Uso de cópulas, series, aproximaciones numéricas y ... · Uso de cópulas, series, aproximaciones numéricas y regresión logística en la valuación de Obligaciones de Deuda con

USO DE CÓPULAS, SERIES, APROXIMACIONES NUMÉRICAS Y REGRESIÓN

LOGÍSTICA EN LA VALUACIÓN DE OBLIGACIONES DE DEUDA CON

COLATERAL (CDOS): PROPUESTA DE EXTENSIÓN PARA ADAPTAR LA

METODOLOGÍA DE GLASSERMAN & SUCHINTABANDID AL CASO MÉXICO

T E S I S

QUE PARA CONCURSAR POR EL

PREMIO NACIONAL DE DERIVADOS

PRESENTA

TRESPUNTOCATORCE

MÉXICO, D.F. 2012

Uso de cópulas, series, aproximaciones numéricas y regresión logística en la valuación de

Obligaciones de Deuda con Colateral (CDOs): propuesta de extensión para adaptar la

metodología de Glasserman & Suchintabandid al caso México

2




3

Tabla de contenido 1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................... 7

CONTENIDO ....................................................................................................................................... 10

2. Obligaciones de Deuda con Colateral (CDOs) ............................................................................... 10

2.1 Concepto y estructura ............................................................................................................. 10

2.2 El boom de los CDOs ............................................................................................................... 15

2.3 El colapso del mercado de CDOs ............................................................................................. 18

2.4 Visión a futuro sobre el mercado de los CDOs ........................................................................ 21

2.5 El valor de un CDO como una sumatoria de valores esperados ............................................. 22

2.6 Enfoque de Pérdidas Acumuladas ........................................................................................... 23

3. Modelos de incumplimiento crediticio ......................................................................................... 28

3.1 Dos enfoques para modelar el proceso de incumplimiento: modelos estructurales y modelos

reducidos ....................................................................................................................................... 28

3.2 Diferencias principales entre los modelos estructurales y los modelos reducidos ................ 30

3.3 Reconciliando los modelos estructurales y los modelos reducidos ........................................ 32

3.4 El rol de la correlación de default ........................................................................................... 32

3.5 Complicaciones sobre el concepto de correlación de default ................................................ 35

4. Cópulas .......................................................................................................................................... 39

4.1 Algunas definiciones y conceptos matemáticos ..................................................................... 39

4.2 Funciones m-crecientes........................................................................................................... 40

4.3 Algunas definiciones y conceptos probabilísticos ................................................................... 46

4.4 Funciones de distribución ....................................................................................................... 47

4.5 Independencia e independencia condicional .......................................................................... 53

4.6 Definición de cópula ................................................................................................................ 54

4.7 Motivación del uso de cópulas en instrumentos estructurados ............................................. 56

4.8 Teorema de Sklar..................................................................................................................... 61

4.9 La cópula Gaussiana ................................................................................................................ 63

5. El Modelo ...................................................................................................................................... 67

5.1 El valor de un CDO como combinación lineal de elementos de cierta forma ......................... 67

5.2 Notación elemental del modelo .............................................................................................. 69




4 5.3 Construcción de variables auxiliares para la modelación ....................................................... 71

5.4 Estructura de las variables que definen el incumplimiento .................................................... 72

5.5 Supuesto de normalidad en las variables auxiliares ............................................................... 74

5.6 La estructura de correlación ................................................................................................... 76

5.7 La simplificación de la realidad en el modelo utilizado en G&S .............................................. 79

6. Metodología de G&S ..................................................................................................................... 81

6.1 Noción general ........................................................................................................................ 81

6.2 Parametrización de la matriz de correlación .......................................................................... 82

6.3 El valor esperado deseado como una serie infinita ................................................................ 83

6.4 Probabilidades ajustadas ........................................................................................................ 84

6.5 Estimación de los coeficientes de la serie ............................................................................... 88

6.6 Descomposición sucesiva del precio de un CDO en componentes más sencillos .................. 89

6.7 Valuación en un modelo con deudores independientes ........................................................ 91

7. Probabilidad de incumplimiento ................................................................................................... 93

7.1 Objetivo ................................................................................................................................... 93

7.2 La probabilidad de incumplimiento a partir del spread de un swap de incumplimiento

crediticio o del spread crediticio ................................................................................................... 94

7.3 Un CDO formado por créditos hipotecarios a personas físicas en México ............................. 98

7.4 Inconvenientes al estimar la probabilidad de incumplimiento a partir del spread crediticio

en el caso de un CDOHM ............................................................................................................... 99

7.5 Propuesta .............................................................................................................................. 101

7.6 Justificación del modelo de regresión logística ..................................................................... 103

7.7 Inconvenientes al utilizar un enfoque de regresión lineal .................................................... 104

7.8 El modelo de regresión logística permite factores comunes y factores particulares ........... 105

7.9 El modelo de regresión logística: Un modelo empírico ........................................................ 107

7.10 Estimación de los parámetros del modelo por máximo verosimilitud ............................... 109

7.11 Interpretación de los coeficientes en el modelo de regresión logística ............................. 112

7.12 Pruebas de hipótesis sobre el ajuste del modelo de regresión logística ............................ 116

7.13 Pruebas de hipótesis sobre las variables del modelo de regresión logística ...................... 118

7.14 Extensión a la metodología de G&S .................................................................................... 119

8. RESULTADOS ............................................................................................................................... 122




5 8.1 Caso ....................................................................................................................................... 122

8.2 Cargar el ejemplo en MATLAB ............................................................................................... 123

8.3 Diagrama de la implementación ........................................................................................... 124

8.4 Resultados numéricos ........................................................................................................... 125

8.5 Variaciones del parámetro s.................................................................................................. 126

8.6 Distintos órdenes de aproximación ...................................................................................... 128

8.7 Ejemplo numérico modificado .............................................................................................. 130

8.8 Variables del modelo de regresión logística ......................................................................... 130

8.9 Ajuste del modelo de regresión logística .............................................................................. 131

8.10 Probabilidad de incumplimiento estimada ......................................................................... 132

8.11 Resultados numéricos en el ejemplo modificado ............................................................... 133

9. CONCLUSIONES ........................................................................................................................... 134

ANEXOS ........................................................................................................................................... 139

Apéndice A .................................................................................................................................. 140

Apéndice B .................................................................................................................................. 146

Apéndice C................................................................................................................................... 157

Apéndice D .................................................................................................................................. 162

BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................................. 165




6




7

1. INTRODUCCIÓN

Actualmente, no se ha resuelto el problema de la administración de riesgos crediticios. Ésta

muchas veces se confina a definir ciertos límites, por ejemplo, VaR máximo, y a decisiones

cero-uno: se acepta una propuesta que incrementa el riesgo o se declina. Los productos de

crédito estructurados, así como los derivados de crédito, son importantes innovaciones que

permiten separar "el origen del crédito, el financiamiento del crédito, y la exposición y

manejo del riesgo crediticio [tr]1" (Hirtle, 2008). Esto ha permitido redistribuir el riesgo de

crédito de una manera más eficiente. Una distribución más eficiente del riesgo de crédito se

traduce en una distribución más eficiente de los recursos.

Las Obligaciones de Deuda con Colateral mejor conocidas como Collateralized Debt

Obligations (CDOs) por su nombre y siglas en inglés son instrumentos financieros que

permiten reestructurar un portafolio con instrumentos financieros de deuda y redistribuir el

riesgo crediticio. La idea fundamental es segmentar el portafolio en diferentes tramos. El

primer tramo es el primero en cobrar; teniendo así un menor riesgo. El último tramo es el

último en cobrar, o el primero en absorber pérdidas; claramente tiene un riesgo mayor pero

también espera un rendimiento mayor.

Un CDO puede funcionar como un seguro que cubre las pérdidas que superen el 20% del

valor nominal de un portafolio. Un CDO permite a inversionistas conservadores invertir en

instrumentos riesgosos sin conservar el riesgo crediticio. Un CDO permite a agentes que

tradicionalmente han estado excluidos del crédito acceder a éste; por ejemplo, puede

permitir a millones de familias acceder a un crédito hipotecario. Por ejemplo, un CDO

puede permitir que un fondo de pensiones financie la mayor parte de un portafolio de

créditos hipotecarios; pero que un fondo de inversionistas privados conserve la mayor parte

del riesgo crediticio.

Correctamente valuados, ofrecen enormes beneficios. El cenit se ubicó en 2006 cuando la

emisión global de CDOs superó los 500 mil millones de dólares.2 Sin embargo,

incorrectamente valuados pueden volverse una pesadilla. "Los CDOs son como los amores,

cuando son buenos son grandiosos; pero cuando son malos hay que tener cuidado [tr]"

(Blum, 2008).

El desafío está en la correlación entre el incumplimiento de los deudores. Los deudores

están expuestos a factores comunes; incluso si son de distintos países, todos están

expuestos a la misma situación de la economía global. En consecuencia, sus flujos y su

prosperidad o adversidad también están relacionados. Hay épocas benignas donde el

número de incumplimientos es relativamente bajo; y épocas (de crisis) dónde este número

crece de manera significativa.

1 En el presente trabajo, utilizamos [tr] para denotar una traducción. Todas las traducciones son propias y

son traducciones del inglés. 2 Fuente: Securities Industry and Financial Markets Association.




8 Los modelos que suponen independencia entre el incumplimiento de los deudores son

sencillos y manejables; pero pueden subestimar el riesgo crediticio de manera sustancial.

Por otro lado, suponer una estructura de correlación implica un aumento en complejidad de

modelación y un aumento exponencial en el costo computacional que puede volver inviable

numéricamente a la metodología. Los modelos condicionalmente independientes ofrecen un

balance: permiten considerar una estructura de correlación, y, al mismo tiempo, ser

numéricamente eficientes.

El presente trabajo sigue de cerca las ideas de Paul Glasserman y Sira Suchintabandid

(2007), en lo sucesivo G&S, para valuar Obligaciones de Deuda con Colateral. G&S crean

una metodología para valuar CDOs en un modelo donde el incumplimiento es

condicionalmente independiente dado una serie de factores.

G&S muestran que el precio de un CDO se puede ver como una combinación lineal de

elementos de la forma donde representa las pérdidas acumuladas en una

fecha de pago de cupón, es un punto de corte inferior, y es el

operador esperanza. Posteriormente, demuestran que se puede escribir como

una serie infinita convergente:

.

No obstante, esto sería de aplicabilidad limitada si no supiéramos cómo estimar los

coeficientes de la serie. Así pues, el gran logro de G&S es que demuestran que cada

coeficiente de la serie se puede estimar como el límite de una sumatoria ponderada de

elementos de la forma donde la tilde arriba del operador esperanza significa

que es un valor esperado de un modelo donde el incumplimiento entre los deudores es

independiente y con unas probabilidades de incumplimiento ajustadas.

Dicho de otro modo, G&S transforman el reto de valuar un CDO en un modelo donde

existe dependencia entre el incumplimiento de los deudores; al reto mucho más sencillo de

calcular valores esperados de la forma provenientes de modelos donde las

variables que definen el incumplimiento de los deudores son independientes.

Si bien la metodología de G&S sirve para valuar un CDO cualquiera, y no distingue entre

el tipo de colateral que forma el portafolio de referencia, hay un caso que es de especial

interés para nosotros: un CDO formado por créditos hipotecarios a personas físicas en

México. Una familia siempre va a necesitar un lugar para vivir; así pues, su demanda por

vivienda es inelástica. Adicionalmente, usualmente las familias destinan un gran porcentaje

de su ingreso a la vivienda y aún cuando los precios de las viviendas pueden caer

drásticamente, como fue latente en la reciente crisis hipotecaria, los precios de las viviendas

sí tienden a apreciarse.

Así pues, comprar una vivienda, aunque sea a crédito, es una protección contra el aumento

del precio de un bien al cual se destina gran parte del ingreso y cuya demanda es inelástica.

Adicionalmente, culturalmente, "es un sueño tener casa propia". Por lo tanto, el mercado

hipotecario en México es muy importante para el país. Sin embargo, pocas familias pueden

comprar una vivienda de contado. Así pues, el mercado de créditos hipotecarios adquiere




9 una gran relevancia; y un instrumento capaz de redistribuir el riesgo de un portafolio de

créditos hipotecarios y así fomentar el desarrollo de este sector, también adquiere gran

relevancia para el país.

Finalmente, es importante señalar que en la metodología de G&S la probabilidad de

incumplimiento de cada deudor se supone conocida. Es decir, se supone que es estimada de

manera exógena y, de hecho, es uno de los principales inputs de la metodología.

Usualmente, esta se estima a partir de los spreads de los swaps de incumplimiento

crediticio o en su defecto a partir del spread crediticio. En la mayoría de los casos, este

enfoque presenta importantes ventajas que lo vuelven el enfoque usual. Sin embargo,

cuando se trata de un CDO formado por créditos hipotecarios este enfoque presenta

importantes inconvenientes que analizaremos posteriormente y que nos llevan a buscar un

enfoque alterno. Nuestra propuesta es utilizar un modelo de regresión logística para estimar

la probabilidad de incumplimiento cuando se trate de un CDO formado por créditos

hipotecarios pues este enfoque resuelve cabalmente los inconvenientes encontrados.

Los CDOs son una innovadora herramienta que permite redistribuir el riesgo crediticio de

manera diferenciada y que, correctamente valuados, ofrecen diversas ventajas económicas,

sociales y culturales. La metodología de G&S ofrece una mejora en la valuación de CDOs.

Nuestra aportación permite aplicar estas ideas a un caso de gran relevancia para el país: un

CDO formado por créditos hipotecarios en México. Esto se traduce en una distribución más

eficiente del riesgo crediticio, y por ende, una distribución más eficiente del crédito. Es un

novedoso método de valuación el cual enfocamos al mercado financiero mexicano. Por eso,

consideramos que el presente trabajo es digno del Premio Nacional de Derivados.

El resto del trabajo consta de ocho capítulos y está ordenado como se presenta a

continuación. Los primeros tres capítulos discuten y analizan conceptos de gran relevancia

para la presente investigación: los CDOs (Capítulo 2); los modelos de incumplimiento

crediticio (Capítulo 3); y las cópulas (Capítulo 4). Los siguientes dos capítulos son

propiamente sobre la metodología de G&S. Discuten y analizan el modelo supuesto

(Capítulo 5); y la metodología de G&S (Capítulo 6).

En el Capítulo 7 se concentra nuestra aportación. Se explica cómo se estima usualmente la

probabilidad de incumplimiento; se presenta el caso que es de especial interés para

nosotros: un CDO formado por créditos hipotecarios a personas físicas en México; se

explica su relevancia para el país; y se analizan los inconvenientes al utilizar el enfoque

usual para estimar la probabilidad de incumplimiento. Posteriormente, se presenta, explica,

analiza, y justifica nuestra propuesta. Terminamos el capítulo explicando cómo nuestra

aportación permite extender la metodología de G&S para incluir un caso que es de gran

relevancia para México.

En el Capítulo 8 se presentan los resultados al utilizar un ejemplo numérico para ilustrar la

metodología de G&S y nuestra propuesta de extensión. Finalmente, en el Capítulo 9 se

presentan las conclusiones encontradas durante la presente investigación. Por último, en el

Apéndice ofrecemos una explicación propia de la intuición matemática detrás de los

resultados fundamentales de G&S.




10

CONTENIDO

2. Obligaciones de Deuda con Colateral (CDOs)

Las Obligaciones de Deuda con Colateral mejor conocidas como “Collateralized Debt

Obligations” (CDOs) por su nombre y siglas en inglés son instrumentos financieros que

permiten redistribuir el riesgo crediticio de manera diferenciada y así dirigirse a diferentes

inversionistas con distinto apetito por riesgo y rendimiento. Esto permite separar,

parcialmente, el financiamiento de un portafolio de la exposición al riesgo crediticio y, así,

lograr una distribución más eficiente del riesgo crediticio. El presente capítulo analiza estos

instrumentos.

En la sección 2.1 definimos los CDOs y explicamos su estructura. En la sección 2.2

analizamos las principales ventajas que llevaron al boom de los CDOs y en la sección 2.3

analizamos el colapso del mercado para en la sección 2.4 discutir una visión a futuro sobre

el mercado de los CDOs.

El resto del capítulo introduce ideas sobre la valuación de un CDO. La sección 2.5 escribe

el valor del CDO como una sumatoria de valores esperados y la sección 2.6 explica el

enfoque de pérdidas acumuladas que es el que adoptamos en el presente trabajo.

2.1 Concepto y estructura

Las Obligaciones de Deuda con Colateral (CDOs) son instrumentos financieros creados

para reestructurar un portafolio con instrumentos de deuda y redistribuir el riesgo crediticio.

Para ilustrar su estructura nos auxiliamos en la siguiente figura que describe un CDO

básico, en este caso, constituido con créditos hipotecarios.




11 Figura 1

Los titulares del CDO tienen derecho a los flujos (pagos) que estos créditos hipotecarios

generen. Sin embargo, hay riesgo crediticio el cual será redistribuido en tres secciones o

tramos: (i) Tramo de Capital; (ii) Tramo Intermedio; y, (iii) Tramo Sénior. El Tramo de

Capital será responsable por las pérdidas hasta por un 10% del valor nominal del portafolio;

el Tramo Intermedio absorberá las pérdidas que excedan el 10% y hasta un 35% del valor

nominal; finalmente, el Tramo Sénior absorberá las pérdidas que excedan el 35%.

Adicionalmente, en este ejemplo, suponemos que el Tramo de Capital, el Tramo Intermedio

y el Tramo Sénior tienen derecho al 10%, 25% y 65% respectivamente del valor nominal

del portafolio.

La siguiente figura sirve para ilustrar las secciones o tramos que integran este CDO.

Figura 2




12 Se trata de una distribución desigual del riesgo crediticio. Por ejemplo, si el portafolio de

activos sufre pérdidas equivalentes a un 5% del valor nominal, el Tramo de Capital

absorberá la totalidad de estas pérdidas lo cual equivale a una pérdida del 50% de su

inversión; pero el resto de los tramos no tendrá pérdidas. Por otro lado, si las pérdidas

equivalen a un 35% del valor del portafolio, el Tramo de Capital y el Tramo Intermedio

habrán perdido la totalidad de su inversión; sin embargo, el Tramo Sénior no habrá sufrido

pérdida alguna.

Claramente, el Tramo de Capital es el más riesgoso de todos y el Tramo Sénior el más

seguro de todos. Esto se contrarresta con la diferencia en rendimiento: el Tramo de Capital

recibe un rendimiento del 35%, el Tramo Intermedio recibe un rendimiento del 15%, y el

Tramo Sénior recibe un rendimiento del 5% sobre la parte de su inversión no afectada por

pérdidas.

En la práctica, en cada fecha de pago de cupón se aplicaría esta estructura. Por ejemplo, si

en la fecha de pago de cupón , la pérdida acumulada equivale al 2%, el Tramo de Capital

recibirá un 35% sobre el 8% restante. Su rendimiento efectivo habrá sido de

de su inversión. Los Tramos Intermedio y Sénior recibirán el 15% y 5%

respectivamente y no habrán incurrido en pérdida alguna. La parte del valor nominal

afectada se ilustra en la siguiente figura.




13 Figura 3

Ahora, supongamos que en la fecha de pago de cupón , se ha incurrido en pérdidas del

25% del principal. Los inversionistas del Tramo de Capital no recibirán ningún pago. Los

inversionistas del Tramo Intermedio recibirán 15% de la parte no afectada de su inversión,

equivalente al

de su inversión original. Finalmente, los

inversionistas del Tramo Sénior recibirán el 5% del total de su inversión. Esto se ilustra en

la siguiente figura:

Figura 4




14 A través de éste instrumento se ha reestructurado el portafolio de activos para redistribuir el

riesgo crediticio. Hay cabida para inversionistas arriesgados que buscan un alto rendimiento

a pesar de un alto riesgo y para inversionistas más conservadores que buscan una inversión

más segura.

Naturalmente, se puede extender la idea de los CDOs para tener más o menos tramos,

contar con diferentes puntos de corte o invertir en otro tipo de instrumentos financieros,

(por ejemplo, bonos corporativos). El CDO que describimos es un CDO en efectivo o cash

CDO como se le conoce en los mercados financieros pues conlleva una inversión inicial.

Recientemente, un tipo de CDOs llamados CDOs sintéticos ha ganado gran popularidad.

Los CDOs sintéticos son CDOs formados por Swaps de Incumplimiento Crediticio “Credit

Default Swaps” (CDSs).

Un CDS es un derivado de crédito que protege del riesgo crediticio. El emisor del CDS se

obliga a recomprar el bono al valor nominal en caso de incumplimiento; el comprador paga

una prima a cambio de esta protección. Para ilustrar la idea, supongamos a un inversionista

institucional que ha comprado un bono riesgoso y que sólo puede invertir en instrumentos

con cierta calidad crediticia. Ahora, supongamos que hubo incumplimiento: el precio y

calificación crediticia del bono caerían dramáticamente y el inversionista se vería obligado

a vender y absorber las pérdidas. Ahora, si el inversionista hubiera comprado un CDS; al

momento de incumplimiento, el emisor del CDS le compraría el bono y el inversionista

institucional no sufriría pérdidas. A cambio de este seguro, el vendedor del CDS recibe una

prima en cada fecha de pago de cupón a la que se le conoce como spread. Claramente,

entre mayor sea el riesgo percibido mayor será el spread requerido. Es más, el spread de

los CDSs ha ganado amplia popularidad como una medida del riesgo crediticio.

Regresando a los CDOs, tanto un CDO en efectivo como CDO sintético ofrecen una

exposición similar al riesgo crediticio. La diferencia viene en la inversión inicial. Los

inversionistas de un CDO en efectivo han hecho una inversión inicial y reciben un pago no

negativo. Los inversionistas de un CDO sintético pueden no haber hecho ninguna inversión

inicial y tienen un pago que puede ser positivo o negativo.




15 Otra variante en los CDOs son los CDOs cuadrados o incluso cúbicos. Un CDO cuadrado

es un CDO que invierte en Tramos de Capital y Tramos Intermedios de otros CDOs. Lo

análogo pasa con CDOs cúbicos. Claramente dependiendo del tramo en que se invirtió y

del tipo de activos que respaldan al CDO, podemos estar hablando de una inversión muy

segura o de una inversión altamente riesgosa.

2.2 El boom de los CDOs

Las Obligaciones de Deuda con Colateral “CDOs” ganaron gran popularidad en los

mercados financieros entre el año 2000 y 2007; sin embargo, posteriormente sufrieron un

importante desplome en el contexto de la crisis financiera global a finales de la década de

los 2000s. En esta sección analizaremos algunas de las principales causas del gran boom de

los CDOs y en la siguiente su posterior desplome.

La emisión global de CDOs creció de manera importante entre los años 2000 y 20073 según

se muestra en la siguiente gráfica donde cabe destacar que la emisión global de CDOs

superó los 500 mil millones de dólares en 20064 .

3 De hecho, el crecimiento se dio hasta el segundo trimestre de 2007.

4Fuente: Securities Industry and Financial Markets Association – Global CDO Issuance-

http://www.sifma.org/uploadedFiles/Research/Statistics/StatisticsFiles/SF-Global-CDO-Issuance-SIFMA.xls Recuperado el 19 de enero de 2012. La Asociación de Instrumentos y Mercados Financieros (SIFMA) cuyo nombre en inglés es Securities Industry and Financial Markets Association es el miembro que representa a EUA en la Asociación Global de Mercados Financieros o Global Financial Markets Association (GFMA).

http://www.sifma.org/uploadedFiles/Research/Statistics/StatisticsFiles/SF-Global-CDO-Issuance-SIFMA.xls




16 Figura 5

Varios agentes económicos intervienen en el mercado de los CDOs. Antes de la crisis,

dichos agentes económicos encontraron importantes ventajas en estos instrumentos lo cual

explica la popularidad y el boom de los CDOs. Encontramos cuatro principales ventajas

para explicar la popularidad de los CDOs.

1.- La primera ventaja está relacionada con el colateral. Agentes que tradicionalmente

habían estado excluidos del crédito por ser considerados de alto riesgo encontraron la forma

de acceder a crédito. De acuerdo con Jaffee (2009):

"Se estima que las hipotecas de alto riesgo (subprime) han financiado la

compra de más de 5 millones de viviendas, incluyendo el acceso a una

vivienda propia por primera vez a más de un millón de hogares. Entre los

principales beneficiarios están los jóvenes y las minorías. Estos son

beneficios claves de la política a largo plazo de EUA sobre la propiedad de la

vivienda. Adicionalmente, el incremento en la compra de viviendas ha

estimulado la construcción de nuevas viviendas [tr]."

Adicionalmente, dueños de colateral riesgoso difícil de colocar en los mercados financieros

quedaron fascinados al haber encontrado una manera de "bursatilizar" este colateral.

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2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Emisión Global de CDOs (cifras en millones de dólares)

*Fuente: SIFMA




17 2.- La segunda ventaja está relacionada con la redistribución del riesgo. Un CDO distribuye

el riesgo de manera diferenciada y así busca atraer la atención de diferentes inversionistas

con distinto perfil de riesgo. Esto es particularmente importante cuando se trata de

inversionistas institucionales muchos de los cuales sólo pueden invertir en instrumentos con

grado de inversión.5

A los inversionistas institucionales les resultaba muy atractivo invertir en instrumentos

AAA que ofrecían altos rendimientos; y a los inversionistas de los tramos más junior les

convenía recibir rendimientos todavía mayores. Adicionalmente, cabe destacar que al

formar un CDO se agrupa un gran número de activos y esta diversificación permitía reducir

el riesgo idiosincrático6.

3.- La tercera ventaja que encontramos está relacionada con los requerimientos de capital.

Cuando un banco estructura y vende un CDO, elimina los créditos o colateral de su

contabilidad y le permite liberar los requerimientos de capital impuestos por los Acuerdos

de Basilea, las autoridades, y el departamento de administración de riesgos del propio

banco.

4.- Finalmente, la cuarta ventaja que asociamos con la popularidad de los CDOs se

relaciona con las comisiones. Generadores de hipotecas, bancos estructuradores y

calificadoras al riesgo crediticio ganaron comisiones millonarias7.

En conclusión, el secreto del éxito de los CDOs radicó en generar instrumentos AAA a

partir de instrumentos BB. Esto permitió colocar en los mercados financieros hipotecas y

otras inversiones riesgosas, permitiendo a inversionistas conservadores invertir en estos

instrumentos riesgosos y obtener atractivos rendimientos, y a su vez, permitiendo a su vez a

5 Se dice que un instrumento financiero tiene grado de inversión si tiene una calificación al riesgo crediticio

de BBB- o mejor otorgada por Standard and Poor's; BBB o mejor otorgada por Fitch Ratings; Baa3 o mejor otorgada por Moody's; o alguna calificación equivalente otorgada por una calificadora al riesgo crediticio acreditada. 6 El riesgo idiosincrático es el riesgo de que el precio de un instrumento cambie por condiciones particulares

a este instrumento. El riesgo idiosincrático es independiente del riesgo sistémico que afecta a todo el mercado. 7 Por ejemplo, de 2000 a 2009, las calificaciones a productos estructurados representaron más del 40% de

las ventas de las agencias calificadoras del riesgo crediticio.




18 los bancos liberar requerimientos de capital. Adicionalmente, esto permitió a los

involucrados en el proceso ganar enormes comisiones.

2.3 El colapso del mercado de CDOs

Sin embargo, a partir del tercer trimestre de 2007, la emisión global de CDOs empezó a

caer. Para 2008, la emisión global de CDOs fue menor que en el año 2000 y para 2009 fue

menos del 1% de lo que fue en 20068. Veamos que sucede si extendemos la gráfica

mostrada en la sección anterior:

Figura 6

Las pérdidas por incumplimiento sufridas por los CDOs crecieron dramáticamente; por

ejemplo, "más del 40% de los activos de los CDOs emitidos en 2007 presentó

incumplimiento [tr]" (Barnett-Hart, 2009). No existe conceso sobre el monto total de las

pérdidas, pero Cordell, Huang, & Williams (2011) las estiman en 420 mil millones de

dólares; aproximadamente un 40% del PIB de México9. La parte más alarmante es que la

mayor parte de las pérdidas provino de instrumentos originalmente calificados como

seguros (AAA).

8 Fuente: SIFMA

9 Fuente: CIA The World Factbook (tipo de cambio oficial).

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Emisión Global de CDOs (cifras en millones de dólares)

*Fuente: SIFMA




19 La pregunta lógica es: ¿Qué sucedió? La crisis financiera global, la crisis hipotecaria, la

crisis crediticia, la crisis económica, las pérdidas de los CDOs y las pérdidas de las bolsas

de los países no devinieron de una única causa. No se trató de un fenómeno único y menos

aún de un conjunto de fenómenos independientes. Se trató de un conjunto de fenómenos

profundamente interrelacionados.

En el caso de los CDOs, por un lado, se subestimó el riesgo del colateral. En el contexto de

CDOs con garantías hipotecarias, podemos pensar que los créditos hipotecarios con

garantía limitada tienen una opción de venta (put) implícita10

. Si esta opción es sub-

valuada, los mercados eficientes incorporan el error y el precio del activo se infla por

encima de su valor fundamental. De acuerdo con Levitin y Wachter (2012) "la burbuja

[hipotecaria] fue un fenómeno del lado de la oferta, atribuible a un exceso de instrumentos

hipotecarios subvalorados: los spreads hipotecarios cayeron y el volumen aumentó aún

cuando el riesgo aumentaba [tr]".

En virtud de que el riesgo del colateral fue subestimado, los CDOs fueron más riesgosos

desde el momento de su creación. Esto contribuyó al desarrollo de una burbuja hipotecaria

que al reventarse agravó las pérdidas. Sin embargo, cabe destacar que no se pensó que el

colateral fuera libre de riesgo; se sabía riesgoso11

.

Durante la crisis vivimos un círculo vicioso. Los distintos agentes están profundamente

relacionados y el deterioro de unos afectó a los otros. Expuesto de una manera simplista

pero ilustrativa: la crisis económica contribuyó a la crisis hipotecaria, ésta a su vez generó

grandes pérdidas para los bancos los cuales tuvieron que limitar el crédito. La caída en

10

A través del impago, el deudor le vende la garantía al acreedor por el monto restante de la deuda. Si el valor de la garantía (descontando costos jurídicos y otros gastos de ejecución y considerando el valor del dinero en el tiempo) es mayor al monto restante de la deuda, el impago no generaría pérdidas y, de hecho, se habría ejercido la opción de manera sub-óptima; en cambio, si el valor de la garantía es menor al remanente de la deuda, es óptimo ejercer la opción. A cambio de esta opción de venta, el acreedor cobra una prima a la cual usualmente se le conoce como spread. 11

Esto, por sí solo, no vuelve a la inversión mala o buena. Imaginemos la siguiente inversión o apuesta sin inversión inicial: se tira un volado con una moneda justa; si sale sol se ganan $200 pesos y si sale águila se pierden $100 pesos. Es una inversión muy atractiva que muchos estaríamos dispuestos a realizar. Sin embargo, aún así puede salir águila y resultar en pérdida nuestra inversión.




20 crédito y liquidez frenó a la economía. Esto empeoró la crisis económica cerrando con ello

el círculo vicioso.

Hablemos ahora sobre el riesgo de los tramos una vez reestructurados. Si bien la

diversificación permite reducir el riesgo idiosincrático, aún así se mantiene la exposición a

un riesgo sistémico. En otras palabras, incluso los tramos más seguros estaban expuestos al

riesgo de una crisis financiera o económica que afectaría a todos los activos. La

restructuración que hace un CDO redistribuye el riesgo y reduce el riesgo idiosincrático; sin

embargo, no desaparece todo el riesgo.

Cabe señalar que los bancos y demás inversionistas que conservaron los tramos AAA

creían tener una inversión muy segura; casi libre de riesgo. Por ejemplo, UBS utilizaba una

metodología de cobertura que le permitía comprar bajos niveles de protección de riesgo de

mercado pero considerar la posición perfectamente cubierta, según explica Barnett-Hart

(2009).

Esta subestimación del riesgo era respaldada por la calificación ofrecida por las

calificadoras. Una explicación parcial para esta subestimación generalizada del riesgo es

que muchos modelos utilizan información estadística, sin embargo, durante varios años se

había contado con un ambiente económico y financiero benigno donde, además, no se había

visto una fuerte caída en los precios de las viviendas.

Adicionalmente, cabe señalar que no se puede resumir toda la información relevante sobre

el riesgo crediticio con una calificación12

y que no es razonable pensar que dos

instrumentos con la misma calificación al riesgo crediticio pero con una estructura de pagos

completamente distinta, cubren el mismo perfil de riesgo.

Finalmente, debemos mencionar que la estructura del mercado contenía incentivos mal

alineados lo cual pudo haber propiciado selección adversa. Los originadores de las

12

Supongamos que conocemos a la perfección la función de distribución de las pérdidas o ganancias de cierto instrumento: conoceríamos las posibles pérdidas y la probabilidad de cada una; también obtendríamos el valor esperado, la varianza y nos fijaríamos en la asimetría y en la curtosis de la distribución. Sin embargo, no es razonable pensar que con una calificación podríamos resumir toda la información de la función de distribución de las pérdidas.




21 hipotecas ganaban comisiones por las hipotecas colocadas más no conservaban el riesgo.

Los estructuradores planeaban redistribuir la mayor parte del riesgo y no tenían incentivos

para evaluar los créditos específicos. Por su parte, las agencias calificadoras al riesgo

crediticio tampoco retendrían el riesgo y estaban presionadas a calificar de manera

expedita. Finalmente, aquellos inversionistas que conservarían el riesgo no estudiaban los

créditos específicos que contenía su CDO, sino que confiaban ciegamente en una

calificación.

Finalmente, cabe mencionar que el boom del sector fue muy rápido. La necesidad de

calificar complejos y novedosos instrumentos creció más rápido que el número de analistas

capacitados y modelos de valuación adecuados. Por si fuera poco, una alta calificación

parecía hacer felices a todos. Los inversionistas y estructuradores quedaban contentos. Esto

perpetuaba el crecimiento del mercado de CDOs lo que a su vez perpetuaba el crecimiento

de las ganancias para las calificadoras. Según consta en un reporte de la SEC (Securities

and Exchange Commission), un empleado de una calificadora escribió a un colega que

estaban creando "un monstruo todavía más grande: el mercado para CDOs. Sólo esperemos

que seamos ricos y nos hayamos retirado antes de que este castillo de naipes se tambaleé

[tr]" (Securities and Exchange Commission, 2008).

2.4 Visión a futuro sobre el mercado de los CDOs

Profundos cambios se necesitan en el sector de los CDOs. Sin embargo, no nos podemos

olvidar por completo de estos instrumentos. Recordemos de entre sus ventajas (i) que han

permitido a millones de familias acceder a un crédito hipotecario, (ii) que pueden ayudar a

una redistribución más eficiente del riesgo; y, (iii) que tienen importantes beneficios

potenciales para los agentes económicos e instituciones financieras.

No obstante, después de las pérdidas y el colapso del sector descrito en la sección anterior,

queda claro que el sector necesita importantes cambios estructurales. Se necesitan cambios

legales y regulatorios, cambios en el diseño de los contratos y las prácticas usuales,




22 cambios en la estructura de incentivos y se necesita revisar los modelos de valuación y

riesgo.

Consideramos que nuestro papel está en enfocarnos en los cambios o mejoras a los modelos

de valuación y riesgo. El instrumento, por si mismo, no es bueno ni malo: correctamente

valuado presenta enormes ventajas; pero incorrectamente valuado afecta a otros mercados y

puede provocar grandes pérdidas. "Los CDOs son como los amores, cuando son buenos son

grandiosos; pero cuando son malos hay que tener cuidado [tr]" (Blum, 2008).

Necesitamos modelos que permitan una mejor evaluación del riesgo y la incorporación de

éste en el precio del instrumento. G&S proponen una nueva metodología para valuar

CDOs. Probablemente esta metodología no sea aquella metodología perfecta que

solucionará todos los problemas de valuación y administración de riesgo; sin embargo, es

una metodología computacionalmente eficiente que ofrece una mejora importante con

respecto a los modelos anteriores. El presente trabajo pretende analizar e implementar dicha

metodología para valuar tramos de CDOs.

2.5 El valor de un CDO como una sumatoria de valores esperados

Como se analizó en la sección 2.1, un CDO permite proteger, transmitir y segmentar el

riesgo de impago. Se reestructura un portafolio y se redistribuye el riesgo crediticio a

diferentes inversionistas con diferente apetito de riesgo y rendimiento. El objetivo del

presente trabajo es valuar un CDO; ponerle un precio a cada tramo. Es deseable valuar cada

tramo por separado pues cada tramo será vendido a un distinto grupo de inversionistas.

Sin pérdida de generalidad, nos enfocaremos en valuar el Tramo k con puntos de corte A y

B (A<B). Es decir, los inversionistas del Tramo k serán responsables de las pérdidas por

arriba de A y hasta un máximo de B13

.

13

A puede ser 0 y B puede ser 100%. Por ejemplo, continuando con el ejemplo la sección 2.1, si A =0 y B=10%, entonces el Tramo k sería el Tramo de Capital; si A=10% y B=35% sería el Tramo Intermedio y si A=35% y B=100% sería el Tramo Sénior.




23 Una forma de valuar un instrumento financiero es calcular el valor esperado de sus flujos

futuros y descontarlos a valor presente. Si suponemos que los inversionistas del Tramo k

reciben flujos en los tiempos discretos t1, t2,…, tT entonces el valor esperado de sus flujos

futuros es la sumatoria del valor esperado en cada tiempo para . 14

Ecuación 1

donde es el flujo recibido por los inversionistas del Tramo k en el tiempo

Ecuación 2

Por lo tanto, si es el factor que nos permite descontar las cantidades en el tiempo y

traerlas a valor presente:

Ecuación 3

Cabe señalar que este es el precio por la totalidad del Tramo k. Si se quisiera subdividir el

Tramo k en partes iguales, sólo habría dividir el Precio del Tramo k entre .

2.6 Enfoque de Pérdidas Acumuladas

Siguiendo las ideas de G&S, para calcular el valor esperado de flujos futuros utilizaremos

el enfoque de pérdidas acumuladas o "portfolio loss approach" según su nombre en inglés.

14

Se podría considerar el flujo recibido por los inversionistas del Tramo k como un proceso continuo. Sin embargo, estamos siguiendo la descomposición propuesta por G&S y asumiendo que el error por "discretización" es irrelevante. Cabe señalar que el flujo al que tienen derecho los inversionistas del Tramo k sólo es observable en un conjunto discreto de puntos.




24 En la presente sección explicamos este enfoque. A cada tramo le corresponde cierto valor

nominal y al principio de la vida del instrumento ningún tramo ha sido afectado por

pérdidas. Conforme las pérdidas acumuladas en el portafolio crecen, se va afectando a más

tramos. En el ejemplo de la Sección 2.1, habíamos supuesto que en la fecha de pago de

cupón , se había incurrido en pérdidas del 25% del principal según se había ilustrado en

la Figura 4.

Copia de la Figura 4.

En este caso, los inversionistas del Tramo de Capital no recibían ningún pago. Los

inversionistas del Tramo Intermedio recibían 15% de la parte no afectada de su inversión,

equivalente al

de su inversión original. Finalmente, los

inversionistas del Tramo Sénior recibían el 5% del total de su inversión pues el valor

nominal que les corresponde no se había visto afectado.

La idea principal del enfoque de pérdidas acumuladas es, como su nombre lo indica,

encontrar las pérdidas acumuladas en cada fecha de pago de cupón. Así, podemos calcular

la parte no afectada por incumplimiento crediticio para cada tramo y calcular el pago

correspondiente a esta parte no afectada.




25 El valor nominal que le corresponde a los inversionistas del Tramo k es de B-A. Los

inversionistas del Tramo k son responsables por las pérdidas por arriba de y hasta un

máximo de .

Definición 1

Definimos como las pérdidas acumuladas por el portafolio al tiempo t. Es decir, como la

suma de todas las pérdidas sufridas por el portafolio en el horizonte .

Definición 2

Denotamos como las pérdidas que corresponden al Tramo k al tiempo t. En

consecuencia, tenemos que:

Definición 3

dónde la función se define como sigue:

Así pues tenemos que:

Sea la tasa cupón de los inversionistas del Tramo k. Como los inversionistas tienen

derecho a la parte no afectada de su inversión, al tiempo , el flujo recibido es:

Ecuación 4




26 Así pues, podemos dividir cada flujo en dos partes: el flujo libre de riesgo menos las

pérdidas que resulten por incumplimiento en el portafolio de referencia. El flujo libre de

riesgo no es estocástico y en consecuencia sale del operador esperanza como constante.

Estos flujos los valuaremos como si se tratasen de un bono sin riesgo. La parte interesante

viene de valuar las pérdidas.

En resumen:

Por lo tanto,

Ecuación 5

Finalmente, debemos resaltar que son constantes en el modelo. Por lo tanto,

bajo el enfoque de pérdidas acumuladas, el precio de un tramo cualquiera puede ser

expresado como una combinación lineal de elementos de la forma donde

representa las pérdidas acumuladas en una fecha de pago de cupón y donde es un punto

de corte. G&S proponen un método para aproximar . Las ideas presentadas en

esta sección se resumen en el siguiente esquema:




27 Figura 7

Precio tramo de un CDO

Valor esperado del flujo de efectivo descontado

Parte libre de riesgo

Bono usual sin riesgo

Pérdidas incurridas por un tramo

Combinación lineal de elementos del tipo E[(L-y)+]




28

3. Modelos de incumplimiento crediticio

El crédito ha existido casi desde el inicio de la historia de la humanidad. Es una

herramienta fundamental para el desarrollo económico y financiero de las personas,

corporaciones y los países. A la par del crédito, se encuentra el riesgo crediticio. Todo

aquel que presta dinero está interesado en conocer sobre el proceso de incumplimiento o

default.

La primera parte del capítulo, secciones 3.1 a 3.3, trata sobre los principales enfoques para

modelar el incumplimiento crediticio, sus diferencias y formas de reconciliar. La segunda

parte del capítulo, secciones 3.4 y 3.5, trata sobre el concepto de la correlación de

incumplimiento y sus complicaciones.

3.1 Dos enfoques para modelar el proceso de incumplimiento: modelos

estructurales y modelos reducidos

En la literatura sobre riesgo crediticio existen dos enfoques principales para describir el

proceso de incumplimiento o default: los modelos estructurales y los modelos reducidos.

Ambos géneros presentan importantes ventajas y desventajas y tienen seguidores tanto en la

academia como en la industria.

La esencia de los modelos estructurales consiste en modelar las variables estructurales o

fundamentales del deudor (como el valor de los activos y la deuda) para predecir el

incumplimiento. Por ejemplo, en un modelo en donde el incumplimiento surge cuando los

activos caen por debajo de cierto umbral sería un modelo estructural.

El modelo de Merton (1974) es considerado el padre de los modelos estructurales15

. Este

modelo considera una estructura de deuda-capital simplista: la deuda es un bono cupón cero

que paga D pesos al tiempo T; el logaritmo de los activos (A) sigue un proceso browniano;

15

El modelo de Merton (1974) es uno de los artículos más citados en la literatura sobre modelos estructurales.




29 y la empresa no paga dividendos. En este modelo, si el valor de los activos al tiempo T es

menor que D , se incumple, y los acreedores toman el control de la empresa. Visto

así, el capital es equivalente a una opción de compra tipo europeo (call europeo) sobre los

activos de la empresa con precio de ejercicio (strike price) D: Si , los accionistas

reciben ; pero si , reciben cero.

Así pues, se cumplen los supuestos del famoso modelo de Black-Scholes-Merton y el

capital es equivalente a un call europeo. En consecuencia, Merton (1974) utiliza la

metodología de Black-Scholes-Merton para obtener el valor del capital. El valor de la

deuda es simplemente el valor de los activos menos el valor del capital.

El enfoque del modelo de Merton (1974) es muy atractivo y, además, cabe destacar su

papel como precursor de los modelos modernos de riesgo crediticio. Sin embargo, algunos

de sus supuestos son poco realistas y son desafiados por la evidencia empírica16

. Muchos

investigadores han propuesto cambios al modelo de Merton (1974) en busca de hacerlo más

realista.17

Adicionalmente, Delianedis y Geske (2001) han encontrado que no todo el spread

crediticio se debe al riesgo de incumplimiento. "Mostramos que para empresas AAA (BBB)

sólo un bajo porcentaje, 5% (22%) del spread crediticio es atribuible al riesgo de

incumplimiento. […] Mostramos, además, que diferentes supuestos sobre el proceso de

recuperación tampoco pueden explicar el spread residual18

[tr]" (Delianedis y Geske,

2001). 19

16

Por ejemplo, el modelo de Merton (1974) predice bajos diferenciales para la deuda a corto plazo comparado con la evidencia empírica. Esto se debe a que conforme el vencimiento se acerca, se puede predecir con mayor precisión la probabilidad de incumplimiento pues el logaritmo de los activos sigue un proceso browniano y sólo existe incumplimiento al vencimiento. 17

Estos avances incluyen: la posibilidad de incumplimiento antes del vencimiento a través de pagos de cupones en los cuales la empresa puede incumplir o no; estructuras más complejas de la deuda; otro tipo de umbrales de incumplimiento; tasas de interés estocásticas; pago estratégico del servicio de la deuda; información incompleta sobre la empresa; saltos aleatorios en el valor de los activos; entre muchos otros. 18

Delianedis y Geske (2001) definen la diferencia entre el spread creditico observado y el spread por riesgo de incumplimiento estimado (con base en modelos de opciones financieras) como el spread residual. 19

Hay factores como impuestos, liquidez y riesgo de mercado que también contribuyen al spread crediticio.




30 En contraste con los modelos estructurales, los modelos reducidos definen un proceso

exógeno que determina el incumplimiento o default. Por ejemplo, un modelo donde el

incumplimiento se da la primera vez que ocurre un evento de un proceso Poisson con tasa

es un modelo reducido. En este caso, la probabilidad de default es simplemente la

probabilidad de que un evento del proceso Poisson ocurra antes del vencimiento. A se le

conoce como la intensidad del proceso.

Naturalmente, se puede extender esta idea. Se puede hacer que la intensidad sea estocástica;

que siga un proceso de difusión o que sea una función de una serie de factores. La esencia

de los modelos reducidos está en que se define un proceso exógeno que modela el

incumplimiento.

3.2 Diferencias principales entre los modelos estructurales y los modelos

reducidos

La presente sección resalta algunas de las principales diferencias entre ambos enfoques. La

primer diferencia que queremos resaltar es que los modelos estructurales se basan en

información estructural sobre el deudor y los modelos reducidos en información de

mercado. Los modelos estructurales se basan en información que afecta la capacidad de

pago del deudor y el valor subyacente de sus activos; y los modelos reducidos se basan en

información pública.

En algunos casos, existen inconvenientes al basarse en información estructural, como

requieren los modelos estructurales. Se puede tener información incompleta o variables no

observables en tiempo continuo. Además, los modelos basados en información de mercado

son más fáciles de calibrar. Por eso, basarse en información de mercado es una ventaja de

los modelos reducidos.

No obstante, basarse en información fundamental provee un vínculo directo entre la

situación financiera del deudor y el riesgo de incumplimiento. Pensar que la probabilidad

de incumplimiento depende directamente de la situación y la liquidez del deudor es




31 intuitivo y teóricamente atractivo. Este vínculo es una ventaja de los modelos estructurales

sobre los modelos reducidos.

Otra diferencia entre ambos tipos de modelo está en la sorpresa del default. En los modelos

estructurales, debido al supuesto de información perfecta, conforme decrece el plazo a

vencimiento crece la precisión con la que se puede predecir el incumplimiento. Por eso,

para plazos pequeños el default no sorprende. "Con información perfecta, los spreads para

las empresas sobrevivientes son cero para un tiempo a vencimiento de cero y son

relativamente pequeños cuando el tiempo a vencimiento es pequeño sin importar que tan

riesgosa sea la empresa [tr]" (Duffie & Lando, Term Structures of Credit Spreads with

Incomplete Accounting Information, 2001). En consecuencia, los modelos estructurales

tienden a subestimar el spread a corto plazo. El proceso exógeno de los modelos reducidos

evita este inconveniente. Esta es otra ventaja de los modelos reducidos.

También es distinta la modelación del proceso de recuperación dado que hubo

incumplimiento (normalmente, aún en el caso de default el acreedor no pierde la totalidad

de su inversión20

). En los modelos estructurales, la misma evolución de las variables

estructurales define el proceso de recuperación. En un modelo reducido, el proceso de

recuperación también es un proceso definido de manera exógena.

En resumen, los modelos reducidos tienen la ventaja de basarse en información de mercado

y los modelos estructurales tienen la ventaja de ofrecer un vínculo directo entre la situación

financiera específica del deudor y el riesgo de incumplimiento. Cabe notar que los modelos

estructurales no permiten el default sorpresa lo cual subestima el riesgo crediticio a corto

plazo. Finalmente, notamos que las diferencias entre los dos enfoques también implican

diferencias en el proceso de recuperación.

20

El acreedor no pierde la totalidad de su inversión pues puede haber un pago parcial; se puede llegar a un acuerdo de restructuración o puede el acreedor, inclusive, adjudicarse la garantía ofrecida por el crédito.




32

3.3 Reconciliando los modelos estructurales y los modelos reducidos

Ambos enfoques tienen importantes ventajas y la pregunta lógica es cómo se podrían

reconciliar estos enfoques. Se han hecho investigaciones al respecto. Sin embargo, al

menos actualmente, no se puede hablar de una unificación total.

En los modelos estructurales, para abordar el problema de que el default no sorprende en el

corto plazo, se puede suponer que se tiene información incompleta. Esto permite que

existan sorpresas en el incumplimiento lo cual está en línea con la evidencia empírica.

Sorprendentemente, "con información imperfecta, el default ocurre con cierta intensidad

[…] así que uno puede ver a este modelo estructural con información incompleta como

formalmente equivalente a un modelo reducido [tr]" (Duffie & Singleton, Credit Risk:

Pricing, Measurement and Management, 2003). Por otro lado, para generar un vínculo entre

la situación financiera de un deudor y la probabilidad de incumplimiento en los modelos

reducidos, se puede hacer que la tasa de intensidad del proceso dependa de variables que

reflejen la situación financiera del deudor21

.

La metodología de G&S considera que hay factores específicos que sólo afectan a un

deudor y factores comunes que afectan a todos los deudores; esto es compatible con la

visión de los modelos reducidos. No obstante, la metodología de G&S admite que la

probabilidad de incumplimiento se estime con cualquiera de los enfoques. En la actualidad,

existen partidarios de los modelos estructurales, partidarios de los modelos reducidos, y

partidarios de buscar una unificación de ambos enfoques.

3.4 El rol de la correlación de default

Si hablamos de un portafolio con instrumentos de deuda, los deudores pueden ser

individuos, empresas o incluso países enteros. En cualquiera de los casos, los deudores

21

Por ejemplo, "se puede permitir que la intensidad de default dependa de variables observables vinculadas con la verosimilitud de incumplimiento como la razón de deuda-a-capital, medidas de volatilidad [y] otras medias contables de endeudamiento [tr]" (Duffie, Credit Risk Modeling with Affine Processes, 2005).




33 están expuestos a factores comunes

22. Esto hace que sus flujos y su prosperidad o

adversidad estén relacionados. En consecuencia, los incumplimientos también están

correlacionados.

Hay épocas benignas donde el número de incumplimientos es relativamente bajo; y épocas

(de crisis) dónde este número crece de manera significativa. Por ejemplo, "el patrón de las

tasas de incumplimiento anuales de toda la deuda corporativa de EUA desde 1900 es

notable por la alta concentración de defaults cerca de 1914 y 1933. Una gran variedad de

empresas en casi todos los sectores incumplió sus obligaciones crediticias en esas dos

depresiones [tr] " (Lucas, 1995). Notamos que la diversificación no elimina el riesgo de

default causado por la situación general de la economía, así como no elimina el riesgo

sistémico.

Incluso con derivados de crédito sencillos debemos considerar la correlación entre

incumplimientos. Para ilustrar esta idea, supongamos que adquirimos un bono riesgoso y

un swap de incumplimiento creditico (CDS) para proteger nuestra inversión. Asumamos

que no hay recuperación en caso de default; que el emisor del bono incumple con 10% de

probabilidad y que la contraparte del swap incumple con 5% de probabilidad.

Nuestra inversión parece muy segura, pues si el emisor del bono incumple, el CDS protege

nuestra inversión23

. De hecho, si suponemos independencia entre el incumplimiento del

emisor y el incumplimiento de la contraparte del swap, la probabilidad de pérdida es

.24

Notamos que la probabilidad de pérdida es más baja incluso que la probabilidad

del default del vendedor del CDS; pues tenemos una doble protección.

22

Por ejemplo, si los deudores son empresas dedicadas a la construcción de viviendas en México, todos están expuestos a la situación de esta industria. Si los deudores son empresas mexicanas de diferentes sectores, todos están afectados por la situación de la economía en México. Incluso si los deudores son distintos países, todos están afectados por la situación de la economía global. 23

Sea la indicadora del evento que el emisor del bono incumple y la indicadora del evento que la contraparte del CDS incumple. La inversión genera pérdidas si el emisor del bono incumple y posteriormente el vendedor del swap incumple nuevamente. Matemáticamente: . 24

Como supusimos independencia:




34 Ahora, supongamos que la correlación entre ambos incumplimientos es . Entonces, la

probabilidad de incumplimiento sería 25

; mucho mayor que al suponer

independencia. De hecho, veces mayor. Cabe señalar que si la correlación fuera

negativa, la probabilidad de pérdida sería menor. Sin embargo, la intuición, la teoría y la

evidencia empírica señalan que, generalmente, la correlación es estrictamente positiva.

Cabe destacar que si se trata de un portafolio con muchos deudores, el rol de la correlación

se vuelve todavía más importante; especialmente en el caso de instrumentos que dependen

del cumplimiento o incumplimiento de un gran número de deudores (como lo es un CDO).

Por ejemplo, imaginemos un CDO formado por 100 instrumentos de deuda donde cada

deudor acuerda pagar un peso a vencimiento. Supongamos que son deudores muy riesgosos

que incumplen 25% de probabilidad y que no hay pagos intermedios ni recuperación en

caso de incumplimiento. Ahora, consideremos el tramo sénior de este CDO el cuál

suponemos se responsabiliza por las pérdidas arriba del 35% del valor nominal del

portafolio.

Si suponemos independencia, el número de incumplimientos sería una variable aleatoria

, el valor esperado de las pérdidas absorbidas por el tramo sénior

sería de $0.02 pesos (2 centavos) y hay menos de 1% de probabilidad de que las pérdidas

toquen al tramo sénior.

Ahora, consideremos el otro extremo. Supongamos que todos los deudores están

perfectamente correlacionados (positivamente). En esto caso, el valor esperado de las

pérdidas que deberán ser absorbidas por el tramo sénior sube drásticamente a $16.25 y hay

un 25% de probabilidad de que este tramo incurra en pérdidas (pérdidas del total de su

inversión).

25

Como




35 Si suponemos que los deudores están positivamente correlacionados pero no perfectamente

correlacionados, obtendremos valores intermedios. Dependiendo de la estructura de

correlación que utilicemos, nuestro modelo puede sugerir que este tramo se trata de un

instrumento muy seguro o de un instrumento muy riesgoso.

Adicionalmente, la correlación entre incumplimientos también "juega un rol importante en

el momento en el que los defaults ocurren y, como consecuencia, en la distribución de las

pérdidas del portafolio [tr]" (Valuzis, 2008). En conclusión, la correlación juega un rol

fundamental para valuar y administrar el riesgo de un CDO.

3.5 Complicaciones sobre el concepto de correlación de default

Desafortunadamente, "capturar la dependencia entre deudores tiene un costo: un aumento

en complejidad, tanto en la modelación como en el cómputo [tr]" (Glasserman &

Suchintabandid, 2007). Es notable el problema del aumento en el costo computacional,

pues puede hacer que la metodología se vuelva inviable.

Si bien la correlación es una medida de dependencia ampliamente utilizada en la literatura y

práctica estadística, aplicarla a la valuación y administración de riesgo en instrumentos

crediticios tiene sus complicaciones adicionales. La correlación es un concepto

probabilístico que sólo tiene sentido en el contexto de variables aleatorias. A saber, si

son variables aleatorias, el coeficiente de correlación se define como

Definición 4

donde es la media, es la desviación estándar y es el operador valor esperado. Los

subíndices se refieren a las variables aleatorias.

Como afirman Cifuentes & Katsaros (2007):




36 "Frases como la empresa X y la empresa Y están correlacionadas carecen de

sentido. Es necesario referirse a variables cuantificables asociadas a las

empresas X y Y (por ejemplo, precio de la acción, crecimiento de ventas, o

spread de riesgo crediticio) para que la aseveración tenga sentido. En el

mismo tenor, decir que el incumplimiento crediticio de las empresas 1 y 2

está correlacionado, no tiene mucho sentido a menos que se especifique una

variable aleatoria que capture el significado de incumplimiento crediticio. En

resumen, antes de poder hablar de correlación de default, tenemos que definir

una variable aleatoria que capture el incumplimiento crediticio [tr]".

En consecuencia, la correlación de default depende de qué variable aleatoria utilicemos

para capturar el incumplimiento crediticio. Al momento de definir esta variable aleatoria,

tenemos que considerar varios elementos. En primer lugar, debemos considerar el horizonte

de tiempo.26

En segundo lugar, así como la probabilidad de default, las "correlaciones

cambian con el tiempo y pueden cambiar de manera dramática en periodos turbulentos [tr]"

(Singleton, 2012). Esto, además, dificulta utilizar información histórica para estimar la

situación actual. Al utilizar información histórica, "es difícil distinguir cuando las

fluctuaciones históricas en las tasas de incumplimiento se deben a la correlación de default

y cuando se deben a cambios en la probabilidad de default [tr]" (Valuzis, 2008). Tercero,

no tenemos claridad absoluta de todos los factores que afectan la correlación de default y de

cómo la afectan. Por ejemplo, "las correlaciones de default entre compañías con grado de

inversión son menores que entre compañías que no tienen grado de inversión" (Nagpal &

Bahar, 2001). Finalmente, notamos que en muchas aplicaciones no nos basta conocer el

valor de la correlación; necesitamos la distribución conjunta de incumplimientos

correlacionados.

26

La probabilidad de que una persona de 60 años muera en el próximo año es más baja que la probabilidad de que muera en los próximos 30 años. Análogamente, la probabilidad de que un bono a 30 años incumpla este año es más baja que la probabilidad de que incumpla en los próximos 30 años. En el mismo sentido, al considerar dos bonos, la probabilidad de que ambos incumplan este año es más baja que la probabilidad de que ambos incumplan en los próximos 30 años.




37 Por eso, ni siquiera hay una definición homogénea sobre qué es la correlación entre

incumplimientos en un contexto de valuación de productos estructurados y derivados de

crédito. En otras palabras, no hay consenso de qué variable aleatoria usar para definir la

correlación de default. Lucas (1995) define, para cada deudor, una variable Bernoulli como

la indicadora del evento que el deudor incumpla. Posteriormente, define la correlación de

incumplimiento entre dos deudores como la correlación de estas variables Bernoulli. Sin

embargo, esta definición no considera el horizonte del tiempo. Li (2000) define variables

aleatorias continuas a las que llama time-until-default que miden el tiempo desde hoy hasta

que un deudor incumpla. Posteriormente, define la correlación de default como la

correlación de estas variables continuas. Por otro lado, Valuzis (2008) afirma que la

correlación de default se puede definir como la correlación "entre movimientos Brownianos

que representan los activos de empresas individuales [tr]". De acuerdo con Li (2000),

CreditMetrics analiza la correlación de default a través de una correlación basada en el

valor de los activos. Y así, en diversos artículos académicos y aplicaciones se define

explícita o implícitamente la correlación de default de diversas maneras. La correlación de

default no es un concepto sencillo ni homogéneo lo cual contribuye a la dificultad de

incluirla en los modelos.

Los modelos que son condicionalmente independientes están en un punto intermedio entre

los modelos que suponen independencia entre el incumplimiento de los deudores y los

modelos que permiten cualquier tipo de estructuras de dependencia. En estos modelos, el

incumplimiento de los deudores está afectado por factores comunes, sin embargo, se vuelve

independiente si condicionamos o fijamos estos factores27

.

G&S suponen un modelo con dependencia entre deudores basado en una serie de factores.

En este modelo, el incumplimiento se vuelve condicionalmente independiente dados estos

27

Por ejemplo, podemos pensar que la tasa de incumplimiento de ambos deudores está afectada por las mismas variables macroeconómicas, pero que el default que no es explicado por estas variables macroeconómicas se debe a la situación particular de cada deudor y este remanente es independiente. En este caso, la tasa de incumplimiento sería condicionalmente independiente dadas las variables macroeconómicas.




38 factores; a estos factores se les puede dar interpretaciones económicas, como factores de

riesgo de una industria particular o factores que reflejan la situación de la economía.




39

4. Cópulas

En términos generales, las cópulas son funciones de que cumplen ciertas

propiedades. El matemático Abe Sklar las introdujo en su forma general en 1959. Gracias a

algunas de sus propiedades, a partir del año 2000, las cópulas han contado con gran

popularidad en la administración de riesgos y en la valuación de algunos instrumentos

estructurados.

En el presente capítulo introducimos las cópulas de manera matemática, enfocándonos en

las propiedades que las hacen convenientes para valuar CDOs. En la primera parte del

capítulo, secciones 4.1 a 4.5, presentamos conceptos y definiciones que nos serán útiles

posteriormente. La segunda parte del capítulo, secciones 4.6 a 4.9, trata sobre las cópulas

propiamente.

4.1 Algunas definiciones y conceptos matemáticos

En la presente sección, presentamos algunas definiciones y conceptos matemáticos

Primero, definimos la recta real extendida agregando los símbolos , y a :

Definición 5

Asimismo, definimos la siguientes operaciones en entre los elementos , , y los

símbolos de .

Definición 6

a)

b) y

c)




40 Entre elementos de , respetamos las definiciones usuales. Introducimos un orden total en

, respetando el orden usual de :

Definición 7

Definición 8

Y si f es una función. Definimos:

,

Cuando estos límites existen.

También, definimos de manera análoga a , pero donde cada coordenada toma

valores en . Es decir:

Definición 9

Definición 10

Adicionalmente, definimos Análogamente,

4.2 Funciones m-crecientes

En la presente sección introducimos las funciones m-crecientes. Si tenemos una función

, es muy intuitiva la definición de que sea creciente; formalmente:




41 Definición 11

Decimos que una función real es creciente sobre si con

Similarmente, decimos que es estrictamente creciente sobre si

con

Sin embargo, si no es tan claro cómo podríamos extender la idea de que una

función sea creciente.28

Para definir qué significa que una función de sea m-

creciente nos apoyaremos en las siguientes definiciones.

Definición 12

Un rectángulo m-dimensional es un subconjunto de de la forma donde

cada es un intervalo de la forma , con .

En lo subsecuente, cuándo digamos que es un rectángulo m-

dimensional, está implícito que , y que, en consecuencia, es un

intervalo no vacío subconjunto de . Notamos, sin embargo, que nuestra definición permite

intervalos degenerados, es decir, intervalos formados por sólo un punto. También, nuestra

definición permite entender a todo el espacio como un rectángulo m-dimensional.

Definición 13

Dado un rectángulo m-dimensional donde , un vértice

de es un punto tal que ó .29

Definición 14

Sea un rectángulo m-dimensional y sea un vértice de S, denotamos al número de

extremos inferiores que ocurren en la representación por coordenadas del vértice .30

28

No es tan claro cómo podríamos definir que un vector en sea mayor que un vector también en

cuándo en unas coordenadas es mayor la coordenada del vector y en otras es mayor la coordenada del vector . Por ejemplo, en ¿quién es mayor: (0,1) ó (1,0)? 29

Un rectángulo m-dimensional tiene vértices. Si decimos que el rectángulo es degenerado. En un rectángulo degenerado, uno o más de sus vértices son iguales.




42 Definición 15

Sea con , y sea un rectángulo m-dimensional cuyos

vértices, todos, pertenecen . Entonces, el G-volumen de denotado es:

donde la sumatoria es sobre todos los vértices de S.

En :

Lema 1

Sea la función producto dada por . Sea

un rectángulo m-dimensional. Entonces: 31

Demostración

Por inducción sobre m

Si , , y . .

Si , ,

Supongamos el resultado es válido para

y .

30

De manera coloquial, la definición nos dice que si es un rectángulo m-dimensional y un vértice de S, entonces, es el número de que aparecen en las coordenadas de . 31

Este lema nos dice que si es la función producto, entonces el f-volumen de un rectángulo m-dimensional es el volumen usual m-dimensional, lo cual explica el uso de la palabra "volumen" en la definición.




43 Consideremos y .

tiene el doble de vértices que . Para cada vértice de , tiene

los vértices y .

Más aún, pues tiene un extremo

inferior más que . Pero, pues tiene el

mismo número de extremos inferiores que .

Así pues,

Por lo tanto,

Finalmente, estamos en posición de definir qué quiere decir que una función sea m-

creciente.




44 Definición 16

Sea . Sea una función real. Decimos que es m-

creciente si para todos los rectángulos m-dimensionales cuyos vértices

pertenezcan a . 32

El siguiente teorema muestra que la definición m-creciente es, en efecto, una extensión de

la definición de creciente en .

Teorema 1

Sea Sea una función real

-creciente

Demostración:

Sean Como f es creciente en ,

.

Sean Como es , para todos los

rectángulos m-dimensionales cuyos vértices pertenezcan a . En particular,

El siguiente ejemplo nos muestra una función 2-creciente.

Ejemplo 1

Sea la función mínimo dada por

.

Entonces es 2-creciente.

32

Morillas (2005) caracteriza las funciones absolutamente monótonas de orden m y discute ciertas relaciones entre éstas y las funciones m-crecientes que justifican el uso de la palabra "creciente" en la definición anterior.




45 Demostración:

Sea S un rectángulo 2-dimensional.

.

Como sabemos que y , tenemos 6 posibles casos según el orden de los

vértices de S.

en todos los casos.

es -creciente.

Ahora veamos que la siguiente función es m-creciente con m arbitrario.




46 Ejemplo 2

Sea la función producto dada por . Entonces, es m-

creciente.

Demostración:

Sea un rectángulo m-dimensional cualquiera.

. Por el Lema 1, . para todos los

rectángulos m-dimensionales cuyos vértices pertenezcan a

4.3 Algunas definiciones y conceptos probabilísticos

Definición 17

Un espacio medible es una pareja en la que es un conjunto no vacío y es una

sigma-álgebra de subconjuntos de .

Definición 18

Un espacio de probabilidad es una terna donde es un espacio medible y

es una medida en tal que .

Definición 19

En un espacio de probabilidad , una variable aleatoria es una función

que es -medible. 33

33

De manera más coloquial y menos rigurosa, consideremos un experimento aleatorio o incierto. Por ejemplo, tirar dos monedas justas. sería el espacio de resultados o conjunto de los posibles resultados del experimento aleatorio: {(AA),(AS),(SA),(SS)} dónde A es águila y S es sol. sería el conjunto de eventos relacionados con el experimento; por ejemplo, cayó al menos un águila, ambas monedas tuvieron diferentes resultados, etc. sería una función que asocia un evento con su probabilidad; por ejemplo,

. Y finalmente, sería una función que toma valores en la

recta real definida en el espacio de resultados; por ejemplo podría representar el número total de águilas.




47

4.4 Funciones de distribución

Como veremos posteriormente, las cópulas están profundamente relacionadas con las

funciones de distribución. En la presente sección definiremos conceptos relacionados con

las funciones de distribución.

Definición 20

Una función de distribución m-dimensional es una función que satisface

las siguientes propiedades:

(1)

(2)

(3) es -creciente.

(4) es continua por la derecha en cada variable por separado.

Lema 2

Una función de distribución m-dimensional es monótona no decreciente en cada variable

por separado.

Demostración

Sea una función de distribución m-dimensional. S.P.G. consideramos la primer variable

de . Sea , y . Sea un

rectángulo m-dimensional.34

Como es m-creciente:

pues en los sumandos donde aparece algún , la propiedad (2) dice que vale cero.

Definición 21

Sea una función de distribución m-dimensional. Definimos la k-ésima

marginal de cómo la función dada por:

34

Nuestra definición de rectángulo m-dimensional permite que y sean extremos.




48

Definición 22

La función de distribución de la variable aleatoria es la función que

satisface:

Es decir, denota la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o

igual a 35

En muchos casos estamos interesados en conocer información o estimar probabilidades

sobre dos o más variables aleatorias de manera conjunta. De manera similar al caso

univariado:

Definición 23

Definimos la función de distribución conjunta de las variables aleatorias ,36

como la que satisface:

37

35

Es claro que toda función que satisfaga que , satisface, a la vez, las condiciones para ser una función de distribución 1-dimensional. También notamos que y pues toma valores reales. 36

A la función de distribución de la variable aleatoria X también se le conoce como función de distribución acumulada de X, o como función de acumulación de X. Análogamente, a la función de distribución conjunta de las variables aleatorias también se le conoce como la función de distribución acumulada de o la función de acumulación conjunta de . Cabe señalar que, según nuestras definiciones, una función de distribución m-dimensional y la función de distribución conjunta de las variables aleatorias son conceptos distintos. Una función de distribución m-dimensional es una función que satisface las propiedades de la Definición 20 y no hace referencia a ninguna variable aleatoria ni probabilidad. Por otro lado, la función de distribución conjunta de las variables aleatorias es una función que satisface que . 37

Notamos que si tenemos la función de distribución conjunta de las variables aleatorias y queremos obtener la función de distribución de la variable aleatoria evaluada en a, substituimos el valor

en todos los lugares excepto el de , donde ponemos el valor . En una aplicación práctica,

substituiríamos por un valor suficientemente grande.




49 Al obtener el -volumen de un rectángulo m-dimensional obtenemos interesantes

resultados, a saber:

Lema 3

Sean variables aleatorias. Sea un rectángulo 2-dimensional.

Sea . Entonces,

Demostración:

Por definición:

Utilizando un argumento analítico, definimos los siguientes eventos disjuntos sobre las

variables aleatorias . ,

,

Asimismo, vemos que:

Como los eventos son disjuntos,




50

Teorema 2

Sean variables aleatorias. Sea un rectángulo m-

dimensional. Sea .

Entonces:

Demostración

Por inducción sobre m

Es el resultado del lema anterior.

Supongamos que el resultado es válido para con

Sea un rectángulo -dimensional.

Consideremos el rectángulo m-dimensional . Por cada vértice

de , tiene dos vértices. A saber

y .




51 Así pues,

Es decir, partimos la sumatoria sobre los vértices de en dos sumatorias sobre los vértices

de . El símbolo negativo antes de la primer sumatoria se debe a pues

la representación por coordenadas del vértice tiene un extremos inferior más que la

representación por coordenadas del vértice .

Más aún, por hipótesis de inducción:

y análogamente,




52

Corolario 1

Si es m-creciente.

Demostración:

Sea un rectángulo m-dimensional.

es m-creciente.

Corolario 2

Si es una función

de distribución m-dimensional. Es decir:

a)

b)

c)

d) es -creciente.

e) es continua por la derecha en cada variable por separado.

Demostración:

a) está definido por definición.

. , pues evento .




53 b) pues toman valores

reales.

c) Sea pues toma valores reales. Así pues,

d) Es el resultado del corolario anterior.

e) S.P.G. consideramos la primer variable. Sean .

Pues , y

A partir de la función de distribución conjunta podemos obtener las funciones de

distribución marginales. Sin embargo, no siempre podemos formar la función de

distribución conjunta a partir de la funciones de distribuciones marginales.

4.5 Independencia e independencia condicional

En esta sección, definimos los conceptos de independencia e independencia condicional

tanto para eventos como para variables aleatorias. Sean variables aleatorias, sean

eventos, y sean conjuntos de números reales;38

entonces:

38

Estas ideas se pueden generalizar al caso de más variables aleatorias o eventos.




54 Definición 24

Decimos que los eventos y son independientes, si y sólo si .

Definición 25

Decimos que las variables aleatorias , y son independientes, si para cualesquiera

conjuntos de números reales y , los eventos y son independientes.

Definición 26

Si , decimos que los eventos y son condicionalmente independientes dado

si y sólo si:

Definición 27

Decimos que las variables aleatorias son independientes, dada la variable , si para

cualesquiera conjuntos de números reales , los eventos y son

condicionalmente independientes dado para todo conjunto de números reales tal

que

4.6 Definición de cópula

Después de las definiciones y conceptos que hemos introducido, estamos en posición de

definir las cópulas las cuales son el objeto principal del presente capítulo. Recordamos que

anteriormente definimos y .

Así pues:

Definición 28

Una cópula 2-dimensional es una función que satisface las siguientes

propiedades:

(1)




55 (2)

(3) .


Al generalizar la definición anterior:

Definición 29

Una cópula m-dimensional (o m-cópula) es una función que satisface las

siguientes propiedades:

(1)

(2)

(3)


Una cópula m-dimensional es una función de , cuyo dominio y rango son e

respectivamente que cumple ciertas propiedades. No hay una única cópula m-

dimensional,39

pues hay muchas funciones que cumplen las propiedades solicitadas.

Veamos algunas funciones que son cópulas.

Definición 30

Denotamos como cópula producto m-dimensional a la función dada por

. 40

También la función dada por es cópula.41

39

A menos que estemos hablando de una cópula 1-dimensional, pues la única cópula 1-dimensional es la función identidad. 40

Dominio y rango son los adecuados por definición. La demostración de las propiedades (1) y (2) es trivial,

pues , por lo que es claro que ,

y que . Además Ejemplo 2 el garantiza que la

cópula producto m-dimensional sea m-creciente. Por último, claramente es continua en cada variable. 41

Dominio y rango coinciden por definición. pues Análogamente, Además como y pues ambas pertenecen a es claro que si




56 En una primera instancia, una cópula no parece una función mayormente especial;

simplemente es una función que cumple ciertas condiciones. A lo más, probar que

una función es m-creciente puede ser laborioso. Sin embargo, las cópulas tienen

propiedades muy convenientes. En la siguiente sección motivamos su uso en derivados de

crédito y productos estructurados.

4.7 Motivación del uso de cópulas en instrumentos estructurados

Regresando a los productos de crédito estructurados, en un gran número de casos como

calcular el VAR, estimar las pérdidas de un portafolio o poner precio a un tramo de un

CDO necesitamos la función de distribución conjunta. No obstante, usualmente, a lo más

contamos con (o más bien, podemos estimar) las distribuciones marginales. Sería sencillo

suponer independencia y multiplicar las marginales para obtener la función de distribución

conjunta. No obstante, como ya hemos analizado en el Capítulo 3, este supuesto de

independencia puede ser injustificable y poco realista.

Sin embargo, por medio de una cópula m-dimensional y m funciones de distribución -

dimensionales, podemos hacer una composición de funciones y obtener una función de

distribución m-dimensional. En consecuencia, podemos unir las distribuciones marginales

de las variables aleatorias con una herramienta que tiene inherente una estructura

de correlación definida. Más aún, el Teorema de Sklar garantiza la existencia de una cópula

con la que obtendremos la función de distribución conjunta de las variables aleatorias

. En adición, uno de los corolarios del teorema da condiciones para la unicidad.

En esta sección se analiza cómo se puede obtener una función de distribución m-

dimensional a partir de una cópula y de m funciones de distribución -dimensionales y

cómo las marginales de esta nueva función de distribución m-dimensional son las funciones

de distribución -dimensionales originales. En la siguiente sección se estudia el Teorema

de Sklar y sus corolarios.

. Adicionalmente, el Ejemplo 1 muestra que es 2-creciente. Claramente también es

continua en cada variable.




57 Teorema 3

Sea una cópula m-dimensional. Sean funciones de distribución 1-

dimensionales. Definimos como sigue:

Ecuación 6

Entonces,

es una función de distribución m-dimensional.

Demostración:

(0) Primero, notamos que las dimensiones coinciden, que nuestra función está bien

definida y que el dominio y rango son los adecuados.

cada coordenada , por ende está definida y . Así

pues, que es el argumento que recibe la cópula m-

dimensional . Además, como el rango de es ; en efecto, ,

y la función G está bien definida.

(1)

(2)

(3) Sea un rectángulo m-dimensional. Como es 1-

creciente, es creciente sobre todo su dominio

es otro rectángulo m-dimensional.




58

(4) La propiedad (4) se sigue de que es una composición de funciones continuas

por la derecha.

Corolario 3

Sea una cópula m-dimensional. Sean variables aleatorias con sus respectivas

funciones de distribución

. Definimos como sigue:

Ecuación 7

Entonces,

es una función de distribución m-dimensional.

Demostración:

La función de distribución de una variable aleatoria es una función 1-dimensional.

En otras palabras, el Teorema 3 nos dice cómo crear una función de distribución m-

dimensional a partir de m funciones de distribución 1-dimensionales y una cópula.

Adicionalmente, sería de nuestro interés que las marginales de la función de distribución m-

dimensional que acabamos de crear sean las funciones de distribución originales. En otras

palabras, no sería deseable que la función de distribución m-dimensional creada a partir de




59 m funciones de distribución 1-dimensionales tuviera marginales distintas a las m funciones

de distribución 1-dimensionales que le dieron vida. Afortunadamente, contamos con el

siguiente Teorema.

Teorema 4

Sea una cópula m-dimensional. Sean funciones de distribución 1-

dimensionales. Sea como se definió en el Teorema 3. Sean las m marginales de

la función de distribución

Entonces,

Demostración:

Sea Primero notamos que por definición y tienen el mismo dominio y

rango. Sea .

Corolario 4

Sea una cópula m-dimensional. Sean variables aleatorias definidas sobre

espacio de probabilidad común y sean

sus funciones de distribución

respectivamente. Sea como se definió en el Corolario 3. Sean las m marginales

de la función de distribución

Entonces,




60

Demostración:

La demostración se sigue de que la función de distribución de una variable aleatoria es una

función de distribución 1-dimensional y del corolario anterior.

Por lo tanto, la función G definida en el Teorema 3 a través de una cópula y de m funciones

de distribución 1-dimensionales es una función de distribución m-dimensional. Más aún, las

marginales de la función G, coinciden con las funciones de distribución 1-dimensionales

originales. Los corolarios resaltan el caso cuando G se define a través de una cópula y de

las funciones de distribución univariadas de m variables aleatorias.

Es muy importante resaltar el siguiente hecho: cualquier cópula m-dimensional y

cualesquiera m funciones de distribución 1-dimensionales nos permiten obtener una función

de distribución m-dimensional y las marginales de esta función de distribución serán las

funciones de distribución originales. Sin embargo, eso no garantiza que cualquier cópula

que usemos nos vaya dar la función de distribución conjunta de . Es decir, no

para cualquier cópula y función G definida como en el Corolario 3, se garantiza que

Ecuación 8

Sin embargo, regresando al problema de obtener una función de distribución conjunta a

través de las distribuciones marginales, por ejemplo, para valuar un CDO, tenemos una

idea: buscar una cópula adecuada. Es decir, buscar una cópula que garantice que se cumpla

la igualdad en la Ecuación 8.




61

4.8 Teorema de Sklar

Definición 31

Sean m variables aleatorias definidas sobre un espacio de probabilidad común,

sean

las funciones de distribución de las variables aleatorias

respectivamente y sea la función de distribución conjunta de las variables aleatorias

Si es una cópula m-dimensional tal que se tiene la

siguiente igualdad:

Ecuación 9

entonces denotamos a como una cópula conectora de

La pregunta es si ¿para cualesquiera m variables aleatorias definidas sobre un espacio de

probabilidad común existe una cópula conectora de estas variables aleatorias?

¡La respuesta es sí! Y nos la proporcionó el matemático Abe Sklar. Sklar (1973) nos

proporciona el siguiente teorema y corolarios.

Teorema 5

Teorema de Sklar

Sea . Sea una función de distribución m-dimensional con marginales .

Entonces, existe una cópula m-dimensional tal que ,

Referimos al lector a Nelsen (2006) para la demostración del Teorema.

Corolario 5

Sean m variables aleatorias definidas sobre un espacio de probabilidad común.

Sean

las funciones de distribución de las variables aleatorias . Sea




62 la función de distribución conjunta de . Entonces, existe una cópula conectora de

. Es decir, existe una cópula m-dimensional tal que ,

Demostración:

Se sigue del Teorema anterior.

Corolario 6

Corolario de Sklar

Si cada en el corolario anterior es continua, entonces la cópula conectora de

es única.

En la demostración del teorema contenida en Nelsen (2006) se incluye la demostración al

corolario anterior.

Queremos resaltar que el Corolario 5 es muy poderoso. Para cualesquiera m variables

aleatorias definidas sobre un espacio de probabilidad común de las cuales conocemos sus

funciones de distribución univariadas, ¡existe una cópula conectora que nos permite obtener

la función de distribución conjunta de las m variables aleatorias! Por si esto fuera poco, el

Corolario 6 nos dice que si todas las funciones de distribución univariadas son continuas,

entonces: ¡la cópula conectora es única! Encontramos estos resultados fascinantes.42

42

Sin embargo, es importante tener en mente qué dicen y qué no dicen los teoremas. ¿Qué sí dicen? Si tenemos m variables aleatorias ( con sus respectivas funciones de distribución 1-dimensionales, cualquier cópula nos proporciona con una función de distribución m-dimensional y que las marginales de esta distribución m-dimensional coincidirán con las funciones de distribución 1-dimensionales originales. También dicen que existe una cópula conectora que nos da la función de distribución conjunta de . Es más, si las funciones de distribución 1-dimensionales son todas continuas, entonces la cópula conectora es única. ¿Qué no dicen? No dicen que cualquier cópula nos va a proporcionar la función de distribución conjunta de nuestras variables aleatorias. Es decir, no cualquier cópula es una cópula conectora. Por ejemplo, la cópula conectora es la cópula producto si y sólo si las variables aleatorias son independientes.




63

4.9 La cópula Gaussiana

Tanto en la academia como en la industria, una cópula llamada la cópula Gaussiana ha

gozado de gran popularidad. Dedicamos esta sección a esta cópula.

Definición 32

Denotamos a la función de distribución una variable aleatoria normal estándar. Es

decir dada por:

Definición 33

Denotamos a la función inversa de función de distribución una variable aleatoria

normal estándar. Es decir dada por:

Notamos que ; y que . También

notamos que es una función creciente.

Lema 4

Demostración:

Sean tal que . Si , tenemos que .

.

Por contraposición, si las variables aleatorias no son independientes, la cópula producto no es una cópula conectora aún cuando nos proporcione una función de distribución m-dimensional.




64 Definición 34

Sea una matriz de con entradas reales. Decimos que es una matriz de

correlación, si:

a) es simétrica positiva definida.

b)

c) . 43

Definición 35

Sea una matriz de correlación de . Sea el determinante de y sea la matriz

inversa de . Definimos la función de distribución normal multivariada m-dimensional

con matriz de correlación y media cero, denotada , como la función

dada por :

donde . 44

Finalmente, introducimos la famosa cópula Gaussiana.

Definición 36

Sea una matriz de correlación de . Definimos la cópula Gaussiana m-

dimensional con matriz de correlación , denotada

, como la función

43

Si son variables aleatorias, claramente, una matriz cuya entrada sea la correlación de las variables aleatorias y será una matriz de correlación. También será una matriz de correlación la matriz

de varianzas y covarianzas de m variables aleatorias estandarizadas. Sin embargo, la conveniencia de nuestra definición radica en poder hablar de una matriz de correlación sin necesidad de definir variables aleatorias subyacentes. También notamos que excluimos a las matrices no invertibles de nuestra definición al exigir que sea simétrica positiva definida y no simétrica positiva semidefinida. 44

Notamos que, según las definiciones anteriores, Cabe señalar que en la definición que

propusimos de , utilizamos una expresión simbólica. Sin embargo, en aplicaciones, utilizamos algoritmos

numéricos para aproximar .




65

dada por:

Como su nombre lo sugiere:

Lema 5

La cópula Gaussiana m-dimensional con matriz de correlación es una cópula m-

dimensional.

Demostración

0) Primero notamos que está definido

y , y .

está

definida ; y su dominio y rango son los adecuados para una cópula.

1) Sea

donde es la k-ésima marginal de

Sin embargo, como es la función de distribución de m-variables aleatorias normales

con media cero y varianza uno, entonces, la k-ésima marginal de es la función de

distribución una variable aleatoria normal estándar.

2)

pues

es una función

de distribución m-dimensional.




66 3) Sea un rectángulo m-dimensional. Como es una

función creciente, es otro

rectángulo m-dimensional.

Donde la última desigualdad se tiene porque es una función de distribución m-

dimensional.

4) La propiedad de continuidad por la derecha se cumple al ser una composición de

funciones que la cumplen.

En la última década, la cópula Gaussiana ha gozado de gran popularidad tanto en la

industria como en la academia. Es decir, en muchos casos se ha supuesto que la cópula

conectora de las variables aleatorias que definen el incumplimiento de los deudores es la

cópula Gaussiana; "la popular cópula Gaussiana, el estándar de mercado de facto [tr]"

(Andersen, Sidenius, & Basu, 2003). Ésta "fue adoptada por todos, desde inversionistas de

bonos y banqueros de Wall Street hasta agencias calificadoras del riesgo crediticio y

reguladores [tr]". (Salmon, 2009). Sin embargo, después del colapso del mercado de CDOs

que analizamos en el Capítulo 2, dado que muchos fueron valuados utilizando un enfoque

basado en cópulas Gaussianas, se ha puesto en tela de juicio la idoneidad de su uso.




67

5. El Modelo

Todo modelo es una simplificación de la realidad y hace generalizaciones en mayor o

menor grado. Si no hiciéramos estas simplificaciones y generalizaciones, no podríamos

generar conocimiento. Por ejemplo, no todas las manzanas son exactamente iguales; así

pues, cuando usamos la palabra manzana estamos haciendo una generalización de la

realidad. Qué tan bueno es un modelo depende de qué tan razonables o descabellados son

estos supuestos de la realidad y qué tanto se puede concluir si se cumplen.

El presente capítulo tiene tres objetivos principales los cuales están entrelazados: (i)

presentar y explicar el modelo supuesto en la metodología de G&S, (ii) analizar los

supuestos del modelo, (iii) presentar la notación del modelo. Grosso modo, el capítulo se

divide en dos partes: en las secciones 5.1, 5.2, 5.3 y 5.4 presentamos las principales

características del modelo y en las secciones 5.5, 5.6 y 5.7 profundizamos el análisis de

ciertos supuestos.

5.1 El valor de un CDO como combinación lineal de elementos de cierta

forma

Antes de definir el modelo, en la presente sección, recordamos algunos resultados y

conceptos que obtuvimos en el Capítulo 2. Consideramos un CDO formado por un

portafolio de referencia con m deudores (pueden ser m créditos hipotecarios, m bonos

corporativos, m bonos soberanos, etc.). Valuar un CDO es valuar o poner precio a cada

tramo de manera separada. Sin pérdida de generalidad, nos enfocamos en valuar el Tramo k

con puntos de corte y Es decir, los inversionistas del Tramo k son

responsables de las pérdidas por arriba de y hasta un máximo de .

Habíamos definido:




68 Número de deudores

Tramo a valuar Tramo k

Punto de corte inferior

Punto de corte superior

Factor de descuento del tiempo

Número de periodos T

flujo recibido por los inversionistas del

Tramo k en la fecha de pago de cupón ,

tasa cupón que le corresponde a los

inversionistas del Tramo k sobre la parte no

afectada de su inversión

Función parte positiva

Asimismo, recordamos las siguientes dos ecuaciones que obtuvimos en el Capítulo 2:

Ecuación 10

Ecuación 11

Finalmente, recordamos que son constantes en el modelo. Por lo tanto, bajo

el enfoque de pérdidas acumuladas, el precio de un tramo cualquiera puede ser expresado

como una combinación lineal de elementos de la forma donde representa

las pérdidas acumuladas en una fecha de pago de cupón y donde es un punto de corte.




69

5.2 Notación elemental del modelo

En el resto del presente trabajo nos enfocamos en estimar pues el precio de

un CDO es una combinación lineal de elementos de este tipo. Por simplicidad notacional,

fijamos una fecha de pago de cupón y omitiremos el subíndice . Así pues, cuando nos

refiramos a eventos, variables aleatorias, o probabilidades, implícitamente nos estamos

refiriendo a una fecha de pago de cupón fija la cual no mencionamos explícitamente para

no recargar la notación.

Introducimos la siguiente notación.

Definición 37

La definición anterior implica que el incumplimiento del deudor i tiene una distribución

Bernoulli. Esta definición no permite un incumplimiento parcial: o el deudor cumple o

incumple. En primera instancia, podría parecer un poco restrictiva45

. Sin embargo,

recordemos que en este caso estamos tratando de un incumplimiento en una fecha de pago

de cupón fija. Es decir, el modelo sí permite que un deudor cumpla en unos pagos y luego

incumpla. Lo único es que en una fecha de pago de cupón fija o cumple o incumple.

Definición 38

Definición 39

En el modelo de G&S, se asume que las probabilidades de incumplimiento son

conocidas para todos los deudores. Cuando decimos que son conocidas no quiere decir que

le preguntemos al deudor "Hola Sr. Deudor, ¿cuál es la probabilidad de que no me

45

Una de las principales críticas al modelo de Merton (1974) era que no permitía incumplimiento antes del vencimiento de la deuda y que no consideraba fechas de pago de cupón donde el deudor podía incumplir o no.




70 pagues?", ni que existan tablas donde se pueda consultar la probabilidad de

incumplimiento. Lo que quiere decir es que son obtenidas o estimadas por un proceso

exógeno al modelo. Claramente, el proceso que se utilice para estimar estas probabilidades

afectará los resultados del modelo de G&S.

Similarmente, también asumimos que las pérdidas para el portafolio en el caso de que el

deudor i incumpla son conocidas.46

Es decir, también suponemos un proceso exógeno para

determinar A la constante también se le conoce como la exposición al deudor i. Otro

supuesto del modelo es que las pérdidas en caso de incumplimiento son una cantidad fija47

.

Así pues, las pérdidas del portafolio en la fecha fija de pago de cupón son

Ecuación 12

Tenemos variables aleatorias Bernoulli que representan el incumplimiento de los deudores.

Al ver la ecuación anterior, vemos la simplicidad que obtendríamos de suponer

independencia. Podríamos tratar a cada deudor por separado y como estamos suponiendo

que la probabilidad de incumplimiento es conocida, la modelación sería trivial. Sin

embargo, como vimos en el Capítulo 3, este supuesto de independencia es poco realista e

injustificable. Además, cambiaría drásticamente nuestros resultados haciéndonos creer que

nuestro instrumento es mucho más seguro que lo que es en verdad. En otras palabras, el

supuesto de independencia si bien nos daría simplicidad teórica y computacional, nos

llevaría a subestimar el riesgo del instrumento.

Por completez, consideremos el efecto que tendrían los siguientes supuestos hipotéticos,

que no forman parte de los supuestos del modelo. Si las pérdidas en caso de

46

En caso de incumplimiento, no se pierde la totalidad de la inversión. En muchos casos se puede reestructurar, recuperar parcialmente, o hay cierta garantía o colateral que protege al acreedor. 47

Si nuestro modelo para estimar estas pérdidas asume que son una variable aleatoria, podríamos substituir en el valor esperado de estas pérdidas. Posiblemente un modelo donde las pérdidas dado el incumplimiento son aleatorias sería un poco más realista que un modelo que utiliza las pérdidas esperadas; sin embargo, no creemos que esta ganancia en realismo justifique el aumento en costo computacional. Para efectos del presente trabajo supondremos que son cantidades fijas o el valor esperado de una variable aleatoria determinada exógenamente.




71 incumplimiento fueran iguales, entonces bastaría modelar el número total de

incumplimientos. Si además las variables fueran independientes e idénticamente

distribuidas, entonces, el número de incumplimientos sería una variable binomial. Si,

además, el número de deudores m fuese grande48

podríamos utilizar una aproximación

normal. Si estos supuestos hipotéticos fueran ciertos, el modelo resultante sería muy

atractivo por su sencillez y manejabilidad. Sin embargo, no adquirimos estos supuestos

pues no son realistas y nos llevarían a una subestimación muy importante del riesgo

crediticio. Notamos que el supuesto injustificable es el de independencia, que es

precisamente el supuesto que más simplificaría la modelación.

5.3 Construcción de variables auxiliares para la modelación

Para modelar la variable discreta y Bernoulli , introduciremos la variable aleatoria

continua y diremos que toma el valor 1, si pasa cierto umbral. Es decir:

Definición 40

Aquí escogemos el umbral de forma que coincida con la probabilidad de

default que habíamos supuesto conocida. En otras palabras:

Definición 41

es tal que

Así pues, en lugar de definir la estructura de las variables aleatorias 's y modelarlas

directamente, en la próxima sección, presentaremos la estructura de las variables 's y esas

son las variables que modelaremos.

48

Ross (2006) sugiere

.




72 En aplicaciones, es usual definir variables aleatorias en función de otras variables con fines

de modelación.49

Notamos que no estamos modelando un evento discreto como si fuera

continuo, sino que estamos modelando un evento discreto auxiliándonos en una variable

continua. También definimos la variable aleatoria deseada en función de otras para modelar

la correlación.50

Similarmente, no estamos simulando variables aleatorias que sabemos que

son correlacionadas como si fueran independientes, sino que estamos simulando variables

aleatorias correlacionadas auxiliándonos en variables aleatorias independientes.

5.4 Estructura de las variables que definen el incumplimiento

En la sección anterior definimos como la indicadora del default del deudor i,

caracterizamos en función de ( ) y escogimos el umbral tal que

. En la práctica, se modelan las variables y de ahí obtenemos el

incumplimiento.

Definición 42

En el modelo utilizado en G&S se supone que las variables tienen la siguiente

estructura con base en los factores donde (i.e. d es mucho menor que m).

Ecuación 13

49

Por ejemplo, supongamos que queremos simular una variable aleatoria Bernoulli que toma el valor con probabilidad , pero que solamente contamos con un generador de números aleatorios en Podemos generar un número aleatorio y decir que la nuestra variable Bernoulli tomó el valor 1 en la simulación si el número aleatorio generado fue mayor que . Implícitamente, estamos definiendo nuestra variable aleatoria discreta en términos de una variable uniforme en que es una variable continua. 50

Por ejemplo, supongamos que tenemos un buen simulador de variables aleatorias normales independientes pero que queremos simular dos variables aleatorias normales correlacionadas. Podemos simular tres variables aleatorias normales independientes: y poner , y de tal forma, y son variables aleatorias normales correlacionadas.




73 Aquí, y son variables aleatorias normal estándar independientes,

son constantes reales tales que

. Por

lo tanto, son variables aleatorias normal estándar correlacionadas.

Definición 43

Matricialmente:

donde y es una matriz

diagonal formada con

Como es normal estándar, tenemos que el umbral es:

Definición 44

. 51

Definición 45

Denotamos a la matriz de como la matriz de carga.

Los factores son factores de riesgo que afectan a más de un deudor52

. A estos

factores, se les puede dar interpretaciones económicas, por ejemplo, un factor puede estar

relacionado con la situación de la economía del país. Dependiendo del portafolio de

referencia del CDO, estos factores tendrán diferentes interpretaciones.53

51

. 52

Barra (2007) utiliza y defiende activamente los modelos multi-factor. Adicionalmente, es un proveedor de información sobre los factores. 53

Por ejemplo, en un portafolio de bonos corporativos de empresas de diferentes industrias del mismo país, podríamos tener un factor que refleje la situación de cada industria, uno (o varios) que reflejen la situación de la economía del país, otro que refleje las tasas de interés, etc. Si, en cambio, nuestro CDO es un CDO formado con créditos hipotecarios, un factor puede estar relacionado con la tasa de desempleo, otro con el precio de las viviendas, otro más con las tasas de interés, etc.




74 Por su parte, las variables aleatorias representan el riesgo que sólo afecta uno de

los deudores. La variable engloba toda la información que refleja la situación financiera

y los riesgos específicos del deudor i.54

5.5 Supuesto de normalidad en las variables auxiliares

Como hemos visto, de acuerdo con el modelo de G&S:

Donde y son vectores con variables aleatorias normal estándar independientes y y

son matrices cuyas entradas son constantes en el modelo. Por lo tanto, las variables

55

son variables aleatorias normal estándar correlacionadas.

Entre todas las variables aleatorias, la normal tiene un papel especial. Por un lado, tiene

propiedades matemáticas que la vuelven manejable.56

Pero más importante aún es su

aparición estelar en el Teorema del Límite Central que dice la media de una sucesión de

variables independientes idénticamente distribuidas tiende a una distribución normal. Dicho

teorema tiene varias implicaciones, extensiones y aplicaciones en diferentes áreas del

conocimiento que lo hacen uno de los resultados más importantes en la Teoría de la

Probabilidad.

Sin embargo, al mismo tiempo, cuando en una aplicación vemos qué algo se distribuye

normal, se genera una sensación de desconfianza. Es una sensación del estilo "demasiado

bueno para ser verdad". De inmediato viene a nuestra mente una lluvia de preguntas como:

"¿Acaso es correcto suponer que el fenómeno sigue una distribución normal?", "¿No serán

las colas más pesadas?", "¿La distribución es simétrica?", "Habíamos supuesto que el

incumplimiento era un evento discreto, ¿acaso estamos utilizando una aproximación

54

No es necesario suponer que el deudor i sólo está expuesto a un tipo de riesgo de manera independiente a los otros deudores, sólo es necesario suponer que todos los factores de riesgo a los que está expuesto el deudor i y que sólo afectan al deudor i están agrupados en la variable 55

56

Por ejemplo: la suma de variables aleatorias normales es una variable aleatoria normal.




75 normal a una variable binomial? Si este si este es el caso, ¿será la m suficientemente

grande? ¿Cómo lidiamos con la correlación entre las variables que definen el

incumplimiento?" En general, todas estas preguntas son válidas. Por eso, dedicamos estas

líneas a analizar el supuesto de normalidad de las variables .

No estamos suponiendo que el incumplimiento sea normal, recordamos que el

incumplimiento es una variable Bernoulli donde si el deudor i incumple, lo cual

ocurre con probabilidad la cual se supone conocida y es exógena al modelo. Tampoco

estamos suponiendo las variables sean independientes e idénticamente distribuidas. De

hecho, estamos suponiendo lo contrario: no son idénticamente distribuidas pues a cada

deudor le asignamos una probabilidad de impago específica y ciertamente no estamos

suponiendo independencia pues es central al modelo la estructura de dependencia supuesta.

La distribución normal asumida para las variables aleatorias sólo afecta los

resultados del modelo a través de la estructura de correlación la cual analizaremos

posteriormente. Para explicar que la estructura normal sólo afecta a través de las estructura

de correlación consideremos los siguientes dos ejemplos hipotéticos.

Ejemplo 3

Consideremos un CDO donde el impago está perfectamente correlacionado. En este

modelo, o todos los deudores incumplen o todos los deudores cumplen. Esto equivale a un

CDO degenerado con sólo un deudor.57

Aquí es irrelevante la distribución de la variable

auxiliar; lo relevante es la probabilidad de incumplimiento la cual es exógena al modelo.58

Ejemplo 4

Ahora, consideremos el otro extremo. Supongamos, sin conceder, que las variables

son independientes. Así pues, podemos considerar a cada deudor por separado.

57

Podemos pensar en los m deudores como un único grupo deudor que se comporta homogéneamente. 58

Supongamos la probabilidad de incumplimiento

Podríamos usar una variable aleatoria normal

estándar y decir que hubo incumplimiento si (lo cual ocurre con probabilidad

aproximadamente

); podríamos haber usado una uniforme en y decir que hubo incumplimiento si

; o podríamos haber hecho una simulación usando un dado justo y decir que la simulación resultó en

incumplimiento si salió 6.




76 Análogo al ejemplo anterior, es irrelevante la distribución de la variable auxiliar que

utilizamos para modelar el incumplimiento de cada deudor.59

Por lo tanto, podemos dormir tranquilos sabiendo que no estamos suponiendo que el

incumplimiento de los deudores siga una distribución normal. Sino que, para cada fecha de

pago de cupón, el incumplimiento de cada deudor es una variable Bernoulli. Variables

Bernoulli correlacionadas, cada una con su propia probabilidad de default.

La pregunta lógica es "Entonces, ¿qué implica suponer esa estructura para las variables

? Implica cierta estructura de correlación como analizaremos en la siguiente

sección.

5.6 La estructura de correlación

Como vimos en el Capítulo 3, la correlación tiene un papel fundamental al momento de

valuar o administrar el riesgo de un instrumento financiero que depende de varios deudores

como un CDO. Sin embargo, también vimos que frases como "la correlación entre el

deudor i y el deudor j" son vacías pues tenemos que especificar variables aleatorias que

capturen la esencia del incumplimiento y posteriormente referirnos a la correlación entre

estas variables aleatorias.

Definición 46

G&S definen la correlación de default entre el incumplimiento del deudor i y el deudor j

como la correlación entre las variables aleatorias y y la denotamos . Es decir,

pues las variables están estandarizadas.

59

Podríamos usar una distribución normal estándar para el primer deudor, un dado para el segundo, y variables uniformes para el resto de los deudores. Aquí, la cuestión sería definir variables y conjuntos

de números reales tal que y definimos .




77 Notamos que esta definición es distinta a la correlación entre las variables y que sería

.

Aquí adquiere relevancia la estructura que supusimos para las variables Como

, tenemos que la correlación de y ( es:

Ecuación 14

Definición 47

Denotamos a la matriz de dada por

para todos los elementos de la diagonal, como la matriz de correlación de .

En lo sucesivo, cuando mencionemos la matriz de correlación del modelo o simplemente a

la matriz de correlación nos estamos refiriendo a la matriz de correlación de

según la definición anterior.

La estructura supuesta para las variables es relevante en el sentido que determina

la estructura de correlación entre el incumplimiento de los deudores que estamos utilizando.

Analizando la estructura de las variables notamos que son afectadas por factores

comunes: . Más aún, notamos que son condicionalmente independientes

dado Esta característica es esencial en el modelo. Es fundamental suponer que

están correlacionadas, pero la metodología requiere sean independientes una vez

fijados los factores .

Dentro de los modelos condicionalmente independientes, la estructura propuesta ofrece

bastante flexibilidad. En una primera aproximación, la estructura propuesta se parece a la

estructura en un modelo de regresión lineal. Sin embargo, notamos que la estructura

propuesta por G&S permite que cada variable sea afectada por cada factor con un




78 coeficiente distinto; permite que el factor k afecte de manera diferente a las variables y

Esto es muy conveniente pues es razonable pensar que no todos los factores afectan a

todos los deudores de la misma manera.60

Como consecuencia, el modelo permite que haya

deudores más correlacionados entre sí, y deudores menos correlacionados.61

Suponer que los factores tienen media cero y varianza uno no es problema pues se pueden

estandarizar. Lo que podría parecer restrictivo es suponer que son independientes.

Intuitivamente, los distintos factores que afectan el incumplimiento como podría ser la

situación de la economía global y de la economía local están correlacionados. Sin embargo,

podemos hacer una transformación por componentes principales y así convertir los vectores

con observaciones de los factores en vectores linealmente independientes. Y cabe señalar

que la correlación muestral de vectores linealmente independientes es cero. Así pues, no

hay problema en suponer que los factores están estandarizados y son independientes.

Ahora queremos resaltar que el modelo propuesto es un modelo con d factores. "La cópula

Gaussiana con un factor se ha vuelto el método estándar de facto para analizar la mayor

parte de las obligaciones de deuda con colateral sintéticas" (Cifuentes & Katsaros, 2007).

"En un modelo con sólo un factor, el precio de un CDO puede ser calculado de manera

eficiente usando métodos semi-analíticos e integración numérica [tr]" (Glasserman &

Suchintabandid, 2007). Sin embargo, de acuerdo con Cifuentes y Katsaros (2007), "este

método produce un peculiar fenómeno conocido como la sonrisa la correlación (la

correlación implícita en el modelo depende del tramo que se esté considerando en lugar de

ser independiente del tramo) […] y este enfoque de modelación [cópula Gaussiana de un-

factor] debe ser abandonado [tr] " (Cifuentes & Katsaros, 2007). El modelo presentado en

G&S es un modelo multi-factor que pretende capturar la información que no se puede

capturar con modelo de un factor.

60

Por ejemplo, si tenemos un CDO formado por bonos corporativos y uno de los factores refleja el tipo de cambio, podemos pensar que hay deudores más afectados por este factor. 61

Por ejemplo, si es un CDO formado por bonos corporativos, bonos de la misma industria estarían más correlacionados (es decir, las variables y que los representan tendrán una correlación más alta) que

bonos de distintas industrias.




79

5.7 La simplificación de la realidad en el modelo utilizado en G&S

Como vimos, todo modelo es una simplificación de la realidad y esto nos permite generar

conocimiento. En la presente sección analizamos la simplificación de la realidad que hace

el modelo.

En primer lugar, el modelo de G&S simplifica la realidad de manera significativa al

suponer que las variables auxiliares para modelar el incumplimiento son condicionalmente

independientes dada una serie de factores. Como vimos en la sección anterior, dentro de los

modelos condicionalmente independientes, el modelo propuesto es bastante flexible. Así

pues la restricción radica en asumir la independencia condicional.

En segundo lugar, el modelo supone que los factores subyacentes se distribuyen de manera

normal. Suponer que están estandarizados y son independientes no presenta

inconvenientes.62

Sin embargo, asumir que siguen una distribución normal sí es un

supuesto simplificador de la realidad del modelo.

Podemos imaginar un modelo más general y realista que permita la correlación arbitraria

entre deudores. Supongamos que aceptamos definir la correlación de default como la

correlación de las variables auxiliares para modelación pero suponemos que estas variables

tienen una correlación arbitraria. Es más, supongamos que en este modelo hipotético las

correlaciones varían con el tiempo; tienen saltos y tienen afectaciones no lineales e

inclusive discontinuas.63

Claramente, este modelo es mucho más general (pues engloba al otro) y, posiblemente, sea

más realista. Sin embargo, dos problemas surgirían si quisiéramos utilizar este modelo

hipotético. En primer lugar, sería mucho más difícil de calibrar. Y si el modelo se basa en

información no observable, habría que estimar esta información y dependiendo de la

calidad de la estimación se afectarían los resultados del modelo. En segundo lugar, el

62

Podemos estandarizar las variables aleatorias y, a partir de factores dependientes, podemos crear factores linealmente independientes los cuales tendrán correlación muestral de cero. 63

Por ejemplo, si el tipo de cambio es un factor del modelo, en el modelo hipotético se permite que si el tipo de cambio cruza cierto umbral (digamos sobrepasa los 14 pesos mexicanos por dólar americano) la probabilidad de incumplimiento crezca drásticamente.




80 principal problema, es que el costo computacional crecería exponencialmente. ¿De qué

sirve un modelo si es numéricamente inviable (al menos con las herramientas actuales)?

G&S explican que los "modelos de factores de dependencia – donde el incumplimiento se

vuelve independiente condicionado a una serie de factores subyacentes – están en un nivel

intermedio de complejidad entre modelos con deudores independientes y modelos que

permiten dependencia arbitraria." (Glasserman & Suchintabandid, 2007). G&S optan por

este enfoque intermedio que permite capturar las principales características de la

correlación entre el incumplimiento del los deudores y, al mismo tiempo, realizar un

algoritmo computacionalmente eficiente.




81

6. Metodología de G&S

Como hemos visto, el precio de un tramo cualquiera de un CDO puede ser expresado como

una combinación lineal de elementos de la forma donde representa las

pérdidas acumuladas en una fecha de pago de cupón fija y donde ' ' es un punto de corte

inferior. Glasserman y Suchintabandid (2007) proponen un método deterministico para

aproximar .64

El presente capítulo explica a detalle esta metodología. La sección 6.1 explica la

metodología de G&S en términos generales. Las secciones 6.2 a 6.5 explican con más

detalle cada una de las partes de la metodología. La sección 6.6 hace un recuento de la

descomposición en componentes más sencillos que se ha hecho a lo largo de este trabajo.

Finalmente, en la sección 6.7, presentamos un algoritmo de valuación en un modelo con

deudores independientes que será necesario para implementar la metodología de G&S.

6.1 Noción general

En la presente sección se presenta una noción general para calcular de acuerdo

con la metodología de G&S. El primer paso en la metodología de G&S, es parametrizar la

matriz de correlación con el parámetro y considerar el modelo con la matriz de

correlación parametrizada.

Posteriormente, G&S demuestran que admite una expansión infinita. Es

decir,

64

No obstante, cabe señalar que existen otros modelos para valuar CDOs.




82 La parte toral de la metodología de G&S está en que cada coeficiente puede ser

aproximado a través de una suma ponderada de valores esperados provenientes de un

modelo donde las variables que definen el incumplimiento son independientes. A saber,

donde es el valor esperado de en un modelo donde las variables que

definen el incumplimiento son independientes y donde las probabilidades de

incumplimiento son

las cuales son perturbaciones de las probabilidades

originales

6.2 Parametrización de la matriz de correlación

En la presente sección, explicamos la parametrización de la matriz de correlación en el

contexto de la metodología de G&S. Recordamos que

y que la correlación de y ( es:

Recordamos que es la matriz de correlación de , y que:

Por lo tanto, son variables aleatorias normal estándar con matriz de correlación

Ahora, parametrizamos la matriz . Para , sea




83

Definición 48

Similarmente, sea el operador esperanza en un modelo donde las variables aleatorias

son variables normal estándar con matriz de correlación 65

6.3 El valor esperado deseado como una serie infinita

G&S demuestran que admite una expansión infinita. Es decir,

Teorema 6

donde son constantes reales.

Referimos al lector al Apéndice B de Glasserman & Suchintabandid (2007) para la

demostración formal del teorema anterior. Para la intuición matemática detrás de este

resultado, referimos al lector al Apéndice A del presente trabajo.

Definición 49

Sea

, donde son constantes reales.

Definimos, la aproximación de n-ésimo orden de como la sumatoria:

65

Notamos que el caso corresponde al modelo original; y el caso corresponde al caso donde las variables son independientes. Así pues, cuando varía de a , es la progresión del valor deseado entre el valor en un modelo con deudores independientes y el valor deseado en el modelo que asumimos verdadero.




84 donde convenimos definir .

Cabe señalar algunas características. En primer lugar, notamos que para ,

muy rápido. Lo cual es conveniente en miras de hacer una aproximación de calidad.

También notamos que en el caso de un modelo con deudores independientes, es decir

, nos queda . Por otro lado, en el caso del modelo que asumimos

verdadero, es decir , nos queda

. Así pues,

mientras varía de a , varía de a

.

Finalmente, notamos que entre mayor sea la correlación entre las variables que

definen el incumplimiento, mayor será orden de aproximación necesario para tener una

buena aproximación.

6.4 Probabilidades ajustadas

Como vimos en la sección 6.1 los coeficientes pueden ser estimados como límites

de sumatorias de elementos de la forma donde la tilde arriba del operador

esperanza ( ) denota que es la esperanza en un modelo donde el incumplimiento es

independiente con unas probabilidades ajustadas. El objetivo de la presente sección es

presentar la fórmula de ajuste o perturbación de dichas probabilidades así como notación

relevante. Recordamos que, en el Capítulo 5, habíamos definido:

Definición 50

Definición 51

Definición 52




85 Definición 53

Definición 54

Definición 55

es tal que

Habíamos denotado a la matriz de como la matriz de carga.

Definición 56

Ahora, asumimos que la correlación de y ( denotada tiene una estructura de

d-factores. Es decir:

Notamos que la Ecuación 14 es un caso especial de la definición anterior donde todas las

son uno.

Definición 57

Sea el número de factores que tienen las variables aleatorias Definimos

.

Definición 58

Y sea el producto cartesiano de veces. Es decir,

Escribimos las entradas de la matriz de carga de manera intercambiable.

También permitimos que admita un subíndice no positivo poniendo

. Notamos que queda definido para , .




86 Análogamente, escribimos de manera intercambiable. También permitimos que

admita un índice no positivo poniendo y . Así

pues, queda definido para .

Definición 59

Para , definimos .

También habíamos visto que, como es normal estándar, el umbral es el siguiente:

Definición 60

Definición 61

Ahora, denotemos con el polinomio de Hermite de grado n. 66

Es decir, usando su

regla de recurrencia

.

Definición 62

Sea la función de densidad de una variable aleatoria normal estándar. Es decir,

.

Así pues, definimos

Definición 63

.

66

Existen dos formas estándar de normalizar los polinomios de Hermite. En el presente trabajo utilizamos la normalización probabilística.




87 Para explicar la fórmula de ajuste o perturbación que utilizaremos al aproximar el

coeficiente , en primer lugar fijemos También consideremos los escalares

.

Definición 64

Para cada , definimos los escalares (con ) que dependen de los

escalares a través de la siguiente recursión.

,

y

donde se obtiene al truncar la n-ésima coordenada de . Las

condiciones frontera para son:

Definición 65

Finalmente, estamos en posición de definir la fórmula de perturbación de Para

, para cada , es una perturbación de dada por:




88

6.5 Estimación de los coeficientes de la serie

Si bien es atractivo saber que se puede escribir como una serie infinita, a

saber,

, donde son constantes reales; la

metodología sería de aplicabilidad limitada sin una forma de estimar estos coeficientes

. La parte toral de la metodología de G&S está en que cada coeficiente

puede ser aproximado a través de una suma ponderada de valores esperados provenientes

de un modelo donde las variables que definen el incumplimiento son independientes. El

siguiente teorema es el resultado fundamental de G&S.

Teorema 7

Sean los coeficientes en la expresión

. Sea

fija 67

. Sea . Para cada sea el valor esperado de

en un modelo donde las variables que definen el incumplimiento son independientes, con

las mismas pérdidas en caso de incumplimiento (mismas y cuyas probabilidades de

incumplimiento son

calculadas según la Definición 65 con

.

Para cada definimos el peso

Definición 66

Entonces,

67

Para extender el teorema para incluir , sea . Es decir, sólo contiene a un elemento, a

saber, al conjunto vacío. Así, si , y definimos y . Por lo

tanto, el lado izquierdo del resultado del teorema anterior aplicado al caso quedaría

, es decir el valor esperado de

en un modelo donde los deudores son independientes con las mismas probabilidades (no ajustadas). Sin embargo, esto equivale a usar en la expansión del con lo cual verificamos la extensión del teorema al caso .




89 Ecuación 15

.

Referimos al lector al Apéndice B de Glasserman & Suchintabandid (2007) para la

demostración formal del teorema anterior. Para explicar de dónde provienen los

ponderadores y la representación como límite de una sumatoria así como para la intuición

matemática detrás de este resultado, referimos al lector a los Apéndices B y C del presente

trabajo.

Podría parecer que, para obtener una aproximación de orden n, tenemos que calcular

para todo en . Es decir, calcular

valores esperados diferentes. Sin embargo, sólo es necesario calcular

valores esperados distintos según vemos en el Apéndice D.

6.6 Descomposición sucesiva del precio de un CDO en componentes más

sencillos

Notamos que a lo largo del presente trabajo hemos descompuesto el precio de un CDO en

componentes más sencillos. El objetivo de la presente sección es hacer un recuento de la

descomposición sucesiva que hemos realizado.

Primero, en vez de considerar todo el CDO consideramos uno de sus tramos por separado.

Luego, nos enfocamos en una fecha de pago de cupón fija. Después, vimos que el precio se

podía descomponer en el flujo libre de riesgo menos las pérdidas por incumplimiento en el

portafolio de referencia. 68

Posteriormente, vimos que, el valor esperado del flujo se podía

ver como una combinación lineal de elementos de la forma 69 Así pues, en el

68

El flujo libre de riesgo es un cupón sin riesgo fácil de valuar. El reto está en estimar las pérdidas por incumplimiento en un portafolio con deudores correlacionados. 69

representa las pérdidas del portafolio en una fecha de pago de cupón fija y es un punto de corte inferior. Esto es válido aún cuando consideramos un tramo con puntos de corte inferior y superior.




90 Capítulo 2, el problema pasó de valuar un CDO a calcular valores esperados de la forma

.

En el presente capítulo descompusimos en elementos más sencillos. En la

sección 6.3, vimos que valor se podía expresar como una serie infinita con

ciertos coeficientes. Después vimos que cada uno de estos coeficientes se puede ver como

una suma ponderada de valores esperados provenientes de un modelo donde se supone

independencia entre el incumplimiento de los deudores. El siguiente esquema ilustra la

descomposición sucesiva que hemos realizado:

Precio del CDO

Precio del Tramo k con punto de corte superior e inferior

.

o

Dos partes: Flujo libre de riesgo – Pérdidas por incumplimiento

o Flujo libre de riesgo es fácil de valuar. Nos enfocamos en las pérdidas por

incumplimiento.

Pérdidas por incumplimiento: Combinación lineal de elementos de la forma

.

es un valor esperado proveniente de un modelo donde el

incumplimiento entre deudores es independiente.

Por lo tanto, la gran aportación de la metodología de G&S es que reduce toda la tarea de

valuar un CDO donde existe dependencia entre el incumplimiento de los deudores en

calcular valores esperados de la forma provenientes de un modelo donde el

incumplimiento de los deudores es independiente y por ende más fácil de valuar. 70

70

Cabe resaltar que no estamos modelando un fenómeno donde sabemos que el incumplimiento entre deudores tiene una estructura de dependencia como si fuera independiente; sino que estamos modelando




91

6.7 Valuación en un modelo con deudores independientes

Para calcular valores esperados de la forma donde la tilde en significa que

es un modelo independiente 71

, seguimos las ideas de Andersen, Sidenius, & Basu (2003).

Es un argumento recursivo donde se agrega un deudor a la vez.72

Definición 67

Sea la probabilidad de que las pérdidas del portafolio en la fecha de referencia

sean iguales a en un portafolio con deudores con

La condición frontera en nuestro argumento recursivo es el caso donde no hay deudores

. Si no hay deudores, las pérdidas son cero con probabilidad uno.

Definición 68

Ahora, el argumento recursivo supone que tenemos la distribución de las pérdidas con

deudores, y agregamos un deudor adicional. Suponemos que la probabilidad de

incumplimiento del deudor adicional es conocida e igual a y las pérdidas en las que

incurriría el portafolio en caso de que este deudor incumpla son .

Así pues, 73

la estructura de dependencia auxiliándonos en cálculos más sencillos equivalentes a cálculos en un modelo dónde el impago fuera independiente. 71

Cuando mencionamos un modelo o deudores independientes, nos referimos a un modelo donde las variables aleatorias que definen el incumplimiento de los deudores son independientes. 72

Recordamos que consideramos una fecha de pago de cupón fija. 73

Condicionamos al cumplimiento o incumplimiento del deudor . Si el deudor cumple, entonces la probabilidad de que las pérdidas el portafolio sean es la probabilidad de que sean considerando sólo a los otros deudores. Por otro lado, si el deudor incumple resultando en una pérdida de , la probabilidad de que las pérdidas del portafolio sean , es la probabilidad de que las pérdidas asociadas a los otros deudores sean .




92 Definición 69

Notamos que estamos construyendo una distribución discreta 74

con soporte finito 75

para

las pérdidas en el portafolio de referencia.

Finalmente, a partir de la distribución de pérdidas discretas que acabamos de construir,

podemos estimar en un portafolio con m deudores que es nuestro objetivo.

Ecuación 16

la cual es una suma finita, pues el soporte de es finito.

74

Para esto, definiremos una unidad de pérdida y redondearemos

al entero más cercano. En general,

esta discretización nos llevará a obtener errores por redondeo (salvo en algunos casos, por ejemplo, que todas las pérdidas en caso de incumplimiento sean iguales). Así pues, debemos escoger una unidad de pérdida lo suficientemente pequeña para que los errores por redondeo sean tolerables. Por otro lado, el costo computacional es inversamente proporcional al tamaño de la unidad de pérdida u. En otras palabras, entre más pequeña sea u, más grande será el costo computacional. Por lo tanto, debemos encontrar un balance que implique un error por redondeo tolerable y eficiencia computacional al mismo tiempo. Por simplicidad notacional, en el resto del trabajo asumiremos que las constantes ya reflejan el redondeo de la división del valor esperado de las pérdidas en caso de incumplimiento entre una unidad de pérdida u conveniente. En práctica, esto equivale a suponer que . 75

Las pérdidas del portafolio de referencia pueden ir desde hasta .




93

7. Probabilidad de incumplimiento

Todo aquel que preste dinero está interesado en conocer o estimar la probabilidad de que no

le paguen la totalidad de su deuda. Dicho de otro modo: en estimar la probabilidad de

incumplimiento o default. Los productos estructurados de crédito, en general, y los CDOs,

en particular, no son la excepción. El objetivo del presente capítulo es discutir cómo se

puede estimar la probabilidad de incumplimiento en el contexto del presente trabajo.

En la primera parte del capítulo, secciones 7.1 y 7.2, tratamos temas generales sobre la

probabilidad de incumplimiento. En la segunda parte del capítulo, secciones 7.3 y 7.4,

discutimos un caso que es de especial interés para nosotros: un CDO formado por créditos

hipotecarios a personas físicas en México. En la tercera parte del capítulo, secciones 7.5 a

7.7, presentamos nuestra propuesta para estimar la probabilidad de incumplimiento en el

caso mencionado: un modelo de regresión logística. En la cuarta parte del capítulo,

secciones 7.9 a 7.13, analizamos algunas características del modelo de regresión logística.

Por último, la última parte de este capítulo, la sección 7.14, concluye como el modelo de

regresión logística permite extender la metodología de G&S al hacerla adecuada para el

caso de un CDO formado por un portafolio de créditos hipotecarios a personas físicas en

México y cómo esto es nuestra aportación a la metodología de G&S.

7.1 Objetivo

Uno de los principales inputs de la metodología de G&S es la probabilidad de

incumplimiento de cada deudor. En el presente capítulo discutimos cómo se puede estimar

esta probabilidad de incumplimiento en el contexto del presente trabajo. 76

Recordamos que

76

En primer lugar, notamos que un abuso del lenguaje utilizar la palabra "probabilidad". En un sentido matemático estricto no es una "probabilidad" pues la "probabilidad de incumplimiento" a la que nos referimos no es una medida finita definida en un espacio medible donde la medida del espacio total es igual a . Lo que sí podemos hacer es definir una variable aleatoria (una variable aleatoria en el sentido matemático) y modelar el incumplimiento crediticio auxiliándonos en dicha variable aleatoria. Posteriormente, para fines de modelación, podemos decir que hubo incumplimiento si la variable aleatoria




94 en el Capítulo 5, habíamos definido el incumplimiento del deudor i con la variable aleatoria

de la siguiente manera:

Definición 70

Como habíamos visto, la definición anterior implica que el incumplimiento del deudor i

tiene una distribución Bernoulli.77

En este sentido, cuando hablemos de la probabilidad de

incumplimiento del deudor i, nos referimos a , la cual se supone conocida. 78

Recordamos que habíamos definido esta cantidad como según la siguiente definición.

7.2 La probabilidad de incumplimiento a partir del spread de un swap de

incumplimiento crediticio o del spread crediticio

Actualmente es común estimar la probabilidad de incumplimiento con base en el spread de

los swaps de incumplimiento crediticio. Entre más alto es el spread de dicho swap,

podemos decir que la protección contra el incumplimiento es más cara y sugiere que es más

alta la probabilidad de incumplimiento percibida por el agregado de los participantes de

mercado. Si conocemos la probabilidad de incumplimiento y la tasa de recuperación, se

que definimos toma el valor uno lo cual ocurre con probabilidad . Esta probabilidad sí es una probabilidad; es una medida finita definida en un espacio medible. Análogamente, la variable aleatoria sí es una variable aleatoria; es una función medible definida en el espacio de probabilidad asociado. Así pues, abusando del lenguaje, cuando hablamos de la "probabilidad de incumplimiento" nos referimos a la probabilidad de que la variable aleatoria que utilizamos para modelar el incumplimiento tome un valor en cierto subconjunto de los reales el cual, con fines de modelación, definimos como incumplimiento. 77

Esta definición no permite un incumplimiento parcial: o el deudor cumple o incumple. En primera instancia, podría parecer un poco restrictiva; pero recordemos que hemos condicionado a una fecha de pago de cupón fija. Así pues, el modelo sí considera que un deudor puede cumplir en unos pagos y luego incumplir. La restricción es que en una fecha de pago de cupón fija o cumple totalmente o se considera incumplimiento. 78

Esto no significa que existan tablas donde se pueda consultar la probabilidad de incumplimiento de cada deudor ni que sea conocida por todos los participantes de mercado. Lo que quiere decir es que el proceso mediante el cual se estima la probabilidad de incumplimiento a nivel individuo de cada deudor es exógeno o externo a la metodología de G&S.




95 puede calcular el spread adecuado. En la práctica, el proceso funciona en sentido opuesto.

Conocemos el spread de mercado y la tasa de recuperación y con esta información

calculamos la probabilidad de incumplimiento implícita.

Para mostrar la relación entre la probabilidad de incumplimiento y el spread de un swap de

incumplimiento crediticio (CDS) consideremos el siguiente ejemplo: Un bono que

incumple con probabilidad , con tasa de recuperación , 79

y donde el spread del CDS

asociado es El vendedor del CDS tiene un flujo esperado de

pesos por cada peso de

valor nominal.80

Por otro lado, el comprador del CDS tiene un flujo esperado de

.81

Bajo la hipótesis de no arbitraje, ambos flujos esperados deben ser iguales. Por lo

tanto:

Ecuación 17

La ecuación anterior nos permite obtener el spread crediticio apropiado a partir de la

probabilidad de incumplimiento. En la práctica, el procedimiento funciona en sentido

contrario. El spread crediticio de los swaps de incumplimiento creditico es información de

mercado, y a partir de esta información podemos calcular la probabilidad de

incumplimiento implícita.

Por ejemplo, si la tasa de recuperación es , un spread crediticio de 200 puntos base se

traduce en una probabilidad de incumplimiento implícita de .

En un sentido más general, suponiendo que el incumplimiento puede ser modelado con un

proceso Poisson con parámetro , que el spread crediticio es , que la tasa libre de riesgo es

79

Es decir, en caso de incumplimiento, se recuperan pesos por cada peso de valor nominal . 80

Se acostumbra denotar los spreads en puntos base ( puntos base ). 81

Recibe un flujo de en caso de incumplimiento, lo cual ocurre con probabilidad , y un flujo de cero en caso de cumplimiento lo cual ocurre con probabilidad




96 y la tasa de recuperación es al utilizar la metodología de J.P. Morgan (Xu & Nencioni,

2000) se obtiene:

Si es relativamente pequeño, . 82

Utilizando la información de Deutsche Bank Research (Deutsche Bank Research, 2012),

podemos ver la evolución de la probabilidad de incumplimiento implícita para México en el

periodo Abril 2011 a Abril 2012 con base en el spread de los swaps de incumplimiento

crediticio soberanos a 5 años para México.

Figura 8

La siguiente figura es análoga a la anterior pero comparamos las probabilidades implícitas a

partir de los swaps de incumplimiento crediticio soberanos a 5 años para México y Chile

82

Pues

ya que

.

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

abr 11

abr 11

may 11

jun 11

jul 11

jul 11

ago 11

sep 11

sep 11

oct 11

nov 11

nov 11

dic 11

ene 12

ene 12

feb 12

mar 12

mar 12

Pro

bab

ilid

ad d

e in

cum

plim

ien

to im

plíc

ita

Probabilidad de incumplimiento implícita

México

*Fuente: Deutsche Bank Research




97 durante el mismo periodo. Como era de esperarse, la correlación entre ambas series es muy

alta. El coeficiente de correlación es .

Figura 9

Hay ocasiones donde queremos estimar la probabilidad de incumplimiento de un deudor

pero no existe un swap de incumplimiento crediticio sobre ese deudor. En estos casos se

acostumbra realizar un procedimiento análogo con el spread crediticio.83

Generalmente, se

prefiere estimar la probabilidad de incumplimiento a partir de los swaps de incumplimiento

crediticio (cuando existen) pues, además de ser información de mercado, en general, son un

indicador más puro del riesgo de incumplimiento que los spreads crediticios.

83

Si conocemos la probabilidad de incumplimiento y la tasa de recuperación en caso de incumplimiento, podemos obtener el spread correspondiente al riesgo de incumplimiento. Análogo a lo realizado con los spreads de los swaps de incumplimiento crediticio, si conocemos el spread crediticio y suponemos que este se debe únicamente al riesgo de incumplimiento y conocemos la tasa de recuperación podemos estimar la tasa de incumplimiento implícita.

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

abr 11

abr 11

may 11

jun 11

jul 11

jul 11

ago 11

sep 11

sep 11

oct 11

nov 11

nov 11

dic 11

ene 12

ene 12

feb 12

mar 12

mar 12

Pro

bab

ilid

ad d

e in

cum

plim

ien

to im

plíc

ita

Probabilidad de incumplimiento implícita

México

Chile

*Fuente: Deutsche Bank Research




98

7.3 Un CDO formado por créditos hipotecarios a personas físicas en

México

La metodología de G&S es general. Es decir, sirve para valuar y administrar el riesgo de

incumplimiento de un CDO cualquiera; no hace distinción por el tipo de colateral que

respalda al CDO. No obstante, hay un caso que es de especial interés para nosotros: un

CDO cuyo colateral es un portafolio de créditos hipotecarios a personas físicas en México,

en lo sucesivo "CDOHM".

Este caso es de gran relevancia. En primer lugar, una familia (entendiendo la palabra

familia en un sentido moderno) siempre va a necesitar un lugar para vivir. Así pues, su

demanda por vivienda es relativamente inelástica. Adicionalmente, usualmente se destina

un gran porcentaje del ingreso familiar a la vivienda. En consecuencia, una alza importante

en el precio de la vivienda tiene repercusiones importantes en la economía de las familias.

Comprar una vivienda es una protección natural contra un alza en el precio de las

viviendas.84

Adicionalmente, culturalmente, para muchas familias mexicanas es un "sueño"

el tener una casa o un departamento propio. Por si fuera poco, "que la población cuente con

una vivienda propia se traduce en muchos beneficios sociales" (Levitin & Wachter, 2012).

En consecuencia, gran parte del patrimonio de las familias que cuentan con una vivienda

propia está invertido precisamente en dicha vivienda. Esto resalta la gran importancia

económica del sector inmobiliario. Sin embargo, son pocas las familias que pueden

comprar una casa o departamento de contado.

En virtud de lo anterior, el mercado hipotecario en México tiene amplia relevancia para el

país desde un punto de vista económico, social, cultural, y de cobertura. Económico pues

representa gran parte del patrimonio de las familias mexicanas. Social pues se traduce en

muchos beneficios sociales. Cultural pues tener una vivienda propia es un "sueño" de las

familias. Y de cobertura pues comprar una vivienda es una protección contra un alza en el

84

Aun cuando no es correcta la creencia popular de que "los precios de las viviendas sólo pueden aumentar" según fue evidente en la reciente crisis hipotecaria mundial donde hubo una importante caída en el precio de las viviendas a nivel mundial, cabe destacar que a lo largo de los años sí tienden a apreciarse.




99 precio de las viviendas lo cual es relevante ya que gran parte del ingreso se destina a la

vivienda y ya que la demanda por vivienda es relativamente inelástica.

Un CDOHM permite reestructurar un portafolio de créditos hipotecarios y redistribuir el

riesgo crediticio. Esto fomenta la existencia de créditos hipotecarios y, al mismo tiempo,

fomenta que las familias cuenten con una vivienda propia con todos los beneficios antes

descritos. En virtud de lo anterior, el caso que es de especial interés para nosotros, es de

gran relevancia para el país.

7.4 Inconvenientes al estimar la probabilidad de incumplimiento a partir

del spread crediticio en el caso de un CDOHM

Al estimar la probabilidad de incumplimiento en el caso de un CDOHM encontramos tres

inconvenientes que nos llevan a buscar un enfoque alterno.

i) Difícilmente existirá un swap de incumplimiento crediticio y nos veríamos

obligados a utilizar el procedimiento análogo: estimar la probabilidad de

incumplimiento a partir del spread crediticio. Sin embargo, como vimos en el

Capítulo 3, gran parte del spread crediticio no se debe al riesgo de

incumplimiento.85

Así pues, si nos basamos únicamente en el spread crediticio

para estimar la probabilidad de incumplimiento, nuestro estimado podría ser

poco confiable.

ii) La tasa cobrada al deudor i no refleja la situación específica del deudor i, pues la

misma tasa es cobrada a un grupo heterogéneo de deudores. 86

Así pues, el

85

Los "spreads son afectados por diferentes factores que incluyen, pero no se limitan a, el riesgo creditico [tr]" (Xu & Nencioni, 2000). Factores independientes al riesgo de incumplimiento, como la liquidez, contribuyen de manera importante al spread creditico. Por ejemplo, "para empresas AAA (BBB) sólo un bajo porcentaje, 5% (22%) del spread crediticio es atribuible al riesgo de incumplimiento [tr]." (Delianedis & Geske, 2001). 86

Obviamente, las instituciones de crédito consideran el perfil crediticio del deudor i antes de otorgarle un crédito. Sin embargo, comúnmente, en el caso de personas físicas esto se traduce en una decisión cero-uno: o se acepta otorgar un crédito al deudor i, o se rechaza esta propuesta. En general, el banco publica una tasa hipotecaria y un comité de crédito decide si otorgar o no el crédito. No se usa una tasa diferente para cada deudor particular que refleje su situación específica.




100 spread crediticio no permite obtener un estimado confiable de la probabilidad de

incumplimiento a nivel individuo.87

Este problema se ve exacerbado por la gran

heterogeneidad que existe en los créditos hipotecarios en México. Además,

usualmente se fija la tasa o el spread crediticio al inicio del crédito. Así pues, en

estos casos, tendríamos un estimado que no varía con el tiempo y que no refleja

cambios posteriores en la calidad crediticia del deudor.

iii) La tasa cobrada, y por ende, el spread crediticio, son controlables por el banco o

institución crediticia. Así pues, estimar la probabilidad de incumplimiento con

base en el spread crediticio puede ser inconveniente desde un punto de vista de

administración de riesgos. 88

En conclusión, si se trata de un CDOHM, estimar la probabilidad de incumplimiento con

base en el spread crediticio presenta importantes inconvenientes. Primero, gran parte del

spread crediticio no se debe al riesgo de incumplimiento y en consecuencia un estimado de

la probabilidad de incumplimiento basada únicamente en el spread crediticio podría ser

poco confiable. Segundo, la tasa cobrada al deudor i no refleja cabalmente la situación

específica del deudor i. Tercero, como el spread crediticio es controlable por la institución

que otorga el crédito, este enfoque podría derivar en una subestimación significativa del

riesgo de incumplimiento.

87

Esto es muy diferente a lo que sucede cuando los deudores son instituciones o naciones donde si se busca una tasa específica para cada deudor; y sí se busca que el spread crediticio refleje la situación particular de cada deudor. 88

Para explicar este punto consideremos un caso hipotético. El banco A estima la probabilidad de incumplimiento a partir del spread crediticio. Adicionalmente, el banco A desea aumentar su participación en el mercado de créditos hipotecarios. Para lograr esto: (a) baja la tasa de interés solicitada; y (b) acepta otorgar créditos que antes hubiera rechazado. Claramente, el banco A está aumentado su exposición al riesgo de incumplimiento. Sin embargo, como está cobrando un menor spread crediticio, su modelo sugiere una menor probabilidad de incumplimiento. Así pues, el modelo falla al sugerir un menor riesgo de incumplimiento aún cuando éste ha aumentado. Notamos que es un incentivo perverso que podría derivar en subestimar el riesgo de incumplimiento de manera significativa.




101

7.5 Propuesta

Esto nos lleva a proponer una manera alterna de estimar la probabilidad de incumplimiento

cuando se quiere usar la metodología de G&S para valuar un CDOHM. Nuestra propuesta

es utilizar un modelo de regresión logística. Cabe notar que estimar la probabilidad de

incumplimiento es solamente un paso previo antes de usar la metodología de G&S para

valuar y administrar el riesgo de un tramo del CDO.

Primero, recordamos que como es una variable binomial tenemos que

Ecuación 18

Queremos explicar la probabilidad de incumplimiento con base en una serie de valores

agrupados en un vector al que denotaremos puede tener características que sean

particulares del deudor i (por ejemplo: edad, sexo, ingreso) y también puede tener variables

que sean comunes a varios (o inclusive todos los) deudores (por ejemplo: tasa de interés

interbancaria, tipo de cambio, crecimiento del PIB, etc.). Sea el número de características

del deudor i que estamos considerando. Adicionalmente, se acostumbra que tenga una

constante (ejemplo, la primera entrada igual a la unidad) para reflejar un factor constante

común a todos los deudores. Así pues, es un vector de tamaño

Nuestro objetivo es encontrar un modelo que relacione la probabilidad de incumplimiento

del deudor i, , con el vector que contiene características relevantes del deudor i. Lo

hacemos de la siguiente manera:

Ecuación 19

En el modelo de regresión logística, el cual está basado en el modelo de regresión lineal, se

supone que tenemos la siguiente relación:




102 Definición 71

donde es un vector constante de tamaño , denota el

logaritmo natural, es la probabilidad de incumplimiento del deudor i, y

es un vector de tamaño con características del deudor i. Desde un

punto de vista numérico, el modelo de regresión logística se trata de encontrar un vector

adecuado como veremos en la Sección 7.10.

Definición 72

Para un número la transformación logit está dada por

donde es el logaritmo natural.89

En resumen, el modelo de regresión logística asume que:

y que

En las secciones 7.6, 7.7 y 7.8 justificamos el uso de este modelo. En las secciones 7.9,

7.10, y 7.11 explicamos a fondo como se puede utilizar e interpretar este modelo. En las

secciones 7.12 y 7.13 discutimos distintas pruebas de hipótesis para analizar la bondad de

ajuste. Finalmente, en la sección 7.14 concluimos cómo extendemos la metodología de

G&S para incluir el caso de un CDO formado por créditos hipotecarios en México.

89

Notamos que en (la recta real extendida) podemos extender la definición anterior para incluir los casos y poniendo y . También notamos que el modelo de regresión logística está definido a partir de la transformación logit; de ahí adquiere su nombre.




103

7.6 Justificación del modelo de regresión logística

En la presente sección, analizamos como el modelo de regresión logística soluciona

cabalmente los inconvenientes encontrados en la sección 7.4 para estimar la probabilidad

de incumplimiento en aras de utilizar la metodología de G&S cuando el CDO en cuestión

es un CDOHM.

En la sección 7.4 encontramos tres principales inconvenientes al estimar la probabilidad de

incumplimiento. En primer lugar, habíamos visto que al no existir un swap de

incumplimiento crediticio de referencia tendríamos que utilizar el procedimiento análogo a

partir del spread crediticio. Sin embargo, también habíamos visto que los spreads crediticos

están afectados por factores que incluyen pero que no se limitan al incumplimiento

creditico. Por lo contrario, en el modelo de regresión logística estamos estimando

directamente la probabilidad de incumplimiento: escogemos las variables a considerar y los

ponderadores para estas variables de manera que tengamos el "mejor" estimador de la

probabilidad de incumplimiento en un sentido de máximo verosimilitud.

El segundo inconveniente que habíamos encontrado es que la tasa cobrada al deudor i no

refleja la situación específica del deudor i. Al tener un grupo heterogéneo de deudores con

el mismo spread crediticio, este no nos permite estimar la probabilidad de incumplimiento a

nivel individuo. Además, como usualmente se fija ya sea la tasa o el spread crediticio al

principio del crédito, este enfoque no nos permite analizar cómo evoluciona con el tiempo

la probabilidad de incumplimiento. Por otro lado, el modelo de regresión logística es, por

construcción, un modelo que considera la probabilidad de incumplimiento a nivel individuo

y que nos permite analizar cómo la probabilidad de incumplimiento evoluciona con el

tiempo.90

90

Una vez especificado el modelo (es decir, una vez estimado el vector ), fácilmente se puede volver a calcular la probabilidad de incumplimiento cuando algunos componentes del vector han cambiado y así calcular la evolución en el tiempo de la probabilidad de incumplimiento del deudor i. En consecuencia, también se puede calcular la evolución en el tiempo del valor del CDO.




104 Adicionalmente, habíamos analizado que la tasa cobrada, y por ende, el spread crediticio,

son controlables por el banco o institución crediticia lo cual permitiría al banco aumentar su

exposición a incumplimiento crediticio y disminuir el spread crediticio. Esto lo llevaría a

subestimar el riesgo de incumplimiento. En el modelo de regresión logística se puede evitar

esta situación. En conclusión, el modelo propuesto soluciona los inconvenientes

encontrados en la sección 7.4 que nos llevaron a buscar un enfoque alterno.

7.7 Inconvenientes al utilizar un enfoque de regresión lineal

El modelo de regresión logística está basado en el modelo de regresión lineal. En la sección

anterior vimos como un enfoque de regresión logística soluciona los problemas encontrados

en la sección 7.4. Sin embargo, un enfoque de regresión lineal, solucionaría los mismos

problemas.91

No obstante, en la presente sección analizamos qué supuestos del modelo de

regresión lineal se violan por lo que consideramos que, en este caso, el modelo de regresión

logística es más adecuado.

Utilizar un modelo de regresión lineal, equivaldría a estimar directamente la probabilidad

de incumplimiento. Es decir, a que nuestra variable dependiente fuera la probabilidad de

incumplimiento y no el logaritmo natural del momio.

En primer lugar, por definición, toda probabilidad está acotada entre cero y uno, pero, un

modelo de regresión lineal podría predecir valores de más de uno o de menos de cero. 92

Otro problema es que la relación podría ser no lineal.93

91

Si aceptamos el Principio de Ockham, deberíamos favorecer el modelo más simple que en este caso es el modelo de regresión lineal si ambos modelos ofrecen el mismo poder predictivo. Dicho de otro modo, "Si un modelo de regresión lineal resuelve los mismos problemas, ¿por qué complicarlo?". 92

Una solución intuitiva sería el truncamiento. Asignar el valor uno cuando el modelo estima valores mayores a uno y asignar el valor cero cuando el modelo estima un valor negativo. 93

Por ejemplo, en el caso del incumplimiento podemos pensar que el ingreso es una variable que afecta la probabilidad de incumplimiento; podemos pensar que una disminución de $10,000 pesos mensuales en el ingreso aumentará la probabilidad de incumplimiento. Sin embargo, este efecto es no lineal. Si un deudor pasa de tener un ingreso de $20,000 pesos mensuales a uno de $10,000 pesos mensuales, la probabilidad de incumplimiento aumenta de manera sustancial. Pero si el cambio fue de $200,000 a $190,000 pesos mensuales, tal vez aumente la probabilidad de incumplimiento pero de manera apenas y perceptible.




105 Empero el principal problema se relaciona con los residuales. Solamente existen dos

opciones para los residuales.94

En consecuencia, los residuales no se pueden distribuir de

manera normal.

También se viola el supuesto de homoelasticidad o varianza constante. Suponiendo que el

estimador de la probabilidad de incumplimiento y que el modelo es correcto,

el residual tomaría el valor con probabilidad , y el valor con

probabilidad . Así pues, la varianza del residual será . Esta

claramente depende el vector y así pues se viola el supuesto de varianza constante.

En consecuencia, si se quiere utilizar un modelo de regresión lineal para estimar la

probabilidad de incumplimiento se encuentran varios inconvenientes: (i) un modelo lineal

puede estimar valores en toda la recta real; (ii) es razonable pensar que la relación que

queremos describir no sea lineal; (iii) los residuales sólo pueden tomar dos valores y, en

consecuencia, no se distribuyen de manera normal; y, (iv) por último, se viola el supuesto

de homoelasticidad. Si bien existen técnicas numéricas para lidiar con estos inconvenientes,

consideramos que una mejor alternativa lo es el complicar el modelo y estimar el logaritmo

del momio en lugar de estimar la probabilidad de incumplimiento directamente.

7.8 El modelo de regresión logística permite factores comunes y factores

particulares

Es razonable pensar que hay factores que afectan a todos, o a varios, deudores a la vez.

Estos factores son de gran relevancia al considerar el riesgo de incumplimiento del

portafolio entero. Por otro lado, también debemos considerar que los deudores son diversos

y que cada deudor puede tener un perfil crediticio distinto y una probabilidad de

incumplimiento distinta. Por último, cabe reconocer que habrá un factor constante

representado a variables no incluidas directamente en el modelo pero que afectan a todos

94

En un modelo de regresión lineal, para un vector , el valor estimado de la probabilidad de incumplimiento sería donde el vector incluye los coeficientes de la regresión. Si , el residual es y si , entonces el residual será .




106 los deudores. El modelo de regresión logística permite considerar estas características

acerca del conjunto de deudores.

Como vimos en la sección 7.5:

, donde

es un vector

de tamaño . Como la primer entrada es constante, esto permite tener un parámetro

constante para todos los deudores ( ). Esto permite considerar factores o variables que

afectan a todos los deudores y que no están incluidos directamente en el modelo.

También, en el vector puede haber factores que afectan a más de un deudor, o incluso a

todos los deudores.95

Estos factores, si bien pueden cambiar con el tiempo, afectan a todos

los deudores. Esta característica del modelo es crucial pues considera que los deudores

están correlacionados.96

Como vimos en el Capítulo 5, si no consideramos esta correlación,

estaríamos subestimando la probabilidad de incumplimiento de un gran número de

deudores a la vez lo cual tiene importantes repercusiones en la valuación del CDO.

Por otro lado, el modelo también considera que existen factores particulares a cada

deudor.97

Este rasgo también es fundamental pues considera las características específicas

de cada deudor. En un mercado como el mercado hipotecario mexicano donde tanto los

deudores como los créditos pueden ser muy diversos particularmente benéfico que el

modelo considere características específicas de cada deudor. 98

Recordamos que en el Capítulo 5 habíamos analizado que las variables auxiliares que

definen el incumplimiento entre deudores eran condicionalmente independientes dados una

serie de factores. Es central a la metodología de G&S que el incumplimiento entre deudores

95

Ejemplos de estos factores incluyen la tasa de interés, el crecimiento del PIB o algún otro indicador de la situación de la economía del país. 96

Por ejemplo, si el país cae en una fuerte crisis económica aumentaría la probabilidad de incumplimiento; pero no sólo de un deudor sino de todos los deudores a la vez. 97

Ejemplos de este tipo de factores podrían incluir el ingreso, edad, estado civil, cocientes financieras, entre otros. 98

No pretendemos discutir las ventajas que puede tener la estandarización de los créditos hipotecarios versus las ventajas de tener una mayor gama de créditos hipotecarios; sólo se pretende mencionar la gran heterogeneidad en el mercado hipotecario mexicano y, en consecuencia, resaltar la ventaja de tener un modelo que considere las características específicas de cada individuo al momento de estimar la probabilidad de incumplimiento o default.




107 no sea independiente pero que se vuelva independiente si condicionamos a una serie de

factores. En este modelo que utilizamos para estimar la probabilidad de incumplimiento

utilizamos un enfoque análogo: la probabilidad de incumplimiento del deudor i y el deudor

j no es independiente pero se vuelve independiente si condicionamos a una serie de

factores. Es importante reconocer que existen factores que afectan a más de un deudor a la

vez; pero, también, es muy conveniente, desde un punto de vista numérico, que la

probabilidad de incumplimiento del deudor i y el deudor j se vuelva independiente si

condicionamos a estos factores.

7.9 El modelo de regresión logística: Un modelo empírico

En el modelo propuesto, el vector contiene las variables y factores del modelo, y el

vector los parámetros. Dicho de otro modo, el vector determina cómo afectan las

variables del vector el logaritmo del momio y así pues la probabilidad de

incumplimiento.

Es importante señalar que este es un modelo empírico. Es decir, la relación entre las

variables explicativas y la variable explicada está basada en observaciones empíricas; y no

en una relación teórica. Por lo tanto, para poder utilizar este modelo necesitamos una base

de datos con información histórica. Necesitamos una base que contenga información de

varios deudores y el resultado: si cumplieron o incumplieron. A partir de esta base podemos

estimar los parámetros del modelo (el vector por máximo verosimilitud.

Definición 73

Denotamos como base histórica a la base de datos que contiene información de varios

deudores así como el resultado de si cumplieron o incumplieron.

Definición 74

Análogamente, denotamos como base actual a la base con información de los deudores

cuyos créditos conforman el colateral del CDO que estamos valuando. Esta es una base de

créditos vigentes y, en consecuencia, no se sabe si cumplirán o no todavía.




108 Definición 75

Decimos que la base histórica y la base actual son bases comparables si contienen las

mismas variables (excluyendo el cumplimiento o incumplimiento), representan a un grupo

de deudores similar, y representan un momento en el tiempo y el espacio con condiciones

macroeconómicas similares.

Ser un modelo empírico tiene ventajas y desventajas comparado con un modelo donde la

relación entres las variables es una relación teórica. Una de las principales ventajas es que

un modelo empírico busca describir "cómo es la relación entre las variables" y no "cómo

debería ser". En el caso que estamos analizando, nos interesa saber "qué tan probable es el

incumplimiento" y no "qué tan probable debería de ser". Esta ventaja es la que nos llevó a

escoger un modelo empírico.

Sin embargo, también tiene inconvenientes. En primer lugar, necesitamos una base

histórica la cual podría no ser comparable. 99

En el presente capítulo suponemos que

contamos con una base actual y una base histórica las cuales son comparables; sin embargo,

algunos resultados podrían no ser válidos si se usan bases no comparables.

Regresando a la implementación del modelo de regresión logística, a partir de la base

histórica estimamos el vector de parámetros del modelo, por máximo verosimilitud

según veremos en la sección 7.10.

Definición 76

Denotamos el estimador de máximo verosimilitud del vector .

Definición 77

Análogamente, denotamos como el estimador de máximo verosimilitud de .

99

Es difícil obtener bases sobre un grupo de deudores similares en un momento en el tiempo y el espacio con condiciones similares. La situación actual es muy distinta a la vivida durante la crisis hipotecaria de finales de la década de los 2000; también es distinta de la vivida a principios de la década de los 2000.




109

Una vez que contamos con , el cual estimamos a partir de la base histórica, podemos usar

este estimador para estimar la probabilidad de incumplimiento en la base actual. 100

El

modelo supone que:

. Así pues, nuestro estimado de

es . Y

el estimado de la probabilidad de incumplimiento es:

Ecuación 20

7.10 Estimación de los parámetros del modelo por máximo verosimilitud

La estimación por máximo verosimilitud encuentra los valores de los parámetros que hacen

más verosímil obtener el patrón de valores observado. Este parámetro será estimado a partir

de la base histórica. 101

A continuación introducimos un poco de notación que simplificará el análisis. Decimos que

en la base histórica hay deudores. De cada deudor , tenemos el vector

con la información sobre su calidad crediticia. Análogamente a lo hecho a lo largo del

capítulo, la variable aleatoria es una variable aleatoria Bernoulli que representa el

incumplimiento del deudor Es decir:

Definición 78

Y es la probabilidad de que el deudor incumpla. Como es la base

histórica, también tenemos que

100

Aquí notamos la importancia que tiene que las bases sean comparables. Si son dos bases no comparables, los resultados obtenidos a partir de una podrían no ser válidos para hacer pronósticos sobre la otra. 101

En la presente sección suponemos que ya se han seleccionado qué variables entrarán en el modelo. En la práctica, se prueba con diversos modelos a ver cuál ofrece un mejor ajuste e incluso hay algoritmos, ya cargados en diversos paquetes estadísticos, que ayudan a seleccionar qué variables deben incluirse.




110 Definición 79

Notamos que cuando utilizamos mayúscula nos referimos a una variable aleatoria; y

cuando usamos minúscula nos referimos al resultado de una observación. Las variables

aleatorias son condicionalmente independientes dados los vectores

. Como aquí los vectores

son conocidos, podemos tratar a las

variables aleatorias como si fueran independientes.

La variable aleatoria es Bernoulli y . Así pues, la función de masa de

probabilidad es:

Definición 80

De manera equivalente:

Ecuación 21

Adicionalmente, como son condicionalmente independientes dados los

vectores y aquí estos vectores son conocidos, entonces podemos separar la

función de masa de probabilidad conjunta. Es decir

Ecuación 22

Por lo tanto, tenemos que la función de verosimilitud

es:




111 Ecuación 23

Para simplificar la notación, omitiremos el subíndice pero recordamos que nos estamos

refiriendo a la base histórica. Así pues, la función de verosimilitud nos queda:

Definición 81

Es más cómodo trabajar con la log-verosimilitud que es simplemente el logaritmo natural

de la función de verosimilitud. Así pues,

Ecuación 24

Como , tenemos que:

Ecuación 25




112 Aquí, y son fijos. El objetivo es maximizar sobre todos

los valores de . El vector que maximiza la función anterior es el estimador de máximo

verosimilitud. Para hacer esta optimización se pueden utilizar métodos numéricos, por

ejemplo, mínimos cuadrados iterativamente reponderados. Afortunadamente, muchos

paquetes estadísticos traen cargados algoritmos para calcular el estimador de máximo

verosimilitud con la opción de considerar expresamente el caso de regresión logística.

Referimos al lector a (Montgomery, Peck, & Vining, 2007) para más detalles sobre el

algoritmo numérico.

7.11 Interpretación de los coeficientes en el modelo de regresión logística

El objetivo de la presente sección es analizar el vector de coeficientes estimados . En

particular, queremos analizar cómo el aumento, o disminución, de una unidad en la -ésima

coordenada del vector afecta el riesgo de incumplimiento.

Recordamos que el modelo está en términos de la transformación logit, y a partir de esto

podemos recuperar el momio y la probabilidad de incumplimiento.

Definición 82

Definimos , dado por:

,

Así pues, si es la probabilidad de ocurrencia del evento , el momio de es el radio o

razón de la probabilidad de ocurrencia a la probabilidad de no ocurrencia. Es una medida de

qué tan probable es que ocurra el evento . 102

102

Entre más alto sea el momio, quiere decir que es más probable que ocurra el evento. Un momio mayor a uno indica que es más probable que ocurra a que no ocurra y viceversa. De hecho, en algunas aplicaciones es común citar el momio en vez de la probabilidad.




113

El modelo está escrito en términos de la transformación logit:

. A partir de

esto, el momio es

y la probabilidad de incumplimiento es

.

Así pues, para analizar cómo un cambio en la -ésima coordenada del vector afecta la

probabilidad de incumplimiento, lo podemos hacer a partir de la transformación logit, a

partir de la probabilidad de incumplimiento, o a partir del momio.

Si hacemos el análisis a partir de la transformación logit, la interpretación es igual que en

regresión lineal. Sin importar el valor de la -ésima coordenada, ni el valor de las otras

coordenadas, un cambio de una unidad tiene el mismo efecto en la variable dependiente.

Sin embargo, "a pesar de la simplicidad en interpretación, los coeficientes de la regresión

logística carecen de una métrica reveladora. Declaraciones sobre el efecto de las variables

en cambios en el logaritmo del momio revelan poco acerca de las relaciones y hacen poco

para explicar resultados sustanciosos [tr]" (Pampel, 2000).

Por otro lado, si hacemos el análisis a partir de la probabilidad directamente tenemos la

métrica substantiva que estábamos buscando. Sin embargo, "como la relación entre las

variables independientes y las probabilidades son no lineales y no aditivas, no pueden ser

representadas en su totalidad por un solo coeficiente [tr]" (Pampel, 2000).

Una opción es sacar la derivada parcial de la probabilidad con respecto a la -ésima

coordenada del vector Esto lo podemos hacer de acuerdo con el siguiente lema:

Lema 6

donde es la probabilidad de incumplimiento, es la -ésima coordenada del vector

y es la -ésima coordenada del vector .

Demostración




114

En primer lugar, vemos que la derivada parcial depende del valor de la probabilidad . Es

decir, cambios en la variable serán diferentes para diferentes valores de . También,

cabe resaltar que, es una medida de cuánto aumenta la recta tangente cuando aumenta

es una unidad y no de cuánto aumenta la probabilidad estimada cuando aumenta es una

unidad. Para cambios muy pequeños en esto no es ningún inconveniente. Empero, el

enfoque carece de sentido si la variable es discreta.

Otra opción es hacer tablas de cómo cambia la probabilidad de incumplimiento para

diferentes valores de . Este enfoque tiene más sentido cuando se trata de una variable

discreta. También se puede utilizar cuando se trata de una variable continua y se estaría

mostrando los cambios en la probabilidad estimada y no en la recta tangente. Empero, el

inconveniente es que no podemos representar la relación entre la variable y la

probabilidad de incumplimiento estimada de manera compacta. Por lo tanto, al tratar con

probabilidades, sí podemos hacer declaraciones sustantivas sobre las relaciones entre las

variables independientes y la probabilidad de incumplimiento; pero no podemos representar

estas relaciones de manera sencilla y compacta.

Por último, podemos hacer nuestro análisis para determinar cómo el aumento, o

disminución, de una unidad en la -ésima coordenada del vector afecta el riesgo de

incumplimiento a partir del momio.




115

Como

, si la -ésima coordenada aumenta en una unidad.

El nuevo vector sería donde es el vector canónico que tiene un uno en la -ésima

coordenada103 y ceros en todas las demás. Así pues el nuevo momio sería:

Ecuación 26

Es decir, simplemente se multiplicó el momio anterior por .

Demostración

Similarmente, si la coordenada aumenta en unidades, el nuevo momio será

veces el anterior. En primer lugar notamos que el efecto es multiplicativo y no aditivo. Es

decir, el momio no crece en un número constante de unidades; pero, sí aumenta en un

porcentaje constante sin importar el valor del vector de referencia.104

Adicionalmente,

cabe resaltar que el momio sí está en una métrica significativa desde el punto de vista de

interpretación. Es decir, sí se pueden hacer declaraciones sustantivas a partir de los

momios.105

Así pues, hacer la interpretación a partir de los momios ofrece un balance entre hacerla a

partir de las probabilidades y a partir de la transformación logit. Aunque se pierde la

relación aditiva y lineal que se tenía en la transformación logit, se gana mucho en poder de

103

Se considera que los vectores comienzan en la coordenada cero para continuar con la misma notación. 104

Cabe señalar que si el coeficiente , un aumento (disminución) en la -ésima coordenada del vector aumenta (disminuye) el riesgo de incumplimiento. Si , la interpretación es análoga. 105

De hecho, en muchas aplicaciones, como las apuestas o en algunas aplicaciones médicas, se acostumbra citar los momios en lugar de las probabilidades.




116 interpretación. Y, al mismo tiempo, se conserva la posibilidad de describir de manera

compacta el efecto que implican cambios en una variable independiente.106

7.12 Pruebas de hipótesis sobre el ajuste del modelo de regresión

logística

Al haber ajustado un modelo, es común preguntarnos acerca de qué tan bueno es nuestro

ajuste. En un modelo de regresión logística las preguntas vienen en dos sentidos

principales: sobre el ajuste del modelo y sobre las variables. En la presente sección

consideramos las preguntas sobre el ajuste del modelo 107

y en la siguiente sección sobre las

variables del modelo.

El presente trabajo no pretende realizar un análisis exhaustivo del modelo de regresión

logística. El objetivo principal es realizar un análisis de la metodología de G&S para valuar

CDOs, y propusimos utilizar un modelo de regresión logística para estimar la probabilidad

de incumplimiento (que es un input en la metodología de G&S) en el caso de un CDOHM.

Así pues, no ofrecemos un análisis detallado de las pruebas de hipótesis posibles. No

obstante, consideramos que es de utilidad hacer mención a ellas y referimos al lector a

(Ryan, 1997) para un análisis más profundo.

En el análisis de regresión lineal es común considerar la para analizar qué tan buen

ajuste de modelo se tiene. Sin embargo, utilizar la tal cual como se usa en regresión

lineal no se debe usar en regresión logística; en particular, no cuando sólo hay dos posibles

106

No obstante, dependiendo de la aplicación u objetivo particular que se tenga en mente, una interpretación a partir de la transformación logit o de la probabilidad podría ser más conveniente. En nuestro caso, consideramos que para analizar cómo los cambios en el vector afectan el riesgo de incumplimiento, lo más conveniente es hacerlo a partir de los momios. Sin embargo, cabe recordar que el principal objetivo del presente capítulo es estimar la probabilidad de incumplimiento de cada deudor a partir del modelo de regresión logística pero como input para poder utilizar la metodología de G&S. 107

Cuando nos preguntamos sobre el ajuste del modelo, nos preguntamos: ¿Qué tan buen ajuste tenemos? ¿Qué tan bien funciona el modelo en general? ¿Qué tan seguros estamos de que la variable dependiente, en este caso el incumplimiento, está relacionada con el conjunto de variables independientes más allá de lo que podríamos atribuir a una mera coincidencia? Si hemos concluido que sí existe una relación, ¿qué tan fuerte es esta relación? Dicho de otro modo, queremos saber qué tanto mejora nuestro estimado de la probabilidad de incumplimiento al utilizar las variables independientes que estamos utilizando.




117 valores para como lo es en este caso. Se han propuesto diversas formas análogas a la

de regresión lineal para utilizar en regresión logística. Una de las más comunes es:

Definición 83

donde es la verosimilitud del modelo nulo, es decir, del modelo que no tiene

regresores excepto la constante;108

es la verosimilitud evaluada en el estimador de

máximo verosimilitud y es el número de observaciones.

Cabe mencionar que esta función tiene un máximo menor a uno. Por ende, puede ser

confuso utilizar esta función; si el máximo es cercano a cero, una pequeña podría, de

hecho, estar cercana al máximo valor posible. Se puede dividir la entre el máximo

posible valor, para poder tener una función entre cero y uno y así facilitar la comparación.

También es de interés calcular el porcentaje de casos correctamente clasificados.109

Es

preferible hacer esto con una submuestra que no haya sido utilizada para estimar los

coeficientes y sólo utilizarla para validar el modelo.

Para comparar modelos, se puede utilizar la diferencia de devianzas. La diferencia de

devianzas compara la log-verosimilitud de dos modelos anidados.

Definición 84

Si contiene parámetros más que .

108

En regresión lineal, si no tenemos variables independientes y queremos minimizar el error cuadrático, nuestro mejor estimador, en el modelo nulo, es utilizar la media. Algo similar ocurre en regresión logística. Si no se tienen variables independientes, posiblemente, nuestro estimador de la probabilidad de incumplimiento sería el porcentaje de incumplimientos. Este es el modelo nulo. Siempre podemos utilizar este modelo, así pues, podemos comparar el modelo ajustado con este modelo nulo. 109

El procedimiento es el siguiente: se establece un umbral (por ejemplo, ½ ) y se clasifica con un a los casos que tengan una probabilidad de incumplimiento estimada por arriba de ese umbral y con a los que tengan una probabilidad de incumplimiento estimada por debajo. Posteriormente, se compara con los datos reales y se calcula el porcentaje de los casos correctamente clasificados.




118

donde denota el logaritmo natural de la verosimilitud.

Así pues, la diferencia de devianzas nos permite analizar qué tanto mejora la log-

verosimilitud al incluir parámetros adicionales.110

Con este método podemos comparar

modelos anidados, podemos comparar el modelo ajustado contra el modelo nulo y podemos

comparar el modelo saturado contra el modelo ajustado. 111

Notamos que un valor pequeño de implica que ambas verosimilitudes son similares lo

cual sugiere un ajuste de modelo similar.112

generalmente se compara con una ji-

cuadrada con grados de libertad.113

7.13 Pruebas de hipótesis sobre las variables del modelo de regresión

logística

Como habíamos mencionado, también estamos interesados en medir el valor de un regresor

individual. Es decir, la segunda línea de preguntas es sobre las variables.114

En particular,

queremos saber si podemos descartar que la aportación al modelo de una variable

específica sea atribuible a una mera coincidencia. Dicho de otro modo, queremos descartar

110

A esta prueba también se le conoce como la prueba de cociente de verosimilitudes pues la diferencia de devianzas es equivalente a un cociente de verosimilitudes. 111

El modelo saturado es un modelo con m parámetros que se ajusta perfectamente a los datos de la muestra. 112

Por ejemplo, si un modelo con pocos parámetros ofrece un ajuste similar al modelo saturado quiere decir que es un buen ajuste. O si dos modelos anidados ofrecen un ajuste similar, implica que las variables adicionales no mejoran el ajuste. 113

No obstante, cabe resaltar que esta comparación está basada en el supuesto de que el número de repeticiones de cada combinación de regresores tiende a infinito. 114

Si el modelo en general funciona bien y proporciona un buen ajuste, también tenemos preguntas acerca de las variables. ¿Todas son relevantes? ¿Hay alguna que no aporte al modelo dadas las demás, o más bien, que no podamos descartar que su aportación se debe a pura coincidencia? Entre más variables (y por ende parámetros) incluyamos en el modelo, mejor será el ajuste; siendo el caso extremo que si tenemos tantos parámetros como observaciones podemos conseguir un ajuste "perfecto". Sin embargo, esto no quiere decir que en verdad todas las variables sean relevantes, podríamos estar sobreajustando el modelo y tener malos resultados al hacer pronósticos sobre otros deudores no utilizados para hacer la estimación.




119 la hipótesis de que el coeficiente asociado sea cero. Con este fin, se acostumbra utilizar la

prueba de Wald:

Definición 85

donde es el estimador de máximo verosimilitud del -ésimo parámetro, y

el error

estándar estimado de este coeficiente. Si la muestra es grande, es decir si , sigue,

asintóticamente, una distribución normal. Cabe mencionar que también es común encontrar

definido como una estadística de Wald. Si se utiliza esta definición, se

acostumbra compararla con una ji-cuadrada con un grado de libertad.

Otra alternativa es usar la prueba de diferencia de devianzas como se definió en la sección

anterior. En este caso, se compararía el modelo ajustado con el modelo sin el regresor.

Para mayores detalles sobre estas pruebas y para información sobre otras pruebas posibles,

referimos al lector a (Ryan, 1997).

7.14 Extensión a la metodología de G&S

El objetivo principal del presente trabajo es analizar la metodología de G&S para valuar

CDOs. Un CDO permite redistribuir el riesgo crediticio a distintos inversionistas con

distinto apetito de riesgo y rendimiento. Correctamente valuado, un CDO ofrece muchos

beneficios para los diversos participantes directos e indirectos del mercado.

Uno de los principales inputs de la metodología de G&S es la probabilidad de

incumplimiento de cada deudor la cual se supone conocida. Se acostumbra estimar la




120 probabilidad de incumplimiento a partir del spread de los swaps de incumplimiento

crediticio o, en caso de no existir un CDS de referencia, a partir del spread crediticio.115

Este enfoque tiene diversas ventajas que lo hacen ser el enfoque actual y el enfoque

sugerido en G&S. Sin embargo, en el caso de que se trate de un CDO cuyo colateral es un

portafolio de créditos hipotecarios a personas físicas en México (CDOHM), este enfoque

presenta importantes inconvenientes. Al no existir un CDS tendríamos que utilizar el

enfoque basado en el spread crediticio. Sin embargo, los spreads son afectados por factores

que incluyen pero no se limitan al riesgo crediticio; la tasa cobrada al deudor i no refleja

cabalmente la situación del deudor i; y el spread crediticio es controlable por la institución

financiera lo cual genera incentivos perversos desde el punto de vista de administración de

riesgos.

No obstante este caso, un CDOHM, es muy importante para México. Al redistribuir el

riesgo crediticio, se fomenta el desarrollo del mercado hipotecario en México. Esto tiene

repercusiones económicas, sociales, culturales y de cobertura relevantes para el país. Por lo

tanto, es importante buscar una forma de estimar la probabilidad de incumplimiento en

estos casos.

Nuestra propuesta consiste en utilizar un modelo de regresión logística. Esto evita los

inconvenientes de estimar la probabilidad de incumplimiento a partir del spread crediticio:

se considera específicamente la probabilidad de incumplimiento y no los otros factores que

forman parte del spread crediticio; se estima la probabilidad de incumplimiento a nivel

individuo; y se evita el incentivo perverso descrito. Adicionalmente, permite considerar

factores que afectan a todos o varios deudores y considerar factores específicos de cada

deudor.

Esta es nuestra propuesta de extensión a la metodología de G&S. La metodología de G&S

es general; no distingue entre el tipo de colateral; ni se enfoca en el método para estimar la

probabilidad de incumplimiento. Sin embargo, con la forma usual de estimarla,

115

Si se conoce la probabilidad de incumplimiento, se puede calcular el spread adecuado. Conversamente, si se conoce el spread de mercado, se puede calcular la probabilidad de incumplimiento implícita.




121 encontramos importantes inconvenientes en el caso de un CDOHM los cuales son evitados

al utilizar el modelo de regresión logística propuesto. Así pues, nuestra aportación permite

extender la aplicabilidad de la metodología de G&S a un caso de gran relevancia para

México.




122

8. RESULTADOS

Ya hemos analizado las Obligaciones de Deuda con Colateral, los modelos de

incumplimiento crediticio, las cópulas, el modelo supuesto en G&S, hemos presentado y

analizado la metodología de G&S y, en el caso de un CDOHM, hemos propuesto un

modelo de regresión logística para estimar la probabilidad de incumplimiento y así extender

la aplicabilidad de la metodología de G&S a un caso de gran relevancia para México.

En el presente capítulo hacemos un ejemplo numérico para ilustrar el funcionamiento de

esta metodología y de la extensión propuesta. Primero, replicamos el mismo ejemplo

numérico que ofrecen G&S para poder verificar los resultados. Posteriormente, retomamos

el ejemplo numérico pero utilizamos un modelo de regresión logística para estimar las

probabilidades de incumplimiento de acuerdo con lo visto en el capítulo anterior.

La primera parte del capítulo, secciones 8.1 a 8.3, trata del ejemplo numérico y cómo se

podría resolver. La segunda parte del capítulo, secciones 8.4 a 8.6, discute los resultados en

el ejemplo numérico base. Finalmente, la tercera parte del capítulo, secciones 8.7 a 8.11,

trata sobre el ejemplo numérico modificado donde se utiliza un modelo de regresión

logística.

8.1 Caso

En el presente capítulo resolvemos el siguiente ejemplo numérico para mostrar la

metodología de G&S:

Consideramos un portafolio con 50 deudores correlacionados ( Las pérdidas por

incumplimiento del deudor i son iguales a i y, así pues, la pérdida máxima que

puede sufrir el portafolio es .116

116

Notamos que la exposición a cada deudor es diferente y que la exposición al

deudor M es 50 veces la exposición al deudor en este ejemplo.




123 En este ejemplo, se considera que las variables aleatorias que definen el incumplimiento

tienen 5 factores ( . Así pues, la matriz de carga es una matriz de .

En este ejemplo, G&S suponen una estructura de correlación liviana.117

La matriz de carga

es una matriz rala; es decir, gran parte de sus entradas tienen el valor cero. En este ejemplo,

los elementos distintos de ceros son iguales a . Los elementos distintos de cero en la

primera columna son: ; en la segunda columna son: ; en la tercer

columna son: ; en la cuarta columna son: y finalmente en la

quinta columna son: . Notamos que la correlación no es la misma entre

cualquier par de deudores.

El objetivo es hacer una aproximación de tercer orden 118

de en

(aproximadamente de la exposición total).

Primero, como ejemplo numérico base, replicamos el ejemplo numérico que ofrecen G&S.

Con este fin, suponemos que la probabilidad de incumplimiento de todos los deudores es

igual a 0.02 . Posteriormente, en las secciones 8.7 a 8.11, utilizamos un modelo

de regresión logística para estimar las probabilidades de incumplimiento y así ilustrar las

ideas presentadas en el Capítulo 7.

8.2 Cargar el ejemplo en MATLAB

Para cargar el ejemplo en MATLAB utilizamos la siguiente rutina:

M=50; p=0.02*ones(M,1);

for i=1:M c(i)=i; end c=c';

d=5;

117

En la sección 8.4 notamos que aunque la correlación es liviana, el resultado es radicalmente distinto que de haber supuesto independencia. 118

Seguimos el ejemplo de G&S para escoger el orden de aproximación inicial. Posteriormente en la sección 8.6 hacemos aproximaciones de diversos órdenes.




124 A=zeros(M,d); aux1=[1,9,19,29,39]; aux2=[12,22,32,42,50];

for j=1:d A(aux1(j):aux2(j),j)=0.2; end clear aux1 aux2

y=200;

s=0.1;

orden_aprox=3;

8.3 Diagrama de la implementación

Para implementar este ejemplo numérico nos apoyamos en el código contenido en el

Apéndice C de Miemiec (2009). No obstante, cabe mencionar que realizamos algunos

cambios a dicho código: en particular, hicimos algunos cálculos de manera matricial en

lugar de utilizar un "for" lo cual mejoró la eficiencia computacional. El objetivo de la

presente sección es explicar el código antes mencionado.

1) Cargar el modelo.119

2) Definir todas las , donde . 120

3) Para cada :

a) Calculamos las probabilidades ajustadas las cuales dependen de

b) Siguiendo el algoritmo de Andersen, Sidenius, & Basu (2003), obtenemos la

distribución de las pérdidas en caso de que los deudores fueran independientes con

las probabilidades ajustadas obtenidas en el inciso anterior.

119

Definir el número de deudores, las probabilidades de incumplimiento, las pérdidas en caso de incumplimiento, el número de factores, la matriz de carga, el punto inferior ' ' en el cual se quiere estimar . Recordamos que estos valores son exógenos para el modelo supuesto en G&S. También se puede definir el parámetro el cuál debe ser pequeño (G&S usan y el orden de aproximación deseado ( ). Claro, también podríamos asignar un valor fijo inicial para estos parámetros (por ejemplo, y orden de aproximación ) y permitir al usuario cambiarlos si así lo desea. En general, entre más alta sea la correlación entre las variables que definen el incumplimiento, más alto será el orden de aproximación necesario para tener una buena aproximación. 120

Como se ve en el Apéndice D, no es necesario calcular para todas las en

como podría parecer en un primer momento. Basta evaluar .




125 c) Calculamos el valor esperado de con base en la distribución de las

pérdidas del inciso anterior y lo guardamos en un vector al que llamamos VE.

4) Hacer la aproximación de orden cero. 121

5) Calcular los coeficientes

a) Para cada orden de aproximación donde va de a , calculamos todas las

b) Iniciamos la variable en cero. Para cada , buscamos a qué

corresponde y, por ende, a que valor esperado en corresponde. Calculamos el

peso correspondiente a y la multiplicamos por el valor esperado

correspondiente a . Este resultado se lo sumamos a la variable ; es decir,

.

c) Por el resultado de G&S, sabemos que . Repitiendo estos pasos

tenemos todos los coeficientes de la aproximación de orden . 122

6) Finalmente, hacer la aproximación de n-ésimo orden de .123

8.4 Resultados numéricos

En la presente sección presentamos los resultados numéricos al hacer una aproximación de

tercer orden. Los coeficientes que obtuvimos son:

121

Equivalente a hacer los pasos del numeral anterior pero con las probabilidades originales (es decir, no

ajustadas). Recordamos que

, así pues calcular es lo mismo que

calcular asumiendo que las variables que definen el incumplimiento de los deudores fueran independientes con las mismas probabilidades de incumplimiento. 122

Notamos, que aunque el algoritmo numérico considera cada , sólo calcula y

así aumenta la eficiencia computacional. 123

La aproximación de n-ésimo orden de es

, entonces la

aproximación de n-ésimo orden de en el modelo que asumimos verdadero ( es

simplemente

con los coeficientes que acabamos de estimar.




126 Tabla 1

1.1075 1.5957 2.1587 2.5603

Así pues, la aproximación de tercer orden de E en el modelo que supusimos

verdadero es: 124

Cabe resaltar que aún cuando la estructura de correlación que supusimos en este ejemplo es

una estructura liviana, E es considerablemente mayor que en un modelo con

deudores independientes. De hecho es 3.8 veces mayor. 125

Queremos resaltar que, aún con

una correlación liviana, el no considerar esta correlación nos lleva a subestimar de manera

importante el riesgo crediticio de que las pérdidas sobrepasen cierto umbral. Finalmente,

notamos que dicha aproximación tomó 39 segundos en MATLAB.

8.5 Variaciones del parámetro s

Recordamos que en la metodología de G&S, para estimar los coeficientes tenemos

que evaluar un límite cuando . A saber, . En la

práctica, substituimos por un valor "pequeño" de . 126

G&S proponen utilizar . En

la presente sección comparamos los resultados de una aproximación de tercer orden en el

ejemplo en cuestión al variar el parámetro

124

La aproximación de tercer orden de es:

Substituyendo en obtenemos el resultado. 125

Calcular el valor esperado deseado en un modelo con deudores independientes, equivale a substituir el valor o simplemente a utilizar el coeficiente Así pues, el valor esperado de las pérdidas en este modelo sería de 1.1075 . 126

Es indispensable que pues de lo contrario los pesos

no estarían definidos y tenderían a

infinito. Así pues, es necesario tomar un valor distinto de cero pero que sea "cercano a cero".




127

Tabla 2

Parámetro Coeficientes

Tiempo

computacional

(segundos)

Notamos que al variar el parámetro , varía tanto el valor estimado para

como el tiempo computacional. Dependiendo del caso específico, podemos querer

favorecer una mayor exactitud al evaluar el límite o un menor tiempo computacional. Sin

embargo, afortunadamente, notamos que variaciones en el parámetro no cambian

radicalmente los resultados.127

Cabe mencionar que no tiene sentido utilizar un valor para el parámetro mucho más

pequeño pues corremos el riesgo, dependiendo de la precisión de máquina que tengamos, 127

Comparando el caso versus el caso , notamos que nos da un ligeramente más alto ( más alto) y un tiempo computacional menor. Análogamente, comparando el caso versus el caso , notamos que nos da un un más alto y el tiempo computacional es 1 menor.




128 de que sea inestable numéricamente. En ese caso, podríamos acabar con mayor tiempo

computacional y menor exactitud. Para el ejemplo considerado en este capítulo

consideramos que el valor propuesto por G&S de es adecuado.

8.6 Distintos órdenes de aproximación

En la presente sección comparamos distintos órdenes de aproximación. Notamos que para

la aproximación de orden y para la aproximación de orden , los coeficientes

son iguales. Así pues, en la siguiente tabla sólo incluimos el n-ésimo

coeficiente de cada orden de aproximación. En los siguientes casos utilizamos .

Tabla 3

Orden de

aproximación

n-ésimo coeficiente Tiempo

computacional

(segundos)

0 1.1075 1

1 2.7032 1.5

2 3.7826 8.4

3 4.2093 39.4

4 4.3053 166.4

5 4.3124 868.1

En primer lugar notamos que el tiempo computacional crece de manera exponencial con el

orden de aproximación. La siguiente figura muestra en el eje de las ordenadas el tiempo

computacional en segundos y el orden de aproximación en el eje de las abscisas.




129 Figura 10

Sin embargo, también recordamos que el valor "exacto" de es

. Así pues, entre más grande sea el orden de aproximación, más exacta será la

aproximación. Si comparamos las diversas aproximaciones de con la

aproximación de quinto grado tenemos la siguiente tabla:

Tabla 4

Orden de

aproximación

Tiempo

computacional

(segundos)

Aproximación de

orden n /

aproximación de

orden 5

0 1.1075 1 25.7%

1 2.7032 1.5 62.7%

2 3.7826 8.4 87.7%

3 4.2093 39.4 97.6%

4 4.3053 166.4 99.8%

5 4.3124 868.1 100.0%

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 1 2 3 4 5

Tie

mp

o c

om

pu

taci

on

al (

s)

Orden de aproximación

Tiempo




130 Cabe resaltar que, a diferencia de lo que ocurría en la sección anterior cuando variábamos

el parámetro , el variar el orden de aproximación tiene importantes repercusiones tanto en

la exactitud de la aproximación como en el tiempo computacional. En cada caso específico

se debe buscar un balance y valorar a qué se le debe dar más importancia: a la exactitud de

la aproximación o a la eficiencia computacional.

En este ejemplo, consideramos que una aproximación de orden ó es adecuada. Una

aproximación de orden mayor ( ) no mejora de manera significativa la calidad de

aproximación pero aumenta de manera considerable el costo computacional. Por otro lado,

una aproximación de orden menor, implica un menor costo computacional pero la pérdida

en exactitud es significativa. En general, no se puede definir un orden de aproximación que

funcionará adecuadamente para valuar cualquier CDO y se debe considerar caso por caso

para estimar qué orden de aproximación es el adecuado.

8.7 Ejemplo numérico modificado En el resto del capítulo, con el fin de ilustrar las ideas presentadas en el Capítulo 7,

utilizamos un modelo de regresión logística para estimar las probabilidades de

incumplimiento.128

Con este fin: (i) simulamos información relevante sobre los 50 deudores

del portafolio; y (ii) simulamos una base histórica comparable con información de 2450

deudores así como el resultado de su cumplimiento para estimar los parámetros del modelo

de regresión logística.

De los 2450 deudores que conforman la base histórica, utilizamos 2187 casos (~89%) para

estimar los parámetros del modelo; dejando una submuestra de 263 casos (~11%) para

validar el modelo.

8.8 Variables del modelo de regresión logística Las variables independientes o explicativas que fueron seleccionadas son:

128

No modificamos el resto de los supuestos del caso considerado.




131 p2_sueldo_miles.- la cual indica el sueldo mensual de cada deudor en miles de pesos.

p3_puntajecreditico.- la cual indica el puntaje crediticio de cada deudor en una escala de

50-80.

p4_pago_a_sueldo.- la cual denota el porcentaje que representa el pago mensual del

crédito con respecto al sueldo mensual del deudor.

De acuerdo con el modelo de regresión logística que hemos ajustado obtenemos los

siguientes estimados para coeficientes y momios.

Variable Coeficiente estimado Momio estimado

p2_sueldo_miles -1.46549 .231

p3_puntajecrediticio -0.93483 .393

p4_pago_a_sueldo 0.80271 2.232

Constante 58.21788 1.922

Notamos que, de acuerdo con el modelo ajustado, un aumento en el sueldo o en el puntaje

crediticio disminuye considerablemente el momio estimado y por ende la probabilidad de

incumplimiento. Por otro lado, notamos que un aumento en el porcentaje dedicado al pago

del crédito aumenta considerablemente el momio y por ende la probabilidad de

incumplimiento.

8.9 Ajuste del modelo de regresión logística

La de Nagelkerke en este modelo es 0.946 sugiriendo un buen ajuste de modelo. 129

129

En el modelo de regresión logística no hay un equivalente a la en regresión lineal. Sin embargo, se han propuesto pseudo para el modelo de regresión logísticas análogas a la de regresión lineal. La de




132 También calculamos el porcentaje de casos correctamente clasificados. Esto lo hacemos

con la submuestra de 263 casos que no fue utilizada para estimar los coeficientes del

modelo. Utilizando un umbral de , el modelo ajustado clasifica correctamente el 99%

de los cumplimientos y el 90% de los incumplimientos; clasificando así correctamente el

98% de los casos.

A partir de la diferencia de devianzas, rechazamos la hipótesis nula de que las variables

independientes, tomadas en conjunto, no tienen efecto sobre el incumplimiento con un nivel

de confianza de 0.001 (ji-cuadrada=1743, con 3 grados de libertad).

Adicionalmente, a partir de la prueba de Wald aplicada a cada uno de los regresores,

encontramos evidencia fuerte de que todos los coeficientes así como la constante son

distintos a cero con un nivel de confianza de 0.001.

En conclusión, los datos proveen evidencia fuerte que sugiere que el modelo ajustado es

adecuado.

8.10 Probabilidad de incumplimiento estimada

Así pues, el modelo ajustado para la probabilidad de incumplimiento es:

donde )

y p2_sueldo_miles_i, p3_puntajecrediticio_i, p4_pago_a_sueldo_i)

Nagelkerke es una modificación de la de Cox & Snell para tener un valor máximo de uno. En el modelo ajustado, la de Cox & Snell es arroja un valor de 0.549.




133 A partir de este modelo, calculamos la probabilidad de incumplimiento de cada uno de los

50 deudores que conforman el CDO considerado en este capítulo.130

8.11 Resultados numéricos en el ejemplo modificado De esta forma, a partir de las probabilidades estimadas de acuerdo con el modelo de

regresión logística, podemos utilizar la metodología de G&S para hacer una aproximación

de tercer orden de . Los coeficientes que obtuvimos son:

Tabla 5

Así pues, la aproximación de tercer orden de en el modelo que supusimos

verdadero es:

130

La media de las probabilidades estimadas es 0.1229.




134

9. CONCLUSIONES

El mercado global de CDOs experimentó un enorme crecimiento en la década de los 2000.

No obstante, en el contexto de la crisis financiera e hipotecaria internacional de finales de la

década de los 2000, el mercado de los CDOs colapsó. Así pues, se necesitan profundos

cambios en distintas esferas del mercado de CDOs, por ejemplo, cambios legales,

regulatorios, y cambios en el diseño y en la estructura de incentivos, para prevenir un nuevo

colapso.

Encontramos que una de las principales razones de este estrepitoso colapso fue un exceso

de instrumentos financieros mal valuados. Instrumentos hipotecarios subvaluados

ocasionaron que los spreads hipotecarios disminuyeran aún cuando el riesgo aumentaba.

Los mercados incorporaron esta deficiencia en el precio de los activos y así se contribuyó a

un aumento en el precio de las viviendas por encima de su valor fundamental.

Adicionalmente, aún cuando la diversificación permite reducir el riesgo idiosincrático, se

mantiene el riesgo sistémico el cual también fue subestimado; en parte porque se había

contado con un ambiente financiero y económico benévolo lo cual afectó a los modelos

basados en información histórica. Además, cabe señalar que el mercado de CDOs, y por

ende la necesidad de valuaciones y calificaciones al riesgo crediticio, creció mucho más

rápido que el número de modelos y analistas calificados. Nosotros nos hemos enfocado en

los cambios necesarios en los modelos matemáticos de valuación y administración de

riesgo.

Hallamos que la clave está en modelar la correlación entre el incumplimiento de los

deudores. Como todos los deudores están expuestos a factores comunes, su prosperidad o

adversidad está relacionada y también lo están sus flujos de efectivo. Ejemplos numéricos

muestran que subestimar la correlación nos puede llevar a subestimar de manera sustancial

el riesgo de incumplimiento y, por ende, a valuar incorrectamente instrumentos financieros

relacionados.




135 Modelar la correlación entre el incumplimiento de los deudores presenta importantes

complicaciones: (i) numéricamente, el costo computacional aumenta de manera

exponencial; (ii) se debe considerar el horizonte de tiempo; (iii) estudios sugieren que las

correlaciones cambian con el tiempo y pueden hacerlo de manera catastrófica en periodos

críticos.

Necesitamos la función de distribución conjunta de las pérdidas de los deudores; sin

embargo, usualmente sólo podemos estimar directamente las marginales. Así pues,

necesitamos una herramienta para obtener la función de distribución conjunta a partir de las

marginales pero que tenga inherente una estructura de correlación. Suponer independencia

y multiplicar las marginales produce resultados desastrosos. Las cópulas son herramientas

con una estructura de correlación inherente que nos permiten unir marginales. Gracias al

Teorema de Sklar, sabemos que existe una cópula que nos permite obtener la función de

distribución conjunta de m variables aleatorias a partir de sus marginales.

La cópula Gaussiana con un factor es el método estándar de valuación. Este modelo, es

numéricamente eficiente; pero es insuficiente para capturar la complejidad del riesgo

involucrado en un CDO. Sin embargo, valuar en un modelo multi-factor implica un

aumento complejidad y costo computacional que puede hacer la metodología inviable.

G&S proponen una metodología numéricamente eficiente para valuar CDOs en un modelo

multi-factor utilizando expansiones numéricas. G&S muestran que, bajo el enfoque de

pérdidas acumuladas, el precio de un tramo de un CDO puede ser visto como una

combinación de elementos de la forma . Después, demuestran que

admite una expansión infinita; a saber:

. El punto toral

de la metodología está en estimar cada coeficiente de la serie utilizando valores esperados

provenientes de modelos independientes a partir del siguiente límite:

.

Así pues, el gran mérito de la metodología de G&S es que convierten la tarea de valuar un

CDO en un modelo multi-factor en la tarea, mucho más sencilla, de calcular valores




136

esperados de la forma provenientes de un modelo donde el incumplimiento

entre los deudores es independiente. De hecho, si el modelo es de d factores, y queremos

una aproximación de orden n, para cada valor debemos calcular

valores esperados de la forma provenientes de modelos independientes.

Adicionalmente, encontramos que el principal parámetro que afecta la exactitud del modelo

y el tiempo computacional es el orden de aproximación; dependiendo del caso específico

podemos favorecer la exactitud de la aproximación o la eficiencia computacional.

Uno de los principales inputs en la metodología de G&S es la probabilidad de

incumplimiento de cada deudor, la cual, usualmente, se estima a partir del spread de un

CDS o, en su defecto, del spread crediticio. Sin embargo, hay un caso de especial interés

para nosotros, un CDO formado por créditos hipotecarios a personas físicas en México, en

el cual encontramos importantes inconvenientes al estimar la probabilidad de

incumplimiento con este enfoque: (i) no existe un CDS de referencia por lo que tendríamos

que basarnos en el spread crediticio; (ii) gran parte del spread crediticio no se debe al riesgo

de incumplimiento y, por ende, un estimado de la probabilidad de incumplimiento basada

únicamente en el spread crediticio podría ser poco confiable; (iii) la tasa cobrada al deudor i

podría ser la misma para un grupo heterogéneo de deudores y no reflejar la calidad

crediticia del deudor i; (iv) como el spread crediticio es controlable por la institución

financiera, se podría disminuir el spread crediticio y aumentar la exposición al riesgo de

incumplimiento lo cual derivaría en una subestimación de éste.

No obstante, un CDO formado por créditos hipotecarios es de gran relevancia para México

pues, al redistribuir el riesgo crediticio, fomenta el desarrollo del sector hipotecario el cual

es de gran relevancia para el país. Culturalmente, las personas y familias mexicanas sueñan

con "tener casa propia"; y hacen bien en soñar con ello. La demanda de las familias por

vivienda es inelástica y se dedica un alto porcentaje del ingreso a la vivienda. Esto implica

que un alza en el precio de las viviendas tiene severas repercusiones en la economía

familiar. Más aún, a lo largo del tiempo, los precios de las viviendas sí tienden a apreciarse.

Así pues, hace mucho sentido para las familias protegerse contra un alza en el precio de las




137 viviendas; comprar una casa es la protección natural. No obstante, pocas familias son

capaces de hacer de contado una inversión de tal magnitud. Un CDO formado por créditos

hipotecarios fomentará el desarrollo del sector hipotecario en México y coadyuvará a las

familias a conseguir su sueño.

Proponemos utilizar un modelo de regresión logística para estimar la probabilidad de

incumplimiento de cada deudor cuando se trate un CDO formado por créditos hipotecarios.

Esto evita los inconvenientes encontrados al estimar la probabilidad de incumplimiento a

partir del spread crediticio pues: (i) se considera específicamente la probabilidad de

incumplimiento y no los otros factores que conforman el spread crediticio; (ii) se estima la

probabilidad de incumplimiento a nivel deudor; (iii) no es controlable por el banco y así

pues se evita el incentivo perverso descrito. Más aún, esta herramienta, la cual es muy

popular para estimar probabilidades, permite considerar factores que afectan a varios o

todos los deudores y factores que afectan a cada deudor de manera específica. Cabe

mencionar que existen diferentes pruebas de hipótesis que podemos hacer para analizar el

ajuste del modelo y la relevancia de las variables incluidas según se hizo mención en el

Capítulo 7.

Esta es nuestra propuesta de extensión a la metodología de G&S. La metodología de G&S

sirve para valuar CDOs formados por cualquier tipo de colateral. Uno de sus principales

inputs es la probabilidad de incumplimiento la cual se acostumbra estimar a partir del

spread de un CDS o, de no ser posible, a partir del spread crediticio. Sin embargo, en el

caso de un CDO formado por créditos hipotecarios, existen importantes inconvenientes

cuando se estima este input con el enfoque usual. Así pues, nuestra propuesta permite

extender la metodología de G&S a un caso que ayudará a las familias mexicanas a lograr el

sueño de tener casa propia.

Poder valuar correctamente un CDO significa poder valuar un seguro que protege la

inversión en un portafolio de deuda; significa poder valuar un instrumento que distribuye el

riesgo; significa valuar un instrumento que permite a inversionistas conservadores invertir

en instrumentos riesgosos sin conservar el riesgo crediticio; también significa permitir a




138 millones de familias tradicionalmente excluidas del crédito poder comprar una vivienda

propia.

La metodología de G&S y nuestra aportación a ella permiten una mejora en la valuación de

CDOs. Esto se traduce en una distribución más eficiente del riesgo crediticio; lo que a su

vez implica fomentar el crédito. El crédito es el mecanismo básico para lograr el gran

objetivo del sector financiero: coadyuvar en lograr una asignación eficiente de los recursos;

transmitir recursos de agentes con flujo de efectivo positivo a agentes con necesidad de

financiamiento.

A lo largo de estas páginas, hemos visto que la metodología propuesta es una importante

innovación para valuar Obligaciones de Deuda con Colateral. Sin embargo, como toda idea

innovadora, tiene la virtud de plantear nuevas preguntas, por ejemplo: ¿es suficiente la

estructura de correlación supuesta?; ¿es adecuado el enfoque utilizado para modelar el

incumplimiento?; ¿otro tipo de cópulas ofrece mejores resultados?; ¿cómo cambian los

resultados del modelo ante cambios en los inputs?; ¿qué sucede al comparar la metodología

y extensión propuesta con información empírica? Probablemente, investigación futura

sobre estas líneas gozará de interés en el mundo financiero; tanto en la academia como en la

industria.

El hombre antiguo acostumbraba guardar sus artículos de valor en el templo; su carácter

sagrado disuadiría los robos. "En Babilonia, en el tiempo de Hammurabi (siglo XVIII

A.C.), hay registros de créditos hechos por los sacerdotes del templo" (Gascoigne, 2001).

El hombre moderno sale de una casa hipotecada y conduce un auto comprado a crédito por

una carretera financiada con un bono gubernamental. A lo largo de la historia, el crédito ha

experimentado importantes innovaciones. Como la mayoría de los grandes inventos de la

humanidad, el crédito presenta un doble filo: sabiamente utilizado cataliza el desarrollo

económico; irresponsablemente utilizado cataliza la bancarrota financiera. Las

Obligaciones de Deuda con Colateral son una de las más recientes innovaciones al crédito.

Nuestra manera de contribuir a su sabia utilización: analizar y extender una metodología

que mejora su valuación.




139

ANEXOS

El precio de un CDO se puede escribir como una combinación lineal de elementos de la

forma

, donde son las pérdidas acumuladas del portafolio en una fecha de

pago de cupón fija y ' ' es un punto de corte inferior. G&S proponen una metodología para

estimar

la cual se basa en dos resultados fundamentales.

(1) Al parametrizar la matriz de correlación para un parámetro , se puede

escribir

como una serie infinita. Es decir:

donde son constantes reales.

(2) Cada coeficiente de la serie anterior puede ser visto como el límite de una suma

ponderada de valores esperados provenientes de modelos donde las variables que

definen el incumplimiento son independientes. A saber:

.

En el presente anexo ofrecemos una explicación propia de la intuición matemática detrás de

estos resultados.131

Para una demostración formal de ambos resultados referimos al lector a

Glasserman & Suchintabandid (2007).

Con el fin de presentar la intuición matemática detrás de estos resultados, en algunos lemas

exponemos el caso bivariado con correlación . Desde luego, estas ideas se

pueden generalizar para cualquier número de deudores.

El Apéndice A trata sobre la existencia de los coeficientes. El Apéndice B explica de dónde

proviene la representación como límite de una sumatoria ponderada y cómo se obtienen los

131

Los resultados y sus implicaciones son explicados en el Capítulo 6.




140 ponderadores. En el Apéndice C se encuentra el resultado principal de G&S. Por último, el

Apéndice D discute sobre el número de sumandos necesarios.

Apéndice A

La importancia de este resultado radica en la existencia; es decir, en que el valor esperado

en cuestión se puede escribir como dicha serie donde los coeficientes son constantes reales.

Primero vemos que:

Ecuación 27

donde es la función de distribución de las pérdidas en el portafolio de referencia y

donde las integrales las entendemos en un sentido de Riemann–Stieltjes. Para evaluar las

integrales anteriores necesitamos la función de distribución de las pérdidas. 132

Definición 86

donde es la función indicadora, y las variables son variables normal estándar con

correlación . 133

El parámetro parametriza la correlación de . Es decir, el subíndice en

indica que estamos considerando el modelo donde la correlación es

132

De hecho, en el modelo supuesto, las pérdidas en el portafolio son discretas con soporte finito. Así pues, podríamos remplazar las integrales por sumatorias finitas. 133

Notamos que estamos cambiando ligeramente la notación. Esto es con el fin de hacer más clara la exposición del presente apéndice.




141 Para probar que admite una expansión como una serie infinita, probamos un

resultado más general: que admite una expansión como una serie infinita donde

es una función. Para esto, nos apoyamos en las siguientes definiciones y lemas.

Definición 87

Sea . Denotamos el evento que los deudores incumplan, mientras

que el resto de los deudores ( cumplen.

Definición 88

Para , sea .

Es decir, denota las pérdidas del portafolio si el evento ocurre.

Definición 89

Sea .

Lema 7

Sea . se puede escribir como una combinación de elementos de la forma

.

Demostración

Como , el resultado se sostiene.




142 Corolario 7

Sea . Si admite una expansión como una serie infinita , entonces,

admite una expansión como una serie infinita.

Demostración

Sea .

Por el Lema 7,

Por lo tanto,

con

Como , y se trata de una sumatoria finita, entonces ,

.

Ahora, agregamos artificialmente un deudor que siempre incumple, pero con exposición

cero. Es decir, deudor incumple , pero . Esto nos evita tener que

analizar por separado subconjuntos vacíos de incumplidores, y nos permite escribir

.

Lema 8

Sea se puede escribir como una combinación de elementos de la forma

donde es un subconjunto no vacío de




143

Demostración

Recordamos que: decimos que el deudor incumple .

Trivial.

Los subconjuntos de son: .

Consideremos el siguiente diagrama de Venn.

Figura 11

A partir del diagrama anterior y la fórmula de inclusión-exclusión, notamos que podemos

escribir de la forma deseada .

Supongamos el resultado válido para Agregamos un deudor más al portafolio, el deudor

. Para cada , tenemos ahora dos posibilidades disjuntas: si el

deudor incumple; y si el deudor cumple. No se afecta el cumplimiento o

incumplimiento del resto de los deudores.

Así pues: .




144 Por lo tanto, como se puede escribir como una combinación de elementos de la

forma donde es un subconjunto de

, tenemos que se puede escribir como la

misma combinación agregando en cada sumando. Además,

también se puede escribir de una forma válida.

Corolario 8

Si se puede escribir como una serie infinita

Entonces, admite una expansión como una serie

infinita

Demostración

Análoga a la demostración del Corolario 7.

Por lo tanto, para ver que

puede ser escrito como una serie, en el caso

bivariado, basta mostrar que puede ser expresado como una serie.

Recordamos que, por el momento, sólo estamos interesados en la existencia y no en una

representación que sugiera una forma eficiente de cómputo.

Lema 9

con

donde es el polinomio de Hermite de grado n.




145 Demostración

Por la fórmula de Mehler 134

sabemos que:

Ecuación 28

donde es el polinomio de Hermite de grado n.

Así pues,

Por lo tanto,

donde

La generalización del resultado anterior parte de la identidad de Kibble-Slepian la cual

generaliza la fórmula de Mehler al caso de variables aleatorias; y, análogamente,

admite una expansión infinita. Para un análisis a fondo sobre la

identidad de Kibble-Slepian referimos al lector a Foata (1981).

134

Foata (1978) ofrece una demostración combinatoria de la fórmula de Mehler.




146 Ahora estamos en posición de probar el teorema objeto de esta sección.

Teorema 8

Sea . Entonces: admite una expansión como una serie infinita. Es decir:

.

Demostración

Por el Lema 9:

Así pues, por el Corolario 8, admite una expansión como una serie infinita

Finalmente, por el Corolario 7, admite una expansión como una serie infinita.

Apéndice B

En el Apéndice A vimos que admite una representación como una serie

infinita y hasta vimos una forma integral para los coeficientes de la serie. Sin embargo,

inmediatamente, notamos que "debe haber" una forma más eficiente de aproximar los

coeficientes de la serie que tratando de hacer una integración numérica doble. G&S ofrecen

el siguiente Teorema.

Teorema 9

Sea

, y sean las probabilidades ajustadas para con

de acuerdo con la fórmula de ajuste del Capítulo 6. Y sea y

Entonces:




147 Antes de poder demostrar el teorema anterior, presentamos los siguientes lemas.

Lema 10

donde la función de densidad de una variable aleatoria normal estándar y es el

polinomio de Hermite de grado i.

Demostración

El siguiente lema nos evita tener que realizar integración numérica.

Lema 11

Demostración

Vamos a demostrar que ambas funciones tienen la misma derivada.

Por el Teorema Fundamental del Cálculo:




148

Por otro lado,

por la recursión que satisfacen los polinomios de Hermite.

Por lo tanto, ambas funciones difieren por una constante. Es decir:

donde es una constante real.

Sin embargo,

Por lo tanto,

Si recordamos la definición:




149 Tenemos que:

Para continuar, primero, consideramos el caso de un factor. Es decir, donde

son constantes reales.

Lema 12

Sea fija. Sean constantes reales. Sea donde son constantes

reales. Definimos los polinomios en como sigue:

Entonces,

Demostración

Análogamente,

Así pues,




150

Definición 90

Ahora, supongamos que tienen una estructura de factores. Es decir,

donde son variables aleatorias normal estándar independientes,

son constantes reales tales que

y

.

Definición 91

Asumamos que la correlación de tiene una estructura de factores. Es decir,

Notamos que la correlación en el modelo que asumimos verdadero es un caso particular de

la definición anterior donde .

Definición 92

Para , definimos:

Lema 13

Sean y .




151 Demostración

Cada sumando del lado izquierdo (LI) es de la forma

. Como ,

podemos reescribir cada sumando como sumando de la forma donde

y . Es decir, para un sumando específico del LI, puede

aparecer desde hasta veces, lo mismo para , y en total, el número de

apariciones (en cada sumando) es

Ahora, notamos que la sumatoria es sobre . Así pues, habrá sumandos

repetidos. Cada combinación aparece

veces. Por lo tanto,

podemos escribir el LI como:

Corolario 9

Demostración

Sea , .

Lema 14

Sea . Sean las probabilidades ajustadas para de

acuerdo con la fórmula de ajuste presentada en el Capítulo 6. Entonces:




152 Demostración

Al analizar la fórmula de ajuste para y para

notamos que al derivar dos veces

con respecto a dos veces con respecto a dos veces con respecto a , únicamente

permanecerá el producto de los términos

y

. Así pues:

Ahora, estamos en posición de enunciar y demostrar nuestro siguiente lema.

Lema 15

Demostración

Por el Lema 14 sabemos que

y por el Corolario 9 sabemos que




153 Por lo tanto,

Lema 16

Sea


de acuerdo con la fórmula de ajuste del Capítulo 6. Entonces:

Demostración

Sea . Hacemos explícita la dependencia de en y escribiendo

).

Por la regla de l'Hôpital,

Además, de acuerdo con la fórmula de ajuste del Capítulo 6, vemos que

y .




154 Así pues,

donde omitimos el subíndice en y para simplificar la notación.

pues , y .

Ahora escribimos para hacer explícita la dependencia en

. Al repetir el argumento anterior veces, tenemos que:




155

Finalmente, estamos en posición de demostrar el

Teorema 9

Sea


de acuerdo con la fórmula de ajuste del Capítulo 6. Y sea y

Entonces:

Demostración

En el Apéndice A vimos que:

donde




156 Por el Lema 10:

Por el Lema 11:

Por el Lema 15:

Y, por el Lema 16:

Por lo tanto,




157

Apéndice C

En el Apéndice A, vimos que:

Y en el Apéndice B, vimos que:

En el presente apéndice vemos como dichas ideas nos permiten estimar los coeficientes

analizados en el Capítulo 6. Para esto, probamos un resultado más general. Pero

antes debemos introducir algunos lemas.

Recordamos que para , denota el evento que los deudores

incumplan, mientras que el resto de los deudores ( cumplen.

Lema 17

Sea según la definición anterior. Entonces, utilizando la misma notación que en el

Teorema 9,

Demostración

Por el Lema 8, se puede escribir como una combinación de elementos de la forma

donde es un subconjunto no vacío de

. Para simplificar la notación, digamos que:

donde




158 y que en un modelo donde las variables que definen el incumplimiento de los deudores son

independientes con probabilidades ajustadas de acuerdo con y :

donde

Por el Lema 9 y el Teorema 9,

Lema 18

Sea y sea las pérdidas del portafolio de referencia en una fecha de pago de

cupón fija. Entonces:




159

Demostración

Lema 19

Sean

,

el valor esperado de en un modelo donde los

deudores incumplen de manera independiente con probabilidades

calculadas a

partir de la fórmula de ajuste del Capítulo 6 con , y

. Entonces:

Demostración

En primer lugar, notamos que minúscula denota un número real sobre el cual se toma el

límite, y afecta y

. Por otro lado, mayúscula denota un subconjunto de

y afecta . También notamos que las sumatorias y límites involucrados

existen y son finitos.

Cambiando el orden de las sumatorias,




160 pero, por el Lema 18,

Ahora, recordamos que son constantes que no dependen del límite y que la

sumatoria sobre es finita.

Finalmente, podemos presentar el resultado principal de G&S:

Teorema 10

Sea

Entonces:

,

y:




161

donde

,

denota el valor esperado de en un modelo donde los

deudores incumplen de manera independiente con probabilidades

calculadas a

partir de la fórmula de ajuste del Capítulo 6 con , y

.

Corolario 10

,

y

Demostración del Teorema

Por el Teorema 8,

.

Para , sea . Entonces, por el Lema 18:

Más aún, por el Lema 17,




162 y por el Lema 19,

Por último, como

El corolario, resultado central en la metodología de G&S, se sigue con .

Apéndice D

En la metodología de G&S, calcular un valor esperado de la forma se traduce

en hacer una suma ponderada de elementos de la forma provenientes de

modelos independientes con unas probabilidades ajustadas. La mayor parte del esfuerzo

computacional de la metodología se ocupa en evaluar elementos de la forma

.135 En la presente sección analizamos el número de sumandos requeridos el cual,

obviamente, depende el orden de aproximación y del número de factores.

135

De hecho, G&S definen una unidad de tiempo computacional como el tiempo que utilizado en valuar un

elemento donde el incumplimiento entre los deudores es independientes.




163 Viendo que:

,

y

parece que para obtener una aproximación de orden n tenemos que calcular

para todo en . Para , cada coordenada tiene posibilidades; a

saber, . Por lo tanto, tiene elementos. Por lo tanto, parece que

tenemos que calcular valores esperados

diferentes.

Afortunadamente, hay muchos valores esperados iguales. En primer lugar, bastaría hacer

solamente . Pues:

, poniendo

,

. Así pues,

, y tenemos

que .

Similarmente, no es necesario calcular los valores . Para ,

cada coordenada tiene posibilidades. Sin embargo, por la simetría de la fórmula

de ajuste, hay muchos elementos repetidos. Si

es una permutación de

se tiene que

, y en consecuencia que

.

Por lo tanto, para hacer la aproximación de orden n, solamente tenemos que calcular todos

los valores donde los elementos de están ordenados de

manera creciente.

Definición 93




164 Como los elementos de estan ordenados de manera creciente, se evita repetir el cálculo de

para permutaciones distintas que resultarían en el mismo valor. Además,

como nos permite calcular todas las probabilidades ajustadas necesarias para ,

también podemos conocer los valores esperados para en

sin tener que volver a calcularlos. Así pues, como tiene

elementos, tenemos que

calcular

valores esperados distintos.

Para resaltar la importancia de no calcular valores esperados repetidos (en especial para

ordenes de aproximación mayores), en la siguiente tabla comparamos el número de valores

esperados necesarios si hacemos una implementación directa del Teorema 10 versus el

número de valores esperados necesarios si sólo calculamos

Consideramos un modelo de siete factores ( .

Tabla 6

Orden de Aproximación Implementación Directa Elementos en

0 1 1

1 16 15

2 241 120

3 3,616 680

4 54,241 3,060

5 813,616 11,628




165

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