UVOD U MEHANIKU TLA - grad.unizg.hr · PDF fileMehanika tla i stijena str. 2 Vlasta Szavits-Nossan 5. predavanje voda prolazi kroz tlo lineariziran za ovu brzinu te ne

Mehanika tla i stijena str. 1

Vlasta Szavits-Nossan 5. predavanje

STRUJANJE VODE KROZ TLO

1.1. Uvod

U ovom će poglavlju biti izneseni osnovni zakoni strujanja vode (ili procjeđivanja) kroz tlo.

Zakonima procjeđivanja bavi se mehanika tekućina. Gibanje vode u tlu kao i tlakovi vode koji

nastaju tim gibanjem od posebnog su značaja za mehaniku tla. Pore u tlu međusobno su

povezane u mrežu spojenih kanalića kroz koje voda može strujati. Nepravilni kanalići, koje

tvori mreža spojenih pora, pružaju otpor strujanju vode te ga umiruju često do vrlo malih

brzina, pogotovo u sitnozrnatom tlu. Uobičajeni pristup izučavanju procjeđivanja u poroznim

sredinama, pa tako i u tlu, nije analiza složenih putanja vode kroz tlo, već se složeni materijal

tla idealizira modelom neprekidne sredine. Upravo u okviru takvog modela tla treba

interpretirati i značenje pojedinih pojmova i parametara koji će biti definirani u ovom

poglavlju.

Za početak će se promatrati jednodimenzionalno strujanje vode kroz potpuno saturirano

tlo. Ostali će pojmovi biti vezani uz strujanje vode kroz tlo, koje je vrlo važno analizirati iz

više razloga. Prvo, strujanje vode kroz tlo izaziva trenje između vode i zrna/čestica tla, a sile

uslijed tog trenja utječu na veličine efektivnih naprezanja. Ukoliko voda struji vertikalno kroz

tlo prema gore, dakle u suprotnom smjeru od djelovanja sile gravitacije, može doći do

hidrauličkoga sloma tla, pri čemu efektivna naprezanja padaju na nulu i tlo potpuno gubi

čvrstoću. Nadalje, ako voda struji prema dnu građevne jame, uslijed prevelikih hidrauličkih

gradijenata može doći do izbijanja dna jame. Ako u nasipima i nasutim branama nije

osigurana odgovarajuća drenaža, voda može ispirati i sa sobom iznositi sitnije čestice, pri

čemu se stvaraju erozijski kanali i u konačnosti može doći do urušavanja nasipa ili brane.

1.2. Specifični protok, protok i Darcyev zakon

Prvi pojam, koji je najvažniji za strujanje vode kroz tlo, je specifični protok v . Ako

promatramo volumen vode, koja u jedinici vremena isteče iz tla, time smo definirali protok,

kojemu je jedinica m3/s. Protok možemo mjeriti tako da vodu koja istječe iz tla skupljamo u

posudu poznatog volumena i pratimo promjenu volumena vode u posudi u vremenu. Ako

protok podijelimo s površinom poprečnog presjeka tla okomitog na smjer strujanja, dobijemo

specifičan protok, kojemu je jedinica m/s. Budući da specifičan protok ima jedinicu brzine,

često se zove i brzinom strujanja vode, iako ovaj naziv može biti zbunjujući jer se ne radi o

brzini kojom voda struji kroz tlo, odnosno kroz kanaliće pora u tlu, već se ova „brzina“ odnosi

na promatranje tla kao neprekidne sredine. Može se u vodu koja će strujati kroz tlo sipati boja

te se mjeri vrijeme potrebno da se boja pojavi u vodi koja istječe iz tla. Tada je, ono što

zovemo stvarnom brzinom strujanja vode stvarnov , lineariziran put vode kroz tlo podijeljen s

mjerenim vremenom. Iz definicije specifičnog protoka v slijedi, za uzorak tla volumena V i

volumena pora vV , da je v stvarnoVv V v , odnosno stvarnov

1 1V ev v v v

V n e. Budući

da je relativni porozitet n , kao decimali broj, manji od 1, proizlazi da je stvarna brzina

strujanja vode stvarnov veća od specifičnog protoka v . Međutim, ni stvarna brzina strujanja

vode ne daje pravu veličinu brzine prolaza vode kroz kanaliće povezanih pora, jer je put koji



voda prolazi kroz tlo lineariziran za ovu brzinu te ne odražava duljine kanalića kroz koje voda

zaista prolazi.

Strujanje vode kroz propusno tlo proučavao je Darcy (1856) baveći se problemom

vodoopskrbe Dijona. On je utvrdio da je specifični protok v proporcionalan hidrauličkom

gradijentu i

v ki (5.1)

gdje se faktor proporcionalnosti k naziva koeficijentom propusnosti (ili preciznije:

koeficijentom vodopropusnosti), a hidraulički gradijent i je negativna vrijednost derivacije

hidrauličkog potencijala h u smjeru gibanja vode, x :

dhi

dx (5.2)

Budući da voda uvijek struji od točke većeg hidrauličkog potencijala prema točki manjeg

hidrauličkog potencijala, dh iz brojnika izraza (5.2) ima negativnu vrijednost, pa je, uz

predznak minus, hidraulički gradijent pozitivna veličina. Izraz (5.2) može se napisati u

pojednostavljenom obliku:

hi

s (5.3)

gdje je h pozitivna razlika hidrauličkih potencijala između dviju točaka, što se svede na

razliku piezometarskih visina između tih točaka, a s je udaljenost točaka, odnosno put na

kojem je ostvarena razlika hidrauličkih potencijala h .

Slika 5-1(a) prikazuje pokus u kojem je uzorak tla, površine poprečnog presjeka A i

duljine L , ugrađen u cijev. Kroz cijev se pušta voda tako da se na jednom kraju uzorka

nametne hidraulički potencijal 0h , a na drugom kraju uzorka hidraulički potencijal 1h . Na

razini hidrauličkoga potencijala 0h , voda se iz posude prelijeva, tako da je taj hidraulički

potencijal konstantan u vremenu.



voda

referentna

ravnina

piezometar

h0

h1

H

Lx

V

A

uzorak tla

v

w

(a)

(b)

Slika 5-1. (a) Procjeđivanje vode kroz propusno tlo; (b) potencijali duž osi uzorka tla

Na izlasku vode iz uzorka, procjedna se voda, na razini hidrauličkoga potencijala 1h ,

prelijeva i skuplja u posudi, gdje se može mjeriti volumen vode koja istječe iz uzorka u

vremenu. Hidraulički potencijal 1h , također je konstantan u vremenu. Budući da je na slici 5-

1(a), 0h veći od 1h , voda kroz uzorak struji od desnog donjeg kraja prema lijevom gornjem

kraju uzorka, što pokazuje smjer specifičnog protoka v .

0

0

h 0

h 1

h

xL

1

H

i = -(h 1-h 0)/L== H/L



Napomena uz sliku 5-1(a): razlika hidrauličkih potencijala, h , iz definicije

hidrauličkoga gradijenta (5.3), na slici je označena s H , dok je s označen s L . Tako je

sada hidraulički gradijent /i H L .

Protok je definiran s:

wVq

t (5.4)

a specifični protok s:

qv

A (5.5)

Iz oznake razlike hidrauličkih potencijala H sa slike 5-1(a), vidi se da se radi o razlici

piezometarskih visina između jednog i drugog kraja uzorka, što dokazuje prethodnu tvrdnju

da je postavljanje mjerne ravnine proizvoljno.

Na slici 5-1(b) prikazana je raspodjela hidrauličkog potencijala duž osi uzorka. Ova je

raspodjela linearna, a nagib pravca predstavlja hidraulički gradijent i .

U primjeru sa slike 5-1, piezometarske se visine kroz uzorak ne mijenjaju u vremenu, što

znači da se ne mijenjaju ni tlakovi vode. Protok je također konstantan u vremenu, a

konstantan je i u svakom poprečnom presjeku uzorka okomitom na smjer strujanja, odnosno

0

dqdx (5.6)

Ako je A konstantna površina poprečnog presjeka kroz cijeli uzorak, iz izraza (5.5) slijedi

da je i

0

dvdx (5.7)

Izraz (5.7) naziva se uvjetom ili jednadžbom kontinuiteta.

Ako je tlak vode u svim točkama u tlu konstantan u vremenu (što znači da nema

deformacija u tlu) govorimo o stacionarnom strujanju vode kroz tlo, za koje vrijedi jednadžba

kontinuiteta (5.7). Ako se tlak vode u tlu mijenja u vremenu, govorimo o nestacionarnom

strujanju vode kroz tlo, za koje vrijedi drukčija jednadžba kontinuiteta.

Uvrštavanjem Darcyevog zakona (5.1) u jednadžbu kontinuiteta (5.7) slijedi

0d dh

kdx dx

(5.8)



odnosno za homogeno tlo, kojem su svojstva, pa tako i koeficijent propusnosti, jednaka u

svim smjerovima

2

2 0d hdx (5.9)

Jednadžba (5.9) je diferencijalna jednadžba jednodimenzionalnog stacionarnog strujanja

vode kroz tlo. Kako je to linearna jednadžba, ona ima samo jedno rješenje za zadane rubne

uvjete, hidrauličke potencijale na rubovima uzorka tla. Ona je izvedena uz pretpostavku da je

voda nestišljiva i da je površina A svih poprečnih presjeka uzorka okomitih na smjer

strujanja konstantna.

1.3. Mjerenje koeficijenta propusnosti u laboratoriju

Pokusi, slično postavljeni kao onaj koji prikazuje slika 5-1, mogu poslužiti za laboratorijsko

određivanje koeficijenta propusnosti k, definiranog Darcyevim zakonom. U tu svrhu se u

geotehničkom laboratoriju uobičajeno koriste dvije vrste uređaja: uređaj s konstantnim padom

potencijala (slika 5-3a) i uređaj s promjenljivim padom potencijala (slika 5-3b). Prvi služi za

mjerenje koeficijenta propusnosti krupnozrnatih tala (šljunak i pijesak), a drugi za mjerenje

koeficijenta propusnosti sitnozrnatih tala (prahovi i gline). Ovaj drugi je potreban zbog

problema oko mjerenja vrlo malih protoka kakvi su prisutni kod glina i prahova. Kod njih je

protok vode toliko mali da bi se voda koja je prošla kroz uzorak više isparila nego što bi se

sakupilo u posudi za mjerenje volumena vode koja je „izašla“ iz uzorka. U prvom se uređaju

uspostavlja stacionarno strujanje vode kroz uzorak, a u drugom se ulazna voda polako spušta

u cijevi, a njeno se isparavanje sprječava pokrivanjem površine ulazne vode tankim čepom

ulja.

H

L L

q

h 0

h 1

površina presjeka uzorka: A

(a) (b)

Slika 5-3. Laboratorijski uređaji za mjerenje koeficijenta propusnosti: (a) s konstantnim padom potencijala

i (b) s promjenljivim padom potencijala



U uređaju s konstantnim padom potencijala mjeri se protok q , uz konstantnu razliku

hidrauličkih potencijala H između točaka razmaknutih za L u smjeru strujanja vode i s

poznatom površinom poprečnog presjeka uzorka A okomito na smjer strujanja vode.

Konstantna se razlika hidrauličkih potencijala osigurava stalnim dolijevanjem vode na vrhu

uzorka, što je za šljunak i prah moguće, jer voda kroz njih brzo struji. Protok q se mjeri kao u

prethodnom primjeru (slika 5-1), tj. mjerenjem volumena vode wV koja je protekla u

nekom intervalu vremena t , pa je w /q V t . Primjenom Dacyevog zakona slijedi da

je

//

v q Ak

i H L (5.10)

U slučaju uređaja s promjenljivim padom potencijala, poznata je površina poprečnog

presjeka a vertikalne staklene cjevčice i površina poprečnog presjeka uzorka A okomito na

smjer strujanja vode. Budući da se ovdje voda ne dolijeva, razina vode u staklenoj cjevčici

pada s vremenom. Na početku pokusa je razlika hidrauličkih potencijala h0, a nakon vremena

t1 se razlika hidrauličkih potencijala smanji na h1. Budući da je protok vode kroz uzorak tla

jednak protoku vode kroz staklenu cjevčicu, odnosno

dhAv a

dt (5.11)

uvrštavanjem Darcyevog zakona u ovaj izraz i integriranjem odgovarajućih strana jednadžbe,

daje

1 1

0 0

h t

h

dh Aka dth L

(5.12)

Nakon rješavanja integrala i sređivanja slijedi

0

1 1ln

aL hk

At h (5.13)

Veličina koeficijenta propusnosti prvenstveno ovisi o veličini pora, koje pak ovise o

granulometrijskom sastavu tla. Što je manji promjer zrna to su i pore manje, a time je i manji

koeficijent propusnosti. Već i mala količina sitnih čestica (promjera manjeg od 0,06 mm)

znatno smanjuje prosječni promjer pora, a time i koeficijent propusnosti. Tablica 5-4 prikazuje

okvirne veličine koeficijenta propusnosti za različite vrste tla. Vrijednosti su dane u m/s, a za

usporedbu i u m/dan (1 dan = 86 400 s). Očit je vrlo veliki raspon mogućih veličina

koeficijenta propusnosti.



1.4. Naprezanja u vodoravno uslojenom tlu s jednodimenzionalnim stacionarnim strujanjem vode

U slučaju jednodimenzionalnog strujanja vode u vertikalnom smjeru, kreće se od izraza

A w Apu h za danu točku A u tlu. Kao što je pokazano, tlak porne vode u može se izraziti

preko piezometarske visine

p w g w( )u h h h (5.14)

Kako je hidraulički gradijent za jednodimenzionalno procjeđivanje u smjeru osi y dan

izrazom d /di h y , a kako vrijedi d / d 1gh y (za geodetski se potencijal može

pisati gh y C gdje je C konstanta) slijedi uvrštavanjem u princip efektivnih

naprezanja i jednadžbu ravnoteže za vertikalni smjer:

y pw

gw w

d dd

d d ddd

( 1)d d

hu

y y yhh

iy y

ili konačno

Tablica 5-4. Okvirne veličine koeficijenta propusnosti k (Craig 1997, Mayne i dr. 2001)

10-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

m/s

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

m/dan

osušene i raspucane gline

čistišljunci

čisti pijesci išljunkoviti pijesci

vrlo fini pijesci, prašinei gline s prašinastim proslojcimaneraspucane gline

i glinovite prašine(>20% gline)

GMGC SM SW GW

SP GPSM-SC

MH

ML-CL

CH SC



y

w

d

di

y (5.15)

U gornjem izrazu voda struji vertikalno prema dolje. Iz izraza (5.15) možemo pisati:

y w( )i y (5.16)

Slučaj vertikalnog strujanja vode prema gore (u suprotnom smjeru od djelovanja sile

gravitacije) može u praksi biti vrlo opasan. Tada vrijedi da je

y w( )i y (5.17)

Može se dogoditi da voda teče prema gore pod takvim hidrauličkim gradijentom da je

w 0i (5.18)

Ako se radi o takvom hidrauličkom gradijentu da vrijedi (5.18) kažemo da voda u tlu

struji pod kritičnim hidrauličkim gradijentom ic. Iz (5.18) slijedi da je

c

w

i (5.19)

Kako je 10 kN/m3, slijedi da je kritični hidraulički gradijent c 1i .

Iz (5.17) slijedi da je

y c w( ) 0i y (5.20)

Što znači da su pod kritičnim hidrauličkim gradijentom sva efektivna vertikalna naprezanja u

tlu nula. Tlo tada nema nikakvu posmičnu čvrstoću i dolazi do njegovog hidrauličkog sloma,

što u praksi ima katastrofalne posljedice.

Primjer proračuna naprezanja u vodom zasićenom tlu s tri vodoravna sloja prikazuje slika

5-2. U slučaju (a) voda je mirna (nema strujanja vode), u slučaju (b) voda struji vertikalno

prema gore, a u slučaju (c) vertikalno prema dolje. Odgovarajuće numeričke vrijednosti

prikazane su u tablicama 5-1, 5-2 i 5-3.



-15 -10 -5 0 5 10 15

potencijal i visine (m)

5

10

15y (

m)

h

hg

hp

0 100 200 300

y, 'y, u , (kPa)

5

10

15

naprezanjaukupna

efektivna

porni tlak

0 100 200

x, 'x, u , (kPa)

5

10

15 (a)

-15 -10 -5 0 5 10 15


5

10

15

y (

m)

h

hg

hp

0 100 200 300

yy, 'yy, u , (kPa)

5

10

15

naprezanjaukupna

efektivna

porni tlak

0 100 200

xx, 'xx, u , (kPa)

5

10

15

3

(b)

-15 -10 -5 0 5 10 15


5

10

15

y (

m)

h

hg

hp

0 100 200 300

yy, 'yy, u , (kPa)

5

10

15

naprezanjaukupna

efektivna

porni tlak

0 100 200

xx, 'xx, u , (kPa)

5

10

15

2

(c)

Slika 5-2. Potencijali i naprezanja u horizontalno uslojenom tlu: površinski sloj pijeska, debljine 5 m

( = 20 kN/m3, K0 = 0,5) leži na sloju gline, debljine 7 m ( = 18 kN/m

3, K0 = 0,6), koji pak leži na

nižem sloju pijeska, debljine 3 m ( = 21 kN/m3, K0 = 0,45); razina podzemne vode

(w = 9,81 kN/m3) u gornjem sloju pijeska je 2 m ispod površine terena); tri režima procjeđivanja:

(a) mirna voda, (b) strujanje vode prema gore, i (c) strujanje vode prema dolje; mjerna je ravnina na

površini terena; numeričke vrijednosti su u tablicama 5-1, 5-2 i 5-3.



Tablica 5-3. Potencijal, visine i naprezanja u vodoravno uslojenom tlu sa strujanjem vode prema dolje, prema

primjeru sa slike 5-2c

sloj y h hg hp u y 'y 'x x

(m) (m) (m) (m) (kPa) (kPa) (kPa) (kPa) (kPa)

S

0 -2 0 -2 0,0 0 0,0 0,0 0,0

2 -2 -2 0 0,0 40 40,0 20,0 20,0

5 -2 -5 3 29,4 100 70,6 35,3 64,7

C 5 -2 -5 3 29,4 100 70,6 42,4 71,8

12 -4 -12 8 78,5 226 147,5 88,5 167,0

G 12 -4 -12 8 78,5 226 147,5 66,4 144,9

15 -4 -15 11 107,9 289 181,1 81,5 189,4

Tablica 5-1. Potencijal, visine i naprezanja u vodoravno uslojenom tlu u mirnoj vodi, prema primjeru sa slike 5-2a



S

0 -2 0 -2 0,0 0 0,0 0,0 0,0

2 -2 -2 0 0,0 40 40,0 20,0 20,0

5 -2 -5 3 29,4 100 70,6 35,3 64,7

C 5 -2 -5 3 29,4 100 70,6 42,4 71,8

12 -2 -12 10 98,1 226 127,9 76,7 174,8

G 12 -2 -12 10 98,1 226 127,9 57,6 155,7

15 -2 -15 13 127,5 289 161,5 72,7 200,2

Tablica 5-2. Potencijal, visine i naprezanja u vodoravno uslojenom tlu sa strujanjem vode prema gore, prema

primjeru sa slike 5-2b



S

0 -2 0 -2 0,0 0 0,0 0,0 0,0

2 -2 -2 0 0,0 40 40,0 20,0 20,0

5 -2 -5 3 29,4 100 70,6 35,3 64,7

C 5 -2 -5 3 29,4 100 70,6 42,4 71,8

12 3 -12 15 147,2 226 78,8 47,3 194,5

G 12 3 -12 15 147,2 226 78,8 35,5 182,7

15 3 -15 18 176,6 289 112,4 50,6 227,2



1.5. Dvodimenzionalno stacionarno strujanje vode

Za homogeno, izotropno tlo, kojem su svojstva, pa tako i koeficijent propusnosti, jednaka u

svim smjerovima, diferencijalna jednadžba dvodimenzionalnog stacionarnog strujanja glasi:

2 2

2 20

d h d h

dx dy (5.21)

Dvodimenzionalno stacionarno strujanje vode kroz tlo ilustrirat će se na primjeru zagatne

stijene zabijene 6 m u tlo na dnu rijeke (korito rijeke), koja je prikazana na slici 5-3. Zagatna

je stijena tanka, nepropusna konstrukcija. Korito rijeke je od prašinastog pijeska, zapreminske

težine 20 kN/m3 i koeficijenta propusnosti 10

-6 m/s. Na uzvodnoj strani zagatne stijene, rijeka

je duboka 5 m. Na nizvodnoj se strani voda pumpa, tako da je visina vode iznad korita

konstantno 1 m. Time su uspostavljeni uvjeti za stacionarno strujanje vode kroz tlo. Ispod

sloja prašinastog pijeska, debljine 10 m, nepropusna je stijena.

Slika 5-3. Zagatna stijena zabijena u korito rijeke

Mjernu se ravnina postavlja na površinu tla (y = 0). Time je hidraulički potencijal duž

cijele uzvodne površine tla 5 m, a duž cijele nizvodne površine tla 1 m. Voda struji od većeg k

manjem hidrauličkom potencijalu, zaobilazeći nepropusnu zagatnu stijenu. Na slici 5-4

prikazani su vektori specifičnog protoka (brzine strujanja vode), iz kojih se razaznaje njihova

veličina i smjer strujanja vode kroz tlo.

Slika 5-4. Vektori specifičnog protoka i smjer strujanja vode kroz tlo

udaljenost (m)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

geo

det

ska

vis

ina

(m)

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

h = 5 m h = 1 m

udaljenost (m)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

geo

det

ska

vis

ina

(m)

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8



Krivulje ili linije, koje spajaju točke u kojima su hidraulički potencijali jednaki, nazivaju

se ekvipotencijalama. Tako su linije uzvodne i nizvodne površine tla dvije ekvipotencijale.

Između njih, kroz tlo, dobiju se ekvipotencijale s vrijednostima hidrauličkog potencijala

između 5 m i 1 m, kao rješenje diferencijalne jednadžbe dvodimenzionalnog stacionarnog

strujanja vode. Na slici 5-5 prikazane su ekvipotencijale, koje su u tlu krivulje. U slučaju

jednodimenzionalnog strujanja vode kroz tlo, sve su ekvipotencijale linije.

Slika 5-5. Ekvipotencijale s odgovarajućim vrijednostima hidrauličkog potencijala (m)

Za svaki problem dvodimenzionalnog strujanja vode kroz tlo, korisno je nacrtati strujnu

mrežu. Strujna se mreža sastoji od ekvipotencijala i strujnica. Strujnice su krivulje ili linije,

koje slijede smjer strujanja vode kroz tlo. Ekvipotencijale i strujnice sijeku se pod pravim

kutom. Budući da je donja granica tla nepropusna, kroz nju nema strujanja vode, te voda struji

duž nje. Dakle, donja je granica tla strujnica. Kao što se vidi na slici 5-5, ekvipotencijale u tlu

su okomite na ovu strujnicu. Rubovi zagatne stijene u tlu, koji su također nepropusni,

predstavljaju još jednu strujnicu. Sljedeće se strujnice dobiju tako da se u smjeru strujanja

vode ucrtavaju krivulje, okomite na ekvipotencijale, s tim da dobiveni „elementi“ strujne

mreže imaju takav oblik da se u njih može upisati kružnica. Strujna mreža za promatrani

problem prikazana je na slici 5-6.

Slika 5-6. Strujna mreža

Strujna mreža crta se rukom, tako da se u blizini strujnice, koja se sastoji od rubova

zagatne stijene, ucrta još jedna strujnica. Zatim se ucrtaju ekvipotencijale između tih dviju

strujnica, za koje se zna da će biti zakrivljene prema dolje, jer će završiti okomito na donji

nepropusni rub tla. Ovaj se postupak ponavlja dok strujna mreža nije gotova.

Površina tla između dviju strujnica naziva se strujnim kanalom. Treba naglasiti da se

strujna mreža ne mora sastojati od cijelog broja strujnih kanala. Na slici 5-6 prikazana su 3

h = 5 m h = 1 m 1

1.5

2 2.5 3

3.5

4

4.5

5

udaljenost (m)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

geo

det

ska

vis

ina

(m)

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

h = 5 m h = 1 m

udaljenost (m)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

geo

det

ska

vis

ina

(m)

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8



pravilna strujna kanala, u tom smislu što su odgovarajući „elementi“ strujne mreže pravilni (u

njih se može upisati kružnica). Zadnji strujni kanal, uz donju nepropusnu granicu tla, nije

pravilan, što će se uzeti u obzir za proračun protoka kroz tlo iz strujne mreže.

Za proračun protoka iz strujne mreže prvo se odredi broj strujnica Nf, tako da se za

nepravilan strujni kanal odredi omjer dviju okomitih stranica „elementa“ tog strujnog kanala.

U primjeru sa slike 5-6, taj je omjer 1:2, pa će se uzeti da je zadnji strujni kanal polovica

prethodnih pravilnih. Dakle, Nf = 3,5. Zatim se odredi broj padova hidrauličkog potencijala

Nd, koji je uvijek cijeli broj. Na slici 5-6 ima ukupno 9 ekvipotencijala. Broj padova

hidrauličkog potencijala je 9 – 1 = 8. To je najbolje odrediti tako da se ekvipotencijale označe

brojevima, počevši od nule za ekvipotencijalu s najvećim hidrauličkim potencijalom (slika

5-7). Dakle, Nd = 8.

Slika 5-7. Označavanje ekvipotencijala brojevima

Protok vode kroz tlo dobije se iz izraza:

f

d

Nq h k

N (m

3/s/m ) (5.22)

Za promatrani je problem:

6 63,54 10 1,75 10

8q m

3/s/m

Iz strujne se mreže također može odrediti porni tlak u bilo kojoj točki u tlu. Ovdje će se

odrediti tlak vode u točki A sa slike 5-8. Točka A nalazi se na ekvipotencijali koja ima broj 4.

Prvo se odredi pad potencijala između dviju ekvipotencijala:

dd

hh

N (5.23)

Ovdje je

d

40,5

8h m

h = 5 m h = 1 m0

1

2

34 5

6

7

8

udaljenost (m)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

geo

det

ska

vis

ina

(m)

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8



Slika 5-8. Točka A u kojoj treba odrediti porni tlak

Sada se dobije vrijednost hidrauličkog potencijala duž ekvipotencijale koja ima broj 4, iz

općeg izraza:

n max dh h n h (5.24)

gdje je n broj za određenu ekvipotencijalu, odnosno

4 5 4 0,5 3h m

To je ujedno hidraulički potencijal u točki A (hA = 3 m). Geodetska se visina točke A očita

iz strujne mreže u mjerilu te je hgA = -9 m.

Tako je piezometarska visina točke A:

pA A gA 3 9 12h h h m

Porni tlak u točki A je

A w pA 9,81 12 117,7u h kPa

Još je korisno iz strujne mreže izračunati tzv. izlazni hidraulički gradijent i usporediti ga s

kritičnim hidrauličkim gradijentom. Naime, sa slike se 5-4 vidi da na nizvodnoj strani zagatne

stijene voda struji vertikalno prema gore te da je najveći specifični protok uz zagatnu stijenu.

Zato će se odrediti hidraulički gradijent u točki B sa slike 5-9, koja je u središtu „elementa“

strujne mreže na površini tla uz zagatnu stijenu.

Hidraulički je gradijent omjer razlike hidrauličkih potencijala između dviju točaka i

udaljenosti tih točaka. „Element“ strujne mreže u kojem se nalazi točka B omeđen je s dvije

ekvipotencijale i dvije strujnice. Razlika potencijala između tih dviju ekvipotencijala je

hd = 0,5 m. Strujni put kroz točku B između tih dviju ekvipotencijala očita se iz strujne

mreže u mjerilu i iznosi 2,9 m.

h = 5 m h = 1 m0

1

2

34 5

6

7

8

A

udaljenost (m)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

geo

det

ska

vis

ina

(m)

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8



Slika 5-9. Točka B u kojoj treba odrediti hidraulički gradijent

Tako je hidraulički gradijent u točki B:

B

0, 50,17

2, 9i

što je bitno manja vrijednost od kritičnog hidrauličkog gradijenta, koji iznosi:

wc

w w

20 9, 811, 04

9, 81i

To znači da je ova geotehnička konstrukcija sigurna od hidrauličkoga sloma.

Reference

Craig, R. F. (1997). Soil Mechanics. Sixth Edition. E & FN Spon, London.

Darcy, H. (1856). Les fontaines publiques de la ville de Dijon. Paris

Mayne, P. W., Christopher, B. R., DeJong, J. (2001). Manual on Subsurface Investigation. National Highway

Institute., Publication No. FHWA NHI-01-031, Federal Highway Administration, Washington, DC.

h = 5 m h = 1 m0

1

2

34 5

6

7

8B

udaljenost (m)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

geo

det

ska

vis

ina

(m)

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Documents

UVOD U MEHANIKU TLA - grad.unizg.hr · PDF fileMehanika tla i stijena str. 2 Vlasta Szavits-Nossan 5. predavanje voda prolazi kroz tlo lineariziran za ovu brzinu te ne