Upload
others
View
16
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
1 BOumlLUumlM
VEKTOumlRLER
2
TanımMatematik istatistik mekanikhellip gibi ccedileşitli bilim dallarında uzunluk alan hacim yoğunluk kuumltle elektriksel yuumlkhellip gibi buumlyuumlkluumlkler cebirsel kurallara goumlre ifade edilirler
Bu tuumlr ccedilokluklara ldquoSkalerrdquo
buumlyuumlkluumlkler denir
3
Tanım hareket hız kuvvethellip gibi hem youmlnuuml hem
doğrultusu hem de buumlyuumlkluumlğuuml olan ccedilokluklara
ldquoVektoumlrel Buumlyuumlkluumlklerrdquo denir
4
Vektoumlrel Buumlyuumlkluumlğuumln Matematiksel Tanımı
bull Youmlnluuml doğru parccedilalarına
vektoumlr denir
bull A Başlangıccedil noktası
bull B Bitim noktasıdır
A
B
ABu =r
bull yada u ile goumlsterilir
u
GENEL TANIMLARTanım Başlangıccedil ve bitim noktaları ccedilakışık olan vektoumlre
SIFIR vektoumlruuml denir
AAr
ya da 0r
Sıfır vektoumlruuml sonsuz sayıda doğrultu ve youmlne sahiptir
Tanım Sabit bir başlangıccedil noktasına sahip olan vektoumlre
KONUMYER vektoumlruuml denir
Tanım Başlangıccedil noktası sabit bir doğru uumlzerinde değişen
vektoumlre KAYAN vektoumlr denir
Tanım Eğer başlangıccedil noktası uumlzerinde hiccedilbir kısıt yoksa
SERBEST vektoumlr denir 6
GENEL TANIMLAR
u
u -u
vTanım u ile v gibi iki vektoumlruumln youmlnleri aynı ve buumlyuumlkluumlkleri eşit ise EŞİT vektoumlrlerdir u=v
Tanım u ile youmlnuuml zıt fakat buumlyuumlkluumlğuuml eşit olan vektoumlr
-u ile goumlsterilir
VEKTOumlREL İŞLEMLER ToplamaTanım u ve v gibi ili vektoumlruumln toplamı v vektoumlruumlnuumln başlangıccedil noktasını u vektoumlruumlnuumln bitim noktasına yerleştirdikten sonra u vektoumlruumlnuumln başlangıccedil noktasını v vektoumlruumlnuumln bitim noktasına birleştiren vektoumlrduumlr
( )1 2u u=u ( )1 2v v=v ise
( )1 1 2 2u v u v+ = + +u v
Vektoumlrlerin toplamı yine bir vektoumlrduumlr vu
w
VEKTOumlREL İŞLEMLER Toplama
u+v toplam vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin oluşturduğu
Paralelkenarın koumlşegenlerinden birine eşittir
Paralelkenar Youmlntemi
VEKTOumlREL İŞLEMLER n Adet Vektoumlruumln Toplanması
v1
v2
v3 v4
vnV
Tanım Vektoumlrler sırası ile birinin başlangıccedil noktası
diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yerleştirilir
ve ilk vektoumlruumln başlangıccedil noktasını son vektoumlruumln
bitim noktası ile birleştiren vektoumlr TOPLAM ya da
BİLEŞKE vektoumlr olarak adlandırılır
1 2 n= + + +v v v vL
( )11 21 1 1 2 n n n nnv v v v v v= + + + + + +v L K L
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln Bir Skaler İle Ccedilarpımı
u ku
Tanım Bir u vektoumlruuml ve k+
isin bir skaler olmak uumlzere ku
ccedilarpımı u vektoumlruuml ile aynı youmlnde ve uzunluğu u vektoumlruumln k
katı olan bir vektoumlrduumlr
Bir vektoumlruumln bir skaler ile ccedilarpım sonucu yine bir vektoumlrduumlr
-ku u
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln Bir Skaler İle Ccedilarpımı
Eğer k minusisin ise elde edilen ndashku vektoumlruuml u vektoumlruuml ile aynı
doğrultuda fakat zıt youmlndedir
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlrlerin Farkı
Tanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u
vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir
u+(-u)=0
Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı
vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde
edilen vektoumlrduumlr
u+(-v)=u-v=w
( )1 1 n nu v u v= minus minusw K uv
u+v
-vw
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlrlerin Farkı
w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın
diğer koumlşegenidir
Paralelkenar Youmlntemi
İki Noktanın Tanımladığı VektoumlrTanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2) B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın tanımladığı vektoumlruumln elemanları AB OB OA= minus
rr r
( )AB OB OA= + minusrr r
( ) ( )1 2 1 2 AB b b a a= + minus minusr
( )1 1 2 2AB b a b a= minus minusr
AB B A= minusr
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2) B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her K noktası iccedilin
KB KA ABminus =rr r
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU NORMU
Tanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının
karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır
2 2 21 2 n
u u u= + + +u L
Uzunluk skaler bir değerdir
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU NORMU Geometrisi
Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln
uzunluğunun karesi
2 2 22r OA OC CA= = +
r r rr
2 22
OB BC CA= + +r rr
2 2 2x y z= + +
Uzunluk
2 2 2r x y z= + +r
BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan
vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml
N =u
uu
İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim
vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir
N=u u u
NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir
birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm
bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler
( )1 2 nu u u=u K
2 2 21 2 n
u u u= + + +u L
ise
1 2 nN
uu u =
uu u u
K
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln
( )1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z= minus minus minusP P
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir
( ) ( ) ( )2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z= = minus + minus + minusP P
İki Nokta Arasındaki MesafeVEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
( )100=i ( )010=j ( )001=k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OAr
vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA= = + +rr r rr
OB OD OE= + +r r r
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir ( )1 2 3 u u u=u
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u= + +u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir ( )1 2 nu u u=u K
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u= + + +u e e eL
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Teorem ( )1 2 3 1 2 3 u u u u u u= + + =u i j k
( )1 2 3 1 2 3 v v v v v v= + + =v i j k ve k isin olmak uumlzere
( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3u v u v u v+ = + + + + +u v i j k
( )1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku= + + =u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ İki Boyut
Ox
y
ir
jr
P
M(xy) ( )M x y
OM OP PM= +r r r
OP x= ir
PM y= jr
OM x y= +i jr
29
ir j
r
z
y
x
O
kr
OM xi y j zk= + +uuuur rr r
[ ]OM x y z=uuuur
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Uumlccedil Boyut Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım ur
ve vr
gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uvrr
ile goumlsterilir
uv u v Cosθ=rr r r
0 θ πlt lt
θ vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB=r rrr
OC OB=r r
OC OB=r r
OCCos
OAθ =
r
r
OC OA Cosθ=r r
uv OB OA Cosθ=rrrr
uv u v Cosθ=rr r r
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise θ=π2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
0=
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise θ=0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
u v=r r
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise θ=π olup skaler ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
u v= minusr r
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
( )1 2 3 u u u u=r
( )1 2 3 v v v v=r
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
( )( )1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k= + + + +r rr r r rrr
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik= + +rrr rr r
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk+ + +rrr rr r
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk+ + +r r rrr r
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk= = =rrrr rr
ve 0ij ik jk= = =r rrr r r
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v= + +rr
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v= + + +rr
L
1
n
r r
r
u v=
=sum
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u vθ =
rr
1 1 2 2 n nu v u v u v
Cosu v
θ+ + +
=L
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
( )1 2 nu u u u=r
K ( )1 2 nv v v v=r
K
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v= + + + =rr
L
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleriwvurrr
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvuarrrr
) =
)() 22 uuuuubrrrrr
==
wuvuwvucrrrrrrr
)() +=+
)()()() vmuvumvumdrrrrrr
== (m skaler)
11) =rArr= uuuerrr
0) =hArrperp vuvufrrrr
Vektoumlrel Ccedilarpım
ur
vv
vurr
and
θ
Tanım Sıfırdan farklı ur
ve vr
gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u vandr r
ya da u vtimesr r
ile goumlsterilir
w u v e u v Sinθ= and =r r r r r r
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu ur
ve vr
vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği gibi
sinθu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
( )( )A taban yuumlkseklik=
sinθ= v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen = andw u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel Permuumltasyon
0i iand =r r
i j kand =rr r
i k jand = minusrr r
j i kand = minusrr r
0j jand =r r
j k iand =rr r
k i jand =r r r
k j iand = minusr r r
0k kand =r r
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
( )1 2 3 u u u u=r
( )1 2 3 v v v v=r
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
( ) ( )1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v kand = + + and + +r rr r r rr r
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k= and + and + andrr r r r r
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k+ and + and + andrr r r r r
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k+ and + and + andr r r rr r
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
( ) ( ) ( )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v kand = minus + minus + minusrr rr r
( )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v= minus minus minus
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise 1 ( ) 0and =u u v
andu v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir 2 ( ) 0and =v u v
andu v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 ( )22 2 2
and = minusu v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
rrr
rr=and
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u
r vr
ve wr
vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
( ) ( ) ( )u v w uw v uv wand and = minusr r r r r r rr r
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
( )u v wand andr r r
ccedilarpım vektoumlruuml
vr
ve wr
vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v wandr r
ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleriwvurrr
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvuarrrr
andminus=and)
wuvuwvubrrrrrrr
and+and=+and )()
)()()() vmuvumvumcrrrrrr
and=and=and (m skaler)
0) paraleldirvileuvudrrrrr
hArr=and
e) ur ve v
r vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) ur ve v
r vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u
r vr
ve wr
aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
( )u v w u v w Cosθand = andr r r r r r
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v wandr r
vektoumlruuml ile ur
vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
( )u v w v w u Cosθand = andr r r r r r
İlk bileşen v wandr r
OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cosθr
paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım ur
vr
ve wr
vektoumlrleri uumlzerine kurulan paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu =andrrr
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e
r olsun
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB=r r
OB OB e=r r r
OB OA Cos eθ=rr r
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skale izduumlşuumlmuuml
OB OA Cosθ=rr
ya da
OB OA e=rr r
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİBOumlLUumlM BİTTİİİİİİİ
GENEL TANIMLARTanım Başlangıccedil ve bitim noktaları ccedilakışık olan vektoumlre
SIFIR vektoumlruuml denir
AAr
ya da 0r
Sıfır vektoumlruuml sonsuz sayıda doğrultu ve youmlne sahiptir
Tanım Sabit bir başlangıccedil noktasına sahip olan vektoumlre
KONUMYER vektoumlruuml denir
Tanım Başlangıccedil noktası sabit bir doğru uumlzerinde değişen
vektoumlre KAYAN vektoumlr denir
Tanım Eğer başlangıccedil noktası uumlzerinde hiccedilbir kısıt yoksa
SERBEST vektoumlr denir 6
GENEL TANIMLAR
u
u -u
vTanım u ile v gibi iki vektoumlruumln youmlnleri aynı ve buumlyuumlkluumlkleri eşit ise EŞİT vektoumlrlerdir u=v
Tanım u ile youmlnuuml zıt fakat buumlyuumlkluumlğuuml eşit olan vektoumlr
-u ile goumlsterilir
VEKTOumlREL İŞLEMLER ToplamaTanım u ve v gibi ili vektoumlruumln toplamı v vektoumlruumlnuumln başlangıccedil noktasını u vektoumlruumlnuumln bitim noktasına yerleştirdikten sonra u vektoumlruumlnuumln başlangıccedil noktasını v vektoumlruumlnuumln bitim noktasına birleştiren vektoumlrduumlr
( )1 2u u=u ( )1 2v v=v ise
( )1 1 2 2u v u v+ = + +u v
Vektoumlrlerin toplamı yine bir vektoumlrduumlr vu
w
VEKTOumlREL İŞLEMLER Toplama
u+v toplam vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin oluşturduğu
Paralelkenarın koumlşegenlerinden birine eşittir
Paralelkenar Youmlntemi
VEKTOumlREL İŞLEMLER n Adet Vektoumlruumln Toplanması
v1
v2
v3 v4
vnV
Tanım Vektoumlrler sırası ile birinin başlangıccedil noktası
diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yerleştirilir
ve ilk vektoumlruumln başlangıccedil noktasını son vektoumlruumln
bitim noktası ile birleştiren vektoumlr TOPLAM ya da
BİLEŞKE vektoumlr olarak adlandırılır
1 2 n= + + +v v v vL
( )11 21 1 1 2 n n n nnv v v v v v= + + + + + +v L K L
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln Bir Skaler İle Ccedilarpımı
u ku
Tanım Bir u vektoumlruuml ve k+
isin bir skaler olmak uumlzere ku
ccedilarpımı u vektoumlruuml ile aynı youmlnde ve uzunluğu u vektoumlruumln k
katı olan bir vektoumlrduumlr
Bir vektoumlruumln bir skaler ile ccedilarpım sonucu yine bir vektoumlrduumlr
-ku u
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln Bir Skaler İle Ccedilarpımı
Eğer k minusisin ise elde edilen ndashku vektoumlruuml u vektoumlruuml ile aynı
doğrultuda fakat zıt youmlndedir
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlrlerin Farkı
Tanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u
vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir
u+(-u)=0
Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı
vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde
edilen vektoumlrduumlr
u+(-v)=u-v=w
( )1 1 n nu v u v= minus minusw K uv
u+v
-vw
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlrlerin Farkı
w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın
diğer koumlşegenidir
Paralelkenar Youmlntemi
İki Noktanın Tanımladığı VektoumlrTanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2) B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın tanımladığı vektoumlruumln elemanları AB OB OA= minus
rr r
( )AB OB OA= + minusrr r
( ) ( )1 2 1 2 AB b b a a= + minus minusr
( )1 1 2 2AB b a b a= minus minusr
AB B A= minusr
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2) B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her K noktası iccedilin
KB KA ABminus =rr r
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU NORMU
Tanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının
karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır
2 2 21 2 n
u u u= + + +u L
Uzunluk skaler bir değerdir
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU NORMU Geometrisi
Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln
uzunluğunun karesi
2 2 22r OA OC CA= = +
r r rr
2 22
OB BC CA= + +r rr
2 2 2x y z= + +
Uzunluk
2 2 2r x y z= + +r
BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan
vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml
N =u
uu
İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim
vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir
N=u u u
NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir
birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm
bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler
( )1 2 nu u u=u K
2 2 21 2 n
u u u= + + +u L
ise
1 2 nN
uu u =
uu u u
K
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln
( )1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z= minus minus minusP P
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir
( ) ( ) ( )2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z= = minus + minus + minusP P
İki Nokta Arasındaki MesafeVEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
( )100=i ( )010=j ( )001=k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OAr
vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA= = + +rr r rr
OB OD OE= + +r r r
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir ( )1 2 3 u u u=u
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u= + +u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir ( )1 2 nu u u=u K
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u= + + +u e e eL
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Teorem ( )1 2 3 1 2 3 u u u u u u= + + =u i j k
( )1 2 3 1 2 3 v v v v v v= + + =v i j k ve k isin olmak uumlzere
( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3u v u v u v+ = + + + + +u v i j k
( )1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku= + + =u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ İki Boyut
Ox
y
ir
jr
P
M(xy) ( )M x y
OM OP PM= +r r r
OP x= ir
PM y= jr
OM x y= +i jr
29
ir j
r
z
y
x
O
kr
OM xi y j zk= + +uuuur rr r
[ ]OM x y z=uuuur
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Uumlccedil Boyut Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım ur
ve vr
gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uvrr
ile goumlsterilir
uv u v Cosθ=rr r r
0 θ πlt lt
θ vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB=r rrr
OC OB=r r
OC OB=r r
OCCos
OAθ =
r
r
OC OA Cosθ=r r
uv OB OA Cosθ=rrrr
uv u v Cosθ=rr r r
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise θ=π2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
0=
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise θ=0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
u v=r r
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise θ=π olup skaler ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
u v= minusr r
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
( )1 2 3 u u u u=r
( )1 2 3 v v v v=r
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
( )( )1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k= + + + +r rr r r rrr
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik= + +rrr rr r
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk+ + +rrr rr r
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk+ + +r r rrr r
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk= = =rrrr rr
ve 0ij ik jk= = =r rrr r r
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v= + +rr
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v= + + +rr
L
1
n
r r
r
u v=
=sum
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u vθ =
rr
1 1 2 2 n nu v u v u v
Cosu v
θ+ + +
=L
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
( )1 2 nu u u u=r
K ( )1 2 nv v v v=r
K
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v= + + + =rr
L
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleriwvurrr
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvuarrrr
) =
)() 22 uuuuubrrrrr
==
wuvuwvucrrrrrrr
)() +=+
)()()() vmuvumvumdrrrrrr
== (m skaler)
11) =rArr= uuuerrr
0) =hArrperp vuvufrrrr
Vektoumlrel Ccedilarpım
ur
vv
vurr
and
θ
Tanım Sıfırdan farklı ur
ve vr
gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u vandr r
ya da u vtimesr r
ile goumlsterilir
w u v e u v Sinθ= and =r r r r r r
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu ur
ve vr
vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği gibi
sinθu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
( )( )A taban yuumlkseklik=
sinθ= v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen = andw u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel Permuumltasyon
0i iand =r r
i j kand =rr r
i k jand = minusrr r
j i kand = minusrr r
0j jand =r r
j k iand =rr r
k i jand =r r r
k j iand = minusr r r
0k kand =r r
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
( )1 2 3 u u u u=r
( )1 2 3 v v v v=r
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
( ) ( )1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v kand = + + and + +r rr r r rr r
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k= and + and + andrr r r r r
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k+ and + and + andrr r r r r
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k+ and + and + andr r r rr r
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
( ) ( ) ( )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v kand = minus + minus + minusrr rr r
( )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v= minus minus minus
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise 1 ( ) 0and =u u v
andu v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir 2 ( ) 0and =v u v
andu v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 ( )22 2 2
and = minusu v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
rrr
rr=and
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u
r vr
ve wr
vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
( ) ( ) ( )u v w uw v uv wand and = minusr r r r r r rr r
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
( )u v wand andr r r
ccedilarpım vektoumlruuml
vr
ve wr
vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v wandr r
ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleriwvurrr
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvuarrrr
andminus=and)
wuvuwvubrrrrrrr
and+and=+and )()
)()()() vmuvumvumcrrrrrr
and=and=and (m skaler)
0) paraleldirvileuvudrrrrr
hArr=and
e) ur ve v
r vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) ur ve v
r vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u
r vr
ve wr
aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
( )u v w u v w Cosθand = andr r r r r r
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v wandr r
vektoumlruuml ile ur
vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
( )u v w v w u Cosθand = andr r r r r r
İlk bileşen v wandr r
OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cosθr
paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım ur
vr
ve wr
vektoumlrleri uumlzerine kurulan paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu =andrrr
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e
r olsun
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB=r r
OB OB e=r r r
OB OA Cos eθ=rr r
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skale izduumlşuumlmuuml
OB OA Cosθ=rr
ya da
OB OA e=rr r
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİBOumlLUumlM BİTTİİİİİİİ
VEKTOumlREL İŞLEMLER n Adet Vektoumlruumln Toplanması
v1
v2
v3 v4
vnV
Tanım Vektoumlrler sırası ile birinin başlangıccedil noktası
diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yerleştirilir
ve ilk vektoumlruumln başlangıccedil noktasını son vektoumlruumln
bitim noktası ile birleştiren vektoumlr TOPLAM ya da
BİLEŞKE vektoumlr olarak adlandırılır
1 2 n= + + +v v v vL
( )11 21 1 1 2 n n n nnv v v v v v= + + + + + +v L K L
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln Bir Skaler İle Ccedilarpımı
u ku
Tanım Bir u vektoumlruuml ve k+
isin bir skaler olmak uumlzere ku
ccedilarpımı u vektoumlruuml ile aynı youmlnde ve uzunluğu u vektoumlruumln k
katı olan bir vektoumlrduumlr
Bir vektoumlruumln bir skaler ile ccedilarpım sonucu yine bir vektoumlrduumlr
-ku u
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln Bir Skaler İle Ccedilarpımı
Eğer k minusisin ise elde edilen ndashku vektoumlruuml u vektoumlruuml ile aynı
doğrultuda fakat zıt youmlndedir
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlrlerin Farkı
Tanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u
vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir
u+(-u)=0
Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı
vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde
edilen vektoumlrduumlr
u+(-v)=u-v=w
( )1 1 n nu v u v= minus minusw K uv
u+v
-vw
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlrlerin Farkı
w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın
diğer koumlşegenidir
Paralelkenar Youmlntemi
İki Noktanın Tanımladığı VektoumlrTanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2) B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın tanımladığı vektoumlruumln elemanları AB OB OA= minus
rr r
( )AB OB OA= + minusrr r
( ) ( )1 2 1 2 AB b b a a= + minus minusr
( )1 1 2 2AB b a b a= minus minusr
AB B A= minusr
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2) B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her K noktası iccedilin
KB KA ABminus =rr r
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU NORMU
Tanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının
karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır
2 2 21 2 n
u u u= + + +u L
Uzunluk skaler bir değerdir
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU NORMU Geometrisi
Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln
uzunluğunun karesi
2 2 22r OA OC CA= = +
r r rr
2 22
OB BC CA= + +r rr
2 2 2x y z= + +
Uzunluk
2 2 2r x y z= + +r
BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan
vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml
N =u
uu
İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim
vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir
N=u u u
NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir
birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm
bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler
( )1 2 nu u u=u K
2 2 21 2 n
u u u= + + +u L
ise
1 2 nN
uu u =
uu u u
K
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln
( )1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z= minus minus minusP P
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir
( ) ( ) ( )2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z= = minus + minus + minusP P
İki Nokta Arasındaki MesafeVEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
( )100=i ( )010=j ( )001=k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OAr
vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA= = + +rr r rr
OB OD OE= + +r r r
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir ( )1 2 3 u u u=u
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u= + +u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir ( )1 2 nu u u=u K
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u= + + +u e e eL
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Teorem ( )1 2 3 1 2 3 u u u u u u= + + =u i j k
( )1 2 3 1 2 3 v v v v v v= + + =v i j k ve k isin olmak uumlzere
( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3u v u v u v+ = + + + + +u v i j k
( )1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku= + + =u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ İki Boyut
Ox
y
ir
jr
P
M(xy) ( )M x y
OM OP PM= +r r r
OP x= ir
PM y= jr
OM x y= +i jr
29
ir j
r
z
y
x
O
kr
OM xi y j zk= + +uuuur rr r
[ ]OM x y z=uuuur
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Uumlccedil Boyut Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım ur
ve vr
gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uvrr
ile goumlsterilir
uv u v Cosθ=rr r r
0 θ πlt lt
θ vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB=r rrr
OC OB=r r
OC OB=r r
OCCos
OAθ =
r
r
OC OA Cosθ=r r
uv OB OA Cosθ=rrrr
uv u v Cosθ=rr r r
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise θ=π2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
0=
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise θ=0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
u v=r r
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise θ=π olup skaler ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
u v= minusr r
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
( )1 2 3 u u u u=r
( )1 2 3 v v v v=r
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
( )( )1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k= + + + +r rr r r rrr
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik= + +rrr rr r
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk+ + +rrr rr r
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk+ + +r r rrr r
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk= = =rrrr rr
ve 0ij ik jk= = =r rrr r r
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v= + +rr
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v= + + +rr
L
1
n
r r
r
u v=
=sum
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u vθ =
rr
1 1 2 2 n nu v u v u v
Cosu v
θ+ + +
=L
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
( )1 2 nu u u u=r
K ( )1 2 nv v v v=r
K
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v= + + + =rr
L
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleriwvurrr
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvuarrrr
) =
)() 22 uuuuubrrrrr
==
wuvuwvucrrrrrrr
)() +=+
)()()() vmuvumvumdrrrrrr
== (m skaler)
11) =rArr= uuuerrr
0) =hArrperp vuvufrrrr
Vektoumlrel Ccedilarpım
ur
vv
vurr
and
θ
Tanım Sıfırdan farklı ur
ve vr
gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u vandr r
ya da u vtimesr r
ile goumlsterilir
w u v e u v Sinθ= and =r r r r r r
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu ur
ve vr
vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği gibi
sinθu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
( )( )A taban yuumlkseklik=
sinθ= v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen = andw u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel Permuumltasyon
0i iand =r r
i j kand =rr r
i k jand = minusrr r
j i kand = minusrr r
0j jand =r r
j k iand =rr r
k i jand =r r r
k j iand = minusr r r
0k kand =r r
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
( )1 2 3 u u u u=r
( )1 2 3 v v v v=r
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
( ) ( )1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v kand = + + and + +r rr r r rr r
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k= and + and + andrr r r r r
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k+ and + and + andrr r r r r
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k+ and + and + andr r r rr r
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
( ) ( ) ( )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v kand = minus + minus + minusrr rr r
( )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v= minus minus minus
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise 1 ( ) 0and =u u v
andu v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir 2 ( ) 0and =v u v
andu v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 ( )22 2 2
and = minusu v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
rrr
rr=and
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u
r vr
ve wr
vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
( ) ( ) ( )u v w uw v uv wand and = minusr r r r r r rr r
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
( )u v wand andr r r
ccedilarpım vektoumlruuml
vr
ve wr
vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v wandr r
ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleriwvurrr
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvuarrrr
andminus=and)
wuvuwvubrrrrrrr
and+and=+and )()
)()()() vmuvumvumcrrrrrr
and=and=and (m skaler)
0) paraleldirvileuvudrrrrr
hArr=and
e) ur ve v
r vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) ur ve v
r vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u
r vr
ve wr
aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
( )u v w u v w Cosθand = andr r r r r r
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v wandr r
vektoumlruuml ile ur
vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
( )u v w v w u Cosθand = andr r r r r r
İlk bileşen v wandr r
OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cosθr
paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım ur
vr
ve wr
vektoumlrleri uumlzerine kurulan paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu =andrrr
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e
r olsun
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB=r r
OB OB e=r r r
OB OA Cos eθ=rr r
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skale izduumlşuumlmuuml
OB OA Cosθ=rr
ya da
OB OA e=rr r
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİBOumlLUumlM BİTTİİİİİİİ
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlrlerin Farkı
w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın
diğer koumlşegenidir
Paralelkenar Youmlntemi
İki Noktanın Tanımladığı VektoumlrTanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2) B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın tanımladığı vektoumlruumln elemanları AB OB OA= minus
rr r
( )AB OB OA= + minusrr r
( ) ( )1 2 1 2 AB b b a a= + minus minusr
( )1 1 2 2AB b a b a= minus minusr
AB B A= minusr
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2) B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her K noktası iccedilin
KB KA ABminus =rr r
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU NORMU
Tanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının
karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır
2 2 21 2 n
u u u= + + +u L
Uzunluk skaler bir değerdir
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU NORMU Geometrisi
Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln
uzunluğunun karesi
2 2 22r OA OC CA= = +
r r rr
2 22
OB BC CA= + +r rr
2 2 2x y z= + +
Uzunluk
2 2 2r x y z= + +r
BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan
vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml
N =u
uu
İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim
vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir
N=u u u
NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir
birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm
bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler
( )1 2 nu u u=u K
2 2 21 2 n
u u u= + + +u L
ise
1 2 nN
uu u =
uu u u
K
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln
( )1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z= minus minus minusP P
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir
( ) ( ) ( )2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z= = minus + minus + minusP P
İki Nokta Arasındaki MesafeVEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
( )100=i ( )010=j ( )001=k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OAr
vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA= = + +rr r rr
OB OD OE= + +r r r
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir ( )1 2 3 u u u=u
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u= + +u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir ( )1 2 nu u u=u K
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u= + + +u e e eL
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Teorem ( )1 2 3 1 2 3 u u u u u u= + + =u i j k
( )1 2 3 1 2 3 v v v v v v= + + =v i j k ve k isin olmak uumlzere
( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3u v u v u v+ = + + + + +u v i j k
( )1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku= + + =u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ İki Boyut
Ox
y
ir
jr
P
M(xy) ( )M x y
OM OP PM= +r r r
OP x= ir
PM y= jr
OM x y= +i jr
29
ir j
r
z
y
x
O
kr
OM xi y j zk= + +uuuur rr r
[ ]OM x y z=uuuur
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Uumlccedil Boyut Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım ur
ve vr
gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uvrr
ile goumlsterilir
uv u v Cosθ=rr r r
0 θ πlt lt
θ vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB=r rrr
OC OB=r r
OC OB=r r
OCCos
OAθ =
r
r
OC OA Cosθ=r r
uv OB OA Cosθ=rrrr
uv u v Cosθ=rr r r
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise θ=π2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
0=
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise θ=0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
u v=r r
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise θ=π olup skaler ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
u v= minusr r
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
( )1 2 3 u u u u=r
( )1 2 3 v v v v=r
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
( )( )1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k= + + + +r rr r r rrr
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik= + +rrr rr r
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk+ + +rrr rr r
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk+ + +r r rrr r
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk= = =rrrr rr
ve 0ij ik jk= = =r rrr r r
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v= + +rr
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v= + + +rr
L
1
n
r r
r
u v=
=sum
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u vθ =
rr
1 1 2 2 n nu v u v u v
Cosu v
θ+ + +
=L
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
( )1 2 nu u u u=r
K ( )1 2 nv v v v=r
K
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v= + + + =rr
L
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleriwvurrr
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvuarrrr
) =
)() 22 uuuuubrrrrr
==
wuvuwvucrrrrrrr
)() +=+
)()()() vmuvumvumdrrrrrr
== (m skaler)
11) =rArr= uuuerrr
0) =hArrperp vuvufrrrr
Vektoumlrel Ccedilarpım
ur
vv
vurr
and
θ
Tanım Sıfırdan farklı ur
ve vr
gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u vandr r
ya da u vtimesr r
ile goumlsterilir
w u v e u v Sinθ= and =r r r r r r
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu ur
ve vr
vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği gibi
sinθu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
( )( )A taban yuumlkseklik=
sinθ= v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen = andw u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel Permuumltasyon
0i iand =r r
i j kand =rr r
i k jand = minusrr r
j i kand = minusrr r
0j jand =r r
j k iand =rr r
k i jand =r r r
k j iand = minusr r r
0k kand =r r
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
( )1 2 3 u u u u=r
( )1 2 3 v v v v=r
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
( ) ( )1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v kand = + + and + +r rr r r rr r
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k= and + and + andrr r r r r
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k+ and + and + andrr r r r r
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k+ and + and + andr r r rr r
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
( ) ( ) ( )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v kand = minus + minus + minusrr rr r
( )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v= minus minus minus
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise 1 ( ) 0and =u u v
andu v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir 2 ( ) 0and =v u v
andu v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 ( )22 2 2
and = minusu v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
rrr
rr=and
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u
r vr
ve wr
vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
( ) ( ) ( )u v w uw v uv wand and = minusr r r r r r rr r
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
( )u v wand andr r r
ccedilarpım vektoumlruuml
vr
ve wr
vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v wandr r
ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleriwvurrr
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvuarrrr
andminus=and)
wuvuwvubrrrrrrr
and+and=+and )()
)()()() vmuvumvumcrrrrrr
and=and=and (m skaler)
0) paraleldirvileuvudrrrrr
hArr=and
e) ur ve v
r vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) ur ve v
r vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u
r vr
ve wr
aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
( )u v w u v w Cosθand = andr r r r r r
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v wandr r
vektoumlruuml ile ur
vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
( )u v w v w u Cosθand = andr r r r r r
İlk bileşen v wandr r
OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cosθr
paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım ur
vr
ve wr
vektoumlrleri uumlzerine kurulan paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu =andrrr
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e
r olsun
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB=r r
OB OB e=r r r
OB OA Cos eθ=rr r
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skale izduumlşuumlmuuml
OB OA Cosθ=rr
ya da
OB OA e=rr r
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİBOumlLUumlM BİTTİİİİİİİ
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU NORMU Geometrisi
Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln
uzunluğunun karesi
2 2 22r OA OC CA= = +
r r rr
2 22
OB BC CA= + +r rr
2 2 2x y z= + +
Uzunluk
2 2 2r x y z= + +r
BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan
vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml
N =u
uu
İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim
vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir
N=u u u
NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir
birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm
bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler
( )1 2 nu u u=u K
2 2 21 2 n
u u u= + + +u L
ise
1 2 nN
uu u =
uu u u
K
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln
( )1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z= minus minus minusP P
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir
( ) ( ) ( )2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z= = minus + minus + minusP P
İki Nokta Arasındaki MesafeVEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
( )100=i ( )010=j ( )001=k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OAr
vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA= = + +rr r rr
OB OD OE= + +r r r
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir ( )1 2 3 u u u=u
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u= + +u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir ( )1 2 nu u u=u K
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u= + + +u e e eL
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Teorem ( )1 2 3 1 2 3 u u u u u u= + + =u i j k
( )1 2 3 1 2 3 v v v v v v= + + =v i j k ve k isin olmak uumlzere
( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3u v u v u v+ = + + + + +u v i j k
( )1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku= + + =u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ İki Boyut
Ox
y
ir
jr
P
M(xy) ( )M x y
OM OP PM= +r r r
OP x= ir
PM y= jr
OM x y= +i jr
29
ir j
r
z
y
x
O
kr
OM xi y j zk= + +uuuur rr r
[ ]OM x y z=uuuur
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Uumlccedil Boyut Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım ur
ve vr
gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uvrr
ile goumlsterilir
uv u v Cosθ=rr r r
0 θ πlt lt
θ vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB=r rrr
OC OB=r r
OC OB=r r
OCCos
OAθ =
r
r
OC OA Cosθ=r r
uv OB OA Cosθ=rrrr
uv u v Cosθ=rr r r
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise θ=π2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
0=
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise θ=0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
u v=r r
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise θ=π olup skaler ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
u v= minusr r
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
( )1 2 3 u u u u=r
( )1 2 3 v v v v=r
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
( )( )1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k= + + + +r rr r r rrr
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik= + +rrr rr r
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk+ + +rrr rr r
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk+ + +r r rrr r
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk= = =rrrr rr
ve 0ij ik jk= = =r rrr r r
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v= + +rr
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v= + + +rr
L
1
n
r r
r
u v=
=sum
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u vθ =
rr
1 1 2 2 n nu v u v u v
Cosu v
θ+ + +
=L
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
( )1 2 nu u u u=r
K ( )1 2 nv v v v=r
K
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v= + + + =rr
L
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleriwvurrr
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvuarrrr
) =
)() 22 uuuuubrrrrr
==
wuvuwvucrrrrrrr
)() +=+
)()()() vmuvumvumdrrrrrr
== (m skaler)
11) =rArr= uuuerrr
0) =hArrperp vuvufrrrr
Vektoumlrel Ccedilarpım
ur
vv
vurr
and
θ
Tanım Sıfırdan farklı ur
ve vr
gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u vandr r
ya da u vtimesr r
ile goumlsterilir
w u v e u v Sinθ= and =r r r r r r
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu ur
ve vr
vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği gibi
sinθu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
( )( )A taban yuumlkseklik=
sinθ= v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen = andw u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel Permuumltasyon
0i iand =r r
i j kand =rr r
i k jand = minusrr r
j i kand = minusrr r
0j jand =r r
j k iand =rr r
k i jand =r r r
k j iand = minusr r r
0k kand =r r
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
( )1 2 3 u u u u=r
( )1 2 3 v v v v=r
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
( ) ( )1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v kand = + + and + +r rr r r rr r
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k= and + and + andrr r r r r
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k+ and + and + andrr r r r r
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k+ and + and + andr r r rr r
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
( ) ( ) ( )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v kand = minus + minus + minusrr rr r
( )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v= minus minus minus
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise 1 ( ) 0and =u u v
andu v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir 2 ( ) 0and =v u v
andu v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 ( )22 2 2
and = minusu v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
rrr
rr=and
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u
r vr
ve wr
vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
( ) ( ) ( )u v w uw v uv wand and = minusr r r r r r rr r
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
( )u v wand andr r r
ccedilarpım vektoumlruuml
vr
ve wr
vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v wandr r
ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleriwvurrr
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvuarrrr
andminus=and)
wuvuwvubrrrrrrr
and+and=+and )()
)()()() vmuvumvumcrrrrrr
and=and=and (m skaler)
0) paraleldirvileuvudrrrrr
hArr=and
e) ur ve v
r vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) ur ve v
r vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u
r vr
ve wr
aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
( )u v w u v w Cosθand = andr r r r r r
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v wandr r
vektoumlruuml ile ur
vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
( )u v w v w u Cosθand = andr r r r r r
İlk bileşen v wandr r
OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cosθr
paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım ur
vr
ve wr
vektoumlrleri uumlzerine kurulan paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu =andrrr
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e
r olsun
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB=r r
OB OB e=r r r
OB OA Cos eθ=rr r
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skale izduumlşuumlmuuml
OB OA Cosθ=rr
ya da
OB OA e=rr r
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİBOumlLUumlM BİTTİİİİİİİ
İki Nokta Arasındaki MesafeVEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
( )100=i ( )010=j ( )001=k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OAr
vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA= = + +rr r rr
OB OD OE= + +r r r
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir ( )1 2 3 u u u=u
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u= + +u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir ( )1 2 nu u u=u K
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u= + + +u e e eL
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Teorem ( )1 2 3 1 2 3 u u u u u u= + + =u i j k
( )1 2 3 1 2 3 v v v v v v= + + =v i j k ve k isin olmak uumlzere
( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3u v u v u v+ = + + + + +u v i j k
( )1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku= + + =u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ İki Boyut
Ox
y
ir
jr
P
M(xy) ( )M x y
OM OP PM= +r r r
OP x= ir
PM y= jr
OM x y= +i jr
29
ir j
r
z
y
x
O
kr
OM xi y j zk= + +uuuur rr r
[ ]OM x y z=uuuur
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Uumlccedil Boyut Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım ur
ve vr
gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uvrr
ile goumlsterilir
uv u v Cosθ=rr r r
0 θ πlt lt
θ vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB=r rrr
OC OB=r r
OC OB=r r
OCCos
OAθ =
r
r
OC OA Cosθ=r r
uv OB OA Cosθ=rrrr
uv u v Cosθ=rr r r
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise θ=π2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
0=
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise θ=0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
u v=r r
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise θ=π olup skaler ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
u v= minusr r
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
( )1 2 3 u u u u=r
( )1 2 3 v v v v=r
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
( )( )1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k= + + + +r rr r r rrr
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik= + +rrr rr r
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk+ + +rrr rr r
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk+ + +r r rrr r
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk= = =rrrr rr
ve 0ij ik jk= = =r rrr r r
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v= + +rr
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v= + + +rr
L
1
n
r r
r
u v=
=sum
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u vθ =
rr
1 1 2 2 n nu v u v u v
Cosu v
θ+ + +
=L
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
( )1 2 nu u u u=r
K ( )1 2 nv v v v=r
K
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v= + + + =rr
L
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleriwvurrr
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvuarrrr
) =
)() 22 uuuuubrrrrr
==
wuvuwvucrrrrrrr
)() +=+
)()()() vmuvumvumdrrrrrr
== (m skaler)
11) =rArr= uuuerrr
0) =hArrperp vuvufrrrr
Vektoumlrel Ccedilarpım
ur
vv
vurr
and
θ
Tanım Sıfırdan farklı ur
ve vr
gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u vandr r
ya da u vtimesr r
ile goumlsterilir
w u v e u v Sinθ= and =r r r r r r
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu ur
ve vr
vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği gibi
sinθu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
( )( )A taban yuumlkseklik=
sinθ= v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen = andw u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel Permuumltasyon
0i iand =r r
i j kand =rr r
i k jand = minusrr r
j i kand = minusrr r
0j jand =r r
j k iand =rr r
k i jand =r r r
k j iand = minusr r r
0k kand =r r
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
( )1 2 3 u u u u=r
( )1 2 3 v v v v=r
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
( ) ( )1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v kand = + + and + +r rr r r rr r
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k= and + and + andrr r r r r
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k+ and + and + andrr r r r r
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k+ and + and + andr r r rr r
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
( ) ( ) ( )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v kand = minus + minus + minusrr rr r
( )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v= minus minus minus
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise 1 ( ) 0and =u u v
andu v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir 2 ( ) 0and =v u v
andu v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 ( )22 2 2
and = minusu v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
rrr
rr=and
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u
r vr
ve wr
vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
( ) ( ) ( )u v w uw v uv wand and = minusr r r r r r rr r
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
( )u v wand andr r r
ccedilarpım vektoumlruuml
vr
ve wr
vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v wandr r
ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleriwvurrr
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvuarrrr
andminus=and)
wuvuwvubrrrrrrr
and+and=+and )()
)()()() vmuvumvumcrrrrrr
and=and=and (m skaler)
0) paraleldirvileuvudrrrrr
hArr=and
e) ur ve v
r vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) ur ve v
r vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u
r vr
ve wr
aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
( )u v w u v w Cosθand = andr r r r r r
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v wandr r
vektoumlruuml ile ur
vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
( )u v w v w u Cosθand = andr r r r r r
İlk bileşen v wandr r
OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cosθr
paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım ur
vr
ve wr
vektoumlrleri uumlzerine kurulan paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu =andrrr
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e
r olsun
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB=r r
OB OB e=r r r
OB OA Cos eθ=rr r
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skale izduumlşuumlmuuml
OB OA Cosθ=rr
ya da
OB OA e=rr r
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİBOumlLUumlM BİTTİİİİİİİ
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir ( )1 2 3 u u u=u
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u= + +u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir ( )1 2 nu u u=u K
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u= + + +u e e eL
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Teorem ( )1 2 3 1 2 3 u u u u u u= + + =u i j k
( )1 2 3 1 2 3 v v v v v v= + + =v i j k ve k isin olmak uumlzere
( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3u v u v u v+ = + + + + +u v i j k
( )1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku= + + =u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ İki Boyut
Ox
y
ir
jr
P
M(xy) ( )M x y
OM OP PM= +r r r
OP x= ir
PM y= jr
OM x y= +i jr
29
ir j
r
z
y
x
O
kr
OM xi y j zk= + +uuuur rr r
[ ]OM x y z=uuuur
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Uumlccedil Boyut Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım ur
ve vr
gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uvrr
ile goumlsterilir
uv u v Cosθ=rr r r
0 θ πlt lt
θ vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB=r rrr
OC OB=r r
OC OB=r r
OCCos
OAθ =
r
r
OC OA Cosθ=r r
uv OB OA Cosθ=rrrr
uv u v Cosθ=rr r r
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise θ=π2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
0=
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise θ=0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
u v=r r
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise θ=π olup skaler ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
u v= minusr r
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
( )1 2 3 u u u u=r
( )1 2 3 v v v v=r
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
( )( )1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k= + + + +r rr r r rrr
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik= + +rrr rr r
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk+ + +rrr rr r
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk+ + +r r rrr r
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk= = =rrrr rr
ve 0ij ik jk= = =r rrr r r
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v= + +rr
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v= + + +rr
L
1
n
r r
r
u v=
=sum
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u vθ =
rr
1 1 2 2 n nu v u v u v
Cosu v
θ+ + +
=L
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
( )1 2 nu u u u=r
K ( )1 2 nv v v v=r
K
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v= + + + =rr
L
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleriwvurrr
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvuarrrr
) =
)() 22 uuuuubrrrrr
==
wuvuwvucrrrrrrr
)() +=+
)()()() vmuvumvumdrrrrrr
== (m skaler)
11) =rArr= uuuerrr
0) =hArrperp vuvufrrrr
Vektoumlrel Ccedilarpım
ur
vv
vurr
and
θ
Tanım Sıfırdan farklı ur
ve vr
gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u vandr r
ya da u vtimesr r
ile goumlsterilir
w u v e u v Sinθ= and =r r r r r r
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu ur
ve vr
vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği gibi
sinθu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
( )( )A taban yuumlkseklik=
sinθ= v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen = andw u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel Permuumltasyon
0i iand =r r
i j kand =rr r
i k jand = minusrr r
j i kand = minusrr r
0j jand =r r
j k iand =rr r
k i jand =r r r
k j iand = minusr r r
0k kand =r r
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
( )1 2 3 u u u u=r
( )1 2 3 v v v v=r
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
( ) ( )1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v kand = + + and + +r rr r r rr r
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k= and + and + andrr r r r r
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k+ and + and + andrr r r r r
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k+ and + and + andr r r rr r
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
( ) ( ) ( )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v kand = minus + minus + minusrr rr r
( )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v= minus minus minus
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise 1 ( ) 0and =u u v
andu v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir 2 ( ) 0and =v u v
andu v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 ( )22 2 2
and = minusu v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
rrr
rr=and
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u
r vr
ve wr
vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
( ) ( ) ( )u v w uw v uv wand and = minusr r r r r r rr r
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
( )u v wand andr r r
ccedilarpım vektoumlruuml
vr
ve wr
vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v wandr r
ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleriwvurrr
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvuarrrr
andminus=and)
wuvuwvubrrrrrrr
and+and=+and )()
)()()() vmuvumvumcrrrrrr
and=and=and (m skaler)
0) paraleldirvileuvudrrrrr
hArr=and
e) ur ve v
r vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) ur ve v
r vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u
r vr
ve wr
aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
( )u v w u v w Cosθand = andr r r r r r
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v wandr r
vektoumlruuml ile ur
vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
( )u v w v w u Cosθand = andr r r r r r
İlk bileşen v wandr r
OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cosθr
paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım ur
vr
ve wr
vektoumlrleri uumlzerine kurulan paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu =andrrr
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e
r olsun
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB=r r
OB OB e=r r r
OB OA Cos eθ=rr r
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skale izduumlşuumlmuuml
OB OA Cosθ=rr
ya da
OB OA e=rr r
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİBOumlLUumlM BİTTİİİİİİİ
29
ir j
r
z
y
x
O
kr
OM xi y j zk= + +uuuur rr r
[ ]OM x y z=uuuur
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Uumlccedil Boyut Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım ur
ve vr
gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uvrr
ile goumlsterilir
uv u v Cosθ=rr r r
0 θ πlt lt
θ vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB=r rrr
OC OB=r r
OC OB=r r
OCCos
OAθ =
r
r
OC OA Cosθ=r r
uv OB OA Cosθ=rrrr
uv u v Cosθ=rr r r
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise θ=π2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
0=
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise θ=0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
u v=r r
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise θ=π olup skaler ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
u v= minusr r
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
( )1 2 3 u u u u=r
( )1 2 3 v v v v=r
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
( )( )1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k= + + + +r rr r r rrr
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik= + +rrr rr r
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk+ + +rrr rr r
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk+ + +r r rrr r
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk= = =rrrr rr
ve 0ij ik jk= = =r rrr r r
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v= + +rr
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v= + + +rr
L
1
n
r r
r
u v=
=sum
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u vθ =
rr
1 1 2 2 n nu v u v u v
Cosu v
θ+ + +
=L
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
( )1 2 nu u u u=r
K ( )1 2 nv v v v=r
K
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v= + + + =rr
L
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleriwvurrr
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvuarrrr
) =
)() 22 uuuuubrrrrr
==
wuvuwvucrrrrrrr
)() +=+
)()()() vmuvumvumdrrrrrr
== (m skaler)
11) =rArr= uuuerrr
0) =hArrperp vuvufrrrr
Vektoumlrel Ccedilarpım
ur
vv
vurr
and
θ
Tanım Sıfırdan farklı ur
ve vr
gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u vandr r
ya da u vtimesr r
ile goumlsterilir
w u v e u v Sinθ= and =r r r r r r
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu ur
ve vr
vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği gibi
sinθu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
( )( )A taban yuumlkseklik=
sinθ= v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen = andw u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel Permuumltasyon
0i iand =r r
i j kand =rr r
i k jand = minusrr r
j i kand = minusrr r
0j jand =r r
j k iand =rr r
k i jand =r r r
k j iand = minusr r r
0k kand =r r
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
( )1 2 3 u u u u=r
( )1 2 3 v v v v=r
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
( ) ( )1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v kand = + + and + +r rr r r rr r
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k= and + and + andrr r r r r
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k+ and + and + andrr r r r r
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k+ and + and + andr r r rr r
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
( ) ( ) ( )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v kand = minus + minus + minusrr rr r
( )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v= minus minus minus
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise 1 ( ) 0and =u u v
andu v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir 2 ( ) 0and =v u v
andu v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 ( )22 2 2
and = minusu v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
rrr
rr=and
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u
r vr
ve wr
vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
( ) ( ) ( )u v w uw v uv wand and = minusr r r r r r rr r
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
( )u v wand andr r r
ccedilarpım vektoumlruuml
vr
ve wr
vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v wandr r
ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleriwvurrr
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvuarrrr
andminus=and)
wuvuwvubrrrrrrr
and+and=+and )()
)()()() vmuvumvumcrrrrrr
and=and=and (m skaler)
0) paraleldirvileuvudrrrrr
hArr=and
e) ur ve v
r vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) ur ve v
r vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u
r vr
ve wr
aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
( )u v w u v w Cosθand = andr r r r r r
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v wandr r
vektoumlruuml ile ur
vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
( )u v w v w u Cosθand = andr r r r r r
İlk bileşen v wandr r
OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cosθr
paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım ur
vr
ve wr
vektoumlrleri uumlzerine kurulan paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu =andrrr
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e
r olsun
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB=r r
OB OB e=r r r
OB OA Cos eθ=rr r
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skale izduumlşuumlmuuml
OB OA Cosθ=rr
ya da
OB OA e=rr r
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİBOumlLUumlM BİTTİİİİİİİ
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise θ=π2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
0=
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise θ=0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
u v=r r
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise θ=π olup skaler ccedilarpım
uv u v Cosθ=rr r r
u v= minusr r
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
( )1 2 3 u u u u=r
( )1 2 3 v v v v=r
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
( )( )1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k= + + + +r rr r r rrr
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik= + +rrr rr r
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk+ + +rrr rr r
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk+ + +r r rrr r
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk= = =rrrr rr
ve 0ij ik jk= = =r rrr r r
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v= + +rr
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v= + + +rr
L
1
n
r r
r
u v=
=sum
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u vθ =
rr
1 1 2 2 n nu v u v u v
Cosu v
θ+ + +
=L
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
( )1 2 nu u u u=r
K ( )1 2 nv v v v=r
K
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v= + + + =rr
L
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleriwvurrr
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvuarrrr
) =
)() 22 uuuuubrrrrr
==
wuvuwvucrrrrrrr
)() +=+
)()()() vmuvumvumdrrrrrr
== (m skaler)
11) =rArr= uuuerrr
0) =hArrperp vuvufrrrr
Vektoumlrel Ccedilarpım
ur
vv
vurr
and
θ
Tanım Sıfırdan farklı ur
ve vr
gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u vandr r
ya da u vtimesr r
ile goumlsterilir
w u v e u v Sinθ= and =r r r r r r
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu ur
ve vr
vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği gibi
sinθu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
( )( )A taban yuumlkseklik=
sinθ= v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen = andw u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel Permuumltasyon
0i iand =r r
i j kand =rr r
i k jand = minusrr r
j i kand = minusrr r
0j jand =r r
j k iand =rr r
k i jand =r r r
k j iand = minusr r r
0k kand =r r
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
( )1 2 3 u u u u=r
( )1 2 3 v v v v=r
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
( ) ( )1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v kand = + + and + +r rr r r rr r
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k= and + and + andrr r r r r
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k+ and + and + andrr r r r r
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k+ and + and + andr r r rr r
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
( ) ( ) ( )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v kand = minus + minus + minusrr rr r
( )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v= minus minus minus
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise 1 ( ) 0and =u u v
andu v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir 2 ( ) 0and =v u v
andu v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 ( )22 2 2
and = minusu v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
rrr
rr=and
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u
r vr
ve wr
vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
( ) ( ) ( )u v w uw v uv wand and = minusr r r r r r rr r
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
( )u v wand andr r r
ccedilarpım vektoumlruuml
vr
ve wr
vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v wandr r
ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleriwvurrr
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvuarrrr
andminus=and)
wuvuwvubrrrrrrr
and+and=+and )()
)()()() vmuvumvumcrrrrrr
and=and=and (m skaler)
0) paraleldirvileuvudrrrrr
hArr=and
e) ur ve v
r vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) ur ve v
r vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u
r vr
ve wr
aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
( )u v w u v w Cosθand = andr r r r r r
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v wandr r
vektoumlruuml ile ur
vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
( )u v w v w u Cosθand = andr r r r r r
İlk bileşen v wandr r
OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cosθr
paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım ur
vr
ve wr
vektoumlrleri uumlzerine kurulan paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu =andrrr
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e
r olsun
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB=r r
OB OB e=r r r
OB OA Cos eθ=rr r
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skale izduumlşuumlmuuml
OB OA Cosθ=rr
ya da
OB OA e=rr r
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİBOumlLUumlM BİTTİİİİİİİ
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
( )1 2 nu u u u=r
K ( )1 2 nv v v v=r
K
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v= + + + =rr
L
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleriwvurrr
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvuarrrr
) =
)() 22 uuuuubrrrrr
==
wuvuwvucrrrrrrr
)() +=+
)()()() vmuvumvumdrrrrrr
== (m skaler)
11) =rArr= uuuerrr
0) =hArrperp vuvufrrrr
Vektoumlrel Ccedilarpım
ur
vv
vurr
and
θ
Tanım Sıfırdan farklı ur
ve vr
gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u vandr r
ya da u vtimesr r
ile goumlsterilir
w u v e u v Sinθ= and =r r r r r r
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu ur
ve vr
vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği gibi
sinθu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
( )( )A taban yuumlkseklik=
sinθ= v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen = andw u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel Permuumltasyon
0i iand =r r
i j kand =rr r
i k jand = minusrr r
j i kand = minusrr r
0j jand =r r
j k iand =rr r
k i jand =r r r
k j iand = minusr r r
0k kand =r r
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
( )1 2 3 u u u u=r
( )1 2 3 v v v v=r
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
( ) ( )1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v kand = + + and + +r rr r r rr r
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k= and + and + andrr r r r r
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k+ and + and + andrr r r r r
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k+ and + and + andr r r rr r
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
( ) ( ) ( )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v kand = minus + minus + minusrr rr r
( )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v= minus minus minus
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise 1 ( ) 0and =u u v
andu v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir 2 ( ) 0and =v u v
andu v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 ( )22 2 2
and = minusu v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
rrr
rr=and
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u
r vr
ve wr
vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
( ) ( ) ( )u v w uw v uv wand and = minusr r r r r r rr r
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
( )u v wand andr r r
ccedilarpım vektoumlruuml
vr
ve wr
vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v wandr r
ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleriwvurrr
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvuarrrr
andminus=and)
wuvuwvubrrrrrrr
and+and=+and )()
)()()() vmuvumvumcrrrrrr
and=and=and (m skaler)
0) paraleldirvileuvudrrrrr
hArr=and
e) ur ve v
r vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) ur ve v
r vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u
r vr
ve wr
aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
( )u v w u v w Cosθand = andr r r r r r
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v wandr r
vektoumlruuml ile ur
vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
( )u v w v w u Cosθand = andr r r r r r
İlk bileşen v wandr r
OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cosθr
paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım ur
vr
ve wr
vektoumlrleri uumlzerine kurulan paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu =andrrr
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e
r olsun
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB=r r
OB OB e=r r r
OB OA Cos eθ=rr r
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skale izduumlşuumlmuuml
OB OA Cosθ=rr
ya da
OB OA e=rr r
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİBOumlLUumlM BİTTİİİİİİİ
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen = andw u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel Permuumltasyon
0i iand =r r
i j kand =rr r
i k jand = minusrr r
j i kand = minusrr r
0j jand =r r
j k iand =rr r
k i jand =r r r
k j iand = minusr r r
0k kand =r r
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
( )1 2 3 u u u u=r
( )1 2 3 v v v v=r
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
( ) ( )1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v kand = + + and + +r rr r r rr r
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k= and + and + andrr r r r r
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k+ and + and + andrr r r r r
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k+ and + and + andr r r rr r
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
( ) ( ) ( )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v kand = minus + minus + minusrr rr r
( )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v= minus minus minus
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise 1 ( ) 0and =u u v
andu v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir 2 ( ) 0and =v u v
andu v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 ( )22 2 2
and = minusu v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
rrr
rr=and
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u
r vr
ve wr
vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
( ) ( ) ( )u v w uw v uv wand and = minusr r r r r r rr r
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
( )u v wand andr r r
ccedilarpım vektoumlruuml
vr
ve wr
vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v wandr r
ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleriwvurrr
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvuarrrr
andminus=and)
wuvuwvubrrrrrrr
and+and=+and )()
)()()() vmuvumvumcrrrrrr
and=and=and (m skaler)
0) paraleldirvileuvudrrrrr
hArr=and
e) ur ve v
r vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) ur ve v
r vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u
r vr
ve wr
aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
( )u v w u v w Cosθand = andr r r r r r
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v wandr r
vektoumlruuml ile ur
vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
( )u v w v w u Cosθand = andr r r r r r
İlk bileşen v wandr r
OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cosθr
paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım ur
vr
ve wr
vektoumlrleri uumlzerine kurulan paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu =andrrr
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e
r olsun
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB=r r
OB OB e=r r r
OB OA Cos eθ=rr r
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skale izduumlşuumlmuuml
OB OA Cosθ=rr
ya da
OB OA e=rr r
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİBOumlLUumlM BİTTİİİİİİİ
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise 1 ( ) 0and =u u v
andu v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir 2 ( ) 0and =v u v
andu v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 ( )22 2 2
and = minusu v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
rrr
rr=and
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u
r vr
ve wr
vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
( ) ( ) ( )u v w uw v uv wand and = minusr r r r r r rr r
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
( )u v wand andr r r
ccedilarpım vektoumlruuml
vr
ve wr
vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v wandr r
ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleriwvurrr
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvuarrrr
andminus=and)
wuvuwvubrrrrrrr
and+and=+and )()
)()()() vmuvumvumcrrrrrr
and=and=and (m skaler)
0) paraleldirvileuvudrrrrr
hArr=and
e) ur ve v
r vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) ur ve v
r vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u
r vr
ve wr
aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
( )u v w u v w Cosθand = andr r r r r r
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v wandr r
vektoumlruuml ile ur
vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
( )u v w v w u Cosθand = andr r r r r r
İlk bileşen v wandr r
OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cosθr
paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım ur
vr
ve wr
vektoumlrleri uumlzerine kurulan paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu =andrrr
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e
r olsun
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB=r r
OB OB e=r r r
OB OA Cos eθ=rr r
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skale izduumlşuumlmuuml
OB OA Cosθ=rr
ya da
OB OA e=rr r
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİBOumlLUumlM BİTTİİİİİİİ
Karışık CcedilarpımTanım u
r vr
ve wr
aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
( )u v w u v w Cosθand = andr r r r r r
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v wandr r
vektoumlruuml ile ur
vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
( )u v w v w u Cosθand = andr r r r r r
İlk bileşen v wandr r
OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cosθr
paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım ur
vr
ve wr
vektoumlrleri uumlzerine kurulan paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu =andrrr
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e
r olsun
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB=r r
OB OB e=r r r
OB OA Cos eθ=rr r
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skale izduumlşuumlmuuml
OB OA Cosθ=rr
ya da
OB OA e=rr r
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİBOumlLUumlM BİTTİİİİİİİ
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e
r olsun
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB=r r
OB OB e=r r r
OB OA Cos eθ=rr r
OAr
vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skale izduumlşuumlmuuml
OB OA Cosθ=rr
ya da
OB OA e=rr r
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİBOumlLUumlM BİTTİİİİİİİ