Università di Roma “La Sapienza"

Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

Corso di laurea in Fisica

Tesi di laurea in Fisica

Il problema dell’energia oscura

Relatore: prof. Alessandro Melchiorri

Candidata: Paola Giammaria

Anno Accademico 2012-2013

1

Indice

INTRODUZIONE .............................................................................................................................................. 3

CAPITOLO 1: Basi concettuali e formali del modello cosmologico

standard

1.1 Omogeneità ed isotropia: il principio cosmologico ...................................................................................... 5

1.2 Espansione dell’universo: la legge di Hubble .............................................................................................. 6

1.3 Il fattore di scala ........................................................................................................................................... 9

1.4 Spazio-tempo e gravitazione: la cinematica della geometria ...................................................................... 9

1.5 Teoria gravitazionale: la dinamica della geometria e la costante cosmologica .......................................... 13

1.6 La metrica FRW ......................................................................................................................................... 18

1.7 Distanza, fattore di scala e redshift ............................................................................................................. 23

1.8 L’equazione di Friedmann .......................................................................................................................... 25

1.9 L’universo come fluido perfetto: le equazioni chiave per descrivere l’espansione .................................... 29

1.10 Componenti dell’universo per l’equazione di stato .................................................................................. 31

CAPITOLO 2: Modelli per l’universo con singola componente e con più

componenti

2.1 Separazione in singole componenti dell’equazione di Friedmann per l’universo ...................................... 34

2.2 Il modello più semplice di universo: un universo vuoto ............................................................................. 36

2.3 Modelli di universo spazialmente piatto ..................................................................................................... 38

2.3.1 UNIVERSO DI SOLA MATERIA ................................................................................................... 40

2.3.2 UNIVERSO DI SOLA RADIAZIONE ............................................................................................. 40

2.3.3 UNIVERSO DOMINATO DA Λ ...................................................................................................... 42

2.4 Modelli per l’universo con più componenti................................................................................................ 44

2.4.1 RADIAZIONE E MATERIA ............................................................................................................ 46

2.4.2 MATERIA E COSTANTE COSMOLOGICA ................................................................................. 47

2.5 I numeri del modello per l’attuale universo ................................................................................................ 49

2.6 La moderna cosmologia.............................................................................................................................. 53

2.6.1 LA NUCLEOSINTESI DEL BIG-BANG......................................................................................... 54

2.7 La radiazione di fondo cosmico.................................................................................................................. 58

2.8 L’effetto Sachs-Wolfe integrato ................................................................................................................. 65

2

CAPITOLO 3: Osservabili cosmologiche e componenti dell’universo

3.1 Parametri cosmologici e osservabili fisiche ............................................................................................... 67

3.2 Misure di distanze ....................................................................................................................................... 70

3.3 Candele standard e misure dei parametri cosmologici ............................................................................... 75

3.4 Studio dei parametri cosmologici in base ai dati di supernovae Ia ............................................................ 80

3.5 L’esistenza della materia oscura e dell’energia oscura e le problematiche relative ................................... 86

3.5.1 Evidenza della materia oscura, ipotesi sulla sua natura e composizione .......................................... 87

3.5.2 Ipotesi sull’energia oscura e prove osservative ................................................................................ 91

3.6 Misure di energia oscura ad alto redshift: test di Sandage-Loeb ................................................................ 98

3.7 Figure di merito per la valutazione di modelli di dark energy nel progetto DETF .................................. 102

CAPITOLO 4: Modelli per l’energia oscura: DE fisica

4.1 I differenti approcci per cercare un’alternativa a Λ .................................................................................. 104

4.2 Modelli di materia modificata .................................................................................................................. 106

4.2.1 MODELLI DI QUINTESSENZA .................................................................................................. 106

4.2.2 K-ESSENZA E MODELLI PHANTOM ....................................................................................... 110

4.3 Il gas di Chaplygin .................................................................................................................................... 112

4.4 Energia oscura accoppiata ........................................................................................................................ 113

4.5 Modelli senza DE: disomogeneità dell’universo ...................................................................................... 115

CAPITOLO 5: Modelli di gravità modificata: DE geometrica

5.1 Le teorie .......................................................................................................................................... 117

5.1.1 IL PROBLEMA DEL FRAME FISICO......................................................................................... 118

5.1.2 VALIDIT DELLE TEORIE : VINCOLI LOCALI E COSMOLOGICI ............................. 121

5.2 Modelli accettabili ........................................................................................................................... 126

5.2.1 LA DINAMICA COSMOLOGICA DEI MODELLI ACCETTABILI ................................ 127

5.3 Teorie ........................................................................................................................................ 133

5.4 Ulteriori modelli di gravità modificata: il termine di Gauss-Bonnet ........................................................ 136

5.5 Modello DGP ............................................................................................................................................ 138

5.6 Modelli olografici di energia oscura ......................................................................................................... 141

5.7 Considerazioni finali ................................................................................................................................ 143

BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................................ 146

3

INTRODUZIONE

“Il problema dell’energia oscura è il più spinoso della fisica moderna” 1..

La conferma avuta dai risultati delle surveys sulle supernovae di classe Ia circa l’espansione

accelerata dell’attuale universo, valsi il Nobel per la fisica nel 2011 a S. Perlmutter, A. Riess e B.

Schmidt a capo di gruppi di ricerca che le hanno condotte nell’ultimo ventennio, ha catalizzato

l’attenzione della cosmologia teorica ed osservativa verso lo studio del significato di tale

accelerazione: quale ne è la sorgente e come agisce.

La risposta attuale che la fisica si dà va sotto il nome di energia oscura, che è annoverata come la

componente attualmente dominante nell’universo, rappresentando circa il della materia-

energia che lo costituisce ed in accordo con le equazioni della Relatività Generale, che ne

descrivono la struttura, su scale cosmologiche non sarebbe la materia ordinaria ma questa forma di

energia alla quale si attribuisce (nel modello standard) una densità costante ed una pressione

negativa a produrre l’accelerazione nell’espansione. Benché non sia ancora chiara la sua natura e la

sua origine si cerchi nel vuoto, cioè come una forma di energia del vuoto, inteso come vuoto

quantistico dove materia ed antimateria si annichilano ed al quale compete una densità di energia, si

è cominciato a caratterizzarne l’abbondanza e la dinamica, attraverso il confronto dei dati

osservativi riguardanti osservabili diverse: le supernovae, la CMBR con le sue anisotropie e lo

studio delle strutture su larga scala. Queste osservazioni infatti permettono di porre vincoli ai

modelli teorici proposti per la dark energy.

Il modello standard in cui l’energia oscura è interpretata attraverso la costante cosmologica , con

cui si identifica l’energia del vuoto, infatti, incontra problemi di fine tuning circa la discrepanza tra

il valore dell’energia del vuoto dedotto dalle osservazioni e quello calcolato teoricamente e

problemi di consistenza temporale nel confronto tra la presenza di tale componente e quella di

materia nella storia dell’universo, delle quali si tiene conto attraverso la stima di parametri di

densità; queste circostanze hanno condotto alla formulazione di modelli alternativi per descrivere la

dark energy considerando soluzioni in cui l’equazione di Einstein, che descrive la dinamica

dell’universo, presenta modifiche nel contenuto di materia-energia attraverso un cambiamento del

tensore energia-impulso, oppure modifiche al tensore di Einstein stesso valutando le condizioni che

una differente teoria della gravità deve rispettare per continuare a rappresentare anche i fenomeni

ben descritti dalla Relatività Generale, quindi con l’imposizione principalmente di vincoli locali.

In questo lavoro vengono passati in rassegna i principali modelli teorici formulati secondo questi

due criteri con particolare attenzione al riscontro sperimentale dei modelli di gravità modificata. In

sintesi l’energia oscura viene pensata o come una componente d’energia( ) costante nel tempo e

nello spazio, o come un fluido che presenta un’equazione di stato variabile nel tempo, quindi col

1 Affermazione fatta da Edward Witten il fisico cui si deve la paternità della M-theory.

4

fattore di scala dell’universo o come una dark energy geometrica, nel senso che è la teoria della

relatività stessa a dover essere modificata e l’effetto di una componente di energia oscura altro non

sarebbe che un cambiamento nella struttura geometrica stessa del nostro universo.

L’energia oscura si colloca come una delle più importanti scoperte in cosmologia con profonde

implicazioni per l’astronomia, la teoria delle alte energie, la Relatività Generale e la teoria delle

stringhe.

Questo è sufficiente a spiegare un ambizioso programma di osservazioni per determinare le sue

proprietà nel miglior modo possibile; tale progetto è denominato Dark Energy Task Force (DETF) il

quale ha come obiettivi: determinare nel miglior modo possibile se la crescente espansione è

coerente, misurare qualsiasi possibile evoluzione temporale dell’energia oscura e ricercare un

eventuale fallimento della Relatività Generale attraverso il confronto tra gli effetti che ha l’energia

oscura sull’espansione cosmica e quelli sulla crescita delle strutture cosmologiche come galassie o

ammassi di galassie.

L’incertezza sulla natura della dark energy e sulle sue proprietà è controbilanciata dalla molteplicità

di indagini sperimentali che si possono compiere per mettere a fuoco i punti di cui sopra e quindi

dalla copiosità di dati osservativi che appartengono a quattro ambiti di ricerca fondamentali

coinvolti in questo studio: le supernovae di tipo Ia, le anisotropie della radiazione di fondo cosmica

(CMBR), le oscillazioni barioniche acustiche (BAO) e le strutture su larga scala che consentono di

studiare il clustering e il fenomeno di weak lensing.

5

CAPITOLO 1

Basi concettuali e formali del modello cosmologico standard

Un modello cosmologico che possa descrivere la storia dell’universo fino all’istante attuale ( ) e

che sia in grado di prevederne l’ulteriore evoluzione, si avvale, sulle base di dati osservativi, dei

principali strumenti teorici della fisica: principi di base, parametri su cui calibrare opportune

approssimazioni e la capacità di immaginare scenari inattesi, perché nella storia della cosmologia in

alcuni casi è accaduto che le osservazioni siano tardate ad arrivare rispetto alle previsioni teoriche,

mentre in altri è accaduto che le hanno anticipate rendendo necessaria la revisione dei modelli.

Il modello cosmologico standard è quello del Big Bang caldo, il quale afferma che l’universo si è

espanso da uno stato iniziale caldo e denso, all’attuale suo stato relativamente freddo e che

l’espansione è in atto ancora oggi.

Punto di partenza per delineare e dare consistenza al modello standard nel concepire le equazioni

che descrivano l’intero universo e le leggi che a partire dai primi decenni del XX secolo son state

formulate per spiegare quanto si osservava è il Principio Cosmologico.

1.1 Omogeneità ed isotropia: il Principio cosmologico

Evidenze osservative sempre maggiori, raggiunte per mezzo di tecnologie avanzate e mirate

all’ambito cosmologico, hanno permesso di constatare che, a grandi scale, a partire dai 100 Mpc

(distanza che mediamente separa gli ammassi di galassie), l’universo presenta una struttura

omogenea ed isotropa. Da qui la formulazione del principio cosmologico, il quale afferma che non

vi sono posizioni o direzioni privilegiate nell’universo. Questo principio, detto anche copernicano,

si presenta in effetti come l’ulteriore scatto in avanti della teoria di Copernico, che contestò nel XVI

secolo il geocentrismo, poiché proietta su scale ben più ampie di quelle del sistema solare il fatto

che non solo non occupiamo una posizione speciale nel vicino universo, ma tantomeno questa esiste

nel cosmo pensato su grandi scale. Infatti benché ponendoci in un contesto planetario o galattico

sperimentiamo una struttura grumosa e assolutamente anisotropa del cosmo, basta spostarci a scale

più grandi, quelle che, appunto, tipicamente separano gli ammassi di galassie, che possiamo

contestualizzare il principio cosmologico, in quanto l’universo appare isotropo (invarianza per

rotazione) intorno a noi, ovvero, statisticamente parlando, osserviamo in tutte le direzioni la stessa

distribuzione di superammassi e vuoto. Se dunque l’universo è isotropo intorno a noi, poiché ogni

punto dell’universo può essere trasportato in qualsiasi altro punto da una serie di rotazioni intorno a

centri fissi [3], allora l’universo è isotropo intorno ad ogni posizione e quindi necessariamente è

anche omogeneo (invarianza per traslazione). E’ evidente che il principio cosmologico è insieme un

risultato osservativo ed una base concettuale nella formulazione del modello cosmologico per

descrivere l’universo nella sua interezza spaziale e nella sua evoluzione temporale.

6

1.2 Espansione dell’universo: la legge di Hubble

Oggi è un punto fermo della cosmologia teorica ed osservativa che l’universo sia in espansione, ma

quando vennero fatte le prime osservazioni che testimoniavano ciò, nei primi decenni del secolo

scorso, l’idea trovò molti ostacoli nell’affermarsi, poiché si doveva far strada in un contesto ben

diverso da quello odierno in cui il modello di un universo statico era imperante e soprattutto lo si

identificava con la nostra galassia, non avendo ancora chiara la percezione che quelle che

sembravano nebulose di polveri e gas ai confini della Via Lattea erano invece altre galassie separate

dalla nostra. Nonostante ciò le osservazioni degli spettri galattici compiute tra il 1910 ed il 1925

mostravano chiaramente degli spostamenti delle linee spettrali verso il rosso, cioè verso lunghezze

d’onda maggiori di quelle aspettate (note quelle stesse linee in laboratorio); ciò era spiegabile

assumendo un movimento delle sorgenti in allontanamento da noi in virtù dell’effetto Doppler.

Infatti quando una sorgente di radiazione ed un osservatore si allontanano, la lunghezza d’onda di

una certa riga spettrale emessa dalla sorgente λe non coinciderà con quella osservata λo poiché

quest’ultima risulterà maggiore in virtù della distanza percorsa dalla sorgente tra l’emissione di due

successive creste, circostanza che causa un aumento del tempo richiesto perché la cresta dell’onda

raggiunga l’osservatore, dunque ad un aumento del periodo corrisponde una diminuzione in

frequenza e quindi una lunghezza d’onda maggiore, così da poter definire una quantità molto

importante in cosmologia : il redshift

(1.1)

Nel nostro attuale modello cosmologico il redshift è diventato un valore fondamentale da

associare agli oggetti celesti che osserviamo in virtù della legge di Hubble.

Nel 1929 Hubble enunciò la sua legge che esprime una relazione lineare tra il redshift delle galassie

osservate1 e la loro distanza, da lui stimata con i metodi allora disponibili, basati sull’impiego delle

variabili Cefeidi come candele standard (come si vedrà in dettaglio nel capitolo tre), la quale

afferma che:

(1.2)

dove è la distanza dell’oggetto celeste da noi, il suo redshift, la velocità della luce nel vuoto ed

1Allora erano noti gli spostamenti in linee spettrali verso il rosso di decine di galassie ormai riconosciute separate dalla

nostra per via della loro distanza . A partire dalle osservazioni compiute nel 1912 da Vesto Slipher che misero chiaramente in evidenza un allontanamento delle nebulose (all’epoca ancora non risolte in galassie separate dalla nostra), che si osservavano ai confini della Via lattea, con una certa velocità di recessione evidente dagli spostamenti verso il rosso delle lore linee spettrali.

7

, detta costante di Hubble, la pendenza di questa retta che lui graficò interpolando i dati di circa

cinquanta galassie2.

Il fatto che questa legge sia stata formulata sulla base di redshifts molto piccoli ( 0,004) permette

di poter utilizzare la relazione classica per lo spostamento Doppler:3

(1.3)

dove è la velocità radiale della sorgente di luce rispetto a noi, che ci poniamo come origine del

sistema di riferimento per misurare velocità e distanza, per cui la legge di Hubble prende la forma:

(1.4)

che esprime chiaramente il fatto che più gli oggetti sono distanti da noi più la loro velocità di

allontanamento è alta, quindi non solo che l’universo si sta espandendo, ma anche, in virtù del

principio cosmologico che permette di traslare questo risultato a tutti i punti del cosmo in un

universo in espansione omogenea e isotropa, che in passato gli oggetti erano molto più vicini tra

loro, avvalorando l’ipotesi del Big Bang. Dunque in un tempo remoto tutte le galassie si trovavano

condensate in uno stesso punto. Inoltre se si fa l’assunzione che nel tempo la velocità di recessione

tra due galassie sia rimasta costante, cioè si assume idealmente che non siano intervenute forze

esterne, si può stimare il tempo in cui esisteva questo stato altamente denso da cui tutto ha avuto

origine, nel seguente modo:

(1.5)

quindi il tempo

detto tempo di Hubble risulta essere una stima dell’età dell’universo

pensato come ideale nell’assenza di forze che siano intervenute a modificare la velocità di

recessione impressa dal Big Bang stesso. Sulla base del valore odierno4 di =

2 Vennero in realtà osservate anche linee spettrali spostate verso il blu che indicavano galassie in avvicinamento, ma si

capì ben presto che questo era dovuto ad un moto proprio e locale, mentre su scale cosmologiche regna il moto di allontanamento. 3 Concettualmente c’è una distinzione tra il convenzionale effetto Doppler (in cui sono le sorgenti a muoversi l’una

rispetto all’altra) e il redshift cosmologico (dove è lo spazio ad espandersi e a trascinare lontane le une dalle altre le galassie e un fattore di scala può esprime di quanto s’ingrandisce lo spazio e tutte le lunghezze in esso considerate comprese le lunghezze d’onda dei fotoni). 4 Il valore stimato per la costante di Hubble nel 1929 era di 500 km s

-1Mpc

-1,molto più grande di quello attuale per il

fatto che Hubble aveva fortemente sottostimato la distanza delle galassie (di un fattore 7), sottostimando la luminosità delle stelle osservate di un fattore 49, infatti usò la relazione distanza-luminosità allora elaborata per le cefeidi di popolazione I, avendo invece osservato cefeidi di popolazione II, ma all’epoca non era nota questa distinzione tra le due popolazioni.

8

risulta essere ) età che si accorda con quella calcolata

per le stelle più antiche conosciute nell’universo.

Nel presentare il modello cosmologico intendo ripercorrere la storia dell’evoluzione dell’universo

ponendo l’accento sull’esistenza di fasi diverse in cui ha prevalso una forza ad es. quella

gravitazionale piuttosto che un’altra nel determinare l’andamento dell’espansione a seconda della

componente di materia-energia5 dominante; per cui

si può pensare come semplicemente una

stima per eccesso o per difetto dell’età dell’universo, essendo in realtà, non una costante in

assoluto, ma il valore che la grandezza , che prende il nome di parametro di Hubble6, funzione

del tempo cosmico, assume oggi, cioè in ; considerando quindi un andamento variabile a

seconda del periodo in esame si può pensare ad un universo più giovane di

, se dominato dalla

materia che rallenta l’espansione attraverso la forza gravitazionale, o più vecchio se dominato da

una componente che accelera l’espansione in virtù di una forza repulsiva, come si attribuisce alla

costante cosmologica7 (che sembra essere dominante nella fase che stiamo vivendo noi).

Tutto questo non toglie valore al fatto di poter pensare ad una costante di Hubble cioè ad una

grandezza che possa essere considerata costante per dei periodi molto lunghi, come sono quelli

stimati su scale temporali cosmiche. Inoltre basandoci su questo valore di possiamo valutare

quanto è ampio il nostro orizzonte degli eventi, cioè la distanza massima che un fotone ha potuto

percorrere durante l’età dell’universo, detta distanza di Hubble:

(1.6)

Ovviamente, come per l’età, anche l’esatto valore dell’orizzonte dipende da come è avvenuta

l’evoluzione dell’universo, cioè quali fasi ha attraversato da a .

In conclusione, considerata nel contesto della teoria della Relatività Generale di Einstein, la legge di

Hubble è un’espressione dell’espansione uniforme dello spazio, che è poi un semplice ingrandirsi

delle dimensioni dell’universo[5].

5 L’intero modello cosmologico è sviluppato in chiave relativistica quindi una delle assunzioni di base è la legge E=mc

2

dove è espressa chiaramente l’equivalenza concettuale tra massa ed energia. 6 Nel prossimo paragrafo è spiegato chiaramente come e quindi (relativamente al momento ) misurino il

tasso di espansione dell’universo, cioè quanto rapidamente esso si stia espandendo e siano dati in unità di velocità per distanza, misurando cioè il rapporto tra la velocità di galassie distanti e la loro distanza da noi. 7 La costante cosmologica Λ introdotta per la prima volta da Einstein nelle sue equazioni della Relatività Generale per

ottenere una soluzione statica per il modello cosmologico, ha avuto una storia controversa nell’essere accettata o rifiutata come componente cosmica dal suo stesso ideatore e poi nel seguito, è oggi presente nel nostro modello cosmologico e spiegherebbe l’accelerazione nell’espansione cui stiamo assistendo.

9

1.3 Il fattore di scala

Stabilito che l’universo è in espansione e che questa avviene in modo omogeneo ed isotropo, allora

possiamo dire che se immaginiamo un ideale triangolo in cielo con ai vertici tre galassie

qualunque , nonostante queste si muovano lontane le une dalle altre nel tempo, la forma del

triangolo è preservata (ovviamente questo ragionamento può essere ripetuto per ogni trio di

galassie). Ciò equivale a dire che le variazioni di lunghezza dei lati di questo triangolo immaginario

avvengono secondo un fattore di scala che chiamiamo , che è una funzione del tempo. Detta

la lunghezza del generico lato al tempo , questa sarà data ad ogni istante da:

(1.7)

dove è l’istante attuale e è la funzione temporale, detta fattore di scala, che ci dice come

l’espansione dell’universo dipende dal tempo, avendo posto per la condizione di

normalizzazione .

La legge di Hubble ci permette di esprimere il legame tra ed il parametro di Hubble ,

infatti dalla (1.7) segue che la velocità di recessione tra le galassie e è esprimibile in ogni istante

come:

(t)

(1.8)

che confrontata con la legge di Hubble (1.4) porta a dire che

(1.9)

la quale mostra chiaramente come il parametro di Hubble misuri quanto rapidamente cambia il

fattore di scala e da cui segue che:

(

)

(1.10)

ovvero che rappresenta la velocità di recessione delle galassie stimata al momento attuale.

Inoltre caratterizzando le distanze cosmiche è un fattore determinante nell’espressione della

metrica dello spazio-tempo del nostro universo.

E’ necessario, infatti, a questo punto approfondire sia la descrizione dello spazio-tempo che il suo

naturale legame con la gravità come segue dalla teoria della Relatività Generale, l’applicazione

della quale, in ambito cosmologico, ha permesso prima ad Einstein e poi ad altri, tra cui Friedmann,

di formulare equazioni che descrivessero l’intero universo riconoscendo alla forza di gravità il ruolo

predominante nelle interazioni che agiscono su scale d’interesse cosmologico.

1.4 Spazio-tempo e gravitazione: la cinematica della geometria

E’ noto come, prima la teoria della Relatività Ristretta ed in seguito quella della Relatività Generale

abbiano rivoluzionato letteralmente concetti basilari della fisica quali lo spazio-tempo e la

gravitazione, permettendo di dar conto di fenomeni classicamente non spiegabili e di descriverne

10

altri osservati in ambito cosmologico (ad es. la deflessione della luce in un campo gravitazionale

intenso). E’ quindi di necessario supporto alla presentazione del modello cosmologico standard un

richiamo a tali concetti. La struttura differenziale e topologica dello spazio-tempo, visto come un

continuo quadridimensionale, non presenta differenze nella visione classica newtoniana rispetto a

quella della Relatività Ristretta, mentre la differenza c’è nella definizione di distanza, cioè nella

struttura metrica. Nello spazio-tempo Newtoniano ci sono due geometrie separate: una

tridimensionale per lo spazio e l’altra unidimensionale per il tempo, da cui la definizione disgiunta

di due distanze: una spaziale ed una temporale ; lo spazio-tempo relativistico, invece, contiene

solo una geometria che combina sia lo spazio che il tempo così da poter definire l’intervallo spazio

temporale che è l’intervallo invariante sotto trasformazioni generali di coordinate8 che fissa la

distanza tra due eventi9. Per uno spazio-tempo piatto (Minkowskiano) come quello considerato

nelle Relatività Ristretta, l’invariante in coordinate cartesiane è così definito:

(1.11)

tale scrittura sottintende per questo spazio la metrica di Minkowski espressa dal tensore metrico10

:

(

)

Essendo in forma tensoriale scrivibile come :

con (1.12)

e dove si sottintende una sommatoria sugli indici ripetuti, secondo la notazione di Einstein. Fin da

qui è da specificare l’importanza della scrittura tensoriale nell’esprimere i termini che compaiono

nelle leggi fisiche della teoria relativistica, in virtù del principio di relatività prima e del principio

8 Coordinate generali significa associare ad ogni punto dello spazio-tempo un insieme di quattro numeri che vengono

assegnati secondo una regola arbitraria qualsiasi ma ben definita e opportunamente scelta per il tipo di spazio. Ad esempio in uno spazio piatto ha senso scegliere le classiche coordinate rettangolari. 9 E’ usuale indicare un punto dello spazio-tempo quadridimensionale relativistico come ‘evento’ non trattandosi più

soltanto di un punto spazialmente individuabile, ma contenendo in sé anche un’informazione temporale data dalla coordinata t, anche indicata con x0. 10

Il tensore metrico può essere dato tanto con la segnatura (-,+,+,+) quanto con la segnatura (+,-,-,-)

11

di invarianza generale dato in Relatività Generale poi, i quali affermano che tutte le leggi fisiche

devono essere invarianti per trasformazioni generali di coordinate (in Relatività Ristretta vengono

citate solo le trasformazioni di Lorentz) e la scrittura tensoriale consente ciò per via della

definizione stessa di tensore. Infatti riferendoci qui al solo ambito di nostro interesse, quello della

Relatività Generale, una grandezza è un tensore (di rango 1) se per trasformazioni generali di

coordinate obbedisce alla legge:

(1.13)

Definito ciò, ritornando al tensore metrico (che è di rango 2), risulta evidente la sua centralità per

descrivere la geometria del particolare spazio-tempo che si considera. E’ rilevante notare, come

segue dalla (1.11), che il non è sempre positivo, infatti si parla di intervalli di genere tempo,

spazio o luce, a seconda che il sia positivo, negativo o nullo, quest’ultimo in particolare è il tipo

di intervallo che c’è sulla linea d’universo di un segnale luminoso, dove per linea di universo

s’intende la traiettoria percorsa nello spazio-tempo quadridimensionale dal particolare oggetto che

si sta considerando, in questo caso la luce.

La grande rivoluzione della Relatività Generale è stata quella di esprimere geometricamente il ruolo

della gravità in uno spazio dove fosse presente massa-energia, adottando non più la visione di

Newton circa la forza gravitazionale, ma quella di Einstein. Quest’ultimo, infatti, partendo dal

principio di equivalenza11

, già postulato nella teoria di Newton, che sostiene l’equivalenza, entro

certi limiti, tra gli effetti inerziali e gravitazionali, e sulla base del principio di Fermat secondo cui

un raggio di luce segue il cammino che minimizza il tempo di percorrenza tra due punti ( ),

afferma che la presenza di massa-energia causa la curvatura dello spazio-tempo, poiché la traiettoria

di un raggio luminoso in presenza di un campo gravitazionale non è rettilinea, quindi le curve che

minimizzano in uno spazio dove sia presente massa-energia non sono linee rette, come succede,

invece, in uno spazio piatto. Dunque in virtù del principio di equivalenza ogni campo gravitazionale

può essere descritto, localmente, da una metrica ottenuta mediante trasformazione ad un

sistema di riferimento non inerziale e diversamente da altri campi che agiscono su uno sfondo

spazio-temporale fisso, il campo gravitazionale “plasma l’arena in cui agisce”. Data la metrica

che descrive il campo gravitazionale e quindi la geometria dello spazio-tempo circostante,

l’intervallo tra due eventi sarà così definito:

11 Il principio di equivalenza di Newton afferma l’equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale ,almeno nel limite di

corpi approssimabili come puntiformi o dotati di simmetria sferica; tale uguaglianza considerata prima di Einstein una rimarcabile coincidenza, diviene nella teoria relativistica una naturale conseguenza della curvatura intesa come proprietà dello spazio-tempo stesso. Da cui segue automaticamente che l’accelerazione gravitazionale di un oggetto è indipendente dalla sua massa e composizione ed esso percorre traiettorie che son dettate dalla geometria dello spazio-tempo[1].

12

(1.14)

in tal modo la forza gravitazionale è stata assorbita nella definizione del tensore metrico ed il moto

di una particella in questo contesto può essere interpretato come il moto libero lungo le geodetiche

dello spazio la cui metrica è .

La geodetica in quanto curva di moto libero per un corpo, è quella particolare curva che rende

stazionario l’intervallo invariante tra due eventi al variare del cammino, imponendo il principio

variazionale espresso da:

(1.15)

si ottiene l’equazione che la descrive:

(1.16)

questa coincide, per quanto detto sopra, con l’equazione del moto stessa. Qui s è la coordinata con

cui la curva è parametrizzata, i

sono i simboli di Christoffel e sono determinabili una volta nota

la metrica essendo definiti come:

[

] (1.17)

Essi esprimono la struttura affine di uno spazio curvo (Riemanniano), cioè il fatto che il concetto di

parallelismo in uno spazio dotato di curvatura non è immediato come in uno spazio piatto ed è

necessario ricorrere all’operazione di trasporto parallelo lungo un percorso per costruire un vettore

parallelo ad un altro relativamente al cammino scelto e ciò matematicamente si fa attraverso i

simboli di Christoffel che entrano anche nella definizione di derivata, detta covariante12

, in uno

spazio Riemanniano, il quale ha quindi una geometria caratterizzata da due strutture: una metrica

espressa dal tensore e una affine determinabile a partire dal tensore metrico in virtù della

definizione dei

. Dunque nella formulazione della RG la metrica determina completamente,

attraverso i simboli di Christoffel, le proprietà geometriche e cinematiche dello spazio-tempo curvo.

Per arrivare, ora, al cuore della teoria gravitazionale di Einstein si deve affrontare il problema della

dinamica della geometria, ovvero l’interazione della geometria con la materia espressa dall’

equazione di campo di Einstein.

12 In uno spazio Riemanniano l’operazione di derivazione di un tensore, ad esempio di rango 1 Aμ , deve contenere un

termine dovuto al trasporto parallelo del tensore stesso nella direzione di derivazione, se si vuole conservare la forma tensoriale nella derivazione. Risulta così definita La derivata covariante Aμ ;ν che si distingue da quella ordinaria Aμ,ν per il termine aggiuntivo -Γ

αμν Aα che le dà la giusta forma tensoriale in uno spazio curvo.

13

1.5 Teoria gravitazionale: la dinamica della geometria e la costante cosmologica

Le equazioni di Einstein per il campo gravitazionale, che, come già accennato, sono il modello per

le equazioni del nostro universo, danno conto dell’interazione della geometria con la materia, ossia

permettono di determinare la metrica in presenza di materia. Nella teoria relativistica della

gravitazione è innanzitutto importante specificare che sorgente del campo gravitazionale sono tanto

la densità di energia, quanto la densità del flusso di energia che la densità del flusso d’impulso,

poiché ciò che appare in una forma in un certo sistema di riferimento è pensabile presentarsi in altra

forma se visto da un differente sistema di riferimento e ciò è in linea con il principio d’invarianza

generale13

su cui si fonda tutta la teoria, dunque queste tre quantità formano un unico oggetto di tipo

tensoriale che è il tensore energia-impulso che descrive interamente le proprietà della materia.

L’equazione di campo di Einstein lega il tensore metrico al tensore energia-impulso ,

essendo dipendente dallo stato della materia e per questo non una grandezza assoluta ma un

campo dinamico che deve soddisfare un’equazione. Quest’ultima si trova imponendo tre condizioni:

la prima è l’invarianza per trasformazioni generali di coordinate, la seconda è che obbedisca alla

legge di conservazione:

(1.18)

scrittura che indica la derivata covariante del tensore, introdotta nel paragrafo precedente e che per

esteso è:

Infine la terza impone che in approssimazione lineare ( ossia campi deboli e velocità molto inferiori

a ) l’equazione di campo si riconduca all’equazione di Poisson :

(1.19)

che dà classicamente la relazione tra il potenziale gravitazionale in un punto e la densità di massa

ρ nello stesso, cosicché la teoria newtoniana risulti il limite a cui si riconduce la teoria generale

della gravitazione. Quindi per analogia con le equazioni dinamiche della meccanica classica,

l’equazione sarà del secondo ordine differenziale e lineare nelle derivate seconde del tensore

metrico. Seguendo tali criteri Einstein arrivò a dire che l’unico tensore del secondo ordine in

e tale che

, come stabilito dalla (1.18) applicata al primo membro dell’equazione, è:

13 Il principio d’invarianza generale è un principio di simmetria nella teoria di Einstein che rimarca la relatività della

teoria già sancita dal principio di relatività nel suo primo lavoro, il quale stabilisce che le leggi fisiche devono essere invarianti per trasformazioni di Lorentz , che son quelle tra sistemi inerziali nello spazio tempo quadridimensionale.

14

(1.20)

Per spiegare i termini che compongono il tensore di Einstein si riparte dai simboli di Christoffel in

base ai quali possiamo definire il tensore di curvatura di Riemann14 che caratterizza la

dipendenza del trasporto parallelo dal percorso scelto e dà una misura quantitativa della curvatura

dello spazio, si dimostra, inoltre, essere il solo tensore che può essere formato prendendo

combinazioni lineari delle derivate seconde della metrica; contraendo gli indici del tensore di

Riemann si ottiene il tensore di Ricci che, mediante ulteriore contrazione per mezzo

dell’inverso del tensore metrico: porta a detto scalare di curvatura(o di Ricci); in

questo modo rimangono definiti i termini del tensore di Einstein e se n’è spiegato il legame col

tensore metrico . Dunque l’equazione di campo di Einstein è:

(1.21)

dove la costante è frutto del confronto con l’equazione di Poisson. Scritta in unità cgs la (1.21 )

diventa:

(1.22)

Nel formalismo lagrangiano quest’equazione può essere derivata tramite il principio di minima

azione [14]. Definiamo l’azione di Hilbert-Einstein:

√ (1.23)

Dove , la densità di lagrangiana è costruita attraverso lo scalare di Ricci che le dà la

forma invariante sotto trasformazioni generali di coordinate15

.

Variando l’azione rispetto alla metrica , che rappresenta qui la variabile dinamica, si ha:

[√ ( ) √ ] (1.24)

dove la variazione di , tenendo presente che il tensore di Ricci è la contrazione del tensore di

Riemann(cfr. nota14), può essere espressa attraverso i simboli di Christoffel come:

14

15

La densità di Lagrangiana è una funzione dei campi e delle loro derivate covarianti(in uno spazio-tempo curvo) e

risulta della forma √ dove è uno scalare.

15

(1.25)

Mentre sfruttando l’identità valida per matrici quadrate tali che

e considerandone la variazione rispetto ad , nel nostro caso , arrivo a

scrivere che:

√

√ (1.26)

Posso allora riscrivere la(1.24) come:

√ [(

) (

)] (1.27)

Si dimostra che il secondo termine della somma dentro le parentesi quadre è la divergenza di un

vettore, per il teorema di Stokes il suo integrale di volume si può trasformare in un integrale del

vettore stesso sull’ipersuperficie dello spazio-tempo e ponendo uguali a zero le variazioni al bordo

della metrica esso si annulla. In realtà anche le derivate covarianti della metrica, contenute nei

simboli di Christoffel , devono annullarsi, ma se così non fosse si potrebbe sempre pensare ad

un’azione con un termine aggiuntivo che cancelli tale contributo. Dunque essendo nullo l’integrale

del secondo addendo si vede che per qualsiasi , solo se si annulla il termine tra

parentesi tonde nel primo addendo della (1.27), il che equivale proprio all’equazione di Einstein per

il vuoto, visto che fin qui si è considerata solo la lagrangiana del campo gravitazionale.

Aggiungendo all’azione di H-E un termine di materia , attraverso una lagrangiana di materia

tale che:

√

La variazione dell’azione rispetto alla metrica diventa:

√ [(

)

√

]

Definendo il tensore:

√

e imponendo che si annulli per ogni , si ottiene infine l’equazione di Einstein:

(1.28)

16

Questa è un’equazione generale che presenta soluzioni diverse a seconda della distribuzione di

materia-energia che si prende in considerazione. Caso per caso, infatti, ci si riferirà ad una metrica

differente e ad uno specifico tensore energia-impulso.

E’ evidente che in questo contesto ci interessa l’applicazione dell’equazione di Einstein alla

cosmologia per ottenere soluzioni che descrivano l’evoluzione della geometria su larga scala

dell’universo, dimensione nella quale, stabilita la sua omogeneità ed isotropia, lo si può trattare,

come un fluido16

perfetto con pressione p e densità ρ e dare per il tensore energia-impulso

l’espressione che assume per un siffatto caso:

(1.29)

essendo la quadrivelocità del fluido con condizione di normalizzazione . Questa

assunzione ci permette di utilizzare, nel modello cosmologico standard, unitamente all’equazione

di Einstein, le equazioni dei fluidi per dar conto dell’evoluzione del cosmo nelle sue diverse fasi.

Sempre riferendoci alla teoria di Einstein sulla gravitazione, il concetto di gravità come forza

attrattiva vale, dunque, anche su scala cosmica per tutte le forme note di energia e per la materia,

intendendo sia quella barionica che quella oscura (dark matter). Di conseguenza la Relatività

Generale contempla che l’espansione dell’universo rallenti a un tasso determinato dalla densità

della materia e dell’energia in esso contenute, almeno quelle alle quali è associabile un’azione

gravitazionale attrattiva, come classicamente la si conosce, ma questa teoria consente anche

l’esistenza di forme di energia con proprietà differenti, che producono cioè gravità repulsiva;

attualmente infatti ci sono prove osservative, in primis quelle provenienti dall’osservazione di

supernovae di tipo Ia, che dimostrano un’accelerazione nell’espansione dell’universo, che quindi

deve essere prodotta da una forma di energia, definita energia oscura (dark energy) il cui effetto

contrasta quello di attrazione gravitazionale della materia-energia classicamente pensata. Per tener

conto della presenza e dell’effetto dell’energia oscura è stato introdotto nella (1.21) un termine,

chiamato di costante cosmologica , che porta all’equazione:

(1.30)

Sebbene le implicazioni del termine siano di tipo cosmologico, la sua origine secondo il modello

standard ( CDM)17

deve essere probabilmente ricercata nella teoria quantistica, infatti questo

termine rappresentativo della densità di energia oscura associata al vuoto, rimanda inevitabilmente

all’idea quantistica di vuoto, che contrariamente al significato della parola, è un luogo molto attivo,

16 Qui con universo sto indicando l’intero suo contenuto di materia-energia, che può essere schematizzato come un

fluido perfetto in virtù del Principio Cosmologico. 17

Il modello FRW per l’universo con costante cosmologica e materia oscura fredda (Cold Dark Matter).

17

è pieno di coppie elettrone-positrone, protone-antiprotone ecc creati e distrutti spontaneamente dalle

fluttuazioni del vuoto, il principio d’indeterminazione di Heisenberg spiega come l’energia ed il

tempo di vita di queste coppie di particelle siano legati dalla relazione , non è

sorprendente, dunque, che il vuoto debba avere una densità di energia [2] e che questa compaia

nell’equazione generale.

Per esattezza e consistenza storica in questa breve presentazione della teoria di Einstein, è giusto

sottolineare che, benché abbia appena presentato il termine con il significato che ha nel modello

cosmologico attuale, fu lo stesso Einstein ad introdurlo nella sua equazione, come permesso

formalmente dalla teoria da lui elaborata, ma con ben altro ruolo. Infatti, già all’inizio del capitolo,

ho accennato come nei primi decenni del novecento fosse imperante l’idea di un modello statico di

universo, non essendoci ancora l’evidenza osservativa dell’espansione, che venne poi riconosciuta

nel 1929 con la legge di Hubble; quindi quando Einstein arrivò a scrivere la (1.21) nel 1915 era

fermamente convinto di poter descrivere attraverso essa un universo omogeneo ed isotropo, ma

statico, cioè né in espansione né in contrazione, con densità di energia positiva e pressione

trascurabile, in quanto concluse che il contributo di energia più grande in esso veniva dalla materia

non relativistica e poté fare l’approssimazione di vivere in un universo senza pressione18

, ma si rese

conto che la sua legge, applicata all’universo nella sua interezza, portava o ad un universo in

contrazione, se si partiva da una condizione iniziale di staticità o ad un universo che continuava ad

espandersi partendo da una condizione iniziale di espansione, con un destino di allontanamento dei

corpi celesti all’infinito o di raggiungimento di un massimo per poi tornare ad una contrazione a

seconda dell’energia di legame gravitazionale dell’universo intero, condizione determinabile in base

al valore della densità di massa-energia media ( ) dell’universo, tutto ciò in virtù dei noti effetti

della gravità in un universo costituito da materia, poiché l’unica soluzione statica permessa dalla

sua teoria sembrava essere quella di un universo totalmente vuoto. Per riconciliare il fatto che

l’universo contenesse materia, con il suo desiderio di un modello statico, Einstein aggiunse

l’ulteriore termine, di cui sopra, contenente che da allora prese il nome di costante cosmologica e

che nella sua ottica ricalibrava la geometria. Infatti compare a moltiplicare il tensore metrico ,

in modo che localmente il suo effetto fosse trascurabile, mentre se ne potesse apprezzare l’azione a

scale cosmologiche (allora coincidenti con le dimensioni della nostra galassia) imponendo la

staticità al modello. Dunque già da qui si capisce come il significato da assegnare a sia stato in

discussione fin dall’inizio e se attualmente è oggetto di studio la sua natura, nel corso

dell’evoluzione del modello cosmologico è stato controverso il suo ruolo. Infatti lo stesso Einstein

dopo la pubblicazione dei primi risultati sperimentali circa l’osservazione degli spostamenti verso il

18 Nel trattare l’universo come un fluido perfetto costituito da varie componenti di materia-energia: materia non

relativistica, radiazione, componente dovuta alla costante cosmologica ecc, ad ogni componente è associabile la densità con cui è presente e la pressione che esercita. In particolare alla materia non relativistica è attribuita una in virtù dell’equazione di stato ad essa associata (cfr§ 1.9).

18

rosso degli spettri galattici ed infine col lavoro di Hubble, dovette arrendersi all’evidenza che

l’universo non fosse statico, bensì in espansione e così disse che:” Non esistendo un mondo quasi

statico, abbandonava l’idea della costante cosmologica”, considerandola addirittura il più grande

errore della sua vita. A partire da allora varie volte e per motivi differenti la costante cosmologica è

stata o no contemplata nel modello cosmologico; oggi, come ho già detto, ne fa parte come quella

componente dell’universo la cui densità di energia rimane costante, come esplicitamente verrà

spiegato nel prossimo capitolo (cfr.§2.4), al di là del fatto che esso si contragga o si espanda e la cui

pressione ha un valore negativo che determinerebbe l’accelerazione nell’espansione, che a partire

dagli anni novanta è stata confermata, mentre il principale candidato per identificarla sembra essere

l’energia del vuoto, col significato quantistico che ciò comporta. Mentre era in atto un dibattito a

livello internazionale circa le possibili soluzioni cosmologiche alle quali si poteva pervenire

partendo dalle equazioni di campo di Einstein nel descrivere l’universo, in cui si considerava anche

la presenza di , nonostante il suo stesso ideatore l’avesse rigettata, il primo a riscrivere queste

equazioni per un universo non statico, ma in espansione o contrazione, pubblicando le soluzioni nel

1922, ben sette anni prima del lavoro di Hubble e che Einstein abbandonasse l’idea di un modello

statico, fu Alexander Friedmann, il quale non ricevette molto credito nella comunità scientifica, anzi

lo stesso Einstein pensò al suo lavoro come ad una curiosità matematica estranea però al reale

universo in cui viviamo. Fu solo dopo il 1929 che i modelli di Friedmann vennero rivalutati e a

tutt’oggi sono quelli a cui ci riferiamo nella teoria standard. Prima di arrivare a scrivere le equazioni

di Friedmann necessario passo, visto quanto finora sottolineato, è la descrizione del tensore metrico

in esse contemplato per il nostro universo.

1.6 La metrica FRW

Posta la centralità della metrica per poter formulare le equazioni della dinamica dell’universo e

descriverne l’evoluzione, dobbiamo trovare quella che meglio lo rappresenta nelle sue

caratteristiche globali di spazio omogeneo ed isotropo in ogni tempo. Quindi l’universo presenta

massima simmetrica spaziale e un’evoluzione temporale evidente nella sua espansione o

contrazione. Questo implica che l’universo può essere pensato come suddiviso in strati che

rappresentano porzioni spaziali tridimensionali omogenee ed isotrope ortogonali alla linea del

tempo , quindi può essere considerato della forma [14].

La metrica più generale può essere scritta in notazione tensoriale come:

(1.31)

in cui si distingue il primo termine temporale, il secondo misto e l’ultimo che rappresenta la metrica

spaziale, imponendo su di essi le condizioni relative al nostro universo, questi assumono nella

metrica cercata le espressioni che andrò ora a discutere.

Si dovrà avere per l’isotropia, in quanto questo rappresenta un vettore spaziale, che

trasformandosi sotto cambiamenti di coordinate spaziali, se non fosse nullo, introdurrebbe una

direzione privilegiata [4].

L’espansione porta, invece, ad una condizione di sincronizzazione con una ridefinizione del tempo

espressa da:

19

√ con = 1 (1.32)

dove é il tempo proprio misurato da un orologio che si muove solidalmente con l’universo stesso;

con questa condizione si chiede che gli orologi che si muovono con le galassie siano sincronizzati.

La metrica del nostro universo, infatti, è espressa in coordinate comoving, cioè tali che le coordinate

spaziali con sono costanti nel tempo e la coordinata temporale è il tempo proprio,

come definito sopra ( , che rende il sistema di coordinate comovente. Con ciò s’intende che le

coordinate spaziali partecipano al moto uniforme di espansione ed ogni galassia porta con sé le

proprie, dunque i punti coordinati si muovono insieme con le galassie e l’intervallo coordinato tra

due qualsiasi di esse rimane lo stesso in quanto l’espansione dell’universo non è generata da un

cambiamento della posizione delle galassie ma piuttosto da un cambiamento della metrica dello

spazio-tempo [2].

Queste condizioni portano il alla forma:

– (1.33)

dove rimane da definire la metrica spaziale che chiamo . Nel nostro universo, infatti, è

necessaria l’introduzione di un fattore di scala a moltiplicare la parte spaziale di :

come segue:

(1.34)

poiché in tal modo si traduce la condizione di espansione omogenea ed isotropa, infatti la

funzione è un fattore di scala19

che qui, in particolare, esprime l’ampiezza della porzione

spaziale al momento . Le rappresentano le coordinate comoving su e è il tensore

metrico tridimensionale massimamente simmetrico. È noto che le metriche massimamente

simmetriche obbediscono alla:

in cui è il tensore di Riemann associato alla metrica tridimensionale e ⁄ , dove è lo

scalare di curvatura, esprime il fatto che in uno spazio massimamente simmetrico la curvatura è la

stessa in ogni punto; il tensore di Ricci diviene quindi:

(1.35)

19 La condizione di normalizzazione che a fine paragrafo specificherò, ci ricondurrà all’espressione del fattore di scala

già introdotta in § 1.3.

20

Se lo spazio è massimamente simmetrico, certamente avrà simmetria sferica e la metrica di uno

spazio sfericamente simmetrico si può scrivere nella forma:

(1.36)

dove è la coordinata radiale e è l’usuale metrica su una sfera

bidimensionale. Le coordinate polari son più vantaggiose nell’imporre l’omogeneità spaziale che

consiste nel cercare l’analogo quadrimensionale delle proprietà di una superficie bidimensionale

con curvatura uniforme e ciò è conforme al principio cosmologico. Chiaramente per quanto detto

circa il ruolo della gravità tradotto in curvatura geometrica dello spazio-tempo, nella parte spaziale

della metrica ci aspettiamo compaia , che dato il suo legame con , come scritto sopra, è un

parametro che tiene conto di una eventuale curvatura dovuta alla massa-energia dell’intero

universo, che pensato nella sua globalità è trattabile come un fluido con densità di massa/energia

costante ovunque e nel quale le strutture( galassie, ammassi di galassie, ecc ) possono essere

considerate come le particelle di cui il fluido è costituito; trascurate quindi le irregolarità locali ed il

moto dei singoli oggetti, si considera solo il moto di espansione uniforme, di cui diamo conto

tramite .

Per arrivare a dare espressione esplicita alla funzione , cioè trovare , calcolo i simboli di

Christoffell per la metrica spaziale (1.36) che mi permettono di scrivere le componenti del tensore

di Ricci e sviluppare poi la (1.35).

I simboli di Christoffell che mi servono per definire il tensore di Ricci sono:

Da cui le componenti del tensore di Ricci che risultano non nulle sono:

Sviluppando la (1.35) e risolvendo rispetto a si ottiene:

Da cui l’espressione per la metrica sulla superficie tridimensionale è:

21

e quindi segue che:

Infine l’espressione completa per la metrica cercata è:

- [

] (1.37)

che è la metrica di Robertson-Walker, dove sono le coordinate polari nel sistema di

riferimento comoving, è il parametro di curvatura (o costante di curvatura) che può assumere

qualunque valore, ma di fatto in una ridefinizione di ci si può circoscrivere a tre soli valori

possibili : a seconda che l’universo sia piatto , chiuso o aperto

. Nel paragone con una superficie bidimensionale ad una curvatura nulla corrisponde la

geometria piana, ad una curvatura positiva corrisponde una geometria sferica e ad una curvatura

negativa una geometria iperbolica. Più avanti verranno discussi i modelli del nostro universo che

contemplano i tre possibili casi e le condizioni fisiche che portano a tali geometrie. In particolare

discuterò l’equazione di Friedmann che chiarisce il legame tra la curvatura e la densità di energia

dell’universo.

Si può dare per la metrica di Robertson-Walker una scrittura più compatta:

- (1.38)

In cui compaiono: il fattore di scala reso adimensionale ridefinendolo come

(1.39)

con raggio di curvatura a da cui segue la condizione di normalizzazione

a( già data in §1.3, e la funzione:

{

che viene da una ridefinizione della coordinata radiale attraverso la quantità

√

la quale

integrata porta a . Fin da ora voglio riscrivere come funzione di e del raggio di curvatura

associato alla curvatura , per chiarezza di notazione:

22

{

(

)

(

)

(1.40)

La riassume in sé i tre possibili casi di curvatura che possiamo considerare per il nostro

universo pensato su scale cosmologiche omogeneo e isotropo sia nell’espansione che nella struttura

metrica stessa ed è il raggio di curvatura dello spazio (relativamente al nostro universo d’ora in

poi indicherò il raggio di curvatura con .

La ridefinizione del fattore di scala come ⁄ porta a ridefinire anche le coordinate e

attraverso il raggio di curvatura come segue:

dove con questa scrittura si esprime chiaramente che l’universo ha curvatura uniforme e costante

di raggio e la metrica di Robertson Walker in queste variabili20

si scrive come:

- [

] (1.41)

Questa metrica ci fa capire quale potente strumento sia nel nostro modello il principio cosmologico,

poiché testimonia il fatto che, se l’universo è perfettamente omogeneo ed isotropo, allora tutto ciò

che abbiamo bisogno di conoscere circa la sua geometria è contenuto in e ed è ormai

evidente come il linguaggio geometrico sottintenda, in questa sede, un significato fisico. Questa

metrica, alla quale giunsero indipendentemente l’uno dall’altro Robertson e Walker nel 1930, ossia

l’anno seguente la pubblicazione da parte di Hubble della sua legge, è per noi alla base della

formulazione delle equazioni di Friedman su cui si fondano i modelli in grado di descrivere la

dinamica dell’universo nelle diverse fasi in cui si immagina di poter scomporre la sua storia

evolutiva. Da qui tale metrica è annoverata anche con il nome di Friedmann-Robertson-Walker

(FRW). L’identificazione del nostro universo con uno spazio tempo di tipo FRW è ampiamente

basata sull’alto grado di isotropia misurata nella CMB, questa identificazione si basa su un risultato

formale noto come teorema di Ehlers,Gener,Sachs(EGS)21

.

20 La variabile ha le dimensioni di , rispetto a che è adimensionale.

21 Il teorema EGS è una caratterizzazione cinematica dello spazio-tempo FRW, afferma che se tutti gli osservatori in

caduta libera misurano che il background di radiazione è isotropo, allora l’universo è uno spazio-tempo FRW omogeneo e isotropo.

23

1.7 Distanza, fattore di scala e redshift

Appare evidente da quanto discusso fin qui che tre concetti quali: la distanza, il fattore di scala ed il

redshift di un oggetto celeste sono legati a doppio filo tra loro. Definite le coordinate comoving

nelle quali è stata espressa la metrica FRW, poniamoci come osservatori all’origine di tale sistema

di riferimento e diciamo che sono le coordinate di una galassia sulla quale puntiamo il

telescopio. Si definisce distanza propria tra due punti la lunghezza della geodetica spaziale

tra essi ad un fissato valore del fattore di scala, quindi ad un fissato tempo. Essa è quantificabile

attraverso la metrica FRW con:

(1.42)

Si può ricavare, ora, la distanza propria della galassia ad un tempo t generico valutando che la

lunghezza della geodetica spaziale tra noi ed essa stessa è:

(1.43)

poiché lungo la geodetica spaziale gli angoli θ e φ sono costanti, integrando sulla coordinata radiale

segue che la distanza propria è:

(1.44)

Da cui si ritrova di nuovo per , cioè oggi, la legge di Hubble, passando per la velocità con cui

varia nel tempo data da:

=

(1.45)

a ho:

(1.46)

Ma facendo un ulteriore passo avanti possiamo stabilire un legame tra la distanza propria

dell’oggetto che stiamo osservando (a ed il suo redshift. Infatti è noto dalle nozioni di

astronomia sferica come di una galassia che stiamo osservando possiamo assegnare con sufficiente

esattezza la posizione angolare sulla sfera celeste che mappiamo bene con la scelta di varie

tipologie di sistemi di coordinate sferiche, ma ben altra cosa è la valutazione esatta della sua

distanza propria cioè la conoscenza della coordinata del nostro sistema di riferimento. E’

qui che entra in gioco il redshift a darci qualche informazione di natura metrica. Infatti come già

detto l’osservazione dello spettro della galassia ci permette di conoscere il suo redshift che non ci

24

dà il valore della distanza propria, ma ci dà informazioni sul fattore di scala al tempo in cui

la luce è stata emessa. Per vedere questo legame tra e seguiamo un raggio di luce emesso

dalla generica galassia al tempo e ricevuto da noi al tempo , lungo la sua geodetica

22, dunque sfruttando la definizione di distanza propria si ha che:

(1.47)

da cui

(1.48)

integrando tra l’istante di emissione e quello di osservazione di una singola cresta d’onda:

(1.49)

Considerato che la cresta d’onda successiva sarà emessa al tempo

e ricevuta al tempo

con come spiegato nel § 1.2, possiamo scrivere anche l’integrale:

(1.50)

dal confronto segue che l’integrale della quantità

tra il tempo di emissione e quello di

osservazione è lo stesso per ogni cresta d’onda della radiazione emessa:

(1.51)

quindi sottraendo da entrambi i membri la quantità

ho che:

=

(1.52)

ossia l’integrale di

tra l’emissione di due successive creste d’onda emesse è uguale a quello tra

due successive creste d’onda osservate.

22 Le geodetiche di un raggio luminoso, ossia le linee orarie seguite dalla luce sono caratterizzate dall’avere il ds=0 in

quanto

25

Facendo ora l’assunzione che nel tempo infinitesimo che intercorre tra l’emissione di due creste

d’onda successive posso considerare costante23

e quindi portarla fuori dal segno di integrale,

dall’integrazione ottengo che:

(1.53)

questa confrontata con la definizione di (1.1), porta a scrivere che:

(1.54)

avendo usato la condizione di normalizzazione per il fattore di scala.

Tale relazione dà conto del fatto che conoscere oggi, tramite le osservazioni, il redshift di un

oggetto celeste ci dà informazioni su quello che accadeva a quell’oggetto quando l’universo aveva

un fattore di scala dell’ordine ⁄ , indipendentemente da come quest’espansione sia avvenuta.

Dunque il redshift è legato al fattore di espansione al tempo in cui la luce è stata emessa. E’ chiaro

come il concetto di distanza di un punto dell’universo da noi sia stato un trait d’union tra e

che ci ha permesso di arrivare per via concettuale e formale alla relazione (1.54), mentre il valore

numerico delle distanze viene stabilito con metodi empirici che sono stati formulati sulla base di

correlazioni trovate, attraverso l’osservazione, ad esempio tra luminosità e distanza, per citarne uno.

1.8 L’ equazione di Friedmann

Delineata la metrica FRW per il nostro universo, scrivere le equazioni di Einstein in essa significa

formulare le equazioni di Friedmann, come di seguito esporrò brevemente. Alexander Friedmann

nel 1922 fu il primo a derivare un’equazione che legasse i tre parametri e , che

descrivono completamente la curvatura di un universo omogeneo ed isotropo24

, alla densità di

energia , di tutte le sue componenti: materia, radiazione ed energia oscura. In questa equazione

e ben prima della conferma dell’espansione dell’universo, raggiunta nel 1929 con la legge di

Hubble, si abbandona l’idea di un modello statico e si assume quella di un universo in espansione o

contrazione, come segue dall’evolversi del fattore di scala , il cui andamento è dunque descritto

dall’equazione che qui di seguito ricaverò. Ho già accennato al fatto che nel nostro modello

cosmologico l’universo sia rappresentabile come un fluido uniforme in cui le galassie stesse

23Infinitesima è cioè l’entità dell’espansione dell’universo nel tempo che intercorre tra l’emissione di due successive

creste d’onda ,che ad esempio nel visibile, è dell’ordine di ,comparato cioè col tempo di Hubble è un

valore trascurabile, quindi tale si può considerare la variazione del fattore di scala in questo lasso di tempo. 24

Da notare che l’ipotesi di Friedmann di un cosmo omogeneo ed isotropo, fu anch’essa un’intuizione e un’assunzione, al suo tempo, di natura teorica, poiché le prove di ciò vennero molti decenni dopo, con la scoperta del fondo cosmico a microonde e dell’uniformità nella sua distribuzione, sul finire degli anni sessanta.

26

possono essere pensate come le ‘particelle’ che lo compongono [2], per cui considerata l’equazione

di Einstein nella sua prima formulazione non comprensiva del termine in (cfr1.21), esprimiamo

questa nella metrica FRW, in accordo con la quale, inoltre, il tensore energia-impulso, che è della

forma (1.29), assume espressione diagonale in quanto l’isotropia imposta alla pressione gli

conferisce tale forma nel sistema comoving nel quale è scritta la metrica, con componenti e

, cioè densità di energia e pressione entrambe funzioni di :

(

)

Iniziamo dallo scrivere il tensore di Ricci, dunque dal calcolare i simboli di Christoffel in questa

metrica. Da tale calcolo risulta che questi son tutti nulli eccetto quelli in cui oppure

che assumono i valori:

e

.

La componente temporale del tensore di Ricci è:

(1.55)

considerando che i termini del tipo sono nulli, la si riduce ad essere della forma:

dove

,come già indicato sopra, mentre

, considerando ciò si

arriva a scrivere che:

(

) (

)

[

] (

)

(1.56)

poiché il sta ad indicare una sommatoria sui tre indici spaziali compare il fattore 3.

La componente spaziale del tensore di Ricci, invece, assume la forma:

(1.57)

Ora vado a calcolare lo scalare di curvatura che, come già detto in 1.5, si ottiene per contrazione

degli indici del tensore di Ricci attraverso l’inverso del tensore metrico: da cui:

(

)

(1.58)

27

Volendo descrivere l’evoluzione temporale del fattore di scala, mi concentro, ora, sulla sola

componente temporale dell’equazione di campo:

(1.59)

in cui sostituisco i termini appena calcolati ed inoltre considero che , e , arrivo

così a scrivere l’equazione di Friedmann:

(

)

(1.60)

che può essere altrimenti scritta in termini del parametro di Hubble in virtù della (1.9) ed in

unità cgs nel seguente modo:

(1.61)

dove , come già detto, rappresenta la densità totale di energia dell’universo in tutte le sue forme ed

è anch’essa funzione del tempo, in quanto l’universo ha visto il formarsi di strutture ed il

modificarsi della percentuale con cui ogni componente annoverata risulta presente nelle diverse fasi

in cui si può immaginare suddivisa la sua storia evolutiva, è il parametro di curvatura ed il

raggio di curvatura dell’universo, come introdotti nella definizione della metrica FRW. Da

quest’ultima espressione si comprende con immediatezza l’importanza che l’equazione di

Friedmann ha in cosmologia, poiché stabilisce una relazione tra la velocità di espansione

dell’universo, rappresentata dal parametro di Hubble, la sua densità di energia e la sua curvatura

espressa attraverso ⁄ . Fin da qui s’intravede che la chiave di volta per comprendere

l’evoluzione dell’’universo ed ipotizzare un suo destino sta nel dar conto di ciò che lo costituisce e

di quanto ciò ‘pesi’, relativisticamente parlando, allo scopo di poter dire come e quanto l’energia in

tutte le forme esistenti sia sufficiente a dargli una curvatura positiva, negativa o nulla, le tre

possibilità contemplate dalla metrica stessa. In quest’ottica l’espressione più conveniente che si può

dare dell’equazione di Friedmann è quella in funzione di un parametro di densità che pesa la

densità di ogni forma di energia presente con una densità critica che l’universo avrebbe se fosse

piatto, valore che si stabilisce facilmente ponendo nella (1.61) portando a:

(1.62)

ad oggi, ad esempio, il valore stimato per la densità critica è = ,

avendo posto . Dunque rimane definito il parametro di densità nel seguente modo:

(1.63)

dove, per quanto detto sopra, ∑ (t), ritenendo qui necessario dare forma esplicita al fatto

che la densità di energia complessiva, finora considerata, è la somma di quella relativa ad ogni

componente costitutiva dell’universo. In termini di l’equazione di Friedmann può essere

riscritta nella seguente forma:

28

(1.64)

dalla quale si evince il legame tra il parametro di densità, quindi la densità di energia totale

dell’universo, e la sua geometria; infatti a seconda che sia maggiore, minore o uguale ad 1,

l’universo risulta rispettivamente curvato positivamente, negativamente oppure piatto, come

sinteticamente si può riassumere in:

(tab 1.1)

Inoltre dalla (1.64) è importante osservare che se, ad esempio, fosse minore di 1 in qualche

tempo, rimarrebbe tale sempre, perché il membro di destra non può cambiar segno e quindi neanche

quello di sinistra, la curvatura dell’universo, quindi, rimane la stessa in ogni istante della sua storia

evolutiva, cioè non cambia con l’espansione. Dunque è una proprietà intrinseca al nostro universo.

Tirando le somme, quest’equazione ci pone davanti a tre possibili modelli di evoluzione, che

prevedono rispettivamente: un’espansione per sempre e quindi un cosmo infinito ed illimitato

( ), o un’espansione con successiva ricontrazione quindi un universo finito nello spazio ma

illimitato ( , oppure un universo dotato della velocità minima per evitare il

collasso continuando l’espansione in uno spazio piatto e anche in questo caso infinito ( .

L’ago della bilancia nello stabilire ciò è conoscere le attuali velocità di espansione dell’universo e la

densità media, quest’ultima, appunto, attraverso il parametro di densità è confrontabile col valore

critico che fa da spartiacque tra i casi considerati. Argomento cosmologico cruciale è il dar conto

di tutto ciò che riempie l’universo per stabilirne la presente densità media così da quantificare .

L’attuale valore di è stimato essere nel range . L’equazione di Friedmann

calcolata in cioè oggi è:

la quale formalmente ci dice che se

conoscessimo il valore attuale del parametro di densità, nota la costante di Hubble , potremmo

stabilire il segno della curvatura e conoscere il valore del raggio di curvatura e dire con

certezza quale dei tre casi è quello a cui apparteniamo, ipotesi fatte in tal senso, oggi, privilegiano

il modello di un universo piatto, quindi con Quest’equazione dunque è legata in modo

diretto alle osservabili fisiche del cosmo oltre a descriverne l’espansione attraverso l’andamento

temporale del fattore di scala, che però non può essere risolto sulla sua sola base, poiché la (1.60) è

un’equazione con due incognite e , è quindi necessario affiancarle altre equazioni per

poter descrivere completamente come esso si espande.

29

1.9 L’universo come un fluido perfetto: le equazioni chiave per descriverne

l’espansione

Riscrivo l’equazione di Friedmann come prima equazione chiave nella descrizione del nostro

universo:

(

)

Accanto ad essa si può scrivere un’equazione per che scaturisce dal poter considerare

l’universo come un fluido ideale, omogeneo ed isotropo, dove dunque non c’è scambio di calore tra

una porzione di spazio e l’altra, per cui scrivendo la condizione di conservazione dell’energia di un

generico fluido di energia interna e di pressione imposta dalla prima legge della

termodinamica:

(1.65)

nella sua forma adiabatica con , per il nostro universo, perveniamo all’equazione dei fluidi o

equazione di continuità25

:

(1.66)

che è la seconda equazione chiave nella descrizione dell’espansione dell’universo ed è espressa in

termini delle incognite di nostro interesse, avendo ipotizzato di scrivere la (1.65) relativamente ad

una sfera di raggio proprio espresso nella coordinata radiale comoving come , in

modo tale che questa configurazione sferica ideale del nostro fluido si espanda con l’universo e

faccia comparire nell’equazione di conservazione il fattore di scala, come mostra la (1.66), nella

quale inoltre ho sostituito ad la consueta densità di energia e dove compare per la prima

volta esplicitamente anche la pressione complessiva presente nel nostro universo, anch’essa

intesa come somma delle pressioni parziali che ogni singola componente esercita, come

precedentemente accennato. Dunque questa seconda equazione ci dà l’ulteriore relazione che

cercavamo, ma introduce con la pressione un’altra funzione incognita: . La sua presenza richiede,

perciò, un’equazione da affiancare alla (1.60) e alla (1.66) e questa sarà un’equazione di stato che

lega a . La pressione è inoltre, come già accennato parlando della componente di energia oscura,

un parametro importante nel determinare l’azione di ogni singola forma di energia

sull’accelerazione o decelerazione dell’espansione dell’universo, cioè incide sull’andamento di , il

25 Ad essa si perviene anche attraverso le identità di Bianchi che portano alla conservazione del tensore energia-

impulso, condizione che permette di scrivere l’equazione di continuità.

30

quale richiede a sua volta un’equazione esplicita chiamata equazione di accelerazione che dice

come l’espansione dell’universo cambia nel tempo.

La terza equazione chiave è dunque l’equazione di accelerazione (detta anche seconda equazione di

Friedmann26

) che si ottiene combinando tra loro l’equazione di Friedmann e quella dei fluidi,

moltiplicando la prima per e derivandola poi rispetto al tempo, dividendo tutto per e

sostituendo l’espressione che si ricava dall’equazione dei fluidi

si giunge a

scrivere l’equazione cercata:

(1.67)

la quale mostra che se la densità di energia è positiva, essa produce un’accelerazione negativa per

l’universo, cioè , la velocità relativa di due punti nell’universo, decresce. Mentre notiamo che

l’esistenza di componenti nell’universo caratterizzate da una pressione ⁄ produrrebbe

un’accelerazione nell’espansione dell’universo anziché un rallentamento. Ho già accennato al fatto

che la teoria permette l’esistenza di componenti con pressione negativa, in particolare nel modello

standard alla costante cosmologica è associato il valore , che dunque, come testimonia la

(1.67) produce un’accelerazione positiva per l’espansione; mentre tanto alla materia ( barionica e

oscura, vista come gas di particelle massive) o alla radiazione (vista come gas di fotoni),sono

associati valori positivi di pressione, per cui queste componenti causano un rallentamento

nell’espansione. L’importanza di poter stabilire il valore della pressione di ogni diversa componente

dell’universo ed il fatto che l’ultima equazione scritta non dà una relazione per sufficiente a

risolvere il sistema delineato, non essendo indipendente dalle prime due, son circostanze che

portano alla formulazione di un’equazione del tipo:

(1.68)

che è l’equazione di stato scrivibile per l’universo idealizzato come un fluido; una relazione

matematica tra la pressione e la densità di energia di tutto ciò che riempie l’universo ed è la quarta

equazione chiave del nostro modello. La possibilità di dare un’espressione così semplice

all’equazione di stato risiede nel fatto che il cosmo, per come è visto nel nostro modello, si presenta

come un fluido molto diluito e ciò permette di semplificare notevolmente la relazione tra la densità

di energia e la pressione di ciò che lo costituisce altrimenti molto più articolata, come compete agli

stati condensati della materia. Nella (1.68) è un numero adimensionale il cui valore è specifico

26Questa può essere ricavata, come anche la prima equazione di Friedmann d’altra parte, dall’equazione di Einstein

riscritta nella forma

, infatti nota l’espressione di , e quindi la sua traccia (cfr 1.8) e

calcolato il tensore di Ricci nella metrica FRW, combinando le equazioni che si scrivono per e per si deriva la prima e dalla si ricava la seconda.

31

per ogni forma di materia-energia che si considera. Infatti scritta in forma più esplicita l’equazione

di stato per il nostro universo è:

∑ =∑ (1.69)

dove ‘ ’ essendo un numero specifico per ogni diversa componente, può essere utilizzato come

indice per contraddistinguerla. Le condizioni ideali in cui ci siam posti permettono di utilizzare la

proprietà di additività sulle diverse componenti tanto per la densità quanto per la pressione,

risultando evidente che per ogni elemento costituente si può scrivere una diversa equazione di stato

della forma (1.68).

In linea di principio, assegnando opportune condizioni al contorno, le tre equazioni: di Friedmann,

dei fluidi e di stato, rappresentando un sistema di tre equazioni in tre incognite, permettono di

conoscere e ad ogni tempo.

Intendo concludere questo capitolo, nel quale ho esposto alcuni concetti di base per capire il

modello cosmologico standard, specificando quali sono le componenti dell’universo e arrivando a

definire per ognuna di esse il numero , dando conto, dunque, in virtù di , del ruolo giocato

singolarmente nell’espansione dell’universo, fermo restando che il quanto tale ruolo pesi è invece

dovuto a 27, ma ciò sarà oggetto del prossimo capitolo.

1.10 Componenti dell’universo per l’equazione di stato

Attualmente l’universo si considera costituito da: materia, radiazione e costante cosmologica. Ad

ognuna di esse possiamo associare una diversa equazione di stato della forma (1.68). In particolare

per la materia, usando la schematizzazione di un gas di particelle massive non relativistiche, poiché

in esse la velocità delle singole componenti è molto inferiore a la pressione è la risultante

macroscopica del moto termico casuale delle molecole, atomi o ioni che la compongono28

, per essa

si può scrivere allora che:

con ⟨ ⟩

(1.70)

Dunque alla materia si associa un positivo seppur infinitesimo .

Per la componente di radiazione, intesa come gas relativistico di fotoni o di particelle di massa

praticamente nulla, si può scrivere la seguente equazione di stato:

27 Ho preferito, qui, usare la nuova notazione per le singole componenti di densità in luogo di precedentemente

usato, per renderne immediato nella lettura il riferimento alla pressione che rimanda subito all’equazione di stato specifica. 28

La meccanica statistica afferma che un gas non relativistico ha un’equazione di stato della forma ⁄ in cui la densità di energia è quasi completamente data dalla massa delle particelle che lo costituiscono nella misura di ⁄ ,mentre la temperatura è associata alla loro velocità media dalla ⟨ ⟩.

32

dove

(1.71)

anche per la componente radiativa si ha un positivo. Infine le evidenze osservative portano a

dire che per la costante cosmologica si può scrivere l’equazione di stato nella forma.

dove (1.72)

ossia nel nostro universo la costante cosmologica è una componente che ha una pressione negativa e

per quanto si evince dall’equazione di accelerazione produce una accelerazione positiva

nell’espansione ( Per spiegar meglio l’equazione di stato29

che attribuiamo alla costante

cosmologica, faccio riferimento al tensore momento-energia (cfr1.5), esso vale per osservatori

comoving con l’espansione. Ogni altro osservatore vedrà un diverso contenuto di energia/pressione.

Esiste però un caso per cui ogni osservatore vedrà esattamente lo stesso tensore, indipendentemente

dalla sua quadrivelocità : ovvero quando da cui l’equazione di stato per (1.72), in

questo caso infatti . La condizione di conservazione implica allora ovvero

che riporta a scrivere il tensore ⁄ già incontrato nell’equazione di

campo di Einstein comprensiva del termine in , la cui natura di costante ora si comprende meglio

nell’essere il tensore momento-energia che le compete indipendente dall’osservatore, questa

condizione è considerata necessaria per uno spazio vuoto, cioè privo di particelle reali, è

quindi detta energia del vuoto o anche energia oscura in virtù di un termine coniato nel 1998 dal

cosmologo Micheal Turner, che annoverò come tale la componente dell’universo dotata di

⁄ , indipendente dall’osservatore proprio come proponeva Einstein, seppur nella sua teoria la

pensò come stabilizzante per un modello statico, attribuendole comunque l’esercizio di una forza

antigravitazionale.

I risultati sperimentali mostrano accordo con un’interpretazione dell’energia oscura attraverso la

costante cosmologica, almeno per quanto riguarda la storia più recente del nostro universo, ma,

come ampiamente discuterò in questo lavoro, la necessità di formulare per essa un modello che non

presenti i problemi di ordine teorico cui si va incontro nel ΛCDM (cfr.3.5.2), induce a considerare

l’ipotesi che si tratti di una forma di energia descritta da un’equazione di stato con parametro

variabile nel tempo, del tipo con conseguente variabilità anche per la sua densità di

energia.

Finora la presentazione di queste basi concettuali e teoriche del modello cosmologico standard

(ΛCDM) ha richiesto l’assunzione di proprietà globali formulate in merito a condizioni ideali, ma

per quanto riguarda il dar conto di ciò che costituisce, oggi, l’universo ed il quantificarlo

29 Equazione di stato che è oggetto di discussione e studio, infatti il è una quantità a cui si assegna un valore

negativo ma ancora non certo, le ricerche parlano di in un intervallo di valori nel quale c’è il -1 che ho indicato qui, come probabile.

33

componente per componente in termini del relativo parametro di densità , mi riferirò a valori che

appartengono all’attuale modello di riferimento dei parametri reali, quelli cioè, per i quali modello

teorico e dati osservativi trovano maggiore accordo. In base ai valori che esso fornisce, oggi si stima

che l’universo sia spazialmente piatto, quindi con un parametro di densità approssimativamente

unitario e così composto:

(1.73)

Più avanti indicherò il valore numerico stimato per ognuno dei parametri specificati. Qui in

conclusione intendo porre l’attenzione sul fatto che è il parametro di densità (ad oggi in

) relativo al contenuto di materia dell’universo e ad esso contribuiscono tanto la materia barionica

ordinaria con un termine che indicherò con tanto la materia oscura (dark matter), con

la cui presenza è rivelabile attraverso l’effetto gravitazionale che ha sullo spazio-tempo in

cui è presente e sul moto degli oggetti che in questo spazio si muovono. Analogamente nel

parametro di densità relativo alla radiazione si riconoscono due contributi, uno dovuto ai fotoni

che pervadono l’intero cosmo e cioè quelli della radiazione di fondo cosmico a microonde(CMBR),

poiché rispetto alla loro densità di energia quella prodotta dai fotoni emessi dalle stelle, negli

ipotizzati d’età dell’universo, è davvero infinitesima e perciò trascurabile e tale valore sarà

indicato come , mentre l’altro contributo radiativo è dato da un fondo cosmico di neutrini

relativistici, che indicherò con , la cui presenza, non ancora rivelata dagli strumenti per via della

tecnologia in grado di rivelare solo neutrini con energia superiore a 0,1 ( molto più energetici

di quelli del fondo ipotizzato) è tuttavia prevista dalla teoria in virtù dello stesso meccanismo che ha

generato la CMB, cioè un istante in cui l’universo primordiale caldo e denso, prima opaco ai fotoni,

è diventato trasparente ad essi; analogamente ci sarebbe stata una fase precedente in cui l’universo,

prima opaco ai neutrini, avrebbe poi raggiunto la trasparenza ad essi che, dotati di un’energia

molto più alta di quella di riposo , da particelle relativistiche, avrebbero permeato l’intero

universo, annoverabili come radiazione e non come materia, poiché ogni neutrino,

indipendentemente dal suo sapore, compie una transizione dall’essere radiazione all’essere materia

quando la sua energia diminuisce al punto che . Grazie alla conoscenza dettagliata che

siamo arrivati ad avere circa il fondo cosmico a microonde, che ha permesso di confermare molti

aspetti del nostro modello standard, in primis l’omogeneità e l’isotropia da cui si parte per spiegare

e formulare il resto, possiamo dar conto con alta precisione di e sulla base di questo

ipotizzare quanto può valere mentre purtroppo la stessa cosa non possiamo dire, attualmente,

circa la densità di materia e di energia oscura, per le quali il modello di parametri di riferimento

presenta, sulla base delle evidenze a disposizione, stime molto più approssimate.

Riprenderò in dettaglio l’aspetto quantitativo dei parametri qui introdotti, quando avrò terminato

l’analisi qualitativa dell’evoluzione dell’universo, nelle diverse fasi in cui ha senso scindere la sua

storia attraverso gli strumenti matematici dati in questo capitolo.

34

CAPITOLO 2

Modelli per l’universo con singola componente e con più

componenti

In un universo in espansione continua, a partire dall’istante iniziale ( in cui avrebbe avuto

luogo l’esplosione da cui tutto si è originato, ripercorrere il tempo cosmico equivale a seguire la

funzione che viene ad essere, in virtù del suo andamento monotono, un indicatore temporale,

allo stesso modo di , visto il suo legame con il fattore di scala: ⁄ (cfr 1.7).

Prendere invece di è inoltre una semplificazione matematica, poiché anche nell’equazione

di Friedmann, come già visto in quella dei fluidi e quella di stato, compaiono insieme tutte le

componenti dell’universo, le quali singolarmente apportano uno specifico contributo all’andamento

del fattore di scala in funzione del tempo, rendendone complessa la forma analitica e quindi non

semplice da invertire. Ha senso dunque scindere il contributo di ogni elemento esaminando modelli

di universo a singola componente, cioè scrivendo l’equazione di Friedmann di volta in volta per un

universo costituito da sola radiazione piuttosto che materia e così via, perché ciò fornisce elementi

ulteriori per comprendere la fisica nell’espansione, per arrivare poi a costruire modelli più

complessi in cui si rintroducono via via tutti gli elementi costituenti.

2.1 Separazione in singole componenti dell’equazione di Friedmann per

l’universo

Nel precedente capitolo ho stabilito che ogni componente dell’universo può essere contraddistinta

col valore di che compare nell’equazione di stato (1.63), usando l’additività esprimo la densità

totale di energia come:

∑ (2.1)

e riscrivo l’equazione di stato così:

∑ ∑ (2.2)

Tenendo presenti queste due espressioni, posso scrivere per ogni componente un’equazione dei

fluidi (1.60) specifica:

(2.3)

e valutare dunque l’andamento della sua densità di energia in funzione del fattore di scala, ritenendo

noto . Infatti integrando ho che:

(2.4)

avendo usato la condizione di normalizzazione e specificato il valore che la densità di

energia della particolare componente considerata ha oggi a , ossia .

35

Per la materia si ha che la densità decresce con l’espansione secondo un andamento

⁄ , mentre per la radiazione ⁄ si ha un andamento decrescente con

l’aumentare del fattore di scala del tipo ⁄ 1. Gli andamenti differenti delle

diverse densità di energia degli elementi, col crescere delle dimensioni dell’universo, suggeriscono

che ci son stati periodi temporali in cui ha prevalso una componente piuttosto che le altre e che si

possono individuare analiticamente gli istanti in cui le densità di due elementi diversi si sono

uguagliate, ad esempio relativamente alle componenti di radiazione e materia, sulla base degli

andamenti studiati, questo è avvenuto quando:

(2.5)

valore che sta ad indicare il cosiddetto tempo di equivalenza tra radiazione e materia(cfr.fig2.2).

Appare qui evidente come il fattore di scala sia utilizzabile come indicatore del tempo cosmico, in

particolare questo istante, secondo i valori dei parametri stimati nel nostro modello di riferimento

numerico, risultante dal miglior accordo tra i dati osservativi e la teoria (cfr tab2.2), corrisponde ad

un fattore di scala di ampiezza ⁄ il che equivale a dire che materia e radiazione si

sono uguagliate in densità quando l’universo era volte più piccolo, o in termini di redshift a

. Oggi possiamo dire che le evidenze sperimentali indicano che viviamo in un universo

dove la radiazione è stata dominante nelle prime fasi dell’espansione, dopodiché è seguito un

periodo in cui ha avuto un ruolo maggiore la densità di materia e se il nostro modello di parametri

di riferimento non sbaglia, attualmente siamo in una fase dominata dalla costante

cosmologica , nella quale l’universo è entrato successivamente al momento in cui

, cioè quando le sue dimensioni, rispetto ad oggi, erano più piccole di un fattore di scala

pari a:

(

)

(

)

Sulla base dei valori che i più recenti dati sperimentali indicano si stima che ,

equivalente ad un redshift ⁄ ; il piccolo valore di rispetto a indica che stiamo

parlando di un’epoca molto più recente.

1 Che la radiazione si diluisca come con l’espansione dell’universo dipende dal fatto che alla sua densità di

energia contribuisce tanto la natura particellare dei fotoni, che apporta un fattore dovuto all’espandersi del volume, tanto la natura ondulatoria e cioè il trasporto stesso di energia come onda che apporta un fattore per la perdita di energia dovuta al redshift.

36

Riguardo, infine, la possibilità di pensare che nell’equazione di stato dell’energia oscura compaia

un parametro variabile col fattore di scala, come detto alla fine del primo capitolo, sostituendo

nell’equazione dei fluidi (1.66) e integrando come fatto in (2.4) arrivo all’espressione:

( )

(2.6)

che esprime come in tal caso l’andamento della densità della dark energy non sia più costante come

descritto nel modello CDM, ma vari con e dunque nel tempo.

Detto ciò, risulta evidente la liceità nello studiare l’equazione di Friedmann (1.54) componente per

componente, essendo anch’essa scrivibile come:

∑

(2.7)

Dunque da questa si parte per costruire modelli di universo a singola componente. Prima di far ciò

voglio discutere un altro modello di universo possibile: quello dove la densità di energia è talmente

piccola rispetto al valore critico che il termine relativo ad essa nell’equazione di Friedmann è

trascurabile rispetto al termine di curvatura.

2.2 Il modello più semplice di universo: un universo vuoto

Nell’equazione (2.7), se ipotizzassimo un universo vuoto, senza alcuna componente di quelle finora

discusse, rimarrebbe solo il termine di curvatura :

(2.8)

Questa sarebbe l’equazione che descrive l’evoluzione di un siffatto universo. Prima di trattare la

soluzione per un tale modello, voglio soffermarmi sul fatto che un universo vuoto è pensabile come

un’approssimazione possibile nel caso in cui il parametro di densità si riducesse, per l’espansione,

al punto da essere cioè qualora la densità totale fosse molto inferiore alla densità critica (cfr

§1.8). Soluzioni per la (2.8) sono tanto il caso più semplice , cioè uno spazio statico,

spazialmente piatto, la cui geometria è descritta dalla metrica di Minkowsky, tanto il caso di uno

spazio a curvatura negativa che determina una soluzione sia per un universo in espansione

che in contrazione:

(2.9)

Prendendo in esame la soluzione con segno positivo, quella cioè relativa all’espansione, integrando

e imponendo la condizione di normalizzazione si arriva a scrivere che in questo universo

il fattore di scala evolve secondo la legge temporale seguente:

con

(2.10)

37

cioè in un universo vuoto dotato di curvatura negativa, il fattore di scala evolve linearmente col

tempo e quindi in assenza di forze interne che agiscano su tale movimento2, il tempo , che risulta

essere proprio uguale al tempo di Hubble , coincide con l’età esatta di questo universo.

Quando, inoltre, in esso, pensato non come vuoto ma come spazio dotato di un valore infinitesimo

del parametro di densità, un osservatore nell’istante riceva la luce di una galassia a redshift

sarebbe facile stabilire in virtù della (1.45) e della (2.10) quale possa essere stato l’istante di

emissione del segnale:

(2.11)

da cui segue che:

(2.12)

ed utilizzando la definizione di distanza propria data in (1.43) si può stabilire, noto l’andamento del

fattore di scala , qual è la distanza di tale sorgente nel momento in cui la si osserva:

(

) (2.13)

ed espressa in termini di redshift è:

(2.14)

Osservando quest’ultima relazione si vede chiaramente che per ci si riconduce ad una

relazione lineare tra e , cioè a quanto sperimentalmente trovato da Hubble nella sua legge. Per

redshifts molto grandi, invece, , visto nell’altro senso, questo significa che per distanze

molto grandi, ⁄ , cioè ben oltre la distanza di Hubble, il redshift cresce esponenzialmente.

In un universo vuoto la cui età è pari a , anche se sembra contrario a ciò che è intuitivo, si

potrebbero osservare oggetti molto più lontani della distanza di Hubble ⁄ , quindi posti a

distanza arbitrariamente grande, perché, per quanto al tempo questa distanza risulta tale, al tempo

dell’emissione , invece, la distanza propria tra osservatore e sorgente ha un valore più piccolo di

un fattore ⁄ essendo tale il rapporto ⁄ ), quindi:

(2.15)

2 Ipotesi giustificata dall’assenza di densità di materia-energia, o comunque da un suo valore infinitesimo.

38

perciò nell’istante dell’emissione osservatore e sorgente erano molto più vicini. In un universo

vuoto in espansione la cresce fino ad un massimo in e poi decresce, quindi,

in virtù dell’andamento non lineare di , oggetti con redshifts ben più alti di questo valore

sono visti come erano all’inizio nella storia dell’universo, quando la loro distanza propria

dall’osservatore era molto piccola.

2.3 Modelli di universo spazialmente piatto

Voglio ora esaminare modelli di universo a singola componente, risolvendo l’equazione di

Friedmann, presa di volta in volta con un’unica componente e nell’ulteriore ipotesi di spazio a

curvatura nulla . Esaminando il caso generale, senza specificare per ora , ossia di quale

componente si parli, posso fare un’analisi qualitativa del tipo di funzione che descrive l’andamento

del fattore di scala e che rappresenta la soluzione dell’equazione (2.7) riscritta per un universo

spazialmente piatto e con singola componente nel seguente modo:

(2.16)

Cerco per il fattore di scala un andamento del tipo con determinabile attraverso la

(2.16) per sostituzione, uguagliando così gli esponenti che compaiono nel membro di destra e di

sinistra relativamente all’incognita , si trova che l’esponente cercato è: e quindi

imponendo la condizione di normalizzazione si stabilisce che, in un universo spazialmente piatto

formato dalla sola componente di indice , ad esclusione3 del caso , il fattore di scala ha il

seguente andamento temporale:

(

)

⁄

(2.17)

Sulla base di quanto visto nel precedente paragrafo possiamo dire che un universo rappresentato da

un fattore di scala che evolve secondo tale legge temporale ha un’età di:

(

)

⁄

(2.18)

la costante di Hubble è data da:

(

)

(2.19)

3 Il metodo analitico usato nella ricerca di soluzioni della(2.7) introduce una condizione di non esistenza per .

39

espressione che posso utilizzare per scrivere l’età in funzione del tempo di Hubble :

(2.20)

Ciò, per coerenza di notazione con quanto già discusso negli altri casi, facilita il confronto tra un

modello e l’altro. Rispetto a quanto stabilito nel § 2.2, cioè che l’età di un universo vuoto sarebbe

proprio il tempo di Hubble: , posso dire che un universo con componenti caratterizzate da un

⁄ risulterebbe più giovane, mentre uno costituito da componenti tali che ⁄

sarebbe più vecchio. Avendo, qui, senso considerare una densità di energia senza dover specificare

la componente che la produce, nota la relazione generale tra ed il fattore di scala (2.4), si può

stabilire che in questo modello la densità di energia varia nel tempo secondo la seguente legge di

potenza :

(

)

(2.21)

dove è la densità di energia del particolare universo considerato al tempo ed il fatto che

all’esponente non compaia , ne denota l’indipendenza dalla composizione dell’universo stesso.

Per quanto riguarda il dar conto delle distanze e di quanto lontano si arriva a osservare in questo

tipo di universo, ricordando che si sta parlando di spazi in cui è sottesa la metrica di Robertson

Walker, si può definire la distanza propria massima che un oggetto può avere per risultare ancora

visibile da un osservatore, nota come l’orizzonte delle particelle:

(2.22)

questa è la distanza percorsa dalla luce nel tempo intercorso tra l’istante iniziale e

momento esatto in cui la si osserva. L’orizzonte, nell’universo, è un’ideale superficie sferica

centrata sull’osservatore, al di là della quale non può essere osservato nulla, poiché la luce

proveniente da oggetti più distanti non ha ancora avuto tempo di raggiungere l’osservatore. Dando

alla (2.22) espressione esplicita in un universo spazialmente piatto si ha:

(2.23)

da questa si evince che in un universo con curvatura nulla la distanza dell’orizzonte ha un valore

finito qualora ⁄ . Nel caso di universo dominato da materia ( =0) o da radiazione ( =

⁄ ), quindi, un osservatore può avere informazioni relative soltanto alla porzione di cosmo

racchiusa nel suo orizzonte che ha una dimensione finita, perché tutti i punti che si trovano al di

fuori di questa ideale sfera non sono connessi causalmente con la sua posizione, in quanto non

hanno avuto abbastanza tempo per inviare informazioni. Al contrario in un universo dominato da

componenti con ⁄ l’orizzonte è una distanza infinita, quindi tutti i punti dello spazio sono

connessi causalmente con l’osservatore e si può arrivare ad osservare oggetti, assumendo la

trasparenza dell’universo, tanto distanti nello spazio da fornire un’immagine altamente spostata

verso il rosso dell’universo primordiale. Nei prossimi paragrafi esaminerò specifici casi di universi

dominati di volta in volta da ognuna delle componenti note.

40

2.3.1 UNIVERSO DI SOLA MATERIA

Come primo caso di universo a curvatura nulla contenente una sola componente prendo in esame

quello in cui sia presente la sola materia non relativistica ( ), il cosiddetto universo di

Einstein-De Sitter. Utilizzando le formule date nel caso generale appena presentato, qui risulta che

l’età di tale universo è:

l’orizzonte è ad una distanza dall’ipotetico osservatore di ⁄ ed il fattore di scala

evolve come una funzione del tempo data da:

(

)

La distanza propria al tempo di osservazione di una galassia a redshift è determinabile con

l’integrale:

⁄ ⁄

[ (

)

⁄

]

[

√ ]

Mentre la distanza propria al tempo di emissione risulta più piccola di di un fattore ⁄

(cfr 2.2). Ribadisco che è utile sviluppare un modello con unica componente la materia, nella

misura in cui tale circostanza risulta essere una buona approssimazione almeno di una fase

attraversata dal nostro universo, quella in cui la materia non relativistica può esser stata dominante.

Sicuramente, i dati osservativi dimostrano che ben prima che ciò accadesse, c’è stata una fase in cui

l’universo è stato dominato dalla radiazione almeno fino al tempo di equivalenza tra radiazione e

materia, perciò è di particolare interesse esaminare cosa accade in un modello contenente solo

radiazione.

2.3.2 UNIVERSO DI SOLA RADIAZIONE

Quando il nostro universo era molto giovane il suo stato somigliava molto a quello descritto da un

modello spazialmente piatto in cui la radiazione era dominante su ogni altra componente. Avendo

visto che alla radiazione compete il valore ⁄ , in un universo piatto contenente la sola

radiazione il fattore di scala ha un andamento:

(

)

⁄

(2.27)

ed essendo l’età di un tale universo pari a:

l’orizzonte ha esattamente le dimensioni della distanza di Hubble:

(2.28)

41

La distanza propria di una galassia a redshift al tempo d’osservazione cresce linearmente col

tempo come si vede dalla sua espressione:

⁄ ⁄

[ (

)

⁄

]

(2.29)

nella quale ho utilizzato la relazione tra il redshift ed il fattore di scala (1.48), mentre la distanza

dell’oggetto al tempo di emissione, tenendo conto della stessa, è:

(2.30)

Considerare l’andamento della densità di energia in questo universo fatto di radiazione ci permette

di valutare per quali scale temporali questo modello dell’universo sia una buona approssimazione

della fase iniziale della sua storia e quanto questa descrizione si avvicini all’istante iniziale .

Ammesso per il fattore di scala l’andamento espresso dalla (2.27), si ricava dalla (2.4) che la densità

di energia evolve come segue:

(

)

(2.31)

dal momento che ci interessano scale temporali molto piccole, posso esprimere in unità di

Planck4, così da stabilire un confronto col tempo di Planck ( . La legge temporale

appena scritta porta a dire che per cioè che negli istanti iniziali la densità di fotoni

era infinita ed ognuno di essi possedeva un’energia infinita, questo ci suggerisce l’impossibilità di

descrivere attraverso una teoria classica come la Relatività Generale, che c’ha fatto arrivare

all’equazione di Friedmann, i momenti che sono nell’intorno dello zero del nostro modello, poiché

la trattazione di tali istanti richiede una teoria quantistica della gravitazione. In conclusione si può

dire che andando a guardare l’universo com’era all’inizio, a tempi dell’ordine di lo si può

pensare riempito da fotoni, in quanto la loro densità e la loro energia erano molto alte, come

suggeriscono le leggi di corpo nero applicate alla descrizione dello stato di un universo dominato

dalla radiazione in equilibrio con la materia, ma per tempi anteriori al tempo di Planck si dimostra

4 Il sistema di Planck è usato spesso in cosmologia poiché in esso le grandezze principali: tempo, massa, lunghezza e

temperatura, sono espresse in termini delle costanti universali ad esempio ⁄ ⁄ ,

costituendo le cosiddette unità di Planck.

42

che il numero di fotoni nell’universo visibile, cioè quelli contenuti nell’orizzonte al tempo sono in

numero inferiore a 1, come suggerisce la5:

(

)

⁄

(2.32)

e la quantizzazione dell’universo non può essere più ignorata quando il numero di fotoni comincia

ad essere piccolo, ossia dell’ordine di , condizione che si verifica ad un tempo .

Dunque il modello di uno spazio piatto contenente solo radiazione è applicabile alla descrizione del

nostro universo a partire da tempi dell’ordine di fino al tempo dell’equivalenza tra radiazione e

materia. In attesa di una teoria di gravità quantistica la storia dell’universo per noi inizia a poter

essere raccontata a , con la fase in cui ha dominato la radiazione, circostanza che non sorprende

considerando che l’andamento della densità di energia associata alla materia diminuisce con

l’espansione più lentamente (abbiam visto di un fattore 10) della densità di radiazione, per cui la

densità di energia dell’universo primordiale era dominata da quest’ultima. La transizione verso la

materia è avvenuta ad un dato istante quando le perturbazioni hanno iniziato a crescere per effetto

dei processi di condensazione gravitazionale dando luogo al disaccoppiamento tra materia barionica

e radiazione. Il secondo istante caratteristico in questa fase dominata dalla radiazione è il tempo

della ricombinazione quando gli elettroni e gli ioni si ricombinano per formare atomi neutri.

L’emissione dei fotoni della radiazione cosmica di fondo (CMBR), che osserviamo ancora oggi,

provengono da quel momento, perché da allora hanno viaggiato null’universo quasi completamente

indisturbati, ma di questo darò cenno più avanti.

2.3.3 UNIVERSO DOMINATO DA Λ

Il caso di un universo nel quale il contributo predominante alla densità di energia è dato dalla

costante cosmologica, anche chiamato universo di De Sitter è quello in cui l’equazione di

Friedmann si scrive come:

(2.33)

dove è costante come si evince dalla (2.4), da qui ricavo per l’espressione:

(

) (2.34)

5 Nella (2.32) , mentre la densità del numero di fotoni è ⁄ dove il valore medio

dell’energia dei fotoni è ricavabile dall’equazione di corpo nero considerando che nella fase di radiazione la

temperatura dell’universo è esprimibile come: ( ⁄ ) ⁄

e

43

Segue che la soluzione che descrive l’evoluzione del fattore di scala in questo universo in

espansione è una funzione esponenziale :

(2.35)

Dunque un universo spazialmente piatto dominato dalla costante cosmologica ha un’espansione

esponenziale, inoltre se rappresenta l’energia del vuoto, il fatto che la sua densità non cambia col

tempo è dovuta alla creazione ed annichilazione continua di particelle ed antiparticelle. L’età di un

tale universo è infinitamente grande e la distanza dell’orizzonte è infinita, l’espressione per la

distanza propria di un oggetto a redshift al tempo è:

[ ]

(2.36)

Questo è l’unico modello di universo in cui la distanza ed il redshift hanno una relazione lineare per

qualsiasi valore di , mentre negli altri modelli ciò sussiste solo per . Per la distanza propria

al tempo di emissione abbiamo invece la relazione:

(2.37)

Queste due relazioni ci dicono che gli oggetti ad alto redshift vengono visti

dall’osservatore per come erano appena prima che raggiungessero la distanza di Hubble ⁄ ,

perché una volta che una sorgente di luce è più lontana di tale distanza la sua velocità di recessione

è più alta di quella della luce6 ed i fotoni in questione non possono più raggiungere l’osservatore:

per , e ⁄ .

A conclusione di questa analisi fatta, ponendoci nella condizione di curvatura nulla, sugli universi a

singola componente, riassumo nella tabella di seguito gli andamenti del fattore di scala in funzione

del tempo e della densità di energia in funzione di in ognuno dei casi considerati :

COMPONENTE ENERGETICA

Materia ⁄

Radiazione ⁄

Costante cosmologica

Tab 2.1

6 Non deve meravigliare che in questo contesto si possa parlare di velocità maggiori di quelle della luce, perché il

postulato sul valore massimo di velocità ammesso, pari a , è una condizione richiesta dalla relatività speciale dove lo spazio è statico.

44

Ed al fine di rendere più evidente un confronto sull’evoluzione che ognuno dei modelli studiati

suggerisce per il relativo universo, è utile riportare su un grafico gli andamenti del fattore di scala

trovati per universi spazialmente piatti dominati da singola componente e per un universo vuoto,

come rappresentato di seguito:

Nella figura 2.1 è riportato l’andamento del fattore di

scala nel tempo (in funzione del parametro

adimensionale nel caso di universi piatti con

singola componente: materia, radiazione e costante

cosmologica e universi privi di materia o altra forma di

energia.

Fig 2.1

Presentati i modelli più semplici che si possono considerare per l’evoluzione dell’universo descritto

dall’equazione di Friedmann, passo ora a considerare situazioni più complesse in cui sviluppo

modelli a più componenti, cioè considero le soluzioni possibili per l’equazione scritta per più

elementi insieme.

2.4 Modelli per l’universo con più componenti

Per studiare l’equazione di Friedmann nella sua forma più complessa è utile darne l’espressione in

termini del parametro di densità. Infatti da essa risulta che a il termine di curvatura è

⁄ (

⁄ ) (cfr 1.8); mentre il termine relativo alla densità può essere scritto

considerando che e che la densità di ogni singola componente può essere

espressa in funzione del valore stimato oggi7 e del fattore di scala

8 (cfr2.4), posso allora riscrivere

l’equazione di Friedmann nel seguente modo:

7 Col pedice ‘ ₀ ’mi riferisco a tutte le grandezze ed i parametri variabili nel tempo valutati oggi a

45

(

)

da cui segue:

(

)

(2.38)

i parametri che compaiono nell’equazione così scritta possono essere stimati sulla base dei dati

osservativi e ciò rende meno complessa la ricerca di soluzioni per l’andamento del fattore di scala in

un universo in espansione dove si considerano più componenti che apportano un diverso contributo

alla soluzione cercata rendendola analiticamente più complessa che non nei modelli a singola

componente. Sottolineando qui il fatto che nel nostro attuale modello di riferimento dei parametri

reali che si accordano meglio con la teoria, si stima che ossia un universo spazialmente

piatto, per una trattazione completa e che non si vuole limitare all’approssimazione con un termine

di curvatura nulla, si considera la quantità come parametro di curvatura, dove dunque

si lega la curvatura alla densità di energia totale dell’universo e si capisce chiaramente che il suo

segno è determinato dalla somma dei parametri di densità delle tre componenti. Più avanti

discutendo le prove sperimentali che hanno portato a valutare il valore attuale di tali parametri darò

conto del fatto che il nostro modello cosmologico descrive l’universo reale avente curvatura

prossima allo zero, dominato dalla costante cosmologica, essendo mentre per la materia e

la radiazione si stimano rispettivamente i valori e . Sempre sulla base di studi

relativi ad osservazioni, principalmente del fondo cosmico e della distanza di supernove di tipo Ia in

galassie remote, si è potuto stabilire che nella storia della sua espansione l’universo, quando non

fosse dominato dalla singola componente, ha attraversato fasi in cui la densità di due sole

componenti per volta si è potuta considerare comparabile, rispetto alla terza che era invece

trascurabile. Per la descrizione di queste epoche si usa, dunque, un modello a due componenti per

l’equazione di Friedmann. All’inizio di questo capitolo ho spiegato come stabilire i due valori del

fattore di scala e significa individuare proprio l’inizio di due epoche di questo genere.

Dunque quando ⁄ l’universo è entrato in una fase in cui ad essere comparabili son

state la densità di radiazione e quella di materia e nel momento in cui materia e

costante cosmologica si son eguagliate in densità per cui ha avuto inizio una nuova fase. I motivi e

le circostanze per cui ciò si è verificato dipendono tanto dalla dinamica dell’universo, tanto dai

processi fisici in gioco nelle diverse epoche i quali sono molto differenti a seconda dell’energia

media dei fotoni interagenti con la materia, fattore discriminante ed indicativo di essa è la

8 I singoli parametri di densità sono ⁄ , ⁄ e ⁄ dove ,

, (cfr (2.4)), ricordo anche che

, i valori di tali parametri sono oggi quelli di

riferimento che compaiono nel modello che meglio approssima con i dati reali il modello teorico per l’universo.

46

temperatura assegnabile nello specifico periodo all’universo, infatti dal momento che esso è in

espansione diminuisce e poiché non ci può essere scambio di calore con l’esterno(cfr 1.9) il

raffreddamento è adiabatico e avviene secondo un andamento del tipo , relazione che

discende dalla conservazione dell’energia e dalla valida per un gas di radiazione in

equilibrio con la materia(legge di Stephan-Boltzman per il corpo nero)9 [4], dunque non è riduttivo

affermare che la storia dell’evoluzione dell’universo è soprattutto una storia termica e che seguire

l’andamento di significa tanto seguire il tempo cosmico quanto la temperatura del cosmo in

virtù della relazione appena scritta. Inoltre, insieme alla temperatura, quindi all’energia cinetica

media, uno dei fattori principali da cui dipende la frequenza d’interazione tra le particelle (mi

riferisco soprattutto ai processi di scattering ) è la densità e quindi, nell’universo in espansione è

necessariamente funzione del fattore di scala e l’equilibrio tra le componenti, cui ho appena

fatto riferimento, si stabilisce in virtù del confronto tra il rate con cui le particelle interagiscono e

quello di espansione: ogni volta che la velocità con cui avvengono i processi di diffusione tra le

particelle è maggiore della velocità di espansione lo stato delle particelle è d’equilibrio[12]. Passo

ora ad esaminare i modelli di universo a due componenti qui introdotti, sottolineando il fatto che

questi vengono sviluppati per un universo con curvatura nulla, sulla base dei dati sperimentali che,

come già detto, portano a pensare l’universo spazialmente piatto, benché l’interesse per modelli di

universo con curvatura diversa da zero rimane, perché lo sviluppo di uno studio teorico in tal senso

dà utili conoscenze circa il legame tra espansione, densità e curvatura. Essendo stato questo oggetto

di discussione e speculazione in cosmologia, il dibattito è stato accompagnato da diversi modelli di

universo possibile, a partire dai tempi di Einstein in cui si è pensato ad un universo curvo dominato

da materia ( , per poi passare a pensare a possibili universi curvi in cui fosse presente

prevalentemente materia e costante cosmologica ( ), fino a che le prove sperimentali

hanno indicato oggi un universo spazialmente piatto con radiazione, materia e costante cosmologica

che si possono riconoscere aver contribuito in modo differente nelle diverse fasi a seconda del

reciproco peso nel definire il parametro di densità totale.

2.4.1 RADIAZIONE E MATERIA

La stima degli attuali parametri e ci ha permesso di riconoscere in ⁄ il

momento in cui la densità di radiazione e quella di materia si sono uguagliate e l’universo, pensato

9 L’assunzione di adiabaticità è giustificata solo in assenza di processi che liberino l’energia interna di qualche

componente della materia, per esempio durante una fase di annichilazione di coppie in fotoni, aumenta mentre rimane costante, ovvero lo spettro di radiazione non è più di corpo nero, un grande rilascio di energia interna costituisce un’assunzione in una delle più importanti teorie inflazionarie. Tuttavia nella descrizione delle fasi cosmologiche qui trattate l’equazione viene assunta approssimativamente valida.

47

spazialmente piatto, è passato da una fase in cui la radiazione ha dominato l’evoluzione secondo la

(2.27) ad una fase, nell’intorno di questo tempo di equivalenza ( , descrivibile attraverso

l’equazione di Friedmann espressa per le due componenti in gioco nella forma approssimata:

(2.39)

questa una volta integrata ci porta ad ottenere la seguente relazione per il tempo in funzione del

fattore di scala:

√ [ (

) (

)

⁄

] (2.40)

dalla quale si può calcolare il momento dell’equivalenza ponendo e sempre con i valori dei

parametri stimati nel modello di riferimento: e si trova

che questo tempo è:

Dunque nel modello cosmologico attuale, con i valori numerici calcolati sulla base delle

osservazioni, possiamo dire che l’epoca in cui la radiazione è stata dominante ( è durata

appena 47 millenni, un numero davvero piccolo se confrontato con l’intera età dell’universo e ciò

giustifica il fatto di poter ignorare il ruolo della radiazione nel calcolare tale età come apparirà

chiaro nel prossimo paragrafo.

2.4.2 MATERIA E COSTANTE COSMOLOGICA

La fase recente che sta attraversando il nostro universo sembra possa essere descritta con buona

approssimazione dall’equazione di Friedmann relativa ad uno spazio piatto in cui le componenti

dominanti siano la materia e la costante cosmologica. Questo significa che i relativi parametri di

densità sono legati dalla relazione:

(2.41)

tale approssimazione ci permette di scrivere l’equazione di Friedmann come:

(2.42)

Da essa si possono innaninzitutto fare valutazioni qualitative circa l’espansione dell’universo in

relazione al reciproco valore dei parametri di densità in gioco; infatti considerando che il primo

contributo all’andamento del fattore di scala, dato dalla materia, è sempre positivo poiché

, che l’universo possa continuare ad espandersi o deceleri e torni a collassare in quello che viene

chiamato un Big Crunch dipende dal valore di . Le evidenze sperimentali portano a credere che

la costante cosmologica contribuisca positivamente al parametro di densità e ciò significa che se

all’istante sta avvenendo un’espansione, essa continuerà per sempre andando verso un cosiddetto

48

Big Chill. Diverso sarebbe il caso in cui si avesse , con in virtù della (2.41),

perché l’espansione si arresterebbe nel momento in cui il fattore di scala fosse pari a:

(

)

⁄

cioè ad un valore massimo, cui seguirebbe un collasso dovuto al fatto che la costante cosmologica

produrrebbe una forza attrattiva e si ritornerebbe ad in un tempo, calcolabile integrando la

(2.42) per , pari a:

√

così chiamato perché la contrazione finirebbe in un Big Crunch. Questo tempo è tanto più piccolo

quanto più è grande . Questo sarebbe un destino analogo a quello di un universo di sola materia

con curvatura positiva, ma l’esistenza ulteriore di una costante cosmologica in grado di produrre

attrazione renderebbe molto più breve la durata di questa contrazione nel momento in cui

divenisse dominante. Sebbene le leggi fisiche lo permettano, però le evidenze dicono che viviamo

in un universo con costante cosmologica positiva ed in base ai valori stimati per relativi parametri di

densità si è stabilito che il momento in cui le densità di materia e quella di costante cosmologica

hanno raggiunto l’equivalenza è contraddistinto da un fattore di scala di ampiezza pari a:

(

)

⁄

(2.43)

Tale momento, che chiamiamo , è calcolabile per integrazione della (2.42). Infatti con ,

si arriva alla soluzione analitica:

√ [(

)

⁄

√ (

)

] (2.44)

Se in essa assumo che , e , cioè i valori

attualmente riconosciuti attendibili per tali parametri, per ottengo che

valore che indica come tale equivalenza sia avvenuta molto più recentemente, su scale

cosmologiche, rispetto all’equivalenza tra radiazione e materia( ; mentre per ,

posso arrivare ad una stima dell’età dell’universo pari a :

(2.45)

Ricordo che con sto indicando l’istante attuale, avendo già sottolineato, nel precedente paragrafo,

quanto la fase dominata dalla radiazione (che qui non sto considerando) sia poco significativa nel

computo di tale valore, si comprende come questo numero approssimi bene l’età delle stelle più

antiche che si osservano, come dimostrano i dati sperimentali relativi alle stelle di bassa metallicità

che si trovano negli ammassi globulari, lo studio della cui evoluzione porta a stabilire che

[33]. L’età dell’universo dunque è uno degli argomenti a favore dell’esistenza di

energia oscura [18] con una densità comparabile a quella della materia, proprio perché se non

49

s’introducesse una componente con l’effetto di produrre accelerazione non ci si spiegherebbe come

in un universo di sola materia possano esistere oggetti la cui età supera l’età stimabile per esso cioè

⁄ (cfr. 2.3.1). Inoltre in questo modello la funzione che descrive

l’evoluzione temporale del fattore di scala ottenibile dalla (2.44), si riconduce ad un andamento del

tipo ⁄ per , come ci si aspetta in un universo dominato dalla sola materia, mentre tende

ad un andamento esponenziale del tipo per , cioè esattamente ciò che il modello

standard in accordo con i dati osservativi indica per l’evoluzione del nostro universo e cioè

un’epoca dominata dalla costante cosmologica con accelerazione nell’espansione, fase che sembra

già in atto, stando alla valutazione delle misure sulle distanze di supernovae di tipo Ia recentemente

effettuate.

Figura2.2: Andamento temporale della densità di energia in funzione del fattore di scala per le differenti componenti in un

universo piatto: materia non relativistica, radiazione e costante cosmologica. Tutto espresso in unità della densità critica

calcolata ad oggi. Sebbene materia e costante cosmologica siano attualmente dominanti, nell’universo primordiale la densità

di radiazione era molto grande. Nel grafico è indicata con aeq l’epoca in cui materia e radiazione si sono eguagliate.

2.5 I numeri del modello per l’attuale universo

Dopo aver delineato i modelli teorici che servono ad interpretare le diverse fasi che ha attraversato

l’universo nella sua evoluzione e che, valutazioni sperimentali hanno avvalorato con i dati

osservativi, indicherò con ordine quali sono i valori che, nel confronto tra il modello teorico e le

50

osservazioni, si possono assegnare ai parametri che compaiono nel modello standard e che

costituiscono un ideale modello di riferimento numerico.

I dati osservativi portano ad affermare che l’universo è spazialmente piatto, contenente radiazione,

materia e costante cosmologica di cui si può dar conto con la stima dei rispettivi parametri di

densità attuali (tab 2.2); tutti i calcoli relativi al tempo cosmico e alle distanze proprie sono

effettuati assegnando alla costante di Hubble il valore .

Quando si parla di densità di radiazione nel nostro modello ci si riferisce al fondo cosmico di fotoni

nelle microonde (CMB) alla temperatura odierna di 2.75 K e al fondo cosmico di neutrini

relativistici, la cui densità di energia è teoricamente calcolata essere pari al 68% di quella della

CMB; già ho chiarito il fatto che avviene una transizione per i neutrini di qualsiasi sapore

dall’essere considerati radiazione all’essere invece materia quando la loro energia decresce fino

all’energia di riposo , così il neutrino passa da componente relativistica a non relativistica

quando il fattore di scala è entrando quindi ad essere annoverato nella

componente di materia, come possibile candidato per la materia oscura, non potendo comunque

essere energeticamente dominante dato che le misure attuali stimano che il parametro di densità ad

essi relativo ammonti a . Infatti, quando si parla di materia s’intende e la materia

barionica , cioè la forma di materia che conosciamo ordinariamente, quella composta da neutroni,

protoni ed elettroni ad essi associati nella sua costituzione e la materia non barionica, quella

annoverata come dark matter. Nella definizione di vengono stimati separatamente i due

contributi rivelando che le stelle, le galassie, le nebulose e quant’altro riusciamo ad individuare

esistere nel nostro universo in grado di inviarci segnali luminosi rappresenta dell’intera densità di

materia solo il 10% circa, mentre il restante 90% è dato dalla materia oscura, quando si parla di

materia oscura ci si può riferire, in generale, ad ogni componente massiva che abbia luminosità

troppo bassa per poter essere rivelata dagli strumenti di cui disponiamo oggi, oppure secondo una

definizione più restrittiva ogni componente massiva che non emette, non assorbe e non riflette luce

ed è quindi rivelabile attraverso gli effetti gravitazionali che ha sulla materia in grado di emettere

luce. Tuttavia la maggior parte della densità di energia dell’universo attuale è data dall’energia

oscura, che nel modello teorico standard è rappresenta dalla costante cosmologica .

Seguendo l’evoluzione dell’universo attraverso l’andamento temporale del fattore di scala ,

riassumo che le osservazioni in accordo col nostro modello teorico ci permettono di dire che, a

partire da tempi in cui si può riconoscere una densità di fotoni sufficientemente alta da far

abbandonare la trattazione quantistica della gravità ( , l’espansione dell’universo è stata

dominata dalla radiazione ed in questa fase possiamo approssimare l’andamento del fattore di scala

secondo la ⁄ almeno fino al cosiddetto tempo di equivalenza radiazione-materia che è

calcolato esser stato quando l’universo aveva essendo ⁄

51

, da questo momento in poi l’universo è entrato gradualmente in una fase dominata dalla

materia seguendo una legge del tipo ⁄ per passare, a partire dal tempo dell’equivalenza

tra materia e costante cosmologica corrispondente ad un fattore di scala

ad un ‘epoca dominata da , che su scala temporale cosmica sembra essere vicino all’età che

stiamo vivendo oggi al tempo 10 e , fase in cui riconosciamo un’evoluzione

esprimibile attraverso una legge esponenziale del tipo , registrando, per l’appunto,

un’accelerazione nell’espansione.

Se spostiamo l’attenzione dalle distanze temporali alle distanze spaziali proprie, l’assegnare, sulla

base delle osservazioni, dei valori ai parametri di densità parziali e il poter delineare sulla base delle

stesse un andamento per che approssimi quello teorico, qui studiato nelle diverse fasi a partire

dalla (2.38), ci permette di valutare il nostro orizzonte come limite per di , arrivando a

dire che:

⁄ (2.46)

sui dati attualmente disponibili, dunque, il modello ci dice che possiamo osservare oggetti distanti,

oggi, fino a , a cui corrisponde una distanza propria al tempo di emissione pari al valore

massimo ( ⁄ che si raggiunge per galassie con redshift . Da quest’ultimo

dato appare chiaro come quando si osserva una sorgente ci si possa chiedere quanto è distante da

noi e a questo si risponde valutando la distanza propria e quanto tempo è intercorso tra

l’istante di osservazione e quello di emissione , cioè per quanto tempo la luce ha viaggiato per

arrivare fino a noi. La risposta a questa domanda sta nella valutazione di che dipende

strettamente dal modello cosmologico usato: per piccoli redshifts essa è ⁄ , mentre a

redshifts più grandi la relazione diventa non lineare. Questo modello che descrive al meglio

l’universo così come appare dai dati osservativi e che nel calcolare ad esempio le distanze proprie in

funzione di (grandezza misurabile) ci permette di disegnare su un grafico una curva che si

collochi tra l’andamento teorico suggerito dal modello dominato da e quello relativo ad universo

dominato dalla materia, ci ha permesso di stabilire per le galassie più lontane, osservate all’inizio

del ventunesimo secolo a redshift , una distanza propria di ⁄ ,

cioè circa il 60% della distanza dell’orizzonte stabilita e una ⁄

distanza propria al tempo in cui la luce è stata emessa cioè quando l’universo aveva un’età

da cui in base al valore stimato nel nostro modello numerico

di riferimento, segue che . Appare evidente come guardare oggetti a redshift via

10 Notiamo che nel modello di riferimento numerico che sto delineando sulla base dei dati sperimentali che meglio

approssimano la teoria, , prossimo cioè al tempo di Hubble.

52

via più grande significhi osservare sorgenti di un universo molto giovane, viene da sé che lo studio

di tali oggetti ci dà informazioni importanti e testimonianza dei processi fisici in atto a quel tempo

per stabilire la composizione dell’universo e l’evoluzione delle strutture che in esso si sono

formate col passare del tempo, nonché valutare che rapporto intercorre tra distanza e redshift

misurato, permette di stabilire se l’espansione è accelerata o meno..

Nel prossimo capitolo verranno presentate le quantità osservabili che hanno rilevanza nella

determinazione dei parametri cosmologici attuali (a , di cui infine do conto nella seguente

tabella e grafico rappresentativo:

fotoni

neutrini 3.4

Totale radiazione

materia barionica

materia oscura

Totale materia

Costante cosmologica (tab 2.2)

Figura 2.2: il grafico rappresenta quale porzione della densità totale dell’universo è associabile, oggi, ad ognuna delle

componenti in termini del parametro di densità relativo

Parametri di densità oggi

dark energy≈0.70

dark matter≈0.26

materia barionica≈0.04

radiazione≈8.4 ∙10⁻⁵

53

2.6 La moderna cosmologia

Il poter disporre da parte dei cosmologi di una quantità via via maggiore di dati provenienti da

esperimenti che si sono avvalsi negli anni di strumenti sempre più potenti e sensibili nell’indagare

l’universo tanto sulla distanza quanto sulla sua composizione, è ciò che ha permesso di delineare il

modello standard provando con le osservazioni la teoria del Big Bang. In questa struttura, dove

cosmologia teorica ed osservativa s’incontrano riconosciamo tre pilastri che sono le prove

fondamentali del modello stesso[12] : il diagramma di Hubble11

che testimonia l’espansione,

l’abbondanza di elementi leggeri che è in accordo con la nucleosintesi del big bang (BBN) ed infine

l’esistenza della CMBR (Cosmic Microwave Background Radiation) ciò che rimane della

radiazione di corpo nero emessa dall’universo primordiale (quando cioè aveva solo poche centinaia

di migliaia di anni) nella fase in cui materia e radiazione erano in equilibrio termico ad una

temperatura molto elevata( , come previsto dalla teoria del Hot Big Bang.

Gli studi che si sono compiuti negli ultimi vent’anni e proseguono tutt’oggi nel costruire un

modello cosmologico sempre più aderente alla realtà stanno delineando i seguenti sviluppi sia

teorici che osservativi: l’esistenza tanto della materia oscura quanto dell’energia oscura e le ipotesi

sulla loro natura e composizione, la necessità di comprendere l’evoluzione delle perturbazioni

intorno all’ordine zero (smooth universe) e il meccanismo stesso a cui oggi si attribuisce la loro

generazione, cioè l’inflazione[12]. È chiaro che per continuare a costruire un modello fisico solido

per descrivere il nostro universo occorre spiegare la sua fase primordiale.

La teoria della nucleosintesi primordiale del Big bang che spiega la produzione dei nuclei degli

elementi leggeri quali idrogeno, elio, deuterio subito dopo il Big bang e la teoria dell’inflazione, che

prevedrebbe una fase di espansione esponenziale dell’universo nei suoi primi istanti di vita, si

occupano di descrivere fenomeni avvenuti nelle prime fasi di esistenza ed espansione dell’universo,

ma il cui risultato può essere rintracciabile oggi nelle osservazioni di quantità quali ad esempio,

rispettivamente, l’abbondanza di elementi leggeri e le caratteristiche dello spettro di potenza del

fondo cosmico. Quindi la loro attendibilità sta nelle predizioni che consentono di fare e che trovano

accordo con le osservazioni come più volte nel prossimo capitolo avrò modo di sottolineare. Della

stima di , quindi del diagramma di Hubble e della valutazione circa l’attuale fase di espansione

parlerò in dettaglio nel prossimo capitolo riferendomi ai dati sperimentali provenienti

principalmente dagli studi condotti sulle supernovae di tipo Ia negli ultimi venti anni, qui in

conclusione vorrei dar conto, seppur non in dettaglio, degli altri due argomenti cosmologici

fondanti del nostro modello: la nucleosintesi degli elemeni leggeri e la CMB.

11 Il diagramma di Hubble si riferisce al grafico della legge stessa di Hubble, quel grafico che disegnò lui per primo nel

1929 mettendo in relazione le velocità di recessione( espresse tramite il redshift osservato) con le distanze misurate delle galassie prese in esame, dimostrando che l’interpolazione dei dati permetteva di disegnare una retta di pendenza .

54

2.6.1 LA NUCLEOSINTESI DEL BIG BANG

Osservazioni di nebulose primordiali rivelano l’abbondanza di elementi leggeri, inspiegabile

attraverso la nucleosintesi stellare, ma in accordo con le previsioni teoriche della nucleosintesi del

Big Bang(BBN). Infatti nonostante le difficoltà analitiche circa lo studio dei processi nucleari della

fase iniziale di un universo in espansione e in raffreddamento (in virtù della ed anche

quelle relative alle misure che oggi possono compiersi a tal riguardo, le previsioni della teoria nota

come Nucleosintesi del Big Bang (BBN) risultano in notevole accordo con i dati osservativi.

Cronologicamente la BBN è avvenuta nella fase dominata dalla radiazione, quando le dimensioni

spaziali dell’ universo erano contraddistinte da un fattore di scala dell’ordine di (

⁄ cfr 2.1) ed esso era molto caldo e denso. Ripercorrendo l’evoluzione in termini di

temperatura12

( ) e di processi fisici energeticamente consentiti a quella specifica temperatura,

quando era dell’ordine del ⁄ non esistevano né nuclei, né atomi legati, poiché

l’abbondanza di fotoni di alta energia presenti impediva la loro stabilità, provocandone l’immediata

distruzione qualora si fossero formati [12]. La BBN è la teoria relativa alla formazione dei nuclei

nell’universo primordiale e affinché protoni e neutroni si fondessero per formare i nuclei più

leggeri è stato necessario che l’energia media delle particelle interagenti scendesse ben al di sotto

del , infatti l’energia tipica di legame per i nucleoni è in quest’ordine di grandezza, come si

vede chiaramente nel processo che porta alla formazione del nucleo di deuterio ( ), l’isotopo più

leggero dell’Idrogeno ( ): , dove è la sua energia di

legame nucleare, in termini di temperatura si stima che ciò sia accaduto a

corrispondente ad un tempo , la nucleosintesi dunque è iniziata quando la temperatura è

scesa abbastanza da essere , ci si può aspettare che possa avvenire anche prima,

tuttavia il gran numero di fotoni per nucleone impedisce che a temperature più alte il processo

prenda piede[15]. La formazione dei nuclei13

di , è energeticamente favorita rispetto

agli altri e ciò spiegherebbe l’attuale abbondanza di elementi leggeri( insieme all’idrogeno il cui

nucleo è semplicemente costituito da un protone) nell’universo e nelle strutture che si sono formate

in esso a quel tempo, visibile tuttora, infatti guardando l’universo odierno potremmo dire che la

nucleosintesi del big bang è stata inefficiente[1] in quanto ha generato solo nuclei di elementi

leggeri poiché gli elementi più pesanti non sono sintetizzati nel Big bang, ma provengono da

esplosioni di supernovae in tempi successivi. Attualmente il 75% della materia barionica

12 In questo paragrafo esprimerò la temperatura indifferentemente in Kelvin o in elettronvolt, intendendo che nel

primo caso mi riferisco allo stato termico e nel secondo allo stato energetico (agitazione termica) che può essere associato a quello termico essendo la costante di Boltzmann il fattore di conversione tra l’una e l’altra unità di misura. 13

Se si segue l’andamento dell’energia di legame per nucleone in funzione del numero di massa ( , cioè la somma dei nucleoni che in quanto numero atomico definisce l’elemento e che definisce l’isotopo dell’elemento in questione) si vede che energeticamente i nuclei più favoriti nel formarsi sono quelli degli isotopi dell’idrogeno (deuterio , tritio ) e dell’elio (³ , oltre all’elio stesso.

55

dell’universo è nella forma di idrogeno ionizzato, mentre l’elio primordiale( (cioè quello che

non proviene dalla nucleosintesi stellare14

)è solitamente espresso da un numero adimensionale:

che rappresenta il rapporto tra la densità di massa di e la densità di tutta la materia barionica,

l’osservazione di oggetti come stelle o nubi di gas testimonia che , cioè che sono fatti di

elio almeno al 24%. Queste percentuali sono spiegabili se si guarda in che proporzione erano i

nucleoni tra loro nell’universo primordiale, poiché è la scarsità di neutroni rispetto ai protoni che

spiega come la BBN possa essere stata incompleta lasciando ⁄ dei barioni in forma di protoni

non legati (nuclei di idrogeno).

Innanzitutto i neutroni liberi non sono particelle stabili in quanto decadono in un tempo

attraverso la reazione: nella quale la differenza di energia a riposo tra neutrone e

protone, pari a , si ripartisce tra energia a riposo dell’elettrone

ed energia cinetica dell’elettrone e dell’antineutrino elettronico. Solo una volta

legato in un nucleo stabile il neutrone è preservato dal decadimento. La teoria spiega che fino a

temperature dell’ordine di , cui corrisponde un’energia media per i fotoni di

sono stati attivi i processi di creazione di coppie:

e le reazioni che mantenevano l’equilibrio tra il numero di protoni e quello di neutroni:

In questo stato di equilibrio il rapporto tra la densità del numero di neutroni ( e quella di protoni

( può essere allora descritta da una legge esponenziale del tipo:

(

) (2.47)

che proviene dall’aver potuto utilizzare la legge di distribuzione di Maxwell-Boltzmann15

tanto per

quanto per . Dalla (2.47) si evince che finché è stato dell’ordine del si è mantenuto

14 Le stelle in sequenza principale convertono l’idrogeno in elio attraverso le reazioni di fusione nucleare che

avvengono prima al loro interno, per poi spostarsi nelle fasi successive della loro evoluzione nelle shells via via più esterne.

56

l’equilibrio, nel momento in cui è scesa al di sotto di l’equilibrio non è stato

mantenuto ed i protoni hanno iniziato ad essere favoriti (in quanto la loro massa è leggermente più

piccola di quella dei neutroni). I processi in cui neutrini (o antineutrini) interagiscono con i barioni

son governati da interazioni deboli caratterizzate da una sezione d’urto tipica esprimibile come:

(

)

Considerando che in un universo dominato dalla radiazione si ha che ⁄ (cfr

2.3.2), allora , poiché la densità dei neutrini segue un andamento del tipo

⁄ possiamo dire che il tasso d’interazione dei neutrini con protoni e neutroni attraverso le forze

deboli decresce rapidamente in virtù della relazione ⁄ che lo definisce. Per il

parametro di Hubble invece risulta un andamento decrescente del tipo , confrontando

questo rate d’espansione con quello d’interazione debole, diciamo che quando i neutrini si

disaccoppiano dai neutroni e dai protoni, ossia le interazioni deboli cessano ed il rapporto tra

neutroni e protoni si congela, si stima che ciò sia avvenuto ad una temperatura

(ovvero , quindi dalla (2.47) si deduce che nel momento in cui la temperatura è

scesa ulteriormente , circostanza che si ipotizza essere avvenuta quando l’universo

aveva appena , il rapporto neutroni/protoni è rimasto congelato a:

(

) (

)

Dunque per tempi compresi nell’intervallo si stima che nell’universo ci fosse un

neutrone ogni cinque protoni

Il fatto che un protone si possa fondere con un neutrone molto più facilmente che non due protoni a

formare il deuterio, poiché la prima reazione richiede un’energia ben inferiore che non

l’avvicinamento di due cariche positive, dove deve essere superata la barriera della repulsione

coulombiana, porta a considerare la sintesi di secondo la reazione: piuttosto che

secondo la cui compete, tra l’altro, una sezione d’urto del tipo essendo un

processo in cui agiscono forze nucleari deboli, quindi molto inferiore alla sezione d’urto che

15 Finché le reazioni in cui neutroni si convertono in protoni e viceversa si mantengono in equilibrio si può utilizzare

l’equazione di Maxwell Boltzmann per descriverne la densità numerica: (

) ⁄

(

) e

(

) ⁄

(

), dove il peso statistico dei protoni e dei neutroni è lo stesso: .

57

compete alla fusione tra un protone ed un neutrone in cui entra in gioco la forza nucleare forte.

Possiamo dire all’ordine più basso di approssimazione che la BBN procede finché ogni neutrone

libero si lega in un nucleo atomico lasciando liberi i protoni residui. In quest’approssimazione si è

calcolato che il valore massimo16

possibile per è ⁄ . Il fatto che il valore osservato

non superi quello estremale previsto dalla teoria è indicativo della validità della stessa ed

il fatto che numericamente non coincidono è attribuibile a circostanze che hanno comportato una

riduzione del valore attualmente osservabile della frazione di elio rispetto a , ad esempio

potrebbe essersi verificato che la nucleosintesi non si sia innescata immediatamente dopo e

che ciò abbia causato il decadimento di una parte dei neutroni, o il fatto che parte dei neutroni

abbiano formato con i protoni altri nuclei più leggeri di come e ³ che non contribuiscono

a o addirittura che la nucleosintesi sia durata abbastanza da produrre nuclei più pesanti dell’elio

tanto da ridurre il valore di . Riguardo la formazione di questi ulteriori nuclei la BBN prevede la

presenza di isotopi dell’elio , del litio la cui formazione è subordinata a

quella dei nuclei di deuterio, poiché i processi della loro sintesi coinvolgono , per il quale è

teorizzata un’abbondanza di deuteroni per protone[12] ed il deuterio compare anche nella

formazione del tritio e di altri isotopi ancora, nonché in processi che portano alla sintesi stessa

del nucleo di . Chiaramente la produzione di ed altri nuclei dipende da vari

parametri fisici, ma soprattutto dal rapporto tra barioni e fotoni che chiamo , più è grande il valore

di più alta sarà la temperatura alla quale può iniziare la sintesi del deuterio e prima s’innesca la

nucleosintesi che durerà un tempo maggiore rispetto al caso in cui fosse più piccolo, il processo di

espansione dell’universo infatti genera un decremento nel tempo della sua densità e temperatura,

entrambi fattori che determinano l’arrestarsi della nucleosintesi . Prima ha inizio la BBN e più

efficiente è la produzione di elio e ridotta la quantità di ed residui, quindi più è grande e

più è grande e piccola la densità di deuterio primordiale. Dunque diventa un parametro

fondamentale per valutare la nucleosintesi e l’accordo tra le sue previsioni e le osservazioni, un

modo per determinarlo è la misura dell’abbondanza primordiale del deuterio, per quanto appena

spiegato. È stata misurata, infatti, la frazione di deuterio presente nelle nubi di idrogeno ad alto

redshift che assorbono la luce da quasar a redshift ancora più grandi: poiché queste nubi sono ad

alto redshift, poco dopo che il processo di formazione del deuterio si pensa abbia avuto luogo, i

valori osservati danno una valutazione ragionevole delle abbondanze primordiali e sono in accordo

con quanto previsto dalla BBN infatti il valore misurato è ⁄ ,

coincidente con quello teorico espresso prima; tradotto in termini di rapporto barioni su fotoni si

trova che consistente anche col valore che di recente è stato determinato

16 Dato il valore ⁄ ⁄ , considerando un gruppo rappresentativo di 2 neutroni e 10 protoni, possono

fondersi con a formare un singolo nucleo di elio , i rimanenti 8 protoni rimarranno non legati, la frazione di massa di sarà allora ⁄ ⁄ .

58

da misure sui pesi relativi dei primi due picchi acustici(cfr nota 18) dello spettro di potenza della

CMB effettuate dal satellite WMAP [12]. Il valore di può essere tra l’altro convertito nel valore

della densità del numero di barioni nell’universo attuale attraverso la relazione: ,

infatti, noto, da misurazioni del fondo cosmico, il numero di fotoni per unità di volume

posso scrivere che ed in termini di densità di energia posso

invece dire che ( ) e quindi, coerentemente con la tab 2.2, si ritrova che il

parametro di densità della materia barionica nell’universo attuale è

⁄ (essendo la densità critica necessaria per un universo chiuso

pari, oggi, a cfr1.8), stima alla quale si perviene anche con altre

misurazioni di cui darò conto nel prossimo capitolo.

2.7 La radiazione di fondo cosmico

La CMBR(Cosmic Microwave Background Radiation) è la radiazione dominante nell’universo ed

uno dei più potenti strumenti cosmologici che sia mai stato trovato. Infatti come la scoperta della

sua esistenza ha rappresentato una prova fondamentale per la teoria del Big Bang caldo, così lo

studio accurato del suo spettro di potenza17

, relativo alle anisotropie di temperatura, cui sono state

dedicate molte missioni di ricerca condotte sia nella stratosfera18

terrestre(BOOMERANG) sia in

orbita (COBE, WMAP, e ultimo il satellite PLANCK lanciato il 14 maggio del 2009), continua a

presentare risvolti fondamentali che ampliano le nostre conoscenze cosmologiche, infatti le

anisotropie dell’intensità della radiazione, rilevabili come picchi acustici nella curva spettrale, sono

correlate a molti argomenti cosmologici in studio: il parametro di densità barionico (come indicato

nel paragrafo precedente), la curvatura dell’universo, recenti misure del fondo cosmico hanno

portato, infatti, ad una valutazione diretta della geometria dell’universo [6] l’idea che c’è dietro

questa misura consiste nel fatto che la radiazione di fondo proviene dalla superficie di ultimo

scattering che può essere pensata come una shell sferica ad un redshift che si stima esser ,

potendo definire su tale superficie una lunghezza di riferimento, che si è stabilito essere l’ampiezza

17 Lo spettro di potenza della CMB consiste nell’esprimere le fluttuazioni di temperatura del segnale, che si misurano

osservandolo lungo direzioni di vista differenti(da qui si parla di anisotropie), in serie di multipoli dove l’ordine del multipolo è indicativo della loro dimensione angolare, a sua volta connessa alla dimensione fisica che le perturbazioni di densità da cui derivano hanno sulla superficie di ultimo scattering. 18

L’esigenza dell’esperimento BOOMERang(Ballon Observation of Millimetric Extragalactic Radiation and Geophysics) di portare il telescopio ad un’altitudine di è stato per ridurre l’effetto di assorbimento delle microonde da parte dell’atmosfera terrestre. Ognuna delle missioni citate ha indagato lo spettro della CMB a diverse lunghezze d’onda. IL satellite COBE(COsmic Background Explorer) lanciato nel 1989 è stato il primo a misurare accuratamente lo spettro della CMB su un ampio range di lunghezze d’onda attraverso l’impiego di tre strumenti: DIRBE( ,FIRAS e DMR

59

dell’orizzonte19

(sound horizon) al tempo dell’ultimo scattering, una determinazione della

dimensione angolare associata a tale lunghezza permette la valutazione della geometria sottesa, che

da tale misura sembrerebbe coerente con il modello di universo piatto.

Negli anni sessanta dello scorso secolo Robert Dicke ed il suo gruppo di ricerca della Princeton

University avevano dedotto che se l’universo ha avuto origine in uno stato caldo e denso, doveva

essere ora riempito di fotoni nelle lunghezze d’onda delle microonde (la cui esistenza era già stata

predetta da George Gamow nel 1948) e mentre c’era in progetto la costruzione di un’antenna radio

in grado di verificarne l’esistenza, Arno Penzias e Robert Wilson [23], due radioastronomi,

lavorando ai Bell-Laboratories con un’antenna radio per le telecomunicazioni satellitari hanno

rilevato casualmente tale segnale di fondo, considerandolo dapprima un rumore del loro sistema di

misura e accorgendosi poi che si trattava di una reale radiazione di fondo che non mostrava una

direzione di provenienza privilegiata, ma era la stessa in qualsiasi modo si posizionasse l’antenna,

dunque questo era già un forte indizio della sua isotropia e di quella dell’intero cosmo, nonché

un’immagine dell’ universo quando aveva soltanto

Le osservazioni hanno dimostrato che lo spettro del fondo cosmico è in ottimo accordo con uno

spettro di corpo nero con temperatura, ad oggi, pari a . In un universo nato

dal Big Bang la radiazione di fondo cosmico emerge necessariamente se l’universo all’inizio era

molto denso e molto caldo (ben più di quanto risulta oggi per via dell’espansione), se assumiamo

per la temperatura iniziale un valore di in tali condizioni la materia barionica è

completamente ionizzata e gli elettroni liberi causano l’opacità dell’universo, le innumerevoli

collisioni tra elettroni e fotoni (scattering Thompson) inoltre assicuravano l’equilibrio termico tra

radiazione e materia e così l’universo presentandosi come un corpo caldo denso e opaco (cioè il

cammino libero medio di un fotone era molto breve) produceva una radiazione di corpo nero. In

particolare la radiazione del fondo cosmico a microonde è l’immagine della superficie di ultimo

scattering20

tra fotoni ed elettroni avvenuto al tempo della ricombinazione tra protoni ed elettroni,

infatti dopo il processo di Nucleosintesi l’universo rimase un plasma barionico fino a quando

l’espansione portò la temperatura a scendere intorno a , si stima ciò sia avvenuto

19 All’epoca in cui si è originata la CMB la radiazione era dominante, il mezzo era relativistico e la velocità del suono

vicina alla velocità della luce, quindi si può parlare di sound horizon come la scala più grande oltre la quale effetti causali al tempo della creazione della superficie di ultimo scattering possono aver lasciato un’impronta. Fluttuazioni di densità su tali scale risulterebbero in oscillazioni acustiche sul fluido materia-radiazione, per questo riferendoci allo spettro di potenza della CMB parliamo di picchi acustici: la pressione dei fotoni si oppone all’attrazione gravitazionale dei barioni i quali, in movimento molto più lento rispetto ai primi, tendono a formare delle regioni più dense, i picchi sono correlati con questi modi di oscillazione, infatti quando un modo d’oscillazione è alla sua ampiezza massima i fotoni si dissociano e alle risonanze di tali modi corrispondono i picchi osservati. 20

La superficie di ultimo scattering ha una profondità in quanto il disaccoppiamento di fotoni e barioni non avviene istantaneamente, ma richiede invece una frazione apprezzabile di età dell’universo fino a tale epoca, per questo quando ci riferiamo al redshift della superficie di last scattering parliamo di , mentre a volte parlando di quello della radiazione di fondo nel suo insieme ci si può riferire ad uno un po’ più grande.

60

dopo il Big Bang, a questo punto l’universo era sufficientemente freddo da

permettere agli elettroni di potersi legare con i nuclei e formare l’idrogeno neutro, processo che

viene chiamato Ricombinazione, la radiazione di corpo nero emessa durante questo processo

divenne visibile all’epoca del disaccoppiamento, quando lo scattering Thompson tra elettroni liberi

e fotoni terminò in quanto il tasso di interazioni tra fotoni ed elettroni divenne minore del rate

d’espansione dell’universo (il parametro di Hubble) così i fotoni si disaccoppiarono dalla materia e

l’universo divenne trasparente. La radiazione emessa allora, si stima a ( prossimo alla

superficie di ultimo scattering), con spettro di corpo nero, è osservabile ancora oggi come tale21

ad

una temperatura chiaramente molto inferiore ( ⁄ ) rispetto a quella di

emissione . L’intensità specifica di un gas di fotoni con uno spettro di corpo nero è:

⁄

{ ⁄ } (2.48)

da qui si vede come la distribuzione in frequenze dello spettro è dipendente da ed anche la

posizione del picco, lo strumento FIRAS ha permesso di valutare quanto lo spettro della CMB

osservato fosse prossimo a quello teoricamente previsto di un corpo nero a temperatura

e di individuarne il picco22

a (fig 2.3) che spiega il termine microonde nella sigla con

cui la si indica: Cosmic Microwave Background. La forma dello spettro è data dal termine

esponenziale(cfr. nota 21), calcolando l’argomento della funzione esponenziale a due tempi diversi

nel corso dell’espansione, cioè a due differenti temperature e , si possono scrivere i due

argomenti in termini di lunghezze d’onda come: ⁄ e ⁄ , in cui si vede che

tanto la temperatura è passata da a , tanto la lunghezza d’onda da a , poiché per via

dell’espansione va come ⁄ (segue da 1.47) mentre va come in virtù

dell’assunto ⁄ , il loro prodotto rimane costante ed è per questo che la forma dello spettro

rimane di corpo nero durante l’espansione.

21 Il fatto che la quantità ⁄ sia un’invariante di Lorentz ha permesso il conservarsi della forma dello spettro, dove

è l’intensità dei fotoni della radiazione di corpo nero ad una certa frequenza , come mostra la legge di

distribuzione di Planck: (

)

⁄ che esprime il flusso di energia dei fotoni nell’intervallo di

frequenza e che spiega analiticamente lo spettro della radiazione di corpo nero. 22

Il picco nello spettro corrisponde all’energia media, quindi alla lunghezza d’onda media dei fotoni.

61

Figura2.3: Lo spettro del CMB come risulta da dati osservativi raccolti da FIRAS ed altri strumenti impiegati nella sua

misura ed il suo accordo con la curva teorica di uno spettro di corpo nero a riportata con linea tratteggiata.

La densità di energia della CMB è calcolabile attraverso la legge di Stefan-Boltzman valida per

radiazione di corpo nero , dove è la costante di Stefan-

Boltzman, mentre il numero di fotoni per unità di volume (già introdotto nel paragrafo precedente) è

, dunque l’energia attuale dei fotoni del fondo cosmico è , un

valore molto piccolo se comparato ad esempio all’energia necessaria per fotoionizzare un

atomo( o un nucleo ( ).

L’informazione principale che ci dà la CMB è che l’universo primordiale era ampiamente isotropo,

infatti la sua attuale distribuzione estremamente uniforme è una testimonianza dell’uniformità della

distribuzione di materia prima del disaccoppiamento, in realtà la CMB ha delle anisotropie che si

presentano all’osservazione come fluttuazioni di temperatura su scale del e ciò è in linea con le

teorie di formazione delle strutture, le quali affermano che le strutture cosmiche che noi osserviamo

oggi: stelle, galassie, ammassi, devono aver avuto origine da disomogeneità primordiali nella

densità di materia prodotte dal meccanismo dell’Inflation [15] o da oscillazioni acustiche nel

plasma barionico prima del disaccoppiamento. La dimensione angolare delle fluttuazioni di

temperatura ( ), valutabile oggi con le osservazioni, è legata alla dimensione fisica delle

62

fluttuazioni di densità nel plasma barionico ( ) sulla superficie di ultimo scattering dalla

relazione: ⁄ , dove è la nostra distanza di diametro angolare da essa (cfr §3.2).

L’ampiezza delle fluttuazioni è ben descritta espandendo in serie di multipoli la variazione della

temperatura di brillanza23

del segnale, quindi le anisotropie vengono studiate scomponendo il

segnale in armoniche sferiche :

∑ ∑

(2.49)

dove sono i coefficienti dell’espansione, che seguono una statistica gaussiana e e sono le

coordinate polari. Poiché la CMB è una radiazione di corpo nero, esiste una correlazione tra i valori

che ⁄ assume in due punti qualsiasi della superficie di ultimo scattering, infatti posto che i due

punti siano visti dall’osservatore secondo le due direzioni di vista e , separate da un angolo ,

cioè tali che , rimane definita la funzione di correlazione:

⟨

⟩ (2.50)

la quale afferma che moltiplicando il valore che ⁄ ha nelle due direzioni separate da un angolo

e mediando su tutti i punti contraddistinti da questa relazione con l’osservatore, si ottiene una

funzione che dipende solo da . Se si conoscesse con precisione il valore di per tutti gli angoli

da a , si avrebbe una descrizione statistica completa delle fluttuazioni di

temperatura su tutte le scale angolari. I dati osservativi prodotti dalle varie missioni già menzionate

ci forniscono informazioni su un range limitato di scale angolari per via di un limite in risoluzione

angolare delle misure effettuate24

. Attraverso la (2.49) possiamo riscrivere la funzione di

correlazione nella forma:

∑

(2.51)

23 La brillanza è la quantità di luce emessa da una sorgente alla frequenza , in generale la temperatura di brillanza

è ⁄ , per un corpo nero tale che la temperatura di brillanza corrisponde alla temperatura fisica del corpo è cioè indipendente dalla frequenza, mentre in generale dipende da essa. 24

La missione Planck (2009) ha come obiettivo una mappatura del fondo cosmico dell’intero cielo con una risoluzione angolare maggiore delle missioni precedenti(da a qualche ), infatti ad esempio lo strumento DMR a bordo della missione spaziale COBE, che diede nel 1992 la prima evidenza sperimentale delle anisotropie ha fornito dati con una bassa risoluzione angolare , con BOOMERANG e WMAP si è arrivati a mappare ⁄ al di sotto di scale dei .

63

Dove sono i polinomi di Legendre, in questo modo la funzione di correlazione è data in

serie dei suoi momenti di multipolo che rappresentano i coefficienti di tale sviluppo in serie.

L’insieme dei valori ⟨| |

⟩ viene chiamato spettro di potenza, infatti è usuale graficare la

quantità in funzione di e riferirsi a tale grafico come spettro di potenza della CMB, esso

rappresenta la distribuzione statistica delle anisotropie di temperatura alle varie scale angolari,

infatti il termine rappresenta in sostanza una misura delle fluttuazioni di temperatura su scale

angolari dell’ordine di ⁄ , ciò dà un’idea della relazione d’interscambiabilità tra

multipolo25

e scala angolare . Nelle anisotropie distinguiamo scale angolari diverse che

corrispondono a epoche differenti in cui hanno avuto origine e fenomeni differenti che le hanno

prodotte [24]: quelle piccole sono relative a oscillazioni acustiche nel plasma primordiale

che generano fluttuazioni di temperatura, ma la cui origine è difficile da stabilire per via

dell’accoppiamento dei fotoni con la materia barionica e quelle presenti al tempo del

disaccoppiamento (corrispondenti a scale angolari più grandi: , che si collocano prima

dell’Inflation), quando diversi fotoni vennero rilasciati da regioni dello spazio che presentavano

lieve differenza nel potenziale gravitazionale, infatti le fluttuazioni della densità di massa che prima

della ricombinazione erano stabilizzate dal campo di radiazione, successivamente ad essa divennero

instabili ed in grado di collassare gravitazionalmente [16], poiché i fotoni nel risalire un potenziale

gravitazionale subiscono redshift in quanto perdono energia, quelli provenienti da regioni

leggermente più dense hanno subito un redshift maggiore rispetto a quelli provenienti da regioni in

cui l’attrazione gravitazionale era inferiore, ciò ha prodotto piccole anisotropie nella temperatura

della CMB osservate oggi, la creazione di fluttuazioni di temperatura nel potenziale gravitazionale è

noto come effetto Sachs-Wolfe. La forma dello spettro di potenza dipende dal modello e

dall’insieme dei parametri cosmologici, una misura accurata delle anisotropie della CMB consente

di derivare i parametri cosmologici mediante un fit dello spettro di potenza misurato al variare dei

modelli e dei parametri stessi. Tanto la scala angolare dei picchi, tanto la loro posizione danno

importanti informazioni sulla curvatura dell’universo, come accennato all’inizio del paragrafo,

quindi su e sulla natura delle perturbazioni primordiali della densità: per un universo piatto

( ) la teoria aveva previsto un picco a ( )26

e questo è risultato in

25 Le osservazioni mostrano che il termine di monopolo ( ) della funzione di correlazione svanisce, il termine di

dipolo( ), dovuto ad uno spostamento doppler nel segnale registrato per via del movimento dell’osservatore, viene sottratto nel grafico dello spettro di potenza. 26

Per un osservatore posto sulla Terra è l’ampiezza angolare con la quale verrebbe vista sulla superficie di ultimo scattering una lunghezza pari a ⁄ , che è il valore assunto dalla distanza di Hubble a cioè al tempo della superficie di ultimo scattering: in virtù della ⁄ ⁄ , essendo la distanza angolare della superficie di ultimo scattering da noi. Quindi trovare un picco nella curva a questa scala angolare avvalora l’assunzione di un modello di universo spazialmente piatto, poiché il valore di è stato calcolato assumendo che all’epoca della ricombinazione l’universo potesse essere descritto da un modello a curvatura nulla dominato dalla materia (cfr. 2.3.1). Esso è anche il picco più alto perché rappresenta le

64

eccellente accordo con le osservazioni che avvalorano il modello di universo piatto. Di recente il

satellite WMAP ha fornito un’accurata misura di queste anisotropie mostrando questo notevole

accordo tra modello teorico e spettro di potenza sperimentalmente osservato (fig. 2.4).

Figura 2.4: Spettro di potenza delle anisotropie di temperatura della CMB in termini di scala angolare (o momenti di

multipolo), la linea continua mostra l’andamento teorico, mentre i punti rappresentano i dati sperimentali. I dati provengono

da varie missioni WMAP (2006), Acbar (2004), Boomerang(2005), CBI (2004) VSA (2004).

Lo spettro di potenza presenta anche anisotropie secondarie, cioè generate successivamente

all’emissione dei fotoni della CMB, dovute a vari fenomeni tra cui l’ interazioni con la materia a

differenti temperature incontrata nel suo percorso, ad esempio gli elettroni caldi nei gas ionizzati

presenti negli ammassi di galassie provocano sui fotoni della radiazione di fondo che li attraversano

una diffusione Compton inversa e ciò genera delle piccole distorsioni nello spettro della CMB nella

direzione degli ammassi, questo è chiamato effetto Sunyaev-Zel’dovich, questo e anche ad altri

effetti, come quello di lente gravitazionale, modificano lo spettro e la distribuzione di luminosità

della radiazione di fondo [16], o l’effetto Sachs-Wolfe integrato (ISW) dovuto all’attraversamento

da parte dei fotoni di buche di potenziale variabilie durante la loro propagazione. Il termine di

dipolo ( è dovuto allo spostamento Doppler che risulta sul segnale a causa della

composizione dei movimenti cui partecipiamo come osservatori: il moto di rivoluzione della Terra

buche di potenziale all’interno delle quali il fluido fotoni-barioni aveva appena raggiunto la massima compressione al tempo dell’ultimo scattering.

65

intorno al Sole, il moto del Sole intorno al centro della galassia, il moto orbitale della nostra

galassia intorno al centro di massa del Gruppo Locale, che nel suo insieme è coinvolto in un moto

con velocità peculiare verso l’ammasso della Vergine, tale termine viene sottratto nello spettro di

potenza che risulta corretto da tale distorsione.

2.8 L’Effetto Sachs-Wolfe integrato

Lo studio delle anisotropie della CMB è anche uno strumento per indagare la presenza della dark

energy e contribuire a porre vincoli ai modelli che vengono proposti per la sua interpretazione,

come avrò modo di mostrare nei prossimi capitoli. Il legame tra le anisotropie e la dark energy si

manifesta in due effetti fondamentali prodotti dalla presenza dell’energia oscura sulla struttura delle

anisotropie: il primo effetto è lo spostamento della posizione dei picchi acustici dovuto alle

modifiche nella distanza di diametro angolare, il secondo effetto è l’ effetto Sachs-Wolfe integrato

(ISW) causato dalle variazioni del potenziale gravitazionale e a differenza dell’effetto Sachs-Wolfe

di cui sopra, prodotto sulla superficie di ultimo scattering, l’ISW è causato dal redshift

gravitazionale che però avviene tra la superficie di ultimo scattering e la Terra, cioè l’osservatore.

Infatti la propagazione dei fotoni del fondo cosmico a microonde avviene in uno spazio-tempo

perturbato, poiché le perturbazioni presenti nel fluido cosmico prima dell’ultimo scattering

evolvono anch’esse insieme all’universo, quindi l’attraversamento da parte dei fotoni di buche di

potenziale variabile, fa sì che il blueshift che il fotone subisce durante la caduta nella buca non è

pari al redshift a cui è sottoposto mentre se ne allontana, perché il potenziale non è costante, quindi

non compensandosi i due spostamenti in frequenza, l’effetto finale sul generico fotone è un

guadagno o una perdita di energia, esprimibile in variazione di temperatura.

La teoria delle perturbazioni ci permette di dare un’espressione formale all’ISW, infatti essendo

questo effetto prodotto sui fotoni del fondo cosmico dal loro propagarsi in uno spazio-tempo

perturbato, chiedersi come avviene tale propagazione significa risolvere le equazioni relative al loro

moto:

(2.52)

(2.53)

nella metrica FRW perturbata27

. La (2.52) è la condizione di annullamento che verifica il fotone la

cui linea d’universo è del genere luce, dove =

è il momento del fotone e un parametro

27 Le equazioni per il modello cosmologico sono state sviluppate in una metrica FRW non perturbata, di background, in

uno sviluppo della teoria relativistica che considera perturbazioni al primo ordine, si parte dal perturbare la metrica

66

affine riconducibile al tempo conforme , con cui è parametrizzata la curva percorsa

dall’istante di emissione( ) all’istante di osservazione( ), individuata dalla (2.53) che è l’equazione

della geodetica. Risolvere queste nella metrica perturbata dà la variazione nella frequenza dei fotoni

e nel cammino percorso in una metrica non omogenea. Nella soluzione dell’equazione (2.53) per

trovo l’espressione dell’ampiezza dell’effetto ISW data dall’integrale sul percorso del fotone:

(

)

[ ] (2.54)

dove e sono i potenziali che descrivono la gravità nella gauge Newtoniana e sono definiti

rispettivamente come le componenti tempo-tempo e spazio-spazio delle perturbazioni del tensore

metrico.

Tra i vari termini che contribuiscono alle fluttuazioni di temperatura nella radiazione di fondo

cosmico, quello dovuto all’ISW è un termine legato alla linea di vista e contiene informazioni

sull’universo recente, inoltre il potenziale gravitazionale è costante per un universo dominato da

materia e quindi non produce un segnale ISW. Questo significa che l’effetto Sachs-Wolfe integrato

è una prova diretta della presenza di qualcosa che non sia semplicemente la materia priva di

pressione.

scrivendola come somma della parte di background

e di una parte che costituisce la perturbazione :

, poiché in RG le equazioni di campo sono invarianti per trasformazioni generali di coordinate implica che

la separazione del tensore metrico in una componente di background ed una perturbata non è unica, si può

selezionare allora una classe di trasformazioni infinitesime che lasciano invariata

e solo è soggetta al

cambiamento, sono le trasformazioni di gauge. La gauge di Newton è caratterizzata dall’avere:

(

)

Dove e sono scalari, è un 3-vettore e è un 3-tensore a traccia nulla, dipendono tutti dallo spazio e dal

tempo. Mettersi in questa gauge significa scegliere per il sistema perturbato un set di coordinate in caduta libera con le particelle nel campo gravitazionale perturbato. A partire da questa espressione perturbata della metrica ogni altra quantità: , , saranno scritti in tale forma: background + perturbazione.

67

CAPITOLO 3

Osservabili Cosmologiche e componenti dell’universo

In questo capitolo presenterò alcune osservabili fisiche d’interesse cosmologico. Il modello teorico,

infatti, trova accordo con le osservazioni dell’universo attuale attraverso la misura di grandezze che

permettono di porre vincoli sul valore dei parametri di densità (qui pongo l’attenzione su ),

che consentono una stima del parametro di decelerazione , che definirò nel prossimo paragrafo, il

quale dà conto dell’andamento dell’espansione e portano ad una misura indiretta di che è oggi il

parametro più importante per descrivere l’universo fisico in quanto imposta una scala per la

maggior parte delle altre grandezze in cosmologia [6].

3.1 Parametri cosmologici e osservabili fisiche

La soluzione dell’equazione di Friedmann implica la conoscenza della densità di energia

dell’universo per poter dar conto direttamente di ed è evidente la difficoltà oggettiva che ciò

comporta, ma l’andamento del fattore di scala può essere dedotto indirettamente attraverso

osservazioni di oggetti celesti distanti che permettono di porre dei vincoli sul suo valore e di

valutare l’andamento dell’espansione. Infatti si può definire una quantità detta parametro di

decelerazione la cui misurazione ci dice se l’espansione dell’universo sta accelerando o meno.

Per il fatto che un apprezzabile cambiamento nell’andamento del fattore di scala si ha su scale

temporali cosmiche, è possibile pensare che in un intorno del tempo attuale il fattore di scala sia

esprimibile attraverso uno sviluppo in serie di Taylor, di cui andiamo a considerare solo i primi

termini:

(

)

(

)

(3.1)

Usando la condizione di normalizzazione (cfr 1.6) possiamo riscrivere questa come:

(3.2)

dove (

)

e il parametro di decelerazione è la quantità:

(

)

(

)

(3.3)

da cui si deduce che risulta negativo se cioè quando l’espansione è accelerata mentre ha

un valore positivo se ossia quando l’espansione è decelerata.

La possibilità di misurare o comunque stimarlo dalle osservazioni ci viene in linea teorica

innanzi tutto dal fatto che esso è esprimibile tramite i parametri di densità attuali (cfr tab 2.2), infatti

dall’equazione di accelerazione (1.61) scritta per componenti risulta che:

68

∑ (3.4)

dividendo questa per e calcolandola oggi a si ottiene per il parametro di decelerazione la

relazione:

∑ (3.5)

e quindi per l’attuale universo contenente materia, radiazione e costante cosmologica risulta:

(3.6)

è quindi legato ai valori dei parametri dati in tab 2.2 da cui si ha che

e

quindi che , in particolare il valore che suggeriscono le osservazioni è cioè il

nostro universo è in una fase di espansione accelerata. Il motivo per cui è definito negativo

quando l’universo è in espansione accelerata, è dovuto al fatto che negli anni cinquanta quando è

stato introdotto come parametro cosmologico si pensava che l’universo fosse dominato dalla

materia e quindi in espansione decelerata, condizione che portò dunque a questa convenzione.

Esistono relazioni che legano a quantità direttamente osservabili, come la distanza delle sorgenti

da noi, di cui darò conto più avanti, che hanno permesso di misurarne indirettamente il valore. La

(3.6), invece, è una relazione che consente, per così dire, un test di controllo per porre dei vincoli

sui parametri , confrontando il valore misurato di con quello teorico da essa espresso.

La conoscenza, invece, della costante di Hubble deducibile, per piccoli valori di dalla legge

lineare sull’espansione (1.2) (il diagramma di Hubble) dove rappresenta la pendenza della retta

che si può tracciare graficando il redshift in funzione della distanza degli oggetti che si osservano,

non è così facilmente determinabile, poiché benché misurare il redshift di una sorgente non

comporta particolari problemi, non si può dire altrettanto circa la misura della distanza della stessa e

questa fu la difficoltà che incontrò anche Hubble e che lo indusse in errore nello stimare in

eccesso, addirittura di un fattore 7 rispetto al valore attualmente riconosciuto (cfr 2.5). Infatti in un

universo in espansione non è così banale misurare una distanza. In linea teorica ho dato la

definizione di distanza propria (1.44) che rappresenta il concetto più lineare di distanza

nell’universo che si espande, pensando di seguire infatti la geodetica di un raggio luminoso, ho

potuto definire la distanza propria attuale dell’oggetto osservato come:

(3.7)

Dove è l’istante di emissione e l’istante attuale in cui avviene l’osservazione. Inoltre partendo

dall’equazione di Friedmann (2.38) data in termini dei parametri e dove il parametro di

curvatura è scritto come :

69

poiché ⁄ , considerando l’integrazione dell’equazione così espressa posso dare per la

distanza propria anche un’espressione in termini dei parametri di densità, come:

⁄

L’integrazione della (3.7) richiede l’esatta forma funzionale di , che non conosciamo, dunque

possiamo ricorrere alla sua espansione in serie di Taylor per inserire nell’integrale la quantità:

(

)

(3.8)

e arrivare a dare per la distanza propria la seguente forma approssimata in funzione dell’intervallo

includendo solo i due termini di ordine più basso:

(3.9)

in questa espressione il primo termine rappresenta la distanza che l’oggetto avrebbe in un universo

statico, mentre il secondo è la correzione dovuta al fatto che, nell’intervallo di tempo in

cui la luce ha viaggiato, lo spazio ha subito un’espansione. Il problema che rimane nell’usare

questa definizione per determinare la distanza è che la luce che riceviamo dalla sorgente in esame

porta informazioni sul redshift e su ma non sull’intervallo temporale Quindi la

distanza propria ha un importante valore concettuale ma non è misurabile e per determinare le

distanze in cosmologia si ricorre a metodi più empirici che di seguito illustrerò.

L’importanza nello stabilire quanto è distante una sorgente sta nel fatto che i telescopi raccogliendo

luce di galassie lontane guardano indietro nel tempo e la cosmologia concentrandosi sugli oggetti

distanti è in grado di ricostruire la storia dell’espansione codificata nella relazione tra la distanza e

la velocità di recessione delle galassie [5]; infatti se la legge di Hubble stabilisce una relazione

lineare tra la distanza e la velocità di recessione delle sorgenti a basso redshift, per valori più alti di

, la deviazione dall’andamento rettilineo ci fornisce il valore di . Ci si aspetta che per un

universo in accelerazione a redshift crescenti le sorgenti risultino più distanti rispetto a quanto

accadrebbe per un universo in decelerazione. Ad oggi si sono raccolte sia prove osservative

dell’attuale accelerazione, infatti a partire dal 1998 gli astronomi osservando supernovae lontane

che apparivano più deboli del previsto hanno stabilito per loro una distanza maggiore di quella

attesa in un universo dominato dalla materia quindi in decelerazione, sia prove osservative circa una

precedente fase, con l’osservazione di supernovae ancora più lontane, in cui l’universo ha rallentato

la sua espansione, come teoricamente previsto e già discusso nella presentazione dei modelli di

universo dominato da componenti differenti dall’energia oscura, che governa l’attuale fase come

suggerisce l’accelerazione registrata, spiegabile in virtù delle proprietà che si attribuiscono a . Se

conoscere il valore di è importante, poiché rappresenta l’attuale velocità di espansione e

permette di valutare anche altre grandezze rilevanti in cosmologia come la densità critica

attuale (cfr 1.56), il parametro di Hubble stesso ⁄ ⁄ quantifica il cambiamento

del fattore di scala nel tempo e l’equazione di Friedmann esprime come questo avvenga in relazione

70

all’energia, nel senso che ogni volta che si registra una variazione nell’andamento del fattore di

scala è segno che una nuova forma di energia ha iniziato a dominare il panorama cosmologico[12],

come è stato evidenziato nei modelli di universo studiati nel capitolo 2.

3.2 Misure di distanze

Ci sono vari metodi sperimentali per determinare le distanze astronomiche i quali seguono o criteri

di tipo geometrico, utilizzando delle triangolazioni nella misurazione, oppure criteri

di tipo fisico che si basano sula conoscenza della luminosità intrinseca dell’oggetto che si sta

osservando; per questa seconda tipologia di misurazione possiamo dire che lo spettro della luce

ricevuta ci dà conto del redshift della sorgente mentre la quantità di radiazione osservata ci

permette, in relazione alla luminosità nota della sorgente scelta, di determinarne la distanza.

Chiaramente i metodi di triangolazione insieme a quelli di riflessione radar1 che si fondano sulla

riflessione da parte dell’oggetto di cui si vuol conoscere la distanza di un segnale radio ad esso

inviato, sono efficaci ed hanno senso quando si parla di sorgenti relativamente vicine,

rispettivamente nell’ambito galattico o planetario se si vuol pensare ad un ordine di grandezza,

mentre per ciò che in questa sede ha interesse e cioè distanze cosmologiche, i metodi basati sulla

conoscenza della luminosità della sorgente sono quelli più utilizzati.

Si definisce distanza di luminosità la seguente funzione che mette in relazione la luminosità2

intrinseca della sorgente in esame con il flusso misurabile di radiazione proveniente da essa:

(

)

⁄

(3.10)

Questa quantità ha le dimensioni di una distanza e di fatto sarebbe quella effettiva dell’oggetto in un

universo statico ed euclideo, la sua determinazione è legata alla conoscenza della luminosità della

sorgente e alla misurazione del flusso ricevuto da essa, gli oggetti celesti di cui è nota come loro

proprietà intrinseca3 sono detti candele standard. In un universo in espansione e nel quale lo spazio

tempo è descritto dalla metrica FRW si debbono considerare effetti geometrici e fisici sulla

1 Il cosiddetto radar rancing si fonda sulla riflessione di un segnale radio inviato dalla Terra all’oggetto in osservazione,

permettendo di valutare in base al tempo intercorso tra l’invio del segnale e la sua successiva ricezione, la distanza dell’oggetto in virtù della relazione o di altri parametri relativi al moto dell’oggetto in esame, chiaramente questo ha senso su distanze dell’ordine planetario, poiché altrimenti il segnale diventerebbe troppo debole per essere misurato. 2 La luminosità è la quantità di energia al secondo emessa dalla stella.

3 Proprietà intrinseca della sorgente nel senso che si può dar conto della sua luminosità in quanto è legata a processi

fisici noti e che la contraddistinguono come quel particolare oggetto celeste, indipendentemente dalla sua posizione, rendendola quindi una candela standard.

71

definizione della distanza di luminosità, in quanto va ben definito il flusso ricevuto Il flusso è

per definizione la quantità di energia per unità di tempo su unità di superficie proveniente da una

stella (o da altra sorgente)4; in uno spazio euclideo statico seguirebbe la legge ⁄ , nella

metrica FRW invece, poiché i fotoni che noi osserviamo sono stati emessi ad un tempo quando

l’universo aveva un fattore di scala legato alle dimensioni attuali dalla

⁄ , dove è il redshift della sorgente in esame, se si esprime la sua posizione in coordinate

comoving , con distanza propria da noi(origine del sistema di coordinate) nonché raggio

della sfera di area su cui pensiamo distribuirsi i fotoni emessi, dove è la

funzione che nella metrica FRW contiene l’informazione sulla curvatura(cfr 1.34), considerando

così il loro moto insieme a quello di espansione dell’universo che vede questa sfera allargarsi col

crescere del fattore di scala, è facile vedere come con l’espansione il flusso decresca secondo un

fattore , in quanto l’energia con cui sono ricevuti i fotoni al tempo è più piccola di un

fattore rispetto a quella con cui vengono emessi dalla sorgente al tempo , passando dal

valore al valore poiché, in virtù del rapporto tra i fattori di scala ricordato

sopra, anche il rapporto tra le lunghezze d’onda è ⁄ (cfr 1.48), mentre l’ulteriore

fattore con cui scala il flusso deriva dalla separazione tra due successive creste d’onda

emesse che passa dal valore a al momento della ricezione, questo incremento

di nell’intervallo temporale quindi riduce la frequenza di rilevazione dello stesso fattore. In

base a tali considerazioni possiamo esprimere il flusso come:

(3.11)

Ciò porta a scrivere la distanza di luminosità nel seguente modo:

(3.12)

Considerando che le osservazioni suggeriscono uno spazio tempo approssimativamente piatto, cioè

con , per cui (cfr 1.34) poiché , come spiegato sopra, risulta dunque che

la distanza di luminosità ha la seguente espressione in relazione alla distanza propria:

(3.13)

4 Le misure della quantità di radiazione ricevuta possono essere effettuate tanto relativamente ad una banda specifica

di lunghezze d’onda(banda passante), tanto all’intero spettro :grandezza bolometrica ,apparente o assoluta che sia a seconda che si conservi l’informazione sulla distanza, infatti la magnitudine apparente di una stella dipende dal suo splendore intrinseco ma anche dalla sua distanza da noi.

72

Questa, scritta nell’approssimazione di un universo piatto, esprime una relazione tra la distanza di

luminosità ed il redshift della sorgente, dunque misurare la distanza di una candela standard con la

(3.10) cioè attraverso la misurazione di osservabili fisiche, permette di stimare la sua distanza

propria, una volta determinato anche il suo redshift , quindi in un universo descritto dalla metrica

di Robertson-Walker la distanza di luminosità è una buona approssimazione per la distanza propria

attuale delle sorgenti esaminate.

Un altro tipo di distanza che si può definire sulla base delle proprietà osservative delle sorgenti è la

distanza angolare basata sul concetto di lunghezza standard. Infatti esistono ad esempio sistemi

legati gravitazionalmente di cui conosciamo la lunghezza , il fatto di considerare oggetti molto

distanti ci permette di pensare tale lunghezza come perpendicolare alla nostra direzione di

osservazione, se la distanza angolare che separa le estremità dell’oggetto in esame è misurabile ed è

possiamo calcolare la distanza dell’oggetto usando la formula per piccoli angoli:

(3.14)

Come per la distanza di luminosità questa coinciderebbe con la distanza propria solo nel caso in cui

l’universo fosse statico ed euclideo. E’ evidente che nell’espansione la stessa lunghezza che è

l’osservabile di riferimento per stabilire cambia, dunque la distanza tra le estremità dell’oggetto

in questione, misurata al tempo è esprimibile nella metrica FRW nel seguente modo:

(3.15)

Potendo assegnare a l’attuale valore , noto per aver scelto l’oggetto come metro standard,

sussiste la relazione:

(3.16)

da cui segue che:

(3.17)

Comparando questa con , sempre nell’approssimazione di un universo piatto, si ha:

(3.18)

da cui segue che il rapporto con la distanza propria è il seguente:

(3.19)

quindi in un universo piatto la distanza angolare non coincide con la distanza propria dell’oggetto al

tempo di osservazione, bensì coincide con la distanza propria che ha la sorgente al tempo di

73

emissione (cfr 1.7) ed inoltre risulta sempre minore del valore della distanza di luminosità,

qualora lo stesso oggetto che si prendesse come metro standard fosse anche una candela standard.

Nel limite per si ha che ⁄ , condizione che permette di usare

questo tipo di distanze per stimare dal grafico che per piccoli redshift rappresenta la legge

lineare di Hubble; mentre nel limite per poiché nel nostro modello di universo la distanza

propria tende alla distanza dell’orizzonte: si ha che la distanza di luminosità

diverge secondo la : mentre la distanza angolare tende a zero seguendo

l’andamento: ⁄ e raggiunge un massimo per sorgenti che si trovano ad uno

, che, avendo assunto i valori e è pari a . Benché all’inizio la

determinazione della distanza attraverso l’uso di sorgenti che fungessero da metri standard è servita

per determinare come pendenza della retta che si otteneva interpolando le distanze così

determinate in un grafico versus , l’uso di metri standard si è rivelato assai difficoltoso

proprio nella determinazione degli stessi, poiché le caratteristiche osservative che deve avere una

sorgente classificabile come metro standard devono essere: un’apertura angolare ben

determinabile affinché sia risolta da un telescopio la lunghezza e che quest’ultima sia ben definita,

cioè le estremità della sorgente devono essere chiare all’osservazione per poter determinare , se

galassie ed ammassi di galassie possiedono la prima caratteristica, non avendo una forma ben

definita, ma variabile con la loro evoluzione, non soddisfano la seconda, quindi in virtù della

difficoltà nel trovare metri standard negli ultimi decenni per determinare tanto il parametro

quanto valutare l’accelerazione nell’espansione dell’universo ( ) e anche poter stimare i parametri

di densità in base al confronto tra il modello teorico e il campione di dati raccolti misurando le

grandezze legate a tali parametri, sono state utilizzate soprattutto candele standard.

Un modo che si sta rivelando promettente per misurare è utilizzare l’effetto Sunyaev-Zel’dovich

insieme all’emissione di raggi X degli ammassi di galassie: le regioni di gas caldo ionizzato presenti

nei clusters sono in grado di diffondere i fotoni della CMB che passano attraverso l’ammasso, per

effetto Compton inverso, a causa di questo processo alcuni fotoni della radiazione di fondo

aumentano la loro energia, mentre altri la diminuiscono, andando a confrontare lo spettro della

CMB nella direzione dell’ammasso e in una direzione diversa, si può misurare lo spostamento in

frequenza, è dunque osservabile una fluttuazione nell’emissione radio della radiazione di fondo

nella direzione dell’ammasso che combinata con le misure dell’emissione di raggi X dal gas caldo

permette di risalire allo spessore dell’ammasso lungo la nostra linea di vista[17].

Nell’approssimazione che l’ammasso abbia forma sferica, risulta che sia l’emissione radio che

quella X dipendono dal suo raggio e dalla densità del gas in esso contenuto; se assumiamo lo

spessore dell’ammasso coincidere col suo diametro, questo diventa il nostro metro standard e

possiamo utilizzare il diametro angolare osservato per determinarne la distanza secondo la (3.14).

Alla base di tale metodo ci sono due caratteristiche fondamentali che si osservano, da una parte il

74

fatto che la densità dei gas negli ammassi è sufficientemente alta da renderli sorgenti luminose nei

raggi X dove la maggior parte della radiazione a tali frequenze è prodotta come bremsstrahlung5

infatti gli elettroni del gas, non solo sono diffusi dagli ioni del gas, ma essi stessi producono

scattering Compton inverso sui fotoni del fondo cosmico6 causando l’effetto Sunyaev-Zel’dovich.

Nel limite non relativistico ( ), circostanza realistica considerando che in un ammasso

tipico la temperatura7 degli elettroni coinvolti è stimata essere pari a , l’effetto

SZ può essere descritto nell’approssimazione di Kompaneets [16] dove viene definito il parametro

detto di Comptonizzazione :

nel quale compare la profondità ottica della frazione di fotoni diffusa (per esprimere il libero

cammino medio dei fotoni diffusi è assunta la sezione d’urto dello scattering Thomson, che

approssima bene la sezione d’urto di questo processo di diffusione) e la temperatura degli elettroni

coinvolti in unità di massa a riposo degli elettroni, l’integrale s’intende esteso all’intero spessore

dell’ammasso. Questo parametro ci dice come l’effetto SZ sia proporzionale alla densità e alla

temperatura degli elettroni e allo spessore dell’ammasso lungo la nostra linea di vista. Anche

l’emissione di raggi X, espressa da , da parte del gas dell’ammasso è proporzionale allo spessore

dell’ammasso lungo la nostra linea di vista oltre che al quadrato della densità di elettroni e dipende

dalla loro temperatura e dalla frequenza dei raggi X, dunque osservazioni congiunte negli intervalli

di lunghezza d’onda X e radio per un ammasso permettono di valutare queste due quantità e il

cui confronto porta ad una misura dello spessore in virtù della relazione: ⁄ . Recenti

misure compiute su 38 ammassi di galassie hanno utilizzato questo metodo per determinare la loro

distanza di diametro angolare sulla base dei dati forniti da Chandra X-ray O. e osservazioni radio

compiute da OVRO(Owens Valley Radio Observatory) e dal radio interferometro BIMA[17].

5 È la radiazione emessa, nella regione dei raggi X, da particelle cariche, in questo caso elettroni, quando subiscono

un’accelerazione o un frenamento, come nell’interazione con i fotoni del CMB per scattering Compton inverso. 6 In ogni scattering la frequenza del fotone subisce un leggero spostamento, viene prodotto in media un cambiamento

nell’energia del fotone di ⁄ ⁄ , e sono temperatura e massa dell’elettrone coinvolto( . Le fluttuazioni nell’intensità della radiazione di fondo misurata in direzione dell’ammasso sono all’incirca pari a . 7 Si usa indifferentemente il o l’ riferendosi alla temperatura, considerando che la costante di

Boltzmann rappresenta il fattore di conversione tra misure di temperatura e misure di energia.

75

3.3 Candele standard e misure dei parametri cosmologici

Quando Hubble stava elaborando la sua legge in base alla misura delle distanze di sorgenti

extragalattiche, prese il via quello che è spesso designato come “programma di Hubble” al quale lui

in primis si dedicò, cioè lo studio della forma della curva spostamento verso il rosso-distanza a

distanze molto grandi [3]. Sperimentalmente la difficoltà maggiore per i numerosi scienziati che si

sono dedicati a questo programma, fino a tempi più recenti, è stata la determinazione esatta delle

distanze e la svolta che permise ad Hubble di scrivere la sua legge per sorgenti con piccoli redshifts

fu la scoperta di una classe di stelle, le Cefeidi, considerabili come candele standard e quindi

indicatori di distanza secondo una scala calibrata in base alla loro luminosità. Infatti le Cefeidi sono

una particolare classe di stelle supergiganti molto brillanti, con luminosità media nel range

, caratterizzate da periodi di variabilità ( della loro luminosità

dovuta alla loro natura di variabili pulsanti; fu la scoperta di una precisa relazione tra il flusso

misurato ed il periodo di variabilità che permise di costruire una scala di luminosità, avendo capito

che la differenza nel flusso misurato in stelle variabili con periodi diversi era dovuta alla differenza

nella luminosità e non nella distanza e così sulla base della conoscenza della loro luminosità si poté

decidere di usarle come candele standard per determinare le distanze secondo la (3.10) e benché nel

1929 ci fosse stato un errore8 nella valutazione esatta della luminosità delle Cefeidi, almeno per

piccoli redshifts e fino a distanze dell’ordine dei si son rivelate delle buone candele

standard, sulla base delle quali misurazioni recenti hanno portato a stabilire che

. La procedura sperimentale che si usa per stimare quando si arriva a scegliere

una classe di oggetti celesti come candele standard, in quanto rispondono ai due requisiti

fondamentali di essere tanto brillanti e quindi individuabili a distanze molto grandi e di avere una

luminosità nota e standard poiché caratteristica intrinseca della loro natura, è di misurare il flusso

ricevuto da varie sorgenti di questo tipo situate in posizioni diverse determinando per ognuna di

esse il redshift e la distanza di luminosità, riportando i dati osservati in un grafico versus la

valutazione della pendenza della retta che si può graficare per (diagramma di Hubble) dà il

valore di . Gli studi compiuti dallo stesso Hubble hanno dimostrato quanto sia importante la

scelta delle candele standard e della conoscenza che si ha della loro luminosità per non incorrere in

stime errate e sebbene oggi da questo punto di vista le Cefeidi sono delle ottime candele standard,

data la conoscenza che si è arrivati ad avere della loro fisica, il loro uso come tali è limitante quando

si voglia estendere lo studio della dinamica dell’universo a distanze più grandi, quindi a redshifts

più alti e cioè a tempi più remoti. È chiaro infatti che se per la determinazione del parametro ci

8 Hubble assegnò ad un valore ben più grande di quello attualmente accettato e questo perché sottostimò la

distanza di luminosità degli oggetti osservati di un fattore 7 dovuto in realtà ad una sottostima della luminosità delle candele standard considerate di un fattore 49; egli aveva confuso due tipi diversi di Cefeidi per calibrare le distanze, inoltre aveva considerato come stelle molto luminose regioni HII in galassie lontane.

76

si può fermare a piccoli , perché ciò che conta è l’approssimazione lineare nell’andamento del

fattore di scala, se invece si vuole determinare il parametro c’è bisogno di considerare candele

standard a redshifts ben più alti per i quali la relazione tra e deve significativamente deviare

dall’andamento lineare, infatti la distanza di luminosità in termini dei parametri di Hubble e di

decelerazione, nel nostro modello d’universo approssimativamente piatto, è esprimibile come:

[

] (3.20)

che segue dalla (3.13) in cui considero nella forma approssimata (3.9) dove al posto di

sostituisco l’espressione che si ricava dalla:

(

)

la quale deriva dall’aver espresso la funzione , scritta secondo lo sviluppo in serie di Taylor

considerato in (3.8) e calcolata in , in termini del redshift, in virtù della ⁄ . La

(3.20), nella quale sto trascurando i termini di ordine superiore al secondo in , rappresenta nel

limite la legge di Hubble in cui la distanza che compare è , la quale fornisce, dunque, una

buona approssimazione per l’attuale distanza propria di un oggetto a redshift

Spostarsi a redshifts più alti, cioè arrivare a considerare distanze dell’ordine del migliaio di

significa dover utilizzare candele standard molto più luminose delle Cefeidi: le supernovae di tipo

Ia. Queste si originano in un sistema binario di stelle una delle quali è una nana bianca, è noto che

le nane bianche sono ciò che rimane di una stella medio-piccola che ha completato il suo ciclo

vitale e al cui interno la fusione nucleare è cessata9,la teoria a riguardo ci dice che esse presentano

un valore limite della massa, detto limite di Chandrasekhar10

, tipico delle strutture omogenee

completamente degeneri [7], in corrispondenza del quale il loro raggio tenderebbe ad annullarsi, è

un limite di stabilità che se superato, come succede quando si verificano supernovae di tipo Ia,

poiché la nana bianca sottrae materiale alla stella compagna, porta al suo collasso, la compressione

così prodotta innesca una combustione esplosiva che causa la totale distruzione della stella

(potrebbe innescarsi lo stesso processo anche dal merging di due nane bianche in un sistema binario

molto stretto), ed un rilascio immediato di un’enorme quantità di energia con un aumento tale di

9 La composizione chimica delle nane bianche è fissata dalle ultime combustioni avvenute nelle fasi precedenti, si

hanno pertanto nane bianche di elio, carbonio, ossigeno, con l’idrogeno che, se presente si trova solo in un sottile strato superficiale .La stella si trova in questa fase in uno stato di alta degenerazione elettronica che fornisce alla struttura una pressione tale da contrastare l’autogravità che tenderebbe a farla collassare. 10

Il limite di Chandrasekhar per le nane bianche è di 1,4 , cioè fino a che il valore della massa rimane entro questo

limite la pressione della degenerazione elettronica sta in equilibrio con l’autogravità ed il sistema si mantiene stabile.

77

luminosità da renderla molto evidente a grandi distanze. Questo insieme al fatto che tale tipologia di

supernovae presenta curve di luce pressoché simili in ogni esplosione conferisce loro il ruolo di

candele standard. Infatti tali curve di luce, a causa della relativa uniformità delle masse delle nane

bianche coinvolte, risultano standardizzabili: tutte mostrano un picco di emissione tra 10 e 15 giorni

con uno spettro caratteristico in cui sono riconoscibili righe dovute alla presenza di elementi

pesanti, tutto ciò fa sì che la loro magnitudine11

apparente dipenda quasi esclusivamente dalla loro

distanza. Nonostante le supernovae di tipo Ia siano eventi abbastanza rari, in una singola galassia ad

esempio se ne registra in media qualcuno ogni mille anni, il fatto che siano indicatori di distanza

efficaci anche ad alti redshifts ( poiché il loro picco luminoso raggiunge luminosità pari a

e benché in alcuni casi si siano registrate variazioni di luminosità del picco nel

range , le osservazioni hanno permesso di correlare tale variabilità con la forma

delle curve di luce e quindi correggere l’incertezza (fig 3.1, 3.2, 3.3) , ristabilendo una

standardizzazione della loro luminosità. A partire dal 1988 prima il gruppo di ricerca : Supernova

Cosmology Project (Perlmutter et al. 1999) e poi dal 1994 anche l’High-z Supernova Search Team

(Riess, Schmidt et al.1998) hanno condotto ricerche sulle supernovae in galassie distanti e hanno

usato le curve di luce osservate ed i redshifts per misurare la costante di Hubble ed il parametro di

decelerazione, giungendo a risultati in ragionevole accordo tra loro e mettendo soprattutto in

relazione i valori trovati con la dinamica dell’espansione ed i parametri di densità relativi alle

componenti dell’universo. Per circa un decennio i ricercatori hanno calibrato attentamente la

luminosità intrinseca delle supernovae di tipo Ia, scegliendo inizialmente le 50 più lontane per le

quali la distanza potesse essere determinata in base alla luminosità apparente misurata. Prima di

discutere la valenza cosmologica dei risultati prodotti dallo studio sui dati raccolti, riporto nelle

figure12

3.1, 3.2 e 3.3 delle curve di luce relative a campioni di SNe-Ia studiate che dimostrano la

loro alta precisione come candele standard13

, in quanto la dispersione in esse osservata può essere

eliminata attraverso un fattore di correlazione tra il picco di luminosità e la forma della curva stessa(

Calan/Tololo survey Hamuy et al 1993), rendendole, quindi, delle ottime candele standard. Per la

calibrazione delle supernovae Ia, quali indicatori di distanza, sono state utilizzate anche le Cefeidi,

infatti la possibilità di misurare con precisione la distanza di una galassia in cui fosse presente una

variabile Cefeide ha permesso di calibrare con altrettanta precisione la magnitudine assoluta della

11 La scala delle magnitudini con cui gli astronomi esprimono flussi e luminosità è logaritmica perché l’occhio ha una

risposta di tipo logaritmico all’intensità della luce ricevuta; la magnitudine apparente è definita attraverso la legge di Pogson come ⁄ ) dove è un valore di riferimento. 12

Nelle figure la luminosità è misurata in magnitudine assoluta , essendo questa pari alla magnitudine apparente che avrebbe la sorgente se si trovasse ad una distanza di luminosità di : ⁄ dove che è la luminosità di un oggetto che produce un flusso quando è visto da una distanza di sussiste

inoltre la relazione ⁄ . 13

Numerosi ricercatori contemporaneamente in tutto il mondo hanno studiato tali curve di luce contribuendo al lavoro dei due principali gruppi di ricerca.

78

curva di luce di una supernova di tipo Ia presente nella stessa galassia rendendole pietre miliari

nell’universo e metaforicamente nella ricerca, come testimonia il risultato analogo cui i due gruppi

di ricercatori sono giunti: la velocità di espansione dell’universo sta aumentando. Questa

fondamentale prova ottenuta grazie all’uso dei più sofisticati telescopi che si avvalgono di sensori

CCD ha portato all’assegnazione del premio Nobel per la fisica 2011 ex equo a S. Perlmutter, B. P.

Schmidt e A. G. Riess.

Figura 3.1: In questo campione di SN-Ia si fa vedere come le curve di luce variano con continuità all’aumentare del

parametro , che rappresenta il numero di magnitudini di cui una supernova diminuisce nella sua curva di luce, nella

banda B, nei primi 15 giorni dopo il massimo, cioè le differenze di magnitudine che si originano a causa di diversi rate di

declino iniziale sono mantenuti anche dopo l’inflection point. Dunque esiste un fattore di correlazione tra picco di luminosità

e rate di declino iniziale.

79

Figura 3.2: In questo campione di 9 supernove, viene mostrata la dispersione nelle curve di luce delle stesse riportate in scala

di magnitudine assoluta, le supernovae intrinsecamente più brillanti al massimo mostrano una curva di luce più larga in virtù

del fatto che stelle più massive producono esplosioni più grandi, ma la risultante nebulosa si deve espandere per più tempo

perché la propria profondità ottica raggiunga l’unità. La forma della curva di luce vicino al massimo dipende dalla quantità

di energia depositata dai fotoni e dai positroni e dal tempo di propagazione dei fotoni attraverso il mezzo otticamente spesso

in espansione. Poi la curva di luce risulta sostenuta solo dai positroni.

Figura 3.3: Sovrapposizione delle curve di luce delle SNe-Ia per rinormalizzazione compiuta attraverso il fattore s, strectch-

factor, che permette di riscalare temporalmente la curva ‘stirandola’ di fatto di un fattore s per costruire singolarmente le

varie sagome che vengono poi sovrapposte per produrre il campione in una data banda.

80

3.4 Studio dei parametri cosmologici in base ai dati di supernovae Ia

Nel 1998 vennero resi noti i risultati a cui giunsero, dopo diversi anni di ricerca, separatamente i

gruppi di ricercatori di cui sopra, in lavori scientifici che spiegavano come grazie ai dati ricavati

dall’osservazione di supernovae di tipo Ia si evincesse come l’espansione dell’universo stesse

accelerando e prove evidenti per l’esistenza di una costante cosmologica [8]. Dati fotometrici e

spettroscopici relativi all’osservazione di un campione, giudicato sufficientemente ampio di

supernovae di tipo Ia per essere statisticamente rilevante in quanto la conoscenza delle incertezze

sistematiche era tale da rendere l’intervallo di confidenza alto, permise di vedere che le distanze di

luminosità di supernovae con erano in eccesso rispetto alle previsioni teoriche in

un universo con bassa densità di materia( ; la spiegazione che si poteva dare a questa

evidenza osservativa è che l’espansione dell’universo stesse accelerando, per cui la luminosità

misurata, mediamente inferiore di - rispetto al valore atteso in base al redshift

misurato per tali supernovae, la cui distanza fosse pensata in un universo decelerato, contenente

solo materia, escludendo chiaramente effetti di assorbimento da parte di polveri interstellari o altri

errori sistematici14

, era dovuta alla maggiore distanza e ciò ha reso evidente l’esistenza di una

componente la cui pressione negativa produce un effetto anti-gravitazionale.

La certezza di aver trovato nelle supernovae in questione indicatori di distanza coerenti ad ogni

scala ha permesso il confronto delle relazioni redshift-distanza elaborate sia a basso che ad alto

redshift, sulla base delle misure di magnitudine delle SNe-Ia, consentendo la stima dei parametri

e , nonché un’ulteriore misura di effettuata estrapolando dalla relazione che si è potuta

graficare, utilizzando il campione di supernovae a basso redshift, la pendenza della retta così trovata

come mostra il pannello in alto nella figura 3.4 [9] dove le misure sono corrette per l’effetto di

assorbimento da polveri e la dispersione è minimizzata arrivando a stimare per la costante di

Hubble il valore . L’andamento lineare risulta dall’interpolazione delle

misure di distanza di supernovae espresse come modulo di distanza ( che

rappresenta la differenza tra la magnitudine apparente e quella assoluta15

, determinate misurando il

flusso proveniente dalle sorgenti, in funzione di individuato dalle misure spettroscopiche delle

stesse sorgenti.

14 I dati raccolti sono stati sottoposti a test di veridicità nei quali si ipotizzava piuttosto che l’esistenza dell’energia

oscura un effetto di oscuramento dovuto ad una certa distribuzione di polveri extragalattiche( secondo i modelli teorici noti come hight-z dust model e replenishing dust) o piuttosto un effetto dovuto ad una particolare evoluzione nella luminosità di supernovae; analisi dati condotte con test del hanno permesso di escludere, con alta probabilità, tali interpretazioni circa la minore luminosità delle supernovae, rispetto al valore atteso. In particolare il modello del replenishing dust è quasi indistinguibile da un modello che include l’esistenza di perché in esso l’oscuramento è direttamente proporzionale alla distanza percorsa e quindi matematicamente simile all’effetto di una costante cosmologica ed è stato giudicato un modello alternativo di poco interesse rispetto ad essa. 15

Il modulo di distanza è , dove si misura in .

81

In questi grafici l’andamento dei dati raccolti viene confrontato con curve teoriche relative a

modelli di universo in cui sono stati ipotizzati parametri di densità di materia e costante

cosmologica che ne indicano la presenza in proporzioni diverse.

Figura 3.4: Nel pannello

superiore è rappresentata la legge

di Hubble da dati di SNe-Ia,

corretti da errori sistematici

usando il metodo MLCS16, il

coefficiente angolare della retta

che interpola meglio i dati

rappresenta una stima di . I

dati sono messi a confronto con

tre andamenti teorici relativi a

modelli di universo in cui si

ipotizzano valori differenti dei

parametri di densità, il miglior

accordo con i dati è, come mostra

anche il pannello inferiore quello

relativo ad un universo piatto con

0,3 e , il grafico in

basso evidenzia come i dati

sperimentali non siano in accordo

con un universo dove fosse

.

L’allontanamento dall’andamento lineare che si riscontra con i dati relativi, invece, a sorgenti con

più alto redshift ci dà informazioni sul valore di . I dati osservativi sono stati confrontati con i

16Il metodo MLCS(Multi-Color-light-shape) è un metodo che impiega quattro diversi colori fotometrici per le SNe-Ia

per determinare le distanze con una precisione eccellente( il quale è l’estensione di modelli empirici costruiti dai ricercatori(Riess, Press, Kirshner 1996a )sulla base dei dati raccolti per costruire curve di luce che permettessero di ridurre al minimo l’incertezza sulla determinazione delle distanze.

82

risultati teorici attesi per tre modelli di universo ipotizzati: un universo piatto contenente solo

materia o un universo curvato negativamente e con ed infine un universo

piatto contenente sia materia che costante cosmologica in misura tale che . Il

confronto ha portato entrambi i gruppi di ricerca a dire che i dati raccolti studiando le supernovae

avvalorano il modello di un universo piatto contenente attualmente materia e costante cosmologica

nella proporzione ipotizzata e che il parametro di decelerazione è .

Per meglio comprendere il legame che si può stabilire tra la distanza di luminosità e i parametri

cosmologici e per capire come dalla sua determinazione si sia arrivati a poter porre dei vincoli sul

valore che essi hanno nell’attuale modello standard, bisogna considerare che in un universo regolato

dalla metrica FRW si può scrivere una relazione precisa tra la distanza di luminosità ad un

determinato redshift e i parametri in studio. La (3.13) riscritta nel caso più generale17

di tale metrica

è: . Ricordando che su una geodetica luminosa si ha che

, si ricava per la seguente espressione:

dove ho prima cambiato la variabile d’integrazione usando la relazione che definisce il parametro di

Hubble ⁄ ⁄ , passando ad un integrale sul fattore di scala e poi ho convertito il fattore

di scala in redshift per via della (1.48), arrivando ad un’integrazione in . Tramite l’equazione di

Friedmann (2.38) scritta in termini dei parametri di densità ⁄ e considerando che ogni

componente evolve secondo la legge di potenza (2.4) specifica che espressa anch’essa in funzione

di piuttosto che di diventa: , definisco l’espressione:

[∑ ]

⁄

nella sommatoria comprendo anche il termine18

di curvatura

a cui attribuisco un

⁄ , quindi posso riscrivere il parametro di Hubble in funzione del redshift nel seguente

modo: e posso dire che:

[

]

17 Nell’indicare la funzione che definisce la metrica ho esplicitato il valore del raggio di curvatura ad oggi,

portandolo fuori dall’espressione della funzione stessa, rispetto a come l’ho definita in (1.34). 18

Dove sto considerando

83

Da cui scrivendo il raggio di curvatura come: √| |⁄ , espressione nella quale intendo

contemplati i tre possibili casi di curvatura, arrivo alla forma più generale della distanza di

luminosità [14] in funzione di e dei parametri di densità:

√| | [√| |

] (3.21)

Limitando la trattazione ai parametri , in un universo piatto: e , [10],

come suggeriscono evidenze sperimentali19

, risulta che la distanza di luminosità ad un determinato

redshift può essere espressa come:

{

⁄ } (3.22)

Fissato il campione di dati ed i parametri cosmologici che si vogliono studiare, è stato fatto il

confronto tra la distanza di luminosità teorica, così calcolata a stabiliti valori di tali parametri e

quella misurata attraverso le osservazioni delle SNe Ia, trovando che i dati sperimentali sono

consistenti con il valore ad un livello di confidenza del per un fissato range di

variabilità di : , quindi son in accordo con le previsioni del modello standard

circa la presenza di energia oscura come una componente descrivibile dall’equazione di stato (1.66).

In figura 3.6 si vede chiaramente come i dati escludano ampiamente un universo attuale in

decelerazione, mentre non permettono di porre vincoli stringenti sulla curvatura, essi sono

consistenti, infatti, anche con un modello con curvatura negativa(Open), o positiva(Close). Il

migliore accordo con i dati, però, si ottiene per il modello di universo piatto con e

e le osservazioni annoverate come catalogo gold, riferito alle misure pubblicate nel 2004, hanno

portato ad un intervallo di confidenza di ( per i dati contenuti nella regione relativa

ad , migliorandolo ampiamente rispetto al lavoro del 1998 in cui era di .

La relazione tra distanza e redshift integrata su una significativa frazione del tempo cosmico, può

essere considerata sia teoricamente come un indicatore dei limiti che si possono porre sul contenuto

di massa-energia dell’universo descritto dai modelli di Friedmann in relazione alla sua espansione,

come visto, sia empiricamente come strumento in grado di ripercorrere la storia dell’espansione

dell’universo. I gruppi di ricerca hanno utilizzato entrambi gli approcci, infatti l’aver stabilito che

recentemente c’è stata un’accelerazione nell’espansione ( è stato anche l’indizio che ha

fatto pensare ad una precedente fase di decelerazione così senza porre qui

19 Come è riportato nello stesso articolo del 2000 di Filippenko [9], recenti studi sulla CMB portano ad avvalorare

l’ipotesi di un universo piatto e valutazioni sulle galassie ed ammassi di galassie portano invece ad assumere .

84

l’attenzione sulle cause fisiche e considerando un andamento empirico per , assumendo il

modello di universo che i dati stessi hanno confermato, la distanza di luminosità può essere espressa

in funzione del parametro di decelerazione, in un universo piatto, come:

[

]

(3.23)

Considerando inoltre per il parametro di decelerazione, espresso in funzione del redshift, la

seguente espansione lineare, dove ⁄ è valutato a :

(3.24)

I gruppi di ricerca hanno usato la (3.23) come un modello cinematico per i dati, parametrizzata dal

parametro di decelerazione , il quale è stato espresso attraverso la relazione lineare appena

scritta; la probabilità per e ⁄ ,per ogni singolo dato, può essere determinata attraverso una

statistica del come segue:

⁄ ∑( (

) )

(3.25)

Dove è la dispersione sul redshift delle supernovae dovuta alle velocità peculiari che in

quest’analisi è assunta essere e è l’incertezza sui singoli moduli di distanza,

indica il redshift al quale è stata osservata la supernova la cui magnitudine misurata porta a

stabilire per essa un modulo di distanza . L’integrazione della densità di probabilità

⁄ su tutti i valori di porta agli intervalli di confidenza indicati e mostrati nella fig 3.5.

Figura 3.5: Intervalli di confidenza per il modello cinematico a due parametri, e ⁄ , adottato per descrivere la storia

dell’espansione, sulla base dei dati relativi alle supernovae annoverate nel catalogo gold [Riess 2004].

85

Tale studio relativo alle supernovae osservate fino a ha dimostrato che , prova

dell’attuale accelerazione e che ⁄ indice di una precedente decelerazione, Gli intervalli di

confidenza, qui riportati, tra questo modello cinematico a due parametri della storia dell’espansione

e i dati del catalogo gold di supernovae osservate, già citato, mostra chiaramente che la probabilità

che ci sia stata una transizione da una fase decelerata all’attuale fase accelerata è . La

combinazione di una recente accelerazione e di una passata decelerazione sono un chiaro segno

della presenza nell’universo tanto della materia oscura, quanto dell’energia oscura.

Gli intervalli di confidenza nel piano (fig 3.6) sono stati derivati anch’essi da

un’integrazione numerica della densità di probabilità su tutti i valori di , dove

il modello teorico di riferimento è stato la (3.21) e non si son poste condizioni sulla curvatura.

Un approccio alternativo a quello rappresentato in fig 3.6 per porre limiti alla variabilità nel valore

che i parametri di densità possono assumere in base ai dati raccolti, è stato di considerare un

universo piatto20

ed una componente generalizzata di energia oscura parametrizzata attraverso la sua

equazione di stato (costante) ⁄ così da determinare la densità di probabilità nel piano

analogamente a come spiegato sopra, riferendosi, questa volta, al modello teorico espresso

dalla 3.22, in tal modo si è determinato un livello di confidenza del per i dati raccolti,

nell’ipotesi di e qualunque fosse il valore di , mentre assegnando il valore

si è determinato un livello di confidenza del relativamente ad un valore di compreso

nell’intervallo ( , come già detto. Per porre limiti circa il valore assunto da sono

stati utilizzati anche risultati ottenuti da esperimenti indipendenti da quello principale di cui sto

parlando, effettuati sempre sulle supernovae (Freedmann & Turner 2003).

20 La piattezza è assunta su basi teoriche in conseguenza dell’inflazione o su basi osservative dalla caratteristica scala

dell’ampiezza angolare delle fluttuazioni della CMB.

86

Figura 3.6: Intervalli di confidenza per( , i tre ovali concentrici corrispondono a intervalli di confidenza quelli tracciati con tratto continuo si riferiscono al catalogo gold relativo ad un campione di 157 SNe-Ia(Riess et al 2004),

quelli punteggiati si riferiscono ai risultati ottenuti dal gruppo di ricerca nel 1998(Riess et al 1998). Le diverse regioni in cui è

suddiviso il grafico rappresentano specifici scenari cosmologici [Riess 1998 arXiv: astro-ph/0402512, 2004].

3.5 L’esistenza della materia oscura e dell’energia oscura e le problematiche

relative

La confermata accelerazione nell’espansione, a dispetto della decelerazione che ci si aspettava

quando partì il progetto di osservazione sulle supernovae, in un universo in cui imperasse la materia

e la conseguente forza di gravità, ha dato prova dell’esistenza e dell’azione sulle distanze più grandi

del cosmo di una forza repulsiva che sta creando spazio e che trascina con sé le galassie avendo la

meglio sulla forza di gravità, dovuta alla componente nota come energia oscura. Per la prima volta

nel 1998 venne data una stima delle componenti dell’universo in termini di frazioni della densità

critica includendo dark matter e dark energy in un quadro che era consistente con la teoria

inflazionaria che prediceva un universo piatto. Questi risultati hanno aperto nuove domande sulla

natura della materia oscura e dell’energia oscura, essendo, non solo la quantità, ma anche la

composizione della materia e energia dell’universo fondamentali per capirne bene tanto il passato

quanto il futuro, permettendo di determinare: l’età attuale, quando è terminata l’era dominata dalla

87

radiazione, il crescere delle piccole disomogeneità nella materia e di spiegare sia la formazione

delle strutture, sia l’evoluzione delle galassie individuali. Questioni aperte cui il modello standard

cerca di dare una risposta.

3.5.1 EVIDENZA DELLA MATERIA OSCURA, IPOTESI SULLA SUA NATURA E

COMPOSIZIONE

Il notevole impiego di tempo ed energie per determinare21

il parametro , che è stimato essere

oggi nell’intervallo , è perché rappresenta un’informazione importante sia per la

determinazione del moto globale dell’universo sia per la sua curvatura. Da decenni è assodato che

la sola materia visibile, che potremmo annoverare in stelle e pianeti è davvero esigua rispetto alla

quantità di materia che occorre ad esempio per tener unite gravitazionalmente le galassie o ancor

più per avere un universo chiuso o tanto meno piatto come le osservazioni a partire dallo spettro di

potenza della radiazione di fondo cosmico indicano. L’approccio per la stima della densità di

materia dovuta alle stelle è quello di valutarla in base alla loro luminosità attraverso il rapporto

massa su luminosità22

e con questo metodo si è giunti a dire che le stelle non arrivano a costituire

nemmeno lo della densità necessaria affinché l’universo sia piatto. Anche le stime della

materia barionica complessiva dell’intero cosmo, derivanti dalle previsioni della nucleosintesi

primordiale del big bang (BBN), che trova riscontro nell’abbondanza di elementi leggeri presenti

nelle nubi di gas di ammassi ad alto redshift, attraverso la valutazione del deuterio presente (cfr

2.6), che è preso come misuratore di riferimento della percentuale di barioni nell’universo [11],

sono oggi pari a , questo valore è rappresentativo tanto delle stelle e dei loro

residui: nane bianche, buchi neri, stelle di neutroni, quanto delle nane brune, dei gas interstellari nei

clusters e tra i clusters stessi, ed è ben al di sotto della densità critica, questo valore inoltre ci dice

che la maggior parte della materia barionica non è direttamente visibile. Essa è contenuta nei gas

caldi presenti negli ammassi di galassie e la frazione della massa totale in questa forma, , può

essere misurata o attraverso osservazioni dirette di raggi X provenienti dal gas o attraverso le

distorsioni nello spettro di potenza della radiazione di fondo dovute allo scattering inverso dei

21 Molti metodi sono stati usati per determinare , utilizzando osservabili diverse, a partire dallo spettro di potenza

della CMB misurando le fluttuazioni di densità, allo studio delle caratteristiche degli ammassi di galassie ad alto redshift e la mancanza di un’evoluzione apprezzabile se confrontati con quelli a redshift più basso o la stima della frazione di materia barionica nei grandi ammassi attraverso il confronto con i valori attesi secondo la teoria BBN ad esempio. 22

Sulla base della quantità ⟨ ⟩ nota per il Sole, si è stabilita, per confronto, una scala di valori che questo

rapporto assume per le varie tipologie di stelle in base alla loro luminosità e alla classe spettrale di appartenenza, cosicché il rapporto ⟨ ⟩ per un’intera galassia dipende dall’insieme delle diverse stelle che contiene. Effettuando una stima relativa al contenuto di stelle nel raggio di intorno al Sole, calcolando il rapporto massa/luminosità relativo a tale regione per poi estenderlo all’intero universo, si è arrivati a stabilire che nel confronto con , la

densità di materia contenuta nelle stelle equivale ad un parametro di densità ad esse relativo di

.

88

fotoni da parte di elettroni caldi (effetto Sunyaev-Zel’dovich) e porta a , poiché

, questa misura, implicando un ⁄ , fornisce un’ulteriore

prova che c’è una parte di materia non barionica[15] . Anche lo studio, che fin dai lavori pioneristici

di Zwicky e poi in quelli di Vera Rubin è stato compiuto sul moto degli oggetti che costituiscono le

galassie e gli ammassi di galassie, ha portato a dire che la densità di materia non barionica è almeno

quattro volte la densità di quella ordinaria e che quindi la maggior parte di materia che costituisce

l’universo è materia oscura , che non emette, assorbe o diffonde onde elettromagnetiche per cui un

modo per rilevarne la presenza è attraverso la sua azione gravitazionale osservabile tanto sul moto

delle stelle e delle galassie, tanto sulle traiettorie dei fotoni che passano vicino a galassie o ammassi

di galassie e appaiono deflessi per l’effetto di lente gravitazionale spiegabile con l’esistenza di un

alone di materia oscura che si è stabilito circonda tanto le galassie quanto gli ammassi. Infatti per

spiegare la velocità orbitale delle stelle osservate nei dischi galattici di galassie a spirale, che non

decresce con il raggio secondo un andamento √ ⁄ come ci si aspetterebbe considerando tali

stelle su orbite kepleriane intorno al centro della galassia all’interno di una distribuzione di massa

decrescente allontanandosi da esso23

, ma piuttosto rimane elevata e costante a partire da una

certa distanza espressa in termini di un raggio scala definibile galassia per galassia, si stabilisce

la presenza di un alone sferico di materia oscura che circondando il disco galattico permette alla

galassia di restare gravitazionalmente legata. Analogamente, passando a scale più grandi, quelle

degli ammassi galattici24

, usando il teorema del viriale (che esprime lo stato d’equilibrio per un

sistema selfgravitante) o l’equazione di equilibrio idrostatico applicata ai loro gas25

per stimarne la

massa totale, si è stabilita la necessità della presenza di un alone di materia oscura anche in essi per

farne dei sistemi legati. L’effetto di lente gravitazionale che consiste nella deflessione della luce che

si trova ad attraversare regioni in cui è presente un forte campo gravitazionale prodotto da oggetti

massivi, che si comportano come lenti, già previsto da Einstein nella sua teoria della relatività, è

stato ampiamente osservato ed usato per stabilire la presenza di materia oscura tanto nell’alone della

nostra galassia quanto in ammassi distanti. Sono state fatte varie ipotesi su ciò che costituisce tale

alone e sotto l’acronimo di MACHOs (Massive Compact Halo Objects) s’intendono quegli oggetti

massivi quali nane brune, nane bianche e stelle di neutroni che vengono annoverate come parte

23 Come suggerisce la funzione che definisce la luminosità superficiale dei dischi galattici ⁄ riferita alla

sola materia barionica che ha la caratteristica di emettere luce, è una lunghezza che stabilisce una scala per ogni galassia tipicamente dell’ordine del 24

Gli studi che portarono Zwicky nel 1930 ad ipotizzare l’esistenza di materia oscura furono compiuti sull’ammasso della Chioma, la valutazione della velocità delle galassie in esso osservabili lo portò a porsi il problema della massa mancante, poiché il solo contenuto di materia visibile non spiegava come tali oggetti potessero costituire un sistema legato gravitazionalmente, essendo la dispersione nella loro velocità radiale molto grande, intorno a . 25

La misura dell’emissione di raggi X da parte dei gas caldi presenti negli ammassi, dà prova del fatto che se non ci fosse materia oscura a tenerli legati gravitazionalmente, si sarebbero espansi oltre l’ammasso in un tempo molto più breve del tempo di Hubble.

89

della materia dell’alone, che quindi sono catalogati come materia oscura barionica, ma si stima ne

rappresentino solo una parte, che per esempio nella nostra galassia è pari al 20% del totale,

circostanza che lascia aperto l’interrogativo sulla natura e la composizione della materia oscura non

barionica. Il modello standard riconosce alla materia oscura due caratteristiche fondamentali:

l’essere non relativistica ed essenzialmente non calda, infatti la teoria a riguardo viene anche

chiamata CDM (Cold Dark Matter), poiché se non avesse queste due proprietà si sarebbe separata

dalle regioni sovradense impedendo alle galassie di formarsi e la seconda caratteristica è che ha

un’interazione molto debole con la materia ordinaria, per questo è così difficile individuarla. I

neutrini sono stati tra le prime particelle che si è pensato potessero costituire la materia oscura in

quanto dotati di massa ma poco interagenti con la materia barionica ed in virtù dell’ipotizzata

esistenza di un fondo cosmico di neutrini(cfr1.10), i quali, considerando i tre possibili sapori

( , si stima abbiano una densità numerica, rapportata a quella dei fotoni della CMB

( cfr2.7) pari a:

(

)

considerando che il parametro di densità dovuto alla materia oscura si stima essere oggi

, ciò implicherebbe che in media un neutrino costituente la dark matter dovrebbe avere una

massa dell’ordine di:

essendo la densità critica (cfr1.8). Ad oggi la stima della massa

dei neutrini ha portato a valori ben inferiori, infatti per i neutrini muonici osservati nell’atmosfera

terrestre si è stabilito un valore inoltre le osservazioni indicano che la variabilità in

massa tra i tre tipi è trascurabile ( ), dunque una massa così piccola

implicherebbe un contributo infinitesimo( al parametro di densità della materia oscura.

Questa evidenza ha portato ad ipotizzare l’esistenza di altre particelle elementari come candidati per

la materia oscura non barionica, ad esempio si è considerata l’estensione del modello standard delle

particelle elementari a particelle supersimmetriche26

di cui si è ipotizzata l’esistenza, ma la cui

26 La teoria della supersimmetria nella fisica delle particelle prevede che per ogni particella ne esista una

corrispondente che segue la statistica opposta, in ciò si presenta come una teoria unificatrice della statistica di fermioni e bosoni. Se la supersimmetria fosse una simmetria esatta, le particelle e le corrispondenti super-particelle avrebbero lo stesso valore di massa. Ma non è stata osservata alcuna super-particella( con valore di massa minore di ) e quindi la supersimmetria è rotta a bassa energia. Diversi meccanismi sono stati introdotti per descrivere questo fenomeno: rottura spontanea oppure mediata da qualche legge. Il meccanismo di rottura della supersimmetria

90

presenza non è mai stata rilevata in laboratorio negli esperimenti con gli acceleratori di particelle

poiché si ipotizzano per loro valori di massa anche superiori ai , e quindi energie troppo

elevate per gli strumenti a disposizione. La super-particella più leggera LSP si prevede sia stabile

per interazioni deboli e che interagisca con la materia ordinaria tramite lo scambio di particelle

supersimmetriche la cui massa è dell’ordine della scala delle interazioni deboli, nella maggior parte

dei modelli di rottura della supersimmetria la LSP è il neutralino, un fermione neutro soggetto solo

ad interazione debole ed uno dei candidati per interpretare la materia oscura fredda. Queste

particelle non ancora rivelate in laboratorio: fotini, gravitini, gluini, neutralini ed altre plausibili

costituenti della materia oscura sono note come WIMP (Weakly Interacting Massive Particle),

poiché la loro proprietà fondamentale è quella di essere neutre ed interagire debolmente col resto

delle particelle note e solo attraverso la gravità o forze nucleari deboli e di essere molto più massive

dei neutrini. Inizialmente si era sperato che fermioni osservati potessero essere partners di bosoni

osservati, ma questa speranza è disattesa dalla natura; invece la supersimmetria deve essere rotta e

tutti i corrispondenti partners supersimmetrici delle particelle note devono essere così massivi da

non essere stati ancora osservati negli acceleratori[12]. Inoltre si ipotizza per loro una stabilità in

quanto se potessero decadere in particelle più leggere, allora i loro decadimenti si sarebbero

mantenuti in equilibrio nell’universo primordiale e non sarebbero arrivate ad esistere oggi. Secondo

il modello standard le particelle passano attraverso due principali fasi durante l’evoluzione

cosmologica (come già visto per i processi della BBN o della generazione della CMB): quella in cui

mantengono l’equilibrio termico, cioè fino a quando il loro rate d’interazione rimane più grande del

rate d’espansione dell’universo e quella in cui l’espansione dell’universo le rende così diluite che

non possono più interagire tra loro ed il rate di espansione supera quello d’interazione. All’epoca in

cui i rate si equivalgono, il numero di particelle per unità di volume comovente per ogni data specie

rimarrà costante. Per le particelle relativistiche la densità residua è indipendente dalle caratteristiche

del disaccoppiamento, ma per quelle non relativistiche più è piccola la sezione d’urto del processo

di annichilazione, maggiore è la densità residua, perché un’annichilazione meno efficiente permette

la sopravvivenza di più particelle. Così una particella molto massiva( ) stabile alle scale

d’interazione debole, potrebbe fornire l’esatta densità residua per interpretare la materia oscura. Le

WIMP verificano queste condizioni per questo costituiscono un probabile candidato per la materia

oscura. Dopo la recente scoperta al CERN27

di una nuova particella compatibile con le

caratteristiche del bosone di Higgs, che dà completezza al modello standard, si pensa di essere sulla

determina la gerarchia dei valori di massa delle particelle supersimmetriche e quindi guida lo studio di processi che possano produrle in interazioni di alta energia. 27

A luglio 2012 sono stati resi noti i risultati cui sono pervenuti tanto ATLAS che CMS, due esperimenti che si avvalgono di una differente tipologia di rivelatori, usati per tracciare ciò che accade nel Large Adron Collider(LHC) , quando si facciano collidere fasci di protoni ad alte energie, entrambi gli strumenti hanno evidenziato l’esistenza di una particella di massa intorno ai (ATLAS) e (CMS) che sembra coincidere col bosone di Higgs previsto dalla teoria, questi risultati sono dati con un livello di significatività di e per ATLAS e CMS rispettivamente[22].

91

strada dell’individuazione delle particelle supersimmetriche candidate a costituire la materia oscura,

nuovo obiettivo per gli esperimenti condotti con LHC (ATLAS SUSY searches).

L’elenco delle possibili entità costituenti la dark matter è molto lungo in realtà, essendo state

avanzate molte ipotesi a riguardo da più fronti, appartenenti a teorie anche lontane dal modello

standard. La chiave principale per la sua interpretazione rimane una conoscenza più precisa della

sua natura.

3.5.2 IPOTESI SULL’ENERGIA OSCURA E PROVE OSSERVATIVE

L’equazione di Friedmann (

)

∑

mostra chiaramente che perché avvenga

un’accelerazione nell’espansione dell’universo, ovvero sia crescente, deve esistere una densità

di energia che, al crescere del fattore di scala , decresca più lentamente di come

segue da:

Né la materia né la radiazione consentono ciò, poiché e , mentre la dark energy

verifica questa condizione in virtù della (2.4), poiché appare oggi come la componente energetica

dominante caratterizzata da un’equazione di stato con parametro ⁄ 28

(fig3.8). Infatti i dati

sperimentali sono consistenti con sorgenti di energia oscura uniformemente distribuita che varia

lentamente col tempo, tanto da essere assimilata ad una costante cosmologica che si associa

all’energia del vuoto, in quanto l’energia del vuoto e una costante cosmologica sono

indistinguibili poiché la costante cosmologica corrisponde ad una densità d’energia uniforme

⁄ [11]. I cosmologi hanno esplorato anche altre forme per l’energia oscura che

avessero un comportamento diverso da . Modelli con un’energia oscura che abbia un’equazione di

stato variabile nel tempo o un modello dinamico nel quale il miglior candidato per rappresentare

l’energia oscura è un campo scalare lentamente variabile nel tempo ed omogeneo nello spazio,

anche noto come quintessenza, una densità di energia oscura dinamica infatti produrrebbe la

soluzione o le condizioni per avere risposte alle problematiche relative alla costante cosmologica,

quelle cosiddette del why now e del fine-tuning [15].

Il problema del why now (anche detto della coincidenza) nasce da queste considerazioni: sulle scale

temporali cosmologiche il passaggio da una fase di decelerazione ad una di accelerazione, quindi il

manifestarsi del predominio dell’energia oscura sulla materia (ordinaria e oscura), è avvenuto in

tempi recenti( nel lavoro del gruppo di Riess il momento della transizione è stimato intorno a

; il miglior accordo tra i dati sperimentali ed il modello teorico per il nostro universo,

28 Nella discussione del modello di universo di De Sitter (2.3.3) si è fatta l’approssimazione di energia oscura

rappresentata dalla costante cosmologica cui si è assegnato un valore =-1.

92

come ampiamente discusso nel capitolo 2, ci ha portato a stimare per i parametri di densità i valori

e e comunque lo stesso ordine di grandezza e non è noto il meccanismo fisico

che genera ciò, infatti il rapporto tra queste due quantità cambia rapidamente in un universo in

espansione come:

Nell’intervallo in cui questo rapporto varia tra 0.1 e 10, l’universo si sarà espanso di un fattore

⁄ , conseguenza di ciò è che in tempi primordiali l’energia del vuoto era trascurabile

se paragonata alla materia e alla radiazione mentre in seguito è avvenuto il contrario, subito dopo il

Big bang al tempo di Planck, √ ⁄ , si stima che ⁄ [25].

Se consideriamo come scala temporale nella storia dell’universo una scala logaritmica in ,

prendendo un intervallo di tempo centrato all’epoca attuale ( ), considerando che dal tempo di

Planck ad oggi il fattore di scala è aumentato approssimativamente di un fattore si può dire

che l’espansione totale dell’universo corrisponde ad un fattore , quindi la probabilità di vivere

nell’epoca di equivalenza fra le due densità è dell’ordine dell’1%. Dunque basterebbe che il

rapporto tra e fosse di poco più grande o più piccolo che non ci sarebbe questo problema

della coincidenza. La possibilità di associare l’energia oscura ad un campo lentamente variabile nel

tempo(modelli DDE ossia dynamic dark energy) permetterebbe di darsi delle risposte circa il suo

manifestarsi con entità diversa in epoche tanto lontane tra loro. Il trascurabile peso che questa forma

di energia ha avuto nelle fasi passate ha evitato l’interferenza con la formazione delle strutture,

infatti lo sviluppo delle strutture osservate oggi a partire da perturbazioni di un certo ordine di

grandezza nella densità di materia/radiazione, che può essere stimato a partire da misurazioni delle

anisotropie nello spettro di potenza del fondo cosmico, richiede che l’universo sia stato dominato

dalla materia a partire dall’epoca dell’uguaglianza radiazione-materia, fino ad un momento recente

nella sua storia.

93

Figura 3.7: Andamento di in funzione del fattore di

scala espresso in scala logaritmica. Sono evidenziati

momenti ed epoche differenti: tempo di Planck,

transizione di fase elettrodebole il tempo della

nucleosintesi e l’era attuale. E’ evidente il salto

nell’aumento di ad oggi rispetto alle fasi

precedenti.

Fig. 3.7

Il problema denominato del fine-tuning (o CCP, cosmological constant problem) invece consiste nel

fatto che la trattazione dell’energia oscura in termini di una costante cosmologica , che rappresenta

nella teoria della relatività generale classica una costante di natura, un parametro libero, è che nel

momento in cui si vada a considerare la densità di energia ad essa associata si trova una discrepanza

di 120 ordini di grandezza tra il valore sperimentalmente osservato e quello teorico atteso, cioè

risulta che

essendo il valore osservato pari a mentre

quello previsto dalla teoria:

⁄ (3.25)

dove è la massa di Planck, a questo valore si giunge pensando di rappresentare le fluttuazioni

quantistiche del vuoto attraverso dei campi quantistici di cui si va a considerare la trasformata di

Fourier, ogni modo ad una fissata lunghezza d’onda si comporta come un oscillatore armonico con

potenziale ⁄ ed energia di punto zero ⁄ , l’energia del vuoto risulta

essere l’integrale su tutti i modi, ma poiché tale quantità diverge, si è introdotta un’energia di cutoff,

prima della quale si ignorano i modi a piccole lunghezze d’onda( 29 che son quelli che

portano alla divergenza, quest’energia di cutoff corrisponde dunque alla scala di Planck, risulta così

29 La lunghezza di Planck

94

evidente il valore previsto dalla (3.25). Ci sono teorie che cercano soluzione a questo problema

riducendo la differenza vista in ordini di grandezza, come la teoria della supersimmetria: i bosoni ed

i fermioni di massa identica contribuiscono in maniera uguale ma con segno opposto al valore di

energia del vuoto, la supersimmetria prevede che per ogni grado di libertà fermionico esiste un

grado di libertà bosonico accoppiato, ma con massa differente30

, dunque la strada che apre la

supersimmetria alla risoluzione del problema del fine-tuning è una combinazione opportuna di

bosoni e fermioni che porti il valore atteso ad avvicinarsi a quello osservato. Questa grande

discrepanza in ordini di grandezza, comunque, ha portato a chiedersi se il CCP sia stato

correttamente formulato, pensando che il problema è nella definizione di un’energia di punto zero;

in un recente lavoro [61] è stata seguita una linea di ragionamento differente da quella illustrata per

stimare e si fonda sull’effetto Casimir

31. Si sottolinea che ciò che può essere davvero

misurato è il cambiamento dell’energia del vuoto variando il modulo geometrico e ciò è

indipendente dallo spostamento che produrrebbe una qualunque definizione di energia di punto

zero, quindi in un universo con spazio tempo FRW in espansione, l’energia del vuoto dipende dal

fattore di scala e nella fase attuale dell’universo si può stabilire che

che è

dimensionalmente consistente con il valore osservato essendo (momento di cutoff ) dell’ordine

dell’energia di Planck. In tale studio si assume la stabilità di uno spazio di Minkowski vuoto di

materia e radiazione(il che porta ad un valore nullo per l’energia del vuoto quando è costante

nel tempo) e la possibilità di definire un effettivo valore da un ⟨ | | ⟩, cioè

valore che (hamiltoniana per la densità di energia) assume in un suo autostato ⟨ |⟩, calcolo che

richiede un cutoff nello spazio degli impulsi al valore ,in linea con l’usuale formulazione del

CCP, e porta al valore , dove , correlato alla curvatura, è pari a

nell’attuale universo, ne esprime la dipendenza dal fattore di scala.

Dunque la stima del contenuto di materia dell’universo effettuata con differenti metodi, in primis lo

studio della massa dei grandi clusters, formatisi da perturbazioni della densità dell’ordine dei

, pensati come indicatori della densità media di materia dell’intero cosmo in virtù del loro

rappresentare regioni molto ampie aveva già fatto capire che la frazione maggiore di materia

dell’universo è di natura non barionica, ma ha reso anche evidente che il circa del contenuto

dell’universo non è annoverabile come materia e deve essere trovato, essendo i dati relativi alla

curvatura32

consistenti con un universo piatto con 1 [11]. I risultati ottenuti dallo studio delle

30 Se la supersimmetria esiste, allora in natura è rotta a scale dell’ordine di , nel senso che non essendo stati

osservati i partners supersimmetrici dei bosoni e dei fermioni noti, allora è previsto che abbiano una massa molto più grande, non ancora apprezzata dagli strumenti in uso. 31

L’effetto Casimir è spesso citato come prova dell’esistenza dell’energia del vuoto, si riferisce alla forza che si esercita nel vuoto tra due corpi estesi, dovuta ad un campo quantistico, prese due lastre metalliche distanti tra cui si è

realizzato il vuoto la forza di Casimir è

con energia del vuoto elettrodinamico tra le due lastre.

32 Dati provenienti dai primi risultati sullo studio delle anisotropie della CMB.

95

supernovae si sono inseriti perfettamente in questo quadro rendendo necessaria l’esistenza di una

forma di energia che spiegasse i dati osservativi relativi all’accelerazione e fosse consistente con le

previsioni teoriche tanto relativamente al contenuto di materia/energia dell’universo che guida il suo

moto e tanto riguardo alla formazione delle strutture. Nel modello cosmologico standard, come già

ampiamente detto, il contributo dell’energia oscura è espresso attraverso una costante cosmologica,

simile al termine pensato da Einstein nella sua equazione relativistica di campo, ma un acceso tema

di ricerca resta attualmente la domanda: se l’energia del vuoto è veramente indipendente dal tempo,

come una costante cosmologica, o piuttosto varia con esso.

Modelli diversi per la dark energy possono portare a storie cosmiche differenti ed in particolare a

diversi valori per il parametro nella sua equazione di stato, poiché la CMB vincola strettamente

la densità totale dell’universo ad essere vicina al valore critico, è accettabile porsi in un universo

piatto e determinare insieme vincoli per la densità di materia e l’equazione di stato dell’energia

oscura (fig3.7). Una possibilità consistente con i dati è che il parametro di stato della dark energy

sia , ma ciò violerebbe la condizione di energia dominante, anche se sono stati proposti

modelli a tal riguardo, che però incorrono in serie problematiche quando li si consideri in dettaglio

come una teoria della fisica delle particelle. Anche il restringersi a sorgenti di materia più

convenzionali, rendendo la dark energy compatibile con le particelle fisiche di cui si può dar conto

si è dimostrato particolarmente difficile. Date le sfide poste da questi problemi si è ritenuto

plausibile considerare la possibilità che l’accelerazione cosmica non sia dovuta ad un solo fattore,

ma piuttosto derivi da una nuova fisica gravitazionale.

Per distinguere questa varietà di modelli per l’energia oscura è importante porre vincoli usando dati

osservativi come quelli provenienti dalla distanza di luminosità delle SNIa, dalla posizione dei

picchi acustici nello spettro di potenza della CMB e dalle scale di oscillazioni acustiche barioniche

(BAO) nello spettro di potenza della distribuzione di materia estratto dallo studio di strutture su

larga scala (LSS), nonché recentemente lo studio dell’evoluzione temporale del redshift

cosmologico come un test per i modelli sulla dark energy (SL test) (cfr 3.6). Il considerare

unitamente i dati provenienti da queste surveys fa parte del progetto DETF(Dark Energy Task

Force)[73], infatti la possibilità di valutare la presenza dell’energia oscura da più punti di vista

permette di ridurre gli errori sistematici sui dati relativi al singolo fenomeno in esame, i quali a

volte sono anche di difficile predizione di per sé, come nel caso del fenomeno di weak lensing (WL)

che è entrato a far parte del progetto stesso tra le tecniche di studio dell’energia oscura e che

riguarda la distorsione delle immagini di background dovuta all’incurvarsi del cammino della luce

quando passa attraverso una galassia o un ammasso di galassie. La tecnica di WL è sensibile

all’energia oscura attraverso il suo effetto sulla relazione distanza di diametro angolare vs redshift

ed il rate di crescita della struttura.

Fondamentalmente il metodo per valutare le proprietà basilari dell’energia oscura è considerare la

sua equazione di stato e dunque il parametro e cercare vincoli su di essi dai dati osservativi

provenienti dagli studi appena elencati. Nel modello con costante cosmologica ( CDM) all’energia

oscura si associa un mentre in genere negli altri modelli si assume un variabile nel

tempo ed il primo obiettivo delle ricerche sulla dark energy è scoprire le deviazioni dal valore

per capire se può essere identificata con una costante cosmologica o no.

Le osservazioni delle supernovae hanno fornito informazioni sulla storia dell’espansione cosmica

per ; misure sullo spettro di potenza del fondo cosmico a microonde hanno evidenziato che la

96

presenza della dark energy produce spostamenti nella posizione dei picchi acustici delle anisotropie

della CMB: una modifica su larga scala dello spettro attraverso il cosiddetto effetto Sachs-Wolfe

integrato(cfr. 2.8) e benché i dati della CMB non siano sufficienti, da soli, a porre vincoli stretti

sull’energia oscura, l’analisi combinata di tali dati e di quelli sulle supernovae produce forti legami

nell’equazione di stato tra il parametro e la frazione di energia oscura espressa tramite

33[19]. Inoltre la distribuzione su larga scala di galassie in ammassi dà altre informazioni sulle

proprietà dell’energia oscura, infatti se si assume che la gravità è la prima forza che determina la

distribuzione di materia su larga scala e che le galassie tracciano la massa, almeno a tali scale, allora

si può confrontare il miglior fit34

dei dati osservativi sulla distribuzione di galassie su larga scala

(due importanti ricerche in corso riguardanti le strutture su larga scala sono 2dFGRS(Colless et al.

2001) e SDSS [20] ) col modello teorico ΛCDM (che interpreta l’azione dell’energia oscura

attraverso ) e quindi con il valore atteso dei parametri cosmologici previsti in esso. Nel 2005 il

rilevamento di un picco di oscillazione acustica barionica (BAO)35

nella funzione di correlazione su

larga scala da parte di Eisenstein et al. ad un redshift nell’osservazione di luminose

galassie rosse all’interno del progetto di mappatura del cielo SDSS (Sloan Digital Sky Survey) ci ha

fornito un’altra prova, indipendente dalle precedenti, sull’esistenza della dark energy, infatti i dati

mostrano come una primordiale componente di dark energy (il cui valore è stimato essere

) può contribuire ad un’incertezza sistematica nella misura delle BAOs [21], il principale effetto

della componente primordiale di energia oscura sulle misure di una BAO è un cambiamento

33 Con indico il parametro di densità attuale relativo alla Dark Energy , pensata come componente generica

senza identificarla con per come fatto precedentemente. 34

Attraverso le surveys su grande scala come la WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) sono stati stimati i valori di molti parametri cosmologici del nostro modello ed in particolare in riferimento all’energia oscura si è valutata la sua equazione di stato stimando il suo [20]. L’analisi dei dati è proceduta in questo senso: i dati raccolti sono stati inseriti insieme a quelli provenienti da osservazioni della CMB su altre scale e quelli relativi ad altri progetti di ricerca in un test di probabilità che il valore stimato per ogni parametro considerato fosse in accordo col modello teorico di riferimento, utilizzando per ogni parametro una sua funzione(unidimensionale) di probabilità, così da determinarne il valore aspettato come miglior fit compiuto sui dati osservativi del parametro stesso. Il modello è stato rappresentato da una funzione di probabilità N-dimensionale essendo N il numero di parametri presi in esame. La funzione unidimensionale relativa ad ogni parametro si è ottenuta minimizzando gli altri , e la sua espressione è ⟨ ⟩ dove rappresenta il generico punto nello spazio N-dimensionale e ne rappresenta la probabilità. 35

Poiché prima della ricombinazione barioni e fotoni erano fortemente accoppiati, le oscillazioni delle onde sonore hanno lasciato la loro impronta tanto nelle anisotropie di temperatura della CMB, tanto nelle perturbazioni sui barioni. La traccia della sovradensità o sottodensità del fluido barionico all’ultimo scattering rimane per così dire impressa nella scala dell’orizzonte sonoro al disaccoppiamento. In particolare le oscillazioni barioniche lasciano un’impronta nello spettro di potenza della materia. Nel plasma di barioni e fotoni, accoppiati tramite lo scattering Compton, il contrasto tra la gravità ,che tende a far aumentare la densità dei barioni, e la pressione di radiazione, che aumenta al crescere della densità, provoca delle oscillazioni nel fluido, che si propagano al pari di onde acustiche, con velocità ⁄ .

97

dell’orizzonte sonoro al tempo dell’ultimo scattering che influenza la posizione dei picchi acustici,

dunque un cambiamento nella scala della funzione di correlazione(cfr. 2.51). Dall’analisi combinata

dei dati provenienti dalle SNIa, dalla CMB, dalle BAO e dal WMAP si sono stabiliti i seguenti

vincoli ad un livello di confidenza del assumendo un’equazione di

stato costante per l’energia oscura. Questo risultato dimostra come la costante cosmologica, cui si

attribuisce il valore rientri in questi vincoli, che dunque permettono di escludere dei

modelli a favore di altri.

Figura 3.8: Vincoli sul parametro w nell'equazione di stato dell'energia oscura, come una funzione di , assumendo un

universo piatto, questi limiti derivano dagli studi sulle supernovae, sulle anisotropie della CMB, dalle misure sulla costante di

Hubble, sulle strutture a grandi scale e sulla nucleosintesi primordiale

Nei prossimi due capitoli parlerò dei modelli alternativi a quello con costante cosmologica per

l’interpretazione e la descrizione del moto accelerato di espansione dell’universo, facendo

riferimento agli approcci teorici seguiti e allo stato attuale dei vincoli che si possono porre ad essi

da misure cosmologiche condotte in ambiti diversi poiché, come già accennato qui, la presenza di

quella che viene annoverata come energia oscura è rintracciabile tanto guardando all’universo

attuale, tanto a quello primordiale e a tal proposito prima di chiudere questo capitolo sulle

osservabili cosmologiche voglio accennare al metodo attualmente in uso per indagare la regione

cosiddetta di ‘desert redshift’ ( attraverso il metodo denominato test di Sandage-Loeb

(SLtest).

98

3.6 Misure di energia oscura ad alto redshift: test di Sandage-Loeb

Dal momento che la deviazione dell’andamento della distanza di luminosità dalla legge di Hubble a

redshifts via via più grandi, come espresso chiaramente nella(3.20), ha permesso di dedurre

l’accelerazione nell’espansione dell’universo, e in virtù della(3.22) le misure di sono legate ai

parametri cosmologici del nostro modello e ci permettono di fare considerazioni sulla sua

composizione, è stato naturale chiedersi se fosse possibile misurare in modo diretto l’accelerazione.

Il primo a formulare un metodo per questa misura fu Sandage nel 1962 (riferendosi all’epoca ad un

universo pensato in decelerazione), egli fece la considerazione che il redshift e la luminosità

apparente di una galassia in un universo in espansione sono variabili nel tempo, quindi la possibilità

di misurare il per una sorgente in un lasso di tempo poteva permettere la valutazione diretta

del rate d’espansione e ne costituiva anche una misura locale, fornendo un vincolo per la validità

del modello teorico in base al quale si formulava il valore atteso della misura [28]. Gli strumenti a

quel tempo non erano, però, in grado di misurare variazioni di redshift di sorgenti extragalattiche

per intervalli di tempo inferiori ai , quindi il metodo si rivelò inutilizzabile, seppur a livello

teorico l’idea fosse esatta. Nel 1998 questo metodo fu ripreso da Loeb, il quale propose di utilizzare

le tecniche spettroscopiche impiegate in quegli anni per la ricerca di pianeti36

per studiare la

variazione del redshift delle linee di assorbimento Lyman-α dei Quasar [26]. Questo metodo di

misura dell’accelerazione ha preso il nome di test di Sandage –Loeb e mette direttamente in

relazione misure di variazione di redshift di sorgenti lontane con i parametri cosmologici relativi al

modello teorico di riferimento, costituendo un test sulla presenza di dark energy a redshift molto

alti, dove le altre surveys, comprese quelle sulle supernovae non arrivano ad essere significative,

per compreso tra 2 e 5 [27] e con questo fine sono progettati telescopi che lavorino unitamente a

spettrografi ad alta risoluzione in grado di misurare il nelle linee spettrali dei quasar su un

periodo di dieci anni, ad esempio il CODEX (Cosmic Dynamics Experiment) spectrograph è uno

dei possibili strumenti in grado di dare risultati in tal senso e impiegato in diverse ricerche [29], il

vantaggio di tale metodo è anche quello di non basarsi sulla determinazione della luminosità

assoluta della sorgente osservata, ma solo sull’identificazione di linee spettrali stabili e ciò riduce

incertezze nelle misure provenienti da effetti sistematici o evolutivi [32].

Il test si fonda sul fatto che segnali emessi da una sorgente in due diversi istanti e

verranno osservati rispettivamente a e ; dalla relazione (1.54) soddisfatta dal redshift

cosmologico, segue che il redshift della sorgente osservata a è :

⁄ mentre quello a è tale che ⁄ .

Tra i due istanti dunque si può misurare una variazione in redshift pari a:

36 Queste avanzate tecniche spettroscopiche, in quegli anni, hanno permesso di valutare l’effetto che il potenziale di

un pianeta ha sul moto della stella cui si accompagna, arrivando ad una sensibilità nella misura della velocità radiale di una stella di magnitudine 6 di attraverso un’ esposizione di 10 minuti usando un telescopio di .

99

(3.26)

Nell’approssimazione ⁄ si può considerare un’espansione in serie di Taylor per il fattore di

scala: e riscrivere la variazione di redshift come[26]:

sapendo che tra i di emissione e di osservazione considerati sussiste la relazione:

⁄ , come discende dalla (1.51). La variazione del redshift può essere espressa anche

come uno shift spettroscopico di velocità: [27] e utilizzando l’equazione di

Friedmann (cfr. 1.60) per collegare al contenuto di materia/energia dell’universo arrivo alla

relazione:

[

] (3.27)

dove è la costante di Hubble ed ⁄ è il parametro di Hubble (scalato) la cui

espressione: [∑ ]

⁄ , già definita nel paragrafo 3.4 per esplicitare la

relazione tra la distanza di luminosità e i parametri del modello cosmologico, nel caso in cui si

consideri un universo composto da materia, energia oscura descritta da un’equazione di stato

costante con parametro e un termine di curvatura, diventa la seguente:

[ ] ⁄

(3.28)

dove e rappresentano la densità della materia e dell’energia oscura rispetto al valore critico

e , infine si è considerato trascurabile il contributo della componente

relativistica, poiché ci riferiamo al tempo di osservazione attuale (come chiaramente indicato

nell’espressione di dal pedice ) in cui la densità di energia relativa ad essa è infinitesima

rispetto al resto.

Potendo sperare nella possibilità di utilizzare strumenti più potenti, anche in un prossimo futuro per

misurare il , poiché ponendoci ad esempio, nel caso di un universo piatto composto da e da

materia, assumendo e per un si calcola che indica

quanto sia lentamente variabile il redshift di una sorgente, da cui la necessità di disporre di

strumenti ad alta precisione affinché tale variazione venga individuata, questo test risulta

interessante perché permette di chiedersi come l’espressione della variazione del redshift cambia a

seconda del modello di universo che si utilizza, infatti variando il parametro dell’equazione di stato

e , il cambia il suo andamento e quindi il test ci consente, di fare valutazioni sull’energia

oscura pensata oltre che come costante cosmologica ( anche come fluido con altre

caratteristiche. Generalizzando al caso di un’energia oscura con variabile col fattore di scala

(cfr.2.6), quindi con , posso riscrivere la (3.28) come:

100

[

]

⁄

(3.29)

Dunque questo test consente di valutare anche la validità di modelli che si discostano notevolmente

da quello standard per interpretare l’energia oscura. La sua utilità si trova inoltre nel fatto che

permette di osservare a quali redshift l’energia oscura inizia ad accelerare l’espansione

dell’universo e anche questo aiuterebbe a capire se è verosimile che tale accelerazione è generata

dalla costante cosmologica o piuttosto da altra forma di energia oscura. Se la dark energy è

consistente con i modelli più semplici che la interpretano o con l’assunzione di un’energia di punto

zero del vuoto o attraverso un campo scalare lentamente variabile, allora il suo ruolo

nell’accelerazione dell’universo diventa significativo a , mentre è pensato secondario a

e completamente trascurabile a , per cui il vero vantaggio del SL test è che dà informazioni

nella regione , altrimenti di difficile accesso. Raccogliere dati in questo range di è

importante per testare i modelli non standard di energia oscura che altrimenti sarebbero

indistinguibili da quelli che la trattano come un fluido con equazione di stato con parametro )

costante o quasi, dal momento che le osservazioni(WMAP e SNIa) suggeriscono per un

comportamento come descritto dal modello CDM almeno a partire da . Il test di Sandage-

Loeb è stato, ad esempio, utilizzato per cercare di stabilire vincoli sul parametro numerico che

caratterizza il modello olografico di dark energy [30,31] che tenta di provare la natura dell’energia

oscura in un contesto di gravità quantistica37

e sebbene tali misure non abbiano portato ancora

risultati strettamente vincolanti in tal senso, hanno messo in evidenza un interessante e significativo

comportamento per la funzione che descrive la velocità con cui cambia il redshift, la quale sembra

avere il suo picco sempre allo stesso , sia che ci si ponga nel modello CDM, che in quello

olografico, con :

Da cui segue che nel modello standard si può definire:

√

37 Il modello olografico per l’energia oscura si prefigge di spiegare la natura dell’energia oscura all’interno di uno

scenario di gravità quantistica e ciò che caratterizza tale modello è un parametro numerico sul quale si cerca di porre vincoli anche attraverso le osservazioni provenienti dalle surveys sulle supernovae, dai dati sullo spettro di potenza della CMB e dalle BAOs

101

ed un’analoga espressione, ricavata analiticamente, si può definire nel modello olografico, ciò porta

a pensare che tale valore possa essere utilizzabile come ulteriore test per i modelli cosmologici [30].

Di fatto la misura di velocità del redshift gioca un ruolo critico per indagare il meccanismo fisico

responsabile dell’accelerazione e quindi per la discriminazione dei vari modelli di energia oscura e

differenti equipe di ricercatori indipendentemente l’una dall’altra hanno sottoposto al SL test

modelli differenti [32].

Una diretta misura di è completamente indipendente dai modelli e indica in modo immediato la

storia dell’espansione dell’universo, qualunque essa sia. Recenti misure sono state effettuate anche

sulle linee di assorbimento a delle regioni H I, in anni diversi:2000,2004,2012, per studiare

la deriva secolare del redshift, arrivando ad una precisione nella sua determinazione di pochi

,[60] diversi gruppi di cosmologi hanno studiato la deriva secolare del redshift e la

corrispondente accelerazione stimata, in differenti modelli di DE anche assumendo per essa un

parametro dell’equazione di stato della forma (Linder 2003) (cfr.fig

3.8), tracciando andamenti teorici da utilizzare in un confronto con i dati osservativi.

Figura 3.8: Accelerazione teorica vs redshift: il pannello superiore rappresenta ⁄ e quello inferiore ⁄ in modelli

differenti che fanno riferimento ad una scelta diversa dei parametri cosmologici: la linea continua rappresenta il modello

standard con , e si assume ; la linea tratto-punto rappresenta una variazione

rispetto all’andamento standard considerando per la DE la parametrizzazione , avendo posto

e rispettivamente curva inferiore e superiore. La linea con tratto grande rappresenterebbe un

universo di sola materia (aperto) mentre l’andamento indicato dal tratto piccolo rappresenta un universo con

. Le linee tratteggiate in verticale sono tracciate ad indicare l’equivalenza tra materia e costante cosmologica( ) e il redshift che segna la transizione tra una fase di decelerazione ed una di accelerazione ( [60].

102

3.7 Figure di merito per la valutazione della validità di modelli di dark energy

nel progetto DETF

La parametrizzazione del parametro dell’equazione di stato della DE

dove è il valore attuale del parametro di stato e parametrizza l’evoluzione di ,

indicando il rate di cambiamento dell’equazione di stato della DE, è ben rappresentativa di una dark

energy che diventa significativa in tempi recenti ed è trascurabile in tempi primordiali. La

combinazione dei dati raccolti attraverso le quattro principali tecniche di osservazione per lo studio

dell’energia oscura(supernovae, oscillazioni acustiche barioniche, cluster e weak lensing) che

riguardano le distanze di luminosità, le distanze di diametro angolare, il tasso di espansione, tutti

espressi in funzione del redshift, nonché la misura della crescita delle strutture che è inibita durante

l’epoca in cui domina l’energia oscura, sono misure che possono essere espresse in termini di

. Se l’accelerazione nell’espansione è invece dovuta ad una modifica della Relatività

Generale, questa parametrizzazione potrebbe rivelarlo qualora si trovasse una discrepanza tra i

valori di dedotti da questi due tipi di dati. All’interno del progetto DETF per quantificare i

progressi nella misura delle proprietà dell’energia oscura e la capacità del programma sperimentale

di testare un set di modelli per essa, si può definire una figura di merito costruita con le incertezze

relative a , determinabili nei differenti modelli attraverso i dati raccolti per mezzo di una

delle tecniche indicate e che rappresenta il reciproco dell’area dell’ellisse d’errore che racchiude il

limite di confidenza del 95% nel piano , una figura di merito più grande indica una

maggiore accuratezza nelle osservazioni condotte, l’intersezione di più figure di merito realizzate

con dati ottenuti secondo metodi differenti riduce l’errore rispetto alla considerazione della singola

tecnica (fig.3.9). Nessuna di esse, infatti, presa singolarmente è sufficientemente potente e ben

definita da poter affrontare in modo adeguato e completo il problema dell’energia oscura, la loro

combinazione è dunque uno strumento molto più potente. Si è stabilito che le tecniche sensibili alla

crescita della struttura cosmologica sono potenzialmente in grado di testare se l’accelerazione è

causata da una modifica della Relatività Generale. Infine molteplici tecniche sono importanti non

solo per il loro miglioramento nel tracciare la figura di merito, ma perché garantiscono un controllo

maggiore sugli errori sia nel teorizzare i modelli per la dark energy, sia nella valutazione delle

osservabili.

Come evidenziato anche in fig 3.9, le figure di merito per testare la validità di differenti modelli di

dark energy che si prendono in esame nel confronto con i dati sperimentali sono costruite sulla

parametrizzazione di considerata, ma particolari modelli di DE possono non essere ben

rappresentati da tale parametrizzazione e quindi la loro utilità nel descrivere le proprietà

dell’energia oscura non può essere riflessa nella figura di merito.

103

Figura 3.9: Nel pannello in alto è rappresentata la figura di merito costruita con i dati raccolti secondo il progetto DETF

assumendo per l’energia oscura i parametri previsti dal modello standard ossia e , dove è evidenziato che

il contorno del grafico include i livelli di confidenza al 95% avendo minimizzato gli errori sugli altri parametri cosmologici

che caratterizzano il modello assunto. Nel pannello in basso sono rappresentate, come esempio, le intersezioni di due figure

di merito nel piano realizzate su dati raccolti con due diverse tecniche [73], mostrando come sia più vincolante per

i parametri della DE un controllo incrociato dovuto all’uso di più metodi osservativi insieme.

104

CAPITOLO 4

Modelli per l’energia oscura: DE fisica

Il modello che include (ΛCDM), pur riproducendo con buona approssimazione i dati

cosmologici, lascia aperti molti interrogativi sulla dark energy e introduce paradossi, come spiegato

nel precedente capitolo, ciò ha spinto i cosmologi a cercare modelli alternativi per descrivere tanto

l’energia oscura quanto i suoi effetti sulla dinamica dell’intero universo e la diversità di approccio è

una delle principali caratteristiche del suo studio[18]. Pur essendo la sua esatta natura oggetto di

ricerca, con i dati osservativi raccolti si è iniziato a caratterizzarne le proprietà in diversi modi:

abbondanza, dinamica. Le osservazioni inoltre consentono di porre vincoli sui vari modelli proposti

per spiegare la fase di accelerazione dell’universo.

4.1 I differenti approcci per cercare un’alternativa a

Modelli alternativi a quello con costante cosmologica per spiegare l’origine dell’energia oscura e

quindi l’attuale accelerazione nell’espansione dell’universo sono stati formulati pensando ad una

modifica dell’equazione di Einstein la cui espressione è già stata discussa introducendo la teoria

della Relatività Generale(RG) nel primo capitolo:

(4.1)

essa lega la geometria dello spazio-tempo rappresentata dal tensore di Einstein

, in cui compaiono il tensore di Ricci ( ) , lo scalare di Ricci ( ) e la metrica , al

contenuto di massa-energia della sorgente del campo gravitazionale descritta dal tensore energia-

impulso .

Le modifiche alla (4.1) per costruire tali modelli seguono essenzialmente due approcci: il primo

prevede la modifica della parte destra dell’equazione, considerando una forma specifica per il

tensore momento-energia , con l’introduzione di nuove componenti con adeguate proprietà,

questi vengono designati come modelli di materia modificata o modelli di DE fisica, il secondo

consiste, invece, nel modificare la parte sinistra, ossia considerare una densità di Lagrangiana

diversa da quella cioè del modello ΛCDM e vengono chiamati modelli di gravità

modificata o modelli di DE geometrica e rappresentano una vera e propria modifica della Relatività

Generale, in cui la gravità non è più descritta dalla RG e l’accelerazione è un effetto di questa

modifica. Anche se i modelli che appartengono a quest’ultima tipologia non richiedono l’esistenza

di una nuova componente di materia/energia, formalmente la loro trattazione può essere riportata, al

fine di un confronto operativo con le osservazioni per stabilirne i vincoli di validità, al calcolo

anche per essi di un’equazione di stato della dark energy (qui di natura geometrica) [34],

parametrizzata tramite ⁄ , anche se solo nel caso di modelli di DE fisica l’equazione

di stato ha un reale significato fisico. Infatti spesso si utilizza la relazione:

( )

[ ] (4.2)

105

Per stabilire dei vincoli sull’energia oscura (cfr. fig.3.7) e quindi sul modello in esame; in essa

compare la funzione ⁄ come definita in 3.4, la sua derivata prima(indicata con

l’apice) ed il parametro di densità della materia stimato ad oggi . Quest’espressione deriva

dall’aver considerato l’equazione dei fluidi (1.66) per una DE reale o fittizia cui si possa attribuire

una , e e averla poi integrata utilizzando la che deriva dall’aver

espresso il rate d’espansione: ⁄ in funzione del redshift in virtù della relazione esistente tra

il fattore di scala e (cfr.1.7), ottenuta dunque un’esplicita equazione di stato della DE, si può

sostituire l’espressione di nell’equazione di Friedmann (1.60) e arrivare alla (4.2) considerando

un universo piatto con trascurabile contributo di radiazione, condizioni indicate dai dati osservativi

e nelle quali ha senso porsi nella regione di osservazioni a 1 (dalla quale ad es. provengono i

dati di SNIa) [18]. La quantità osservabile è ma , che non è osservabile direttamente,

non può essere determinata solamente da , cioè da misure di espansione del background,

poiché è richiesta la conoscenza di che rimanda anche a studi su strutture di larga scala, le

quali comunque da sole non sono completamente vincolanti per i modelli di energia oscura, pur

costituendo, nello studio del rate di crescita delle strutture una traccia significativa della sua

presenza2 [34] e quindi sia che sia assunto costante o parametrizzato in qualche forma (a

seconda del modello che si sta considerando), è la conoscenza di a diversi a poter fissare sia

l’equazione di stato che .

Procederò in questo capitolo e nel prossimo passando in rassegna i principali modelli che

appartengono a queste due tipologie di DE fisica e DE geometrica, specificando che questa

distinzione dal punto di vista della Relatività Generale è una mera comodità di trattazione, dal

momento che tutte le modifiche al campo gravitazionale possono essere inglobate in una

ridefinizione del , come di fatto lo è stata l’introduzione di , inizialmente posta a modifica del

lato sinistro dell’equazione di Einstein e poi passata a costituire una vera e propria componente

rappresentativa dell’energia del vuoto [58] con una sua equazione di stato, così come formalmente

possono essere pensati un’equazione di stato ed un parametro pur senza ipotizzare alcuna

nuova componente nell’universo poiché in uno studio che si arresta al primo ordine (nelle

perturbazioni) si può sempre definire l’equazione di stato e la velocità del suono di un campo di

1 Una seppur piccola incertezza sulla curvatura a redshift più alti può produrre effetti significativi nella stima di e

quindi in tal caso occorre utilizzare l’espressione completa per , quella che contiene anche il termine . 2 I principali effetti della presenza di DE si vedono nel cambiamento di in tempi recenti, ma ulteriori informazioni per

il suo studio e quindi nella discriminazione dei modelli teorici che la possono descrivere derivano dal potenziale gravitazionale (cfr.2.8) e quindi dallo studio delle perturbazioni di dark energy, che convenzionalmente sono trascurate, questa si ritiene essere una buona assunzione nei modelli in cui la dark energy è associata a campi scalari, mentre non lo è in modelli di dark energy accoppiata a dark matter in cui le perturbazioni DE influenzano il fattore di crescita della dark matter e quindi hanno un peso nella determinazione di .

106

dark energy cosicché venga riprodotto ogni modello di gravità modificata.; mentre chiaramente una

differenza c’è quando si guardi a tali modelli da un punto di vista di teorie quantistiche di campo.

4.2 Modelli di materia modificata

I modelli di DE fisica richiedono la modifica del contenuto di materia/energia all’interno del tensore

ed il modo più semplice per farlo è introducendo accanto alla materia ed alla radiazione una

componente energetica legata ad un campo scalare il quale sia in grado di produrre l’espansione

accelerata. Sono stati prodotti vari modelli con questo criterio e si differenziano nella costruzione

della lagrangiana che descrive l’azione di tale campo scalare. La trattazione dell’energia oscura in

un’ottica di DE fisica ha portato inoltre a modelli unificati di energia e materia oscura e a modelli di

energia oscura accoppiata, esaminati nei prossimi paragrafi.

4.2.1 MODELLI DI QUINTESSENZA

Quando venne avanzata l’ipotesi di un campo scalare con un potenziale in grado di

produrre l’accelerazione dell’universo, cioè un campo scalare che non abbia ancora raggiunto il

minimo del suo potenziale e sia lentamente variabile e analogo all’inflaton campo utilizzato in

modelli che tentano di spiegare l’inflazione [63], la componente di energia associata ad esso

andandosi a sommare alle componenti già note nel computo della densità di energia del cosmo:

fotoni, neutrini, barioni, dark matter, di fatto costituiva un quinto elemento nell’universo e venne

chiamata quintessenza o alternativamente Q-component [35], diversamente dalla costante

cosmologica l’equazione di stato associata alla quintessenza varia dinamicamente nel tempo e si

teorizza essa interagisca con le atre componenti attraverso una debole interazione gravitazionale. Il

modello che include la quintessenza è descritto dall’azione:

√ [

] + (4.3)

Dove , è il tensore di Ricci ed il termine tiene conto separatamente dell’azione della

materia, mentre è la lagrangiana di quintessenza:

( )

(4.4)

Dove è il potenziale del campo ed è la forma che esso ha a determinare se il campo può dar

luogo alla fase di accelerazione dell’universo. Da si ricava il tensore energia-impulso

del

campo di quintessenza , analogamente a quanto visto in 1.5 :

√

(√ )

[

] (4.5)

Da questa possiamo calcolare la densità di energia e la pressione relativi alla quintessenza in

un universo con metrica FRW piatta, come segue:

107

;

(4.6)

e ricavare l’equazione di stato per la quintessenza:

(4.7)

inoltre dall’equazione di continuità (1.66): ( ) si arriva all’equazione di

Klein-Gordon per il campo :

(4.8)

Mentre le due equazioni di Friedmann si scrivono rispettivamente come:

[

] (4.9)

(4.10)

Nella prima equazione di Friedmann (4.8) ho considerato tutti i contributi alla densità di energia

dell’universo, anche quello di materia e radiazione. Affinché il campo produca l’accelerazione

osservata e quindi sia responsabile della dark energy, sappiamo che la pressione deve essere

negativa e la densità deve essere dominante in epoca recente; dalla (4.10) si vede chiaramente

che il campo di quintessenza contribuisce negativamente al parametro di decelerazione (cfr. (3.3))

se , condizione che equivale ad avere ⁄ , come segue dalla (4.6) e come tra

l’altro già evidenziato in 1.9. Questa condizione equivale a dire che il campo deve variare

lentamente e perché ciò accada il potenziale scalare deve essere abbastanza piatto. Se consideriamo

un campo scalare di tipo slow-rolling ovvero tale che , si possono dare per l’equazione

di Klein-Gordon e di Friedmann, scritta con la sola componente di quintessenza, le seguenti

espressioni approssimate: e da cui si ricava il parametro di slow-

rolling:

(

)

(4.11)

che caratterizza la deviazione di da , poiché nel limite di slow-rolling e considerando

trascurabile il fluido di materia si ricava per il parametro dell’equazione di stato l’espressione

parametrizzata:

(4.12)

108

Il parametro di slow-rolling risulta essere se il potenziale è sufficientemente piatto, ma tale

da generare un parametro di stato variabile nel tempo, diverso da .

È evidente da questa breve presentazione che il punto centrale nei modelli di quintessenza è la

scelta del potenziale . Poiché i problemi cui si è cercato di dare una risposta formulando per la

dark energy modelli alternativi a quello di costante cosmologica sono il problema della coincidenza

e quello del fine-tuning, relativamente alla risoluzione del primo sono stati proposti dei potenziali

che portano ai cosiddetti modelli traccianti, nei quali l’equazione di stato per la quintessenza segue

la componente dominante dell’universo per la maggior parte della sua evoluzione(fig. 4.1), cioè ci

sono dei potenziali scalari che permettono di ottenere la stessa soluzione evolutiva per un ampio

range di condizioni iniziali dell’universo. Un esempio di potenziale per un modello tracciante è

⁄ , dove il parametro quantifica il legame tra l’equazione di stato della quintessenza

e quella di un fluido di background (es. la materia) che viene espresso nella relazione tra i

parametri delle equazioni di stato come:

la quale deriva dall’aver considerato, per un background di materia [74], le espressioni

e ⁄ unitamente alla (4.6) che, nel caso del potenziale in questione, portano

a riscrivere la densità di quintessenza come: ⁄ ( ) ⁄

effettuando infine il confronto degli esponenti segue l’espressione data del parametro

dell’equazione di stato della soluzione tracciante, da cui imponendo la condizione di espansione

accelerata e stabilendo il valore di , che nel caso di materia è pari a , si definisce la

condizione su affinché sia ridotto il problema della coincidenza nel modello considerato.

Secondo questo modello tracciante l’equazione di stato relativa ad un tale traccia quella di

background di , quando la radiazione domina ( ⁄ , ⁄ , decresce meno

rapidamente di , quando domina la materia , e decresce più

lentamente di . Infine quando diventa la componente dominante l’universo entra nella fase

accelerata e .

L’aspetto principale che emerge da tali modelli è la relazione tra e oggi, secondo cui

minore è il valore di e maggiore è il tempo che la densità di energia del campo scalare impiega

per diventare dominante[36]. In questo tipo di modelli rimangono problemi di fine-tuning su alcuni

parametri. Per il problema di fine-tuning relativo al valore della densità di energia attribuito

all’energia oscura pensata come energia del vuoto, si possono teorizzare modelli di quintessenza in

109

cui la scelta del potenziale porti ad un (cfr. 3.5.2), cioè si va a considerare

un opportuno potenziale tale da riprodurre i dati osservativi.

Infine volendo costruire un modello di quintessenza dal punto di vista di fisica delle particelle

[18,37,38] si devono fare i conti con la difficoltà che deriva dal fatto che la scala di energia della

dark energy è troppo bassa ( ) rispetto alle tipiche scale che appaiono nelle

interazioni in fisica delle particelle. Si è visto che il potenziale scalare per produrre

l’accelerazione deve essere molto piatto, condizione che tradotta in termini di massa efficace del

campo3 porta a una massa così piccola è poco naturale per la teoria delle particelle

in quanto le correzioni dovute all’interazione con le altre particelle porterebbero naturalmente ad un

valore più alto di , nemmeno la supersimmetria può aiutare in questo senso poiché è rotta a scale

dell’ordine del Fermi. Per mantenere un campo scalare così leggero deve essere necessariamente

insignificante l’accoppiamento con la materia, ciò fa sì che il range delle forze introdotte

dall’accoppiamento sia piccolo abbastanza da non rivelarle e garantire così il rispetto dei vincoli

sperimentali sulle forze esistenti. Si può tuttavia pensare che Il fine-tuning necessario a mantenere

vicina al valore imposto dalla dinamica cosmologica, analogamente a quello per spiegare il

piccolo valore dell’energia del vuoto, non sia dovuto ad un difetto specifico della quintessenza,

quanto al problema generale di avere una teoria che descriva correttamente i fenomeni ad

un’energia comparabile con quella di e che potrebbe permettere di descrivere coerentemente

l’energia oscura mediante un campo scalare ultraleggero.

3 Operativamente la massa della quintessenza è definita come

e per la condizione di slow rolling che

garantisce la descrizione della dinamica osservata ciò equivale a dire che a prescindere dal

potenziale scelto

110

Figura 4.1: la linea rimarcata rappresenta l’andamento della densità di energia in funzione del redshift secondo l’equazione

di stato di un modello tracciante di quintessenza con

con . Il grafico mostra come la soluzione tracciante

segua l’andamento della soluzione di un universo dominato dalla radiazione prima, per poi seguire l’andamento previsto

nell’epoca dominata dalla materia ed infine mostra il passaggio dall’epoca dominata dalla materia a quella dominata

dall’energia oscura rappresentata dal modello di quintessenza[74].

4.2.2 K-ESSENZA E MODELLI PHANTOM

I modelli di k-essenza sono costruiti introducendo un campo scalare non canonico, che abbia cioè il

termine cinetico negativo, l’azione in questo caso si presenta nella forma:

√ [

]+ (4.13)

Dove è una funzione del campo scalare e del termine cinetico ⁄ ,

il punto centrale di un tale modello è che l’accelerazione cosmica può essere realizzata attraverso

l’energia cinetica del campo .

Il tensore energia impulso è:

√

(√ )

(4.14)

Da cui si ottengono le espressioni di pressione e densità di energia per il campo :

;

L’equazione di stato di k-essenza risulta essere:

111

(4.15)

Dalla quale segue che è vicino a quando è soddisfatta la condizione: | | | |

Inoltre si vede che modelli di k-essenza ammettono anche valori , condizione non

ammessa nei modelli di quintessenza accoppiati in modo minimale, infatti, con una densità di

energia positiva , se dà luogo all’equazione di stato , modelli con

un’equazione di stato di questo tipo sono detti phantom.

In generale fluidi con tali caratteristiche ( ) violano la cosiddetta Condizione di Energia

Dominante(DEC)4 fig. 4.2, essi possono causare delle instabilità dovute al fatto che l’energia può

propagarsi al di fuori del cono di luce, ma è possibile mostrare che sotto opportune condizioni si

può costruire una teoria di campo che descriva un fluido con parametro , per il quale i

tempi scala dell’instabilità sono maggiori dell’età dell’universo e quindi trascurabili [40].

L’esempio più semplice di funzione di campo che può dar luogo alla phantom dark energy [18,39] è

del tipo:

(4.16)

Il parametro dell’equazione di stato del fluido associato a è:

⁄

⁄ (4.17)

ed è minore di nel caso in cui ⁄ . La dinamica dell’evoluzione avviene a seconda

della forma del potenziale del campo phantom, infatti se il potenziale è illimitato superiormente la

densità di energia del campo ( continua a crescere all’infinito, come nel caso

di un potenziale con forma esponenziale, modelli di questo tipo produrrebbero dunque

un’accelerazione tale da portare l’universo ad una singolarità detta Big Rip5, che potrebbe essere

evitata qualora il potenziale presenti un massimo. In tal caso la teoria a riguardo prevede che

4 Questa condizione è fissata dal teorema di conservazione di Hawkng ed Ellis che serve a garantire che un’ipotetica

componente di energia oscura sia stabile 5 I modelli con portano ad una singolarità nel fattore di scala, cioè ammesso che la dark energy sia

descritta dal fluido di tipo phantom, dopo l’equivalenza( tra materia e phantom dark energy, la soluzione

all’equazione di Einstein per la dinamica dell’universo porta ad un andamento del fattore di scala del tipo:

[

]

⁄

per l’esponente è negativo e si ha una divergenza del fattore di scala per

, oltre al fattore di scala divergerà anche la densità di energia ed il rate d’espansione, al Big

Rip perde di significato lo spazio-tempo classico.

112

il campo evolverebbe verso la cima del potenziale ed oscillerebbe intorno al massimo e quindi dopo

un certo periodo la dinamica dell’universo si stabilirebbe cioè la soluzione con equazione di stato di

tipo phantom evolverebbe avvicinandosi ad un comportamento del tipo .

Sebbene lo scenario di un Big Rip appare catastrofico come destino dell’universo, infatti il modello

phantom sembra essere collegato anche alla perdita di massa nei buchi neri e sembra legato ad una

termodinamica che esulerebbe da quella classica portando a considerare temperature ed entropia

negative, sviluppando una teoria phantom consistente con la fisica nota e riconosciuta si può vedere

come prima di arrivare alla singolarità entrerebbero in gioco effetti quantistici che avrebbero un

ruolo dominante nel senso che avrebbe inizio una seconda era di gravità quantistica[41]. Le

osservazioni indicano che lo stato phantom (se è realistico) consiste giusto in un periodo transitorio

nell’evoluzione dell’universo.

Figura 4.2: Condizione di Energia Dominante espressa nello spazio p vs come .

La tipologia dei modelli phantoms presenta due problemi in particolare: se l’equazione di stato

arriva ad essere particolarmente negativa essendo la velocità del suono nel mezzo data da:

√|

| (4.18)

può diventare anche maggiore della velocità della luce; ed inoltre che per avere un si deve

ammettere un termine cinetico negativo e ciò comporta delle instabilità quantistiche cui va incontro

il modello e che lo rendono poco plausibile.

4.3 Il gas di Chaplygin

Sono stati teorizzati dei modelli unificati di materia ed energia oscura, descritte come un singolo

campo scalare o come un unico fluido dal comportamento ibrido, che cercano di dar conto del

manifestarsi di sue caratteristiche differenti in epoche diverse. Essi sono caratterizzati da tre

parametri: , e . Di questa categoria, come esempio, descrivo brevemente il gas di Chaplygin

generalizzato (GCG).

La relazione tra pressione e densità di energia del fluido del modello GCG è del tipo:

(4.19)

113

Dove è una costante positiva legata a (parametro di densità attualmente attribuibile al fluido

in esame) e a | | cioè la sua equazione di stato ad oggi, come indica il fattore di

scala, mentre è un parametro del modello che specifica l’evoluzione dell’equazione di stato [45].

Utilizzando l’equazione di conservazione (1.66) nella quale sostituisco la

(4.19), integrando si ottiene la soluzione per la densità , esprimibile come:

[

] ⁄

(4.20)

Dove B è una costante d’integrazione. Si può inoltre calcolare l’espressione che ha in questo

modello il parametro dell’equazione di stato del GCG:

⁄ (4.21)

Scritto in funzione del redshift , in virtù della nota relazione tra e , possiamo anche scrivere [45]

il legame tra e e e del fluido:

e .

Dall’espressione di si vede la natura ibrida del gas di Chaplygin, infatti il suo comportamento

è differente a seconda del valore di , ovvero in epoca primordiale ( ossia per grandi , il

fluido si comporta come materia in quanto:

Mentre in epoche recenti ( ⁄ ⁄ ) assume le caratteristiche dell’energia oscura

poiché:

⁄

avvicinandosi al comportamento descritto dal modello ΛCDM, per l’andamento è identico;

infatti le attuali osservazioni vincolano i parametri del modello a valori ( , ) che lo

rendono molto simile al modello con costante cosmologica[42], in particolare la degenerazione non

può essere risolta sulla sola base delle osservazioni di supernovae di tipo Ia, in quanto le previsioni

sulla distanza di luminosità, con le quali tali osservazioni vengono confrontate, sono formulabili

sulla sola base dell’evoluzione del background (attraverso e quindi non possono rappresentare

un forte vincolo per GCG, per cui è necessario un confronto del modello con osservazioni che siano

dipendenti dalle perturbazioni di densità[44] ed in particolare le misure relative allo spettro di

potenza della materia nelle strutture a larga scala vincolano strettamente questo modello unificato

che per quanto interessante come soluzione, soprattutto nel considerare l’energia oscura come un

fluido, in analogia alla trattazione della radiazione e della materia, modifica pesantemente

l’evoluzione delle strutture nell’universo portandola al limite della compatibilità con le

osservazioni.

4.4 Energia oscura accoppiata

Il problema della coincidenza ha portato a formulare teorie in cui energia e materia oscura sono

accoppiate in modo da trovare un legame che giustifichi lo stesso ordine di grandezza tra e

così da ridurre la questione ad una semplice scelta di parametri per trovare corrispondenza tra il

114

rapporto ⁄ e le osservazioni. In uno scenario di quintessenza, ad esempio, questa trattazione

delle dark matter e dark energy consiste nell’accoppiamento6 tra un campo scalare e la materia

oscura con densità ed è descritto,in uno spazio FRW, dalle equazioni di continuità(cfr. 1.66) così

modificate :

( ) (4.22)

(4.23)

dove quantifica lo scambio di energia tra i due termini:

{

(4.24)

Considerando per l’espressione (4.7) l’equazione di Klein-Gordon modificata [62] col termine

che tiene conto dell’accoppiamento, come segue dalla (4.22) è:

(4.25)

Le (4.22) e (4.23) possono essere riscritte come: ( ) e (

) definendo dei parametri effettivi dell’equazione di stato per i due termini del settore

oscuro, in modo da descrivere attraverso essi l’equivalente modello disaccoppiato nel background

ed evidenziare al tempo stesso gli effetti di ,tali parametri effettivi sono:

(4.26)

Da essi segue che il caso fenomenologicamente equivale a:

{

Mentre il caso fenomenologicamente produce tali modifiche:

{

6 A tale descrizione possono essere ricondotti modelli di accoppiamento studiati in contesti diversi come le teorie

per la gravità o teorie scalar-tensoriali, in cui ci si riconduce ad essa attraverso trasformazioni conformi al frame di Einstein (cfr. 4.3)

115

Dunque la forma che assume è discriminante per gli effetti differenti che genera sulla storia

evolutiva, per essa sono stati proposti vari modelli [43] che si possono distinguere in due tipologie

fondamentali:

(I) √ ⁄ (II)

Dove e e sono costanti adimensionali il cui segno determina quello di e quindi il

verso dello scambio; del modello (II) è stata proposta anche una variante: in cui , che dà

il rate del trasferimento di energia, dipende da proprietà locali e non dal rate d’espansione

universale, ma non ci sono basi teoriche per determinare una forma specifica di tale accoppiamento,

per cui solo le osservazioni possono discriminare i vari modelli proposti seppur alcuni hanno

giustificazioni fisiche più di altri.

4.5 Modelli senza DE: disomogeneità dell’universo

Ipotesi alternative alla presenza di dark energy per spiegare l’accelerazione osservata e misurata,

innanzi tutto attraverso i dati relativi alle supernovae, è che si tratti di un’accelerazione apparente

dovuta ad una non omogeneità nella distribuzione di materia [74] nel cosmo. L’idea della

disomogeneità è trattata in modi diversi a seconda dei modelli che si prendono in considerazione

[75], perché in alcuni si cerca di spiegare l’espansione accelerata come una backreaction delle

perturbazioni di un universo omogeneo, ossia una correzione dell’evoluzione di ordine zero data dal

modello omogeneo, con termini di ordine più alto e disomogenei. In altri approcci l’idea di fondo è

che noi viviamo in una regione di universo con una densità di materia inferiore rispetto a quelle

esterne, per cui in confronto ad esse la nostra sembra essere un’espansione accelerata. Quindi

mentre in un universo omogeneo il rate d’espansione dipende solo dal tempo, come nei casi finora

esaminati, l’introduzione della disomogeneità, così pensata, fa sì che il tasso di espansione dipenda

sia dal tempo che dallo spazio, per cui se si osserva un’espansione accelerata a redshifts più bassi

rispetto a quelli più alti, in un universo omogeneo ciò è descrivibile come un’espansione accelerata,

in uno disomogeneo è invece un effetto della variazione spaziale con un rate d’espansione tanto

maggiore quanto più vicino a noi.

Il modello inomogeneo di Lemaitre-Tolman-Bondi (LTB) assume un universo isotropo ma

disomogeneo dominato dalla materia, con una disomogeneità sfericamente simmetrica; dunque

rispetto all’universo di Friedmann-Robertson-Walker si rinuncia all’ipotesi di omogeneità nella

formulazione della metrica e si conserva la simmetria sferica, in analogia con la simbologia già

usata in (1.7) per esprimere l’elemento di linea nella metrica FRW, posso riscriverlo in queste

ipotesi come:

(4.27)

Risolvere l’equazione di Einstein per la componente , avendo assunto un tensore

di sola materia, dà:

116

√ (4.28)

Dove con l’apice è indicata la derivata spaziale rispetto ad . Questa metrica si riconduce a quella di

FRW se e . Nelle equazioni di Einstein che si possono scrivere per un

tale universo possiamo riconoscere e definire una funzione di Hubble trasversale: ⁄ (dove

col punto indico la derivata temporale) ed una radiale: ⁄ e per integrazione delle

equazioni di Einstein si giunge all’espressione:

(4.29)

Dove e sono funzioni di che parametrizzano il modello LTB, il loro effetto sulla dinamica è

analogo rispettivamente a quello della materia e della curvatura nel modello standard, in analogia

col quale si può definire il parametro di decelerazione ⁄

(4.30)

Da cui segue che essendo è positivo, quindi un universo descritto da tale modello, ossia

non omogeneo e fatto di solo materia non può accelerare.

Questo modello è stato testato con i dati relativi alla distanza di luminosità delle supernovae Ia,

essendo in esso definita tale distanza come: qui il tempo è una funzione

del tipo dove l’istante attuale è a . Il confronto mostra accordo con tali

misure ed anche con la posizione del primo picco acustico dello spettro di potenza della CMB, ma

non è in grado di spiegare la sua isotropia a meno che non si assuma che la nostra posizione sia

centrale in tale regione sottodensa, ma chiaramente ciò porta ad un nuovo problema di coincidenza,

differente da quello sollevato dall’energia oscura e notevole perché introdurrebbe per noi una

posizione privilegiata, quindi benché non convincente come accordo con i dati, rimane un modello

per testare l’idea di inomogeneità come soluzione al problema dell’energia oscura.

117

CAPITOLO CINQUE

Modelli di gravità modificata: DE geometrica

La possibilità di spiegare gli effetti attribuiti all’energia oscura attraverso una modifica del tensore

ha dato origine a vari modelli di DE geometrica. Le teorie di gravità modificata sono molteplici

ed in verità fin dagli anni immediatamente successivi alla formulazione della RG sono state

proposte modifiche ad essa: prima Weyl nel 1919 e poi Eddington nel 1923 [48,49] proposero di

introdurre nella lagrangiana invarianti di ordine superiore in , modifiche cercate come alternative

teoriche piuttosto che dovute ad evidenze osservative, nel tentativo di riunire l’elettromagnetismo e

la gravitazione in un quadro teorico unificato[47]. Negli anni ’60 l’esigenza di risolvere il problema

della formulazione quantistica del campo gravitazionale rese necessario pensare ad una modifica

della lagrangiana di Hilbert-Einstein con l’introduzione di termini che fossero di ordine superiore

nello scalare di curvatura i quali permettevano di semplificare il problema della non

rinormalizzabilità della teoria di Einstein [46], anche se ciò venne pensato relativamente ad una

teoria che dovesse descrivere i primi istanti di vita dell’universo, quindi in condizioni di elevate

energia e curvatura, mentre il contesto attuale, per spiegare l’espansione accelerata, è esattamente

l’opposto: un regime di bassa energia e bassa curvatura e quando vennero proposte le correzioni alla

scala di Planck non si immaginava una possibile revisione della RG a larghe scale. Negli anni ’80

fu la teoria delle stringhe, principale candidato per la gravità quantistica, a fornire un quadro di

riferimento per l’introduzione di correzioni di ordine superiore nell’azione di H-E.

5.1 Le teorie f(R)

Attualmente i problemi di ordine cosmologico ed astrofisico discussi relativamente alla dark

energy hanno portato alla formulazione delle teorie [52] che sostanzialmente prevedono

l’introduzione di una funzione arbitraria dello scalare di curvatura con cui viene modificata la

lagrangiana di H-E, l’azione1 è espressa come:

√ (5.1)

dove , è la lagrangiana di materia per un fluido perfetto, che dipende da il campo

di materia che obbedisce alle equazioni standard di conservazione e anche dalla metrica che

corrisponde al frame fisico (che è quello di Jordan) (cfr 5.1.1)[18].

1 Nell’espressione dell’azione in questa teoria non sto considerando l’accoppiamento tra lo scalare di Ricci e la

materia, che comporterebbe un termine del tipo .

118

Prima di descrivere nello specifico un modello e derivare le equazioni della dinamica

dell’universo in questo contesto, è importante sottolineare che una teoria di gravità modificata per

essere valida è soggetta a molti vincoli, infatti oltre al fatto di dover riprodurre la storia evolutiva

dell’universo e quindi esser vincolata dai dati cosmologici come succede anche ai modelli di DE

fisica, deve mantenere una formulazione covariante, deve verificare i test di gravità locali, quindi

deve essere consistente per valori di alta curvatura con le osservazioni nel sistema solare e dare

soluzioni statiche e sferiche stabili per le stelle, nonché produrre perturbazioni di densità coerenti

con il fattore di crescita misurato, con lo spettro di potenza della materia, con le anisotropie della

CMB.

La scelta di sostituire lo scalare di Ricci con una sua generica funzione si presenta

vantaggiosa per il fatto che l’arbitrarietà della permette di pensarla ad esempio come una serie

di potenze di del tipo:

(5.2)

dove e sono costanti con opportune dimensioni fisiche e i termini introdotti ad alte e basse

curvature consentono di focalizzare gli aspetti principali di una teoria di gravità modificata evitando

un formalismo eccessivamente complesso.

Inoltre questa forma funzionale garantisce la stabilità della teoria sotto opportune condizioni, poiché

l’introduzione nella lagrangiana di invarianti di ordine superiore, come ad esempio lo scalare che

viene dalla contrazione di due tensori di Ricci creerebbe( tranne nel modello di Gauss

Bonnet) problemi in questo senso e ciò è dimostrabile[53] tramite il teorema di Ostrogradski che

sostanzialmente ha mostrato perché Newton avesse ragione nel supporre che le leggi della fisica,

quando siano espresse in termini delle variabili dinamiche fondamentali, coinvolgono derivate

temporali non oltre il secondo ordine di tali variabili e quindi che una lagrangiana non può

dipendere da derivate temporali di ordine superiore al primo, perché ciò crea un’instabilità lineare

che non può essere eliminata tramite integrazione parziale.

5.1.1 IL PROBLEMA DEL FRAME FISICO

Una teoria non lineare della gravità (NLG) in cui cioè la lagrangiana è una funzione arbitraria dello

scalare di curvatura è dinamicamente equivalente ad un campo scalare self-gravitante in Relatività

Generale. Le vere variabili dinamiche fisiche sono esattamente quelle che descrivono l’equivalente

modello di relatività generale e sono note come frame di Einstein. Ogni volta che tali variabili non

possono essere definite, ci sono forti indicazioni del fatto che la teoria formulata non sia fisica[54],

nel senso che lo spazio di Minkowsky è instabile per l’esistenza di soluzioni con energia negativa.

Con questo scopo va chiarito il legame tra la teoria modificata e la RG. Inoltre ai fini di un

significativo confronto con le osservazioni è importante individuare il frame fisico di riferimento,

che significa un set di variabili di campo che siano misurabili e soddisfino tutti i requisiti generali di

una teoria di campo ad esempio dar luogo a densità di energia definita e positiva [54,55].

La lagrangiana nella teoria è della forma:

119

√ (5.3)

ed è detta lagrangiana nel frame di Jordan (si assume per semplicità di trattazione che );

essa può essere riscritta tramite una trasformazione conforme2 in un’equivalente lagrangiana nel

frame di Einstein, cioè nella forma standard della RG introducendo un campo scalare . Si

definiscono a tal proposito le nuove variabili:

(5.4)

dove ⁄ e per mantenere la stessa segnatura, definendo inoltre il campo scalare

tale che √ ⁄ si ottiene la lagrangiana riscritta nel frame di Einstein:

√ [ ] (5.5)

in cui il potenziale dipende dalla forma della del frame di Jordan.

Nel frame di Jordan la gravità è descritta dalla sola metrica , mentre nel frame di Einstein oltre

alla metrica è presente un campo scalare (che formalmente gioca il ruolo di un ‘campo di

materia’ esterno) agente come una sorgente per il tensore metrico e corrispondente al grado di

libertà scalare presente in più nelle equazioni di campo del frame di Jordan(cfr. nota 2),

considerando che nella Lagrangiana di tipo (5.3) non è stato introdotto alcun campo di

materia, allora il campo scalare è un aspetto non metrico della gravità stessa e quindi benché

matematicamente i due frames siano equivalenti, sono invece differenti a livello fisico visto che nel

frame di Einstein la gravità non è più rappresentata dalla sola metrica. Si può tuttavia pensare che in

una teoria gravitazionale nel vuoto l’equivalenza fisica può essere ristabilita se si considera il frame

di Jordan relativo ad un modello scalare-tensoriale in cui il grado di libertà scalare sia già stato

unificato e l’interazione gravitazionale reale sia descritta dalla metrica riscalata nel frame di

Einstein, benché non ci sia modo a priori di stabilire quale dei due frame possa essere considerato

quello fisico. Ponendosi invece in presenza di campi di materia l’ambiguità cade, perché i due

2 La trasformazione dal frame di Jordan a quello di Einstein consiste sostanzialmente nel riscalare [51] conformemente

la metrica dello spazio-tempo: , cioè la trasformazione agisce sulle lunghezze di tempo e spazio, sulle

norme dei vettori ecc, ma lascia invariati i coni di luce, cioè i due spazi hanno la stessa struttura causale; quando nella

teoria è presente un campo scalare ξ anch’esso viene trasformato in , ottenendo così le nuove variabili dinamiche

( )chiamate Einstein conformal frame, mentre( ) costituiscono il frame di Jordan. Quando nella teoria è

presente un grado di libertà scalare , come in esso genera la trasformazione al frame di Einstein nel senso che il riscalare è completamente determinato da una funzione di ,

120

tensori metrici interagiscono diversamente con i campi esterni e la metrica fisica si può stabilire

imponendo che le particelle test neutre percorrano le sue geodetiche. Scegliere il frame fisico è

fondamentale per stabilire le leggi di conservazione in una teoria [54], quindi ha senso

esaminare quali sono le quantità conservate tanto nel caso sia la metrica fisica quanto nel caso

in cui lo sia la metrica conformemente riscalata , in quanto i due casi descrivono differenti

modelli fisici di interazione gravitazionale dei campi di materia ed ognuno di essi può essere

formulato in maniera consistente in entrambi i frames costituendo un differente punto di vista.

I) La metrica originale è fisica:

La lagrangiana per la gravità ed i campi di materia è:

√ (5.6)

Variando l’azione rispetto a si ottengono le equazioni di campo per la gravità:

( ) (5.7)

dove e

√

(√ ). Dal teorema di Noether segue l’identità di

Bianchi che dà la conservazione di .

Usando la trasformazione conforme introdotta precedentemente si ottiene la lagrangiana nel frame

di Einstein (in questo caso di metrica+ campo scalare+ materia) che è dinamicamente equivalente

alla(5.6)

√ [ √

√

] (5.8)

da essa deriviamo le equazioni di campo:

√

√

(5.9)

dove è il tensore energia-impulso del campo , definito come:

(5.10)

Ed in questo caso l’identità di Bianchi diventa:

[ √

√

] (5.11)

121

che mostra come i due tensori non si conservano separatamente dato che come si vede nella

(5.8) il campo scalare e i campi di materia sono accoppiati.

II) La metrica conformemente riscalata è fisica

In questo caso partiamo dalla lagrangiana nel frame di Einstein che è:

√ [ ] (5.12)

dove non compare il termine d’interazione tra campo e campi di materia, poiché non c’è un

motivo fisico per assumere che siano accoppiati, mentre nel primo caso ciò sussisteva poiché era

una manifestazione della gravità stessa, mentre qui il frame di Jordan fornisce le equazioni espresse

tramite per la teoria unificata che include i gradi di libertà gravitazionali e scalari.

Derivando in questo caso le equazioni di campo si ha:

(5.13)

Dove è come definito sopra mentre

√

(√ ), data l’assenza di

interazione tra e si conserva sia il tensore impulso totale che i due tensori

singolarmente . Riportando la (5.13) nel frame di Jordan per trovare

l’interazione della materia con la metrica , non si perviene alla conservazione del tensore

energia-impulso.

Dunque a questo punto si può affermare che interessandoci a teorie gravitazionali con sorgenti

esplicite, a seconda dell’ottica che si vuole adottare, un solo frame alla volta ha significato fisico.

Nel nostro caso in particolare stiamo cercando di dare una spiegazione alla frazione di energia

dell’universo non interpretabile come materia o radiazione nell’ambito della RG, dunque tutto ciò

che non è materia o radiazione deve essere attribuito alla modifica della gravità , ossia

all’introduzione della funzione , dunque le osservazioni stesse portano a considerare il frame

di Jordan come fisico, poiché in esso vengono unificati tutti gli eventuali termini che contribuiscono

all’energia oscura.

5.1.2 VALIDITÀ DELLE TEORIE : VINCOLI LOCALI E COSMOLOGICI

Al fine di scegliere una funzione in grado di generare una teoria gravitazionale che riproduca

i risultati cosmologici, ovvero sia coerente con la storia dell’espansione dell’universo confermata

dalle osservazioni, occorre stabilire dei vincoli su di essa. La teoria della gravità così modificata dà

luogo infatti ad una modifica nelle equazioni che governano il moto dell’universo, le quali devono

risultare in accordo con l’attuale fase di accelerazione preceduta da epoche dominate da radiazione

e materia, ovviamente a questi vincoli vanno aggiunti quelli di stabilità e la verifica della gravità

locale.

Partendo dall’azione modificata con la generica , già definita in (5.1):

122

√

dove ho esplicitato il contributo di che è l’azione relativa ai campi di materia . Nell’approccio

variazionale standard, appartenente al cosiddetto formalismo metrico3, adottato anche in 1.5 derivo

le equazioni di campo variando l’azione rispetto a e ottengo:

( ) (5.14)

La traccia di quest’equazione descrive la dinamica di ⁄ ed è:

(5.15)

dove essendo e rispettivamente la densità di energia e di

pressione della materia, le cui densità soddisfano le usuali equazioni di conservazione:

e ; costituisce il grado di libertà in più che ha la teoria gravitazionale

nel frame di Jordan e ci fornisce anche il primo vincolo che deve essere rispettato nella scelta

di : deve essere infatti per evitare il manifestarsi di antigravità in qualsiasi range di

curvatura.

Le teorie vengono costruite nel limite di realizzare asintoticamente una soluzione di De Sitter

(cfr 2.3.3), che corrisponde ad una soluzione di vuoto con scalare di Ricci costante; al cosiddetto

punto di De Sitter4 si ha che , per cui risulta che:

3 Per derivare le equazioni di campo dall’azione che si definisce in una teoria della gravità, esistono due modi di

procedere dipendenti dall’interpretazione che si dà alla forma del tensore di Ricci , questo infatti è legato alla

metrica e alle connessioni (che definiscono la derivata covariante in uno spazio curvo), i due metodi, pur portando

alle stesse equazioni(nel contesto di RG e modifiche che ad essa si riconducono), si distinguono per come vengono trattate le connessioni. Il metodo di Einstein-Hilbert che è quello del formalismo metrico identifica le connessioni con i simboli di Christoffel (cfr. cap.1) i quali sono completamente definiti dalla metrica, il metodo di Palatini invece tratta le connessioni come variabili proprio come la metrica , quindi è visto come funzione della metrica, della sua

derivata prima e della connessione ; essendo metrica e connessioni trattate come gradi di libertà dinamici

indipendenti ,ci sono due set di equazioni dinamiche provenienti dall’estremizzazione dell’azione rispetto alla metrica e alle connessioni. 4 Nello studio analitico dei modelli , a cui mi sto riferendo, si tratta la dinamica cosmologica del generico modello

di gravità modificata introducendo 4 variabili adimensionali: ( ) che sono funzioni di( ),

attraverso le quali si può definire anche per tali modelli un , mentre variandole rispetto al si costruisce un sistema di equazioni in grado di rappresentare i vincoli cercati in termini di due parametri ) ⁄ ed ⁄ , tale sistema ammette dei punti critici che stabiliscono le diverse caratteristiche evolutive cui

possono dar luogo di tipo diverso e le condizioni di validità e stabilità cosmologica cercate; in particolare, infatti, tra tali punti critici si definisce che è il punto di De Sitter (che in realtà è una famiglia di punti) il quale riassume le

123

(5.16)

molti modelli costruiti con funzioni aventi punti di De Sitter, però, soffrono di problemi sulla

corretta descrizione della gravità locale nonché sull’esistenza di un’ epoca di materia in quanto in

essi non è rispettata la condizione , che costituisce sia un vincolo locale che

cosmologico (quindi per ogni curvatura) e deriva dall’imporre stabilità alla teoria per piccole

perturbazioni. Infatti ponendoci in un regime perturbato [52] possiamo considerare fluttuazioni del

background intorno ai valori attuali di curvatura e densità e sviluppare in serie di potenze

delle fluttuazioni la (5.15) in approssimazione di campo debole, quindi esprimendo lo scalare di

Ricci, il tensore metrico e quello energia-impulso e la funzione in una parte di background più

un termine di perturbazione: , , , e

(dove si è usata l’approssimazione che la metrica di background sia quella di

Minkowski ), l’equazione della dinamica di diventa:

(

)

(5.17)

dove e è così definita:

[

]

[

] (5.18)

Qui la quantità

caratterizza la deviazione dal modello CDM ( ), in un

background cosmologico omogeneo ed isotropo è funzione solo del tempo cosmico e la (5.17) si

riduce a:

(5.19)

segue che se fosse allora rappresenterebbe una forte instabilità, quindi la condizione:

(5.20)

condizioni di esistenza di una fase accelerata tendente asintoticamente ad una soluzione di dark energy con parametro .

124

è necessaria per la stabilità delle perturbazioni cosmologiche, in virtù del vincolo già espresso su

segue che per valere la (5.20) deve essere . Nel frame di Einstein questa condizione

significa chiedere che la particella scalare (scalarone) associata a , cioè al grado di libertà in più,

non sia tachionica, cioè con massa quadratica negativa, da qui si comprende anche che

rappresenta proprio questa massa quadratica e può essere pensata come la derivata seconda

rispetto a del potenziale efficace associato ad esso.

Per la consistenza con i vincoli imposti dalla gravità locale, nel sistema solare, quindi in condizioni

di alta densità(e quindi curvatura, dove cioè lo scalare di Ricci è molto più grande di suo valore

su scala cosmologica , la teoria deve avvicinarsi al modello CDM , quindi il vincolo locale

richiede che per .

Il comportamento cosmologico dei modelli può essere compreso utilizzando un approccio

geometrico che consiste nello studiare la curva nel piano (cfr nota 4) dove ricordo che :

con

(5.21)

Come detto sopra quantifica la deviazione del modello dal modello CDM, infatti

considerando un modello di pura costante cosmologica risulta

Si dimostra che l’esistenza di una fase di materia che preceda quella di accelerazione richiede che la

variabile soddisfi le condizioni:

e ⁄ per

La seconda delle quali è richiesta affinché l’espansione entri in una fase accelerata dopo la fase

della materia. Quindi nel piano ( ) il punto ( ) è detto punto di materia e contraddistingue i

modelli che ammettono un’epoca di materia standard, cioè con andamento del fattore di scala del

tipo ⁄ .

L’esistenza di una fase finale accelerata che segue quella di materia e che asintoticamente tende alla

soluzione prevista nel caso domini una componente di energia oscura con equazione di stato

(De Sitter) si ha se:

per

Sempre in riferimento al piano ( ), la retta , nota come linea critica,

contraddistingue, infine, i modelli che non hanno un’espansione di tipo phantom ( ).

Quindi solo modelli che hanno curve che connettono tali regioni del piano e soddisfano tali

condizioni portano ad una storia cosmologica accettabile.

Lo studio analitico e numerico delle teorie gravitazionali modificate con una funzione di tipo

ha portato a suddividere tali modelli in quattro classi fondamentali, che ammettono tutte un

andamento accelerato nello stage finale ma sono contraddistinte dall’esistenza o meno in esse di

una fase standard di materia [56]; tali classi si possono riassumere attraverso le seguenti

caratteristiche: (I) portano a soluzioni errate, incompatibili con le osservazioni cosmologiche (a

125

questa classe appartengono le che danno luogo a tutte quelle curve che non connettono

soluzioni accelerate con il punto di materia), (II) tendono asintoticamente a soluzioni di De Sitter,

(III) sono fortemente phantom, (IV) si avvicinano a DE standard. Modelli della seconda e della

quarta classe sono quelli presi in considerazione come alternativa al modello standard per spiegare

questa fase di energia oscura.

I vincoli così stabiliti hanno permesso di escludere molti dei modelli : il primo ad essere

proposto assumeva una ⁄ in grado di spiegare che come l’’universo si espande,

l’inverso della curvatura domina producendo un’espansione accelerata, ma è chiaro che tale

modello non verifica i vincoli di gravità locale e mette in luce anche un altro problema cui vanno

incontro i modelli di gravità modificata in questione: la gravità di tipo introducendo un grado

di libertà scalare tradotto nel frame di Einstein con un campo scalare( cui formalmente risulta

associato lo scalarone che media il suo accoppiamento con la materia, necessita per riprodurre

l’accelerazione su scale cosmologiche che tale particella debba essere molto leggera(

e ciò crea una sorta di quinta forza a lungo raggio o equivalentemente una

dissociazione della curvatura dello spazio tempo dalla densità locale[57], cosicché intorno al Sole ci

sarebbe una metrica che non si accorda con le osservazioni, dunque non sarebbero rispettati i

vincoli solari. Una soluzione che si è teorizzata per questo problema, che fondamentalmente nasce

dal pensare il Sole immerso in un background di densità cosmologica, è che se l’alta densità può

essere associata all’alta curvatura, allora potrebbe esistere un meccanismo cosiddetto camaleonte

per cui allo scalarone viene associata una massa che dipende fortemente dalla densità di materia

locale, in modo tale che in regioni altamente dense, come il sistema solare, la massa sia grande e

quindi le violazioni del principio di equivalenza5 siano esponenzialmente soppresse, mentre su scale

cosmologiche, quindi regioni con densità molto bassa lo scalarone possa essere molto leggero e

quindi in grado di generare l’accelerazione osservata, si comprende bene perché modelli che

ammettono ciò siano detti camaleonte.

Le condizioni di validità cosmologica definite nel piano hanno permesso di escludere modelli

del tipo ,per ogni , che potevano essere plausibili generando una modifica

apprezzabile alla lagrangiana di Einstein per basse curvature, ma si dimostra che causano un

cambiamento tale nel fattore di scala da produrre un andamento nella fase dominata dalla materia

del tipo ⁄ . In figura 5.1 sono rappresentati graficamente due di questi modelli, per i quali

la non validità cosmologica si legge in considerazioni grafiche nel piano suddetto, secondo i vincoli

posti su .

5 La forza scalare mediata da ϕ non obbedisce al principio di equivalenza, che è compatibile solo conforze mediate da

campi di spin 2.

126

Figura 5.1 : Nei due grafici sono rappresentate le curve (tratteggiate in verde) per due diverse del tipo ,

dove si vede la loro non validità nel descrivere l’evoluzione dell’universo, perché entrano in regioni proibite dai vincoli:

quelle delimitate dalla linea punteggiata, inoltre non c’è connessione tra il punto di materia(-1,0) e il punto di De Sitter . I

triangoli grigi indicano le direzioni proibite intorno ai punti critici e la linea diagonale è la linea cruciale.

5.2 Modelli accettabili

Tre modelli essenzialmente verificano i test locali e cosmologici di validità appena esposti e non

presentano problemi di fine-tuning sui parametri, e sono i seguenti:

(A) Il modello di Hu-Sawicki:

⁄

⁄ (5.22)

(B) Il modello di Strarobinsky:

[ (

)

] (5.23)

(C) Il modello di Appleby-Battye:

(

) (5.24)

Dove , e sono parametri costanti positivi e è dell’ordine di , la curvatura attuale. Questi

tre modelli tendono tutti al modello CDM per , infatti così da riprodurre i

risultati della RG con costante cosmologica in regioni di alta densità, d’altraparte, invece, il fatto

che per ognuno di essi valga la , significa che la correzione alla Relatività Generale

scompare in un universo piatto, ossia in tali modelli l’energia oscura è un effetto indotto puramente

dalla curvatura, se lo scalare di curvatura diminuisse indefinitamente questi modelli non

tenderebbero a un universo di De Sitter dove c’è una lagrangiana con costante cosmologica

√ ma piuttosto alla RG standard √ . Tuttavia si trova che a valori

127

plausibili dei parametri che caratterizzano tali modelli, la curvatura si congela ad un fissato valore e

cessa di diminuire con la densità di materia generando, quindi, una classe di modelli che

asintoticamente hanno lo stesso comportamento di una costante cosmologica.

Questi tre modelli, anche se analiticamente diversi, sono simili nelle modifiche apportate alla RG,

considerando per essi uno sviluppo per sia per (A) che per (B) troviamo:

[ (

)

] (5.25)

Utilizzando le (5.21) segue che e in questo caso sono:

Ovvero in questo limite i modelli (A) e (B) hanno una deviazione da CDM del tipo:

(5.26)

con e una costante positiva, un tale andamento esprime il fatto che i modelli di

Hu-Sawicki e Strarobinski apportano alla GR una correzione a legge di potenza del rapporto ⁄ ,

che è proprio quello che garantisce il cambio di regime rapido tra la fase passata e quella attuale ed

al contempo permette di rispettare i vincoli locali. Mentre il modello (C) nello stesso sviluppo porta

all’espressione:

[

] (5.27)

andamento che denota come il modello di Appleby-Battye preveda una soppressione esponenziale

delle correzioni apportate alla RG laddove e potrebbe rappresentare il caso limite della

correzione (5.26) per . Quest’ultima in virtù delle sue caratteristiche rimane l’andamento di

base che tutti i modelli di questo tipo devono avere per essere validi. Una variazione più lenta non

produce modifiche accettabili.

5.2.1 LA DINAMICA COSMOLOGICA NEI MODELLI

Una volta stabilita la validità di una funzione è necessario chiedersi che modifica apporta alle

equazioni di background e soprattutto come esprimere tali modifiche in modo confrontabile con i

dati osservativi e con le altre teorie. Le strade seguite per ricostruire la cosmologia in questo tipo di

modelli sono molteplici, la difficoltà rispetto alla RG è la presenza di termini non lineari in . In

molti casi le equazioni di background sono espresse introducendo quantità efficaci in grado di

renderle nella forma più simili alle equazioni standard ed in più di stabilire una connessione tra i

parametri introdotti col modello (rispetto alla teoria standard) e i parametri cosmologici monitorati

con le misure. Quello che ci consente di procedere in questo modo è che nella gravità le

128

equazioni di Einstein possiedono termini extra indotti dalla geometria, che passati dal lato destro6

possono essere interpretati come una sorgente con tensore momento-energia .

Data una , abbiamo visto come la sua modifica alla gravità produce equazioni di campo (5.14)

e (5.15), ponendoci nella metrica FRW (è stata infatti dimostrata la validità del teorema EGS(nota

21 cap.1)[72] per un universo con gravità ) e considerando per il tensore energia-impulso

l’espressione (cfr.1.23) si arriva alle equazioni [52]:

(5.28)

(5.29)

Dove per il fluido perfetto ho considerato solo il contributo della materia non relativistica ,

analogamente a quanto fatto nei modelli di DE fisica, al fine di un confronto con i dati osservativi,

riscrivo le (5.28) e (5.29) come:

(5.30)

(5.31)

dove è una costante e rimangono definite le:

(5.32)

(5.33)

Date così e si può facilmente dimostrare che rispettano l’equazione di continuità:

Possiamo, quindi, scrivere un’ideale equazione di stato ⁄ anche in questo caso, con

la definizione di parametri cosmologici efficaci e ,qui chiaramente il loro significato è

6 Si può pensare che nella gravità i termini aggiuntivi indotti dalla geometria siano rappresentabili come

:

129

formale e non fisico e la loro forma è legata ai parametri introdotti dalla , in tal modo essi

consentono di stabilire un confronto tra il modello adottato ed i dati sperimentali (cfr 4.1), in

quanto si può considerare per essi una variazione all’interno delle formule allo stesso modo di come

abbiamo variato quelli fisici nel confronto tra modello teorico e dati sperimentali, questa

formulazione dell’equazione di stato è quindi direttamente collegata a quella usata nell’analisi delle

osservazioni di SNIa:

⁄ (5.34)

Dove: ⁄

( )

( )

(5.35)

Questa rappresentazione parametrica della cosmologia mostra che data una accettabile, il

modello cosmologico così modificato mostra un andamento passato che approssima quello ΛCDM,

ossia per e . L’esistenza di una fase di materia in regime di alto redshift richiede che

sia in (5.30) e (5.31), un’altra possibile scelta è dove è il valore attuale di ,

purché tale valore sia prossimo all’unità, in entrambi i casi esiste la possibilità di avere

prima di raggiungere l’andamento di De Sitter poiché la presenza di nella (5.34) rende il

denominatore minore di uno. Dunque i modelli possono dar luogo a equazioni di stato di tipo

phantom senza violare le condizioni di stabilità del sistema.

È stata già ampiamente sottolineata l’importanza del fatto che il modello di gravità modificata

debba riprodurre la storia evolutiva dell’universo per come delineata in virtù dell’accordo tra il

modello ΛCDM e le osservazioni, ciò porta ad una naturale riflessione, divenuta metodo di calcolo

in molti studi condotti su particolari scelte della funzione (Hu-Sawicki 2007, Capozziello 2005 et

al.): si può prescrivere l’andamento voluto del fattore di scala e integrare un’equazione

differenziale per che produce il fattore di scala desiderato[72], sebbene ciò non determina in

modo univoco la forma di , ma ne individua delle classi, come visto nel §5.2; tra l’altro i dati

osservativi danno informazioni sulla storia di ma non sono sufficienti a ricostruire

completamente perché occorrono informazioni aggiuntive che potrebbero venire dalle

perturbazioni di densità, di fatto i modelli di gravità modificata possono essere distinti dal ΛCDM

studiando l’evoluzione della crescita delle perturbazioni nella densità di materia.

Come esempio di tale tipo di studio riporto quello condotto da Hu e Sawicki [57] , la cui tipologia

di modelli è stata introdotta nel § 5.2. Essi sono stati esplicitamente pensati per soddisfare vincoli

cosmologici e solari in certi limiti dello spazio dei parametri ovvero con sufficienti gradi di libertà

nella parametrizzazione da abbracciare il più ampio range di fenomeni a basso redshift attualmente

osservabili. Prendiamo in considerazione la funzione di Hu-Sawicki espressa come:

( ⁄ )

⁄ (5.36)

130

dove

con densità media dell’universo e e parametri adimensionali. Abbiamo già

discusso la sua attendibilità come modello di gravità modificata in relazione al rispetto dei vincoli

discussi per le teorie , infatti si riconduce alla fenomenologia del ΛCDM essendo

e , ora descriviamo le equazioni del moto di background.

Ripartendo dalle equazioni di campo modificate, considerando acquisite le condizioni in cui si

passa all’equazione di Friedmann:

(

) (5.37)

Per un background di tipo FRW piatto abbiamo che (cfr.1.58):

(5.38)

Dove è il parametro di Hubble e l ⁄ , quindi le equazioni di Einstein modificate

diventano le equazioni di Friedmann modificate:

(5.39)

Riscriviamo questa in termini di due parametri il cui valore scompare nel limite di alto redshift

quando cioè la correzione dovuta ad è trascurabile, così definiti:

(5.40)

Si ottiene un sistema di equazioni differenziali accoppiate:

(5.41)

[ (

)

] (5.42)

A questo punto al fine di valutare gli effetti delle modifiche e confrontarli con quelli dei modelli di

energia oscura fisica possiamo ricorrere alla definizione di quantità efficaci che formalmente

descrivono l’effetto di questa correzione che spiega l’accelerazione come fosse un’energia oscura

131

geometrica7, quindi come fosse un fluido, cui si può attribuire una densità di energia aggiuntiva

oltre a quella di materia, cui compete un parametro di stato che ne detta l’andamento

variabile col fattore di scala(del tipo (2.6)):

( )

(5.43)

Introducendo questa quantità si può riscrivere la prima equazione di Friedmann come:

(

)

( )

(5.44)

Anche la densità di materia si è espressa come una quantità efficace in quanto l’unico fluido

reale in questo modello e nelle condizioni in cui ci siamo posti(radiazione trascurabile e universo

piatto) è la materia, che ha quindi densità di energia pari a 1, così in un universo dominato

dalla gravità di Einstein le modifiche sono espresse in termini di quantità efficaci e , essendo

tali che . A questo punto si può sostituire la (5.44) nella (5.41) e considerando che

si arriva a scrivere:

( )

(5.45)

Dall’equazione di continuità per il fluido si ha:

(5.46)

da cui si ricava che:

(5.47)

Attraverso la (5.44) possiamo esprimere in funzione delle equazioni differenziali date e

pervenire all’espressione:

7 Sto indicando in questo esempio specifico col pedice’ ‘questa componente di natura geometrica che si comporta

come una dark energy, ove precedentemente indicata con pedice ‘ ’ riferendomi al caso generale.

132

(5.48)

Nelle equazioni differenziali vanno espresse anche e in funzione di e , necessario

passaggio è riscrivere lo scalare di curvatura come: , notiamo che nel limite

si ha:

(

)

(5.49)

per ⁄ a fissato valore ⁄ , il modello tende ad una costante e ad un valore finito di

⁄ la curvatura si congela, non continua a diminuire insieme alla densità di materia, come detto

in precedenza, per cui l’approssimazione fatta vale durante l’intera espansione dell’universo.

Mettendoci, ora, nella prospettiva di valutare le modifiche apportate da in termini

dell’equazione del moto (5.15) del campo , si dimostra che questo campo è sempre vicino al

minimo del potenziale effettivo , il quale è definibile dalla (5.15) come ⁄ e si

dimostra avere un minimo in . Volendo restringere la scelta dei parametri che

controllano la validità del modello al caso in cui la deviazione dell’equazione di stato effettiva da

quella del ΛCDM ( sia nel range | | , condizione che equivale ad avere

attualmente , si può scrivere quindi che:

(5.50)

Dove il termine è pressocchè costante e riproduce la densità di energia della componente di

energia oscura fittizia così da legare i parametri liberi a quelli cosmologici:

(5.51)

In questo modo gli unici parametri attraverso i quali possiamo esprimere quanto il modello si

discosta da ΛCDM sono . e ⁄ ⁄ .

Dunque nel nostro modello l’espansione di un universo piatto le cui componenti sono rappresentate

dai parametri di densità e ci porta a:

(

) (5.52)

Derivando la (5.49) si ha:

(

)

(5.53)

133

Al tempo attuale si ha: (

) e quindi:

(

)

(5.54)

Da cui si ricava che:

(

)

(5.55)

In tal modo i parametri che controllano la teoria sono e e chiarito ciò il sistema di equazioni

differenziali può essere risolto. L’integrazione richiede la definizione di condizioni iniziali, se si

parte da un redshift corrispondente all’epoca di materia allora all’istante iniziale e si ha

che:

(

)

(

)

come segue rispettivamente dalla (5.44) calcolata in epoca di materia e sostituita in e dall’aver

considerato la derivata logaritmica della pari a che dalla (5.38) porta

all’espressione di già ricavata in (5.52), proprio per ,e che sostituita in ci dà la

seconda condizione iniziale che ci serve. A questo punto si può risolvere numericamente il sistema

di equazioni differenziali ottenendo gli andamenti di e in funzione del fattore di scala o del

redshift , a e fissati di volta in volta; si può inoltre ottenere l’andamento del parametro ,

nel caso specifico della funzione di Hu-Sawicki dunque lo studio di ha mostrato che a qualsiasi

fissato valore di e il modello presenta attualmente un che successivamente

decresce e attraversa la linea critica del phantom crossing, mentre spostandosi verso grandi redshift

tende a nel passato, ovviamente variando i parametri che controllano il modello cambia il

redshift a cui tali passaggi avvengono e la distanza dal valore .

Anche se in alcuni casi è possibile trovare soluzioni esatte alle equazioni cosmologiche, il

comportamento in generale delle soluzioni può essere valutato con un’analisi nello spazio delle fasi

e per un universo con metrica FRW spazialmente piatto la variabile dinamica è ed una

conveniente scelta di spazio delle fasi è ( . Quindi per ogni forma della funzione lo

spazio delle fasi è una varietà bidimensionale contenuta in uno spazio tridimensionale ( ), con

spazi di De Sitter come punti fissi.

5.3 Teorie

Si è considerata un’estensione ulteriore dell’azione di H-E assumendo che il campo gravitazionale

possa essere descritto da equazioni derivate da un’azione espressa come un'arbitraria funzione di

e di la densità di lagrangiana di materia[67], dove cioè si abbandona la condizione di

accoppiamento minimo. In tali teorie di gravità modificata si ha

134

√ (5.56)

Il tensore energia-impulso è

√

√

, variando l’azione rispetto alla metrica si

derivano le equazioni di campo:

( )

[

]

(5.57)

dove ⁄ e ⁄ . Le proprietà interessanti che possiamo mettere

in luce di tali modelli sono innanzitutto che non necessariamente , si ha infatti che:

[ ]

(5.58)

La conservazione del tensore momento-energia della materia, allora, richiede che la (5.58) sia posta

uguale a zero, questa condizione, una volta nota la ,ci permette con l’opportuna scelta della

funzione di costruire modelli conservativi con arbitraria dipendenza materia-geometria.

Un’altra caratteristica nella gravità è che il moto di particelle test non è geodetico per la

presenza di una forza ulteriore, se ci poniamo nel caso di un fluido perfetto con equazione di stato

del tipo considerato ) e di conseguenza anche , allora l’equazione del moto è:

+

e la forza è data da:

[

] (5.59)

Si nota che è perpendicolare alla quadrivelocità .

Il moto non geodetico è dovuto all’accoppiamento non minimo presente nel modello e implica la

violazione del principio di equivalenza che è altamente vincolato dagli esperimenti nel sistema

solare; comunque è stato recentemente riportato dai dati relativi ad Abell Cluster A586 che

interazioni di dark matter e dark energy implicano la violazione del principio di equivalenza, è

importante dire a tal proposito che tale violazione è anche trovata come proprietà a bassa energia in

alcune versioni di teorie di dimensioni più alte. Quindi è possibile testare questo tipo di modelli in

un contesto di violazione del principio di equivalenza8.

8 Gli interrogativi lasciati aperti dalla RG, portano a riesplorare le nozioni standard alla base della teoria di Einstein per

cercare criteri ulteriori per stabilire modifiche ad essa [47]. Una di tali questioni è se il principio di equivalenza può fornirci un criterio per fissare la forma delle teorie di gravità modificata. Nella formulazione di Palatini, non

135

L’azione dei modelli si presenta come la massima estensione dell’azione di H-E per il

campo gravitazionale, essa ha una struttura additiva essendo costruita come la somma di differenti

termini descritti indipendentemente: geometria, materia e loro accoppiamento; d’altraparte le teorie

di gravità modificata aprono la possibilità di andare oltre questa struttura algebrica e di

esaminare modelli in cui la Lagrangiana è ad es del tipo [68] cioè

in essa compare il prodotto di distinte funzioni dello scalare di Ricci ( e della Lagrangiana di

materia( ), quindi una sua naturale estensione è lo studio di equazioni di campo in gravità

modificata con arbitrari termini di accoppiamento curvatura-materia. E’ stato studiato l’effetto del

nuovo accoppiamento considerato sull’equilibrio stellare [69] ed utilizzando come modello quello

del Sole si è trovato che l’effetto sulla temperatura centrale (nota con la precisione del 6%) è

inferiore all’1%, valore consistente con l’incertezza delle stime attuali. Le implicazioni astrofisiche

e cosmologiche di tali modelli sono oggetto di attuali studi, per esplorare il legame tra le teorie

e l’evoluzione cosmologica è necessario costruire specifici modelli fisici. La caratteristica

principale di tali modelli è il moto non geodetico e molti studi sono stati compiuti sulle

conseguenze fisiche ti tale forza extra che lo produce e le sue implicazioni per il problema della

materia oscura, cioè la possibilità che le curve di rotazione galattica e la discrepanza in massa nelle

galassie e negli ammassi di galassie possa essere spiegata in modelli gravitazionali in cui c’è un

accoppiamento non minimale tra materia e geometria piuttosto che postulando l’esistenza di una

qualche forma esotica di materia, argomentazione che si ricollega alla teoria MOND (Modified

Newtonian Dynamics) principale alternativa alla materia oscura. Naturale test di verifica di tali

modelli è proprio l’analisi del moto di particelle di prova su scala galattica.

A titolo di esempio riporto uno studio [71] condotto su un modello di tipo esponenziale9

(Linder 2010) riguardo l’evoluzione del parametro di Hubble nei due casi di accoppiamento minimo

e non, assumendo per esso un’espressione semplice del tipo . La funzione di

Linder [70] ha il vantaggio di introdurre un solo grado di libertà in più rispetto al modello ΛCDM

ed è il parametro che compare nella sua espressione: ⁄ essendo

l’attuale curvatura. Si è cercato di porre vincoli osservativi su espresso adimensionalmente

come ⁄ nei due casi di accoppiamento considerati e si è trovato che nel caso di

accoppiamento minimo presenta un limite superiore, nel caso di accoppiamento curvatura-materia

necessariamente le teorie di gravità modificata rispettano il principio di equivalenza formulato da Einstein(EEP). La classe di teorie di gravità modificata dove le formulazioni metrica e di Palatini si equivalgono è quella delle teorie di gravità di Lovelock, che mostrano una realizzazione dinamica dell’EEP, nel senso che può essere una richiesta esplicita sulla dinamica. 9 La cosiddetta gravità esponenziale, dove cioè si presenta in forma esponenziale ha presentato buoni accordi,

con opportuna scelta di parametri, con i vincoli previsti per tali teorie, l’inconveniente è la grande similitudine col modello CDM da cui non si discosta tanto da essere un’alternativa vantaggiosa nelle soluzioni che può offrire rispetto alla teoria standard.

136

esiste un range di possibili valori per e questi vincoli dipendono dal valore di (misura attuale

del parametro di decelerazione) che si usa. Derivando nei due casi diversi un’equazione di

evoluzione dell’universo differente (quindi un andamento diverso per ), si è scelto di esprimerla in

forma parametrica attraverso tre quantità , ossia il parametro del modello di gravità esponenziale e

i due parametri cosmologici e e di studiare i due andamenti in funzione del redshift . Il

confronto per tale modello è stato fatto con i dati relativi alle supernovae di tipo Ia provenienti da

Union2 dataset che contiene 557 moduli di distanza con la nota distanza di

luminosità (3.23) e dati relativi alle oscillazioni acustiche barioniche prodotte sulla superficie del

disaccoppiamento, per essi si calcola il rapporto di distanza

⁄ dai dati di SDSS, questi dati osservativi insieme

hanno permesso di porre vincoli sul modello a tre parametri adottato. Entrambi i modelli

ammettono il passaggio da una fase di decelerazione ad una di accelerazione, nel modello con

accoppiamento il parametro di Hubble evolve più velocemente. Infine, come già anticipato, per il

modello minimamente accoppiato si trova sempre un limite superiore per nonché per , che può

variare variando , cioè si sposta verso valori più alti come si incrementa e per inferiori il

modello diventa patologico presentando singolarità in , mentre il modello con accoppiamento

presenta un range di valori possibili per ogni valore di ,intervallo che al crescere di si sposta

verso valori più piccoli di .

Figura 5.2: Contorni 1σ e 2σ nel piano ( per il modello minimamente accoppiato(fig. sinistra)e per il modello con

accoppiamento(fig. destra)le linee continua, tratto e tratto-punto si riferiscono rispettivamente a .

5.4 Ulteriori modelli di gravità modificata: il termine di Gauss-Bonnet

Le teorie formalmente aggiungono un grado di libertà al campo gravitazionale che si esplicita

nell’introduzione di un campo scalare, ma l’azione di H-E può essere modificata aggiungendo

137

anche termini di tipo diverso, un caso è quello del termine di Gauss-Bonnet, , che pur essendo

una combinazione dei tensori di Ricci ( ) e di Riemann ( ) e quindi fa comparire nella

lagrangiana termini del secondo ordine nella metrica, non dà luogo necessariamente ad

instabilità. è così definito:

(5.60)

utilizzando tale termine invariante si è esaminata la possibilità di riprodurre l’accelerazione cosmica

accoppiando ad un campo scalare, andando a studiare le equazioni del moto prodotte da

un’azione del tipo:

√ [

] (5.61)

Dove e sono funzioni del campo scalare . L’interesse nell’esaminare modelli di questo

tipo nasce dal fatto che azioni come la (5.61) emergono in teorie efficaci a basse energie di stringhe

[64]. Tuttavia sia i vincoli solari che un confronto di tali modelli con i dati relativi a BAO, LSS e

BBN, hanno dimostrato che sono fortemente sfavoriti perché quando il termine diventa

dominante nella dinamica le perturbazioni del tensore sono soggette ad instabilità negative, mentre

nel confronto con i vincoli locali il contributo all’energia proveniente da dovrebbe essere

fortemente ridotto per essere consistente con gli esperimenti nel sistema solare [52]. Ciò è

sufficiente per concludere che il termine di Gauss-Bonnet accoppiato ad un campo scalare

difficilmente è interpretabile come sorgente di dark energy e quindi alla base di un modello che la

descriva.

Sono stati studiati anche modelli in cui il termine compare in forma funzionale a

modificare l’azione della RG analogamente a quanto fatto nelle teorie e seguendo gli stessi

criteri si è studiata la validità a scale solari e su scala cosmica trovando che soluzioni di De Sitter

stabili, per descrivere la recente fase evolutiva, sono ammesse se ⁄ , condizione che

evita la loro instabilità nelle fasi di materia e radiazione, tali modelli, pur essendo

cosmologicamente accettabili a livello di background, tuttavia generano crescita nelle

perturbazioni10

(instabilità UV) non compatibili con le misure.

Infine sono state formulate teorie che presentano accoppiamento curvatura-materia [65], dove

compare a moltiplicare (densità di lagrangiana di materia) in un’azione di tipo:

10 La crescita delle perturbazioni in questo tipo di modelli diventa maggiore a scale più piccole generando un’instabilità

ultravioletta non compatibile con lo spettro delle galassie osservate e che li esclude come possibile alternativa al ΛCDM.

138

√ {

} (5.62)

qui sto ponendo . Variando l’azione rispetto alla metrica si ottengono le equazioni del

campo gravitazionale con le opportune modifiche rispetto alla(1.28) per la presenza di termini del

tipo ⁄ le quali mostrano che cioè il tensore energia-impulso della materia

( √ ⁄ ) (√ ) ⁄ non si conserva per via dell’accoppiamento con la geometria e ciò

comporta anche che le equazioni del moto di una particella prova non sono geodetiche per la

presenza di una forza aggiuntiva che si presenta come una . Tuttavia in tali modelli

si sono studiate le condizioni energetiche affinché la gravità così modificata si mantenga attrattiva e

i criteri di stabilità per punti di De Sitter e al fine di ottenere informazioni sul significato di queste

condizioni di energia sono state fatte specifiche scelte di funzioni di sia nel caso che

nel caso (dove e per imporre le condizioni suddette si son considerate delle e

cioè quantità effettive definite in funzione di ( , , ) assimilando questi modelli

formalmente a quello standard di Relatività Generale, per cui tali condizioni possono degenerare in

quelle ben note della RG e inoltre condizioni e candidati per spiegare la fase di accelerazione

dell’universo nei casi specifici di presi in esame, sono stati studiati attraverso l’introduzione

di un’equazione di stato per la materia con ⁄ come prevede la condizione di universo

accelerato e di una legge di potenza per il fattore di scala, trovando che gli effettivi candidati per

spiegare l’equazione cosmica sono o una quintessenza efficace con ⁄ o un

phantom efficace con .

Le teorie così come le teorie di gravità modificata possono portare a rappresentazioni

effettive di tipo phantom o di quintessenza per la dark energy senza la necessità di introdurre

termini cinetici negativi (potenziali di tipo phantom) o fluidi ideali con pressioni negative [64],

quando è definibile un assimilabile a quello dei modelli di DE fisica in questione.

5.5 Modello DGP

All’interno della teoria delle stringhe si è fatto spazio il concetto di brana11

ed in tale contesto sono

stati formulati modelli chiamati mondo di brane nei quali si suppone che lo spazio-tempo in cui

viviamo coincida con l’evoluzione temporale di una brana 3-dimensionale (quindi è una varietà 4-

11 Negli ultimi anni hanno riscosso molto interesse teorie di campo dove il modello standard della fisica delle alte

energie è assunto aver ragion d’essere su una superficie, chiamata genericamente brana, incorporata in uno spazio-tempo più ampio, modelli che derivano dalla string- M-Theory , o D-branes o altri con approccio più sperimentale sono stati studiati soprattutto in cosmologia [78].

139

dimensionale) immersa in uno spazio-tempo esterno , bulk , che ha una dimensione spaziale

extra e quindi ha in totale dimensioni. In questo scenario è stato formulato il modello DGP

(Davli-Gabadadze-Porrati) che tenta di spiegare l’accelerazione attraverso l’effetto di dispersione

della gravità in extra-dimensioni. Sostanzialmente si affronta la questione di come possa emergere

una gravità 4-dimensionale in uno spazio-tempo di Minkowsky con extra-dimensioni [76]. Nel

modello standard di brana le particelle sono confinate sulla brana 3D mentre la gravità no12

perché

può diffondersi nel bulk.

Nel modello DGP l’azione è costruita in modo tale che a brevi distanze si ritrovi il potenziale

standard della gravità in 4D, mentre a larga scala si manifesti la gravità in 5D [74,76] ed è

esprimibile come:

√

√ √ (5.63)

Dove ed sono rispettivamente la massa di Planck e lo scalare di Ricci nello spazio 5-

dimensionale, è il determinante del tensore metrico nel bulk con , mentre

la metrica indotta sulla brana13

è con ed il corrispondente

scalare di Ricci, è la lagrangiana di materia confinata sulla brana; si riconosce nel primo e nel

secondo termine l’azione di Hilbert-Einstein rispettivamente nel bulk 5D e nella brana. Il secondo

termine, che è caratteristico del modello DGP rispetto al modello standard di brana è quello che

permette di ottenere una gravità newtoniana 4D a piccola scala e lo si può pensare generato o da

effetti quantistici sulla materia confinata sulla brana, quindi come correzione quantistica alla gravità

5D del bulk, oppure per accoppiamento con un campo scalare 5D, tale termine recupera le consuete

leggi gravitazionali riproducendo la gravità come un termine di curvatura intrinseco della brana

[78]. La lunghezza caratteristica di crossover che segna il passaggio da un regime14

gravitazionale

all’altro

è:

12 Questo concetto nel modello di brana è in accordo con la teoria della relatività generale per cui la gravità è

intrecciata con lo spazio-tempo, quindi si diffonde nel bulk e non rimane confinata sulla brana. 13

e le sono le coordinate del nostro universo e la è la

coordinata della extra-dimensione, per cui la brana è collocata in . 14

L’andamento dei potenziali gravitazionali, sulla brana e nel bulk si trova per integrazione della funzione di

Green: dove la può essere espressa come la trasformata di Fourier

, essendo il 4-impulso e

| |, studiando l’espressione di per

si ritrova mentre nel caso si determina l’andamento nel bulk [77].

140

(5.64)

per scale di lunghezza caratteristica √

molto più piccole di la gravità si

comporta come nell’usuale teoria 4D, mentre a grande distanza si perde nel bulk in modo tale da

determinare un indebolimento della gravità sulla brana, attraverso questo meccanismo si comprende

l’importanza che le dimensioni maggiori giocano in tale modello, perché determinano

l’accelerazione dell’universo oltre la scala del crossover dei potenziali 4D e 5D. Quindi

l’accelerazione avviene sulla brana senza l’introduzione di alcuna costante cosmologica in essa,

In termini del raggio di Hubble( per un universo piatto) il passaggio da un andamento del potenziale

gravitazionale all’altro avviene quando è dello stesso ordine di grandezza della lunghezza scala

di crossover della gravità 4D e 5D, quindi affinché questo modello possa trovare accordo con i

risultati raggiunti dalla cosmologia standard si deve assumere che che equivale a scegliere

[77].

Se si assume una metrica FRW sulla brana si possono scrivere le equazioni di Friedmann del

modello DGP che presentano delle modifiche rispetto al modello cosmologico standard

permettendo di confrontare la teoria con le osservazioni[79, 80]. La prima equazione di Friedmann

nel modello DGP è:

√

(5.65)

Dove rappresenta il fluido cosmico costituito in tale modello solo da materia e radiazione, è il

consueto fattore di curvatura spaziale. Analogamente a quanto visto per gli altri modelli è possibile

definire la funzione:

√ √

Dove sto trascurando il parametro di curvatura considerando uno spazio-tempo piatto con

e dove

⁄ . Il modello DGP piatto risulta dipendente solo dal parametro .

I dati sperimentali provenienti dai quattro studi fondamentali della dark energy , secondo il progetto

DETF, hanno permesso di stabilire un confronto del modello DGP col modello standard tanto

considerando una prospettiva geometrica (con le misure sulle SN Ia, sulle BAO e sulle anisotropie

della CMB), quanto una prospettiva dinamica (con le misure relative alla funzione di crescita

141

⁄ delle perturbazioni lineari della materia espressa in funzione del redshift ).

Utilizzando una statistica del per ogni set di dati considerato15

si è costruita la funzione totale di

probabilità ⁄ come prodotto delle singole probabilità:

e si è trovato che questo modello è statisticamente sfavorito rispetto al modello ΛCDM. Dunque

sebbene una tale teoria presenti problemi di natura fenomenologica, la cosmologia in essa

sviluppata può aiutare a comprendere meglio questo genere di modelli e l’idea della localizzazione

della gravità attraverso un termine di curvatura intrinseca sulla brana.

5.6 Modelli olografici di energia oscura

In uno contesto di gravità quantistica è stato formulato un modello olografico di energia

oscura(HDE), al quale ho fatto brevemente riferimento nel §3.6. HDE ed altri modelli olografici

teorizzati per la DE (ADE: agegraphic dark energy e RDE: Ricci dark energy) si fondano sul

principio olografico che determina il range di validità di una teoria quantistica di campo che dia

un’accurata descrizione dell’energia oscura [81]. Questo principio impone un legame tra i cut-offs

(UV) a piccole distanze e a grandi distanze (IR) dovuto al limite imposto dalla formazione di un

buco nero16

, esso afferma che se la densità di energia quantistica di punto zero è rilevante al cut-off

UV, l’energia totale dell’intero sistema che abbia dimensione caratteristica non può superare la

massa del buco nero di uguale dimensione, condizione che si esprime come: , se il sistema

che si considera è l’intero universo, l’energia del vuoto pensata relativamente a tale principio

olografico è vista come energia oscura, detta energia oscura olografica e la sua densità in tale

modello è pari a:

(5.66)

15 Per una quantità fisica ξ con valore osservato , valore teorico aspettato e deviazione standard , il valore

del è :

. La statistica del è stata usata per ottenere il miglior fit dei parametri in relazione al

modello cosmologico usato, di per sé non costituisce uno strumento per definire la validità del modello. 16

In una teoria di campo con cut-off UV all’interno di una scatola di volume l’entropia scala estensivamente:

. La peculiare termodinamica del buco nero, però, ha portato Bekenstein ad affermare che l’entropia

massima non si comporta estensivamente, crescendo soltanto come l’area della scatola e non come il volume:

. Questo spiega la formulazione del principio olografico in una teoria quantistica di campo.

142

Dove è il parametro che caratterizza il modello, √ ⁄ è la massa di Planck ridotta,

scegliendo il cut-off IR nella scala di Hubble , ad esempio , la dimensione del nostro

attuale universo, allora la densità di energia oscura sarebbe vicina al valore osservato. In una

formulazione più generale di HDE la dimensione del cut-off IR corrisponde all’orizzonte degli

eventi futuro:

(5.67)

Anche se la scelta sembra essere favorita ad esempio ammettendo nel modello

un’interazione tra materia oscura ed energia oscura [81].

I vantaggi che presenta un modello di energia oscura olografica sono relativi al fatto che

permetterebbe simultaneamente una soluzione ad entrambi i problemi del modello standard, come

già visto per il problema del fine-tuning, che si riduce all’appropriata scelta di e al problema della

coincidenza poiché ammette per l’energia oscura un’equazione di stato dinamica, infatti l’equazione

di Friedmann che si scrive per tale modello, ipotizzando uno spazio piatto è:

(5.68)

Combinando la definizione di dark energy olografica (5.66) e l’espressione (5.67) con l’equazione

di Friedmann appena data, si arriva a scrivere l’equazione di stato relativa:

(5.69)

Si vede come tale equazione evolve dinamicamente e soddisfa la ⁄ ⁄

posta la condizione . Dunque tale modello ammette un’evoluzione per la dark energy

olografica senza ricorrere al campo scalare di quintessenza. Il parametro è quello che si cerca di

quantificare in un confronto con i dati sperimentali, infatti se il comportamento dell’energia

oscura olografica è molto simile a quello di una costante cosmologica e l’espansione dell’universo

ricalca quella prevista dal modello standard con una fase futura di De Sitter; se invece

l’energia oscura si comporta secondo il cosiddetto modello Quintom, cioè la sua equazione di stato

attraversa la linea phantom durante l’evoluzione poiché passerebbe da un valore nel

passato, ad un valore , se invece allora il parametro dell’equazione di stato della HDE

sarà sempre maggiore di e quindi l’universo evita di entrare in una fase di De Sitter e di Big

Rip.

Tanto i risultati provenienti dalle osservazioni delle SNe Ia sono stati utilizzati per porre vincoli sul

parametro del modello olografico, tanto in un secondo momento all’analisi sono stati aggiunti

unitamente i dati della CMB e delle LSS (fig. 5.3). I soli dati delle supernovae sono consistenti col

caso al livello di confidenza e non sono sufficienti a porre vincoli stringenti, anche perché

molto sensibili al valore che si attribuisce al parametro , l’analisi combinata anche con i dati

provenienti dallo spettro della CMB e dalle strutture su larga scala hanno permesso di trovare

vincoli più stretti, il miglior fit dei parametri in gioco ha prodotto i seguenti risultati: ,

143

e (numero adimensionale17

con cui si parametrizza ) [81,82], sempre

secondo una statistica del (cfr 5.4).

Continuano ad essere effettuati test di validità del modello olografico ad alti redshift, come

accennato relativamente al test di Sandage-Loeb [30,31].

Figura5.3: Distribuzione di probabilità relativa ai valori del parametro c nel fit di dati di solo SNIa e in quello relativo ai dati

di SNIa+CMB+LSS insieme[82].

5.7 Considerazioni finali

I problemi di consistenza del modello cosmologico standard nel riconoscere nel vuoto la sorgente di

energia oscura per spiegare l’accelerazione nell’espansione cosmica osservata hanno evidenziato

come l’energia del vuoto sia un problema che coinvolge tanto la meccanica quantistica quanto la

gravità, essendo questa la sola forza in natura in grado di confrontarsi con essa. Da qui il proliferare

di modelli che cercano soluzioni al problema dell’energia oscura tanto dal punto di vista

quantistico, con la giusta valutazione dell’energia del vuoto, tanto nella revisione della teoria

17Il parametro di Hubble viene spesso riportato in termini adimensionali attraverso : .

144

gravitazionale ed infine all’interno della teoria delle stringhe, cioè della teoria quantistica della

gravità.

In tali modelli l’energia oscura ed i suoi effetti sull’espansione sono stati caratterizzati attraverso il

parametro dell’equazione di stato che non è la quantità direttamente misurabile, ciò suggerisce

che è conveniente introdurre una descrizione dell’energia oscura che sia meglio abbinata alle

osservazioni, nonché la formulazione di modelli teorici in grado di fare previsioni abbastanza

specifiche da selezionare il migliore modello corrispondente e distinguerlo dal modello ΛCDM,

essendo attualmente il più in accordo con i dati sperimentali[80]. Esso fornisce la spiegazione più

semplice per la dark energy, considerandola l’energia del vuoto cui associare un parametro

, pur soffrendo dei problemi di coincidenza e di fine-tuning. Il modello teorico della

quintessenza che spiega l’esistenza di una dark energy attraverso la presenza di un campo scalare

cui associare un’equazione di stato lentamente variabile nel tempo, con l’assunzione di soluzioni

traccianti si accorderebbe con la storia evolutiva tracciata dal ΛCDM , non incorrendo in

incongruenze con i dati sperimentali, relativamente alla storia passata, e tentando così di dare

soluzione al problema della coincidenza ma continua a soffrire di un problema di fine-tuning

sull’energia potenziale. Nel modello di k-essenza, invece, il termine non canonico di energia

cinetica nella lagrangiana può spiegare la recente accelerazione senza bisogno di un’energia

potenziale ad hoc e l’esistenza di una soluzione tracciante risolverebbe il problema della

coincidenza, pur rimanendo, anche in tale modello, inspiegato il valore così piccolo dell’energia del

vuoto, oltre a generare problemi di natura quantistica associati all’esistenza di una fase phantom

ammessa in esso. I modelli in cui si assume un accoppiamento tra dark energy e dark matter, in

virtù della risoluzione del problema della coincidenza, risultano strettamente vincolati dagli attuali

dati sperimentali che indicano per il fattore di scambio nel settore oscuro un valore esiguo| |

e si cerca di valutare se meccanismi camaleonte, con l’associazione di un campo scalare accoppiato

alla materia, possano essere contemplati in tali modelli per continuare a testarli. Così come ai

modelli unificati di materia ed energia oscura, come quello del GCG, che prevedrebbero una

crescita delle disomogeneità inconsistente con le osservazioni, si cerca di associazione un modello

di k-essenza in grado di produrre un nell’epoca primordiale ed un nell’epoca più

recente ed ovviare così al problema della crescita dovuto al fatto che il modello unificato ammette

un aumento della velocità del suono(cfr cap.3 nota 35) a in grado di portare ad una crescita

delle disomogeneità non osservata.

I modelli di gravità modificata con funzioni , il cui realizzarsi in natura trova consistenza con

lo spettro di potenza di materia ed il weak lensing, costituiscono attualmente dei modelli molto

validi per spiegare questa fase accelerata dell’universo senza ricorrere ad una componente

energetica ignota, con la scelta opportuna delle funzioni , tra le quali si è visto ne esistono

alcune(camaleonte) in grado di superare, senza eccessive restrizioni sui parametri, i test di alta

curvatura ed al tempo stesso produrre una fase accelerata in epoca recente. Rimane in essi il

problema di differenziarli sufficientemente dal ΛCDM nelle osservazioni, poiché ciò non può

avvenire da misure di background, né attualmente si è riscontrato nelle misure dell’effetto ISW

dello spettro della CMB Gli ulteriori modelli presentati: DGP, il modello olografico nonché LTD, si

allontanano maggiormente dalla cosmologia standard, presentando i primi due la necessità di una

145

revisione della gravità in chiave quantistica, mentre il modello di inomogeneità si presenta

fortemente sfavorito dal non accordo con le osservazioni della CMB.

146

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RINGRAZIAMENTI

Ringrazio i miei genitori che mi hanno fatto nascere e vivere in un luogo dove il cielo non

può che entrarti nel cuore e per avermi sempre sostenuta facendomi sperimentare con la

loro presenza il senso della parola infinito e per lo stesso motivo sono grata a mia sorella

Roberta che in mille forme ha saputo aiutarmi e spronarmi insieme ad Adriano, a cui

anche dico grazie.

Sono felice che nella storia ci sia stato un 1969, visto che in tale anno sono nate molte

delle persone che hanno svolto un ruolo chiave affinché questa tesi fosse scritta.

Ringrazio, quindi, il professore Alessandro Melchiorri per la disponibilità e l’aiuto nel

realizzarla.

Infine voglio dire grazie a coloro che hanno atteso con partecipazione che mi laureassi,

dimostrandomi il loro sostegno e spesso la loro stima e affetto con parole, con gesti e con

fiducia che mi hanno fatto luce.

La curiosità e la voglia di conoscere la realtà che ci circonda è una condizione essenziale

per percorrere questo cammino e ringrazio il linguaggio della fisica che mi ha insegnato

cos’è la concretezza senza dover abbandonare la necessità dell’immaginazione.