Variabile aleatoare 48

Probleme propuse.

Variabile aleatoare discrete

1. Se testeaz 3 tipuri de produse. Probabilitile ca acestea s fie corespunztoare sunt

9,0p1 , 8,0p2 , respectiv 85,0p3 . S se determine repartiia variabilei aleatoare X care ia

ca valori numrul de produse care corespund. S se scrie funcia de repartiie. 2. ntr-un atelier sunt 3 maini care produc piese identice. Mainile scot rebuturi de 1%, 0,5%, respectiv 2%. Se alege cte o pies de la fiecare main. S se scrie repartiia v.a. care ia ca valori numrul pieselor defecte.

Indicaie. Se folosete schema binomial generalizat 3. ntr-o urn sunt 15 bile albe i 25 bile negre. S se determine repartiia variabilei aleatoare X care ia ca valori numrul de bile albe obinute n 5 extrageri dac a) bila nu se pune napoi n urn; b) bila se pune napoi n urn.

Indicaie.a) Se folosete repartiia hipergeometric; b) Se folosete repartiia binomial 4. Se consider variabila aleatoare X cu repartiie binomial Bi(25,0.2). S se determine a

tiind c 95.0aXP . Rezolvare. 95.0aXP 95.0aF 8)2.0,25,95.0(qbinoma .

qbinom 0.95 25 0.2( ) 8

5. Se face controlul de calitate al unui lot de piese astfel: se alege o pies; dac e defect, lotul se respinge; dac nu, se alege alt pies. Numrul maxim de piese verificate este 6. S se scrie repartiia variabilei aleatoare X care ia ca valori numrul de piese verificate, tiind c

probabilitatea ca o pies luat la ntmplare s fie bun este 8,0 .

Indicaie. Se folosete repartiia geometric 6. Se consider o variabil aleatoare X cu repartiie geometric de parametru p=0.15. S se

determine a tiind c 99.0aXP . a= qgeom 0.99 0.15( ) 28

7. La un dispecerat al Salvrii sunt n medie 4 solicitri pe minut. Considerm variabila aleatoare X care ia ca valori numrul de solicitri pe durata de timp de 3 minute. S se determine probabilitatea ca n 3 minute s fie : a) 10 solicitri, b) mai puin de 10 solicitri, c) cel puin 10 solicitri. 8. O societate de asigurri primete solicitri de despgubire. Presupunem c numrul anual de astfel de solicitri este o v.a. X cu repartiie Poisson de parametru 10. S se scrie repartiia v.a. X, s se determine numrul mediu anual de solicitri i probabilitatea ca ntr-un an s fie cel mult 5 solicitri.

Indicaie. Se folosete repartiia Poisson

9. Se consider o variabil aleatoare X cu repartiie Poisson de parametru 4 . S se

determine a tiind c 99.0aXP .

a= qpois 0.99 4( ) 9

10. S se afle IRp a.. variabila aleatoare X s aib repartiia:

22 p5p2pp

432:X

11. S se determine IR, a.. variabila aleatoare

6

1

3

1

2

12

:X s aib media i

dispersia 1.

Variabile aleatoare 49

12. S se determine IRp,p,p 321 a.. variabila aleatoare

321 ppp

321:X s aib media

3

5i

dispersia 9

5.

13. Fie variabilele aleatoare independente

5

2

5

2

5

1211

:X i

6

1

3

1

2

1310

:Y . S se scrie

repartiiile v.a. 2X , X

1, YX , YX . S se verifice c YMXMYXM .

14. Se dau variabilele aleatoare

3

2

3

111

:X i

4

3

4

110

:Y a.. k0Y,1XP . S se

determine coeficientul de corelaie al v.a. X i Y. Pentru ce valori ale lui k X i Y sunt independente?

15. Fie v.a. X i Y cu repartiia comun

X\Y 0 3 4 5

-1 36

1

36

3

36

5

36

2

1 36

4

36

2

36

7

36

1

2 36

6

36

1

36

2

36

2

S se scrie repartiiile v.a. X i Y i s se calculeze coeficientul de corelaie. X i Y sunt independente?

16. Fie variabilele aleatoare X i Y astfel nct 4XM i 7YM . Calculai Y3X2M .

17. Se consider v.a. X i Y pentru care 3

1XM ,

12

1YM ,

36

35XD ,

144

95YD ,

1335

17Y,X . Se consider v.a 1X5Y2YX3XZ 22 . S se calculeze ZM .

18. Fie X i Y dou variabile aleatoare discrete definite astfel :

Alevenimentu aparenu daca 0,

Alevenimentu apare daca , 1 X ,

B even aparenu daca 0,

B even apare daca , 1 Y . tiind c

4

1AP ,

2

1A/BP ,

4

1B/AP , s se calculeze Y,X . Ce putei spune?

19. Se consider variabilele aleatoare independente

3

2,5BiX i Y cu repartiie

hipergeometric cu 20N , 4n , 12b . S se calculeze media i dispersia variabilei YX .

20. S se scrie repartiia v.a. discrete X care are funcia de repartiie IRIR:F ,

Variabile aleatoare 50

4x,1

4x2,12

7

2x1,12

3

1x1,12

1

1x,0

xF

Variabile aleatoare continue

21. Se consider v.a. continu X cu densitatea de repartiie. S se determine funcia de

repartiie pentru v.a. 4X3Y i XeZ . 22. Timpul de ateptare ntr-o staie de autobuz este o v.a. continu cu densitatea de repartiie

restin,0

10x5,x

5x0,x

xfX

i media 5XM . a) S se afle i IR .

b) Care este probabilitatea ca timpul de ateptare s fie cuprins ntre 3 i 8 minute? c) Care este probabilitatea ca timpul de ateptare s fie cel mult 10 minute?

23. Se consider funcia IRIR:f ,

,20,x,0

2,0x,axxf

2

a) S se determine IRa astfel nct f s reprezinte densitatea de probabilitate a unei

variabile aleatoare continue X; b) S se calculeze XM , XD i 5,1X1P . R: 8/3a

24. Se consider funcia IRIR:f ,

,31,x,0

3,1x,1xaxf

a) S se determine IRa astfel nct f s reprezinte densitatea de repartiie a unei variabile

aleatoare continue X; b) S se scrie funcia de repartiie a lui X; c) S se calculeze XM , XD i 5,2X5,1P .

R: 6/1a

25. Se consider funcia IRIR:f ,

,41,x,0

4,1x,bxaxf

a) S se determine IRb,a astfel nct f s reprezinte densitatea de repartiie a unei variabile

aleatoare continue X tiind c 3XM ; b) S se scrie funcia de repartiie a lui X; c) S se calculeze XD i 3X0/2XP .

R: 9/1a , 18/1b

Variabile aleatoare 51

26. Se consider funcia IRIR:F ,

2x,1

2,1x,bxa

1x,0

xF

a) S se determine IRb,a astfel nct F s reprezinte funcia de repartiie a unei variabile

aleatoare continue X; b) S se scrie densitatea de repartiie a variabilei aleatoare X; c) S se

calculeze XM , XD i 5,0XP . R: 3/1ba

27. Fie funcia IRIR:f , 2x1

cxf

. S se determine parametrul c astfel nct f s fie

densitatea de repartiie a unei v.a. continue (repartiia Cauchy). S se calculeze media.

28. Presupunem c ntr-o colectivitate greutatea unui individ este o v.a. X cu repartiie

normal 2,mN cu m=75 kg i kg10 . a) Care este probabilitatea ca un individ ales la ntmplare s aib o greutate cuprins

ntre 65 i 90 kg?

b) S se determine IRa a.. 9,0aXP ? 29. O pies produs de o main este considerat bun dac abaterea dimensiunii de control de la valoarea nominal nu depete 2 mm. Abaterile reprezint o v.a. avnd o repartiie normal cu media 0 i dispersia 3. Care este proporia de piese bune produse de main? 30. Se tie c rezistena unui tip de rezistor este o v.a. cu repartiie normal. Se consider o mulime de rezistori a.. 8% dintre ei au o rezisten mai mare de 10 , iar 10% dintre ei au rezistena mai mic de 9 . S se determine valoarea medie i dispersia rezistenelor i probabilitatea ca rezistenele s fie ntre 9,2 i 9,5 .

31. Se consider variabila aleatoare continu uniform b,aU cu media 1 i dispersia 2. S se determine IRb,a i 1XP . 32. Se consider variabilele aleatoare independente X cu repartiie normal 2,mN cu m=2 i 3 i Y cu repartiie exponenial de parametru 5 . S se calculeze media i dispersia

v.a. Y5X3Z .

33. Se consider o variabil aleatoare exponenial 4ExpT . S se calculeze 5TP . 34. Timpul de ateptare ntr-o staie de autobuz este o variabil aleatoare exponenial. Durata medie de ateptare este de 5 minute. Care este probabilitatea ca durata de ateptare s fie mai mare de 7 minute?

Rezolvare. Fie ExpT variabila aleatoare exponenial care ia ca valori intervalele de

timp de ateptare . Atunci 5TM . Se cere 7

dt,tf17TP17TP

7

0

t

tde1

1

7

0

t

e1 247,0ee 577

sau 7TP pexp(7,1/5).