Nelson RodrguezGmezFsica 1 TEMA 1 VECTORES 1.INTRODUCCION.-Para la presente leccin, el alumno debe contar con ciertos conocimientosdeotrasmateriasqueenrealidadsonafinesalanuestra,comoson:trigonometra, lgebra, geometra, aritmtica en cuanto se refiere a las operaciones bsicas, y algo de conocimientos de escalas para realizar distintos grficos ya sea en ampliacin o reduccin. 2.MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES.-Conceptualicemos primero lo que entendemos por magnitud, por ello podemos decir que una magnitud es todo aquello ( hecho, evento, fenmeno) que ocurre en la naturaleza por si sola o por intervencin del hombre que es susceptible de medicin, es decir,todo lo que observamos, si es posible medirlo, entonces es una magnitud.Hemos utilizadounapalabramuyimportanteparalasciencias,medir,simedimosalgoquenosinteresa, entonces tendremos un conocimiento mas certero sobre eso que nos interesa, dijo un gran hombre de ciencia.Medirescompararunamagnituddesconocidaconotraqueesconocida,llamada comnmente patrn, as por ejemplo, quiero medirla altura del poste donde izamos nuestra bandera, entonces, tendr que conseguirme una medida adecuada de comparacin, en este caso un metro el cual es adecuado para medir longitudes, luego realizare las comparaciones y luego llegare a determinar esa altura, cinco metros (5m), ello significa que laaltura del posteescinco veces del metro que hemos utilizado. Existenunadiversidadbastanteampliademagnitudesycadaunadeellastienesusunidades patrn, as tenemos: la altura, la estatura, el grosor , el dimetro, el ancho, el largo, la profundidad, etc. y a veces, tantos nombre para un solo tipo de magnitud, que es en este caso la longitud,sin embargo hayotras:masa,peso,fuerza,densidad,velocidad,rapidez,aceleracin,pesoespecifico,gravedad, trabajo,corrienteelctrica,voltaje,luminiscencia,etc.,todasestasonmagnitudes,porqueson susceptibles de medirlas. Debido a esa amplitud, se los clasifico de distintas formas, nosotros vamos a tomar en cuenta la clasificacin de las magnitudes desde dos puntos de vista, Magnitudes Fundamentales a)Por su origenMagnitudes Derivadas MAGNITUD Magnitudes vectoriales (vector) b)Por su naturalezaMagnitudes escalares (escalar)

Nelson RodrguezGmezFsica 2 Laquenosinteresaeslaclasificacinporsunaturaleza,porlotantounamagnitudpuede pertenecer o ser un escalar o un vector. A) MAGNITUDES ESCALARES (ESCALAR).- Existenciertasmagnitudesquequedancompletamentedescritas,comprendidas,entendidasy especificadas cuando se da su valor, es decir, su tamao o nmero de unidades de acuerdo a alguna escala, comoserunnmeroysurespectivaunidaddemedicin,comoenelanteriorejemplo,dijimosquela altura del poste es de 5 m, (nmero y unidad) con ello nos damos cuenta y comprendemos la medicin, no necesito adicionar ningn dato ms, ( 5 m en mi colegio y en otros colegios variara el tamao porque otros medirnycon otro metro patrnABSURDO) , a estas magnitudes quesolo requieren de un nmeroy unidad se las denomina escalares, y como estas hay otros, as por ejemplo: Masa 20 kg Tiempo30 h Volumen5 L Temperatura16C Densidad1 g/cc Como se puede ver en cada uno de estos ejemplos, suficiente es conocer el nmeroy unidad (magnitud, tamao o valor) para entenderlas y comprenderlas por ello se las llama magnitudes escalares. Para realizar operaciones con los escalares, recurrimos a la aritmtica que conocemos, pero debemos tener en cuenta que en la adicin de estas magnitudes, solo se la realiza si son de la misma especie, congruentes y que magnitudes distintas no pueden operacionarse aditivamente. 29 kg+35 kg =50 h 34 h = 20 ft + 40 in + 60 cm =50 kgdeesponja + 60 L de agua ??? B)MAGNITUDESVECTORIALES(VECTOR).-Paracomprenderloqueesunvector, supongamos una situacin fsica: nos encontramos en el patio del establecimiento y a uno de los alumnos que se encuentra en una posicin fija , con el uso del altavoz del director le decimos que el alumno camine 6m.Elalumnoseguramentenosresponderhaciadnde?,eltienelaposibilidaddemoversehaciala izquierda, a la derecha, arriba, abajo, tiene toda una gama de posibilidades a donde caminar, pero mientras no se lo indique donde debe caminar, el alumno, no podr realizar la caminata, entonces, en este caso no solamente es necesario indicar de una magnitud, su valor, es decir, un nmero y su respectiva unidad, no essuficienteparacomprenderloyentenderlo,ahoraesnecesariodarlecomodatoadicionaluna determinada direccin u sentido, como el caso anterior, solo as el alumno podr caminar los 6 m pedido por el profesor. Nelson RodrguezGmezFsica 3 Por lo tanto, una magnitud vectorial o un vector para entenderlo y comprenderlo, quedan descritas mediantemagnitudosutamaoovalor(nmeroyunidad)ydeunadireccinosentido,porelloun vectortienedoscaractersticasqueloidentifican,essumagnitudpropiamentedichaosutamaoysu direccin u sentido. As tenemos como magnitudes vectoriales o vectores: El desplazamiento5 km al colegio La velocidad100 km/h de La Paz a Oruro. La Aceleracin9,81 m/s hacia el centro de la tierra. La fuerza500 kipsN 30 E 3.GRFICAYELEMENTOSDEUNVECTOR.-Unvectorsedefinecomounsegmentode recta orientado, es decir, grficamente un vectores representado por un segmento de recta orientado por unasaetaoflecha,asuvezselapuederepresentarenformaescritaporcualquierletradelalfabeto (mayscula o minscula) en negrita o con una flecha encima de ella, asA, se lee vector A. Un vector tiene tres elementos fundamentales: modulo, direccin y sentido.Se define comomdulo de un vector a la distancia medida entre su punto de origen y su extremo, la direccin de un vector est dada por el ngulo que forma el vector con una recta horizontal de referencia.El sentido es la orientacin del vector, geomtricamente est dada por una flecha y analticamente con un signo que puede ser positivo o negativo. Sentido Moduloextremo V Direccin origen Se suele representar la magnitud de un vector por el mismo vector entre dos barras (valor absoluto), as, [V]quese leemagnitud del vector V [F1 ] que se lee magnitud del vector fuerza uno A veces por comodidad, solamente la magnitud de un vector se la representa por V sin su flecha. Como ya hemos indicado que un vector queda especificado por su magnitud y su direccin con respecto a un eje (generalmente el x positivo), por ello cuando tratemos vectores en un sistema de referencia planar selaexpresaraconsiderandoesasdoscaractersticas,esdecir,haremosusodelsistemadecoordenada polares, as, Nelson RodrguezGmezFsica 4 V = ( [V]; );por ej.V = (120 m ; 120 ) LadireccindeunvectorpuededarseconreferenciaalasdireccionesconvencionalesdeNorte, Sur Este y Oeste (sistema cardinal), pero en la mayora de los casos las direcciones de los vectores estn dadas, haciendo uso de los ejes cartesianos, utilizando los grados sexagesimales en los cuatro cuadrantes y simbolizando estos ngulos con las letras del alfabeto griego (, , , etc.). Aspor ejemplo, graficar a escala apropiada los siguientes vectores: a = (100 km; 30),b = (200 km; 210) ,c = (350 km; N ),d=450 km ; ( N 36 O ) 4 CLASIFICACIONDELOSVECTORES.-Existendiversasformasdeclasificaralostiposde vectores, de acuerdo a la especialidad que se estudia, o de acuerdo a diversos autores, aqu clasificaremos los vectores en distintos tipos solo con fines didcticos de comprensin de los alumnos: a)Vectoresperpendiculares.-DosvectoresAyBsonperpendicularessientrelosdos vectores la direccin es de 90 (ngulo recto). b)Vectores coplanares.- Si se encuentran en el mismo plano. c)Vectores colineales.-Dos vectores A y B son colineales si se encuentran ubicadas sobre la misma recta de accin o directriz, puede ser de mismo sentido o diferente. Nelson RodrguezGmezFsica 5 d)Vectoresconcurrentes.-LosvectoresA,B,C,D,E,sonconcurrentes,sisuslneasde accindirectricesconvergenenunsolopuntocomnosisussentidosvanapuntandoono( convergentes o divergentes). e)Vector cero.-Un vector A es igual al vector cero, si su modulo es cero: A = O | A | = 0 De lo dicho, podemos deducir tambin que los vectores pueden ser: Vectores fijos: aquellos cuyo punto de aplicacin es nico. Vectores deslizantes: Son aquellos que pueden trasladarse de un lugar a otro en el espacio a lo largo de su recta de apoyo (sentido). Vectores mviles.- Son aquellos que no tienen un punto de aplicacin determinado en el espacio. Vectoresdireccionales.-Sedenominaaunvectordireccional,cuandoteniendocomomdulolaunidad es paralela a un vector mayor o menor que el (vector unitario). Vectoresequipolentes.-Sonlosvectoresparalelos,delmismosentidoydemdulosiguales,sisonde distintos mdulos solamente son vectores paralelos. Vectores opuestos.-Son los vectores iguales pero de sentido opuesto. Vectores no concurrentes.-No tienen un solo punto de aplicacin. 5OPERACIONES CON VECTORES.-Con los vectores, tambin se pueden realizar las diversas operaciones fundamentales, solo que stos tienen un tratamiento matemtico especial, de acuerdo a ciertas reglas que lo estudiaremos a continuacin llamada lgebra vectorial. A)ADICIONDEVECTORES.-Laadicindevectoresimplicatantolasumaylarestao diferencia de vectores. Nelson RodrguezGmezFsica 6 Comnmente existen dos procedimientos para resolver vectores, las cuales siempre van juntas, aunque se diferencian por la precisin y exactitud y ms que todo por la resolucin: el procedimientografico o geomtrico y el procedimiento analtico. El grfico caracterizado por el uso de un estuche geomtrico, escala apropiado, el manejo de escuadras ylahabilidaddelalumno,mientrasqueelanaltico,esunaresolucinmediantelaaplicacinde formulastrigonomtricas.Pordidctica,vamosaestudiarambossimultneamente,parapoderal mismo tiempo realizar la verificacin. a)Sumadedosvectores.-Grficamente,lasumadedosvectoresobedecealaleydel paralelogramo; se debe construir un paralelogramo determinado por los segmentos que los representan (los dos vectores), la diagonal que parta de los orgenes hacia las flechas, representa entonces el vector resultante.SeanlosvectoresAyBrespectivamente,entoncesA+B=C,esotrovector,queesla resultante vectorial. Que consiste en dibujar a los vectores Ay B, sin hacer variar sus direcciones ni su magnitud, con un mismoorigenO,posteriormentesecompletaelparalelogramo,cuyosladosadyacentessonlos mismosvectores(trasladados),acontinuacinsetrazaunvectorquepartadelosorgeneshacialas flechas (una diagonal ), la que constituye el vector suma resultante. BA+B CBA+BCBA+B C A A A Donde: es el ngulo entre A y B,y es elngulo de C. De la grfica podemos ver claramente que: A+B= B+A=C (Prop. Conmutativa). Grficamentehemosvistoqueparasumardosvectores,hemosutilizadolaconstruccindel paralelogramo, cuya diagonal viene a ser la resultante, analticamente se la resuelve aplicando el teorema deloscosenosylaleydesenos,indistintamente.Paraellosolamentesetrabajasobreunodelos tringulos formados en el paralelogramo. BA+BCA+B C B AA Nelson RodrguezGmezFsica 7 Parala magnitud de la resultante aplicamos el teorema de los cosenos: o + + = cos 22 2 2B A B A C o + + = cos 22 2B A B A CPara la direcciondel vector resultante se aplica la ley de senos: o | u senCsenBsenA= = CsenBsenAsen o | u= =nota:tantoparalamagnitudoladireccin,seusaindistintamentecualquieradelasdosformulasdadas,el alumno deber escogerla que le permitir una resolucin ms rpida y sencilla. b)Diferencia de dos vectores.-La diferencia de dos vectores se lo realiza de la misma forma ya descrita anteriormente, con algunas pequeas modificaciones: Si A es

- Aser En un mismo grfico, es posible expresar La suma y la diferencia: B A A B= D A+B= C - BB A B = D AA Lamagnituddeladiferenciasecalcularaporelmismoteoremaylamismaley,perodebemos tener cuidado en el paralelogramo construido, los tipos de tringulos formados y con cual debemos trabajar. o + = cos 22 2B A B A DCasosespeciales.- i)SilosdosvectoresAyBformanunngulode90(ngulorecto)entoncesla formula de resolucin se simplifica, porque nos encontramos con un paralelogramo constituidoportringulosrectngulos,ycomosabemosquestosobedecensu resolucin al teorema de Pitgoras y a las funciones trigonomtricas elementales. Nelson RodrguezGmezFsica 8 BA + B A+BSi = 90 ;cos 90 = 0 CCB A A o + + = cos 22 2B A B A C Paraladireccin,operacionamoslafuncin tangente de : = =Adyacente catOpuesto cattg..| Sisetienen,dosvectoresperpendiculares(formanunngulorecto),entonceslamagnituddelvectorresultante,seha halla aplicando el teorema de Pitgoras y su direccin por la funcin tangente de dicho ngulo. ii)Si los dos vectores son paralelos del mismo sentido: AA + B = C Si = 0 ;cos 0 = 1 Bo + + = cos 22 2B A B A C Si tienen el mismo sentido, entonces la suma de dos o ms vectores, es una simple suma algbrica. Nelson RodrguezGmezFsica 9 Si los dos vectores sonparalelos de sentidos contrarios, entonces: AA+B=C BSi, = 180 ;cos 180 =- 1 o + + = cos 22 2B A B A C Si se tienen 2 o ms vectores opuestos, entonces la suma se la encuentra restando los vectores en forma elemental. Ejemplo: Dos vectores: A = ( 20m; 40),B = (60m; 120),hallar el vector suma C = A + B y el vector diferenciaD = A B, grfica y analticamente. Nelson RodrguezGmezFsica 10 Ejemplo:SiC=(80kg;30);D=(120kg;100).HalleC+D=EyCD=F;grficay analticamente. Nelson RodrguezGmezFsica 11 Ejemplo:La resultantede dos vectores tiene unvalor de 30 unidadesy hace ngulos de 45y 30 con ellos.Calcular grficamente y analticamente el valor de los dos vectores. Ejemplo:Dosvectorescuyasmagnitudesson6my8m,formanngulosde:a)0;b)60;c)90;d)140;e) 180.Hallar el vector suma resultante, grfica y analticamente. Nelson RodrguezGmezFsica 12 a)Sumadevariosvectores.-Parasumarmsdedosvectores,esmsconvenienteutilizar grficamente el mtodo del polgono ( polgono funicular), que consiste en graficar los vectores uno detrs del otro, haciendo coincidir flecha con origen, hasta el ltimo vector, luego el vector resultante seraquelquepartadelorigendelprimeroalaflechadelultimo,conladireccinhaciaelltimo vector.Noesnecesarioqueseaenorden,deloquesetrataesdeconformarunpolgonoyel resultado siempre ser el mismo. Nelson RodrguezGmezFsica 13 Sean los vectores A , B , C y Dhalle R = A + B + C + D D R BB D A A CA C DR BC Esposiblequelosvectoresdados,seancoplanaresysepidehallarsuvectorresultante:Enel siguienteejemplosedavectoresquetienendistintosorgenes(coplanares)ysepidehallarsu resultante, grficamente, pero con la condicin de graficarlo dentro de la cuadricula. A B C

D E F Ejemplo:Elmapadeuntesorodalassiguientesdirecciones:Comienceenelrbolgrande.Camine 80 pasos hacia el este, despus 50 pasos a 70 noroeste, luego 60 pasos a 30 al este desde el norte, enseguida 20 pasos hacia el sur y ah encontrara el tesoro A qu distancia del rbol y en que direccin est el tesoro?. Nelson RodrguezGmezFsica 14 Ejemplo:Un hombre sigue la siguiente ruta:desde su casa camina cuatro manzanas hacia el este, tresmanzanasnorte,tresmanzanaseste,seismanzanassur,tresmanzanasoeste,tresmanzanas sur,dosmanzanaseste,dosmanzanassur,ochomanzanasoeste,seismanzanasnorteydos manzanas este. a qu distancia y en quedireccin estar de su casa?. Ejemplo:Se tiene tres vectoresV1 = 6 u ;V2 = 5 u ,yV3 = 4 u.El ngulo entre las direcciones de V1 y V2 es de50, y entre las de V2 y V3 es de 75.Hallar el vector resultante. Nelson RodrguezGmezFsica 15 Ejemplo:Se tienen cuatro vectores V1 = 4 u ; V2 = 6 u ; V3 = 5 u , y V4 = 3 u, los ngulos que las direcciones de V2 ,V3y V4forman con la de V1 son70 , 150y 200.Hallar el vector resultante. Nota:esposibleresolverlosanalticamentelasumademsdedosvectores,utilizandoelparalelogramo,perose tendr que trabajar de dos en dos vectores, hasta completar todos los vectores. ( se aplica la propiedad asociativade vectores) averig si tiene curiosidad!!!!! 6. DESCOMPOSICION DEVECTORES (COMPONENTES DE UN VECTOR).- Parahallarlasumadedosomsvectoresanalticamenteseutilizaelprincipiodela descomposicindevectores,paraposteriormenterealizarcomposicindelosmismosydeesta manera obtener el resultado apropiado. Un vector puede descomponerse en dos o ms componentes en direcciones dadas cualesquiera de unsistemadereferencia,as,siutilizamosunsistemarectangular,sedescompondrensus componentes rectangulares, en dos o en tres dimensiones, segn el vector se encuentre en un plano o en el espacio. a)Componentesdeunvector.-Cuandoserequiereprecisinenlaadicindevectores,el grficonoesrecomendable,debidoalaslimitacionesquetenemosenloreferenteala medicin,visualizacin,manipulacindedatos,etc,porello,utilizaremoselmtodoque hace uso de las proyecciones de un vector a lo largo de los ejes de un sistema cartesiano. Estas proyecciones reciben el nombre de componentes de un vector. Sea un vector V, ste se puede descomponer en dos direcciones ( X , Y ) o en tres (X,Y,Z). Para descomponerlos, elvector original debecoincidir su origencon el origen del sistema decoordenadas,luegosetrazanrectasparalelasaambosejesenlasaetadelvector,hasta que se intersecten con dichos ejes.Se trazan vectores en lo ejes hasta las intersecciones( Nelson RodrguezGmezFsica 16 sobre X e Y ), estos dos vectores corresponden a las componentes del Vsobre X y sobre Y, que lo denotaremos como VX yVy,donde: VX = es la componente del Vsobre el eje X, Vy = es la componente del V sobre el eje Y. Grficamente es como sigue: Y Aplicando las definiciones trigonomtricas de sen y cos , despejando Vx yVy V Vy V obtendremos las magnitudes de estas componentes:VX X u u cos cos = = V VVVxxu cos = V Vx u u sen V VVVsenyy = = Componentes de un vectoru sen V Vy = Ahoraesposiblecomponerloalvector,paraelloseutilizaelTEOREMADEPITAGORASpor que tenemos un tringulo rectngulo y hemos utilizado un sistema rectangular, para su direccin se aplica la funcin tangente . Su magnitud: 2 2) ( ) (y xV V V + = ;ysu direccinxyVVtg = uEjemplo:seaA=(100km;30),hallesuscomponentesrectangulares,enunplano,adems verifique la solucin (componga el vector). Ejemplo:Halle las componentes rectangulares de los vectores: C= ( 80 m; 60 ); D=( 40 m; 0 );E = (60 m; 150 ). Nelson RodrguezGmezFsica 17 Parasumar ms de dos vectores utilizando la descomposicin de vectores se procede de la misma manera descrita anteriormente para cada vector y luego las componemos, considerando que si son paralelos de sentidos iguales o sentidos opuestos, que se reducen a simples sumas o restas,debido a que al descomponer los vectores, sus componentes estarn en X o en Y. Para ello utilizaremos el siguiente procedimiento. 1.Dibjense los vectores en un sistema cartesiano, de manera que coincidan sus orgenes con el del sistema. 2.Descomponga cada vector en sus componentes ( se puede utilizar una tabla para ello). 3.Se debe encontrar la suma de todas las componentes sobre el eje X y lo mismo sobre el eje Y, es decir: ........ =X X X X XD C B A R........ =Y Y Y Y YD C B A R 4.A partir de estas componentes de la resultante sobre X e Y, se halla la magnitud de R por: 2 2) ( ) (y xR R R + =y xyRRtg = u Para mayor comprensin, ilustraremos estos pasos con los siguientes grficos: Nelson RodrguezGmezFsica 18 YY AAY B BY BXAX X CX X CCY PASO 1 PASO 2 RY = AY+BY+CY

RYR

RX=AXRX PASO 3PASO 4 Ejemplo: Hallar el vector resultante de los vectores de la grfica 15 u35 u Es posible resolver el ejercicio, para mayor facilidad, utilizando una tabla de valores, en la cual se calculara las B A componentes de cada vector y al final realizamos la suma 60 45para cada componente. 15 u C V| V ||VX| =V.cos |Vy| =V.sen RX = RY = Ahora, hallamos la magnitud Para la direccin, aplicamos Del vector resultantefuncin tangente: 2 2) ( ) (y xR R R + =xyRRtg = u Nelson RodrguezGmezFsica 19 Ejemplo:Sean los vectores: A = ( 150 lb ; 0 ) ; B = ( 250 lb ;60 ) ; C = ( 300 lb ; 150 ) y D = (200 lb; 270), hallar el vector resultante por descomposicin de vectores. Ejemplo;Seandosvectoresde10y15unidadesrespectivamente,ambosvectoreshacenun ngulo de70.Cul es la magnitud resultante de su suma vectorial y su direccin.Halle los resultados por los dos mtodos analticos (paralelogramo y descomposicin). Nelson RodrguezGmezFsica 20 PRACTICA1.El grfico que se muestra es una pirmide recta cuya base es un cuadrado de lado a .Si su altura es igual a 5 m = h , hallar el mdulo de la resultante de los vectores que se indican. 2.Si | A | = 10 u ; | B | = 82 u ; | C | = 4 3 u ; hallar| A+B+C| y su direccin. 3.La Resultante de dos vectores varaentre un valor de 2 y 8 unidades. Cul ser la resultante cuando los vectores forman un ngulode 60?. Ha b 37 45 ac 30 a Problema 1Problema 2 4.CuatrofuerzasA,B,CyDactansobreunamasaenOcomosemuestraenlafigura.Siel dimetro de la circunferencia es de 5 m, halle la magnitud de la suma de los vectores. Nelson RodrguezGmezFsica 21 5.En el cubo de lado a que se muestra, hallar el mdulo del vectorR = A+B C D. 6.Hallar el valor de la resultante de la figura, si el hexgono es regular. A A b A Problema 4 Problema 5 Problema 6 7.Hallar la Magnitud de la resultante del conjunto de vectores mostrados en el grfico, si| AD | =3 / 3unidades y ABCDEFes un hexgono regular. 8.Hallar la resultante total del siguiente sistema, ABCDEF es un hexgono regular. 9.Halla el mdulo de la resultante total del siguiente sistema de vectores. 10.Qu representa el vector x con relacin a los vectores ay b? BCBC b c A DA D d a e F E F E Problema7Problema 8Problema 9 11.Utilizando el mtodo de las componentes rectangulares determinar el mdulo de la resultante y el ngulo que forma con el eje horizontal; de los siguientes sistemas de vectorescoplanaresy concurrentes: aF2= 4 kpV2=30 u bF1= 5 kpV3= 10 u x Problema10 45 303060 60 V1= 20 u F3= 3 kp V4= 20 u ( a ) Problema 11 ( b ) Nelson RodrguezGmezFsica 22 12.CuatrofuerzasactansobreunpernoAcomosemuestraenlafigura.Determnesela resultante de las fuerzas sobre el perno. 13.Determnense las componentes xyyde cada uno de las fuerzas mostradas y la resultante total. F2= 80 N F1 = 150 N 20 30600 N 800 N 15 30F3 = 100 N40 45 50 N 45350 N80 N6025 F4 = 110 N 60N Problema 12 (a) Problema 13 (b) 14.Una lancha atraviesa en forma recta una corriente con una velocidad de 20 km/h.La corriente perpendicular a la orilla es de 15 km/h. Cul es la direccin y resultante y la velocidad de la lancha?. 15.Un Aeroplano trata de seguir su ruta oeste hacia un aeropuerto.La velocidad del aeroplano es de 600 km/h.Si el viento tiene una velocidad de 40 km/h y sopla en direccin suroeste de 30, En que direccin debera orientarse la aeronave y cul ser su velocidad relativa con respecto al suelo?. 16.Los mdulos de dos vectores suma S1yS2son9 y 12 respectivamente, dondeS1= a+b y S2 = 2a + b , adems se sabe queaybson vectores perpendiculares. Calcular los mdulos de los vectores a y b. 17.Unbarconavega2kmhaciaeleste,luego4kmalsudesteyfinalmenteotradistanciaen direccindesconocida.Alfinalseencuentra7kmalestedelpuntodepartida.Hallarla magnitud y la direccin del tercer recorrido del trayecto. 18.LasumadedosvectoresAyBtienedemodulo25,siAyBsonperpendicularesydeigual mdulo; Culessern los mdulos de A y B? Cules los ngulos que hacenel vector suma con A y B?. 19.Lasumayladiferenciadedosvectoreshacenunngulode60conmdulosde12y6 unidades respectivamente. Cul el mdulo de estos vectores? Cul el ngulo entre ellos?. 20.Sielmdulodelasumadedosvectoresdeigualmduloeseltripledelmdulodesu diferencia.Hallar elcomprendido entre dichos vectores. Nelson RodrguezGmezFsica 23 21.Hallar el coseno del ngulo que deben formar dos vectores de la misma magnitud, para que la resultante sea la mitad del valor de ellas. 22.Al explorar unacueva, una espeleloga parte de la entradayrecorre las siguientesdistancias: ella va 75 m hacia el norte, 250 m hacia el este y 125 m a un ngulo de 30 hacia el norte del este, y finalmente 150 m hacia el sur.Encuentre el desplazamiento resultante desde la entrada de la cueva. 23.Laresultantemximadedosvectoreses8ylamnimaes2Culeselmdulodecada vector?. 24.Dosvectorestienenunaresultantemnimaquevale4yunaresultantemximaiguala16. Cul es la resultante de estos vectores cuando formen 60?. 25.Dos vectores de igual mdulo tienen un vector suma cuyo valor es el doble que el de su vector diferencia. Qu ngulo forman entre s los vectores?.