Differentialrechnung - 1

Optimierung des Volumen eines Zylinders in einem Kegel

Von Veysi Demir und Ann-Kathrin Beck

Differentialrechnung - 2

Einem Kegel vom Radius RK=3 cm und der Höhe HK=6 cm wird ein Zylinder

eingeschrieben. Wie muss rz und hz gewählt werden, damit ein maximales Volumen

erreicht wird?

Differentialrechnung - 3

Skizze

RK=3 cm; HK=6 cmRK=3 cm; HK=6 cm

rz

HK

RK

hz

Differentialrechnung - 4

Da die beiden Dreiecke gleichgroß sind, erhält

man folgende Nebenbedingung: HK/RK = hz/(RK-rz)

=> hz=HK/RK*(RK-rz)

Da die beiden Dreiecke gleichgroß sind, erhält

man folgende Nebenbedingung: HK/RK = hz/(RK-rz)

=> hz=HK/RK*(RK-rz)

Wir setzen h in die Zielfunktion ein:

VZylinder= π*rz²*HK*(RK-rz)/RK

Wir setzen für RK=3 und für HK=6 ein:

VZylinder: π*rz²*6*(3-rz)/3

Mathematische HerleitungZielfunktion: VZylinder= π*rz²*hz

Differentialrechnung - 5

Mathematische Lösung I

VZylinder = π*rz²*6*(3-rz)/3

= (18*π*rz²-6*π*rz³)/3

= -2*π*rz³+6*π*rz²

V‘Zylinder = -6*π*rz²+12*π*rz

0 = -6*π*rz²+12*π*rz | / (-6*π)

0 = rz²-2*rz | / rz

0 = rz-2

rz = 2

Differentialrechnung - 6

Mathematische Lösung II

V‘‘Zylinder = -12*π*rz+12*π | rz einsetzen

= -12*π*2+12*π

= -36,69911184

Damit liegt in rz=2 ein Hochpunkt vor!

Differentialrechnung - 7

Ergebnis: Bei rz=2 ist das

Volumen am größten

Ergebnis: Bei rz=2 ist das

Volumen am größten

Funktionsgraph

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

-1 0 1 2 3 4

Differentialrechnung - 8

Das Volumen V muss mit

einer Formel berechnet werden:

V=π*rz²*HK*(RK-rz)/RK

Das Volumen V muss mit

einer Formel berechnet werden:

V=π*rz²*HK*(RK-rz)/RK

Solver I

Menü: „Extras“ „Solver“

Differentialrechnung - 9

Solver II

Volumen soll maximal sein

Volumen soll maximal sein

Veränderbare Zelle

Veränderbare Zelle

nächste Folie

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Differentialrechnung - 10

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Solver III

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Differentialrechnung - 11

Solver IV

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„Ausgangswerte“, um die

Ausgangswerte wiederherzustellen

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Differentialrechnung - 12

Lösung

Der Zylinder hat das maximale Volumen, wenn rz=2 beträgt.

Differentialrechnung - 13

Quellen

http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/extrem.htm