Uvod UM

Uvod u matematiku

2013/2014

Uvod u matematiku 2

1 Uvodne vjebe

vjebe (3 sata tjedno)Iva Pandic,asistentkonzultacije - ponedjeljkom od 16:00-17:00, ured 310, e-mail: [email protected]

Uvod u matematiku 3

Plan i program:Osnove logike sudova. Sudovi. Logicki veznici i sloeni sudovi. Tautologija. Nuan idovoljan uvjet. Obrat suda. Obrat po kontrapoziciji. Suprotni sud. Negacija implikacije.Predikati i kvantikatori. Predikati. Univerzalni i egzistencijalni kvantikator. Negacijakvantikatora.Skupovi. Pojam skupa. Podskup. Jednakost skupova. Univerzalni skup. Zada-vanje skupova. Partitivni skup. Booleova algebra. Particija skupa. Kartezijev produktskupova.Relacije. Pojam relacije. Parcijalni uredaj. Uredaj. Relacija ekvivalencije. Klaseekvivalencije. Kvocijentni skup.Skupovi brojeva. Skup N. Princip matematicke indukcije. Binomna formula. SkupoviZ i Q. Skup R. Skup C. Trigonometrijski zapis kompleksnog broja. Moivreove formule.Funkcije. Pojam funkcije. Domena, kodomena i slika funkcije. Praslika. Graf funkcije.Jednakost funkcija. Restrikcija i proirenje funkcije. Injekcija. Surjekcija. Bijekcija.Kompozicija funkcija. Inverzna funkcija.

Uvod u matematiku 4

Literatura:Obavezna: Elementarna matematika 1, Pavkovic, Veljan27 sati (osnove logike sudova, skupovi, relacije) - 1. kolokvij - 18 sati (skupovi brojeva,funkcije) - 2.kolokvij

Uvod u matematiku 5

Pravila polaganja pismenog dijela ispita:

Student je duan dolaziti na vjebe (barem 80% dolazaka).Student koji ima dozvoljeni broj izostanaka pismeni dio ispita moe poloiti putemkolokvija.Student mora tokom semestra poloiti barem jedan kolokvij (1. kolokvij nije elimina-toran), ukoliko poloi oba kolokvija (50% prolaz) osloboden je pismenog dijela ispita, aukoliko poloi jedan od kolokvija na prvom ispitnom roku pie popravak istog. Ako nepoloi kolokvij ni nakon popravka na sljedecem roku pie pismeni ispit u cjelosti.Nakon poloenog pismenog ispita student moe pristupiti usmenom dijelu ispita.

Uvod u matematiku 6

Ispitni rokovi:Student ima ukupno ponudenih 7 rokova za polaganje kolegija, no ima pravo izici samotri puta na ispit.Cetvrti izlazak student mora platiti i tada ispit polae pred povjerenstvom.Ukoliko student ne poloi komisiju sljedece godine ponovno upisuje predmet.Ako se dogodi da student i sljedece godine ne poloi ispit nakon 4 pokuaja gubi pravokolovanja na upisanom smjeru.NE IZLAZITI ISPIT UKOLIKO NISTE SIGURNI DA STE SPREMNI!!!

Uvod u matematiku 7

2 Sudovi. Osnove logike sudova.Denicija. Logicki sud (sud) je svaka smislena izjavna recenica koja je istinita ili lana,ali nije istovremeno istinita i lana.

Svaki sud ima tocno jednu istinitosnu vrijednost (interpretaciju), ili j eistinit ili je laan -princip tretium non data (princip iskljucenja trecega)

Primjer 1.a) Danas je cetvrtak.b) Broj 4 je neparan broj.c) Koliko je sati?d) Broj x je veci od broja y.e) UM je zanimljiv predmet.f) Ja sada laem.

Napomena: svaka izjavna recenica nije sud.

Uvod u matematiku 8

Sudove simbolicki oznacavamo A, B, C...A = "Pada kia."B = "1 + 1 = 2"

Sud A je istinit : (A) = 1 (>)Sud A je laan : (A) = 0 (?)Logicki veznici:^ - KONJUKCIJA_ - DISJUNKCIJAY - EKSKLUZIVNA DISJUNKCIJA! - KONDICIONAL$ - BIKONDICIONAL - NEGACIJA

Uvod u matematiku 9

KONJUKCIJA

Konjukcija sudova A i B, u oznaci A^B (citamo A i B) je sloeni sud koji je istinit tocnoonda kada su oba suda A i B istina.Primjer:A = Jabuka je voce.B = Kupus je povrce.Odredite sud A ^B te (A ^B):

Uvod u matematiku 10

DISJUNKCIJA

Disjunkcija sudova A i B, u oznaci A _ B (citamo A ili B) je sloeni sud koji je laantocno onda kada su oba suda A i B lana.

Primjer:A = 4 je paran broj.B = 4 je djeljivo s 2.Odredite sud A _B te (A _B):Napomena: Veznik ili ima slabiji, inkluzivni smisao.- INKLUZIVNA DISJUNKCIJA


EKSKLUZIVNA DISJUNKCIJA

Ekskluzivna disjunkcija sudova A i B, u oznaci A Y B (citamo ili A ili B) je sloeni sudkoji je istinit tocno onda kada je jedan i samo jedan od sudova istinit.

Primjer:A =2 5 = 10:B = 32 = 9.Odredite sud A YB te (A YB):


KONDICIONALKondicional sudova A i B, u oznaci A! B (ako A onda B) je sloeni sud koji je laantocno onda kada je sud A istinit i sud B la.

Citamo jo:

A implicira/povlaci Biz A slijedi BB je nuan uvjet za AA je dovoljan uvjet za B

Primjer:A =3 je prost broj:B = 5 > 0:Odredite sud A! B te (A! B):


BIKONDICIONAL

Bikondicional sudova A i B, u oznaci A $ B (A ako i samo ako B) je sloeni sud kojije istinit kada su oba suda istinita i kada su oba suda lana.

Citamo jo:A ekvivalentan BA akko BA je nudan i dovoljan uvjet za B.

Primjer:A = 4 + 3 = 8:B = 3 > 8:Odredite sud A$ B te (A$ B):


NEGACIJA

Negacija suda A, uoznaci A (citamo ne A) je sud koji je istinit tocno onda kada je sudA la.

Negacija je unarna operacija dok su prethodne operacije binarne.

Primjer:B = Svaki covjek ima automobil.Odredite sud B:


Zadatak 1. Neka je A = Pada kia., a B = Ulice su mokre. Zapiite simbolicki sloeneizjave:

a) Ne pada kia i ulice nisu mokre.b) Nije istina da ulice nisu mokre.c) Ako ne pada kia onda su ulice mokre.d) Ne pada kia i ulice su mokre akko su ulice mokre.Zadatak 2. Za dani sud A napiite i ispitajte istinitost suda A:

a) A = Paralelni pravci u ravnini nemaju zajednickih tocaka.b) A = Svaki prirodan broj je manji od svog kvadrata.


Kaemo da su dva sloena suda A i B semanticki jednaka (jednaka) ako su im pri-padne semanticke tablice podudaraju.To zapisujemo s A B:Zadatak 3. Dokaite jednakost sudova

a) (A) Ab) A! B A _Bc) A$ B (A! B) ^ (B ! A)d) (A ^B) A _ Be) (A _B) A ^ Bf) (A YB) A$ BZadatak 4. Koritenjem jednakosti iz zadatka 3 pojednostavni sljedece sudove:

a) (A! B)b) (A$ B)Zadatak 5. Zapiite simbolicki sljedece izjave i negirajte ih:

a) Ako je 8 sati navecer onda je proao dnevnik.b) Ako dolazim na vjebe onda rijeavam zadatke i pitam to mi nije jasno.c) Pada kia ako i samo ako nosim kiobran.


SVOJSTVA LOGI CKIH VEZNIKA

idempotentnost A _ A A A ^ A Aasocijativnost (A _B) _ C A _ (B _ C) (A ^B) ^ C A ^ (B ^ C)komutativnost A _B B _ A A ^B B ^ Adistributivnost (A ^B) _ C (A _ C) ^ (B _ C) (A _B) ^ C (A ^ C) _ (B ^ C)zakoni jedinice A _ 1 1 A ^ 1 A

A _ 0 A A ^ 0 0zakoni komplementa A _ A 1 A ^ A 0

A A 1 0;0 1de Morganovi zakoni (A _B) A ^ B (A ^B) A _ B


Zadatak 6. Koristeci svojstva logickih veznika pojednostavni sudove:a) (A _B) ^ A b) A _ (A ^B) c) (A _ (A! B)) Denicija. Sloeni sud je tautologija (kontradikcija) ukoliko je istinit (laan) bez obzirana istinitost sudova od kojih je sastavljen.

Zadatak 7. Ispitajte jesu li sljedeci sudovi tautologije ili kontradikcije:a) (A! B) _ (A! B)b) (A ^B) ^ (A _B)c) (A _B)! (B _ C)


Uz sud A! B veemo sljedeca tri suda:1. B ! A OBRAT SUDA2. B ! A OBRAT PO KONTRAPOZICIJI (OPK)3. A! B SUPROTNI SUD

Vrijedi:A! B B ! AVANO: Sud je istinit akko je istinit njegov obrat po kontrapoziciji.

A! B 6= B ! A;A! B 6= A! BObrat suda i suprotni sud ne moraju biti istiniti ako je istinit polazni sud.

B ! A A! BObrat suda je istinit akko je istinit suprotni sud.


Zadatak 8. Napiite obrat, OPK i suprotni sud suda A i ispitajte njegovu istinitost:a) A = Ako je x = 2 onda je x2 = 4:b) A = Ako je prirodni broj djeljiv s 3 i 7 onda je djeljiv i s 21.c) A = Ako je n paran broj onda je n2 paran broj.d) A = x > 0 ^ y > 0! xy > 0:Zadatak 9. Zapiite obrat, OPK i suprotni sud:

a) A! B _ Cb) (A ^ B)! C


3 Predikati i kvantikatoriPrimjer.A = x je paran broj.B = 6 je paran broj.C = Prirodan broj x je djeljiv prirodnim brojem y.D = Broj 12 je djeljiv brojem 3.

Denicija. Izjavnu recenicu koja sadri jednu ili vie nepoznanica i koja postaje sudomkad sve te nepoznanice poprime odredenu vrijednost nazivamo sudovnom funkcijom.Varijable koje se u njoj pojavljuju nazivamo predmetnim varijablama, a odnos medupredmetnim varijablama koji se tom recenicom izrice predikatom.

Piemo P (x); P (x; y):::


Univerzalni kvantikator, u oznaci 8, kazuje nam da je sudovna funkcija istinit sud zasve vrijednosti neke od varijabli.Citamo: za svaki

(8x)P (x) za svaki x je P (x)VANO: (8x 2 S)P (x) ili (8x) (x 2 S ! P (x))

Egzistencijalni kvantikator, u oznaci 9, kazuje nam da je sudovna funkcija istinitsud za neke vrijednosti neke od varijabli.Citamo: postoji

(9x)P (x) postoji x takav da je P (x)VANO: (9x 2 S)P (x) ili (9x) (x 2 S ^ P (x))Ukoliko je vrijednost varijable za koju je sudovna funkcija istinita jedinstvena to oz-nacavamo s 9!, citamo postoji jedinstveni, postoji tocno jedan, postoji jedan i samojedan.


Zadatak 1. Procitajte sudove i ispitajte istinitosta) (8x 2 R)x = x2b) (9x 2 R)x = x2c) (9!x 2 R)x = x2d) (9x 2 R) 3x + 4 = 8e) (9x 2 N) 3x + 4 = 8f) (9!x 2 N)x2 = 4Napomena: Sudovne funkcije moemo prevesti u sudove kombiniranjem kvantikatora.Npr. (8x) (9y)P (x; y) to citamo : za svako x postoji y takav da je P (x; y).Zadatak 2. Procitajte sudove i ispitajte istinitost

a) (8x 2 R) (9y 2 R)x + 17 = yb) (9y 2 R) (8x 2 R)x + 17 = yc) (8x 2 R) (9y 2 R)xy > 0d) (8n 2 N) (9m 2 N)mn > 100e) (8x 2 R) (8y 2 R)x2 + y2 0f) (8y 2 N) (9x 2 N)x < y


Zadatak 3. Odredi istinitost formula:a) (8a 2 R) (8b 2 R) [ab = 0$ (a = 0 _ b = 0)]b) (8x 2 R) x2 = 4! x = 2c) (8x 2 N) x2 = 4! x = 2Zadatak 4. Zapiite simbolima sudove:

a) Svaki prirodan broj manji je od svog kvadrata.b) Postoji jedinstveni prirodni broj veci od 6, a manji od 8.c) Postoji prirodan broj x takav da za svaki prirodni broj y vrijedi xy = y:


Napomena: Kvantikator 8 se ponekad izostavlja, kada ne moe doci do zabune.Npr. (8x 2 R) (8y 2 R)x2 + y2 0 ili (8x; y 2 R)x2 + y2 0 krace piemo x2 + y2 0;x; y 2 R:Denicija. Svaki sud sastavljen, na logicki dopustiv nacin, od sudova, sudovnih funkcija,kvantikatora, zagrada, znakova 0 i 1 i logickih veznika nazivamo predikatnom formu-lom ili samo formulom.

Napomena:

((8x 2 X)P (x)) (9x 2 X) (P (x)) ((9x 2 X)P (x)) (8x 2 X) (P (x))


Zadatak 5. Negirajte sudovea) Svaki cetverokut je pravokutnik.b) Suma unutarnjih kutova u svakom trokutu je i suma vanjskih kutova je 2:c) Prirodni brojevi pri dijeljenju s 2 daju ostatak 0 ili 1.d) Svaki prosti broj veci od 5 je neparan i nije djeljiv s 3.

Zadatak 6. Negirajte formulea) (8x 2 R)x2 > x + 2b) (9x 2 Q)x3 = 8c) (9x 2 R) (9y 2 R)xy < 0d) (9x) (8y) (P (x; y)! Q(x; y))Zadatak 7. Napiite negaciju i obrat po kontrapoziciji formule(8x 2 A) (8y 2 A) (x 6= y ! f (x) 6= f (y))


Formule koje su istinite pri svakoj interpretaciji nazivamo valjanim ili opcevaecim for-mulama.

Zadatak 8. Pokaite da vrijedi A) A _B


4 SkupoviSkup je osnovni matematicki pojam.Objedinjenje bilo koje mnoine objekata (elemenata) u jednu cjelinu.

Skupove oznacavamo : A;B;C;X; Y:::;a njihove elemente a; b; c; x; y:::

biti element je osnovni matematicki pojamx 2 S citamo x je element skupa Sy =2 S citamo y nije element skupa SPrimjer. Neka je S skup svih grckih slova. Navedite nekoliko elemenata koji pripadaju inekoliko koji ne pripadaju skupu S.

Skupovima smatramo i mnoine koje ne sadre nikakve objekte, to su tzv. prazniskupovi, u oznaci ;:


Skup S moemo zadati:

1. NABRAJANJEM ELEMENATA (ako ih nema "mnogo")

X = fx; y; zg ; Y = f1; 2; 3; 4g2. SVOJSTVOM-PREDIKATOM P (koji se moe primjeniti na neku mnoinu

objekata)

X = fx j P (x)g ili X = fx : P (x)g


Zadatak 1. Odredi elemente zadanih skupovaa) A = fx 2 R : x < 0gb) B =

x 2 R : x+1x3 > 0

c) C = fx 2 Z : jx + 3j > 2gd) D =

x 2 N : x2 = 1

Denicija. Neka su A i B skupovi. Kaemo da je A podskup skupa B i piemo A Bako vrijedi

(8a) (a 2 A! a 2 B)Kaemo da je A sadran u B, odnosno da je B nadskup skupa A (piemo B A).Primjer. U kojem su odnosu sljedeci sudovi A = Q; B = fx 2 Q : x < 0g ; C =fx 2 Z : x < 0g :Denicija. Ako je A B i postoji b 2 B takav da b =2 A, onda kaemo da je A pravipodskup skupa B i piemo A B(A $ B):


Denicija. Skup A je jednak skupu B (piemo A = B) ako je A B i B A.Piemo:

A = B , (A B ^B A) :Vrijedi:

A 6= B , (A * B _B * A) :


Skupove i njihove medusobne odnose moemo zorno prikazati primjenom Vennovihdijagrama.

U tim prikazima zamiljamo da su svi skupovi podskupovi nekog skupa U i skupoviizvan U kao da i ne postoje. U nazivamo univerzalnim skupom.Univerzalnost skupa U je relativna.


4.1 Booleove operacije sa skupovima

Denicija. Neka je A proizvoljan skup. Partitivni skup skupa A, u oznaci P(A) je skupsvih podskupova skupa A. Ponekad piemo 2A:

Primjer. Odreditea) P(;) =b) A = fag ;P(A) =c) B = f1; 2; 3g ;P(B) =d) C = ff1g ; 2; 3g ;P(C) =

Denicija. Neka je U dani skup i A i B njegovi podskupovi.1. UNIJA SKUPOVA A i B, u oznaci A [B je skup

A [B = fx 2 U : x 2 A _ x 2 Bgx 2 A [B , x 2 A _ x 2 B


2. PRESJEK SKUPOVA A i B, u oznaci A \B je skupA \B = fx 2 U : x 2 A ^ x 2 Bg

x 2 A \B , x 2 A ^ x 2 B3. RAZLIKA (DIFERENCIJA) SKUPOVA A i B, u oznaci AnB je skup

AnB = fx 2 U : x 2 A ^ x =2 Bgx 2 AnB , x 2 A ^ x =2 B

Operacije unija, presjek i razlika skupova nazivamo Booleove operacije i to su osnovneoperacije na skupovima.Partitivni skup P(U) zajedno s operacijama \;[ i n nazivamo Booleovom algebromskupova na U .


NAPOMENA. Uocimo da je

(8A;B 2 P(U))A [B;A \B;AnB 2 P(U)(8A;B 2 P(U))A \B A;B A [B

Denicija. Neka je U dani skup i A U . Komplement skupa A u odnosu na skup U , uoznaci AC je skup

Ac = UnA = fx 2 U : x =2 Ag :

NAPOMENA. Uocimo

(8A U)Ac U ; (Ac 2 P(U))(Ac)c = A


Primjer. Neka je U = R, deniraj sljedece skupove:[a; b]ha; b][a; biha; bi[a;+1iha;+1ih1; b][a; b]c

ha; b]c[a;+1ich1; bic


Zadatak 1. Neka jea) A = f1; 2; 5; 6g ; B = f5; 7; 8g ; C = f3; 8; 9g ; U = fx 2 Z : 1 x < 11g : Odredite A [C; (AnB) [ (CnA) i Ac \B

b) A = [1; 5] ; B = h2; 8] ;U = R: Odredite A [B;A \B;AnB;BnA;Ac i Bcc) A = f1; 2; 3; 4; 5g ; B = [0; 5i ; C = h2; 2] ;U = [2; 5] : Odredite A [ B;A \ B;B \C;CnB;CnA;AnB;Ac i Bc

d) Ako jeA[B = f1; 2; : : : ; 8g ; A\B = f3; 6; 8g ; A[f1; 6; 8g = f1; 2; : : : ; 8g ; B[f3; 4; 6g =f1; 3; 4; 6; 8g onda odredite skupove A i B:Zadatak 2. Pomocu denicije jednakosti skupova dokaite da vrijedi:

a) (A \B)C = AC [BCb) (A [B)C = AC \BCc) An (B [ C) = (AnB) nCd) (AnB) nC = (AnC) n (BnC)e) An (AnB) = A \Bf) A \ (BnC) = (A \B) nCg) (AnB) [ (AnC) = An (B \ C)


SVOJSTVA OSNOVNIH BOOLEOVIH OPERACIJAkomutativnost A \B = B \ A A [B = B [ Aasocijativnost (A \B) \ C = A \ (B \ C) (A [B) [ C = A [ (B [ C)distributivnost A \ (B [ C)=(A \B) [ (A \ C) A [ (B \ C)=(A [B) \ (A [ C)idempotentnost A \ A = A A [ A = A

A \ ; = ; A [ ; = AA \ U = A A [ U = UA \ AC = ; A [ AC = U

involutornostACC= A

De Morganove formule (A \B)C = AC [BC (A [B)C = AC \BC


Zadatak 3. Koristeci se svojstvima navedenim u tablici i prethodnim zadacima, dokaitejednakosti:

a) (A [B [ C)C = AC \BC \ CCb)A \B \ CC [ AC [BC [ C = U

c)A \BC [B = A [B

d)AC \B [ A \BC \ (A \B) = ;

Zadatak 4. Neka je A B i C proizvoljan skup. Dokaitea) A [ C B [ Cb) A \ C B \ Cc) A \B = Ad) A [B = BZadatak 5. Neka su A i B skupovi. Dokaite:

a) P(A) [ P(B) P(A [B)b) P(A) \ P(B) = P(A \B)c) A B ) P(A) P(B)


Denicija. Simetricna razlika skupova A i B, u oznaci A M B je skup deniran sA M B = (AnB) [ (BnA) :

Zadatak 6. Dokaite da operacija M ima sljedeca svojstvaa) A M B = (A [B) n (A \B)b) A M B = B M Ac) (A M B) M C = A M (B M C)d) A M ; = Ae) A M A = ;Zadatak 7. Neka su A,B i C proizvoljni skupovi. Odredite odnos skupova (B M C) nAi (BnA) [ (CnA) :Dokaite inkluziju koja vrijedi, za inkluziju koja ne vrijedi nadite kon-traprimjer.


Denicija. Neka je A 6= ; proizvoljan skup. Particija skupa A je bilo koja familijaF P(A) sa sljedecim svojstvima:1. (8X 2 F)X 6= ;2. (8X; Y 2 F)X = Y YX \ Y = ;3.[X2F

= A

Zadatak 8.a) Nadite sve particije skupa A = f1; 2; 3g : Navedite barem dvije particije skupa A =f1; 2; 3; 4; 5g.

b) Odredite skupove cije su particijeF = ff1g ; f2; 3g ; f4gg ;F = f[0; 1i ; [1; 2i ; [2; 3i ; : : : ; [n; n + 1i ; : : :g ;F = fh1; 0i ; h0;+1ig


Denicija. Neka su A i B neprazni skupovi. Kartezijev produkt skupova A i B, u oznaciAB, je skup

AB = f(a; b) : a 2 A; b 2 Bg(a; b) 2 AB , a 2 A ^ b 2 B

Primjer. A = f1; 2g ; B = fa; b; cg : Odredite AB i B A:NAPOMENA.A = B A A = f(a; b) : a; b 2 Ag = A2 Kartezijev kvadrat

IA = f(a; a) : a 2 Ag dijagonala Kartezijevog kvadrataA = B = R R R = f(x; y) : x; y 2 Rg = R2 pravokutni Kartezijev sustav u ravnini

IR = f(x; x) : x 2 Rg pravacy = xPrimjer. Odredi i skiciraj skupove AB ako je

a) A = f3g ; B = [2; 5ib) A = [2; 4] ; B = [1; 3i


Zadatak 9. Nabrojite elemente skupovaa) S =

(x; y) 2 N2 : x2 + y2 = 25

b) U =(x; y) 2 Z2 : x2 + y2 = 25 ^ x < y

c) T =(x; y) 2 N2 : x2 + y2 < 15

Zadatak 10. Neka su A,B i C proizvoljni skupovi. Dokaite da vrijedia) (A [B) C = (A C) [ (B C)b) (A \B) C = (A C) \ (B C)c) (AnB) C = (A C) n (B C)


5 RelacijePrimjer.A = fMarko, Filip, LukagB = fPetra, Maja, AnagR = poznavati se

Sve uredene parove (x; y) t.d. x 2 A; y 2 B i xRy moemo organizirati u skup.Denicija. Neka su A i B dva neprazna skupa. Svaki podskup A B nazivamobinarnom relacijom iz skupa A u skup B.

a 2 A je u relaciji s b 2 B () (a; b) 2 (piemo ab)

Primjer. Navedite trivijalne relacije iz A u B.

Primjer. Neka je A = f4; 3g i B = f1; 2g :Odredite relacije R1 i R2 iz A u B, ako jeR1 = f(x; y) 2 AB : x = y + 2g i R2 =

(x; y) 2 AB : x = y2

Primjer. U Kartezijevom koordinatnom sustavu prikaite relacije na R :a) = f(x; y) 2 R R : x = y + 2gb) = f(x; y) 2 R R : y < 2x 1g


Denicija. Neka je binarna relacija na skupu A. Kaemo da je relacija

1. REFLEKSIVNA ako vrijedi (8x 2 A) (x; x) 2 (ili xx)2. IREFLEKSIVNA ako vrijedi (8x 2 A) (x; x) =2 3. SIMETRI CNA ako vrijedi (8x; Y 2 A) (x; y) 2 ! (y; x) 2 (ili xy ! yx)4. ANTISIMETRI CNA ako vrijedi (8x; y 2 A) (x; y) 2 ^ (y; x) 2 ! x = y (ilixy ^ yx! x = y)5. TRANZITIVNA ako vrijedi (8x; y; z 2 A) (x; y) 2 ^ (y; z) 2 ! (x; z) 2 (ilixy ^ yz ! xz)Uocimo: A2 je reeksivna akko IA Simetricna relacija je simetrican skup obzirom na njegovu dijagonalu (ne mora sadra-vati dijagonalu)Ako je antisimetricna relacija i x; y 2 A; x 6= y, onda vrijedi xy Y yx:


Zadatak 1. Na skupu A = f1; 2; 3; 4; 5; 6g zadana je relacija = f(1; 3) ; (1; 5) ; (3; 1) ; (3; 5) ; (4; 5) ; (5; 1) ; (5; 3) ; (5; 4) ; (5; 5)g :

Prikaite je dijagramom. Provjerite joj svojstva.

Zadatak 2. Neka je na skupu N denirana relacija na sljedeci nacin

nm() n + 2m = 17:Odredite elemente relacije i svojstva.

Zadatak 3. Nadopunite relaciju = f(1; 1) ; (1; 2) ; (1; 3) ; (1; 4) ; (2; 1) ; (2; 2) ; (2; 4) ; (3; 3) ; (4; 4)gdeniranu na skupuA = f1; 2; 3; 4g najmanjim brojem elemenata tako da bude simetricna.Zadatak 4. Na skupu A = f2; 3; 6; 8; 9g zadana je relacija R na sljedeci nacin

(8x; y 2 A)xRy () y je djeljivo s x:Odredite R. Ispitajte svojstvo simetricnosti i antisimetricnosti.


PAZI!!Ispitajte svojstvo tranzitivnosti relacije = f(1; 8) ; (3; 7) ; (5; 6)g zadane na skupu A =f1; 2; 3; 4; 5; 6g.Ispitajte svojstvo antisimetricnosti i simetricnost relacije = f(1; 1)g zadane na skupuA = f1g :


5.1 Relacija ekvivalencijeBinarnu relaciju R na skupu A koja je reeksivna, simetricna i tranzitivna nazivamorelacijom ekvivalencije. Relaciju ekvivalencije cesto cemo oznacavati s ili = :a b citamo a je ekvivalentno s bKlasa elementa a 2 A je skup

[a] = fx 2 A : x agOcito je

(8a 2 A) [a] 6= ;(8x; y 2 A)x y =) [x] \ [y] = ;

x y =) [x] = [y]Relacija ekvivalencije na skupu A denira particiju skupa A, a elementi te particije suklase ekvivalencije.Tu particiju oznacavamo s Aj = f[a] : a 2 Ag i nazivamo kvocijentnim skupom skupaA u odnosu na relaciju :


Zadatak 5. Na skupu N zadana je relacija na sljedeci nacin

(a; b) 2 () a + b paran broj.Dokaite da je relacija ekvivalencije i odredite kvocijentni skup skupa N deniran tomrelacijom.

Zadatak 6. Na skupu Z denirana je relacija na sljedeci nacin

ab() 5j(a b):Dokaite da je relacija ekvivalencije i odredite kvocijentni skup skupa Z deniran tomrelacijom.


Zadatak 7. Na skupu S = f3;2;1; 0; 1; 2; 3g denirana je relacija na sljedecinacin

xy () x2 + x = y2 + y:Dokaite da je relacija ekvivalencije i odredite kvocijentni skup skupa S deniran tomrelacijom.

Zadatak 8. Na skupuA zadana je relacija ,A = f0; 1; 3; 4; 5g i = (x; y) 2 A2 : 3jx + y :Odredite elemente relacije i ispitajte svojstva. Nadopunite minimalno tako da buderelacija ekvivalencije i odredite klasu elementa 3.


5.2 Relacija parcijalnog uredajaBinarnu relaciju R na skupu A koja je reeksivna, antisimetricna i tranzitivna nazivamorelacijom parcijalnog uredaja na skupu A.

Ako uz to vrijedi i xRy_yRx onda takvu relaciju nazivamo relacijom potpunog uredaja.Zadatak 9. Relacija denirana na skupuM = f1; 2; 3; 4g sadri elemente (1; 2) ; (3; 3)i (2; 3) : Ispiite njezine elemente tako da bude najmanja relacija parcijalnog uredajakoja sadri navedene elemente. Nacinite potom jedan potpuni uredaj.

Zadatak 10. Na skupu N deniramo relaciju na sljedeci nacina b() b je djeljiv s a:

Dokaite da je relacija parcijalnog uredaja. Je li to potpun uredaj?


Zadatak 11. Neka je P(S) partitivni skup skupa S. Na njemu je denirana relacija nasljedeci nacin

A B () A B:Dokaite da je to relacija parcijalnog uredaja, ali opcenito ne i potpunog uredaja.

Zadatak 12. Na skupu svih ljudi denirana je relacija na sljedeci nacin

AB () JMBG od A JMBG od B:Ispitajte je li to relacija potpunog uredaja.

Documents

Uvod UM