(1)

dR 0 ω 0ψ ψv is ss s s= + + j

0 ω - ω0 Rv i ψ ψr r rr dt r r

* *L Lψ iss s m= (2)* * iψ L L rr m r

R 0 L L ω 0 L Ldv i i is s s ss s m s m= + + j (3)0 R L L 0 ω - ω L Ldtv i i ir r r rr m r r m r

UTICAJ POPREČNE INDUKCIJE NA VARIJABLE ASINHRONOGMOTORA SA NELINEARNOM MAGNETSKOM KARAKTERISTIKOM

Uticaj nelinearnosti karakteristike magnećenja pokazati na jasan način

Naponske jednačine za linearnu magnetsku karakteristiku

* * * * s s m r r mL L L L L L

* (4)mmmsat L i

1 2

**

( ) ( )

(5)mmsat mmm

d dLdiL i

dt dt dt

Za slučaj cilindričnog rotora sa ekvivalentiranim međugvožđem, konstantnim rasipanjima i nelinearnom karakteristikom magnećenja važi sledeća relacija:

L*m = L*m (im) Međusobna induktivnost koja ima konstantnu geometriju kola ali magnetska permeabilnost zavisi od struje magnećenja

U slučaju zasićenja magnetskog kola magnetska indduktivnost zavisi od magnetske provodnosti koja zavisi od struje magnećenja

*

2 (6)qmm d m dm

dm qmm

didL L L dii i

dt dt dti

(*1) statička indukcija

(*2) dinamička indukcija zbog rotacije prostornog vektora

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Fluks obuhvatanja, staticka Lm i dinamicka Ld induktivnost

im (A)

Psi-

m (

Tm

2)

tg(Alfa)=Lm

tg(Fi)=Ld

Karakteristika magnećenja asinhrone mašine i definicije induktivnosti

=tg( ) =tg( ) (7)m mm d

m m

dL L

i di

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035Staticka Lm i dinamicka Ld induktivnost

im (A)

Lm

(H

), L

d (

H)

Lm

Ld

jδm md mq m mq mdi = i + ji = i e δ = arctg(i / i ) (8)

2

1 (9)mq md

md mq

m

di didi i

dt dt dti

* * * (10)mmsatmd m d

d diL j L L i

dt dt

Brzina rotacije prostornog vektora međusobnog fluksa u sinhronom sistemu

Pad napona uslijed varijacije međusobnog fluksa je moguće prikazati formulom

Prostorni vektor struje magnećenja u pravouglim i polarnim koordinatama

Iz relacije (10) vidi se da se pad napona uslijed varijacije međusobnog fluksa sastoji od:

1. statičke komponente (izvod struje magnećenja po vremenu) i 2. dinamičke komponente međusobnog fluksa (rotacija prostornog

vektora međusobnog fluksa u sinhronom referentnom sistemu) kao posljedica nelinearnosti magnetskog kola

U slučaju Ld=Lm linearno kolo bez poprečne indukcije

(12)

* * * *s s s s m md mq mds ms m s m * *

2d m* * * *md mq mqr rr r r r mm mr m r

i i iR 0 ω 0 L L L Lv i i id i d= + j + + L - L

i i i0 R 0 ω - ω dt dtiL L L Lv i i i

Ukoliko se se nelinearna induktivnost zamijeni linearnom

Jednačina (12) postaje identična sa jednačinom (3) za linearno magnetsko kolo

*L = L = L (13)m md

Ako se zamijeni izraz (11) u (1) dobijamo sledeću jednačinu

Kada se formulu (10) zamijeni ωδ iz (9) dobija se relacija u formi pogodnoj za jednačina stanja :

* (11)md

dt

m m mq* * mdm d md mq2m

m

didid i iL + L - L i i

dt dt dti

Varijacija fluksa uslijed nelinearnosti magnetskog kola

0 0.05 0.1-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

t (s)

(r/

s)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-15

-10

-5

0

5

10

15Brzina rotacije fluksa magnecenja kod linearne i nelinearne karakteristike

linearna nelinearna

Brzina rotacije prostornih vektora međusobnog fluksa kod linearne i nelinearne magnetske karakteristike

(crveno) (linearna magnetska karakteristika)e

( + ) (plavo) (nelinearna magnetska karakteristika)e

0 0.05 0.1-50

0

50

100

150

200

250

(r/

s)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5Razlika brzina rotacije fluksa kod linearne i nelinearne karakteristike

t (s)

Razlika brzina

Brzina rotacije prostornog vektora međusobnog fluksa u sinhronom referentnom sistemu

2

1 (plavo)mq md

md mq

m

di didi i

dt dt dti

Dinamika međusobnog fluksaProstorni vektor međusobnog fluksa , kod linearne magnetske karakteristike rotira sinhrono sa referentnim sistemom.

Kod asinhrone mašine sa nelinearnom magnetskom karakteristikom, brzina rotacije prostornog vektora međusobnog fluksa je različita od sinhrone brzine referentnog sistema.

Razlika u brzinama prostornog vektora međusobnog fluksa i referentnog sistema je uzrok pojave dodatnog člana u jednačinama stanja asinhrone mašine .

Relativno kretanje prostornog vektora međusobnog fluksa u odnosu na sinhroni referentni sistem ,što se vidi i iz jednačine (10), ima za posljedicu poprečnu (ukrštenu) indukciju između neistoimenih d i q namota statora i rotora koja se jednim imenom zove poprečna indukcija ili poprečno zasićenje.

2 2

2 2

1* *2 2 2

2 2

i i i i i imq md mq mdmd md

v isd sdi i i i i imd mq md mqv isq mq mq sqd

L Lv idtd m ird rdi i i i i imq md mq mdm md mdv irq rq

i i i i i imd mq md mqmq mq

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-300

-150

0

150

300(a) cross saturacije statora

t (s)

(V

)

UdUq

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-300

-150

0

150

300(b) cross saturacije rotora

t (s)

(V

)

UdUq

t(s)t(s)

Pad napona uslijed poprečne indukcije u naponskim jednačinama (12) statora i rotora

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600Struje statora (Um=310 V)

t (s)

(A

)

isd-nelinisq-nelinisd-linisq-lin

D i Q komponente struja statora kod rada mašine na “koljenu“ nelinearne magnetske karakteristike

Asinhrona mašina nije opterećena

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-400

-200

0

200

400

600

800Elektromagnetski momenat (Um=310 V)

t (s)

(N

m)

Te-nelinTe-lin

Upoređenje elektromagnetskih momenata asinhrone mašine kada je radna tačka na “koljenu “ nelinearne magnetske karakteristike

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

Struje statora ( Um=420 V)

t (s)

(A

)

isd-nelinisq-nelinisd-linisq-lin

D i Q komponente struja statora kod rada mašine duboko u oblasti zasićenja nelinearne magnetske karakteristike

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-1000

-500

0

500

1000

1500

Elektromagnetski moment (Um=420 V)

t (s)

(N

m)

Te-nelinTe-lin

Upoređenje elektromagnetskih momenata asinhrone mašine kada je radna tačka duboko u oblasti zasićenja nelinearne

magnetske karakteristike

ZaključakSuštinski uzrok efekta poprečne indukcije (poprečnog zasićenja) je nelinearna magnetska karakteristika u ovom slučaju zbog promjenljive magnetske permeabilnosti materijala.

Nelinearnost magnetske karakteristike ima za posljedicu nesinhronu rotaciju prostornog vektora međusobnog fluksa i referentnog sistema, dopunski pad napona u naponskim jednačinama i povećanja snage i energije za formiranje magnetskog polja u poređenju sa jednačinama sa linearnom magnetskom karakteristikom.

To za posljedicu ima nesinhronu rotaciju prostornog vektora međusobnog fluksa i referentnog sistema, i ukrštenu indukciju između neistoimenih d-q namota statora i rotora koju jednim menom zovemo poprečna indukcija (poprečno zasićenje)

Pitanje:

Ono što suštinski može da se postavi kao pitanje je sledece (autoru za razmišljanje):

ako se u obzir uzme nelinearna magnetska karakteristika, tada struja magnecenja nije višeprostoperiodicnog (sinusnog) oblika pa samim tim se ona ne može opisati svojimkompleksnim predstavnikom, kako je to uradeno u (10) !?

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500

0.5

1

1.5Ulanceni fluks linearni (u vazduhu), nelinearni

im (A)

Psi-m

(T

m2)

Efektivne , izmjerene vrednosti struje magnećenja se u oblasti linearnosti

množe sa a u oblasti nelinearnosti sa 2 da bi se uvažila upravo ta nelinearnost magnetske karakteristike [9] (D.D.Ma, et al.)

2

2πj0 1 2 3

a b c2

i = i (t)a + i (t)a + i (t)a a = e3

2 1 1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3 3( ) ( )

m ma mb mc mb mci t i t i t i t j i t i t

i t i tmd mq

00

( / )= ( ) =0t

m mq mdarctg i i t dt jθ jθmmaxmd mq mmaxi (t)= i (t)+ ji (t)= I (t) e = I (t)e

2. im,a,b,c periodične i nesinusoidalne

1. im,a,b,c periodične i sinusoidalne

max max m m m const j i = I e I θ = ωt ω = const

modul i brzina rotacije su zavisni od vremena

modul i brzina rotacije su konstantni

Definicija prostornog vektora

Međutim u ovom slučaju ‚u jednačini (10) se ne radi o prostoperiodičnoj veličini već o prostornom vektoru, prema [8] , [10] , [12]

( ) ( / )mq mdd d

t arctg i idt dt