Variációszámítás

SzakdolgozatMatematika alapszak

Matematikus szakirány

Szerző: Boskovits GáborTémavezető: Csikós Balázs

Eötvös Lóránd TudományegyetemTermészettudományi Kar

Matematikai IntézetGeometriai Tanszék

Budapest, 2014

Kivonat

Ez a dolgozat egy rövid monográfia, ami bevezetést nyújt a variációszámítás igen kiter-jedten alkalmazható eszköztárába, néhány példán, és a legfontosabb fizikai alkalmazásokközül néhánynak a bemutatásán keresztül. Két probléma, aminek konkrét analitikusmegoldását is előállítom a brachistochron probléma és az alagútvasút probléma. Muta-tok néhány példát minimálfelületekre, és levezetem a geodetikus egyenletet. A fizikábansok helyen a variációszámítás a Beltrami-azonosság alkalmazásához vezet, így ezt is be-mutatom. Végül megmutatom, hogy ezek a módszerek jelenleg hogyan kerülnek alkal-mazásra a modern fizika egyik legfontosabb elméletébe, a kvantum-elektrodinamikában.Itt hozhattam volna példaként az általános relativitáselmélet vagy a standard modellLagrange-függvényét is, amely két elmélet a jelenlegi fizikai tudásunk csúcsa. Így látha-tó, hogy számos esetben a variációszámítás eszköztára jól használható bizonyos eléggéáltalános feladatosztályok kezelésében.

Abstract

This document is a short monography that introduces the versitale toolset of the calcu-lus of variations through examples and applications in the area of physics. Two concreteexamples are the brachistochrone problem and the gravity train problem. Proof of thegeodetic equation and some examples of minimal surfaces are also included. In physicsBeltrami identity is extensively used, so a proof of it is included. In the final part, Ishow an example that theories of modern physics including QED, the standard modelland the theory of general relativity can be handled by the toolset of the calculus ofvariations, showing that it is an universal approach to a broad class of problems.

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 5

2. A Newton-féle mechanika és a Lagrange-féle mechanika ekvivalenciá-járól 7

3. A brachistochron probléma és általánosításai 123.1. Klasszikus brachistochron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2. Alagútvasút probléma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3. Brachistochron probléma felületre kötött részecskére . . . . . . . . . . . 19

4. A fénytörés és visszaverődés szabályainak levezetése a variációs elvből 21

5. Variációs problémák Riemann és pszeudo-Riemann sokaságokon 26

6. Minimálfelületek 306.1. A minimálfelületekről általában . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.2. Speciális minimálfelületek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7. A kvantummechanikai variációs elvek 37

8. Konklúzió 39

Függelékek 43

A. Disztribúciók, az általánosított Lagrange-lemma 44

1

Ábrák jegyzéke

3.1. A ciklois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2. A hipociklois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1. Fényelnyelődés, fénytörés és fényvisszaverődés . . . . . . . . . . . . . . 214.2. A fényvisszaverődés törvénye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3. A Mount Hood tükröződik a Mirror Lake-ben, (2006 az év képe jelölés) 224.4. A fénytörés törvénye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.5. A fénytörés és a negatív fénytörés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.6. Fénytörés a Vénuszon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.1. Gravitációs lencse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.1. Minimálfelületek a művészetben 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.2. Miniálfelületek a művészetben 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.3. A katanoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.4. A helikoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2

Definíciók jegyzéke

1. Definíció (Konzervatív vektormező) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. Definíció (Skalár poteciál) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73. Definíció (Stacionárius pont) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84. Definíció (Lagrange függvény) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85. Definíció (Hatás) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86. Definíció (Természetes számok) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97. Definíció (Tartomány) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98. Definíció (Korlátos halmaz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99. Definíció (Cm leképezés) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910. Definíció (Km leképezés) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

11. Definíció (Riemann sokaság) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2612. Definíció (Riemann mertika) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2613. Definíció (Pszeudo-Riemann sokaság) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2614. Definíció (Metrika szignatúrája) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

15. Definíció (D(G)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4416. Definíció (DK(G)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4417. Definíció (Disztribúció) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4418. Definíció (L1loc(G)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4419. Definíció (Tf (φ)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3

Tételek jegyzéke

1. Tétel (Skalár potenciál tétel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. Tétel (Newton második törvénye) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83. Tétel (Euler-Lagrange egyenletek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4. Tétel (Euler-Lagrange egyenletek improprius integrálokra) . . . . . . . 135. Tétel (Beltrami azonosság) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136. Tétel (A ciklois differenciálegyenlete) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157. Tétel (Euler-Lagrange egyenletek disztribúció értelemben) . . . . . . . 18

8. Tétel (Disztribúciókra vonatkozó Lagrange-lemma) . . . . . . . . . . . 44

4

1. fejezet

Bevezetés

A variációszámítás témakörének vizsgálatát leginkább az motiválja, hogy a fizikai rend-szerek viselkedésének leírásában rendívüli módon jól hasznosítható. Az egyik motiválópélda és egyben a terület egyik első ismert feladata a brachistochron probléma. A prob-léma felvetés a következő: találjuk meg azt a görbét, amelynek mentén egy pontszerűtest, amelyet a gravitáció gyorsít álló helyzetből a leggyorsabban jut el egyik pontbóla másikba. A feladatot 1696-ban vetették fel ebben a formában, és rögtön meg is ol-dották. Korábban hasonló feladatokat vizsgálva Galilei arra jutott, hogy a megoldásegy ellipszis megfelelő íve, azonban csak annyit látott be, hogy az jobb megoldás mintaz egyenes. A feladat valódi megoldása a ciklois ív. Korábban is mutatta magát a fi-zikai vizsgálódásokban, hogy a természet hajlamos bizonyos minimumelveket követni amozgásai során. Heron Kr. u. 60 körül írta le először a fényvisszaverődési minimumel-vet, amely szerint egy azonos anyagban haladó fénysugár, tetszőleges számú síktükörrőlvisszaverődve rövidebb utat tesz meg, mint bármely a megvalósuló út környezetébenfekvő út hossza. Ptolemaiosz már a fénytöréssel is foglalkozott, az ő érdemei azon-ban főleg pontos mérési adatsoraiban fejeződtek ki. Alchacen 1021-ben főleg ezekrea mérési adatsorokra alapozva fejtette ki elméletét, amely az első egyesített elméletevolt a fénytörésnek és visszaverődésnek, amelynek lényege, hogy a fény a legrövidebbidő alatt megtehető utat realizálja. Sokáig nem volt teljesen világos, hogy mi az okaannak, hogy a fizikai rendszerek ilyen minimumelveket követnek, csak a fizikusok észer-vettek bizonyos funkcionálokat, amelyeknek a megvalósuló pályák stacionárius pontjaivoltak. Igazi mély megértést csak Richard P. Feynman 1948-ban kidolgozott path integ-ral módszere adott, ami megmutatta, hogy a kvantumos interferenciajelenségek kioltásitartományi hogyan vezetnek a nem stacionárius pontok kizáródásához. Fontos megér-teni, hogy valójában a kvantummechanika és a statisztikus fizika sem zárja ki, hogy arendszer valamilyen más módon viselkedjen, mint a várt, de rendkívül valószínűtlenné

5

teszi ezeket az anomáliákat.A dolgozat első témája a Newton-féle mechanika és a Lagrange-féle mechanika ek-

vivalenciájának megmutatása konzervatív rendszer esetén. Fontos megjegyezni, hogyzárt fizikai rendszer konzervatív, nem konzervatív rendszerek vizsgálata akkor kerül elő-térbe, ha a rendszereket részeiben vizsgáljuk. Speciálisan a kvantummechanikai vizsgá-lódásokban a rendszerek midig konzervatívak. Érdekes kérdésfelvetés, hogy mit lehetmondani nem konzervatív rendszerek Lagrange-féle mechanikájáról. Erről az irodalommeglehetősen szűk, és ez jelenleg is kutatási terület.

A következő részben ezt az eredményt fogom felhasználni a brachistochron problémaés annak néhány általánosításának megoldására, például, hogy a föld két pontja közöttmilyen alakú alagútvasutat célszerű építeni, illetve milyen görbét fog követni a test agravitációs mezőben, ha egyéb megkötések is vannak, például egy erőhatás egy felülethezköti.

A következő témakör ezeknek a korai fénytannal kapcsolatos eredményeknek a köz-vetlen következményeinek vizsgálata lesz. Itt teszek említést a fény mozgásáról görbülttérben, Rhiemann felületek geodetikusairól.

Ezek után kis kitérőt teszünk a minimálfelületek világába, és néhány érdekes szap-panbuborékos kísérletet fogok bemutatni.

A legutolsó témakörben megmutatom, hogy hogyan lehet a Lagrange-féle mechani-kát a legújabb fizikai elméletekben alkalmazni.

6

2. fejezet

A Newton-féle mechanika és aLagrange-féle mechanikaekvivalenciájáról

Ebben a fejezetben konzervatív rendszereket fogunk vizsgálni.

1. Definíció (Konzervatív vektormező). Egy f : Rn 7→ Rn függvényt konzervatív vek-tormezőnek nevezünk, ha létezik u : Rn 7→ R függvény, amelyre f = ∇u.

2. Definíció (Skalár poteciál). Az előző jelölésekkel u az f konzervatív vektormezőhöztartozó skalár potencál.[5]

A fenti definíciók kiterjeszthetők Rn résztartományain értelmezett függvényekre.Ezen vonalak mentén lehetőség nyílik arra, hogy a definíciót kiterjesszük sokaságokra,ahol a megfelelő tulajdonságok a sokaság térképein állnak fenn.

Kérdés, hogy az ilyen vektormezők fizikailag mit fejeznek ki, érdemes-e egyáltalánfoglalkozni ezzel az osztállyal, vagy ez a függvényosztály túlságosan szűk ahhoz, hogyreleváns eredményeket lehessen levezetni. Analízisből ismert a következő:

1. Tétel (Skalár potenciál tétel). Legyenek γ a D ⊂ Rn útszerűen összefüggő nyílttartományon futó görbe a és b pontok között, f konzervatív vektormező ugyanitt, és ua hozzá tartozó skalárpotenciál. Ekkor:∫

γ

f = u(b)− u(a)

Ebből látszik, hogy amennyiben az f az erőt jelenti, úgy a munka, ami az erő gör-bementi integrálja nem függ az úttól, csak annak végpontjaitól. Így valójában azokat

7

a rendszereket írja le, amelyekben érvényes az energiamegmaradás elve. Ez a rend-szerosztály elég tág ahhoz, hogy vizsgálódásra érdemes legyen. Továbbá sok rendszerviselkedése jól közelíthető konzervatív rendszerrel (amikor az energiavesztés elhanyagol-ható).

Fizikából ismert Newton második törvénye:

2. Tétel (Newton második törvénye). F = ma

Legyen most F konzervatív vektormező, és legyen −U a hozzá tartozó skalárpotenci-ál. Ezt a fizikában a konzervatív erőtérhez tartozó potneciálfüggvények, vagy potenciálisenergiának hívják. Írjuk most ez be az előző összefüggésbe:

−∇U = ma

Nullára rendezve:ma−∇U = 0

Az eddigi átalakítás nyilván mind ekvivalensek. Most az egyszerűség kedvéért amásik irányból folytatom a bizonyítást, és ezen a ponton fognak összeérni, a bal oldalonlévő kifejezésről fog kiderülni, hogy az nem más, mint a hatásfunkcionál első variációja,így a megvalósuló pálya a hatásfuncionál stacionárius pontja, hiszen:

3. Definíció (Stacionárius pont). Olyan pont, ahol a funkcionál első variációja eltűnik.

Legyen most T a mozgási, U a potenciális energiája a rendszernek. Ekkor:

4. Definíció (Lagrange függvény). L = T − U a rendszer Lagrange függvénye.

Legyen most:

5. Definíció (Hatás). S =t1∫t0

Ldt

Megvizsgálva S-t ez egy funkcionál, a Lagrange függvények vektorterét képzi a valósszámokba. A Hamilton-elv szerint a rendszer olyan trajektóriát valósít meg t0 és t1között, amely S-nek stacionárius pontja. Ennek a stacionárius pontjait megkeresni avariációszámítás egyik alapfeladata.[10]

Lássuk. milyen eredményre jutunk:A feladatfelvetés kicsit általánosabban:Tegyük fel, hogy a vizsgált fizikai rendszer állapotát leírják a q ∈ Rn általánosított

koordináták és a dqdt

= q′ ∈ Rn általánosított sebességek. Ekkor az előző összefüggés

8

részletesen kiírva:

S(q) =

t1∫t0

L (t, q(t), q′(t)) dt (2.1)

6. Definíció (Természetes számok). Legyen N a természetes számok halmaza.

7. Definíció (Tartomány). Egy T topologikus tér D nyílt altere tartomány, ha össze-függő.

8. Definíció (Korlátos halmaz). Egy M mertikus tér X altere korlátos, ha X befoglal-ható M egy véges sugarú gömbjébe.

9. Definíció (Cm leképezés). Legyen m ∈ N̄, ekkor f ∈ Cm(X, Y ), ha X, Y normálttér, dom(f) ⊂ X nyílt, és f deriváltjai minden pontban léteznek és folytonosak m-edrendig bezárólag. Legyen továbbá G ⊂ X, ekkor: f ∈ Cm(G, Y ) ha dom(f) = int(G) ésf deriváltjai egyértelműen folytonosan terjednek ki G-re m-ed rendig bezárólag.

10. Definíció (Km leképezés). Olyan Cm leképzés, amelynek a legfeljebb m-ed rendűderiváltjai egy kompakt halmazon kívül eltűnnek.

3. Tétel (Euler-Lagrange egyenletek). [7] Legyen n,m.k ∈ N \ {0}. Legyen G ⊂ Rk

korlátos tartomány. Legyen M a megengedett függvények osztálya az összes olyan x ∈Cm(Ḡ;Rn) függvényekből, amelyekre az

S(u) =

∫Ḡ

L(x, u(x), u′(x), ..., u(m)(x)

)dx (2.2)

értelmes Ḡ, ahol bevezetve a v(x) jelölést L argumentumára L egy megfelelő dimenzióseuklideszi tér egy Q nyílt részhalmazán folytonos valós értékű függvény, amely elegettesz a Bu = g peremfeltételnek, ahol B a Cm(Ḡ;Rn)-beli függvényekre értelmezett li-neáris operátor, g ∈ rgn(B) és B = 0, ha u|G ∈ Km(Ḡ;Rn). L a probléma Lagrangefüggvénye.

A feladat: keressük meg:M : S(u)→ lokmin (2.3)

megoldásait.Tegyük fel, hogy az u ∈M függvényhez ∃δ > 0, hogy

S(u) ≤ S(ũ), ha ũ ∈M, ‖u− ũ‖m < δ

9

valamit u ∈ C 2m(Ḡ;Rn) és L ∈ Cm+1(Q). Ekkor u eleget tesz G-n a∑|α|≤m

(−1)|α|∂α (L∂αu(v(x)) = 0 (2.4)

Euler-Lagrange egyenletnek.

Bizonyítás. Tekintsük azε 7→ S(u+ εw) (2.5)

leképzést, ahol w ∈ Km(Ḡ;Rn), ε ∈ R. A tétel feltételei garantálják az integrandus εszerinti parciális deriváltjának létezését, így egy környezeten fennállnak a paraméteresintegrál deriválásáról szóló tétel feltételei, valamin, mivel lokális minimum van 0-ban,így a derivált 0-beli értéke 0, azaz:∫

Ḡ

∂εL(v(x) + εw)dx = 0 (2.6)

,vagyis: ∫Ḡ

∑|α|≤m

L∂αu(v(x))∂αwdx = 0 (2.7)

Koordinátánként parciálisan integrálva:∫Ḡ

∑|α|≤m

(−1)|α|∂αL∂αu(v(x))wdx = 0 (2.8)

Ezek után koordinátánként alkalmazva a disztribúciókra vonatkozó Lagrange-lemmátkapjuk, hogy teljesülnek a:

∑|α|≤m

(−1)|α|∂α (L∂αu(v(x)) = 0 (2.9)

Euler-Lagrange egyenletek.

Az előzőekben láttuk, hogy a kiszemelt problémánk Lagrange függvénye T−U alakú.Nézzük milyen alakú az Euler-Lagrange egyenlet:

Lq(v(t))− ∂tL∂tu(v(t)) = 0 (2.10)

,azaz:∂

∂q(m

2(q′)2 − U(q)) = d

dt

∂

∂q′(m

2(q′)2 − U(q)) (2.11)

10

vagyis a deriválásokat elvégezve:

−∇U = mq′′ (2.12)

,amivel az ekvivalencia bizonyítása kész.

11

3. fejezet

A brachistochron probléma ésáltalánosításai

3.1. Klasszikus brachistochron

[1]A problémafelvetés az, hogy határozzuk meg annak a lejtőnek az alakját, amelynek

mentén egy pontszerű test álló helyzetből a pontból b-be juttatható úgy, hogy csaka gravitáció hat rá. Az előző fejezet végén levezetett Euler-Lagrange egyenletek és afunkcionál-minimalizálással kapcsolatos eredmény arra mutat, hogy a probléma megol-dásához célszerű lenne valami olyan funkcionált felírni, amely függvénye a pályának, ésaz értéke az a pontból b-be jutásig eltelt idő. Ezután megvizsgáljuk, hogy fennállnak-ea feltételek, majd a ha igen, akkor megvizsgáljuk, hogy a stacionárius ponthoz tartozópálya létezik-e, és hogy ez a stacionárius pont minimumhoz tartozik-e. Ha igen, akkormegoldottuk a problémát.

Állítsunk elő egy ilyen funkcionált: tudjuk, hogy a rendszerben érvényes az ener-giamegmaradás, és válasszuk meg úgy a potenciális energia szintjét, hogy a rendszerösszenergiája nulla legyen, legyen továbbá a magasság az y tengely irányába. Tudjuk,hogy mgh = 1

2mv2, így v kifejezhető: v =

√2gh =

√2gy. Tudjuk, hogy a görbe hossza,

ha a görbe egyenlete y = f(x) akkorγ1∫γ0

√1 + γ′2(s)ds. Tudjuk, hogy ez az integrál

az út hosszát jelenti, az is világos, hogy amennyiben ebben minimalizálnánk, akkor azoptimum az egyenes lenne. Az is világos, hogy minden olyan esetben amikor a kétpont nem egymás alatt van a megoldás legalább is lokálisan ilyen alakú lesz. Azt istudhatjuk, hogy tényleg síkproblémáról van szó, hiszen az időt csak növelheti, ha kilé-pünk a síkról, hiszen vissza is kell térnünk. Most keresünk egy olyan funkcionált, ami

12

az időt fejezi ki. Lokálisan: az s = vt összefüggés érvényes. Ebből t-t kifejezve, majdmegfelelően rövid időre alkalmazva, és visszahelyettesítve a képletbe kapjuk, hogy aminimalizálandó funkcionál:

f =

γ1∫γ0

√1 + y′2

2gydx (3.1)

Ez az integrál azonban nincs definiálva a a nullában. Sajnos erre az esetre nem érvé-nyesek a korábban levezetett eredményeink, hiszen ott az integrál határozott volt, mígitt improprius. Ki kell terjeszteni az eredményeket, hogy alkalmazhatóak legyenek errea feladatra.

4. Tétel (Euler-Lagrange egyenletek improprius integrálokra). Legyen I, J ⊂ R nyíltintervallumok, I = (c, d), c ∈ R, és O = I × J . Legyen L valós C1 O-n, γ ∈ C([a, b])és folytonosan differenciálható (a, b]-n és ∀t ∈ (a, b] : (γ(t), γ′(t)) ∈ O. Legyen továbbáα, β ∈ R és X az ilyen γ-k közül azok, amelyekre még a γ(a) = α, γ(b) = β és definiálta:

L(γ) =b∫

a

L(γ(t), γ′(t))dt (3.2)

integrál.Ekkor: ha γ szélsőértéke L-nek X-ben, akkor γ kielégíti az Euler-Lagrange egyenle-

teket (a, b]-n.

Ennek a tételnek a birtokában már felírhatjuk az Euler-Lagrange egyenleteket, ame-lyek a konstanssal előbb egyszerűsítve a következők lesznek:

∂f

∂y− ddx

(∂f

∂y′

)= 0 (3.3)

Most egy gyakran haszált alternatív formáját is felírom az Euler-Lagrange egyen-letnek, amit Beltrami azonosság[2] néven ismert:

−∂f∂x

+d

dx

(f − yx

∂f

∂yx

)(3.4)

, és mivel f -ben nem jelenik meg x explicit módon, így egyből a:

f − yx∂f

∂yx= C (3.5)

összefüggésre jutunk.

13

5. Tétel (Beltrami azonosság). [2] Az f(x, y, yx)-re vonatkozó

∂f

∂y− ddx

(∂f

∂yx

)= 0 (3.6)

Euler-Lagrange egyenlet ekvivalens a

−∂f∂x− ddx

(f − yx

∂f

∂yx

)= 0 (3.7)

Beltami egynelettel.

Bizonyítás. Nézzük először f x szerinti deriváltját:

df

dx=∂f

∂yyx +

∂f

∂yxyxx +

∂f

∂x(3.8)

Most szorozzuk be az Euler-Lagrange egyenletet yx-el.

yx∂f

∂y− yx

d

dx

(∂f

∂yx

)= 0 (3.9)

Most behelyettesítve yx ∂f∂y -be, és 0-ra rendezve:

df

dx− ∂f∂yx

yxx −∂f

∂x− yx

d

dx

(∂f

∂yx

)= 0 (3.10)

Azaz:−∂f∂x− ddx

(f − yx

∂f

∂yx

)= 0 (3.11)

Ennek kiértékeléséhez:

∂f

∂y′=

1√2gy

1

2√

1 + y′22y′ (3.12)

Ezt behelyettesítve az előző alakba:√1 + y′2

2gy− 1√

2gy

1

2√

1 + y′22y′2 = C (3.13)

,egyszerűsítve:1

√y√

1 + y′2= C (3.14)

14

,ahol a konstansokat összeolvasztottam, azaz:

(1 + y′2)y = C (3.15)

,vagyis:

y′2 =C

y− 1 (3.16)

,amit egy ciklois elégít ki[9].

3.1. ábra. A ciklois

6. Tétel (A ciklois differenciálegyenlete). A ciklois kielégíti a

y′2 =C

y− 1 (3.17)

differenciálegyenletet.

Bizonyítás. Tekintsük a ciklois szokásos paraméterezését:

x = r(t− sin(t)) (3.18)

y = r(1− cos(t)) (3.19)

Meghatározva a deriváltakat:

dx

dt= r(1− cos(t)) = y (3.20)

dy

dt= rsin(t) (3.21)

Ezek után: (dy

dx

)2=

(dydtdxdt

)2=

(rsin(t)

y

)2(3.22)

15

Most egyszerűsítve:

r2sin2(t)

y2=

1

y

r(1− cos(t))r(1 + cos(t))r(1− cos(t))

(3.23)

Végül:r(1 + cos(t)) = 2r + r(cos(t)− 1) = 2r − y (3.24)

Visszahelyettesítve: (dy

dx

)2=

2r − yy

=C

y− 1 (3.25)

Más stacionárius pont nincs. Kellene még, hogy ez valóban minimum. Ez a továbbideriváltak vizsgálatával dönthető el, azonban közvetlenül a Hesse mátrix vizsgálata nemvezet eredményre, de megfelelő koordináta transzformációval már megmutatható, hogyvalóban ez az egyetlen minimum.

3.2. Alagútvasút probléma

[14]A probléma a következő: tekintsünk egy pontot az álló, gömb alakú, homogén sűrű-

ségű Föld felszínén. Ez legyen az alagútvasút kiinduló pontja. Legyen egy másik ponta felszínen a vasút végpontja. Kérdés, hogy milyen alakú pályán vezessük a vasutatat,hogy az idő a legrövidebb legyen.

Ezek után akkor az előző problémához hasonlóan az itt is lokálisan érvényes t = sv-

ből és az energiamegmaradásból indulhatunk ki. Itt is álló helyzetből indul a test. Afő különbség, hogy itt a szférikus koordináták használata lesz a célravezető, a problémagömbi szimmetriájából adódóan. Mostantól vegyesen fogom használni a Newton-féle ésLagrange-féle mechanika érvrendszerét, hiszen bizonyos dolgok az egyik, míg bizonyosdolgok a másik rendszerben láthatóak jobban. Világos, hogy a probléma itt is síkprob-léma, a meghatározó sík a két pont, és a gömb középpontja által kifeszített sík. Ezabból világos, hogy a radiális erőtér nem lép ki ebből a síkból. Most határozzuk meg apotenciális energiát:

Először is a térerősség képlete ismert:

F = −GMr3

r (3.26)

Tudjuk továbbá, hogy a felületen a mező folytonosan változik, a felülethez állítva

16

a potenciális energia nulla pontját világos, hogy csak a gömb belsejében van szükség apotenciális energia értékére. Bizonyítható, hogy egy ilyen erőtérben a gömb belsejébenlévő pont olyan eredő erőhatást érez, amilyent a belül megmaradó tömeg eredményezne.A belül megmaradó tömeg, ha R a nagy gömb sugara, M a nagy gömb tömege akkor:M Vr

VR. Azaz:

m(r) = M43πr3

43πR3

= cr3 (3.27)

Ezt behelyettesítve a térerősség képletébe:

F = −cr (3.28)

Integrálva R és r között:

T =

r∫R

Fdr = c1r2 − c2 (3.29)

Tudjuk, hogy az energiamegmaradás miatt, valamit folytatva az egység tömegűpróbatest használatát:

T = −U = v2

2(3.30)

Így:v =

√c2 − c1r2 (3.31)

A pálya hosszát polár koordinátákban az

s =

θ1∫θ0

√r2 +

(dr

dθ

)2dθ (3.32)

Ezek után, hasonlóan az előző esethez:

t =

θ1∫θ0

√r2 +

(drdθ

)2c2 − c1r2

dθ (3.33)

Sajnos, most nem alkalmazható még az előző eredmény sem, hiszen nem áll fenn atétel feltétele, itt mind a két végponton baj van az integrállal. Azonban hasonló érve-léssel az eredmény kiterjeszthető erre a helyzetre, hiszen az integrandus jól viselkedik anyílt intervallumon. Gond lehetne ha a felszínen haladna az útvonal valahol, akkor ottelromlana az integrál, azonban azt is tudjuk, hogy akkor a test meg is állna, így ilyen

17

pont csak a kezdő és a végpont lehet.

7. Tétel (Euler-Lagrange egyenletek disztribúció értelemben). Most annak a bizonyítá-sa következik, kicsit általánosabban, hogy a határon jelentkező problémák, sőt, általábanminden olyan, ami nem lokális igazából nem hat ki a minimumra. A terv a következő:vegyünk egyre nagyobb kompakt halmazokat, és azok kis nyílt környezeteit. Készítsünkolyan buckafüggvényt, amelynek ezen a kompakton 1, a nyílton kívül pedig már azono-san 0. A kompaktokkal közelítsük meg az értelmezési tartományt. Ezzel a sorozattalszorozzuk be a függvényünket. Így disztribúció értelemben tarthatunk a megoldáshoz,ami megfelelő simasági feltételek mellett teljesül a klasszikus értelemben is.

Lássuk milyen eredményre vezetnek az Euler-Lagrange egyenletek: mivel itt semjelenik meg θ explicit módon, így itt is közvetlenül a Beltrami azonossgából kapjuk,hogy:

f − rθ∂f

∂rθ= C (3.34)

ahol f az integrandus.Most számítsuk ki a deriváltat:

∂f

∂rθ=

1√c2 − c1r2

rθ√r2 + r2θ

(3.35)

Ezt behelyettesítve:

C =r2

√c2 − c1r2

√r2 + r2θ

(3.36)

Fejezzük ki rθ-ra:

r2θ =(1 + c1)r

4 − c2r2

c2 − c1r2(3.37)

Ezt az egyeneletet egy hipociklois elégíti ki. Ez hasonlóan látható be, mint a klasszi-kus problémánál, felhasználva a

x(t) = (R− r)cos(t) + rcos(R− rr

t

)(3.38)

y(t) = (R− r)sin(t)− rsin(R− rr

t

)(3.39)

paraméterzést, a polárkoordinátákra való áttéréshez felhasználva a:

r =√x2 + y2 (3.40)

θ = tan−1(yx

)(3.41)

18

összefüggéseket, és a láncszabályt:

(dr

dθ

)2=

(drdtdθdt

)2=

(drdx

dxdt

+ drdy

dydt

dθdx

dxdt

+ dθdy

dydt

)2(3.42)

3.2. ábra. A hipociklois

3.3. Brachistochron probléma felületre kötött részecs-

kére

[4]Legyen S sima felület egy gravitációs mezőben, A,B ∈ S két pont. Kérdés az S-en

futó az A-ból B-be menő minimális idejű görbe. Legyen most is U a potenciális energia,és használjuk az energiamegmaradást. Mint eddig, most is a következő eredménytkapjuk a sebességre:

v2 = −2U (3.43)

Hasonlóan a korábbiakhoz:

t = ±√

1

2

B∫A

√1

−Uds (3.44)

19

Áttérve egy ortogonális lokális koordinátarendszerre S-en:

ds2 = Edu2 +Gdv2 (3.45)

Ahol E és G a metrikus együtthatók.Tovább alakítva:

t = ±√

1

2

B∫A

√E(dudv

)2+G

−Udv = ±

√1

2

B∫A

f(u, v, u′)dv (3.46)

A korábbiakhoz hasonlóan, mivel u, v nem jelenik meg explicit módon, így az Euler-Lagrange egyeneletek a

∂f

∂u′= C (3.47)

alakra egyszerűsödnek.Elvégezve a deriválást:

± Eu′√

−U(E(u′)2 +G)= C (3.48)

egyeneletet kapjuk.u′-t kifejezve:

du

dv= ±

√UC̃G

E2 − EC̃U(3.49)

Legtöbb esetben ez az egyenlet konkrétan behelyettesítve nem lesz szép, de numerikusmódszerekkel a megoldássereg vizualizálható. A feladatnak ennek az általános esetébenennél több nem is várható el.

20

4. fejezet

A fénytörés és visszaverődésszabályainak levezetése a variációselvből

4.1. ábra. Fényelnyelődés, fénytörés és fényvisszaverődés

Fényvisszaverődés esetén a fény végig azonos közegben halad, így a sebesség állan-dó, tehát a legrövidebb idő egyben a legrövidebb út problémája is. Tudjuk továbbá,hogy olyan utat keresünk, mely érinti a "tükör" egyenesét. Ennek a problémának amegoldását már a középiskolában szokás ismertetni, geometriailag a tükrözési elv adjaa megoldást, amelyből következik, hogy a tükrözésnél a szögek azonos szögekbe men-nek, így valóban a beesési és a visszaverődési szög megegyezik. Továbbá ez a szabálylokálisan is érvényes, így görbe vonalú, kellően sima tükör az érintkezési pontban he-lyettesíthető az érintője irányában álló síktükörrel.

21

4.2. ábra. A fényvisszaverődés törvénye

4.3. ábra. A Mount Hood tükröződik a Mirror Lake-ben, (2006 az év képe jelölés)

22

Amennyiben a fénytörési jelenséget vizsgáljuk, ott megadhatjuk a fénysebességekhányadosát a két közegben. Itt is elegendő a két közeget egyenessel elválasztó ese-tet vizsgálni, az általános eset ugyanúgy következik a lokális minimumtulajdonságból,ahogy a fényvisszaverődésnél. Tehát felírva az út megtételéhez szükséges időt:

t =

√a2 + x2

c1+

√b2 + (d− x)2

c2(4.1)

Differenciálva x szerint, majd megkeresve az egyetlen zérust, ami fizikai megfontolásokalapján nyilván minimum:

x

c1√a2 + x2

=d− x

c2√b2 + (d− x)2

(4.2)

és beírva a sin definícióját:sin(α1)

c1=sin(α2)

c2(4.3)

amivel a középiskolában tanított fénytörési törvény szokásos alakjához jutunk.

4.4. ábra. A fénytörés törvénye

23

4.5. ábra. A fénytörés és a negatív fénytörés

Legyen most ρ : R3 7→ R+ olyan függvény, amely azt mondja meg, hogy az xpontban ρ(x) a fénysebesség. Kérdés, hogy milyen lesz a fény útja ebben a helyzetben.A Fremat-elv érvényben marad, így a fény itt is az időt fogja minimalizálni. Íjuk fel azidőt:

t =

B∫A

ds

ρ(x, y, z)(4.4)

Itt is a ds2 = dx2 + dy2 + dz2-t beírva kapjuk a következőt:

t =

B∫A

√(dxdz

)2+(dydz

)2+ 1

ρ(x, y, z)dz (4.5)

Most lássuk, hogy ez milyen Euler-Lagrange egyenletekre vezet:

Lu(v)−d

dxLux −

d

dyLuy = 0 (4.6)

24

A megfelelő deriválásokat a következő rendszert kapjuk:

∂L

∂x− ddz

∂L

∂xz= 0 (4.7)

∂L

∂y− ddz

∂L

∂yz= 0 (4.8)

Ez behelyettesítve L konkrét alakját a:

− 1ρ(x, y, z)

(ρx(x, y, z)

ρ(x, y, z)

√x2z + y

2z + 1 +

d

dzxz√x2z + y

2z + 1

)= 0 (4.9)

− 1ρ(x, y, z)

(ρy(x, y, z)

ρ(x, y, z)

√x2z + y

2z + 1 +

d

dzyz√x2z + y

2z + 1

)= 0 (4.10)

rendszer megoldásai a minimalizáló görbék. Még a derivált a hátsó tagból eliminál-ható, és a zárójelen kívüli tag elhagyható, mert sehol sem 0. Így kapjuk a következőegyenleteket:

ρxρ

√x2z + y

2z + 1 +

y2z + 1

3√x2z + y

2z + 1

2xzz −xzyz

3√x2z + y

2z + 1

2yzz = 0 (4.11)

ρyρ

√x2z + y

2z + 1 +

x2z + 1

3√x2z + y

2z + 1

2yzz −xzyz

3√x2z + y

2z + 1

2xzz = 0 (4.12)

4.6. ábra. A folyonosan változó törésmutató hatása a Venyera 9 űrszonda Vénusz fel-színről készített képein. Jól megfigyelhető, hogy a horizont körbehajlik.

25

5. fejezet

Variációs problémák Riemann éspszeudo-Riemann sokaságokon

[6]

11. Definíció (Riemann sokaság). Egy M valós sima sokaság, ellátva egy gp skalárisszorzattal a TpM érintőtérben minden p pontban, amely simán változik, abban az érte-lemben, hogy ha X, Y vektormezők M-en, akkor a p 7→ gp (X(p), Y (p)) sima függvény.

12. Definíció (Riemann mertika). Az előző jelölésekkel gp-t Riemann metrikánaknevezzük.

13. Definíció (Pszeudo-Riemann sokaság). Ez a Riemann sokaságok egy általánosítása,itt nem követeljük meg a metrikus tenzor pozitív definitségét, csak annyit, hogy az nelegyen degenerált.

A pszeudo-Riemann sokaságok fontosságát mutatja az alkalmazásokban, hogy azáltalános relativitáselmélet térmodellje pszeudo-Riemann sokaság.

14. Definíció (Metrika szignatúrája). Egy szimmetrikus bilineáris forma egy mátri-xának a pozitív/negatív/nulla sajátértékeinek száma. A relativitáselméleti fejtegetésbenhasznált metrikánk szignatúrája (-+++) lesz.

A távolságelem definíciója egy pszeudo-Rhiemann sokaságon a következő:

dl2 = gijẋiẋjds2 (5.1)

Ahol s skalár paraméter Ezek alapján már meghatározhatóak a geodetikusok, amelye-ken az:

l =

B∫A

√|gijẋiẋj|ds (5.2)

26

funkcionál első variációja eltűnik. Legyen a továbbiakban

L =√|gijẋiẋj| =

dl

ds(5.3)

Erre felírva az Euler-Lagrange egyenleteket:

d

ds

∂

∂ẋα

√|gijẋiẋj| =

∂

∂xα

√|gijẋiẋj| (5.4)

Ezt a kifejezést szeretnénk használhatóbb alakra hozni. Az áttekinthetőség kedvéértlegyen:

d

ds(x) = ẋ (5.5)

d

dl(x) = x′ (5.6)

Számoljuk ki a megfelelő deriváltakat:

∂

∂xα

√|gijẋiẋj| =

1

2Lsgn(gijẋ

iẋj)∂gij∂xα

ẋiẋj =

=L

2sgn(gijẋ

iẋj)∂gij∂xα

x′ix′j (5.7)

∂

∂ẋα

√|gijẋiẋj| =

1

2Lsgn(gijẋ

iẋj)gij(ẋjδiα + ẋ

iδjα)

=

=1

2Lsgn(gijẋ

iẋj)(gαjẋ

j + giαẋi)

=

=1

Lsgn(gijẋ

iẋj)giαẋi (5.8)

kihasználva a szimmetriát. Ezt deriválva:

− dds

(∂

∂ẋα

√|gijẋiẋj|

)= − 1

L

d

dssgn(gijẋ

iẋj)giαẋi =

= −L ddlsgn(gijẋ

iẋj)giαx′i =

= −Lsgn(gijẋiẋj)(giαx

′′i + g′iαx′i) =

= −Lsgn(gijẋiẋj)(giαx

′′i +∂giα∂xj

x′jx′i)

=

= −Lsgn(gijẋiẋj)(giαx

′′i +1

2

(∂giα∂xj

+∂gαj∂xi

)x′jx′i

)(5.9)

27

Most beírva az eredményeket az Euler-Lagrange egyenletbe:

0 = −Lsgn(gijẋiẋj)(giαx

′′i +1

2

(∂giα∂xj

+∂gαj∂xi

)x′jx′i

)+L

2sgn(gijẋ

iẋj)∂gij∂xα

x′ix′j

(5.10)

Beírva a megfelelő előjeleket a sgn-ok helyére, és rendezve:

giαx′′i = −1

2

(∂giβ∂xj

+∂gαj∂xβ

− ∂gβj∂xα

)x′βx′j

x′′i = −Γiβjx′βx′j (5.11)

ahol a Γ-k a Christoffel szimbólumok.

5.1. ábra. A gravitációs lencse effektus a Hubble-űrtávcső képén. Az előtérben láthatónagy tömegű elliptikus galaxis olyan mértékben hajlítja meg a háttérgalaxisból érkezőfény útját, hogy a fény fókuszálódik, illetve a kép többszöröződése is megfigyelhető.

Azzal az érdekességgel találkozhatunk a relativitáselmélet kapcsán, hogy itt a meg-valósuló stacionárius pont nem feltétlenül minimum, illetve az a jelenség is megjelenik,hogy két pont távolságának a fogalma csak kis távolságok esetén lesz jól definiált. Ér-

28

dekesség a fizika fejlődéstörténetében, hogy a 20. század elejére a klasszikus fizikagondolatai beértek, a továbblépéshez viszont olyan, az emberrel talán veleszületett be-rögződéseket kellett elvetni, mint hogy a dologok időben meghatározott sorrendbenkövetkeznek be, illetve, hogy a távolságok megmérhetők. A dolgozat végén kis kité-rőt teszük a kvantummechanika világában is, ahol olyan, korábban fundamenálisnaktartott elképzeléseket kellett elvetni, mint hogy a fizikai mennyiségek folytonosak.

29

6. fejezet

Minimálfelületek

6.1. A minimálfelületekről általában

[11] A következő szakasz a minimálfelületek világába nyúj betekintést, első sorban né-hány egyszerű példán keresztül. A két legfontosabb minimálfelület, a helikoid és a ka-tanoid tulajdonságait fogom vizsgálni, illetve némi képi illusztrációt fogok hozzá adni.A minimálfelületek tulajdonképpen a geodetikusok többdimenziós analogonjaiként le-het felfogni, és mivel több változós függvények szerepelnek a megfelelő funkcionálokbanígy az Euler-Lagrange egyeneletek itt parciális differenciálegyenletekre fognak vezet-ni. A minimálfelületek fontos tulajdonsága, hogy a felületet lokálisan minden pontjukkörnyezetében minimalizálják, a geodetikusok ehhez hasonlóan a hosszt minimalizáljáklokálisan.

30

6.1. ábra. Minimálfelületek a művészetben 1

Az ötlet kiterjeszthető az n dimenziós térre, illetve bármelyik Haussdorf mérték, sőttetszőleges mérték minimalizálására, hiszen ezek mindig jól definiált funkcionálok, ígyfelírható az Euler-Lagrange egyenlet, amellyel megfelelő simasági feltételek mellet meg-található a felületet leíró egyenlet. A minimálfelületek megjelenése a fizikában talán aszappanbuborékos kísérletekből ismert. Itt, mivel a buborékhártya tömege elhanyagol-ható, így a rendszer a legkisebb enerigájú állapotot felületi feszültség minimalizálásávaléri el, ami megfelelő feltételek mellett a felület minimlaizálásával ekvivalens. Itt felhí-vom a figyelmet arra, hogy esetleg több stabil állapot is kialakulhat, akár különbözőenergiaszinteken is.

31

6.2. ábra. Miniálfelületek a művészetben 2

Legyen tehát a felületünk adott a következő alakban: M : z = f(x, y). Legyenennek határa C. Legyen továbbá M minimálfelület. Most tekintsük az M -hez közelifelületeket, egy

Mt : zt = f(x, y) + tg(x, y) (6.1)

ahol g(x, y) eleget tesz azoknak a variáló függvény feltételeknek, amelyet az Euler-Lagrange egyenletek bizonyításánál is kiróttunk rá, nevezetesen, hogy a C-n az Mtfelület nem változik.

Legyen a felület paraméterezése:

X t(u, v) = (u, v, f(u, v) + tg(u, v)) (6.2)

Tehát, a cél, hogy olyan felületeket keressünk, ahol az

A(t) =

∫u

∫v

√1 + f 2u + f

2v + 2t(fugu + fvgv) + t

2(g2u + g2v)dvdu (6.3)

32

funkcionál t szerinti deriváltja eltűnik.Ha a paraméteres integrál deriválásáról szóló tétel feltételei teljesülnek, akkor a

derivált bevihető az integrálba, és az

A′(t) =

∫u

∫v

fugu + fvgv + t(g2u + g

2v)√

1 + f 2u + f2v + 2t(fugu + fvgv) + t

2(g2u + g2v)dvdu (6.4)

deriváltat kapjuk.Kihasználva, hogy t = 0 lokális minimum tudjuk, hogy:

0 =

∫u

∫v

fugu + fvgv√1 + f 2u + f

2v

dvdu (6.5)

Most a Green tételt és azt, hogy g = 0 ∂C-n felhasználva tudjuk azt is, hogy:

0 =

∫C

fug√1 + f 2u + f

2v

dv − fvg√1 + f 2u + f

2v

du =

(6.6)

=

∫u

∫v

fugu + fvgv√1 + f 2u + f

2v

dvdu+

∫u

∫v

g ((1 + f 2u)fvv − 2fufvfuv + (1 + f 2v )fuu)(1 + f 2u + f

2v )

32

dvdu

(6.7)

Innen az általánosított Lagrange lemma alapján:

(1 + f 2u)fvv − 2fufvfuv + (1 + f 2v )fuu = 0 (6.8)

6.2. Speciális minimálfelületek

Világos, hogy a sík eleget tesz ennek a feltételnek. A sík volt az első ismert minimálfelü-let. Ezután a következő ismert felület a forgási minimálfelület, az úgynevezett katanoidvolt[12]. Ennek a fontos speciális esetnek a bemutatásával folytatom:

Forgási felületeknél ismert, hogy a felszín képlete viszonylag egyszerűbb alakot ölt:

A = 2π

b∫a

y√

1 + y′2dx (6.9)

33

Felhasználva a korábban ismertetett Beltrami azonosságot:

y√

1 + y′2 − y′ yy′√

1 + y′2= c (6.10)

Rendezve és egyszerűsítve:y = c

√1 + y′2 (6.11)

azaz

y√1 + y′2

= a (6.12)

y2

c2− 1 = y′2 (6.13)

dx

dy=

a√y2 − c2

(6.14)

x = c cosh−1(yc

)+ b (6.15)

y = c cosh

(x− bc

)(6.16)

ami a láncgörbe. Ennek megforgatásából képződő forgásfelület a katanoid.

34

6.3. ábra. A katanoid

Egy másik fontos és sok különleges tulajdonsággal rendelkező minimálfelület a helikoid[3],amelynek egy lehetséges paraméterezése:

x = ucos(cv) (6.17)

y = usin(cv) (6.18)

z = v (6.19)

A felület főgörbületei ± 11+u2

, amelyek összege 0, mutatva, hogy valóban minimálfelü-letről van szó.

35

6.4. ábra. A helikoid

A helikoid és a katandoid család egymásba hajlítható.

36

7. fejezet

A kvantummechanikai variációs elvek

[13] Ebben a szakaszban bemutatom a variációs elvek alkalmazhatóságát a kvantum-mechanika területén. A variációszámítás eszköztára több különböző, és igen érdekesmódon jelenik meg a kvantummechanikában.[8] Az egyik lehetséges módszer, amit agerjesztetlen állapot hullámfüggvényének közelítésére használnak a következő ötletenalapszik: az energiája a gerjesztetlen állapotnak a legalacsonyabb. Most számítsukki egy tesztfüggvényre az energiát. A tesztfüggvény legyen olyan alakú, milyennek arendszer valódi hullámfüggvényét sejtjük. Ezek után vezessünk be paramétereket atesztfüggvénybe, majd a paraméterekben minimalizáljuk az eredményt.

Ebben az esetben jól láthatóan véges dimenziós optimalizálást végzünk. Felmerülheta kérdés, hogy miért nem használjuk ki a variációszámítás teljes eszköztárát, és keressüka megoldást tetszőleges függvénnyel variálva. Ezzel a megközeltéssel az a probléma,hogy az eredeti feladatot kapjuk vissza, így semmit sem nyerünk a megoldhatóságszempontjából.

A kanonikus kvantálás megjelenésével lehetővé vált, hogy a klasszikus elméletekLagrange függvényeit átvihessük a kvantumelméletek területére. Talán az egyik legfon-tosabb a kvantum-elektrodinamika Lagrange-függvénye, amely a következő alakú:

L = −~cψ̄(γµ

∂

∂xµ+mc

~

)ψ − 1

4FµνFµν − ieψ̄γµAµψ (7.1)

Ez a fizikai elmélet az anyag és a fény kölcsönhatását írja le. Fontos megjegyezni, hogya kvantummechanikai okoskodásokban jobban kell vigyázni a variációk számításánál,ugyanis itt nem biztos, hogy a variáció átvihető a másik oldalra, esetleg megjelenhetnekoperátorok kommutátorai egyenletekben.

Miért gondoljuk, hogy ez a Lagrange-függvény jó? Első sorban azért, mert jól leírjaa megfigyeléseket. Másodsorban azért, mert megfelelő határátmenetekkel visszakapjuk

37

belőle a kvantummechanika alapegyenleteit, illetve a Maxwell-egyenleteket valamit aspeciális relativitáselmélet alap összefüggéseit. A fizikában alapvető elvárás, hogy arégen jól működő elméletek a kiterjesztésekből határátmenettel vagy elhanyagolások-kal visszakaphatók legyenek, hiszen azok a saját érvényességi körükben jól írták le ajelenségeket.

38

8. fejezet

Konklúzió

Számos esetben kiderül, hogy a matematikai feladatok széles osztálya kezelhető a variá-ciószámítás eszköztárával. Sokszor a variációszámítás módszere segítségével egy feladatolyan egyszerűbb alakot ölt, hogy akár explicit módon is megoldhatóvá válik. Saj-nos azonban általában nem ez a helyzet, végül is nem reménykedhetünk abban, hogyolyan feladatokat, melyek a variációszámítás témakörében felmerülhetnek teljes általá-nosságban explicite meg lehessen oldani. Számos esetben azonban a variációszámításmódszerei segítenek hozzá ahhoz, hogy például egy fizikai rendszer mozgásegyenlete-it előállítsuk. A mozgásegyenletek ismerete, még abban az esetben is, amikor nemtudjuk azokat megoldani, lehetőségeket adnak például numerikus megoldási kísérletek-re, vagy a perturbációelmélet alkalmazására. Az utóbbi évtizedekben számos esetbenkiderült azonban, hogy a mozgásegyenletek ismerte nem feltétlenül elég egy rendszermegértéséhez, és a kaotikus rendszerek esetén nem vezetnek célra a perturbációs ésnumerikus módszerek. Ennek a területnek a kihívása a Navier-Strokes egyenletek meg-oldása. Kétségtelen, hogy a Lagrange-féle, a Newtoni és a Hamiltoni mechanika csakegymás ekvivalnes átfogalmazásai, azonban nagyban hozzájárulnak a rendszerek átfo-góbb megértéséhez, és mindig azt használhatjuk, amelyik éppen kényelmes/célravezető.Például az, hogy a Lagrange-féle mechanika általánosított koordinátákat alkalmazhatnagyban megkönnyíti a robotikai alkalmazásokat. A Hamilton-féle mechanika pediga rendszer szimmetriáinak és megmaradó mennyiségeinek felderítését teszi könnyeb-bé. Az utóbbi idők általános eredményei azt mutatják, hogy közel minden másodren-dű differenciálegyenlet-rendszer átalakítható egy megfelelő variációs problémává, ami amódszer univerzalitására utal. Az újabb fizikai elméletek egyik legtömörebb megfogal-mazása a Lagrange-függvényükkel történhet. Nem tudjuk, hogy a most egyre inkább azéerdeklődés középpontjába kerülő kvantum-gravitáció valódi, jól működő elmélete ke-zelhető lesz-e a jelenlegi eszköztárunkkal, annyi azonban bizonyos, hogy minden eddigi

39

fizikai elmélet beleszorítható a stacionárius hatás elvébe, amelynek segítségével a ha-tásfunkcionál megtalálása után matematikailag variációszámítási feladattá redukálódi.

40

Irodalomjegyzék

[1] Rodney Coleman: A detailed analysis of the brachistochrone problem v2. http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00446767, 2012.

[2] Richard Courant –David Hilbert: Methods of mathematical physics. New York,Wiley, 1989. ISBN 9780471504474.

[3] A.T. Fomenko –A.A. Tuzhilin: Elements of the Geometry and Topology of Mi-nimal Surfaces in Three-dimensional Space. Translations of mathematical mono-graphs sorozat. American Mathematical Soc., 1991. ISBN 9780821898345. URLhttp://books.google.hu/books?id=P815VMEJHhsC.

[4] John Gemmer –Ronald Umble –Michael Nolan: Generalizations of the brachis-tochrone problem. http://arxiv.org/abs/math-ph/0612052v2, 2009.

[5] Herbert Goldstein: Classical mechanics. Reading, Mass, Addison-Wesley Pub.Co, 1980. ISBN 9780201029185.

[6] Russel L. Herman: Derivation of the geodesic equation and defining the christoffelsymbols. http://people.uncw.edu/hermanr/GR/geodesic.pdf, 2008.

[7] Antal Járai: Modern Alkalmazott Analízis. Typotex Kft., 2007. ISBN9789639664470.

[8] Hannes Jónsson: Quantum chemistry and chemical rate theory. https://notendur.hi.is/~hj/EE5/, 2014.

[9] Erwin Kreyszig: Differential geometry. New York, Dover Publications, 1991.ISBN 0486667219.

[10] Cornelius Lanczos: The variational principles of mechanics. New York, DoverPublications, 1986. ISBN 0486650677.

41

[11] Erich Meisermann: Partial differential equations. http://www.math.uni-leipzig.de/~miersemann/pdebook.pdf, 2012.

[12] Hans Sagan: Introduction to the calculus of variations. New York, Dover Publi-cations, 1992. ISBN 9780486673660.

[13] David Tong: Quantum field theory. http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/qft.pdf, 2007.

[14] Eric W. Weisstein: Sphere with tunnel. http://mathworld.wolfram.com/SpherewithTunnel.html, 2014. From MathWorld–A Wolfram Web Resource.

42

Függelékek

43

A. függelék

Disztribúciók, az általánosítottLagrange-lemma

[7]

15. Definíció (D(G)). Legyen D ⊂ Rn nyílt, ekkor D(G) az összes G-n értelmezettvégtelen sokszor differenciálható kompakt tartójú függvények tere.

16. Definíció (DK(G)). Legyen D(G) azon altere, amely a K-beli tartójú függvényekettartalmazza, ha K ⊂ G.

Metrizáljuk ezt a következőképpen:

d(φ, ψ) =∞∑m=0

2−m‖φ− ψ‖Cm

1 + ‖φ− ψ‖Cm(A.1)

17. Definíció (Disztribúció). Legyenek D′(G) azok a D(G)-n értelmezett lineáris funk-cionálok, amelyek minden DK(G)-re vett megszorítása folytonos. D′(G) elemei a diszt-ribúciók.

18. Definíció (L1loc(G)). L1loc(G) a G-n lokálisan Lebesgue-integrálható függvények tere.

19. Definíció (Tf (φ)). Ha f ∈ L1loc(G) akkor

Tf (φ) =

∫G

f(x)φ(x)dx (A.2)

ha φ ∈ D az f -hez tartozó reguláris disztibúció.

8. Tétel (Disztribúciókra vonatkozó Lagrange-lemma). Legyen G ∈ Rn, nyílt halmazonlokálisan integrálható függvény f . Ilyenkor Tf = 0 akkor és csak akkor, ha f = 0majdnem mindenütt.

44

Bizonyítás. Ha f = 0 majdnem mindenütt, akkor Tf = 0 nyilván. Most kellene, hogyha Tf = 0, akkor f = 0 majdnem mindenütt. Vegyünk tetszőleges a ∈ G-t, és hozzáegy megfelelő ε-t, hogy a egy környezet még mindig G-ben legyen. Az a középpontúközelítő egységek benne vannak D-ben, így az a pont ε környezetében a függvény nullamajdnem mindenütt, hiszen a Fourier-transzformáltja itt azonosan nulla. Így f nullamajdnem mindenütt G minden kompakt részhalmazán. Mivel G megszámlálható sokkompakt halmaz egyesítése, így f nulla majdnem mindenütt.

45