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dem Gesamtstoffe notwendig wird. Der Te~t wurde sorgf~iltig durehgesehen und an vielen Stellen au~[iihrlicher gehalten. Von grSl~eren Zus~t.zen seien e:rw~hn~t die Verbe~semng der Beweis[iihrung bei tier Abh~ngigl~eit der Infegrale einev gewShnlichen Differentialgleichung erstev 0rdnung yon den Anf~ngs:oedingun~en, dio Verwendung tier E u 1 e r - C a u c h y schen Polygenmet.hede zum Nachweis d er Existe~z der Integrale einer solchen Differentialgleiehung, ohne Voraus- setzung der L i p s c h i t z - Bedingung, die Erweiterung des. Paragraphen iiber die Ver~eilung der singul~ive.n 8tellen s olcher Diffe,ren~,ialg~e.ichungen s'owie die Dar- stellung tier Untersuchungen yen P e i n e a r ~ und L i n d e 1 5 f iib er das Ver- halten tier Int, egrale selcher Differ'eni~ialgleichunge~ in der Umg~ebung einer sin~liiren Stelle im komplexen Gebiet, ferner die EntwidKlung der asymptoti- sehen Dars~elhng der Eigenwerte and Eigenfunkt,ionen einer speziellen linea ren hom0genen Differe,ntiMgleiehung zweii~er 0rdnung, di~ Theeri(~ der Systevae gewShnlieher line~rer Different.ialgleictmngen erster 0rdnung re.it kens~a~ten Koeffizi, enten unter Verwe~ldung des symbolische~ Rechne~s mit Different~iM- operateren, die Ausfiihrung zweier Konvergenzbe~eise im Kapit,el iiber partielle Differe~tialgleichunge~ zweiter 0rdnung. Ganz umgesehriebe,n wurde das Kapitel tiber part.ielle Diffeventialgleiehungen erster Ordnung. Bei eineT niiehsien Auf- lage wird es wehl mSglich s e~n, eine Reihe ven iibersehenen Druekfehlern richtig- zustellen. Eine wei~e Verbreitung diirff,e dem anregend gesehriebenen Buehe sieher sein, um se mehr, als ein modernes Lehrbueh i~hnlicher Riehtnng b,isher fehli~e. Es finde~ eine erganische Erg~nzung dutch das in derselben Sammlung erschienene Werk yon R. C o u r a n ~ und D. It i 1 b e r t,, Me~heden der m atbe- matischen Phys~k, yon dera bi~her nut der 1. Band erschiene~ ist. J. Lense.

H. Falekenberg, Eleme~taxe Reihenlehrv. Sammlung G(ischen, Bd. 943. Bei 4~ Gruyter & Ce., Berlin and Leipzig. RM 1,50.

Tretz des gerin~en Umfange,s dieses Biichleins and tre~z der we nige~. Vorkenntn,isse, die es yon se~nem Leser erforder~, mut~ es als~ eine gelun~e~e Einfiihrung in die elementare Reihenlehre beze.iehne~ werden, die nirgends die gewiinschte S~renge vermissen li~l~t. Naeh Erledigung der Konvergenzkriterien und der Reeheng~ese4,ze der unendliche~ Reihen werden die wieht~igs~en S'fitze der Pet,enzr~ihen im Re ellen gebrach~; zal~lreiche Bei,spie~e zeigen die Ve,rwend- barkeit der gewonnenen Kriterien. K. Brauner.

F. Lindemann, Untersuehnngen fiber den letzten Ferm~tschen Satz. Mtin- cben 1928.

Der Verfasser versuch~ mi~ el,ement~ren Mi~teln, die Behauptung F e r- m a ~ s zu be.we~s,en, daft die Gleichung x~ : y~ - { - z , in ganzen, yon Null ver- schiedenen Zahlen x, y, z, nieht 15sb~r ist, wenn n eine unge~'ude Primza.hl be- deui~et. Le4der iss d,er Versueh nicht gelungen. Der Verfa~ev unterscheide~, wie iiblicb, die beid~n F~lle, da~ keine oder dal~ eine der Zahlen x, y, z dutch n teilb~r is~. D~ die Erl.e~igung eines de~ beiden F~lle beveif~s einen wesentliche~ Fortschrit~ bedeuten wiirde, sind sie einzeln zu priifen.

Der Beweis des ersfe~ Fables s~iitz~ sich uuf e ine Idenf.it~ (T) auf S. 4, die unriehi~ig ist; es fehl~ darin e~ne Summe. Der Verfas~ser fiih:rt dann weite,r zw, ei Zahle,n Tu~ und Tsr ein, yon denen er behuupte~, dul~ sie nieht durch n teilb~r se~e,n. Im F a l i e n - - 3, der an keiner St elle ausges'chloss,en ist, wird aber T~---- 3; duher is~ die Behauptung des Verfassers nieht allgemein richf.ig. Der Beweis des ersSen Teiles e~th~ilt also Liicke~a. Die Feststellung, ob sie be- s, ei~ig~ werdem kiJnnen, mSge dera Verf~s,ser iiberlas,se~ bleiben.

Im zweiten Falle w ird an~enommen, daft z durch n teilbar is~, und ge,se~zt:

(1) x ~-- qn -~ a na, y == p n - - a na, z = nm Z~ Z ~ C (n).

Ferner wird ~e,setzt:

(2) xn--~ : 1 dr- n~, yn-~ ~__ l -~- nat,, x - - y : b n ~ .

(3) p',(~--~) ---- 1 ~ n ~ + ~ ~:, q.('~--~) ----1 -}- n~ + Uc, p . - - q . ----c~v,

Literaturberichte. 63

wobei mindestens eine dar Zahle~ 0, n and eina der Zahlen T, k nicht durch n teilbar sein sell. Es wird dann angenommen, da~ E nieht durch n teilbar is~, was ges~atte~ is~.. Da~egen k~nn dean nicht mehr willktirli~h aagaaommea werden, welehe tier beiden Zahlen T, /c zu n relativ prim is~. Es folgt nun

n ~ - ~ = 1 + n ~ ~ q.(~--~) - - 1 + n~ + 1 Ic (n~).

Daraus wird ftir ~ > ,~ + 1 gaschloss:en, dal~ ? + 1 = ~ sain mul l Di~ser Schlul~ iss offanbar nur ges*atte~, wean K zu n r~laLiv prim is*, was nicht Mlge~nedn ange~wmmea we~de~n kann. Es enthfilt also auch dar Beweis des zwei*en Fall.as e~na Liicke. Fw.

A. Herrmann, Das Delisehe Problem. Mathem.-Physik. Bibliothek, Bd. 68. Bei Teubner, Leipzig und Berlin. RM 1,20.

Nach ainem kurzan his~or~schen ~3berb.lick werdan in die,se~n Biichleia die algebraischea Grundlagea, die fiir des Var~t~adnis dieses Problems notwendig sind, gegeban und sodaan ~olgt aus der Ftille der b,ak~nnt,e~ Kanstruktionen der Dreiteilung das Winkers und des Delischen Problems eine Reihe ausge~ahl- ter, um endlich die Unlbsbarkait dieter b e~de~ Probleme mit Zirkel und Lineal zu beweisen. Zum Sehlusse folg~ noch ein kurzer Abschnit, t fiber die re,gelmii.l~i~en Vialecke und die Quadratur des Kre~ses. Alle~l Nichtmat.hamatikera, di,e Inter- esse iiir mat.hematische Probleme zeige~, sai di,esas Buch w~Li~ns~ea~ empfohlen.

K. Brauner.

R. Kommerell, Aufgabea zur synthetischen Geometrie. Bei Teubner, Leip- zig und Bertin 1925. RM 6,40.

~ahr ale der Titel diasas Buches v.ars~rioh~, g~b~ es deal Leser. Die den einzelnon Aufgaben b eigegebenan Lbsungen vermbgen nichb nur den aufmark- semen Leser zum selbs$~ndigen geometrischen Denken zu erziehen; sondarn v~galL ihn auch vielfach zur eiganea Arbai~ an.

Was den Inha.l~ diases Buches bet.rifft, so en~h~lt e,s aul~e.r den Attfgaben iibar pro~ekt~ve Beziehunge~l dar Glamdt~ebilde erste~r und hbharer S~ufe,, sowie der Kegelschn,iV~o und Fl~che,n zweffer 0rdnung, aueh einen Abschnit~ tiber ~ine Re,he yon Aufgabaa der Rage~fl~iche.n dritter Ordnung. K. Brauner.

O. Th. Biirklen, Mathematischa Formensammluag. Neuausgaba yon Dok• F. R i a g 1 o b. Sammlung Gbschen. Be~ de Gruyt, er & Co., Leipzig und Ber- lin 1927. RM 1,50.

Dieso vollstEndig umgearbaiteba Neuausgabe des Buehes, zeiehne~ s ich nich~ nur dureh ihre~l grbl~eren Umfaag aus, sondern s~eht auch attf einem e~was modarneren Standpunkte, Ms as bei de~ friiheren Auflaga der Fall war. So ist z. B. die Einfiihraag deq Ftml~ions- und Lim~s~egriff~s zu erw'~haen; dutch die Einfiihrtrng der ne~e.n Abschni• fiber Zahle~thaor~a, mathemas Geograph, ie und Astronomic sowie fiber Differe~l~iMgle~chungen dtirfta der Kr~is der V~rwendb~rkeit diesas Buehes sieh wesentlich vergr51~erl~ haben.

K. Brauner.

W. Lietzmann, t~ber die Benrtailung der Leis~ung~a in d~r Sehule. Ma~he~ ma~i~s~has - - Psycholog/schas - - P~dagogischas. Bei T:eabn~r, Le,ipzig 1927. RM 6,--.

Des Buch bietet vor allem dem Lahrar an Grund- und Mitt,elsehtflan wart,- volle Anregtm~, wail as zeig~, wie die mathelna~isehen ttilfe~nit~el in Form yon Diagrammen, Mit~albildungen, in dar Anwendung der Gaul~s~h,~a Ver~ilungs- funki~ion und der Korrela~ionslehre (Spearman- uad Pearson-Formet) in den Di~enst tier Beur~eilung yon Sahtilarleistungen ~astelll~ warden kbnnea. Die D~r- stellung ist e~ne ~beratts klara and aaregende, basonders in dev Behandlung der Ko*rvela~ion srechntmg. Dintzl.