68

2. Obm d4e B e w e g u ~ g a g L & c h ~ g

vom R. J. Hzcmm.

der M a t d e . Eh B d t r a g x 2 c ~ RelaUvllt r tstheoHe;

In vorliegender Arbeit ist der Versuch gemacht worden, ein gwignetes Kriterium zur Auffindung der Bewegungs- gleichungen der Materie zu geben, ein Kriterium, welches sich mehr oder weniger deutlich bei den verschiedenen Autoren vorfindet, und das im Nullsetzen einer speziellen Variation des Hami l t onschen invarianten Integralea be- steht. Am den so gewonnenen Bewegungsgleichungen werden dann die Eins t einschen Energiegleichungen abgeleitet, und zum Schlusse wird der Begriff der elektromagnetischen Masse in die allgemeine Relativitiitstheorie eingefuhrt.

1. Das invarisnte Integral hat, bei leicht verstiindlicher

Bedeutung der Symbole, die folgende Gestalt :

J = J ( A + q o d w =J(B+ Q ) d m . W W

(1)

Das W bedeuteta erstreckt uber die ganze We1t.l) Es ist bekannt, daB, wenn man das Gravitationsfeld der

grv allein variiert und die dadurch entstehende Variation von J (welche wir mit 8, J bezeichnen wollen, als Zeichen, dn5 nur die gpv variiert werden) gleich Null setzt:

man nach Eins t ein.e), bei vorhergehender Abspaltung des Divergenzgliides, folgende Gravitationsgleichungen erhglt :

1) Ein U unkr ein Integral uber dz, dz, dz, sol1 bedenten: erstreckt uber das ganzeUniversum, d. h. iiber den ganzen Dreierraum z,, ztr %; Wir werden diem Bezeichnungen nur gelegentlich gebrauchen.

2) Hamiltonsches Prinzip und allgemeine Relativitattstheorie (Ber- liner Ber. 1916).

#ber dis Bezueguqsg2eichungen der Mate&. 69

43)

Diese Gleichungen liefern uns das Gravitationsfeld, das wir vorhin variiert hatten.

Wir fassen jefzt alle in J vorkommenden Gro8en ah Funktionen der Koordinaten Zi der Weltlinien der Materie auf und variieren dime Koordinaten allein, indem wir sie als Funktionen f, (&.) gewisser die Weltlinie charakterisierenden La grangeschen Parameter auffassen. Wir verriicken also diese Weltlinien, und zwar virtuell, d. h. im Einklang mit vorgegebenen Bedingungen.l) Diese virtuellen Bedingungen werden verschieden sein, j e nach der Gestaltung des Problems. Stellen ' wir z. B. ponderable Materie dem Gravitationsfeld gegeniiber - wie dies in der relativistischen Himmelsmechanik geschieht - so werden wir dieses Feld nicht mitvariieren;. es wird uns geniigen, da6 die variierten Weltlinien ebenfalls ein Kontinwm bilden und da6 die Gesamtmasse erhalten bleibe. Denken wir uns aber eine Gegeniiberstellung von Gravitations- feld und elektromagnetischem Feld - etwa nach dem Beispiel von Hilbert - so werden wir einen Bquivalenten Begriff fiir die Masse am den FeldgroSen erst konstruieren mbsen. Es wird dies die gravitoelektromagnetische Masse sein; soll sie bei der Variation erhalten bleiben, so wird man die FeldgroSen ganz oder zum Teil mitvariieren miissen. Die erste Auffassung behandeln wir unter 2. und S., die meite Auffassung nnter 4. und 5. Die Variation wird innerhalb eines beliebigen Welt- stiickes ausgefiihrt, an dessen Grenzen die SZa verschwinden sollen.

Wiihrend vor der Variation die Weltlinie durch Punkte U verlief, geht sie nach der Variation durch Punkte V ; die Differenz der Werte, die das Integral J nach der Variation in V und vor der Variation in U hat, soll mit & J bezeichnet werden. Setzen wir die so gewonnene Variation von Jgleich Null:

(4) S;J = &J(% + 9 ) d m = 0,

so erhalten wir ein Variationsprinzip, von welchem wir 8n- nehmen wollen, daS es zu den Gleichungen der Weltlinien

1) Der Mechanismus diem virtuellen Verriickungen ist mir dmh das Kolleg von D. Hilbert, ,,Elektronentheorie", W . 4 . 1917/18, nahe- gelegt worden.

70 R. J , Humm.

fiihrt. Genau so namlich wie' eine Variation der g,, uns Gleichungen lieferte, die gerade diese g,, angaben, SO sol1 uw eine Variation der Koordinaten Zi Gleichungen liefern, die urn gerade diese 5, liefern. Diese Annahme beruht auf dem Vertrauen, daS die Lagrangesche Funktion (2 + 9) auch dieses leisten moge. (Im folgenden werden wir die Striche iiber die iid weglassen.)

2.

Wir untersuchen als erstes Beispiel den Fall, dal3 die Invariante L durch folgenden Materientensor festgelegt ist :

(5) d s d s d x d x v - TPV = p > - - p X j.

/4 v ?

worin Q die invariante Massendichte der Materie ist. Es ist dies der Tensor einer idealen Fliissigkeit ohne innere Krafte noch Spannungen. Wegen der Unvariiertheit des g,,-Feldes ist :

(6) s ,gsedo =I(& R ) d m = 0

und somit bleibt von (4) blob:

(7) 8sJ8d61 = 0.

Zwischen T''" und L bestehen die Besiehungm: d x d x e ; L = - Y ' V 9/,v = - ? 7; *LIP, = - (8)

ferner:

Das Integral (7) wird in. unserem Pa811e:

Es sei nun gesetzt: - d t

(10) &7z=F>

worin @ keine Invariante ist. Wohl aber ist:

tfber die Bewegungsgleichungen der Materie. 71

eine Invariante, und zwar die invariante Gesamtmasse des Universums. Dann ist a die gewohnliche Dichte, welche im kleinrelativistischen Falle mit e . u, zusemmenfallt. Wir haben also, wenn wir die Zeichen der Grenzen waglassen:

und unser Kriterium (7) spezialisiert sich in unserem FaUe zu:

Daraus folgt zunachst, da

a z S p d P = 0 U ist:

und hieram bekanntlich l) die Gleichung der geodiitischen Linie :

P4) + p ($* + c"r') 5,wbv) = 0 . Damit ist unter unser Variationsprinzip - sofern man obige erweiterte Auffassung zulliBt - die Tatsache eingeordnet, daS die Weltlinien der idealen Flussigkeit geodatische Linien sind.

Es ist,aber zu beachten, daB, wenn in der Gleichung (7) nicht der spezielle Tensor der idealen Fliissigkeit, sondern irgendein anderer Tensor steht, wenn man also innerhalb der Mscterie Spannungen elastischer oder elektromagnetischer Natur zulaSt, dann die einzelnen individuellen Teilchen der Materie keine geodiitischen Weltlinien beschreiben konnen. In der Gleichung (14) wird rechts an Stelle der Null ein nicht verschwindendes Zusatzglied auftreten.

3.

Es ist zu erwarten, da8 man aus den Bewegungsgleichungen (14) bzw. (13) die Eins t einschen Energiegleichungen unseres Spezialfalles erhalten wird, und dies ist tatsachlich der Fall, wie folgende Rechnung zeigt. Ausgehend von (13) formen wir den Integranden urn; zunachst haben wir:

1) Vgl. auch H. Wegl, ,,Raum, Zeit, Tkbterje", p. 218. Berlin 1918.

= rr R I --

Obsr die Bewegungsgleichungen der Malerie. 73

Darin ist aber :

und 6, fi ist der Unterscbied der Werte von f i i m verriickth Punkte V nach der Variation und im urspriinglichen Punkte U vor der Variation. Wegen der Unvariiertheit des 9,; Feldes ist 8, fi+ 0 , sber 16, f i d w = 0 , somit bekommt man:

d. h. J (2 + 2) do = 0 ,

a (z: + t:) (3 2,

- = o .

Aus diesem spedellen Beispiele, das in prhzipieller Hin- sicht sehr durchsichtig ist, sehen S r , deB die Ercergiegleiohungen eine direkte Folge BUS den Bewegungsgkichungen sind, wie der Energiesatz der Mechanik; sie sind eine Umformung der L agr ang eschen Gleichungen meres Variationsproblemes , bei welcher man an einer gewissen Stelle die Gravitatiomglei- chungen zu Hilfe genommen hat, aber blol3, urn die Gra- vitationsenergie c, welche von den g,, abhhngt, einzufuhren. Jedenfalls besteht der andere, fur lk“, allein geltende Energie- satz ohne Benutzung der Gravitationsgleichungen, als blob Folge der Bewegungsgleichungen; denn ea ist in 11:

was zusammen mit I und‘ Wegschaffung von 8,yT liefert:

Alle infinitesimalen Transformationen der Koordinaten, die bisher auf diese Energiegleichungen fiihrten, sind versteckte virtuelle Verriickungen der Weltlinien. Die Erhaltungs- gleichnngen regeln den Verlauf der Weltlinien ; denn durch einen ungeregelten Verlauf derselben 6t es moglich, daS

74 R. J . Hum.m.

X: + t," nicht erhalten bleibt. Es ist jedenfalls zuzugebm, daB die Abhiingigkeit der Energiegleiohungen von den Be- wegungsgleichungen eine andere ist als diejenige in der Me- chanik bekannte. In ihrer Form (15) sind die Erhaltungs- gleichungen eher ein Analogon zurn d'A 1 em b e r t when Prinzip als zum Energiesatz. Ii'aSt' man in der Tat die Divergenz der Spannungsenergietensoren als Viererkrafte auf, so besagt (15), daB die virtuelle ,,Arbeit" der Gravitationskrafte und der materiellen Kriifte insgesamt verschwindet.

Zu betonen ist zum Sohlusse dieses Abschnittes, daS wir hier einseitig vorgegangen sind, und daB ES moglich ist, daB bei einer allgemeineren Auffassung des Energieproblemes man auch zu einer allgemeineren Bedeutung und Geltung der Energiegleichungen gelangen wird. Zu einer solcheii scheint mir eine verallgemeinerte Theorie des Unabhangigkeitsintegrals der Variationsrechnung zu fuhren.

4.

Wir wollen jetzt die Bewegungsgleichungen eines im Bornschen S i n e starren Elektrons in einem elektrischen Felde, das von anderen Elektronen herriihrt, angeben. Wir wollen uns aber vorher auf den kleinrelstivistischen Fall be- schriinken, urn dann die gewonnenen Resultate in naheliegen- der Weise zu verallgemeinern. Wir bedienen uns der L a - gra ngeschen Funktion I) :

WO : Q =

v = Vierergeschwindigkeit,

(19) J'iQ + q r ) d w ,

zu variieren, in der Weise, daB die Gleichung der Weltlinie sich ergibt.

Wir fiihren erstens die Variation so BUS, daB wir ein Stuck der Weltlihien des betrachteten nten Elektrons virtuell verriioken, wahrend wir das elektromagnetische Feld un-

(18) 31 = Q + '1 T 9

k?:k ; M = Rot, q ; 1' = 6 . v; q = TTiererpotential, h k

= Ruhladungsdichte ist. Wir haben also das Integral, erstreckt iiber die ganze Welt,

W

1) Vgl. K. 'Schwarzschilds Mittcilung in den Glitt. Nachr. 1903. p. 128.

Uber die Bewegungsgleichungen der Materie. 75

verandert lassen; wir bezeichrren diese Variation mit 6, und erhalten naturlich

cYxJQdw = 0 ,

a5S(y r) d w = o . Spaltet man das Feld q in die zwei Teile, die vom Elektron selbst und von den anderen Elektronen herriihren, also in das ,,innere" Feld qi und in das ,,auBere" Feld 'q", so be- kommt man bekanntlich l) :

so daB bleibt:

worin f," die ,,&uBere" Lorentzkraft der anderen Elektronen, und fi, die ,,innere" Kraft des Elektrom auf sich selbst oder Selbstinduktiou bedeutet. Man kann dieses letzte Integral- prinzip das ,,d'Alembertsche Prinzip der Elektronentheorie" nennen, in Anelogie zum gleichnamigen Prinzip der gewohn- lichen Mechanik.

Nun wenden wir auf das Integral (19) eine zweite Varin- tionsmethode an. Wir variieren namlicli erstens die Welt- linien in Einklang mit der Starrheit, und dann das eigene Feld des nten Elektrons in der Weise, daS es von den Welt- linien bei ihrer Variation einfach mitgenommen wird. Das Feld der anderen Elektronen lassen wir unverandert. Wir be- zeichnen diese Variation symbolisch mit &, qi oder kiirzer mit

sondern bloB der vom ZGuBeren Felde herruhrende Teil, so daB kommt :

~ Y ~ S Q d n , = ~ 3 ~ $ & " d w

6,. Es verschwindet dann llicht mehr das ganze 6, JQdW

mit einfacher Bedeutung der Symbole. Das zweite Integral f ( q r )dm spalten wir in die zwei Teile:

s ( q i * T ) d w, f [(qa - r) d o

1) Vgi. die Yitteilung von W. Behrems und E. Heake, Gott. Kachf. 1912. p. 862.

76 R. J . Humvn.

und finden mniichst, da sich beim &Useren Felde niohts ver- iindert hat:

8sJ(ga- r)dm = l f : S z x d o ,

wahrend man fiir den ersten Teil ausrechnet:

Dies verschwindet aber ; denn transformierer? wir

auf Ruhe, so bemerken wir, dal3

ist, da wir das innere Feld als stationlir ansehen wollen. Somit ha.ben wir folgende Gleikhung :

(2 1)

Wir setzen:

Die zweite Gleichmg ist der gewohnliohe Zusammenhaiig zwischen invarianter Kraftdichte und invarianter Kraft. Wir bekommen :

Dies ist die Bewegungsgleiohung fur das nte Elektron. Nun wissen wir, daB men das Elektron mit einer elektromagnetischen Masse eusgestattet auffaBt, die bei der Bewegung dieselbe Rolle spielt wie die gewohnliche Masse in der Mechanik. Sie erfiillt die Aufgabe, daB man das elefrtromagnetische Be- wegunpproblem wie ein einfeches mechanisches behandeln kann, dadurch, daB man die elektromagnetischen Gleichungen auf Gleichungen von mechanischem Charakter - entweder auf die Newton-Minkowskischen Gleichungen oder auf das Hamilt onsche Prinzip der Vierermechanik - zuriickfuhrt.

Dber die Bowegungsgleiehungen der Materie. 77

Wollen wir unser Bewegungsproblem in die Form eines mechztnischen Problems bringen, so sind wir gezwungen, da der zweite Term in (22) die virtuelle ,,Arbeit" der ZiuBeren bewegenden Kriifte darstellt, den ersten Term als die zu variierende Wirkung aufzufassen, welche in der kleinen Rela- ti+it&t die Gestalt :

- j - 7 1 , d t

hat, worin m die Ruhmasse bedeutet, und dies'hat die Be- aiehung :

123) zur Folge. Es ist dies die gewohnliche Beaiehung zwisched der elektromagnetischen Masse und den Feldkomponenten @, 8, die in L' vorkommen. (Vgl. M. Abraham, ,,Theorie der Strahlnng". 1914. p. 192.) I

Bei Einfuhrung der elektromagnetischen Masse wie in (23) bekommt unser Bewegungsprinzip (22) folgende Form :

Den Index 2 bei 6, konnen wir uns sparen, da es in diesem Zmammenhange selbstverstandlich ist, daB die Masse mit den Weltlinien bei der Variation mitverriickt wird. Diem Variation amfiihrend, bekommt k a n bekanntlich die Min- ko ws kischen Bewegungsgleichungen der kleinen Relativitat, niimlich :

d l 5. (25) d xY

r n 2 = ; i = 1.2.34.

5.

Nun kehren wir wieder zum Fall, daS Gravitation mit- beriicksichtigt wird, suriiok. Die Lagrangesche Funktion ist jetzt:

worin : (26) L! + 9 = (Q + 9 " + qG,

d xi Q = M , , , M i k p k g * ~ ; q - P = q l+; rt = 0 - v" = 4 9 - d5

und 0 die invariante Ladungsdichte ist. Bei der ersten Variationsart bekommen wir selbstver-

stbdlich wieder das d'hlemb ertsche Prinzip der Elektronen-

78 R. J . Humm.

theorie, und bei der zweiten Variationsart - die jetzt so verstanclen werden muB, daB sowohl das innere elektromagne- tische als auch das innere Gravitationsfeld mitvarilert werden - kommt eine Gleichung, die dasselbe Aussehen hat wie (22), worin aber die einzelnen Symbole eine auf den Fall der all- gemeinen Relativitiit hin verallgemeinerte Bedeutung haben, nsmlich : (27) 8, (kg) d s +J$' :J.zxds = 0

und : - d t di = (D + P) d 7, If; = J f : -j/q (16 d P . s

Es ist jetzt nicht schwer einzusehen, da%, wenn wir auch in der allgemeinen Relativitatstheorie den Gleichungen (27) eine mechanische Gestalt geben wollen, dies einzig und allein so geschehen kann, daf3 wir dem'ersten Term die Gestalt der allgemein relativistischen variierten Wirkung erteilen, welche nach Lorentz u. A. die Gestalt:

- G , J m d s

bat. Demnach ist: d t

e - m- (28) d 8

zu setzen und unter m cine grawitoelektromagnetische Masse zu verstehen. Die in II' und I?: vorkommende f; hat dieselbe Aufgabe wie unter (10); sie sol1 namlich die allgemeke In- varianz zur Geltung bringen.

Wir haben also als Bewegungsgleichungen des Elektrons :

(29)

und dies hat' zur Folge:

Wir sehen, da% das Elektron kejne geodatische Linie besohreibt. Auch dann wird keine Geodiitische beschrieben, wenn man

- 1 0 0 0

-' - 1) Eine Beziehung die fiirgp, = 8 in (26) ubergeht. 0 0 O f 1

Ober die Beweyungsgleich2Lngen der Materie. 79

sich die Welt dioht mit Elektronen belegt denkt und die Radien der Elektronen zur Grenze Null bringt, so daB man ein elektrisches Fluidum hiitte in Analogie zur idealen Fliissig- keit. Die Bewegungsgleichungen wurden lauten:

d. h. nach (10):

Wie wir sehen, bewirken die im Falle' des elektrischen Flui- dums herrschenden KrLfte eine Abweichung von der geo- diitischen Linie, welche im Falle der idealen Fliissigkeit be- pchrieben wurde. Der Materietensor ist auch ein anderer. Zu Q f f (bzw. zu dessen elektromagnetischer Interpretation) kommt jetet der elektromepetische Spannungstensor hineu, dessen Divergene f: ist:

Da f ; die Divergene eines Teiles des Materietensors ist, sicht man leicht, daD auch in diesem Falle die Eins te in- schen Divergenzgleichungen tbug den Bewegungsgleichungen folgen.

Zn der phhomenologischen Auffassung, die z. B. in der relativistischen Himmelsmechanik vorherrscht, wird zum M e - gral (2 + 9) dw noch ein Integral l d m l ds hinzugefugt, dss fur die Bewegung der ponderablen Materie verantwortlich sein soll. Man hat da gleichberechtigt die Begriffe: Materie, Gravitationsfeld, elektromagnetisches Feld. f i r eine prinzipielle Erforschung der Materie aber darf man nicht so vorgehen; von diesem Stsndpunkte BUS sind bloB die beiden Felder das in der Anschauung tatsachlich Gegebene, und die Materie: der Trsger dar Bewegung, sowie ihr Charakteristikum : die triige Masse, sind Konstruktionen daraus. Dies haben wir analytisch dadurch zur Darstellung gebracht, da6 wir bloS das erste In- tegral benuteten und durch Anwendung einer bestimmten Variationsart die Bewegungsgleichungen ableiteta. Dabei ist vorausgesetzt worden, daB die beiden Felder den Verlauf einer

80 R. J . Humnt. t b r die BewegungsgZeichungen aer Mahie .

Schar von Weltlinien - der ,,materiellen Weltlinien" - be- stimmen, und umgekehrt in der Weise davon abhangen, dal3 eine hderung in ihrem Verlauf jene Felder nach gewissen Gesetzen beeinflu6ten. Diese Gesetze werden uns mi virtuellen Bedingungen. Dies niihcr auszufiihren, sowie die Energic- gleiohungen genauer zu untersuchen, wird das Ziel einer folgen- den Arbeit sein.

Got t ingen , den 28. Mai 1918.

(Eingegangen 31. Mai 1918.)