unidades 4 y 5 sistemas electricos

NOMBRE DEL ALUMNO CRISTIAN FERNANDO OJEDA GUTIERREZ

NUMERO DE CONTROL 11320138

MATERIA SISTEMA ELECTRICO DE POTENCIA

HORA 15 A 16 HRS

ACAPULCO GRO A 10 DE DICIEMBRE DEL 2014

UNIDAD 4 LINEAS DE TRANSMISION

DEFINICIOacuteN DE LIacuteNEA DE TRANSMISIOacuteN

Es cualquier sistema de conductores semiconductores o la combinacioacuten de ambos que puede emplearse para transmitir informacioacuten en la forma de energiacutea eleacutectrica o electromagneacutetica entre dos puntos

Son circuitos en frecuencias muy altas donde las longitudes de onda son cortas estas actuacutean como circuitos resonantes y aun como componentes reactivos en VHF y UHF y frecuencias microondas

Cada autor maneja su definicioacuten de liacutenea de transmisioacuten en esencia es lo mismo asi que yo lo defino como

ES UN MEDIO O DISPOSITIVO POR DONDE SE PROPAGA O TRANSMITE INFORMACIOacuteN (ONDAS ELECTROMAGNEacuteTICAS) A ALTAS FRECUENCIAS

CIRCUITO EQUIVALENTE DE UNA LIacuteNEA DE TRANSMISIOacuteN

Caracteriacutesticas de las liacuteneas de transmisioacuten

Las caracteriacutesticas de una liacutenea de transmisioacuten se determinan por sus propiedades eleacutectricas como la conductancia de los cables y la constante dieleacutectrica del aislante y sus propiedades fiacutesicas como el diaacutemetro del cable y los espacios del conductor

Estas propiedades a su vez determinan las constantes eleacutectricas primarias

resistencia de CD en serie ( R ) inductancia en serie ( L ) capacitancia de derivacioacuten ( C ) y conductancia de derivacioacuten ( G )

La resistencia y la inductancia ocurre a lo largo de la liacutenea mientras que entre los dos conductores ocurren la capacitancia y la conductancia

Las constantes primarias se distribuyen de manera uniforme a lo largo de la liacutenea por lo tanto se les llama comuacutenmente paraacutemetros distribuidos

Los paraacutemetros distribuidos se agrupan por una longitud unitaria dada para formar un modelo eleacutectrico artificial de la liacutenea

Las caracteriacutesticas de una liacutenea de transmisioacuten se llaman constantes secundarias y se determinan con las cuatro constantes primarias

Las constantes secundarias son impedancia caracteriacutestica y constante de propagacioacuten

Para una maacutexima transferencia de potencia desde la fuente a la carga ( no hay energiacutea reflejada ) una liacutenea de transmisioacuten debe terminarse en una carga puramente resistiva igual a la impedancia caracteriacutestica de la liacutenea

La impedancia caracteriacutestica ( Zo ) de una liacutenea de transmisioacuten es una cantidad compleja que se expresa en Ohms que idealmente es independiente de la longitud de la liacutenea y que no puede medirse

La impedancia caracteriacutestica ( resistencia a descarga ) se define como la impedancia que se ve desde una liacutenea infinitamente larga o la impedancia que se ve desde el largo finito de una liacutenea que se determina en una carga totalmente resistiva igual a la impedancia caracteriacutestica de la liacutenea

Una liacutenea de transmisioacuten almacena energiacutea en su inductancia y capacitancia distribuida

PERDIDAS EN LA LIacuteNEA DE TRANSMISIOacuteN Las liacuteneas de transmisioacuten frecuentemente se consideran totalmente sin perdidas Sin embargo en realidad hay varias formas en que la potencia se pierde en la liacutenea de transmisioacuten son

perdida del conductor perdida por radiacioacuten por el calentamiento del dielectrico perdida por acoplamiento y descarga luminosa ( efecto corona )

TIPOS DE LIacuteNEAS DE TRANSMISIOacuteN

Las liacuteneas de transmisioacuten se clasifica generalmente como balanceadas o desbalanceadas Con liacuteneas balanceadas de dos cables ambos conductores llevan una corriente un conductor lleva la sentildeal y el otro es el regreso

Este tipo de transmisioacuten se llama transmisioacuten de sentildeal y el otro es el regreso Este tipo de transmisioacuten se llama transmisioacuten de sentildeal diferencial o balanceada

La sentildeal que se propaga a lo largo del cable se mide como la diferencia de potencial entre los dos cables Las corrientes que fluyen en direcciones opuestas por un par de cable balanceados se les llaman corriente de circuito metaacutelico

Las corrientes que fluyen en las mismas direcciones se le llama corriente longitudinales Un par de cables balanceados tiene la ventaja que la mayoriacutea de la interferencia por ruido (voltaje de modo comuacuten) se induce igual mente en ambos cables produciendo corrientes longitudinales que se cancelan en las carga

Cualquier par de cable puede operar en el modo balanceado siempre y cuando ninguno de los dos cables esteacute con el potencial a tierra Esto incluye al cable coaxial que tiene dos conductores centrales y una cubierta metaacutelica

La cubierta metaacutelica general mente se conecta a tierra para evitar interferencia estaacutetica al penetrar a los conductores centrales Con una liacutenea de transmisioacuten desbalanceada un cable se encuentra en el potencial de tierra mientras que el otro cable se encuentra en el potencial de la sentildeal

Este tipo de transmisioacuten se le llama transmisioacuten de sentildeal desbalanceada o de terminacioacuten sencilla Con la transmisioacuten de una sentildeal desbalanceada el cable de la tierra tambieacuten puede ser la referencia a otros cables que llevan sentildeales

LIacuteNEAS DE TRANSMISIOacuteN DE CABLE ABIERTO

Una liacutenea de transmisioacuten de cable abierto es un conductor paralelo de dos cables Consiste simplemente de dos cables paralelos espaciados muy cerca y soacutelo separado por aire

Los espaciadores no conductivos se colocan a intervalos perioacutedicos para apoyarse y mantenerse a la distancia entre las constantes entre los conductores Las distancias entre los dos conductores generalmente estaacute entre 2 y 6 pulgadas

El dieleacutectrico es simplemente el aire entre y alrededor de los conductores en donde se propaga la onda transversal electromagneacutetica La uacutenica ventaja real de este tipo de liacutenea de transmisioacuten de cable abierto es su construccioacuten sencilla Ya que no hay cubiertas las peacuterdidas por radiacioacuten son altas y susceptibles a recoger ruido Por lo tanto las liacuteneas de transmisioacuten de cable abierto normalmente operan en el modo balanceado

PAR DE CABLES PROTEGIDO CON ARMADURAPara reducir las peacuterdidas por radiacioacuten e interferencia frecuente mente se encierran las liacuteneas de transmisioacuten de dos cables para lelos en una malla metaacutelica conductiva La malla se conecta a tierra y actuacutea como una proteccioacuten

La malla tambieacuten evita que las sentildeales se difundan maacutes allaacute de sus liacutemites y evita que la interferencia electromagneacutetica llegue a los conductores de sentildeales

CABLE DE PAR TRENZADOUn cable de par trenzado se forma doblando ( trenzado ) dos conductores aisladores juntos Los pares de trenzan frecuentemente en unidades y las unidades a se vez estaacuten cableadas en el nuacutecleo

Estas se cubren con varios tipos de funda dependiendo del uso que se les vaya a dar Los pares vecinos se trazan con diferente inclinacioacuten ( largo de la trenza ) para poder reducir la interferencia entre los pares debido a la induccioacuten mutua Las constantes primarias del cable de par trenzado con sus paraacutemetros eleacutectricos ( resistencia

inductancia capacitancia y conductancia ) que estaacuten sujetas a variaciones con el ambiente fiacutesico como temperatura humedad y tensioacuten mecaacutenica y que dependen de las variaciones en la fabricacioacuten

CABLES GEMELOSLos cables gemelos son otra forma de liacutenea de transmisioacuten para un conductor paralelo de dos cables Los cables gemelos frecuentemente son llamados cable de cinta Los cables gemelos esencialmente son igual que una liacutenea de transmisioacuten de cable abierto excepto que los espaciadores que estaacuten entre los dos conductores se reemplazan con un dieleacutectrico soacutelido continuo Esto asegura los espacios uniformes a lo largo de todo el cable es una caracteriacutestica deseable Tiacutepicamente la distancia entre los dos conductores es de 516 de pulgada para el cable de transmisioacuten de televisioacuten Los materiales dieleacutectricos maacutes comunes son el tefloacuten y el polietileno

LIacuteNEAS DE TRANSMISIOacuteN COAXIAL O CONCEacuteNTRICALas liacuteneas de transmisioacuten de conductores paralelos son apropiadas para las aplicaciones de baja frecuencia Sin embargo en las frecuencias altas sus peacuterdidas por radiacioacuten y peacuterdidas dieleacutectricas asiacute como su susceptibilidad a la interferencia externa son excesivas

Los conductores coaxiales se utilizan extensamente para aplicaciones de alta frecuencia para reducir las peacuterdidas y para aislar las trayectorias de transmisioacuten El cable coaxial baacutesico consiste de un conductor central rodeado por un conductor exterior conceacutentrico (distancia uniforme del centro)

A frecuencias de operacioacuten relativamente altas el conductor coaxial externo proporciona una excelente proteccioacuten maacutes bajas el uso de la proteccioacuten no es costeable Ademaacutes el conductor externo de un cable coaxial generalmente estaacute unido a tierra lo que limita su uso a las aplicaciones desbalanceadas

Esencialmente hay dos tipos de cables coaxiales liacuteneas riacutegidas llena de aire y liacuteneas soacutelidas flexibles En una liacutenea coaxial riacutegida de aire el conductor central estaacute rodeado de forma coaxial por un conductor externo tubular y el material aislante es el aire El conductor externo fiacutesicamente estaacute aislado y separado del conductor central por un espaciador que generalmente estaacute hecho de Pirex poliestireno o alguacuten otro material no conductivo

En un cable coaxial soacutelido flexible el conductor externo estaraacute trenzado es flexible y coaxial al conductor central El material aislante es un material de poliestireno soacutelido no conductivo que proporciona soporte asiacute como aislamiento eleacutectrico entre el conductor interno y externo El conductor interno es un cable de cobre flexible que puede ser soacutelido o hueco Los cables coaxiales riacutegidos llenos de aire son relativamente caros en su fabricacioacuten y el aislante de aire debe de estar relativamente libre de humedad para minimizar las peacuterdidas

Los cables coaxiales son relativamente inmunes a la radiacioacuten externa ellos en siacute irradian muy poca y pueden operar a frecuencias maacutes altas que sus contrapartes de cables paralelos Las desventajas baacutesicas de las liacuteneas de transmisioacuten coaxial es que son caras y tienen que utilizarse en el modo desbalanceado

LONGITUD ELEacuteCTRICA DE UNA LIacuteNEA DE TRANSMISIOacuteNLa longitud de una liacutenea de transmisioacuten relativa a la longitud de onda que se propaga hacia abajo es una consideracioacuten importante cuando se analiza el comportamiento de una liacutenea de transmisioacuten A frecuencias bajas (longitudes de onda grandes) el voltaje a lo largo de la liacutenea permanece relativamente constante Sin embargo para frecuencias altas varias longitudes de onda de la sentildeal pueden estar presentes en la liacutenea al mismo tiempo

Por lo tanto el voltaje a lo largo de la liacutenea puede variar de manera apreciable En consecuencia la longitud de una liacutenea de transmisioacuten frecuentemente se da en longitudes de onda en lugar de dimensiones lineales Los fenoacutemenos de las liacuteneas de transmisioacuten se aplican a las liacuteneas largas Generalmente una liacutenea de transmisioacuten se define como larga si su longitud excede una dieciseisava parte de una longitud de onda de no ser asiacute se considera corta Una longitud determinada de liacutenea de transmisioacuten puede aparecer corta en una frecuencia y larga en otra frecuencia

PERDIDAS EN LA LIacuteNEA DE TRANSMISIOacuteNPara propoacutesitos de anaacutelisis las liacuteneas de transmisioacuten frecuentemente se consideran totalmente sin perdidas Sin embargo en realidad hay varias formas en que la potencia se pierde en la liacutenea de transmisioacuten son

perdidas del conductor perdida por radiacioacuten perdida por el calentamiento del dieleacutectrico perdida por acoplamiento y descarga luminosa (corona )

PERDIDA DEL CONDUCTOR

Debido a que la corriente fluye a traveacutes de una liacutenea de transmisioacuten y la liacutenea de transmisioacuten tiene una resistencia finita hay una peacuterdida de potencia inherente e

inevitable Esto a veces se llama perdida del conductor o perdida por calentamiento del conductor y es simplemente una perdida por calentamiento

Debido a que la resistencia se distribuye a lo largo de la liacutenea de transmisioacuten la perdida por calentamiento del conductor es directamente proporcional al cuadrado de longitud de la liacutenea Ademaacutes porque la disipacioacuten de potencia es directamente proporcional al cuadrado de la corriente la perdida del conductor es inversamente proporcional a la impedancia caracteriacutestica

Para reducir las perdidas del conductor simplemente debe acortarse la liacutenea de transmisioacuten o utilizar un cable de diaacutemetro mas grande (deberaacute mantenerse en mente que cambiar el diaacutemetro del cable tambieacuten cambia la impedancia caracteriacutestica y en consecuencia la corriente)

REPRESENTACION DE LAS LINEAS

A diferencia de los ejemplos tratados en el Anaacutelisis de Circuitos en las Liacuteneas de Transmisioacuten (LT) se manejan normalmente tensiones y corrientes con longitudes de onda pequentildeas en relacioacuten a la longitud total de la liacutenea empleada Esto implica un tratamiento diferente para las tensiones y corrientes involucrando una nueva variable que es la posicioacuten a lo largo de la liacutenea

En principio se haraacute relevante una atenuacioacuten de la sentildeal a medida que eacutesta se propaga a lo largo de la liacutenea y de la misma manera existiraacute una tambieacuten una modificacioacuten de la fase Ambos elementos dependeraacuten de las caracteriacutesticas fiacutesicas de la LT y de la frecuencia empleada

La LT presenta una Impedancia Caracteriacutestica (Z0) y los elementos comentados anteriormente representaraacuten la uacutenica complicacioacuten si la liacutenea estaacute terminada en una impedancia terminal (ZT) igual a la de la LT Esta condicioacuten define el concepto de liacutenea acoplada

Para otras condiciones (Z0 distinta de ZT) existiraacuten ondas que se reflejaraacuten desde la carga hacia el generador e interactuaraacuten con las ondas transmitidas Esto daraacute lugar a un efecto denominado onda estacionaria

Los nuevos elementos para este caso de liacuteneas desacopladas son el Coeficiente de Reflexioacuten y la Relacioacuten de Onda Estacionaria de Tensioacuten (VSWR = Voltage Standing Wave Ratio)

El objetivo de ingenieriacutea implica conocer los meacutetodos y realizar los caacutelculos necesarios para lograr que una liacutenea desacoplada se comporte como una liacutenea sin reflexiones logrando asiacute un uso eficiente de la misma en la transmisioacuten de sentildeales de informacioacuten o de potencia

POSTULADOS-

El estudio de las liacuteneas de transmisioacuten uniformes se basa en el anaacutelisis de circuitos con coeficientes distribuidos por unidad de longitud el cual se deriva de aplicar las leyes baacutesicas del anaacutelisis de circuitos eleacutectricos a sistemas descritos por los siguientes postulados

Postulado 1- El sistema o liacutenea uniforme consiste de dos conductores rectos y paralelos

El adjetivo uniforme significa que los materiales dimensiones y seccioacuten transversal de la liacutenea y el medio que la rodea permanecen constantes en todo el trayecto Tiacutepicamente en un extremo se conecta una fuente de sentildeal y en el otro una carga como se muestra

Figura 1- Representacioacuten de una Liacutenea de Transmisioacuten

No significa que los dos conductores sean del mismo material o tengan la misma forma en su seccioacuten transversal El anaacutelisis es vaacutelido para un conductor de cualquier material y seccioacuten transversal que actuacutee junto con otro conductor con diferentes caracteriacutesticas o para un alambre paralelo a cualquier plano conductor o banda (pista de circuito impreso)

Algunas secciones transversales de conductores usados en ingenieriacutea se muestran

Figura 2- Secciones transversales de varias liacuteneas de transmisioacuten praacutecticas

En general las torsiones o curvaturas en una liacutenea de transmisioacuten violan el postulado de uniformidad y crean efectos no explicables por la teoriacutea de circuito distribuido Lo mismo sucede con cualquier discontinuidad en la liacutenea tal como el punto de conexioacuten entre dos liacuteneas uniformes que difieren fiacutesicamente en alguna forma

Postulado 2- Las corrientes en los conductores de la liacutenea fluyen uacutenicamente en la direccioacuten de la longitud de la liacutenea

Bajo ciertas condiciones las sentildeales pueden propagarse en cualquier liacutenea de transmisioacuten uniforme con la totalidad de la corriente o una componente de ella fluyendo alrededor de los conductores en lugar de fluir a lo largo de ellos Estos casos no se presentan en una LT y se conocen como modos de propagacioacuten en una guiacutea de onda

Postulado 3- En la interseccioacuten de cualquier plano transversal a los conductores de una liacutenea de transmisioacuten las corrientes instantaacuteneas totales en los dos conductores son iguales en magnitud pero fluyen en direcciones opuestas

En la teoriacutea elemental de redes para el circuito mostrado en la fig 1 se estipula que la corriente es la misma en todos los puntos del circuito en un instante dado El postulado 3 admite que las corrientes instantaacuteneas sean diferentes en distintas secciones transversales de la liacutenea en el mismo instante

Claramente esto no es posible sin violar la Ley de Kirchhoff de Corrientes a menos que eacutestas puedan fluir transversalmente entre los dos conductores en cualquier parte a lo largo de la longitud de la liacutenea

Postulado 4- En la interseccioacuten de cualquier plano transversal a los conductores de la liacutenea hay un valor de diferencia de potencial uacutenico entre los conductores en cualquier instante que es igual a la integral del campo eleacutectrico a lo largo de todas las trayectorias en el plano transversal entre cualquier punto sobre la periferia de uno de los conductores y cualquier punto sobre la periferia del otro

De la misma manera que el postulado 3 este postulado tiene como consecuencia descartar los modos de propagacioacuten en la guiacutea de onda para los cuales la integral del campo eleacutectrico no es en general independiente de la trayectoria

Postulado 5- El comportamiento eleacutectrico de la liacutenea se describe completamente por cuatro coeficientes del circuito eleacutectrico distribuido cuyos valores por unidad de longitud de la liacutenea son constantes en cualquier parte de esta Estos coeficientes de circuito eleacutectrico son resistencias e inductancias uniformemente distribuidas como elementos de circuito en serie a lo largo de la liacutenea junto con capacitancias y conductancias uniformemente distribuidas como elementos de circuito en paralelo a lo largo de la liacutenea

Es parte esencial de este postulado que los valores de estos coeficientes a una frecuencia dada sean determinados uacutenicamente por los materiales y dimensiones de los conductores de la liacutenea y el medio que la rodea Estos coeficientes no variacutean ni con el tiempo ni con la tensioacuten o la corriente de la liacutenea

Las corrientes en la liacutenea estaacuten acompantildeadas de un campo magneacutetico La inductancia distribuida de la liacutenea es una medida de la energiacutea almacenada en este campo magneacutetico en una unidad de longitud de liacutenea y por unidad de corriente

Existe peacuterdida de potencia a medida que las corrientes de liacutenea fluyen por los conductores La resistencia distribuida de la liacutenea es una medida de la peacuterdida de potencia en la unidad de longitud de la liacutenea y por unidad de corriente

La diferencia de potencial de la liacutenea estaacute asociada a un campo eleacutectrico La capacitancia distribuida es una medida de la energiacutea almacenada en este campo en la unidad de longitud de la liacutenea por unidad de diferencia de potencial

Existe peacuterdida de potencia en el espacio entre los conductores La conductancia distribuida de la liacutenea es una medida de esta peacuterdida en la unidad de longitud de la liacutenea por unidad de tensioacuten

La existencia de coeficientes de circuito distribuido en paralelo sugiere la posibilidad de que las corrientes del conductor pueden ser diferentes en distintas secciones transversales de la liacutenea Corrientes de conduccioacuten o corrientes de desplazamiento fluiraacuten entre los conductores en funcioacuten de la tensioacuten entre ellos o de su tasa de cambio con el tiempo respectivamente Las corrientes en la liacutenea en dos secciones transversales separadas difieren en una cantidad de corriente transversal en la parte de liacutenea tratada

Definiciones de los Coeficientes-

Los siacutembolos para eacutestos son R L G y C cuyas definiciones son

R- Resistencia total en Serie de la liacutenea por unidad de longitud incluyendo ambos conductores Unidades Ohmsmetro

L- Inductancia total en Serie de la liacutenea por unidad de longitud incluyendo la inductancia debida al flujo magneacutetico interno y externo a los conductores de la liacutenea Henriosmetro

G- Conductancia en paralelo de la liacutenea por unidad de longitud Es una representacioacuten de las peacuterdidas que son proporcionales al cuadrado de la tensioacuten entre los conductores o al cuadrado del campo eleacutectrico en el medio Generalmente G representa una peacuterdida interna molecular de los materiales aislantes dieleacutectricos Siemensmetro

C- Capacidad en paralelo de la liacutenea por unidad de longitud Faradsmetro

Nota- Los siacutembolos definidos tienen diferentes significados y dimensiones que los empleados en el anaacutelisis de circuitos eleacutectricos En el caso de las liacuteneas de tx tratadas como redes de dos puertos con longitudes no despreciables dichos siacutembolos representan resistencia inductancia etc por unidad de longitud

COORDENADAS Y VARIABLES-

El anaacutelisis de la liacutenea de transmisioacuten es unidimensional con un eje de coordenadas uacutenico paralelo a la longitud de la liacutenea Este es el eje z(minuacutescula para diferenciar de Z impedancia) Dicha coordenada tiene su origen en la fuente de sentildeal

En algunas ocasiones la distancia de un punto sobre la liacutenea a la carga se indica por una coordenada d con origen en la carga y creciendo de derecha a izquierda El siacutembolo eth se usa normalmente para la longitud total de la liacutenea Esto es

Figura 3- Coordenadas en una Liacutenea de Transmisioacuten

Las variables dependientes son la corriente y la tensioacuten las cuales son funciones del tiempo en cualquier punto de la liacutenea y funciones de su posicioacuten en cualquier instante Asiacute por ejemplo

i(z t) = Corriente instantaacutenea en un punto especiacutefico sobre la liacutenea de tx es decir corriente en el tiempo t y en la coordenada z

Los siacutembolos en mayuacutesculas representan valores fasoriales de nuacutemeros complejos con magnitudes en valores rms Si no son designados especiacuteficamente como

cantidades en la carga o en la fuente de sentildeal seraacuten funciones de la posicioacuten a lo largo de la liacutenea

I(z) = Valor rms complejo (fasorial) de una corriente en la coordenada z

En una coordenada z sobre una liacutenea de tx como se muestra en la figura siguiente una tensioacuten se puede representar por una flecha de un conductor a otro en el plano transversal a z La punta de la flecha tiene una polaridad positiva y la tensioacuten es positiva cuando la flecha estaacute dirigida hacia el conductor superior Similarmente las corrientes en la coordenada z se indican por dos puntas de flecha una en cada conductor y apuntando en direcciones opuestas (postulado 3) El signo de la corriente es positivo cuando la corriente del conductor superior fluye en la direccioacuten creciente de z

Figura 4- Tramos de liacutenea de Transmisioacuten mostrando las convenciones especificadas en el dominio del tiempo y en el de la frecuencia

CIRCUITO EQUIVALENTE-

Incorporando los coeficientes de circuito distribuido una seccioacuten de liacutenea se puede representar mediante un circuito equivalente de dos puertos el cual puede tener distintas configuraciones una de estas es la seccioacuten en L de la figura siguiente representando una seccioacuten infinitesimal de la liacutenea de longitud eth z localizada en la coordenada z sobre la liacutenea

Figura 5- Circuito equivalente de un elemento infinitesimal de Liacutenea de Transmisioacuten (Dominio del Tiempo)

ECUACIONES-

A partir del circuito equivalente mediante Ley de Kirchhoff de Tensiones

Similarmente mediante LKC

Dividiendo por eth z y haciendo que eth z tienda a cero se obtienen las siguientes diferenciales parciales

De estas expresiones se obtiene una ec diferencial que satisface la onda de tensioacuten

y otra expresioacuten similar para la onda de corriente

Mediante un proceso similar pero en funcioacuten de la frecuencia se obtienen las siguientes expresiones

Y resolviendo el sistema se obtienen ecuaciones para la tensioacuten y para la corriente

Las ecuaciones diferenciales anteriores determinan las distribuciones de tensioacuten y de corriente a lo largo de la LT La solucioacuten de ellas nos resultan en las ecuaciones siguientes

Estas son las ecuaciones generales para la tensioacuten y para la corriente en una liacutenea de transmisioacuten las cuales se estudiaraacuten en la siguiente parte de estos apuntes

EJERCICIOS-

1- Los coeficientes de circuito distribuido de una liacutenea de transmisioacuten a eth =104 radseg son

R = 0053 eth m L = 062 ethHm G = 950 pSm C = 395 pFm

En la coordenada z sobre la liacutenea la corriente instantaacutenea estaacute dada por i(t) = 75 cos 10 4t mA

a) Encuentre una expresioacuten para el gradiente de tensioacuten a lo largo de la liacutenea en el punto z

b) iquestCuaacutel es el valor maacuteximo posible del gradiente de tensioacuten

a) El gradiente de tensioacuten se da en el dominio del tiempo por

Sustituyendo valores

= - 0053 ( 0075 cos 10 4 t) + ( 062 x 10 -6 ) (0075 x10 4 sen 10 4 t) =

= - 398 x10 -3 cos 10 4 t + 0465 x 10 -3 sen 104 t =

= 4006 x10 -3 cos( 10 4 t - 303) Voltsmetro= 4006 x10 -3 cos( 10 4 t - 1734 eth ) Voltsmetro

b) El maacuteximo gradiente de tensioacuten posible es igual a la amplitud de 4 mV Y sucede cuando

cos(104 t - 303) = 1

esto implica que

104 t - 303 = 0 2eth 4eth radianes

Esto sucede en los tiempos

t0 = 303 104 = 303 x 10-4 seg entonces t0 = 303 ethS

t1 = (2eth eth 303) 104 = 931 x 10-4 seg t1 = 931 ethS

tn = (neth eth 303) 104 n = 0 2 4

2-Para una liacutenea de transmisioacuten con los mismos coeficientes distribuidos el fasor de tensioacuten en un punto sobre la liacutenea tiene una magnitud rms de 165 Volts y la frecuencia de la sentildeal es de 1100Hz

Encuentre una expresioacuten para el gradiente del fasor de corriente a lo largo de la liacutenea en el mismo punto

iquestCuaacutel es la magnitud fasorial rms de la corriente transversal entre los conductores a lo largo de 10 cm de longitud de liacutenea y cuaacutel es el aacutengulo de fase con relacioacuten a la tensioacuten de la liacutenea en el punto

iquestCuaacutel es el gradiente maacuteximo de corriente instantaacutenea a lo largo de la liacutenea

a)- El gradiente de la corriente a lo largo de la liacutenea estaacute dado en el dominio de la frecuencia por

--- (8)

Solo se deben sustituir valores

= - [ 950 x 10 -12 + j ( 2eth x 1100 ) ( 395x 10 -12 ) ] (165 + j 0)

= - ( 0016 + j 451 ) x 10 -6 Amperesmetro

b) La ecuacioacuten eth I(z) = -G ethz V(z) - jethC ethz V(z) (de la cual se deriva la ecuacioacuten 8) indica que el cambio en la corriente longitudinal a lo largo de una seccioacuten corta de la liacutenea es el negativo de la corriente transversal para la misma seccioacuten Luego la corriente transversal para 10 cm de longitud es de

Corriente Transversal = 01 ( 0016 + j 451 ) x 10-6 Amperes = (00016 + j 0451) x 10-6 = 0451 x 10-6 eth 156

=0451 x 10-6 eth 8979eth Amperes

La corriente transversal adelanta a la tensioacuten por 897 grados iquestEn queacute elemento de circuito sucede esto

c)- Puesto que las magnitudes de todas las cantidades encontradas en los incisos anteriores expresadas como fasores son valores rms el gradiente maacuteximo (valor pico) de corriente instantaacutenea a lo largo de la liacutenea es

Im eth (ethethethethethetheth(ethethethetheth ethAmetro

Im = 638 ethAmetro

Liacuteneas de transmisioacuten corta

Se entiende como una liacutenea de menos de 80 km En estos casos se puede transmitir hasta 15 veces la potencia nominal Cuando la liacutenea es clasificada como corta la capacitancia en derivacioacuten es tan pequentildeaque se puede omitir por completo con una peacuterdida pequentildea y solo se requiereconsiderar la resistencia ldquoRrdquo y la inductancia ldquoLrdquo en serie para la longitud total de la liacutenea

Liacutenea cortamenor 80 km (50 mi)

Secciones de las redes trifaacutesicas a tres y cuatro conductores para transmitir la misma potencia Redes de distribucioacuten en medida y baja tensioacuten Liacuteneas abiertas Liacuteneas en anillo Transformaciones ΔY Transposicioacuten de cargas en las transformaciones Y Redes malladas caacutelculosΔ

LINEA DE LONGITUD MEDIA

La liacutenea de Longitud Media Se consideran liacuteneas de longitud media a aquellas que operan a tensiones mayores o iguales a 110 kV y su longitud estaacute comprendida entre los 50 y 200 km En este caso no es posible despreciar el efecto de la capacidad sin cometer un error apreciable por lo que la aproximacioacuten maacutes aceptada es considerar la capacidad concentrada en uno o maacutes puntos entonces se tienen los dos circuitos maacutes empleados nominal y T nominalπ - Circuito Equivalente Nominal Se obtiene de la figura concentrando la resistencia eπ inductancia en un solo punto y considerando la capacidad concentrada en mitades en los extremos transmisor y receptor de modo que C es la capacidad total por fase de la liacutenea

Los circuitos en T y en no representan la liacutenea real por lo que en los casos de duda πsobre la longitud de aquella lo mejor es emplear el circuito equivalente que

Z=R+ jwLI S=IRV S=V R+ZsdotIR

representa exactamente la liacutenea Ambos circuitos en T y en no son equivalentes πcomo puede verse por la aplicacioacuten de las ecuaciones de transformacioacuten ϒ- a cada Δuno de ellos Los circuitos T y se aproximan mas entre si y al circuito equivalente de πla liacutenea cuando esta se divide en dos o mas secciones cada una representada por sus circuitos normales en T y en π

Las constantes ABCD algunas veces se conocen como las constantes generalizadas de los circuitos de la liacutenea de transmisioacuten En general son nuacutemeros complejos A y D son sin dimensiones e iguales entre si si la liacutenea esa misma cuando se ve desde cualquier terminal En una liacutenea de transmisioacuten nos referimos a las terminales de transmisioacuten donde la potencia entre la red y las terminales de recepcioacuten donde la potencia abandona la red En la tabla A6 muestra las constantes ABCD para distintas redes

Liacutenea de Longitud Media Se consideran liacuteneas de longitud media a aquellas que operan a tensiones mayores o iguales a 110 kV y su longitud estaacute comprendida entre los 50 y 200 km En este caso no es posible despreciar el efecto de la capacidad sin cometer un error apreciable por lo que la aproximacioacuten maacutes aceptada es considerar la capacidad concentrada en uno o maacutes puntos entonces se tienen los dos circuitos maacutes empleados nominal y T nominalπ - Circuito Equivalente Nominal Se obtiene de la figura concentrando la resistencia eπ inductancia en un solo punto y considerando la capacidad concentrada en mitades en los extremos transmisor y receptor de modo que C es la capacidad total por fase de la liacutenea

CIRCUITO EQUIVALENTE DE LA LINEA DE TRANSMICION LARGA

LINEAS DE TRANSMISION LARGAS(SOLUCION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES)

La solucioacuten exacta de cualquier liacutenea de transmisioacuten y la uacutenica que proporciona gran precisioacuten en el caacutelculo de la liacutenea a 60 Hz de maacutes de 50 millas de longitud exige considerar que los paraacutemetros de las liacuteneas no estaacuten concentradas si no distribuidos uniformemente a todo lo largo de ella La siguiente figura representa una fase a neutro de una liacutenea trifaacutesica No se utilizan los paraacutemetros concentrados porque se trata de calcular la liacutenea con la impedancia y la admitancia uniformemente repartidas (por unidad de longitud)Consideremos un elemento muy pequentildeo de la liacutenea y calculemos las diferencias de tensioacuten y corriente entre los dos extremos de la liacutenea ( antes y despueacutes del elemento diferencial ) Sea X la distancia del elemento considerado ( segmento ) a partir del extremo receptor y dx la longitud del elemento diferencial ( segmento )La impedancia del elemento diferencial de la liacutenea seraacute Z dx e Y dx su admitancia Sea V la tensioacuten respecto al neutro del extremo del elemento diferencial de la liacutenea maacutes proacuteximo al extremo receptor siendo esta V la expresioacuten compleja de la tensioacuteneficaz cuya amplitud y fase variacutea con la distancia a lo largo de la liacutenea

(VR=Vang00 solo en VR) L a t e n s i oacute n e n e l e x t r e m o d e l e l e m e n t o d e l a l iacute n e a m aacute s p r oacute x i m o a l g e n e r a d o r (saliendo del elemento diferencial) Seraacute

V + dv

El aumento de la tensioacuten a lo largo del elemento diferencial de la liacutenea en sentido de las X crecientes es dv que es la diferencia de las tensiones en los extremos del elementoEl aumento de la tensioacuten en sentido de las X crecientes( a lo largo de toda la liacutenea)es tambieacuten el producto de la corriente que fluye del elemento en sentido de las X crecientes por la impedancia de aquel

Si consideramos que la excitacioacuten (fuente) es sinusoidal en estado estable tenemos que

v ( z t )=V ( z ) cos (wt )=Re [V ( z ) e jwt ]

i (z t )=I ( z ) cos (wt )=Re [ I ( z ) e jwt ]

Las ecuaciones de la liacutenea de transmisioacuten se transforman en

part2V__

part z2=(R+ jwL)(G + jwC )V

part2I__

part z2=(R+ jwL)(G + jwC )I

Que son ecuaciones diferenciales de segundo orden cuyas soluciones son

V ( z )=V +eminusγz+Vminuse

I ( z )=I+eminusγz+ Iminus e

Donde V+ V- I+ e I- son constantes arbitrarias y γ=radic(R+ jwL )(G+ jwC )

Recordando la ecuacioacuten original

part v ( z t )part z

=Rtimesi ( z t )+L part i ( z t )part t

Y considerando estado sinusoidal estable esta ecuacioacuten se convierte en

LA LINEA DE TRANSMICION LARGAR INTERPRETACION DE LAS ECUACIONES

Las liacuteneas de transmisioacuten estaacuten constituidas por dos o maacutes conductores para llevar ondas electromagneacuteticas de un punto a otro las formas maacutes comunes son las coaxiales y las de dos conductores

Liacutenea de 2 conductores Liacutenea coaxial

Como se ha manifestado anteriormente una seccioacuten de liacutenea de transmisioacuten presenta efectos inductivos y capacitivos distribuidos en toda su longitud Una liacutenea de transmisioacuten de buena calidad debe tener una resistencia R por unidad de longitud despreciable ademaacutes una conductancia G por unidad de longitud (dad por el aislante) tambieacuten despreciable

Para una liacutenea coaxial los paraacutemetros L y C estaacuten dados por las siguientes relaciones

L(Hm )= μ

2πlog

C (Fm )= 2 πε

permeabilidad del medio dieleacutectrico entre los conductores

permitividad

Estos valore ( L C) se usan para encontrar la impedancia caracteriacutestica y la velocidad de fase de la liacutenea coaxial

Pasaremos ahora a realizar el anaacutelisis de los voltajes y corrientes en una seccioacuten de liacutenea de transmisioacuten mostraacutendose tambieacuten su equivalente

i(Zt) i(Z+Zt) LZ RZ

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

Seccioacuten de liacutenea Circuito equivalente

Para realizar el anaacutelisis respectivo consideramos Z como una seccioacuten pequentildea Si desarrollamos v(Z + Z t) e i(Z + Z t) en su serie de Taylor y despreciamos los teacuterminos que contengan Z n n 2

v ( z+Δz t )=v ( z t )+ part v ( z t )part z

i (z+Δz t )=i ( z t )+part i ( z t )part z

Aplicando Kirchoff v ( z t )=Rtimesi ( z t )

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

=Rtimesi ( z t )+ Lpart i ( z t )

part t

part i (z t )part z

=Gtimesv ( z t )+C part v ( z t )part t

Que es un sistema de ecuaciones diferenciales de dos variables combinando las ecuaciones y separando las variables

part2vpart z2

=RGv+(RC+LG ) part vpart t

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

=RGi+(RC+LG ) part ipart t

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

Si la solucioacuten general es V ( z )=V +e

minusγz+Vminuseγz

se tendraacute entonces

partVpart z

=minus(R+ jwL )I=minusγtimesV +eminusγz+γtimesVminus e

despejando

I= γR+ jwL [V + e

minusγzminusVminus eγz ]

Recordando que γ=radic(R+ jwL )(G+ jwC )

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

[V + eminusγzminusVminus e

Comparando con

Obtenemos

I+=radicG+ jwCR+ jwL

Iminus=radicG+ jwCR+ jwL

Vminus

De acuerdo a estos resultados definimos

Impedancia Caracteriacutestica (Zc)

ZC=radic R+ jwLG+ jwC

Zc= 1Yc

Constante de Propagacioacuten ()

γ=radic(R+ jwL )(G+ jwC )

Como se puede notar es una cantidad compleja y como tal γ=α+ jβ

= constante de atenuacioacuten [Nepersunidades de longitud]

= constante de fase [radianesunidades de longitud]

Zc y caracterizan a una liacutenea de transmisioacuten uniforme El teacutermino V+e-z de la solucioacuten general representa una onda que se desplaza en sentido positivo de Z y se denomina ONDA INCIDENTE

El teacutermino V-ez es tambieacuten una onda pero que viaja en sentido contrario esta se conoce como ONDA REFLEJADA

Las constantes V+ y V- son las amplitudes de dichas ondas y se calculan usando las condiciones terminales en los dos extremos de la liacutenea

Ejemplo Consideremos la siguiente liacutenea de transmisioacuten con condiciones terminales

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

Fuente Ideal Z=-s Liacutenea de Transmisioacuten

Condiciones Z= 0 V = VR I = IR

Tomando estos valores y sustituyendo en la solucioacuten general se obtiene

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

Lo que obliga finalmente a la solucioacuten

V S=V (minuss )=V R cosh (γs)+ I RZc senh (γs )

I S=I (minuss )=V R

Zcsenh (γs )+ I R cosh (γs)

En el anaacutelisis posterior consideraremos siempre R = G = 0 (liacutenea ideal) por lo que lahipoacutetesis valedera puesto que en la praacutectica las peacuterdidas en las liacuteneas son pequentildeas

LA LINEA DE TRANSMICION LARGA FORMA HIPERVOLICA DE LAS ECUACIONES

Los sistemas de transmisioacuten y distribucioacuten de las empresas eleacutectricas han comenzado un periacuteodo de cambio debido principalmente a la creciente demanda de energiacutea eleacutectrica la apertura de los mercados asiacute como el desarrollo en la electroacutenica de potencia microprocesadores y comunicaciones en general

En la actualidad los sistemas de potencia presentan un gran nivel de interconexiones debido a las ventajas que eacutestas representan como son la posibilidad de poder suministrar energiacutea eleacutectrica a los centros de carga al miacutenimo costo con la confiabilidad requerida tener asistencia mutua en emergencias y coordinacioacuten de la operacioacuten de todas las unidades generadoras participantes Sin embargo esto ha traiacutedo como consecuencia un crecimiento excesivo de los sistemas de potencia haciendo que estos sean cada vez maacutes difiacuteciles de controlar y por lo tanto pueden ser menos seguros conducir grandes flujos de potencia con control inadecuado tener exceso de potencia reactiva en varias zonas del sistema grandes oscilaciones dinaacutemicas entre diferentes partes del sistema y asiacute el potencial de transmisioacuten no siempre se puede utilizar al cien por ciento Aunado a esto el costo de las liacuteneas de transmisioacuten asiacute como las dificultades que representa su construccioacuten limitan la disponibilidad y el crecimiento de la capacidad de generacioacuten Ademaacutes en un sistema de transmisioacuten complejo la potencia entre una estacioacuten generadora y los centros de carga fluye a traveacutes de numerosas liacuteneas eacuteste fenoacutemeno se conoce como flujo en anillo o flujo por rutas paralelas En un mercado de servicio eleacutectrico desregulado eacuteste fenoacutemeno causa problemas en las empresas eleacutectricas ya que la energiacutea eleacutectrica no fluye basada en leyes econoacutemicas por lo tanto el manejo de la transmisioacuten de energiacutea es de principal intereacutes para el establecimiento de una competencia real en el mercado eleacutectrico [1]

Tradicionalmente las principales acciones de control en un sistema de potencia tales como el cambio de taps de los transformadores o la conmutacioacuten de la corriente se han llevado a cabo a traveacutes de dispositivos mecaacutenicos En la actualidad hay una gran utilizacioacuten de dispositivos microeleacutectronicos computadoras y comunicaciones de alta velocidad para el control y proteccioacuten de los sistemas de transmisioacuten sin embargo cuando las sentildeales de operacioacuten se enviacutean a los circuitos de potencia y se toma la accioacuten de control final los dispositivos de conmutacioacuten mecaacutenicos presentan una respuesta lenta Otro problema con los dispositivos mecaacutenicos es que el control puede fallar ya que estos tienden a desgastarse con rapidez respecto a los dispositivos estaacuteticos De tal forma que la falta de controles raacutepidos y confiables puede resultar en

Problemas de estabilidad

Flujo de potencia por liacuteneas no deseadas

Flujo indeseable de reactivos

Salidas en cascada como consecuencia de los grandes tiempos de restauracioacuten

Mal aprovechamiento de la capacidad de transmisioacuten

Asiacute desde un punto de vista de operacioacuten dinaacutemica y de estado estacionario el sistema puede tornarse incontrolable

Sistemas de transmisioacuten flexibles de CA

El desarrollo de la electroacutenica de potencia ha conducido al desarrollo e implementacioacuten de dispositivos que realizan las mismas funciones que los mecaacutenicos pero con una mayor velocidad de operacioacuten y menos problemas teacutecnicos La filosofiacutea de los sistemas de transmisioacuten flexibles de CA (FACTS) desarrollada a finales de los 80s es el uso de dispositivos basados en tiristores para controlar el flujo de potencia en una liacutenea de transmisioacuten esto permite utilizar las liacuteneas cerca de sus liacutemites teacutermicos yo forzar los flujos de potencia por rutas determinadas Debido a la rapidez en su operacioacuten estos dispositivos tambieacuten pueden ser utilizados para controlar problemas dinaacutemicos del sistema De acuerdo al IEEE la definicioacuten de estos dispositivos es la siguiente [2]

ldquoSistema de transmisioacuten de corriente alterna que incorpora controladores estaacuteticos basados en electroacutenica de potencia para mejorar la controlabilidad e incrementar la capacidad de transferencia de potenciardquo

El concepto de FACTS es nuevo no obstante incluye a los compensadores estaticos de VARrsquos los cuales han sido utilizados desde los anos 70 De hecho fueron utilizados por primera vez en el control de un sistema de transmisioacuten de CA en 1978 [3] en un proyecto conjunto de EPRI y la Minnesota Power and Light Sin embargo para algunos controladores FACTS que estan emergiendo actualmente no se tiene la experiencia con la que se cuenta con otros dispositivos teniendo como consecuencia los riesgos asociados a la nueva tecnologiacutea A pesar de esto la mayoriacutea de los controladores FACTS tienen muchas caracteriacutesticas en comun con aquellos que ya han sido probados lo cual es un gran apoyo para la utilizacioacuten de los mismos

La tecnologiacutea de FACTS abre nuevas oportunidades en el control de la potencia y el incremento de la capacidad disponible ya que la posibilidad de controlar la corriente a traveacutes de una liacutenea a un costo razonable permite incrementar la capacidad de las liacuteneas existentes Esto se puede lograr debido a que estos dispositivos tienen la capacidad de manejar paraacutemetros que actualmente restringen a los sistemas eleacutectricos de potencia (impedancia serie y shunt aacutengulo de fase oscilaciones a frecuencia subsiacutencronas) permitiendo ademaacutes operar las liacuteneas de transmisioacuten cerca de sus liacutemites teacutermicos lo que anteriormente no era posible sin violar las restricciones de seguridad del sistema

Asimismo el desarrollo de estos dispositivos tambieacuten ha tenido repercusiones importantes en el aspecto econoacutemico de las compantildeiacuteas suministradoras debido al ambiente competitivo actual (desregulacioacuten) El potencial de esta tecnologiacutea se basa en la posibilidad de controlar la ruta del flujo de potencia y la habilidad de conectar redes que no esteacuten adecuadamente interconectadas dando la posibilidad de comerciar energiacutea entre agentes distantes lo que antes era muy difiacutecil

FLUJO DE POTENCIA ATRAVEZ DE UNA LINEA DE TRANSMICON

En cualquier punto la potencia fluye en forma paralela a la liacutenea estaacute dado por el vector de Poynting Pero

para el aire o el vaciacuteo) de manera que el vector de Poynting (= E2Z0) es proporcional al cuadrado del campo eleacutectrico E

Los contornos indican el flujo de potencia por metro cuadrado para el caso en que cada conductor es de 254 mm de diaacutemetro con espaciamiento entre centros de 762

mm y una diferencia de potencial entre condiciones de 10 Vrms

Teoriacutea de campos

bullse trata con funciones puntuales como E H y S

bull E y H dan los campos eleacutectrico y magneacutetico en un punto y S la densidad de potencia en un punto

bullAl tratar con ondas en el espacio es conveniente usar tales funciones puntuales

Teoriacutea de circuitos

bull normalmente es maacutes conveniente emplear cantidades integradas como V I y P Es decir V es la tensioacuten entre dos puntos y es igual a la integral de liacutenea de E entre los puntos APLICACION DE LOS CIRCUITOS

Hay un campo eleacutectrico E que se extiende entre los conductores

Hay un campo magneacutetico H alrededor de los conductores

En cualquier punto de vector de Poynting S (en watts por metro cuadrado) estaacute dado por el producto cruz de E y H (S = E x H)

La potencia total en la carga estaacute dada por

En donde la integracioacuten se realiza sobre la superficie que encierra la carga Los campos E y H son en cualquier punto perpendiculares entre si Tambieacuten son tangentes a la superficie ciliacutendrica que encierra el resistor o la cargardquo

COMPENSACION REACTIVA DE LAS LINEAS DE TRANSMICION

En liacuteneas generales la potencia eleacutectrica se define como ldquola capacidad que tiene un equipo eleacutectrico para realizar un trabajo o la cantidad de trabajo que realiza por unidad de tiempordquo

Su unidad de medida es el vatio (W) y sus muacuteltiplos maacutes empleados son el kilovatio (kW) y el megavatio (MW) mientras el submuacuteltiplo corresponde al milivatio (mW) Sin embargo en los equipos que funcionan con corriente alterna cuyo funcionamiento se basa en el electromagnetismo generando sus propios campos magneacuteticos (transformadores motoresetc) coexisten tres tipos diferentes de potencia

Potencia Activa (P) Potencia Reactiva (Q) Potencia Aparente (S)Estos tres tipos de potencias se pueden relacionar mediante un triaacutengulo de potencias El aacutengulo formado entre la potencia aparente y la potencia activa define el desfase entre la tensioacuten (U) y la intensidad (I) y su coseno es equivalente al factor de potencia (FP) en redes sin distorsioacuten armoacutenica

FACTOR DE POTENCIA (FP)

El factor de potencia (FP) es la relacioacuten entre la potencia activa (P) y la potencia aparente (S) y estaacute determinado por el tipo de cargas conectadas a la instalacioacuten siendo las cargas resistivas las que tienen un factor de potencia proacuteximo a la unidad Al introducir cargas inductivas y reactivas el factor de potencia variacutea retrasando o adelantando la fase de la intensidad respecto a la de la tensioacutenEse desfase es el que mide el factor de potencia

Motor asiacutencrono al 50 de carga 073Motor asiacutencrono al 100 de carga 085Centros estaacuteticos monofaacutesicos de soldadura por arco05Grupos rotativos de soldadura 07-09

Rectificadores de soldadura por arco 07-09

POTENCIA ACTIVA (P)La potencia activa representa en realidad la potencia uacutetil medida en wattios (W) es decir la energiacutea que realmente se aprovecha cuando se pone a funcionar un equipo eleacutectrico y realiza un trabajo Por ejemplo la energiacutea que entrega el eje de un motor cuando pone en movimiento un mecanismo o maquinaria la del calor que proporciona la resistencia de un calentador eleacutectrico la luz que proporciona una laacutempara etc

Por otra parte la potencia activa es realmente la potencia contratada en la empresa eleacutectrica y que llegaal domicilio la industria la oficina o cualquier otro lugar donde se necesite a traveacutes de la red eleacutectrica deDistribucioacuten La potencia consumida por todos los aparatos eleacutectricos utilizados normalmente se registraen contadores o medidores de electricidad que instala la empresa suministradora para medir el total de la energiacutea eleacutectrica consumida en el periodo de tiempo determinado en el contrato

POTENCIA REACTIVA (Q)La potencia reactiva es la consumida por los motores transformadores y todos los dispositivos o aparatos eleacutectricos que poseen alguacuten tipo de bobina para crear un campo electromagneacutetico Esas bobinas que forman parte del circuito eleacutectrico constituyen cargas para el sistema eleacutectrico que consumen tanto potencia activa como potencia reactiva y la eficiencia de su trabajo depende el factor de potencia Mientras maacutes bajo sea el factor de potencia (maacutes alejado de la unidad) mayor seraacute la potencia reactiva consumida Ademaacutes esta potencia reactiva no produce ninguacuten trabajo uacutetil y perjudica la transmisioacuten de la energiacutea a traveacutes de las liacuteneas de distribucioacuten eleacutectrica por lo que su consumo estaacute penalizado por la compantildeiacutea suministradora en la tarifa eleacutectrica La unidad de medida de la potencia reactiva es el VAr y su muacuteltiplo es el kVAr

POTENCIA APARENTE (S)La potencia aparente o potencia total es la suma seguacuten el teorema de Pitaacutegoras de la potencia activa y la aparente Estas dos potencias representan la potencia total que se toma de la red de distribucioacuten eleacutectrica que es igual a toda la potencia que entregan los generadores en las plantas eleacutectricas Estas potencias se transmiten a traveacutes de las liacuteneas o cables de distribucioacuten para hacerla llegar hasta los consumidores es decir hasta los hogares faacutebricas industrias etc Su unidad de medida es el VA

Problemas de la energiacutea reactiva

INCREMENTO DE LAS PEacuteRDIDAS EN LOS CONDUCTORES

1048661 Calentamiento de conductores acelerando el deterioro de los aislamientos reduciendo la vida uacutetil de losmismos y pudiendo ocasionar cortocircuitos1048661 Disminucioacuten de la capacidad de la REE al tener que generar una electricidad extra que compense las peacuterdidas

1048661 Calentamiento en los bobinados de los transformadoresde distribucioacuten

1048661 Disparo de las protecciones sin una causa aparente

SOBRECARGA DE TRANSFORMADORES Y GENERADORES

El exceso de corriente debido a un bajo factor de potencia origina que generadores y transformadores trabajencon cierto grado de sobrecarga reduciendo asiacute su vida uacutetil al sobrepasar sus valores de disentildeo

AUMENTO DE LA CAIacuteDA DE TENSIOacuteN

La circulacioacuten de corriente a traveacutes de un conductor eleacutectrico produce una caiacuteda de tensioacuten definida por la Ley de OhmEl aumento de la intensidad de corriente debido al bajo factor de potencia produciraacute una mayor caiacuteda de tensioacuten resultando un insuficiente suministro de potencia a las cargas en el consumo reduciendo las cargas su potencia de salida

UNIDAD 5

ANALISIS DE FLUJOS DE POTENCIA

51 INSTRODUCCION AL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA

SI EN UN SISTEMA DE POTENCIA SE ESPECIFICAN VALORES DE CARGA NODAL SE CONOCEN LOS PARAMETROS DE LA RED Y ADEMAS SE CONOCEN DOS DE SUS CUATRO VARIABLES CARACTERISTICAS (V P Q) ES POSIBLEDETERMINAR ELθ

ESTADO DE EQUILIBRIO NODADL Y GLOBAL DEL SISTEMA ESTA TAREA SE DENOMINA FLUJO DE POTENCIA

LOS ELEMENTOS DE LA RED DE TRANSMISION SON DISENtildeANOS PARA CONDICIONS DE OPERACIOacuteN EN EQUILIBRIO ADEMAS LA OPERACIOacuteN DE LOS MISMOS ES EFECTUADA DE MANERA BALANCEADA DEBIDO A QUE LA CARGA NODAL ES EQUILIBRADA POR LO TANTO EL FLUJO DE POTENCIA A TRAVEZ DE LOS ELEMENTOS PRESENTA CONDICIONES DE BALANCEO ESTO ES NO EXISTE CIRCULACION DE CORRIENTE POR NEUTRO NI TIERRA EN ESTAS CONDICIONES SI LA RED TRIFASICA ES DESCOMPUESTA EN TRES REDES DE SECUENCIA DENOMINADAS DE SECUENCIA POSITIVA NEGATICA Y CERO SOLO LA RED DE SECUENCIA POSITIVA TIENE EFECTO EN LA OPERACIOacuteN

POR LO TANTO A LO ANTERIOR AL EFECTUAR ANALISIS EN ESTADO ESTACIONARIO EN REDES DE ALTA POTENCIA LA RED SE MODELA POR SU EQUIVALENTE MONOFASICO DE SECUENCIA POSITIVA

LOS ESTUDIOS DE FLUJOS DE POTENCIA SE APLICAN EN

PLANEACION Y DISENtildeO DEL SISTEMA ELECTRICO DETERMINACION DE LAS CONDICIONES OPERATIVAS EL FLUJO DE

POTENCIA PROPORCIONA INFORMACION DE SUMA IMPORTANCIA ACERCA DE LA OPERACIOacuteN DE LAS REDES ELECTRICAS COMO ES VOLTAJES NODALES FLUJOS DE POTENCIA POR LAS LINEAS PEacuteRDIDAS ETC

LAS MATRICES DE REDES EMPLEADAS EN LOS DIFERENTES ESTUDIOS DE SISTEMAS ELECTRICOS SON

LA MATRIZ ADMITANCIA DE BARRA Ybus

LA MATRIZ IMPEDANCIA DE BARRA Zbus

LOS METODOS CLASICOS MAS COMUNMENTE EMPLEADOS DE FLUJO DE CARGA SON DESARROLLADOS CON BASE EN LA MATRIZ Ybus LOS DE CORTO CIRCUITO ESTAN BASADOS EN LA MATRIZ Zbus

LOS ELEMENTOS DE LA MATRIZ Ybus SON DESCRITOS DE LA SIGUIENTE MANERA

YiJ = |YiJ| iJ = |YiJ|Cos iJ +J|YiJ|Sen iJθ θ θ

YiJ = GiJ +JBiJ

EL MODELO MATEMATICO DEL SISTEMA PARA RESOLVER EL PROBLEMA DE FLUJO DE CARGA SE EXPRESA EN FUNCION DE VOLTAJES NODALES LOS CUALES PODRAN SER DADOS EN COMPONENTES POLARES O RECTANGULARES SIENDO LA MAS USADA EN LOS ESCRITOS TECNICOS LA REPRESENTACION POLAR

Vi = |Vi| i = |Vi|(Cos i +JSen i)δ δ δ

LA ESCUACION QUE RELACIONA LA CORRIENTE INYECTADAEN EL NODO EN FUNCION DE VOLTAJES NODALES Y LA MATRIZ Ybus ES LA SIGUIENTE

Ii = Yi1V1 +Yi2V2 +middotmiddotmiddot+YinVn = sumn=1

SEAN Pi Y Qi LAS POTENCIAS REAL Y REACTIVA ESPECIFICADAS EN EL NODO i LA ECUACION QUE RELCONA ESTAS VARIABLES CON EL VOLTAJE NODAL LA MATRIZ Ybus ES

Pi minusJQi = V iiquest sumn=1

EXPRESADO EN FORMA POLAR ES

Pi ndashJqit=sumn=1

|Yin VnVi| ∟ in + n ndash iθ δ δ

EL ERROR DE POTENCIA EN EL NODO (I) SE CALCULA COMO LA DIFERENCIA ENTRE LA POTENCIA INYECTADA POR EL SISTEMA EXTERNO E INTERNO ESTA DIFERENCIA SE PRESENTA EN EL PROCESO DEL FLUJO DE CARGA EN EL CUAL LA POTENCIA DEL SISTEMA EXTERNO ES ESTABLECIDA EN UN VALOR LA DEL SISTEMA INTERNO SE CALCULA CON BASE EN LOS VOLTAJES NODALES Y PARAacuteMETROS DE LA RED ASIacute QUE SOLO HASTA CUANDO SE ALCANCE EL VOLTAJE DE EQUILIBRIO- LAS DOS POTENCIAS COINCIDEN Y EL ERROR DE POTENCIA SERAacute MENOR QUE UN VALOR ESTABLECIDO CALCULADO ASIacute

Pi = (PGi minusPDi)minusPi calc = Pi prog minusPi calcTΔ

Qi = (QGi minusQDi)minusQi calc = Qi prog minusQi calcΔ

SI NO EXISTE GENERACION O CARGA SUS TERMINOS CORRESPONDIENTES EQUIVALEN A CERO

ΔPi y ΔQi ERRORES QUE OCURREN DURANTE EL DESARROLLO DEL FLUJO DE POTENCIA CUANDO LA POTENCIA PROGRAMADA Y LA CALCULADA SE APROXIMAN ENTONCES |ΔPi| le ξ y |ΔQi| le ξ

LAS ECUACIONES DE POTENCIA ACTIVA Y REACTIVA INYECTADA PUEDEN SER EXPRESADAS EN DIFERENTE FORMA

POTENCIA ACTIVA Y REACTIVA INYECTADA

52 METODO DE GAUSS-SEIDEL

ESTE MEacuteTODO SE BASA EN LA APROXIMACIOacuteN ITERATIVA PROPUESTA POR SEIDEL EN 1874 (ACADEMIA DE CIENCIAS DE MUNICH) PARA LA APLICACIOacuteN AL PROBLEMA DEL FLUJO DE POTENCIA LAS ECUACIONES DE NODO Y CONDICIONES DE CONTORNO SE COMBINAN PARA EL NODO K

DE DONDE SE PUEDE EXPRESAR LA TENSIOacuteN VK COMO

LA ECUACIOacuteN ANTERIOR ES EL CORAZOacuteN DEL ALGORITMO ITERATIVO LA ITERACIOacuteN COMIENZA CON UNA ESTIMACIOacuteN DE LAS MAGNITUDES Y AacuteNGULOS DE TODAS LAS BARRAS DEL SISTEMA Y SE VAN RECALCULANDO LAS TENSIONES UTILIZANDO LOS MEJORES VALORES DISPONIBLES ESTO ES PARA CALCULAR LA TENSIOacuteN VK SE UTILIZAN LOS V1K-1 YA ACTUALIZADOS Y LOS VKN DEL PASO ANTERIOR EL MEacuteTODO TIENE UNA CONVERGENCIA EXTREMADAMENTE LENTA PERO SEGURA (EXCEPTO PARA PROBLEMAS MAL CONDICIONADOS O SIN CONVERGENCIA POSIBLE

EL MEacuteTODO DE GAUSS-SEIDEL ES UN REFINAMIENTO DEL MEacuteTODO DE JACOBI QUE GENERALMENTE (PERO NO SIEMPRE) CONVERGE MAacuteS RAacutePIDO EL UacuteLTIMO VALOR DE CADA VARIABLE ES SUSTITUIDO EN CADA PASO EN EL PROCESO ITERATIVO EL MEacuteTODO DE GAUSS-SEIDEL ES UN MEacuteTODO ITERATIVO Y POR LO MISMO RESULTA SER UN MEacuteTODO BASTANTE EFICIENTE A CONTINUACIOacuteN SE PRESENTA UN SISTEMA DE ECUACIONES

DE LA ECUACIOacuteN 1 SE DESPEJA 1x DE LA ECUACIOacuteN 2 DESPEJA 2x hellip DE LA

ECUACIOacuteN N SE DESPEJA nx RESOLVIENDO LO ANTERIOR SE OBTIENE EL SIGUIENTE CONJUNTO DE ECUACIONES

ESTE UacuteLTIMO CONJUNTO DE ECUACIONES SON LAS QUE FORMAN LAS FOacuteRMULAS ITERATIVAS PARA COMENZAR EL PROCESO ITERATIVO LE SE LE

ASIGNA EL VALOR DE CERO A LAS VARIABLES nxx 2 ESTO DARAacute UN PRIMER

VALOR PARA 1x MAacuteS PRECISAMENTE SE TIENE QUE

A CONTINUACIOacuteN SE SUSTITUYE ESTE VALOR DE

x2 EN LA ECUACIOacuteN 2 Y LAS

VARIABLES

x3 xn SIGUEN TENIENDO EL VALOR DE CERO ESTO NOS DA EL

SIGUIENTE VALOR PARA

ESTOS UacuteLTIMOS VALORES DE 1x Y

x2 SE SUSTITUYEN EN LA ECUACIOacuteN 3

MIENTRAS QUE

x4 xnSIGUEN TENIENDO EL VALOR DE CERO Y ASIacute

SUCESIVAMENTE HASTA LLEGAR A LA UacuteLTIMA ECUACIOacuteN TODO ESTE PASO DARAacuteN UNA LISTA DE PRIMEROS VALORES PARA LAS INCOacuteGNITAS LA CUAL CONFORMA EL PRIMER PASO EN EL PROCESO ITERATIVO DIGAMOS QUE SE TIENE

SE REPITE EL PROCESO PERO AHORA SUSTITUYENDO ESTOS UacuteLTIMOS DATOS EN VEZ DE CEROS COMO AL INICIO SE OBTENDRAacute UNA SEGUNDA LISTA DE VALORES PARA CADA UNA DE LAS INCOacuteGNITAS POR LO TANTO AHORA SE TIENE

EN ESTE MOMENTO SE PUEDE CALCULAR LOS ERRORES APROXIMADOS RELATIVOS RESPECTO A CADA UNA DE LAS INCOacuteGNITAS ASIacute SE TIENE LA LISTA DE ERRORES COMO SIGUE

El proceso se vuelve a repetir hasta que

ES UNA COTA SUFICIENTE PREFIJADA

CRITERIO DE CONVERGENCIA PARA EL MEacuteTODO DE GAUSS-SEIDEL

EL MEacuteTODO DE GAUSS-SEIDEL SURGIO COMO UNA MODIFICACIOacuteN DEL MEacuteTODO DE JACOBI QUE ACELERA LA CONVERGENCIA DE EacuteSTE

EL MEacuteTODO DE GAUSS-SEIDEL RECORTA SUSTANCIALMENTE EL NUacuteMERO DE ITERACIONES A REALIZAR PARA OBTENER UNA CIERTA PRECISIOacuteN EN LA SOLUCIOacuteN EVIDENTEMENTE LOS CRITERIOS DE CONVERGENCIA SON SIMILARES A LOS DE JACOBI

ESTE CRITERIO NO SOLO SE APLICA A LAS ECUACIONES LINEALES QUE SE RESUELVEN CON EL MEacuteTODO DE GAUSS-SEIDEL SINO TAMBIEacuteN PARA EL MEacuteTODO ITERATIVO DEL PUNTO FIJO Y EL MEacuteTODO DE JACOBI POR TANTO AL APLICAR ESTE CRITERIO SOBRE LAS ECUACIONES DE GAUSS-SEIDEL Y EVALUANDO CON RESPECTO A CADA UNA DE LAS INCOacuteGNITAS OBTENEMOS LA EXPRESIOacuteN SIGUIENTE

EL VALOR ABSOLUTO DE LAS PENDIENTES EN LA ECUACIOacuteN DEBEN SER MENOR QUE LA UNIDAD PARA ASEGURAR LA CONVERGENCIA

ES DECIR EL ELEMENTO DIAGONAL DEBE SER MAYOR QUE EL ELEMENTO FUERA DE LA DIAGONAL PARA CADA REGLOacuteN DE ECUACIONES LA GENERALIZACIOacuteN DEL CRITERIO ANTERIOR PARA UN SISTEMA DE N ECUACIONES ES

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

EL MEacuteTODO DE GAUSS-SEIDEL ESTAacute BASADO EN EL CONCEPTO DE PUNTO FIJO ES DECIR ( XI = GI (X) I = 1 N) PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

PARA GARANTIZAR LA CONVERGENCIA SE DEBE DE CUMPLIR QUE EL SISTEMA TENGA UNA DIAGONAL DOMINANTE ES DECIR QUE SE CUMPLA LA DESIGUALDAD SIGUIENTE SI SE CAMBIOacute EL ORDEN DE LAS ECUACIONES ESTA PUEDE DIVERGIR

53 EL METODO DE NEWTON-RAPHSON

ESTE MEacuteTODO EL CUAL ES UN MEacuteTODO ITERATIVO ES UNO DE LOS MAacuteS USADOS Y EFECTIVOS A DIFERENCIA DE LOS MEacuteTODOS ANTERIORES EL MEacuteTODO DE NEWTON-RAPHSON NO TRABAJA SOBRE UN INTERVALO SINO QUE BASA SU FOacuteRMULA EN UN PROCESO ITERATIVO

SUPONGAMOS QUE TENEMOS LA APROXIMACIOacuteN A LA RAIacuteZ DE

iquest jnei iquestiquestiquestniquestiquest

TRAZAMOS LA RECTA TANGENTE A LA CURVA EN EL PUNTO EacuteSTA

CRUZA AL EJE EN UN PUNTO QUE SERAacute NUESTRA SIGUIENTE

APROXIMACIOacuteN A LA RAIacuteZ

PARA CALCULAR EL PUNTO CALCULAMOS PRIMERO LA ECUACIOacuteN DE LA RECTA TANGENTE SABEMOS QUE TIENE PENDIENTE

Y POR LO TANTO LA ECUACIOacuteN DE LA RECTA TANGENTE ES

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

QUE ES LA FOacuteMULA ITERATIVA DE NEWTON-RAPHSON PARA CALCULAR LA SIGUIENTE APROXIMACIOacuteN

NOTE QUE EL MEacuteTODO DE NEWTON-RAPHSON NO TRABAJA CON INTERVALOS DONDE NOS ASEGURE QUE ENCONTRAREMOS LA RAIacuteZ Y DE HECHO NO TENEMOS NINGUNA GARANTIacuteA DE QUE NOS APROXIMAREMOS A DICHA RAIacuteZ DESDE LUEGO EXISTEN EJEMPLOS DONDE ESTE MEacuteTODO NO CONVERGE A LA RAIacuteZ EN CUYO CASO SE DICE QUE EL MEacuteTODO DIVERGE SIN EMBARGO EN LOS CASOS DONDE SI CONVERGE A LA RAIacuteZ LO HACE CON UNA RAPIDEZ IMPRESIONANTE POR LO CUAL ES UNO DE LOS MEacuteTODOS PREFERIDOS POR EXCELENCIA

TAMBIEacuteN OBSERVE QUE EN EL CASO DE QUE EL MEacuteTODO NO SE PUEDE APLICAR DE HECHO VEMOS GEOMEacuteTRICAMENTE QUE ESTO SIGNIFICA QUE LA RECTA TANGENTE ES HORIZONTAL Y POR LO TANTO NO INTERSECTA AL EJE EN

NINGUacuteN PUNTO A MENOS QUE COINCIDA CON EacuteSTE EN CUYO CASO MISMO ES

UNA RAIacuteZ DE EJEMPLO 1USAR EL MEacuteTODO DE NEWTON-RAPHSON PARA APROXIMAR LA RAIacuteZ

DE COMENZANDO CON Y HASTA QUE SOLUCIOacuteNEN ESTE CASO TENEMOS QUE

DE AQUIacute TENEMOS QUE

COMENZAMOS CON Y OBTENEMOS

EN ESTE CASO EL ERROR APROXIMADO ES

CONTINUAMOS EL PROCESO HASTA REDUCIR EL ERROR APROXIMADO HASTA DONDE SE PIDIOacuteRESUMIMOS LOS RESULTADOS EN LA SIGUIENTE TABLA

APROX A LA RAIacuteZ ERROR APROX11268941421 21191309108403 3061309799389 0052

DE LO CUAL CONCLUIacuteMOS QUE LA CUAL ES CORRECTA EN TODOS SUS DIacuteGITOSLA MISMA IDEA PUEDE APLICARSE PARA CREAR ALGORITMOS QUE APROXIMEN RAIacuteCES -EacuteSIMAS DE NUacuteMEROS REALES POSITIVOSOBSERVE QUE CUANDO EL MEacuteTODO DE NEWTON-RAPHSON CONVERGE A LA RAIacuteZ LO HACE DE UNA FORMA MUY RAacutePIDA Y DE HECHO OBSERVAMOS QUE EL ERROR APROXIMADO DISMINUYE A PASOS AGIGANTADOS EN CADA PASO DEL PROCESO AUNQUE NO ES NUESTRO OBJETIVO ESTABLECER FORMALMENTE LAS COTAS PARA LOS ERRORES EN CADA UNO DE LOS MEacuteTODOS QUE HEMOS ESTUDIADO CABE

MENCIONAR QUE SI EXISTEN ESTAS COTAS QUE MIDEN CON MAYOR PRECISIOacuteN LA RAPIDEZ Oacute LENTITUD DEL MEacuteTODO EN ESTUDIO

VEREMOS A CONTINUACIOacuteN UN EJEMPLO DEL METOacuteDO DE NEWTON RAPHSON CON LA SIGUIENTE ECUACIOacuteN

54 LA SOLUCION DE FLUJOS DE POTENCIA DE NEWTON-PAPHSON

SOLUCIOacuteN DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA POR EL MEacuteTODO DE GAUSS-SEIDEL

PARTIENDO DE LA DEFINICIOacuteN DE BALANCE NODAL DE POTENCIA COMPLEJA

(1054) DONDE LA POTENCIA COMPLEJA NETA INYECTADA PUEDE ESCRIBIRSE EN TEacuteRMINOS DE VOLTAJE Y CORRIENTE

RESCRIBIENDO LA ECUACIOacuteN DE BALANCE DE POTENCIA NODAL COMO

DESPEJANDO A LA CORRIENTE COMPLEJA

(1055) POR OTRA PARTE LA CORRIENTE NETA INYECTADA EN CUALQUIER NODO I DEL SISTEMA ELEacuteCTRICO ES

DE ESTA UacuteLTIMA ECUACIOacuteN

DESPEJANDO AL VOLTAJE COMPLEJO DEL NODO I

SUBSTITUYENDO (1055) EN LA ECUACIOacuteN ANTERIOR

(1056)

ESTA ECUACIOacuteN ESTAacute EXPRESADA DE UNA MANERA TAL QUE ES POSIBLE APLICAR YA SEA EL MEacuteTODO DE GAUSS O EL MEacuteTODO DE GAUSS-SEIDEL COMO PUEDE OBSERVARSE INVOLUCRA TEacuteRMINOS DE VOLTAJES COMPLEJOS NODALES (VARIABLES DEPENDIENTES) INYECCIONES DE POTENCIA NODALES (VARIABLES DE CONTROL O ESPECIFICADAS) Y ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE ADMITANCIAS NODAL (PARAacuteMETROS CONSTANTES Y ESPECIFICADOS DE LA RED ELEacuteCTRICA) SIN EMBARGO ES CONVENIENTE MODIFICAR ESTA EXPRESIOacuteN A FIN DE HACERLA COMPUTACIONALMENTE MAacuteS EFICIENTE EXPRESANDO LAS PARTES CONSTANTES EN COORDENADAS RECTANGULARES

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

(1060)DEL MISMO MODO

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

SUBSTITUYENDO ESTAS EXPRESIONES EN (1056)

(1063) EXPRESANDO LOS VOLTAJES COMPLEJOS NODALES EN COORDENADAS RECTANGULARES

Y SUBSTITUYENDO EN (1063)

(1064) DESARROLLANDO LA PRIMERA PARTE DE (1064)

(1065) AHORA DESARROLLANDO LA SEGUNDA PARTE DE (1064)

(1066) SUBSTITUYENDO (1065) Y (1066) EN (1064)

SEPARANDO PARTES REALES E IMAGINARIAS

(1067)

(1068) FINALMENTE EN LA ITERACIOacuteN K EL MEacuteTODO DE GAUSS-SEIDEL SE APLICA EN LA FORMA SIGUIENTE

I = 1 hellip N (1069)

DONDE J = K + 1 CUANDO M I (1070)

J = K CUANDO I M (1071) DE ACUERDO AL PLANTEAMIENTO DEL MEacuteTODO DE GAUSS-SEIDEL EL PROCESO ITERATIVO DEBE CONTINUAR HASTA QUE NO HAYA CAMBIOS SIGNIFICATIVOS EN LOS VOLTAJES ES DECIR

I = 1 hellip N (1072)

ESTO NORMALMENTE REPRESENTA LA APLICACIOacuteN DE TOLERANCIAS DE CONVERGENCIA DEMASIADO ESTRECHAS (DEL ORDEN DE 10-6) QUE PARA PROBLEMAS DE TAMANtildeO RELATIVAMENTE GRANDES PUEDE CAUSAR PROBLEMAS DE CONVERGENCIA SI EL PROGRAMA DE COMPUTADORA DESARROLLADO MANEJA VARIABLES REALES DE PRECISIOacuteN SENCILLA POR OTRO LADO ESTA MEDIDA NO GARANTIZA QUE EL BALANCE DE POTENCIA NODAL SE CUMPLA CON APROXIMACIONES ACEPTABLES ADICIONALMENTE AUN CUANDO EL MEacuteTODO ES ECONOacuteMICO EN TRABAJO COMPUTACIONAL POR ITERACIOacuteN PRESENTA EL INCONVENIENTE DE QUE SU CONVERGENCIA ES DEPENDIENTE DEL NUacuteMERO DE ECUACIONES DE MODO QUE SU PROCESO ITERATIVO TIENDE A SER DEMASIADO LENTO PARA PROBLEMAS INVOLUCRANDO VARIOS CENTENARES DE ECUACIONES POR LAS RAZONES ANTERIORES LA APLICACIOacuteN DE OTROS MEacuteTODOS DE SOLUCIOacuteN HA SIDO INVESTIGADA A FIN DE OBTENER ALGORITMOS MAacuteS EFICIENTES EN LAS SIGUIENTES SECCIONES SE APLICA EL MEacuteTODO DE NEWTON (-RAPHSON) PARA RESOLVER EL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA TANTO EN COORDENADAS POLARES COMO RECTANGULARES

55 EL METODO DESACOPLADO DE FLUJOS DE POTENCIA

bull UN SISTEMA DE POTENCIA TIENE MUCHOS NODOS (ldquoBUSESrdquo) Y MUCHAS RAMAS

EXISTEN NODOS CON GENERACIOacuteN CON CARGA O COMBINACIONES

LIMITACIONES O REQUISITOS

1-GENERACIOacuteN = DEMANDA (PARA TODO TIEMPO)

2-NO SE DEBE EXCEDER LA CAPACIDAD DE POTENCIA DE LAS LIacuteNEAS

3-MANTENER NIVELES DE VOLTAJE DENTRO DE LAS TOLERANCIAS PERMITIDAS

LOS ESTUDIOS DE FLUJO DE POTENCIA AYUDAN A PLANEAR EL CRECIMIENTO (RESPUESTA DEL SISTEMA)

SUBPROBLEMAS

1- FORMULAR UN MODELO MATEMAacuteTICO ADECUADO DEL SISTEMA

(DEBE DESCRIBIR RELACIONES ENTRE VOLTAJES Y CORRIENTES)

2- ESPECIFICAR RESTRICCIONES DE VOLTAJE Y POTENCIAS

3- SOLUCIOacuteN COMPUTACIONAL DE LAS ECUACIONES SUJETAS A LAS RESTRICCIONES EXISTENTES

4- CUANDO SE RESUELVE EL SISTEMA Y SE CONOCEN LOS VOLTAJES ENTONCES SE PROCEDE A CALCULAR LOS FLUJOS DE POTENCIA EN LAS LIacuteNEAS

CLASIFICACION DE VARIABLES

NO CONTROLADAS PDI Y QDI (2N VARIABLES)

CONTROLADAS INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES

INDEPENDIENTES PGI Y QGI (2N VARIABLES)

DEPENDIENTES VI Y DI (2N VARIABLES)

SE DISPONE DE 2N ECUACIONES DE FLUJOS DE POTENCIA

( PFE)

Y SE TIENEN 3 X 2N VARIABLES

SI SE CONOCEN 2 X 2N VARIABLES ENTONCES

SE PUEDEN ENCONTRAR LAS 2N VARIABLES

RESTANTES SI SE RESUELVEN LAS

2N ECUACIONES DE FLUJOS DE POTENCIA

SISTEMA DE POTENCIA

PGI = POTENCIA REAL GENERADA EN EL BUS I

PDI = POTENCIA REAL DEMANDADA EN EL BUS I

QGI = POTENCIA REACTIVA GENERADA EN EL BUS I

QDI = POTENCIA REACTIVA DEMANDADA EN EL BUS I

PI = POTENCIA REAL NETA INYECTADA AL SISTEMA EN EL BUS I

QI = POTENCIA REACTIVA NETA INYECTADA AL SISTEMA

EN EL BUS I

PL = POTENCIA REAL DE PEacuteRDIDAS EN LAS LIacuteNEAS

QL = POTENCIA REACTIVA DE PEacuteRDIDAS EN LAS LIacuteNEAS

EI = MAGNITUD DEL VOLTAJE DEL NODO I

__ = ANGULO DEL VOLTAJE DEL NODO I

EN EL NODO I SE INYECTAN LAS SIGUIENTES POTENCIAS AL SISTEMA

PI = PGI ndash PDI QI = QGI ndash QDI

PARA DOS NODOS REALIZANDO UN BALANCE DE POTENCIA

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

(PG1 ndash PD1) + (PG2 ndash PD2) = PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

(QG1 ndash QD1) + (QG2 ndash QD2) = QL

Q1 + Q2 = QL

UNA SOLUCIOacuteN SE OBTIENE SI

1- SE ASUME UN CONOCIMIENTO DE DEMANDA (ESTADIacuteSTICAS)

ESTO EQUIVALE A CONOCER PDI Y QDI (2N VARIABLES)

2- SE ASUMEN GENERACIONES

ESTO REPRESENTA PGI Y QGI CONOCIDAS (2N VARIABLES)

3- MANTENER LAS 2N VARIABLES DEPENDIENTES COMO INCOacuteGNITAS Y RESOLVER LAS 2N PFE RESTANTES

INCOacuteGNITAS A RESOLVER VI Y DI (2N VARIABLES)

ESTO NO PUEDE RESOLVERSE YA QUE

1- D SIEMPRE APARECE EN TEacuteRMINOS COMO UNA DIFERENCIA DE DOS AacuteNGULOS (DI - DK) Y CUALQUIER VALOR QUE SE ANtildeADIERA A CADA UNO DE ELLOS NO AFECTARIacuteA LAS ECUACIONES

2- NO PODEMOS ESPECIFICAR PGI Y QGI PORQUE NO CONOCEMOS LAS PEacuteRDIDAS

SOLUCIOacuteN ALTERNATIVA

1- ESCOGER PGI Y QGI PARA TODOS LOS NODOS EXCEPTO EL NODO 1 ((2N ndash 2) VARIABLES)

2- ESPECIFICAR E1 Y __1 (2 VARIABLES)

3- RESOLVER PARA LAS 2N INCOacuteGNITAS RESTANTES QUE SON

EI Y __I (I = 1) ((2N-2) VARIABLES)

PG1 Y QG1 (2 VARIABLES)

AL RESOLVER LAS PFE TAMBIEacuteN SE DEBE TENER EN CONSIDERACIOacuteN LOS TIPOS DE NODOS QUE EXISTEN EN UN SISTEMA DE POTENCIA

CLASIFICACION DE NODOS

NOMBRE VARIABLES CONOCIDAS A PRIORI

1- BUS DE REFERENCIA (NODO 1) PD1 QD1 E1 __1

(SLACK OR SWING BUS)

2- BUS DE CONTROL DE VOLTAJE PDI QDI PGI EI

(NODOS 2hellipM)

3- BUS DE CARGA (NODOS M+1hellipN) PD1QDIPGIQGI

(__90 DE LOS NODOS)

CUANDO EXISTEN NODOS DE CONTROL DE VOLTAJE ENTONCES SE TIENEN CONOCIDAS LAS MAGNITUDES DE LOS VOLTAJES EI PERO DESCONOCIDOS QGI LO CUAL CAMBIA UN POCO LAS VARIABLES CONOCIDAS E INCOacuteGNITAS

56 ESTUDIOS DE FLUJOS DE POTENCIA EN EL DISENtildeO Y OPERACIOacuteN DE SISTEMAS

PARA EL DISENtildeO Y PLANIFICACIOacuteN DE SISTEMAS ELEacuteCTRICOS DE POTENCIA ES

NECESARIO CALCULAR ALGUNOS PARAacuteMETROS QUE GARANTICEN EL DESEMPENtildeO

CORRECTO DEL MISMO LA CAPACIDAD DEL SISTEMA PARA PODER CONDUCIR

PERMANENTEMENTE LA CARGA ELEacuteCTRICA A LA QUE SERAacute SOMETIDA

MANTENIENDO EL VOLTAJE DENTRO DE LOS PARAacuteMETROS ESTABLECIDOS EN LAS

NORMAS ES UNO DE LOS MAacuteS IMPORTANTES REQUISITOS A CUMPLIR

EL ESTUDIO DE FLUJO DE CARGA NOS BRINDA ESTA INFORMACIOacuteN DE CAPACIDAD

Y EL PERFIL DE VOLTAJE DEL SISTEMA ELEacuteCTRICO EXISTEN MECANISMOS Y

EQUIPOS PARA MEJORAR EL PERFIL DE VOLTAJE EN CASO DE QUE NO CUMPLA CON

LAS NORMAS ESTABLECIDAS EN ESTADO ESTABLE (MAYOR A 10 SEGUNDOS) A

TRAVEacuteS DE UNA SIMULACIOacuteN EN COMPUTADORA Y LEVANTAMIENTOS EN CAMPO

PUEDE OPTIMIZARSE EL DISENtildeO Y DISENtildeO DE TALES MECANISMOS Y EQUIPOS

CON LA INFORMACIOacuteN QUE GENERAN ESTOS ESTUDIOS EL DISENtildeADOR O

PLANIFICADOR PUEDE

1 VERIFICAR Y DETERMINAR CUAacuteLES SON LAS CAPACIDADES EN CUANTO A

POTENCIA ELEacuteCTRICA EN ESTADO ESTABLE QUE EL EQUIPO TIENE QUE SOPORTAR

2 VERIFICAR QUE EL VOLTAJE EN EL SISTEMA NO TENGA CAIacuteDAS EXCESIVAS Y QUE

PERMANEZCA DENTRO DE LOS RANGOS DEFINIDOS POR LAS BUENAS PRAacuteCTICAS

3 OPTIMIZAR EL DISENtildeO COMPARANDO EL NIVEL DE PEacuteRDIDAS DE ENERGIacuteA

ENTRE DOS OPCIONES DIFERENTES NO NECESARIAMENTE EL SISTEMA CON LA

MENOR INVERSIOacuteN INICIAL ES EL MAacuteS ECONOacuteMICO SI SE CONSIDERAN LAS

PEacuteRDIDAS OPERATIVAS DEL MISMO

4 ESTABLECER EL COMPORTAMIENTO HORARIO DE LAS CARGAS Y PREDECIR

VARIABLES ECONOacuteMICAS RELACIONADAS CON EL CONSUMO DE ENERGIacuteA

EL ESTUDIO NORMALMENTE SE CONDUCE

1 DURANTE LA ETAPA DE DISENtildeO Y PLANIFICACIOacuteN DE SISTEMAS ELEacuteCTRICOS DE

POTENCIA

2 CUANDO HAY ADICIONES IMPORTANTES EN LA CARGA DEL SISTEMA Y SE

REQUIERE REVISAR EL IMPACTO ESPECIALMENTE CUANDO SE AGREGA EQUIPO DE

GENERACIOacuteN LOS CUALES TIENEN UNA CAPACIDAD LIMITADA DE SOSTENER EL

VOLTAJE CONSTANTE EN SUS TERMINALES

3 COMO PARTE DE ALGUNOS ANAacuteLISIS TENDIENTES A IDENTIFICAR

OPORTUNIDADES DE AHORRA DE ENERGIacuteA

ENERCOM CUENTA CON PROGRAMAS DE SOFTWARE PARA LA REALIZACIOacuteN DE

ESTOS ESTUDIOS Y PERSONAL CAPACITADO PARA LA REALIZACIOacuteN DE ESTOS

ESTUDIOS ESTOS SON REALIZADOS BAJO NORMATIVAS DE LA IEEE (INSTITUTE OF

ELECTRICAL AND ELECTRONIC ENGINEERS)

CONSUacuteLTENOS SIN COMPROMISO PARA BRINDARLE MAYOR INFORMACIOacuteN Y

PROTEGER ASIacute SU INVERSIOacuteN

57 ANALISIS DE CONTINGENCIAS N-1 EN BASE A FLUJOS DE POTENCIA

EN GENERAL SE ENTIENDE POR CRITERIO N-1 A UN ESTAacuteNDAR APLICABLE A LAS ACTIVIDADES DE PLANIFICACIOacuteN Y OPERACIOacuteN DE LOS SISTEMAS ELEacuteCTRICOS DE MANERA QUE EacuteSTOS PUEDAN ENFRENTAR LA FALLA DE ALGUNO DE SUS COMPONENTES SIN QUE DICHA FALLA GENERE UNA CAIacuteDA GENERAL DEL SISTEMA O PROVOQUE UNA OPERACIOacuteN DE LAS INSTALACIONES POR SOBRE SUS CAPACIDADES PERMITIDAS

A PESAR DE QUE LA DEFINICIOacuteN ES BASTANTE HOMOGEacuteNEA EN LOS DISTINTOS SISTEMAS Y PAIacuteSES DEL MUNDO SIEMPRE HAY PEQUENtildeAS VARIANTES PARA ILUSTRAR ESTA SITUACIOacuteN A CONTINUACIOacuteN SE MUESTRAN LAS DEFINICIONES OFICIALES QUE SE UTILIZAN EN ECUADOR CANADAacute Y CHILE

I) ECUADOR

ldquoUN SISTEMA CUMPLE CON EL CRITERIO N-1 SI AL APLICARLE LA CONTINGENCIA SIMPLE MAacuteS SEVERA EL SISTEMA SIGUE EN CONDICIONES ACEPTABLES DE FUNCIONAMIENTO CONSIDERANDO QUE LOS FLUJOS EN LAS LIacuteNEAS SE MANTIENEN DENTRO DE LIacuteMITES NORMALES DE OPERACIOacuteN LOS VOLTAJES EN LAS BARRAS NO SUPERAN SUS NIVELES MIacuteNIMOS-MAacuteXIMOS DE VARIACIOacuteN NO EXISTEN ACTUACIONES DE PROTECCIONES Y NO EXISTEN DESCONEXIONES FORZADAS DE CARGA O EQUIPOSrdquo(1)

II) AESO - CANADA

ldquoEVENTS RESULT IN THE LOSS OF ANY SINGLE SPECIFIED SYSTEM ELEMENT UNDER SPECIFIED FAULT CONDITIONS AND NORMAL CLEARING THE SPECIFIED ELEMENTS ARE A GENERATOR A TRANSMISSION CIRCUIT A TRANSFORMER OR A SINGLE POLE OF A DC TRANSMISSION LINE THIS IS OFTEN REFERRED TO AS AN N-1 EVENT OR WITH THE MOST CRITICAL GENERATOR OUT OF SERVICE AN N-G-1 EVENT THE ACCEPTABLE IMPACT ON THE SYSTEM IS THE SAME AS CATEGORY A RADIAL CUSTOMERS INCLUDING LOADS OR GENERATORS ARE ALLOWED TO DISCONNECT FROM THE SYSTEM THE LOSS OF OPPORTUNITY LOAD OR OPPORTUNITY INTERCHANGES IS ALLOWED (2)

III) CHILE

ldquoCRITERIO N-1 CRITERIO DE PLANIFICACIOacuteN PARA EL DESARROLLO Y OPERACIOacuteN DEL SI CON EL FIN DE ENFRENTAR LA OCURRENCIA DE UNA CONTINGENCIA SIMPLE SIN QUE EacuteSTA SE PROPAGUE A LAS RESTANTES INSTALACIONES DEL SIrdquo

COMO MENCIONAMOS ANTERIORMENTE LOS NUacuteCLEOS DE LAS TRES DEFINICIONES SON PRAacuteCTICAMENTE IGUALES SIN EMBARGO SE NOTAN MATICES EN CADA UNA DE MANERA QUE LA APLICACIOacuteN PUEDE LLEGAR A DIFERIR CONSIDERABLEMENTE POR EJEMPLO EN EL CASO DE CANADAacute VEMOS QUE AL FINAL DE LA DEFINICIOacuteN SE PRESENTA LA POSIBILIDAD DE DESCONECTAR A CONSUMIDORES RADIALES MIENTRAS QUE EN ECUADOR EL CRITERIO SE APLICA RIGUROSAMENTE DE MANERA QUE NO SE PERMITEN CORTES NI VARIACIONES ENERGEacuteTICAS FORZADAS EN NINGUNA BARRA POR OTRO LADO LA DEFINICIOacuteN CHILENA NO ENTRA EN MAYOR DETALLE PUES COMO VEREMOS MAacuteS ADELANTE LA DEFINICIOacuteN SE APOYA EN TODA UNA REGLAMENTACIOacuteN TEacuteCNICA QUE SE APLICA PARA ESTOS CASOS

POR OTRO LADO TAMBIEacuteN CONSIDERAMOS NECESARIO DEFINIR CONCEPTOS REFERENTES A LA EXPANSIOacuteN TRONCAL PUES NUESTRO OBJETIVO ES LOGRAR RELACIONAR Y ANALIZAR CONJUNTAMENTE LA APLICACIOacuteN DEL CRITERIO CON LAS REPERCUSIONES QUE ESTO TENDRAacute EN LA FUTURA EXPANSIOacuteN DEL SISTEMA TRONCAL DADO QUE EN ESTE CASO SOLAMENTE NOS INTERESA ANALIZAR EL CASO CHILENO NOS RESTRINGIREMOS A LA DEFINICIOacuteN LOCAL DE ESTE CONCEPTO

A CONTINUACIOacuteN SE PRESENTAN LAS DEFINICIONES MAacuteS RELEVANTES OBTENIDAS DESDE LA SECCIOacuteN DE DEFINICIONES DE LA NTSYCS (3)

SISTEMA DE TRANSMISIOacuteN CONJUNTO DE LIacuteNEAS Y SUBESTACIONES ELEacuteCTRICAS QUE FORMAN PARTE DE UN SISTEMA ELEacuteCTRICO EN UN NIVEL DE TENSIOacuteN NOMINAL SUPERIOR A 23 [KV] ENTENDIENDO COMO TENSIOacuteN NOMINAL DE LA SUBESTACIOacuteN LA TENSIOacuteN DE TRANSPORTE EN CADA SISTEMA DE TRANSMISIOacuteN SE DISTINGUEN INSTALACIONES DEL SISTEMA DE TRANSMISIOacuteN TRONCAL DEL SISTEMA DE SUBTRANSMISIOacuteN Y DEL SISTEMA DE TRANSMISIOacuteN ADICIONAL

SISTEMA DE TRANSMISIOacuteN ADICIONAL SISTEMA CONSTITUIDO POR LAS INSTALACIONES DE TRANSMISIOacuteN QUE ENCONTRAacuteNDOSE INTERCONECTADAS AL SISTEMA ELEacuteCTRICO RESPECTIVO ESTAacuteN DESTINADAS ESENCIAL Y PRINCIPALMENTE AL SUMINISTRO DE ENERGIacuteA ELEacuteCTRICA A USUARIOS NO SOMETIDOS A REGULACIOacuteN DE PRECIOS Y POR AQUEacuteLLAS CUYO OBJETO PRINCIPAL ES PERMITIR A LOS GENERADORES INYECTAR SU PRODUCCIOacuteN AL SISTEMA ELEacuteCTRICO SIN QUE FORMEN PARTE DEL SISTEMA DE TRANSMISIOacuteN TRONCAL NI DE LOS SISTEMAS DE SUBTRANSMISIOacuteN

SISTEMA DE TRANSMISIOacuteN TRONCAL SISTEMA CONSTITUIDO POR LAS LIacuteNEAS Y SUBESTACIONES ELEacuteCTRICAS QUE SEAN ECONOacuteMICAMENTE EFICIENTES Y

NECESARIAS PARA POSIBILITAR EL ABASTECIMIENTO DE LA TOTALIDAD DE LA DEMANDA DEL SISTEMA ELEacuteCTRICO RESPECTIVO BAJO LOS DIFERENTES ESCENARIOS DE DISPONIBILIDAD DE LAS INSTALACIONES DE GENERACIOacuteN INCLUYENDO SITUACIONES DE CONTINGENCIA Y FALLA CONSIDERANDO LAS EXIGENCIAS DE CALIDAD Y SEGURIDAD DE SERVICIO ESTABLECIDAS EN LA LEY GENERAL DE SERVICIOS ELEacuteCTRICOS LOS REGLAMENTOS Y LAS NORMAS TEacuteCNICAS

ESTAS TRES DEFINICIONES EN SU CONJUNTO DETERMINAN CLARAMENTE LAS DISTINTAS PARTES DE UN SISTEMA DE TRANSMISIOacuteN EN LA SECCIOacuteN SIGUIENTE QUE TRATA SOBRE LA LEGISLACIOacuteN AL RESPECTO SE CITARAacuteN LOS ARTIacuteCULOS MAacuteS RELEVANTES CON RESPECTO A TRATAMIENTO Y LA EXPANSIOacuteN DE ESTOS SISTEMAS ADICIONALMENTE AGREGAMOS UNA CUARTA DEFINICIOacuteN QUE CONSIDERAMOS RELEVANTE Y QUE ACLARA CONCEPTOS REFERENTES A PROTECCIONES ELEacuteCTRICAS

RECURSOS GENERALES DE CONTROL DE CONTINGENCIAS CORRESPONDEN A LA INERCIA PROPIA DE LAS MAacuteQUINAS EL CONTROL PRIMARIO Y SECUNDARIO DE FRECUENCIA LA RESERVA DE POTENCIA REACTIVA Y EL CONTROL DE TENSIOacuteN LOS ESTABILIZADORES DE SISTEMAS DE POTENCIA EL EDAC EL EDAG EL ERAG Y EN GENERAL LOS SISTEMAS QUE EN FUNCIOacuteN DE LA EVOLUCIOacuteN DE VARIABLES DE CONTROL DEL SISTEMA ACTUacuteAN SOBRE LA GENERACIOacuteN O LA CARGA

(1) ldquoANAacuteLISIS DE CONTINGENCIA DEL SISTEMA NACIONAL INTERCONECTADO PAREDES MASACHE Y MERA PAacuteGINAS 4-5

(2) AESO ndash ldquoTRANSMISSION RELIABILITY CRITERIArdquo PAacuteGINAS 5-6

(3) ldquoNORMA TEacuteCNICA DE SEGURIDAD Y CALIDAD DE SERVICIOrdquo ndash ARTICULO 1-7

58 USO DE SOFTWARE PARA REALIZAR ANALISIS DE FLUJOS DE POTENCIA

EL PROGRAMA CYMFLOW ES EL MOacuteDULO DEL PROGRAMA DE ANAacuteLISIS DE REDES ELEacuteCTRICAS CYME QUE PERMITE REALIZAR ESTUDIOS DE FLUJOS DE POTENCIA EN REDES ELEacuteCTRICAS TRIFAacuteSICAS ESTE MOacuteDULO OFRECE HERRAMIENTAS ANALIacuteTICAS MUY POTENTES Y TEacuteCNICAS ALTERNATIVAS DE RESOLUCIOacuteN

EL OBJETIVO DE UN PROGRAMA DE FLUJO DE POTENCIA ES DE ANALIZAR EL DESEMPENtildeO DE UNA RED ELEacuteCTRICA EN REacuteGIMEN PERMANENTE BAJO DIFERENTES CONDICIONES DE EXPLOTACIOacuteN SE TRATA DE LA HERRAMIENTA DE ANAacuteLISIS DE BASE PARA EL PLANEAMIENTO EL DISENtildeO Y LA EXPLOTACIOacuteN DE

CUALQUIER RED DE ENERGIacuteA ELEacuteCTRICA YA SEA DE TRANSPORTE O DE DISTRIBUCIOacuteN DE ENERGIacuteA PUacuteBLICA O INDUSTRIAL

EL PROGRAMA CYMFLOW EMPLEA LOS MEacuteTODOS MAacuteS MODERNOS DE PRODUCTO DE MATRIZ DISPERSA POR VECTOR Y ALGORITMOS DE SOLUCIOacuteN MUacuteLTIPLE

NEWTON-RAPHSON COMPLETO FAST DECOUPLED GAUSS-SEIDEL

EL PROGRAMA CYMFLOW ES EL PRINCIPAL MOacuteDULO DE ANAacuteLISIS DE REDES DE TRANSPORTE DE ENERGIacuteA ELEacuteCTRICA E INDUSTRIALES DEL PROGRAMA CYME Y PUEDE INTERFACEAR LOS MOacuteDULOS SIGUIENTES

CYMFAULT PARA LOS ESTUDIOS DE FALLAS QUE CONSIDERAN LAS CONDICIONES DE PRE-FALLA DEL SISTEMA

CYMHARMO PARA EL CAacuteLCULO DE LA FRECUENCIA FUNDAMENTAL DEL SISTEMA Y DE LOS PERFILES DE CORRIENTE REQUERIDOS PARA EL CAacuteLCULO DE LOS IacuteNDICES DE DISTORSIOacuteN ARMOacuteNICA

CYMSTAB PARA FIJAR LAS CONDICIONES INICIALES DEL SISTEMA REQUERIDAS POR LOS MODELOS DE CONTROL DE LA RED PARA LOS ESTUDIOS DE ESTABILIDAD EN REacuteGIMEN TRANSITORIO

MOacuteDULO DE ARRANQUE DE MOTORES EN REGIMEN DINAacuteMICO PARA EL CAacuteLCULO DE LAS CAIacuteDAS DE TENSIOacuteN EN TODO EL SISTEMA LOS ESTUDIOS DE ARRANQUE DE MOTORES SIacuteNCRONOS Y ASIacuteNCRONO

CAPACIDADES ANALIacuteTICAS

ANAacuteLISIS DE REDES COMPUESTAS DE MILLARES DE BARRAS Y RAMALES SE PERMITEN VARIAS BARRAS DE REFERENCIA (SWING) SELECCIOacuteN AUTOMAacuteTICA DE BARRAS DE REFERENCIA (SWING) PARA

SUBSISTEMAS AISLADOS SOLUCIOacuteN SIMULTAacuteNEA DE REDES AISLADAS MODELACIOacuteN DETALLADA DE MOTORES SIacuteNCRONOS Y ASIacuteNCRONOS

VARIADORES DE FRECUENCIA CONDUCTOS PARA BARRAS COLECTORAS Y TODOS LOS ELEMENTOS DE RED NECESARIOS PARA UNA REPRESENTACIOacuteN PRECISA DE LA RED

GENERADOR SIacuteNCRONOo LIacuteMITES DE POTENCIA REACTIVA DE GENERADORES Y CONTROL REMOTO

DE TENSIONESo CURVAS DE CAPACIDAD DE LA POTENCIA REACTIVA DEL GENERADOR

CONTROL LOCAL O REMOTO DE TENSIONES Y FLUJO DE POTENCIA REACTIVA POR MEDIO DE TRANSFORMADORES CON CAMBIADOR DE DERIVACIONES

TRANSFORMADOR DE DESPLAZAMIENTO ANGULAR DE FASE CON CONTROL DE POTENCIA ACTIVA

MODELACIOacuteN DE LA CO-GENERACIOacuteN ENTRE OTROo GENERADORES ASIacuteNCRONOSo SISTEMAS DE CONVERSIOacuteN DE LA ENERGIacuteA EOacuteLICA (SCEE)o PANELES SOLARES (CEacuteLULAS FOTOVOLTAICAS)o CELDAS DE COMBUSTIBLEo MICROTURBINAS

REPRESENTACIOacuteN COMPLETA DE LAS LIacuteNEAS DE TRANSMISIOacuteN DE CORRIENTE CONTINUA CON CONTROLES DE RECTIFICADOR Y DE ONDULADOR

SISTEMAS DE LOS DISPOSITIVOS FACTS (SISTEMAS FLEXIBLES DE TRANSMISIOacuteN EN CORRIENTE ALTERNA) COMOo COMPENSADORES ESTAacuteTICOS SIacuteNCRONOS (STATCOM)o CONTROLADORES UNIFICADOS DE FLUJO DE POTENCIA (UPFC)

ADMINISTRADOR DE BIBLIOTECA DE MODELOS DE CUALQUIER TIPO DE CARGA INCLUYENDO o CARGA A POTENCIA A CORRIENTE Y A IMPEDANCIA CONSTANTEo MODELO COMPUESTO DE CARGAo MODELO EXPONENCIAL DE CARGA SEGUacuteN UNA FUNCIOacuteN DE LA TENSIOacuteN

CONDENSADORES VARIABLES POR TENSIOacuteN POR CORRIENTE POR CORRIENTE REACTIVA POR POTENCIA REACTIVA POR FACTOR DE POTENCIA CONTROLADOS POR TEMPERATURA Y POR TIEMPO

BANCOS DE SHUNTS CONMUTABLES PARA LOS ELEMENTOS CAPACITIVOS E INDUCTIVOS

FACTORES DE ESCALA APLICADOS A LOS GENERADORES Y A LAS CARGAS EN TODA LA RED O POR ZONA

PARAacuteMETROS GLOBALES QUE PERMITEN LA INCLUSIOacuteN O EXCLUSIOacuteN DE CUALQUIER TIPO DE EQUIPO DURANTE EL ANAacuteLISIS

CINCO CATEGORIacuteAS DE LIacuteMITES PARA LOS CRITERIOS DE CARGA NOMINAL DE PLANEAMIENTO Y DE EMERGENCIA O DEFINIDOS POR EL USUARIO

UNIDADES DEFINIDAS POR EL USUARIO APLICABLES A LA TENSIOacuteN EN LAS BARRAS A LAS PRODUCCIONES DE LOS GENERADORES Y A LOS FLUJOS DE POTENCIA A TRAVEacuteS DE LOS RAMALES EN LOS DIAGRAMAS UNIFILARES Y REPORTES TABULARES

REPORTES TABULARES QUE PUEDEN EXPORTARSE DIRECTAMENTE A OTROS PROGRAMAS DE HOJA DE CAacuteLCULO COMO MICROSOFT EXCELreg

CODIFICACIOacuteN A COLORES DEL DIAGRAMA UNIFILAR SEGUacuteN LOS CRITERIOS DEFINIDOS POR EL USUARIO POR EJEMPLO o EQUIPOS SOBRECARGADOSo VIOLACIOacuteN DE LA TENSIOacuteN DE BARRAS Y NUDOSo VISUALIZACIOacuteN DEL NIVEL DE CARGA DE LOS CONDUCTORES QUE PODRIacuteAN

REFLEJAR POR EJEMPLO UN PROBLEMA DE CABLES DIMENSIONADOS INCORRECTAMENTE

o NIVELES DE TENSIOacuteN DE LA RED

UNIDAD 4 LINEAS DE TRANSMISION

Es cualquier sistema de conductores semiconductores o la combinacioacuten de ambos que puede emplearse para transmitir informacioacuten en la forma de energiacutea eleacutectrica o electromagneacutetica entre dos puntos

Son circuitos en frecuencias muy altas donde las longitudes de onda son cortas estas actuacutean como circuitos resonantes y aun como componentes reactivos en VHF y UHF y frecuencias microondas

Cada autor maneja su definicioacuten de liacutenea de transmisioacuten en esencia es lo mismo asi que yo lo defino como

ES UN MEDIO O DISPOSITIVO POR DONDE SE PROPAGA O TRANSMITE INFORMACIOacuteN (ONDAS ELECTROMAGNEacuteTICAS) A ALTAS FRECUENCIAS

CIRCUITO EQUIVALENTE DE UNA LIacuteNEA DE TRANSMISIOacuteN

POSTULADOS-

ECUACIONES-

EJERCICIOS-

= - 0053 ( 0075 cos 10 4 t) + ( 062 x 10 -6 ) (0075 x10 4 sen 10 4 t) =

= - 398 x10 -3 cos 10 4 t + 0465 x 10 -3 sen 104 t =

cos(104 t - 303) = 1

esto implica que

tn = (neth eth 303) 104 n = 0 2 4

--- (8)

= - [ 950 x 10 -12 + j ( 2eth x 1100 ) ( 395x 10 -12 ) ] (165 + j 0)

= - ( 0016 + j 451 ) x 10 -6 Amperesmetro

Im = 638 ethAmetro

V + dv

part2V__

part2I__

L(Hm )= μ

2πlog

C (Fm )= 2 πε

permitividad

i(Zt) i(Z+Zt) LZ RZ

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

POSTULADOS-

ECUACIONES-

EJERCICIOS-

= - 0053 ( 0075 cos 10 4 t) + ( 062 x 10 -6 ) (0075 x10 4 sen 10 4 t) =

= - 398 x10 -3 cos 10 4 t + 0465 x 10 -3 sen 104 t =

cos(104 t - 303) = 1

esto implica que

tn = (neth eth 303) 104 n = 0 2 4

--- (8)

= - [ 950 x 10 -12 + j ( 2eth x 1100 ) ( 395x 10 -12 ) ] (165 + j 0)

= - ( 0016 + j 451 ) x 10 -6 Amperesmetro

Im = 638 ethAmetro

V + dv

part2V__

part2I__

L(Hm )= μ

2πlog

C (Fm )= 2 πε

permitividad

i(Zt) i(Z+Zt) LZ RZ

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

POSTULADOS-

ECUACIONES-

EJERCICIOS-

= - 0053 ( 0075 cos 10 4 t) + ( 062 x 10 -6 ) (0075 x10 4 sen 10 4 t) =

= - 398 x10 -3 cos 10 4 t + 0465 x 10 -3 sen 104 t =

cos(104 t - 303) = 1

esto implica que

tn = (neth eth 303) 104 n = 0 2 4

--- (8)

= - [ 950 x 10 -12 + j ( 2eth x 1100 ) ( 395x 10 -12 ) ] (165 + j 0)

= - ( 0016 + j 451 ) x 10 -6 Amperesmetro

Im = 638 ethAmetro

V + dv

part2V__

part2I__

L(Hm )= μ

2πlog

C (Fm )= 2 πε

permitividad

i(Zt) i(Z+Zt) LZ RZ

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

POSTULADOS-

ECUACIONES-

EJERCICIOS-

= - 0053 ( 0075 cos 10 4 t) + ( 062 x 10 -6 ) (0075 x10 4 sen 10 4 t) =

= - 398 x10 -3 cos 10 4 t + 0465 x 10 -3 sen 104 t =

cos(104 t - 303) = 1

esto implica que

tn = (neth eth 303) 104 n = 0 2 4

--- (8)

= - [ 950 x 10 -12 + j ( 2eth x 1100 ) ( 395x 10 -12 ) ] (165 + j 0)

= - ( 0016 + j 451 ) x 10 -6 Amperesmetro

Im = 638 ethAmetro

V + dv

part2V__

part2I__

L(Hm )= μ

2πlog

C (Fm )= 2 πε

permitividad

i(Zt) i(Z+Zt) LZ RZ

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

POSTULADOS-

ECUACIONES-

EJERCICIOS-

= - 0053 ( 0075 cos 10 4 t) + ( 062 x 10 -6 ) (0075 x10 4 sen 10 4 t) =

= - 398 x10 -3 cos 10 4 t + 0465 x 10 -3 sen 104 t =

cos(104 t - 303) = 1

esto implica que

tn = (neth eth 303) 104 n = 0 2 4

--- (8)

= - [ 950 x 10 -12 + j ( 2eth x 1100 ) ( 395x 10 -12 ) ] (165 + j 0)

= - ( 0016 + j 451 ) x 10 -6 Amperesmetro

Im = 638 ethAmetro

V + dv

part2V__

part2I__

L(Hm )= μ

2πlog

C (Fm )= 2 πε

permitividad

i(Zt) i(Z+Zt) LZ RZ

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

POSTULADOS-

ECUACIONES-

EJERCICIOS-

= - 0053 ( 0075 cos 10 4 t) + ( 062 x 10 -6 ) (0075 x10 4 sen 10 4 t) =

= - 398 x10 -3 cos 10 4 t + 0465 x 10 -3 sen 104 t =

cos(104 t - 303) = 1

esto implica que

tn = (neth eth 303) 104 n = 0 2 4

--- (8)

= - [ 950 x 10 -12 + j ( 2eth x 1100 ) ( 395x 10 -12 ) ] (165 + j 0)

= - ( 0016 + j 451 ) x 10 -6 Amperesmetro

Im = 638 ethAmetro

V + dv

part2V__

part2I__

L(Hm )= μ

2πlog

C (Fm )= 2 πε

permitividad

i(Zt) i(Z+Zt) LZ RZ

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

POSTULADOS-

ECUACIONES-

EJERCICIOS-

= - 0053 ( 0075 cos 10 4 t) + ( 062 x 10 -6 ) (0075 x10 4 sen 10 4 t) =

= - 398 x10 -3 cos 10 4 t + 0465 x 10 -3 sen 104 t =

cos(104 t - 303) = 1

esto implica que

tn = (neth eth 303) 104 n = 0 2 4

--- (8)

= - [ 950 x 10 -12 + j ( 2eth x 1100 ) ( 395x 10 -12 ) ] (165 + j 0)

= - ( 0016 + j 451 ) x 10 -6 Amperesmetro

Im = 638 ethAmetro

V + dv

part2V__

part2I__

L(Hm )= μ

2πlog

C (Fm )= 2 πε

permitividad

i(Zt) i(Z+Zt) LZ RZ

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

POSTULADOS-

ECUACIONES-

EJERCICIOS-

= - 0053 ( 0075 cos 10 4 t) + ( 062 x 10 -6 ) (0075 x10 4 sen 10 4 t) =

= - 398 x10 -3 cos 10 4 t + 0465 x 10 -3 sen 104 t =

cos(104 t - 303) = 1

esto implica que

tn = (neth eth 303) 104 n = 0 2 4

--- (8)

= - [ 950 x 10 -12 + j ( 2eth x 1100 ) ( 395x 10 -12 ) ] (165 + j 0)

= - ( 0016 + j 451 ) x 10 -6 Amperesmetro

Im = 638 ethAmetro

V + dv

part2V__

part2I__

L(Hm )= μ

2πlog

C (Fm )= 2 πε

permitividad

i(Zt) i(Z+Zt) LZ RZ

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

POSTULADOS-

ECUACIONES-

EJERCICIOS-

= - 0053 ( 0075 cos 10 4 t) + ( 062 x 10 -6 ) (0075 x10 4 sen 10 4 t) =

= - 398 x10 -3 cos 10 4 t + 0465 x 10 -3 sen 104 t =

cos(104 t - 303) = 1

esto implica que

tn = (neth eth 303) 104 n = 0 2 4

--- (8)

= - [ 950 x 10 -12 + j ( 2eth x 1100 ) ( 395x 10 -12 ) ] (165 + j 0)

= - ( 0016 + j 451 ) x 10 -6 Amperesmetro

Im = 638 ethAmetro

V + dv

part2V__

part2I__

L(Hm )= μ

2πlog

C (Fm )= 2 πε

permitividad

i(Zt) i(Z+Zt) LZ RZ

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

ECUACIONES-

EJERCICIOS-

= - 0053 ( 0075 cos 10 4 t) + ( 062 x 10 -6 ) (0075 x10 4 sen 10 4 t) =

= - 398 x10 -3 cos 10 4 t + 0465 x 10 -3 sen 104 t =

cos(104 t - 303) = 1

esto implica que

tn = (neth eth 303) 104 n = 0 2 4

--- (8)

= - [ 950 x 10 -12 + j ( 2eth x 1100 ) ( 395x 10 -12 ) ] (165 + j 0)

= - ( 0016 + j 451 ) x 10 -6 Amperesmetro

Im = 638 ethAmetro

V + dv

part2V__

part2I__

L(Hm )= μ

2πlog

C (Fm )= 2 πε

permitividad

i(Zt) i(Z+Zt) LZ RZ

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

ECUACIONES-

EJERCICIOS-

= - 0053 ( 0075 cos 10 4 t) + ( 062 x 10 -6 ) (0075 x10 4 sen 10 4 t) =

= - 398 x10 -3 cos 10 4 t + 0465 x 10 -3 sen 104 t =

cos(104 t - 303) = 1

esto implica que

tn = (neth eth 303) 104 n = 0 2 4

--- (8)

= - [ 950 x 10 -12 + j ( 2eth x 1100 ) ( 395x 10 -12 ) ] (165 + j 0)

= - ( 0016 + j 451 ) x 10 -6 Amperesmetro

Im = 638 ethAmetro

V + dv

part2V__

part2I__

L(Hm )= μ

2πlog

C (Fm )= 2 πε

permitividad

i(Zt) i(Z+Zt) LZ RZ

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

ECUACIONES-

EJERCICIOS-

= - 0053 ( 0075 cos 10 4 t) + ( 062 x 10 -6 ) (0075 x10 4 sen 10 4 t) =

= - 398 x10 -3 cos 10 4 t + 0465 x 10 -3 sen 104 t =

cos(104 t - 303) = 1

esto implica que

tn = (neth eth 303) 104 n = 0 2 4

--- (8)

= - [ 950 x 10 -12 + j ( 2eth x 1100 ) ( 395x 10 -12 ) ] (165 + j 0)

= - ( 0016 + j 451 ) x 10 -6 Amperesmetro

Im = 638 ethAmetro

V + dv

part2V__

part2I__

L(Hm )= μ

2πlog

C (Fm )= 2 πε

permitividad

i(Zt) i(Z+Zt) LZ RZ

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

ECUACIONES-

EJERCICIOS-

= - 0053 ( 0075 cos 10 4 t) + ( 062 x 10 -6 ) (0075 x10 4 sen 10 4 t) =

= - 398 x10 -3 cos 10 4 t + 0465 x 10 -3 sen 104 t =

cos(104 t - 303) = 1

esto implica que

tn = (neth eth 303) 104 n = 0 2 4

--- (8)

= - [ 950 x 10 -12 + j ( 2eth x 1100 ) ( 395x 10 -12 ) ] (165 + j 0)

= - ( 0016 + j 451 ) x 10 -6 Amperesmetro

Im = 638 ethAmetro

V + dv

part2V__

part2I__

L(Hm )= μ

2πlog

C (Fm )= 2 πε

permitividad

i(Zt) i(Z+Zt) LZ RZ

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

ECUACIONES-

EJERCICIOS-

= - 0053 ( 0075 cos 10 4 t) + ( 062 x 10 -6 ) (0075 x10 4 sen 10 4 t) =

= - 398 x10 -3 cos 10 4 t + 0465 x 10 -3 sen 104 t =

cos(104 t - 303) = 1

esto implica que

tn = (neth eth 303) 104 n = 0 2 4

--- (8)

= - [ 950 x 10 -12 + j ( 2eth x 1100 ) ( 395x 10 -12 ) ] (165 + j 0)

= - ( 0016 + j 451 ) x 10 -6 Amperesmetro

Im = 638 ethAmetro

V + dv

part2V__

part2I__

L(Hm )= μ

2πlog

C (Fm )= 2 πε

permitividad

i(Zt) i(Z+Zt) LZ RZ

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

EJERCICIOS-

= - 0053 ( 0075 cos 10 4 t) + ( 062 x 10 -6 ) (0075 x10 4 sen 10 4 t) =

= - 398 x10 -3 cos 10 4 t + 0465 x 10 -3 sen 104 t =

cos(104 t - 303) = 1

esto implica que

tn = (neth eth 303) 104 n = 0 2 4

--- (8)

= - [ 950 x 10 -12 + j ( 2eth x 1100 ) ( 395x 10 -12 ) ] (165 + j 0)

= - ( 0016 + j 451 ) x 10 -6 Amperesmetro

Im = 638 ethAmetro

V + dv

part2V__

part2I__

L(Hm )= μ

2πlog

C (Fm )= 2 πε

permitividad

i(Zt) i(Z+Zt) LZ RZ

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

EJERCICIOS-

= - 0053 ( 0075 cos 10 4 t) + ( 062 x 10 -6 ) (0075 x10 4 sen 10 4 t) =

= - 398 x10 -3 cos 10 4 t + 0465 x 10 -3 sen 104 t =

cos(104 t - 303) = 1

esto implica que

tn = (neth eth 303) 104 n = 0 2 4

--- (8)

= - [ 950 x 10 -12 + j ( 2eth x 1100 ) ( 395x 10 -12 ) ] (165 + j 0)

= - ( 0016 + j 451 ) x 10 -6 Amperesmetro

Im = 638 ethAmetro

V + dv

part2V__

part2I__

L(Hm )= μ

2πlog

C (Fm )= 2 πε

permitividad

i(Zt) i(Z+Zt) LZ RZ

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

esto implica que

tn = (neth eth 303) 104 n = 0 2 4

--- (8)

= - [ 950 x 10 -12 + j ( 2eth x 1100 ) ( 395x 10 -12 ) ] (165 + j 0)

= - ( 0016 + j 451 ) x 10 -6 Amperesmetro

Im = 638 ethAmetro

V + dv

part2V__

part2I__

L(Hm )= μ

2πlog

C (Fm )= 2 πε

permitividad

i(Zt) i(Z+Zt) LZ RZ

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

= - [ 950 x 10 -12 + j ( 2eth x 1100 ) ( 395x 10 -12 ) ] (165 + j 0)

= - ( 0016 + j 451 ) x 10 -6 Amperesmetro

Im = 638 ethAmetro

V + dv

part2V__

part2I__

L(Hm )= μ

2πlog

C (Fm )= 2 πε

permitividad

i(Zt) i(Z+Zt) LZ RZ

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

V + dv

part2V__

part2I__

L(Hm )= μ

2πlog

C (Fm )= 2 πε

permitividad

i(Zt) i(Z+Zt) LZ RZ

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

V + dv

part2V__

part2I__

L(Hm )= μ

2πlog

C (Fm )= 2 πε

permitividad

i(Zt) i(Z+Zt) LZ RZ

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

V + dv

part2V__

part2I__

L(Hm )= μ

2πlog

C (Fm )= 2 πε

permitividad

i(Zt) i(Z+Zt) LZ RZ

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

V + dv

part2V__

part2I__

L(Hm )= μ

2πlog

C (Fm )= 2 πε

permitividad

i(Zt) i(Z+Zt) LZ RZ

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

L(Hm )= μ

2πlog

C (Fm )= 2 πε

permitividad

i(Zt) i(Z+Zt) LZ RZ

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

L(Hm )= μ

2πlog

C (Fm )= 2 πε

permitividad

i(Zt) i(Z+Zt) LZ RZ

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

C (Fm )= 2 πε

permitividad

i(Zt) i(Z+Zt) LZ RZ

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

v(Zt) v(Z+Zt) CZ GZ

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

vL=Ldidt

ic=Cdvdt

se obtiene

partr ( z t )part z

part t

part i (z t )part z

part2vpart z2

+LC part2vpart t2

part2 ipart z2

+LC part2 ipart t2

- partV

part z=(R+ jwL )I

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

minusγz+Vminuseγz

partVpart z

despejando

I= γR+ jwL [V + e

Se tiene que

I=radicG+ jwCR+ jwL

Comparando con

Obtenemos

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

Vminus

Zc= 1Yc

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

Zg Is IR

Vg Vs ZL VR

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

V +=V R+ I RZo

2Vminus=

V R+ IRZc2

I S=I (minuss )=V R

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

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|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

UNIDAD 5

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

YiJ = GiJ +JBiJ

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

Pi ndashJqit=sumn=1

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

VARIABLES

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

MIENTRAS QUE

|a12a11

|lt1|a21a22

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|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

|a12a11

|lt1|a21a22

|a11|gt|a12||a22|gt|a21|

|aii|gtsumj=1jnei

|ai j|

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

HACEMOS

Y DESPEJAMOS

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

(1056)

DE MODO QUE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

(1057)

(1058) DEFINIENDO

SE OBTIENE

(1059)

PARA OBTENER

(1061)

(1062)

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

(1067)

I = 1 hellip N (1069)

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

I = 1 hellip N (1072)

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

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Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

SUBPROBLEMAS

( PFE)

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

SISTEMA DE POTENCIA

EN EL BUS I

PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + PL

P1 + P2 = PL

QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + QL

Q1 + Q2 = QL

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

(NODOS 2hellipM)

(__90 DE LOS NODOS)

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

PLANIFICADOR PUEDE

POTENCIA

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

I) ECUADOR

II) AESO - CANADA

III) CHILE

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unidades 4 y 5 sistemas electricos