USMENI ISPIT IZ MATEMATIKE 2

Autori skripte: Kardaš Adnan 1-15 Enio Kaljić 16-27 Benjamin Kapetanović 28-40 Mario Kokoruš 40-45 Benjamin Kapetanović, Amar Trnka, Alija Jusić 45-51

1

1. Pojmovi metrike /udaljenosti (apstraktna formulacija), metričkog prostora, pseudometričkog prostora, semimetričkog prostora i ultrametričkog prostora.

2. Pojam diskretnog prostora.Važni primjeri metričkih prostora.

/* Jedina 2 primjera (vezana za metričke prostore) u toj lekciji su (valjda je na to mislio): */

2

3. Pojmovi udaljenosti tačke od skupa, udaljenosti između dva skupa,ograničenog (neograničenog) skupa, ograničenog (neograničenog) preslikavanja/funkcije (i, specijalno, ograničenog/neograničenog niza) i dijametra skupa u metričkom prostoru.

4. Pojmovi otvorene (zatvorene) kugle, unutrašnje tačke skupa, spoljašnje tačke skupa, granične (rubne) tačke skupa, izolovane tačke skupa, tačke gomilanja skupa, otvorenog skupa i zatvorenog skupa u metričkom prostoru.

/* Nisam mogo naći graničnu (rubnu tačku). Ostalo sam našo na petoj i šestoj stranici prvih predavanja, pa potrazite. */

3

5. Osnovna svojstva okolina tačke u metričkom prostoru.

/* Vezano za trece svojstvo: Ako nekog interesuje radi se o slijedecoj tvrdnji: */

6. Nizovi u metričkom prostoru (konvergentan niz, divergentan niz, Caucyjev niz). Potpun metrički prostor.

7. Pojmovi norme, normiranog prostora, Banachovog prostora, skalarnog proizvoda, ortogonalnosti, unitarnog/prethilbertovog prostora i Hilbertovog prostora. Schwarzova nejednakost.

4

8. Važni primjeri Banachovih prostora i Hilbertovih prostora . Pojam n – dimenzionalnog (realnog, odnosno kompleksnog) Euklidovog prostora. Cauchyjeva nejednakost.

/* Izraz 1.1.6 je dat u prethodnom pitanju. Posto je profesor naglasio da treba i realni i kompleksni Euklidov prostor, pretpostavljam da je razlika u definiciji skalarnog proizvoda (prethodno pitanje). Kad je skal. proiz. za realne brojeve onda je i Euklidov prostor realni ... PRETPOSTAVLJAM, nisam siguran. */

5

/* Valjda su to ti primjeri, nema drugih. */

9. Pojmovi i važni primjeri realne funkcije više realnih promjenljivih i vektorske funkcije više realnih promjenljivih .

6

10. Osnovna svojstva i predstavljanje funkcija više promjenljivih. Pojmovi nivo – linija (nivoskih linija) i nivo – površi (nivoskih površi).

7

11. Složene funkcije i elementarne funkcije više realnih promjenljivih. Primjeri inženjerskih funkcija više promjenljivih.

/* Nisam našao primjere! */

8

12. Granična vrijednost (simultana i uzastopna/ sukcesivna) funkcije s više realnih promjenljivih – pojam, osnovna svojstva i računanje pomoću transformacije koordinata.

/* Dio 1.3.1 su prethodne 2 definicije (ovaj zadatak). Nisam našao osnovna svojstva, a ako je

slijedeca slika transformacija koordinata, onda sam to našao, u suprotnom nisam ☺ */

9

13. Neprekidnost i uniformna/ravnomjerna neprekidnost funkcija dviju ili više promjenljivih.Lokalna i globalna svojstva neprekidnih funkcija više realnih promjenljivih.

10

/* Lokalna svojstva nisam našao */

14. Parcijalni izvodi/ parcijalne derivacije i parcijalni diferencijali .Geometrijska interpretacija parcijalnih derivacija.

11

15. Lagrangeova teorema za funkcije više promjenljivih.

/* Ima ovdje i viška stvari, pa proberite sebi. Ja sam se trudio da nađem što više. Međutim, ima i stvari koje fale, pa bih molio da pokušate pronaći. */

12

16.) Pojmovi diferencijabilnosti i totalnog diferencijala funkcija više promjenljivih . Potreban uslov diferencijabilnosti i dovoljan uslov diferencijabilnosti funkcija dviju ili više promjenljivih. Diferencijabilnost i totalni diferencijal:

17.) Primjene totalnog diferencijala u približnim računima. Primjene totalnog diferencijala u približnim računima:

13

18.) Parcijalni izvodi i diferencijali složenih funkcija. Eulerova teorema za homogene funkcije više promjenljivih. Invarijantnost forme totalnog diferencijala (prvog reda). Parcijalni izvodi i diferencijali složenih funkcija:

Invarijantnost forme totalnog diferencijala:

19.) Geometrijska interpretacija totalnog diferencijala. Jednačina tangentne ravni i jednačine normale na površ.. Jednačina tangentne ravni i površi:

14

20.) Izvod/derivacija funkcije u zadanom pravcu i gradijent funkcije. Hamiltonov operator nabla . Izvod/derivacija funkcije u zadanom pravcu i gradijent funkcije:

Hamiltonov operator nabla:

15

21.) Parcijalni izvodi i diferencijali drugog ili višeg reda realnih funkcija više realnih promjenljivih.. Parcijalni izvod drugog reda:

Parcijalni izvod višeg reda:

22.) Taylorova formula i MacLaurinova formula za funkcije dviju ili više promjenljivih. Taylorova i MacLaurinova formula:

(*) Taylorova formula; (**) ostatak u Lagrangeovom

Za a = 0 dobije se MacLaurinova formula.

16

23.) Ekstremne vrijednosti funkcija dviju ili više promjenljivih – Optimizacija I: Definicija lokalnog slobodnog ekstrema funkcija više promjenljivih, potreban uslov za postojanje lokalnih ekstrema (Fermatova teorema) funkcije više promjenljivih, kvadratne forme (pojam , klasifikacija i Silvesterov kriterijum), dovoljan uslov za lokalni ekstrem funkcija dviju ili više promjenljivih. Lokalni ekstremi:

Fermatova teorema:

Kvadratne forme:

17

Klasifikacija kvadratnih formi:

Sylvesterov kriterijum definitnosti kvadratnih formi:

Dovoljan uslov za lokalni ekstrem:

18

24.) Preslikavanje (funkcije) iz Rn u Rm, Jacobijan i regularno preslikavanje (regularne funkcije) – pojam i osnovna svojstva. Preslikavanje funkcije iz Rn u Rm:

Jacobijan:

19

Regularno preslikavanje:

25.) Vezani (uslovni) ekstremi funkcije više promjenljivih – Optimizacija II: Zadavanje krive i površi u implicitnoj formi, tačke u kojima postoje vezani ekstremi, kritične tačke, gradijent u kritičnoj tački, potreban uslov za lokalni vezani ekstrem funkcije (za lokalni ekstrem funkcije definirane na krivoj, na površi; Lagrangeovi multiplikatori). Vezani (uslovni) ekstremi funkcije više promjenjivih:

Traženje vezanog ekstrema:

20

26.) Apsolutni (globalni, totalni) ekstremi realnih funkcija dviju ili više realnih promjenljivih. Apsolutni ekstremi realnih funkcija dviju ili više promjenjivih:

27.) Obične diferencijalne jednačine prvog reda – Osnovni koncepti i ideje; opšti oblik diferencijalne jednačine prvog reda, njeno partikularno i opšte rješenje, geometrijsko razmatranje, polje smjerova i izokline, početni uslovi, Cauchyjev problem Obične diferencijalne jednačine prvog reda:

21

28. Osnovne diferencijalne jednačine prvog reda riješene po izvodu (sa separiranim/ razdvojenim promjenljivim, homogene, linearne, Bernoullijeva, Riccatijeva, egzaktna/totalnog diferencijala).Varijacija konstanti. (predavanje VI sedmica)

Diferencijalne jednačine prvog reda su:

I. Diferencijalna jednačine sa razdvojenim promjenljivim - ima oblik: y ' = f (x, y).

II. Homogena diferencijalna jednačina - ima oblik:

i ona se pomoću smjene y = x u, gdje je u nova nepoznata funkcija od x, transformira u diferencijalnu jednačinu sa razdvojenim promjenljivim. Možemo takođe primijeniti i

smjenu x = y u.

III. Linearna diferencijalna jednačina prvog reda - ima oblik:

IV. Bernoullijeva diferencijalna jednačina - ima oblik:

V. Riccatijeva diferencijalna jednačina - ima oblik:

22

VI. Diferencijalna jednačina totalnog diferencijala ima oblik

29. Osnovne diferencijalne jednačine prvog reda koje nisu riješene po izvodu (jednačine koje se rješavaju uvođenjem parametra, Lagrangeova jednačina, Clairautova jednačina).

(predavanje VI sedmica)

I. Lagrangeova diferencijalna jednačina ima oblik

II. Clairautova diferencijalna jednačina je specijalni oblik Lagrengeove diferencijalne jednačine i ima oblik:

23

30. Objašnjenje na konkretnim primjerima (po vlastitom izboru) opštih metoda za rješavanje homogenih i nehomogenih linearnih diferencijalnih jednačina drugog ili višeg reda. /* Pronaći primjere poslije */ 31. Objašnjenje na konkretnim primjerima (po sopstvenom izboru) osnovnih metoda za rješavanje sistema diferencijalnih jednačina (metoda eliminacije, matrična metoda i metoda prvih integrala), posebno sistema linearnih diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficijentima. /* Pronaći primjere poslije */ 32. Direktna i inverzna Laplaceova transformacija; pojmovi i osnovna svojstva originala (Laplaceovih funkcija), slika (transformat). (Predavanje X sedmica – prilicno jednostavno) Ova transformacija predstavlja jedan oblik funkcionalne integralne transformacije kojom se skupu funkcija koje zadovoljavaju određene uslove pridružuje drugi skup funkcija iz određenih praktičnih razloga. Integralnim transformacijama se u mnogim slučajevima može uprostiti rješavanje zadataka koje susrećemo u nekim oblastima nauke i tehnike. Opšti oblik integralne transformacije dat je izrazom

gdje je z komplesna promjenljiva, a t realna promjenljiva. Funkcija G (z, t) naziva se jezgrom transformacije, funkcija f (t) originalom, a funkcija F(z) slikom te transformacije.

Definicija 7.1.1. Neka je f (t) funkcija realne promjenljive koja je definirana za t ≥ 0. Laplaceovom transformacijom L se datoj funkciji pridružuje funkcija kompleksne promjenljive F(z) po formuli:

F(z) = ...

24

Podsjetimo se da se nesvojstveni integral na desnoj strani definira kao:

i, ako postoji navedena granična vrijednost, kaže se da integral konvergira. Obzirom da u definiciji funkcije F(z) učestvuje navedeni nesvojstveni integral, jasno je da je oblast definiranosti ove funkcije skup onih vrijednosti kompleksnog parametra z za koje dati integral konvergira. Ukoliko integral ne konvergira ni za jedno z kažemo da Laplaceova transformacija funkcije f (t) ne postoji. Tako npr., ne postoji Laplaceova transformacija funkcije

jer se može pokazati da

ne konvergira ni za jedno z. BITNO:

§7.1. Jednostrana Laplaceova transformacija Pretpostavimo da funkcija f (t) zadovoljava uvjete: a) f (t) definirana na intervalu [0, ∞), b) f (t) ima najviše konačno mnogo prekida prve vrste na svakom konačnom podintervalu intervala [0, ∞), c) f (t) je eksponencijalnog reda rasta, tj. postoji konstanta a∈R i pozitivna konstanta M tako da je za sve t > 0 ispunjeno

Tačna donja granica za koju vrijedi navedena nejednakost naziva se stepen rasta funkcije f (t). Za funkcije koje zadovoljavaju uvjete a), b) i c) reći ćemo da pripadaju klasi E(a) i pisati

f (t)∈E(a). Teorema 7.1.1. Neka funkcija f (t)∈E(a). Tada integral

konvergira za sve vrijednosti z za koje je Re z > a. Teorema 7.1.2. Ako funkcija f (t)∈E(a), tada je

analitička funkcija u oblasti Re z > a. Napomenimo da teoreme 5.1.1. i 5.1.2. ne daju maksimalnu oblast u kojoj je funkcija F(z) definirana i analitička. Drugim riječima, Laplaceova transformacija funkcije f (t)∈E(a) može postojati i biti analitička i u oblasti široj od one koju daju prethodne teoreme.

25 33. Osnovna svojstva Laplaceovih transformacija. Laplaceova transformacija izvoda i integrala. Neke osobine Laplace-ovih f-ja:

1) Osobina linearnosti

Neka je f1(t)∈E(a1), f2(t)∈E(a2) i neka je L [ f1(t)] = F1(z), Re z > a1, L [ f2(t)] = F2(z), Re z > a2. Tada je L [c1 f1(t) + c2 f2(t)] = L [c1 f1(t)] + L [c2 f2(t)] = c1 F1(z) + c2 F2(z), Re z > max{a1, a2}, gdje su c1 i c2 proizvoljne realne konstante.

2) Osobina skaliranja

Neka je f (t)∈E(a) i L [ f(t)] = F(z), Re z > a. Tada za b > 0 je

3) Osobina prigušenja

Neka je f (t)∈E(a) i L [ f (t)] = F(z), Re z > a. Tada je

4) Osobina pomaka Neka je f (t)∈E(a) i L [ f (t)] = F(z), Re z > a. Tada je

gdje je b > 0 i U(t – b) jedinična odskočna funkcija.

5) Osobina izvoda originala L [ f '(t)] = G(z) = z F(z) – f (0), Re(z) > a

L{ f(t) } = F(p) L{ f'(t) } = pF(p) – f(0) L{ f"(t) } = p2F(p) – pf(0) – f'(0) Gdje su f(0) i f'(0) početni uslovi.

6) Osobina integrala originala Neka je f (t)∈E(a), a > 0 i L [ f (t)] = F(z), Re z > a. Tada je

7) Osobina konvolucije

[ ] )0()0(...)0()0()()(L )1()2()1(21)( −−−− −−−−−= nnnnnn fzffzfzzFztf

azzzFdxxf

t

>=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∫ )Re(,)()(L0

120

120

2121 *)()()()(* ffdxxtfxfdxxtfxffftt

=−⋅=−⋅= ∫∫ [ ] [ ] [ ]

{ }11

212121

,max)Re(

)()()()(*

aaz

zFzFtfLtfLffL

>

⋅=⋅=

26

Inverzna Laplace-ova Transformacija

Neka je F(z) data funkcija kompleksne promjenljive. Ako postoji funkcija realne promjenljive f (t) tako da je L [ f (t)] = F(z) tada funkciju f (t) nazivamo inverznom Laplaceovom transformacijom funkcije F(z) i koristimo oznaku

Primjer: Načini nalaženja inverznih Laplasovih f-ja:

1) Nalaženje inverzne Laplaceove transformacije količnika P(z)/Q(z) (*) (*) se transformira u jedan od sljedecih oblika:

[ ] 11L11L 1 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⇔= −

zz

27

2) Nalaženje inverzne Laplaceove transformacije proizvoda F1(z) i F2(z).

34. Jedinična skok funkcija.Diracova impulsna funkcija. Periodičke funkcije. (§7.2. Laplaceova transformacija nekih funkcija, Predavanje X, str 2)

Periodičke:

o Trigonometrijske: iz tablice, znamo slicno kao:

28

35. Rješavanje diferencijalnih jednačina prvog ili višeg reda primjenom Laplaceove transformacije.

o Rješavanje Cauchyjevog problema za linearne diferencijalne jednačine n – tog reda sa konstantnim koeficijentima

X(z) = L [ x (t)], F(z) = L [ f (t)].

36. Primjene Laplaceove transformacije u rješavanju sistema diferencijalnih jednačina. o Rješavanje Cauchyjevog problema za sisteme linearnih diferencijalnih jednačina sa

konstantnim koeficijentima prvog i višeg reda 1. Primijeni se Laplace-ova transformacija na svaku od jednačina 2. Dobije se sistem algebarskih jednačina po transformacijama nepoznatih funkcija 3. Rješavanjem sistema i nalaženjem odgovarajućih inverznih Laplaceovih transformacija,

dobija se rješenje polaznog sistema u realnom domenu

37. Pojmovi trigonometrijskog reda (?) , Fourierovog reda i trigonometrijskog Fourierovog reda.

Eulerove formule (?). Funkcije s proizvoljnim periodom (?).

§8.2. Fourierovi redovi

/* Nisam uspio pronači «Pojmovi trigonometrijskog reda», «Eulerove formule» i «Funkcije s

proizvoljnim periodom» u raspoloživim materijalima */

⎪⎩

⎪⎨⎧

===

=++⋅⋅⋅++−−

−−

)1(0

)1(00

1)1(

1)(

0

)0(,...,')0(',)0(

),('nn

nnnn

xxxxxx

tfxaxaxaxa

( )( )

( ) )()()()(

)(

01

)2(0

)3(00

211

)1(0

)2(00

10

zFzXaxzzXaxzxxzzXza

xzxxzzXza

nn

nnnn

nnnn

=+−+⋅⋅⋅++−−⋅⋅⋅−−+

+−−⋅⋅⋅−−

−

−−−−

−−−

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==⇒=⇒ −−

)()()()(

)()()( 11

zNzBLzXLtx

zNzBzX

29

Trigonometrijski Fourierovi redovi Neka je funkcija f periodična sa osnovnim periodom T. Svakoj djelimično neprekidnoj funkciji f na posmatranom razmaku odgovara Fourierov red

koji se često naziva trigonometrijski Fourierov red. Brojevi an i bn se zovu Fourierovi koeficijenti

i određuju se pomoću sljedećih formula:

38. Razvoj funkcije (parne ili neparne na simetričnom intervalu) u nepotpuni Fourierov red.

Ako je segment [a, b] simetričan oko ishodišta, odnosno ako je

onda se u sljedeća dva slučaja računanje Fourierovih koeficijenata može znatno pojednostaviti:

1. ako je f (x) parna funkcija, tj. ako je f (– x ) = f (x), onda je

pa Fourierove koeficijente možemo računati na sljedeći način:

2. ako je f (x) neparna funkcija, tj. ako je f (– x ) = – f (x), onda vrijedi da je

pa Fourierove koeficijente možemo računati na sljedeći način:

30

39. Teoreme o egzistenciji Fourierovog reda (Dirichletov teorem i dr.), odnosno osnovni rezultati o konvergenciji Fourierovog reda funkcije f i njegova povezanost s funkcijom f , te veza trigonometrijskih redova s Fourierovim redovima (?).

Teoreme o egzistenciji: ☺ Slično kao i kod Taylorovog reda funkcije i ovdje se postavljaju dva pitanja: 1. Da li Fourierov red funkcije f (x) konvergira? 2. Ako Fourierov red konvergira u tački ka broju S(x), da li je onda S(x) = f (x), tj. da li konvergentan red predstavlja funkciju f ? Problematika sa konvergencijom opštih Fourierovih redova je jako opširna i na mnoga pitanja još uvijek nisu dati odgovori.

Pitanja 1. i 2. su riješeni Dirichletovom teoremom:

31

40a. Kompleksna forma Fourierovog trigonometrijskog reda. Fourierov integral kao granični slučaj Fourierovog reda. Fourierov integral za parne i neparne funkcije. Kompleksna forma Fourierovog integrala. Objašnjenje postupka predstavljanja funkcije Fourierovim integralom (?).

FOURIEROV RED

FOURIEROV INTEGRAL (Tutorijal Grupa6)

f(x) = dxxbxa )*sin()()*cos()( λλλλ +∫+∞

∞−

gdje je ∫+∞

∞−

= dtttfa )*cos()(1)( λπ

λ

∫+∞

∞−

= dtttfb )*sin()(1)( λπ

λ

Komplexna forma dvojnog Furierovog integrala: /* Warning:Nedostaje Objašnjenje postupka predstavljanja funkcije Fourierovim integralom */

klasični oblik

dtl

tntfl

b

dtl

tntfl

a

ltnb

ltnaatf

l

ln

l

ln

nnn

π

π

ππ

sin)(1

cos)(1

sincos2

)(1

0*

∫

∫

∑

−

−

∞

=

=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

alternativni oblik

),(

)(21

)(

llt

etfl

c

ectf

ltnil

ln

n

ltni

n

−∈

=

=

−

−

+∞

−∞=

∫

∑π

π

∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

−= dxexfdtf xti )()(21)( ωωπ

o Ako je f(x) parna:

∫∞

=0

)*cos()(2)( dtttfa λπ

λ

b(λ) = 0

o Ako je f(x) neparna: a(λ) = 0

∫∞

=0

)*sin()(2)( dtttfb λπ

λ F(jω) = ∫

+∞

∞−

− dtetf tjω)(

f(t) = ∫+∞

∞−

ωωπ

ω dejF tj)(21

32

40b. Kompleksna forma Fourierovog trigonometrijskog reda. Fourierov integral kao granični slučaj Fourierovog reda. Fourierov integral za parne i neparne funkcije.Kompleksna forma Fourierovog integrala. Objašnjenje postupka predstavljanja funkcije Fourierovim integralom. Furierov integral: Furierov integral za parnu funckiju: B(w) = 0; Furieronv integral za neparnu funkciju: A(w) = 0; Ostalo nisam nisam nasao a nemam ni knjige.. dao.. 41. Direktna i inverzna Fourierova transformacija; formule za Fourierovu transformaciju i inverznu Fourierovu transformaciju, veza između Laplaceove i Fourierove transformacije. Direktna Fourierova transformacija i formule

Inverzna Foutierova transformacija i formule

33

42a. Pojmovi i osnovna svojstva integrala po figuri, dvojnog integrala, trojnog integrala (i općenito) n – integrala i višestrukog Riemanovog integrala. Dvojni integral

Trojni integral

n – integral i višestruki Riemanovog integrala

34

42b.)

Granična vrijednost i

n

iin TfS µ

λλ∆= ∑

=→→

)(limlim100

integralne sume i

n

iin TfS µ∆= ∑

=

)(1

, za datu figuru Φ i

datu funkciju f (T) definiranu na Φ, pri uslovu da se svaka od elementarnih figura ∆Φ i

(i = 1, ..., n) steže u tačku (tj. λ → 0), ako postoji ta granična vrijednost i ako je konačna i nezavisna

od načina na koji je formirana integralna suma i

n

iin TfS µ∆= ∑

=

)(1

, naziva se integral po figuri Φ

skalarne funkcije f (T) i označava sa ∫Φ

µdTf )( . Dakle je:

i

n

iiTfdTf µµ

λ∆= ∑∫

=→

Φ

)(lim)(10

Neka je Φ = D oblast u R2. Mjeru ∆µ i elementarne figure ∆Φ i označimo sa ∆S i ( i = n,1 ), a maksimalni dijametar sa λ. Integralana suma za funkciju f datu sa

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⊂⊂⊂

==OxzDakozxfOyzDakozyfOxyDakoyxf

xxfTf),,(),,(),,(

),()( 21

ima oblik ∑∑==

∆=∆=n

ii

iii

n

iin SxxfTfS

1

)(2

)(1

1

),()( µ . Njenu graničnu vrijednost pri uslovu λ → 0 (ako

postoji) nazivamo dvojni integral (u Riemannovom smislu) funkcije f (T) = f (x1, x2) po oblasti D i taj dvojni integral označavamo sa dSxxf

D∫∫ ),( 21 . Dakle:

gdje je D oblast integracije, x1, x2 (odnosno x, y) promjenljive integracije, dS (= dx1 dx2 = dx dy) diferencijal površine ravne oblasti D.

Razmotreni dvojni integral u 3) nazivamo Riemannov integral od funkcije f (T) = f (x1, x2) dvije promjenljive po ravnoj figuri. Analogno, razmotreni trojni integral u 4) nazivamo Riemannov integral od funkcije f (T) = f (x1, x2, x3) tri promjenljive po prostornoj figuri. Uopštavajući razmatranja. Moguće je na analogan način definirati Riemannov integral od funkcije f (T) = f (x1, x2, ..., xn) n nezavisno promjenljivih po n – dimenzionalnom skupu S ⊂ Rn

i nazivati ga n – strukim integalom po Riemannu (ili n – strukim Riemannovim integralom).

35

43. Svođenje n – integrala na uzastopne integrale i zamjena promjenljivih u n – integralu (višestrukom Riemannovom integralu).

Svođenje n – integrala na uzastopne integrale

Zamjena promjenljivih u n – integralu (višestrukom Riemannovom integralu)

36

44. Primjene dvojnih i trojnih integrala. Izracunavanje zapremine i povrsine tjela tijela: Povrsina skoro isto Mjera Povrsi:

44b.) Primjene dvojnih i trojnih integrala. Izračunavanje zapremine tijela: Ako je jednačina površi (data sa) z = ϕ (x, y), (x, y) ∈D, z ≤ 0, onda je zapremina V opisanog tijela data formulom

∫∫−=D

dydxyxV ),(ϕ

(za n = 3) imamo

∫∫∫Σ

= dxdydzV

Mjera (površina) površi: Koristeći oznake qyzp

xz

==δδ

δδ , mjera (površina) µS površi S definira se

kao

∫∫ ++=D

p dydxqpS 21µ

Podintegralni izraz u prethodnoj jednakosti naziva se elementom površine.

37

45. Elementi vektorske analize Vektorsko polje i vektorske linije

38

45b) Elementi Vektorske Analize (Trnka)

Više dimenzija: nnn eaeaeaaaaa +++== ...),...,,( 221121

Baza prostora: neee ,...,, 21 Vektorska funkcija: NnmRRf mn ∈→ .,:

),...,,(),...,,...,,(),,...,,(),...,,(

2121222111

21

nmmnn

m

xxxfyxxxfyxxxfyyyyf

====

45c) Elementi Vektorske Analize: Dobrivoje Mihailović – Elementi vektorske analize/diferencijalne geometrije i teorije polja

Definicija: Vektorskom f-jom α

---->

(t) jednog skalarnog argumenta t nazivamo jednoznačno preslikavanje skupa realnih brojeva (skalara) T na skup vektora V prema određenom zakonu korespodencije α

---->

(t). Skup realnih brojeva (skalara) T predstavlja oblast definisanosti vektorske f-je α

---->

(t). Budući da je α

---->

= {a1,a2,a3}, jednoznačno preslikavanje skupa T na skup V svodi se na preslikavanje prvog skupa na drugi preko tri skalarna zakona korespodencije, čime su definisane projekcije vektorske f-je α

---->

(t) kao f-je argumenata t, tj. α

---->

= {a1(t),a2(t),a3(t)}. Na osnovu toga analiza vektorskih f-ja jednog skalarnog argumenta može se svesti na analizu triju skalarnih funkcija-projekcija vektora α

---->

na ose Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema. /* Elementi vektorske analize: 5.1. Skalarna i vektorska polja. Izvodi, linijski i površinski integrali vektorske funkcije. Izvod skalara u zadatom pravcu. Gradijent skalarne funkcije. Simbolički prikaz gradijenta. Primeri. 5.2. Divergencija vektorske funkcije - pojam, fizička interpretacija i analitički oblik u Dekartovom koordinatnom sistemu. Rotor vektorske funkcije - definicija i analitički oblik. Simbolički prikaz divergencije i rotora. Klasifikacija vektorskih polja. Gradijent, divergencija i rotor složenijih izraza. 5.3. Integralne teoreme vektorske analize (Gausova, Stoksova, Grinove teoreme). Prostorni izvodi drugog reda - definicije i analitički oblici u Dekartovom koordinatnom sistemu. Analitički oblik gradijenta, divergencije, rotora i laplasijana u generalisanim koordinatama. Primer cilindričnih i sfernih koordinata. */

39

46. Kriva; dužina luka krive, tangenta, zakrivljenost (prva krivina) i uvijenost (torzija, druga krivina), brzina i ubrzanje. Definicija: Hodograf vektorske funkcije )(taa = je geometrijsko mjesto KRAJNJIH tačaka

vektora a ako se početak svih vektora nalazi u jednoj utvrđenoj tački (pol hodografa). Hodograf neprekidne vektorske funkcije predstavlja neprekidnu krivu, ako vector položaja rρ={x,y,z} predstavlja vektorsku f-ju skalarnog argumenta t, a jednačine ove krive glasi:

r---->

= r---->

(t) Njoj odgovarajuće skalarne jednačine x=x(t), y=y(t), z=z(t) predstavljaju jednačine krive u prostoru u parametarskom obliku. Nosač vektora je tangenta hodografa u tački M, a smjer odgovara smjeru rasta argumenta t.

))(),(),(())(),(),(()( 321 tatatatatatata zyx==

Srednja brzina tačke: t

trttrttr

∆−∆+

=∆

∆ )()()( , gdje je ))(),(),(()( tztytxtrr == vektorska

jednačina putanje tačke u prostoru.

Trenutna brzina tačke: t

trttrdt

trdtvt ∆

−∆+==

→∆

)()(lim)()(0

.

Modul vektora brzine jednak je izvodu luka putanje po vremenu. Krivina; Torzija: Posmatrajmo vektorsku jednačinu krive u prostoru u obliku

r---->

= r---->

(s) gdje je s luk krive mjeren od jedne određene tačke krive. Vektor:

2

2

dsrdr

dstdtK

ρ&&

ρ&

ρ====

naziva se vektorom krivine. Neka je ort K

ρ= nρ, tj.

Kρ

= | Kρ

|* nρ = | r&&|* nρ,

tada iz relacije tρ

* tρ

=1 tρ

* t& =0 tj, tρ

* Kρ

= 0, odnosno tρ

* nρ = 0, što znači da je nosač vektora K

ρ upravan na tangenti. Znači, ovaj nosač predstavlja jednu od normala krive u

tački M, koja se naziva glatkom normalom.

Vektor nρ predstavlja jedinični vektor glavne normale. Modul vektora K,

Kρ

= | Kρ

| = | r&&| naziva se fleksijom ili prvom krivinom krive, a njena recipročna vrijednost

ρ = r&&

ρ1

K1

=

naziva se poluprečnikom fleksije ili poluprečnikom prve krive. Ako je b

ρ vektor binormale krive r

---->

, tada

bdsbd &ρ

ρ==τ

nazivamo vektorom torzije.

40

47. Orijentacija krive. (Krivo)linijski integrali prve i druge vrste (po luku i po koordinatama) – pojmovi, osnovna svojstva i njihovo izračunavanje.Transformacija dvojnih integrala u linijske integrale (Greenova formula u ravni). Pojam vektorskog linijskog integrala.

Ako je f(x,y,z) definisana i neprekidna funkcija u svim tačkama dio po dio glatke krive x=x(t), y=y(t), z=z(t), )( 0 Ttt ≤≤ a ds diferencijal luka, onda se krivolinijski integral prve vrste izračunava po formuli:

[ ]∫ ∫ ++=C

T

t

dttztytxtztytxdszyxf )(')(')(')(),(),(),,( 222

0

.

∫ ∫=AB

t

t

g

d

dttxtytxPdxyxP )('))(),((),( , ∫ ∫=AB

t

t

g

d

dttytytxPdyyxP )('))(),((),(

Ako su funkcije P=P(x,y,z), Q=Q(x,y,z), R=R(x,y,z) neprekidne u svakoj tački M(t) krive x=x(t), y=y(t), z=z(t), )( 0 Ttt ≤≤ , koja se pomjera u smjeru rašćenja parametra t, onda se krivolinijski integral druge vrste izračunava po formuli:

[ ] [ ] [ ] dttztztytxRtytztytxQtxtztytxP

dzzyxRdyzyxQdxzyxP

T

t

C

))(')(),(),()(')(),(),()(')(),(),((

),,(),,(),,(

0

++=

=++

∫

∫

Pri promjeni smjera integracije duž krive C ovaj integral mijenja znak.

Definicija: Neka su P(x,y) i Q(x,y) neprekidne funkcije kao i njihovi parcijalni izvodi xQ

yP

∂∂

∂∂ , u

oblasti J i na njenoj konturi C. Tada jednačina

dxdyyP

xQdyyxQdxyxP

JC∫∫∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=+ ),(),(

predstavlja Greenovu formulu. Neka je )(rϕ skalarna ili vektorska funkcija definisana na luku L. Tada imamo dvije vrste

vektorskog krivolinijskog integrala: drridrrLL

×∫∫ )()( ϕϕ .

41

48. Orijentacija površi, površinski integrali prve i druge vrste (po površi i po koordinatama) – pojmovi, osnovna svojstva i njihovo izračunavanje . Pojam vektorskog površinskog integrala. Površinski integral prve vrste: Ako je S dio po dio glatka dvostrana površ definirana jednačinama x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v), Dvu ∈),( , a f(x,y,z) funkcija definisana i neprekidna na površi S, onda je

[ ] dudvFEGvuzvuyvuxfdSzyxfDS

2),(),,(),,(),,( −= ∫∫∫∫ , gdje je

vz

uz

vy

uy

vx

uxF

vz

vy

vxG

uz

uy

uxE

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

= ,,222222

.

Ovaj integral ne zavisi od izbora strane površi S.

Površinski integral druge vrste: Ako je S glatka dvostrana površ, na kojoj je izabrana jedna od dviju strana, određena smjerom normale )cos,cos,(cos γβαn , a P=P(x,y,z), Q=Q(x,y,z), R=R(x,y,z) tri funkcije definisane i neprekidne na površi S, onda je

∫∫∫∫ ++=++SS

dSRQPRdxdyQdzdxPdydz )coscoscos( γβα .

Pri prelazu na drugu stranu površi ovaj integral dobija suprotan znak. Neka je S orijentisani dio površi ),( vurr = i neka je )(rϕ neprekidna skalarna ili vektorska funkcija

definisana na površi S. Neka je σ vektor površine S. Tada imamo dvije vrste vektorskog površinskog integrala: σϕσϕ dridr

SS

×∫∫∫∫ )()( .

42

49. Skalarna i vektorska polja; pojam skalarnog polja, izvod u pravcu i gradijent skalarnog polja, pojam vektorskog polja, vektorske linije i solenoid, prostorni izvod, divergencija i rotor vektorskog polja , klasifikacija vektorskih polja, Laplaceov operator. Definicija: Skalarna funkcija ),,()( zyxfrf = , gdje je r vektor položaja tačke M(x,y,z), zajedno sa svojom oblasti definisanosti, naziva se skalarno polje. Definicija: Izvod po pravcu vektora τ u tački M naziva se izvod po bilo kojoj krivoj L koja

prolazi kroz tačku M i dodiruje vektor τ : γβα coscoscoszf

yf

xf

Lf

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂ .

Definicija: Gradijent gradf date skalarne funkcije f(x, y, z) je vektorska funkcija definisana

sa kzfj

yfi

xfgradf

∂∂

+∂∂

+∂∂

= .

Definicija: Vektorska funkcija ),,()( zyxfrf = , zajedno sa svojom oblašću definisanosti naziva se vektorsko polje. Definicija: Vektorska linija stacionarnog vektorskog polja je kriva linija čije tangente u svakoj svojoj tački imaju pravac vektora polja: kzyxRjzyxQizyxPA ),,(),,(),,( ++= (analitički izraz). Teorema: Da bi vektorsko polje zadato u oblasti G bilo solenoidno, potrebno je i dovoljno da je protok kroz bilo koju zatvorenu površinu, koja pripada G, jednak nuli ( 0=Adiv , gdje je A vektorsko polje). Postoje tri prostorna izvoda: gradijent funkcije, divergencija vektora i rotor vektora. Definicija: Divergencijom vektorskog polja A u tački M naziva se granična vrijednost odnosa protoka kroz površinu koja okružuje tačku M i zapremine oblasti ograničene tom površinom. Granična vrijednost se određuje pri stezanju površi u tačku M :

V

dSnAAdiv S

MV

0

lim⋅

=∫∫

→

Definicija: Vektor čije su projekcije na ose: y

Ax

Ax

Az

Az

Ay

A xyzxyz

∂∂

−∂

∂

∂∂

−∂

∂∂

∂−

∂∂

,, naziva se rotor

vektora A i označava simbolom Arot :

zyx AAAzyx

kji

Arot∂∂

∂∂

∂∂

= .

Specijalna vektorska polja (klasifikacija): solenoidno polje ( 0=Adiv ), bezvrtložno polje ( 0=Arot ) i potencijalno polje ( ϕgradA = , skalarna funkcija ϕ - potencijal vektorskog polja A ).

Hamiltonov operator (operator nabla) ∇ je simbolični vektor sa koordinatama (zyx ∂

∂∂∂

∂∂ ,, ).

Operator ∆ , koji se definiše sa uu ∇∇=∆ naziva se Laplasov operator ili laplasijan. Jednačina 0=∆u naziva se Laplasova jednačina, a funkcija u, koja je zadovoljava, harmonijska funkcija.

43

50. Gaussova ( Green – Gauss – Ostrogradskog) teorema o divergenciji. Stokesova teorema. Posljedice i primjene Gaussove teoreme i Stokesove teoreme. Teorema (Gaussova): Protok vektorskog polja A kroz zatvorenu površinu jednak je trojnom integralu divergencije Adiv po oblasti koja je ograničena tom površinom:

dVAdivdSnAVS∫∫∫∫∫ =⋅

)(0

)(

(vektorski oblik).

Teorema Ostrogradskog: Ako je za vektorsku f-ju )(ra ρρ egzistira površinski integral po zatvorenoj površi S koja predstavlja granicu oblasti D i ako je div aρ neprekidna f-ja položaja u toj oblasti, tada je

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∗=∗S D

dDadivda ρρρ σ (D = mes D ).

Teorema Stokesa: Cirkulacija vektora duž zatvorene konture jednaka je protoku rotora vektora kroz površ ograničenu tom konturom: ∫∫∫ ⋅=

)(0

)( Sl

dSnArotdrA (vektorski oblik).

51. Linijski integrali neovisni o putu integracije.

/* Nisam pronašao */