Valentin V. Rybenkov, Nicholas R. Cozzarelli and Alexander V. Vologodskii- Probability of DNA knotting and the effective diameter of the DNA double helix

8/3/2019 Valentin V. Rybenkov, Nicholas R. Cozzarelli and Alexander V. Vologodskii- Probability of DNA knotting and the effec

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P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USAV o l . 9 0 , p p . 5 3 0 7 - 5 3 1 1 , J u n e 1 9 9 3B i o p h y s i c s

P r o b a b i l i t y o f DNA k n o t t i n g a n d t h e e f f e c t i v e d i a m e t e r o f t h e DNAd o u b l e h e l i x( D N A t o p o l o g y / D N A e x c l u d e d v o l u m e / p o l y e l e c t r o l y t e s )

VALENTIN V . R Y B E N K O V * , NICHOLAS R . C O Z Z A R E L L I t , AN D ALEXANDER V . V O L O G O D S K I I *t D e p a r t m e n t o f M o l e c u l a r a n d C e l l B i o l o g y , U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a , B e r k e l e y , C A 9 4 7 2 0 ; a n d * I n s t i t u t e o f M o l e c u l a r G e n e t i c s , K u r c h a t o v s q . , Moscow1 2 3 1 8 2 , R u s s i aC o nt r i bu t ed b y N i c h o l a s R . C o z z a r e l l i , M a r c h 5 , 1 9 9 3ABSTRACT D u r i n g t h e r a n d o m c y c l i z a t i o n o f l o n g p o l y -m e r c h a i n s , k n o t s o f d i f f e r e n t t y p e s a r e f o r m e d . We i n v e s t i -g a t e d e x p e r i m e n t a l l y t h e d i s t r i b u t i o n o f k n o t t y p e s p r o d u c e d b yr a n d o m c y c l i z a t i o n o f p h a g e P 4 DN A v i a i t s l o n g c o h e s i v e e n d s .T h e s i m p l e s t k n o t s ( t r e f o i l s ) p r e d o m i n a t e d , b u t m o r e c o m p l e xk n o t s w e r e a l s o d e t e c t e d . T h e f r a c t i o n o f k n o t s g r e a t l y d i m i n -i s h e d w i t h d e c r e a s i n g s o l u t i o n N a + c o n c e n t r a t i o n . B y c o m p a r -i n g t h e s e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s w i t h c o m p u t e r s i m u l a t i o n s o fk n o t t i n g p r o b a b i l i t y , w e c a l c u l a t e d t h e e f f e c t i v e d i a m e t e r o f t h eDN A d o u b l e h e l i x . T h i s i m p o r t a n t e x c l u d e d - v o l u m e p a r a m e t e ri s a m e a s u r e o f t h e e l e c t r o s t a t i c r e p u l s i o n b e t w e e n s e g m e n t s o fDN A m o l e c u l e s . T h e c a l c u l a t e d e f f e c t i v e DN A d i a m e t e r i s as e n s i t i v e f u n c t i o n o f e l e c t r o l y t e c o n c e n t r a t i o n a n d i s s e v e r a lt i m e s l a r g e r t h a n t h e g e o m e t r i c d i a m e t e r i n s o l u t i o n s o f l o wm o n o v a l e n t c a t i o n c o n c e n t r a t i o n .A c l a s s i c p r o b l e m i n p o l y m e r p h y s i c s i s t h e p r o b a b i l i t y t h a tt h e r a n d o m c y c l i z a t i o n o f a p o l y m e r p r o d u c e s a k n o t o f ap a r t i c u l a r t o p o l o g y . T h e i s s u e s w e r e f o r m u l a t e d m o r e t h a n 3 0y e a r s a g o b y F r i s c h a n d W a s s e r m a n ( 1 ) a n d b y D e l b r u c k ( 2 ) .T h e i n i t i a l s o l u t i o n w a s p r o v i d e d b y a M o n t e C a r l o s i m u l a t i o ni n 1 9 7 4 ( 3 ) , a n d s i n c e t h e n s e v e r a l c o m p u t a t i o n a l a n a l y s e s o ft h e k n o t t i n g p r o b a b i l i t y o f p o l y m e r c h a i n s h a v e a p p e a r e d( r e v i e w e d i n r e f s . 4 a n d 5 ) .

E x p e r i m e n t a l m e a s u r e s o f k n o t t i n g f r e q u e n c y h a v e n o tb e e n m a d e , h o w e v e r , d e s p i t e t h e c o n s i d e r a b l e i n t e r e s t i nt h e s e f o r m s . E v e r s i n c e t h e p r o d u c t i o n o f l i n k e d h y d r o c a r b o nr i n g s , o r g a n i c c h e m i s t s h a v e s t r i v e n t o s y n t h e s i z e k n o t t e dm o l e c u l e s . T h e s e a t t e m p t s h a v e r e c e n t l y c o m e t o f r u i t i o nw i t h t h e e l e g a n t a n d c o m p l e t e s y n t h e s i s o f a h y d r o c a r b o nk n o t b y D i e t r i c h - B u c h e c k e r a n d S a u v a g e ( 6 ) . A d i s t i n c ts y n t h e t i c r o u t e b a s e d o n t h e p r o p e r t i e s o f n u c l e i c a c i d s h a sb e e n u s e d b y S e e m a n ' s g r o u p t o s y n t h e s i z e d i f f e r e n t t y p e s o fk n o t s ( 7 ) .K n o t s m a d e o f DNA, f i r s t i d e n t i f i e d i n 1 9 7 6 ( 8 ) , a r e m u c he a s i e r t o s y n t h e s i z e a n d t o a n a l y z e t h a n o t h e r k n o t t e dp o l y m e r s . K n o t t e d DNA h a s b e e n i d e n t i f i e d i n n u m e r o u s i nv i t r o a n d i n v i v o e x p e r i m e n t s ( 9 , 1 0 ) . T h e t o p o l o g y o f t h ek n o t s i s d i a g n o s t i c o f t h e m e c h a n i s m o f t h e e n z y m e s t h a tp r o d u c e t h e m a n d o f t h e s t r u c t u r e o f t h e DNA s u b s t r a t e s ( 9 ) .T h e e x p e r i m e n t a l s t u d i e s o f DNA k n o t s h a v e b e e n g u i d e d b yt h e d e v e l o p m e n t o f m a t h e m a t i c a l m e t h o d s f o r a n a l y z i n gDNA t o p o l o g y ( 1 1 , 1 2 ) .DNA i s t h u s t h e m o s t s u i t a b l e p o l y m e r f o r t h e e x p e r i m e n -t a l i n v e s t i g a t i o n o f t h e p r o b a b i l i t y o f k n o t t i n g . T h e m e a s u r e -m e n t o f t h e p r o b a b i l i t y o f k n o t t i n g d u p l e x DN A i s o f s p e c i a li n t e r e s t b e c a u s e i t p r o v i d e s a n e x c e l l e n t m e a n s f o r d e t e r m i n -i n g t h e e f f e c t i v e d i a me t e r o f DNA. T h i s i m p o r t a n t p a r a m e t e rc h a r a c t e r i z e s t h e e x c l u d e d v o l u m e o f DNA. T h e e f f e c t i v ed i a m e t e r o f DNA i s t h e d i a m e t e r o f a n u n c h a r g e d p o l y m e rc h a i n t h a t m i m i c s t h e c o n f o r m a t i o n a l p r o p e r t i e s o f a c t u a lT h e p u b l i c a t i o n c o s t s o f t h i s a r t i c l e w e r e d e f r a y e d i n p a r t b y p a g e c h a r g ep a y m e n t . T h i s a r t i c l e m u s t t h e r e f o r e b e h e r eb y m a r k e d " a d v e r t i s e m e n t "i n a c c o r d a n c e w i t h 1 8 U . S . C . 1 7 3 4 s o l e l y t o i n d i c a t e t h i s f a c t .

e l e c t r i c a l l y c h a r g e d DNA. B e c a u s e DNA i s a h i g h l y c h a r g e dp o l y e l e c t r o l y t e , e l e c t r o s t a t i c r e p u l s i o n c a n m a k e t h e e f f e c -t i v e d i a m e t e r m u c h g r e a t e r t h a n t h e g e o m e t r i c a l d i a m e t e r( 1 3 - 1 5 ) . C o m p u t e r s i m u l a t i o n s s h o w t h a t t h e p r o b a b i l i t y o f ak n o t i n a r a n d o m l y c y c l i z e d p o l y m e r s t r o n g l y d e p e n d s o n t h ee f f e c t i v e c h a i n d i a m e t e r . T h e r e f o r e , w e h a v e d e t e r m i n e d t h eDNA e f f e c t i v e d i a m e t e r b y c o m p a r i n g c a l c u l a t e d a n d e x p e r -i m e n t a l l y m e a s u r e d v a l u e s o f k n o t t i n g p r o b a b i l i t y .B e c a u s e e x c l u d e d - v o l u m e e f f e c t s i n DNA d e p e n d s t r o n g l yo n i o n i c c o n d i t i o n s , we i n v e s t i g a t e d k n o t t i n g p r o b a b i l i t y o v e ra w i d e r a n g e o f c o n d i t i o n s . We c o u l d n o t c y c l i z e DNAe n z y m a t i c a l l y , b e c a u s e l i g a s e s a r e a c t i v e o n l y u n d e r a l i m i t e dr a n g e o f c o n d i t i o n s . I n s t e a d , we c y c l i z e d P 4 p h a g e DNA v i ai t s " c o h e s i v e e n d s , " t h e c o m p l e m e n t a r y 1 9 - b a s e s i n g l e -s t r a n d e d t e r m i n i ( 1 6 ) . DNA w i t h s u c h a l e n g t h o f c o h e s i v ee n d s i s s t a b l e i n a c i r c u l a r f o r m a t r o o m t e m p e r a t u r e ( 1 7 ) .S i m u l a t i o n s s h o w t h a t t h e k n o t t i n g p r o b a b i l i t y s h o u l d b e i nt h e r a ng e o f a f e w p e r c e n t f o r t h i s 1 0 - k b m o l e c u l e ( 1 8 ) , w h i c hi s f r e q u e n t e n o u g h f o r r e l i a b l e q u a n t i t a t i v e m e a s u r e m e n t s . A tt h e s a m e t i m e , t h i s l e n g t h i s s h o r t e n o u g h f o r g o o d r e s o l u t i o no f k n o t s b y a g a r o s e g e l e l e c t r o p h o r e s i s . We f o u n d t h a t t h ep r o b a b i l i t y o f k n o t t i n g w a s a s e n s i t i v e f u n c t i o n o f e l e c t r o l y t ec o n c e n t r a t i o n a n d w a s t h e r e f o r e a n e f f i c i e n t way t o m e a s u r et h e e f f e c t i v e d i a m e t e r o f DNA. T h e v a l u e s o f t h e e f f e c t i v eDNA d i a m e t e r a s a f u n c t i o n o f Na+ c o n c e n t r a t i o n f i t v e r yw e l l t h e t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n s f r o m p o l y e l e c t r o l y t e t h e o r y( 1 3 ) .

MA T ER IA LS AN D M E T H O D SDNA. P 4 v i r l d e l 2 2 p h a g e ( 1 9 ) w a s g r o w n o n E s c h e r i c h i ac o l i s t r a i n C - 1 1 7 ( 2 0 ) a n d p u r i f i e d a s d e s c r i b e d ( 2 1 ) . A sa d d i t i o n a l p u r i f i c a t i o n , t h e p h a g e s w e r e t r e a t e d w i t h DNaseI a n d R N a s e A , e x t r a c t e d w i t h C H C 1 3 , f i l t e r e d t h r o u g h aWhatman D E - 5 2 c o l u m n , a n d c e n t r i f u g e d t h r o u g h a C s C ls t e p g r a d i e n t . P 4 DNA w a s t h e n e x t r a c t e d w i t h p h e n o l ,p h e n o l / c h l o r o f o r m , a n d c h l o r o f o r m , p r e c i p i t a t e d t w i c e w i t he t h a n o l , a n d r e d i s s o l v e d i n 1 0 mM T r i s H C l , pH 7 . 6 / 1 mMEDTA.DN A C y c l i z a t i o n . To e n s u r e t h a t t h e P 4 DNA w a s l i n e a r a tt h e s t a r t o f e x p e r i m e n t s , i t w a s h e a t e d a t 5 7 C i n 1 0 mM N a C lf o r 5 h r a n d t h e n r a p i d l y ( < 1 0 s e c ) c o o l e d t o 0 C . To c y c l i z et h e DNA, 0 . 3 n M P 4 DNA m o l e c u l e s w e r e i n c u b a t e d a t 2 4 Cf o r 1 - 2 0 d a y s , d e p e n d i n g o n t h e i o n i c c o n d i t i o n s . B e c a u s e t h er a t e o f c y c l i z a t i o n i s s t r o n g l y d e p e n d e n t o n t h e s e c o n d i t i o n s( 2 2 ) , c y c l i z a t i o n w a s i n c o m p l e t e a t l o w i o n i c s t r e n g t h s .F u r t h e r c y c l i z a t i o n a n d k n o t t i n g d u r i n g e l e c t r o p h o r e s i s w a ss u p p r e s s e d b y t h e a d d i t i o n o f t h e o l i g o d e o x y n u c l e o t i d e 5 ' -GGCGAGGCGGGGAAAGCAC-3' ( 1 , u M ) , w h i c h i s i d e n t i -c a l t o o n e o f t h e c o h e s i v e e n d s ( 1 6 ) . T h i s c o n c e n t r a t i o n i s a tl e a s t 3 0 0 t i m e s h i g h e r t h a n t h e l o c a l c o n c e n t r a t i o n o f t h ec o h e s i v e e n d f r o m t h e s a m e m o l e c u l e ( j f a c t o r ) .E l e c t r o p h o r e t i c A n a l y s i s . DNA s a m p l e s w e r e e l e c t r o p h o -r e s e d f o r 6 0 h r a t 1 . 2 V/cm a t 2 4 C i n a 0 . 7 % a g a r o s e g e l . T h eS D S - c o n t a i n i n g T r i s / a c e t a t e e l e c t r o p h o r e s i s b u f f e r ( 2 3 ) w a s

5 3 0 7


2/5

5 3 0 8 B i o p h y s i c s : R y b e n k o v e t a l .c o n t i n u a l l y r e c i r c u l a t e d , a n d DNA w a s d e t e c t e d b y S o u t h e r nb l o t t i n g . O p e n c i r c u l a r DNA m o l e c u l e s o f t h e s a m e s i z em i g r a t e a c c o r d i n g t o t h e n u m b e r o f m i n i m a l n o d e s i n t h e k n o t( 2 4 ) . M a r k e r k n o t s w e r e p r e p a r e d b y i n c u b a t i o n o f l i g a t e ds u p e r c o i l e d P 4 DNA w i t h p h a g e T 2 t o p o i s o m e r a s e , f o l l o w e db y n i c k i n g w i t h D N a s e I ( 2 5 ) .Q u a n t i t a t i v e a n a l y s i s o f t h e b a n d s c o r r e s p o n d i n g t o d i f f e r -e n t k n o t s w a s d o n e w i t h a M o l e c u l a r D y n a m i c s 4 0 0 P h o s -p h o r l m a g e r ( 2 6 ) . We c h e c k e d t h e v a l i d i t y o f o u r m e a s u r e -m e n t p r o c e d u r e b y u s i n g s e r i a l d i l u t i o n s o f H i n d I I I r e s t r i c t i o ne n z y m e - d i g e s t e d p h a g e A DNA. O v e r a 1 0 0 - f o l d r a n g e o fd i l u t i o n , t h e m e a s u r e d r e l a t i v e a m o u n t o f a l l f r a g m e n t s w a st h e s a m e .M o n t e C a r l o S i m u l a t i o n s . T h e p r o b a b i l i t i e s o f d i f f e r e n tt y p e s o f k n o t s , P , w e r e c a l c u l a t e d b y a M o n t e C a r l o m e t h o d( 4 , 5 ) . We c o n s t r u c t e d a s e t o f M c l o s e d m o d e l c h a i n s t h a tc o r r e s p o n d e d t o t h e e q u i l i b r i u m d i s t r i b u t i o n o f c o n f o r m a -t i o n s . T h e p r o b a b i l i t i e s P , w e r e e s t i m a t e d a s t h e r a t i o m , / M ,w h e r e m , w a s t h e n u m b e r o f c h a i n s w i t h k n o t t y p e t i n t h e s e t .F o r t h e s i m u l a t i o n s , a c l o s e d DNA m o l e c u l e c o m p o s e d o fn Kuhn s e g m e n t s w a s m o d e l e d a s a c l o s e d c h a i n o f k n r i g i di m p e n e t r a b l e c y l i n d e r s o f e q u a l l e n g t h a n d d i a m e t e r , d . T h ec o n f o r m a t i o n a l s e t s w e r e o b t a i n e d b y s u c c e s s i v e d e f o r m a -t i o n s o f t h e s t a r t i n g c o n f o r m a t i o n i n a c c o r d a n c e w i t h t h eM e t r o p o l i s - M o n t e C a r l o p r o c e d u r e ( 2 7 ) . T h e d e f o r m a t i o nw a s a r o t a t i o n o f a s u b c h a i n c o n t a i n i n g a n a r b i t r a r y n u m b e ro f a d j a c e n t s e g m e n t s b y a r a n d o m l y c h o s e n a n g l e , 4 , a r o u n dt h e s t r a i g h t l i n e c o n n e c t i n g t h e v e r t i c e s b o u n d i n g t h e s u b -c h a i n . T h e v a l u e o f 4 w a s u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d o v e r a ni n t e r v a l ( - 4 0 t o 4 0 ) , c h o s e n s o t h a t a b o u t h a l f o f t h e m o v e sw e r e a c c e p t e d . T h e t r i a l c o n f o r m a t i o n g e n e r a t e d w a s a c -c e p t e d o r n o t d e p e n d i n g o n i t s e n e r g y ( 2 7 ) . T h e e n e r g y o f t h ec h a i n , E , w a s c a l c u l a t e d a s

k nE = RT a O 1 [ 1 ]w h e r e s u m m a t i o n i s d o n e o v e r a l l t h e j o i n t s b e t w e e n t h ee l e m e n t a r y s e g m e n t s , R i s t h e g a s c o n s t a n t , T i s t h e a b s o l u t et e m p e r a t u r e , O i i s t h e a n g u l a r d i s p l a c e m e n t o f t h e i t h s e g m e n tr e l a t i v e t o s e g m e n t i - 1 , a n d a i s t h e b e n d i n g r i g i d i t yc o n s t a n t . T h e b e n d i n g r i g i d i t y c o n s t a n t w a s c h o s e n s o t h a te x a c t l y k e l e m e n t a r y s e g m e n t s c o r r e s p o n d e d t o t h e Kuhns t a t i s t i c a l s e g m e n t l e n g t h ( 2 8 ) . F o r e a c h s e t o f v a l u e s o f n a n dd , we g e n e r a t e d a b o u t 1 0 6 c o n f o r m a t i o n s .T h e k n o t t y p e o f a p a r t i c u l a r c h a i n w a s d e t e r m i n e d b yc a l c u l a t i n g t h e A l e x a n d e r p o l y n o m i a l A ( t ) a t t = - 1 a n d t =-2 ( 4 ) . W h e r e a s t h e A l e x a n d e r p o l y n o m i a l d i s t i n g u i s h e s n o ta l l k n o t s ( e n a n t i o m e r s , f o r e x a m p l e ) , i t s v a l u e s a t t = -1 a n dt = -2 d i s t i n g u i s h s i m p l e k n o t t y p e s ( o n e s w i t h l e s s t h a ns e v e n n o d e s ) f r o m e a c h o t h e r a n d f r o m m o r e c o m p l e x k n o t s .

RESULTSP 4 DN A K n o t t i n g P r o b a b i l i t y . T h e s i m p l e s t k n o t , t h e t r e f o i l( F i g . 1 B ) , c o n t a i n s t h r e e n o d e s a n d i s s t a n d a r d l y d e s i g n a t e d3 1 ( 2 9 ) . Random DNA c y c i z a t i o n s h o u l d p r o d u c e e q u a la m o u n t s o f t h e t w o e n a n t i o m e r i c t r e f o i l f o r m s , a n d we w i l ln o t d i s t i n g u i s h s u c h s t e r e o i s o m e r s . T h e r e i s o n e t y p e o ff o u r - n o d e d k n o t ( 4 1 ) , b u t t w o t y p e s o f f i v e - n o d e d k n o t s ( F i g .1 B ) , d e s i g n a t e d 5 1 a n d 5 2 ( 2 9 ) . We d e t e c t e d m o r e c o m p l e xk n o t s a t l e v e l s t o o l o w t o b e q u a n t i f i e d .T h e d i s t r i b u t i o n o f k n o t s w a s a n a l y z e d b y a g a r o s e g e le l e c t r o p h o r e s i s . A t y p i c a l a u t o r a d i o g r a p h o f a S o u t h e r n b l o ti s s h o w n i n F i g . 1 A . K n o t s c o n t a i n i n g t h r e e t o f i v e n o d e sw e r e w e l l s e p a r a t e d f r o m e a c h o t h e r a n d f r o m u n k n o t t e dc i r c u l a r m o l e c u l e s . T h e i d e n t i f i c a t i o n o f t h e k n o t t y p e s i sb a s e d o n c o m p a r i s o n o f t h e i r e l e c t r o p h o r e t i c m o b i l i t y t o t h a to f r e f e r e n c e k n o t s m a d e b y t h e p h a g e T 2 t o p o i s o m e r a s e ( F i g .1 A , l a n e 1 ) , w h o s e t o p o l o g y h a s b e e n d e t e r m i n e d b y e l e c t r o n

A 1 2o c

B

3 4 1 5 . 5 2

oc- 3 1 -i I

i ' . i _ 5 1 + 5 2M o b i l i t y

F I G . 1 . E l e c t r o p h o r e t i c s e p a r a t i o n o f DNA k n o t s . P 4 DNA k n o t sw e r e r e s o l v e d b y e l e c t r o p h o r e s i s t h r o u gh a 0 . 7 % a g a r o s e g e l . ( A )A u t o r a d i o g r a m . L a n e 1 , r e f e r e n c e l a d d e r o f 2 0 n g o f p h a g e T 2t o p o i s o m e r a s e - g e n e r a t e d P 4 DN A k n o t s w h i c h w e r e n i c k e d p r i o r t ol o a d i n g ; l a n e 2 , 2 0 n g o f P 4 DN A c y c l i z e d i n 1 M N a C l . On t h e l e f ta r e i n d i c a t e d t h e m i n i m a l n o d e n u m b e r s o f t h e k n o t s ; o c , o p e nc i r c u l a r ; 1 , l i n e a r . ( B ) M i n i m a l r e p r e s e n t a t i o n s o f s i m p l e k n o t s w i t ht h e s t a n d a r d d e s i g n a t i o n s ( 2 9 ) . ( C ) T y p i c a l s c a n o f s a m p l e i n l a n e 2f r o m A .m i c r o s c o p y ( 2 5 ) . T h e s c a n o f t h e g e l l a n e ( F i g . 1 C ) s h o w s t h a ti t i s p o s s i b l e t o m e a s u r e t h e r e l a t i v e a m o u n t s o f t h e t h r e e - ,f o u r - , a n d f i v e - n o d e d k n o t s , a t l e a s t f o r t h o s e f o r m e d i n h i g hs a l t c o n c e n t r a t i o n , a n d t h a t t h e t r e f o i l i s t h e p r e d o m i n a n tk n o t s p e c i e s .F i g . 2 s h o w s t h e p r o b a b i l i t y o f a t r e f o i l k n o t a m o n gr a n d o m l y c y c l i z e d P 4 DNA a s a f u n c t i o n o f t h e N a C lc o n c e n t r a t i o n d u r i n g c y c l i z a t i o n . T h e p r o p o r t i o n o f t r e f o i l ss h a r p l y i n c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g s a l t c o n c e n t r a t i o n . T h es h a r p d r o p i n t h e r a t e o f DNA c y c l i z a t i o n w i t h d e c r e a s i n gi o n i c s t r e n g t h ( 2 2 ) p r e c l u d e d m e a s u r e m e n t s a t N a C l c o n c e n -t r a t i o n s b e l o w 0 . 0 1 M . I n 1 M N a C l , t h e f r a c t i o n o f t h r e e - ,

6

C F0

2 22 V

o0 . 0 0 1

T IT

TI0 . 0 1 0 . 1 1 1 0

[ N a ] , MF I G . 2 . F r a c t i o n o f t r e f o i l k n o t s i n P 4 DNA c y c l i z e d i n s o l u t i o n so f d i f f e r e n t N a C l c o n c e n t r a t i o n . E a c h s a m p l e c o n t a i n e d N a C l a n d u pt o 1 0 mM T r i s * H C l ( p H 7 . 5 ) a n d 1 mM EDTA ( p H 7 . 5 ) ; t h e a m o u n to f b u f f e r a n d c h e l a t o r w a s a d j u s t e d t o < 1 0 % o o f t h e t o t a l s a l tc o n c e n t r a t i o n . E a c h p o i n t o n t h e g r a p h i s t h e m e a n o f 6 - 2 0 d e t e r -m i n a t i o n s . T h e e r r o r w a s c a l c u l a t e d i n t w o w a y s a n d t h e l a r g e r v a l u ei s s h o w n . F o r s a m p l e s c o n t a i n i n g 0 . 4 o r 1 . 0 M N a C l , t h e s t a n d a r dd e v i a t i o n i n t h e m e a s u r e d p r o b a b i l i t i e s w a s t h e m a j o r i n p u t t o t h ee r r o r . I n a l l o t h e r c a s e s , t h e e r r o r b a r w a s d e t e r m i n e d b y t h eu n c e r t a i n t y i n t h e p o s i t i o n o f t h e b a s e l i n e i n t h e s c a n o f t h e g e l .

P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 9 0 ( 1 9 9 3 )

. 1 1 AC / )C:a )4-C:

I


3/5

P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 9 0 ( 1 9 9 3 ) 5 3 0 9

0 1 0 2 0 3 0 4 0C h a i n l e n g t h , n

5 0 6 0

1

C )C . ,0 - 1 0 . 1

0 . 0 1 L0 . 0 0 0 . 0 5 0 . 1 0

d / b0 . 0 1 20 . 0 1 00 . 0 0 8

C)cEL 0 . 0 0 6

0 . 0 0 40 . 0 0 20 . 0 0 0 0 1 0 2 0 3 0 40 50 6 0

C h a i n l e n g t h , nF I G . 3 . M o n t e C a r l o c a l c u l a t i o n s o f t h e p r o b a b i l i t y o f f o r m a t i o no f s p e c i f i c k n o t t y p e s a s a f u n c t i o n o f c h a i n l e n g t h . P , ( n , 0 ) i s t h ep r o b a b i l i t y o f a k n o t o f t y p e t i n a c y c l i z e d c h a i n o f n K u h n l e n g t h sa n d zero e f f e c t i v e d i a m e t e r . P ( n , 0 ) o f 3 1 ( O ) a n d 4 1 ( o ) k n o t s i n Aa n d 5 1 ( o ) a n d 5 2 ( O ) k n o t s i n B were c o m p u t e d f o r c l o s e d p o l y m e r

c h a i n s o f zero d i a m e t e r a n d v a r y i n g c h a i n l e n g t h s . T h e p r o b a b i l i t y o ff o r m i n g t h e 4 1 k n o t , P 4 ( n , 0 ) , h a s b e e n m u l t i p l i e d b y 1 0 t o b e i n t h es a m e range as t h e p r o b a b i l i t y o f t h e 3 1 k n o t , P 3 ( n , 0 ) .f o u r - , a n d f i v e- n o d e d k n o t s was 3 . 5 x 1 0 - 2 , 4 . 4 x 1 0 - 3 , a n d2 . 5 x 1 0 - 3 , r e s p e c t i v e l y . B e c a u s e t h e amount o f f o u r - a n df i v e - no d ed k n o t s was s m a l l , we c o u l d n o t me a s ure t h e mr e l i a b l y a t l o w e r N a C l c o n c e n t r a t i o n s . C o n t r o l measure-ments s h o w e d t h a t t h e k n o t t i n g p r o b a b i l i t y was i n d e p e n d e n to f t h e t e m p e r a t u r e o f DNA c y c l i z a t i o n i n t h e range f r o m 4 Ct o 5 0 C . I t a l s o r e m a i n e d t h e same w i t h a 5 - f o l d d e c r e a s e o ri n c r e a s e i n DNA c o n c e n t r a t i o n d u r i n g c y c l i z a t i o n .We i n v e s t i g a t e d t h e i n f l u e n c e o f o t h e r i o n s o n t h e p r o b a -b i l i t y o f f o r m i n g a t r e f o i l k n o t . T h e r e p l a c e m e n t o f Na+ b yo t h e r m o n o v a l e n t c a t i o n s - K + , L i + , a n d Cs+-had n o e f f e c t .A more c o m p l e x p a t t e r n was o b s e r v e d f o r s o l u t i o n s c o n t a i n -i n g M g C l 2 . I n t h i s case, t h e r e s u l t s d e p e n d e d s t r o n g l y o n t h epresence o f l o w am ou n t s ( 1 - 1 0 m M ) o f m o n o v a l e n t i o n s .M o r e o v e r , t h e f r a c t i o n o f t r e f o i l s c h a n g e d w i t h t h e t e m p e r -a t u r e o f c y c l i z a t i o n , w h i c h i m p l i e s t h a t t h e s e t o f DNAc o n f o r m a t i o n s was n o t a t e q u i l i b r i u m .M o n t e C a r l o S i m u l a t i o n s o f K n o t t i n g P r o b a b i l i t y . To d e t e r -m i n e t h e DNA e f f e c t i v e d i a m e t e r f r o m t h e d a t a o b t a i n e d , wes i m u l a t e d r a n d o m k n o t t i n g . I n c o n t r a s t t o p r e v i o u s w o r k b yu s a n d o t h e r s , we c a l c u l a t e d t h e p r o b a b i l i t y o f t h e i n d i v i d u a lk n o t t y p e s f o r m e d .We f i r s t c h e c k e d t h a t t h e c a l c u l a t e d k n o t t i n g p r o b a b i l i t i e sd i d n o t d e p e n d o n t h e l o c a l p r o p e r t i e s o f t h e m o d e l c h a i n .P r e v i o u s s i m u l a t i o n s u s e d t h e s i m p l e f r e e - j o i n t e d m o d e l o f ap o l y m e r c h a i n , w h e r e a s DNA i s more a p t l y m o d e l e d b y a

C )a-

'-c L0 . 1

0 . 0 10 . 0 0 0 . 0 5 0 . 1 0 0 . 1 5d / b

F I G . 4 . M o n t e C a r l o c a l c u l a t i o n s o f t h e p r o b a b i l i t y o f f o r m a t i o no f s p e c i f i c k n o t t y p e s as a f u n c t i o n o f c h a i n d i a m e t e r . T h e p r o b a b i l i t yo f k n o ts a s a f u n c t i o n o f c h a i n l e n g t h a n d d i a m e t e r w a s c o m p u t e d f o rn = 1 6 ( o ) , 2 2 ( e ) , 2 8 ( v ) , 3 4 ( v ) , 4 0 ( o ) , 5 0 ( m ) , a n d 6 0 ( A ) . T h e r a t i oo f k n o t t i n g p r o b a b i l i t y f o r a g i v e n v a l u e o f d t o t h a t a t d =0 i s p l o t t e da s a f u n c t i o n o f d f o r 3 1 ( i n A ) a n d 4 1 ( i n B ) k n o t s . T h e s t r a i g h t l i n e sc o r r e s p o n d t o E q . 2 w i t h r = 2 2 ( A ) a n d r = 3 1 ( B ) .w o r m l i k e c h a i n . We f o u n d t h a t t h e k n o t t i n g p r o b a b i l i t i e s d i dn o t d e p e n d o n t h e n u m b e r , k , o f c y l i n d r i c a l s e g m e n t s perKuhn s t a t i s t i c a l l e n g t h w h e n k = 1 , 5 , or 1 0 . T h e r e f o r e , t o avery g o o d a p p r o x i m a t i o n , t h e k n o t t i n g p r o b a b i l i t i e s h a v e t h es a m e v a l u e s f o r f r e e - j o i n t e d a n d w o r m l i k e m o d e l s o f p o l y -mers. T h e p r o b a b i l i t y o f a p a r t i c u l a r k n o t t y p e d e p e n d s o n l yo n t h e n u m b e r o f Kuhn s t a t i s t i c a l l e n g t h s i n t h e c h a i n , n , a n dt h e r a t i o o f t h e c h a i n d i a m e t e r , d , t o t h e Kuhn s t a t i s t i c a ll e n g t h , b .We c o m p u t e d t h e c h a i n l e n g t h a n d d i a m e t e r d e p e n d e n c e o ft h e p r o b a b i l i t i e s o f f o r ma t i o n o f k n o t s 3 1 , 4 1 , 5 1 , a n d 5 2 . T h er e s u l t s o f t h e s e c a l c u l a t i o n s f o r c h a i n s w i t h zero d i a m e t e r arep r e s e n t e d i n F i g . 3 . B e y o n d a m i n i m a l v a l u e , k n o t t i n g p r o b -a b i l i t i e s are p r o p o r t i o n a l t o n over t h e range o f c h a i n l e n g t h si n v e s t i g a t e d ( 1 6 c n c 6 0 ) . T h e p r o b a b i l i t y o f k n o t t i n g f e l l o f fe x p o n e n t i a l l y w i t h t h e r e l a t i v e c h a i n d i a m e t e r , d l b , a c c o r d -i n g t o t h e f o l l o w i n g e m p i r i c a l e q u a t i o n :

P , ( n , d ) = P t ( n , O ) e x p ( - r , d / b ) , [ 2 ]w h e r e P , ( n , d ) i s t h e p r o b a b i l i t y o f f o r m i n g a k n o t o f t y p e ti n a c h a i n w i t h d i a m e t e r d c o n s i s t i n g o f n Kuhn s t a t i s t i c a ll e n g t h s , r t i s a p r o p o r t i o n a l i t y c o n s t a n t t h a t was d e t e r m i n e db y s i m u l a t i o n s t o b e e q u a l t o 2 2 , 3 1 , 4 2 , a n d 4 2 f o r 3 1 , 4 1 , 5 1 ,a n d 5 2 k n o t s , r e s p e c t i v e l y . F i g . 4 d e m o n s t r a t e s t h a t M o n t eC a r l o d a t a f o r 3 h a n d 4 , k n o t s are w e l l d e s c r i b e d b y t h i se q u a t i o n . I t s h o w s t h a t t h e r a t i o o f P , ( n , d ) t o P t ( n , 0 ) d e p e n d so n d b u t n o t n . T h e same q u a n t i t a t i v e a g r e e m e n t was f o u n df o r k n o t s 5 1 a n d 5 2 . E q . 2 h a s b e e n v a l i d a t e d f o r k n o t t i n g

0 . 2 0

0 . 1 6

0 . 1 2CE - 0 . 0 8

0 . 0 40 . 0 0 0 . 1 5 0 . 2 0

B i o p h y s i c s : R y b e n k o v e t a l .

1


4/5

P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 9 0 ( 1 9 9 3 )2 0

1 5 k

EC 6 1 0

5

0 . 0 10.001 0 . 0 1 0 . 1 1 1 0

[ N a l , MF I G . 5 . DNA e f f e c t i v e d i a m e t e r as a f u n c t i o n o f s o l u t i o n N a C lc o n c e n t r a t i o n . T h e p r o b a b i l i t i e s o f t r e f o i l k n o t f o r m a t i o n ( F i g . 2 )were s u b s t i t u t e d i n E q . 2 , a n d t h e v a l u e o f P 3 ( n , 0 ) was f o u n d f r o mF i g . 3 A . T h e r e s u l t i n g v al ue s o f d e f f ( v ) as a f u n c t i o n o f N a C lc o n c e n t r a t i o n are c o m p a r e d w i t h t h o s e c a l c u l a t e d b y S t i g t e r (- - -)o n t h e b a s i s o f p o l y e l e c t r o l y t e t h e o r y ( 1 3 ) .

p r o b a b i l i t i e s - 5 x 1 0 - 4 . T h e p r o b a b i l i t y o f k n o t s c o n t a i n i n gmore t h a n f i v e c r o s s i n g s was l e s s t h a n 4 x 1 0 - 4 X n a n dd e c r e a s e d r a p i d l y w i t h i n c r e a s i n g v a l u e s o f d l b .DN A E f f e c t i v e D i a m e t e r . T h e a v a i l a b i l i t y o f b o t h e x p e r i -m e n t a l a n d n u m e r i c a l r e s u l t s a l l o w e d u s t o c a l c u l a t e t h e DNAe f f e c t i v e d i a m e t e r a s a f u n c t i o n o f e l e c t r o l y t e c o n c e n t r a t i o n .T h e o n l y a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n we n e e d e d was t h e n u m b e ro f Kuhn s t a t i s t i c a l s e g m e n t s i n P 4 DNA. F o r t h e i o n i cc o n d i t i o n s i n o u r e x p e r i m e n t s , t h e Kuhn s t a t i s t i c a l l e n g t h i sk n o w n w i t h h i g h a c c u r a c y t o b e 1 0 0 5 nm ( 3 0 ) . T h e r e f o r e ,t h e l e n g t h o f P 4 DNA i s 3 4 Kuhn s t a t i s t i c a l l e n g t h s .T h e v a l u e s o f t h e d o u b l e - h e l i x e f f e c t i v e d i a m e t e r , d e f f ,c a l c u l a t e d f r o m t h e p r o b a b i l i t y o f t r e f o i l f o r m a t i o n are p l o t t e das a f u n c t i o n o f s o l u t i o n N a C l c o n c e n t r a t i o n i n F i g . 5 . E v e n i ns o l u t i o n s o f m o d e r a t e s a l t c o n c e n t r a t i o n , t h e v a l u e o f d o f f i ss e v e r a l t i m e s t h a t o f t h e g e o m e t r i c d i a m e t e r o f a d o u b l e h e l i x ,2 . 0 n m . F o r e x a m p l e , i n s o l u t i o n s c o n t a i n i n g t h e p h y s i o l o g i c a lc o n c e n t r a t i o n o f N a C l , 0 . 1 5 M , d o f f i s e q u a l t o 5 n m .T h e d a t a i n F i g . 5 are b a s e d o n t h e p r o b a b i l i t y o f t r e f o i lf o r m a t i o n o n l y . T h e r e f o r e t h e d a t a o n t h e f o r m a t i o n o f f o u r -a n d f i v e - n o d e d k n o t s p r o v i d e d a c h e c k o n t h e s e l f -c o n s i s t e n c y o f o u r r e s u l t s . I n 1 M N a C l , d o f f e q u a l s 2 . 7 nm( F i g . 5 ) . F o r t h i s v a l u e o f d , t h e s i m u l a t e d p r o b a b i l i t i e s o ff o u r - a n d f i v e - n o d e d k n o t s e q u a l 4 . 7 x 1 0 - 3 a n d 1 . 9 x 1 0 - 3 ,r e s p e c t i v e l y . T h e m e a s u r e d v a l u e s are 4 . 4 x 1 0 - 3 a n d 2 . 5 x1 0 - 3 . When o n e c o n s i d e r s t h e e x p e r i m e n t a l error i n m e a-s u r e m e n t s o f s u c h l o w f r e q u e n c i e s o f k n o t s ( = 3 0 % ) , t h ea g r e e m e n t b e t w e e n t h e t h e o r e t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l r e s u l t si s a c c e p t a b l e .

DISCUSSIONWe h a v e m e a s u r e d t h e k n o t t y p e d i s t r i b u t i o n f o r r a n d o m l yc y c i z e d DNA. C o m p a r i n g t h e s e d a t a w i t h a M o n t e C a r l os i m u l a t i o n o f k n o t t i n g p r o b a b i l i t y , we c a l c u l a t e d t h e d o u b l e -h e l i x e f f e c t i v e d i a m e t e r i n d i f f e r e n t i o n i c c o n d i t i o n s . T h i sa n a l y s i s i s b a s e d o n t h e a s s u m p t i o n t h a t c y c l i z a t i o n p r o d u c e dt h e e q u i l i b r i u m s e t o f DNA c o n f o r m a t i o n s . T h e r e are s t r o n ga r g u m e n t s f a v o r i n g t h i s s u p p o s i t i o n . F i r s t , i t w a s s h o w n b yWang a n d D a v i d s o n ( 1 7 ) t h a t d i f f u s i o n o f t h e c o h e s i v e e n d so f p h a g e ADNA i s n o t t h e l i m i t i n g s t e p i n DNA c y c l i z a t i o n .T h i s m e a n s t h a t t h e t i m e r e q u i r e d f o r l i n e a r DNA t o r e a c hc o n f o r m a t i o n a l e q u i l i b r i u m i s , i n g e n e r a l , much l e s s t h a n t h et i m e f o r c y c l i z a t i o n . S e c o n d , t h e same c o n c l u s i o n c a n b ed e d u c e d f r o m t h e c y c l i z a t i o n - t e m p e r a t u r e i n d e p e n d e n c e o ft h e k n o t d i s t r i b u t i o n s . T h e p r o b a b i l i t y o f k n o t t i n g was t h e

s a m e a t 4 C a n d 5 0 C even t h o u g h t h e r a t e s o f c y c l i z a t i o n a tt h e s e two t e m p e r a t u r e s d i f f e r e d b y a l m o s t 2 o r d e r s o f mag-n i t u d e . T h e r e w a s , t h e r e f o r e , 2 o r d e r s o f m a g n i t u d e m o r et i m e a t 4 C t o r e a c h c o n f o r m a t i o n a l e q u i l i b r i u m . O v e r t h i st e m p e r a t u r e i n t e r v a l t h e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t o f DNAc h a n g e s < 3 - f o l d a n d , t h u s , c a n n o t c o m p e n s a t e f o r t h e d i f -f e r e n c e i n c y c l i z a t i o n t i m e .O u r d a t a f o r DNA e f f e c t i v e d i a m e t e r i n N a C l s o l u t i o n s a r ei n r e m a r k a b l y g o o d a g r e e m e n t w i t h S t i g t e r ' s p r e d i c t i o n sb a s e d o n p o l y e l e c t r o l y t e t h e o r y ( 1 3 ) s h o w n i n F i g . 5 . S t i g t e r( 1 3 ) s h o w e d t h a t l o n g - d i s t a n c e i n t e r a c t i o n s were t h e c h i e fc o n t r i b u t i o n s t o t h e v a l u e o f DNA e f f e c t i v e d i a m e t e r . T h es t r i k i n g a g r e e m e n t b e t w e e n h i s t h e o r e t i c a l r e s u l t s a n d o urd a t a s h o w s t h a t p o l y e l e c t r o l y t e t h e o r y d e s c r i b e s w e l l t h e s el o n g - d i s t a n c e i n t e r a c t i o n s b e t w e e n t h e DNA s e g m e n t s .T w o o t h e r e s t i m a t i o n s o f t h e d e p e n d e n c e o f d e f f o n N a C lc o n c e n t r a t i o n h a v e b e e n m a d e b a s e d o n t h e o s m o t i c p r e s s u r eo f c o n c e n t r a t e d DNA s o l u t i o n s ( 1 4 , 1 5 ) . T h e a g r e e m e n t i se x c e l l e n t f o r t h e r e s u l t s o f o n e s t u d y ( 1 4 ) a n d f a i r f o r t h o s e o ft h e o t h e r ( 1 5 ) . An i n d e p e n d e n t m e a s u r e o f t h e Na + d e p e n -d e n c e o f k n o t t i n g p r o b a b i l i t y b y S h a w a n d Wang ( 3 3 ) i s a l s overy s i m i l a r t o o u r s . T h u s , t h e r e i s c o n v i n c i ng e v i d en c e t h a tt h e m a r k e d d e p e n d e n c e o f DNA e f f e c t i v e d i a m e t e r o n N a C lc o n c e n t r a t i o n i s k n o w n w i t h accuracy.

T h e f i n d i n g t h a t t h e e f f e c t i v e d i a m et e r o f d o u b l e - s t r a n d e dDN A c a n b e s e v e r a l t i m e s g r e a t e r t h a n t h e g e o m e t r i c o n e h a ss i g n i f i c a n t consequences f o r t h e c o n f o r m a t i o n o f DNA.T h e s e consequences are e s p e c i a l l y m a r k e d f o r s u p e r c o i l e dDNA, w h e r e t h e r e are c l o s e c o n t a c t s b e t w e e n p o r t i o n s o f t h eDNA c h a i n . C o m p u t e r s i m u l a t i o n s s h o w t h a t p r o p e r t i e s o fs u p e r c o i l e d DNA s u c h as average w r i t h e , s u p e r c o i l i n g f r e ee n e r g y , average s u p e r h e l i x d i a m e t e r , a n d , e s p e c i a l l y , t h eaverage n u m b e r o f b r a n c h p o i n t s i n t h e i n t e r w o u n d s u p e r -h e l i x d e p e n d s t r o n g l y o n t h e DNA e f f e c t i v e d i a m e t e r ( 3 1 , 3 2 ) .A n y q u a n t i t a t i v e a n a l y s i s o f s u p e r c o i l e d DNA p r o p e r t i e sm u s t t a k e i n t o a c c o u n t t h e i r d e p e n d e n c e o n i o n i c c o n d i t i o n s ,a n d o u r r e s u l t s p r o v i d e t h e m e a n s o f d o i n g s o .

T h i s w o r k w a s s u p p o r t e d b y N a t i o n a l I n s t i t u t e s o f H e a l t h G r a n tG M 3 1 6 5 7 , N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n G r a n t D M S - 8 8 2 0 2 0 8 , a n dN a t i o n a l I n s t i t u t e o f E n v i r o n m e n t a l H e a l t h S c i e n c e s C e n t e r G r a n tE S 0 1 8 9 6 t o N . R . C .1 . F r i s c h , H . L . & W a s s e r m a n , E . ( 1 9 6 1 ) J . Am . C h e m . S o c . 8 3 ,3 7 8 9 - 3 7 9 5 .2 . D e l b r u c k , M . ( 1 9 6 2 ) i n M a t h e ma t i c a l P r o b l e m s i n t h e B i o l o g -i c a l S c i e n c e s , e d . B e l l m a n , R . E . ( A m . M a t h . S o c . , P r o v i -d e n c e , R I ) , p p . 5 5 - 6 2 .3 . V o l o g o d s k i i , A . V . , L u k a s h i n , A . V . , F r a n k - K a m e n e t s k i i ,M . D . & n s h e l e v i c h , V . V . ( 1 9 7 4 ) S o v . P h y s . JETP ( E n g I .T r a n s l . ) 3 9 , 1 0 5 9 - 1 0 6 3 .4 . F r a n k - K a m e n e t s k i i , M. D . & V o l o g o d s k i i , A . V . ( 1 9 8 1 ) S o v .P h y s . - U s p . ( E n g l . T r a n s l . ) 2 4 , 6 7 9 - 6 % .5 . M i c h e l s , J . P . J . & W i e g e l , F . W. ( 1 9 8 6 ) P r o c . R . S o c . L o n d o nA 4 0 3 , 2 6 9 - 2 8 4 .6 . D i e t r i c h - B u c h e c k e r , C . 0. & S a u v a g e , J . - P . ( 1 9 8 9 ) A n g e w .

C h e m . I n t . E d . E n g l . 2 8 , 1 8 9 - 1 9 2 .7 . D u , S . M . & S e e m a n , N . C . ( 1 9 9 2 ) J . Am. C h e m . S o c . 1 1 4 ,9 6 5 2 - 9 6 5 5 .8 . L i u , L . F . , D e p e w , R . E . & W a n g , J . C . ( 1 9 7 6 ) J . M o l . B i o l .1 0 6 , 4 3 9 - 4 5 2 .9 . W a s s e r m a n , S . A . & C o z z a r e l l i , N . R . ( 1 9 8 6 ) S c i e n c e 2 3 2 ,9 5 1 - 9 6 0 .1 0 . S h i s h i d o , K. , K o m i y a m a , N . & I k a w a , S . ( 1 9 8 7 ) J . M o l . B i o l .1 9 5 , 2 1 5 - 2 1 8 .1 1 . W h i t e , J . H . , M i l i e t t , K . C . & C o z z a r e l l i , N . R . ( 1 9 8 7 ) J . M o l .B i o l . 1 9 7 , 5 8 5 - 6 0 3 .1 2 . S u m n e r s , D . W. ( 1 9 9 0 ) M a t h . I n t e l l i g e n c e r 1 2 , 7 1 - 8 0 .1 3 . S t i g t e r , D . ( 1 9 7 7 ) B i o p o l y m e r s 1 6 , 1 4 3 5 - 1 4 4 8 .1 4 . B r i a n , A . A . , F r i s c h , H. L. & Lerman, L. 5 . ( 1 9 8 1 ) Biopoly-mer s 2 0 , 1 3 0 5 - 1 3 2 8 .1 5 . Y a r m o l a , E . G . , Z a r u d n a y a , M. I . & L a z u r k i n , Y . S . ( 1 9 8 5 ) J .B i o m o l . S t r u c t . D y n . 2 , 9 8 1 - 9 9 3 .

\A \* \

*\ A11

\ A\ ~, . ~ k -

5 3 1 0 B i o p h y s i c s : R y b e n k o v e t a l .


5/5

B i o p h y s i c s : Rybenkov e t a l .M u r r a y , K . & M u r r a y , N . E . ( 1 9 7 3 ) N a t u r e N ew B i o l . 2 4 3 ,1 3 4 - 1 3 9 .W a n g , J . C . & D a v i d s o n , N . ( 1 9 6 8 ) C o l d S p r i n g H a r b o r S y m p .Q u a n t . B i o l . 3 3 , 4 0 9 - 4 1 5 .K l e n i n , K . V . , V o l o g o d s k i i , A . V . , A n s h e l e v i c h , V . V . ,D y k h n e , A . M . & F r a n k - K a m e n e t s k i i , M . D . ( 1 9 8 8 ) J . B i o m o l .S t r u c t . D y n . 5 , 1 1 7 3 - 1 1 8 5 .R a i m o n d i , A . , D o n g h i , R . , M o n t a g u t i , A . , P e s s i n a , A . & D e h o ,G . ( 1 9 8 5 ) J . V i r o l . 5 4 , 2 3 3 - 2 3 5 .B e r t a n i , L . E . ( 1 9 6 4 ) B i o c h i m . B i o p h y s . A c t a 8 7 , 6 3 1 - 6 4 0 .L i u , L . F . , D a v i s , J . L . & C a l e n d e r , R . ( 1 9 8 1 ) N uc l e i c A c i d sR e s . 9 , 3 9 7 9 - 3 9 8 9 .W a n g , J . C . & D a v i d s o n , N . ( 1 9 6 6 ) J . M o l . B i o l . 1 5 , 1 1 1 - 1 2 3 .S u n d i n , 0 . & V a r s h a v s k y , A . ( 1 9 8 0 ) C e l l 2 1 , 1 0 3 - 1 1 4 .D r o g e , P . & C o z z a r e l l i , N . R . ( 1 9 9 2 ) M e t h o d s E n z y m o l . 2 1 2 ,1 2 0 - 1 3 0 .W a s s e r m a n , S . A . & C o z z a r e l l i , N . R . ( 1 9 9 1 ) J . B i o l . C h e m .2 6 6 , 2 0 5 6 7 - 2 0 5 7 3 .

P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 9 0 ( 1 9 9 3 ) 5 3 1 12 6 . J o h n s t o n , R . F . , P i c k e t t , S . C . & B a r k e r , D . L . ( 1 9 9 0 ) E l e c -t r o p h o r e s i s 1 1 , 3 5 5 - 3 6 0 .2 7 . M e t r o p o l i s , N . , R o s e nb l u th , A . W . , R o s e n b l u t h , M . N . ,T e l l e r , A . H . & T e l l e r , E . ( 1 9 5 3 ) J . C h e m . P h y s . 2 1 , 1 0 8 7 - 1 0 9 2 .2 8 . F r a n k - K a m e n e t s k i i , M . D . , L u k a s h i n , A . V . , A n s h e l e v i c h ,V . V . & V o l o g o d s k i i , A . V . ( 1 9 8 5 ) J . B i o m o l . S t r u c t . D y n . 2 ,1 0 0 5 - 1 0 1 2 .2 9 . R o l f s e n , D . ( 1 9 7 6 ) K n o t s a n d L i n k s ( P u b l i s h o r P e r i s h , B e r k e -l e y , C A ) .3 0 . H a g e r m a n , P . J . ( 1 9 8 8 ) A n n u . R e v . B i o ph y s . B i o ph y s . C h e m .

1 7 , 2 6 5 - 2 8 6 .3 1 . K l e n i n , K . V . , V o l o g o d s k i i , A . V . , A n s h e l e v i c h , V . V . ,D y k h n e , A . M . & F r a n k - K a m e n e t s k i i , M . D . ( 1 9 9 1 ) J . M o l .B i o l . 2 1 7 , 4 1 3 - 4 1 9 .3 2 . V o l o g o d s k i i , A . V . , L e v e n e , S . D . , K l e n i n , K . V . , F r a n k -K a m e n e t s k i i , M . D . & C o z z a r e l l i , N . R . ( 1 9 9 2 ) J . M o l . B i o l .2 2 7 , 1 2 2 4 - 1 2 4 3 .3 3 . S h a w , S . Y . & W a n g , J . C . ( 1 9 9 3 ) S c i e n c e , 2 6 0 , 5 3 3 - 5 3 6 .

1 6 .1 7 .1 8 .1 9 .2 0 .2 1 .2 2 .2 3 .2 4 .2 5 .

Documents

Valentin V. Rybenkov, Nicholas R. Cozzarelli and Alexander V. Vologodskii- Probability of DNA knotting and the effective diameter of the DNA double helix