Upload
leeya-omar
View
151
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
nota al jabar
Citation preview
UNIT PELAJARAN 10
PARABOLA DAN HIPERBOLA
HASIL PEMBELAJARAN
Di akhir unit ini, anda diharap dapat:
1. Menyatakan persamaan parabola dan persamaan hiperbola dalam ben-
tuk piawai.
2. Menghuraikan ciri-ciri persamaan parabola dan persamaan hiperbola.
3. Membentuk persamaan parabola dan persamaan hiperbola daripada
ciri-ciri yang diberikan.
4. Mengenalpasti bentuk graf persamaan parabola dan persamaan hiper-
bola.
5. Melakar graf bagi persamaan parabola dan persamaan hiperbola dari-
pada ciri-ciri yang diberikan.
PENGENALAN
Dalam Bahagian Kedua topik Keratan Kon ini, kita akan membin-
cangkan dua lagi persamaan penting yang terhasil daripada ker-
atan suatu kon iaitu persamaan parabola dan persamaan hiper-
277
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 278
bola. Di akhir unit ini kita akan melakar graf bagi kedua-dua persamaan
tersebut berdasarkan ciri-ciri yang diberikan.
10.1 Parabola
10.1.1 Mengenali Parabola dan Graf-Grafnya
Takrifan 10.1 (Parabola) Suatu parabola adalah lokus (set) bagi semua
titik (x, y) dalam suatu satah yang sama jarak dari suatu garis yang dipanggil
direktriks, dan suatu titik tetap F yang dipanggil fokus. Titik tengah antara
titik fokus F dan direktriks dipanggil titik bucu V . Garis yang melalui titik
F, V dan D adalah paksi simetri bagi parabola.
Rajah di bawah menunjukkan dua bentuk graf bagi parabola.
F
Direktriks
d1
d1 V
D
P(x, y)
D1
p
p
Paksi Simetri
(a) Paksi simetri mencancang
Paksi Simetri
F
d1
d1
VD
D1 P(x, y)
Direktriks
pp
(b) Paksi simetri mengufuk
Paksi simetri dan direktriks adalah berserenjang dan bersilang pada titik D.
Katakan jarak antara titik fokus F dan titik bucu V ialah p. Maka,
d (FV ) = d (V D) = p
d (FP ) = d (PD1) = d1. Ini merupakan ciri utama bagi suatu parabola.
Rajah (a) di atas menunjukkan bentuk parabola terbuka ke atas, dan Ra-
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 279
jah (b) menunjukkan bentuk parabola terbuka ke kanan. Bentuk parabola
boleh juga terbuka ke bawah atau ke kiri. Dalam bahagian seterusnya, kita
akan membincangkan bentuk piawai persamaan parabola dan menentukan
bukaan bagi graf parabola.
10.1.2 Bentuk Piawai Persamaan Parabola
Dalam bahagian ini kita akan membincangkan dua bentuk piawai persamaan
parabola dan melihat hubungan antara kedua-dua bentuk piawai ini.
Takrifan 10.2 (Bentuk Piawai Persamaan Parabola - Titik Bucu V (0, 0))
.
1. Bentuk piawai persamaan parabola dengan titik bucu pada asalan
V (0, 0) dan paksi simetri mencancang:
(a)
x2 = 4py, p > 0 (10.1)
Titik bucu: V (0, 0)
Titik fokus: F (0, p)
Direktriks: y = −p
Bukaan parabola: Ke atas
F(0, p)P(x, y) p
p
Direktriks: y = p
y
xV(0, 0)
D(0, p)
Paksi Simetri
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 280
(b)
x2 = 4py, p < 0 (10.2)
Titik bucu: V (0, 0)
Titik fokus: F (0, p)
Direktriks: y = −p
Bukaan parabola: Ke bawah
F(0, p)P(x, y)
p
p
Direktriks: y = py
xV(0, 0)
D(0, p)
Paksi Simetri
2. Bentuk piawai persamaan parabola dengan titik bucu pada asalan
V (0, 0) dan paksi simetri mengufuk:
(a)
y2 = 4px, p > 0 (10.3)
Titik bucu: V (0, 0)
Titik fokus: F (p, 0)
Direktriks: x = −p
Bukaan parabola: Ke kanan
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 281
P(x, y)
p p
Direktriks: x = p
y
xV(0, 0)
F(p, 0)D(p,0)
Paksi Simetri
(b)
y2 = 4px, p < 0 (10.4)
Titik bucu: V (0, 0)
Titik fokus: F (p, 0)
Direktriks: x = −p
Bukaan parabola: Ke kiri
P(x, y)
p p
Direktriks: x = p
y
xV(0, 0)F(p, 0)
D(p,0)
Paksi Simetri
Takrifan 10.3 (Bentuk Piawai Persamaan Parabola - Titik Bucu V (h, k))
1. Bentuk piawai persamaan parabola dengan titik bucu pada V (h, k)
dan paksi simetri mencancang:
(a)
(x− h)2 = 4p (y − k) , p > 0 (10.5)
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 282
Titik bucu: V (h, k)
Titik fokus: F (h, p+ k)
Direktriks: y = −p+ k
Bukaan parabola: Ke atas
F(h, p + k)P(x, y) p
p
Direktriks: y = p + k
V(h, k)
D(h, p + k)
Paksi Simetri
(b)
(x− h)2 = 4p (y − k) , p < 0 (10.6)
Titik bucu: V (h, k)
Titik fokus: F (h, p+ k)
Direktriks: y = −p+ k
Bukaan parabola: Ke bawah
F(h, p + k)
P(x, y)
p
p
Direktriks: y = p + k
V(h, k)
D(h, p + k)
Paksi Simetri
2. Bentuk piawai persamaan parabola dengan titik bucu pada V (h, k)
dan paksi simetri mengufuk:
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 283
(a)
(y − k)2 = 4p (x− h) , p > 0 (10.7)
Titik bucu: V (h, k)
Titik fokus: F (p+ h, k)
Direktriks: x = −p+ h
Bukaan parabola: Ke kanan
P(x, y)
p p
Direktriks: x = p + h
V(h, k)F(p + h, k)
D(p + h,k)
Paksi Simetri
(b)
(y − k)2 = 4p (x− h) , p < 0 (10.8)
Titik bucu: V (h, k)
Titik fokus: F (p+ h, k)
Direktriks: x = −p+ h
Bukaan parabola: Ke kiri
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 284
P(x, y)
p p
Direktriks: x = p + h
V(h, k)F(p + h, k)D(p + h,k)
Paksi Simetri
Bentuk piawai pertama persamaan-persamaan parabola di atas disim-
pulkan seperti berikut:
Bukaan Parabola Bucu Pada Asalan, V (0, 0) Bucu pada V (h, k)
Ke Atas, p > 0 x2 = 4py (x− h)2 = 4p (y − k)
Ke Bawah, p < 0 x2 = 4py (x− h)2 = 4p (y − k)
Ke Kanan, p > 0 y2 = 4px (y − k)2 = 4p (x− h)
Ke Kiri, p < 0 y2 = 4px (y − k)2 = 4p (x− h)
Catatan 1 Dalam bentuk piawai persamaan parabola, bukaan parabola di-
tentukan oleh nilai p.
Contoh 10.1 Cari bentuk piawai persamaan parabola dengan bucu di asalan,
fokus pada (2, 0) dan paksi simetri mengufuk.
Selesaian: Diberi V (0, 0) dan F (2, 0) dan paksi simetri mengufuk. Bentuk
persamaan yang sesuai adalah:
y2 = 4px
Di sini, p = 2, direktriks x = −2. Bentuk piawai persamaan parabola
yang dikehendaki ialah y2 = 8x.
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 285
Contoh 10.2 Cari persamaan parabola terbuka ke atas, titik bucu pada
V (4, 5) , dan melalui titik P (0, 7) .
Selesaian: Persamaan yang dikehendaki ialah dalam bentuk:
(x− h)2 = 4p (y − k)
Diberi titik bucu V (4, 5) , maka h = 4, k = 5, dan,
(x− 4)2 = 4p (y − 5) , p > 0
Seterusnya, untuk mendapatkan nilai p, kita gantikan nilai-nilai x dan
y yang diperoleh daripada titik P (0, 7) . Maka,
(0− 4)2 = 4p (7− 5)
16 = 8p
⇒ p = 2
Persamaan yang dicari ialah:
(x− 4)2 = 8 (y − 5)
Contoh 10.3 Tentukan bukaan bagi persamaan parabola
y2 + 8x− 4y − 28 = 0
Seterusnya cari titik bucu, titik fokus, dan direktriksnya.
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 286
Selesaian: Pertama sekali, kita perlu menukarkan persamaan yang diberi
kepada bentuk piawai.
y2 + 8x− 4y − 28 = 0(y2 − 4y
)+ 8x = 28(
y2 − 4y + 4)+ 8x = 28 + 4
(y − 2)2 = 32− 8x
(y − 2)2 = −8 (x− 4)
(y − 2)2 = 4 (−2) (x− 4)
Daripada persamaan yang diperoleh, kita dapati nilai p = −2 < 0. Ini
menunjukkan bukaan parabola adalah ke kiri. Titik bucu di V (4, 2) ,
titik fokus di F (2, 2) , direktriks di x = 6.
Contoh 10.4 Cari titik fokus bagi suatu parabola yang persamaannya ialah
y = −2x2.
Selesaian: Diberi persamaan parabola
y = −2x2
⇒ x2 = −12y
= 4
(−18
)y
Daripada persamaan yang diberi, kita dapati p = −18< 0, titik bucu
V (0, 0), paksi simetri menegak, dan parabola terbuka ke bawah (ker-
ana p < 0). Titik fokus yang diperoleh ialah F
(0,−1
8
).
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 287
10.1.3 Melakar Graf Persamaan Parabola
Contoh 10.5 Lakarkan graf bagi persamaan-persamaan parabola berikut:
(a) y2 = 8x
(b) y = −2x2
(c) (x− 4)2 = 8 (y − 5)
(d) y2 + 8x− 4y − 28 = 0
Selesaian:
(a) y2 = 8x.
y2 = 8x = 4(2)x
Nilai p = 2 > 0. Bukaan parabola ke kanan. Titik bucu V (0, 0) ; titik
fokus F (2, 0) ; direktriks di x = −2; persamaan paksi simetri y = 0.
2 2
Direktriks: x = 2
y
xV(0, 0)
F(2, 0)D(2,0)
Paksi Simetri: y = 0
y2 = 8x
(b) y = −2x2
y = −2x2
⇒ x2 = −12y
= 4
(−18
)y
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 288
Nilai p = −18< 0. Bukaan parabola ke bawah. Titik bucu V (0, 0) ; titik
fokus F
(0,1
8
); direktriks di y = −1
8; persamaan paksi simetri x = 0.
y
V(0, 0)
Paksi Simetri: x = 0
81:Direktriks =y
( )81,0D
81
( )81,0 −F
81 x
y = −2x2
(c) (x− 4)2 = 8 (y − 5)
(x− 4)2 = 8 (y − 5)
= 4 (2) (y − 5)
Nilai p = 2 > 0. Bukaan parabola ke atas. Titik bucu V (4, 5) ; titik fokus
F (4, 7) ; direktriks di y = 3; persamaan paksi simetri x = 4.
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 289
2
2
Direktriks: y = 3
y
x
V(4, 5)
F(4, 7)
D(4,3)
Paksi Simetri: x = 4
(x− 4)2 = 8 (y − 5)
(d) y2 + 8x− 4y − 28 = 0
y2 + 8x− 4y − 28 = 0(y2 − 4y
)+ 8x = 28(
y2 − 4y + 4)+ 8x = 28 + 4
(y − 2)2 = 32− 8x
(y − 2)2 = −8 (x− 4)
(y − 2)2 = 4 (−2) (x− 4)
Nilai p = −2 < 0. Bukaan parabola ke kiri. Titik bucu V (4, 2) ; titik
fokus F (2, 2) ; direktriks di x = 6; persamaan paksi simetri y = 2.
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 290
22
Direktriks: x = 6
y
x
V(4, 2)F(2, 2)
D(6,2)
Paksi Simetri: y = 2
y2 + 8x− 4y − 28 = 0
Latihan Formatif 10.1
1. Cari persamaan parabola dengan titik bucu pada (3, 5) dan titik fokus
pada (3, 2) .
2. Cari persamaan parabola dengan titik bucu pada (6, 8) dan melalui
titik-titik (5, 10) dan (5, 6) .
3. Tulis persamaan parabola x2− 4x− 12y− 32 = 0 dalam bentuk piawai.
Seterusnya cari titik bucu, titik fokus, dan direktriksnya.
4. Tulis persamaan parabola y2 − 8x + 6y − 7 = 0 dalam bentuk piawai.
Seterusnya cari titik bucu, titik fokus, dan direktriksnya.
5. Kenal pasti bukaan parabola, titik bucu V, fokus F, direktriks, dan paksi
simetri bagi persamaan parabola y = x2 + 2x− 3.
6. Kenal pasti bukaan parabola, titik bucu V, fokus F, direktriks, dan paksi
simetri bagi persamaan parabola y = 2x2 − 4x+ 5.
7. Lakarkan graf persamaan parabola y2+2x−2y−5 = 0. Tandakan titik
bucu, titik fokus dan direktriksnya.
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 291
8. Lakarkan graf persamaan parabola y2+4x−6y+1 = 0. Tandakan titik
bucu, titik fokus dan direktriksnya.
9. Lakarkan graf persamaan parabola 4x2− 4x+32y− 47 = 0. Tandakan
titik bucu, titik fokus dan direktriksnya.
10. Lakarkan graf persamaan parabola 4y2−16x+17−20y = 0. Tandakan
titik bucu, titik fokus dan direktriksnya.
10.2 Hiperbola
10.2.1 Mengenali Hiperbola dan Grafnya
Takrifan bagi hiperbola serupa dengan takrifan bagi elips. Bezanya adalah
bagi elips, hasiltambah jarak antara dua titik fokusnya dan sebarang titik
pada elips adalah malar, manakala bagi hiperbola pula, hasiltolaknya adalah
malar.
Takrifan 10.4 (Hiperbola) Suatu hiperbola adalah lokus (set) bagi semua
titik dalam suatu satah di mana hasiltolak jarak dari dua titik tetap F1 dan
F2 (dinamakan titik-titik fokus) ke sebarang titik (x, y) pada lokus tersebut
adalah malar.
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 292
V1 V2
Paksi MerentasLintang
F2F1C
P(x, y)
d1 d2
(a) Paksi merentas lintang
mengufuk
V1
V2
Paksi MerentasLintang
F2
F1
C
P(x, y)
d1
d2
(b) Paksi merentas lintang
mencancang
Graf bagi suatu hiperbola mempunyai dua bahagian yang tak berhubung
dipanggil cabang. Cabang-cabang kelihatan seperti bentuk parabola, tetapi
bukan parabola; dengan bukaan ke kanan dan kiri (Rajah (a) ), atau bukaan
ke atas dan bawah (Rajah (b) ). Garis yang melalui dua titik fokusnya, F1
dan F2 bersilang dengan hiperbola tersebut pada dua titik bucu, V1 dan V2.
Garis segmen V1V2 yang menghubungkan kedua-dua titik bucu ini dipanggil
paksi merentas lintang. Titik tengah C bagi paksi merentas lintang adalah
pusat bagi hiperbola. Terdapat dua bentuk graf hiperbola dengan paksi
merentas lintang mengufuk dan mencancang.
Salah satu ciri utama suatu hiperbola ialah hasil tolak d (F1P ) = d1 dan
d (F2, P ) = d2 adalah malar, iaitu:
d (F1P )− d (F2, P )
= d1 − d2 adalah malar
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 293
10.2.2 Asimptot dan Segiempat Asasi
V1
Asimptot
Segiempat Asasi
V2
Paksi MerentasLintang
F2F1
ac
C
B1
B2
V1
Asimptot
Segiempat Asasi V2
Paksi MerentasLintang
F2
F1
a
c
CB1 B2
Graf-graf di atas menunjukkan dua lagi elemen penting bagi suatu hiperbola
iaitu asimptot dan segiempat asasi. Kedua-dua elemen ini penting bagi
membantu kita melakar graf bagi suatu hiperbola. Setiap hiperbola mem-
punyai dua asimptot. Asimptot-asimptot ini menghampiri cabang-cabang
hiperbola tetapi tidak menyentuhnya. Asimptot-asimptot ini juga melintasi
keempat-empat bucu segiempat asasi, dan bersilang pada pusat C hiper-
bola tersebut. Segmen B1B2 dinamakan paksi konjugat.
10.2.3 Bentuk Piawai Persamaan Hiperbola
Seperti juga dengan keratan kon yang lain, kita akan membincangkan ben-
tuk piawai persamaan-persamaan hiperbola dengan pusat pada asalan C (0, 0)
dan pusat pada sebarang titik C (h, k) .
Takrifan 10.5 (Bentuk Piawai Persamaan Hiperbola - Pusat C (0, 0))
1. (Bukaan Kanan dan Kiri) Bentuk piawai persamaan hiperbola de-
ngan pusat C (0, 0) , dan bukaan ke kanan dan kiri ialah:
x2
a2− y
2
b2= 1, a2 + b2 = c2; a > 0 dan b > 0 (10.9)
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 294
Pusat: C (0, 0) ;
Titik-titik bucu: V1 (−a, 0) , V2 (a, 0) ;
Titik-titik fokus: F1 (−c, 0) , F2 (c, 0) ;
Titik-titik pada paksi konjugat: B1 (0, b) , B2 (0,−b) ;
Paksi merentas lintang: mengufuk
F2(c, 0)C(0, 0) x
y
F1(c, 0)
V1(a, 0) V2(a, 0)B1(0, b)
B2(0, b)
2. (Bukaan Atas dan Bawah) Bentuk piawai persamaan hiperbola de-
ngan pusat C (0, 0) , dan bukaan ke atas dan bawah ialah:
y2
a2− x
2
b2= 1, a2 + b2 = c2; a > 0 dan b > 0 (10.10)
Pusat: C (0, 0) ;
Titik-titik bucu: V1 (0, a) , V2 (0,−a) ;
Titik-titik fokus: F1 (0, c) , F2 (0,−c) ;
Titik-titik pada paksi konjugat: B1 (−b, 0) , B2 (b, 0) ;
Paksi merentas lintang: mencancang
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 295
F2(0, c)
C(0, 0) x
yF1(0, c,)
V1(0, a)
V2(0, a)
B1(b, 0) B1(b, 0)
Takrifan 10.6 (Bentuk Piawai Persamaan Hiperbola - Pusat C (h, k))
1. (Bukaan Kanan dan Kiri) Bentuk piawai persamaan hiperbola de-
ngan pusat C (h, k) , dan bukaan ke kanan dan kiri ialah:
(x− h)2
a2− (y − k)
2
b2= 1, a2 + b2 = c2; a > 0 dan b > 0 (10.11)
Pusat: C (h, k) ;
Titik-titik bucu: V1 (−a+ h, k) , V2 (a+ h, k) ;
Titik-titik fokus: F1 (−c+ h, k) , F2 (c+ h, k) ;
Titik-titik pada paksi konjugat: B1 (h, b+ k) , B2 (h,−b+ k) ;
Paksi merentas lintang: mengufuk
F2(c+h, k)C(h, k)
x
y
F1(c+h, k)
V1(a+h, k) V2(a+h, k)B1(h, b+k)
B2(h, b+k)
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 296
2. (Bukaan Atas dan Bawah) Bentuk piawai persamaan hiperbola de-
ngan pusat C (h, k) , dan bukaan ke atas dan bawah ialah:
(y − k)2
a2− (x− h)
2
b2= 1, a2 + b2 = c2; a > 0 dan b > 0 (10.12)
Pusat: C (h, k) ;
Titik-titik bucu: V1 (h, a+ k) , V2 (h,−a+ k) ;
Titik-titik fokus: F1 (h, c+ k) , F2 (h,−c+ k) ;
Titik-titik pada paksi konjugat: B1 (−b+ h, k) , B2 (b+ h, k) ;
Paksi merentas lintang: mencancang
F2(h, c+k)
C(h, k)
x
yF1(h, c+k)
V1(h, a+k)
V2(h, a+k)
B1(b+h, k) B1(b+h, k)
Contoh 10.6 Cari bentuk piawai persamaan hiperbola dengan pusat di
C (0, 0) , titik-titik fokus di (±3, 0) dan titik-titik bucu (±2, 0).
Selesaian: Katakan titik-titik fokus F1 (−3, 0) dan F2 (3, 0) , dan titik-titik bucu
V1 (−2, 0) dan V2 (2, 0) . Pusat hiperbola pada C (0, 0) . Bentuk piawai
persamaan hiperbola yang dikehendaki adalah
x2
a2− y
2
b2= 1, a2 + b2 = c2; a > 0 dan b > 0
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 297
d (V1C) = d (C, V2) = a = 2;
d (F1C) = d (CF2) = c = 3;
Kita perlu mencari nilai b2 untuk diganti dalam persamaan di atas.
b2 = c2 − a2
= 9− 4 = 5
Jadi, persamaan yang dikehendaki ialah,
x2
4− y
2
5= 1
Contoh 10.7 Tulis persamaan hiperbola dengan titik-titik bucu (3, 3) dan
(3,−3), dan titik fokus pada (3, 5) .
Selesaian: Perhatikan yang titik bucu (3, 3) berada di atas titik bucu (3,−3) .
Ini menunjukkan paksi perentas lintang adalah mencancang. Oleh
itu kita namakan V1 (3, 3) dan V2 (3,−3) . Titik fokus (3, 5) berada di
atas V1 (3, 3) . Kita namakan titik fokus ini F1 (3, 5) . Bentuk piawai per-
samaan hiperbola yang dikehendaki adalah
(y − k)2
a2− (x− h)
2
b2= 1, a2 + b2 = c2; a > 0 dan b > 0
d (V1V2) = 3 + 3 = 6
Titik tengah antara dua titik bucu ini merupakan pusat hiperbola, iaitu
C (3, 0) di mana h = 3, k = 0. Kita tahu daripada maklumat yang ada,
d (V1C) = d (CV2) = 3 = a
d (F1C) = d (CF2) = 5− 0 = 5 = c
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 298
Kita perlukan nilai b2 untuk melengkapkan persamaan yang dicari.
a2 + b2 = c2
⇒ b2 = c2 − a2
= 25− 9
= 16
Jadi, persamaan yang dicari ialah
y2
9− (x− 3)
2
16= 1.
10.2.4 Melakar Graf Persamaan Hiperbola
Contoh 10.8 Lakarkan graf bagi hiperbolay2
9− x
2
4= 1.
Selesaian: Perhatikan bahaway2
9− x
2
4= 1 adalah dalam bentuk piawai
am
y2
a2− x
2
b2= 1
a2 = 9⇒ a = 3
b2 = 4⇒ b = 2
Pusat: C (0, 0) ;
Titik-titik bucu: V1 (0, 3) , V2 (0,−3) ;
Titik-titik pada paksi konjugat: B1 (−2, 0) , B2 (2, 0) ;
Paksi merentas lintang: mencancang
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 299
Titik-titik fokusnya boleh didapati dengan menggunakan hubungan
c2 = a2 + b2
⇒ c =√a2 + b2
= ±√13
iaitu, F1(0,√13)
dan F2(0,−√13). Graf bagi persamaan hiperbola di
atas ialah
F2
C(0, 0) x
y
F1
V1
V2
(3, 2) (3, 2)
(3, 2)(3, 2)
y2
9− x
2
4= 1
Contoh 10.9 Lakarkan graf bagi persamaan hiperbola
(x− 3)2
16− (y + 1)
2
4= 1.
Selesaian 1 Daripada persamaan yang diberi kita dapati,
Pusat: C (3,−1) di mana h = 3, k = −1
a2 = 16⇒ a = 4
b2 = 4⇒ b = 2
Paksi merentas lintang : mengufuk
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 300
Titik-titik bucu:
V1 (−4 + 3,−1) = V1 (−1,−1) dan V2 (4 + 3,−1) = V2 (7,−1)
Titik-titik pada paksi konjugat,
B1 (3, 2− 1) = B1 (3, 1) dan B2 (3,−2− 1) = B2 (3,−3)
Untuk mendapatkan titik-titik fokus:
c2 = 16 + 4 = 20⇒ c =√20 = 2
√5
F1
(−2√5 + 3,−1
), F1
(2√5 + 3
)
Graf yang diperoleh ialah:
Paksi MerentasLintang
F2
C(3, 1)x
y
F1 V1 V2
B1
B2
Paksi MerentasLintang
(x− 3)2
16− (y + 1)
2
4= 1
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 301
Latihan Formatif 10.2
1. Tulis persamaan hiperbola dengan titik-titik bucu (±5, 0) , dan titik fokus
pada (7, 0) .
2. Tulis persamaan hiperbola dengan titik-titik bucu (±3, 1), dan titik fokus
pada (5, 1) .
3. Cari persamaan hiperbola dengan pusat C (5, 3) , titik bucu (5, 6) dan
melalui titik (1, 8) .
4. Cari persamaan hiperbola dengan pusat C (1,−3) ; a2 = 4; b2 = 16.
5. Tulis persamaan am kuadratik bagi hiperbola 25x2−9y2−100x−72y−
269 = 0 dalam bentuk piawai.
6. Tulis persamaan am kuadratik bagi hiperbola 4x2 − 9y2 − 24x− 90y −
153 = 0 dalam bentuk piawai.
7. Lakarkan graf persamaan hiperbola(x− 2)2
4− (y + 1)2 = 1.
8. Lakarkan graf persamaan hiperbola (x+ 3)2 − (y − 1)2
4= 1.
9. Lakarkan graf persamaan hiperbola bagi soalan (5) .
10. Lakarkan graf persamaan hiperbola bagi soalan (6) .
RUMUSAN
Dalam Unit 10 kita telah mempelajari persamaan dan bentuk graf bagi parabola
dan hiperbola. Ini merupakan kesinambungan daripada Unit 9, di mana per-
samaan dan bentuk graf bagi bulatan dan elips dibincangkan. Anda diharap
dapat membezakan persamaan dan bentuk graf bagi setiap keratan kon
yang telah dibincangkan. Antara isi-isi penting dalam Unit 10 ini ialah:
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 302
1. Bentuk piawai persamaan parabola:
(a) x2 = 4py, p > 0 atau p < 0
(b) y2 = 4px, p > 0 atau p < 0
(c) (x− h)2 = 4p (y − k) , p > 0 atau p < 0
(d) (y − k)2 = 4p (x− h) , p > 0 atau p < 0
2. Bentuk piawai persamaan hiperbola:
(a)x2
a2− y
2
b2= 1, a2 + b2 = c2; a > 0 dan b > 0
(b)y2
a2− x
2
b2= 1, a2 + b2 = c2; a > 0 dan b > 0
(c)(x− h)2
a2− (y − k)
2
b2= 1, a2 + b2 = c2; a > 0 dan b > 0
(d)(y − k)2
a2− (x− h)
2
b2= 1, a2 + b2 = c2; a > 0 dan b > 0
KATA KUNCI
Direktriks, pusat, titik fokus, titik bucu, paksi simetri, mencancang, mengu-
fuk, bukaan parabola, cabang, paksi merentas lintang, asimptot, segiempat
asasi, dan paksi konjugat.
LATIHAN SUMATIF 10
1. Cari titik bucu dan titik fokus bagi persamaan parabola x2−2x+4y = 3.
2. Tulis persamaan parabola 5x2 + 20x− 9y = −47 dalam bentuk piawai
dan tentukan titik bucu, titik fokus, direktriks, dan paksi simetrinya.
3. Cari titik bucu, fokus, dan direktriks bagi persamaan parabola(x+
1
2
)2= 4 (y − 3) . Lakarkan grafnya.
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 303
4. Cari persamaan parabola dengan titik bucu (−2, 1), dan direktriks pada
x = 1.
5. Cari persamaan parabola dengan titik fokus (0, 0) dan direktriks pada
y = 4.
6. Cari titik pusat, titik-titik bucu, titik-titik fokus bagi persamaan hiperbola
9x2 − y2 + 54x+ 10y + 55 = 0.
7. Cari persamaan hiperbola dengan titik-titik bucu (±2, 1) , dan titik-titik
fokus (±3, 1) .
8. Lakarkan graf persamaan hiperbola xy = −4.
9. Lakarkan graf graf bagi persamaan y2 − 4x2 + 4y + 24x = 41.
10. Tentukan sama ada persamaan-persamaan berikut bulatan, elips, para-
bola atau hiperbola. Berikan justifikasi kepada jawapan anda.
(a) x2 + 4y2 − 6x+ 16y + 21 = 0
(b) y2 − 4y − 4x = 0
(c) 4y2 − 2x2 − 4y − 8x− 15 = 0
(d) 4x2 + 4y2 − 16y + 15 = 0
RUJUKAN
1. Aufmann, R.N., Barker, V.C., Lockwood, J.S. (2000). Intermediate Al-
gebra with Application, 5th Ed. Boston, MA: Houghton Mifflin Com-
pany.
2. Dugopolski, M. (2009). Elementary and Intermediate Algebra, 3rd ed.
IL: McGraw-Hill.
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 304
3. Gustafson, R.D., Frisk, P.D., (1999). Algebra for College Students, 5th
Ed. CA: Brooks/Cole Publishing Company.
4. Larson, R.E., Hostetler, R.P., Edwards, B.H., Heyd, D.E. (1997). Col-
lege Algebra: A Graphing Approach, 2nd Ed. Boston, MA: Houghton
Mifflin Company.
5. Spiegel, M.R. & Moyer, R.E. (2006). Schaum’s Outlines: College Al-
gebra, 3rd ed. NY: McGraw-Hill.
JAWAPAN
Latihan Formatif 10.1
(Jawapan kepada nombor ganjil)
1. (x− 3)2 = −12 (y − 5)
3. (x− 2)2 = 12 (y + 3) ; V (2,−3) ;F (5, 3) ; direktriks y = −6.
5. (x+ 1)2 = 4
(1
4
)(y + 4) ; p =
1
4> 0; Bukaan ke atas; titik bucu V =
(−1,−4) ; titik fokus F
(−1,−15
4
); direktriks di y = −17
4; paksi simetri
pada x = −1.
7. (y − 1)2 = 4
(−12
)(x+ 3) ; p = −1
2< 0. Bukaan ke kiri; titik bucu
V (3, 1) ; titik fokus F
(5
2, 1
); direktriks di x =
7
2; paksi simetri pada
y = 1. Lakar grafnya.
9.
(x− 1
2
)2= 4 (−2)
(y − 3
2
); p = −2 < 0. Bukaan ke bawah; titik bucu
V
(1
2,3
2
); titik fokus F
(1
2,−12
); direktriks di y =
7
2; paksi simetri
pada x =1
2. Lakar grafnya.
UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 305
Latihan Formatif 10.2
(Jawapan kepada nombor ganjil)
1.x2
25− y
2
24= 1
3.(y − 3)2
9− (x− 5)
2
9= 1
5.(x− 2)2
9− (y + 4)
2
25
7. Pusat pada C (2,−1) ; nilai-nilai a = 2; b = 1; c =√5; titik-titik bucu
V1 (0,−1) , V2 (4,−1) ; titik-titik pada paksi konjugatB1 (2, 0) , B2 (2,−2) ;
dan titik-titik fokus F(±√5 + 2,
)LATIHAN SUMATIF 10
1. (x− 1)2 = 4 (−1) (y − 1) ; titik bucu (1, 1) ; titik fokus (1, 0)
2. (x+ 2)2 =9
5(y − 3) ; titik bucu (−2, 3) ; titik fokus
(−2, 69
20
); direktriks
y =51
20; paksi simetri x = −2
3. Titik bucu
(−12, 3
); titik fokus
(−12, 4
); direktriks y = 2
4. (y − 1)2 = −12 (x+ 2)
5. x2 = −8 (y − 2)
6. Pusat (−3, 5) ; titik-titik bucu
(−103, 5
),
(−83, 5
); titik-titik fokus(
−3±√10
3, 5
)
7.x2
4− (y − 1)
2
5= 1
8. Lakar grafnya.
9.(y + 2)2
9− (x− 3)
2
9
4
= 1. Lakar grafnya.