V Euklidov postulat i geometrija Loba cevskog - pmf.ni.ac.rs · Uvod "Geometrija je praobrazac lepote sveta" Galileo Galilei (1564 - 1642) Covek je oduvek bio graditelj. On je pisao,

Univerzitet u Nisu

Prirodno - matematicki fakultet

Departman za matematiku

V Euklidov postulat i geometrijaLobacevskog

Master rad

Mentor: Student:

Prof. dr Mica Stankovic Jasna Milicevic

Nis, Septembar 2013.

Sadrzaj

1 Istorijski pregled razvoja geometrije 41.1 Razvoj geometrije do Euklida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Euklid, matematicar stare Grcke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Revolucija geometrije nakon Euklidovih Elemenata . . . . . . . . . . 12

2 Lezandrove teoreme 152.1 Zivot i rad Lezandra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Lezandrove teoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 V Euklidov postulat 253.1 Plejferova aksioma paralelnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Ekvivalenti Plejferove aksiome paralelnosti . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Proklov argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4 Sakerijev i Lambertov pokusaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5 Tiboov prividan dokaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Geometrija Lobacevskog 464.1 Gausova teorija o V Euklidovom postulatu . . . . . . . . . . . . . . . 464.2 Doba Lobacevskog i Boljaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3 Aksioma Lobacevskog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.4 Ugao paralelnosti. Funkcija Lobacevskog . . . . . . . . . . . . . . . . 554.5 Paralelne prave u ravni L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.6 Osobine hiperparalelnih pravih u L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5 Appendix 75

6 Zakljucak 78

1

Uvod

”Geometrija je praobrazac lepote sveta”Galileo Galilei (1564 - 1642)

Covek je oduvek bio graditelj. On je pisao, a i danas pise svoju istoriju. Njegovadela od najjednostavnijeg do najsavrsenijeg, kao da upucuju izazov vremenu. To je,u stvari, jedna jedinstveno duga i vekovima neprekidna prica. Ostvariti zamisao,realizovati plodove uma - oduvek je ljudima predstavljalo pravi smisao postojanja.Ali, svaka nasa ideja vredi samo onda kada je prihvate i drugi i daju svoj doprinosda se ona pretvori u vidljivu i opipljivu stvarnost.

Upravo je Euklid stvorio takvo delo, delo koje je tesko nadmasiti. Vec vise oddve hiljade godina Elementi sluze kao matematicka biblija, to je zaduzbina aksi-omatskog metoda i izvor deduktivnog znanja. Euklidovo delo odlikuje se lepotomravnom onoj iz Biblije. Svojom knjigom Elementi, Euklid je otvorio prozor kroz kojise otvorila priroda naseg sveta.

Sve vreme borbe protiv petog Euklidovog postulata ( sve do XIX veka ), u istovreme se verovalo u njegovu istinitost. Velika je ideja koja je Lobacevskog i Boljajudosla na um da mozda negde ne vazi Euklidov peti postulat. Reklo bi se kao da jeto pitanje vere, u koje tvrdenje verovati. Prihvatiti Euklidov peti postulat ili vero-vati da on ipak ne vazi, bilo je pitanje na koje se dugo godina nije mogao pronaciodgovor.

Danas Euklidov peti postulat stoji nepokolebljivo. Seciran vekovima, ostao jekao pravi temelj jedne geometrije stvorene jos u anticko vreme. Zahvaljujuci Eu-klidu vekovima su matematicari imali sta da rade i to sto su godine prolazile bivalije sve veci izazov raditi na tako naizgled jednostavnoj stvari. Istorija Euklidovogpetog postulata je jos jedna potvrda toga da su sve velike misli nastale jednostavno.Elementi zajedno sa drugim radovima, svrstavaju Euklida u naucnika sa bogatimstvaralackim darom.

U ovom radu, opisacemo istorijiski razvoj geometrije od nastanka Euklidovog pe-tog postulata, pa sve do stvaranja nove geometrije, tzv. geometrije Lobacevskog.Dacemo detaljan opis rada mnogih matematicara na dokazu V postulata, kao i idejepojedinih da pomenuti postulat zamene tvrdenjem koji bi ga negirao.

Rad je tematski podeljen na 3 celine.U prvoj glavi dacemo istorijski osvrt na nastanak i razvoj geometrije sve do vre-

mena Euklida. U nastavku istorijskog razvoja geometrije akcenat je stavljen na

2

SADRZAJ

Euklidove Elemente, kao i njegov cuveni V postulat. Nakon toga izlazu se idejeupotpunjavanja Euklidovih Elemenata, pre svega rad Arhimeda, a zatim se uvodiHilbertov sistem aksioma. Boljaj i Lobacevski su radeci na V Euklidovom postulatudosli na ideju da ga zamene aksiomom koja bi ga negirala i na taj nacin uvode novugeometriju. O tome je u ovoj glavi data samo uvodna rec.

U drugoj glavi, pored kratkog pregleda zivota i rada francuskog matematicaraLezandra, dokazuju se znacajne Lezandrove teoreme, koje ce kasnije imati velikuulogu u dokazu teorema geometrije Lobacevskog.

Pored uvodenja Plejferove akisome paralelnosti, kao jednog od ekvivalenata petogEuklidovog postulata, u trecem delu rada, navode se i dokazuju jos neki, znacajniekvivalenti. Prica o V postulatu se zatim nastavlja bezuspesnim pokusajima mno-gih matematicara da ga dokazu. U radu je konkretno predstavljen rad Sakerija iLamberta, kao i rad Tiboa.

U cetvrtoj i poslednjoj glavi rec je o novouvedenoj geometriji, geometriji Lobace-vskog. Najpre se zapocinje radom znamenitog matematicara Gausa. Zatim se izlazeideja Boljaja i Lobacevskog o zameni V postulata, tj. Plejferove aksiome paralelno-sti tvrdenjem koje ce ga negirati. Nakon uvodenja aksiome Lobacevskog, obradujuse neki osnovni pojmovi i tvrdenja hiperbolicke geometrije, pre svega uvodi se po-jam ugla paralelnosti i funkcije Lobacevskog, a zatim se ispituju osobine paralelnihi hiperparalelnih pravih u ravni Lobacevskog.

Posebno bih uputila zahvalnost svom mentoru, prof. dr Mici Stankovicu, koji mije svojim primedbama i sugestijama pomogao pri izradi ovog rada.

3

Glava 1

Istorijski pregled razvojageometrije

1.1 Razvoj geometrije do Euklida

Geometrijom su se ljudi poceli baviti jos u najranijoj istoriji. O tome svedoce raz-novrsni tragovi iz dalekih vremena i drevnih civilizacija. Velike gradevine i piramidestarih Egipcana dokazuju da su oni morali dobro poznavati geometriju, jer je takvegradevine nemoguce podici bez prethodnih merenja i geometrijskih izracunavanja.

Naziv ”geometrija” (merenje zemljista) nacinjen je od grckih reci i potice od starihGrka koji su znali da su egipatska geometrijska znanja nastala iz prakticnih potrebapremeravanja zemljista. Velika egipatska reka Nil nanosila je svake godine svojim po-plavama velike kolicine mulja. Taj mulj je kao prirodno dubrivo blagotvorno uticaona plodnost zemljista, a uz to je brisao mede izmedu pojedinih zemljisnih parcela.Stoga je posle svake poplave trebalo ponovo premeravati zemljiste i pronalaziti medeizmedu zemljisnih parcela.

U tom periodu geometrija se razvijala kao induktivna nauka. Egipcani su raz-vili induktivan metod zakljucivanja - od pojedinacnog ka opstem. Kada su negdeu VI veku pre nove ere vodecu ulogu u nauci i kulturi preuzeli Grci, geometrijapocinje da se razvija jednim potpuno novim putem koji ce vremenom da se odrazi iu drugim naucnim oblastima. U to vreme nastaje u Grckoj privredni i kulturni pro-cvat koji je postao znacajan za razvoj citavog antickog drustva. Znanja geometrije,prihvacena iz egipatske zaostavstine, Grci dalje dopunjuju i prosiruju. No, njihovoveliko znacenje, nije samo u tome. Vaznije je sto su grcki matematicari toga dobaotkrili novu metodu izgradnje geometrije, metodu koja se danas zove deduktivna iliaksiomatska. Ona je sve do sada ostala znacajna metoda geometrijskih istrazivanjai osnovna metoda naucne obrade rezultata tih istrazivanja.

Otkrice te metode smatra se jednom od najvecih tekovina matematicke misli.Nije nastala odjednom, nego je rezultat predanog rada ucenjaka mnogih generacija.Do tog nacela, kazu, prvi je dosao anticki filozof Tales1. Tales je putovao u Egipati tamo od svestenika upoznao njihove geometrijske i astronomske zakljucke o zbiru

1Tales (624-547 p.n.e.), poznat kao Tales iz Mileta, anticki matematicar

4

GLAVA 1. ISTORIJSKI PREGLED RAZVOJA GEOMETRIJE

uglova u trouglu, o upisanom krugu u trougao itd. Njegovi spisi, ukoliko su uopstei postojali, do nas nisu dospeli, te se ne moze pouzdano reci koja je geometrijskatvrdenja on uspeo da dokaze. Istoricar geometrije Eudem iz IV veka pre n.e. pripisi-vao je Talesu dokaz drugog stava podudarnosti trouglova, stava o jednakosti uglovana osnovici jednakokrakog trougla i njemu obratnog tvrdenja, stava o medusobnojpodudarnosti pravih uglova, stava po kojem je periferijski ugao nad precnikom bilokojeg kruga prav ugao i stav po kojem svaki dijametar kruzne povrsi razlaze tupovrs na dva podudarna dela. Koristeci slicnost jednakokrako pravouglih trouglovaodredio je, kazu, visinu Keopsove piramide, a pomocu podudarnosti trouglova uspeoje da odredi udaljenost usidrenog broda od morske obale.

Nacelo dokazivanja geometrijskih tvrdenja u mnogo vecoj meri poceo je da spro-vodi znameniti starogrcki filozof i matematicar Pitagora2. Upoznavsi se vec umladim godinama sa ucenjem Talesa, Pitagora je niz godina proveo u Egiptu iVavilonu, gde je bio u mogucnosti ne samo da se upozna, vec i kriticki osvrne nasve sto se do tada znalo u oblasti geometrije. Po povratku u domovinu on osnivasvoju skolu Polukrug, ne na rodnom Samosu, vec u gradu Krotonu, grckoj kolonijiu juznoj Italiji. U oblasti matematike Pitagora se posebno bavio geometrijom iteorijom brojeva. Posebno je znacajna teorema o pravouglom trouglu koja danasnosi njegovo ime. Pitagori ili nekom od njegovih ucenika, po svoj prilici Hipasu3,treba pripisati i teoremu o egzistenciji nesamerljivih duzi koja ce podstaci razvojtzv. geometrijske algebre.

Obilje dokazanih geometrijskih tvrdenja vec je bilo dovoljno da se postavi pitanjeredosleda njihovog izlaganja. To je zahtevao i sam proces dokazivanja tvrdenja kojise sastoji u logickom izvodenju zakljucaka iz ranije poznatih tvrdenja, tj. tvrdenjakoja su vec dokazana ili se pretpostavljaju. Taj redosled u dokazivanju geometrij-skih tvrdenja znacio je jedno novo nacelo, tzv. nacelo sistematizacije. Prve korake usistematizaciji geometrije nacinio je Pitagorin sledbenik Hipokrat sa Hiosa4 u svomdelu Elementi geometrije pre dve i po hiljade godina. Smatra se da je u tom delubilo sabrano sve sto se do tada znalo u oblasti geometrije. Nazalost, ovo delo nijesacuvano.

Prve nagovestaje aksiomatskog zasnivanja geometrije srecemo u atinskoj skoli zva-noj Akademija istaknutog starogrckog filozofa Platona5. Sam Platon eksplicitno nijese bavio matematikom, ali su njegova rasudivanja u oblasti filozofije imala snaznogodraza i u ovoj oblasti, posebno u poimanju brojeva i geometrijskih likova. Platon jeprvi poceo da geometrijska tela razmatra odvojeno od opazajnih i ukazao na razlikukoja postoji izmedu naucnog zakljucivanja i empirijskog saznanja. Geometrijskeobjekte smatrao je idealnim, savrsenim, kakvi se ne mogu sresti u prirodi. Koji subili principi i kakav je po Platonovom misljenju bio pravi smisao aksioma i postulatane zna se pouzdano, ali u nekim sacuvanim delima Platona ima mesta iz kojih sejasno naslucuje aksiomatska metoda u izgradnji bilo koje naucne teorije.

2Pitagora (oko 580-oko 500 p.n.e.), starogrcki filozof i matematicar3Hipas (IV vek p.n.e.), matematicar iz Metaponta (Krotona)4Hipokrat sa Hiosa (V vek p.n.e.), matematicar5Platon iz Atene (427-347 p.n.e.), anticki grcki filozof i matematicar

5


Teorijske osnove deduktivne metode u najopstijoj formi razvio je najdarovitijiPlatonov ucenik, genijalni starogrcki filozof Aristotel6. U vise svojih rasprava logi-ckog karaktera, koje su negde sredinom I veka pre n.e. od strane istaknutog pe-ripateticara Andronika sabrana u poseban kodeks pod nazivom Organon, kao i uraspravi Metafizika Aristotel je pokusao da na svojevrstan nacin naucno razotkrijeopste zakonitosti deduktivnog zakljucivanja. Osnovne principe, tj. osnovna tvrdenjana kojima se zasniva deduktivna teorija, Aristotel je takode razvrstavao na aksiome ipostulate. Po njegovom misljenju aksiome treba da budu osnovna tvrdenja opstijegkaraktera, tj. tvrdenja koja se prihvataju bez dokazivanja, a koja vaze ne samou jednoj, vec u dvema ili vise naucnih teorija. Naprotiv, postulati treba da buduosnovna tvrdenja specificnog karaktera, tj. tvrdenja koja se prihvataju bez dokazi-vanja i koja vaze iskljucivo u toj naucnoj teoriji. Aristotel je smatrao da aksiomei postulati moraju predstavljati tvrdenja koja su do te mere opstepriznata i iz sva-kodnevne prakse poznata da ih ne samo nije moguce, vec i nije potrebno dokazivati.U takvoj teoriji istinitost izvedenih tvrdenja tj. teorema nije mogla podleci nikakvojsumnji, pa se nije mogao ni nametati problem neprotivurecnosti deduktivne teorijearistotelovskog tipa.

6Aristotel iz Stagire (384-322 p.n.e.), grcki filozof

6


1.2 Euklid, matematicar stare Grcke

U izgradivanju geometrije, posle mnostva dokazanih teorema, pojavila se potrebaza sistematizacijom, a kasnije i za uvodenjem aksioma. Jedan od prvih pokusaja ak-siomatskog zasnivanja geometrije, i iz tog vremena jedini sacuvan, dao je starogrckimatematicar Euklid7 iz Aleksandrije. Obrazovanje je, kazu, stekao u Atini kod Pla-tonovih ucenika, a oko 300. godine pre n. e. presao u Aleksandriju da bi u tekosnovanoj skoli predavao geometriju. Sakupivsi sve sto se do tada znalo iz oblastigeometrije, Euklid je pristupio sistematizaciji te grade izlozivsi je na bazi osnovnihformulacija - aksioma u svojim znamenitim knjigama Elementi.

Slika 1.1: Euklid, poznat i kao Euklid iz Aleksandrije

Euklidovi Elementi, po nekim procenama je knjiga koja je, osim Biblije, dozivelanajveci broj izdanja u celoj zapadnoj civilizaciji. Njeno prvo stampano izdanjepojavilo se 1482. godine, a iza toga bilo je jos preko hiljadu izdanja. Sustinskakarakteristika koja ovu knjigu cini tako slavnom, je njen jednostavan i logican sledteorema i problema. Logicka struktura ove knjige uticala je na naucnu misao citavih2000 godina, vise nego bilo koje drugo naucno delo. Elementi se sastoje iz 13 knjiga.Veliki deo geometrije koji se nalazi u danasnjim udzbenicima matematike, prakticnoje preuzet iz prvih sest knjiga Elemenata. To je, zapravo, najstarije naucno delo kojeje jos uvek u upotrebi.

Prvu knjigu Elemenata Euklid zapocinje nizom definicija kojima se objasnjavajuprvi geometrijski pojmovi kao sto su tacka, prava, ravan, ugao, krug i dr. Na osnovuprevoda Euklidovih Elemenata koji je uradio Anton Bilimovic, u nastavku cemo na-vesti sve definicije iz ovog dela.

7Euklid (grcki: Eυκλειδες ), roden oko 300. godine p.n.e., poznat i kao Euklid iz Aleksandrije,anticki matematicar

7


1. Tacka je ono sto nema delova.

2. Linija je duzina bez sirine.

3. Krajevi linije su tacke.

4. Prava je linija ona, koja za tacke na njoj podjednako lezi.

5. Povrsina je ono sto ima samo duzinu i sirinu.

6. Krajevi povrsine su linije.

7. Ravan je povrsina koja za prave na njoj podjednako lezi.

8. Ugao u ravni je uzajamni nagib dveju linija u ravni, koje se seku i koje ne lezeu istoj pravoj.

9. Ako su linije koje obrazuju ugao prave, ugao se zove pravolinijski.

10. Ako prava, koja stoji na drugoj pravoj, obrazuje sa ovom dva susedna jednakaugla, svaki od njih je prav, a podignuta prava zove se normala na onoj na kojojstoji.

11. Tup ugao je onaj, koji je veci od pravog.

12. Ostar je onaj, koji je manji od pravog.

13. Granica je ono sto je kraj ma cega.

14. Figura je ono sto je omedeno ili jednom ili sa vise granica.

15. Krug je ravna figura omedena takvom jedinom linijom (koja se zove periferija),da su sve prave povucene od jedne tacke, koja se nalazi u samoj figuri, prematoj liniji (prema periferiji kruga) medusobno jednake.

16. Ova tacka zove se srediste kruga.

17. Precnik kruga je svaka prava sto prolazi kroz srediste kruga, a ogranicena jesa svake strane periferijom kruga; on polovi krug.

18. Polukrug je figura ogranicena precnikom i njime odvojenom periferijom kruga;srediste polukruga je isto kao i srediste kruga.

19. Pravolinijske figure su one koje su ogranicene pravama; trostrane su ogranicenesa tri, cetvorostrane sa cetiri, mnogostrane sa vise od cetiri prave.

20. Od trostranih figura jednakostrani trougao ima tri jednake strane, jednako-kraki ima samo dve jednake strane, a raznostrani ima tri nejednake strane.

21. Dalje, od trostranih figura je pravougli trougao onaj koji ima prav ugao, tu-pougli koji ima tup ugao, a ostrougli koji ima tri ostra ugla.

8


22. Od cetvorostranih figura kvadrat je jednakostran i sa pravim uglovima; pravou-gaonik je sa pravim uglovima, no nije sa jednakim stranama; romb sa jednakimstranama, no nije sa pravim uglovima; romboid sa jednakim naspramnim stra-nama i jednakim naspramnim uglovima, no nije ni jednakostran ni sa pravimuglovima. Ostale cetvorostrane figure neka se zovu trapezi.

23. Paralelne su one prave, koje se nalaze u istoj ravni i koje se, produzene ubeskrajnost na obe strane, ne seku jedna sa drugom.

Slika 1.2: Euklidovi Elementi

Kao sto se da primetiti ovo nisu stroge definicije, vec samo objasnjenja elementar-nih geometrijskih pojmova data sa namerom da se u covecjoj svesti stvori intuitivnapredstava o datim pojmovima.

Polazna tvrdenja Euklid je podelio na aksiome i postulate od kojih su ovi drugicisto geometrijskog sadrzaja. U razlicitim prepisima Elemenata broj postulata iaksioma nije isti, ali se obicno prihvata da je Euklid zasnovao geometriju na devetaksioma i pet postulata. Neki od njih, doduse u izmenjenom obliku, zadrzali su sei do danasnjih dana.

Navedimo postulate u obliku u kom ih je Euklid dao:

I Pretpostavlja se da je moguce od svake tacke do svake druge tacke konstruisatipravu liniju.

II Pretpostavlja se da se svaka prava, prateci njen pravac, moze neogranicenoproduzavati.

9


III Pretpostavlja se da se u nekoj ravni oko svake njene tacke moze opisati krugbilo kojeg poluprecnika.

IV Pretpostavlja se da su svi pravi uglovi medu sobom podudarni.

Za dalji razvoj geometrije veoma veliki znacaj imao je peti Euklidov postulat kojiu svom originalu glasi:

V Ako neka prava presecajuci druge dve komplanarne prave obrazuje sa njima saiste strane dva unutrasnja ugla kojima je zbir manji od zbira dva prava ugla,tada se te dve prave, neograniceno produzene seku sa one strane secice sa kojeje taj zbir uglova manji od zbira dva prava ugla.

Slika 1.3.

Po svojoj prirodi, postulati su strogo geometrijska tvrdenja. Oni su izrazeni uvidu zahteva ili pretpostavki kojima kao da se zeli naglasiti njihov konstruktivan ka-rakter. Prva tri postulata zaista su konstruktivnog karaktera i na njima je vekovimazasnivana teorija geometrijskih konstrukcija. Za poslednja dva postulata ne moze sereci da su konstruktivnog karaktera. Pomenimo da u savremenoj geometriji cetvrtipostulat predstavlja tvrdenje koje se dokazuje. Svojom slozenoscu istice se famoznipeti postulat. Time je izazvao paznju ostalih matematicara i nagonio ih je da gaizvode iz ostalih aksioma geometrije.

Kao i postulati, u geometriji Euklida, i aksiome su predstavljale osnovna tvrdenja.Aksiome se od tvrdenja razlikuju po karakteru koji nije striktno geometrijski. Ak-siome, kako ih je Euklid navodio su:

1. Oni (objekti) koji su jednaki istom (objektu) jednaki su medusobno.

2. I ako se jednakim (objektima) dodaju jednaki (objekti) celine su jednake.

3. I ako se od jednakih (objekata) oduzmu jednaki (objekti) ostaci su jednaki.

4. I ako se nejednakim (objektima) dodaju jednaki (objekti) celine su nejednake.

10


5. I udvostruceni jednaki (objekti) jednaki su medusobno.

6. I polovine od jednakih (objekata) jednake su medusobno .

7. I oni (geometrijski objekti) koji se mogu poklopiti jednaki su medusobno.

8. I celina je veca od dela.

9. I dve prave ne ogranicavaju oblast.

Po svojoj prirodi vecina Euklidovih aksioma je opstijeg karaktera, to su tvrdenjakoja vaze i u drugim naucnim oblastima (sa izuzetkom aksioma 7. i 9. koje su izra-zito geometrijskog karaktera).

11


1.3 Revolucija geometrije nakon Euklidovih Ele-

menata

Euklidov sistem osnovnih tvrdenja nije potpun, naime iz njegovih aksioma ipostulata ne moze se izvesti svako tvrdenje.

Tu nepotpunost prvi je primetio znameniti starogrcki matematicar Arhimed8.Spisak geometrijskih postulata on je delom prosirio. U svom delu O lopti i valjku,radi zasnivanja metricke geometrije Arhimed je uveo sledecih pet postulata:

I Od svih linija koje imaju zajednicke krajeve prava je najkraca.

II A druge dve linije koje imaju zajednicke krajeve i leze u istoj ravni nisu jednakeako su obe ispupcene i jedna od njih obuhvacena drugom krivim i pravom kojaspaja krajeve, a takode i ako krive imaju jedan zajednicki deo, dok se preostalideo obuhvata; pritom je obuhvacena kriva manja od one koja je obuhvata.

III Isto tako, od svih povrsina koje imaju zajednicku ravnu periferiju ravan jenajmanja.

IV A druge dve povrsine koje imaju zajednicku ravnu periferiju nisu jednake akosu obe ispupcene i jedna od njih (ili jedan njen deo) obuhvacena povrsinom iravni periferije; pritom je obuhvacena povrsina manja od one koja je obuhvata.

V Pored toga, od dveju nejednakih linija, dveju nejednakih povrsina ili dvajunejednakih tela, veca velicina bice manja od one velicine koja se dobija kadmanju umnozimo potreban broj puta.

Prva cetiri Arhimedova stava ne mogu se prihvatiti kao postulati za logicko zasni-vanje metricke geometrije. Poslednje tvrdenje, koje se obicno naziva Arhimedovimpostulatom, neobicno je vazno. Ono se moze kratko iskazati u sledecem obliku:

Arhimedov stav: Za ma koja dva broja a i b, a < b, postoji takav ceo broj n,da je na > b.

I nakon Arhimeda nastavljaju se pokusaji da se dopune osnove euklidske geome-trije. No, svi ti pokusaji nisu pridoneli nista bitno sve do kraja XIX veka. Tada su seformirali takvi pogledi na principe logickog zasnivanja geometrije koji su omogucilida je prvi put pokazan potpun sistem aksioma iz kojih se sve teoreme izvode bezikakvog pozivanja na ociglednost nasih prostornih predstava.

Veoma mali broj geometara je uvideo neophodnost upotpunjavanja broja Euklido-vih postulata. Naprotiv, veliki broj dela u vezi sa Euklidovim Elementima postavioje sebi zadatak da smanji broj stavova geometrije koji se uzimaju bez dokaza. Utome se izrazavala potpuno prirodna teznja da se razjasni pod kakvim se minimal-nim uslovima materijal geometrije moze razviti logickim putem. Jedan rezultat utom pravcu bio je dobijen bez ikakvog truda. Naime, zapazilo se da je EuklidovIV postulat izlisan, posto se jednakost dvaju pravih uglova moze dokazati isto takostrogo kao i mnoga druga tvrdenja. Mnogi matematicari smatrali da zbog svoje

8Arhimed (287 p.n.e.-212 p.n.e.), grcki matematicar, fizicar i astronom

12


slozenosti i neociglednosti V Euklidov postulat ne treba da bude na spisku osnov-nih tvrdenja, vec ga treba kao teoremu dokazati. Zato su i mnogi matematicaripokusali da, indirektnim postupkom, izvedu dokaz tog tvrdenja, mnogi od njih sudovodili sebe u zabludu smatrajuci da su u tome uspeli ne primecujuci da su u svojimrazmatranjima na izvestan nacin iskoristili neki od ekvivalenata Euklidovog petogpostulata. Proucavanja posvecena V postulatu stara su koliko i Euklidovi Elementi.Ona su se zavrsila tek krajem XIX veka i dovela su do veoma vaznih otkrica. Udelu Nikolaja Lobacevskog9 i Janosa Boljaja10 prvi put je izrazena misao da petipostulat ne zavisi od ostalih aksioma geometrije te da se, stoga, ne moze izvesti izostalih postulata. Time je prosireno shvatanje samog smisla geometrije i nacinjenkorak u jedan sasvim novi geometrijski svet.

Rezultati Lobacevskog i Boljaja postali su sasvim jasni tek krajem devetnaestogveka kada je konacno formiran pogled na logicke principe zasnivanja geometrije ikada je, prvi put, geometrija logicki korektno utemeljena. Sledeci napore trojicegeometara sa kraja devetnaestog veka: Peana11, Pasa12 i Veroneza13, David Hil-bert14 je u svom delu Osnove geometrije, koje je izdato 1899. godine, geometrijuzasnovao na neprotivurecnosti, nezavisnom i potpunom sistemu aksioma.

Za razliku od Euklidovih Elemenata u Hilbertovim Osnovama geometrije nemaopisivanja osnovnih geometrijskih pojmova: tacke, prave, ravni itd. Hilbert na sa-mom pocetku jednostavno kazuje:

”Mi zamisljamo tri razlicita sistema stvari: stvari prvog sistema nazi-vamo tackama i oznacavamo ih sa A,B,C,...; stvari drugog sistema na-zivamo pravama i oznacavamo ih sa a, b, c,...; stvari treceg sistema nazi-vamo ravnima i oznacavamo ih sa α, β, γ...; tacke se nazivaju elementimalinearne geometrije, a tacke, prave i ravni se nazivaju elementima pro-storne geometrije ili elementima prostora. Mi zamisljamo tacke, prave iravni u izvesnim medusobnim odnosima i oznacavamo ove odnose recimalezati, izmedu, ”podudarno”, ”paralelno”, ”neprekidno”; tacan i za ma-tematicke svrhe potpun opis ovih odnosa postize se pomocu aksiomageometrije.”

Hilbert u Osnovama geometrije uvodi dvadeset aksioma koje razvrstava u petgrupa na sledeci nacin:

I Aksiome veze, pripadanja ili incidencije (osam aksioma),

II Aksiome poretka (cetiri aksiome),

III Aksiome podudarnosti (pet aksioma),

9Nikolaj Ivanovic Lobacevski (1793-1856), ruski matematicar10Janos Boljaj (1802-1870), madarski matematicar11Giuseppe Peano (1858 - 1932), italijanski matematicar i logicar12Moritz Pasch (1843-1930), nemacki matematicar13Giuseppe Veronese (1854 - 1917), italijanski matematicar14David Hilbert (1862-1943), nemacki matematicar

13


IV Aksiome neprekidnosti (dve aksiome),

V Aksioma paralelnosti (jedna aksioma).

Polazeci od izabranog skupa aksioma, Hilbert izvodi pojedine teoreme euklidskegeometrije, izgraduje taj geometrijski sistem i daje dokaz da je uzeti sistem aksiomapotpun, nezavisan i neprotivurecan.

U tom delu Hilbert je dao i resenje problema V Euklidovog postulata. On jedokazao da taj postulat nije posledica preostalih cetiri grupa aksioma. To drugimrecima znaci da je ovde zaista rec o aksiomi, a ne o teoremi.

Postoji niz geometrijskih teorema koje se ne oslanjaju na aksiomu o paralelama,nego samo na preostale cetiri grupe aksioma. Sve teoreme koje se mogu dokazati naosnovu grupe aksioma veze, poretka, podudarnosti i neprekidnosti cine apsolutnugeometriju. Ako se apsolutnoj geometriji dodaju V Euklidov postulat i sve teoremekoje se pomocu njega dokazuju direktno ili indirektno, dobijamo euklidsku geome-triju.

I danas, skoro sto godina nakon izlaska Osnova geometrije kojima su i poredpriznanja za njihov izvanvremensku valjanost u tom vremenu izrecene i mnoge za-merke, geometrija pociva na principima koje je utemeljio Hilbert. Znacaj Hilber-tovih Osnova geometrije ogleda se u tome sto je njihova formalisticka koncepcijastvorila preduslov za istrazivanja koja se odnose na potpunost, neprotivurecnost inezavnisnost aksiomatskog sistema.

14

Glava 2

Lezandrove teoreme

2.1 Zivot i rad Lezandra

Adrijen Mari Lezandr1 dao je niz znacajnih radova iz teorije brojeva, teorijeeliptickih funkcija, teorije povrsi, teorije verovatnoce i napisao je savremeni geome-trijski udzbenik koji se veoma dugo upotrebljavao po Evropi.

Sto se tice geometrije sa kraja osamnestog i pocetka devetnaestog veka, tri deladobila su veliki znacaj: Bezuov2 Kurs geometrije, Osnove Lakrua3 i Elementi geo-metrije Lezandra. Ta dela u razlicitom stepenu odrazavaju tendenciju Dalambera4

da otrgne predavanje geometrije od tradicionalnog teskog Euklidovog nacina. Svetri knjige su napisane od strane istaknutih matematicara i talentovanih pedagoga;oni nisu umanjili ranija predavanja geometrije, vec su je ucinili mnogo dostupnijom.Ta tri udzbenika geometrije dobili su neobicno siroku rasprostranjenost u svim kul-turnim zemljama i obelezavaju novu epohu u daljem predavanju geometrije.

Lezandrovi Elementi geometrije su zaista zamenili Euklidova dela u skolskimklupama. Istina, sledeci tendencije Dalambera u nameri da reorganizuje predavanjageometrije, Lezandr se nije odnosio prema Euklidu potcenjivacki.

Osnovne ideje Lezandrove teorije paralelnih linija izlozene su u ovom odeljku.One, kako cemo videti, nisu bile originalne buduci da su Lezandrovi rezultati ukojima se, izmedu ostalog, istice ekvivalent petog Euklidovog postulata i tvrdenja,da postoji trougao kome je zbir unutrasnjih uglova π, ranije vec poznati. No, oveosnovne cinjenice iz teorije paralelnih linija, u Lezandrovom delu bile su preglednoi jasno izlozene i stoga su cesto citirane.

U nameri da iz prve cetiri grupe, koje se nazivaju i aksiomama apsolutne geo-metrije, izvede peti Euklidov postulat Lezandr je u svom delu Elementi geometrije,cije je prvo izdanje stampano 1794. godine, dokazao nekoliko vaznih teorema kojese odnose na zbirove unutrasnjih uglova trougla i n-tougla.

1Adrien-Marie Legendre (1753-1833), francuski matematicar2Etienne Bezout (1730-1783), francuski matematicar3Sylvestre Francois Lacroix (1765-1843), francuski matematicar4Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (1717-1783), francuski matematicar, fizicar i filozof

15

GLAVA 2. LEZANDROVE TEOREME

2.2 Lezandrove teoreme

Teorema 2.2.1 (Prva Lezandrova teorema). U apsolutnoj geometriji zbir unu-trasnjih uglova proizvoljnog trougla nije veci od zbira dva prava ugla.

Dokaz.

Slika 2.1.

Pretpostavimo suprotno, da postoji trougao ∆ABB1 kome je zbir unutrasnjihuglova veci od zbira dva prava ugla. Obelezimo sa B2, B3, . . . , Bn tacke polupraveBB1 (Slika 2.1.), takve da je

B(B,B1, B2, . . . , Bn) i BB1∼= B1B2

∼= B2B3∼= . . . ∼= Bn−1Bn.

Sa iste strane prave BB1 sa koje je tacka A odredimo tacke A1, A2, . . . , An−1 takoda je

∆ABB1∼= ∆A1B1B2

∼= . . . ∼= ∆An−1Bn−1Bn.

Iz podudarnosti ovih trouglova sledi podudarnost odgovarajucih stranica i uglova.Dakle:

AB ∼= A1B1∼= . . . ∼= An−1Bn−1

AB1∼= A1B2

∼= . . . ∼= An−1Bn

]ABB1 = ]A1B1B2 = . . . = ]An−1Bn−1Bn

]BB1A = ]B1B2A1 = . . . = ]Bn−1BnAn−1.

Kako je ]BB1A+]AB1A1+]A1B1B2 = 2R i ]AB1B+]B1AB+]ABB1 > 2Rsledi da je ]BAB1 > ]AB1A1.

Pored toga, kako je AB ∼= A1B1, AB1 ≡ AB1 i ]BAB1 > ]AB1A1, sledi da morabiti BB1 > AA1, sto se moze zakljuciti i koriscenjem neke izometrijske transforma-cije i prevodenjem ugla ]AB1A1 na ugao ]BAB1.

Na osnovu prvog stava podudarnosti trouglova sledi da je ∆AB1A1∼= ∆A1B2A2

∼=. . . ∼= An−2Bn−1An− 1, a odatle AA1

∼= A1A2∼= . . . ∼= An−2An−1.

Posmatrajmo sada poligon BBnAn−1An−2 . . . A1A. Za njega vazi

BBn < BnAn−1 + An−1An−2 + . . .+ A1A+ AB (*)

16


Prethodna nejednakost induktivno vazi na osnovu nejednakosti za cetvorougao�ABCD (Slika 2.2.):

AB < AC + CB < (nejednakost trougla za ∆ACD)AD +DC + CB

Slika 2.2.

Sada iz (*) sledin ·BB1 < An−1Bn + (n− 1)AA1 + AB.

Pa, je odavden · (BB1 − AA1) < AB1 + AB − AA1.

U svakom trouglu je zbir dveju stranica veci od trece stranice, pa tako za trougao∆ABB1 vazi sledeca relacija AB1 + AB > BB1. Kako je BB1 > AA1 > 0, to je

AB1 + AB − AA1 > BB1 − AA1.

U nasem slucaju nejednakost n · (BB1 −AA1) < AB1 +AB −AA1 vazi za svakiprirodan broj n, sto dovodi do kontradikcije sa Arhimedovim stavom koji kaze daza ma koja dva broja a i b, a < b, postoji takav ceo broj n, da je na < b < (n+ 1)a.

Dakle, polazna pretpostavka nije tacna, te mora biti zbir uglova u trouglu ∆ABB1

manji ili jednak od zbira dva prava ugla.

Definicija 2.2.1. Neka je σ(ABC) zbir unutrasnjih uglova trougla ∆ABC i R pravugao. Razliku

δ(ABC) = 2R− σ(ABC)

nazivamo defektom trougla ∆ABC.

Kako je u apsolutnoj geometriji na osnovu prve Lezandrove teoreme zbir unu-trasnjih uglova u trouglu manji ili jednak od 2R, to je ocigledno δ(ABC) ≥ 0.

Lema 2.2.1. Ako je zbir unutrasnjih uglova nekog trougla jednak zbiru dva pravaugla, tada je zbir unutrasnjih uglova svakog trougla, koji je od prvog odsecen nekompravom takode jednak zbiru dva prava ugla.

17


Dokaz. Mogu nastupiti dva slucaja:

(i) da presecna prava p sadrzi jedno teme trougla ∆ABC

(ii) da prava p ne sadrzi nijedno teme.

Slika 2.3.

(i) Neka prava p sadrzi teme A trougla ∆ABC. Oznacimo sa D presecnu tackuprave p sa stranicom BC (Slika 2.3.). Tada je σ(ABC) = σ(ABD) +σ(ACD)− 2Ri kako je σ(ABC) = 2R sledi da je σ(ABD) + σ(ACD) = 4R. S druge strane, zbirunutrasnjih uglova u trouglu ne moze biti veci od zbira dva prava ugla, pa je zbirunutrasnjih uglova svakog od trouglova ∆ABD i ∆ACD jednak 2R.

Slika 2.4.

(ii) Neka sada prava p ne sadrzi nijedno teme trougla ∆ABC. Presecne tackeprave p sa stranicama AB i BC trougla ∆ABC oznacimo redom sa E i F (Slika2.4.). Zbir unutrasnjih uglova trougla ∆ABC jednak je zbiru dva prava ugla, pa jena osnovu dokazanog dela (i) zbir unutrasnjih uglova trougla ∆ABF , a samim timi trougla ∆BEF jednak zbiru dva prava ugla.

18


Lema 2.2.2. Ako je zbir unutrasnjih uglova nekog pravouglog trougla jednak zbirudva prava ugla, tada je i zbir unutrasnjih uglova pravouglog trougla koji se od prvogdobija udvostrucavanjem jedne katete, takode jednak zbiru dva prava ugla.

Dokaz. Neka je zbir unutrasnjih uglova pravouglog trougla ∆ABC, sa pravim

Slika 2.5.

uglom kod temena C jednak zbiru dva prava ugla. U tacki A konstruisimo polupravuAQ (Slika 2.5.) upravnu na pravu AC i to sa one strane prave AC sa koje je i tackaB. Sa B1 oznacimo tacku poluprave AQ takvu da je AB1 = CB. Neka je D tackaprave CB takva da je CB = BD i B(C,B,D). Kako je σ(ABC) = 2R i ]ACB = Rsledi da je ]CAB + ]ABC = R. S druge strane iz ]CAB + ]BAB1 = R i]CAB+]ABC = R sledi da je ]CBA = ]BAB1. Za trouglove ∆ABC i ∆BAB1

vazi AB ≡ AB, CB = B1A i ]CBA = ]B1AB, pa su oni podudarni na osnovuprvog stava o podudarnosti trouglova. Iz njihove podudarnosti sledi podudarnostpreostalih odgovarajucih elemenata ]AB1B = ]C = R, ]CAB = ]B1BA. Sadaimamo da je ]B1BC = ]B1BA + ]ABC = ]BAC + ]ABC = R, sto znaci daje B1B⊥CD. Sada su trouglovi ∆ABB1 i ∆DB1B podudarni na osnovu prvogstava o podudarnosti trouglova, jer je ]AB1B = ]DBB1 = R, AB1 = DB iBB1 ≡ B1B. Iz njihove podudarnosti sledi ]BAB1 = ]B1DB i AB = DB1.Trouglovi ∆ABD i ∆DB1A imaju sve odgovarajuce stranice podudarne, pa su onimedu sobom podudarni na osnovu treceg stava o podudarnosti trouglova. Odatlesledi da je ]BDA = ]B1AD. Zbir unutrasnjih uglova trougla ∆ACD je

σ(ACD) = ]ACD + ]CDA+ ]DAC

= R + ]B1AD + ]DAC = R + ]B1AC = 2R

tj. σ(ACD) = 2R.

Lema 2.2.3. Ako je zbir unutrasnjih uglova jednog pravouglog trougla jednak zbirudva prava ugla, tada je zbir unutrasnjih uglova svakog pravouglog trougla jednak zbirudva prava ugla.

19


Dokaz. Neka je trougao ∆ABC pravougli trougao sa pravim uglom kod temenaC ciji je zbir unutrasnjih uglova jednak zbiru dva prava ugla i neka je ∆A′B′C ′

proizvoljan pravougli trougao sa pravim uglom kod temena C ′. Pokazacemo da jeσ(A′B′C ′) = 2R.

Slika 2.6.

(i) Ako su obe katete trougla ∆ABC vece ili jednake od odgovarajucih katetatrougla ∆A′B′C ′ tada na duzima CB i CA postoje redom tacke B1 i A1 takve da jeCB1 = C ′B′ i CA1 = C ′A′ (Slika 2.6.). Pravougli trougao ∆CB1A1 nastao je odse-canjem od pravouglog trougla ∆CBA ciji je zbir unutrasnjih uglova jednak zbiru dvaprava ugla, pa je na osnovu Leme 2.2.1. i zbir unutrasnjih uglova pravouglog trougla∆CB1A1 jednak zbiru dva prava ugla. Kako su trouglovi ∆A1CB1 i ∆A′B′C ′ naosnovu prvog stava podudarnosti trouglova podudarni, sledi da je i zbir unutrasnjihuglova trougla ∆A′B′C ′ jednak zbiru dva prava ugla.

Slika 2.7.

(ii) Ako je kateta CA manja od katete C ′A′ tada na polupravoj CA odredimo niztacakaA1, A2, . . . , An, . . . takav da je B(C,A,A1, A2, . . . , An, . . .) i CA ∼= AA1, CA1

∼=A1A2, . . . (Slika 2.7.). Tada postoji prirodan broj k takav da CAk < C ′A′ < CAk+1.Prema Lemi 2.2.2. je zbir unutrasnjih uglova u svakom od pravouglih trouglova∆AnCB jednak 2R.

20


Ako je kateta CB manja od katete C ′B′ na polupravoj CB uocimo niz tacakaB1, B2, . . . , Bn, . . . takav da je B(C,B,B1, B2, . . . , Bn, . . .) i CB ∼= BB1, CB1

∼=B1B2, . . .. Tada postoji prirodan broj l takav da je CBl < C ′B′ < CBl+1. Sadaje ponovo na osnovu Leme 2.2.2. zbir unutrasnjih uglova u svakom od trouglova∆AnCBm jednak 2R. Dakle, zbir unutrasnjih uglova u trouglu ∆Ak+1CBl+1 jednakje 2R, pri cemu je CAk+1 > C ′A′ i CBl+1 > C ′B′, pa je prema dokazanom delu pod(i) zbir unutrasnjih uglova trougla ∆A′B′C ′ jednak zbiru dva prava ugla.

Teorema 2.2.2 (Druga Lezandrova teorema). Ako je u jednom trouglu ∆ABC zbirunutrasnjih uglova jednak zbiru dva prava ugla, tada je u svakom drugom trouglu∆A′B′C ′ zbir unutrasnjih uglova takode jednak zbiru dva prava ugla.

Dokaz.

Slika 2.8.

Kod trouglova ∆ABC i ∆A′B′C ′ bar po jedna visina ima podnozje na naspramnojstranici. Neka su to podnozja D i D′ iz temena A i A′ redom (Slika 2.8.). Kakoje u trouglu ∆ABC zbir unutrasnjih uglova jednak zbiru dva prava ugla, to je naosnovu Leme 2.2.1. i u pravouglim trouglovima ∆ABD i ∆ACD zbir unutrasnjihuglova takode jednak zbiru dva prava ugla.

Trougao ∆ABD je pravougli trougao kome je zbir unutrasnjih uglova jednak2R, pa na osnovu Leme 2.2.3. sledi da su zbirovi unutrasnjih uglova u trouglovima∆A′B′D′ i ∆A′D′C ′ jednaki po 2R. Sada zakljucujemo da je zbir unutrasnjih uglovatrougla ∆A′B′C ′ jednak zbiru dva prava ugla.

Teorema 2.2.3. Postoji trougao kome je zbir unutrasnjih uglova jednak zbiru dvaprava ugla ako i samo ako svaka prava upravna na jedan krak bilo kojeg ostrog uglasece i drugi krak tog ugla.

Dokaz. Neka je ]pOq proizvoljan ostar ugao i neka je P ∈ p proizvoljna tacka.Oznacimo sa Q podnozje normale iz tacke P na polupravu q. Neka je R proizvoljnatacka poluprave q i n normala na pravu q u tacki R.

Ako vazi B(O,R,Q) onda na osnovu Pasove aksiome direktno sledi da prava

21


n sece i polupravu p. Neka je B(O,Q,R) i Pn i Qn, n = 1, 2, . . . takve da jeB(O,P, P1, P2, . . . , Pn, . . .), B(O,Q,Q1, Q2, . . . , Qn, . . .), OPn = 2nOP i OQn =2nOQ (Slika 2.9.). Ako postoji trougao kod koga je zbir unutrasnjih uglova jednakzbiru dva prava ugla, onda je na osnovu druge Lezandrove teoreme zbir unutrasnjihuglova svakog trougla jednak zbiru dva prava ugla. Dakle, zbir unutrasnjih uglovatrouglova ∆OPnQn je jednak zbiru dva prava ugla. Oznacimo sa S tacku prave supravne na pravu PQ tako da je PS ∼= OQ.

Slika 2.9.

Tada je∆OPQ ∼= ∆PP1S ∼= ∆PQ1S ∼= ∆Q1PQ,

odakle sledi da je ]PQ1Q ∼= ]POQ i ]P1Q1P ∼= ]OPQ, a kako je jos ]POQ +]OPQ = R, to je ]OQ1P1 prav. Rasudivanjem na isti nacin zakljucujemo da jesvaki od trouglova ∆OPnQn pravougli sa pravim uglom kod temena Qn. Na osnovuArhimedovog stava tacku Qn mozemo izabrati tako da je B(O,R,Qn). Sada pravan na osnovu Pasovog stava mora seci jos jednu od stranica trougla ∆OPnQn uunutrasnjoj tacki. Ako bi n sekla stranicu PnQn u unutrasnjoj tacki, dobili bismotrougao sa dva prava ugla, pa bi tada zbir unutrasnjih uglova tog trougla bio veciod zbira dva prava ugla, a to je nemoguce. Odatle sledi da prava n mora seci duzOPn, tj. pravu p. Ovim je ovaj deo dokaza zavrsen.

Obratno, neka svaka prava qn upravna u tacki Qn (definisane u prvom deludokaza) na krak q sece krak p ostrog ugla ]pOq u tacki Pn (Slika 2.10.). Tada zadefekt trougla ∆OQnPn vazi

δ(OQnPn) = δ(OQn−1Pn−1) + δ(Pn−1Qn−1Qn) + δ(Pn−1QnPn),

tj.δ(OQnPn) ≥ 2δ(OQn−1Pn−1).

Nastavljajuci postupak nakon n koraka dobijamo

δ(OQnPn) ≥ 2nδ(OQP ).

22


Slika 2.10.

Ako bi bilo δ(OQP ) > 0, tada broj nmozemo izabrati dovoljno veliki da 2nδ(OQP )bude vece od bilo kog unapred zadatog ugla, pa i od 2R. Tada bi bilo

δ(OQnPn) > 2R,

sto je nemoguce. Dakle, mora biti δ(OQP ) = 0, tj. σ(OQP ) = 2R.

Teorema 2.2.4 (Treca Lezandrova teorema). Postoji trougao ∆ kome je zbir σ(∆)unutrasnjih uglova jednak zbiru dva prava ugla ako i samo ako u ravni π odredenojpravom p i tackom A van nje postoji samo jedna prava a koja sadrzi tacku A, a sapravom p nema zajednickih tacaka.

Dokaz. Neka je tacka B podnozje normale iz A na pravu p (Slika 2.11. a)), a pravaa koja sadrzi tacku A i normalna je na pravu AB. Pretpostavimo da postoji trou-gao kome je zbir unutrasnjih uglova jednak zbiru dva prava ugla. Prava a ne mozeseci pravu p, jer bi smo tada dobili trougao sa dva prava ugla, a to je u apsolutnojgeometriji nemoguce. Pokazacemo sada da je prava a jedina prava koja sadrzi tackuA, a sa pravom p nema zajednickih tacaka. Pretpostavimo suprotno, da u ravni πpostoji jos jedna prava b koja prolazi kroz tacku A i nema zajednickih tacaka sapravom p. Oznacimo sa b′ onu polupravu prave b koja sa polupravom AB u tackiA gradi ostar ugao. Prava p je normalna na krak AB ostrog ugla, pa na osnovuteoreme 2.2.3. ona sece drugi krak b′ tog ugla, odnosno pravu b. Dakle, prava a jejedinstvena prava u ravni π koja sadrzi tacku A, a sa pravom p nema zajednickihtacaka.

Obratno, neka je u ravni π data prava p, tacka A van nje i prava a jedin-stvena prava koja prolazi kroz tacku A i sa pravom p nema zajednickih tacaka. Po-kazacemo da postoji trougao ciji je zbir unutrasnjih uglova jednak zbiru dva pravaugla. Oznacimo sa B podnozje normale iz tacke A na pravu p (Slika 2.11. b)), a saC proizvoljnu tacku prave p razlicitu od B. Neka je A′ tacka prave a razlicita od Akoja se nalazi sa one strane prave AB sa koje je i tacka C. Tada je zbir unutrasnjih

23


Slika 2.11.

uglova trougla ∆ABC jednak zbiru dva prava ugla, sto cemo sada pokazati.Na osnovu prve Lezandrove teoreme sledi da je σ(ABC) ≤ 2R, pa je ]BAC +

]ACB ≤ R. Odatle sledi da je ]ACB ≤ ]CAA′. Ako bi bilo ]ACB < ]CAA′

onda bi u unutrasnjosti ugla ]CAA′ postojala poluprava b′ koja sa AC gradi ugaoβ podudaran uglu ]ACB. Prava p normalna je na krak AB ostrog ugla ]BAD,pa na osnovu teoreme 2.2.3. sece i drugi krak tog ugla, odnosno polupravu b′. Nji-hov presek oznacimo sa D. Tada bi u trouglu ∆ACD, spoljasnji ugao ]BCA kodtemena C bio jednak unutrasnjem nesusednom uglu ]CAD, a to je nemoguce. Po-lazna pretpostavka je pogresna, dakle, mora biti ]BCA = ]CAA′. Odavde sledida je σ(ABC) = 2R.

Lezandrov udzbenik Elementi geometrije doziveo je dvanaest izdanja (poslednjeje iz 1823. godine). To je prvo delo te vrste koje se bitno razlikuje od EuklidovihElemenata. Zahvaljujuci, pre svega, svojim metodickim odlikama, ovo Lezandrovodelo veoma ja uticalo na potonje udzbenike geometrije. Sta vise, moglo bi se recida je ovaj udzbenik prvi poceo da istiskuje Euklidove Elemente iz kao nastavnogeometrijsko stivo. U kasnjim proucavanjima geometrije Lezandrove teoreme cebiti vema znacajne za dokazivanje nekih stavova euklidske geometrije (geometrija ukojoj vaze aksiome pripadanja, rasporeda, podudarnosti, neprekidnosti, i Plajferovaaksioma).

24

Glava 3

V Euklidov postulat

Danasnje materijalisticko shvatanje aksioma kao istina koje izviru iz iskustva, apraksa treba da ih potvrduje, nastalo je sa razvojem nauke. U vreme EuklidovihElemenata, kao i dugo vremena posle njihove pojave, vladalo je drugo misljenje.Aksiome su se smatrale istinitim, jer su neposredno jasne. Uz to se pod doka-zom smatralo takvo razmisljanje koje treba da pokaze ociglednost nekog tvrdenja.Ociglednost je nesto cisto subjektivno, i kao svaki osecaj, moze biti varljiv. Dugose smatralo ociglednim i to da se Sunce okrece oko Zemlje. Danas se ociglednost nesmatra dovoljnom u otkrivanju naucnih istina.

Medutim, istorijska je istina da je spomenuto shvatanje o aksiomama vladalomedu geometrima. Zato je posebnu paznju izazvala jedna od osnovnih Euklidovihtvrdnji koja je u nekim rukopisima Elemenata uzeta kao 11. aksioma, a u drugimakao V postulat. Euklid je tu aksiomu formulisao na sledeci nacin:

Peti Euklidov postulat. Ako dve prave a i b u preseku sa trecom pravom cgrade suprotne uglove ciji je zbir razlicit od zbira dva prava ugla, onda se prave a ib seku i to sa one strane secice c sa koje je taj zbir manji od zbira dva prava ugla.

Slika 3.1.

Ova aksioma nije izgledala geometrima neposredno jasna, pa je jos od pocetkanastalo misljenje da to ne moze biti aksioma, nego teorema. Zaista, ukoliko V po-stulat uporedimo sa ostalim aksiomama i postulatima euklidske geometrije, zapaza

25

GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT

se da je od njih znatno komplikovaniji. Zbog toga se brzo ustalilo misljenje koje sezadrzalo vise od dve hiljade godina, da je tu tvrdnju Euklid uvrstio medu aksiome nezato sto je osnovnog karaktera, pa je kao takvu ne mozemo dokazati, nego zato stoje navodno Euklid nije mogao dokazati pomocu ostalih aksioma svoje geometrije.

Geometre je stalno podsticalo da traze dokaz za V postulat. Ideja koja je pritom vodila geometre ima ovaj smisao: Ako se uspe dokazati V postulat na osnovuostalih Euklidovih aksioma i postulata, onda se on ne moze smatrati aksiomom, jerse aksiome ne mogu dokazati. Kada bi taj dokaz uspeo, onda bi V postulat trebaloizbrisati iz spiska aksioma i uvrstiti medu teoreme.

Tokom vise od dve hiljade godina pokusavalo se pronaci dokaz Euklidovog V po-stulata. U tome su ucestvovali mnogi matematicari svih zemalja u kojima su bilipoznati Euklidovi Elementi. Za to vreme pojavili su se mnogi ”dokazi” V postulata.Bilo je i vrlo ostroumnih pokusaja. Medutim, brizljivo izucavanje svih tih ”dokaza”uvek je pokazalo da je u toku dokazivanja nacinjena neka logicka greska. Obicno seu ”dokaz” usunjala, a da to autor ”dokaza” nije primetio, neka tvrdnja ekvivalentnaV postulatu, tj. takvo tvrdenje koje tvrdi isto sto i taj postulat samo na drugacijinacin. Pravi dokaz Euklidovog postulata trebalo bi da se oslanja samo na ostale ak-siome Euklidove geometrije. Ako takav dokaz ne postoji, onda je to zaista aksioma,a ne teorema, jer je svaka teorema logicka posledica aksioma, te se moze dokazati.

26


3.1 Plejferova aksioma paralelnosti

Pre svega podsetimo se definicije paralelnih pravih.

Definicija 3.1.1. Dve prave su paralelne ukoliko pripadaju istoj ravni i pri tomnemaju zajednickih tacaka.

Egzistenciju paralelnih pravih je lako dokazati i to koristeci samo prve tri grupeaksioma. Taj zakljucak mozemo iskazati u obliku sledece teoreme.

Teorema 3.1.1. Kroz svaku tacku, koja ne pripada datoj pravoj, prolazi prava kojajoj je paralelna.

Dokaz.

Slika 3.2.

Neka je data prava AB (Slika 3.2.) i tacka P na njoj. Neka je p prava koja sadrzitacku P i neka su P ′ i P ′′ tacke prave p, takve da vazi raspored tacaka B(P, P ′, P ′′).Na osnovu aksioma podudarnosti uvek postoji prava A′B′ koja sadrzi tacku P ′,takva da je

]P ′′P ′B′ ∼= ]P ′PB

U tom slucaju ne postoji tacka S, zajednicka tacka pravih AB i A′B′, jer bi u trouglu∆SPP ′ jedan spoljasnji ugao bio podudaran unutrasnjem nesusednom uglu, sto jenemoguce.

Prethodnu teoremu mozemo formulisati i na sledeci nacin:

Teorema 3.1.2. Ako dve prave pri preseku sa trecom obrazuju podudarne nai-zmenicne ili podudarne saglasne uglove, ili je pak zbir dva suprotna ugla jednakzbiru dva prava ugla, te dve prave su paralelne.

Prve cetiri grupe aksioma pomocu kojih se izgraduje tzv. apsolutna geometrijanisu dovoljne da se u potpunosti izgradi geometrija razmatranog prostora. Za iz-gradnju te teorije neophodno je uvesti jednu grupu aksioma; to je po redu peta

27


grupa aksioma geometrije. Tu grupu cini samo jedna aksioma koju je 1797. go-dine umesto Euklidovog petog postulata uveo engleski matematicar Dzon Plejfer1.Ona se odnosi na paralelne prave te je nazivamo Plejferovom aksiomom paralelno-sti. Plejferova aksioma paralelnosti se po formulaciji razlikuje od Euklidovog petogpostulata i predstavlja njegov ekvivalent. Kako ovaj iskaz poseduje jednostavnijuformulaciju, Plejfer uzima ovaj stav za aksiomu, a peti postulat za teoremu.

Plejferova aksioma paralelnosti. Ako je p proizvoljna prava i A tacka van njetada u ravni odredenoj pravom p i tackom A postoji jedinstvena prava a koja sadrzitacku A i sa pravom p nema zajednickih tacaka.

Za tacku A i pravu p reci cemo da imaju Plejferovo svojstvo.

Slika 3.3.

Geometrija koja je zasnovana na aksiomama apsolutne geometrije i Plejferovojaksiomi paralelnosti naziva se euklidskom ili parabolickom geometrijom. Prostorkoji te aksiome zadovoljava, naziva se euklidskim prosotorom, a svaka njegova ravaneuklidskom ravni.

Kao sto smo rekli, Plejfer peti Euklidov postulat uzima za teoremu, koja se dobijakao posledica Plejferove aksiome paralelnosti, te cemo sada navesti i taj dokaz.

Teorema 3.1.3 (Peti Euklidov postulat). Ako dve prave u preseku sa trecom pravomgrade suprotne uglove ciji je zbir razlicit od zbira dva prava ugla, onda se te dve praveseku i to sa one strane secice sa koje je taj zbir manji od zbira dva prava ugla.

Dokaz. Zaista, neka su AB i A′B′ dve prave koje prava p sece u tackama P i P ′

respektivno (Slika 3.4.). Iz aksioma podudarnosti sledi da kroz tacku P ′ prolazijedna prava, A′′B′′ recimo, takva da je zbir suprotnih uglova, koje ona i prava ABobrazuju sa pravom p, jednak zbiru dva prava ugla. S obzirom na napred izlozeno,tj. na osnovu Teoreme 3.1.2., prava A′′B′′ je paralelna pravoj AB, a s obzirom naaksiomu paralelnosti, to je i jedina prava koja prolazi kroz tacku P ′, a paralelna jepravoj AB.

Dakle, prava A′B′ mora seci pravu AB. Da se taj presek mora nalaziti sa onestrane prave p, sa koje je zbir suprotnih uglova manji od zbira dva prava ugla, sledi

1John Playfair (1748-1819), skotski matematicar

28


Slika 3.4.

iz prve Lezandrove teoreme, prema kojoj zbir dva unutrasnja ugla trougla ne mozebiti veci od zbira dva prava ugla.

29


3.2 Ekvivalenti Plejferove aksiome paralelnosti

Pri pokusaju dokazivanja V Euklidovog postulata geometri su naisli na intere-santne rezultate. Tako se medu ostalim, naislo na to da je V postulat ekvivalentanPlejferovoj aksiomi paralelnosti.

Ekvivalentnost o kojoj cemo ovde govoriti ogleda se u ovome: Ako se pretpostavida vazi V Euklidov postulat, onda iz toga logicki proizilazi da kroz tacku A izvanprave p prolazi samo jedna prava a koja sa pravom p nema zajednickih tacaka. Akose, pak, uzme da je istinita tvrdnja da kroz jednu tacku A izvan prave p prolazisamo jedna prava koja sa pravom p nema zajednickih tacaka, onda iz te pretpo-stavke logicki proizilazi Euklidov V postulat. Za sam dokaz ovoga potrebni su namneki drugi ekvivalenti Plejferove aksiome paralelnosti, te cemo taj dokaz ostaviti zakasnije.

Uspostavilo se da postoji mnogo tvrdenja u matematickoj literaturi, spominje senjih tridesetak, koji su ekvivalentni V Euklidovom postulatu, odnosno Plejferovojaksiomi paralelnosti. Ovde cemo spomenuti i dokazati samo znacajnije ekvivalente.

Teorema 3.2.1 (I ekvivalent). Tvrdenje: ”Zbir unutrasnjih uglova proizvoljnog tro-ugla jednak je zbiru dva prava ugla”, ekvivalentno je Plejferovoj aksiomi paralelnosti

Dokaz. Na osnovu trece Lezandrove teoreme sledi da je Plejferova aksioma para-lelnosti ekvivalentna tvrdenju da postoji trougao kome je zbir unutrasnjih uglovajednak zbiru dva prava ugla, odakle na osnovu druge Lezandrove teoreme sledi daje tvrdenje da je zbir unutrasnjih uglova svakog trougla jednak zbiru dva prava uglaekvivalentan Plejferovoj aksiomi paralelnosti.

Teorema 3.2.2 (II ekvivalent). Tvrdenje: ”Postoji cetvorougao kome je zbir unu-trasnjih uglova jednak zbiru cetiri prava ugla”, ekvivalentno je Plejferovoj aksiomiparalelnosti.

Teorema 3.2.3 (III ekvivalent). Tvrdenje: ”Zbir σ unutrasnjih uglova prostog rav-nog n-tougla jednak je σ = 2(n − 2)R, pri cemu je R prav ugao”, ekvivalentno jePlejferovoj aksiomi paralelnosti.

Dokaz. Dokaz se izvodi indukcijom po broju temena n-tougla i koriscenjem prvogekvivalenta Plejferove aksiome paralelnosti.

Posledica 3.2.1 (IV ekvivalent). Tvrdenje: ”Zbir spoljasnjih uglova kod svih te-mena konveksnog prostog ravnog n-tougla jednak je 4R”, ekvivalentno je Plejferovojaksiomi paralelnosti.

Definicija 3.2.1. Cetvorougao ABCD je Sakerijev ako vazi ]A = ]B = R iAD = BC. Stranica AB je osnovica, CD protivosnovica, a AD i BC su visineSakerijevog cetvorougla (Slika 3.5.).

30


Slika 3.5.

U Euklidskoj geometriji Sakerijev cetvorougao je pravougaonik.

Teorema 3.2.4. U apsolutnoj geometriji uglovi nalegli na protivosnovici Sakerijevogcetvorougla su jednaki.

Definicija 3.2.2. Srednja linija Sakerijevog cetvorougla je duz koja spaja sredistaosnovice i protivosnovice.

Teorema 3.2.5. U apsolutnoj geometriji srednja linija Sakerijevog cetvorougla jezajednicka normala osnovice i protivosnovice.

Teorema 3.2.6 (V ekvivalent). Tvrdenje: ”Uglovi na protivosnovici Sakerijevogcetvorougla su pravi”, ekvivalentno je Plejferovoj aksiomi paralelnosti.

Definicija 3.2.3. Cetvorougao sa tri prava ugla u apsolutnoj geometriji naziva seLambertov (Slika 3.6.).

Slika 3.6.

Teorema 3.2.7 (VI ekvivalent). Tvrdenje: ”Svi uglovi Lambertovog cetvorougla supravi”, ekvivalentno je Plejferovoj askiomi paralelnosti.

31


Teorema 3.2.8 (VII ekvivalent). Tvrdenje: ”Svaka prava u ravni ostrog ugla koja jeupravna na jedan krak tog ugla sece drugi krak”, ekvivalentno je Plejferovoj aksiomiparalelnosti.

Dokaz. Sledi direktno iz Teoreme 2.2.3. i trece Lezandrove teoreme.

Teorema 3.2.9 (VIII ekvivalent). Peti Euklidov postulat i Plejferova aksioma pa-ralelnosti su ekvivalentna tvrdenja.

Dokaz.

Slika 3.7.

Pretpostavimo da vazi Plejferova aksioma paralelnosti i neka prava c sece pravea i b redom u tackama A i B (Slika 3.7.). Neka su A′ i B′ redom tacke pravih a i btakve da je

]A′AB + ]B′BA < 2R

gde je R prav ugao. Tada je bar jedan od uglova ]A′AB ili ]B′BA ostar. Neumanjujuci opstost dokaza neka je to ugao ]B′BA.

Oznacimo sa C podnozje normale iz tacke A na pravu b. Tada se tacke C i B′

nalaze na pravoj b sa iste strane tacke B, jer bi u suprotnom postojao trougao cijije zbir unutrasnjih uglova veci od zbira dva prava ugla, a to je u kontradikciji saprvom Lezandrovom teoremom. Kako vazi Plejferova aksioma paralelnosti to je zbirunutrasnjih uglova u trouglu ∆ABC jednak 2R, pa je:

]CAA′ = ]BAA′ − ]BAC = ]BAA′ − (R− ]ABC)

= ]BAA′ −R + ]ABC < 2R−R = R

Prava b je upravna na krak AC ugla ]CAA′, pa na osnovu VII ekvivalenta, pravab mora seci i drugi krak tog ugla. Dakle, prave a i b se seku, tj. vazi peti Euklidovpostulat.

Obratno, pretpostavimo da vazi peti Euklidov postulat i neka su date prava a itacka B van nje (Slika 3.8.). Neka su A i A′ proizvoljne tacke prave a i neka je B′

tacka ravni koju odreduju prava a i tacka B, takva da vazi sledece:

A′, B′−AB i ]A′AB + ]ABB′ = 2R.

32


Slika 3.8.

Sada imamo da je prava b, odredena tackama B i B′ jedina prava ravni (a,B)koja sadrzi tacku B i sa pravom a nema zajednickih tacaka. Zaista, ako bi postojalajos jedna prava sa istom osobinom, ona bi sa pravom AB gradila suprotne ugloveciji je zbir razlicit od zbira dva prava ugla. A kako vazi peti Euklidov postulat,ta prava bi morala seci pravu a. Iz ovoga zakljucujemo da vazi Plejferova aksiomaparalelnosti.

Teorema 3.2.10 (IX ekvivalent). Tvrdenje: ”Dve paralelne prave presecene trecomgrade jednake odgovarajuce uglove”, ekvivalentno je Plejferovoj aksiomi paralelnosti.

Teorema 3.2.11 (X ekvivalent). Tvrdenje: ”Kroz ma koje tri nekolinearne tackeprolazi krug”, ekvivalentno je Plejferovoj aksiomi paralelnosti.

Dokaz. Neka vazi Plejferova aksioma paralelnosti i neka su A, B i C tri proizvoljnenekolinearne tacke. Medijatrise stranica trougla ∆ABC pripadaju istom pramenupravih. Nije tesko zakljuciti da te medijatrise pripadaju konkurentnom pramenupravih, tj. da presecna tacka O medijatrisa trougla ∆ABC zapravo predstavljacentar opisanog kruga oko trougla ∆ABC.

Pokazimo i suprotan smer. Pretpostavimo da vaze aksiome apsolutne geometrijei neka kroz ma koje tri nekolinearne tacke prolazi krug. Neka prave a i b seku nekupravu p tako da je prava a upravna na p i b nije upravna na p (Slika 3.9.).

Oznacimo sa A i B presecne tacke prave p sa pravama a i b, redom. Neka je Ctacka prave p, takva da vazi raspored tacaka B(A,C,B). Neka je D tacka simetricnau odnosu na pravu a tacki C, a q prava koja sadrzi tacku C i normalna je na pravub. Tacku simetricnu tacki C u odnosu na pravu b oznacimo sa Q. Tacke D, C i Qsu nekolinearne, jer bi u suprotnom vazilo b ⊥ p. Na osnovu pretpostavke sledi dapostoji krug koji sadrzi ove tri tacke. Centar ovog kruga oznacimo sa O. Tacka Oje podjednako udaljena od temena D, C i Q trougla ∆DCQ, tj. OD ∼= OC ∼= OQ.Centar kruga O pripada pravoj a, jer a medijatrisa duzi DC. S druge strane, pripadai pravoj b, jer je b medijatrisa duzi CQ. O je zajednicka tacka pravih a i b. Dakle,

33


Slika 3.9.

prave a i b se seku, sto na osnovu teoreme 2.2.3. i trece Lezandrove teoreme znacida vazi Plejferova aksioma paralelnosti.

Teorema 3.2.12 (XI ekvivalent). Tvrdenje: ”U ravni postoje tri kolinearne tackepodjednako udaljene od date prave”, ekvivalentno je Plejferovoj aksiomi paralelnosti.

Dokaz. Neka su A, B i C tri kolinearne tacke podjednako udaljene od date prave a.

Slika 3.10.

Pravu kojoj pripadaju tacke A, B i C oznacimo sa b. Neka su A′, B′ i C ′ podnozjanormala redom iz tacaka A, B i C na pravu a (Slika 3.10.).

Kako je AA′ ∼= BB′ i ]AA′B′ = ]BB′A′ = R, to je cetvorougao �AA′B′BSakerijev. Tada je srednja linija MN tog cetvorougla zajednicka normala osnovicei protivosnovice, tj. MN ⊥ a i MN ⊥ b.

Isto tako je i cetvorougao�BB′C ′C Sakerijev, te je srednja linija PQ tog cetvorougla,takode zajednicka normala pravih a i b. N i Q pripadaju pravoj b i ne pripadaju

34


pravoj a, odakle sledi da tacke M , P , Q i N obrazuju cetvorougao sa cetiri pravaugla odakle na osnovu II ekvivalenta sledi da vazi Plejferova aksioma paralelnosti.

Pretpostavimo sada da vazi Pljeferova aksioma paralelnosti i pokazacemo da po-stoje tri kolinearne tacke podjednako udaljenje od date prave. Neka su u ravnidate prava a i tacke A, B i C (Slika 3.11.) sa iste strane prave a tako da jeAA′ ∼= BB′ ∼= CC ′, gde su A′, B′ i C ′ podnozja normala na pravu a redom iztacaka A, B i C. Pokazacemo da su tacke A, B i C kolinearne.

Slika 3.11.

Cetvorougao �AA′B′B je pravougaonik, pa je AB ‖ a. Isto tako je i cetvorougao�AA′C ′C pravougaonik, odakle je AC ‖ a. Kako vazi Plejferova aksioma paralelno-sti, a imamo da u tacki A postoje dve prave AB i AC u istoj ravni, koje su paralelnepravoj a, to sledi da se te dve prave AB i AC moraju poklapati. Dakle, tacke A, Bi C su kolinearne.

Teorema 3.2.13 (XII ekvivalent). Tvrdenje: ”Postoje dva trougla kojima su odgo-varajuci uglovi jednaki, a odgovarajuce stranice nejednake”, ekvivalentno je Plejfe-rovoj aksiomi paralelnosti.

Dokaz. Neka su dati trouglovi ∆ABC i ∆A′B′C ′ takvi da je ]A = ]A′, ]B = ]B′

i ]C = ]C ′, a odgovarajuce stranice im nisu jednake. Tada postoji tacka B1 6= Bna polupravoj AB takva da je AB1 = A′B′ i tacka C1 6= C na polupravoj AC takvada je AC1 = A′C ′.

Tada trouglovi ∆AB1C1 i ∆A′B′C ′ imaju dva para podudarnih stranica i jednakenjima zahvacene uglove. Na osnovu prvog stava o podudarnosti trouglova sledi dasu ova dva trougla podudarna. Odatle sledi:

]AB1C1∼= ]A′B′C ′ i ]AC1B1

∼= ]A′C ′B′.

Posmatrajmo cetvorougao �BCC1B1. Zbir unutrasnjih uglova tog cetvorougla je:

σ(BCC1B1) = ]B + ]C + ]CC1B1 + ]C1B1B

= ]B′ + ]C ′ + (2R− ]C ′) + (2R− ]B′) = 4R.

35


Slika 3.12.

Na osnovu II ekvivalenta zakljucujemo da vazi Plejferova akioma paralelnosti.

Slika 3.13.

Obratno, pretpostavimo da vazi Plejferova askioma paralelnosti. Neka je dattrougao ∆ABC i duz B′C ′ 6= BC.

Neka su B′B1 i C ′C1 poluprave takve da je

](B′B1, B′C ′) = ]B,](B′C ′, C ′C1) = ]C.

Uglovi ]B i ]C su uglovi trougla, pa mora biti ]B + ]C < 2R, odakle sledi da je]B′ + ]C ′ < 2R. Kako vazi Plejferova aksioma paralelnosti to sledi da vazi i petiEuklidov postulat. Odatle zakljucujemo da se poluprave B′B1 i C ′C1 ce se seci utacki A′. Trouglovi ∆ABC i ∆A′B′C ′ imaju sva tri odgovarajuca ugla jednaka, aliim odgovarajuce stranice nisu jednake. Ovim je dokaz teoreme zavrsen.

Teorema 3.2.14 (XIII ekvivalent). Tvrdenje ”Kroz svaku unutrasnju tacku ostrogugla uvek se moze povuci prava koja sece oba kraka tog ugla” je ekvivalentno Plejfe-rovoh aksiomi paralelnosti.

36


3.3 Proklov argument

Prvi poznati pokusaj da se dokaze postulat o paralelama preuzeo je Ptolomej udrugom veku nase ere. Njegovo zakljucivanje je bilo slozeno, ali je u osnovi njegovdokaz bio jednostavan. On je pretpostavio alterantivni oblik postulata, a onda jeiz njega izveo izvorni oblik. Medutim, to je bio samo ”prividan” dokaz, jer se is-postavilo da su neke od najbanalnijih pretpostavki, tako ocigledne da cak nisu niformulisane, u stvari prerusen postulat o paralelama.

U nastavku cemo izloziti jedan zanimljiv pristup dokazu Euklidove aksiome oparalelama. Naime, anticki mislilac Proklo2 preduzeo je jedan znameniti pokusajdokazivanja petog Euklidovog posulata.

Proklo je bio upravnik neoplatonovske skole u Atini. Pisao je komentare na delaEuklida, Platona, Ptolomeja. Najvise je vremena provodio analizirajuci EuklidoveElemente i pritom napisao komentar prve knjige Elemenata, koji predstavlja glavniizvor naseg znanja o geometriji starih Grka.

Da bismo razumeli njegov dokaz, korisno je najpre uraditi tri stvari. Prvo, pri-meniti alternativni vid postulata, odnosno njegov ekvivalent, Plejferovu aksiomuparalelnosti. Drugo, uciniti Proklov argument malo manje tehnickim. I trece, pre-vesti ga sa grckog.

Da bismo postavili Proklov dokaz u povoljnije okruzenje, zamislimo, na primer,Petu aveniju u Njujorku. A zatim jos jednu aveniju, uporednu sa njom, koju cemonazvati Sesta avenija. Prema Euklidu, to znaci da se ove dve avenije ”ne seku”.

Visoko povrh prodavaca kafe i virsli na Sestoj aveniji uzdize se velelepno zdanje ukome svoje prostorije ima ugledni izdavac koji objavljuje samo najbolje knjige Fripres. Bez ikakve namere da mu se umanji ugled, Fri pres ce u ovom primeru igratiulogu ”spoljne tacke”.

Shodno matematickoj tradiciji, treba imati na umu da je sve sto smo upravoizlozili ujedno i sve sto se moze pretpostaviti o ovim ulicama. Iako za potrebekonkretne ilustracije imamo u vidu dve odredjene avenije, te kao matematicari nesmemo da koristimo nikakva druga svojstva ovih ulica u dokazu koji izvodimo osimovih koja smo eksplicitno naveli. Matematicki dokaz jeste vezbanje u kome se koristesamo eksplicitno iznete cinjenice.

Sada smo spremni da izlozimo Plejferovu aksiomu u obliku prilagodenom nasemkontekstu:

Ako su dati Peta avenija i izdavac Fri pres na Sestoj aveniji, ne moze biti drugihulica u kojima bi takode bio Fri pres, a koje bi poput Seste avenije, bile uporedne

sa Petom avenijom.

Da se primetiti da ovaj iskaz ne odgovara u potpunosti Plejferovoj aksiomi, zatosto smo, poput Prokla, pretpostavili da postoji bar jedna prava, ili ulica, koja jeuporedna sa datom pravom, u nasem slucaju sa ulicom. To se naime tek mora do-kazati, ali je Prokle protumacio da jedna Euklidova teorema to jemci. Prihvaticemo

2Proklo Dijadoh (grc. Πρoκλoς), 5. vek n.e., grcki filozof

37


ovo za sada i videcemo da li na osnovu ovog argumenta mozemo da dokazemo aksi-omu u obliku u kome je prethodno izlozen.

Da bismo postulat dokazali, odnosno da bismo ga pretvorili u teoremu, moramoda pokazemo da se svaki put koji prolazi pored Fri presa, osim Seste avenije, seces Petom avenijom. Ovo izgeda ocigledno na osnovu naseg svakodnevnog iskustva.Upravo zbog toga se takce ulice nazivaju poprecnim ulicama. Ono sto je neophodnoda uradimo jeste da dokazemo pretpostavku bez pomoci postulata o paralelama.Pocecemo tako sto cemo zamisliti trecu ulicu, cija su jedina svojstva da ide pravo ida prolazi pored Fri presa. Neka se ta ulica zove Brodvej.

Saglasno svom metodu dokazivanja, Prokle bi krenuo od Fri Presa i isao Bro-dvejem na jug. Zamislite neku ulicu koja vodi od mesta gde se Prokle zatekao doSeste avenije. Nazovimo tu ulicu Nikolajeva ulica. Situaciju imate prikazanu nanarednom crtezu.

Slika 3.14: Proklov dokaz

38


Nikolajeva ulica, Brodvej i Sesta avenija obrazuju pravougli trougao. Kako Proklenastavlja da se krece Brodvejem, pravougli trougao nastao na ovaj nacin postajesve veci. U krajnjoj liniji, strane trougla, ukljucujuci i Nikolajevu ulicu, mogu dase povecaju koliko vam drago, te tako Nikolajeva ulica konacno postaje duza odrazmaka izmedu Pete i Seste avenije. Prema tome, rekao bi Proklo, Brodvej morada presece Petu aveniju, a upravo je to i trebalo dokazati.

Ovaj argument jeste jednostavan, ali pogresan. Pre svega, pojam ”sve veci” naizvestan nacin je zloupotrebljen. Nikolajeva ulica, naime, moze da postaje sve veca,a da pri tom ostane manja od jednog bloka, slicno nizu brojeva 1

2, 23, 34, 45, 56... koji

takode postaju sve veci, ali nikada ne nadmasuju jedinicu. Ovaj nedostatak moze seotkloniti. No kljucni nedostatak jeste to sto je Proklo, poput Ptolemeja, upotrebiojednu neosnovanu pretpostavku. Primenio je jedno svojstvo uporednih puteva kojeintuitivno izgleda tacno, ali koje nije dokazao. Koja je ta pretpostavka?

Proklova greska odnosila se na ”razdaljinu izmedu Pete i Seste avenije”. Pod-setimo se kako je to mesto glasilo: ”Ako slucajno znate [...] da ih razdvaja tolikai tolika razdaljina [...] zaboravite slobodno na sve to.” Iako Prokle ne kaze tacnokolika je ta razdaljina, on podrazumeva da je ona nepromenljiva. To nam kaze naseiskustvo s uporednim pravim, odnosno s Petom i Sestom avenijom, ali se ne mozematematicki dokazati bez primene postulata o paralelama: ne razlikuje se od samogpostulata.

Isti propust promakao je i velikom bagdadskom ucenjaku Tabitu ibn Kuri3 udevetom veku. Da biste sebi predocili Tabitovu ideju, zamislite da se krecete pra-volinijski Petom avenijom, drzeci neki kruti metar, dugacak jedan blok zgrada, podpravim uglom u odnosu na ulicu u kojoj se nalazite. Kako Tabit napreduje Petomavenijom, kakvu putanju ispisuje tacka na suprotnom kraju njegovog metra? Tabitje utvrdio da je posredi prava linija, recimo, Sesta avenija. Na temelju ove pretpo-stavke on je potom ”dokazao” postulat o paralelama. Linija koju opisuje dalji krajmetra svakako je nekakva kriva, ali sta nam daje za pravo da tvrdimo da je posrediprava linija? Ono sto nas ovlascuje u ovom smislu jedino moze da bude, pogodiliste, postulat o paralelama. Jedino je u euklidskom prostoru skup tacaka na istojudaljenosti od neke prave takode prava. Tabit je ponovio Ptolemejevu gresku.

Krajem osamnaestog stoleca matematicari bi, da su nesto drugacije videli svojaotkrica, zakljucili da neeuklidski prostori mozda postoje, a ako postoje, onda iimaju neka veoma neobicna svojstva. No njih je, umesto toga, naprosto ozlojedivalacinjenica sto nisu mogli da dokazu da ta neobicna svojstva vode do protivurecnosti,te da je stoga prostor euklidski.

Narednih pola veka bile su godine tajne revolucije. Postepeno, u nekoliko zema-lja, otkrivane su nove vrste prostora, ali zajednica matematicara nije ih bila svesnaili ih nije uocavala. Tek kada su, sredinom devetnaestog stoleca, prouceni radovijednog nedugo pre toga preminulog starca iz Getingena u Nemackoj, obznanjene sutajne neeuklidskog prostora. Tada je vecina onih koji su skinuli veo s ovih tajni vecbila pokojna, bas kao i ovaj starac.

3Thabit ibn Qurra (826 901), iraski matematicar, filozof i astronom

39


3.4 Sakerijev i Lambertov pokusaj

Buduci da nikako nije uspevalo direktno dokazivanje Euklidove aksiome o pa-ralelama, dva su matematicara u XVIII veku, Sakeri4 i Lambert5, nezavisno jedanod drugog pokusali dati indirektan dokaz. Obojica su posla od cinjenice da je Eu-klidova aksioma paralelnosti ekvivalentna tvrdenju da postoji cetvorougao sa cetiriprava ugla.

Sakerijeva proucavanja bila su objavljena 1733. godine u Milanu pod naslovom”Euclides ob omni naevo vindicatus”. U tom delu Sakeri pokusava da V postulatdokaze indirektnim putem.

Slika 3.15.

Sakeri polazi od posmatranja cetvorougla �ABB′A′ (Slika 3.15.) koji ima dvaprava ugla na osnovici AB i dve jednake bocne strane AA′ i BB′. Iz simetricnostislike u odnosu na normalu HH ′ sledi da su uglovi kod temena A′ i B′ medusobnojednaki. Ako se usvoji V postulat i, prema tome, Euklidova teorija paralelnih li-nija, moze se odmah utvrditi da su uglovi kod temena A i B pravi, a cetvorougao�ABB′A′ - pravougaonik. Obrnuto po Sakeriju, kad bi bar u jednom cetvorougluuglovi na gornjoj osnovici bili pravi, vazio bi Euklidov postulat o paralelama. Zelecida dokaze taj postulat, Sakeri je ucinio tri moguce pretpostavke; ili su uglovi ]A′ i]B′ pravi, ili tupi, ili ostri. Ove tri pretpostavke on je nazvao hipotezama pravog,tupog i ostrog ugla. Posto je hipoteza pravog ugla ekvivalentna V postulatu, to,da bi se taj postulat dokazao, treba odbaciti dve druge hipoteza. Potpuno tacnimrasudivanjem Sakeri najpre dovodi do protivurecnosti hipotezu tupog ugla i to takosto je dokazao da zbir uglova na protivosnovici ne moze biti veci od opruzenogugla. Ukoliko bi to bilo moguce, tada bi prave u prostoru bile konacne, sto je ukontradikciji sa II Euklidovim postulatom. Medutim, dokazati da zbir uglova naprotivosnovici ne moze biti manji od opruzenog ugla pokazalo se kao daleko veciproblem. Sakeri je uporno dokazivao nova tvrdenja trazeci u njima kontradikciju,ali sve sto je iz njegovog rada proizaslo su zapravo brojne teoreme hiperbolicke geo-

4Giovanni Girolamo Saccheri (1667 - 1733), italijanski matematicar5Johann Heinrich Lambert (1728 - 1777), svajcarski matematicar i fizicar

40


metrije.Razvijajuci to ispitivanje Sakeri izgraduje slozen geometrijski sistem, cija su po-

jedina tvrdenja toliko protivurecna nasim predstavama o polozaju pravih u ravni, dabi se mogla smatrati apsurdnim. Na primer, u geomerijskom sistemu koji odgovarahipotezi ostrog ugla dve paralelne prave ili imaju samo jednu zajednicku normalu,od koje se na obe strane neograniceno udaljavaju jedna od druge, ili nemaju nijednui, priblizavajuci se jedna drugoj asimptotski u jednom smeru, neograniceno se jednaod druge udaljavaju u drugom smeru.

U samoj protivurecnosti sa uobicajenim prostornim predstavama Sakeri, ispravno,ne vidi logicku nemogucnost tih stavova. Ali posle niza besprekorno tacnih ra-sudivanja, Sakeri utvduje laznost hipoteze ostrog ugla. Smatrajuci da su na tajnacin hipoteze tupog i ostrog ugla dovedene do protivurecnosti, Sakeri zakljucujeda je jedino hipoteza pravog ugla istinita i da je na taj nacin dat dokaz V postulata.Ocigledno, Sakeri pri tom i sam oseca da hipotezu ostrog ugla nije doveo do logickeprotivurecnosi i on se ponovo vraca na nju da bi dokazao da je ona ”protivurecna sa-moj sebi”. U tom cilju on izracunava na dva nacina duzinu neke linije i za nju dobijadve razlicite vrednosti. Ta okolnost bi odista u sebi sadrzala protivurecnost, ali jeSakeri dosao do nje ucinivsi gresku u racunanju. Iako Sakeri nije primetio gresku, onje ipak, kako se vidi iz nekih njegovih primedaba, i svojim dopunskim rasudivanjembio nezadovoljan. Svoj rad na ovoj temi Sakeri zakljucuje recima:”hipoteza ostrogugla je apsolutno netacna, jer je u suprotnosti sa prirodom pravih linija”.

Slika 3.16.

Ideje koje je Lambert razvio u delu ”Teorija paralelnih linija” iz 1766. godine bli-ske su Sakerijevim shvatanjima. Lambert posmatra cetvorougao �ABCD koji imatri prava ugla ]A, ]B i ]C (Slika 3.16.); za cetvrti ugao mogu se takode uciniti tripretpostavke; da je taj ugao ostar, prav ili tup. Na taj nacin, ovde se opet javljajutri hipoteze. Posto je utvrdio ekvivalentnost hipoteze pravog ugla sa V postulatom idoveo do protivurecnosti hipotezu tupog ugla, Lambert je, slicno Sakeriju, primoranda se najvise bavi hipotezom ostrog ugla. Hipoteza ostrog ugla dovodi Lamberta,kao i Sakerija, do slozenog geometrijskog sistema. Zadatak da se dokaze V postulatbio bi resen kad bi se u tom sistemu pronasla dva stava koji su logicki protivurecni

41


jedan drugom. Medutim, bez obzira na to sto je veoma razvio pomenuti sistem,Lambert nije uspeo da u njemu naide na dva tvrdenja koja se logicki uzajamnoiskljucuju. Kao ni Sakeri, ni on nije zakljucke o laznosti hipoteze ostrog ugla izveosamo na osnovu toga sto su te osobine protivurecne nasim ociglednim predstavamao osobinama pravih. Ali za razliku od Sakerija, Lambert nije ucinio gresku usledkoje bi hipotezu ostrog ugla mogao smatrati odbacenom i, prema tome, V postulatdokazanim. Lambert nigde u svom delu ne tvrdi da je dokazao V postulat i dolazido zakljucka da nijedan drugi pokusaj u tom pravcu nije doveo do cilja.

”Dokazi Euklidovog postulata”, pise Lambert, ”mogu se dovesti tako daleko, da,ocigledno, preostaje neznatna sitnica. Ali, pri podrobnoj analizi ispostavlja se dabas u toj prividnoj sitnici lezi sva sustina pitanja; ona obicno sadrzi ili stav kojitreba dokazati ili njemu ekvivalentan postulat”.

Osim toga, razvijajuci sistem posledica hipoteze ostrog ugla, Lambert otkrivaanalogiju toga sistema sa sfernom geometrijom i u tome vidi mogucnost njegovogpostojanja.

”Sklon sam cak da poverujem da je treca hipoteza tacna na nekoj imaginarnojsferi. Mora postojati uzrok usled koga se ona u ravni ni izdaleka ne moze oboritionako lako kako se to moze uciniti sa drugom hipotezom”.

Lambert je na neobican nacin predosetio pravo resenje pitanja V postulata i onje dalje no iko pre njega isao pravilnim putem.

42


3.5 Tiboov prividan dokaz

Kad vec nisu uspeli dokazati Euklidovu aksiomu o paralelnosti, mnogi mate-maticari su na razne nacine pokusavali da dokazu neki od njenih ekvivalenata. Uko-liko bi takav dokaz uspeo, ne pozivajuci se na aksiomu o paralelnosti, zakljucili bismoda V Euklidov postulat nije aksioma, nego teorema. Medutim, nijedan pokusaj nijeuspeo.

Slika 3.17. Tibo

Ovde cemo izneti jedan od tih prividnih ”dokaza” koji je dao Tibo6. On je zeleoda dokaze teoremu koja kaze da je zbir unutrasnjih uglova u trouglu jednak zbirudva prava ugla. Kako je to tvrdenje ekvivalentno Plejferovoj aksiomi paralalenosti,a samim tim i V Euklidovom postulatu, sledilo bi da je Tibo na indirektan nacindokazao aksiomu paralelnosti.

Podsetimo se, najpre, kako uobicajeno dokazujemo da je zbir uglova u nekomtrouglu jednak 2R. Posmatrajmo trougao ∆ABC sa uglovima α, β i γ redom kodtemena A, B i C (Slika 3.18.). Produzimo stranicu BC ovog trougla preko temenaC. U tom istom temenu konstruisimo paralelu CD sa stranicom AB. Ta paraleladeli spoljasnji ugao kod temena C na uglove α′ i β′. Kako su β i β′ uglovi sa para-lelnim kracima, oni su jednaki medu sobom, tj. β = β′. Iz istog razloga su i ugloviα i α′ jednaki. Sa slike vidimo da je α′ + β′ + γ = 2R, a na osnovu prethodnog je

α + β + γ = 2R.

Time smo pokazali da je zbir uglova u trouglu jednak zbiru dva prava ugla.Potrebno je istaknuti da smo u dokazu koristili aksiomu paralelnosti. Kao sto znamo,dokaz je izveden uz pomoc prave CD paralelne stranici AB. No, da u tacki C

6Bernhard Friedrich Thibaut (1775-1832), nemacki matematicar

43


Slika 3.18.

postoji prava, i to jedinstvena, koja je paralelna pravojAB garantuje upravo aksiomaparalelnosti.

Slika 3.19.

Tibo je bio uveren da mu je uspelo dokazati da je zbir uglova u trouglu jednakzbiru dva prava ugla bez pozivanja na aksiomu paralelnosti. Svoj dokaz izveo jepomocu triju rotacija prave p u nekoj ravni. Posmatrajmo trougao ∆ABC (Slika3.19.). Prava p neka je odredena tackama A i B i orijentisana udesno. Rotirajmopravu p oko temena B u smeru kretanja kazaljke na casovniku dok se ne poklopisa stranicom BC. Prava p se pri tom rotirala za ugao β. Zatim, rotirajmo pravup dok se ne poklopi sa stranicom CA u istom smeru. Tako je prava p rotirala zaugao γ. Treca rotacija prave p neka bude oko temena A za ugao α. Nakon trecerotacije prava p ce se ponovo poklopiti sa stranicom AB. Prava p je u toku ovih trijurotacija postepeno menjala svoj smer kako pokazuju strelice na slici i na kraju seponovo nasla u pocetni polozaj samo sa suprotnim smerom. Zbir uglova za koje je

44


prava p izvrsila sve tri rotacije iznosi α+β+γ, a to je upravo zbir uglova u trouglu.S druge strane, prava p bi se mogla naci u istom polozaju, kao i kada je izvrsila triuzastopne rotacije redom oko temena B, C i A, ako bi nacinila jednu rotaciju okovrha A za ugao 2R. Odavde Tibo zakljucuje da je zbir uglova u trouglu:

α + β + γ = 2R.

Izgleda da smo uspeli dokazati da zbir uglova u trouglu iznosi 2R, s tim da udokazu nismo uopste koristili aksiomu o paralelnosti. To znaci da teorema o zbiruuglova u trouglu ne zavisi od aksiome paralelnosti. No, kako je teorema o zbiruunutrasnjih uglova u trouglu ekvivalentna toj aksiomi, sledi da smo na posredannacin dokazali tu aksiomu. Cim se neka aksioma moze dokazati, ona odmah udeduktivnom sistemu gubi polozaj aksiome i spada u teoreme. Tada na se na krajuovog razmatranja pricinjava da je Tibo uspeo da dokaze V Euklidov postulat.

Da je Tiboov dokaz pogresan ukazuje cinjenica da bi se na isti nacin mogalodokazati da je zbir uglova sfernog trougla jednak zbiru dva prava ugla (Slika 3.20.).Dokaz se izvodi na slican nacin, samo sto cemo u ovom slucaju pravu p zamenitiglavnom kruznicom sfere kojoj pripada taj trougao. Ovde bismo uzeli da glavnakruznica u pocetnom polozaju prolazi kroz tacke A i B, te bismo je redom rotiralioko temena B, C i A. Na taj nacin dobili bismo isto sto i u dokazi Tiboa. Takobismo zakljucili da je zbir uglova sfernog trougla jednak 2R, sto nije istina, jer se usfernoj geometriji dokazuje da je taj zbir uvek veci od 2R.

Sada je logicno postaviti pitanje: Gde je Tibo pogresio? Greska je u tome sto

Slika 3.20.

su tri uzastopne rotacije prave p (ili glavne kruznice) oko triju razlicitih tacaka B,C i A s uglovima β, γ i α ekvivalentne jednoj rotaciji oko tacke A za ugao β+γ+αjedino ako je:

]BAD = ]ABC i ]DAE = ]BCA

sto je moguce samo ako u tacki A postoji jedina paralela AD sa CB, tj. ako vazi VEuklidov postulat. Dakle, i Tibo se kao i mnogi drugi matematicari pokusavajucida dokaze aksiomu paralelnosti neprimetno u toku samog dokaza oslanjao na tu istuaksiomu.

45

Glava 4

Geometrija Lobacevskog

4.1 Gausova teorija o V Euklidovom postulatu

Sustinskih promena u geometriji nije bilo jos od vremena Euklida i Arhimedasve do prve polovine devetnaestog veka. Mnogi pokusaji da se razresi pitanje petogEuklidovog postulata ostali su bezuspesni.

Karl Fridrih Gaus1 sa dvanaest godina poceo je da kritikuje Euklidove Elemente.Usredsredio se, kao i drugi pre njega, na postulat o paralelama. Za razliku od svihsvojih prethodnika, Gaus nije pokusao da dode do nekog prihvatljivijeg vida ovogpostulata niti da ga ucini nepotrebnim time sto bi ga dokazao preko drugih postu-lata. Umesto toga, doveo je u sumnju njegovu valjanost. Da li je moguce, zapitaose Gaus, da je prostor zapravo zakrivljen?

Slika 4.1: Karl Fridrih Gaus

1Johann Carl Friedrich Gauß (1777-1855), nemacki matematicar i naucnik

46

GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBACEVSKOG

Kada se Gaus 1795. upisao na Getingenski univerzitet, veoma se zainteresovaoza problem petog postulata. Jedan od njegovih profesora, Abraham Kestner, sa-kupljao je iz hobija literaturu o istoriji petog postulata. Kestnerov student GeorgKligel cak je, kao doktorsku disertaciju, preduzeo analizu dvadeset osam neuspelihpokusaja da se postulat dokaze. No, ni Kestner niti bilo ko drugi nije bio pripravanda prihvati ono sto je Gaus podozrevao: da je postulat mozda netacan. Kestnerje cak jednom prilikom primetio da bi samo ludak mogao da posumnja u valjanostpostulata. Gaus je zadrzao svoje misljenje za sebe.

Gaus je prvi dosao, nakon dugogodisnjeg razmisljanja, do uverenja da se mozeizgraditi geometrija, u sebi neprotivurecna, u kojoj bi se Euklidova aksioma o parale-lama zamenila hipotezom o ostrom uglu. Takvu geometriju nazvao je ”neeuklidska”.Ta svoja shvatanja Gaus nije objavio.

Do 1824. godine Gaus je uspeo da razdradi citavu teoriju neeuklidske geometrijei 6. novembra iste godine, advokatu Taurinusi, koji se isto tako bavio matemati-kom, pise sledece: ”Pretpostavka da je zbir uglova u trouglu manji od 180 ◦ vodi doposebne geometrije, razlicite od nase (euklidske), koja je sasvim celovita i koju samja razradio na potpuno zadovoljavajuci nacin...”. Mnoge od svojih dela Gaus nijezeleo da objavi, strahujuci od reakcije koju bi izazvali novi pogledi na peti Euklidovpostulat, te je i Taurinusa zamolio da njegove zamisli u vezi neeuklidske geometrijene izlaze javnosti. Njegovi radovi su pronadeni tek posle njegove smrti.

47


4.2 Doba Lobacevskog i Boljaja

Pored Gausa, teorijom paralela bavili su se i drugi istaknuti matematcari togvremena kao sto su Dalamber, Laplas2 i Lagranz3. Ostalo je zabelezeno da je La-granz u kasnim godinama svoga zivota pripremao jednu raspravu o paralelama i daje na samom pocetku njenog izlaganja u Akademiji zastao i zavrsio recima: ”Moramjos o tome da razmislim”. Nije jos mnogo vremena proslo do konacnog rasvetljenjaovog problema. Problem paralela je resen, ali u neskladu sa predrasudama koje suvekovima vladale.

Pocetkom devetnaestog veka Nikolaj Lobacevski i Janos Boljaj su nezavisno je-dan od drugoga dosli na ideju da peti Euklidov postulat zamene aksiomom koja biga negirala. Nemajuci pred sobom ocigledne slike koje bi poduprle njihov pogled naosnove geometrije, oni su umeli da izgrade teoriju koja je isto toliko logicki valjanakao i euklidska geometrija. Oni su, kako mladi Janos Boljaj, istice u jednom pismusvome ocu, ”ni iz cega” stvorili ”jedan sasvim novi svet”. Tako je po prvi put za-snovana jedna teorija koja se nije zasnivala na ociglednosti. Iz geometrijskog svetau kojem se u potpunosti moglo osloniti na intuiciju zasnovanu na predstavama kojaostvaruju cula, zakoracilo se u svet koji postoji izvan dohvata naseg iskustva.

Iste godine 1823., kada je i Janos Boljaj pisao svom ocu da je otkrio novu geome-triju, u mestu Kazanj u Rusiji, Nikolaj Ivanovic Lobacevski istrazivao je posledicenarusavanja postulata o paralelama u jednom neobjavljenom udzbeniku geometrije.Lobacevskom je mentor bio Johan Bartels, u to vreme profesor na univerzitetu uKazanju. Zajedno sa Bartelsom Volfgang Boljaj, otac Janosa Boljaja, se zanimaoza neeuklidsku geometriju i pri tom vodili rasprave o toj zamisli sa matematicaromGausom.

Slika 4.2: Nikolaj Lobacevski (levo) i Janos Boljaj (desno)

2Pierre-Simon, Marquis de Laplace (1749 - 1827), francuski matematicar i astronom3Joseph-Louis, comte de Lagrange (1736 - 1813), francusko-italijanski matematicar

48


Rezultate svojih istrazivanja Lobacevski je saopstio u odeljenju fizicko - mate-matickih nauka Kazanjskog univerziteta dana 23. februara 1826. godine, a radSazeto izlaganje osnova geometrije sa strogim dokazom teorema o paralelama, kojiobelezava pocetak neeuklidske geometrije, publikovao je u ”Vesniku” Kazanjskoguniverziteta 1829. godine. Madarski matematicar Janos Boljaj je rezultate svojihistrazivanja objavio 1832. godine u vidu dodatka knjige ”Geometrija” svojeg ocaVolfganga Boljaja. Stoga se taj rad u literaturi i srece pod naslovom ”Apendiks”,sto na latinskom jeziku znaci ”dodatak”. Kako je Boljajev otac bio Gausov prijatelj,rad je poslao Gausu s molbom da da misljenje o vrednosti rada njegovog sina. Uodgovoru Gaus mu pise da se rezultati do kojih je dosao mladi Boljaj podudaraju snjegovim. U tom pismu Gaus napominje da nema nameru da publikuje ista od tihsvojih radova, jer smatra da vecina matematicara ne bi shvatila o cemu se u njimaradi. Janos se potpuno razocarao odgovorom Gausa. Nije mogao da veruje da jeGaus i pre njega dosao do otkrica neeuklidske geometrije. Cak je pomisljao da jenjegov otac ranije otkrio ideje iznete u Apendiksu. Iako se kasnije uverio da je tasumnja neopravdana, nikada nije mogao da oprosti Gausu sto nije javno pohvaliovrednost njegovog rada.

Nije iznenadujuce to sto zamisli Lobacevskog i Boljaja nisu za njihova zivotadobile priznanje koje im pripada. Samo je Gaus razumeo dubinu i dalekoseznostnjihovih ideja, jer su se one podudarale sa njegovim zamislima. Zanimljivo je to stoje Gaus znao za radove obojice matematicara, ali nije nijednog od njih upoznao sarezultatima drugog. Do Boljaja je dospela jedna rasprava Geometrijsko istrazivanjeteorije paralela na nemackom jeziku Nikolaja Lobacevskog, dok Lobacevski nikadanije saznao za rad Janosa Boljaja. Boljaj se zacudio kako se mnoge postavke uknjizi Lobacevskog podudaraju sa njegovim rezultatima u Apendiksu, te je poceosumnjati da je njegov rad nekako dosao u ruke Lobacevskog. Sumnjao je cak da sepod imenom Lobacevskog ne krije sam Gaus.

Iako se Boljaju ne mogu osporiti zasluge za otkrice neeuklidske geometrije, ipakga ne mozemo po znacenju u tom poslu uporediti sa Lobacevskim. Boljaj nije u svomresenju postigao onu celovitost, potpunost i zaokruzenost koju je dao Lobacevski.Stoga se zasluge za otkrice neeuklidske geometrije danas pripisuju najvise Lobace-vskom. Zbog toga novootkrivena geometrija dobija naziv po njegovom imenu - ne-euklidska geometrija Lobacevskog ili hiperbolicka geometrija.

Dve decenije nakon otkrica hiperbolicke geometrije otkrivena je jos jedna nee-uklidska geometrija, tj. elipticka ili Rimanova geometrija, do koje je dosao mate-maticar Riman4 1854. godine u svom radu O hipotezama koje leze u osnovi geome-trije, razmatrajuci tzv. polidimenzione povrsi. Elipticki prostor jeste prostor kojise dobija ako se pretpostavi jedno drugo narusavanje postulata o paralelama: dauopste nema paralelnih linija, tj. da se sve linije u ravni moraju seci. Ukoliko seprisetimo izucavanja Sakerija i Lamberta vezana za dokaz V Euklidovog postulata,mozemo reci da elipticka geometrija nastaje ukoliko se umesto V Euklidovog postu-lata pretpostavi da vazi, tzv. hipoteza tupog ugla (Slika 4.3.).

4Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866), nemacki matematicar

49


Slika 4.3: Cetvorougao u a) euklidskoj; b) hiperbolickoj i c) eliptickoj geometriji

50


4.3 Aksioma Lobacevskog

U okviru apsolutne geometrije bili smo u mogucnosti da dokazemo tvrdenjeprema kojem u jednoj ravni kroz tacku A van prave a postoji prava koja s pravom anema zajednickih tacaka. Medutim, u apsolutnoj geometriji nije moguce ustanovitikoliki je broj tih pravih. Uvodenjem aksiome prema kojoj kroz tacku A postoji samojedna prava koja sa pravom a nema zajednickih tacaka Plejfer je omogucio izgrad-nju euklidske geometrije. Polazeci od aksioma apsolutne geometrije i pretpostavkeda postoje kroz tacku A dve prave koje s pravom a nemaju zajednickih tacaka,Lobacevski je dosao do potpuno nove tzv. hiperbolicke geometrije. U ovom odeljkusamo cemo izloziti njenu aksiomatiku i ukazati na mogucnost njene realizacije.

Aksioma Lobacevskog. Postoje prava a i tacka A van nje tako da u njimaodredenoj ravni kroz tacku A prolaze dve prave a1 i a2 koje sa pravom a nemajuzajednickih tacaka (Slika 4.4.).

Za tacku A i pravu a reci cemo da imaju svojstvo Lobacevskog.

Slika 4.4.

Teoriju zasnovanu na sistemu aksioma apsolutne geometrije i aksiomi Lobacevskognazivamo hiperbolickom geometrijom ili geometrijom Lobace-vskog. Ta geometrijase ponekad naziva i geometrijom Boljaj-Lobacevskog ili geometrijom Gaus-Boljaj-Lobacevskog. Ravan i prostor u kojima vaze aksiome te geometrije nazivamo re-spektivno hiperbolickom ravni ili ravni Lobacevskog i hiperbolickim prostorom iliprostorom Lobacevskog, a oznacavamo ih redom L2 i L3.

Aksioma Lobacevskog omogucava da neposredno ustanovimo niz teorema kojese odnose na zbirove unutrasnjih i spoljasnjih uglova prostih ravnih poligona. Svatvrdenja koja vaze u apsolutnoj geometriji prenose se, a dobija se i niz novih tvrdenjakoja su posledica aksiome Lobacevskog.

Teorema 4.3.1. Ako je σ(∆) zbir unutrasnjih uglova trougla u ravni L2 i ako je Rprav ugao tada je σ(∆) < 2R.

Dokaz. Na osnovu prve Lezandrove teoreme sledi da je σ(∆) ≤ 2R. Ako bi biloσ(∆) = 2R tada bi prema trecoj Lezandrovoj teoremi za svaku pravu p i svakutacku A van nje u njima odredenoj ravni postojala jedinstvena prava a koja sadrzi

51


tacku A i sa pravom p nema zajednickih tacaka. Ovo je u suprotnosti sa aksiomomLobacevskog, te mora da vazi da je σ(∆) < 2R.

Teorema 4.3.2. Svaki spoljasnji ugao trougla u ravni L2 veci je od zbira dva unu-trasnja nesusedna ugla tog trougla.

Dokaz.

Slika 4.5.

Neka su α, β i γ uglovi trougla ∆ABC redom kod temena A, B i C (Slika 4.5.).Ako oznacimo sa α1 spoljasnji ugao kod temena A i ako je R prav ugao, tada je

α1 = 2R− α > α + β + γ − α = β + γ,

a ovo je trebalo pokazati.

Teorema 4.3.3. Ako je σ(A1A2 . . . An) zbir svih unutrasnjih uglova prostog n-touglaA1A2 . . . An u ravni L2 i R prav ugao tada je

σ(A1A2 . . . An) < (n− 2) · 2R

Dokaz. Teoremu cemo dokazati primenom matematicke indukcije po broju temenan-tougla.

Za n=3 tvrdenje ocigledno vazi na osnovu Teoreme 4.3.1. Pretpostavimo datvrdenje vazi za prirodan broj n. Dokazacemo da isto vazi i za n+ 1.

Na osnovu induktivne pretpostavke imamo sledece

σ(A1A2 . . . AnAn+1) = σ(A1A2 . . . An) + σ(A1AnAn+1)

< (n− 2)2R + 2R = ((n+ 1)− 2)2R.

Teorema 4.3.4. Ako su u hiperbolickoj ravni dati prava a i tacka A van nje tada unjima odredenoj ravni postoji neograniceno mnogo pravih koje sadrze tacku A i neseku pravu a.

52


Slika 4.6.

Dokaz. Na osnovu aksiome Lobacevskog postoje dve prave a1 i a2 takve da sadrzetacku A i sa pravom a nemaju zajednickih tacaka. Oznacimo sa A2 tacku pravea2 (Slika 4.6.) koja se nalazi sa one strane prave a1 sa koje nije prava a, a sa Bproizvoljnu tacku prave a. Tada se tacke A2 i B nalaze sa raznih strana prave a1,pa duz A2B sece pravu a1 u tacki A1.

Tada je tacka A1 izmedu tacaka A2 B, pa su prema tome A1 i A2 razlicite tacke.Neka je P proizvoljna unutrasnja tacka duzi A1A2, a p prava odredena tackamaA i P . Tada prava p nema zajednickih tacaka sa pravom a. Zaista, ukoliko bi seove dve prave sekle u nekoj tacki S, tada bi vazio jedan od rasporeda B(A,P, S) iliB(S,A, P ). Ako bi bilo B(A,P, S), onda bi prava a1 pripadala ravni trougla ∆PBS.Prava a1 tada ne bi sadrzala ni jedno teme trougla ∆PBS, sekla bi stranicu PBu tacki A1 i produzetak stranice PS u tacki A. Na osnovu Pasovog stava sledi daprava a1 mora seci stranicu BS tog trougla, odnosno pravu a. Ovo je u kontradikcijisa pretpostavkom, odakle sledi da prava p nema zajednickih tacaka sa pravom a.Analogno se pokazuje da isto vazi i u slucaju kada je B(S,A, P ). S obzirom nacinjenicu da na duzi A1A2 postoji beskonacno mnogo unutrasnjih tacaka to postojii beskonacno mnogo pravih u ravni odredenoj tackom A i pravom a, koje prolazekroz tacku A i sa pravom a nemaju zajednickih tacaka.

Na osnovu prethodne teoreme zakljucujemo da se skup svih pravih koje sadrzetacku A i koje se nalaze u ravni L2 moze razloziti na dva podskupa pravih M i N ,pri cemu jeM skup svih pravih koje sadrze tacku A i seku pravu a, a N skup svihpravih koje sadrze tacku A i ne seku pravu a. Ovakvo razlaganje zadovoljava usloveDedekindovog5 preseka, odnosno Dedekindove aksiome neprekidnosti6, te postojedve i samo dve prave koje razdvajaju skupove M i N . Indirektnim putem se moze

5Julius Wilhem Richard Dedekind (1831-1916), nemacki matemticar6(Dedekindova aksioma neprekidnosti) Ako su M i N dva neprazna skupa tacaka orijentisane

prave p tako da za proizvoljnu tacku P skupaM i proizvoljnu tacku Q skupa N vazi da je tacka Pispred tacke Q (P ≺ Q), tada na pravoj p postoji tacka X takva da je za svaku tacku P ∈M\{X}i Q ∈ N\{X} vazi relacija P ≺ X ≺ Q.

53


ustanoviti da granicne prave ova dva skupa pravih nemaju sa pravom a zajednickihtacaka, tj. da pripadaju skupu N .

Definicija 4.3.1. Neka je u ravni Lobacevskog data prava a i tacka A izvan nje.Granicne prave a1 i a2 koje razdvajaju pramen pravih ravni L2 koje sadrze tackuA na podskupove pravih koje ne seku pravu a i pravih koje seku pravu a, nazivamopravama koje su paralelne sa pravom a u tacki A.

Smatracemo da je jedna od pravih a1 i a2 parlalelna pravoj a u jednom smeru,a druga paralelna pravoj a u drugom smeru. Sve ostale prave u toj ravni kojesadrze tacku A i sa pravom a nemaju zajednickih tacaka nazivamo hiperparalelnimpravama sa pravom a. Za paralelnost koristimo uobicajenu oznaku p ‖ a, a zahiperparalelnost koristimo oznaku p ‖

h

a. U hiperbolickoj geometriji paralelne prave

karakterisu neke osobine koje ih bitno razlikuju od euklidske geometrije.

54


4.4 Ugao paralelnosti. Funkcija Lobacevskog

Jedna bitna karakteristika paralelnih pravih u geometriji Lobacevskog je ugaoparalelnosti. U ovom delu cemo definisati ugao paralelnosti dveju pravih, a zatimuvesti funkciju Lobacevskog.

Definicija 4.4.1. Neka je tacka P izvan prave BB′ i Q podnozje normale iz tackeP na pravu BB′. Ako je AA′ prava koja sadrzi tacku P i paralelna je sa BB′, tadaostar ugao ω = ]QPA′ nazivamo uglom paralelnosti prave AA′ u tacki P sa pravomBB′, tj. uglom paralelnosti koji odgovara duzi PQ.

Slika 4.7.

Pokazacemo da je ugao paralelnosti potpuno odreden rastojanjem tacke, tj. davazi sledeca teorema:

Teorema 4.4.1. Jednakim duzima odgovaraju jednaki uglovi paralelnosti.

Dokaz. Neka su P i P ′ dve tacke koje se nalaze na jednakim rastojanjima redomod pravih a i a′ (Slika 4.8.). Kroz tacku P postavimo pravu u paralelnu pravoj a,a kroz tacku P ′ pravu u′ paralelnu pravoj a′. Sa Q i Q′ oznacimo redom podnozjanormala iz tacaka P i P ′ na prave a i a′, a sa α i α′ uglove paralelnosti u tackamaP i P ′ redom u odnosu na prave a i a′. Kako se tacke P i P ′ nalaze na jednakimrastojanjima redom od pravih a i a′, to je PQ = P ′Q′. Pokazacemo da je α = α′.

Pretpostavimo suprotno, da je α 6= α′. Neka je npr. α < α′. Kroz tacku P ′

postavimo pravu v′ koja sa duzi P ′Q′ u smeru paralelnosti pravih a′ i u′ zaklapaugao jednak uglu α. Iz paralelnosti pravih u′ i a′ sledi da prava v′ mora seci pravua′ u smeru paralelnosti pravih u′ i a′ od tacke Q′. Oznacimo sa R′ njihovu presecnutacku. Neka je R tacka prave a u smeru paralelnosti pravih a i u takva da jeQR ∼= Q′R′. Trouglovi ∆PQR i ∆P ′Q′R′ su podudarni na osnovu prvog stavapodudarnosti trouglova, jer je PQ ∼= P ′Q′, ]Q = ]Q′ i QR ∼= Q′R′, odakle sledida je ]QPR = α. To znaci da se prave u i PR poklapaju, tj. da se paralelne praveu i a seku u tacki R, a to je nemoguce. Dakle, ne moze biti α < α′. Analognose pokazuje da ne moze biti α > α′. To znaci da mora biti α = α′, cime je dokazzavrsen.

55


Slika 4.8.

Teorema 4.4.2. Ugao paralelnosti je uvek ostar.

Dokaz.

Slika 4.9.

U ovo je lako uveriti se, ukoliko u tacki A konstruisemo normalu AR na duzAB (Slika 4.9.). Prave AR i CC ′ grade jednake suprotne uglove sa duzi AB, pa sumedusobno hiperparalelne7 i samim tim se ne seku. Neka je AP poluprava paralelnapravoj CC ′ u smeruBC. Ocigledno je da poluprava AP ne moze biti iznad polupraveAR, jer tada ne bi bila ”prva” poluprava koja ne sece pravu CC ′.

Teorema 4.4.3. Vecoj duzi odgovara manji ugao paralelnosti.

Dokaz. Neka je A proizvoljna tacka van prave a i neka je P podnozje normaleiz tacke A na pravu a (Slika 4.10.). Oznacimo sa b pravu koja sadrzi tacku A iparalelna je pravoj a. Sa α oznacimo ugao paralelnosti koji odgovara duzi AP .Neka je A′ tacka prave AP takva da su A i A′ sa iste strane u odnosu na tacku P .

7Teorema 4.6.4. Dve prave koje u preseku sa trecom pravom grade jednake suprotne uglovesu hiperparalelne. (Dokaz ove teoreme usledice nesto kasnije u radu)

56


Slika 4.10.

Pretpostavimo da je PA′ > PA. Konstruisimo pravu b′ koja prolazi kroz tacku A′ iu smeru paralelnosti pravih a i b gradi ugao α sa A′P . Dve prave b i b′ grade jednakesuprotne uglove u preseku sa pravom A′P , pa su prave b i b′ hiperparalelne8. To znacida prava a′ koja sadrzi tacku A′ i paralelna je pravoj b gradi u smeru paralelnostiugao α′ za koji je α′ < α. Iz a′ ‖ b i b ‖ a sledi da je a′ ‖ a. Dakle, ugao paralelnostiα′ koji odgovara duzi A′P je manji od ugla paralelnosti α koji odgovara duzi AP .

Iz napred navedenog zakljucujemo da velicina ugla paralelnosti neke prave AA′

u tacki P sa pravom BB′ u proizvoljnom sistemu merenja duzi predstavlja funkcijuodstojanja x tacke P od prave BB′. Ovu funkciju obelezavamo sa Π i nazivamofunkcijom Lobacevskog. Sledeca teorema daje osnovne osobine funkcije Lobacevskog:

Teorema 4.4.4. Ako je Π funkcija Lobacevskog tada je:

1. dom(Π) = (0,+∞),

2. codom(Π) = (0, π2),

3. Π strogo opada i neprekidna je funkcija,

4. limx→0

Π(x) = π2, limx→∞

Π(x) = 0.

Dokaz.

1. Trivijalno sledi iz definicije.

2. Neka je α proizvoljan ostar ugao. Dokazacemo da je ono ugao paralelnosti nekeduzi x (Slika 4.11.). Neka je O teme, a a i b kraci ugla α. Odatle sledi da postojijedinstvena prava a′9 normalna na pravu b i paralelna sa pravom a. Oznacimosa M presek pravih a′ i b. Duz OM zadovoljava relaciju Π(OM) = α. Bice,dakle, x = OM i ovim je dokaz zavrsen.

8Teorema 4.6.4. Dve prave koje u preseku sa trecom pravom grade jednake suprotne uglovesu hiperparalelne.

9Teorema. 4.5.7. Ako je ω ostar ugao u ravni L2 tada postoji jedinstvena prava upravna najedan krak, a paralelna sa drugim krakom tog ugla. (Dokaz ove teoreme izlozicemo nesto kasnije uovom radu)

57


Slika 4.11.

3. Direktno sledi iz teoreme 4.4.3.

4. Sledi iz delova 2. i 3. ove teoreme.

Iz same cinjenice da Π(x)→ π2, kad x→ 0 sledi da se u malim delovima prostora

geometrija Lobacevskog malo razlikuje od Euklidske geometrije i da se ta razlikasmanjuje sa smanjivanjem posmatranog dela prostora.

Veza izmedu uglova i linearnih velicina data funkcijom α = Π(x) uslovljava ce-lokupni karakter geometrije Lobacevskog. Na taj nacin u geometriji Lobacevskognema slicnih figura. To nije tesko zakljuciti, jer su uglovi i stranice trouglova pove-zani medusobno jednacinama, pa zadavanjem uglova trouglova potpuno su odredenei njegove stranice, pa dva trougla sa podudarnim uglovima imaju podudarne i od-govarajuce stranice, tj. podudarni su medu sobom.

58


4.5 Paralelne prave u ravni L2

Definicijom 4.3.1. uvedena je relacija paralenosti dve prave u ravni L2 koja jebila strogo vezana za paralelnost jedne prave prema drugoj pravoj u odnosu nazadatu tacku. Pokazacemo da paralelnost ne zavisi od tacke u odnosu na koju smotu paralelnost definisali, tj. pokazacemo da je svojstvo paralelnosti transmisibilno,odnosno prenosno.

Teorema 4.5.1. Relacija paralelnosti pravih u ravni L2 je transmisibilna.

Dokaz. Neka je prava AA′ paralelna pravoj BB′ u nekoj tacki M . Pokazacemoda je prava AA′ paralelna pravoj BB′ u proizvoljnoj tacki N prave AA′. Mogunastupiti dve mogucnosti:

(i) Tacka N se nalazi na pravoj AA′ od tacke M u smeru paralelnosti,

(ii) Tacka N se nalazi na pravoj AA′ od tacke M u smeru suprotnom od smeraparalelnosti.

Razmotrimo ponaosob svaki od ova dva slucaja.

Slika 4.12.

(i) Neka je K proizvoljna tacka prave BB′ (Slika 4.12.). Da bismo pokazali daje prava AA′ paralelna pravoj BB′ u tacki N dovoljno je da pokazemo da je AA′

granicna prava u skupu pravih koje sadrze tacku N i ne seku pravu BB′, odnosnodovoljno je pokazati da svaka prava koja sadrzi tacku N i proizvoljnu tacku P unutarugla ]KNA′ sece pravu BB′.

Ako bi se tacka P nalazila na pravoj BB′ ili sa one strane prave BB′ sa koje nijetacka N , direktno bi sledilo da prava NP sece pravu BB′. Zato pretpostavimo dase tacka P nalazi sa one strane prave BB′ sa koje je i tacka N . Kako je prava AA′

paralelna pravoj BB′ u tacki M , a tacka P se nalazi unutar ugla ]KMA′, to pravaMP sece pravu BB′ u nekoj tacki Q. Prava NP u uglu ]KNM nema tacaka, tene moze seci stranicu MK trougla ∆MKQ. Pored toga, i s obzirom da se nalaziu ravni trougla ∆MKQ i ne sadrzi nijedno njegovo teme, prava NP sece stranicuMQ tog trougla, pa na osnovu Pasovog stava ona mora seci stranicu KQ, te sece i

59


pravu BB′. To znaci da je u ovom slucaju prava AA′ paralelna pravoj BB′ u tackiN .

Slika 4.13.

(ii) Neka se sada tacka N nalazi na pravoj AA′ od tacke M u smeru suprotnomod smera paralelnosti (Slika 4.13.). Neka je K proizvoljna tacka prave BB′. Dabismo pokazali da je AA′ ‖ BB′ u tacki N dovoljno je pokazati da je AA′ granicnaprava u skupu pravih koje sadrze tacku N i ne seku pravu BB′, odnosno dovoljnoje pokazati da svaka prava koja sadrzi tacku N i neku tacku P unutar ugla ]KNA′

sece pravu BB′. Ukoliko se tacka P nalazi na pravoj BB′ ili s one strane prave BB′

sa koje nije tacka N , tada ocigledno prava NP sece pravu BB′. Zato pretpostavimoda se tacka P nalazi sa one strane prave BB′ sa koje je i tacka N . Neka je Rproizvoljna tacka prave NP iza tacke N u odnosu na tacku P . Prava RM sadrzitacku R koja se nalazi u naporednom uglu ugla ]KMA, te ona sadrzi i tacku kojapripada drugom naporednom uglu ugla ]KMA. Prema tome, kako je AA′ ‖ BB′u tacki M , to prava RM sece pravu BB′ u nekoj tacki Q. Prava NP sadrzi temekonveksnog ugla ]KNM i tacku P unutar tog ugla, te sece duz KM u nekoj tackiS. Dakle, prava NP se nalazi u ravni trougla ∆MKQ, ne sadrzi nijedno njegovoteme, sece njegovu stranicu KM u tacki S i produzetak stranice MQ u tacki R,pa prema Pasovom stavu mora seci trecu stranicu KQ tog trougla, tj. pravu BB′.Ovim je pokazano da je AA′ ‖ BB′ u tacki N .

Na osnovu ove teoreme sledi da nije potrebno naglasavati u kojoj je tacki pravaAA′ paralelna pravoj BB′.

Teorema 4.5.2. Relacija paralelnosti definisana na skupu pravih u ravni L2 je re-lacija ekvivalencije.

Dokaz.REFLEKSIVNOST: Ako u definisanju paralelnosti pravih u ravni L2 dopu-

stimo da tacka A pripada pravoj a, tada u tacki A nece postojati hiperparalelneprave, a prave a1 i a2 ce se poklapati i biti suprotnosmerne. Odatle neposredno sledida je relacija paralelnosti pravih u ravni L2 refleksivna.

60


Slika 4.14.

SIMETRICNOST: Neka je AA′ ‖ BB′ (Slika 4.14.), pokazacemo da je i BB′ ‖AA′. Neka je M proizvoljna tacka prave AA′, a N podnozje normale iz tacke M napravu BB′. Kako je AA′ ‖ BB′ to svaka prava koja sadrzi tacku M i neku tackuunutar ugla ]NMA′ sece pravu BB′. Da bismo dokazali da je BB′ ‖ AA′ dovoljnoje pokazati da svaka prava koja sadrzi tacku N i neku tacku P unutar ugla ]MNB′

sece pravu AA′.Oznacimo sa Q podnozje normale iz tacke M na pravu NP . Kako je ugao

]MNB′ prav, a tacka P unutar tog ugla, to je ugao ]MNP ostar, pa se tackaQ nalazi na polupravoj NP . Trougao ∆NQM je pravougli sa pravim uglom kodtemena Q, pa je hipotenuza MN tog trougla veca od katete MQ, tj. MN > MQ.To znaci da izmedu tacaka M i N postoji tacka K takva da je MQ ∼= MK. Nekaje CC ′ prava koja je u tacki K normalna na pravu MN . Neka je ML′ prava kojaje simetricna pravoj MQ u odnosu na simetralu ugla ]NMA′. Kako prava MQsadrzi tacku Q koja se nalazi unutar ugla ]NMA′, to ce i njoj simetricna pravaML′ sadrzati tacku unutar ugla ]NMA′. S obzirom da je prava AA′ paralelnapravoj BB′ to prava ML′ sece pravu BB′ u nekoj tacki L. Tacke M i L se nalazesa raznih strana prave CC ′, pa duz ML mora seci pravu CC ′ u nekoj tacki S. Napravoj AA′ oznacimo sa T tacku za koju vazi B(M,T,A′) i MT ∼= MS. Trouglovi∆MKS i ∆MQT su podudarni na osnovu prvog stava podudarnosti trouglova, jervazi MK ∼= MQ, MS ∼= MT i ]KMS ∼= ]QMT . Iz njihove podudarnosti sledipodudarnost preostalih odgovarajucih elemenata, tj. ]SKM ∼= ]TQM , a kako je]SKM = R, to sledi da je i ]TQM = R, tj TQ⊥MQ. Kako u jednoj tacki nekeprave postoji samo jedna prava koja je u toj tacki upravna na datu pravu, to seprave NP i QT moraju poklapati. To znaci da prava NP ≡ NQ sece pravu AA′ utacki T . Ovim smo pokazali da je BB′ ‖ AA′ u nekoj tacki N , pa je BB′ paralelnapravoj AA′ i u svakoj drugoj tacki. Dakle, vazi simetricnost relacije paralelnostipravih u L2.

TRANZITIVNOST Pretpostavimo da je AA′ ‖ BB′ i BB′ ‖ CC ′ i pokazacemoda je AA′ ‖ CC ′. Ovde se govori o paralelnosti u istom smeru, jer za razlicite sme-rove tranzitivnost ne vazi.Razmatracemo dva slucaja:

61


i) Prava BB′ se nalazi izmedu pravih AA′ i CC ′,

ii) Jedna od pravih AA′ i CC ′ se nalazi izmedu druge dve.

Slika 4.15.

i) Neka se prava BB′ nalazi izmedu pravih AA′ i CC ′ (Slika 4.15.). Sa P i Roznacimo proizvoljne tacke redom pravih AA′ i CC ′. Kako se prava BB′ nalaziizmedu pravih AA′ i CC ′ to duz PR sece pravu CC ′ u nekoj tacki Q. Da bismopokazali da je AA′ ‖ CC ′ dovoljno je dokazati da svaka prava koja sadrzi tacku P ineku tackuX unutar ugla ]RPA′ sece pravu CC ′. TackaX se nalazi u unutrasnjostiugla ]RPA′, pa se ona nalazi i u unutrasnjosti ugla ]QPA′, a kako je AA′ ‖ BB′to prava PX sece pravu BB′ u nekoj tacki Y . Neka je Z tacka prave PX iza tackeY u odnosu na tacku P . Prema tome, tacka Z se nalazi unutar ugla ]RY B′. Kakoje BB′ ‖ CC ′ to prava Y Z sece pravu CC ′ u tacki V , te i prava PX sece pravuCC ′. Time smo pokazali da u ovom slucaju vazi tranzitivnost relacije paralelnosti.

Slika 4.16.

ii) Neka je sada jedna od pravih AA′ i CC ′ izmedu druge dve prave (Slika 4.16.).Neka je to prava CC ′. Oznacimo sa P i Q proizvoljne tacke redom pravih AA′ iBB′. Prema tome tacke P i Q su sa raznih strana prave CC ′, pa duz PQ sece pravuCC ′ u nekoj tacki R. Da bismo pokazali da je AA′ ‖ CC ′ dovoljno je dokazati da

62


svaka prava koja sadrzi tacku P i neku tacku X unutar ugla ]RPA′ mora seci pravuCC ′.

TackaX se nalazi u uglu ]RPA′, pa se nalazi i u uglu ]QPA′. Kako jeAA′ ‖ BB′sledi da PX sece BB′ u tacki Y . Tacke P i Y se nalaze sa raznih strana prave CC ′,pa duz PY sece pravu CC ′ u tacki Z. Dakle, AA′ ‖ CC ′.

Teorema 4.5.3. Unutar svakog ugla manjeg od 2R postoji jedna i samo jedna pravakoja je paralelna sa kracima tog ugla u odredenim smerovima. Ta prava naziva segranicna prava.

Dokaz.

Slika 4.17.

Neka je dat ugao ]AOB < 2R. Oznacimo sa OD simetralu ugla ]AOB (Slika4.17.). Neka uglu paralelnosti ]AOD odgovara duz OC. Konstruisimo normalu PQu tacki C na pravu OD. Pri tom je CP ‖ OA i CQ ‖ OB. Ocigledno je prava PQtrazena prava, tj. granicna prava ugla ]AOB.

Da bismo pokazali jedinstvenost te prave, pretpostavicemo suprotno. Neka po-stoji jos jedna granicna prava P1Q1 ili P2Q2 kao na Slici 4.17. Kako je relacija pa-ralelnosti pravih u L2 tranzitivna iz Q1P1 ‖ OA i QP ‖ OA sledi da je Q1P1 ‖ QP .Medutim, to je nemoguce, jer su prave Q1P1 i QP normalne na pravu OD, tj. sanjom grade jednake suprotne uglove10. Kao takve ove dve prave su medusobnohiperparalelne. Dakle, postoji jedinstvena granicna prava ugla ]AOB.

Iz upravo dokazane teoreme mozemo zakljuciti da se kroz tacku M unutar ugla]AOB < 2R koja je od temena ugla O odvojena granicnom pravom ne moze povuci

10Teorema. Dve prave koje u preseku sa trecom pravom grade jednake suprotne uglove suhiperparalelne.

63


prava koja bi sekla oba kraka tog ugla.Iz toga vidimo da teorema koja kaze da kroz svaku tacku unutar ugla manjeg

od 2R prolazi prava koja sece oba kraka tog ugla protivureci aksiomi Lobacevskog.Ona vazi samo u euklidskoj geometriji, pa je ekvivalentna V postulatu.

Uz pomoc prethodne teoreme lako je pokazati sledecu:

Teorema 4.5.4. Postoji jedna i samo jedna prava koja je paralelna svakoj od dvejupravih koje se razilaze (koje se udaljavaju jedna od druge).

Dokaz.

Slika 4.18.

Neka su date prave OA i O1B1 koje se razilaze (Slika 4.18.). U tacki O kon-struisimo pravu OB koja je paralelna sa pravom O1B1. Za ugao ]AOB na osnovuprethodne teoreme postoji granicna prava PQ. Buduci da je ona paralelna sa OA iOB u odgovarajucim smerovima, ona je paralelna i sa O1B1, jer je OB ‖ O1B1.

Lako je dokazati na osnovu onoga sto vec znamo da je to jedina prava koja jeparalelna sa pravama OA i O1B1.

Poznato nam je iz euklidske geometrije da je rastojanje izmedu dve paralelneprave konstantno. Osim toga za razlicite parove paralelnih pravih i to rastojanjeje razlicito. Zbog toga se parovi paralelnih pravih a, b i a′, b′ ne mogu dovesti dopoklapanja.

Medutim, za paralelne prave u ravni Lobacevskog vazi sledece:

Teorema 4.5.5. Svaki par paralelnih pravih moze se dovesti do poklapanja s proi-zvoljnim parom paralelnih pravih.Drugim recima, svi su likovi koji se sastoje od dveju paralela medusobno podudarni.

Dokaz. Neka su data dva para paralelnih pravih AP ‖ BQ i A1P1 ‖ B1Q1 (Slika4.19.). Na osnovu Teoreme 4.5.3, moze se prava AP smatrati granicnom pravom

64


Slika 4.19.

pravog ugla ]QSR, sto znaci da na pravoj BQ postoji neka odredena i to samojedna tacka S, tako da je poluprava SR koja je upravna na polupravu SQ, budeparalelna sa pravom AP u smeru suprotnom od smera paralelnosti prave AP i SQ.Drugim recima, svakako postoji takva tacka S na pravoj BQ da prava AP budeparalelna sa polupravom SQ, ali da isto tako bude paralelna i sa polupravom SR, ito sa svakom od njih u odredenom smeru.

Isto ce vaziti i za drugi par paralelnih pravih A1P1 i B1Q1. Na pravoj B1Q1

postojace tacka S1 tako da A1P1 bude granicna prava ugla ]Q1S1R1.Poklopimo oba dobijena lika tako da se tacke S i S1 poklope, poluprava SR padne

na polupravu S1R1, a SQ na S1Q1. To je moguce, jer su uglovi ]QSR i ]Q1S1R1

pravi, tj. podudarni. No, tada ce se poklopiti i prave AP i A1P1, jer su to granicneprave tih pravih uglova, a na osnovu Teoreme 4.5.3. unutar svakog ugla manjeg od2R , pa prema tome i pravog, postoji jedna i samo jedna granicna prava.

Definicija 4.5.1. Skup svih pravih ravni L2 paralelnih medu sobom nazivamo para-bolickim pramenom pravih.

Teorema 4.5.6. Odstojanje tacke koja se pomera po jednoj od dveju medusobnoparalelnih pravih od druge prave strogo i neograniceno opada kada se tacka pomerau smeru paralelnosti, a strogo i neograniceno raste kada se tacka pomera u smerusuprotnom od smera paralelnosti.

Dokaz. Neka su AA′ i BB′ dve razne medusobno paralelne prave u ravni L2.Oznacimo sa P1 i P2 (Slika 4.20.) dve proizvoljne razlicite tacke prave AA′, pricemu se tacka P2 nalazi na pravoj AA′ od tacke P1 u smeru paralelnosti prave AA′

prema pravoj BB′. Neka su Q1 i Q2 podnozja normala redom iz tacaka P1 i P2 napravu BB′. Neka je P ′1 tacka prave P1Q1 takva da je Q1P

′1∼= Q2P2 i iB(Q1, P

′1, P1).

Cetvorougao �Q1Q2P2P′1 je Sakerijev jer ima dva susedna prava ugla ]P ′1Q1Q2 i

]P2Q2Q1, kao i dve podudarne naspramne stranice P ′1Q1 i P2Q2. Odatle sledi dasu mu uglovi ]Q1P

′1P2 i ]P ′1P2Q2 na protivosnovici P ′1P2 podudarni i ostri. Ugao

]P1P2Q2 je tup, jer je njemu naporedan ugao ostar, kao ugao paralelnosti za duzP2Q2. To znaci da tacka P ′1 pripada unutrasnjosti ugla ]P1P2Q2, pa samim tim i

65


unutrasnjosti duzi P1Q1. Imamo da je Q2P2∼= Q1P

′1 < Q1P1. Dakle, ukoliko se

neka tacka krece po pravoj AA′ u smeru paralelnosti prave AA′ prema pravoj BB′,rastojanje te tacke od prave BB′ opada.

Slika 4.20.

Sada cemo pokazati da se to rastojanje smanjuje neograniceno. To cemo ucinititako sto cemo dokazati da za svaku unapred zadatu duz l postoji tacka prave AA′

cije je rastojanje od prave BB′ manje od l. Neka je J proizvoljna tacka prave AA′

(Slika 4.21.) i K podnozje normale iz te tacke na pravu BB′. Oznacimo sa L tackupoluprave KJ takvu da je KL = l. Ukoliko je J ≡ L ili ukoliko je L iza J u odnosuna tacku K tada je dokaz zavrsen. Zato pretpostavimo da se tacka L nalazi izmedutacaka K i J . Tacka L se nalazi van prave BB′ te postoje dve prave koje sadrzetacku L, a paralelne su sa BB′ i B′B.

Slika 4.21.

Neka je LL′ ‖ BB′ i LL′′ ‖ B′B. Kako je AA′ ‖ BB′ i BB′ ‖ LL′, to na osnovutranzitivnosti relacije paralelnosti pravih u L2 sledi da je AA′ ‖ LL′. Prava LL′′ imatacaka koje su u uglu ]JLL′, pa ona sece pravu AA′ u tacki M . Oznacimo sa L1

66


tacku prave MA′ takvu da je ML ∼= ML1. Sa N i K1 oznacimo redom podnozjanormala redom iz tacaka M i L1 na pravu BB′. Kako su ]NML i ]NML1 ugloviparalelnosti duzi MN to su oni jednaki, tj. ]NML = ]NML1, a kako je poredtoga MN ≡ MN i ML ∼= ML1 bice ∆LMN ∼= ∆L1MN . Iz podudarnosti ova dvatrougla sledi da je LN ∼= L1N i ]MNL = ]MNL1, pa su i njima komplementniuglovi medusobno jednaki, tj. ]KNL = ]K1NL1. Sada je ∆KNL ∼= ∆K1NL1

na osnovu petog stava podudarnosti trouglova11, pa je LK ∼= L1K1, a s obzirom daje LK ∼= l to je i L1K1

∼= l. Na osnovu toga na pravoj AA′ postoji tacka L1 cijeje rastojanje od prave BB′ jednako datoj duzi l. Odavde prema dokazanom deluteoreme sledi da postoji tacka na pravoj AA′ cije je rastojanje od prave BB′ manjeod unapred zadate duzi l. Prema tome, zakljucujemo da kada se tacka P krece popravoj AA′ u smeru paralelnosti sa pravom BB′ tada se njeno rastojanje od BB′

neograniceno smanjuje.Slucaj kada se tacka P krece po pravoj AA′ u smeru suprotnom od smera para-

lelnosti prema pravoj BB′ dokazuje se analogno.

Prema tome, na svakoj od dve medusobno paralelne prave postoji tacka cije jerastojanje od druge prave podudarno unapred zadatoj duzi, a isto tako i tacka cijeje rastojanje od druge prave manje od unapred zadate duzi. Zbog toga kazemoda se paralelne prave u smeru paralelnosti asimptotski priblizavaju, tj. da u smeruparalelnosti imaju zajednicku beskrajno daleku tacku O∞. Kako za svaku tacku vandate prave u njima odredenoj ravni postoje dve prave koje su sa njom paralelne,jedna u jednom, a druga u drugom smeru, hiperbolicka prava ima dve beskrajnodaleke tacke.

Teorema 4.5.7. Ako je ω ostar ugao u ravni L2 tada postoji jedinstvena pravaupravna na jedan krak, a paralelna sa drugim krakom tog ugla.

Dokaz. Neka su poluprave a i b kraci ostrog ugla ω. Pokazacemo da postoji jedin-stvena prava koja je upravna na krak a i paralelna sa krakom b. Pokazimo najpreda postoji prava koja je normalna na krak a koja sa krakom b nema zajednickihtacaka, te cemo pokazati i jedinstvenost takve prave.

Pretpostavimo suprotno, da svaka prava koja je upravna na krak a ugla ω secedrugi krak b tog ugla. Neka je A proizvoljna tacka poluprave a (Slika 4.22.) iA1, A2, . . . , An, . . . tacke poluprave a takve da je:

B(A1, A2, . . . , An, . . .) i OA = AA1, A1A2 = OA1, . . .

Sve normale na polupravu a u tackama A1, A2, . . . , An, . . . prema pretpostavcimoraju seci polupravu b u nekim tackama B1, B2, . . . , Bn, . . . redom. Kako je zbirunutrasnjih uglova proizvoljnog trougla u L2 manji od 2R to je defekt δ(∆) =2R − σ(∆) veci od nule. Ako je neki trougao ∆ razlozen na neke trouglove ∆i

11Peti stav podudarnosti trouglova. Dva trougla su podudarna ako i samo ako su jednastranica, na njoj nalegli ugao i ugao naspram nje jednog trougla podudarni odgovarajucoj stranicii uglovima drugog trougla.

67


Slika 4.22.

(i = 1, 2, . . . , n) tada je defekt tog trougla jednak:

δ(∆) =n∑i=1

δ(∆i).

Posmatrajmo trouglove ∆OA1B1,∆OA2B2, . . . ,∆OAnBn, . . .. Tada je:

δ(OA1B1) = δ(OAB) + δ(A1AB) + δ(BA1B1)

= 2δ(OAB) + δ(BA1B1)

⇒ δ(OA1B1) > 2δ(OAB),

δ(OA2B2) = δ(OA1B1) + δ(A2A1B) + δ(B1A2B2)

= 2δ(OA1B1) + δ(B1A2B2)

⇒ δ(OA2B2) > 22δ(OAB),

...

Nakon n koraka dobicemo δ(OAnBn) > 2nδ(OAB). Broj n mozemo izabratidovoljno veliki tako da ugao 2nδ(OAB) bude veci od bilo kog unapred zadatog ugla,pa i od zbira dva prava ugla. Odatle bi sledilo da je δ(OAnBn) > 2R, a to je ugeometriji Lobacevskog nemoguce. Dakle, polazna pretpostavka je nemoguca, tene mogu sve prave upravne na polupravu a seci polupravu b. Prema tome, skuptacaka poluprave a mozemo podeliti na dva podskupaM i N , gde je saM oznacenskup tacaka poluprave a u kojima normala na polupravu a sece polupravu b, a saN skup tacaka poluprave a u kojima normala na polupravu a ne sece polupravub. Ovako definisani skupovi M i N zadovoljavaju uslove Dedekindovog preseka, tj.Dedekindove aksiome neprekidnosti, sto cemo sada i pokazati.

Treba pokazati da je:

68


• (∀M ∈M)(∀M ′) B(O,M ′,M)⇒M ′ ∈M

• (∀N ∈ N )(∀N ′) B(O,N,N ′)⇒ N ′ ∈ N .

Ako je M ∈ M tada normala u tacki M na polupravu a sece polupravu b unekoj tacki K. Prava m′ normalna na polupravu a u nekoj tacki M ′ takvoj da jeB(O,M ′,M) pripada ravni trougla ∆OMK ne sadrzi nijedno njegovo teme, secestranicu OM u tacki M ′, ne sece stranicu MK, jer su prave m′ i MK upravne napolupravu a, pa ukoliko bi se sekle dobili bismo trougao sa dva prava ugla, a to jeu geometriji Lobacevskog nemoguce. Na osnovu Pasovog stava sledi da prava m′

mora seci stranicu OK trougla ∆OMK, pa samim tim i polupravu b u nekoj tackiK ′. Dakle, tacka M ′ pripada skupu M.

Ako je N ∈ N i N ′ tacka poluprave a takva da je B(O,N,N ′). Pokazacemoda je N ′ ∈ N . Ukoliko bi tacka N ′ pripadala skupu M onda bi prema prethodnodokazanom tacka N koja je izmedu tacaka O i N ′ pripadala skupuM. Dakle, morabiti N ′ ∈ N .

Iz dokazanog sledi da skupoviM i N zadovoljavaju uslove Dedekindovog preseka,pa postoji jedinstvena tacka P koja razdvaja ova dva skupa. Nije tesko ustanovitida tacka P pripada skupu N . Zaista, ukoliko bi P ∈M tada bi normala u tacki Pna polupravu a sekla polupravu b u nekoj tacki Q. Ako bi Q′ bila proizvoljna tackapoluprave b iza tacke Q u odnosu na O, tada bi podnozje normale iz tacke Q′ napolupravu a, tacka P ′ bila iza tacke P u odnosu na O, sto je nemoguce, jer je tackaP granicna tacka koja razdvaja skupove M i N . Dakle, P ∈ N i normala u P napoluparvu a ne sece poluparvu b.

Slika 4.23.

Pokazimo sada da je normala PQ u tacki P na polupravu a paralelna pravoj b(Slika 4.23.). To cemo pokazati tako sto cemo da ustanovimo da svaka prava kojasadrzi tacku P i neku tacku X unutar ugla ]OPQ sece polupravu b. Kako je ]OPQprav ugao, a X unutar tog ugla to ce ]OPX biti ostar. Dakle, podnozje normale iztacke X na pravu OP pripada polupravoj PO. Ako bi tacka X bila sa one straneprave b sa koje nije tacka P ili na pravoj b onda bi neposredno sledilo da polupravaPX sece polupravu b. Ukoliko se tacka X nalazi sa one strane sa koje je i tacka P

69


tada je ugao ]XOP ostar, pa podnozje normale iz tacke X na polupravu OP sadrzitacku Y koja se nalazi izmedu tacka O i P . Kako se tacka Y nalazi izmedu tacakaO i P to Y ∈M, pa poluprava XY sece polupravu b u tacki Z.

Prava PX je u ravni trougla ∆OY Z, ne sadrzi nijedno njegovo teme, sece stranicuY Z u tacki X, sece produzetak stranice OY u tacki P , pa prema Pasovom stavusledi da prava PX sece OZ, a samim tim i polupravu b u nekoj tacki V . Prematome PQ ‖ OZ, tj. PQ ‖ b. Time smo dokazali egzistenciju prave normalne napravu a i paralelne sa pravom b.

Slika 4.24.

Dokazimo sada jedinstvenost te prave. Pretpostavimo suprotno, da postoje dveprave c i d upravne na krak a i paralelne sa b (Slika 4.24.). Iz tranzitivnosti relacijeparalelnosti pravih u ravni L2 sledi da je c ‖ d, ali je c ‖

h

d, jer prave c i d sa pravom

a grade jednake suprotne uglove12. Dakle, postoji jedinstvena prava koja je upravnana jedan krak ostrog ugla, a paralelna sa drugim krakom tog ugla.

Teorema 4.5.8. Odstojanje tacke koja se nalazi na jednom kraku ostrog ugla oddrugog kraka neograniceno raste pri neogranicenom udaljavanju te tacke od temenatog ugla.

Dokaz. Neka je ]pOq dat ostar ugao (Slika 4.25.). Oznacimo sa Q1 i Q2 proizvoljnetacke poluprave Oq takve da je B(O,Q1, Q2), a sa P1 i P2 podnozja normala iz tacakaQ1 i Q2 na polupravu Op. Kako je ]pOq ostar to tacke P1 i P2 pripradaju polupra-voj Op. Ugao ]OQ1P1 je ostar, jer ukoliko bi on bio veci ili jednak od R, tada bizbir uglova u trouglu ∆OQ1P1 bio veci od zbira dva prava ugla, a to je u geometrijiLobacevskog nemoguce. S obzirom da je ugao ]OQ1P1 ostar to je njegov naporedniugao ]Q2Q1P1 tup. Neka je Q′2 tacka poluprave P2Q2 takva da je P2Q

′2 = P1Q1.

Cetvorougao �P1P2Q′2Q1 je u tom slucaju Sakerijev, pa su uglovi na protivosnovici

Q1Q′2 jednaki i ostri. Tada se poluprava Q1Q

′2 nalazi u uglu ]P1Q1Q2, pa je tacka

12Teorema 4.6.4. Dve prave koje u preseku sa trecom pravom grade jednake suprotne uglovesu hiperparalelne.

70


Q′2 unutrasnja tacka duzi P2Q2. Dakle, P1Q1 = P2Q′2 < P2Q2.

Prema tome, kada se neka tacka krece po polupravoj Oq udaljavajuci se od te-mena tog ugla, tacke O, njeno odstojanje od poluprave Op se povecava.

Slika 4.25.

Dokazimo sada da to odstojanje neograniceno raste. Na osnovu prethodne teo-reme postoji jedinstvena prava XY upravna na poluparvu Op i paralelna sa polu-pravom Oq. Da bismo dokazali da pomenuto rastojanje neograniceno raste treba daustanovimo da na kraku Oq postoji postoji tacka K kojoj je odstojanje od polupraveOp vece od bilo koje unapred zadate duzi l. Neka je L tacka prave XY unutar ugla]pOq takva da je XL = l pri cemu je B(X,L, Y ) i neka je LL′ prava upravna naXY u tacki L, a L′ tacka te prave koja se nalazi sa one strane prave XY sa koje je itacka O. Dokazimo da poluprava LL′ sece polupravu Oq. Ugao ]OLX je ostra, jerbi u suprotnom zbir unutrasnjih uglova u trouglu bio veci ili jednak od 2R, sto jenemoguce. Sledi da je naporedni ugao ]OLY ugla ]OLX tup, pa se poluprava LL′

nalazi unutar ugla ]OLY . Kako je tacka L unutar ugla ]POQ, tacka L′ unutarugla ]OLY i LY ‖ Oq to svaka prava koja sadrzi tacku L i neku tacku L′ unutarugla ]OLY sece polupravu Oq u nekoj tacki K.

Oznacimo sa Z podnozje normale iz tacke K na polupravu Oq. Tacka Z cese nalaziti izmedu tacaka O i X, jer ukoliko bi vazio raspored B(O,X,Z) dobilibismo trougao sa dva prava ugla, a to je u geometriji Lobacevskog nemoguce. Ucetvorouglu �XLKZ tri ugla ]Z,]X i ]L su prava, pa cetvrti ugao ]LKZ morabiti ostar. Neka je K ′ tacka poluprave ZK takva da je ZK ′ = XL. U tom slucaju jecetvorougao �ZXLK ′ Sakerijev, pa su uglovi na protivosnovici K ′L jednaki i ostri.To znaci da se poluprava LK ′ nalazi u uglu ]KLX, a tacka K ′ na duzi ZK. Toznaci da je XL = ZK ′ < ZK. Prema tome, za bilo koju unapred zadatu duz l nakraku Oq postoji tacka K cije je rastojanje od kraka Op vece od l. Dakle, rastojanjepokretne tacke pri udaljavanju od temena ostrog ugla neograniceno se povecava.

71


4.6 Osobine hiperparalelnih pravih u L2

Teorema 4.6.1. Relacija hiperparalelnosti definisana na skupu pravih u L2 je trans-misibilna, tj. ako je AA′ hiperparalelna sa BB′ u nekoj tacki M tada je AA′ hiper-paralelna sa BB′ u svakoj drugoj tacki N .

Teorema 4.6.2. Relacija hiperparalelnosti definisana na skupu pravih u L2 je an-tirefleksivna, simetricna i netranzitivna.

Teorema 4.6.3. Dve hiperparalelne prave u L2 imaju jedinstvenu zajednicku nor-malu.

Dokaz. Neka su AA′ i BB′ dve hiperparalelne prave (Slika 4.26.). Najpre cemodokazati egzistenciju zajednicke normale ovih pravih. Oznacimo sa P proizvoljnutacku prave AA′, a sa Q podnozje normale iz tacke P na pravu BB′. Tacka Qse nalazi van prave AA′ te postoje dve prave QA′ i QA takve da je QA′ ‖ AA′ iQA ‖ A′A. Pri tome poluprave QA′ i QA zaklapaju sa polupravama QB′ i QBostre uglove ]AQB i ]A′QB′. Uglovi ]AQB i ]A′QB′ su ostri, jer ukoliko bi biliveci ili jednaki pravom uglu onda ne bi bile granicne prave u skupu pravih ravniL2 koje prolaze kroz tacku Q i razdvajaju prave koje seku pravu AA′ i koje je neseku. Prema dokazanoj Teoremi 4.5.7. postoji jedinstvena prava upravna na QB′ iparalelna sa polupravom QA′. Neka je to prava FA′. Analogno, prava EA je jedinaprava u ravni pravih AA′ i BB′ koja je upravna na polupravu QB i paralelna sapolupravom QA.

Slika 4.26.

Neka je N srediste duzi EF i M podnozje normale iz tacke N na pravu AA′.Dokazacemo da je prava MN normalna i na pravu BB′. U tom cilju konstruisemoprave NA′ i NA paralelne redom sa pravama AA′ i A′A. Na osnovu tranzitivnostirelacije paralelnosti pravih u ravni L2 zakljucujemo da su prave NA′ i NA paralelnesa pravama FA′ i EA redom. Kako su uglovi ]MNA′ i ]MNA uglovi paralelnosti

72


koji odgovaraju duzi MN oni su medu sobom jednaki, tj. ]MNA′ = ]MNA .No, kako je tacka N srediste duzi EF bice NE = NF . Podudarnim duzima od-

govaraju podudarni uglovi paralelnosti, pa je ]ENA = ]FNA′. Kako je ]MNF =]MNA′+]FNA′ i ]MNE = ]MNA+]ENA to sledi da je ]MNF = ]MNE.Kako su ti uglovi podudarni i naporedni, oni su i pravi, pa je prava MN normalnana pravu BB′.

Dokazimo sada jedinstvenost zajednicke normale dveju hiperparalelnih pravih.Pretpostavimo, suprotno, da postoji jos jedna prava M ′N ′ koja je zajednicka nor-mala pravih AA′ i BB′. Tada je zbir unutrasnjih uglova cetvorougla �MNN ′M ′

jednak zbiru cetiri prava ugla, sto je u geometriji Lobacevskog nemoguce. Dakle,postoji jedinstvena normala dveju hiperparalelnih pravih.

Teorema 4.6.4. Dve prave koje u preseku sa trecom pravom grade jednake suprotneuglove su hiperparalelne.

Dokaz.

Slika 4.27.

Neka su a i b dve prave, c njihova zajednicka secica (Slika 4.27.) i neka su jednakisuprotni uglovi koje prava c gradi sa pravama a i b. Oznacimo sa A i B presecne tackeprave c redom sa pravama a i b, a O srediste duzi AB. Oznacimo sa P i Q podnozjanormala iz tacke O redom na prave a i b. Pravougli trouglovi ∆OAP i ∆OBQsu podudarni na osnovu petog stava podudarnosti trouglova, jer je OA = OB,]P = ]Q i ]A = ]B. Iz njihove podudarnosti sledi da je ]AOP = ]BOQ. Kakosu tacke A, O i B kolinearne, bice kolinearne i tacke P , O i Q. Dakle, prava PQ jezajednicka normala pravih a i b, odakle na osnovu teoreme 4.6.3 sledi da su prave ai b hiperparalelne.

Teorema 4.6.5. Odstojanje tacke koja se pomera po jednoj od dveju medusobnohiperparalelnih pravih od druge prave strogo i neograniceno raste kad se ta tackaudaljava od zajednicke normale tih hiperparalelnih pravih.

Dokaz. Neka su AA′ i BB′ dve hiperparalelne prave (Slika 4.28.). Prema Teoremi4.6.3. postoji jedinstvena zajednicka normala ovih hiperparalelnih pravih. Neka

73


je to prava MN . Neka su P1 i P2 dve proizvoljne tacke prave AA′ takve da jeB(M,P1, P2), a sa Q1 i Q2 oznacimo podnozja normala iz tacaka P1 i P2 na pravuBB′. Cetvorougao �MNQ1P1 ima tri prava ugla ]M , ]N i ]Q1 te je on Lam-bertov, a odatle sledi da cetvrti ugao tog cetvorougla mora biti ostar, te je njegovnaporedni ugao ]Q1P1P2 tup. Cetvorougao �MNQ2P2 je takode Lambertov, jersu mu uglovi ]M , ]N i ]Q2 pravi, te je ugao ]P2 tog cetvorougla ostar. Neka jeP ′2 tacka poluprave Q2P2 takva da je Q2P

′2 = Q1P1. Cetvorougao �Q1Q2P

′2P1 je

tada Sakerijev, te su uglovi na protivosnovici P1P′2 tog cetvorougla jednaki i ostri.

Kako je ugao ]Q1P1P′2 ostar i kao takav manji od tupog ugla ]Q1P1P2, to se po-

luprava P1P′2 nalazi unutar ugla ]Q1P1P2, a tacka P ′2 na duzi P2Q2. Odatle je

P1Q1 = P ′2Q2 < P2Q2. Dakle, duz P2Q2 je veca od duzi P1Q1. Na taj nacin za

Slika 4.28.

tacke P1 i P2 za koje je B(M,P1, P2) imamo da je tacka P2 na vecem rastojanjuod tacke P1 do prave BB′. Time je pokazano da to rastojanje raste udaljavanjemod zajednicke normale. Dokazimo jos da ono neograniceno raste. U tom cilju kon-struisacemo pravu CC ′ koja sadrzi tacku M i koja je paralelna sa pravom BB′.Neka je zatim P proizvoljna tacka poluprave MA′, a Q podnozje normale iz tackeP na pravu CC ′. Tada su tacke P i Q sa raznih strana prave CC ′, pa duz PQ secepravu CC ′ u nekoj tacki S. Kako je trougao ∆PRS pravougli to je PR < PS. IzB(P, S,Q) sledi da je PS < PQ. Na taj nacin ako se tacka P krece po polupravojMA′ ostrog ugla ]A′MC ′, udaljavajuci se od njegovog temena njeno rastojanje oddrugog kraka, tj. poluprave MC ′ neograniceno povecava. No, kako je to rastojanjemanje od rastojanja tacke P do prave BB′ tim pre rastojanje tacke P od prave BB′

neograniceno raste.

74

Glava 5

Appendix

Slika 5.1: Hiperbolicki Suncani sat podignut za 200-tu godisnjicu od rodenjaJanosa Boljaja. Nalazi se na trgu koji nosi naziv po ovom znamenitommatematicaru, na Boljajevom trgu u gradu Turgu Mures u Rumuniji.

75

GLAVA 5. APPENDIX

Slika 5.2: Fizicki modeli hiperbolickih prostora mogu se predstaviti pletenjem.Konkretno, na ovoj slici je nastrikan, pomalo grub, fizicki model hiperbolicke

ravni. Iduci od sredine ka ivici, obod postaje sve veci (mora sve vise da se strika),kao da imamo sve vise i vise prostora.

Slika 5.3: Vrlo cesto se u prirodi moze naici na hiperbolicnu strukturu. Primer zato je list zelene salate.

Slika 5.4: Struktura korala je takode jedan model hiperbolicke ravni.

76

GLAVA 5. APPENDIX

Slika 5.5: Ruski inzenjer i arhitekta Vladimir Suhov je otkrio i prvi poceo dakoristi hiperboloidnu strukturu u gradevinarstvu i arhitekturi. Na slici je

predstavljen Suhovljev vodo-toranj u Polibinu u Rusiji. Na zidovima ovog tornja’vaze’ svi zakoni geometrije Lobacevskog.

Slika 5.6: Kontrolni toranj na aerodromu u Barseloni.

77

Glava 6

Zakljucak

Ovaj rad je pokusaj da se na jednostavan i direktan nacin da izvestaj o jednomod najvecih problema matematicara i geometara svih vremena, o problemu petogEuklidovog postulata.

U prvoj glavi ovog rada smo se kroz istorijski pregled geometrije samo dotaklipetog Euklidovog postulata, dok je o tome mnogo vise reci bilo u trecoj glavi. Na-ravno, napomenuli smo da je ’dokazivanje’ Euklidovog postulata trajalo vise od dvehiljade godina, tako da je u tom razdoblju veliki broj matematicara i geometara daosvoje ’dokaze’. U ovom radu prezentovali smo samo pokusaje Sakerija, Lamberta iTiboa. Pored radova ovih matematicara znacajni su i radovi Prokla, zatim OmaraHajama, al-Hajsama, Dzona Valisa i mnogih drugih. O njihovim idejama moze sevise naci u [2] i [10]. Zatim smo u poslednjoj glavi predstavili novo razdoblje ugeometriji, doba kada su Lobacevski, Boljaj i Gaus otkrili hiperbolicku geometriju.Sto se tice tvrdenja ove geometrije, predstavili smo samo neke osnovne osobine pra-vih u hiperbolickoj ravni da bi na neki nacin u covecjoj svesti stvorili predstavu ohiperbolickoj geometriji.

Koliko god izgledalo cudno Lobacevski je pokazao da je novodobijena geometrijamoguca, te je izveo niz teorema koje vaze u toj geometriji. Neke od tih teoremasu obradene i u ovom radu. Koristeci matematicki aparat pokazao je da je mogucekoristeci samo matematicku logiku dokazati postojanje potpuno novog sveta iakonismo u stanju da ga svojim culima spoznamo.

Cak i nakon radova Lobacevskog, Gausa i Boljaja, ostalo je pitanje: Da li postojimodel ociglednog predstavljanja hiperbolicke geometrije? Na ovo pitanje odgovorioje Eugenio Beltrami, 1868., koji je pokazao da povrsina nazvana pseudosfera imaodgovarajucu zakrivljenost za jedan model delimicnog hiperbolickog prostora, a udrugom clanku objavljenom iste godine, definisan je Klajnov model (Feliks Klajn),Poenkareov disk model i Poenkareov poluravanski model (Anri Poenkare) koji cineu potpunosti modele ociglednog predstavljanja hiperbolicke geometrije, a ujednopokazuju da su euklidska geometrija i hiperbolika geometrija ekvikonzistentne. Ovimodeli definisu realan hiperbolicki prostor koji zadovoljava aksiome hiperbolickegeometrije. Uprkos imenima koje su dobili, poluravanske modele je osmislio Bel-trami, a ne Poenkare ili Klajn.

78

Znacenje geometrijskih generalizacija u cijim osnovima lezi veliko otkrice Lobace-vskog posebno su dosle do izrazaja pocetkom XX veka. Nova shvatanja o geo-metriji uticala su na revolucionarni preobrazaj slike fizickog sveta u nasoj sve-sti. Rad Lobacevskog je siroko prihvacen kao znacajan tek kada je Ajnstajnovaopsta teorija relativnosti pokazala da je prostorno-vremenska geometrija neeuklid-ska. Ajnstajnova teorija opisuje prostor kao generalno ravan (euklidski), ali i eliptickizakrivljen (neeuklidski) u oblastima u blizini kojih je prisutna materija. S obziromda se vasiona siri, cak i prostor gde ne postoji materija moze se opisivati pomocuhiperbolickog model.

Medutim, pitanje geometrijske strukture fizickog, realnog prostora, jos uvek nijenaslo potpuno zadovoljavajuce resenje. Odgovor na to pitanje nauka ce jednomsvakako dati. Time ce se odgovoriti i na pitanje koja geometrija, euklidska ili neeu-klidska, moze adekvatnije opisati geometrijske odnose u kosmickom prostoru.

Istorijska je zasluga Lobacevskog sto je porusio bedem koji je vise od dve hi-ljade godina sputavao razvoj geometrije. Zato se s pravom moze reci da je otkriceLobacevskog jedno od najvecih dostignuca ljudske misli.

79

Bibliografija

[1] M.Stankovic, Osnovi geometrije, Prirodno-matematicki fakultet u Nisu, Nis,2006.

[2] Z.Lucic, Euklidska i hiperbolicna geometrija, Total design i Matematicki fakultet,Beograd, 1997.

[3] S.Mintakovic, Neeuklidska geometrija Lobacevskog, Skolska knjiga, Zagreb, 1972.

[4] M.Prvanovic, Neeuklidske geometrije, Novi Sad, 1974.

[5] D.Hilbert, Osnove geometrije, Matematicki institut SANU, Beograd, 1957.

[6] V.Pasic, Visa geometrija, Prirodno-matematicki fakultet, Univerzitet u Tuzli,2011.

[7] M.Radojcic, Opsta matematika - Matematika Egipta, Mesopotamije i stareGrcke, Matematicki fakultet Beograd, 2005.

[8] D.Lopandic, Geometrija, Naucna knjiga, Beograd, 1979.http://poincare.matf.bg.ac.rs/zlucic/LopandicGeometrija.pdf

[9] L.Mlodinov, Euklidov prozor, Laguna, Beograd, 2005.

[10] Rad jugoslovenske akademije znanosti i umjetnosti, knjiga 169., Matematickoprirodoslovni razred, Zagreb, 1907.http://poincare.matf.bg.ac.rs/ zlucic/osnivaci neeuklidske

geometrije.pdf

[11] B.Cervar, G.Erceg, I.Lekic Osnove geometrije, Split, 2012.http://mapmf.pmfst.hr/ gorerc/OG-materijali/OG-2012-13.pdf

[12] http://sr.wikipedia.org/sr/hiperbolicka-geometrija

[13] Euklid, Elementi, http://poincare.matf.bg.ac.rs/nastavno/zlucic

[14] http://mathbiv.wordpress.com/2013/05/20/matematicka-knjiga-sa

-najvecim-brojem-izdanja/

[15] http://sr.wikipedia.org/sr/Geometrija

80

Biografija

Jasna Milicevic je rodena 05.05.1989. godine u Boru. Osnovnu skolu ”IXsrpska udarna brigada” (danas ”Dusan Radovic”) zavrsila je u Boru kao nosilacVukove diplome i dak generacije. Gimnaziju ”Bora Stankovic” u Boru, prirodno-matematicki smer, zavrsila je, takode, kao nosilac Vukove diplome. Poslednje godinesrednjoskolskog obrazovanja postaje nosilac titule ”najuspesnijeg ucenika”, koja sesvake godine dodeljuje, u okviru proslave skolske slave Sveti Sava, uceniku zavrsnograzreda.

Prirodno-matematicki fakultet u Nisu, Odsek za matematiku i informatiku upi-sala je skolske 2008/2009. godine, smer matematika. Osnovne akademske studijezavrsila je u septembru 2011. godine sa prosecnom ocenom 8,56. Iste godine upisujediplomske akademske studije na smeru Matematika. Prosecna ocena na diplomskimakademskim studijama je 9,33.

81

Documents

V Euklidov postulat i geometrija Loba cevskog - pmf.ni.ac.rs · Uvod "Geometrija je praobrazac lepote sveta" Galileo Galilei (1564 - 1642) Covek je oduvek bio graditelj. On je pisao,