Kandinsky, En azul. leo sobre lienzo, 1925.
LA FORMALIZACIN DE LOS CONCEPTOS FSICOS. ELCASO DE LA VELOCIDAD
INSTANTNEAngel Enrique Romero Chacn Luz Dary Rodrguez
LA FORMALIZACIN DE LOS CONCEPTOS FSICOS. EL CASO DE LA VELOCIDAD
INSTANTNEA Se examina la forma tradicional de asumir la relacin
fsica-matemticas en el contexto educativo y, tomando como
fundamento los aportes de la historia y la epistemologa de la fsica
y del enfoque de modelizacin, se analiza en particular el concepto
velocidad instantnea y suformalizacin. Con la intencin de superar
algunas dificultades identificadas en la manera usual de significar
este concepto, se adelanta una interpretacin del anlisis del
movimiento segn la perspectiva, galileana: la velocidad instantnea
como variable de estado. Desde esta perspectiva, se resalta el
papel desempeado por la representacin cartesiana en la
diferenciacin de variables y sus relaciones como medio para la
formalizacin y comprensin de este concepto.
LA FORMALISATION DES CONCEPTS EN PHYSIQUE. LE CAS DE LA VITESSE
INSTANTANE Nous examinons la maniere traditionnelle dont on assume
la relation Physique-mathmatiques dans le contexte ducatif et,
bases sur les apports de histoire et de l'pistmologk de la physique
et de l'approche de modlisation on analyse notamment, le concept de
vitesse instantane et sa formalisation. Nous tentons de surmonter
quelques difficults souleves par la fagan courante de donner su
sens ce concept. On avance une interprtation sur l'analyse du
mouvement d'aprs une optique galilenne: la vitesse instantane en
tant que variable d'tat. Dans cette perspective, on souligne le
role jou par la representation cartsienne dans la diffrentiation
des variables et leurs relations en tant que moyen de formalisation
et comprhension du concept
FORMALIZARON OF PHYSICAL CONCEPTS. THE CASE OF INSTANTANEOUS
SPEED The traditional way ofassuming the Physics-Matlwmatics
relationship in the educational context based on the contributions
ofthe history and epistemology ofPhysics and modeling in Physics,
plus the concept of instant speed and its formaiization, are
analyzed in this paper. In an attempt to overeme some difficulties
identified in the usual manner ofmeaning this concept, an
interprtation of movement analysis in accordance with Galilean
perspective is proposed: instantaneous speed as a variable of
state. From litis perspective, the role of the Cartesian
representation in the diffrentiation of variables and its
relationships as a means for the formaiization and understanding of
this concept is also emplmsized.
Enseanza de la fsica, enseanza de la matemtica, velocidad
instantnea Teaching of Physics, teaching of Mathematcs, instant
speed (instantaneous velocity)
LA FORMALIZACIN DE LOS CONCEPTOS FSICOS. EL CASO DE LA VELOCIDAD
INSTANTNEA*ngel Enrique Romero Chacn** Luz Dary Rodrguez***
INTRODUCCIN
U
sualmente los procesos de matematizacin y formalizacin son
catalogados como uno de los aspectos que ms dificultades causan a
los estudiantes de fsica, tanto en el mbito de la educacin media
como en el de pregrado. Son, adems, sealados por los profesores de
fsica como uno de los factores de mayor incidencia en el fracaso
acadmico de sus estudiantes, al punto de llegar a proponer una
"desmatematizacin" de la fsica, es decir, una enseanza de los
conceptos y teoras fsicas que no involucre la cuantificacin de las
magnitudes fsicas ni el uso de representaciones matemticas. A lo
anterior se suma el uso de las matemticas que hace el profesor de
fsica en las didcticas tradicionales: en ellas se confunde los
procesos de matematizacin de los fenmenos fsicos con la aplicacin
de frmulas y algoritmos. Dado que esta situacin puede estar siendo
ocasionada por las concepciones que tienen los docentes de las
relaciones que existen entre los procesos de matematizacin y la
construccin de los conceptos fsicos, concepciones que estn basadas,
a su vez, en deter*
minadas formas de asumir el conocimiento matemtico y el
conocimiento cientfico, indagar por la forma en que se materializa
tal relacin en el mbito educativo indudablemente contribuir a
resolver las problemticas planteadas.
LA RELACIN ENTRE LA FSICA YLAS MATEMTICAS EN EL CONTEXTO
EDUCATIVOLa forma de plantear y abordar la relacin entre la fsica y
las matemticas ms difundida en el mbito escolar es aquella por la
cual se considera a las matemticas como lenguaje de la fsica. Este
enunciado, sin embargo, lejos de ser la estricta connotacin que
aparenta, est cargado de muchos presupuestos onto-lgicos y
epistemolgicos que es necesario explicitar. Esta concepcin puede
dividirse en dos enfoques, dependiendo de la forma como se asu-
Este artculo hace parte de los resultados de la investigacin
educativa "La matematizacin de los fenmenos fsicos: el caso de los
fenmenos mecnicos y trmicos. Anlisis conceptuales y elementos para
propuestasdidcticas", Universidad de Antioquia-CODI, Escuela Normal
Superior Mara Auxiliadora, 2001-2002. Profesor Facultad de
Educacin, Universidad de Antioquia. Direccin electrnica:
[email protected] Profesora Facultad de Educacin,
Universidad de Antioquia.
*
REVISTA EDUCACIN Y PEDAGOGA VOL. XVNo.35
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LA FORMALIZACIN DE LOS CONCEPTOS FSICOS.
me el lenguaje en su relacin con el pensamiento. Uno, a travs
del cual las matemticas son asumidas como un medio de expresin y de
clculo, que conduce a concretar la relacin entre la fsica y las
matemticas a travs de una relacin de aplicacin: las matemticas
intervienen en la fsica como un instrumento meramente tcnico. Esta
concepcin es la que lleva a proponer como estrategia didctica el
adiestramiento en el uso de algoritmos matemticos (Vondracek, 1999,
32; Linder y Hillhouse, 1996,332 y ss.). Y otro, en donde se
considera que las matemticas tienen con la fsica una relacin de
constitucin: sin las matemticas no slo es imposible especificar y
expresar los conceptos y procesos del pensamiento fsico, sino
incluso generarlos. Mientras que desde la primera perspectiva
existe una situacin de exterioridad respecto a los objetos de
estudio y al sujeto cognoscente, desde la segunda, al examinar las
teoras fsicas, resulta difcil encontrar un concepto fsico que no
est ligado a uno o varios conceptos matemticos. Teniendo en cuenta
esto, asumir las matemticas como la herramienta de la fsica no
permite comprender ni visualizar de qu forma se establece y
explcita esta relacin: por una parte, asumir las matemticas como un
mtodo universal de representacin de la fsica, que se apoya por su
parte en un mtodo experimental igualmente universal, es una posicin
demasiado vaga que explica de un modo excesivamente general tal
adecuacin de las matemticas al conocimiento cientfico (Lvy-Leblond,
1988, 77); de otra parte, desde este enfoque las estructuras
lgico-matemticas son dadas como algo acabado, donde toda idea de
gnesis y desarrollo es excluida, pues las estructuras formales son
preformaciones y el sujeto es sede o teatro, pero no actor de
ellas. En los ltimos aos han venido surgiendo propuestas de
investigacin en la enseanza de la fsica que, enmarcadas en el
segundo enfoque, abordan ms explcitamente las po-
sibles formas como se dan las relaciones entre la fsica y las
matemticas a travs de estudios de caso: se trata de la indagacin
histrico- epistemolgica de la fsica con fines pedaggicos y de la
modelizacin en fsica. Por un lado, los anlisis
histrico-epistemolgicos de la fsica han contribuido a superar la
relacin de confrontacin entre los pares naturaleza-hombre,
experiencia-teora y concretoabstracto, caractersticos de formas
tradicionales de asumir la relacin entre la fsica y las matemticas.
Por una parte, han mostrado que no existe una nica manera de
concebir la materializacin de dicha relacin, pues tal adecuacin no
es universal ni ahistrica: depende tanto de las estructuras de los
sistemas matemticos como de los conceptos y las magnitudes fsicas
en consideracin (Paty, 1994, 404). Por otra parte, contribuyen a la
constitucin de un marco conceptual apropiado: matematizar un
fenmeno fsico no consiste en sobreponer un aparato matemtico al
fenmeno; se requiere, ante todo, construir la posibilidad misma de
matematizarlo, es decir, de construir las magnitudes, relaciones y
procedimientos apropiados para representarlo y cuantificarlo
(Malagn, 1988,114). Por otro lado, de acuerdo con el enfoque de
modelizacin, los modelos constituyen el ncleo del conocimiento
cientfico y la modelizacin es la actividad sistemtica a partir de
la cual se puede construir y emplear este conocimiento. Este
enfoque est basado en ciertos presupuestos epistemolgicos, siendo
tal vez uno de los ms relevantes aquel por el cual se afirma que
nunca llegamos a conocer los objetos "en s", sino a travs de
nuestras representaciones de ellos; en otras palabras, todo nuestro
conocimiento de lo que llamamos "mundo exterior" depende de nuestra
habilidad para construir modelos de l (Johnson-Laird, 1983; citado
por Halloun, 1996, 1.021). Esto implica que cualquier "integracin"
entre disciplinas diversas debe significar un modo de comparar y
relacionarREVISTA EDUCACIN Y PEDAGOGA VOL. XVNo. 35
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ENSEANZA DE LAS MATEMTICAS
entre s modelos diversos y diversas estructuras de modelos
(Arca, Guidoni y Mazoli, 1990, 139). Estas consideraciones tienen
importantes implicaciones en los procesos de matematizacin: Hacer
matemticas implica ms que la simple manipulacin de smbolos
matemticos. Cuando se construyen o exploran sistemas matemticos, lo
que tiene inters son las propiedades estructurales de esos
sistemas, no los elementos aislados dentro del sistema, ni las
reglas aisladas que sirven para actuar sobre tales elementos
(Castro Martnez y otros, 1997, 362 y ss.). Cuando se utilizan
representaciones para matematizar situaciones problmicas, las
representaciones matemticas funcionan como simplificaciones de
sistemas externos y, a la vez, como externalizaciones de sistemas
internos (Lesh, 1997, 379). Tomando como base estos aportes, es
claro que la forma como se puede avanzar en la caracterizacin de
las relaciones entre la fsica y las matemticas que posibilite
plantear propuestas didcticas es a travs de la realizacin de
estudios de casos de cmo se constituyen y formalizan conceptos
fsicos particulares. Slo as se podr explicitar el uso de
representaciones, el establecimiento de modelos y los grados de
formalizacin involucrados en la identificacin y cuantificacin de
las magnitudes relevantes para la constitucin de un concepto
particular.
ral, en el sentido de que para su definicin y significacin se
toman como referentes los conceptos posicin y desplazamiento,
asumidos como funciones del tiempo. Es as como la velocidad
instantnea v de una partcula en el momento se define como el lmite
de su velocidad media durante un intervalo de tiempo que incluya a
t, cuando el tamao del intervalo tiende a cero. A pesar de la
importancia que este concepto tiene en el estudio de la cinemtica,
en la mayora de los textos y cursos introductorios de fsica no se
dedica el tiempo suficiente para garantizar su comprensin por parte
de los estudiantes, ni se disean y ponen en prctica las estrategias
adecuadas para tal fin. La mayora de las investigaciones que
identifican las dificultades de los estudiantes en la comprensin de
los conceptos bsicos de cinemtica resaltan el papel que juega la
experiencia y proponen dar una base perceptual para la definicin
operatoria de lmite, al considerar un movimiento no-uniforme como
una sucesin de movimientos uniformes ocurridos en intervalos de
tiempo cortos (Trowbridge y McDermott, 1980,1.027; Rosen-quist y
McDermott, 1987, 408 y ss.). No obstante, la alta frecuencia con la
que este concepto es abordado en los cursos introductorios de
fsica, haciendo uso de la perspectiva espaciotemporal, contrasta
con el bajo entendimiento que los estudiantes logran de l. Esta
formalizacin del concepto velocidad est fundamentada en la
consideracin del movimiento como cambio de lugar (cambio de
posicin): un cuerpo se encuentra en movimiento si cambia de lugar
en un cierto tiempo; desde esta perspectiva, el cambio de lugar y
el correspondiente gasto de tiempo se convierten en los nicos
referentes para evidenciar y analizar el movimiento de los cuerpos.
A esta forma de significar el movimiento y de definir el concepto
velocidad instantnea se le pueden realizar algunas objeciones:
EL CONCEPTO VELOCIDADINSTANTNEA Y SU FORMALIZACINLa velocidad
instantnea es uno de los conceptos centrales en la descripcin y
anlisis del movimiento de los cuerpos y sistemas. En la enseanza,
este concepto se aborda usual-mente desde una perspectiva
espacio-tempoREVISTA EDUCACIN Y PEDAGOGA VOL. XVNo. 35
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LA FORMALIZACIN DE LOS CONCEPTOS FSICOS.
Si bien las funciones r = r(t) y v = v(t) se utilizan
formalmente para describir satisfactoriamente el movimiento de los
cuerpos, la situacin cambia radicalmente si se desea analizar
movimientos para los cuales no se conocen a priori estas funciones
(Ayala y otros, 2002,1). La definicin operatoria de velocidad
instantnea trae consigo dificultades de adecuacin entre la nocin
instantaneidad temporal y el significado de velocidad que subyace a
dicha definicin. Cuando se hace referencia al movimiento de un
cuerpo se considera intuitivamente que en cada instante el cuerpo
tiene un valor de velocidad determinado; no obstante, el uso de
lapsos de tiempo finitos (aunque pequeos), presentes en el paso al
lmite de la definicin, no se corresponden con esta nocin de
instantaneidad, dado que lo que se tiene son lapsos de tiempo
-duraciones-, no instantes. Esta definicin sugiere que para medir
la velocidad instantnea basta con cuantifi-car los cambios de
posicin y los correspondientes lapsos de tiempo y aplicar la
relacin propuesta; no obstante, este procedimiento no permite
resolver satisfactoriamente las dificultades que se presentan
cuando se desea medir la velocidad para un instante determinado,
dado que slo es posible dar cuenta de la velocidad media en un
lapso de tiempo. Ms an, la forma de medir la velocidad implcita en
esta definicin no se corresponde con el proceso de medir: no se
dispone de una unidad de velocidad que permita la construccin de
una escala para asegurar cundo un valor determinado de velocidad es
la mitad, el doble, el triple, etc., de otro. Teniendo en cuenta
estas objeciones, cabe preguntarse si la nica forma de comprender
el concepto velocidad instantnea es a partir de una relacin espacio
temporal. 60
EL MOVIMIENTO DESDE UNA PERSPECTIVA FENOMENOLGICA El movimiento
puede pensarse y analizarse desde un modo de ver por sistemas y un
modo de ver por variables. Desde esta perspectiva, el movimiento no
es una propiedad que se le atribuye a un cuerpo, sino un estado de
un sistema constituido por -al menos- dos cuerpos (Guidoni y Arca,
1987, 6 y ss.). De hecho, la estructura del lenguaje usado para
referirnos al movimiento nos percata de esta posibilidad: cuando
percibimos que no es adecuado decir el cuerpo tiene movimiento,
sino el cuerpo est en movimiento, estamos considerando que el
movimiento no es algo que pertenece al cuerpo, sino que es un modo
de ser o estar de los cuerpos. Considerar el movimiento como un
estado de un sistema de cuerpos implica que, paralelamente a la
identificacin del sistema en consideracin, es necesario identificar
una propiedad variable a travs de la cual se d cuenta de los
diferentes estados de movimiento que puede llegar a tener un
cuerpo. Esta posibilidad, igualmente, ya est presente en el
lenguaje a muy tempranas edades: cuando nos referimos al movimiento
de un cuerpo hablamos de qu tan rpido o lento se mueve dicho
cuerpo; esto pone en evidencia que para referirnos al movimiento
identificamos una cierta cualidad susceptible de tener grados, que
da cuenta del estado de movimiento de los cuerpos: el grado de
velocidad. Las diferentes situaciones relativas al movimiento
pueden ser interpretadas desde esta perspectiva: la cada de los
cuerpos en las vecindades de la superficie terrestre puede ser
descrita como el cambio continuo del estado de movimiento de un
cuerpo, de manera que experimenta cambios de estado de movimiento
iguales en tiempos iguales; el caso del movimiento rectilneo
uniforme puede interpretarse como la permanencia en el tiempo del
mismo estado de movimiento; el caso del movimiento acelerado es la
variacin conti-
REVISTA EDUCACIN Y PEDAGOGA VOL.XVNo.35
ENSEANZA DE LAS MATEMTICAS ENSEANZA DE LAS MATEMTICAS
nua en el tiempo del estado de movimiento (Ayala y otros,
2002,19). Podra afirmarse, incluso, que la ley de la inercia
enuncia que un cuerpo por s mismo no puede cambiar su estado de
movimiento. Para avanzar con el estudio del movimiento desde el
modo de ver por sistemas y el modo de ver por variables es
necesario configurar fenmenos donde se posibilite la identificacin
del estado de movimiento como variable y el establecimiento de
relaciones con otras variables que permitan su cuantificacin. Para
este fin se considera relevante realizar un anlisis del fenmeno de
la cada de los cuerpos, segn la perspectiva galileana. PERSPECTIVA
GALILEANA DEL MOVIMIENTO: LA VELOCIDAD INSTANTNEA COMO VARIABLE DE
ESTADO Galileo fue uno de los fundadores de una forma de anlisis
que a lo largo de la historia se ha erigido como paradigmtica: la
geometri-zacin y, como consecuencia de ello, la cuantificacin del
movimiento. Se resaltan aqu algunos aspectos de la perspectiva
galileana del movimiento que en muchos anlisis histricos y textos
de enseanza resulta desapercibida: la identificacin de la velocidad
instantnea como variable continua que da cuenta del estado de
movimiento de los cuerpos. En la "Jornada tercera" de su obra
Consideraciones y demostraciones matemticas sobre dos nuevas
ciencias, Galileo aborda el anlisis del movimiento. Respecto al
movimiento naturalmente acelerado, afirma: Salviati. [...] Cuando
observo, por tanto, una piedra que cae desde cierta altura,
partiendo de una situacin de reposo, que va adquiriendo poco a poco
cada vez ms velocidad, por qu no he de creer que tales aumentos de
velocidad no tengan lugar segn la ms simple y evidente proporcin ?
Ahora bien, si observamos con cierta atencin el problema, no
encontraremos ningn aumento o adicin ms simple que aquel que va
aumentando siempre de la misma manera [...] de modo que si el
mvil continuara en su movimiento segn el grado de intensidad de
velocidad adquirido en la primera fraccin de tiempo y prosiguiera
uniformemente con tal grado, este movimiento sera dos veces ms
lento que el que obtendra con el grado de velocidad adquirido en
dos fracciones de tiempo (Galileo, 276-277). Para Galileo, la
propiedad relevante en el anlisis del movimiento es la velocidad, o
ms concretamente el grado de velocidad, interpretada como el grado
de rapidez o lentitud que puede adquirir un cuerpo. A travs de esta
idea, Galileo modifica el estatus ontolgico del movimiento: de
efecto producido por una causa -el mpetu- y que existe y se
mantiene slo mientras dura la accin de la causa que lo produce,
pasa a ser un ente relativamente independiente que se conserva por
s solo (Koyr, 1981, 91). Galileo es consciente de las dificultades
conceptuales que implica esta concepcin y por ello pone en boca de
Sagredo y Simplicio algunas de las objeciones ms importantes, a
saber: cmo concebir el paso continuo del reposo al movimiento? Cmo
pensar un movimiento que se realiza en un instante? Dada la
importancia del anlisis, es relevante citarlo en extenso: Sagredo.
Cuando me imagino un grave que cae desde el reposo, o sea, de la
privacin de toda velocidad, y comienza a moverse acelerndose segn
la proporcin en que aumenta el tiempo desde el primer instante de
movimiento; [...] al ser el tiempo subdividible al infinito, [...]
podemos concluir, entonces, que en los instantes de tiempo que se
acercan cada vez ms a aquel primero por el cual pasa del reposo al
movimiento, estara en una situacin de lentitud tal que no
conseguira atravesar (si continuase movindose con una lentitud tan
acusada) una milla en una hora, ni en un da, ni en un ao, ni en
mil; ms an, no avanzara ni siquiera un palmo por mucho tiempo que
dejemos discurrir. Parece que la imaginacin se acomoda a este
fenmeno con dificultad, mientras que los sentidos nos mues-
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LA FORMALIZACIN DE LOS CONCEPTOS FSICOS.
tran que un grave, cuando cae, pasa inmediatamente a tener una
velocidad notable. Salviati. Esta es una de las dificultades que,
al principio, me dieron mucho que pensar, no obstante, en poco
tiempo consegu deshacerme de ella. Fue, precisamente, la misma
experiencia, que la que os suscita la dificultad, la que se encarg
de resolvrmela [...] Dado que la velocidad puede aumentar y
disminuir sin lmite, [...]no pienso que no estuvieseis dispuestos a
concederme que la adquisicin de los grados de velocidad de la
piedra que cae desde su estado de reposo pueda llevarse a cabo segn
el mismo orden que la disminucin y prdida de los mismos grados, si
la piedra, impelida por alguna fuerza, fuese devuelta a la misma
altura; si esto es posible, no veo por qu se pueda poner en duda
que al disminuir la velocidad de la piedra ascendente, al ir
consumiendo su velocidad, haya de pasar por todos los grados de
lentitud, antes de llegar al estado de reposo. Simplicio. Pero si
los grados de lentitud cada vez mayores son infinitos, entonces
jams llegarn a consumirse todos. De ah que el grado ascendente en
cuestin no llegar jams al reposo, sino que se mover infinitamente
cada vez ms despacio, cosa que no parece suceder. Salviati.
Ocurrira esto, seor Simplicio, si el mvil permaneciera durante
cierto tiempo en cada grado de velocidad; lo que ocurre simplemente
es que pasa sin emplear ms de un instante. Y puesto que en
cualquier intervalo de tiempo, por muy pequeo que sea, hay
infinitos instantes, stos sern siempre suficientes para
corresponder a los infinitos grados con los que puede ir
disminuyendo la velocidad (Galileo, 1981, 281-282). Galileo
configura su idea de velocidad instantnea para dar respuesta a las
objeciones planteadas. Por una parte, refuerza la idea de que entre
el reposo y el movimiento no hay diferencia de cualidad, sino de
cantidad, al considerar al reposo como un estado ms de movimiento:
el estado de lentitud infinita; esto implica asumir el grado de
velocidad como 62
variable continua, en el sentido de que cuando un cuerpo pasa de
dicho estado de reposo -asumido, como el estado de movimiento de
grado cero- a otro estado de movimiento, o viceversa, tiene que
pasar por todos los infinitos grados de movimiento intermedios. Por
otra parte, hace aceptable la idea de que el mvil pasa por infinito
nmero de grados de velocidad en un tiempo finito, al hacer una
correspondencia uno a uno entre los grados de velocidad y los
instantes de tiempo: considera que a cada instante del transcurso
del movimiento le corresponde un nico grado de velocidad (Malagn,
1988,110). Esta perspectiva de anlisis del movimiento es
precisamente la que se ha denominado es-trategia de anlisis por
estados y transformaciones (Guidoni y Arca, 1987, 6 y ss.). Desde
esta forma de ver, la velocidad es considerada la variable que da
cuenta del estado de movimiento de los cuerpos, de forma que
estados de movimiento diferentes corresponden a grados de velocidad
diferentes. El movimiento es, entonces, una transformacin: una
sucesin en el tiempo de estados de movimiento; ahora bien, como la
idea de estado implica permanencia, el movimiento desde esta
perspectiva es considerado como una sucesin de reposos instantneos.
Con la intencin de demostrar las relaciones espacio-temporales
experimentadas en la cada a partir del axioma propuesto (el grado
de velocidad en la cada aumenta desde el reposo en forma
proporcional al tiempo transcurrido), Galileo hace uso de una
representacin geomtrica de las variables que intervienen,
representacin que vendra a constituirse como emblemtica en cuanto a
la matema-tizacin del movimiento se refiere (vase figura 1).
Galileo representa el tiempo transcurrido en la cada por un
segmento vertical AC y lo subdivide en partes iguales de manera que
segmentos iguales corresponden a lapsos de tiempo iguales. Los
grados de velocidad del cuerpo en cada instante son representados
por segmentos horizontales:
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ENSEANZA DE LAS MATEMTICAS
oc At) y haciendo uso de una representacin geomtrica para su
concepto velocidad instantnea, deduce las relaciones experimentadas
en la cada: que la distancia recorrida desde el punto de partida es
directamente proporcional al cuadrado del tiempo (x
