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Unidad 1
Induccion Matematica
1. En los problemas siguientes utilice induccion matematica para demostrarque la formula dada se cumple para toda n = 1, 2, ... a menos que seespecifique algun otro conjunto de valores.
(a) 2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n (n + 1)
(b) 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = n(n+1)(2n+1)6
(c) 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) = n2
(d)n∑
i=1i (i + 1) = n(n+1)(n+2)
3
(e)n∑
i=03i = 3n+1
−12
(f)n∑
i=1(3i − 2) = n(3n−1)
2
(g)n∑
i=0
(
12
)i= 2 − 1
2n
2. (Induccion Matematica aplicada a inecuaciones)
(a) 3n > 2n + 20, con n ≥ 4
(b) 2n ≥ n2 si n ≥ 4
(c) log10 n < n (Sugerencia: k + 1 < 10k)
(d) (1 + x)n ≥ 1 + nx, donde x ≥ −1
(e)(
12
)n< 1
n
1
2 UNIDAD 1. INDUCCION MATEMATICA
3. (Induccion Matematica y divisibilidad)
(a) n + n2 es par
(b) n (n2 + 5) es divisible entre 6 (sugerencia: Utilice el problema 3a)
(c) xn − 1 es divisible entre x − 1
(d) xn − yn es divisible entre x − y
(e) n3 − n es divisible entre 3
4. (Problemas adicionales)
(a) Demuestre que la suma de los angulos internos de un polıgonoregular de n lados es 180◦ (n − 2)
(b) De una demostracion formal de que (ab)n = anbn
(c) Demuestre que para n ≥ 2
(
1 − 14
) (
1 − 19
) (
1 − 116
)
· · ·(
1 − 1n2
)
= n+12n
(d) Demuestre que
n < n2−n
12+ 2 si n > 10
(e) Demuestre la formula del binomio de Newton
(a + b)n =n∑
i=0
(
ni
)
an−ibi
Unidad 2
Matrices y Sistemas deEcuaciones
2.1 Matrices
1. Si
A =
3 1 4−2 0 1
1 2 2
y B =
1 0 2−3 1 1
2 −4 1
calcule:
(a) 2A (b) A + B (c) 2A − 3B
(d) (2A)T − (3B)T (e) AB (f) BA
(g) AT BT (h) (BA)T (i) 13A + B
2. Si A =
3 41 12 7
, verifique que:
(a) 5A = 3A + 2A (b) 6A = 3 (2A) (c)(
AT)T
= A
3. Si A =
(
2 41 3
)
, B =
(
−2 10 4
)
y C =
(
3 12 1
)
3
4 UNIDAD 2. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
verifique que:
(a) (A + B) + C = A + (B + C)
(b) (AB) C = A (BC)
(c) A (B + C) = AB + AC
(d) (A + B) C = AC + BC
4. Dadas las matrices:
M =
(
4 33 2
)
y Q =
(
a bc d
)
(a) Halle una matriz L tal que al multiplicar a M por la izquierda elresultado sea la matriz Q
(b) Halle una matriz R tal que al multiplicar a M por la derecha elresultado sea la matriz Q
(c) Obtenga todos los valores posibles de a,b, c, y d tales que L = R
5. Sea
A =
12
−12
−12
12
Calcule A2 y A3. ¿Que valor tendra An?. Haga la demostracion porinduccion de lo anterior
6. Demuestre que si A =
1 0 10 1 11 0 1
entonces An =
2n−1 0 2n−1
2n−1 1 2n−1
2n−1 0 2n−1
7. Determinar una matriz X2×2 tal que
(a) X +
(
4 −21 3
)
= I2×2 (b)
(
1 42 −2
)
X = I2×2
8. Hallar dos matrices A2x2 y B2x2 tales que (A + B) (A − B) 6= A2 − B2
(a) ¿Bajo que condicion es valida la igualdad?
2.1. MATRICES 5
(b) ¿Es (AB)2 = A2B2 una igualdad matricial? Justifique surespuesta
9. Si A, B y C son matrices nxn tales que AC = CA = I. Despejar C enfuncion de A, B, I de las siguientes ecuaciones:
(a) 6C + 5A = B (b) 3C2 − 4C = 5A
(c) (A − C)2 − C2 = 3C − 7B (d) BAC − 2C2 = A
10. Hallar los numeros reales x, y, z,u y v para los que se verifica:
x 20 yz 1
(
−1 vu 0
)
=
5 1−3 0
1 2
11. Sea A =
(
1 00 −1
)
y B =
(
0 11 0
)
. Demuestre que, si X ∈ R2x2 y
verifica la igualdadXT AX = B, entonces X tiene una de las siguientes formas:
(
α 12α−1
α 12α−1
)
o
(
α 12α−1
−α 12α−1
)
con α ∈ R
12. Demostrar que:
(a) Si Anxn y Bnxn son simetricas y conmutan, entonces AB es simetrica.
(b) Si Anxn es simetrica y Bnxn es antisimetrica, entonces AB es anti-simetrica si A y B conmutan.
(c) Si Anxn y Bnxn son antisimetrica, entonces AB es antisimetrica siy solo si AB = BA.
13. Sea Anxn. Definimos la traza de A por tr (A) =n∑
i=1aii. Pruebe que:
(a) si k ∈ R, entonces tr (kA) = ktr (A)
(b) tr (A + B) = tr (A) + tr (B)
(c) tr (AB) = tr (BA)
6 UNIDAD 2. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
(d) tr (B−1AB) = tr (A)
(e) tr (A) =n∑
i=1
n∑
j=1a2
ij
14. Sean Anxn y Bnxn tales que AB = BA y B2 = Onxn. Si C = A + B,entonces pruebe que para p ∈ N se tiene que
Cp+1 = Ap (A + (p + 1) B)
15. Sea A =
(
cos θ ksenθ− senθ
kcos θ
)
, con k 6= 0. Demuestre que:
An =
(
cos (nθ) ksen (nθ)
− sen(nθ)k
cos (nθ)
)
16. Sean A =
3 1 −10 5 −22 1 −3
, B =
1 2−1 3
4 0
y C =
(
−41
)
Calcular A2, AB, AT B, AT B + BT A, BT AT , ABC
17. Hallar una matriz B tal que
(a) AB = I, siendo A =
(
2 −10 3
)
(b) AB = O2x2, siendo A =
(
1 12 2
)
. ¿Es B unica ?
18. Si Anxnes una matriz antisimetrica y si I −A es invertible, pruebe queB = (I + A) (I − A)−1es ortogonal
19. Demostrar que:
(a)(
AT)
−1= (A−1)
T
(b) Si A es simetrica, A−1 tambien lo es
(c) Si A es idempotente y B ortogonal, BT AB es idempotente
(d) Si Anxn es involutiva si y solo si (I − A) (I + A) = Onxn
2.1. MATRICES 7
(e) Sabiendo que A y B son matrices cuadradas tales que A = AB yB = BA, comprobar que A y B son idempotente
20. Si A es invertible y la inversa de 4A es
(
4 53 −1
)
. Hallar A
21. Demuestre que si A es una matriz no singular simetrica, entonces A−1estambien simetrica
22. Sea A una matriz antisimetrica tal que A + I es invertible. Demostrarque :
(a) (I − A) es una matriz invertible
(b) (I + A) y (I − A) conmutan
(c) (I − A)−1 (I − A) y (I − A)−1 (I + A) son matrices ortogonales
23. ¿Cuales de las siguientes matrices son matrices elementales? Clasi-fiquela de acuerdo a la operacion elemental que se realice
(a)
(
0 11 0
)
(b)
(
1 01 1
)
(c)
(
1 00 2
)
(d)
(
2 00 3
)
(f)
1 0 00 1 05 0 1
(g)
0 1 00 0 11 0 0
(h)
1 0 02 1 03 0 1
(e)
1 0 00 5 00 0 1
24. Para cada una de las siguientes parejas de matrices, determine unamatriz elemental E tal que EA = B
8 UNIDAD 2. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
(a) A =
2 1 3−2 4 5
3 1 4
B =
2 1 33 1 4
−2 4 5
(b) A =
4 −2 31 0 2
−2 3 1
B =
4 −2 31 0 20 3 5
(c) A =
(
2 −15 3
)
B =
(
−4 25 3
)
(d) A =
1 23 45 6
B =
1 20 −25 6
25. Sea
A =
1 2 1 0−1 0 3 5
1 −2 1 1
Hallar una matriz escalon reducida por filas R que sea equivalente a A,y una matriz invertible 3x3, P , tal que R = PA
26. Para cada una de las siguientes matrices
2 5 −14 −1 26 4 1
1 −1 23 2 40 1 −2
emplear operaciones elementales de fila para determinar cuando es in-vertible y encontrar la inversa en el caso de que lo sea.
27. Sea A =
(
a bc d
)
. Demostrar, usando operaciones elementales de fila,
que A es invertible ⇔ (ad − bc) 6= 0
28. Expresar A=
2 2 20 1 11 2 3
como producto de matrices elementales
2.1. MATRICES 9
29. ¿Para que valores de k es A singular en donde A =
1 −2 31 k 6−1 3 k − 3
?
30. Demostrar por induccion que:
(
1 10 1
)n
=
(
1 n0 1
)
31. (a) Si Anxn y Bnxn son diagonales, Demostrar que AB = BA
(b) Si Amxn tiene una fila nula y Bnxm. Demostrar que AB tiene unafila nula
(c) Si Amxn y tiene una columna nula y Bnxm. ¿Que podemos decir deAB?
32. Sea Amxn = [C1, C2, ..., Cn] particionada en columnas y X = (x1, x2, ..., xn)T .
Probar que
AX =n∑
i=1xiCi
33. Sea A =
1 2 03 5 07 9 1
, escrita A como producto de matrices elemen-
tales
34. Sea A =
a b c0 d e0 0 f
donde adf 6= 0. Escriba A como el producto de
tres matrices elementales y concluya que A es invertible.
35. Sea A =
(
a bc d
)
una matriz con elementos no negativos los cuales
cumplen las propiedades siguientes:
i) a2 + b2 = 1 ii) c2 + d2 = 0; iii) ac + bd = 0
Demuestre que AT es la inversa de A
10 UNIDAD 2. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
36. Determine la inversa de cada una de las siguientes matrices
a)
(
−1 11 0
)
b)
(
2 51 3
)
c)
(
2 63 8
)
d)
(
3 09 3
)
e)
2 0 50 3 01 0 3
f)
−1 −3 −32 6 13 8 3
g)
1 0 1−1 1 1−1 −2 −3
37. Cuatro amigos A, B, C y D tienen numeros telefonicos que no aparecenen la guıa telefonica. En la matriz U se indica si una persona conoceo no el telefono de otra, donde el numero 1 indica conocido y 0 indicano conocido. Por ejemplo, el 1 en la fila 3 y en la columna 1 significanque C conoce el telefono de A.
A B C D
U =
ABCD
1 0 1 00 1 1 01 0 1 10 1 0 1
(a) Calcule U 2
(b) Interprete U 2 en terminos de la posibilidad de que cada personapueda transmitir un mensaje telefonico a otra.
(c) ¿Puede D enviar un mensaje a A vıa otra persona?
(d) Interprete U 3
2.2. SISTEMAS DE ECUACIONES 11
2.2 Sistemas de Ecuaciones
1. Determine los valores de a de manera tal que el sistema tenga:
(a) ninguna solucion
(b) mas de una solucion
(c) solucion unica
x + y − z = 12x + 3y + az = 3x + ay + 3z = 2
2. Resuelva los siguientes sistemas:
a)
3x1 − x2 + 2x3 = 1x1 + x2 + x3 = 22x1 − x2 + x3 = 3
b)
x1 − 4x2 + 2x3 = 12x1 + 2x2 = 1
x1 − 3x2 + 4x3 = 2
c)
x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = 1x1 + x2 − x3 + x4 = 2
x1 + 7x2 − 5x3 − x4 = 3d)
x1 + x2 − 3x3 = −12x1 + x2 − 2x3 = 1x1 + x2 + x3 = 3
x1 + 2x2 − 3x3 = 1
e)
2x1 − 3x2 + x3 = 0x1 + x2 − x3 = 03x1 + 4x2 = 0
5x1 + x2 + x3 = 0
f)
3x1 + 2x2 + x4 = 0x1 + 2x2 + x3 = 1
5x1 + 6x2 + 2x3 + x4 = 2
3. Estudie los siguientes sistemas segun el valor de k
a)
x1 − 2x2 + 3x3 = 22x1 + kx2 + 6x3 = 6
−x1 + 3x2 + (k − 3)x3 = 0b)
x1 + 2x2 − 3x3 = 43x1 − x2 + 5x3 = 2
4x1 + x2 + (k2 − 4)x3 = k + 2
c)
2x1 + kx2 − kx3 = 2k2kx1 + x2 − 2x3 = −k
x1 + 3kx2 + 2kx3 = 16kd)
x + (k + 1)y + z = 0x + y + (k + 1)z = 0(k + 1)x + y + z = 0
12 UNIDAD 2. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
4. Dado el sistema
1 1 a1 a 1a 1 1
xyz
=
a2
a1
. Determine los valores
de a para que sea
a) incompatible b) compatible determinado c) compatible indeterminado
5. Resuelva el siguiente sistema no lineal de ecuaciones empleando lo queUd. sabe sobre ecuaciones lineales y utilizando un artificio particular
x2 + y2 + z2 = 6x2 − y2 + 2z2 = 22x2 + y2 − z2 = 3
6. ¿Para que valores no nulos x existe un escalar un c tal que Ax = cx?
con A =
3 −1 22 1 11 −3 0
7. ¿Para que valores de λ el siguiente sistema tiene solucion no triviales?
{
(λ − 3)x + y = 0x + (λ − 3) y = 0
8. Resolver el sistema Ax = b siendo A =
1 1 1 11 5 3 31 3 10 51 3 5 15
y
i) b =
1211
ii) b =
0111
iii) b =
1020
9. Sea (c1,c2) una solucion del sistema 2 × 2
{
a11x1 + a12x2 = 0a21x1 + a22x2 = 0
2.2. SISTEMAS DE ECUACIONES 13
Demuestre que para cualquier numero real α, la pareja ordenada(αc1, αc2)es tambien una solucion
10. Sea
A =
1 0 13 3 42 2 3
(a) Compruebe que
A−1 =
1 2 −3−1 1 −1
0 −2 3
(a) Utilice A−1 para resolver el sistema Ax = b para las siguienteselecciones de b :
i) b = (1, 1, 1)T
ii) b = (1, 2, 3)T
iii) b = (−2, 1, 0)T
2.2.1 Aplicaciones
11. Un departamento de caza y pesca estatal suministra 3 tipos de ali-mentos a un lago que mantiene a 3 especies de peces. Cada pez de laespecie 1 consume cada semana un promedio de una unidad de alimento1, una unidad del alimento 2 y dos unidades del alimento 3. Cada pezde la especie 2 consume cada semana un promedio de tres unidadesdel alimento 1, cuatro unidades del alimento 2 y cinco unidades del ali-mento 3. Cada semana en promedio un pez de la especie 3 consume dosunidades del alimento 1, una unidad del alimento 2 y cinco unidadesdel alimento 3. Cada semana se proporciona al lago 15000 unidadesdel alimento 1, 10000 del alimento 2 y 35000 del alimento 3.
Suponiendo que los tres alimentos se consumen integralmente, ¿quepoblacion de cada especie se encontrara en coexistencia? ¿existe unasolucion unica? Estime la poblacion de la tercera especie
14 UNIDAD 2. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
12. Una destilera clandestina mezcla alcohol, colorante y licor base parafabricar 3 tipos de whisky.
El whisky tipo A contiene 5% de colorantes y 40% de alcohol, el whiskytipo B contiene 3% de colorantes y 45% de alcohol mientras que elwisky tipo C contiene 4% de colorantes y 47% de alcohol. En el procesode mezclado se pierde 10% de alcohol por evaporacion. Actualmente laempresa dispone de 400 litros de alcohol, 415 litros de licor base y de25 litros de colorantes. ¿Cuantos litros de cada tipo de whisky podrafabricar la empresa si quiere utilizar toda la existencia?
13. Una firma de transporte posee tres tipos de camiones, A, B y C, Loscamiones estan equipados para el transporte de 2 clases de maquinaspesadas (clase 1 y clase 2). El tipo A puede transportar 2 maquinasclase 1 solamente, el tipo B puede transportar 1 maquina clase 1 y1 clase 2, y el tipo C puede transportar 1 maquina clase 1 y 2 clase2. La firma consigue una orden para transportar 32 maquinas clase 1y 10 maquinas clase 2. Formule el sistema de ecuaciones y encuentreel numero de camiones de cada tipo que se requieren para cumplir laorden, suponiendo que, cada camion debe estar completamente cargadoy el numero exacto de maquinas pedidas es el que se debe despachar.Si los costos y gastos de cada tipo de camion son los mismos para lafirma, ¿cual es la solucion mas economica?
14. La demanda de boletos de la Cross Country Airlines ha aumentadotanto que la compania esta analizando la posibilidad de adquirir nuevosaviones. existen 3 tipos de aviones en el mercado, la siguiente tablamuestra la cantidad de tiempo requerido de mantenimiento mensualpara cada tipo:
avion capacidad tiempo de mantenimiento (horas por mes)tipo 1 350 25tipo 2 250 15tipo 3 200 15
La compania requiere que los nuevos transporten un total combinado de3900 pasajeros y dispone en sus hangares de 250 horas mensuales parasu mantenimiento. Solamente existen 15 aviones del tipo 3 disponiblesen el mercado. ¿Cuantos aviones de cada tipo debe comprar la Cross
2.2. SISTEMAS DE ECUACIONES 15
Airlines para utilizar todo el tiempo disponible en susu hangares?
15. Un individuo tiene acciones en tres companias A, B, y C. Un dıa, lasacciones de A se cotizan a Bs. 20, B a 10 y C a 20 y el valor total delas acciones es de Bs. 710. En otra oportunidad las cotizaciones sonde Bs. 30, 10 y 50 respectivamente y el valor total Bs 1690. Hallar elnumero de acciones que tiene la persona en cada empresa.
16. Un viajero recien llegado de Europa gasto en alojamiento, por dıa, 30$en Inglaterra, 20$ en Francia, 20$ en Espana. En comida, por dıa,gasto 20$ en Inglaterra, 30$ en Francia y 20$ en Espana. Adicional-mente desembolso 10$ por dıa en cada paıs en gastos varios. El registrode nuestro viajero indica que gasto un total de 340$ en alojamiento,320$ en alimento y 140$ en gastos varios en su recorrido por todos estostres paises. Calcule el numero de dıas que permanecio en cada paıs omuestre que el registro debe ser incorrecto
17. Un comerciante dispone de un espacio de 500 m3 para almacenar 3 tiposde productos no perecederos que importa y dispone de 4590$ para estaoperacion. Los productos vienen en cajas. Una caja del producto 1contiene 10 unidades del producto y ocupa un volumen de 5 m3. Elproducto 2 viene en cajas de 10 m3, cada uno con 3 unidades. Una cajadel producto 3 trae 15 unidades de este producto y ocupa un volumende 7 m3. Los precios por unidad para los productos 1, 2 y 3 son respec-tivamente 10$, 18%$ y 16$ . Por su experiencia pasada, el comerciantesabe que vende 2 veces mas del producto 3 que del producto 2. ¿Cualdebe ser el pedido del comerciante para gastar los 4590$ disponiblessin exceder su capacidad de almacenamiento?
18. Un agente secreto sabe que 60 equipos aereos, que consisten en avionesde combate y bombarderos, estan estacionados en cierto campo aereosecreto. El agente quiere determinar cuantos de los 60 equipos sonaviones de combate y cuantos son bombarderos. Existe un tipo decohete que llevan ambos aviones; el de combate lleva 6 de ellos y elbombardero solo 2. El agente averigua que se requieren 250 cohetespara armar a todos los aviones del campo aereo. Aun mas, escucha que
16 UNIDAD 2. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
se tiene el doble de aviones de combate que bombarderos en la base.Calcule el numero de aviones de combate y bombarderos en el campoaereo o muestre que la informacion del agente es incorrrecta ya que esinconsistente
19. Encuentre valores de a, b y c tales que la parabola y = ax2 + bx + cpase por los puntos (−2,−32),(1, 4) y (3,−12)
20. La tienda local de articulos para jardın almaceno tres marcas de fer-tilizantes de fosfato-potasio-nitrogeno con las composiciones indicadasen la siguiente tabla:
Marca Fosfato Potasio NitrogenoA 10% 30% 60%B 20% 40% 40%C 20% 30% 50%
21. Un analisis de suelo muestra que cierto productor necesita fertilizantepara su jardın con 19% de fosfato, 34% de potasio y 47% de nitrogeno.¿Puede obtener la mezcla correcta mezclando las tres marcas? Si esası, ¿cuantas libras de cada una debe mezclar para obtener 100 librasde la mezcla deseada?
22. La empresa MARAVEN produce gasolina, aceite y gas natural; peropara producir estos productos MARAVEN utiliza a su vez estos mismosinsumos. Suponga que para producir 1 unidad de gasolina MARAVENusa 0 unidades de gasolina, 1 unidad de aceite y 1 unidad de gas natural.Para producir una unidad de aceite utiliza 0 de gasolina, 1/5 de aceitey 2/5 de gas natural. Para una unidad de gas natural utiliza 1/5 degasolina, 2/5 de aceite y 1/5 de gas natural. Tambien MARAVEN tienesus clientes externos que compran 100 unidades, 100 unidades de aceitey 100 unidades de gas natural.
Se desea conocer:
(a) La matriz insumo-producto de MARAVEN
(b) A fin de satisfacer su propio consumo y el de los clientes establezcael sistema de ecuaciones en forma matricial y de allı resuelva paracalcular cuantas unidades de gasolina, aceite y gas natural debeproducir MARAVEN.
2.2. SISTEMAS DE ECUACIONES 17
23. Tres ingenieros, civil, electricista y mecanico, forman una empresa con-sultora. La consulta es multidiciplinaria y ası cada uno obtiene y pagalos servicios de los otros. Por cada 1 BS. de consulta que el ingenierocivil hace, el compra Bs. 0.10 del ingeniero electricista y 0.30 Bs. delingeniero mecanico. Por cada 1 Bs. de consulta del ingeniero elec-tricista, el compra Bs. 0.20 del ingeniero civil y Bs. 0.40 del ingenieromecanico. Por cada 1 Bs. de consulta del ingeniero mecanico, el com-pra Bs. 0.30 del ingeniero civil y BS. 0.40 del ingeniero electricista.En una cierta semana, el ingeniero civil recibe consultas externas porel orden de los Bs. 500, el ingeniero civil por Bs. 700 y el ingenieromecanico por Bs. 600. ¿Que cantidad de Bs. en consulta realiza cadaingeniero en esa semana?
24. En un paıs hay 10 millones de muchachos, los cuales estan divididos en3 categorias: los que tiene tres novias, 1 novia y sin novia. Tambienhay 12 millones de muchachas, de las cuales α millones no quieren tenernovio y las demas uno solo ( no saben si lo comparten).
(a) Plantear las ecuaciones que satisfacen los numeros de muchachasen cada categorıa en funcion de α
(b) Si hay 3.5 millones de muchachos en la primera categorıa, hallarel intervalo de valores posibles de α
(c) Si el gobierno ordena la monogamıa, pero repeta la decision de lasmujeres, hallar la cantidad de muchachos en dicha categorıa enfuncion de α
(d) Si se prohibe la solterıa, calcular el numero de poligamos.
25. Una mezcla de CO, H2 y CH4 se introduce en un horno donde se quemacon oxıgeno para formar CO, CO2 y H2O. Se cree que allı ocurren lassiguientes reacciones quımicas:
CO + 12O2 = CO2
H2+12O2 = H2O
CH4+ 2O2 = CO+2H2OCH4+
32O2 = CO+2H2O
Determinar el numero mınimo de reacciones quımicas necesarias paradescribir completamente este sistema, es decir halle un conjunto dereacciones independientes.
18 UNIDAD 2. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
26. Segun las cotizaciones actuales de la bolsa de valores, 10 acciones de lacompania A, 10 de la B, 10 de C y 20 de D equivalen a Bs. 300; 20 deA, 10 de B, 5 de C y 15 de D tienen un valor de Bs. 325; mientras que10 de A, 20 de B y 10 de C corresponden a Bs. 350.
27. Hobson,Inc. tiene una pequena planta que fabrica tres tipos de botesinflables: para una, dos y cuatro personas. Cada bote requiere el ser-vicio de tres departamentos: corte, ensamblaje y empaque. Los depar-tamentos de corte, ensamblaje y empaque pueden utilizar un total de380, 330 y 120 horas-persona por semana, respectivamente. El tiemporequerido para cada bote y departamento aparece en la siguiente tabla.Determine cuantos botes de cada tipo deben producirse cada semanapara que la planta opere a toda su capacidad.
Tiempo (horas)Bote de una Bote de dos Bote de cuatro
Depart. persona personas personasCorte 0.6 1.0 1.5
Ensamblaje 0.6 0.9 1.2Empaque 0.2 0.3 0.5
28. El tunel Channel, llamado Chunnel, que pasa debajo del Canal de LaMancha desde cerca de Folkestone, Gran Bretana, hasta cerca de Calais,Francia, tiene una longitud aproximada de 124088 pies (o aproximada-mente 23.5 millas). Dos equipos de trabajadores, uno que comenzo enFrancia y el otro en Gran Bretana, trabajaron hacia el otro equipo yse encontraron casi a la mitad. Los dos equipos comenzaron a trabajaren el tunel al mismo tiempo. Debido al terreno humedo y las malascondiciones en Francia, el equipo ingles completo en promedio 2.2 piespor dıa mas que el equipo frances. Los dos equipos se encontraron des-pues de 1432 dıas de que comenzo el proyecto. Determine la velocidadcon la que trabajo cada equipo.
Unidad 3
Espacios Vectoriales
1. Determinar cuales de los siguientes conjuntos son espacios vectoriales.Para aquellos que no lo son, diga que axiomas no se cumple.
(a) El conjunto de todos los pares de numeros reales con las opera-ciones
k (x1, x2) = (2kx1, 2kx2)(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2)
(b) El conjunto de todos los pares de numeros reales con las opera-ciones
k (x1, x2) = (kx1, kx2)(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1 + 1, x2 + y2 + 1)
(c) El conjunto de las ternas de numeros reales con las operaciones
k (x1, x2,x3) = (0, 0, 0)(x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3)
(d) El conjunto de todas las matrices 2x2 de la forma
(
a 11 b
)
con
la suma y multiplicacion usual de las matrices
(e) El conjunto de todas las matrices 2x2 de la forma
(
a 00 b
)
con
la suma y multiplicacion usual de las matrices
19
20 UNIDAD 3. ESPACIOS VECTORIALES
(f) El conjunto de las funciones reales f tales que f(1) = 0, con lasoperaciones definidas:
(f + g) (x) = f (x) + g (x) y(kf) (x) = kf (x)
2. Determine cuales de los siguientes conjuntos son subespacios vectorialesde R
3
(a) W = {(x1, x2, x3) / x1 − x2 + x3 = 0}(b) W = {(x1, x2, x3) / x1 ∈ Z}(c) W = {(x1, x2) / x1 + x2 = 0}(d) W = {(x1, x2, x3) / x3=x2
1 + x22}
3. Sea A un vector particular en R2×2. Determine si los siguientes son
subespacio de R2×2 o no
(a) S1 = {B ∈ R2×2 / AB = BA}
(b) S2 = {B ∈ R2×2 / AB 6= BA}
(c) S3 = {B ∈ R2×2 / AB = 0}
4. Demuestre que si S es un subespacio de R entonces S = {0} o S = R
5. Determine si los siguientes son subespacios de C [−1, 1] .
(a) El conjunto de funciones f en C [−1, 1] tal que f (−1) = f (1)
(b) El conjunto de funciones impares en C [−1, 1]
(c) El conjunto de funciones f en C [−1, 1] tal que f (−1) = 0 yf (1) = 0
6. Determinar cuales de los siguientes conjuntos son subespacios del es-pacio vectorial indicado:
(a) El conjunto de todos los vectores en R2 de la forma x = (0, x2)
(b) El conjunto de todos los vectores en R3, x = (x1, x2, x3), para los
cuales x21 + x2
2 + x23 = 1
21
(c) El conjunto de todos los polinomios Pn, que consisten de todos lospolinomios que tienen a (x − 1) como factor
(d) El conjunto de todos los vectores en R2 tal que |x| ≤ 1
(e) El conjunto de todas las matrices A ∈ R2x2 tal que Ax = 0, donde
x ∈ R2
7. Sean U y V subespacios de un espacio vectorial W . Defina
U + V = {z / z = u + v con u ∈ U y v ∈ V }
Demuestre que U + V es un subespacio de W
8. Determine si los siguientes vectores son lineamente independientes
(a) {(3, 1, 3) , (4, 1, 0) , (5, 6, 3) , (−1, 0, 2)}(b) {(6, 2, 1) , (10, 0, 4) , (4,−1, 2)}(c) {(3, 2, 1) , (2, 3, 1) , (1, 2, 3)}(d) {(2, 1) , (3, 2)}
9. Determine si los siguientes vectores son linealmente independientes enP3 o no
(a) {1, x2, x2 − 2} (b) {2, x2, x, 2x + 3}
(c) {x + 2, x2 − 1} (d) {x + 2, x + 1, x2 − 1}
10. Para cada una de las expresiones siguientes, demuestre que los vectoresdados son (l.i) en C [−1, 1]
(a) {cos(πx), sen(πx)} (b){
x3/2, x5/2}
(c) {1, ex + e−x, ex − e−x} (d) {ex, e−x, e2x}
11. Sean V un espacio vectorial y {u, v, w} un conjunto de vectores lineal-mente independientes, Probar que
(a) {u + v, v + w, u + w} es linealmente independiente
(b) {u + v − 3w, u + 4v − w, v + 3w} es linealmente dependiente
22 UNIDAD 3. ESPACIOS VECTORIALES
12. Sean S = {(a, b, c, d) / a + b + c = 0} y T = {(a, b, c, d) / c + d = 0}
(a) Probar que S y T son subespacios vectoriales de R4
(b) Hallar bases de S, T, S ∩ T
13. Sean u = (2, 1, 4), v = (1,−1, 3) , w = (3, 2, 5) . Exprese los siguientesvectores como combinacion lineal de u, v, w : (3, 5, 2) , (1,−2, 3)
14. ¿Cuales de los siguientes conjuntos de vectores son base de R3?
(a) {(1, 0, 0) , (2, 2, 0) , (3, 3, 3)}(b) {(3, 1,−4) , (2, 5, 6) , (1, 4, 8)}(c) {(2,−3, 1) , (4, 1, 1) , (0,−7, 1)}(d) {(1, 6, 4) , (2, 4,−1) , (−1, 2, 5)}
15. Determinar el espacio generado por:
(a) S = {(2,−1, 3, 1) , (1,−2, 0,−1) , (3,−3, 3, 0) , (5,−4, 6, 1)}(b) S = {x3 + 2x2, 1 − 4x2, 12 − 5x3, x3 − x2}
(c) S =
{(
1 −13 0
)
,
(
2 −18 −1
)
,
(
−1 44 −1
)
,
(
3 −45 6
)}
16. Dados los vectores u = (3,−2, 4) , v = (−3, 2,−4), w = (−6, 4,−8) .¿Cual es la dimension del subespacio generado por < u, v, w >?
17. Determinar cuales de los siguientes vectores pertenecen al subespaciode:
(a) R3 generado por (1, 2, 1) y (2, 3, 4)
i. (4, 7, 6)
ii. (1/2, 1, 1)
iii. (2, 9, 5)
iv. (0, 1/3,−2/3)
(b) Pn generado por x3 + 2x2 + 1; x2 − 2; x3 + x
i. x2 − x + 3
23
ii. x2 − 2x + 1
iii. 4x3 − 3x + 5
iv. x4 + 1
18. Demostrar que los siguientes conjuntos de vectores de R3 generan el
mismo subespacio:
(a) A = {(1, 0,−1) , (0,−2, 1)} (b) B = {(1,−2, 0) , (2,−2,−1)}
19. Determinar una base y la dimension del espacio solucion de
(a) 2x1 + x2 + 3x3 = 0 (b) 3x1 + x2 + x3 + x4 = 0x1 + 2x2 = 0 5x1 − x2 + x3 − x4 = 0x1 + 2x3 = 0
20. Hallar las coordenadas de cada uno de los siguientes vectores de R3 con
respecto a la base:
B = {(1, 0, 0) , (1, 1, 0) , (1, 1, 1)}
(a) (0, 1, 0) (b) (−2, 1, 1) (c) (0, 0, 1) (d) (−1,−1/2, 1) (e) (4,−2, 2)
21. Sean los vectores (2, 1, 0); (2, 1, 1); (2, 2, 1), demostrar que forman unabase. Hallar las coordenadas de los vectores siguientes en esa base:
(a) (1, 0, 0) (b) (−1, 2, 1) (c) (4,−5, 0) (d) (1, 0, 1) (e) (3,−1,−1)
22. Si U = {(1, 2, 0), (0, 2, 1)} y V = {(0, 0, 2), (0, 1, 0)}
(a) Encuentre una base para U ∩ V
(b) Determine la dimension de U + V
(c) Describa geometricamente a U, V, U ∩ V y U + V
23. Sea U = gen {(1, 2, 1) , (0, 1, 2)} y V = gen {(1, 0, 0), (0, 0, 1)}
(a) Encuentre una base de U ∩ V
(b) Si U + V = {u + v / u ∈ U y v ∈ V } . Determine una base deU + V
24 UNIDAD 3. ESPACIOS VECTORIALES
24. Sea B = {α1, α2, α3} la base ordenada de R3 formada por
α1 = (1, 0,−1) , α2 = (1, 1, 1) , α3 = (1, 0, 0)
¿Cuales son las coordenadas del vector (a, b, c) en la bases ordenada B?
25. Demostrar que los vectores
α1 = (1, 1, 0, 0) α2 = (0, 0, 1, 1)α3 = (1, 0, 0, 4) α4 = (0, 0, 0, 2)
forman una base para R4. Hallar las coordenadas de cada uno de los
vectores de la base canonica respecto de la base ordenada {α1, α2, α3, α4}
26. Sean u = (u1, u2) y v = (v1, v2) dos vectores de R2 tales que
u1v1 + u2v2 = 0 y u21 + u2
2 = v21 + v2
2 = 1
Demostrar que B = {u, v} es una base de R2. Hallar las coordenadas
del vector (a, b) en la base ordenada B. (Las condiciones impuestasa u y v dicen, geometricamente, que u y v son perpendiculares y delongitud 1)
27. En los siguientes problemas exprese al vector (x, y) ∈ R2 en terminos
de la base dada
(a) {(1, 1), (1,−1)} (b) {(2,−3), (3,−2)}
(c) {(5, 7), (3,−4)} (d) {(−1,−2), (−1, 2)}
28. Halle la matriz de cambio de base en R2 de la base {(1, 0) , (0, 1)} a la
base {(2, 3) , (−3,−4)}
29. Halle la matriz de cambio de base en R2 de la base {(2, 3) , (−3,−4)}
a la base {(1, 0) , (0, 1)}
30. Determine la matriz de transicion en P1 de la base {1, x} a la base{2 + 3x,−4 + 5x}
Unidad 4
Determinantes
1. Calcular los siguientes determinantes
a)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
3 4 2−1 5 32 −2 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
b)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
3 1 2 40 6 0 55 −2 1 41 0 −2 3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
c)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 4 0 32 0 −1 01 2 0 00 3 4 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2. ¿Para que valores de k las siguientes matrices son invertibles?
a)
(
1 − k 45 k
)
b)
1 − k k 1 + k2 1 4
2 + k k − 3 k − 5
c)
−k 1 − k 1 + k1 2 3
2 − k k + 3 k + 5
3. Demostrar que:
(a) el determinante de toda matriz ortogonal vale 1 o -1
(b) el determinante de toda matriz idempotente vale 0 o 1
(c) si A es una matriz nxn antisimetrica y n impar, entonces el det(A)=0
(d) si A es una matriz nxn, el determinante de kA es kndet(A)
(e) si A es una matriz antisimetrica de orden nxn entonces
det(At)=(-1)n det(A)
4. Sea A =
0 −4 3−1 0 41 2 0
Resolver la ecuacion det(A − xI)=0
25
26 UNIDAD 4. DETERMINANTES
5. Si
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x y z w3 0 2 01 1 1 10 −2 0 −3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 2, calcular sin desarrollar
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
3x 3y + 2 3z 3w + 34 1 3 11 1 1 10 1 0 3
2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
6. Calcule el siguiente determinante:
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 2 3 · · · n−1 0 3 · · · n−1 −2 0 · · · n
......
... ....
−1 −2 −3 · · · 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
7. Sin desarrollar por cofactores demostrar que:
a)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x + y y + z z + xw + u u + v v + wf + g g + h h + f
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x y zw u vf g h
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
b)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x − y − z 2x 2x2y y − x − z 2y2z 2z z − x − y
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= (x + y + z)3
8. Demostrar que
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1x y zyz xz xy
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= (x − y) (y − z) (z − x)
9. Sabiendo que
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1 aa 1 0 10 1 b 11 b 1 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 3, calcular sin desarrollar
27
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a 2c a + b 21 bc 2 10 c b 1c c2 2c ac
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
10. Utilizando la matriz adjunta, determinar en caso de que existan, lasmatrices inversas de las siguientes matrices
a)
2 4 31 2 −11 −1 4
b)
1 1 −2 40 2 1 3−1 2 1 04 3 2 −1
c)
1 −1 −2 −10 3 4 −14 1 2 13 3 1 2
11. Sea A una matriz no singular, pruebe que
det(A−1)= 1det(A)
12. Demostrar, sin efectuar el desarrollo, que es nulo el determinante:
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
sen2x cos x 12 tanx sec x 12senx 1 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
13. Sean A y B matrices 3x3 con det(A)=4 y det(B)= 5. Determinar elvalor de:
(a) det(AB)
(b) det(3A)
(c) det(2AB)
(d) det(A−1B)
14. Aplique la regla de Cramer para resolver cada uno de los siguientessistemas:
a)
{
x1 + 2x2 = 33x1 − x2 = 1
b)
{
2x1 + 3x2 = 33x1 + 2x2 = 5
c)
2x1 + x2 − 3x3 = 04x1 + 5x2 + x3 = 8-2x1 − x2 + 4x3 = 2
d)
x1 + 3x2 + x3 = 12x1 + x2 + x3 = 5
−2x1 + 2x2 − x3 = −8
28 UNIDAD 4. DETERMINANTES
e)
x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 = 2−x2 + 3x3 + 4x4 = 0
2x1 + x2 + 9x3 + 6x4 = −33x1 + 2x2 + 4x3 + 8x4 = −1
15. Demuestre que si A es una matriz de orden nxn con n > 1 entoncesdet(adj(A))=(det(A))n−1
16. Demuestres que si A es no singular, entonces adj(A) es no singular y
(adj(A))−1 = det(A−1)A =adj(A−1)
17. Considere el paralelogramo generado por los vertices (0, 0), (a, c) y(b, d). Demuestre que el area de este paralelogramo viene dado por
A =
∣
∣
∣
∣
∣
a bc d
∣
∣
∣
∣
∣
18. Sea ∆ el triangulo en el plano en el plano con vertices (x1, y1),(x2, y2)y (x3, y3).Demuestre que el area del triangulo esta dado por
Area de ∆ = ± 12
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 x1 y1
1 x2 y2
1 x3 y3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
¿Bajo que condiciones sera igual a cero este determinante?
Unidad 5
Transformaciones Lineales
1. Determine cuales de las siguientes aplicaciones T : R3 → R
2 son trans-formaciones lineales
(a) T (x, y, z) = (x + y − z, 2x + z)
(b) T (x, y, z) = (|x| , 0)
(c) T (x, y, z) = (x + 1, x + 2y − z)
(d) T (x, y, z) = (xy, yz)
2. Determine cuales de las siguientes aplicaciones T : Rnxn → R
nxn.
(a) T (A) = AS, donde S es una matriz fija de Rnxn
(b) T (A) = AS − SA, donde S es una matriz fija de Rnxn
(c) T (A) = AT
3. Determine cuales de las siguientes aplicaciones son transformacioneslineales
(a) T : R3 → R
3 definidas por:
i) T (x, y, z) = (y − x, x, z)
ii) T (x, y, z) = (0, x + y, 0)
(b) T : R2x2 → R tal que T (A) = traza(A)
(c) T : R2x2 → R
2x2 tal que T (A) = A + AT
(d) T : Pn → Pn definida por:
29
30 UNIDAD 5. TRANSFORMACIONES LINEALES
i) T (f(x)) = f ′(x) iii) T (f(x)) =x∫
0f (t) dt
ii) T (f(x)) = f(x)f ′(x) iv) T (f(x)) = xf(x)
4. Sea T : R2 → R
3 una transformacion lineal que verifica que:
T (1, 2) = (−1, 0, 2) y T (2, 1) = (0, 2,−1)
Determine las imagenes de los vectores (3, 3) y (0,−1)
5. Sea T : R4 → R
3 La transformacion lineal definida por:
T (x, y, z, w) = (x − y + z + w, x + 2y − z + w, 3y − 2z)
a) Determine bases para el Ker(T ) y la Im(T )
b) Calcule el rango y la nulidad
6. Determine si existe una transformacion lineal T : R3 → P2 tal que
T (1, 1,−1) = 1+x, T (1, 2, 0) = 2−x2 y T (1, 3, 1) = 3−x−2x2
En caso afirmativo, encuentre T (x, y, z)
7. Determine si existe una transformacion lineal T : P2 → R2x2 tal que
• T (1 + x2) =
(
1 00 −1
)
• T (2x − 1) =
(
1 10 1
)
y
• T (2x2 − 2x + 3) =
(
1 −10 −3
)
En caso afirmativo, determine T (ax2 + bx + c)
8. Sea f : R2 → R
2 la transformacion lineal representada por la matriz(
cos θ −senθsenθ cos θ
)
respecto a las bases canonicas de R2.
31
Demostrar que si α y β son numeros reales cualesquiera, entonces:
a) fα ◦ fβ = fα+β
b) f−1α = fα
9. Obtener una transformacion lineal T : R3 → R
3 tal que
nucleo(T )={(x, y, z) / 2x − y + z = 0}
10. Determine una transformacion lineal T : R3 → R
3 tal que
T (1,−1, 1) = (1, 0) y T (1, 1, 1) = (0, 1)
11. Encuentre la representacion matricial en las bases canonicas de las siguientes transformaciones:
(a) T : R2 → R
2, T (x, y) = (x − 2y,−x + y)
(b) T : R3 → R
3, T (x, y, z) = (x − y + 2z, 3x + y + 4z, 5x − y + 8z)
(c) T : R2 → R
3, T (x, y) = (x + y, x − y, 2x + 3y)
(d) T : P2 → P3, T (a0 + a1x + a2x3) = a1 − a1x + a0x
3
12. Determine la representacion matricial de cada una de las siguientestransformaciones:
a) Expansion a lo largo del eje x f) Reflexion respecto al eje xb) Expansion a lo largo del eje y g) Reflexion respecto al eje yc) Comprension a lo largo del eje x h) Corte a los largo del eje xd) Comprension a lo largo del eje y i) Corte a los largo del eje ye) Reflexion respecto a la recta y=x
13. Clasifique todas las matrices elementales de orden 2x2 de acuerdo aalguna de las transformaciones dadas en el ejercicio anterior.
14. Encuentre la representacion matricial de las siguientes transformacionesen las bases dadas
32 UNIDAD 5. TRANSFORMACIONES LINEALES
a) T : R3 → R
2, T (x, y, z) = (2x + y + z, y − 3z);
B1 = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), )(1, 1, 1)} y B2 = {(1,−1), (2, 3)}b) T : R
2 → R2, T (x, y) = (x − 2y, 2x + y);
B1 = B2 = {(1,−2) , (3, 2)}c) T : R
2 → R2, T (x, y) = (4x − y, 3x + 2y);
B1 = B2 = {(−1, 1) , (4, 3)}d) T : R
3 → R2, T (x, y, z) = (x − 2z, y + z);
B1 = {(1, 1, 1), (2, 2, 0), (3, 0, 0)} y B2 = {(2, 0), (0, 2)}
15. Sea T : V → W una transformacion lineal y sea U un subespacio deW. La imagen recıproca (o inversa) de T , denotada como
T−1(U) = {v ∈ V / T (v) ∈ U}
Demuestre que T−1(U) es un subespacio de V
16. Sea T : R3 → R
2 una transformacion lineal y
(
2 1 −11 1 −2
)
la matriz
asociada a T respecto a las bases canonicas de cada espacio. Determinarla preimagen de T del vector (-1,1). ¿Es f inyectiva?
17. Sea T : V → V una T. L. tal que T 2 − T + I = 0. Mostrar que T−1
existe y que T−1 = I − T
18. Sea T : P2 → R2x2 tal que T (ax2 + bx + c) =
(
a + c b2
b2
a + c
)
a)Demostrar que T es una transformacion lineal
b)Hallar la imagen, el nucleo, el rango y la nulidad de T ¿Es T unisomorfismo?
19. Definir una transformacion lineal T : R3 → R
2 tal que respecto a lasbases B1 = {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)} y B2 = {(1, 2), (2, 1)} su matriz
sea
(
1 0 01 −1 1
)
20. Sea f : P2 → P2 una transformacion lineal tal que la matriz asociadacon respecto a la base B = {2x − 1, 4x2 − x + 1, x2 + 2x + 1} es
33
−1 3 02 −3 13 −4 1
(a) Demostrar que f es un isomorfismo
(b) Hallar f−1
(c) Sea g : R3 → P2 tal que g(c1, c2, c3) = c3 +(c2− c1)x+(c3 +2c2)x
2
(d) Hallar la matriz asociada a f ◦ g respecto a las bases B de P2 y{(1, 1, 1) , (2, 2, 0) , (4, 0, 0)} de R
3
21. Sea T : V → W un isomorfismo. Pruebe que si {α1, α2, . . . , αn} es unabase de V entonces {T (α1), T (α2), . . . , T (αn)} es una base de W.
22. Sea T : V → V una T.L. tal que T 2 = 0. Pruebe que I −T es inyectiva
23. Se tiene que 18 gramos de agua estan formados por 2 gramos de hidrogenoy 16 de oxıgeno, miestras que 34 gramos de peroxido estan constitui-dos por 2 gramos de hidrogeno y 32 de oxıgeno. Determine la repre-sentacion matricial de la transformacion lineal que permite calcylar lascantidades de hidrogeno y oxıgeno en una mezcla de x1 grs de agua yx2 grs de peroxido.
24. Sea la siguiente ecuacion cuadratica: 4x2 − 10xy + 4y2 = 1
Determine una rotacion y una traslacion adecuada para reducir laecuacion a su forma canonica. Haga una representacion grafica aprox-imada
25. Sea V = P4 y W = {p ∈ P5 / p(0) = 0} . Demuestre que V ∼= W
26. Sea T la simetria del plano R2 alrededor de la recta de ecuacion y =√
3x. Sea U la rotacion de 60◦ alrededor del origen. Halle las matricesde T , U, T ◦ U, U ◦ T en las bases canonicas.
27. Determine cuales de las siguientes transformaciones lineales son iso-morfismos:
(a) T : pn → pn tal que T (p(x)) = p(x) − p′(x)
(b) T : R2 → R
2x2 tal que T (x, y) =
(
x + y 00 x + y
)
34 UNIDAD 5. TRANSFORMACIONES LINEALES
(c) T : R2x2 → R
2x2 tal que T (A) = A − At
28. Sea V el espacio de las funciones f(x) = aex + be2x + ce3x.
Se define la transformacion lineal T : V → V como: T (f(x)) = f ′(x)
Hallar:
(a) La matriz P1 de T respecto a la base B1 = {ex, e2x, e3x}(b) La matriz P2 de T respecto a la base
B2 = {ex + e2x, e2x + e3x, ex + e3x}
(c) Una matriz C tal que C−1P1C = P2
Unidad 6
Autovalores y Autovectores
1. Hallar los autovalores y autovectores de las siguientes matrices
(a)
(
−3 20 −3
)
(b)
(
2 −15 −2
)
(c)
(
−3 05 1
)
(d)
1 2 02 1 00 0 3
(e)
1 −1 0−1 2 −1
0 −1 1
(f)
4 6 61 3 2
−1 −5 −2
(g)
4 −5 11 0 −10 1 −1
(h)
1 2 10 3 10 5 −1
(i)
−2 0 11 0 −10 1 −1
2. De la siguiente matriz A =
1 2 a2 1 b0 0 c
se sabe que λ1 = 1 es uno
de sus autovalores y v1 = (1, 1, 1) es un autovector de A asociado alautovalor λ1. Se pide:
(a) Hallar los valores de a, b y c
(b) Hallar los otros autovalores y autovectores correspondientes
3. Sea A una matriz idempotente y λ un autovalor de A. Demuestre queλ debe ser 1 o 0
35
36 UNIDAD 6. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
4. Si A es una matriz no singular y λ un autovalor de A entonces 1λ
es unautovalor de A−1
5. Sea A =
0 0 c1 0 b0 1 a
determine el polinomio caracterıstico de esta
matriz
6. Demuestre que el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
1 1 0 0−1 −1 0 0−2 −2 2 1
1 1 −1 0
es p(λ) = λ2 (λ − 1)2
7. Sea A una matriz 2x2 y sea p(λ) = λ2+bλ+c el polinomio caracterısticode A. Demuestre que b = −traza(A) y c = det(A)
8. Para cada una de las siguientes matrices determine si son diagonalizables y en caso afirmativo encuentre la matriz C de diagonalizacion y lamatriz diagonal D
(a)
1 1 −2−1 2 1
1 1 −1
(b)
1 −1 0−1 2 −1
0 −1 1
(c)
4 6 61 3 2
−1 −5 −2
(d)
2 1 00 0 10 0 0
(e)
1 2 10 3 10 5 −1
(f)
3 −1 11 1 −11 −1 1
9. Suponga que D = C−1AC. Demuestre que para cualquier entero n,An = CDnC−1
10. Utilice el ejercicio anterior para calcular A20 en donde A =
(
3 −42 −3
)
11. Demuestre que si A es una matriz diagonalizable entonces:
37
det(A)= λ1λ2 . . . λn,
en donde los λi con i = 1, 2...n son los valores propios de A
12. En R3 se considera una transformacion lineal T : R
3 → R3 de la que se
sabe que:
(i) la matriz A de la transformacion T en la base canonica es simetrica
(ii) el vector v = (2,−2,−1) es un autovector de T
(iii) los vectores (1, 0, 0) y (0, 1, 0) se transforman respectivamente enlos vectores (3, 2, 2) y (2, 2, 0).
Se pide:
(a) Hallar la matriz A de la transformacion y diga si es diagonalizable
(b) Hallar los autovalores y autovectores de T
13. Dada la transformacion lineal T : R3 → R
3
T (x, y, z) = (−x + y + 2z,−x + y + z,−2x + y + 3z)
Calcular los autovalores y autovectores de AT . Construya la matriz Cque diagonaliza a AT
14. Sea A una matriz diagonalizable cuyos autovalores son 1 y −1. De-muestre que A−1 = A
15. Pruebe que la matriz
A =
(
cos θ −senθsenθ cos θ
)
tendra autovalores complejos si θ no es un multiplo de π. De una in-terpretacion geometrica de este resultado.
