VII. Differentialrechnung

23. Der Differentialquotient

Gottfried Wilhelm Leibniz

(1646 – 1716)

Gottfried Wilhelm Leibniz

(1646 – 1716)

f ist differenzierbar an der Stelle x, wenn der Grenzwert der Folge der Differenzenquotienten

eindeutig existiert. Der Grenzwert f´ heißt Differentialquotient oder Ableitung von f(x). f´(x) = tan = Steigung der Tangente im Punkt x.

)´(:d

)(d:

Δ

)()Δ(lim

0Δxf

x

xf

x

xfxxf

x

f ist differenzierbar an der Stelle x, wenn der Grenzwert der Folge der Differenzenquotienten

eindeutig existiert. Der Grenzwert f´ heißt Differentialquotient oder Ableitung von f(x). f´(x) = tan = Steigung der Tangente im Punkt x.

)´(:d

)(d:

Δ

)()Δ(lim

0Δxf

x

xf

x

xfxxf

x

f ist differenzierbar an der Stelle x, wenn der Grenzwert der Folge der Differenzenquotienten

eindeutig existiert. Der Grenzwert f´ heißt Differentialquotient oder Ableitung von f(x). f´(x) = tan = Steigung der Tangente im Punkt x.

)´(:d

)(d:

Δ

)()Δ(lim

0Δxf

x

xf

x

xfxxf

x

f ist differenzierbar an der Stelle x, wenn der Grenzwert der Folge der Differenzenquotienten

eindeutig existiert. Der Grenzwert f´ heißt Differentialquotient oder Ableitung von f(x). f´(x) = tan = Steigung der Tangente im Punkt x.

)´(:d

)(d:

Δ

)()Δ(lim

0Δxf

x

xf

x

xfxxf

x

Isaac Newton (1643 – 1727)

Gottfried Wilhelm Leibniz

(1646 – 1716)

x

f

d

d

f‘

fxxx

f

x d

d

d

d

d

d

d

d

f‘‘

2

22

d

d)

d

d(

x

ff

x

fxd

d

Differentialoperator

x

cmxcxxmxf

x

][])([ )´( lim

0Δ

xx

xxx

x

xxxxf

xx2

)(2

)( )´(

2

0Δ

22

0Δlimlim

23.1 Ableitungen einfacher Funktionen

lineare Funktion f(x) = mx + c mit = :

insbesondere gilt für f(x) = c, d.h. m = 0: f´(x) = 0

mx

xm

x

lim0Δ

quadratische Funktion f(x) = x2 mit = :

Zeige (f + g)´ = f´ + g´ (fm)´ = f´m

f(x) = x = x1/2 mit x 0:

f(x) = x-1 mit x 0:

x

xxxx

x

lim0Δ

dx

d

)(

))(( lim

0Δ xxxx

xxxxxx

x

2/1

2

1

2

1 xx

xxxx

xx

x

x

x

11

d

1d

d

dlim

0Δ

1

20Δ

1)(x

)x( lim

xxxxx

xxx

x

x

)(

- lim

0Δ xxxx

xxx

x

xx

xxx

x

xxxxf

xx2

)(2

)( )´(

2

0Δ

22

0Δlimlim

quadratische Funktion f(x) = x2 mit = :

121

0Δ0Δ

)R(

)( )´( limlim

r

r

x

rr

xrx

x

xxrx

x

xxxxf

f(x) = xr mit r , r 0:

f(x) = xr mit r , r 0:

f(x) = x0 f(x) 0x-1 da 0/0 für x = 0 undefiniert wäre.

121

0Δ0Δ

)R(

)( )´( limlim

r

r

x

rr

xrx

x

xxrx

x

xxxxf

121

0Δ0Δ

)R(

)( )´( limlim

n

n

x

nn

xnx

x

xxnx

x

xxxxf

Insbesondere für n :

Polynome: jeder Summand wird einzeln abgeleitet.

1

10d

d

kn

kk

kn

kk kxaxa

x

Satz: Ist f an der Stelle x differenzierbar, so ist f dort stetig.

Ist f an der Stelle x nicht stetig, so ist f dort nicht diffbar.

Stetigkeit ist eine notwendige aber nicht hinreichende Voraussetzung für Differenzierbarkeit. Bsp. f(x) = |x| in x = 0.

Satz (Kettenregel): Seien g(y) und f(x) auf diffbare Funktionen mit y = f(x), dann gilt:

Beweis:

g(f(x + x)) = g(y + y) y = f = f(x + x) - f(x)

g(y) = y2 y = f(x) = 3x + 2 g(f(x)) = (3x + 2)2

x

y

y

g

x

g

d

d

d

d

d

d

x

xfxxf

y

ygyyg

x

xfgxxfg

xyx

)()()()())(())((limlimlim

000

(wie in der Bruchrechnung)

Man berechne mit Hilfe der Kettenregel: )(

1

d

d

xfx

Satz: Sei f(x) = y auf streng monoton und diffbar. Dann existiert die Umkehrfunktion g(y) = f -1(y) = x und es gilt:

dyydgdx

dy)(

1

Beweis: Der Satz folgt mit = = 1 aus der Kettenregel.dx

ydg )(

dxdx

Merkregel: 1dy

dx

dx

dy(wie in der Bruchrechnung)

y = f(x) = 3x + 2

g(y) = f -1(y) = x = (y - 2)/3

g(f(x)) = ((3x + 2) - 2)/3 = x

Satz (Produktregel): Seien f(x) und g(x) auf diffbar, dann gilt [f(x).g(x)]´ = f´(x).g(x) + f(x).g´(x)

Beweis: x

xgxfxxgxxf

x

gf

x

)()(-)()(

d

)(dlim

0

.

]))-)Δ)

Δ

Δ-)Δ)Δ[lim

0 x

xgxfxxgxf

x

xxgxfxxgxxf

x

(((()()(((

x

xgxxgxf

x

xfxxfxxg

x

)(-)()(

)(-)()( limlim

00x

Merkregel: (f.g)´ = f´g + fg´

Man zeige mit der Produktregel: (mf)´ = mf´ für m = const.

(x3)´ = (x2.x)´ = 2x.x + x2.1 = 3x2

Man zeige mit der Produktregel: dx3/dx = 3x2

Man beweise mit Hilfe der Produktregel die

Quotientenregel: 2´´

)(

)(

d

d

g

fggf

xg

xf

x

Mittelwertsatz: Sei f:[a, b] auf dem offenen Intervall (a, b) differenzierbar und auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig. Dann gibt es ein x0 (a, b) mit

= f´(x0)

Verallgemeinerung: Seien f und g auf [a, b] differenzierbar und sei g´ ≠ 0 für x :[a, b]. Dann gibt es ein x0 (a, b) mit

=

ab

afbf

)()(

)()(

)()(

agbg

afbf

)´(

)´(

0

0

xg

xf

Satz (l´Hospitalsche Regel): Seien f(x) und g(x) auf dem abge-schlossenen Intervall [a, b] differenzierbar, sei g´ ≠ 0 für x[a, b].

Ist

und existiert

dann ist

f(x) = xg(x) = x2 + x/5Guillaume

Marquis de L'Hôpital(1661 – 1704)

( ) ( ) 0lim limx a x a

f x g x

(́ )lim (́ )x a

f x

g x

( ) (́ )

( ) (́ )lim limx a x a

f x f x

g x g x

23.1 Man berechne die ersten und zweiten Ableitungen der Funktionen x , 3 x , x3,14 , 3x + 3 , (7x + 2)(3x3 - 2x6/7) , (x2 - 3x)/(x - 1) , (x + 7)/(x - 3)

(3x2 + 2)1/2 , (3x2 + 2)-1/2 , ((x3 + 2x2 + x + 2)-1 + 2x)-1 , x, ((x1/2)1/2)1/2 , x1/2x1/2 und gebe die Definitionsbereiche der Funktionen und ihrer Ableitungen an.

23.2 Man berechne mit Hilfe der Kettenregel

xx

2d

1d

, )32d(

5)x3d(

x , 435 ))((

d

dx

x, 435 31 ))((

d

dxx

x ,

)(d

)(d

xg

xf ,

x

xf1

d

)(d

23.3 Man berechne mit Hilfe der Quotientenregel

32

53

d

d

x

x

x ,

32

55

d

d2

x

x

x ,

)(1

x))((

d

d 3

yg

f

x

23.4 Man berechne mit Hilfe der Produktregel

))()()((d

dzhygxf

x , ))()()((

d

dxhxgxf

x

k

k xfx

)(d

d

23.5 Man berechne mit Hilfe der l´Hospitalschen Regel die Grenzwerte

1

1lim

2

)1(

x

x

x ,

1

2lim

23

1

x

xx

x ,

2

)1(lim

35

3

1

xx

x

x ,

3

4

3 )3(

)3(lim

x

x

x ,

1

1lim

1

x

x

x ,

1

1lim

2

1

x

x

x ,

x

x

x

sinlim

0 ,

x

x

x cos

1sinlim

2

2/

. [Hinweis: (sinx)' = cosx, (cosx)' = -sinx, s. Abschnitt 25.]

23.9 Bilden Sie die erste Ableitung:

3

0

2

n

nxn ,

3

0

2

n

nxx ,

3

0

22 )1)(2(n

nxx ,

0 !n

n

n

x .

10x54x

dxd 2

10-xlim2 5

42

x

x)10x5(d)4x(d 2

2x7 + 5x4 + 3x + 6 + 3x-2 + 5x-5

x7/6 + 2 x-3/4 + 3x0 3x-4/3 + 5x-