UNIVERZA NA PRIMORSKEM PEDAGO SKA FAKULTETA … · PEDAGO SKA FAKULTETA KOPERˇ Matematika in ra cunalniˇ ˇstvo VIZINGOV IZREK IN SNARKI DIPLOMSKO DELO Mentor: Kandidat: doc. dr

UNIVERZA NA PRIMORSKEMPEDAGOSKA FAKULTETA KOPER

DIPLOMSKO DELO

NINA CHIARELLI

UNIVERZA NA PRIMORSKEMPEDAGOSKA FAKULTETA KOPER

Matematika in racunalnistvo

VIZINGOV IZREK IN SNARKI

DIPLOMSKO DELO

Mentor: Kandidat:doc. dr. Klavdija Kutner Nina Chiarelli

Koper, 2011

ZAHVALA

Zahvaljujem se starsem, za izkazano podboro in spodbujanje v casu studija;

mentorici, ki mi je bila med nastajanjem diplomskega dela vedno na razpolago;

Damjanu, za pomoc in nasvete pri programiranju algoritma ter vsem, ki so me na

moji studijski poti spodbujali in podpirali.

Hvala.

IZVLECEK

V delu je podrobneje predstavljeno barvanje povezav grafa in pojem kro-

maticnega indeksa, ter njegovih lastnosti, najvecji povdarek pa je na Vizingovem

izreku.

Barvanje grafov vzbuja zanimanje matematikov ze od druge polovice 19. sto-

letja. Najprej se pojavi kot domneva o stirih barvah. Od takrat je bilo na tem

podrocju storjenega in dognanega ze mnogo in s tem se seznanimo v tretjem

poglavju. Kljucen pa je ravno Vizingov izrek, ki doloca tako zgornjo kot spod-

njo mejo za kromaticni indeks posameznega enostavnega grafa G stopnje k :

k > χ ′ (G)> k+1 in s tem odpre do danes se neresen problem razvrscanja grafov

v 2 skupini, glede na njihov kromaticni indeks. Posvetimo se problemu klasi-

fikacije, ki zadeva predvsem grafe lihe stopnje, ter v izreku 5.4 spoznamo zadosten

pogoj za prepoznavanje grafa (lihe stopnje) razreda 2. Nato pozornost namenimo

kriticnim grafom (t.j. grafom, ki so povezani in razreda 2, ter jih odstranitev

poljubne povezave prevede v razred 1), spoznamo nekatere njihove lastnosti in

njihovo strukturo ter posebaj obravnavamo se 3-kriticne grafe.

V zadnjem poglavju se posvetimo se posebni skupini grafov iz razreda 2 -

snarkom. Preko razlicnih lem se prebijemo do definicije snarka, ki je ciklicno

4-povezavno povezan kubicen graf z notranjim obsegom vsaj 5 in kromaticnim

indeksom 4. Spoznamo dve neskoncni druzini snarkov in metode za konstruk-

cijo le-teh. Poglavje zakljucimo z domnevo, da vsi snarki vsebujejo subdivizijo

Petersenovega grafa P, ki je obenem tudi najmanjsi znan snark.

Kljucne besede: teorija grafov, barvanje povezav grafa, kromaticni indeks, Vizin-

gov izrek, snark

ABSTRACT

In this paper we deal with edge-colouring of graphs and their chromatic index

with focus on Vizing’s theorem.

Graph colouring begin to raise the interest of mathematicians since the second

half of 19th century with the appearence of the four colour conjecture. Since

then many properties have been discovered and prooved, as shown in chapter 3.

The key of edge-colouring of graphs is mainly Vizing’s theorem, which defines

lower and upper bounds for the chromatic index of a graph G with degree k as

k > χ ′ (G)> k+1 and opens another problem, nowdays still unsolved, of defining

in which of two classes a graph fits, according to the chromatic index. We dedicate

to the classification problem, which concerns graphs of odd order and we give

theorem 5.4 as a sufficient condition for a graph (of odd order) to be of class

2. Then we devote our attention to critical graphs (connected graphs of class 2,

with the property that the removal of any edge lowers their chromatic index), get

to know some of their properties and their structure and also deal with 3-critical

graphs.

In the last chapter we get to know a special group of class 2 graphs - snarks.

Throuh different lemmas we construct the definition of the snark as a cyclically

4-edge-connected cubic graph of girth at least 5, which has chromatic index 4.

We also deal with two infinite families of snarks and the methods to construct

them. We finish the chapter with a conjecture that all snarks are subcontractible

to Petersen’s graph P, which is the smallest known snark.

Keywords: graph theory, edge-colouring, chromatic index, Vizing’s theorem,

snark

Kazalo

1 Uvod 1

2 Kratka zgodovina 3

3 Osnovno o grafih 5

3.1 Osnovni pojmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Druzine grafov in njihove osnovne lastnosti . . . . . . . . . . . . 7

3.2.1 Upodobitve grafov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 Osnovni izreki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3.1 Barvanje vozlisc grafa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Barvanje povezav grafa 17

4.1 Kromaticni indeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 Polni grafi in polni dvodelni grafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3 Konig-ov izrek za dvodelne grafe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Vizingov izrek 23

5.1 Posplositev Vizingovega izreka in Shanonov izrek . . . . . . . . . 25

5.2 Problem klasifikacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.2.1 Kriticni grafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6 Snarki 41

6.1 Posploseni Petersenov graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.2 Snarki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.3 Isaak-ovi snarki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.3.1 Prva druzina Isaakovih snarkov . . . . . . . . . . . . . . 49

6.3.2 Druga druzina Isaakovih snarkov (flower snarki) . . . . . 56

7 Sklep in nadalnje delo 59

8 Priloge 61

Slike

3.1 Polni grafi K1, K2, K3, K4 in K5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Poti P1, P2, P3 in P4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3 Cikli C3, C4,C5 in C6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.4 Polni dvodelni grafi K1,8, K2,4 in K3,3 . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.5 Hiperkocki Q1 in Q2 ter dve sliki hiperkocke Q3 . . . . . . . . . . 10

3.6 Kolesa W 3, W 5 in W 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.7 Petersenov graf in posplosena Petersenova grafa P8,1 in P8,2 . . . 11

3.8 Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.9 Primer vozliscno kriticnega grafa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.1 Konstrukcija barvanja na primeru polnih grafov K5 in K6 . . . . . 18

4.2 3-barvanje dvodelnega grafa K4,3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3 Konstrukcija 3-barvanja kubicnega zemljevida s pomocjo 4-barvanja

njegovih lic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.1 Konstrukcija “pahljace”, ki ponazarja opisane pogoje . . . . . . . 24

5.2 Oris pahljace za naveden primer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.3 Edini grafi na najvec sestih vozliscih, ki so razreda 2 . . . . . . . . 28

5.4 Konstrukcija Hamiltonovih obhodov s premerom 1,2,3 in 4 na

primeru grafa K9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.5 Dodajanje vozlisca obstojeci povezavi. . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.6 Kriticni grafi na 5, 7 in 9 vozliscih . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.1 Siri razlicne upodobitve Petersenovega grafa . . . . . . . . . . . . 41

6.2 Posplosen Petersenov graf P9,2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.3 Zdruzitev vozlisc trikotnika v eno vozlisce . . . . . . . . . . . . . 44

6.4 Zdruzitev vozlisc v primeru dveh trikotnikov . . . . . . . . . . . . 44

6.5 Dodajanje vozlisc kubicnemu grafu . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.6 3-barvanje grafa P� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.7 Ciklicno 3-povezavno povezan graf (a) in kubicni graf z mnozico

prereznih povezav moci 2 (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.8 Prikaz dot product metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.9 Blanuseva snarka na 18 vozliscih . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.10 Szekeresov snark na 50 vozliscih . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.11 Prikaz spoja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.12 Prikaz grafa G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.13 Konstrukcija grafov G1 in G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.14 Eunegraf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.15 Konstrukcija grafa G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.16 Flower snarki na 12, 20 in 28 vozliscih . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.17 Izsek iz grafa Jk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.18 Double star snark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Chiarelli, Nina (2011). Vizingov izrek in snarki. Diplomsko delo. Koper: UP PEF.

1 Uvod

Namen diplomskega dela je spoznati in zdruziti cim vec znanih lastnosti (in

izrekov) povezanih z barvanjem povezav grafa in kromaticnim indeksom ter preu-

citi te lastnosti na znanih skupinah grafov oz. na skupinah grafov z znanim kro-

maticnim indeksom.

Najprej bomo povzeli nekaj najpomembnejsih zgodovinskih dejstev, ki so

vplivala na razvoj zanimanja za barvanje grafov v splosnem. Nato bomo namenili

poglavje osnovnim pojmom, ki bodo uporabljeni skozi celotno diplomsko delo in

opisali nekatere znane druzine grafov ter njihove osnovne lastnosti. Poleg tega se

bomo dotaknili tudi nekaj osnovnih izrekov iz teorije grafov, ki niso neposredno

povezani z barvanjem povezav grafa, nam bodo pa sluzili kot pomoc, pri doka-

zovanju nekaterih drugih izrekov, vezanih na kromaticni indeks, kot primer je

relacija med kromaticnim stevilom in kromaticnim indeksom grafa.

V cetrtem poglavju se bomo osredotocili na samo barvanje povezav grafa,

podali definicijo kromaticnega indeksa, povzeli kar je ze znanega o tem v povezavi

s polnimi grafi in polnimi dvodelnimi grafi. Na koncu poglavja bomo podali se

Konig-ov izrek in Tait-ov izrek.

Peto poglavje bo v celoti namenjeno Vizing-ovemu izreku. Ceprav bomo

vecinoma obravnavali enostavne grafe, pa sta tukaj podani se posplositev Vizing-

ovega izreka in Shanon-ov izrek, ki dolocata meje kromaticnega indeksa za neenos-

tavne (multi) grafe. Ker pa Vizingov izrek odpre nov problem pri proucevanju

grafov - t.j. odlocitveni problem, ali spada graf v 1. ali 2. razred grafov, glede na

njegov kromaticni indeks, bomo tudi temu, t.i. problemu klasifikacije, namenili

del poglavja, znotraj tega pa bodo se posebaj obravnavani kriticni grafi.

V zadnjem poglavju bomo preko Petersenovega grafa spoznali posebno skupino

grafov iz 2. razreda - snarke. Opisali bomo dve druzini snarkov in samo konstruk-

cijo le-teh s pomocjo Isaak-ovih metod.

1


2


2 Kratka zgodovina

Zacetki kromaticne teorije grafov segajo v leto 1852, ko je Augustus De Mor-

gan pisal prijatelju, Williamu Rowan Hamiltonu, v katerem je zapisal, da je eden

izmed njegovih studentov dognal, da so pri barvanju zemljevida Anglije potrebne

samo stiri barve, da zagotovimo, da so vse sosednje pokrajine pobarvane razlicno.

T.i. domneva stirih barv – t.j. da lahko vsak zemljevid pobarvamo s stirimi bar-

vami na tak nacin, Hamiltona skoraj ni zanimala in je nanjo pozabil do leta 1860,

ko je C.S. Pierce na seminarju na Harvardu predstavil neke vrste dokaz te dom-

neve. Domneva pa je dobila svoj matematicni pomen sele leta 1878, zahvaljujoc

Arthuru Cayleyu. Ta je namrec objavil krajsi prispevek, v katerem je opisal prob-

lem in morebitne tezave pri resevanju le tega. Le nekaj mesecev kasneje pa se

je v na novo ustanovljenem American Journal of Mathematics pojavil domnevni

dokaz domneve stirih barv – to je bil dobro znan Kemp-ov napacen dokaz [10], ki

pa se je obdrzal vec kot deset let, preden so v njem odkrili napako (vec o domnevi

stirih barv je opisanega v knjigi [3]).

Prvi znani spisi, ki vkljucujejo problem barvanja povezav grafa, so se pojavili

leta 1880 [13]. V njih P.G.Tait, profesor iz Edinburga, izpostavi nekaj nadaljn-

jih dokazov domneve o stirih barvah in sklep, da je mozno povezave vsakega

kubicnega zemljevida pobarvati s samo tremi barvami tako, da je vsem povezavam,

ki izhajajo iz istega vozlisca dodeljena druga (razlicna) barva.

Leta 1890 P.J.Heawood objavi clanek v The Quarterly Journal of Pure and Ap-

plied Mathematics, v katerem ovrze Kempov dokaz in obenem dokaze, da je dom-

neva mozna, vendar le s petimi barvami in studiju tega posveti kar nekaj nadaljnjih

let.

Naslednji omembe vreden rezultat pripada D. Konigu, ki leta 1916 v clanku

dokaze, da za vsak dvodelen graf ali multigraf G, ki ima stopnjo vozlisca najvec k

velja, da lahko povezave pobarvamo z najvec k barvami tako, da so vse povezave,

ki se zacnejo v skupnem vozliscu, pobarvane z drugo barvo. Dokaz tega spoz-

nanja bo predstavljen v naslednjih poglavjih. Vendar pa so vsa dotedanja dognanja

temeljila na doloceni skupini grafov, kot so kubicni zemljevidi ali dvodelni grafi.

Naslednji izmed rezultatov na tem podrocju pa je ze bil bolj splosno naravnan

C.E. Shannonov izrek. Pokazal je namrec, da se da vsak graf G z maksimalno

3


stopnjo k pobarvati z najvec 32k barvami. Ceprav je to dognanje za nekatere multi-

grafe najboljsi mozen rezultat barvanja, pa se ga da za enostavne grafe konkretno

izboljsati.

V tej smeri naredi V.G. Vizing leta 1964 veliko prelomnico, saj dokaze, da

se da povezave grafa G z maksimalno stopnjo k vedno pobarvati s (k+1) bar-

vami. Dokaz je sicer zelo velik korak pri preucevanju grafov, vendar odpre tudi

marsikatero novo vprasanje v zvezi z grafi, kot na primer problem klasifikacije

kriticnih grafov (definicija je podana na strani 27).

Leta 1976 je bil problem stirih barv, ki je predstavljal povod za proucevanje

barvanja povezav grafov, dokoncno resen, s pomocjo racunalniske tehnologije sta

ga dokazala K. Appel in W. Haken.

4


3 Osnovno o grafih

V tem poglavju bodo definirani osnovni pojmi iz teorije grafov, ki jih bomo

v nadaljevanju diplomskega dela potrebovali za razlage in dokaze izrekov o bar-

vanju povezav grafa.

3.1 Osnovni pojmi

Naj bo V poljubna neprazna mnozica in E poljubna druzina dvoelementnih

podmnozic mnozice V . Paru G = (V,E) pravimo graf na mozici vozlisc (tock)

V = V (G) z mnozico povezav E = E(G). Element {u,v} (krajse zapisano uv) iz

mnozice E nam predstavlja krajisci povezave e ∈ E(G). Stevilu vozlisc grafa G

(zapis:∣

∣G∣

∣) pravimo red grafa G.

Elemente mnozice vozlisc pogosto oznacimo z naravnimi stevili 1,2,3, ... ,

torej V (G) = {1,2,3, ... ,n}, stevilo vozlisc pa z n =∣

∣V (G)∣

∣. Podobno je obicaj,

da se povezave oznacijo s crkami a,b,c, ... , standardna oznaka za stevilo le teh pa

je m =∣

∣E(G)∣

∣.

Kadar je par vozlisc uv element mnozice E pravimo, da sta vozlisci u in v

sosednji v grafu G (zapis: u ∼ Gv ali krajse u ∼ v). Mnozico, ki vsebuje vse

sosede vozlisca u oznacimo z N(u). Za povezavi pravimo, da sta sosednji, ce

imata kako skupno krajisce, sicer sta nesosednji. Mnozici paroma neodvisnih

povezav pravimo prirejanje. Prirejanju M, ki vsebuje vsa vozlisca grafa G,

recemo popolno prirejanje (ali 1-faktor), maksimalno prirejanje pa imenujemo

tako prirejanje, ki vsebuje najvecje mozno stevilo povezav grafa G. Popolno prire-

janje je maksimalno. Povezavi uu pravimo zanka, povezavi, ki imata isti krajisci

u,v pa sta vzporedni/veckratni povezavi, stevilu teh recemo kratnost povezave

(zapis: µ (u,v)). Graf G je enostaven graf, ce ne vsebuje zank in/ali veckratnih

(vzporednih) povezav, sicer je to multigraf. Ce so v grafu G vsa vozlisca med

seboj sosednja, potem je G poln graf.

Stopnja vozlisca v v grafu G (zapis: degG(v)) je enaka stevilu povezav grafa

G, ki imajo vozlisce v za svoje krajisce, pri cemer stejemo zanke dvakrat. Vo-

liscem stopnje 0 pravimo izolirana vozlisca, vozliscem stopnje 1 pa listi. Pri

enostavnih grafih je stopnja vozlisca enaka stevilu njegovih sosedov.

5


Stevilo δ (G) = min{deg(v),v ∈ V} je minimalna stopnja grafa G, stevilo

∆(G) = max{deg(v),v ∈ V} pa je maksimalna stopnja grafa G. Ce so vsa

vozlisca grafa G enake stopnje k, pravimo, da je graf k-regularen; 3-regularnim

grafom pravimo tudi kubicni grafi.

Totalna deficienca grafa G je vsota ∑{∆(G)−deg(v)}, po vseh vozliscih

v ∈V (G); ce ima graf G n vozlisc, m povezav in maksimalno stopnjo k, potem je

njegova totalna deficienca enaka nk−2m.

Graf G je r-delen, ce lahko mnozico V (G) razbijemo na r disjunktnih pod-

mnozic tako, da ima vsaka povezava e ∈ E (G) krajisci v razlicnih podmnozicah.

Ce je r = 2, pravimo grafu G dvodelen graf. Graf H je podgraf grafa G in graf

G je nadgraf grafa H, ce je V (H)⊆V (G) in E (H)⊆ E (G).

Graf H je subdivizija grafa G, ce ga lahko konstruiramo iz grafa G tako, da

nekatere povezave v G nadomestimo s potmi dolzine 2 ali vec (glej sliko 5.5).

Graf je ravninski, ce ga lahko v ravnini narisemo tako, da se njegove povezave

sekajo le v skupnih krajiscih. Ce je graf narisan na tak nacin, potem vsakemu

obmocju, ki ga omejujejo povezave tega grafa, recemo lice. Natanko eno lice je

neomejeno, pravimo mu zunanje ali neomejeno lice. Dve lici v ravninskem grafu

sta sosednji, ce imata skupno povezavo.

Zaporedju razlicnih povezav, oblike v0v1,v1v2, ...,vk−1vk (krajse zapisano tudi

v0,v1, ...,vk), pravimo sprehod dolzine k v grafu G. Ce so vozlisca v0,v1, ...,vk ra-

zlicna, govorimo o poti, v primeru, ko pa so vsa vozlisca razlicna, razen v0 = vk,

imamo opravka z obhodom. Dolzino najkrajsega sprehoda med vozliscema v0

in vk imenujemo razdalja med vozliscema v0 in vk, najdaljsi razdalji med dvema

vozliscema v grafu G pa recemo premer grafa G. Dolzini najkrajsega obhoda

v grafu G pravimo notranji obseg grafa, dolzini najdaljsega obhoda v grafu

G pa recemo zunanji obseg. Obhod, ki vsebuje vsa vozlisca nekega grafa, je

Hamiltonov obhod, takemu grafu pa recemo tudi hamiltonski graf. Graf, ki

sestoji iz enega samega obhoda imenujemo cikel.

Graf je povezan, ce za poljubni vozlisci obstaja pot med njima, sicer je graf

nepovezan. Komponenta grafa G je maksimalen povezan podgraf grafa G. Vo-

zlisce v ∈V (G) je prerezno vozlisce, ce ima podgraf G−v (graf G, ki mu odstra-

nimo vozlisce v in vse njegove povezave) vec komponent kot graf G. Povezavi,

ki ima za krajisci prerezni vozlisci, pravimo prerezna povezava ali most. Graf G

6


je k-povezan, k ∈ N, ce ima G vsaj k+ 1 vozlisc in je G−X povezan za vsako

mnozico vozlisc X ∈ V (G), za katero je∣

∣X∣

∣ < k. Najvecji k, za katerega je graf

G k-povezan, je povezanost grafa. Povezanemu ravninskemu grafu, ki ne vsebuje

mostov, recemo zemljevid. Graf je k- povezavno povezan, ce mu je mogoce

odstraniti poljubno mnozico manj kot k povezav in ostane povezan.

Graf povezav L(G) grafa G je graf za katerega velja: V (L(G)) = E (G) in dve

vozlisci e1,e2 ∈ L(G) sta povezani natanko tedaj, ko e1,e2 ∈ E (G) ter∣

∣e1∩e2

∣

∣=

1.

Eunegraf je graf, ki ima lahko “nepopolne” povezave, t.j. povezave, ki imajo

samo eno krajisce (glej sliko 6.14).

Ce imamo grafa G in G′, potem je njun presek H = G∩G′ graf, za katerega

velja, da je V (H) =V (G)∩V (G′) in E (H) = E (G)∩E (G′). Podobno za unijo

F = G∪G′ velja, da je V (F) =V (G)∪V (G′) in E (F) = E (G)∪E (G′).

3.2 Druzine grafov in njihove osnovne lastnosti

Polni graf (zapis: Kn)

V (Kn) = Zn.

E(Kn) = {uv | u,v ∈ Zn,u 6= v}.

Polni graf Kn ima n tock in(

n2

)

= n(n−1)2

povezav, je (n−1)-regularen graf in je

dvodelen za n = 1 in n = 2.

Slika 3.1: Polni grafi K1, K2, K3, K4 in K5

7


Poti (zapis: Pn)

V (Pn) = Zn.

E(Pn) = {u(u+1) | u ∈ {0,1, ...,n−2}}.

Pot Pn ima n tock in n−1 povezav (njena dolzina je n−1). Za n = 1 in n = 2 je

enaka grafu Kn, za n ≥ 3 pa velja δ (Pn) = 1 in ∆(Pn) = 2. Vse poti so dvodelni

grafi.

Slika 3.2: Poti P1, P2, P3 in P4

Cikli (zapis: Cn), n ≥ 3

V (Cn) = Zn.

E(Cn) = {u(u+1) | u ∈ Zn}.

Cikel Cn ima n tock in n povezav. Je 2-regularen graf in dvodelen natanko tedaj,

ko je n sodo stevilo. Vsak 2-regularen graf je disjunktna unija enega ali vec

ciklov. Kadar dopuscamo tudi multigrafe, sta definirana se cikla C1(zanka) in C2

(par vzporednih povezav), cikel C3 imenujemo tudi trikotnik.

Slika 3.3: Cikli C3, C4,C5 in C6

8


Polni dvodelni graf (zapis: Km,n)

V (Km,n) = A∪B, kjer velja∣

∣A∣

∣= m,∣

∣B∣

∣= n in A∩B = /0.

E(Km,n) = {uv | u ∈ A,v ∈ B}.

Polni dvodelni graf Km,n ima m+n tock in m ·n povezav. Zanj velja

δ (Km,n) = min{m,n} in ∆(Km,n) = max{m,n}. Graf Km,n je regularen natanko

tedaj, ko je m = n. Vsi grafi Km,n so dvodelni. Grafom tipa K1,n pravimo tudi

zvezde.

Slika 3.4: Polni dvodelni grafi K1,8, K2,4 in K3,3

Hiperkocke (zapis: Qd)

V (Qd) ={

(u1,u2, ...,ud)∣

∣ui ∈ {0,1}}

.

E(Qn) ={

uv | u,v ∈V (Qd) : ∑di=1

∣

∣ui − vi

∣

∣= 1}

.

Obicajno med hiperkocke stejemo tudi 0-razsezno kocko Q0 = K1. Hiperkocka

Qd (skelet d-razsezne kocke) ima 2d tock in d ·2d−1 povezav. Je d-regularen

graf. Vse hiperkocke so dvodelni grafi (za mnozici dvodelnega razbitja vzamemo

mnozico tock, ki imajo sodo mnogo komponent enakih 0 in mnozico tock, ki

imajo liho mnogo komponent enakih 0).

9


Slika 3.5: Hiperkocki Q1 in Q2 ter dve sliki hiperkocke Q3

Kolesa (zapis: W n), n ≥ 3

V (W n) = Zn ∪{∞}.

E(W n) = {u(u+1) ,u∞ | u ∈ Zn}.

Graf W n ima n+1 tock in 2n povezav. Za kolesa velja δ (Wn) = 3 in ∆(Wn) = n.

Edino regularno kolo je W 3 ⋍ K4. Nobeno kolo ni dvodelen graf.

Slika 3.6: Kolesa W 3, W 5 in W 6

Posploseni Petersenovi grafi (zapis: Pn,k), n ≥ 3 in 1 ≤ k ≤ n−1

V (Pn,k) ={

ui,vi

∣

∣i ∈ Zn

}

.

E(Pn,k) = {uiui+1,uivi,vivi+k | i ∈ Zn}.

Posploseni Petersenov graf Pn,k ima 2n tock. Ce je n 6= 2k, ima 3n povezav in je

kubicen graf, za n = 2k pa ima 5n2

povezav in velja δ(

Pn,k

)

= 2, ∆(

Pn,k

)

= 3.

10


Graf Pn,k je dvodelen natanko tedaj, ko je stevilo n sodo in stevilo k liho. Druzina

ima ime po Petersenovem grafu P5,2.

Slika 3.7: Petersenov graf in posplosena Petersenova grafa P8,1 in P8,2

3.2.1 Upodobitve grafov

Graf lahko podamo na vec nacinov. Obicajno zaradi predstavnosti, najlazje

dojamemo sliko. Za proucevanje grafov pa je veliko bolj smiselno uporabiti

kaksen drugi nacin predstavitve le tega - s sliko si ne moremo pomagati, ko graf

preucujemo s pomocjo kaksnega racunalniskega programa. V takih primerih po-

damo graf s pomocjo parametrov. Ti so lahko podani kot seznam sosednjih voz-

lisc, ali pa v obliki matrike (tudi teh je vec vrst, katero uporabimo je odvisno od

tega, kaj preucujemo). Tako lahko naprimer enostaven neusmerjen graf G=(V,E)

na sliki 3.8 predstavimo z:

Slika 3.8: Graf G

11


matriko sosednosti

velikosti n×n, kjer stolpci oz. vrstice prestavljajo pozamezna vozlisca in so koe-

ficienti

ai j =

{

1, ce obstaja povezava med viin v j

0, sicer

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

0 1 1 0 0 1 0

1 0 0 0 1 0 1

1 0 0 1 0 1 0

0 0 1 0 1 1 1

0 1 0 1 0 0 1

1 0 1 1 0 0 1

0 1 0 1 1 1 0

.

incidencno matriko

velikosti m×n, kjer stolpci predstavljajo povezave, vrstice pa vozlisca in so koe-

ficienti

ai j =

{

1, ce je vikrajisce povezave ei

0, sicer

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

2

3

4

5

6

7

1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0

0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1

.

12


3.3 Osnovni izreki

Lema 3.1. (Lema o rokovanju) Za vsak graf G velja:

∑v∈V (G)

deg(v) = 2 ·∣

∣E (G)∣

∣.

Dokaz. Naj bo mnozica M mnozica vseh urejenih parov (u,e) ∈ V (G)×E (G),

za katere je u krajisce povezave e. Ce prestejemo elemente mnozice M, po eni

strani velja

∣

∣M∣

∣ = ∑u∈V (G)

deg(u) ,

po drugi strani pa

∣

∣M∣

∣ = ∑e∈E(G)

2 = 2 ·∣

∣E (G)∣

∣.

S tem je trditev dokazana.

Posledica 3.2. Vsak graf ima sodo mnogo vozlisc lihe stopnje.

3.3.1 Barvanje vozlisc grafa

Kromaticno stevilo grafa G (zapis: χ (G)) je najmanjse stevilo barv, ki jih

potrebujemo, da vozlisca grafa pobarvamo tako, da so vsa sosednja vozlisca po-

barvana paroma razlicno. Ce je χ (G) = k pravimo, da je graf G k-kromaticen, ce

je χ (G)≤ k, pa je G vozliscno k-pobarvljiv. Polni grafi Kn so n-kromaticni, cikli

Cn so 2-kromaticni, ce je n sod in 3-kromaicni, ce je n lih. Poljuben dvodelen graf

G je vozliscno 2-pobarvljiv.

Ce je maksimalna stopnja grafa G enaka k, potem lahko enostavno dokazemo,

da je χ (G)≤ k+1.

Pri proucevanju kromaticnega stevila enostavnih grafov, je zelo koristno, ce se

osredotocimo na grafe, ki so na nek nacin kriticni. Graf G je vozliscno kriticen,

13


ce velja χ (G− v) < χ (G) za vsako vozlisce v ∈ V (G). Graf G na sliki 3.9 je

vozliscno kriticen, saj je χ (G) = 4 in χ (G− v)≤ 3 za vsako vozlisce v ∈V (G).

Slika 3.9: Primer vozliscno kriticnega grafa

Lastnosti vozliscno kriticnih grafov, ki sledijo in jih bomo kasneje potrebovali

pri barvanju povezav, so delo G.A. Dirac-a.

Izrek 3.3. Naj bo G vozliscno kriticen graf za katerega velja, da je χ (G) = k.

Potem velja:

(i) G je povezan;

(ii) stopnja vsakega vozlisca v G je vsaj k−1;

(iii) grafa G ne moremo ponazoriti kot G1 ∪G2, kjer bi nam presek grafov G1 in

G2 dal poln graf; natancneje, G nima prereznih vozlisc.

Dokaz. (i) Na bo G nepovezan graf in naj bo C komponenta grafa G, za katero

velja χ (C) = k ter naj bo v poljubna povezava v G, ki ni prisotna v C. Potem je

χ (G− v) = k, kar je v protislovju z naso predpostavko.

(ii) Ker je G vozliscno kriticen, velja, da je χ (G− v) ≤ k− 1 za ∀v ∈ V (G).

Ce je stopnja vozlisca v manj kot k−1, potem lahko sosede vozlisca v pobarvamo

z najvec (k−2) barvami. Od tod sledi, da lahko poljubno (k− 1)-barvanje grafa

G− v razsirimo na (k− 1)-barvanje grafa G, kar je v nasprotju s pogojem, da je

χ (G) = k.

14


(iii) Ce je G = G1 ∪G2 in G1 ∩G2 = Kr, potem je χ (G1)≤ k−1 in χ (G2)≤

k− 1, saj sta G1 in G2 podgrafa grafa G, graf G pa je vozliscno kriticen. S pre-

mikanjem barv lahko vedno dosezemo, da so vozlisca v G1∩G2 pobarvana enako

v obeh grafih. Ti dve barvanji lahko nato zdruzimo tako, da dobimo (k − 1)-

barvanje za graf G, kar je v nasprotju s pogojem, da je χ (G) = k. Ce upostevamo

moznost, da je r = 1, je neposredna posledica to, da G ne more vsebovati pre-

reznega vozlisca.

15


16


4 Barvanje povezav grafa

V tem poglavju bomo definirali kromaticni indeks grafa in definicije pona-

zorili z dolocitvijo kromaticnega indeksa nekaterih druzin grafov. Natancneje,

dolocili bomo kromaticni indeks polnih grafov in polnih dvodelnih grafov ter

predstavili dokaz Konig-ovih rezultatov glede kromaticnega indeksa splosnih dvo-

delnih grafov.

4.1 Kromaticni indeks

Kromaticni indeks grafa G je stevilo χ ′ (G), ki predstavlja najmanjse stevilo

barv, ki jih potrebujemo za barvanje povezav grafa G tako, da so sosednje povezave

pobarvane paroma razlicno. Ce imamo, na primer, cikel Cn na n vozliscih (n ≥ 3),

potem je χ ′ (Cn) = 2, v primeru, ko je n sodo stevilo in χ ′ (Cn) = 3, ko je n liho

stevilo. Graf je torej povezavno k-pobarvljiv (ali krajse k-pobarvljiv) za vsako

stevilo k, ki zadosca pogoju χ ′ (G)≤ k. Tako je, na primer, vsak cikel 3-pobarvljiv.

Maksimalnemu naboru povezav, ki so pobarvane z isto barvo, pravimo barvni

razred.

Iz definicije je razvidno, da v kolikor graf vsebuje vozlisce stopnje k, velja

χ ′ (G) ≥ k, iz cesar sledi, da je maksimalna stopnja grafa G obenem nujno tudi

spodnja meja za dolocitev kromaticnega indeksa. Iz definicije je prav tako jasno,

da je v primeru, ko ima graf G vsaj eno povezavo, kromaticni indeks grafa G enak

kromaticnemu stevilu njegovega grafa povezav L(G). Kromaticni indeks pol-

nega grafa K4 je enak kromaticnemu stevilu pripadajocega grafa povezav (t.j. 3).

Ponekod se bomo posluzevali te povezave med kromaticnim indeksom χ ′ (G) in

kromaticnim stevilom χ (L(G)), za pridobitev nekaterih rezultatov o kromaticne-

mu indeksu, glede na znane rezultate o kromaticnih stevilih.

4.2 Polni grafi in polni dvodelni grafi

Izrek 4.1. Kromaticni indeks polnega grafa Kn (n ≥ 2) je enak χ ′ (Kn) = n, ce je

n liho in χ ′ (Kn) = n−1, ce je n sodo stevilo.

Dokaz. Ker je vsako vozlisce v Kn stopnje n−1, zagotovo velja χ ′ (Kn)≥ n−1.

17


V primeru, ko je n liho stevilo, je najvecje mozno stevilo povezav, pobarvanih z

isto barvo natanko 12(n−1); vsaka povezava povezuje natanko 2 vozlisci, zato

potrebujemo sodo mnogo vozlisc (n−1), vendar so sedaj vse povezave med njimi

stete dvakrat, zato 12(n−1). Iz tega sledi, da ima Kn najvec 1

2(n−1) · χ ′ (Kn)

povezav. Od tod pa dobimo, da je χ ′ (Kn) ≥ n. Da bi dokazali enakost, zadosca,

da konstruiramo n-barvanje povezav takega grafa. S konstrukcijo zacnemo tako,

da vozlisca grafa postavimo v obliko pravilnega n-kotnika in dolocimo razlicno

barvo vsaki izmed robnih (zunanjih) povezav. Ostalim (notranjim) povezavam

dolocimo barvo, ki je enaka vzporedno lezeci zunanji povezavi. V primeru, ko

pa je n sodo stevilo, lahko dokazemo, da je χ ′ (Kn) = n− 1 na enak nacin kot

zgoraj, t.j. da skonstruiramo (n − 1)-barvanje povezav grafa Kn. Za n = 2 je

konstrukcija trivialna, ko pa imamo n ≥ 3, si izberemo poljubno vozlisce v in po-

barvamo povezave grafa Kn − v enako kot pri prejsnjem primeru. Sedaj vsakemu

vozliscu manjka natanko 1 barva in ta je za vsako vozlisce razlicna. Tako lahko

povezavam, ki imajo za krajisce izbrano vozlisce v, dolocimo ravno eno izmed

manjkajocih barv.

Slika 4.1: Konstrukcija barvanja na primeru polnih grafov K5 in K6

Enako enostavno lahko, z eksplicitno konstrukcijo, dolocimo kromaticni in-

deks dvodelnim grafom Km,n.

Izrek 4.2. Kromaticni indeks dvodelnega grafa Km,n je enak stevilu

χ ′ (Km,n) = max{m,n}

.

18


Dokaz. Brez skode za splosnost lahko privzamemo, da velja m ≥ n, iz cesar sledi,

da je χ ′ (Km,n)≥ m. Da dokazemo enakost, skonstruiramo m-barvanje grafa Km,n.

Predpostavimo, da je Km,n narisan tako, da ima n vozlisc v vodoravni vrsti pod m

vozlisci (primer prikazuje slika 4.2). Iskano m-barvanje dobimo tako, da zapore-

doma barvamo povezave na spodnjih vozliscih, ki so stopnje m, v smeri urinega

kazalca (npr. {1,2, ...,m}; {2,3, ...,m,1}; . . . ; {s, ...,m,1, ...,s−1}).

Slika 4.2: 3-barvanje dvodelnega grafa K4,3

4.3 Konig-ov izrek za dvodelne grafe

Izrek 4.2 je v resnici samo poseben primer pomembnega dognanja za dvodelne

grafe v splosnem, ki se glasi: ce je G poljuben dvodelen graf z maksimalno stop-

njo k, potem velja χ ′ (G) = k. Dejstvo je prvi dokazal Konig leta 1916, v povezavi

s faktorizacijo grafov. Konig v dokazu uporabi indukcijo po stevilu povezav grafa

in vkljuci predvsem proucevanje barvanja na 2-barvnih podgrafih H(α,β ) ter iz-

menjevanju barv. Predstavljen pa bo alternativni dokaz, ki sloni na dekompoziciji

dvodelnega grafa.

Izrek 4.3. (Konigov izrek) Naj bo G dvodelen (multi)graf z maksimalno stopnjo

k. Tedaj velja χ ′ (G) = k.

Dokaz. Uporabimo indukcijo po maksimalni stopnji grafa G in privzamimo dobro

znano dejstvo, da ima vsak dvodelen graf prirejanje, ki vsebuje vsa vozlisca mak-

simalne stopnje, kar izhaja kot posledica iz Konig-Hall -ovega izreka, ki pravi,

da lahko v dvodelnem grafu G = (X ,Y,E), mnozici vozlisc X priredimo mnozico

19


vozlisc Y , ce in samo ce velja |ΓG (A)| > |A|, kjer je A ⊂ X in predstavlja ΓG (A)

mnozico vozlisc sosednjih naboru v A [2]. Ce je M prirejanje, ki vsebuje vsa

vozlisca stopnje k, potem je graf G−M dvodelen, z maksimalno stopnjo k− 1.

Iz indukcijske predpostavke sledi, da lahko povezave grafa G−M pobarvamo s

k− 1 barvami. Iskano k-barvanje povezav grafa G lahko sedaj najdemo tako, da

pobarvamo povezave grafa M s k-to barvo.

Izrek 4.4. (Taitov izrek) Izrek o stirih barvah je ekvivalenten izjavi, da je kro-

maticni indeks poljubnega kubicnega zemljevida enak 3.

Dokaz. Predpostavimo, da je G kubicen zemljevid, cigar lica so pobarvana s sti-

rimi barvami (A, B, C in D). 3-barvanje povezav grafa G lahko dobimo tako, da z

eno barvo (npr. rdeco) pobarvamo tiste povezave, ki mejijo na z A in B pobarvana

lica ali na s C in D pobarvana lica, z drugo barvo (npr. zeleno) pobarvamo tiste

povezave, ki mejijo na z A in C pobarvana lica ali z B in D pobarvana lica ter s

tretjo barvo (npr. crno) tiste povezave, ki mejijo na z A in D pobarvana lica ali

z B in C pobarvana lica (glej sliko 4.3). S takim postopkom dodeljevanja barv

dobimo tako 3-barvanje grafa G, ki zadosti pogoju, da so povezave, ki gredo iz

posameznega vozlisca, razlicno obarvane.

Slika 4.3: Konstrukcija 3-barvanja kubicnega zemljevida s pomocjo 4-barvanja

njegovih lic

Da dokazemo ekvivalenco zadostuje dokazati, da ce je G poljuben kubicni

zemljevid, cigar povezave so pobarvane s tremi razlicnimi barvami (npr. 1,2 in

3), tedaj lahko lica grafa G pobarvamo s stirimi barvami. Toda podgraf grafa G, ki

ga dolocajo povezave pobarvane z barvami 1 ali 2, je 2-regularen in lahko zato nje-

gova lica pobarvamo z dvema barvama, recimo α in β . Na podoben nacin, lahko

20


lica podgrafa, ki ga dolocajo povezave z barvami 1 ali 3, pobarvamo z dvema bar-

vama, recimo γ in δ . Od tod sledi, da lahko vsakemu licu grafa G dolocimo dve

koordinati (x,y), kjer je x bodisi α ali β in y bodisi γ ali δ . Ker se morata koordi-

nati, doloceni dvema sosednjima licema grafa G, razlikovati na vsaj enem mestu,

se izkaze, da nam koordinate A = (α,γ), B = (β ,δ ), C = (β ,γ) in D = (α,δ )

postrezejo ravno z iskanim 4-barvanjem lic grafa G.

21


22


5 Vizingov izrek

Prvi dokaz Vizingovega izreka se pojavi ze leta 1964, do enakega rezultata pa

neodvisno pride leta 1966 tudi R. P. Gupta.

Izrek 5.1. (Vizingov izrek) Za enostaven graf G z maksimalno stopnjo ∆(G) velja

∆(G)≤ χ ′ (G)≤ ∆(G)+1.

Dokaz. Za prvi del izreka ∆(G)≤ χ ′ (G) je dokaz trivialen, saj potrebujemo vsaj

toliko barv, kot ima vsako od vozlisc sosedov in to je najmanj ∆(G).

Naj bo G poljuben enostaven graf z maksimalno stopnjo ∆(G) = k. Drugi

del izreka χ ′ (G) ≤ ∆(G) + 1 dokazemo tako, da skonstruiramo dobro (k + 1)-

barvanje za poljuben graf G. Najprej poljubno pobarvamo cim vec povezav grafa

G s k + 1 barvami tako, da imajo sosednje povezave razlicne barve. Dokazati

moramo, da so vse povezave pobarvane ali pa lahko “razsirimo” maksimalno bar-

vanje na se eno povezavo.

Predpostavimo, da smo kot rezultat barvanja dobili povezavo uv1, ki ji ne

moremo dolociti barve znotraj palete k + 1 barv. Ker velja, da je deg(u) ≤ k

in pri barvanju uporabljamo k + 1 barv, zagotovo obstaja barva b, ki je nismo

uporabili na nobeni izmed sosednjih povezav vozlisca u. Pravimo, da vozliscu u

manjka barva b. S podobnim sklepanjem ugotovimo, da vozliscu v1 tudi manjka

ena barva, recimo b1. Predpostavimo, da obstaja povezava uv2, ki je pobarvana z

b1 in dalje, da obstaja barva, ki manjka vozliscu v2, recimo b2. Predpostavimo, da

obstaja povezava uv3, ki je pobarvana z b2, ter da je, podobno kot zgoraj, barva ki

manjka vozliscu v3 enaka b3. S tem postopkom skonstruiramo zaporedje povezav

uv1,uv2, ...,uvk, za katero velja, da vozliscu vi manjka barva bi, kjer je i= 1,2, ...,k

in da je z barvo b j pobarvana povezava uv j+1, za j = 1,2, ... ,k−1 (glej sliko 5.1).

Ce pri tem postopku pridemo do vozlisca vm; m ∈ {1,2, ...,k}, ki mu man-

jka barva b, enostavno zaporedno premaknemo barve b1,b2, ...,bm−1 iz vozlisc

uv2,uv3, ...,uvm na vozlisca uv1,uv2, ...,uvm−1 in s tem dobimo novo barvanje

grafa G s k+ 1 barvami, kjer sedaj vozliscema u in vm manjka skupna barva b.

S tem, ko dodelimo to barvo povezavi uvm, dobimo dobro (k+1)-barvanje grafa

G.

23


Slika 5.1: Konstrukcija “pahljace”, ki ponazarja opisane pogoje

Zato lahko privzamemo, da b ni manjkajoca barva za nobeno od vozlisc vi, i =

1,2, ... ,k. To se lahko zgodi iz dveh razlogov; ali vozliscu u manjka tudi barva bk,

ali pa je bk = b j, za nek j < k−1, ki pa je ze bila uporabljena. V prvem primeru,

ko vozliscu u manjka barva bk, lahko ponovno zaporedoma premaknemo barve

povezav tako, da ima povezava uvi barvo bi, i = 1,2, ...,k − 1, ter povezavo uvk

pobarvamo z bk.

V drugem primeru, ko pa je bk = b j, za nek j < k−1, zaporedoma zamaknemo

barve tako, da je povezava uvi pobarvana z barvo bi, i = 1,2, ..., j in pustimo

povezavo uv j+1 nepobarvano (glej sliko 5.2).

Slika 5.2: Oris pahljace za naveden primer

24


Sedaj opazujemo podgraf H grafa G, induciran na povezavah pobarvanih z b

in b j. Ocitno ima vsako vozlisce v H stopnjo najvec 2, torej gre za unijo ciklov,

poti in izoliranih tock. Po predhodnih sklepih vemo, da vozliscema v j+1 in vk

ne manjka barva b, torej jim mora manjkati barva b j (kar drzi, saj smo jo ravno

premaknili na povezavo uv j in velja bk = b j). Lahko toraj sklepamo, da je stopnja

vozlisc v j+1 in vk v grafu H enaka 1. Podoben sklep velja za vozlisce u, ki mu

manjka barva b, ne pa b j, torej je tudi to v grafu H stopnje 1. Vendar je struktura

grafa H taka, da zagotavlja, da ni treh vozlisc stopnje 1 v isti komponenti. Ce sta u

in v j+1 v razlicnih komponentah grafa H, zadostuje zamenjati barve komponente,

ki vsebuje v j+1. S tem dosezemo, da obema vozliscema, u in v j+1, manjka barva

b, ki jo dodelimo povezavi uv j+1, da dobimo dobro (k+1)-barvanje grafa G. Ce

pa sta u in v j+1 v isti komponenti grafa H, potem v tej nujno ni vozlisca vk. Zato

zadostuje, da v komponenti, ki vsebuje vk med povezavami izmenjamo barvi b in

b j. Ponovno zaporedno premaknemo barve tako, da je povezava uvi pobarvana z

barvo bi, i = 1,2, ...,k−1 in tako lahko sedaj povezavi uvk dodelimo barvo b in s

tem dobimo dobro (k+1)-barvanje grafa G.

V vsakem izmed primerov smo uspeli “razsirit” barvanje s k+ 1 barvami na

eno povezavo grafa G vec. Ker pa je bilo nase originalno barvanje maksimalno,

lahko sklepamo, da je graf G (k+1)-pobarvljiv in tako smo dokazali neenakost

χ ′ (G)≤ k+1.

5.1 Posplositev Vizingovega izreka in Shanonov izrek

V izreku 5.1 je neobhodno dejstvo, da velja samo za enostavne grafe. Vendar

lahko izrek razsirimo tudi na multigrafe in prav to je storil tudi Vizing. Svoj izrek

je razsiril tako, da velja tudi za neenostavne grafe. Za vsak poljuben graf G in

poljubni vozlisci grafa u,v ∈ V (G) naj µ (u,v) predstavlja stevilo povezav, ki sta

med u in v, t.j. kratnost povezave uv ter naj bo

µ (G) = max{

µ (u,v)∣

∣u,v ∈V}

za ∀uv ∈ E (G).

Izrek 5.2. Za poljuben graf G velja ∆(G)≤ χ ′ (G)≤ ∆(G)+µ (G).

Dokaz. Za prvi del izreka ∆(G)≤ χ ′ (G) je dokaz trivialen, saj potrebujemo vsaj

25


toliko barv, kot ima vsako od vozlisc sosedov in to je najmanj ∆(G).

Drugi del izreka χ ′ (G) ≤ ∆(G) + µ (G) pa lahko dokazemo s pomocjo in-

dukcije. Zadostuje, da pokazemo, da za vsak graf G velja: Naj bo v tako vozlisce

stopnje najvec k, katerega vsi sosedi u zadoscajo pogoju deg(u)+µ(u,v)≤ k+1,

kjer enakost v enacbi velja za najvec enega soseda. Ce je sedaj G−v k-pobarvljiv,

je tudi G k-pobarvljiv [11].

Zgoraj navedeno dokazemo z indukcijo po k. Ker je primer, ko je k = 0

trivialen, lahko predpostavimo, da za vsako vozlisce u ∈ N (v) velja deg(u) +

µ (u,v) = k, razen za eno vozlisce, za katero velja deg(u)+µ (u,v) = k+1, sicer

bi lahko dodali vozlisce w in povezavo vw, brez da bi prisli v protislovje s tem,

kar dokazujemo.

Vzemimo poljubno k-barvanje grafa G− v. Naj bo X i mnozica sosedov vo-

zlisca v, za katere velja, da jim manjka barva i, kjer je i = 1,2, ... ,k. Barvanje

izberemo tako, da jek

∑i=1

∣

∣Xi

∣

∣

2minimalna.

Naprej, predpostavimo, da∣

∣Xi

∣

∣ 6= 1 za ∀i. Ker je vsak u ∈ N (v) v natanko

2µ (u,v) X i-jih, razen enega u ∈ N (v), ki je v 2µ (u,v)−1 X i-jih, vemo, da je

k

∑i=1

∣

∣Xi

∣

∣=−1+2 ∑u∈N(v)

µ (u,v) = 2deg(v)−1 < 2k.

Zato obstajata taka i, j, za katera velja da je∣

∣Xi

∣

∣ < 2 in da je∣

∣X j

∣

∣ liho stevilo.

Torej je∣

∣Xi

∣

∣ = 0 in∣

∣X j

∣

∣ ≥ 3. Sedaj si poglejmo podgraf H, ki ga sestavljajo vse

povezave, pobarvane z barvami i in j, natancneje, poglejmo si tisto komponento

grafa H, ki vsebuje vozlisce iz X j. Ta komponenta je pot P, ki se zacne s povezavo

iz X j. Izmenjava barv i in j na P zmanjsa∣

∣Xi

∣

∣

2+∣

∣X j

∣

∣

2, kar je v protislovju z naso

predpostavko o minimalnosti.

Torej lahko predpostavimo, da je∣

∣Xk

∣

∣ = 1, recimo Xk := {u}. Naj bo G′

graf, ki smo ga iz grafa G dobili tako, da smo izbrisali eno izmed povezav vu

in vse povezave barve k. Torej je G′ − v (k − 1)-pobarvljiv. Poleg tega je v

G′ vozlisce v stopnje najvec k− 1 in vsak sosed w vozlisca v zadosca neenacbi

degG′(w)+µG′ (w,v)≤ k, kjer enakost velja za najvec enega soseda. Torej je, po

indukcijski hipotezi, G′ (k−1)-pobarvljiv. Ce sedaj ponovno uporabimo barvo k

in jo dodelimo povezavi vu, nam to da k-barvanje grafa G.

26


Podpoglavje bomo zakljucili tako, da bomo pokazali, kako lahko Vizingov

izrek za multigrafe (glej izrek 5.2) uporabimo v dokazu Shannonovega rezultata.

Izrek 5.3. (Shannonov izrek) Ce je M multigraf z maksimalno stopnjo k, potem

je χ ′(M)≤⌊

32k⌋

.

Dokaz. Naj bo M multigraf, za katerega velja χ ′ (M) = p, kjer je p >

⌊

32k⌋

. Z

odstranitvijo zadostnega stevila povezav iz M (ce je to potrebno), lahko pred-

postavimo, da je χ ′ (M− e) = p−1, za vsako povezavo e ∈ E (M). Iz izreka 5.2

sledi, da je p ≤ k + µ , kjer je µ maksimalna kratnost v grafu M, torej morata

obstajati vozlisci v in w, za katera je µ(v,w)≥ p− k.

Sedaj pobarvamo vse povezave grafa M, razen ene izmed povezav, ki povezuje

vozlisci v in w. Ker je χ ′ (M− e) = p−1, lahko to storimo s p−1 barvami. Sedaj

stevilo barv, ki manjkajo vozliscema v ali w (ali obema), ne more biti vecje od

(p−1)− (µ −1), kar pa spet ne more biti vecje od k, saj je p ≤ k + µ . Toda

barv, ki manjkajo vozliscu v je vsaj (p−1)− (k−1) = p− k in podobno manjka

tudi vozliscu w vsaj p− k barv. Iz tega sledi, da je stevilo barv, ki manjka obema

vozliscema enako 2(p− k)−k, kar je pozitivno stevilo, ker je p>⌊

32k⌋

. S tem, ko

eno izmed teh manjkajocih barv dodelimo se nepobarvani povezavi, ki povezuje

vozlisci v in w, pobarvamo vse povezave grafa M s samo p− 1 barvami in tako

pridemo v protislovje s predpostavko, da je χ ′ (M) = p.

5.2 Problem klasifikacije

Vizingov izrek 5.1, ki trdi, da je kromaticni indeks vsakega grafa z maksi-

malno stopnjo k ali enak k ali k+ 1, nam ponuja enostavno delitev/klasifikacijo

grafov v dve skupini, glede na njihov kromaticni indeks. Natancneje, ce ima graf

G maksimalno stopnjo k, spada v razred 1, ce velja χ ′ (G) = k in v razred 2, ce

velja χ ′ (G) = k+1. Klasifikacijski problem zato predstavlja tezavo v razvrscanju

grafov v eno od dveh skupin. Analogno obstaja problem tudi za multigrafe, ki jim

kriterije za skupine lahko dolocimo po izreku 5.2.

V prejsnjih poglavjih smo nekaterim skupinam grafov ze dolocili kromaticni

indeks. Tako ze vemo, da spadajo cikli in polni grafi v razred 1, ce imajo sodo

stevilo vozlisc ter v razred 2, ce je stevilo vozlisc liho. S Konigovim izrekom

27


(glej izrek 4.3) pa smo dokazali, da so vsi dvodelni grafi v razredu 1. Pomen in

tezavnost razvrscanja grafov v ta dva razreda je ocitna takoj, ko ugotovimo, da

bi njegova resitev vsebovala problem stirih barv. To sledi iz Taitovega rezultata

(glej izrek 4.4), da je problem stirih barv enakovreden izjavi, da je vsak kubicen

zemljevid razreda 1.

Ceprav je osnovni problem razvrscanja grafov v razrede v splosnem neresen,

se zdi, da je grafov razreda 2 relativno malo. Ce za primer vzamemo vseh 143

povezanih grafov na najvec sestih vozliscih, je med njimi samo osem takih, ki

spadajo v razred 2.

Slika 5.3: Edini grafi na najvec sestih vozliscih, ki so razreda 2

Do bolj splosnega rezultata glede tega problema sta prisla Erdos in Wilson,

ki sta, s pomocjo verjetnosti, dokazala, da so skoraj vsi grafi razreda 1. Ce je

P(n) verjetnost, da bo poljuben graf z n vozlisci razreda 1, potem P(n)→ 1, cim

n → ∞. Ne glede na to, pa se ni razjasnjeno, kateri izmed razredov vsebuje vecje

stevilo grafov, glede na dano maksimalno stopnjo grafa k; celo za k = 3 je to se

neznanka.

Naravno je pricakovati, da vecje kot bo stevilo povezav v grafu, vecja je ver-

jetnost, da bo graf v razredu 2. Idejo bolj natancno opisuje naslednji izrek, ki

obenem podaja zadosten pogoj za prepoznavanje grafa razreda 2, vendar ga lahko

apliciramo samo na grafih z liho mnogo vozlisci.

28


Izrek 5.4. Naj bo G graf na n vozliscih z m povezavami in maksimalno stopnjo k.

Tedaj je G razreda 2, ce velja m > k⌊

12n⌋

.

Dokaz. Naj bo G razreda 1. Vsako k-barvanje povezav grafa G razdeli mnozico

povezav v najvec k disjunktnih podmnozic. Toda stevilo povezav v vsaki izmed

podmnozic ne more presegati⌊

12n⌋

, sicer bi bile dve izmed povezav sosednji. Iz

tega sledi, da m ≤ k⌊

12n⌋

.

Posledica 5.5. Ce je G graf lihega reda z maksimalno stopnjo vozlisca k in totalno

deficienco manjso od k, potem je graf G razreda 2.

Dokaz. Ce ima G n vozlisc in m povezav, za totalno deficienco velja formula

nk− 2m. Toda, ce naj bo nk− 2m < k, potem velja m >12(n−1)k = k

⌊

12n⌋

in

rezultat sledi po izreku 5.4.

Ceprav nam izpolnitev pogoja m > k⌊

12n⌋

zagotavlja, da je graf G razreda 2,

to ni potreben pogoj, ampak le zadosten pogoj. Obstaja namrec mnogo grafov

razreda 2, ki pogoja ne izpolnjujejo, npr. Petersenov graf. Z upostevanjem izreka

5.4 in posledice 5.5 lahko vseeno pridobimo mnogo primerov grafov razreda 2.

Sledece posledice so dognanja Vizinga ter Beinkeina in Wilsona.

Posledica 5.6. Ce je G regularen graf z liho mnogo vozlisci, potem je G razreda

2.

Dokaz. Ker je totalna deficienca regularnega grafa enaka 0, lahko ta primer enacimo

s primerom iz posledice 5.5, saj je 0 < k.

Primere takih regularnih grafov lahko konstruiramo upostevajoc dejstvo, da

lahko poln graf oblike K2s+1 razdelimo na s disjunktnih Hamiltonovih obhodov

[7]. Ce lahko graf G pridobimo s prekrivanjem poljubnega stevila takih obhodov,

potem mora biti G razreda 2.

Rezultat posledice 5.6 pa lahko dodatno okrepimo. Ce vzamemo regularen

graf na liho mnogo vozliscih (namesto takega, ki vsebuje cikel lihe dolzine), lahko

vedno odstranimo nekatere povezave in bo graf se vedno razreda 2. Natancneje je

to opisano v naslednji posledici.

29


Slika 5.4: Konstrukcija Hamiltonovih obhodov s premerom 1,2,3 in 4 na primeru

grafa K9.

Posledica 5.7. Ce je H regularen k-valenten graf na liho mnogo vozliscih in ce je

podgraf G grafa H dobljen z izbrisom ne vec kot 12k−1 povezav grafa H, potem

je G razreda 2.

Dokaz. Ker je totalna deficienca grafa G najvec k− 2, rezultat sledi neposredno

iz posledice 5.5.

Ta rezultat je najboljsi mozen, ki ga lahko uporabimo v splosnem. Ce vza-

memo na primer zadnje tri primere grafov iz slike 5.4, lahko na podlagi posledice

5.7 odstranimo poljubno povezavo ali pa poljubnih dve ali tri povezave (nujno v

tem vrstnem redu) ustreznim grafom in bo dobljen podgraf se vedno razreda 2.

Vendar pa nam odstranitev vecih povezav da podgraf razreda 1.

Se ena uporabna metoda konstrukcije grafov razreda 2 je dodajanje vozlisca

eni izmed obstojecih povezav.

Slika 5.5: Dodajanje vozlisca obstojeci povezavi.

Posledica 5.8. Ce je H regularen graf na sodo mnogo vozliscih, potem je G,

dobljen z dodajanjem vozlisca na eno izmed obstojecih povezav grafa H, razreda

2.

30


Dokaz. Ce je H regularen graf z n povezavami in stopnjo k, potem ima G n+ 1

vozlisc in 12nk+1 povezav. Ta situacija pa je dokazana v izreku 5.4.

Dolocitev, ali spada splosen/poljuben graf v razred 1 ali v razred 2 spada

med NP-polne probleme [9], saj gre za odlocitveni problem, ki ni resljiv v poli-

nomskem casu.

5.2.1 Kriticni grafi

Kriticni grafi so igrali pomembno vlogo pri proucevanju barvanja povezav

grafov. Razlog za to pa tici predvsem v dejstvu, da je v vsakem grafu vsebovan

kriticni graf.

Definicija kriticnega grafa

Graf G je kriticen (povezavno-kriticen), ce je G povezan in razreda 2 ter

ce odstranitev poljubne povezave grafa G privede do zmanjsanja njegovega kro-

maticnega indeksa. Ko ima graf G maksimalno stopnjo k pravimo, da je G k-

kriticen. Kot primer navedimo cikle na liho mnogo vozliscih, ki so 2-kriticni

grafi, ter poln graf na petih vozliscih brez ene povezave (K5 − e), ki je 4-kriticen.

Sam K5 pa ocitno ni kriticen graf, saj z odstranitvijo poljubne povezave ostane

njegov kromaticni indeks enak (t.j. 5).

Definicijo lahko razsirimo tudi na multigrafe. Ce je M povezan multigraf,

cigar kromaticni indeks je vecji od njegove maksimalne stopnje, potem je M

kriticen, ce odstranitev poljubne povezave grafa M zmanjsa njegov kromaticni

indeks.

Beineke in Wilson sta podala tudi zelo uporaben alternativen tip kriticnih

grafov. Graf G je vozliscno-kriticen, ce je G povezan in razreda 2 ter, ce odstra-

nitev katerega koli vozlisca grafa G (in povezav, ki imajo to vozlisce za krajisce)

zmanjsa njegov kromaticni indeks. (Analogna je tudi definicija za multigrafe.)

Ocitno je, da je vsak kriticen graf nujno vozliscno-kriticen, vendar obratno ni nuj-

no vedno res. Kot primer vzemimo K5, ki sam po sebi ni kriticen, vendar je ocitno

vozliscno-kriticen.

31


Kljub vsemu pa je proucevanje kriticnih grafov vzbudilo veliko vec zanimanja,

kot proucevanje vozliscno-kriticnih grafov, predvsem zato, ker je relativno enos-

tavno pokazati, da je graf kriticen ce in samo ce je njegov graf povezav vozliscno-

kriticen in lahko nato uporabimo lastnosti vozliscno-kriticnih grafov za sklepanje

o lastnostih kriticnih grafov.

Za prikaz prakticne uporabe tega, lahko uporabimo dva preprosta rezultata, do

katerih je prisel Vizing leta 1965. Za vsakega izmed rezultatov bosta predstavljena

dva dokaza - direkten in dokaz s pomocjo grafa povezav.

Izrek 5.9. Ce je G k-kriticen graf in sta v in w sosednji vozlisci v G, potem velja

deg(v)+deg(w)≥ k+2.

Dokaz. (Direkten dokaz) Glede na to, da je G k-kriticen, lahko povezave grafa

G − vw pobarvamo s k barvami. Toda χ ′(G) = k + 1, zato ne obstaja skupna

manjkajoca barva za v in w (sicer bi jo lahko uporabili za pobarvati povezavo vw).

Iz tega sledi, da je vsaka izmed k barv potrebna za pobarvati povezave sosednje

v-ju in w-ju tako, da (deg(v)− 1)+ (deg(w)− 1) ≥ k, kar je ravno to, kar smo

potrebovali.

Dokaz. (S pomocjo izreka 3.3(ii)) V izreku 3.3 smo dokazali, da ce je H vo-

zliscno-kriticen graf, je stopnja vsakega vozlisca v grafu H vsaj k. Ce predstavlja

H graf povezav grafa G in ce sta v in w sosednji vozlisci v G, potem, po znani

lastnosti grafov povezav (izrek 5.9) velja deg(v)+deg(w)−2 ≥ k.

Izrek 5.10. Kriticen graf ne vsebuje prereznih vozlisc.

Dokaz. (Direkten dokaz) Naj bo G k-kriticen graf s prereznim vozliscem v in naj

bodo H1,H2, . . . ,Hk povezani podgrafi grafa G, ki jih dobimo z odstranitvijo vo-

zlisca v. Ker je G kriticen, lahko vse povezave v podgrafih, dobljenih z zdruzitvijo

v z Hi, i = 1,2, . . . ,k, pobarvamo s k barvami. Dalje, barvanje je lahko izvedeno

tako, da so barve povezav sosednje v-ju razlicne, saj je stopnja vozlisca v najvec k,

kar je enako stevilu barv, ki jih imamo na razpolago. Toda tako dobimo k-barvanje

celotnega grafa G, kar pa je v nasprotju s predpostavko, da je G razreda 2.

32


Dokaz. (S pomocjo izreka 3.3(iii)) V izreku 3.3 smo dokazali, da ce je H vo-

zliscno-kriticen graf, ne more biti prikazan kot unija dveh grafov, ki nam v pre-

seku dajo poln graf. Ce predstavlja H graf povezav kriticnega grafa G sledi, da

G ne more biti prikazan kot unija grafov, ki v preseku dajo zvezdo K1,r (saj je

L(K1,r) = Kr). Ker je to res za poljubno vrednost r, G ne more vsebovati pre-

reznega vozlisca.

V uvodu smo trdili, da vsak graf vsebuje podgraf, ki je kriticen. Naslednji

Vizingov izrek trdi, da vsebuje vsak graf razreda 2 celo paleto kriticnih podgrafov,

po enega za vsako stevilo p > 1, ki je manjse ali enako maksimalni stopnji k grafa

G.

Izrek 5.11. Ce je G graf razreda 2 z maksimalno stopnjo k, potem G vsebuje

p-kriticen podgraf za vsak p, ki zadosca 2 ≤ p ≤ k.

Dokaz. Za primer p = k je dokaz trivialen, saj lahko potreben kriticen graf do-

bimo tako, da postopoma brisemo vse povezave, katerih izbris nam ne zmanjsa

kromaticnega indeksa. Jasno je, da ima tako dobljen graf enako maksimalno stop-

njo.

Ce je p < k, lahko vzamemo k-kriticen graf, ki smo ga pravkar skonstruirali

in pobarvamo vse njegove povezave, razen ene, s k barvami. Naj bo e = vw

povezava, ki ostane nepobarvana, potem mora obstajati barva bv, ki manjka vo-

zliscu v, toda ne manjka vozliscu w in barva bw, ki manjka vozliscu w, toda ne

manjka vozliscu v. Ce sedaj izberemo katerokoli od k− p barv, razlicnih od bv

in bw in odstranimo vse povezave iz G, ki so pobarvane s katerokoli od k − p

barv, dobimo podgraf z maksimalno stopnjo p in kromaticnim indeksom p+1. Z

odstranjevanjem povezav, kot v prvem delu dokaza, dobimo zahtevan p-kriticen

podgraf.

Definicija kriticnega grafa, podana na zacetku poglavja pravi, da se ob izbrisu

poljubne povezave kromaticni indeks grafa zmanjsa za 1. Naslednji izrek pa

pokaze, da velja celo vec.

Izrek 5.12. Ce je G kriticen graf in je I poljubna mnozica neodvisnih povezav

grafa G, potem velja:

33


(1) obstaja (k+ 1)-barvanje povezav grafa G, v katerem I predstavlja barvni

razred,

(2) χ ′(G− I) = χ ′(G)−1.

Dokaz. Vzemimo poljuben kriticen graf G in mnozico I neodvisnih povezav grafa

G. Po definiciji je kriticen graf razreda 2, torej velja, da χ ′ (G) = k+ 1. Ker so

povezave v I neodvisne (imajo paroma razlicna krajisca), lahko vse pobarvamo z

isto barvo in tako dobimo potrebovan barvni razred. Za preostale povezave imamo

sedaj na razpolago se k barv. Ce sedaj grafu G odstranimo povezave iz I, s tem

odstranimo tudi barvo, ki smo jo potrebovali, da smo pobarvali povezave v I. Tako

pa pridemo do tocke (2) izreka, saj je χ ′ (G− I) = k+1−1 = χ ′ (G)−1.

Kot poseben primer tega izreka je odstranitev 1-faktorja iz k-kriticnega grafa

(k ≥ 3), kjer dobimo graf, ki je se vedno razreda 2.

Za zakljucek tega dela pa bomo se dokazali, da so edini regularni kriticni grafi

cikli na liho mnogo vozliscih.

Izrek 5.13. Regularnih k-kriticnih grafov za k ≥ 3 ni.

Dokaz. Upostevajoc posledico 5.7 ne obstajajo regularni k-kriticni grafi lihega

reda, za k ≥ 3. Ce je G regularen k-kriticen graf sodega reda in je H graf, ki smo

ga dobili tako, da smo v G vstavili novo vozlisce z na povezavo e = vw, e ∈ E (G),

potem upostevajoc posledico 5.8 velja χ ′ (H) = k+1. Vemo, da je χ ′ (G− e) = k,

saj je G kriticen, in da za poljubno barvanje povezav grafa G−e velja, da vozliscu

v manjka vsaj ena barva (recimo bv), analogno tudi vozliscu w manjka vsaj ena

barva (recimo bw). Predpostavimo lahko, da bv 6= bw, sicer bi lahko takoj dobili

k-barvanje povezav grafa G. Sledi, da lahko dobimo k-barvanje grafa H tako,

da povezavo vz pobarvamo z bv in povezavo zw z bw, kar pa je v protislovju z

dejstvom, da je χ ′ (H) = k+1.

Struktura kriticnih grafov

V zacetku prejsnjega razdelka smo definirali, da je graf kriticen, ce je povezan

in razreda 2, ter da odstranitev poljubne povezave privede do zmanjsanja kro-

maticnega indeksa. Na prvi pogled se zdi, da lahko zmanjsanje kromaticnega

indeksa dosezemo na dva razlicna nacina:

34


1. odstranitev poljubne povezave porodi graf razreda 1, z enako maksimalno

stopnjo.

2. odstranitev poljubne povezave porodi graf, ki je se vedno razreda 2, vendar

z manjso maksimalno stopnjo.

Jasno je, da se lahko druga tocka zgodi samo v primeru, ko ima zacetni graf vsaj

dve vozlisci maksimalne stopnje. Eden izmed namenov tega razdelka je pokazati,

da se to ne more nikoli zgoditi. Pomagali si bomo z Vizingovo Lemo o sosednosti

(glej izrek 5.15).

Najprej pokazimo izrek, ki trdi, da se primer 2. ne more zgoditi. Dokaz bo

tukaj izpuscen, saj gre le za poseben primer izreka 5.15, ki pa bo v celoti dokazan.

Izrek 5.14. Naj bo G kriticen graf. Potem je vsako vozlisce grafa G sosednje vsaj

dvema vozliscema z maksimalno stopnjo; ali drugace, G vsebuje vsaj tri vozlisca

z maksimalno stopnjo.

Vizing je v svojem delu iz leta 1965 ta rezultat posplosil in dokazal svojo Lemo

o sosednosti, ki ocitno vsebuje tudi primer iz izreka 5.14 kot poseben primer.

Preden zacnemo z dokazom, naj obnovimo pojem “pahljace”, s katerim smo se

srecali ze pri dokazu Vizingovega izreka (glej dokaz izreka 5.1). Naj bo w vo-

zlisce grafa G, cigar povezave smo pobarvali paroma razlicno. Pahljaca F skon-

struirana na vozliscu w z zacetno povezavo wa1 je zaporedje sosednjih povezav

oblike wa1,wa2,wa3, ..., za katerega velja, da je za vsak i ≥ 1 povezava wai+1

pobarvana z barvo, ki manjka vozliscu ai.

Izrek 5.15. (Lema o sosednosti / Adjacency lema) Naj bo G k-kriticen graf in naj

bosta v in w sosednji vozlisci v grafu G ter deg(v) = p. Tedaj velja:

(i) ce je p < k, potem je w sosednje vsaj k− p+1 vozliscem stopnje k;

(ii) ce je p = k, potem je w sosednje vsaj dvema vozliscema stopnje k.

Dokaz. Ker je G k-kriticen, obstaja k-barvanje povezav grafa G− e, kjer je e =

vw ∈ V (G). Privzamemo lahko, da je vsaka izmed k − p+ 1 barv, ki manjka

vozliscu v prisotna v vozliscu w, sicer bi lahko takoj dobili k-barvanje povezav

grafa G, iz cesar sledi deg(w)≥ k− p+2.

Sedaj lahko trdimo dvoje:

35


1. Ce sta F in F ′ razlicni pahljaci na vozliscu w v grafu G− e in sta zacetni

povezavi pahljac razlicni ter pobarvani z barvo, ki se pojavi pri w, vendar ne pri v,

potem F in F ′ nimata nobene skupne povezave.

2. Ce je F = {wa1, ... ,was} pahljaca na vozliscu w z maksimalno dolzino,

zacetno povezavo wa1 in cigar barva se ne pojavi v vozliscu v, potem je vozlisce

as stopnje k.

Da bi dokazali prvo trditev vzemimo pahljaci F = {wa1, ... ,was} in F ′ =

{wb1, ... ,wbt} na vozliscu w in predpostavimo, da was = wbt . Brez skode za

splosnost lahko sklepamo, da so vse ostale povezave paroma razlicne in da sta

pod temi pogoji F in F ′ bili izbrani tako, da sta najmanjse mozne velikosti. Ker

morata F in F ′ vsebovati vsaj dve povezavi, lahko sklepamo, da je s ≥ 2. Naj

bodo α i (i = 1,2, ... ,s) in βi (i = 1,2, ... , t) barve povezav v F in F ′. Temu sledi,

da je βt = αs in za t ≥ 2 velja, da se αs ne pojavi pri as−1 ali pri bt−1. Ker sta F in

F ′ minimalni, sta α1in β1 edini barvi, ki se pojavita na w in ne na v. Recimo, da

je γ barva, ki se pojavi na v toda ne na w in naj bo Γ najdaljsi sprehod, sestavljen

iz povezav, ki so izmenicno pobarvane z αs in γ z zacetno povezavo was = wbt .

Sedaj nastopita dve moznosti: t ≥ 2 ali t = 1.

Moznost A) Ce je t ≥ 2, potem se Γ zakljuci pri as−1, bt−1 ali pri nobenem

od teh. V prvem primeru (t.j. ko se Γ zakljuci pri as−1) lahko zamenjamo barve

povezav v Γ tako, da vsako povezavo wbi prebarvamo v βi+1 za i = 1, ..., t −1

in nato lahko pobarvamo povezavo vw z barvo β1. V ostalih dveh primerih lahko

zamenjamo barve povezav v Γ tako, da vsako povezavo wai prebarvamo v αi+1 za

i = 1, ...,s−1 in sedaj lahko pobarvamo povezavo vw v α1.

Moznost B) Ce je t = 1, potem se Γ zakljuci ali pri v, ali pri katerem drugem

vozliscu. V prvem primeru (t.j. ko se Γ zakljuci pri v) lahko zamenjamo barve

povezav v Γ tako, da vsako povezavo wai prebarvamo v αi+1 za i = 1, ...,s− 1

in nato lahko pobarvamo povezavo vw z barvo α1. V drugem primeru pa lahko

zamenjamo barve povezav v Γ tako, da lahko povezavo vw pobarvamo z barvo β 1.

S tem smo zakljucili dokaz za 1. trditev.

Da bi dokazali 2. trditev, moramo dokazati, da ce je αi barva povezave wai

za vsak i, potem F ne vsebuje nobene povezave wap za katero velja, da obstaja

tak i < p, da barva αi ne nastopi pri vozliscu ap. Sedaj lahko privzamemo, da pri

vozliscu ap ne nastopi barva αi. Naj bo γ barva, ki nastopi pri vozliscu v, vendar

36


ne nastopi pri vozliscu w.

Ce je i ≥ 2 lahko privzamemo, da obstajata dva sprehoda, ki imata povezave

izmenicno pobarvane z αi in γ , kot sledi:

Moznost A) Privzamemo lahko, da obstaja sprehod z zacetkom v ai−1 in prvo

povezavo pobarvano z γ , ki se zakljuci s povezavo aiw pobarvano z αi. V nasprot-

nem primeru bi lahko povezavo wai−1 pobarvali z γ , zamenjali barve na maksi-

malnem sprehodu, ki se zacne v ai−1, spremenili barve povezav wai−1 v αi+1 za

i = 1, ... , i−2 in na koncu pobarvali vw z α1.

Moznost B) Privzamemo lahko, da obstaja sprehod z zacetkom v ap in prvo

povezavo pobarvano z barvo γ , ki se zakljuci s povezavo aiw pobarvano z αi ali

pa z ai−1 in z zadnjo povezavo pobarvano z γ . V nasprotnem primeru bi lahko

prebarvali wap v γ , zamenjali barve na maksimalnem sprehodu, ki se zacne v ap,

spremenili barve povezav wai v αi+1 za i = 1, ... ,k−1 in na koncu pobarvali vw

z α1.

Toda hkratni obstoj takih dveh sprehodov ni mozen, kar nas privede do zeljenega

protislovja.

Ce je i = 2 pa lahko prebarvamo wai (i = 1, ... ,k−1), spremenimo barvo wak

v γ , zamenjamo barve v najdaljsem sprehodu ak, ... ,a1 in na koncu pobarvamo

povezavo vw z α1. S tem smo zakljucili dokaz za tocko 2.

Sedaj lahko dokoncamo dokaz izreka. Za vsako izmed (k− p+1) barv, ki se

pojavijo pri w, toda ne pri v, obstaja maksimalna pahljaca na w, ki ima za zacetno

barvo ravno eno izmed teh (k− p+1) barv. Iz 1. sledi, da so te pahljace paroma

disjunktne, iz 2. pa, da ima vsaka krajisce stopnje k. Dokaz za (ii) je neposredna

posledica tega.

Ce za v vzamemo vozlisce z minimalno stopnjo σ in za w vozlisce z maksi-

malno stopnjo k, dobimo naslednjo posledico:

Posledica 5.16. Ce je G k-kriticen graf z minimalno stopnjo σ , potem G vsebuje

vsaj k−σ +2 vozlisc z maksimalno stopnjo.

Ker so kriticni grafi bili delezni velikega zanimanja, se je naravno vprasati,

ali obstajajo izreki, ki so analogni izrekom 5.14 in 5.15 tudi za multigrafe. Da

analogija obstaja za primere, ko je kromaticni indeks multigrafa M enak njegovi

maksimalni razsirjeni stopnji k∗, je leta 1975 dokazal Andersen [1].

37


Maksimalno razsirjeno stopnjo k∗(v) definiramo kot

k∗(v) = deg(v)+maxw

µ (v,w) ,

kjer za max µ (v,w) precesemo vse sosede w vozlisca v in izberemo tistega, ki nam

da maksimalno kratnost.

Izrek 5.17. Naj bo M kriticen multigraf z maksimalno razsirjeno stopnjo k∗ in

predpostavimo, da je χ ′ (M) = k∗. Tedaj velja:

(i) Vsako vozlisce v iz M je sosednje vsaj dvema vozliscema w, za katera

velja deg(w)+µ (v,w) = k∗.

(ii) Ce sta v in w sosednji vozlisci v M, z deg(v)+ µ (v,w) = p, potem je w

sosednja najmanj k∗− p+1 vozliscem z, tako da je deg(z)+µ (w,z) = k∗.

(iii) Ce je minimalna razsirjena stopnja grafa M enaka σ∗, potem M vsebuje

vsaj k∗−σ∗+1 vozlisc maksimalne razsirjene stopnje.

3-kriticni grafi

Ogledali si bomo se k-kriticne grafe z majhno vrednostjo k. Ocitno 1-kriticnih

grafov ni in so 2-kriticni samo cikli na liho mnogo vozliscih, zato so prva nasled-

nja moznost za nadaljnje raziskovanje 3-kriticni grafi. Ceprav problem 3-kriticnih

grafov se zdalec ni raziskan, lahko pridemo s pomocjo izrekov 5.14 in 5.15 do za-

nimivih lastnosti 3-kriticnih grafov, s pomocjo katerih je I. T. Jakobsen leta 1974

dolocil vse 3-kriticne grafe na manj kot desetih vozliscih.

Jakobsen je zacel z opazko, da ce kriticni grafi ne smejo vsebovati prereznih

vozlisc, mora imeti vsako vozlisce 3-kriticnega grafa G stopnjo 2 ali 3. Ce z n2

oznacimo stevilo vozlisc stopnje 2 in z n3 stevilo vozlisc stopnje 3, ter ce je stevilo

vseh vozlisc oznaceno z n, potem zagotovo velja enacba n = n2 + n3. Vendar je

po izreku 5.15 vsako vozlisce stopnje 2 sosednje dvema vozliscema stopnje 3 in

mora vsako vozlisce stopnje 3 imeti vsaj enega soseda stopnje 2. Od tod sledi, da

je n3 ≥ 2n2 in zato n2 ≤13n ter n3 ≥

23n. Stevilo povezav v grafu G je torej enako

12(2n2 +3n3) = (n−n3)+

32n3 ≥

43n.

Da bi dobili zgornjo mejo stevila povezav grafa G je dovolj da opazimo, da G

ne more biti regularen (glej izrek 5.13) in mora zato vsebovati vsaj eno vozlisce

38


stopnje 2. Temu sledi, da je stevilo povezav grafa G najvec 12(2+3(n−1)) =

12(3n−1). Rezultat povzamemo v naslednjem izreku.

Izrek 5.18. Ce je G 3-kriticen graf z n vozlisci in m povezavami, potem velja43n ≤ m ≤ 1

2(3n−1).

Socasno s tem pa je Jakobsen dokazal tudi, da noben 3-kriticen graf G ne more

vsebovati natanko dveh vozlisc stopnje 2. Toda, ce je red grafa G sodo stevilo,

potem mora biti tudi vozlisc stopnje 3 sodo mnogo in posledicno mora biti tudi

vozlisc stopnje 2 sodo mnogo. Temu sledi, da ima G vsaj stiri vozlisca stopnje 2,

tako da je 4 ≤ 13n in zato, da n ≥ 12. Imamo torej sledec rezultat.

Izrek 5.19. 3-kriticni grafi reda 4, 6, 8 ali 10 ne obstajajo.

To zanimivo dognanje je Jakobsena pripeljalo do t.i. domneve o kriticnih

grafih, ki pravi, da ima vsak kriticen graf liho mnogo vozlisc. Tej domnevi se

je Jakobsen tudi posvetil pri iskanju kriticnih grafov na 5,7 in 9 vozliscih. Rezul-

tat je predstavljen v naslednji sliki.

39


Slika 5.6: Kriticni grafi na 5, 7 in 9 vozliscih

40


6 Snarki

V tem poglavju se bomo seznanili s posebnim tipom grafov, poimenovanih

snarki. Se prej pa bomo objasnili, od kod zanimanje za tovrstne grafe in kaj

dejansko predstavljajo (definicija 6.8).

6.1 Posploseni Petersenov graf

V prejsnjem poglavju smo se seznanili s problemom klasifikacije grafov v dva

razreda, na podlagi kromaticnega indeksa. Veliko zanimanja, v povezavi s tem

problemom, pa je vzbudilo proucevanje regularnih grafov. Na podlagi posledice

5.6 vemo, da ce je G regularen graf na liho mnogo vozliscih, potem je zagotovo

razreda 2. Tezava se pojavi, ko imamo opravka z regularnimi grafi na sodo mnogo

vozliscih, saj so nekateri (npr. polni grafi) razreda 1, drugi pa (npr. Petersenov

graf) razreda 2. Zelo malo splosnih dejstev o tovrstnih grafih je znanih, vendar

pa moramo upostevati dejstvo, da je regularne grafe razreda 2 na sodo mnogo

vozliscih relativno tezko najti.

Za vecino regularnih kubicnih grafov razreda 2 na sodo mnogo vozliscih se

izkaze, da so na nek nacin sorodni Petersenovemu grafu. V nadaljevanju bo

opisanih nekaj nacinov, kako lahko posplosimo Petersenov graf in k vsaki pos-

plositvi bo podan tudi pripadajoci kromaticni indeks. Ugotovili bomo, da nas

posplositev vcasih pripelje do grafa razreda 1, spet drugic do grafa razreda 2.

Za zacetek pa si oglejmo sliko 6.1, ki predstavlja stiri razlicne upodobitve

Petersenovega grafa.

Slika 6.1: Siri razlicne upodobitve Petersenovega grafa

41


Petersenov graf P5,2 (krajse zapisano: P) lahko dobimo tako, da vzamemo

cikel na petih vozliscih, mu (v notranjost) dodamo novih pet vozlisc, ki so in-

cidencna obstojecim vozliscem zacetnega cikla ter teh “novih” pet vozlisc med

seboj povezemo tako, da posamezno vozlisce ni povezano z vozliscem, ki je v

njegovi neposredni blizini - torej je povezano z vsakim drugim vozliscem (slika

6.1(a)). M.E. Watkins pa je definiral posplosen Petersenov graf Pn,k, ki je sestav-

ljen iz cikla na n vozliscih, n novih vozlisc, ki so incidencna vozliscem iz cikla, ter

so med seboj povezana tako, da je posamezno vozlisce povezano s k-tim vozliscem

v ciklu iz teh novih n vozlisc. Na sliki 6.2 lahko vidimo posplosen Petersenov graf

P9,2. Opazimo lahko, da je graf Pn,k izomorfen grafu Pn,n−k.

Slika 6.2: Posplosen Petersenov graf P9,2

Watkins je domneval, da so, z izjemo Petersenovega grafa, vsi ti grafi razreda

1. Domnevo sta leta 1973 dokazala Castagna in Prins [5].

Izrek 6.1. Vsi posploseni Petersenovi grafi so razreda 1, razen Petersenovega

grafa.

6.2 Snarki

Glede na dosedanja spoznanja vemo, da imajo kubicni grafi lahko kromaticni

indeks 3 ali 4. Vendar je veliko bolj tezavno, kot se lahko na prvi pogled zdi,

dolociti vse 4-pobarvljive kubicne grafe. Ze B. Descartes je mnogo let poskusal

poiskati take grafe, vendar je, poleg Petersenovega grafa, uspel skonstruirati le se

enega na 210 vozliscih. Do leta 1975, ko Isaac-u uspe najti dve neskoncni druzini

4-pobarvljivih kubicnih grafov, je bilo namrec znanih samo pet tovrstnih grafov.

42


Posledicno je tovrstne grafe M. Gardiner poimenoval snarki, po varljivem

plodu bujne domisljije L. Carroll-a, ki nastopi v delu “The Hunting of the Snark”.

Vendar moramo biti pri definiciji, kaj je snark, nekoliko bolj pazljivi. Sledece

leme, ki zadevajo kubicne grafe, nas bodo pripeljale do natancne definicije (defini-

cija 6.8).

Lema 6.2. Naj bo G 3-pobarvljiv kubicni multigraf, pobarvan z barvami bi, i =

1,2,3 in naj bo Z mnozica prereznih povezav grafa G ter ni stevilo povezav v Z

pobarvanih z barvo bi. Potem je ni kongruenten |A| po modulu 2, kjer je A⊂V (G).

Dokaz. Odstranitev povezav, ki so v mnozici Z, iz grafa G nam da dve disjunktni

mnozici vozlisc A in B, za katere velja, da je A ∪ B = V (G) in da so krajisca

povezav grafa G−Z bodisi v A ali v B. Velja tudi, da ni povezave, ki bi povezovala

vozlisce iz A z vozliscem iz B. Ko sedaj barvamo G, predstavlja vsako vozlisce

iz A krajisce povezave, ki je pobarvana z bi. Vozlisca v A so zaradi te barve

razdeljena v dve skupini. V eni skupini so krajisca povezav iz Z, ki so pobarvana

z barvo bi, v drugi skupini pa so vozlisca, ki so povezana s povezavo barve bi.

Zato je stevilo vozlisc v A enako stevilu krajisc povezav iz Z, ki so pobarvane z bi

povecano za nek veckratnik stevila 2. Zato je ni kongruenten∣

∣A∣

∣ modulo 2.

Lema se bo izkazala za zelo “mocno”. Kot prvo posledico le te pa navedimo

naslednjo trditev.

Posledica 6.3. Naj bo G kubicen graf, ki vsebuje most.

Potem velja χ ′(G) = 4.

Po posledici 6.3 lahko konstruiramo 4-pobarvljive grafe iz dveh 3-pobarvljivih

tako, da enostavno dodamo novo vozlisce na poljubno povezavo vsakega od dveh

grafov in ti vozlisci med seboj povezemo. Ce torej dovolimo mostove, lahko na tak

nacin skonstruiramo poljubno mnogo 4-pobarvljivih grafov. Vendar pa vse izhaja

iz zacetne motivacije problema stirih barv, ki pa ne vkljucuje grafov z mostovi.

Torej v skupino snarkov ne bodo vkljuceni tisti grafi, ki vsebujejo most.

Lema 6.4. Naj bo G kubicni graf, ki vsebuje trikotnik (a1,a2,a3) in naj bo G′ graf,

ki smo ga dobili tako, da smo vozlisca trikotnika zdruzili v eno samo vozlisce a

(glej sliko 6.3). Potem velja: χ ′ (G) = 3, ce in samo ce χ ′ (G′) = 3.

43


Slika 6.3: Zdruzitev vozlisc trikotnika v eno vozlisce

Dokaz. Predpostavimo, da velja χ ′ (G) = 3. Po lemi 6.2 je vsaka izmed povezav

aibi, i = 1,2,3 pobarvana z drugo barvo ci. Ce sedaj barvo ci dodelimo povezavi

abi v G′, dobimo 3-barvanje grafa G′. Sedaj ko imamo 3-barvanje grafa G′ lahko

ocitno konstruiramo tudi 3-barvanje za graf G.

Podobno postopamo tudi v primeru, ko je (poleg zgornjih pogojev) b1 = b2

(glej sliko 6.4). Ponovno predpostavimo, da velja χ ′ (G) = 3 in da je vsaka izmed

povezav aibi, pobarvana z drugo barvo cai. Ob zdruzitvi vozlisc (a1,a2,a3) v

eno samo vozlisce a, se nam tudi povezavi iz b1 zdruzita v eno samo povezavo.

Ce sedaj barvo ci dodelimo povezavi abi v G′ , ravno tako dobimo 3-barvanje

grafa G′, saj je bil graf G kubicen in ima v grafu G′ vozlisce b3 se vedno tri

povezave. Sedaj ko imamo 3-barvanje grafa G′ lahko konstruiramo 3-barvanje za

graf G tako, da drugi povezavi iz vozlisca b1 ∈ G, dodelimo barvo, ki je nismo

uporabili pri barvanju vozlisc abi. To nas privede do enake situacije, kot smo jo

imeli v prvem delu dokaza in zato lahko ocitno tudi v tem primeru konstruiramo

3-barvanje za graf G.

Slika 6.4: Zdruzitev vozlisc v primeru dveh trikotnikov

44


Lema 6.5. Naj bo graf G� dobljen tako, da kubicnemu grafu G dodamo vozlisca

a1,a2 in a3,a4 zaporedno na povezavi e1 = u1v1 in e2 = u2v2 ter povezave a1a4 in

a2a3 (glej sliko 6.5). Ce je χ ′(

G�)

= 4, potem je χ ′ (G) = 4.

Dokaz. Naj bo χ ′(

G�)

= 4. Dokaz gre s protislovjem. Predpostavimo, da je

χ ′ (G) = 3 in da sta povezavi e1 in e2 pobarvani z enako barvo b1. Sedaj lahko

pobarvamo povezave u1a1, a2v1, u2a3, a4v2 z barvo b1, povezavi a1a2, a3a4 z

barvo b2 in povezavi a1a4, a2a3 z barvo b3. S tem dobimo 3-barvanje grafa G�,

protislovje.

Podobno postopamo tudi, ce sta povezavi e1 in e2 pobarvani z razlicnima bar-

vama. V tem primeru, lahko povezave u1a1, a2v1, a3a4 pobarvamo z barvo b1,

povezave a1a2, u2a3, a4v2 z barvo b2 in povezavi a1a4, a2a3 z barvo b3.

Slika 6.5: Dodajanje vozlisc kubicnemu grafu

Vendar moramo biti pozorni na dejstvo, da lema 6.5 v obratni smeri ne velja.

Na sliki 6.6 vidimo primer grafa P� (kjer je P Petersenov graf), ki je 3-pobarvljiv.

Slika 6.6: 3-barvanje grafa P�

45


Lema 6.6. Naj bo G kubicen graf brez mostov, ki vsebuje mnozico prereznih

povezav Z = {u1v1, u2v2} moci 2, za katero velja, da u1 in v2 ne lezita v isti

komponenti grafa G−Z. Grafu G−Z = G′ dodamo povezavi u1u2 in v1v2. Naj

bo sedaj G1 komponenta dobljenega grafa, ki vsebuje povezavo u1u2 in G2 druga

komponenta grafa G′ (ki vsebuje povezavo v1v2). Tedaj velja, da je χ ′ (G) = 3, ce

in samo ce imata obe komponenti G1 in G2 kromaticni indeks 3.

Dokaz. Ker graf G ne vsebuje mostov, velja u1 6= u2 in v1 6= v2. Ce je G 3-

pobarvljiv, potem po lemi 6.2 vemo, da morata biti povezavi u1v1 in u2v2 po-

barvani z isto barvo, recimo b1. Torej lahko s to barvo pobarvamo povezavi u1u2

in v1v2 v posameznih komponentah, da dobimo dobro 3-barvanje le-teh.

Obratno, ce predpostavimo, da velja χ ′ (G1) = χ ′ (G2) = 3, lahko v poljubnem

3-barvanju komponent G1 in G2 barve permutiramo tako, da dobimo povezavi

u1u2 in v1v2 pobarvani z isto barvo, recimo b1. Sedaj lahko v grafu G uporabimo

enake barve kot v G1 in G2 za vse skupne povezave, povezavam u1v1 in u2v2 pa

dodelimo barvo b1 in tako dobimo dobro 3-barvanje grafa G.

Naj bo G poljuben graf in naj bo A mnozica prereznih povezav tega grafa.

Pravimo, da je A trivialna, ce obstaja vozlisce stopnje∣

∣A∣

∣, ki je sosednje vsem

povezavam v A. Sicer je A prava mnozica prereznih povezav.

Naj bo G povezavno 3-povezan kubicni graf, ki vsebuje pravo mnozico pre-

reznih povezav A = {uivi | i = 1,2,3}. Povezave oznacimo tako, da se nobeno

izmed vozlisc vi ne pojavi v tisti komponenti grafa G− A, ki vsebuje vozlisca

u1,u2,u3. Sedaj grafu G−A dodamo vozlisci u in v ter povezave uui in vvi za

i = 1,2,3. Naj bo G1 komponenta, ki vsebuje vozlice u in naj bo druga kompo-

nenta G2. Komponentam G1 in G2 pravimo 3-prerezni redukciji grafa G.

Lema 6.7. G je 3-pobarvljiv, ce in samo ce sta tako G1 kot G2 3-pobarvljiva.

Dokaz. Po lemi 6.2 vemo, da je v primeru, ko je χ ′ (G) = 3, vsaka izmed povezav

uivi v poljubnem 3-barvanju pobarvana z razlicno barvo. Ce sedaj pustimo vsem

povezavam iz grafa G iste (zacetne) barve in uporabimo barve bi za povezave uui

in vvi, dobimo 3-barvanje tako za G1 kot za G2.

Obratno, barve povezav v G1 in G2 lahko vedno permutiramo tako, da so

povezave uui in vvi pobarvane z barvami bi. Nato s temi barvami bi pobarvamo

povezave uivi v G.

46


Seveda je enostavno poiskati mnozico prereznih povezav A moci 3 za vsak

kubicni graf, dovolj je, da izberemo tri povezave s skupnim krajiscem. Bolj zan-

imiv pa je primer, ko nam G−A predstavlja dve komponenti, ki vsebujeta cikel. V

tem primeru pravimo, da je A ciklicni prerez. Ciklicna povezavna povezavnost

grafa G (zapis: λc (G)) je velikost najmanjsega ciklicnega prereza grafa G. Prav-

imo, da je G ciklicno k-povezavno povezan, ce je λc (G) ≥ k. Ali drugace, grafu

G moramo odstraniti najmanj k povezav, da nam ta razpade na dve komponenti,

ki vsebujeta cikel.

Graf ki ga prikazuje slika 6.7(a) je ciklicno 3-povezavno povezan, medtem

ko graf 6.7(b) ni. Ocitno grafi, ki vsebujejo most, niso ciklicno 3-povezavno

povezani.

Slika 6.7: Ciklicno 3-povezavno povezan graf (a) in kubicni graf z mnozico pre-

reznih povezav moci 2 (b)

Poseben pomen pa imajo za nas tukaj ciklicno 4-povezavno povezani grafi.

Tak primer grafa je Petersenov graf (P), saj λc(P) = 5. Ocitno mora biti P

vsaj ciklicno 3-povezavno povezan, saj je 3-povezavno povezan. Ce P ne bi bil

ciklicno 4-povezavno povezan, bi P vseboval ciklicni prerez A moci 3. Graf P−A

bi razpadel na dve komponenti, ki vsebujeta cikel. Ker pa je notranji obseg Pe-

tersenovega grafa enak g(P) = 5, imajo te komponente pet vozlisc, dve vozlisci

stopnje 3 ter tri vozlisca stopnje 2 in zato v posamezni komponenti dobimo cikel

na manj kot 5 vozliscih. Torej je P ciklicno 4-povezavno povezan.

Ker zelimo odkriti bistvo 4-pobarvljivih kubicnih grafov, lahko 4-pobarvljive

kubicne grafe, ki vsebujejo most opustimo, saj nam posledica 6.3 kaze, da taki

47


grafi nimajo dobro definirame strukture. Poleg tega pa se grafom tega tipa lahko

ognemo ze pri kontekstu Izreka o stirih barvah.

Lemi 6.4 in 6.5 nam pokazeta, da lahko 4-pobarvljive kubicne grafe z no-

tranjim obsegom 3 ali 4 dobimo iz manjsih 4-pobarvljivih grafov. Torej grafi z

notranjim obsegom majnsim od 5 niso minimalni v smislu kromaticnega stevila

4.

Po lemi 6.6 vidimo, da lahko 4-pobarvljive grafe z mnozico prereznih povezav

moci 2 dobimo iz manjsih 4-pobarvljivih (multi)grafov. Ker lahko sedaj pred-

postavimo, da grafi z mnozico prereznih povezav moci 2 nimajo notranjega ob-

sega enakega 4, je vsaj eden od manjsih (multi)grafov enostaven.

Lema 6.7 nam pokaze, da dobimo grafe s kromaticnim indeksom 4 in mnozico

prereznih povezav moci 3 iz manjsih 4-pobarvljivih grafov. Torej lahko opus-

timo tudi grafe z mnozico prereznih povezav moci 3 iz nasega osnovnega 4-

pobarvljivega nabora grafov.

Sedaj pa lahko podamo tocno definicijo snarka.

Definicija 6.8. Snark je ciklicno 4-povezavno povezan kubicen graf z notranjim

obsegom vsaj 5 in kromaticnim indeksom 4.

Lema 6.9. Petersenov graf P je najmanjsi snark in je edini snark na 10 vozliscih.

Dokaz. Predpostavimo, da je G snark. Naj bo A ciklicni prerez grafa G. Potem

sestavljata G−A dve komponenti, ki vsebujeta cikel na vsaj 5 vozliscih, saj je

g(G)> 5. Zato∣

∣V (G)∣

∣> 10. Ker pa je Petersenov graf P snark, je (so) najmanjsi

snark(i) reda 10.

Naj bo G snark reda 10 in naj bo A ciklicni prerez. Predpostavimo, da je∣

∣A∣

∣ = 4. Potem ima G−A dve komponenti. Vsaka od teh komponent vsebuje

4 vozlisca stopnje 2. Ker je g(G) > 5, mora vsaka komponenta vsebovati vsaj 5

vozlisc in zato lahko sklepamo, da ima vsaka komponenta natanko 5 vozlisc, eno

stopnje 3 in stiri stopnje 2. Vendar potem komponenti vsebujeta cikel dolzine < 5,

kar nas privede do protislovja.

Ce je∣

∣A∣

∣ ≥ 5, potem∣

∣V (G)∣

∣ > 10. Torej naj bo A = {ii′, i = 1,2,3,4,5}.

Potem sestavljata G−A dva cikla na petih vozliscih. Naj bo en izmed teh ciklov

(1,2,3,4,5). Ce je 1′ ∼ 2′ ali 1′ ∼ 5′, potem vsebuje G cikel na stirih vozliscih,

48


protislovje. Zato je 1′ ∼ 3′ in 1′ ∼ 4′ in podobno 2′ ∼ 4′ in 2′ ∼ 5′ ter 3′ ∼ 5′ in

3′ ∼ 1′. Torej je G = P.

6.3 Isaak-ovi snarki

Do leta 1975 je bilo znanih samo pet snarkov in sicer Petersenov graf na

10 vozliscih, Blanuseva grafa na 18 vozliscih, Szekerev graf na 50 vozliscih in

Descartesov graf na 210 vozliscih. Leta 1975 pa Isaac odkrije nacin za skonstru-

irati dve neskoncni druzini snarkov in odkrije se en popolnoma nov snark. Prva

izmed druzin vsebuje vse do tedaj znane snarke, razen Petersenovega grafa, dobil

pa jo je z t.i. dot product metodo. Drugo druzino, ki vsebuje t.i. flower snarke, pa

je neodvisno odkril Grinberg ze leta 1972, vendar ni tega nikoli objavil.

6.3.1 Prva druzina Isaakovih snarkov

Konstrukcija prve druzine Isaakovih snarkov temelji predvsem na dveh meto-

dah, ki bosta podrobneje opisani v nadaljevanju. S pomocjo le teh lahko skonstru-

iramo snarke iz snarkov samih, ali pa iz grafov, ki nimajo kromaticnega indeksa

enakega 4.

Slika 6.8: Prikaz dot product metode

Metoda tockovnega produkta (ang. dot product) L ·R

je na dveh povezanih kubicnih grafih L in R definirana tako:

1. odstranimo par sosednjih vozlisc x in y iz grafa L;

49


2. odstranimo dve neodvisni povezavi ab in cd izb grafa R;

3. Preostala vozlisca {r,s, t,u} ∈ V (L) in {a,b,c,d} ∈ V (R) pa povezemo na

enega izmed sledecih nacinov: {r,s} z {a,b} in {t,u} s {c,d} ali pa {r,s} s

{c,d} in {t,u} z {a,b}.

Predpostavljamo seveda, da sta L in R dovolj velika, da L ·R sploh lahko obstaja.

Opazimo lahko, da rezultat ni enolicno dolocen, saj je odvisen od tega, katera

vozlisca (1.) in katere povezave (2.) odstranimo, ter kako povezemo vozlisca (3.).

Ena izmed moznosti je prikazana na sliki 6.8.

Ce je graf L reda m in graf R reda r, potem je produkt L ·R reda m+ r−2.

Izrek 6.10. Ce velja, da χ ′ (L) = χ ′ (R) = 4, potem je χ ′ (L ·R) = 4.

Dokaz. Predpostavimo, da je χ ′(L ·R)= 3. Po lemi 6.2, lahko povezave ar,bs,ct,du

pobarvamo na enega od sledecih nacinov (kjer sevilka oznacuje posamezno barvo):

(i) (1,1,1,1)

(ii) (1,1,2,2)

(iii) (1,2,1,2)

Pri primeru (i) pobarvamo povezavi ab,cd z barvo 1 in ohranimo barvanje

ostalih povezav iz grafa L ·R za graf R. Tako dobimo 3-barvanje grafa R. Podobno

nam ostala dva primera ((ii) in (iii)) postrezeta s 3-barvanjem ali grafa L ali grafa

R.

Glede na izrek 6.10, je v primeru, ko sta L in R snarka, tudi L ·R snark. Se

vec, enostavno je preveriti, da je g(L ·R) ≥ 5 in da ima L ·R ciklicno povezavno

povezanost vsaj 4. Kot primer si lahko pogledamo situacijo, ko je L ∼= P ∼= R.

Tako dobimo Blanuseva snarka na sliki 6.9.

50


Slika 6.9: Blanuseva snarka na 18 vozliscih

Drugi primer pa je Szekeresov snark (slika 6.10), ki ga lahko skonstruiramo

kot P · (P · (P · (P · (P ·P)))).

Slika 6.10: Szekeresov snark na 50 vozliscih

Previdno smo v zgornjem izreku uporabili notacijo χ ′ (L) = 4 in χ ′ (R) = 4 in

nismo rekli grafom L in R snarki. To pa zato, ker je lahko graf L ·R snark, tudi

ce sama grafa L in R nista snarka. Poznamo namrec tudi druge konstrukcije, ki

sproducirajo snarke iz grafov, ki nimajo nujno kromaticnega indeksa 4.

51


Spoj grafov (ang. star product) L∗R

dveh povezanih kubicnih grafov L in R dobimo tako, da:

1. izbrisemo vozlisce u iz grafa L in vozlisce v iz grafa R skupaj z vsemi

povezavami, ki imata ti vozlisci za krajisci;

2. Preostala vozlisca {r,s, t} ∈ V (L) in {a,b,c} ∈ V (R) pa povezemo med

seboj.

Slika 6.11: Prikaz spoja

Opazimo lahko, da spoj L∗R ni enolicno dolocen, saj je rezultat odvisen od tega,

kako povezemo vozlisca (2.). Ena izmed moznosti je prikazana na sliki 6.11.

Opazimo lahko tudi, da je spoj operacija nasprotna 3-prerezni redukciji.

Sedaj pa bomo pokazali, kako lahko iz nesnarkov skonstruiramo snarke. Naj

bosta S1 in S2 snarka ter A1 in A2 poljubna povezana kubicna grafa. Naj bo G =

S2 · (A1 ∗ (S1 ∗A2)), kjer za tockovni produkt izbrisemo dve sosednji vozlisci iz S2

in dve povezavi iz A1 in iz A2 ter za spoj izbrisemo dve loceni vozlisci iz S1 ter po

eno iz A1 in iz A2. Slika prikazuje dobljeni graf G.

52


Slika 6.12: Prikaz grafa G = S2 · (A1 ∗ (S1 ∗A2))

Ce sedaj predpostavimo, da je χ ′ (G) = 3 in vzamemo poljubno 3-barvanje

grafa G (glej sliko 6.12), lahko na podlagi leme 6.2 povezave {e1,e2,e3,e4}(v tem

vrstnem redu) pobarvamo na sledece nacine (kjer stevilka oznacuje posamezno

barvo):

(i) (1,2,1,2)

(ii) (1,1,1,1)

(iii) (1,1,2,2)

Ocitno (i) inducira 3-barvanje grafa S2, kar ni mogoce, saj je S2 snark. Zato

lahko trdimo, da sta povezavi e1 in e2 pobarvani z enako barvo in ravno tako sta

povezavi e3 in e4 pobarvani z enako barvo. Ce kot mnozico prereznih povezav

vzamemo {e1,e2, f1, f2, f3} in upostevamo lemo 6.2 sledi, da so povezave f 1, f2

in f 3 razlicne barve. Podobno sklepamo, da so g1, g2 in g3 razlicne barve. Vendar

to inducira 3-barvanje grafa S1, kar ravno tako ni mogoce. Zato je predpostavka,

da je χ ′ (G) = 3 napacna, iz cesar sledi, da je χ ′ (G) = 4. Na tak nacin lahko

skonstruiramo nove snarke iz nesnarkov A1 in A2, paziti moramo le, da izbrana

grafa A1 in A2 zadovoljita potrebam glede notranjega obsega in povezanosti za G.

53


Descartesov snark S tem, kar smo do sedaj spoznali o konstrukciji Isaako-

vih snarkov iz prve druzine, se lahko lotimo konstrukcije Descartesovega snarka,

ki je nekoliko bolj kompleksna. Naj bodo Ai (i = 1,2, ...,30) povezani kubicni

grafi in naj bo G1 = P · (A1 ∗ (P∗A2)), kjer uporabimo po eno povezavo iz A1

in A2 v tockovnem produktu in kjer P predstavlja Petersenov graf. Ce pred-

postavimo, da je Gi (1 ≤ i ≤ 15) definiran, naj bo Gi+1 = Gi · (A2i−1 ∗ (P∗A2i)).

Pri konstrukciji grafa Gi+1 vedno uporabimo po eno povezavo iz grafov A2i−1

in A2i. Sosednji vozlisci, ki jih iz Gi izbrisemo pri konstrukciji tockovnega pro-

dukta za graf Gi+1 je najbolje prikazati s primerom. Pri konstrukciji grafa G1

(slika 6.13(levo)) izbrisemo poljuben par sosednjih vozlisc iz grafa P in poljubno

povezavo iz vsakega izmed grafov A1 in A2. Pri konstrukciji grafa G2 (slika

6.13(desno)) izbrisemo krajisci povezave e1, pri konstrukciji grafa G3 (slika 6.15)

izbrisemo krajisci povezave e2, itd.

Slika 6.13: Konstrukcija grafov G1 = P · (A1 ∗ (P∗A2)) (levo) in G2 = P ·(A3 ∗ (P∗A4)) (desno)

Sedaj lahko zamenjamo crtkano obkrozene podgrafe v grafih G2 in G3 (sliki

6.13 in 6.15) s poljubnim grafom, brez da bi s tem spremenili kromaticni indeks

54


grafov G2 in G3 in tako ohranimo kubicnost obeh grafov. V G3 obkrozeni del

zamenjamo s ciklom na 9 vozliscih (C9). Ce nadaljujemo konstrukcijo za vsako

povezavo iz zacetnega (Petersenovega) grafa P, dobimo graf, v katerem je vsako

vozlisce nadomesceno s ciklom C9 in vsaka povezava iz zacetnega grafa P z eu-

negrafom iz slike 6.14.

Slika 6.14: Eunegraf

Slika 6.15: Konstrukcija grafa G3 = P · (A5 ∗ (P∗A6))

55


S tako konstrukcijo dobimo graf reda 210, ki se imenuje Descartes-ov snark.

Pokazali smo, da lahko s pomocjo produktov iz prve druzine Isaak-ovih snark-

ov skonstruiramo vse do takrat znane snarke, razen Petersenovega grafa P.

6.3.2 Druga druzina Isaakovih snarkov (flower snarki)

Prvega v tej druzini snarkov dobimo tako, da srediscno vozlisce v Petersen-

ovemu grafu (slika 6.1(d)) zamenjamo s ciklom dolzine 3. Ostale snarke v tej

druzini lahko nato enostavno skonstruiramo tako, da zamenjamo tri velike “cve-

tove” s petimi, sedmimi, devetimi,... listi. Tako dobimo serijo snarkov na 12, 20,

28, 36,... vozliscih, prvi trije iz te serije so prikazani na sliki 6.16. Vendar moramo

biti pozorni na to, da prvi v tej seriji ni pravi snark, saj vsebuje cikel dolzine tri.

Slika 6.16: Flower snarki na 12, 20 in 28 vozliscih

Formalno pa to druzino snarkov definiramo kot graf Jk, kjer je k liho stevilo

vecje od 3. Naj bo I (m) = {0,1,2, ... ,m−1}. Sedaj lahko definiramo

V (Jk) = {ui,vi : i ∈ I (k)}∪{

w j : j ∈ I (2k)}

in

E (Jk) ={

uiui+1,uivi,w jw j+1 : i ∈ I (k) , j ∈ I (2k)}

∪{

viw j : i ≡ j(mod k), i ∈ I (k) , j ∈ I (2k)}

kjer je sestevek pri indeksu i modulo k in pri indeksu j modulo 2k.

Izrek 6.11. Jk je snark.

Dokaz. Predpostavimo, da je χ ′ (Jk) = 3 in vzemimo poljubno 3-barvanje tega

grafa. Sedaj si oglejmo izsek iz grafa Jk, ki ga prikazuje slika 6.17.

56


Slika 6.17: Izsek iz grafa Jk

Naj bo E (i) = {ui−1ui,wi−1wi,wi+k−1wi+k}, kjer so indeksi pri u modulo k

in indeksi pri w modulo 2k. Ker so povezave, ki so incidencne z vozlisci vi raz-

licne barve, ne moremo vseh povezav iz E (i) pobarvati z enako barvo. Reci-

mo, da sta dve izmed povezav v E (i) pobarvani enako in sicer, da so povezave

ui−1ui,wi−1wi,wi+k−1wi+k, v tem vrstnem redu, pobarvane z barvami (1,1,2). Ce

je sedaj povezava uivi pobarvana z barvo 2, potem mora biti povezava viwi po-

barvana z barvo 3 in posledicno povezava viwi+k z barvo 1. To nam da barvanje

(3,2,3), v tem vrstnem redu, za E (i+1) = {uiui+1,wiwi+1,wi+kwi+k+1}. Po drugi

strani, ce je povezava uivi pobarvana z barvo 3, pa dobimo za E (i+1) barvanje

(2,3,3).

S podobnim postopanjem ugotovimo, da nam poljubno barvanje tipa (1,1,2)

(s poljubnim vrstnim redom barv) za E (i) poda barvanje tipa (2,3,3) (v nekem

vrstnem redu) za E (i+1). Posledicno, mora biti E (i+2) pobarvan z barvami

(1,1,2), itd. Vendar pa je E (0) = E (k) in ker je k lih, bi to pomenilo, da so

povezave iz E (0) pobarvane z barvami (1,1,2) in (3,3,2). To protislovje pa nam

pove, da so vse povezave v E (i) pobarvane paroma razlicno.

Sedaj pa predpostavimo, da so povezave ui−1ui,wi−1wi,wi+k−1wi+k pobar-

vane z barvami (1,2,3), v tem vrstnem redu. Potem so povezave v E (i+1), po

vrsti, uiui+1,wiwi+1,wi+kwi+k+1, pobarvane ali z barvami (2,3,1) ali pa (3,1,2).

Opazimo, da so mozna barvanja za E (i+1) samo permutacije barvanja za E (i).

Zato ima E (k)(= E (0)) povezave pobarvane z neko permutacijo barv za E (0).

Vendar pa je E (k) transpozicija barvanja povezav v E(0).

57


To protislovje pa pomeni, da je χ ′ (Jk) = 4.

Poleg dveh zgoraj opisanih neskoncnih druzin snarkov, je Isaak odkril se dou-

ble star snark (slika 6.18), ki je nastal kot poskus konstrukcije nove (tretje) neskon-

cne druzine snarkov.

Slika 6.18: Double star snark

Skozi celotno poglavje smo se naslanjali na Petersenov graf in na njegove

posplositve, zakljucili pa ga bomo s Tutte-ovo domnevo. Razlog za to je dejstvo,

da vsak znan kubicni graf brez mostov, ki je razreda 2, “vsebuje” Petersenov graf,

Tutte pa je domneval, da je temu vedno tako (vec v [12]).

Domneva 6.12. Vsi snarki vsebujejo subdivizijo Petersenovega grafa P.

58


7 Sklep in nadalnje delo

Skozi diplomsko delo smo se srecali z mnogimi izreki in lastnostmi kro-

maticnega indeksa, ki pa so bili vseskozi omejeni samo na dolocene grafe ali

skupine grafov z dolocenimi lastnostmi. Torej z izjemo Vizingovega izreka, ki

velja v splosnem za poljuben (enostaven) graf, smo imeli pri ostalih izrekih opravka

le z grafi lihe stopnje ali s kriticnimi grafi. Kljub temu, da je na tem podrocju za

posamezne skupine ze veliko odkritega, pa ostaja dolocitev, ali spada dolocen graf

G v 1. razred ali v 2. razred, glede na njegov kromaticni indeks, NP-poln prob-

lem. Vsi do sedaj znani algoritmi za barvanje povezav poljubnega enostavnega

grafa imajo namrec eksponentno kompleksnost, saj so grajeni podobno kot dokaz

Vizingovega izreka, kot je opisan v diplomskem delu. Izboljsave kompleksnosti

obstajajo samo za omejene skupine grafov (vpeta drevesa, regularne grafe, ipd).

Ob proucevanju enostavnega grafa, podanega z matriko sosednosti, se samo-

umevno pojavi vzporednica, med prikazom barvanja povezav grafa v matriki in

popularno miselno igro Sudoku.

Pri miselni igri moramo stevilke od 1 do 9 razvrstiti v polje velikosti 9× 9

kvadratkov, tako da se vsaka stevilka pojavi samo enkrat v posamezni vrstici,

posameznem stolpcu in posameznih notranjih kvadratkih velikosti 3×3. Ce sedaj

potegnemo vzporednico z barvanjem povezav grafa oz. s prikazom le tega v ma-

triki sosednosti, bi to pomenilo, da nam posamezna stevilka predstavlja doloceno

barvo, ki se sme v posameznem stolpcu/vrstici v matriki pojaviti samo enkrat.

Seveda imamo na razpolago k+1 stevilk (kolikor je zgornja meja po Vizingovem

izreku za enostavne grafe), obenem pa strmimo k temu, da uporabimo samo k

barv (kolikor je spodnja meja po Vizingovem izreku za enostavne grafe). Ker je

matrika sosednosti enostavnega grafa simetricna, si z upostevanjem tega dejstva

lahko tudi zmanjsamo stevilo ponovitev prehodov skozi graf, saj lahko rezultate iz

zgornje trikotne matrike kar prepisujemo v spodnje trikotno matriko. Upostevajoc

ta dejstva pa lahko pridemo do algoritma v prilogi (priloge 1, 2 in 3).

Po vseh dosedanjih testiranjih na poljubnih grafih, je algoritem podal pravilno

vrednost kromaticnega indeksa za dani graf G. Vendar pa to se ni zadosten dokaz

tega, da dolocitev kromaticnega indeksa grafa ne bi bila NP-poln problem, je pa

dober korak v tej smeri.

59


60


8 Priloge

V prilogah so predstavljeni razredi algoritma za barvanje povezav grafa.

Algoritem sprejema vhodne podatke kot [“stevilo vozlisc” “koeficienti 0 in 1

iz matrike sosednosti”] (primer za poln graf na 3 vozliscih: 3 011101110). Iz

vhodnih podatkov nato sestavi matriko sosednosti, kje koeficiente 1 zamenja z

-1 (zaradi koherentnosti pri barvanju) in pricne s samim barvanjem. Barvanje

se izvaja od leve proti desni in od zgoraj navzdol in sicer tako, da algoritem po

vrsticah poisce nenicelni koeficient in mu dodeli (dovoljeno) barvo. Ker je matrika

simetricna, dejansko pregledujemo samo zgornjetrikotni del in koeficiente (barve)

istocasno vpisujemo v spodnjetrikotni del.

Rezultat algoritma je pobarvana matrika sosednosti danega grafa. Primer

rezultata za poln graf na treh vozliscih:

0 1 2

1 0 1

2 1 0

.

Priloga 1

1 p u b l i c c l a s s S t a r t {

2 p u b l i c s t a t i c vo id main ( S t r i n g [ ] a r g s ) {

3 S t r i n g N = a r g s [ 0 ] ;

4 S t r i n g povezave = a r g s [ 1 ] ;

5

6 Graf g r a f = new Graf (N, povezave ) ;

7

8 i f ( g r a f . p o b a r v l j i v ) {

9 B ar va n j ePov ezav mala r = new B arv a n j e Pove za v ( g r a f ) ;

10 System . o u t . p r i n t l n ( ” Graf ima k r o m a t i c n i i n d e x : ”+ mala r .

p o b a r v a j G r a f ( ) +” . ” ) ;

11 System . o u t . p r i n t l n ( ” Pobarvana m a t r i k a s o s e d n o s t i : ” ) ;

12 f o r ( i n t i = 0 ; i < g r a f . n ; i ++) {

13 System . o u t . p r i n t ( ”\n ” ) ;

14 f o r ( i n t j = 0 ; j < g r a f . n ; j ++) {

15 System . o u t . p r i n t ( g r a f . povezave [ i ] [ j ]+ ” ” ) ;

61


16 }

17 }

18 System . o u t . p r i n t l n ( ) ;

19 }

20 e l s e {

21 System . o u t . p r i n t l n ( ” Graf n i p o b a r v l j i v . ” ) ;

22 }

23 }

24 }

62


Priloga 2

1 p u b l i c c l a s s Graf {

2 i n t [ ] [ ] povezave ;

3 i n t n ;

4 i n t maxStopnja = 0 ;

5 boolean p o b a r v l j i v = t rue ;

6

7 i n t n o v o P r v o V o z l i s c e = 0 ;

8

9 S o r t e r s o r t ;

10

11 p u b l i c Graf ( S t r i n g STRn , S t r i n g STRpovezave ) {

12 n = I n t e g e r . p a r s e I n t ( STRn ) ;

13 povezave = new i n t [ t h i s . n ] [ t h i s . n ] ;

14

15 i f ( STRpovezave . l e n g t h ( ) != ( ( t h i s . n ) ∗ ( t h i s . n ) ) ) {

16 t h i s . p o b a r v l j i v = f a l s e ;

17 System . o u t . p r i n t l n ( ” Vnesena m a t r i k a s o s e d n o s t i n i p r a v e

v e l i k o s t i . ” ) ;

18 System . o u t . p r i n t l n ( ” P r i c a k o v a n a v e l i k o s t : ” +( t h i s . n ) ∗ ( t h i s

. n ) ) ;

19 System . o u t . p r i n t l n ( ” Vnesena v e l i k o s t : ”+STRpovezave . l e n g t h

( ) ) ;

20 re turn ;

21 }

22 s o r t = new S o r t e r ( STRpovezave ) ;

23 s o r t . s o r t ( ) ;

24 t h i s . povezave = s o r t . m a t r i k a ;

25

26 maxStopnja = t h i s . maxStopnja ( ) ;

27 t h i s . j e P o b a r v l j i v ( ) ;

28 }

29

30 p r i v a t e vo id j e P o b a r v l j i v ( ) {

31 i f ( t h i s . p o b a r v l j i v ) {

32 f o r ( i n t i = 0 ; i < n ; i ++) {

33 i f ( t h i s . povezave [ i ] [ i ] != 0 ) {

34 System . o u t . p r i n t l n ( ”V g r a f u o b s t a j a zanka . ” ) ;

63



36 re turn ;

37 }

38 f o r ( i n t j = i ; j < n ; j ++) {

39 i f ( povezave [ i ] [ j ] != povezave [ j ] [ i ] ) {

40 System . o u t . p r i n t l n ( ” M a t r i k a s o s e d n o s t i n i s i m e t r i c n a

. ” ) ;


42 re turn ;

43 }

44 }

45 }

46 }

47 }

48

49 p r i v a t e i n t maxStopnja ( ) {

50 i n t max = 0 ;

51 f o r ( i n t i = 0 ; i < t h i s . n ; i ++) {

52 i n t tmpMax = s t o p n j a V o z l i s c a ( i ) ;

53 i f ( tmpMax > max ) {

54 max = tmpMax ;

55 }

56 }

57 re turn max ;

58 }

59

60 p r i v a t e i n t s t o p n j a V o z l i s c a ( i n t x ) {

61 i n t s t o p n j a = 0 ;

62 f o r ( i n t i = 0 ; i < n ; i ++) {

63 s t o p n j a += povezave [ x ] [ i ] ;

64 }

65 re turn −1∗ s t o p n j a ;

66 }

67 }

64


Priloga 3

1 p u b l i c c l a s s S o r t e r {

2 S t r i n g i n p u t ;

3 i n t n ;

4 i n t [ ] [ ] m a t r i k a ;

5

6 p u b l i c S o r t e r ( S t r i n g i n ) {

7 i n p u t = i n ;

8 n = ( i n t ) Math . s q r t ( i n p u t . l e n g t h ( ) ) ;

9 m a t r i k a = new i n t [ n ] [ n ] ;

10

11 f o r ( i n t i = 0 ; i < n ; i ++) {

12 f o r ( i n t j = 0 ; j < n ; j ++) {

13 char x = i n p u t . ch a r A t ( ( i ∗n ) + j ) ;

14 i f ( x == ’ 0 ’ ) {

15 t h i s . m a t r i k a [ i ] [ j ] = 0 ;

16 }

17 e l s e i f ( x == ’ 1 ’ ) {

18 t h i s . m a t r i k a [ i ] [ j ] = −1;

19 }

20 }

21 }

22 }

23

24 p u b l i c vo id s o r t ( ) {

25 f o r ( i n t i = 0 ; i < n ; i ++) {

26 f o r ( i n t j = i ; j < n ; j ++) {

27 i f ( s t o p n j a V o z l i s c a ( i ) < s t o p n j a V o z l i s c a ( j ) ) {

28 z a m e n j a j ( i , j ) ;

29 j = i ;

30 }

31 }

32 }

33 }

34

35 p r i v a t e i n t s t o p n j a V o z l i s c a ( i n t i n ) {

36 i n t s t o p n j a = 0 ;

37 f o r ( i n t i = 0 ; i < n ; i ++) {

65


38 s t o p n j a += m a t r i k a [ i n ] [ i ] ;

39 }

40 re turn −1∗ s t o p n j a ;

41 }

42

43 p r i v a t e vo id z a m e n j a j ( i n t x , i n t y ) {

44 f o r ( i n t i = 0 ; i < n ; i ++) {

45 i n t tmp = m a t r i k a [ x ] [ i ] ;

46 m a t r i k a [ x ] [ i ] = m a t r i k a [ y ] [ i ] ;

47 m a t r i k a [ y ] [ i ] = tmp ;

48 }

49 f o r ( i n t i = 0 ; i < n ; i ++) {

50 i n t tmp = m a t r i k a [ i ] [ x ] ;

51 m a t r i k a [ i ] [ x ] = m a t r i k a [ i ] [ y ] ;

52 m a t r i k a [ i ] [ y ] = tmp ;

53 }

54 }

55 }

66


Priloga 4

1 import j a v a . u t i l . A r r a y s ;

2 p u b l i c c l a s s B arva n j e Pove zav {

3 i n t b a r v a = 1 ;

4 i n t maxBarva ;

5 Graf G;

6

7 p u b l i c B arv an j ePove zav ( Graf g ) {

8 G = g ;

9 t h i s . maxBarva = G. maxStopnja ;

10 }

11

12 p u b l i c i n t p o b a r v a j G r a f ( ) {

13 boolean c ;

14 f o r ( i n t i = 0 ; i < G. n ; i ++) {

15 c = t rue ;

16 f o r ( i n t j = i ; j >= 0 ; j −−) {

17 i f (G. povezave [ i ] [ j ] != 0 ) {

18 t h i s . b a r v a = G. povezave [ i ] [ j ] + 1 ;

19 c = f a l s e ;

20 i f ( t h i s . b a r v a > t h i s . maxBarva ) {

21 t h i s . b a r v a = 1 ;

22 }

23 break ;

24 }

25 }

26 i f ( c ) {

27 t h i s . b a r v a = 1 ;

28 }

29 i n t s t a r t B a r v a = t h i s . b a r v a ;

30 boolean b = t rue ;

31 f o r ( i n t j = i ; j < G. n ; j ++) {

32 i f (G. povezave [ i ] [ j ] == −1) {

33 i n t x = 0 ;

34 whi le ( ! ( j e B a r v a D o p u s t n a ( i , j ) ) ) {

35 i f ( t h i s . b a r v a +1 > t h i s . maxBarva ) {

36 i f ( b ) {

37 t h i s . b a r v a = s t a r t B a r v a ;

67


38 b = f a l s e ;

39 }

40 e l s e {

41 t h i s . b a r v a = 1 ;

42 }

43 }

44 e l s e {

45 t h i s . b a r v a ++;

46 }

47 i f ( x > 2∗ t h i s . maxBarva ) {

48 i f ( v s e D o S e d a j O b s t a j a j o ( i , j ) ) {

49 i n t [ ] k a n d i d a t i = g e n K a n d i d a t i ( i , j ) ;

50 boolean f l a g = t rue ;

51 i n t i n d e x K a n d i d a t a = 0 ;

52 f o r ( i n t k = 0 ; k < k a n d i d a t i . l e n g t h ; k ++) {

53 i f ( ! manjkajocaBarvaVVseh ( k a n d i d a t i [ k ] , i , j ) )

{

54 f l a g = f a l s e ;

55 i n d e x K a n d i d a t a = k ;

56 break ;

57 }

58 }

59 i f ( f l a g ) {

60 t h i s . maxBarva ++;

61 t h i s . b a r v a = t h i s . maxBarva ;

62 }

63 e l s e {

64 f o r ( i n t k = i n d e x K a n d i d a t a ; k < k a n d i d a t i .

l e n g t h ; k ++) {

65 i n t s t o l p e c = sto lpecKjerManjkaBarvaMaxMozna

( k a n d i d a t i [ k ] , i , j ) ;

66 i f ( s t o l p e c != −1) {

67 t h i s . b a r v a = G. povezave [ i ] [ s t o l p e c ] ;

68 G. povezave [ i ] [ s t o l p e c ] = k a n d i d a t i [ k ] ;

69 G. povezave [ s t o l p e c ] [ i ] = k a n d i d a t i [ k ] ;

70 break ;

71 }

72 e l s e {

73 boolean imamoLegalnoB = f a l s e ;

68


74 f o r ( i n t m = k a n d i d a t i . l e n g t h −1;m >= 0 ;m−−)

{

75 f o r ( i n t l = 0 ; l < j ; l ++) {

76 i n t [ ] [ ] m a t r i k a = p r e n e s i P o V r e d n o s t i (G

. povezave ) ;

77 i n t [ ] [ ] spremembe = p r e n e s i P o V r e d n o s t i

(G. povezave ) ;

78 i f ( m a t r i k a [ i ] [ l ] != 0 ) {

79 i n t drugaBarva = m a t r i k a [ i ] [ l ] ;

80 i n t indexV = i ;

81 i n t i ndexS = j ;

82 m a t r i k a [ i ] [ j ] = m a t r i k a [ i ] [ l ] ;

83 spremembe [ i ] [ j ] = −2;

84 m a t r i k a [ i ] [ l ] = k a n d i d a t i [m] ;

85 spremembe [ i ] [ l ] = −2;

86 m a t r i k a [ j ] [ i ] = m a t r i k a [ i ] [ j ] ;

87 spremembe [ j ] [ i ] = −2;

88 m a t r i k a [ l ] [ i ] = k a n d i d a t i [m] ;

89 spremembe [ l ] [ i ] = −2;

90 boolean c ik l amo = f a l s e ;

91 whi le ( ! l e g a l n o B a r v a n j e ( m a t r i k a ,

indexS , indexV ) ) {

92 i n t k o n f l i k t n i I n d e x S =

n a j d i S t o l p e c ( indexV , indexS ) ;

93 i f ( spremembe [ indexS ] [

k o n f l i k t n i I n d e x S ] == −2) {

94 c ik l amo = t rue ;

95 break ;

96 }

97 e l s e {

98 i f ( m a t r i k a [ indexS ] [

k o n f l i k t n i I n d e x S ] ==

k a n d i d a t i [m] ) {

99 m a t r i k a [ indexS ] [

k o n f l i k t n i I n d e x S ] =

drugaBarva ;

100 m a t r i k a [ k o n f l i k t n i I n d e x S ] [

indexS ] = drugaBarva ;

101 }

69


102 e l s e {

103 m a t r i k a [ indexS ] [

k o n f l i k t n i I n d e x S ] =

k a n d i d a t i [m] ;

104 m a t r i k a [ k o n f l i k t n i I n d e x S ] [

indexS ] = k a n d i d a t i [m] ;

105 }

106 spremembe [ indexS ] [

k o n f l i k t n i I n d e x S ] = −2;

107 spremembe [ k o n f l i k t n i I n d e x S ] [

indexS ] = −2;

108 indexS = indexV ;

109 indexV = k o n f l i k t n i I n d e x S ;

110 }

111 }

112 i f ( ! c ik l amo ) {

113 G. povezave = m a t r i k a ;

114 t h i s . b a r v a = m a t r i k a [ i ] [ j ] ;

115 G. povezave [ i ] [ j ] = −1;

116 imamoLegalnoB = t rue ;

117 break ;

118 }

119 }

120 }

121 i f ( imamoLegalnoB ) {

122 break ;

123 }

124 }

125 i f ( ! imamoLegalnoB ) {

126 System . o u t . p r i n t l n ( ” Gra fa z a l ne znam

p o b a r v a t i : ( ” ) ;

127 re turn 0 ;

128 }

129 }

130 }

131 }

132 }

133 e l s e {

134 i n t [ ] k a n d i d a t i = g e n K a n d i d a t i ( i , j ) ;

70


135 boolean f l a g = t rue ;

136 f o r ( i n t k = 0 ; k < k a n d i d a t i . l e n g t h ; k ++) {

137 i n t s t o l p e c = s t o l p e c K j e r M a n j k a B a r v a ( k a n d i d a t i

[ k ] , i , j ) ;

138 i f ( s t o l p e c != −1) {

139 t h i s . b a r v a = G. povezave [ i ] [ s t o l p e c ] ;

140 G. povezave [ i ] [ s t o l p e c ] = k a n d i d a t i [ k ] ;

141 G. povezave [ s t o l p e c ] [ i ] = k a n d i d a t i [ k ] ;

142 f l a g = f a l s e ;

143 break ;

144 }

145 }

146 i f ( f l a g ) {

147 boolean imamoLegalnoB = f a l s e ;

148 f o r ( i n t k = k a n d i d a t i . l e n g t h −1;k >= 0 ; k−−) {

149 f o r ( i n t l = 0 ; l < j ; l ++) {

150 i n t [ ] [ ] m a t r i k a = p r e n e s i P o V r e d n o s t i (G.

povezave ) ;

151 i n t [ ] [ ] spremembe = p r e n e s i P o V r e d n o s t i (G.

povezave ) ;

152 i f ( m a t r i k a [ i ] [ l ] != 0 ) {

153 i n t drugaBarva = m a t r i k a [ i ] [ l ] ;

154 i n t indexV = i ;

155 i n t i ndexS = j ;

156 m a t r i k a [ i ] [ j ] = m a t r i k a [ i ] [ l ] ;

157 spremembe [ i ] [ j ] = −2;

158 m a t r i k a [ i ] [ l ] = k a n d i d a t i [ k ] ;

159 spremembe [ i ] [ l ] = −2;

160 m a t r i k a [ j ] [ i ] = m a t r i k a [ i ] [ j ] ;

161 spremembe [ j ] [ i ] = −2;

162 m a t r i k a [ l ] [ i ] = k a n d i d a t i [ k ] ;

163 spremembe [ l ] [ i ] = −2;

164 boolean c ik l amo = f a l s e ;

165 whi le ( ! l e g a l n o B a r v a n j e ( m a t r i k a , indexS ,

indexV ) ) {

166 i n t k o n f l i k t n i I n d e x S = n a j d i S t o l p e c (

indexV , indexS ) ;

167 i f ( spremembe [ indexS ] [ k o n f l i k t n i I n d e x S ]

== −2) {

71


168 c ik l amo = t rue ;

169 break ;

170 }

171 e l s e {

172 i f ( m a t r i k a [ indexS ] [ k o n f l i k t n i I n d e x S ]

== k a n d i d a t i [ k ] ) {

173 m a t r i k a [ indexS ] [ k o n f l i k t n i I n d e x S ]

= drugaBarva ;

174 m a t r i k a [ k o n f l i k t n i I n d e x S ] [ indexS ]

= drugaBarva ;

175 }

176 e l s e {

177 m a t r i k a [ indexS ] [ k o n f l i k t n i I n d e x S ]

= k a n d i d a t i [ k ] ;

178 m a t r i k a [ k o n f l i k t n i I n d e x S ] [ indexS ]

= k a n d i d a t i [ k ] ;

179 }

180 spremembe [ indexS ] [ k o n f l i k t n i I n d e x S ]

= −2;

181 spremembe [ k o n f l i k t n i I n d e x S ] [ indexS ]

= −2;

182 indexS = indexV ;

183 indexV = k o n f l i k t n i I n d e x S ;

184 }

185 }

186 i f ( ! c ik l amo ) {

187 G. povezave = m a t r i k a ;

188 t h i s . b a r v a = m a t r i k a [ i ] [ j ] ;

189 G. povezave [ i ] [ j ] = −1;

190 imamoLegalnoB = t rue ;

191 break ;

192 }

193 }

194 }

195 i f ( imamoLegalnoB ) {

196 break ;

197 }

198 }

199 i f ( ! imamoLegalnoB ) {

72


200 System . o u t . p r i n t l n ( ” Gra fa z a l ne znam

p o b a r v a t i : ( ” ) ;

201 re turn 0 ;

202 }

203 }

204 }

205 }

206 x ++;

207 }

208 G. povezave [ i ] [ j ] = t h i s . b a r v a ;

209 G. povezave [ j ] [ i ] = t h i s . b a r v a ;

210 }

211 }

212 }

213 re turn t h i s . maxBarva ;

214 }

215

216 p u b l i c boolean j e B a r v a D o p u s t n a ( i n t x , i n t y ) {

217 f o r ( i n t i = 0 ; i < G. n ; i ++) {

218 i f ( i == y | | i == x ) {

219 c o n t in u e ;

220 }

221 e l s e {

222 i f (G. povezave [ x ] [ i ] == t h i s . b a r v a ) {

223 re turn f a l s e ;

224 }

225 i f (G. povezave [ i ] [ y ] == t h i s . b a r v a ) {


227 }

228 }

229 }

230 re turn true ;

231 }

232

233 p r i v a t e i n t [ ] g e n K a n d i d a t i ( i n t i , i n t j ) {

234 i n t [ ] b a r v e = new i n t [ maxBarva ] ;

235 f o r ( i n t k = 0 ; k < maxBarva ; k ++) {

236 b a r v e [ k ] = k +1;

237 }

73


238 f o r ( i n t k = j −1;k>=0;k−−) {

239 i f (G. povezave [ i ] [ k ] != 0 ) {

240 b a r v e [ (G. povezave [ i ] [ k ]−1) ] = G. n +10;

241 }

242 }

243 Ar ra y s . s o r t ( b a r v e ) ;

244 i n t s tK = s t K a n d i d a t o v ( b a r v e ) ;

245 i n t [ ] kan = new i n t [ s tK ] ;

246 f o r ( i n t k = 0 ; k < s tK ; k ++) {

247 kan [ k ] = b a r v e [ k ] ;

248 }

249 re turn kan ;

250 }

251

252 p r i v a t e boolean manjkajocaBarvaVVseh ( i n t b , i n t i , i n t j ) {

253 f o r ( i n t k = j −1;k >= 0 ; k−−) {

254 i f (G. povezave [ i ] [ k ] != 0 ) {

255 i f ( ! p r e v e r i S t o l p e c ( k , b ) ) {


257 }

258 }

259 }

260 re turn true ;

261 }

262

263 p r i v a t e boolean v s e D o S e d a j O b s t a j a j o ( i n t i , i n t j ) {

264 f o r ( i n t k = j ; k >= 0 ; k−−) {

265 i f ( t h i s .G . povezave [ i ] [ k ] == 0 && k != i ) {


267 }

268 }

269 re turn true ;

270 }

271

272 p r i v a t e boolean p r e v e r i S t o l p e c ( i n t j , i n t b a r v a ) {

273 f o r ( i n t i = 0 ; i < G. n ; i ++) {

274 i f (G. povezave [ i ] [ j ] == b a r v a ) {

275 re turn true ;

276 }

74


277 }


279 }

280

281 p r i v a t e i n t s t o l p e c K j e r M a n j k a B a r v a ( i n t b , i n t i , i n t j ) {

282 f o r ( i n t k = 0 ; k < j ; k ++) {

283 i f (G. povezave [ i ] [ k ] != 0 ) {


285 i f ( j e K a n d i d a t D o p u s t e n (G. povezave [ i ] [ k ] , i , j ) )

286 re turn k ;

287 }

288 }

289 }

290 re turn −1;

291 }

292

293 p r i v a t e i n t s to lpecKjerManjkaBarvaMaxMozna ( i n t b , i n t i , i n t j )

{

294 i n t maxK = 0 ;

295 i n t i n d e x = 0 ;

296 f o r ( i n t k = 0 ; k < j ; k ++) {

297 i f (G. povezave [ i ] [ k ] != 0 ) {


299 i f ( j e K a n d i d a t D o p u s t e n (G. povezave [ i ] [ k ] , i , j ) )

300 i f (G. povezave [ i ] [ k ] > maxK) {

301 maxK = G. povezave [ i ] [ k ] ;

302 i n d e x = k ;

303 }

304 }

305 }

306 }

307 re turn i n d e x ;

308 }

309

310 p r i v a t e boolean j e K a n d i d a t D o p u s t e n ( i n t kan , i n t i , i n t j ) {

311 f o r ( i n t k = 0 ; k < i ; k ++) {

312 i f (G. povezave [ k ] [ j ] == kan ) {


314 }

75


315 }

316 re turn true ;

317 }

318

319 p r i v a t e i n t s t K a n d i d a t o v ( i n t [ ] kan ) {

320 f o r ( i n t k = 0 ; k < kan . l e n g t h ; k ++) {

321 i f ( kan [ k ] == G. n +10) {

322 re turn k ;

323 }

324 }

325 re turn kan . l e n g t h ;

326 }

327

328 p r i v a t e i n t n a j d i S t o l p e c ( i n t i , i n t z j ) {

329 i n t x = 0 ;

330 f o r ( i n t k = 0 ; k < G. n ; k ++) {

331 i f (G. povezave [ i ] [ k ] == G. povezave [ i ] [ z j ] && k != z j ) {

332 re turn x ;

333 }

334 }

335 re turn x ;

336 }

337

338 p r i v a t e boolean l e g a l n o B a r v a n j e ( i n t [ ] [ ] mat , i n t i , i n t j ) {

339 i n t b = mat [ i ] [ j ] ;

340 i n t c = 0 ;

341 f o r ( i n t k = 0 ; k < G. n ; k ++) {

342 i f ( mat [ i ] [ k ] == b ) {

343 c ++;

344 i f ( c > 1) {


346 }

347 }

348 }

349 re turn true ;

350 }

351

352 p r i v a t e i n t [ ] [ ] p r e n e s i P o V r e d n o s t i ( i n t [ ] [ ] mat ) {

353 i n t [ ] [ ] x = new i n t [ mat . l e n g t h ] [ mat . l e n g t h ] ;

76


354 f o r ( i n t i = 0 ; i < mat . l e n g t h ; i ++) {

355 f o r ( i n t j = 0 ; j < mat . l e n g t h ; j ++) {

356 x [ i ] [ j ] = mat [ i ] [ j ] ;

357 }

358 }

359 re turn x ;

360 }

361 }

77


78


Literatura

[1] Andersen, L.D., On edge-colourings of non simple graphs. Preprint series,

1976, st. 21.

[2] Berge, C. Graphs and Hypergraphs. Amsterdam: North-Holland, 1973.

[3] Biggs, N.L., Lloyd, E.K. in Wilson, R.J. Graph Theory 1736 - 1936. Oxford:

Oxford university press, 1976.

[4] Bondy, J.A. in Murty, U.S.R. Graph Theory. New York: Springer, 2008.

[5] Castagna, F. in Prins, G. Every generalized Petersen graph has Tait colour-

ing. Pacific Journal of Mathematics, 1972, st. 40, str. 53-58.

[6] Fiorini, S. in Wilson, R.J. Edge-colourings of graphs. London: Pitman,

1977.

[7] Harary, F. Graph Theory. Reading, Massachussets: Addison-Wensley, 1969.

[8] Holton, D.A. in Sheehan, J. The Petersen Graph. Cambridge: Cambridge

university press, 1993.

[9] Hoyler, I. The NP-Completeness of Edge-Colouring. SIAM J. Computing,

1981, izdaja 4, st. 10, str. 718-720.

[10] Kempe, A.B. On the geographical problem of four colours. American Jour-

nal of Mathematics, 1879, st. 2, str. 193-200.

[11] Schrijver, A. Combinatorial optimization. Berlin Heidelberg: Springer - Ver-

lag, 2003.

[12] Seymour, P.D. On multi-colorings of cubic graphs and conjecture of Fulk-

erson and Tutte. Procedings of the London Mathematical Society, 1979, st.

S3-38(3), str. 423-460.

[13] Tait, P.G. Remarks on the colouring of maps. Proceedings of the Royal So-

ciety of Edinburgh, 1880, st. 10, str. 501-503.

79

Documents

UNIVERZA NA PRIMORSKEM PEDAGO SKA FAKULTETA … · PEDAGO SKA FAKULTETA KOPERˇ Matematika in ra cunalniˇ ˇstvo VIZINGOV IZREK IN SNARKI DIPLOMSKO DELO Mentor: Kandidat: doc. dr