Upload
thanhthung-dinh
View
14
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
các bạn cố gắng nhé
Citation preview
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 1/33
NG DNG CA TÍCH PHÂN
TS. Lê Xuân Đi
Trưng Đi hc Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa hc ng dng, b môn Toán ng dng
Email: [email protected]
TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 1 / 1
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 2/33
Tính din tích min phng Công thc tính din tích min phng
Đnh lýCho f (x ) kh tích trên [a, b ]. Khi đó din tíchmin phng gii hn bi y = f (x ), x = a, x = b ,
trc Ox là
S =
b a |f (x )|dx .
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 2 / 1
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 3/33
Tính din tích min phng Công thc tính din tích min phng
Đnh lý
Nu min phng D gii hn bi y = f (x ), y = g (x ), x = a, x = b thì
S =
b a |f (x )− g (x )|dx .
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 3 / 1
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 4/33
Tính din tích min phng Công thc tính din tích min phng
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 4 / 1
C
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 5/33
Tính din tích min phng Công thc tính din tích min phng
1 Tính yu t din tích dS 2 Ly tng suy rng các dS
Chia [a, b ] thành n đon bi phân hocha = x 0 < x 1 < . . . < x i −1 < x i < . . . < x n = b . Yu tdin tích
S i = [f (ξ i )− g (ξ i )].∆x i
Din tích hình phng
S = limn→∞
ni =1
S i = limn→∞
ni =1
[f (ξ i )− g (ξ i )].∆x i
= b
a
dS = b
a
[f (x )
−g (x )]dx
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 5 / 1
Tí h di í h i h Ví d
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 6/33
Tính din tích min phng Ví d
Ví d
Tính din tích hình phng, gii hn bi y = 4x − x 2 và trc Ox
Phương trình hoành đ giao đim ca y = 4x − x 2 và trc Ox
4x − x 2 = 0 ⇔x = 0
x = 4
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 6 / 1
Tí h di tí h i h Ví d
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 7/33
Tính din tích min phng Ví d
S =
4
0
(4x − x 2)dx =
2x 2 − 1
3x 3
4
0
= 32
3
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 7 / 1
Tính din tích min phng Ví d
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 8/33
Tính din tích min phng Ví d
Tìm din tích hình phng gii hn bi y = (x − 1)2 và
x 2
− y 2
2 = 1
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 8 / 1
Tính din tích min phng Ví d
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 9/33
Tính din tích min phng Ví d
Phương trình hoành đ giao đim ca parabol vàhyperbol
x 2− (x − 1)4
2 = 1 ⇔ x 4− 4x 3 + 4x 2− 4x + 3 = 0
⇔ (x − 1)(
x − 3)(
x 2
+ 1) = 0 ⇔
x = 1
x = 3
S =3
1
[
2(x 2 − 1)− (x − 1)2]dx =
=√ 2
2
x √ x 2 − 1 + ln |x +√
x 2 − 131− 1
3
(x − 1)3
31
=
= 10
3
+
√ 2
2
ln(3 +√
8)
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 9 / 1
Tính din tích min phng Bài tp
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 10/33
Tính din tích min phng Bài tp
Bài 1.Tính din tích min phng gii hn bi y = x − x 2, y = x √ 1− x
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 10 / 1
Th tích ca vt th tròn xoay Công thc tính th tích ca vt th tròn xoay
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 11/33
Th tích ca vt th tròn xoay Công thc tính th tích ca vt th tròn xoay
Đnh lý
Th tích ca vt th to bi khi quay hình thang cong 0 y f (x ), a x b quanh trc Ox là
V x = π
b a
f 2(x )dx .
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 11 / 1
Th tích ca vt th tròn xoay Công thc tính th tích ca vt th tròn xoay
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 12/33
Th tích ca vt th tròn xoay Công thc tính th tích ca vt th tròn xoay
1
Tính vi phân th tích dV : ng vi vi phân dx ta có 1 vt th vô cùng bé là 1 lát mng, cóth coi là hình tr đáy S (x ) và chiu cao dx .
Do đó dV = S (x )dx 2 Ly tng suy rng
V =
b a dV =
b a S (x )dx = π
b a f
2
(x )dx
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 12 / 1
Th tích ca vt th tròn xoay Công thc tính th tích ca vt th tròn xoay
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 13/33
Th tích ca vt th tròn xoay Công thc tính th tích ca vt th tròn xoay
Đnh lý
Th tích ca vt th to bi khi quay hình thang
cong 0 x g ( y ), c y d quanh trc Oy là
V y = π
d c
g 2( y )dy .
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 13 / 1
Th tích ca vt th tròn xoay Công thc tính th tích ca vt th tròn xoay
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 14/33
y g y
Đnh lý
Th tích ca vt th to bi khi quay hình thang
cong 0 y f (x ), a x b quanh trc Oy là
V y = 2π
b a
xf (x )dx .
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 14 / 1
Th tích ca vt th tròn xoay Công thc tính th tích ca vt th tròn xoay
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 15/33
y g y
1 Tính yu t th tích dV : ta hình dung lp
hình hp này có đáy là tm hình ch nht vichiu rng là f (x ) chiu dài là 2πx và chiucao dx . T đó
dV = 2πxf (x )dx
2 Ly tng suy rng
V =
b
a
dV = 2π
b
a
xf (x )dx
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 15 / 1
Th tích ca vt th tròn xoay Ví d
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 16/33
Tính th tích vt th tròn xoay, khi quay hìnhphng gii hn bi y 2 = (x
−1)3, y 0 và x = 2,
quanh trc Ox .
V = π
2
1 y 2
dx = π
2
1 (x − 1)3
dx =
= 1
4π (x − 1)4
21 =
π
4TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 16 / 1
Th tích ca vt th tròn xoay Ví d
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 17/33
Ví dTính th tích vt th tròn xoay, khi quay hình
phng gii hn bi y = x 2, x = 1, x = 2, y = 0quanh trc Oy
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 17 / 1
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 18/33
Th tích ca vt th tròn xoay Bài tp
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 19/33
Bài 1
Tính th tích vt th tròn xoay to nên khi quaymin phng gii hn bi y = x 2, y = 0, x + y = 3
quanh trc Ox
Bài 2.Tính th tích vt th tròn xoay to nên khi quay
min phng gii hn bi y = ln x , y = 0, x = 1, x = 2 quanh trc Ox . ĐS.
V x = 2π ln2 2− 4π ln 2 + 2π.
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 19 / 1
Th tích ca vt th tròn xoay Bài tp
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 20/33
Bài 3Tính th tích vt th tròn xoay to nên khi quay
min phng gii hn bi y = x + arctan x , y = x − arctan x , x = 0, x = 1
quanh trc Ox . ĐS. V x = π2 − 2π.
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 20 / 1
Tính đ dài cung Công thc tính đ dài cung
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 21/33
Đnh lýCho cung AB có phương trình y = f (x ),
a
x
b . Khi đó đ dài cung AB là
L =
b a
1 + f 2(x )dx .
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 21 / 1
Tính đ dài cung Công thc tính đ dài cung
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 22/33
Chia đon [a, b ] bi nhng đimA = M 0,M 1, . . . ,M i
−1,M i , . . . ,M n = B . Đ dài
cung M i −1M i là
Li =
(x i
−x i −1)2 + ( y i
− y i −1)2
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 22 / 1
Tính đ dài cung Công thc tính đ dài cung
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 23/33
Theo đnh lý Lagrange, ta có
y i − y i −1 = f (ξ i )(x i − x i −1) = f (ξ i ).∆x i ,
ξ ∈ (x i −1, x i ). Khi đó đ dài ca c cung AB làL = lim
n→∞
ni =1
Li = limn→∞
ni =1
1 + (f (ξ i ))2∆x i =
=
b
a
1 + f 2(x )dx
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 23 / 1
Tính đ dài cung Ví d
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 24/33
Ví d
Tính đ dài cung y =
x 2
2 −ln x
4 , 1 x 3.
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 24 / 1
Tính đ dài cung Ví d
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 25/33
Ta có f (x ) = y = x − 1
4x
L = 3
1 1 + x −
1
4x 2
dx = 3
1 x 2 + 1
16x 2 +
1
2dx .
=
3
1
4x 2 + 1
4x dx =
x 2
2 − 1
4 ln |x |
3
1
= 4 + 1
4 ln 3
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 25 / 1
Tính đ dài cung Bài tp
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 26/33
Bài 1Tính đ dài cung y =
x 3
12 +
1
x , 1 x 4. ĐS
25
6
Bài 2
Tính đ dài cung y = ln(1− x 2),−1
2 x
1
2.
ĐS. 2 ln 3− 1
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 26 / 1
Tính din tích mt tròn xoay Công thc tính din tích mt tròn xoay
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 27/33
Đnh lýDin tích mt tròn xoay to bi khi quay cung
tròn y = f (x ), a x b quanh trc Ox là
S = 2π
b a |
f (x )
|
1 + f 2(x )dx
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 27 / 1
Tính din tích mt tròn xoay Công thc tính din tích mt tròn xoay
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 28/33
1 Yu t din tíchdS = 2π|f (x )|d = 2π|f (x )| 1 + f 2(x )dx
2 Din tích mt tròn xoay là
S =
b a
dS = 2π
b a
|f (x )|
1 + f 2(x )dx
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 28 / 1
Tính din tích mt tròn xoay Ví d
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 29/33
Ví dTính din tích b mt tròn xoay to bi khi quay
cung y = sin 2x , 0 x π2 quanh trc Ox
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 29 / 1
Tính din tích mt tròn xoay Ví d
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 30/33
y = 2 cos 2x . Khi đó
S = 2π
π/2
0
sin2x √
1 + 4 cos2 2xdx .
Đt t = 2 cos 2x ⇒ dt = −4sin2xdx ⇒sin2xdx =
−
1
4
dt , x 0 π
2
t 2 −2
.
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 30 / 1
Tính din tích mt tròn xoay Ví d
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 31/33
Vy
S = 2π
−
2
2√ 1 + t 2
−1
4
dt =
=
π
2
2
−2√ 1 + t 2dt =
= π
2
t
2
√ 1 + t 2 +
1
2
ln(t +√
1 + t 2)
2
−2
=
= π
2[2√
5 + ln(2 +√
5)]
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 31 / 1
Tính din tích mt tròn xoay Bài tp
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 32/33
Bài 1.Tính din tích b mt tròn xoay khi quay cung y =
√ x 2 + 4, 0 x 1 quanh trc Ox . ĐS.
π√
2
√
3 + ln 1 +√ 3√
2
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 32 / 1
Tính din tích mt tròn xoay Bài tp
7/21/2019 Ung Dung Tich Phan
http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 33/33
THANK YOU FOR ATTENTION
TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 33 / 1