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Tlamati Sabiduría Volumen 7 Número Especial 1, Septiembre 2016
3er. Encuentro de Jóvenes en la Investigación de Bachillerato-CONACYT
Acapulco, Guerrero 22-24 de Septiembre 2016
Memorias
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Una experiencia de aprendizaje del significado de los exponentes no naturales
Yesica Janet Guerrero Cirilo (Becaria)
Unidad Académica Preparatoria No. 14, Universidad Autónoma de Guerrero.
Gustavo Martínez Sierra (Asesor)
Unidad Académica de Matemáticas, Universidad Autónoma de Guerrero.
INTRODUCCIÓN
Un experimento de enseñanza consiste en una secuencia de episodios de enseñanza en el
que los participantes son normalmente un investigador-docente, uno o más alumnos y uno o más
investigadores-observadores. La duración del experimento puede ser variable, la característica
principal de un experimento de enseñanza es la ruptura de la diferenciación entre docente e
investigador, motivada por el propósito de los investigadores de experimentar de primera mano el
aprendizaje y razonamiento de los alumnos. (Steffe, & Thompson, 2000)
Durante mi estancia en este verano llevé a cabo varios diseños de experimentos de
enseñanzas los cuales se muestran a continuación:
*El significado de los exponentes no naturales.
*El significado de los números complejos.
*Características de las funciones polinómicas y sus raíces con Geogebra.
*La construcción gráfica de la función seno en Geogebra.
Cabe mencionar que todos los experimentos mencionados anteriormente son producto de
investigaciones en matemática educativa en el nivel medio superior; sin embargo, presentaré
solamente uno de ellos, cuyo tema es: “el significado de los exponentes no naturales”.
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Yo escogí este experimento para la presentación de mi informe porque siento que el
experimento se debe dar a conocer a todos los estudiantes y aunque se enfoca más en aquellos
estudiantes que están a nivel bachillerato aclaro que es de mucha utilidad para cualquier nivel de
estudio, quiero compartir con mis demás compañeros lo útil que resulta ser este experimento para
nuestro aprendizaje, tal vez muchos se crean expertos en el tema de los exponentes y no le tomen
importancia a esto, pero cometen un gran error porque el experimento es bastante útil y nos deja
un conocimiento impresionante ya que nos permite comprender mejor el tema explicándonos la
razón de cada uno de los procedimientos que se llevan a cabo durante las actividades de
potenciación.
En este informe hablaré de mi experiencia al trabajar con este experimento de enseñanza y
sobre mi razonamiento como estudiante de nivel medio superior al realizar y concluir las
actividades. Para mí este experimento de enseñanza fue muy productivo porque las actividades que
contenía eran muy entretenidas e interesantes, fue una experiencia positiva ya que gracias a las
actividades del experimento logré conocer más a fondo sobre el tema de los exponentes y mi forma
de razonar fue progresando cada vez más conforme realizaba las actividades, cuando veía un
problema de potenciación ya no me centraba solamente en resolverlo y ya, sino más bien me
centraba en dar respuestas y justificaciones de mi procedimiento al realizar dicho problema, y esto
me fue ayudando mucho porque una vez que encontraba esas respuestas lograba comprender con
más facilidad las siguientes actividades ya que ya tenía una idea de dónde iba a partir para continuar
con esas actividades.
JUSTIFICACIÓN
Martínez-Sierra (2002) en diversos niveles escolares, pero particularmente en nivel
secundario (alumnos de 12-15 años) y en medio superior (alumnos de 15-18) podemos encontrar
argumentos como los siguientes de los estudiantes al momento de ser cuestionados con igualdades
que involucran a exponentes, en especial a exponentes no naturales:
I) 20 = 0 ya que “el 2 no se multiplica ninguna vez y queda nada”
II) 20 = 2 ya que “el 2 no se multiplica ninguna vez por lo que queda un 2”
III) 2−3 = (−2)(−2)(−2) = −8
IV) 2−4 = −16 ya que “24 = 16 y se le pone un signo”.
V) 232 = 2(
3
2) = 3
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Tales razonamientos tienen la particularidad de que, a pesar de ser coherentes, llevan a
respuestas que no están de acuerdo con lo aceptado dentro del corpus algebraico de conocimientos
matemáticos.
Objetivos
Generales
1.-Que los estudiantes del verano conozcan y experimenten estrategias de enseñanza-
aprendizaje que son producto de la investigación en Matemática Educativa.
2.-Que los estudiantes del verano desarrollen su razonamiento matemático.
Específicos del experimento
1.-Que el estudiante construya de manera aritmético-algebraico la ley de los exponentes para el
producto y a través de un razonamiento parecido al siguiente: si se quiere que 20 ∗ 22 =
20+2 = 22 se debe convenir matemáticamente que 20 = 1 (Antonio y Martínez-Sierra
2005, Martínez- Sierra 2010).
2.-Que el estudiante bajo el mismo producto del razonamiento anterior llegue a convenir
matemáticamente a los exponentes: negativos y fraccionarios.
Metodología
A continuación, se muestran las actividades del experimento como nos fueron entregadas,
lo que se esperaba en cada una de ellas y el resultado que obtuve al trabajarlas de manera individual
o en equipo.
Las actividades comenzaron con un cuestionario individual con el objetivo de conocer los
conocimientos previos que teníamos sobre exponentes como el
valor de: 23, 20, 212. 2−3 entre otras.
Esta actividad la resolví con la idea de que nos estaban
evaluando y la parte que más se me complicó fue donde nos
pedían que justificáramos nuestra respuesta.
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El método que se empleó durante las actividades del tema de potenciación fue el analítico
ya que es el que nos permite analizar cada una de las partes de este tema, es decir; nos permite
desintegrar el tema en cada una de sus partes y estudiar a todas ellas para así poder comprender
con mayor facilidad las actividades posteriores de potenciación. Durante las actividades sólo nos
dejaron utilizar una calculadora sencilla para realizar algunas multiplicaciones como el llenado de
la tabla 2.
La metodología para trabajar con potencias consistió en cuatro etapas, en la que cada una
de ellas tiene su propio objetivo:
Primera etapa: Recordar, Familiarizar y Objetivizar
Actividad 1. El objetivo de estas actividades es recordar y familiarizar el concepto de los
exponentes naturales como multiplicación reiterada y los elementos de la notación exponencial
como lo son el exponente y la base. Esto a través del llenado de una tabla hasta la décima potencia
de dos, clasificada en: exponentes, notación exponencial, valor de la potencia y nombre de la
potencia. Así mismo objetivizará de manera verbal el nombre de las potencias, es decir, hacer de
las potencias objetos. En el siguiente cuadro se presenta la actividad 1.
Empezamos trabajando de manera individual con potencias de base 2, con la intención de
hacernos recordar esas actividades y si en su defecto no recordábamos nada, por lo menos querían
que nos familiarizáramos con esas actividades. Después nos reunimos en equipo para expresar
nuestras opiniones y en equipo empezamos a construir las leyes de los exponentes, fuimos viendo
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el tema cada vez más a fondo para así poder hacer nuestras comparaciones y ver de qué manera
podríamos emplear nuestros resultados en el transcurso de nuestro aprendizaje.
Actividad 2. El objetivo de esta actividad es que el estudiante se percate al realizar
multiplicaciones con potencias de dos, el resultado es otra potencia de dos; aquí también
objetivizará las potencias de manera verbal y observará que hay una cierta regularidad: la ley de
los exponentes para el producto, además que todos son múltiplos de dos (es aquí donde encuentra
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la
manera de resolver aritméticamente y de manera intuitiva algebraicamente la ley). En este cuadro
presentamos a la actividad 2.
Segunda etapa: Construir
Actividad 3. Con esta actividad se les recuerda a los estudiantes que existe una ley delos
exponentes para el producto y que es la que encontró en la actividad anterior tratando de que
reflexione con respecto a la primera etapa. En el siguiente recuadro se muestra la actividad 3.
Actividad 3a, 3b y 3c. Para recalcar y construir la noción de la ley del producto tanto
aritmético como algebraico el estudiante llenará una tabla (Actividad 3a) de multiplicaciones de
potencias de dos, expresadas de manera verbal, es aquí donde esperamos que se dé cuenta de que
al multiplicar las potencias expresadas verbalmente el resultado es la suma de sus órdenes (por
ejemplo la segunda potencia por la tercera potencia es la quinta potencia) y le pediremos que
exprese tanto aritmético como algebraico a ley (Actividad 3b y 3c) . En esta situación consideramos
que el aspecto aritmético consiste por ejemplo, en usar (4) (8)=32, mientras 2² * 2³ = 2⁵ = 32 la
entendemos como un uso algebraico. En este cuadro mostraremos la actividad 3a), 3b) y 3c)
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Tercera etapa: Profundizar
Actividad 4. En esta actividad le mencionamos al estudiante la propiedad que ha encontrado
y las dos maneras en que puede resolverse. En el siguiente cuadro se muestra la actividad 4.
Actividad 5. Con esta actividad se pretende profundizar esta propiedad resolviendovarios
ejercicios, donde esperamos que se dé cuenta que resolviendo de las dos maneras llega al mismo
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resultado (esta es nuestra herramienta para dar cuenta del carácter convencional de 20 ). El
siguiente cuadro muestra la actividad 5.
Cuarta etapa: Confrontar y convenir
Actividad 6. Se le pregunta cuánto vale 2⁰ para determinar cuál es su conocimiento previo
de este objeto matemático, antes de pasar a la siguiente actividad. Por las investigaciones
consultadas sabemos que es muy probable que los estudiantes contestarán 2⁰ = 0 o que 2⁰ = 2, por
el manejo que se le da en los libros y en las aulas escolares a estos objetos matemáticos y por la
influencia del concepto de los exponentes naturales. El siguiente cuadro muestra la actividad 6.
Actividad 7. Estas actividades dependen de la respuesta del estudiante que haya dado en la
actividad anterior, aquí confrontará su conocimiento de 2⁰ con la ley del producto de exponentes
resolviendo de las dos maneras. Si su respuesta es 1. Observará que llega al mismo resultado
resolviendo de las dos maneras y si no tendrá que convenir cuánto tiene que valer 2⁰ para obtener
el mismo resultado (es aquí donde el alumno podría darse cuenta del carácter convencional de
porqué 2⁰ debe ser igual a 1). El siguiente cuadro muestra la actividad 7.
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Actividad 8. Por último, se le pregunta por segunda vez cuánto vale 2⁰ después de haber
analizado la actividad anterior. El siguiente cuadro muestra la pregunta de la actividad 9.
Una vez terminadas estas actividades con el exponente cero, se comenzó a trabajar con
exponentes negativos y posteriormente con exponentes fraccionarios, basándonos en las dos
maneras para calcular el producto de dos potencias de dos para convenir su valor.
Exponentes negativos:
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Conclusiones
Cuando me presenté en mi primer día del verano nos dieron una breve explicación de lo
que se hace en Matemática Educativa, y después empezamos a trabajar con el diseño de los
exponentes. Debo admitir que al principio yo esperaba o al menos creía que íbamos a estar haciendo
ejercicios de la manera que siempre lo hacíamos en nuestra unidad académica sin embargo aquí
me llevé con una gran sorpresa porque resulta que en este experimento la metodología era muy
diferente, yo estaba acostumbrada a que siempre antes de una actividad el profesor nos explicara
el procedimiento o al menos nos diera el tema pero ahora no fue de esa manera, simplemente nos
dieron unas actividades y empezamos a resolverlas como le entendíamos, sin embargo esto fue
muy productivo para mí, ya que me ayudó a ver mi forma de razonamiento durante las actividades
y analizar qué era lo que debía de cambiar para mejorar mi forma de aprendizaje, entonces me di
cuenta que era precisamente mi forma de razonamiento lo que debía de cambiar para tener mejores
resultados porque era ahí donde estaba el problema que me impedía resolver las actividad
correctamente, me di cuenta que mi razonamiento era muy simple, común e insuficiente para poder
comprender un problema de potenciación más a fondo y considero mi razonamiento de esa manera
porque siempre durante las actividades no me he interesado en la razón de su procedimiento sino
que simplemente me intereso en resolverla y no preguntar por qué se tiene que realizar de esa
manera y no en otra siempre me conformaba con entenderle a las actividades y con este
experimento pude cambiar un poco mi forma de razonamiento porque durante las actividades me
iba dando cuenta que si yo hubiera conocido un poco más de la parte teórica de las potencias estoy
segura que lo práctico me hubiera resultado más sencillo y lo digo porque en el desarrollo de este
experimento trabajé de esa forma y todo fue más sencillo.
Como mencioné anteriormente yo tenía la idea de resolver problemas como lo hacía en la
escuela, pensaba que nos iban a poner problemas de cálculo o por lo menos temas que veríamos en
el quinto semestre pero con la idea de que nos iban a calificar y la rutina diaria de cómo se trabajaba
en matemáticas, pero en matemática educativa lo que se trata de hacer es ayudar al estudiante
explicándole el porqué de algo, para que de ahí él empiece a analizar el problema y llegar a una
conclusión; es decir, en matemática educativa nos explican por qué 20=1 mientras que en las clases
de matemáticas básicas o complicadas simplemente el profesor nos dice que 20=1 pero no nos da
la razón de porqué tiene que ser de esa manera y es ahí donde muchos estudiantes se confunden y
empiezan a tener problemas porque ellos ya tienen la idea de que cualquier número multiplicado
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por cero da cero, entonces ellos no logran entender y empiezan a relacionar ambas cosas:
multiplicación de dos números con potenciación, la matemática educativa resuelve esos conflictos
del estudiante para apoyarlo a razonar de la manera adecuada. Aunque yo esperaba lo mismo de
siempre me alegra haber intentado algo diferente, porque ahora estoy segura de que puedo entender
mejor los problemas y creo que este experimento es muy productivo para el aprendizaje del
estudiante.
Razonamiento en equipo.
Llegué a la conclusión de que comprendemos mejor las cosas si sabemos la razón de porqué
se hacen de esa manera, que necesitamos estudiar por completo algo para poder manejarlo en su
totalidad. Aprendí que es más fácil resolver cualquier tipo de potencias; es decir, potencias con
exponentes naturales, negativos, fraccionarios entre otros, siempre; si conozco las leyes de los
exponentes y sé por qué esas leyes tienen que ser de esa manera y no de otra, esto último es muy
importante porque gracias al experimento yo pude darme cuenta que una vez establecida cierta ley
siempre tiene que dar resultado para actividades de ese tipo ya que si establecemos otra ley
alteraríamos todo el resultado.
Experimenté estrategias de enseñanza-aprendizaje que eran producto de la investigación en
Matemática Educativa.
Logré construir la ley de los exponentes para el producto. Siento que logré todos los
objetivos, tal vez no de la manera en que se lo esperaba, pero para mí ya es un gran avance ya que
llevo un nuevo conocimiento del cual mis compañeros no tienen ni idea o no se interesan por ello,
pero no saben que es muy útil para el transcurso de su estudio.
En fin, concluyo que este experimento de enseñanza se debe de compartir con los
estudiantes porque, así como me ha ayudado mucho a mí para mejorar mi forma de razonamiento
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en el aprendizaje de las matemáticas puede ayudar mucho más a los demás, es un experimento muy
eficiente y de gran ayuda para los estudiantes.
Referencias bibliográficas
Antonio, R. y Martínez-Sierra, G. (2005). Una alternativa para la construcción aritmética-
algebraica de las convenciones matemáticas presentes en los exponentes. En J. Lezama, M.
Sánchez y G. Molina (Eds). Acta latinoamericana de Matemática Educativa 18(pp.445-450).
México: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A.C. ISBN:9/0-99/1-00-X.
Martínez-Sierra (2002). Explicación Sistémica de Fenómenos Didácticos ligados a las
Convenciones Matemáticas. Revista Latinoamericana de Matemática Educativa, 5(1), 45-78.
Martínez-Sierra, G. (2010). Los estudios sobre los procesos de convención matemática: una síntesis
metódica sobre la naturaleza de sus resultados. Revista Latinoaericana de Investigación en
Matemática Educativa, 13 (4), 269-282.
Steffe, L. P., & Thompson, P. W. (2000). Teaching experiment methodology: Underlying
principles and essential elements. In R. Lesh & A. E. Kelly (Eds.), Research design in mathematics
and science education (pp. 267-307). Hillsdale, NJ: Erlbaum