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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Um estudo sobre a Supersimetriano contexto da Mecânica Quântica
Fabricio Marques do Carmo
Orientador: Prof. Dr. Adilson José da Silva
Universidade de São PauloInstituto de Física
29 de março de 2011.
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
O que faremos...
1 Introdução• O que é Supersimetria?• A SUSI no contexto da Mecânica Quântica
2 Mecânica Quântica Supersimétrica• Fatorização de Hamiltonianos• Osciladores Harmônicos e Supersimetria• Mecânica Quântica Supersimétrica• Invariância de Forma
3 Aplicações• Superpotenciais da forma W(x) = gx2n+1
• Superpotencial W(x) = gε(x)• Superpotencial W(x) = gε(x)x2
4 Considerações Finais
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
O que faremos...
1 Introdução• O que é Supersimetria?• A SUSI no contexto da Mecânica Quântica
2 Mecânica Quântica Supersimétrica• Fatorização de Hamiltonianos• Osciladores Harmônicos e Supersimetria• Mecânica Quântica Supersimétrica• Invariância de Forma
3 Aplicações• Superpotenciais da forma W(x) = gx2n+1
• Superpotencial W(x) = gε(x)• Superpotencial W(x) = gε(x)x2
4 Considerações Finais
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
O que faremos...
1 Introdução• O que é Supersimetria?• A SUSI no contexto da Mecânica Quântica
2 Mecânica Quântica Supersimétrica• Fatorização de Hamiltonianos• Osciladores Harmônicos e Supersimetria• Mecânica Quântica Supersimétrica• Invariância de Forma
3 Aplicações• Superpotenciais da forma W(x) = gx2n+1
• Superpotencial W(x) = gε(x)• Superpotencial W(x) = gε(x)x2
4 Considerações Finais
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
O que faremos...
1 Introdução• O que é Supersimetria?• A SUSI no contexto da Mecânica Quântica
2 Mecânica Quântica Supersimétrica• Fatorização de Hamiltonianos• Osciladores Harmônicos e Supersimetria• Mecânica Quântica Supersimétrica• Invariância de Forma
3 Aplicações• Superpotenciais da forma W(x) = gx2n+1
• Superpotencial W(x) = gε(x)• Superpotencial W(x) = gε(x)x2
4 Considerações Finais
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
O que faremos...
1 Introdução• O que é Supersimetria?• A SUSI no contexto da Mecânica Quântica
2 Mecânica Quântica Supersimétrica• Fatorização de Hamiltonianos• Osciladores Harmônicos e Supersimetria• Mecânica Quântica Supersimétrica• Invariância de Forma
3 Aplicações• Superpotenciais da forma W(x) = gx2n+1
• Superpotencial W(x) = gε(x)• Superpotencial W(x) = gε(x)x2
4 Considerações Finais
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Introdução
Introdução
• O que é Supersimetria?• A SUSI no contexto da Mecânica Quântica
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Introdução
O que é Supersimetria?
Introdução
• O que é Supersimetria?
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Introdução
O que é Supersimetria?
Introdução
• O que é Supersimetria?
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Introdução
O que é Supersimetria?
O que é Supersimetria?
• A Supersimetria (SUSI) é uma simetria que relaciona estados bosônicose fermiônicos.
• Ela foi originalmente desenvolvida no final dos anos 60 e início dos anos70 no contexto da Teoria Quântica de Campos.
• A SUSI surgiu como um caminho para estender o Grupo de Poincaré demodo a incluir simetrias internas.
• A álgebra estendida correspondente é então chamada de álgebra SUSIou simplesmente de super-álgebra.
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Introdução
O que é Supersimetria?
O que é Supersimetria?
• A relação estabelecida pela SUSI entre estados bosônicos efermiônicos se dá por meio das transformações SUSI cujos geradoresdenotamos Q e Q̄.
• A parte da super-álgebra que é incluída no Grupo de Poincaréestabelecendo relações entre os geradores SUSI e os geradores dastranslações no espaço-tempo é da forma:
Álgebra SUSI
{Qα, Q̄β̇} = 2σµαβ̇
Pµ
{Qα,Qβ} = {Q̄α̇, Q̄β̇} = 0
[Pµ,Qα] =[Pµ, Q̄α̇
]= 0
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Introdução
O que é Supersimetria?
O que é Supersimetria?
• A SUSI prevê que, para cada partícula (bóson ou férmion), deve haveruma outra partícula correspondente com a mesma massa e diferindo de12 no valor do spin (férmion ou bóson).
• Essas partículas são então chamadas de parceiras supersimétricas.
Exemplo
• O parceiro supersimétrico do fóton (bóson de spin 1 e massa de repouso nula),seria então um férmion de spin 1
2 com massa de repouso nula ao qualchamamos fotino.
• O parceiro supersimétrico do elétron (férmion de spin 12 e massa me), seria, por
sua vez, um bóson de spin zero com massa me ao qual chamamos s-elétron(scalar-electron).
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Introdução
O que é Supersimetria?
O que é Supersimetria?
• A SUSI prevê que, para cada partícula (bóson ou férmion), deve haveruma outra partícula correspondente com a mesma massa e diferindo de12 no valor do spin (férmion ou bóson).
• Essas partículas são então chamadas de parceiras supersimétricas.
Exemplo
• O parceiro supersimétrico do fóton (bóson de spin 1 e massa de repouso nula),seria então um férmion de spin 1
2 com massa de repouso nula ao qualchamamos fotino.
• O parceiro supersimétrico do elétron (férmion de spin 12 e massa me), seria, por
sua vez, um bóson de spin zero com massa me ao qual chamamos s-elétron(scalar-electron).
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Introdução
O que é Supersimetria?
O que é Supersimetria?
• A SUSI prevê que, para cada partícula (bóson ou férmion), deve haveruma outra partícula correspondente com a mesma massa e diferindo de12 no valor do spin (férmion ou bóson).
• Essas partículas são então chamadas de parceiras supersimétricas.
Exemplo
• O parceiro supersimétrico do fóton (bóson de spin 1 e massa de repouso nula),seria então um férmion de spin 1
2 com massa de repouso nula ao qualchamamos fotino.
• O parceiro supersimétrico do elétron (férmion de spin 12 e massa me), seria, por
sua vez, um bóson de spin zero com massa me ao qual chamamos s-elétron(scalar-electron).
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Introdução
O que é Supersimetria?
O que é Supersimetria?
• A SUSI prevê que, para cada partícula (bóson ou férmion), deve haveruma outra partícula correspondente com a mesma massa e diferindo de12 no valor do spin (férmion ou bóson).
• Essas partículas são então chamadas de parceiras supersimétricas.
Exemplo
• O parceiro supersimétrico do fóton (bóson de spin 1 e massa de repouso nula),seria então um férmion de spin 1
2 com massa de repouso nula ao qualchamamos fotino.
• O parceiro supersimétrico do elétron (férmion de spin 12 e massa me), seria, por
sua vez, um bóson de spin zero com massa me ao qual chamamos s-elétron(scalar-electron).
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Introdução
O que é Supersimetria?
O que é Supersimetria?
• Os parceiros supersimétricos das partículas do modelo padrão,contrariando a expectativa, jamais foram observados.
• Então, se a SUSI for uma simetria da natureza, ela deva ter sidoquebrada em algum momento.
• Daí vem o interesse em estudar a quebra da SUSI a medida que atemperatura do Universo diminuiu.
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Introdução
A SUSI no contexto da Mecânica Quântica
Introdução
• O que é Supersimetria?• A SUSI no contexto da Mecânica Quântica
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Introdução
A SUSI no contexto da Mecânica Quântica
Introdução
• O que é Supersimetria?• A SUSI no contexto da Mecânica Quântica
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Introdução
A SUSI no contexto da Mecânica Quântica
A SUSI no contexto da Mecânica Quântica
• No início da década de 80, Witten propôs, como um caminho para oentendimento da quebra da SUSI, a construção de um esquema emMecânica Quântica onde estavam presentes os principais ingredientesda SUSI.
• Esse esquema é o que chamamos de Mecânica QuânticaSupersimétrica (MQ SUSI).
• O interesse em estudar MQ SUSI é, desde então, justificado pelasimplicidade dessa formulação da SUSI em comparação com a original.
• Sendo mais simples esperamos que seu estudo forneça pistasrelevantes para o melhor entendimento da SUSI na TQC.
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Introdução
A SUSI no contexto da Mecânica Quântica
A SUSI no contexto da Mecânica Quântica
• A super-álgebra da MQ SUSI, devidamente adaptada, tem formaanáloga à da super-álgebra da SUSI original podendo ser escrita, porexemplo, como:
Álgebra MQ SUSI
{Q,Q†} = 2H
{Q,Q} = {Q†,Q†} = 0
[H,Q] =[H,Q†
]= 0
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Introdução
A SUSI no contexto da Mecânica Quântica
A SUSI no contexto da Mecânica Quântica
• Em comparação com a SUSI original, dizemos que a MQ SUSI relacionaestados respectivamente chamados “bosônicos” e “fermiônicos”.
• Essa nomenclatura não tem, entretanto, nada a ver com o spin departículas sendo inteiro ou semi-inteiro (o que caracterizaria a definiçãode bósons e férmions) e, na MQ SUSI, representa apenas umaanalogia.
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Mecânica Quântica Supersimétrica
Mecânica Quântica Supersimétrica
• Fatorização de Hamiltonianos• Osciladores Harmônicos e Supersimetria• Mecânica Quântica Supersimétrica• Invariância de Forma
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Mecânica Quântica Supersimétrica
Fatorização de Hamiltonianos
Mecânica Quântica Supersimétrica
• Fatorização de Hamiltonianos
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Mecânica Quântica Supersimétrica
Fatorização de Hamiltonianos
Mecânica Quântica Supersimétrica
• Fatorização de Hamiltonianos
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Mecânica Quântica Supersimétrica
Fatorização de Hamiltonianos
Fatorização do Hamiltoniano do OHS
• A fatorização do hamiltoniano do OHS consiste em escrevê-lo como umproduto de dois operadores de 1a ordem.
• O hamiltoniano do OHS, escolhendo ~ = 2m = ω = 1, é:
H = p2 + x2
• Podemos definir operadores a† e a como:
a† = (x− ip)
a = (x + ip)
• E, lembrando que [x, p] = i, podemos reescrever o hamiltoniano do OHSem termos de a† e a, a menos de uma constante, como:
H = a†a
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Mecânica Quântica Supersimétrica
Fatorização de Hamiltonianos
Fatorização de um Hamiltoniano Geral
• Da mesma forma que no caso do OHS, podemos tentar fatorizar umhamiltoniano geral procurando escrevê-lo como um produto deoperadores de 1a ordem.
• Seja um hamiltoniano H− dado por:
H− = p2 + V−(x)
• Podemos definir operadores A† e A como:
A† = (W(x)− ip)
A = (W(x) + ip)
• Se pudermos determinar uma função W(x) de tal forma que, a menosde uma constante, tenhamos:
H− = A†A
então dizemos que o hamiltoniano H− é fatorizável.
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Mecânica Quântica Supersimétrica
Fatorização de Hamiltonianos
Fatorização de um Hamiltoniano Geral
• Podemos definir também um hamiltoniano H+ como:
H+ = AA†
• Efetuando os produtos entre A† e A em termos de W(x) noshamiltonianos H− e H+, temos:
H± = p2 +(
W(x)2 ±W′(x))
• Assim, os potenciais V−(x) e V+(x) são dados pelo que chamamos de:
Equação de Riccati
V±(x) = W(x)2 ±W′(x)
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Mecânica Quântica Supersimétrica
Osciladores Harmônicos e Supersimetria
Mecânica Quântica Supersimétrica
• Fatorização de Hamiltonianos• Osciladores Harmônicos e Supersimetria
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Mecânica Quântica Supersimétrica
Osciladores Harmônicos e Supersimetria
Mecânica Quântica Supersimétrica
• Fatorização de Hamiltonianos• Osciladores Harmônicos e Supersimetria
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Mecânica Quântica Supersimétrica
Osciladores Harmônicos e Supersimetria
Oscilador Bosônico e Oscilador Fermiônico
Oscilador Bosônico
• Hamiltoniano: HB = 12
(a†a + aa†
)• Comutadores: [a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0
• Autoestados: a |0〉 = 0 , (a†)n√
n!|0〉 = |n〉
• Autovalores: EBn =
(n + 1
2
), n = 0, 1, 2, . . .
Oscilador Fermiônico
• Hamiltoniano: HF = 12
(b†b− bb†
)• Anti-Comutadores: {b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0• Autoestados: b |0〉 = 0 , b† |0〉 = |1〉• Autovalores: EF
m =(m− 1
2
), m = 0, 1.
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Mecânica Quântica Supersimétrica
Osciladores Harmônicos e Supersimetria
Oscilador Bosônico e Oscilador Fermiônico
Oscilador Bosônico
• Hamiltoniano: HB = 12
(a†a + aa†
)• Comutadores: [a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0
• Autoestados: a |0〉 = 0 , (a†)n√
n!|0〉 = |n〉
• Autovalores: EBn =
(n + 1
2
), n = 0, 1, 2, . . .
Oscilador Fermiônico
• Hamiltoniano: HF = 12
(b†b− bb†
)• Anti-Comutadores: {b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0• Autoestados: b |0〉 = 0 , b† |0〉 = |1〉• Autovalores: EF
m =(m− 1
2
), m = 0, 1.
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Mecânica Quântica Supersimétrica
Osciladores Harmônicos e Supersimetria
Oscilador Bosônico e Oscilador Fermiônico
Oscilador Bosônico
• Hamiltoniano: HB = 12
(a†a + aa†
)• Comutadores: [a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0
• Autoestados: a |0〉 = 0 , (a†)n√
n!|0〉 = |n〉
• Autovalores: EBn =
(n + 1
2
), n = 0, 1, 2, . . .
Oscilador Fermiônico
• Hamiltoniano: HF = 12
(b†b− bb†
)• Anti-Comutadores: {b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0• Autoestados: b |0〉 = 0 , b† |0〉 = |1〉• Autovalores: EF
m =(m− 1
2
), m = 0, 1.
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Mecânica Quântica Supersimétrica
Osciladores Harmônicos e Supersimetria
Oscilador Bosônico e Oscilador Fermiônico
Oscilador Bosônico
• Hamiltoniano: HB = 12
(a†a + aa†
)• Comutadores: [a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0
• Autoestados: a |0〉 = 0 , (a†)n√
n!|0〉 = |n〉
• Autovalores: EBn =
(n + 1
2
), n = 0, 1, 2, . . .
Oscilador Fermiônico
• Hamiltoniano: HF = 12
(b†b− bb†
)• Anti-Comutadores: {b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0• Autoestados: b |0〉 = 0 , b† |0〉 = |1〉• Autovalores: EF
m =(m− 1
2
), m = 0, 1.
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Mecânica Quântica Supersimétrica
Osciladores Harmônicos e Supersimetria
Oscilador Bosônico e Oscilador Fermiônico
Oscilador Bosônico
• Hamiltoniano: HB = 12
(a†a + aa†
)• Comutadores: [a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0
• Autoestados: a |0〉 = 0 , (a†)n√
n!|0〉 = |n〉
• Autovalores: EBn =
(n + 1
2
), n = 0, 1, 2, . . .
Oscilador Fermiônico
• Hamiltoniano: HF = 12
(b†b− bb†
)• Anti-Comutadores: {b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0• Autoestados: b |0〉 = 0 , b† |0〉 = |1〉• Autovalores: EF
m =(m− 1
2
), m = 0, 1.
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Osciladores Harmônicos e Supersimetria
Oscilador Bosônico e Oscilador Fermiônico
Oscilador Bosônico
• Hamiltoniano: HB = 12
(a†a + aa†
)• Comutadores: [a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0
• Autoestados: a |0〉 = 0 , (a†)n√
n!|0〉 = |n〉
• Autovalores: EBn =
(n + 1
2
), n = 0, 1, 2, . . .
Oscilador Fermiônico
• Hamiltoniano: HF = 12
(b†b− bb†
)• Anti-Comutadores: {b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0• Autoestados: b |0〉 = 0 , b† |0〉 = |1〉• Autovalores: EF
m =(m− 1
2
), m = 0, 1.
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Osciladores Harmônicos e Supersimetria
Oscilador Bosônico e Oscilador Fermiônico
Oscilador Bosônico
• Hamiltoniano: HB = 12
(a†a + aa†
)• Comutadores: [a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0
• Autoestados: a |0〉 = 0 , (a†)n√
n!|0〉 = |n〉
• Autovalores: EBn =
(n + 1
2
), n = 0, 1, 2, . . .
Oscilador Fermiônico
• Hamiltoniano: HF = 12
(b†b− bb†
)• Anti-Comutadores: {b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0• Autoestados: b |0〉 = 0 , b† |0〉 = |1〉• Autovalores: EF
m =(m− 1
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), m = 0, 1.
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Osciladores Harmônicos e Supersimetria
Oscilador Bosônico e Oscilador Fermiônico
Oscilador Bosônico
• Hamiltoniano: HB = 12
(a†a + aa†
)• Comutadores: [a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0
• Autoestados: a |0〉 = 0 , (a†)n√
n!|0〉 = |n〉
• Autovalores: EBn =
(n + 1
2
), n = 0, 1, 2, . . .
Oscilador Fermiônico
• Hamiltoniano: HF = 12
(b†b− bb†
)• Anti-Comutadores: {b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0• Autoestados: b |0〉 = 0 , b† |0〉 = |1〉• Autovalores: EF
m =(m− 1
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), m = 0, 1.
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Osciladores Harmônicos e Supersimetria
Oscilador Bosônico e Oscilador Fermiônico
Oscilador Bosônico
• Hamiltoniano: HB = 12
(a†a + aa†
)• Comutadores: [a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0
• Autoestados: a |0〉 = 0 , (a†)n√
n!|0〉 = |n〉
• Autovalores: EBn =
(n + 1
2
), n = 0, 1, 2, . . .
Oscilador Fermiônico
• Hamiltoniano: HF = 12
(b†b− bb†
)• Anti-Comutadores: {b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0• Autoestados: b |0〉 = 0 , b† |0〉 = |1〉• Autovalores: EF
m =(m− 1
2
), m = 0, 1.
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Osciladores Harmônicos e Supersimetria
Oscilador Bosônico e Oscilador Fermiônico
Oscilador Bosônico
• Hamiltoniano: HB = 12
(a†a + aa†
)• Comutadores: [a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0
• Autoestados: a |0〉 = 0 , (a†)n√
n!|0〉 = |n〉
• Autovalores: EBn =
(n + 1
2
), n = 0, 1, 2, . . .
Oscilador Fermiônico
• Hamiltoniano: HF = 12
(b†b− bb†
)• Anti-Comutadores: {b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0• Autoestados: b |0〉 = 0 , b† |0〉 = |1〉• Autovalores: EF
m =(m− 1
2
), m = 0, 1.
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Mecânica Quântica Supersimétrica
Osciladores Harmônicos e Supersimetria
Oscilador Supersimétrico
Oscilador SUSI• Hamiltoniano:
H = HB + HF =(
a†a + b†b)
• Comutadores e Anti-Comutadores:
[a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0
{b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0
• Autoestados:|n,m〉 = |n〉 ⊗ |m〉
• Autovalores:
En,m = (n + m) , n = 0, 1, 2, . . . , m = 0, 1.
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Mecânica Quântica Supersimétrica
Osciladores Harmônicos e Supersimetria
Oscilador Supersimétrico
Oscilador SUSI• Hamiltoniano:
H = HB + HF =(
a†a + b†b)
• Comutadores e Anti-Comutadores:
[a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0
{b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0
• Autoestados:|n,m〉 = |n〉 ⊗ |m〉
• Autovalores:
En,m = (n + m) , n = 0, 1, 2, . . . , m = 0, 1.
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Mecânica Quântica Supersimétrica
Osciladores Harmônicos e Supersimetria
Oscilador Supersimétrico
Oscilador SUSI• Hamiltoniano:
H = HB + HF =(
a†a + b†b)
• Comutadores e Anti-Comutadores:
[a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0
{b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0
• Autoestados:|n,m〉 = |n〉 ⊗ |m〉
• Autovalores:
En,m = (n + m) , n = 0, 1, 2, . . . , m = 0, 1.
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Mecânica Quântica Supersimétrica
Osciladores Harmônicos e Supersimetria
Oscilador Supersimétrico
Oscilador SUSI• Hamiltoniano:
H = HB + HF =(
a†a + b†b)
• Comutadores e Anti-Comutadores:
[a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0
{b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0
• Autoestados:|n,m〉 = |n〉 ⊗ |m〉
• Autovalores:
En,m = (n + m) , n = 0, 1, 2, . . . , m = 0, 1.
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Mecânica Quântica Supersimétrica
Osciladores Harmônicos e Supersimetria
Oscilador Supersimétrico
Oscilador SUSI• Hamiltoniano:
H = HB + HF =(
a†a + b†b)
• Comutadores e Anti-Comutadores:
[a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0
{b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0
• Autoestados:|n,m〉 = |n〉 ⊗ |m〉
• Autovalores:
En,m = (n + m) , n = 0, 1, 2, . . . , m = 0, 1.
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Osciladores Harmônicos e Supersimetria
Oscilador Supersimétrico
Oscilador SUSI• Hamiltoniano:
H = HB + HF =(
a†a + b†b)
• Comutadores e Anti-Comutadores:
[a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0
{b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0
• Autoestados:|n,m〉 = |n〉 ⊗ |m〉
• Autovalores:
En,m = (n + m) , n = 0, 1, 2, . . . , m = 0, 1.
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Mecânica Quântica Supersimétrica
Osciladores Harmônicos e Supersimetria
Oscilador Supersimétrico
• Sendo:En,m = (n + m) , n = 0, 1, 2, . . . , m = 0, 1.
temos:• Um estado fundamental |0, 0〉 com energia zero, que ocorre para n = m = 0• Todos os outros estados duplamente degenerados pois, para n > 0,
podemos ter m = 0 ou m = 1, de modo que os estados |n, 0〉 e |n− 1, 1〉 têmambos a mesma energia n
• Como veremos a seguir, essas são as características de um sistemaque manifesta SUSI na Mecânica Quântica.
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Mecânica Quântica Supersimétrica
Osciladores Harmônicos e Supersimetria
Oscilador Supersimétrico
Geradores SUSI para o Oscilador Supersimétrico
Q = a†b Q† = b†a
• Os operadores Q e Q† definidos acima são produtos dos operadores decriação e destruição bosônicos e fermiônicos, a, a†, b e b†
• Utilizando as relações de comutação e anti-comutação já dadas paraesses operadores, podemos mostrar que vale:
Álgebra MQ SUSI
{Q,Q†} = 2H
{Q,Q} = {Q†,Q†} = 0
[H,Q] =[H,Q†
]= 0
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Mecânica Quântica Supersimétrica
Osciladores Harmônicos e Supersimetria
Oscilador Supersimétrico
• Em termos de Q e Q†, podemos mostrar que, exceto pelo estadofundamental |0, 0〉, todos os autoestados de H satisfazem:
Q |n,m〉 = δm,1√
n + 1 |n + 1,m− 1〉
Q† |n,m〉 = δm,0√
n |n− 1,m + 1〉
}Enm = (n + m) (1)
• Ou seja, os estados Q |n,m〉 e Q† |n,m〉 são degenerados, tendo ambosenergia En,m = (n + m)
• Essa é outra forma de ver a manifestação da SUSI nesse sistema
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Mecânica Quântica Supersimétrica
Mecânica Quântica Supersimétrica
Mecânica Quântica Supersimétrica
• Fatorização de Hamiltonianos• Osciladores Harmônicos e Supersimetria• Mecânica Quântica Supersimétrica
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Mecânica Quântica Supersimétrica
Mecânica Quântica Supersimétrica
Mecânica Quântica Supersimétrica
• Fatorização de Hamiltonianos• Osciladores Harmônicos e Supersimetria• Mecânica Quântica Supersimétrica
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Mecânica Quântica Supersimétrica
Generalização do Oscilador SUSI
• A MQ SUSI pode ser entendida por meio de uma generalização domodelo do oscilador supersimétrico
Q = a†b −→ Q = A†θ
Q† = b†a −→ Q† = θ†A
• A† e A são os mesmos da fatorização de hamiltonianos, ou seja:
A† = (W(x)− ip) A = (W(x) + ip)
• θ† e θ são elementos grassmanianos satisfazendo as mesmas relaçõesde anti-comutação que b† e b. Uma possível realização para θ† e θ é:
θ† =
(0 01 0
)θ =
(0 10 0
)
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Mecânica Quântica Supersimétrica
Mecânica Quântica Supersimétrica
Super-hamiltoniano
• O hamiltoniano SUSI ou super-hamiltoniano (análogo do hamiltonianodo oscilador supersimétrico) pode ser construído a partir dasuper-álgebra por meio da relação:
H = {Q,Q†}
• Substituindo Q = A†θ e Q† = θ†A, temos:
H =
(A†A 0
0 AA†
)=
(H− 00 H+
)• Podemos verificar ainda que esse super-hamiltoniano H e os geradores
Q e Q† satisfazem também as demais relações de comutação eanti-comutação da super-álgebra
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Mecânica Quântica Supersimétrica
Mecânica Quântica Supersimétrica
Autovalores e Autoestados de H
• Os autoestados de H são definidos na forma de matrizes coluna de 2elementos (um sendo autoestado de H− e o outro sendo autoestado deH+)
• Podemos mostrar que os autoestados de H, assim como no caso dooscilador supersimétrico, são tais que temos:
• Um estado fundamental Ψ0 =
(ψ−0
0
)com energia zero
• Todos os outros estados duplamente degenerados, de modo que
Q†Ψn =
(0
Aψ−n
)e QΨn =
(A†ψ+
n−10
)são autoestados de H com a mesma
energia
• A matriz Ψn acima é dada por:
Ψn =
(ψ−nψ+
n−1
)
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Mecânica Quântica Supersimétrica
Mecânica Quântica Supersimétrica
Parceiros Supersimétricos
• Os autoestados de H são:
Ψ0 =
(ψ−00
), Q†Ψn =
(0
Aψ−n
)e QΨn =
(A†ψ+
n−10
)• Os componentes não nulos dessas matrizes são:
• ψ−0 , que é o estado fundamental de energia zero de H− e;• Aψ−n e A†ψ+
n−1 que são, respectivamente, autoestados de H+ e H− comenergia E−n = E+
n−1.
• Com isso, podemos abrir mão da notação matricial e passamos a nosreferir separadamente aos hamiltonianos H− e H+
Parceiros Supersimétricos
• Os hamiltonianos H− e H+ são chamados de hamiltonianos parceirossupersimétricos
• Os potenciais desses hamiltonianos são chamados de potenciais parceirossupersimétricos e se relacionam com o superpotencial W(x) por meio daequação de Riccati
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Mecânica Quântica Supersimétrica
Mecânica Quântica Supersimétrica
Parceiros Supersimétricos
• Dizemos então que temos dois hamiltonianos parceiros, H− e H+, comautovalores e autoestados relacionados por:
E−0 = 0
E+n−1 = E−n
ψ+n−1 =
(E−n)−1/2
Aψ−n
ψ−n =(E+
n−1
)−1/2A†ψ+
n−1
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Parceiros Supersimétricos
• Podemos esquematizar a relação entre os níveis de energia e entre osestados como:
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Mecânica Quântica Supersimétrica
Parceiros Supersimétricos
Exemplo (Poço Quadrado Infinito)
• Vamos considerar o exemplo do Poço Quadrado Infinito deslocado de tal formaque tenha energia do estado fundamental zero, ou seja, o potencial dentro dopoço (0 ≤ x ≤ L), é:
V−(x) = −π2
L2
• As soluções são:
ψ−n (x) =
(2L
)1/2
sen(
(n + 1)πxL
)e E−n =
π2
L2n(n + 2)
• O hamiltoniano H− é fatorizável e o superpotencial é: W(x)− πL cot
(πxL
)• Com isso determinamos o potencial parceiro SUSI:
V+(x) = W(x)2 + W′(x) = −π2
L2+ 2
π2
L2cosec2
(πxL
)• As energias de H+ são simplesmente E+
n = E−n−1
• E usando os operadores A e A† podemos obter facilmente as autofunções de H+
(mais complicado) a partir das de H− (mais simples)31 / 73
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Parceiros Supersimétricos
Exemplo (Poço Quadrado Infinito)
• Vamos considerar o exemplo do Poço Quadrado Infinito deslocado de tal formaque tenha energia do estado fundamental zero, ou seja, o potencial dentro dopoço (0 ≤ x ≤ L), é:
V−(x) = −π2
L2
• As soluções são:
ψ−n (x) =
(2L
)1/2
sen(
(n + 1)πxL
)e E−n =
π2
L2n(n + 2)
• O hamiltoniano H− é fatorizável e o superpotencial é: W(x)− πL cot
(πxL
)• Com isso determinamos o potencial parceiro SUSI:
V+(x) = W(x)2 + W′(x) = −π2
L2+ 2
π2
L2cosec2
(πxL
)• As energias de H+ são simplesmente E+
n = E−n−1
• E usando os operadores A e A† podemos obter facilmente as autofunções de H+
(mais complicado) a partir das de H− (mais simples)31 / 73
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Parceiros Supersimétricos
Exemplo (Poço Quadrado Infinito)
• Vamos considerar o exemplo do Poço Quadrado Infinito deslocado de tal formaque tenha energia do estado fundamental zero, ou seja, o potencial dentro dopoço (0 ≤ x ≤ L), é:
V−(x) = −π2
L2
• As soluções são:
ψ−n (x) =
(2L
)1/2
sen(
(n + 1)πxL
)e E−n =
π2
L2n(n + 2)
• O hamiltoniano H− é fatorizável e o superpotencial é: W(x)− πL cot
(πxL
)• Com isso determinamos o potencial parceiro SUSI:
V+(x) = W(x)2 + W′(x) = −π2
L2+ 2
π2
L2cosec2
(πxL
)• As energias de H+ são simplesmente E+
n = E−n−1
• E usando os operadores A e A† podemos obter facilmente as autofunções de H+
(mais complicado) a partir das de H− (mais simples)31 / 73
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Exemplo (Poço Quadrado Infinito)
• Vamos considerar o exemplo do Poço Quadrado Infinito deslocado de tal formaque tenha energia do estado fundamental zero, ou seja, o potencial dentro dopoço (0 ≤ x ≤ L), é:
V−(x) = −π2
L2
• As soluções são:
ψ−n (x) =
(2L
)1/2
sen(
(n + 1)πxL
)e E−n =
π2
L2n(n + 2)
• O hamiltoniano H− é fatorizável e o superpotencial é: W(x)− πL cot
(πxL
)• Com isso determinamos o potencial parceiro SUSI:
V+(x) = W(x)2 + W′(x) = −π2
L2+ 2
π2
L2cosec2
(πxL
)• As energias de H+ são simplesmente E+
n = E−n−1
• E usando os operadores A e A† podemos obter facilmente as autofunções de H+
(mais complicado) a partir das de H− (mais simples)31 / 73
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Exemplo (Poço Quadrado Infinito)
• Vamos considerar o exemplo do Poço Quadrado Infinito deslocado de tal formaque tenha energia do estado fundamental zero, ou seja, o potencial dentro dopoço (0 ≤ x ≤ L), é:
V−(x) = −π2
L2
• As soluções são:
ψ−n (x) =
(2L
)1/2
sen(
(n + 1)πxL
)e E−n =
π2
L2n(n + 2)
• O hamiltoniano H− é fatorizável e o superpotencial é: W(x)− πL cot
(πxL
)• Com isso determinamos o potencial parceiro SUSI:
V+(x) = W(x)2 + W′(x) = −π2
L2+ 2
π2
L2cosec2
(πxL
)• As energias de H+ são simplesmente E+
n = E−n−1
• E usando os operadores A e A† podemos obter facilmente as autofunções de H+
(mais complicado) a partir das de H− (mais simples)31 / 73
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Exemplo (Poço Quadrado Infinito)
• Vamos considerar o exemplo do Poço Quadrado Infinito deslocado de tal formaque tenha energia do estado fundamental zero, ou seja, o potencial dentro dopoço (0 ≤ x ≤ L), é:
V−(x) = −π2
L2
• As soluções são:
ψ−n (x) =
(2L
)1/2
sen(
(n + 1)πxL
)e E−n =
π2
L2n(n + 2)
• O hamiltoniano H− é fatorizável e o superpotencial é: W(x)− πL cot
(πxL
)• Com isso determinamos o potencial parceiro SUSI:
V+(x) = W(x)2 + W′(x) = −π2
L2+ 2
π2
L2cosec2
(πxL
)• As energias de H+ são simplesmente E+
n = E−n−1
• E usando os operadores A e A† podemos obter facilmente as autofunções de H+
(mais complicado) a partir das de H− (mais simples)31 / 73
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Exemplo (Poço Quadrado Infinito)
• Vamos considerar o exemplo do Poço Quadrado Infinito deslocado de tal formaque tenha energia do estado fundamental zero, ou seja, o potencial dentro dopoço (0 ≤ x ≤ L), é:
V−(x) = −π2
L2
• As soluções são:
ψ−n (x) =
(2L
)1/2
sen(
(n + 1)πxL
)e E−n =
π2
L2n(n + 2)
• O hamiltoniano H− é fatorizável e o superpotencial é: W(x)− πL cot
(πxL
)• Com isso determinamos o potencial parceiro SUSI:
V+(x) = W(x)2 + W′(x) = −π2
L2+ 2
π2
L2cosec2
(πxL
)• As energias de H+ são simplesmente E+
n = E−n−1
• E usando os operadores A e A† podemos obter facilmente as autofunções de H+
(mais complicado) a partir das de H− (mais simples)31 / 73
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Exemplo (Poço Quadrado Infinito)
• Podemos esquematizar os potenciais V−(x) e V+ entre 0 e L como segue:
0 1x
1
4
9
V-HxL = 0
0 1x
1
4
9
V+HxL = 2 cosec2HxL
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Mecânica Quântica Supersimétrica
Quebra da SUSI
• Seja H− = A†A um hamiltoniano fatorizável com superpotencial W(x)
• Para que a SUSI se manifeste, H− deve ter um estado fundamental deenergia zero, isto é, devemos ter:
H−ψ−0 (x) = 0
• Uma maneira de conseguir isso é impondo que Aψ−0 (x) = 0 e, assim:
Aψ−0 (x) = (W(x) + ip)ψ−0 (x) =
(W(x) +
ddx
)ψ−0 (x) = 0
⇒ ddxψ−0 (x) = −W(x)ψ−0 (x)
• E, portanto:
ψ−0 (x) = N exp(−∫ x
W(y)dy)
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Mecânica Quântica Supersimétrica
Quebra da SUSI
• Caso não seja possível determinar um estado fundamental normalizávelna forma acima, dizemos que a SUSI é quebrada e, nesse caso, temos:
E+n = E−n , n = 0, 1, 2, . . .
ψ+n =
(E−n)−1/2
Aψ−n
ψ−n =(E+
n)−1/2
A†ψ+n
• Podemos mostrar que, para que a SUSI se manifeste, devemos tersuperpotenciais com sinais opostos para x→ +∞ e x→ −∞
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Mecânica Quântica Supersimétrica
Mecânica Quântica Supersimétrica
Hierarquia de Hamiltonianos
• Consideramos um conjunto de hamiltonianos Hn, n = 1, 2, 3, . . .• Esses hamiltonianos tem estados fundamentais ψn
0(x) com energias En0
• Vamos supor que seja possível fatorizar esses hamiltonianos comoHn − En
0 = A†n An, o que significa que podemos encontrar superpotenciaissatisfazendo equações de Riccati do tipo:
Vn − En0 = Wn(x)2 −W′n(x)
• Vamos supor também que possamos escrever os estados fundamentaisψn
0(x) como:
ψn0(x) = Nn exp
(−∫ x
Wn(y)dy)
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Mecânica Quântica Supersimétrica
Mecânica Quântica Supersimétrica
Hierarquia de Hamiltonianos
• Podemos mostrar que esses hamiltonianos são parceiros SUSI 2 a 2 econstruir uma sequência de modo que:
En
0
En
1
En
k
En
5
En
4
En
3
En
2
En+1
0
En+1
1
En+1
3
E4
n+1
Ek−1
n+1
En+1
2
En+2
0
En+2
1
En+2
2
E3
n+2
Ek−2
n+2
En+3
0
En+3
1
En+3
2
Ek−3
n+3
nH n+1H n+2H n+3H
• Essa sequência é o que chamamos de hierarquia de hamiltonianos
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Mecânica Quântica Supersimétrica
Invariância de Forma
Mecânica Quântica Supersimétrica
• Fatorização de Hamiltonianos• Osciladores Harmônicos e Supersimetria• Mecânica Quântica Supersimétrica• Invariância de Forma
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Mecânica Quântica Supersimétrica
Invariância de Forma
Mecânica Quântica Supersimétrica
• Fatorização de Hamiltonianos• Osciladores Harmônicos e Supersimetria• Mecânica Quântica Supersimétrica• Invariância de Forma
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Invariância de Forma
Potenciais Invariantes de Forma
• Vamos considerar um par de potenciais Vn e Vn+1 dependendo deparâmetros an e an+1, respectivamente
• Sendo an ≡ an(an+1), temos:
Condição de Invariância de Forma
Vn+1(x; an+1) = Vn(x; an(an+1)) + R(an+1)
• Vn e Vn+1 são chamados de potenciais invariantes de forma• A invariância de forma, juntamente com a hierarquia de hamiltonianos
desempenha um papel importante na determinação de soluções em MQSUSI
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Mecânica Quântica Supersimétrica
Invariância de Forma
Invariância de Forma e a Hierarquia de Hamiltonianos
• Podemos pensar novamente no OHS para exemplificar o caso de umahierarquia de hamiltonianos cujos potenciais são invariantes de forma
Exemplo
Hn = HOHS + nEOHS0 , n = 0, 1, 2, . . .
• Os hamiltonianos Hn formam uma hierarquia de hamiltonianos
• Os potenciais desses hamiltonianos são invariantes de forma (Vn+1 = Vn + R)com R = EOHS
0
• O interesse em estudar a invariância de forma juntamente com ahierarquia de hamiltonianos é encontrar um método de resolução deproblemas em MQ análogo ao método algébrico do OHS
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Invariância de Forma
Invariância de Forma e a Hierarquia de Hamiltonianos
• Podemos pensar novamente no OHS para exemplificar o caso de umahierarquia de hamiltonianos cujos potenciais são invariantes de forma
Exemplo
Hn = HOHS + nEOHS0 , n = 0, 1, 2, . . .
• Os hamiltonianos Hn formam uma hierarquia de hamiltonianos
• Os potenciais desses hamiltonianos são invariantes de forma (Vn+1 = Vn + R)com R = EOHS
0
• O interesse em estudar a invariância de forma juntamente com ahierarquia de hamiltonianos é encontrar um método de resolução deproblemas em MQ análogo ao método algébrico do OHS
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Invariância de Forma
Invariância de Forma e a Hierarquia de Hamiltonianos
• Podemos pensar novamente no OHS para exemplificar o caso de umahierarquia de hamiltonianos cujos potenciais são invariantes de forma
Exemplo
Hn = HOHS + nEOHS0 , n = 0, 1, 2, . . .
• Os hamiltonianos Hn formam uma hierarquia de hamiltonianos
• Os potenciais desses hamiltonianos são invariantes de forma (Vn+1 = Vn + R)com R = EOHS
0
• O interesse em estudar a invariância de forma juntamente com ahierarquia de hamiltonianos é encontrar um método de resolução deproblemas em MQ análogo ao método algébrico do OHS
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Invariância de Forma
Invariância de Forma e a Hierarquia de Hamiltonianos
• Podemos pensar novamente no OHS para exemplificar o caso de umahierarquia de hamiltonianos cujos potenciais são invariantes de forma
Exemplo
Hn = HOHS + nEOHS0 , n = 0, 1, 2, . . .
• Os hamiltonianos Hn formam uma hierarquia de hamiltonianos
• Os potenciais desses hamiltonianos são invariantes de forma (Vn+1 = Vn + R)com R = EOHS
0
• O interesse em estudar a invariância de forma juntamente com ahierarquia de hamiltonianos é encontrar um método de resolução deproblemas em MQ análogo ao método algébrico do OHS
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Invariância de Forma
Invariância de Forma e a Hierarquia de Hamiltonianos
• Podemos pensar novamente no OHS para exemplificar o caso de umahierarquia de hamiltonianos cujos potenciais são invariantes de forma
Exemplo
Hn = HOHS + nEOHS0 , n = 0, 1, 2, . . .
• Os hamiltonianos Hn formam uma hierarquia de hamiltonianos
• Os potenciais desses hamiltonianos são invariantes de forma (Vn+1 = Vn + R)com R = EOHS
0
• O interesse em estudar a invariância de forma juntamente com ahierarquia de hamiltonianos é encontrar um método de resolução deproblemas em MQ análogo ao método algébrico do OHS
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Invariância de Forma
Invariância de Forma e a Hierarquia de Hamiltonianos
• De fato, para uma hierarquia de hamiltonianos cujos potenciais sãoinvariantes de forma, podemos mostrar que vale:
En+j0 =
n+j−1∑k=n
R(ak+1)
• Como para a hierarquia vale Enj = En+j
0 (j ≥ 1) e considerando ainvariância de forma, temos:
Autovalores e autofunções de Hn
• Autovalores:
En0(an) = 0 e En
j (an) =
n+j−1∑k=n
R(ak+1)
• Autofunções:
ψnj =
j∏l=1
(En+l
2j−l − En+l0
)−1/2A†n+l−1
ψn0
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Mecânica Quântica Supersimétrica
Invariância de Forma
Invariância de Forma e a Hierarquia de Hamiltonianos
Exemplo (Problema Radial do Átomo de Hidrogênio)
• O método descrito acima pode ser usado para construir uma hierarquia dehamiltonianos com potenciais invariantes de forma a partir do potencial radial:
Vr(r) = −e2
r+
l(l + 1)
r2
• Para esse problema encontramos autovalores dados por:
Ej+l+1 = −1
a2(j + l + 1)2, j, l = 0, 1, 2, . . .
• E as autofunções são:
ψ1j,l(r) =
j∏q=1
(E1+q
2j−q − E1+q0
)−1/2A†q,l
ψ10,l+j(r)
• Definindo ψ1j,l(r) ≡ uj+l+1,l(r) e n ≡ j + l + 1, os autovalores são os níveis de
energia En = −κ2
n2 associados às funções radiais un,l(r)
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Invariância de Forma
Invariância de Forma e a Hierarquia de Hamiltonianos
Exemplo (Problema Radial do Átomo de Hidrogênio)
• O método descrito acima pode ser usado para construir uma hierarquia dehamiltonianos com potenciais invariantes de forma a partir do potencial radial:
Vr(r) = −e2
r+
l(l + 1)
r2
• Para esse problema encontramos autovalores dados por:
Ej+l+1 = −1
a2(j + l + 1)2, j, l = 0, 1, 2, . . .
• E as autofunções são:
ψ1j,l(r) =
j∏q=1
(E1+q
2j−q − E1+q0
)−1/2A†q,l
ψ10,l+j(r)
• Definindo ψ1j,l(r) ≡ uj+l+1,l(r) e n ≡ j + l + 1, os autovalores são os níveis de
energia En = −κ2
n2 associados às funções radiais un,l(r)
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Invariância de Forma
Invariância de Forma e a Hierarquia de Hamiltonianos
Exemplo (Problema Radial do Átomo de Hidrogênio)
• O método descrito acima pode ser usado para construir uma hierarquia dehamiltonianos com potenciais invariantes de forma a partir do potencial radial:
Vr(r) = −e2
r+
l(l + 1)
r2
• Para esse problema encontramos autovalores dados por:
Ej+l+1 = −1
a2(j + l + 1)2, j, l = 0, 1, 2, . . .
• E as autofunções são:
ψ1j,l(r) =
j∏q=1
(E1+q
2j−q − E1+q0
)−1/2A†q,l
ψ10,l+j(r)
• Definindo ψ1j,l(r) ≡ uj+l+1,l(r) e n ≡ j + l + 1, os autovalores são os níveis de
energia En = −κ2
n2 associados às funções radiais un,l(r)
41 / 73
Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Mecânica Quântica Supersimétrica
Invariância de Forma
Invariância de Forma e a Hierarquia de Hamiltonianos
Exemplo (Problema Radial do Átomo de Hidrogênio)
• O método descrito acima pode ser usado para construir uma hierarquia dehamiltonianos com potenciais invariantes de forma a partir do potencial radial:
Vr(r) = −e2
r+
l(l + 1)
r2
• Para esse problema encontramos autovalores dados por:
Ej+l+1 = −1
a2(j + l + 1)2, j, l = 0, 1, 2, . . .
• E as autofunções são:
ψ1j,l(r) =
j∏q=1
(E1+q
2j−q − E1+q0
)−1/2A†q,l
ψ10,l+j(r)
• Definindo ψ1j,l(r) ≡ uj+l+1,l(r) e n ≡ j + l + 1, os autovalores são os níveis de
energia En = −κ2
n2 associados às funções radiais un,l(r)
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Mecânica Quântica Supersimétrica
Invariância de Forma
Invariância de Forma e a Hierarquia de Hamiltonianos
Exemplo (Problema Radial do Átomo de Hidrogênio)
• O método descrito acima pode ser usado para construir uma hierarquia dehamiltonianos com potenciais invariantes de forma a partir do potencial radial:
Vr(r) = −e2
r+
l(l + 1)
r2
• Para esse problema encontramos autovalores dados por:
Ej+l+1 = −1
a2(j + l + 1)2, j, l = 0, 1, 2, . . .
• E as autofunções são:
ψ1j,l(r) =
j∏q=1
(E1+q
2j−q − E1+q0
)−1/2A†q,l
ψ10,l+j(r)
• Definindo ψ1j,l(r) ≡ uj+l+1,l(r) e n ≡ j + l + 1, os autovalores são os níveis de
energia En = −κ2
n2 associados às funções radiais un,l(r)
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Mecânica Quântica Supersimétrica
Invariância de Forma
Invariância de Forma e a Hierarquia de Hamiltonianos
Exemplo (Problema Radial do Átomo de Hidrogênio)
• O método descrito acima pode ser usado para construir uma hierarquia dehamiltonianos com potenciais invariantes de forma a partir do potencial radial:
Vr(r) = −e2
r+
l(l + 1)
r2
• Para esse problema encontramos autovalores dados por:
Ej+l+1 = −1
a2(j + l + 1)2, j, l = 0, 1, 2, . . .
• E as autofunções são:
ψ1j,l(r) =
j∏q=1
(E1+q
2j−q − E1+q0
)−1/2A†q,l
ψ10,l+j(r)
• Definindo ψ1j,l(r) ≡ uj+l+1,l(r) e n ≡ j + l + 1, os autovalores são os níveis de
energia En = −κ2
n2 associados às funções radiais un,l(r)
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Aplicações
• Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1
• Superpotencial W(x) = gε(x)• Superpotencial W(x) = gε(x)x2
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1
Aplicações
• Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1
Aplicações
• Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1
43 / 73
Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1
Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1
• Vamos considerar o caso de superpotenciais do tipo:
W(x) = gx2n+1
• Utilizando a equação de Riccati, encontramos potenciais dados por:
V±(x) = W(x)2 ±W′(x) = g2x4n+2 ± g(2n + 1)x2n
Exemplo (Caso n = 0)
• O caso mais simples para superpotenciais desse tipo ocorre para n = 0,o que resulta em 2 potenciais de OHS deslocados:
V±(x) = g2x2 ± 1
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1
Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1
• Vamos considerar o caso de superpotenciais do tipo:
W(x) = gx2n+1
• Utilizando a equação de Riccati, encontramos potenciais dados por:
V±(x) = W(x)2 ±W′(x) = g2x4n+2 ± g(2n + 1)x2n
Exemplo (Caso n = 0)
• O caso mais simples para superpotenciais desse tipo ocorre para n = 0,o que resulta em 2 potenciais de OHS deslocados:
V±(x) = g2x2 ± 1
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1
Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1
• Vamos considerar o caso de superpotenciais do tipo:
W(x) = gx2n+1
• Utilizando a equação de Riccati, encontramos potenciais dados por:
V±(x) = W(x)2 ±W′(x) = g2x4n+2 ± g(2n + 1)x2n
Exemplo (Caso n = 0)
• O caso mais simples para superpotenciais desse tipo ocorre para n = 0,o que resulta em 2 potenciais de OHS deslocados:
V±(x) = g2x2 ± 1
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1
Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1
• Voltando ao caso mais geral, n = 0, 1, 2, . . ., o estado fundamental deenergia zero de H− é dado por:
ψ−0 (x) = N exp(−∫ x
dyW(y)
)= N exp
(− g(x2)n+1
2(n + 1)
)• Para os valores de n considerados, as funções do tipo acima são
sempre normalizáveis, sendo o seu fator de normalização N dado por:
N =
(g(n + 1)2n+1
Γ (1/2(n+1))2(n+1)
)1/4(n+1)
• Os superpotenciais W(x) = gx2n+1 obedecem à regra W(x) ≶ 0 parax ≶ 0
• Esse pode ser considerado um caso típico simples em que a SUSI semanifesta
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1
Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n
• No caso dos superpotenciais do tipo W(x) = gx2n+1, que são monômioscom potências ímpares de x, a SUSI se manifesta
• Porém, no caso dos superpotenciais do tipo W(x) = gx2n, que sãomonômios com potências pares de x, a SUSI é quebrada
• Passamos então a estudar superpotenciais da forma:
W(x) = gε(x)x2n
• Para esses superpotenciais veremos os casos n = 0 e n = 1
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)
Aplicações
• Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1
• Superpotencial W(x) = gε(x)
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)
Aplicações
• Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1
• Superpotencial W(x) = gε(x)
47 / 73
Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)
Superpotencial W(x) = gε(x)
• Vamos considerar o superpotencial:
W(x) = gε(x)
• Os potenciais parceiros correspondentes são:
V∓(x) = W(x)2 ∓W′(x) = g2 ∓ 2gδ(x)
• V− é um poço delta de Dirac• V+ é uma barreira delta de Dirac
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)
Superpotencial W(x) = gε(x)
• Os potenciais V− e V+ podem ser vistos na figura:
• V− é um poço delta de Dirac• V+ é uma barreira delta de Dirac
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)
Superpotencial W(x) = gε(x)
• O problema do poço delta tem um estado fundamental ligado dado por:
ψ−0 =√
ge−g|x| , E−0 = 0
• Os demais estados são estados de espalhamento com energias E− > 0• O problema da barreira delta não tem nenhum estado ligado, mas tem
estados de espalhamento com energias E+ > 0• Os estados de espalhamento ψ− e ψ+ podem ser convertidos uns nos
outros por meio da aplicação de operadores A e A†
Conclusão
• Isso corresponde à manifestação da SUSI nesse sistema:• Um estado fundamental de energia zero• Todos os demais estados 2 a 2 com a mesma energia e relacionados uns
com os outros por meio da aplicação de operadores A e A†
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)
Superpotencial W(x) = gε(x)
• O problema do poço delta tem um estado fundamental ligado dado por:
ψ−0 =√
ge−g|x| , E−0 = 0
• Os demais estados são estados de espalhamento com energias E− > 0• O problema da barreira delta não tem nenhum estado ligado, mas tem
estados de espalhamento com energias E+ > 0• Os estados de espalhamento ψ− e ψ+ podem ser convertidos uns nos
outros por meio da aplicação de operadores A e A†
Conclusão
• Isso corresponde à manifestação da SUSI nesse sistema:• Um estado fundamental de energia zero• Todos os demais estados 2 a 2 com a mesma energia e relacionados uns
com os outros por meio da aplicação de operadores A e A†
50 / 73
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Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)
Superpotencial W(x) = gε(x)
• O problema do poço delta tem um estado fundamental ligado dado por:
ψ−0 =√
ge−g|x| , E−0 = 0
• Os demais estados são estados de espalhamento com energias E− > 0• O problema da barreira delta não tem nenhum estado ligado, mas tem
estados de espalhamento com energias E+ > 0• Os estados de espalhamento ψ− e ψ+ podem ser convertidos uns nos
outros por meio da aplicação de operadores A e A†
Conclusão
• Isso corresponde à manifestação da SUSI nesse sistema:• Um estado fundamental de energia zero• Todos os demais estados 2 a 2 com a mesma energia e relacionados uns
com os outros por meio da aplicação de operadores A e A†
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Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)
Superpotencial W(x) = gε(x)
• O problema do poço delta tem um estado fundamental ligado dado por:
ψ−0 =√
ge−g|x| , E−0 = 0
• Os demais estados são estados de espalhamento com energias E− > 0• O problema da barreira delta não tem nenhum estado ligado, mas tem
estados de espalhamento com energias E+ > 0• Os estados de espalhamento ψ− e ψ+ podem ser convertidos uns nos
outros por meio da aplicação de operadores A e A†
Conclusão
• Isso corresponde à manifestação da SUSI nesse sistema:• Um estado fundamental de energia zero• Todos os demais estados 2 a 2 com a mesma energia e relacionados uns
com os outros por meio da aplicação de operadores A e A†
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Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)
Superpotencial W(x) = gε(x)
• O problema do poço delta tem um estado fundamental ligado dado por:
ψ−0 =√
ge−g|x| , E−0 = 0
• Os demais estados são estados de espalhamento com energias E− > 0• O problema da barreira delta não tem nenhum estado ligado, mas tem
estados de espalhamento com energias E+ > 0• Os estados de espalhamento ψ− e ψ+ podem ser convertidos uns nos
outros por meio da aplicação de operadores A e A†
Conclusão
• Isso corresponde à manifestação da SUSI nesse sistema:• Um estado fundamental de energia zero• Todos os demais estados 2 a 2 com a mesma energia e relacionados uns
com os outros por meio da aplicação de operadores A e A†
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Aplicações
• Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1
• Superpotencial W(x) = gε(x)• Superpotencial W(x) = gε(x)x2
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Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Aplicações
• Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1
• Superpotencial W(x) = gε(x)• Superpotencial W(x) = gε(x)x2
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
• Vamos considerar agora o superpotencial:
W(x) = gε(x)x2
• Os potenciais parceiros correspondentes são:
V∓(x) = W(x)2 ∓W′(x) = g2x4 ∓ 2g|x|
• V− e V+ são potenciais de osciladores anarmônicos.
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Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
• Os potenciais V− e V+ podem ser vistos na figura:
• V− e V+ são potenciais de osciladores anarmônicos.
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Analíticas da Equação de Schrödinger
• Vamos tentar resolver analiticamente a equação de Schrödinger para opotencial V− 1:
−ψ′′(x) +(
g2x4 − 2g|x|)ψ(x) = Eψ(x)
• Podemos facilmente encontrar uma solução para E = 0, ou seja, oestado fundamental de energia zero de H−
• Essa solução (que é normalizável) é:
ψ0(x) = N e−g|x|3/3
1Os índices “−” foram omitidos para não carregar demais a notação.54 / 73
Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Analíticas da Equação de Schrödinger
• Para tentar encontrar as demais autofunções, podemos supor soluçõesda forma2:
ψ(x) = F(x)e−g|x|3/3
• Substituindo isso na equação de Schrödinger, temos:
F′′(x)− 2gε(x)x2F′(x) + EF(x) = 0
• No caso do OHS, esse passo teria nos levado à equação de Hermite• No nosso caso, obtivemos a equação acima que é uma equação
triconfluente de Heun
2No caso do OHS, as soluções são consideradas da forma H(x)e−x2/2 e a imposição dascondições de contorno acaba restringindo as funções H(x) a serem os polinômios de HermiteHn(x2).
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Analíticas da Equação de Schrödinger
• Do mesmo modo que para o problema do OHS, tentamos resolver aequação triconfluente de Heun por meio do método de Frobenius,supondo que as soluções F(x) podiam ser escritas na forma de umasérie:
F(x) =∞∑j=0
ajxj
• No caso do OHS, esse procedimento leva à seguinte relação derecorrência entre os índices da série:
aj+2 =2j + 1− E
(j + 1)(j + 2)aj
• E, para construir soluções que fossem de quadrado integrável naquelecaso, exigiríamos que a série H(x) fosse truncada para um certo j = ntal que an fosse o último coeficiente não nulo
• A partir da relação de recorrência acima, vemos que isso pode serconseguido para E = 2n + 1
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Analíticas da Equação de Schrödinger
• No nosso caso, esse procedimento leva às seguintes relações derecorrência:
a2 = −E2
a0 , j = 2
aj =2gε(x)(j− 3)aj−3 − Eaj−2
j(j− 1), j ≥ 3
• A última dessas relações é uma relação de recorrência de 3 termos quenão permite escolher uma expressão para E que trunque a série F(x)em determinado ponto
• Assim partimos para tentativas de encontrar soluções aproximadas
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional
Método Variacional
• Função tentativa: φ(x) =∑m
j=1 αjfj(x)
• Funcional da energia: E[α1, α2, . . . , αm] =〈φ|H|φ〉〈φ|φ〉
• Minimizando E com relação a cada parâmetro αk, devemos ter ∂E∂αk
= 0
• Definindo Sij ≡ 〈fi|fj〉 e Hij ≡ 〈fi|H|fj〉 e derivando o funcional da energia comrespeito a αk, temos:
m∑j=1
[E(Skj + Sjk
)−(Hkj + Hjk
)]αj = 0 ⇒ Mα = 0
• Para que esse sistema tenha solução não trivial devemos ter:
det M = 0
• Essa é uma equação de grau m em E e as m soluções são, em ordem crescente,os valores aproximados das energias dos m primeiros níveis do sistema
• Substituindo novamente no sistema o n-ésimo valor de E encontrado (En) e,impondo a normalização, podemos resolver o sistema para os parâmetros αn
j
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional
Método Variacional
• Função tentativa: φ(x) =∑m
j=1 αjfj(x)
• Funcional da energia: E[α1, α2, . . . , αm] =〈φ|H|φ〉〈φ|φ〉
• Minimizando E com relação a cada parâmetro αk, devemos ter ∂E∂αk
= 0
• Definindo Sij ≡ 〈fi|fj〉 e Hij ≡ 〈fi|H|fj〉 e derivando o funcional da energia comrespeito a αk, temos:
m∑j=1
[E(Skj + Sjk
)−(Hkj + Hjk
)]αj = 0 ⇒ Mα = 0
• Para que esse sistema tenha solução não trivial devemos ter:
det M = 0
• Essa é uma equação de grau m em E e as m soluções são, em ordem crescente,os valores aproximados das energias dos m primeiros níveis do sistema
• Substituindo novamente no sistema o n-ésimo valor de E encontrado (En) e,impondo a normalização, podemos resolver o sistema para os parâmetros αn
j
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional
Método Variacional
• Função tentativa: φ(x) =∑m
j=1 αjfj(x)
• Funcional da energia: E[α1, α2, . . . , αm] =〈φ|H|φ〉〈φ|φ〉
• Minimizando E com relação a cada parâmetro αk, devemos ter ∂E∂αk
= 0
• Definindo Sij ≡ 〈fi|fj〉 e Hij ≡ 〈fi|H|fj〉 e derivando o funcional da energia comrespeito a αk, temos:
m∑j=1
[E(Skj + Sjk
)−(Hkj + Hjk
)]αj = 0 ⇒ Mα = 0
• Para que esse sistema tenha solução não trivial devemos ter:
det M = 0
• Essa é uma equação de grau m em E e as m soluções são, em ordem crescente,os valores aproximados das energias dos m primeiros níveis do sistema
• Substituindo novamente no sistema o n-ésimo valor de E encontrado (En) e,impondo a normalização, podemos resolver o sistema para os parâmetros αn
j
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional
Método Variacional
• Função tentativa: φ(x) =∑m
j=1 αjfj(x)
• Funcional da energia: E[α1, α2, . . . , αm] =〈φ|H|φ〉〈φ|φ〉
• Minimizando E com relação a cada parâmetro αk, devemos ter ∂E∂αk
= 0
• Definindo Sij ≡ 〈fi|fj〉 e Hij ≡ 〈fi|H|fj〉 e derivando o funcional da energia comrespeito a αk, temos:
m∑j=1
[E(Skj + Sjk
)−(Hkj + Hjk
)]αj = 0 ⇒ Mα = 0
• Para que esse sistema tenha solução não trivial devemos ter:
det M = 0
• Essa é uma equação de grau m em E e as m soluções são, em ordem crescente,os valores aproximados das energias dos m primeiros níveis do sistema
• Substituindo novamente no sistema o n-ésimo valor de E encontrado (En) e,impondo a normalização, podemos resolver o sistema para os parâmetros αn
j
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Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional
Método Variacional
• Função tentativa: φ(x) =∑m
j=1 αjfj(x)
• Funcional da energia: E[α1, α2, . . . , αm] =〈φ|H|φ〉〈φ|φ〉
• Minimizando E com relação a cada parâmetro αk, devemos ter ∂E∂αk
= 0
• Definindo Sij ≡ 〈fi|fj〉 e Hij ≡ 〈fi|H|fj〉 e derivando o funcional da energia comrespeito a αk, temos:
m∑j=1
[E(Skj + Sjk
)−(Hkj + Hjk
)]αj = 0 ⇒ Mα = 0
• Para que esse sistema tenha solução não trivial devemos ter:
det M = 0
• Essa é uma equação de grau m em E e as m soluções são, em ordem crescente,os valores aproximados das energias dos m primeiros níveis do sistema
• Substituindo novamente no sistema o n-ésimo valor de E encontrado (En) e,impondo a normalização, podemos resolver o sistema para os parâmetros αn
j
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Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional
Método Variacional
• Função tentativa: φ(x) =∑m
j=1 αjfj(x)
• Funcional da energia: E[α1, α2, . . . , αm] =〈φ|H|φ〉〈φ|φ〉
• Minimizando E com relação a cada parâmetro αk, devemos ter ∂E∂αk
= 0
• Definindo Sij ≡ 〈fi|fj〉 e Hij ≡ 〈fi|H|fj〉 e derivando o funcional da energia comrespeito a αk, temos:
m∑j=1
[E(Skj + Sjk
)−(Hkj + Hjk
)]αj = 0 ⇒ Mα = 0
• Para que esse sistema tenha solução não trivial devemos ter:
det M = 0
• Essa é uma equação de grau m em E e as m soluções são, em ordem crescente,os valores aproximados das energias dos m primeiros níveis do sistema
• Substituindo novamente no sistema o n-ésimo valor de E encontrado (En) e,impondo a normalização, podemos resolver o sistema para os parâmetros αn
j
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional
Método Variacional
• Função tentativa: φ(x) =∑m
j=1 αjfj(x)
• Funcional da energia: E[α1, α2, . . . , αm] =〈φ|H|φ〉〈φ|φ〉
• Minimizando E com relação a cada parâmetro αk, devemos ter ∂E∂αk
= 0
• Definindo Sij ≡ 〈fi|fj〉 e Hij ≡ 〈fi|H|fj〉 e derivando o funcional da energia comrespeito a αk, temos:
m∑j=1
[E(Skj + Sjk
)−(Hkj + Hjk
)]αj = 0 ⇒ Mα = 0
• Para que esse sistema tenha solução não trivial devemos ter:
det M = 0
• Essa é uma equação de grau m em E e as m soluções são, em ordem crescente,os valores aproximados das energias dos m primeiros níveis do sistema
• Substituindo novamente no sistema o n-ésimo valor de E encontrado (En) e,impondo a normalização, podemos resolver o sistema para os parâmetros αn
j
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional
Método Variacional
• Função tentativa: φ(x) =∑m
j=1 αjfj(x)
• Funcional da energia: E[α1, α2, . . . , αm] =〈φ|H|φ〉〈φ|φ〉
• Minimizando E com relação a cada parâmetro αk, devemos ter ∂E∂αk
= 0
• Definindo Sij ≡ 〈fi|fj〉 e Hij ≡ 〈fi|H|fj〉 e derivando o funcional da energia comrespeito a αk, temos:
m∑j=1
[E(Skj + Sjk
)−(Hkj + Hjk
)]αj = 0 ⇒ Mα = 0
• Para que esse sistema tenha solução não trivial devemos ter:
det M = 0
• Essa é uma equação de grau m em E e as m soluções são, em ordem crescente,os valores aproximados das energias dos m primeiros níveis do sistema
• Substituindo novamente no sistema o n-ésimo valor de E encontrado (En) e,impondo a normalização, podemos resolver o sistema para os parâmetros αn
j
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional
• Vamos aplicar o método variacional conforme descrito acima para onosso problema
• Vamos escolher fj(x) = xj−1e−|x|3/3, o que corresponde a uma função
tentativa da forma:
φ(x) =
m∑j=1
αjxj−1
e−|x|3/3
• Determinando os parâmetros αj, o termo entre parênteses é umaaproximação para a função F(x)
• Se, como no caso do OHS, pudessemos truncar a série e encontrarpolinômios Fm(x), então, tomando um número de parâmetros maior quem, encontraríamos as soluções exatas
• Em geral as funções F(x) são séries com infinitos termos e nãopolinômios
• Sendo assim o método variacional vai aproximar essa série por umpolinômio
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional
• Empregamos o método variacional com 6 parâmetros• Os 5 primeiros níveis de energia de H− e 4 primeiros níveis de energia
de H+ estão esquematizados a seguir:
• Quanto maior o número de parâmetros e quanto menor o nível deenergia, melhor a aproximação
• Os níveis de energia mais baixos apresentam maior evidência deobedecerem E−n = E+
n−1, n ≥ 1, característica da manifestação da SUSI60 / 73
Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional
• As figuras a seguir mostram as aproximações para as funções de ondaassociadas aos níveis de energia da figura anterior:
(a) Autofunções de H− (b) Autofunções de H+
• Comparando as funções de onda de níveis de energia emparelhados(com E−n ≈ E+
n−1), vemos que essas funções se relacionam por meio daaplicação de operadores A e A†
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional
• Comparando com valores numéricos, os valores das energias dos 8primeiros níveis de H− (e 7 primeiros de H+) obtidos por meio doMétodo Variacional com 10 parâmetros, encontramos desvios entreesses valores que vão de cerca de 0, 1% até 5% do estado diferente dezero mais baixo até o mais alto.
• Para números menores de parâmetros esses desvios aumentam• Isso está dentro do que esperamos do Método Variacional:
aproximações melhores para níveis de energia mais baixos e paranúmeros de parâmetros maiores.
Conclusão
• Isso indica a manifestação da SUSI nesse sistema:• Um estado fundamental de energia zero (tanto a solução analítica quanto a
aproximada)• Todos os demais estados 2 a 2 com aproximadamente a mesma energia e
relacionados uns com os outros por meio da aplicação de operadores A e A†
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional
• Comparando com valores numéricos, os valores das energias dos 8primeiros níveis de H− (e 7 primeiros de H+) obtidos por meio doMétodo Variacional com 10 parâmetros, encontramos desvios entreesses valores que vão de cerca de 0, 1% até 5% do estado diferente dezero mais baixo até o mais alto.
• Para números menores de parâmetros esses desvios aumentam• Isso está dentro do que esperamos do Método Variacional:
aproximações melhores para níveis de energia mais baixos e paranúmeros de parâmetros maiores.
Conclusão
• Isso indica a manifestação da SUSI nesse sistema:• Um estado fundamental de energia zero (tanto a solução analítica quanto a
aproximada)• Todos os demais estados 2 a 2 com aproximadamente a mesma energia e
relacionados uns com os outros por meio da aplicação de operadores A e A†
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional
• Comparando com valores numéricos, os valores das energias dos 8primeiros níveis de H− (e 7 primeiros de H+) obtidos por meio doMétodo Variacional com 10 parâmetros, encontramos desvios entreesses valores que vão de cerca de 0, 1% até 5% do estado diferente dezero mais baixo até o mais alto.
• Para números menores de parâmetros esses desvios aumentam• Isso está dentro do que esperamos do Método Variacional:
aproximações melhores para níveis de energia mais baixos e paranúmeros de parâmetros maiores.
Conclusão
• Isso indica a manifestação da SUSI nesse sistema:• Um estado fundamental de energia zero (tanto a solução analítica quanto a
aproximada)• Todos os demais estados 2 a 2 com aproximadamente a mesma energia e
relacionados uns com os outros por meio da aplicação de operadores A e A†
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional
• Comparando com valores numéricos, os valores das energias dos 8primeiros níveis de H− (e 7 primeiros de H+) obtidos por meio doMétodo Variacional com 10 parâmetros, encontramos desvios entreesses valores que vão de cerca de 0, 1% até 5% do estado diferente dezero mais baixo até o mais alto.
• Para números menores de parâmetros esses desvios aumentam• Isso está dentro do que esperamos do Método Variacional:
aproximações melhores para níveis de energia mais baixos e paranúmeros de parâmetros maiores.
Conclusão
• Isso indica a manifestação da SUSI nesse sistema:• Um estado fundamental de energia zero (tanto a solução analítica quanto a
aproximada)• Todos os demais estados 2 a 2 com aproximadamente a mesma energia e
relacionados uns com os outros por meio da aplicação de operadores A e A†
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional
• Comparando com valores numéricos, os valores das energias dos 8primeiros níveis de H− (e 7 primeiros de H+) obtidos por meio doMétodo Variacional com 10 parâmetros, encontramos desvios entreesses valores que vão de cerca de 0, 1% até 5% do estado diferente dezero mais baixo até o mais alto.
• Para números menores de parâmetros esses desvios aumentam• Isso está dentro do que esperamos do Método Variacional:
aproximações melhores para níveis de energia mais baixos e paranúmeros de parâmetros maiores.
Conclusão
• Isso indica a manifestação da SUSI nesse sistema:• Um estado fundamental de energia zero (tanto a solução analítica quanto a
aproximada)• Todos os demais estados 2 a 2 com aproximadamente a mesma energia e
relacionados uns com os outros por meio da aplicação de operadores A e A†
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Reparametrização do Potencial
• A reparametrização consiste em fazer a seguinte substituição:
V(x) −→ V(x; δ)
• O potencial reparametrizado V(x; δ) deve ser tal que para um certoδ = δ1 tenhamos:
V(x; δ1) = V(x)
Exemplo
• O potencial reparametrizado:
V(x; δ) = (x2)1+δ
se reduz a V(x) = x4 para δ = 1 ou V(x) = x6 para δ = 2.
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Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Reparametrização do Potencial
• A reparametrização consiste em fazer a seguinte substituição:
V(x) −→ V(x; δ)
• O potencial reparametrizado V(x; δ) deve ser tal que para um certoδ = δ1 tenhamos:
V(x; δ1) = V(x)
Exemplo
• O potencial reparametrizado:
V(x; δ) = (x2)1+δ
se reduz a V(x) = x4 para δ = 1 ou V(x) = x6 para δ = 2.
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Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Reparametrização do Potencial
• A reparametrização consiste em fazer a seguinte substituição:
V(x) −→ V(x; δ)
• O potencial reparametrizado V(x; δ) deve ser tal que para um certoδ = δ1 tenhamos:
V(x; δ1) = V(x)
Exemplo
• O potencial reparametrizado:
V(x; δ) = (x2)1+δ
se reduz a V(x) = x4 para δ = 1 ou V(x) = x6 para δ = 2.
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Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL
Teoria de Perturbações Logarítmica (TPL)
• Substituimos na equação de Schrödinger para o estado fundamental:
V(x; δ) =∞∑
n=0
Vn(x)δn, E0 =
∞∑n=0
Bnδn, ψ0(x) = N e−
∫ x W(y)dy e W(x) =∞∑
n=0
Wn(x)δn
• Com isso obtemos:∞∑
n=0
[Vn(x)− Bn] δn =
∞∑n,m=0
Wn(x)Wm(x)δn+m −∞∑
n=0
W′n(x)δn
• Comparando os termos das diferentes potências de δ, temos:
V0(x)− B0 = W0(x)2 −W′0(x) , n = 0
V1(x)− B1 = 2W0(x)W1(x)−W′1(x) , n = 1
Vn(x)− Bn = 2W0(x)Wn(x)−W′n(x) +
n−1∑k=1
Wk(x)Wn−k(x) , n = 2, 3, 4, . . .
que são as equações para diferentes ordens de perturbação.
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Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL
Teoria de Perturbações Logarítmica (TPL)
• Substituimos na equação de Schrödinger para o estado fundamental:
V(x; δ) =∞∑
n=0
Vn(x)δn, E0 =
∞∑n=0
Bnδn, ψ0(x) = N e−
∫ x W(y)dy e W(x) =∞∑
n=0
Wn(x)δn
• Com isso obtemos:∞∑
n=0
[Vn(x)− Bn] δn =∞∑
n,m=0
Wn(x)Wm(x)δn+m −∞∑
n=0
W′n(x)δn
• Comparando os termos das diferentes potências de δ, temos:
V0(x)− B0 = W0(x)2 −W′0(x) , n = 0
V1(x)− B1 = 2W0(x)W1(x)−W′1(x) , n = 1
Vn(x)− Bn = 2W0(x)Wn(x)−W′n(x) +
n−1∑k=1
Wk(x)Wn−k(x) , n = 2, 3, 4, . . .
que são as equações para diferentes ordens de perturbação.
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Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL
Teoria de Perturbações Logarítmica (TPL)
• Substituimos na equação de Schrödinger para o estado fundamental:
V(x; δ) =∞∑
n=0
Vn(x)δn, E0 =
∞∑n=0
Bnδn, ψ0(x) = N e−
∫ x W(y)dy e W(x) =∞∑
n=0
Wn(x)δn
• Com isso obtemos:∞∑
n=0
[Vn(x)− Bn] δn =∞∑
n,m=0
Wn(x)Wm(x)δn+m −∞∑
n=0
W′n(x)δn
• Comparando os termos das diferentes potências de δ, temos:
V0(x)− B0 = W0(x)2 −W′0(x) , n = 0
V1(x)− B1 = 2W0(x)W1(x)−W′1(x) , n = 1
Vn(x)− Bn = 2W0(x)Wn(x)−W′n(x) +
n−1∑k=1
Wk(x)Wn−k(x) , n = 2, 3, 4, . . .
que são as equações para diferentes ordens de perturbação.
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Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL
Teoria de Perturbações Logarítmica (TPL)
• Substituimos na equação de Schrödinger para o estado fundamental:
V(x; δ) =∞∑
n=0
Vn(x)δn, E0 =
∞∑n=0
Bnδn, ψ0(x) = N e−
∫ x W(y)dy e W(x) =∞∑
n=0
Wn(x)δn
• Com isso obtemos:∞∑
n=0
[Vn(x)− Bn] δn =∞∑
n,m=0
Wn(x)Wm(x)δn+m −∞∑
n=0
W′n(x)δn
• Comparando os termos das diferentes potências de δ, temos:
V0(x)− B0 = W0(x)2 −W′0(x) , n = 0
V1(x)− B1 = 2W0(x)W1(x)−W′1(x) , n = 1
Vn(x)− Bn = 2W0(x)Wn(x)−W′n(x) +
n−1∑k=1
Wk(x)Wn−k(x) , n = 2, 3, 4, . . .
que são as equações para diferentes ordens de perturbação.
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Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL
Teoria de Perturbações Logarítmica (TPL)
• Solucionando a ordem zero e sendo ϕ0(x) = N e−∫ x W0(y)dy, as correções para
as diferentes ordens são:
• Ordem Zero: B0 e W0(x)• Ordem 1:
B1 = 〈ϕ0|V1(x)|ϕ0〉
W1(x) = |ϕ0(x)|−2∫ x
0dy|ϕ0(y)|2 [B1 − V1(y)]
• Ordem n (n ≥ 2):
Bn = 〈ϕ0|[
Vn(x)−n−1∑k=1
Wk(x)Wn−k(x)
]|ϕ0〉
Wn(x) = |ϕ0(x)|−2∫ x
0dy|ϕ0(y)|2
[Bn − Vn(y) +
n−1∑k=1
Wk(y)Wn−k(y)
]
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Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL
Teoria de Perturbações Logarítmica (TPL)
• Solucionando a ordem zero e sendo ϕ0(x) = N e−∫ x W0(y)dy, as correções para
as diferentes ordens são:
• Ordem Zero: B0 e W0(x)• Ordem 1:
B1 = 〈ϕ0|V1(x)|ϕ0〉
W1(x) = |ϕ0(x)|−2∫ x
0dy|ϕ0(y)|2 [B1 − V1(y)]
• Ordem n (n ≥ 2):
Bn = 〈ϕ0|[
Vn(x)−n−1∑k=1
Wk(x)Wn−k(x)
]|ϕ0〉
Wn(x) = |ϕ0(x)|−2∫ x
0dy|ϕ0(y)|2
[Bn − Vn(y) +
n−1∑k=1
Wk(y)Wn−k(y)
]
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Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL
Teoria de Perturbações Logarítmica (TPL)
• Solucionando a ordem zero e sendo ϕ0(x) = N e−∫ x W0(y)dy, as correções para
as diferentes ordens são:
• Ordem Zero: B0 e W0(x)• Ordem 1:
B1 = 〈ϕ0|V1(x)|ϕ0〉
W1(x) = |ϕ0(x)|−2∫ x
0dy|ϕ0(y)|2 [B1 − V1(y)]
• Ordem n (n ≥ 2):
Bn = 〈ϕ0|[
Vn(x)−n−1∑k=1
Wk(x)Wn−k(x)
]|ϕ0〉
Wn(x) = |ϕ0(x)|−2∫ x
0dy|ϕ0(y)|2
[Bn − Vn(y) +
n−1∑k=1
Wk(y)Wn−k(y)
]
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Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL
Teoria de Perturbações Logarítmica (TPL)
• Solucionando a ordem zero e sendo ϕ0(x) = N e−∫ x W0(y)dy, as correções para
as diferentes ordens são:
• Ordem Zero: B0 e W0(x)• Ordem 1:
B1 = 〈ϕ0|V1(x)|ϕ0〉
W1(x) = |ϕ0(x)|−2∫ x
0dy|ϕ0(y)|2 [B1 − V1(y)]
• Ordem n (n ≥ 2):
Bn = 〈ϕ0|[
Vn(x)−n−1∑k=1
Wk(x)Wn−k(x)
]|ϕ0〉
Wn(x) = |ϕ0(x)|−2∫ x
0dy|ϕ0(y)|2
[Bn − Vn(y) +
n−1∑k=1
Wk(y)Wn−k(y)
]
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Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL
Teoria de Perturbações Logarítmica (TPL)
• Solucionando a ordem zero e sendo ϕ0(x) = N e−∫ x W0(y)dy, as correções para
as diferentes ordens são:
• Ordem Zero: B0 e W0(x)• Ordem 1:
B1 = 〈ϕ0|V1(x)|ϕ0〉
W1(x) = |ϕ0(x)|−2∫ x
0dy|ϕ0(y)|2 [B1 − V1(y)]
• Ordem n (n ≥ 2):
Bn = 〈ϕ0|[
Vn(x)−n−1∑k=1
Wk(x)Wn−k(x)
]|ϕ0〉
Wn(x) = |ϕ0(x)|−2∫ x
0dy|ϕ0(y)|2
[Bn − Vn(y) +
n−1∑k=1
Wk(y)Wn−k(y)
]
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Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL
• Consideramos o seguinte par de potenciais reparametrizados:
V±(x; δ) =(
x2)1+δ
±(
4x2)δ/2
• Para δ = 1 esses potenciais voltam a ser os potenciais parceirosassociados ao superpotencial W(x) = gε(x)x2
• A expansão de V±(x; δ) é:
V±(x; δ) =
n∑m=0
δm
m!
x2[ln (x2)
]m±
m∑j=0
m!
2jj!(m− j)![ln 2]m−j
[ln (x2)
]j
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Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL
Ordem Zero• Seguindo o procedimento da TPL descrito acima e resolvendo a
equação de ordem zero, temos:
W±0 (x) = x e B±0 = 1± 1
Ordem 1• Sendo ϕ±0 (x) = e−
∫W±0 (y)dy = e−x2/2, B±1 e W±1 (x) são 3:
B±1 =〈ϕ±0 |V
±1 (x)|ϕ±0 〉
〈ϕ±0 |ϕ±0 〉
=12ψ (3/2)± 1
2ψ (1/2)± ln 2
W±1 (x) = |ϕ±0 (x)|−2∫ x
0dy|ϕ±0 (y)|2
[B±1 − V±1 (y)
]ex2∫ x
0dye−y2
[12ψ (3/2)± 1
2ψ (1/2)− y2 ln (y2)∓ 1
2ln (y2)
]3ψ(z) ≡ Γ′(z)
Γ(z) é a função digama.67 / 73
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Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL
Ordem 2• As correções de segunda ordem devem ser obtidas a partir de:
B±2 =〈ϕ±0 |
[V±2 (x)− (W±1 (x))2] |ϕ±0 〉〈ϕ±0 |ϕ
±0 〉
• O primeiro termo com 〈ϕ±0 |V±2 (x)|ϕ±0 〉 é fácil de calcular
• O segundo termo com 〈ϕ±0 |(W±1 (x))2|ϕ±0 〉 parece divergir• Assim, vamos considerar o resultado apenas até a ordem 1
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL
• Substituindo as correções encontradas na série da energia, truncandoessa série no termo de ordem 1 e fazendo δ = 1, temos:
E±0 = (1± 1) +
(12ψ (3/2)± 1
2ψ (1/2)± ln 2
)• Isso resulta em:
E−0 = 0, 30685 e E+0 = 1, 72964
Conclusão
• Em comparação com os melhores valores obtidos pelo MétodoVariacional, E−0 = 0, 00000 (valor exato) e E+
0 = 1, 97235, a TPL não semostra satisfatória até ordem 1
• Esperamos porém que essa diferença se torne menor para maioresordens de aproximação
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL
• Substituindo as correções encontradas na série da energia, truncandoessa série no termo de ordem 1 e fazendo δ = 1, temos:
E±0 = (1± 1) +
(12ψ (3/2)± 1
2ψ (1/2)± ln 2
)• Isso resulta em:
E−0 = 0, 30685 e E+0 = 1, 72964
Conclusão
• Em comparação com os melhores valores obtidos pelo MétodoVariacional, E−0 = 0, 00000 (valor exato) e E+
0 = 1, 97235, a TPL não semostra satisfatória até ordem 1
• Esperamos porém que essa diferença se torne menor para maioresordens de aproximação
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Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL
• Substituindo as correções encontradas na série da energia, truncandoessa série no termo de ordem 1 e fazendo δ = 1, temos:
E±0 = (1± 1) +
(12ψ (3/2)± 1
2ψ (1/2)± ln 2
)• Isso resulta em:
E−0 = 0, 30685 e E+0 = 1, 72964
Conclusão
• Em comparação com os melhores valores obtidos pelo MétodoVariacional, E−0 = 0, 00000 (valor exato) e E+
0 = 1, 97235, a TPL não semostra satisfatória até ordem 1
• Esperamos porém que essa diferença se torne menor para maioresordens de aproximação
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Aplicações
Superpotencial W(x) = gε(x)x2
Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL
• Substituindo as correções encontradas na série da energia, truncandoessa série no termo de ordem 1 e fazendo δ = 1, temos:
E±0 = (1± 1) +
(12ψ (3/2)± 1
2ψ (1/2)± ln 2
)• Isso resulta em:
E−0 = 0, 30685 e E+0 = 1, 72964
Conclusão
• Em comparação com os melhores valores obtidos pelo MétodoVariacional, E−0 = 0, 00000 (valor exato) e E+
0 = 1, 97235, a TPL não semostra satisfatória até ordem 1
• Esperamos porém que essa diferença se torne menor para maioresordens de aproximação
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Considerações Finais
Considerações Finais
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Considerações Finais
Considerações Finais
• Apresentamos uma introdução à MQ SUSI em 1 dimensão espacial.• Introduzimos o conceito de parceiros SUSI• Mostramos o exemplo de um potencial complicado (cosec2 πx
L ) que éparceiro SUSI de um muito simples (o poço quadrado infinito)
• Introduzimos os conceitos de hierarquia de hamiltonianos e invariânciade forma
• Mostramos uma generalização do método de operadores escada doOHS
• Utilizamos essa generalização para solucionar a equação radial doátomo de hidrogênio
• Propusemos uma nova classe de superpotenciais para os quaisesperamos observar a manifestação da SUSI: W(x) = gε(x)x2n
• Estudamos o caso mais simples, n = 0• Estudamos o caso seguinte, n = 1, por 3 caminhos diferentes:
• Analiticamente: obtendo o estado fundamental de H−• Por meio do Método Variacional: obtendo uma série de soluções
aproximadas que indicam a manifestação da SUSI• Por meio da TPL: obtendo um resultado aproximado até primeira ordem
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Considerações Finais
Considerações Finais
• Apresentamos uma introdução à MQ SUSI em 1 dimensão espacial.• Introduzimos o conceito de parceiros SUSI• Mostramos o exemplo de um potencial complicado (cosec2 πx
L ) que éparceiro SUSI de um muito simples (o poço quadrado infinito)
• Introduzimos os conceitos de hierarquia de hamiltonianos e invariânciade forma
• Mostramos uma generalização do método de operadores escada doOHS
• Utilizamos essa generalização para solucionar a equação radial doátomo de hidrogênio
• Propusemos uma nova classe de superpotenciais para os quaisesperamos observar a manifestação da SUSI: W(x) = gε(x)x2n
• Estudamos o caso mais simples, n = 0• Estudamos o caso seguinte, n = 1, por 3 caminhos diferentes:
• Analiticamente: obtendo o estado fundamental de H−• Por meio do Método Variacional: obtendo uma série de soluções
aproximadas que indicam a manifestação da SUSI• Por meio da TPL: obtendo um resultado aproximado até primeira ordem
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Considerações Finais
Considerações Finais
• Apresentamos uma introdução à MQ SUSI em 1 dimensão espacial.• Introduzimos o conceito de parceiros SUSI• Mostramos o exemplo de um potencial complicado (cosec2 πx
L ) que éparceiro SUSI de um muito simples (o poço quadrado infinito)
• Introduzimos os conceitos de hierarquia de hamiltonianos e invariânciade forma
• Mostramos uma generalização do método de operadores escada doOHS
• Utilizamos essa generalização para solucionar a equação radial doátomo de hidrogênio
• Propusemos uma nova classe de superpotenciais para os quaisesperamos observar a manifestação da SUSI: W(x) = gε(x)x2n
• Estudamos o caso mais simples, n = 0• Estudamos o caso seguinte, n = 1, por 3 caminhos diferentes:
• Analiticamente: obtendo o estado fundamental de H−• Por meio do Método Variacional: obtendo uma série de soluções
aproximadas que indicam a manifestação da SUSI• Por meio da TPL: obtendo um resultado aproximado até primeira ordem
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Considerações Finais
Considerações Finais
• Apresentamos uma introdução à MQ SUSI em 1 dimensão espacial.• Introduzimos o conceito de parceiros SUSI• Mostramos o exemplo de um potencial complicado (cosec2 πx
L ) que éparceiro SUSI de um muito simples (o poço quadrado infinito)
• Introduzimos os conceitos de hierarquia de hamiltonianos e invariânciade forma
• Mostramos uma generalização do método de operadores escada doOHS
• Utilizamos essa generalização para solucionar a equação radial doátomo de hidrogênio
• Propusemos uma nova classe de superpotenciais para os quaisesperamos observar a manifestação da SUSI: W(x) = gε(x)x2n
• Estudamos o caso mais simples, n = 0• Estudamos o caso seguinte, n = 1, por 3 caminhos diferentes:
• Analiticamente: obtendo o estado fundamental de H−• Por meio do Método Variacional: obtendo uma série de soluções
aproximadas que indicam a manifestação da SUSI• Por meio da TPL: obtendo um resultado aproximado até primeira ordem
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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica
Considerações Finais
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• Apresentamos uma introdução à MQ SUSI em 1 dimensão espacial.• Introduzimos o conceito de parceiros SUSI• Mostramos o exemplo de um potencial complicado (cosec2 πx
L ) que éparceiro SUSI de um muito simples (o poço quadrado infinito)
• Introduzimos os conceitos de hierarquia de hamiltonianos e invariânciade forma
• Mostramos uma generalização do método de operadores escada doOHS
• Utilizamos essa generalização para solucionar a equação radial doátomo de hidrogênio
• Propusemos uma nova classe de superpotenciais para os quaisesperamos observar a manifestação da SUSI: W(x) = gε(x)x2n
• Estudamos o caso mais simples, n = 0• Estudamos o caso seguinte, n = 1, por 3 caminhos diferentes:
• Analiticamente: obtendo o estado fundamental de H−• Por meio do Método Variacional: obtendo uma série de soluções
aproximadas que indicam a manifestação da SUSI• Por meio da TPL: obtendo um resultado aproximado até primeira ordem
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• Apresentamos uma introdução à MQ SUSI em 1 dimensão espacial.• Introduzimos o conceito de parceiros SUSI• Mostramos o exemplo de um potencial complicado (cosec2 πx
L ) que éparceiro SUSI de um muito simples (o poço quadrado infinito)
• Introduzimos os conceitos de hierarquia de hamiltonianos e invariânciade forma
• Mostramos uma generalização do método de operadores escada doOHS
• Utilizamos essa generalização para solucionar a equação radial doátomo de hidrogênio
• Propusemos uma nova classe de superpotenciais para os quaisesperamos observar a manifestação da SUSI: W(x) = gε(x)x2n
• Estudamos o caso mais simples, n = 0• Estudamos o caso seguinte, n = 1, por 3 caminhos diferentes:
• Analiticamente: obtendo o estado fundamental de H−• Por meio do Método Variacional: obtendo uma série de soluções
aproximadas que indicam a manifestação da SUSI• Por meio da TPL: obtendo um resultado aproximado até primeira ordem
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• Introduzimos os conceitos de hierarquia de hamiltonianos e invariânciade forma
• Mostramos uma generalização do método de operadores escada doOHS
• Utilizamos essa generalização para solucionar a equação radial doátomo de hidrogênio
• Propusemos uma nova classe de superpotenciais para os quaisesperamos observar a manifestação da SUSI: W(x) = gε(x)x2n
• Estudamos o caso mais simples, n = 0• Estudamos o caso seguinte, n = 1, por 3 caminhos diferentes:
• Analiticamente: obtendo o estado fundamental de H−• Por meio do Método Variacional: obtendo uma série de soluções
aproximadas que indicam a manifestação da SUSI• Por meio da TPL: obtendo um resultado aproximado até primeira ordem
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L ) que éparceiro SUSI de um muito simples (o poço quadrado infinito)
• Introduzimos os conceitos de hierarquia de hamiltonianos e invariânciade forma
• Mostramos uma generalização do método de operadores escada doOHS
• Utilizamos essa generalização para solucionar a equação radial doátomo de hidrogênio
• Propusemos uma nova classe de superpotenciais para os quaisesperamos observar a manifestação da SUSI: W(x) = gε(x)x2n
• Estudamos o caso mais simples, n = 0• Estudamos o caso seguinte, n = 1, por 3 caminhos diferentes:
• Analiticamente: obtendo o estado fundamental de H−• Por meio do Método Variacional: obtendo uma série de soluções
aproximadas que indicam a manifestação da SUSI• Por meio da TPL: obtendo um resultado aproximado até primeira ordem
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• Introduzimos os conceitos de hierarquia de hamiltonianos e invariânciade forma
• Mostramos uma generalização do método de operadores escada doOHS
• Utilizamos essa generalização para solucionar a equação radial doátomo de hidrogênio
• Propusemos uma nova classe de superpotenciais para os quaisesperamos observar a manifestação da SUSI: W(x) = gε(x)x2n
• Estudamos o caso mais simples, n = 0• Estudamos o caso seguinte, n = 1, por 3 caminhos diferentes:
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• Propusemos uma nova classe de superpotenciais para os quaisesperamos observar a manifestação da SUSI: W(x) = gε(x)x2n
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• Introduzimos os conceitos de hierarquia de hamiltonianos e invariânciade forma
• Mostramos uma generalização do método de operadores escada doOHS
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• Propusemos uma nova classe de superpotenciais para os quaisesperamos observar a manifestação da SUSI: W(x) = gε(x)x2n
• Estudamos o caso mais simples, n = 0• Estudamos o caso seguinte, n = 1, por 3 caminhos diferentes:
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• Introduzimos os conceitos de hierarquia de hamiltonianos e invariânciade forma
• Mostramos uma generalização do método de operadores escada doOHS
• Utilizamos essa generalização para solucionar a equação radial doátomo de hidrogênio
• Propusemos uma nova classe de superpotenciais para os quaisesperamos observar a manifestação da SUSI: W(x) = gε(x)x2n
• Estudamos o caso mais simples, n = 0• Estudamos o caso seguinte, n = 1, por 3 caminhos diferentes:
• Analiticamente: obtendo o estado fundamental de H−• Por meio do Método Variacional: obtendo uma série de soluções
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Referências Bibliográficas
Referências Bibliográficas
Cooper, F., Khare, A. and Sukhatme, U. Supersymmetry in QuantumMechanics. World Scientific, 2001.
Drigo Filho, E. Supersimetria aplicada à Mecânica Quântica. EditoraUnesp, 2009.
Das, A. Field Theory: A Path Integral Approach. World Scientific, 1993.
Bagchi, B. K., Supersymmetry in Quantum and Classical Mechanics.Chapman & Hall/CRC, 2001.
Valance, A., Morgan, T. J., and Bergeron, H., Am. Jour. Phys. 58 (1990)487-491.
Cooper, F. and Roy, P., Delta Expansion for the Superpotential, Phys.Lett. A143 (1990) 202-206.
Imbo, T. and Sukhatme, U., Logarithmic Perturbation Expansions inNonrelativistic Quantum Mechanics, Am. Jour. Phys. 52 (1984) 140-146
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Agradecimentos
Obrigado!
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