Embed Size (px)
Citation preview
p J ~
X o bull J~ 28 - - shy
FIGURA 9
e las figuras 10 a) b) c) d) y e)
le c) x=32deg y=58deg d)x=3r y = 5cm
nte
on la figura
11----_
MATEMAacuteTICAS BAacuteSICAS
F A
100 m 80m
E 3m
Bb)D
FIGURA 12
13 Un edificio proyecta una sombra de 120 m y al mismo tiempo un muro vertical que tiene 14 m de altura proyecta una sombra de 116 m de longitud iquest Queacute altura tiene el edificio ( R 1448 m)
14 Considere una laacutemina de cobre en forma de sector circular como se indica en la figura 13 siguiente iquestCuaacutel es la longitud del arco AB iquestCuaacutel es el aacuterea del sector circular Si se enrolla el sector circular para fonnar un cono cuaacutel es el volumen del cono resultante
( R 1631mm 6932mm 2 57139mm 3
)
FIGURll 13
15 Hallar la longitud de la banda motriz que une las dos poleas de radios 570 mm y 130 mm si la distancia entre sus centros es de 1250 mm Ademaacutes el aacutengulo AOBmide 70deg Ver la figura 14 a) (Ayuda para resolver el problema planteado considere la figura 14 b) halle x y y despueacutes z )
(R x = 3693mm y = 3456mm z = 15l56mm longitud total de la banda 4845mm)
B
I i
t--1250 mm--i b) a)
FIGURA 14
87
MATEMAacuteTICAS BAacuteSICAS
16 Cuaacutel es el aacuterea del vidrio necesario para colocarle a la ventana que tiene la forma de la figura 15 siguiente Nota El arco BC corresponde a una circunferencia de radio 16 m y centro en A Similarmente ocurre con el arco AC (Ayuda el aacuterea de la parte superior de la ventana es dos veces (el aacuterea del sector ABC menos el aacuterea del triaacutengulo equilaacutetero
ABC))(R55m 2 )
e
16m FIGURA lS
17 Hallar el aacuterea de la seccioacuten transversal del tubo de la figura 16 2(R 700n mm 700(31416) mm 2 = 219912 mm 2
)
FIGURA 16
18 Demostrar que el volumen del tronco de cono circular recto de la figura 17 es
nh(2 2 )V = - r + r2 + r r2 3
FIGURA 17
19 iquestCuaacutel es el volumen de la viga cuya seccioacuten transversal es la de la figura 2 del problema 2 anterior si tiene 4 m de longitud
3(R 4000 x l0000m 3 =4xl0 7 m )
88
20 El embudo de la figura 18 siguiell diaacutemetro de 3 cm en B y de 1 cm (
este embudo (Ayuda el aacuterea del trOl
h=75 0=10 D2 =3iquestPorqueacute
calcular la respectiva h (R 2322 cm
21 Un silo tiene la ciliacutendrica mide 40
silo iquestCuaacutel es la ca
22 Para cercar un te
iquestCuaacutento costaraacute c cuesta lo mismo 11 otro de pasto (R $ 7362000 $
23 Para pintar un tan iquestCuaacutenta pintura se (R 214375 litros
24 Un silo para gran como se muestra
Determine el radi
(R9m)
1 colocarle a la ventana que tiene la forma de la Jrresponde a una circunferencia de radio 16 m ~I arco AC (Ayuda el aacuterea de la parte superior ctor ABC menos el aacuterea del triaacutengulo equilaacutetero
e
AUB 25 m
ura 17 es
ra 2 del
____________________1
MATEMAacuteTICAS BAacuteSICAS
20 El embudo de la figura 18 siguiente tiene ademaacutes de los datos indicados un diaacutemetro de 3 cm en B y de I cm en A iquestCuaacutento metal se necesita para fabricar
este embudo (Ayuda el aacuterea del tronco de cono de arriba es I 11 h(Oiexcl + OJ donde 2
h = 75 Diexcl = 10 D 2 = 3 iquestPor queacute Para el aacuterea del tronco de cono de abajo debe
calcular la respectiva h (R 2322 cm 2 )
A
FIGURA 18
21 Un silo tiene la forma de cilindro recto cerrado por un hemisferio La parte ciliacutendrica mide 40 m de altura y 8 ffi de radio iquestCuaacutento mide el aacuterea superficial del
2silo iquestCuaacutel es la capacidad del silo (R 24115 m 91102 m 3 )
22 Para cercar un terreno circular cuyo radio es de 10m se gastaron $ 2454000
iquestCuaacutento costaraacute cercar otro terreno circular cuyo radio es tres veces mayor Si cuesta lo mismo llenar el primero de pasto que cercarlo iquestcuaacutento costaraacute llenar el otro de pasto (R $7362000 $22086000 )
23 Para pintar un tanque esfeacuterico de 20 m de radio se requieren 700 litros de pintura iquestCuaacutenta pintura se necesita para pintar un tanque esfeacuterico de 35 m de radio (R214375 litros)
24 Un silo para granos tiene forma de cilindro con un hemisferio en la parte superior como se muestra en la figura 19 siguiente La altura total del silo es de 34 m
3Determine el radio del cilindro si el volumen total del silo es de 251111 m
(R9m)
89
MATEMAacuteTICAS BAacuteSICAS
--shy-~-1 34 m
----- 1 FIGURA 19
25 El aacuterea de una esfera es cuatro veces el aacuterea de otra iquestCuaacutel es la relacioacuten entre sus voluacutemenes (RJ Es ocho veces mayor )
90
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS
Funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos agu
Inicialmente las funciones trigonomeacutetricas triaacutengulos rectaacutengulos como e1 que se
A
Tales definiciones para el aacutengulo agu
a cateto opuesto seno =-=----shy-shy
c hipotenusa
a seno tano =-=-shy
b cos o c I
seca = -=-shyb cosa
Es importante sentildealar que los nuacute solamente del aacutengulo a y no del ta (pues dos triaacutengulos rectaacutengulos cu semejantes) Anaacutelogamente se defin
Del teorema de Pitaacutegoras se tiene qu
de donde
s costumbre escribir sen 2 a y cos
Tenemos entonces para cualquier aacute
MATEMAacuteTICAS BAacuteSICAS
-----1~ - _
34m
l
-----shy -JRJU9
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS
Funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos agudos
Inicialmente las funciones trigonomeacutetricas se definieron soacutelo para aacutengulos agudos en triaacutengulos rectaacutengulos como el que se muestra en la figura siguiente
B e
a
CL A~-l------LJC
b
Tales definiciones para el aacutengulo agudo a son
a cateto opuesto b cateto adyacentesena = - = ---~-- cos a = - = ---~--
c hipotenusa c hipotenusa
a sena b 1 tana= - =-- cota =- =-shy
b cosa a tana c 1 c 1
seca=- = -- csca= - =-shyb cosa a sena
Es importante sentildealar que los nuacutemeros sen a cos a tana y los demaacutes dependen solamente del aacutengulo a y no del tamantildeo del triaacutengulo rectaacutengulo del cual a es un aacutengulo (pues dos triaacutengulos rectaacutengulos cualesquiera que tengan un mismo aacutengulo agudo a son semejantes) Anaacutelogamente se definen cos ~ sen ~ tan~ y los demaacutes
Del teorema de Pitaacutegoras se tiene que
de donde 2a + b2 (a)2 (b)2 21= = ~ + ~ =(sena)-+(cosa)c 2
2Es costumbre escribir sen 2 a y cos a en lugar de (senaf y (cosaf respectivamente
Tenemos entonces para cualquier aacutengulo agudo a la relacioacuten fundamental
sen 2 a + cos 2 a = 1
91
MATEMAacuteTICAS BAacuteSICAS
16 Cuaacutel es el aacuterea del vidrio necesario para colocarle a la ventana que tiene la forma de la figura 15 siguiente Nota El arco BC corresponde a una circunferencia de radio 16 m y centro en A Similarmente ocurre con el arco AC (Ayuda el aacuterea de la parte superior de la ventana es dos veces (el aacuterea del sector ABC menos el aacuterea del triaacutengulo equilaacutetero
ABC))(R55m 2 )
e
16m FIGURA lS
17 Hallar el aacuterea de la seccioacuten transversal del tubo de la figura 16 2(R 700n mm 700(31416) mm 2 = 219912 mm 2
)
FIGURA 16
18 Demostrar que el volumen del tronco de cono circular recto de la figura 17 es
nh(2 2 )V = - r + r2 + r r2 3
FIGURA 17
19 iquestCuaacutel es el volumen de la viga cuya seccioacuten transversal es la de la figura 2 del problema 2 anterior si tiene 4 m de longitud
3(R 4000 x l0000m 3 =4xl0 7 m )
88
20 El embudo de la figura 18 siguiell diaacutemetro de 3 cm en B y de 1 cm (
este embudo (Ayuda el aacuterea del trOl
h=75 0=10 D2 =3iquestPorqueacute
calcular la respectiva h (R 2322 cm
21 Un silo tiene la ciliacutendrica mide 40
silo iquestCuaacutel es la ca
22 Para cercar un te
iquestCuaacutento costaraacute c cuesta lo mismo 11 otro de pasto (R $ 7362000 $
23 Para pintar un tan iquestCuaacutenta pintura se (R 214375 litros
24 Un silo para gran como se muestra
Determine el radi
(R9m)
1 colocarle a la ventana que tiene la forma de la Jrresponde a una circunferencia de radio 16 m ~I arco AC (Ayuda el aacuterea de la parte superior ctor ABC menos el aacuterea del triaacutengulo equilaacutetero
e
AUB 25 m
ura 17 es
ra 2 del
____________________1
MATEMAacuteTICAS BAacuteSICAS
20 El embudo de la figura 18 siguiente tiene ademaacutes de los datos indicados un diaacutemetro de 3 cm en B y de I cm en A iquestCuaacutento metal se necesita para fabricar
este embudo (Ayuda el aacuterea del tronco de cono de arriba es I 11 h(Oiexcl + OJ donde 2
h = 75 Diexcl = 10 D 2 = 3 iquestPor queacute Para el aacuterea del tronco de cono de abajo debe
calcular la respectiva h (R 2322 cm 2 )
A
FIGURA 18
21 Un silo tiene la forma de cilindro recto cerrado por un hemisferio La parte ciliacutendrica mide 40 m de altura y 8 ffi de radio iquestCuaacutento mide el aacuterea superficial del
2silo iquestCuaacutel es la capacidad del silo (R 24115 m 91102 m 3 )
22 Para cercar un terreno circular cuyo radio es de 10m se gastaron $ 2454000
iquestCuaacutento costaraacute cercar otro terreno circular cuyo radio es tres veces mayor Si cuesta lo mismo llenar el primero de pasto que cercarlo iquestcuaacutento costaraacute llenar el otro de pasto (R $7362000 $22086000 )
23 Para pintar un tanque esfeacuterico de 20 m de radio se requieren 700 litros de pintura iquestCuaacutenta pintura se necesita para pintar un tanque esfeacuterico de 35 m de radio (R214375 litros)
24 Un silo para granos tiene forma de cilindro con un hemisferio en la parte superior como se muestra en la figura 19 siguiente La altura total del silo es de 34 m
3Determine el radio del cilindro si el volumen total del silo es de 251111 m
(R9m)
89
MATEMAacuteTICAS BAacuteSICAS
--shy-~-1 34 m
----- 1 FIGURA 19
25 El aacuterea de una esfera es cuatro veces el aacuterea de otra iquestCuaacutel es la relacioacuten entre sus voluacutemenes (RJ Es ocho veces mayor )
90
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS
Funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos agu
Inicialmente las funciones trigonomeacutetricas triaacutengulos rectaacutengulos como e1 que se
A
Tales definiciones para el aacutengulo agu
a cateto opuesto seno =-=----shy-shy
c hipotenusa
a seno tano =-=-shy
b cos o c I
seca = -=-shyb cosa
Es importante sentildealar que los nuacute solamente del aacutengulo a y no del ta (pues dos triaacutengulos rectaacutengulos cu semejantes) Anaacutelogamente se defin
Del teorema de Pitaacutegoras se tiene qu
de donde
s costumbre escribir sen 2 a y cos
Tenemos entonces para cualquier aacute
MATEMAacuteTICAS BAacuteSICAS
-----1~ - _
34m
l
-----shy -JRJU9
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS
Funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos agudos
Inicialmente las funciones trigonomeacutetricas se definieron soacutelo para aacutengulos agudos en triaacutengulos rectaacutengulos como el que se muestra en la figura siguiente
B e
a
CL A~-l------LJC
b
Tales definiciones para el aacutengulo agudo a son
a cateto opuesto b cateto adyacentesena = - = ---~-- cos a = - = ---~--
c hipotenusa c hipotenusa
a sena b 1 tana= - =-- cota =- =-shy
b cosa a tana c 1 c 1
seca=- = -- csca= - =-shyb cosa a sena
Es importante sentildealar que los nuacutemeros sen a cos a tana y los demaacutes dependen solamente del aacutengulo a y no del tamantildeo del triaacutengulo rectaacutengulo del cual a es un aacutengulo (pues dos triaacutengulos rectaacutengulos cualesquiera que tengan un mismo aacutengulo agudo a son semejantes) Anaacutelogamente se definen cos ~ sen ~ tan~ y los demaacutes
Del teorema de Pitaacutegoras se tiene que
de donde 2a + b2 (a)2 (b)2 21= = ~ + ~ =(sena)-+(cosa)c 2
2Es costumbre escribir sen 2 a y cos a en lugar de (senaf y (cosaf respectivamente
Tenemos entonces para cualquier aacutengulo agudo a la relacioacuten fundamental
sen 2 a + cos 2 a = 1
91
1 colocarle a la ventana que tiene la forma de la Jrresponde a una circunferencia de radio 16 m ~I arco AC (Ayuda el aacuterea de la parte superior ctor ABC menos el aacuterea del triaacutengulo equilaacutetero
e
AUB 25 m
ura 17 es
ra 2 del
____________________1
MATEMAacuteTICAS BAacuteSICAS
20 El embudo de la figura 18 siguiente tiene ademaacutes de los datos indicados un diaacutemetro de 3 cm en B y de I cm en A iquestCuaacutento metal se necesita para fabricar
este embudo (Ayuda el aacuterea del tronco de cono de arriba es I 11 h(Oiexcl + OJ donde 2
h = 75 Diexcl = 10 D 2 = 3 iquestPor queacute Para el aacuterea del tronco de cono de abajo debe
calcular la respectiva h (R 2322 cm 2 )
A
FIGURA 18
21 Un silo tiene la forma de cilindro recto cerrado por un hemisferio La parte ciliacutendrica mide 40 m de altura y 8 ffi de radio iquestCuaacutento mide el aacuterea superficial del
2silo iquestCuaacutel es la capacidad del silo (R 24115 m 91102 m 3 )
22 Para cercar un terreno circular cuyo radio es de 10m se gastaron $ 2454000
iquestCuaacutento costaraacute cercar otro terreno circular cuyo radio es tres veces mayor Si cuesta lo mismo llenar el primero de pasto que cercarlo iquestcuaacutento costaraacute llenar el otro de pasto (R $7362000 $22086000 )
23 Para pintar un tanque esfeacuterico de 20 m de radio se requieren 700 litros de pintura iquestCuaacutenta pintura se necesita para pintar un tanque esfeacuterico de 35 m de radio (R214375 litros)
24 Un silo para granos tiene forma de cilindro con un hemisferio en la parte superior como se muestra en la figura 19 siguiente La altura total del silo es de 34 m
3Determine el radio del cilindro si el volumen total del silo es de 251111 m
(R9m)
89
MATEMAacuteTICAS BAacuteSICAS
--shy-~-1 34 m
----- 1 FIGURA 19
25 El aacuterea de una esfera es cuatro veces el aacuterea de otra iquestCuaacutel es la relacioacuten entre sus voluacutemenes (RJ Es ocho veces mayor )
90
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS
Funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos agu
Inicialmente las funciones trigonomeacutetricas triaacutengulos rectaacutengulos como e1 que se
A
Tales definiciones para el aacutengulo agu
a cateto opuesto seno =-=----shy-shy
c hipotenusa
a seno tano =-=-shy
b cos o c I
seca = -=-shyb cosa
Es importante sentildealar que los nuacute solamente del aacutengulo a y no del ta (pues dos triaacutengulos rectaacutengulos cu semejantes) Anaacutelogamente se defin
Del teorema de Pitaacutegoras se tiene qu
de donde
s costumbre escribir sen 2 a y cos
Tenemos entonces para cualquier aacute
MATEMAacuteTICAS BAacuteSICAS
-----1~ - _
34m
l
-----shy -JRJU9
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS
Funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos agudos
Inicialmente las funciones trigonomeacutetricas se definieron soacutelo para aacutengulos agudos en triaacutengulos rectaacutengulos como el que se muestra en la figura siguiente
B e
a
CL A~-l------LJC
b
Tales definiciones para el aacutengulo agudo a son
a cateto opuesto b cateto adyacentesena = - = ---~-- cos a = - = ---~--
c hipotenusa c hipotenusa
a sena b 1 tana= - =-- cota =- =-shy
b cosa a tana c 1 c 1
seca=- = -- csca= - =-shyb cosa a sena
Es importante sentildealar que los nuacutemeros sen a cos a tana y los demaacutes dependen solamente del aacutengulo a y no del tamantildeo del triaacutengulo rectaacutengulo del cual a es un aacutengulo (pues dos triaacutengulos rectaacutengulos cualesquiera que tengan un mismo aacutengulo agudo a son semejantes) Anaacutelogamente se definen cos ~ sen ~ tan~ y los demaacutes
Del teorema de Pitaacutegoras se tiene que
de donde 2a + b2 (a)2 (b)2 21= = ~ + ~ =(sena)-+(cosa)c 2
2Es costumbre escribir sen 2 a y cos a en lugar de (senaf y (cosaf respectivamente
Tenemos entonces para cualquier aacutengulo agudo a la relacioacuten fundamental
sen 2 a + cos 2 a = 1
91
MATEMAacuteTICAS BAacuteSICAS
--shy-~-1 34 m
----- 1 FIGURA 19
25 El aacuterea de una esfera es cuatro veces el aacuterea de otra iquestCuaacutel es la relacioacuten entre sus voluacutemenes (RJ Es ocho veces mayor )
90
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS
Funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos agu
Inicialmente las funciones trigonomeacutetricas triaacutengulos rectaacutengulos como e1 que se
A
Tales definiciones para el aacutengulo agu
a cateto opuesto seno =-=----shy-shy
c hipotenusa
a seno tano =-=-shy
b cos o c I
seca = -=-shyb cosa
Es importante sentildealar que los nuacute solamente del aacutengulo a y no del ta (pues dos triaacutengulos rectaacutengulos cu semejantes) Anaacutelogamente se defin
Del teorema de Pitaacutegoras se tiene qu
de donde
s costumbre escribir sen 2 a y cos
Tenemos entonces para cualquier aacute
MATEMAacuteTICAS BAacuteSICAS
-----1~ - _
34m
l
-----shy -JRJU9
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS
Funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos agudos
Inicialmente las funciones trigonomeacutetricas se definieron soacutelo para aacutengulos agudos en triaacutengulos rectaacutengulos como el que se muestra en la figura siguiente
B e
a
CL A~-l------LJC
b
Tales definiciones para el aacutengulo agudo a son
a cateto opuesto b cateto adyacentesena = - = ---~-- cos a = - = ---~--
c hipotenusa c hipotenusa
a sena b 1 tana= - =-- cota =- =-shy
b cosa a tana c 1 c 1
seca=- = -- csca= - =-shyb cosa a sena
Es importante sentildealar que los nuacutemeros sen a cos a tana y los demaacutes dependen solamente del aacutengulo a y no del tamantildeo del triaacutengulo rectaacutengulo del cual a es un aacutengulo (pues dos triaacutengulos rectaacutengulos cualesquiera que tengan un mismo aacutengulo agudo a son semejantes) Anaacutelogamente se definen cos ~ sen ~ tan~ y los demaacutes
Del teorema de Pitaacutegoras se tiene que
de donde 2a + b2 (a)2 (b)2 21= = ~ + ~ =(sena)-+(cosa)c 2
2Es costumbre escribir sen 2 a y cos a en lugar de (senaf y (cosaf respectivamente
Tenemos entonces para cualquier aacutengulo agudo a la relacioacuten fundamental
sen 2 a + cos 2 a = 1
91
MATEMAacuteTICAS BAacuteSICAS
-----1~ - _
34m
l
-----shy -JRJU9
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS
Funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos agudos
Inicialmente las funciones trigonomeacutetricas se definieron soacutelo para aacutengulos agudos en triaacutengulos rectaacutengulos como el que se muestra en la figura siguiente
B e
a
CL A~-l------LJC
b
Tales definiciones para el aacutengulo agudo a son
a cateto opuesto b cateto adyacentesena = - = ---~-- cos a = - = ---~--
c hipotenusa c hipotenusa
a sena b 1 tana= - =-- cota =- =-shy
b cosa a tana c 1 c 1
seca=- = -- csca= - =-shyb cosa a sena
Es importante sentildealar que los nuacutemeros sen a cos a tana y los demaacutes dependen solamente del aacutengulo a y no del tamantildeo del triaacutengulo rectaacutengulo del cual a es un aacutengulo (pues dos triaacutengulos rectaacutengulos cualesquiera que tengan un mismo aacutengulo agudo a son semejantes) Anaacutelogamente se definen cos ~ sen ~ tan~ y los demaacutes
Del teorema de Pitaacutegoras se tiene que
de donde 2a + b2 (a)2 (b)2 21= = ~ + ~ =(sena)-+(cosa)c 2
2Es costumbre escribir sen 2 a y cos a en lugar de (senaf y (cosaf respectivamente
Tenemos entonces para cualquier aacutengulo agudo a la relacioacuten fundamental
sen 2 a + cos 2 a = 1
91
