenten Gruppe CAutca~ (2" (G)/r (F (G))) mit einer Untergruppe yon Aut (F(G)/ q5 (2' (G))), also mit einem subdirekten Produkt linearer Gruppen.

- - Man leitet aus Theorem 3 das folgende AuflSsbarkeitskriterium fiir die Auto- morphismengruppe einer auflSsbaren Gruppe ab (vgl. [5, Theorem 4]):

Theorem 4. Sei G eine endliche au]16sbare Gruppe. Es gebe eine ~Vormalkette q~ (G) = 2'1 <3 "" <3 2"n+1 = F(G) mit in G charakteristischen Untergrulopen 2"~ derart, daft die Ordnungen der Faktoren Fi+l/Fi Primzahlen sind oder 36 teilen. Dann ist Aut (G) au]16sbar.

Beweis. F(G)/qS(G) ist ein direktes Produkt elementar-abelscher Gruppen. Sei A das Bild yon Aut(G) bei dem kanonischen Homomorphismus yon Aut(G) in Aut (F (G)/q5 (G)). A induziert auf den Faktoren (F,+l/q5 (G))/(Fi/q~(G)) auflSsbare AutomorphismengTuppen: Ist Ft+l/Fi zyklisch, so aueh Aut(Fi+l/F~). Ist die Ord- nung yon Fi+I/Fi ein Teller yon 36, dann ist Aut (2"~+1/F~) auflSsbar, da die linearen Gruppen GL (2, 2) und GL(2, 3) aufl6sbar sind. Daraus schlieBt man unter Beriick- sichtigung yon Lemma 1 (a), dab A aufl6sbar ist. Aut (G) ist eine Erweiterung der nach Theorem 3 auflSsbaren Gruppe CAut(a)(F(G)/~ (G)) m~t A, infolgedessen auf- 16sbar.

4. E i n Te i lverband des Unter~oTuppenverbandes y o n A u t (G) . Sei G eine endliehe Gruppe. Mit einer Automorphismengruppe yon G lieg~ aueh jede ihrer Konjugierten (unter Aut (G)) in Sea. Folglieh ist das Erzeugnis T = <A]A e SeG> eflvNormalteiler yon Aut(G). Ist Sea~= {1} daher ein Verband, dann besitzt Aut(G) einen nieht- trivialen nilpotenten Normalteiler.

Nicht f/ir alle Gruppen Gis t Sea ein Verband, wie man sich am Beispiel einer elementar-abelschen Gruppe klarmacht. Demgegeniiber grit:

Theorem 5. Se~ ist ein Teilverband des Untergruppenverbandes yon Aut(G). Genau dann ist Sea ein Verband, wenn Sea -= 59~ ist.

Beweis. Wir haben offensichtlich nur die Abgeschlossenheit yon Se~ beztiglich der Erzeugnisbildung naehzupr/ifen. Das Erzeugnis zweier nilpotenter Subnormal- teller einer endlichen Gruppe ist wieder eine nilpotente subnormale Unter~oTuppe. Folglich ist Se~ auf Grund yon Lemma 1 (d) und Lemma 2 ein Verband. Ist sehliel~lich Sea ein Verband, dann ist das Erzeu~oaais T = <AIA e Sea> wieder in Sea. Da T <~ Aut (G) ist, gilt T e Se~ naeh Lemma 2. Damit ist schon alles bewiesen.

Wir interessieren uns fiir solche Gruppen G, ffir die Sea ein Verband ist. Nach Theorem 5 handelt es sich um das Problem festzustellen, fiir welche Gruppen G Sea = Se~ ist. Da jede Automorphismengruppe aus Sa eine geeignete Kompositions- reihe yon G stabilisiert, gilt dies sicherlich fiir Gruppen, deren Kompositionsreihen eharakteristisehe Reihen sind. Mit Hilfe yon Theorem 1 kSnnen wir eine erheblieh grSl3ere Klasse yon Gruppen mit dieser Eigenschaft beschreiben:

Archiv der Mathematik XXIII 16

242 P. SCH~m A~C~. ~ T H .

Theorem 6. Sei G eine endliche Gruppe. Es gebe eine Kompositionslcette qS(G) ---- ~- ~vl <~ F2 <~ "" <~.Fn ~ F (G) mit in G charakteristischen Untergruppen 2"~ ( F (G) -~ _~ q5 (G) ist zugelassen). Dann ist SPo ein Verband.

B e w e i s . (a) Sei p eine Primzahl. A und B seien p-Gruppen aus 5z~. Wir zeigen, dab das Erzeu~o-ais J ---- (A, B} wieder eine p-Gruppe ist und in SPa liegt. Da nach Voraussetzung die Un te r~uppen Fi charakteristisch in G und die Faktoren ]Yi+l/F~ einfach sind, zentralisieren A und B und damit auch J jeden dieser Faktoren. Sei .u = Op (G) (~ Fi gesetzt (1 ~ i ~ n). Dies sind charakteristisehe Untergruppen yon G. Offensichtlich zentralisiert J alle Faktoren ~u Nach Lemma l(b) gilt [G, A] ~ 0~ (G), [G, B] ~ 0p (G). Daher ist auch [G,J] ~ Op (G).

Sei * d e r kanonische Homomorphismus yon J in Aut(G//Y1). Wir haben eben J* e ~GI)~ gezeigt. Da [GIN1, J*] ~ Op (G)/N1 -~ Op(G/N1) ist, ist J * naeh Lemma 1 (b) eine p-Gruppe. Der Kern Jo ~-Cj(G/Iu yon * ist wegen N1 ~ ~5(G) naeh Theorem 1 ein Element yon ~ r Wiederum mit Lemma 1 (b) schlieBen wir aus [G, J0] ~ [G, J] ~ Op (G), dal~ J0 eine p-Gruppe ist. Damit ist J eine p-Gruppe, und [G, J] ~ 0~ (G) zieht nun nach Lemma 1 (e) J �9 Sza naeh sich.

(b) ]0"fir eine Primzahl p sei Tp -~ ( A I A �9 ~9~G, A p-Gruppe}. Nach dem Beweisteil (a) ist Tp eine p-Gruppe in Sa. Offenbar gilt T~ <~ Aut (G), nach Lemma 2 ist daher sogar Tp �9 5P~. Jede p-Gruppe aus 5f G liegt damit in S ~ . Mit Theorem 5 folgern wit daraus, dal~ SfG ---- 5 ~ ein Verband ist.

Literaturverzeiehnis

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Anschrift des Autors: P. Schmid Math. Institut der Universit~t D--7400 Tfibingen Brunnenstral~e 27

Eingegangen am 2.8. 1971