Villareal Solucionario

8/12/2019 Villareal Solucionario

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RESISTENCIADE

MATERIALESIIPRACTICAS Y EXAMENES USMP

Ph.D. Genner Villarreal Castro

PREMIO NACIONAL ANR 2006, 2007, 2008

LimaPer

2013


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PROLOGO

La Resistencia de Materiales, es una ciencia sobre los mtodos de clculo a la resistencia, la rigidez y

la estabilidad de los elementos estructurales. Se entiende por resistencia a la capacidad de oponerse a la

rotura, rigidez a la capacidad de oponerse a la deformacin y estabilidad a la capacidad de mantener su

condicin original de equilibrio.

Por lo general, el dictado de los cursos de Resistencia de Materiales, se centran, en la descripcin

terica y en la resolucin de un escaso nmero de problemas, lo cual dificulta el proceso de aprendizaje,

ms an tratndose de un curso eminentemente prctico y con una diversidad de problemas.

El presente libro naci, despus de comprobar las grandes dificultades mostradas por los alumnos en

la resolucin de problemas aplicados en prcticas calificadas y exmenes, as como en la realizacin de sus

trabajos domiciliarios.

Es por ello, que tom el reto de escribir un libro, que haga ms didctico el proceso de estudio

individual, resolviendo en forma seria y con el rigor cientfico todas las prcticas calificadas y exmenes

aplicados por el autor en el perodo 2008-II al 2010-II, correspondiente al curso Resistencia de Materiales IIdictado en la Escuela de Ingeniera Civil de la Universidad de San Martn de Porres, propiciando, de esta

manera, una forma ms amena de convivencia con la Resistencia de Materiales y conducente a un mejor

dominio de la materia.

Este libro es un complemento perfecto a los editados anteriormente por el autor, denominados

Resistencia de Materiales y Resistencia de Materiales I Prcticas y Exmenes USMP, los cuales se usan

como textos base en las Carreras de Ingeniera Civil de muchas Universidades nacionales y extranjeras, as

como en Centros de Investigacin en Ingeniera Estructural.

Como base se tom la experiencia adquirida en el dictado de los cursos de Mecnica de Materiales,

Resistencia de Materiales y Anlisis Estructural en la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas,

Universidad de San Martn de Porres y Universidad Privada Antenor Orrego.

En mi modesta opinin, el presente libro es nico en su gnero, tanto en la forma de resolucin de

problemas; como en su contenido, que no es una repeticin de otros textos, editados anteriormente.

El presente libro consta de 4 Prcticas Calificadas, Examen Parcial y Examen Final por cada ciclo,

siendo un total de 5 ciclos.

En la Prctica Calificada N 1 se evala el tema trabajo virtual.

En la Prctica Calificada N 2 se evalan los temas energa de deformacin, teoremas de Castigliano

y ecuacin de los tres momentos.

En el Examen Parcial se evalan los temas trabajo virtual, energa de deformacin, teoremas de

Castigliano y ecuacin de los tres momentos.

En la Prctica Calificada N 3 se evala el tema mtodo de las fuerzas.

En la Prctica Calificada N 4 se evala el tema mtodo de desplazamientos.

En el Examen Final se evalan los temas mtodo de las fuerzas, mtodo de desplazamientos,

resistencia compuesta y cargas de impacto.

El presente texto est dirigido a estudiantes de ingeniera civil y docentes que imparten el curso

Resistencia de Materiales II; as como, a ingenieros civiles, postgraduandos e investigadores en el rea de

estructuras.

Este libro se lo dedico a mis alumnos de Mecnica de Materiales, Resistencia de Materiales y Anlisis

Estructural de la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas, Universidad de San Martn de Porres y


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Universidad Privada Antenor Orrego; quienes con sus consultas me motivaron a escribir el presente libro y

con su energa renovada me permitieron culminar con xito este trabajo.

De manera muy especial, dedico el presente libro a mi ahijada Chie Giulianna Villarreal Imamura,

quien con su inteligencia, amor y dulzura, fue un soporte invalorable en la culminacin de este trabajo,

rogando a Dios Todopoderoso podamos seguir juntos aportando al desarrollo integral de la sociedad.

Ph.D. Genner Villarreal Castro

[email protected]

Lima, Marzo del 2013
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]


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U N I V E R S I D A D D E

SAN MARTIN DE PORRES USMP - FIA

EVALUACIN PRACTICA CALIFICADA N 1 SEM. ACADMICO 2008II

CURSO RESISTENCIA DE MATERIALES II SECCIN 30F

PROFESOR Ph.D. GENNER VILLARREAL CASTRO DURACIN 110m

ESCUELA INGENIERIA CIVIL CICLO VI

1. METODO DEL TRABAJO VIRTUAL. Determinar el desplazamiento horizontal en B y el desplazamiento

vertical en E, si las reas de seccin transversal de las barras del cordn superior es de 4cm2, del

cordn inferior es 5cm2, de las montantes 6cm

2y de las diagonales 3cm

2. Considerar que el material de

la armadura es acero con un mdulo de elasticidad E 2,1.107 T /m2

.(6 puntos)

2. METODO DEL TRABAJO VIRTUAL. Determinar la pendiente en el apoyo C de la viga mostrada en la

figura, si EI const para toda la estructura. Considerar slo el efecto de flexin por momento flector.

.(4 puntos)

3. METODO DEL TRABAJO VIRTUAL. Para el prtico mostrado en la figura, determinar el desplazamiento

vertical y la pendiente en H, considerando slo la flexin por momento flector y que la rigidez

EI 12663T.m2 es la misma para toda la estructura.

.(6 puntos)


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5

4. METODO DEL TRABAJO VIRTUAL. Determinar el desplazamiento horizontal del punto F del prtico en

voladizo mostrado en la figura. Expresar su respuesta en funcin del coeficiente de dilatacin trmica

y considerar que la seccin transversal es rectangular con dimensiones a 0,4m y b 0,5m

todo el prtico.

para

FECHA La Molina, 25 de Agosto del 2008

.(4 puntos)


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SOLUCIONARIO DE PRCTICA CALIFICADA N 1

CICLO 2008 II

1. Determinamos las fuerzas internas en cada una de las barras de la armadura, sometida a la accin de

las cargas externas, tal como se muestra en la figura, utilizando, para ello, los mtodos conocidos de la

Esttica.

DESPLAZ AMI ENT O HO RI ZO NT AL EN B :

Determinamos las fuerzas internas en cada barra de la armadura, pero sometida a la accin de la

carga unitaria aplicada en el nudo B en sentido horizontal.

Calculamos las rigideces axiales en las barras, de acuerdo a los valores dados en el presente

problema, siendo estos los siguientes:

Diagonales

Cordn superior

Cordn inferior

Montantes

EA3 6300T

EA4 8400T

EA5 10500T

EA6 12600T


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7

Luego, determinamos el desplazamiento horizontal en el nudo B aplicando la frmula conocida del

trabajo virtual para armaduras, utilizando, para ello, los diagramas N1

y NP

B 1

EA3

1

EA4

9,25.0,36.5,41 4,45.0,36.5,41 1,42.0,25.5 3,89.0,32.5 10,06.0,36.4,24

1.1.3 8,6.0,6.3 8,72.0,61.3,04 7,21.0,26.3,04 7,21.0,26.3,04

1

EA5

6,13.0,8.36,13.0,8.3 9,45.0,45.3 9,45.0,45.31

EA6

2,57.0,1.4,5 10,3.0,3.3

B 10,29.103 m 10,29mm

DESPLAZ AMI ENT O VERT I CAL EN E :

Determinamos las fuerzas internas en cada barra de la armadura, pero sometida a la accin de la

carga unitaria aplicada en el nudo E en sentido vertical.

Luego, determinamos el desplazamiento vertical en el nudo E aplicando la frmula del trabajo virtual

para armaduras, utilizando los diagramas N* y N1 P

E 1

EA3

1

EA4

9,25.0,72.5,414,45.0,72.5,41 1,42.0,33.5 3,89.0,43.5 10,06.0,48.4,24

8,6.0,8.38,72.0,81.3,04 7,21.0,35.3,04 7,21.0,35.3,04

1

EA5

6,13.0,4.3 6,13.0,4.3 9,45.0,6.3 9,45.0,6.31

EA6

2,57.0,13.4,5 10,3.0,4.3

E 25,05.103 m 25,05mm

2. Graficamos los diagramas de fuerza cortante y momento flector debido a la carga real, calculando

previamente las reacciones en los apoyos, de acuerdo a los conocimientos de Esttica. Las reacciones

y diagramas de fuerzas internas se muestran en la siguiente figura.


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8

Ahora, graficamos los diagramas de fuerza cortante y momento flector para el caso del momento

unitario aplicado en C

En el tramo AB aplicamos Simpson-Kornoujov y en el tramo BC Vereschaguin, utilizando los diagramas

M1

y MP

4 12,8.14.1,6.0,5

1.1

.4.19,2.2

.1 19,2

C6EI EI 2 3 EI

Como el signo es positivo, indica que la pendiente en C va orientada en sentido horario.

3. Graficamos el diagrama de momento flector, debido a la accin de las cargas reales aplicadas al

prtico, tal como se muestra en la siguiente figura:


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DESPLAZ AMI ENT O VERT I CAL EN H:

Ahora, graficamos el diagrama de momento flector debido a la accin de la carga unitaria en H

Determinamos el desplazamiento vertical en H, aplicando trabajo virtual.

H 1 1 585 585V

.6.1,5 15.6.3 .3.15.2

2 EI 0,0462m 46,2mm

12663

30

PENDI ENTE EN H :

Graficamos el diagrama de momento flector, debido a la accin del momento unitario aplicado en H


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Luego, determinamos la pendiente en H, aplicando trabajo virtual.

H 1

30.6.0,5 15.6.11

.15.3.

202,5

202,50,016rad 0,917o

EI 2 EI 12663

Como el resultado de la pendiente es positivo, indica, que dicha pendiente va en sentido horario.

4. Graficamos los diagramas de momento flector (figura a) y fuerza axial (figura b) debido a la accin de la

carga unitaria horizontal aplicado en el punto F

Para determinar el desplazamiento o pendiente, debido a la variacin de temperatura, se debe de tener

en cuenta las siguientes consideraciones:

a) El diagrama de momento flector indica que

(figura c)

t1 va hacia el lado del diagrama y t2 hacia afuera

b) Por variacin de temperatura, donde existe mayor calor, la fibra ubicada a dicho lado se tracciona y

hacia el otro lado se comprime, mostrndose en la figura c) con lnea punteada las zonas

traccionadas.

c) Si coinciden las zonas traccionadas de temperatura con el diagrama de momento flector, ser

positivo iT debido al momento y si es opuesto, ser negativo.

d) En caso que no exista diagrama de momento flector, pero si exista fuerza axial, se recomienda

colocar t1 a la temperatura mayor y t2 a la menor.

Aplicamos trabajo virtual por variacin de temperatura, a travs de la siguiente frmula:

Donde:

iT t

1

t2

bAM

t1

t2 A

2 i

- coeficiente de dilatacin trmica del material

b - ancho de la estructura donde hay variacin de temperatura

t1 , t 2

Ai

Ai

- temperaturas

- rea del diagrama de momento flector debido a la carga o momento unitario

- rea del diagrama de fuerza axial debido a la carga o momento unitario


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Para entender el valor de b,lo esquematizamos en el siguiente grfico para un prtico simple que nos

servir de gua.

En la frmula, para determinar el rea del diagrama de fuerza axial, se considera el signo positivo o

negativo, dependiendo de su valor.

Ahora, determinamos el desplazamiento horizontal en F, debido a la variacin de temperatura.

H

F(T )

20 0

0,5.1

.2,5.2,5 2

20 (20)

0,5.2,5.3,5

0 10

0,5.(2,5 5).2,5

2

20 10

2.1.3,5

HF(T ) 620


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EVALUACIN PRACTICA CALIFICADA N 1 SEM. ACADMICO 2009I




1. METODO DEL TRABAJO VIRTUAL. Determinar el desplazamiento horizontal del nudo J y el

desplazamiento vertical del apoyo B, si E 2.105 MPa para todas las barras de la armadura y las

reas de las barras del cordn superior es 64cm2, las del cordn inferior 60cm

2, las montantes de

70cm2

y las diagonales de 66cm2

.(6 puntos)

2. METODO DEL TRABAJO VIRTUAL. Determinar la deflexin vertical a 2m a la derecha del apoyo A y la

pendiente en el apoyo B. Considerar

b 30cm , h 60cm

E 15000 ' e I bh3 /12 , siendo ' 210kg / cm2 ,

.(6 puntos)

3. METODO DEL TRABAJO VIRTUAL. Determinar el acercamiento vertical de los puntos D y E del prtico

mostrado en la figura, si la rigidez EI es constante para toda la estructura.

.(5 puntos)


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4. METODO DEL TRABAJO VIRTUAL. Determinar el desplazamiento horizontal del nudo F del prtico en

voladizo mostrado en la figura, s C1 0,03m ; C2 0,02m y C3 0,02rad

.(3 puntos)

FECHA La Molina, 23 de Marzo del 2009


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CICLO 2009 I

1. Determinamos las rigideces de las barras de la armadura:

EA64

EA60

EA70

EA66

2.105.106.64.104 128.107N 128.104 kN

2.105.106.60.104 120.107N 120.104 kN

2.105.106.70.104 140.107N 140.104 kN

2.105.106.66.104 132.107N 132.104 kN

Calculamos las fuerzas internas en todas las barras de la armadura, debido a la accin de las cargas

externas, tal como se muestra en la figura.

DESPLAZ AMI ENT O HO RI ZO NT AL EN J :

Determinamos las fuerzas internas en todas las barras de la armadura, producto de la accin de la

carga unitaria horizontal aplicada en el nudo J, tal como se muestra en la figura.

J 1H

128.104240.0,43.3.248.0,20.3.2

1

120.104

380,173.0,51.3,041 131,793.0,68.3,041.2

1

140.10462,5.0,08.4 40.0,17.2

1

132.104207,44.0,11.4,610

(169,025)(0,15).4,610 106,74.0,17.3,905 (62,482)(0,26).3,9051,514.104

m


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15

J 0,151mm

DESPLAZ AMI ENT O VERT I CAL EN B :

Determinamos las fuerzas internas en las barras de la armadura, debido a la accin de la carga unitaria

vertical aplicada en el nudo B, tal como se muestra en la figura.

B

1V

140.104 62,5.1.41,786.104 m 0,178mm

2. Determinamos la rigidez EI, necesaria para el clculo estructural.

E 15000 210 217370,65kg / cm2 2173706,5T /m2

EI 2173706,5.0,3.0,6

1211738,015T.m 2

Graficamos los diagramas de fuerza cortante y momento flector, debido a la accin de las cargas

reales, tal como se muestra en la figura.

DESPLAZ AMI ENT O VERT I CAL EN C:

Ahora, graficamos el diagrama de momento flector, debido a la accin de la carga unitaria vertical en C


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C 3V

6(2EI)4.16,875.118,75.1

3

6EI

18,75.14.15.0,545,9375

EI

45,9375

11738,015

3,91.103 m

C 3,91mm

PENDI ENTE EN B :

Graficamos el diagrama de momento flector debido a la accin del momento unitario aplicado en el

apoyo B

B 3

6(2EI)4.16,875.0,2518,75.0,53

6EI18,75.0,54.15.0,7533,75

2,875.103

radEI

B 0,165

Como el signo es positivo, indica que la orientacin es correcta; es decir va en sentido antihorario.

3. Calculamos las reacciones en los apoyos y graficamos el diagrama de momento flector debido a la

accin de las cargas reales, tal como se muestra en las figuras a) y b). Luego, efectuamos lo mismo,

pero para las cargas unitarias aplicadas en D y E hacia el encuentro, tal como se muestran en las

figuras c) y d)

Ahora, determinamos el acercamiento vertical de los nudos D y E

1

.1

.4.32.2

.4 3 32.4 4.0.4 32.4

432.4 4.8.2 0

42,667DE

EI 2 3 6EI 6EI EI


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4. Se sabe que:

n

iC R ij.Cjj1

Calculamos las reacciones en el apoyo A, debido a la accin de la carga unitaria horizontal aplicada en

el nudo F


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Ahora, determinamos el desplazamiento horizontal en F debido a los desplazamientos y giros en el

apoyo A

H (HA .C1 MA .C3 ) (1.0,03 6.0,02) 0,15m


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1. METODO DEL TRABAJO VIRTUAL. Una armadura de acero soporta tres cargas de 30kN, 40kN y

20kN, tal como se muestra en la figura. Las reas de seccin transversal de las barras de la armadura

son las siguientes:

BARRA AREA (mm )

AB y CD 4000

AE, EF, FG y GD 2000

BC 3000

BE, BF, CF y CG 1200

Determinar los desplazamientos horizontal y vertical del nudo F, considerando que el mdulo de

elasticidad del acero es E 200GPa

.(6 puntos)

2. METODO DEL TRABAJO VIRTUAL. Determinar la pendiente en E para la viga mostrada en la figura, si

su seccin transversal es 30cm x 60cm. Considerar que las temperaturas 40o

C y 22o

Ctoda la viga.

son para

.(3 puntos)


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20

3. METODO DEL TRABAJO VIRTUAL. Determinar los desplazamientos horizontal y vertical del nudo D,

si E 29.106 lb /plg2 e I 1500p lg4 para todo el prtico.

.(5 puntos)

4. METODO DEL TRABAJO VIRTUAL. Determinar la distancia que se alejarn los nudos D y F en la

direccin de la lnea recta que los une, si las rigideces en flexin para los elementos horizontales es 2EI y

para los verticales es EI


.(6 puntos)


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CICLO 2009 II

1. Calculamos las rigideces de las barras de la armadura.

EA1200

EA2000

EA3000

EA4000

200.109.1200.106 240.106N

200.109.2000.106 400.106N

200.109.3000.106 600.106N

200.109.4000.106 800.106N

Determinamos las fuerzas internas en las barras de la armadura, debido a la accin de las cargas

reales.

DESPLAZ AMI ENT O HO RI ZO NT AL EN F :

Calculamos las fuerzas internas en las barras de la armadura, debido a la accin de la carga unitaria

horizontal aplicada en el nudo F

F 1H

400.10663,33.103.1.4.21,27.103 m 1,27mm

DESPLAZ AMI ENT O VERT I CAL EN F :

Determinamos las fuerzas internas en las barras de la armadura, debido a la accin de la carga unitaria

vertical aplicada en el nudo F


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F 1V

240.10629,17.103.0,83.537,49.103.0,83.5 1

400.106

63,33.103.0,67.4.256,67.103.0,67.4.2

1

600.10686,67.103.1,33.8 1

800.10679,17.103.0,83.570,83.103.0,83.55,08.103 m

F 5,08mm

2. En la figura a) se muestran los lados traccionados por temperatura en la viga y las reacciones en los

apoyos. En la figura b) se muestra el diagrama M1

Luego:

40 22

22 40

.(2 8).1

.1

.6.1

120 (rad)E0,6 2 0,6 2 3

Como el signo es positivo, indica que la orientacin de la pendiente es en sentido horario.

3. Determinamos la rigidez del prtico:

EI 29.106

.1500 43500.106

lb.p lg2

302083,33k.pie2

Graficamos el diagrama de momento flector, debido a la accin de la carga real.

DESPLAZ AMI ENT O HO RI ZO NT AL EN D:

Ahora, graficamos el diagrama de momento flector, debido a la accin de la carga unitaria horizontal

aplicado en el nudo D

D 1

.1

.10.300.2

.10 1

.10.300.10 10

300.10 4.450.15 600.20H302083,33 2 3 302083,33 6.302083,33

D 0,36413pie 4,37p lg


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DESPLAZ AMI ENT O VERT I CAL EN D:

Graficamos el diagrama de momento flector, debido a la accin de la carga unitaria vertical en D

D

1

302083,33.10.300.5

10

6.302083,33300.10 4.450.10 600.100,19861p ie 2,38p lg

4. Determinamos el grado de indeterminacin del sistema:

G.I. 3C A 3.2 6 0

Calculamos las reacciones en los apoyos, debido a la accin de la carga real.

MA 0

FY 0

FX 0

VH (7) 14(3) 0

VA 614 0

HA 0

VH 6kN

VA 8kN

Luego, analizamos el equilibrio de la parte izquierda de la estructura, efectuando un corte por las

rtulas.

MD 0

FX 0

8(3) HC

(3) 0

HD 8 0

HC 8kN

HD 8kN

Como en la barra CF no hay momento flector, se cumplir que VC 0


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24

Luego:

FY 0 8 VD 0 VD 8kN

De esta manera, el equilibrio en la rtula D es la mostrada en la figura a) y las cargas aplicadas en el

lado derecho de la estructura las mostradas en la figura b) las cuales como se podr apreciar se

encuentran en equilibrio.

Ahora, graficamos el diagrama de momento flector de la estructura, debido a la accin de la carga real.


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25

Anlogamente, graficamos el diagrama M1 debido a la accin de las cargas unitarias aplicadas en D y

F, tal como se muestra en la siguiente figura.

MP M1 1 1 2 1 1 2 96

DF

EIdx . .4.24. .2,4 . .3.24. .2,4

2EI 2 3 EI 2 3 EI

(m)


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EVALUACIN PRACTICA CALIFICADA N 1 SEM. ACADMICO 2010I




1. METODO DEL TRABAJO VIRTUAL. Determinar la deflexin vertical en el nudo C, si las reas de las

barras del cordn superior e inferior es 4plg2

y las reas de las montantes y diagonal es 3plg2.

Considerar E 29.106 lb /plg2

.(5 puntos)

2. METODO DEL TRABAJO VIRTUAL. Determinar la pendiente y deflexin en el punto B de la viga

mostrada, si E 29.106 lb /plg2 , I 1800p lg4 e I 3600p lg41 2

.(5 puntos)

3. METODO DEL TRABAJO VIRTUAL. Determinar el ngulo mutuo (hacia el encuentro) entre los apoyos

A e I del prtico mostrado en la figura. Considerar que la rigidez EI del prtico es constante en todos

sus elementos y que la barra BF trabaja nicamente en traccin.

.(6 puntos)


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4. METODO DEL TRABAJO VIRTUAL. Determinar el desplazamiento vertical del apoyo A del prtico

mostrado en la figura.

FECHA La Molina, 22 de Marzo del 2010

.(4 puntos)


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CICLO 2010 I

1. Determinamos las fuerzas axiales en las barras de la armadura, debido a la accin de las cargas

reales, tal como se muestra en la figura.

Luego, calculamos las fuerzas axiales en las barras de la armadura, debido a la accin de la carga

unitaria vertical aplicada en el nudo C

Determinamos la deflexin vertical en el nudo C

C 1V

29.106.4(66,67.103 )(1,11)(25.12) (53,33.103 )(0,88)(20.12)

(83,33.103 )(0,55)(25.12) (53,33.103 )(0,88)(20.12) (66,67.103 )(0,44)(20.12)

(66,67.103 )(0,44)(20.12) 129.106.3

(40.103 )(0,67)(15.12) (16,67.103 )(0,55)(25.12)C 0,6493p lg

2. Calculamos las rigideces en k.p ie2

EI 29.106.1800 52200.106lb.p lg2 362500k.pie2

EI 29.106.3600 104400.106lb.p lg2 725000k.pie2

Graficamos el diagrama de momento flector de la viga, debido a la accin de las cargas reales, tal

como se muestra en la figura.


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29

1

362500

PENDI ENTE EN B :

Graficamos el diagrama de momento flector, debido a la accin del momento unitario en B

B 100.0,5 4.150.0,250,00069rad 0,04o

Como el signo es positivo, indica que la orientacin de la pendiente es en sentido antihorario.

DEF LEXI O N EN B:

Graficamos el diagrama de momento flector, debido a la accin de la carga unitaria vertical en B

y 1

.1

.10.100.2

.510

100.54.150.2,52,2989.103pie 0,0276p lg B362500 2 3 6.725000


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30

3. Determinamos las reacciones en los apoyos y la fuerza interna en la barra BF, tal como se muestra en

la figura a); luego, graficamos su diagrama de momento flector, mostrado en la figura b)

MA 0

FX 0

FY 0

M izq 0

6HI 2.3.9,5 0

HH 9,5 0

VA 2.3 0

HI 9,5kN

HH 9,5kN

VA 6kN

D 6.4 3T

BF0 TBF 8kN (TRACCION)

Ahora, analizamos la carga unitaria, aplicando momentos unitarios en los apoyos A e I, tal como se

muestra en la figura a) y graficamos su diagrama de momento flector, el cual se muestra en la figura b)

Determinamos el ngulo mutuo (hacia el encuentro) entre los nudos A e I

1

.1

.3.24.1

.13

4.30,75.0,5 33.13

9.14.2,25.168,25

(rad)AIEI 2 3 6EI 6EI EI

El signo menos (-) indica que los apoyos A e I giran en direccin opuesta a la indicada por los

momentos unitarios.

4. Aplicamos la carga unitaria hacia abajo en el apoyo A y calculamos las reacciones en los apoyos,

cuyos resultados se muestran en la figura.


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31

Determinamos el desplazamiento vertical del apoyo A

n

V R ijCj 0,75.0,02 1.0,010,75.0,0150,03625m 36,25mm j1


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1. METODO DEL TRABAJO VIRTUAL. La armadura mostrada en la figura se construye con nueve

barras, cada una tiene rigidez axial EA. En los nudos B y F actan cargas P y 2P, respectivamente.

Determinar la deflexin vertical del nudo E y el incremento en la distancia entre los nudos E y C

.(5 puntos)

2. METODO DEL TRABAJO VIRTUAL. Determinar la deflexin mxima y la pendiente en los apoyos, si

E 29.106 lb /plg2

.(5 puntos)

3. METODO DEL TRABAJO VIRTUAL. Determinar la distancia x a la cual corresponde un

desplazamiento vertical nulo del nudo B. Considerar que la rigidez EI es constante en todo el prtico.

.(5 puntos)


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4. METODO DEL TRABAJO VIRTUAL. Determinar el ngulo de giro en el nudo F del prtico mostrado en

la figura, considerando que el apoyo A sufre un desplazamiento horizontal C1 0,04m y el apoyo E

se asienta C2

0,03m


.(5 puntos)


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CICLO 2010 II

1. Determinamos las fuerzas internas para la armadura sometida a la accin de las cargas reales, tal

como se muestra en la figura.

DEF LEXI O N EN E:

Luego, calculamos las fuerzas internas debido a la accin de la carga unitaria vertical aplicada en el

nudo E

E 1 4

2P

2 2

4P2

4P

1

4P

2

b)

V b 2 (b) (b) ( EA

3

3

3 3

3 3

3 3

P 2

2 5P 1

5P 1

5

2P

b 2

(b) 3 3

(b) 3 3

3 b 23

E 6,215Pb

EA


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I NCREMENTO DE DI ST ANCI A ENT RE E Y C :

Analizamos el incremento de distancia entre los nudos E y C, aplicando cargas unitarias en ambos

nudos, tal como se muestra en la figura.

1

4P 2

5P 2

4P 2

P 2

EC

(b)

(b)

(b)

1b

2

EC

EA 3 2

1,845PbEA

3 2

3 2

3


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2. Determinamos las rigideces de cada tramo:

EI 29.106.2000 58.109lb.p lg2 58.106k.p lg2 402778k.pie2

EI 29.106.3500 101,5.109lb.p lg2 101,5.106k.p lg2 704861k.pie2

Graficamos los diagramas de momento para la carga real (figura a), carga unitaria (figura b) y momento

unitario (figura c), sabiendo que la deflexin mxima ser en el centro de la viga.

DEFLEXION MAXIMA:

y y

C

1 1

.10.300.

2

.5 .2

10

300.5 4.450.7,5 600.10.2

mx C V402778 2 3 6.704861

ymx 0,124pie 1,488p lg


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PENDIENTE EN LOS APOYOS:

A 10

6.4027784.150.0,875300.0,75

20

6.704861300.0,754.600.0,5 300.0,25

1

.1

.10.300.2

.0,25 0,011rad 0,63o402778 2 3

La pendiente en A va en sentido horario, es decir el mismo que se mostr en la figura c)

Por simetra:

B 0,63

La pendiente en B va en sentido antihorario.

3. Esquematizamos los prticos con la carga real (figura a) y carga vertical unitaria (figura b); para luego,

graficar los diagramas correspondientes debido a la carga real (figura c) y carga unitaria (figura d)

Por condicin del problema:

a P

a a

yB 0 Pxa 4. a 2x 0 x 6EI

2 2

3


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4. Aplicamos un momento unitario en F y calculamos las reacciones en los apoyos, tal como se muestra

en la figura.

Calculamos la pendiente en F

n

iC R ijCjj1

F HA .C1 VE .C2 0,25.0,04 0,25.0,03

F 0,0175rad 1

Como el signo es positivo, indica que la pendiente en F va en sentido horario.


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