Vínculo entre el pensamiento proporcional cualitativo y ... · Vínculo entre el pensamiento proporcional cualitativo y cuantitativo: el caso de Paulina Elena Ruiz 1 Marta Valdemoros

Vínculo entre el pensamiento

proporcional cualitativo y cuantitativo:

el caso de Paulina

Elena Ruiz 1

Marta Valdemoros 2

RESUMEN

El estudio de caso reportado aquí forma parte de un proyecto doctoral concluido. Hacereferencia a una evaluación sobre la propuesta de enseñanza de razón y proporcióndesarrollada en la investigación doctoral. Tal propuesta se realizó con un grupo de sextogrado de educación elemental, conformado por 29 niños mexicanos que tenían 11 añosde edad. La niña del estudio de caso, Paulina, reflejó el proceder de varios de estosniños, quienes resolvieron el cuestionario inicial con algoritmos manejados de un modomecánico, sin darle sentido a sus elaboraciones, lo cual se vio ratificado al principio delprograma de enseñanza. Dicho programa propició la ampliación del pensamientoproporcional cualitativo de Paulina, fortaleciendo su pensamiento proporcional cuantitativoen el terreno de la resolución de problemas. Así, la enseñanza, el cuestionario final y lasentrevistas mostraron que el enriquecimiento del pensamiento proporcional cualitativole permitió a Paulina ampliar las relaciones cuantitativas y mejorar el manejo de losalgoritmos, enmarcándolos en aplicaciones plenas de sentido.

PALABRAS CLAVE: Pensamiento proporcional cuantitativo, pensamientoproporcional cualitativo, razón interna, razón externa, operador multiplicativo.

Relime Vol. 9, Núm. 2, julio, 2006, pp. 299-324 .

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Fecha de recepción: Noviembre de 2005 / Fecha de aceptación: Mayo de 2006

Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN, México.

Departamento de Matemática Educativa, Centro de Investigación y de Estudios del IPN, Mëxico.

ABSTRACT

The case study reported here it is part of a doctoral project already concluded. It refers tothe evaluation of the teaching proposal for rate and proportion developed in the Doctoralresearch. This proposal was carried out with a group of students of elementary schoolconstituted by 29 eleven-year-old Mexican children. The girl of the case study (Paulina)express the behavior of various of these children, who resolved the initial questionnairewith algorithms handled on a mechanical way, without giving sense to its elaborations,which was ratified at the beginning of the teaching program. This program permitted thegrowth of the qualitative proportional thought of the student, fortifying its quantitativeproportional thought, regarding problem solving. Thus, the teaching, the final questionnaireand the employed interviews, showed that the enrichment of the qualitative proportional

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thought permitted to Paulina to expand the quantitative relations and to improve themanagement of the algorithms, framing it in applications full of sense.

KEYWORDS: Quantitative proportional thought; qualitative proportionalthought; internal rate; external rate; multiplicative operator.

RÉSUMÉ

L’étude du cas rapporté ici forme partie d’un projet de doctorat déjà conclu. Il fait référenceà l’évaluation de la proposition d’enseignement de raison et de proportion, développéedans la recherche doctorale. Cette proposition s’est effectuée avec un groupe de sixièmeannée d’éducation élémentaire composé de 29 enfants mexicains de onze ans. La fille del’étude de cas particulier (Paulina) reflète le processus de plusieurs de ces enfants, qui ontrésolu le questionnaire initial avec des algorithmes utilisés de façon mécanique, sansdonner un sens à leurs élaborations, ce qui s’est vu ratifié au début du programmed’enseignement. Ce programme a permis l’amplification de la pensée proportionnellequalitative de l’étudiante, en renforçant sa pensée proportionnelle qualitative dans le terrainde la résolution de problèmes. Ainsi, l’enseignement, le questionnaire final et les entretiensemployés ont montré que l’enrichissement de la pensée proportionnelle qualitative a permisà Paulina d’élargir les relations quantitatives et d’améliorer l’usage des algorithmes, enles utilisant uniquement dans des applications pleines de sens.

MOTS CLÉS: Pensée proportionnelle quantitative ; pensée proportionnellequalitative ; raison interne ; opérateur multiplicatif.

RESUMO

O estudo de caso aqui apresentado forma parte de um projeto de doutorado já concluído.Faz-se referência à avaliacão da proposta de ensino de razão e proporção desenvolvidana investigação de doutorado. Esta proposta se realizou com um grupo de quinta série daeducação fundamental composto por 29 estudantes mexicanos de onze anos de idade.A estudande desse estudo de caso (Paulina) reflete o comportamento de vários outros,os quais responderam ao questionario inicial com algoritmos trabalhados muitomecanicamente, sem dar sentido a suas elaborações, o qual se viu ratificado no princípiodo programa de ensino. Tal programa permitiu a ampliação do pensamento proporcionalqualitativo da estudante, fortalecendo seu pensamento proporcional quantitativo, no terrenoda resolução de problemas. Asim, o ensino, o questionário final e as entrevistas, mostraramque ol enriquecimento do pensamento proporcional qualitativo permitiu Paulina ampliaras relações quantitativas e melhorar o manejo dos algoritmos, enquadrando-os emaplicações plenas de sentido.

PALAVRAS CHAVE: pensamento proporcional quantitativo; pensamentoproporcional qualitativo; razão interna; razão externa; operador multiplicativo.

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Vínculo entre el pensamiento proporcional cualitativo y cuantitativo: el caso de Paulina 301

Marco teórico

A continuación, para establecer losantecedentes teóricos en este artículo,consideramos de manera preponderante alos autores Piaget y Streefland, quienesatienden a las manifestaciones delpensamiento proporcional cualitativo ycuantitativo de los sujetos. Asimismo, parasustentar la aproximación didáctica queaquí se desarrolla, nos apoyamos en elenfoque de la matemática realista, deStreefland.

Piaget e Inhelder (1978), a través de susexperimentos, señalan que el niñoadquiere la identidad cualitativa antes quela conservación cuantitativa y hacen unadistinción entre las comparacionescualitativas y la verdadera cuantificación.Para Piaget e Inhelder (1972), la nociónde proporción empieza siempre de unaforma cualitativa y lógica antes deestructurarse cuantitativamente. Piagetdefine lo cualitativo a través de categoríaso clases de palabras; de esta forma, seapoya en reconocimientos lingüísticos,creando categorías de comparación, comogrande o pequeño. Consideramos que locualitativo también integra los aspectosintuitivos y empíricos que brindan lossentidos, apoyándonos en términos de lapsicología.

Piaget (1978) indica que en el paso de locualitativo a lo cuantitativo aparece la ideade orden sin que todavía emerja lacantidad, a lo que llama cuantificacionesintensivas; desde nuestro punto de vista,esta noción destaca el tránsito delpensamiento cualitativo al cuantitativo. Vanden Brink & Streefland (1979) coincidencon Piaget en cuanto a que lo cualitativoemerge antes que lo cuantitativo, peroStreefland comúnmente lo lleva al terrenode la enseñanza. Tal aportación la

empleamos en el diseño de nuestroprograma didáctico, así como en las tareasde las entrevistas que aplicamos para elestudio de caso.

Streefland (1984, 1985) lleva a cabo unainvestigación en la que enfatiza que laenseñanza temprana de la razón y laproporción debe partir de nivelescualitativos en los que haya unreconocimiento de ellas; además, hace usode recursos didácticos (figuras, dibujos,expresiones) que favorecen el desarrollode patrones perceptuales, en apoyo a loscorrespondientes procesos decuantificación. Streefland comenta que elpensamiento cualitativo evoluciona cuandohay un avance en el pensamiento y el niñopuede llegar a incorporar más elementospara un análisis que le permita considerardistintos factores conjuntamente.

Otros estudios sobre el pensamientoproporcional fueron realizados por elequipo de investigación de Hart (1988),quien en un estudio con un grupo dealumnos observó que la mayoríaconsideraba difícil resolver problemasmatemáticos donde se involucra laproporción; sin embargo, hubo evidenciade que los estudiantes de menor edad ylos alumnos de la secundaria con menoséxito tienen un sentido de lo que se vecorrecto o lo que parece ser una distorsión.A esto Hart lo designó como una regulacióndesde el sentido común. Reconocemos queese aspecto está íntimamente involucradoen el pensamiento cualitativo porque atañea lo perceptual. Asimismo, Hart señala quelo más avanzado del pensamientoproporcional se da en el sujeto una vez queha construido determinados conceptos.

Hacemos referencia al pensamientoproporcional cuantitativo del niño cuandopuede hacer uso de las razones yproporciones y maneja indistintamente

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Problema de investigación

El presente estudio de caso forma parte deuna investigación doctoral concluida, sobrela que se han efectuado trabajos previosreferidos a otros aspectos y actividades deltrabajo de campo, como lo reportado en Ruiz(2000, 2001) y en Ruiz y Valdemoros (2001,2002, 2005), donde se abordan los modelosde enseñanza trabajados durante lapropuesta, tras haber revisado las estrategiasempleadas por los estudiantes al resolverproblemas de razón y proporción simple ydirecta; también forma parte otro estudio decaso cuyo interés fue mostrar el paso de unregistro de representación a otro en laresolución del tipo de problemas señalados.

En el seguimiento del caso de Paulina, aquípresentado, el problema de investigaciónconcierne a que esta niña resolvía losproblemas de razón y proporción utilizandoalgoritmos carentes de sentido y significado3.Es decir, tenía muy arraigado elprocedimiento sin tener claro su uso, dadoslos problemas que se le presentabanreferentes a razón y proporción. Ante talsituación, diseñamos una secuencia deactividades conformada por modelos deenseñanza4 que favoreció el establecimientode sólidos enlaces entre su pensamientoproporcional cualitativo y cuantitativo,pretendiendo así que mejorara el manejo desus algoritmos y los enmarcara enaplicaciones llenas de sentido. Ante el caso

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razones internas y externas para enfrentarproblemas matemáticos. Al respecto,Freudenthal (1983) define a las primerascomo relaciones establecidas entredistintos valores de la misma magnitud(distancia con distancia, tiempo con tiempo,precio con precio), y a las segundas comovínculos entre valores de diferentesmagnitudes (por ejemplo, tiempo condistancia o litros de leche con precio).

En el terreno didáctico nos apoyamosfundamentalmente en Streefland (1993),quien habla sobre la educación realista delas matemáticas. Ésta ha llegado aconstituirse en una teoría, según losseguidores de Freudenthal y Streefland,debido a que la realidad es, en primerainstancia, una fuente de información;además, constituye el terreno donde seaplican modelos de enseñanza, esquemas,notaciones y producciones escolares quederivan en la práctica social. Por tanto,favorece el desarrollo de la investigación yla práctica de la enseñanza en la educaciónmatemática. De igual modo, en esta teoríarealista es fundamental entrelazar lostramos de aprendizaje de los estudiantes,apelando a la estrategia de cambio enperspectiva, que se caracteriza por elintercambio de una parte de la informaciónen la situación-problema abordada. Enconsecuencia, las posibilidades para lareconstrucción y producción de problemasllegan a ser explícitamente reconocidas porlos estudiantes, sin perder toda su riquezaconceptual multifacética.

El significado es una “ entrada de diccionario” y “una categoría semántica universal”, dice Benveniste (1971). El

sentido, asegura, es un contenido semántico que se asocia a construcciones particulares del lenguaje, no conforma

categorías universales y suele estar muy en relación con los modos específicos de articulación de los mismos. Además,

cabe destacar que no hay una secuencia cronológica o de precedencia en el desarrollo, entre sentido y significado; son

distintos componentes semánticos que se complementan.

Ver Figueras, Filloy y Valdemoros (1987). Un modelo de enseñanza engloba significados, tanto en el lenguaje técnico

como en el lenguaje cotidiano, tratamientos didácticos, modos específicos de representación y las relaciones que existan

entre ellos.

3

4


de Paulina, nos planteamos la siguientepregunta de investigación:

¿El extenso manejo de lo cualitativopermite que la estudiante amplíe susrelaciones cuantitativas y mejore elmanejo de sus algoritmos?

La hipótesis que fue la siguiente:

Ayudar a desarrollar el pensamientocualitativo de la estudiante (al haceruso de categorías verbalesintegradas, al reconocer lascompensaciones que se planteanentre éstas y al involucrar losrespectivos datos empíricos yperceptuales), favorece los procesosde significación desarrollados por ellacuando emplea algoritmos al resolverproblemas de razón y proporción.

El método que usamos se describe acontinuación:

El estudio de caso que muestra este trabajointegra los resultados que tuvo Paulina en elcuestionario inicial –cuyo propósito fueindagar el estado en que se encontraba elgrupo en general–, el programa deenseñanza, de carácter constructivista-didáctico, el cuestionario final y lasentrevistas de “naturaleza didáctica” (conbase en lo señalado por Valdemoros, 1998).Los instrumentos metodológicos fueron

piloteados a lo largo de un ciclo escolar anual;luego fueron desarrollados de mododefinitivo, a través de los diez meses que duróel trabajo de campo. En las siguientespáginas se seleccionan ejemplos pertinentessobre los instrumentos.

La utilidad del cuestionario inicial en nuestrainvestigación se manifestópredominantemente como un medio derecogida de información y como punto departida para el uso de métodos cualitativos.(Woods, 1989). Una vez que se identificaronlos temas de interés y fueron detallados enítems los requisitos de informaciónnecesarios, nuestra tarea consistió enestructurar el cuestionario en sí mismo,atendiendo a la recomendación de Cohen yManhion (1980), quienes señalan que hayevitar las preguntas que sugieran a losinformantes que sólo hay una respuestaaceptable o las que sean complejas.

Para indagar en la manifestación delpensamiento cualitativo, requerimosprimeramente de aplicar el cuestionario, queinvolucró tareas donde no se utilizaroncantidades para su solución, comoactividades de comparación, lo cual lepermitió a Paulina identificar relaciones desemejanza entre figuras. Consideramospertinente incluir el cuestionario inicial –siendo el mismo que el final– para tenermayor claridad en el seguimiento de lametodología (Tabla 1).

Propósitosgenerales

Cuestionario (bloques I y II)

1. Determinar el estado en que se encuentra el sujeto en torno a la organización que tienen loscomponentes cualitativos y procesos de cuantificación de las relaciones proporcionales.

2. Realizar una indagación profunda que permita mostrar tanto lo que el alumno exhibe como loque deja insinuado.

3. Recuperar la secuencia del pensamiento del estudiante.

4. Evidenciar la manera como el estudiante se acerca a la solución de los problemas planteados,atendiendo tanto las estrategias que utiliza en la resolución como los modos de representacióncon los que trabaja.

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Bloque I

Indagar tanto en los conocimientoscomo en el saber matemático quetiene el estudiante sobre loscomponentes cualitativos y aspectoselementales de lo cuantitativo en lasrelaciones proporcionales.

1. Indagar si el estudiante puedereconocer la reducción de undibujo en todos sus componentes,de tal manera que pueda expresarsi se conserva la forma original deldibujo con base endiscriminaciones visuales.

2. Indagar si el estudiantereconoce visualmente la razón enla que se encuentran lasdimensiones de los rectángulos ysi puede dibujar los faltantes,apoyándose en el reconocimientoque hizo.

3. Indagar si el estudiante puedereproducir una figura a una escaladada (se le solicita que el dibujoque reproduzca sea el doble deloriginal).

4. Indagar si el estudiante puedecompletar una figura que es unareducción de la original, de talmanera que preserve laproporcionalidad o conserve laforma de la figura original, de quéestrategia se vale y qué modo derepresentación usa al hacer latarea.

5. Indagar si el estudiante puedecompletar la ampliación de unafigura preservando laproporcionalidad y que expliquepor escrito cómo lo hizo.

Bloque II

Indagar cómo el estudiante está procesandosu pensamiento en torno a la cuantificación delas relaciones proporcionales.

6a. Indagar si el estudiante puede completaruna figura geométrica, conociendo el valor delsegmento que representa al ancho de ella y losvalores del alto y ancho de la figura, que sepretende que sea proporcional a otra figuradada, y qué estrategia emplea. La tarea estáinmersa en una relación de semejanza. Revisarsi asocia magnitudes de una misma escala(razones internas).

6b. Indagar si el estudiante puede completaruna figura geométrica, conociendo el valor delsegmento que representa al ancho de ella y losvalores del alto y ancho de la figura, que sepretende que sea proporcional a otra figuradada, y qué estrategia emplea. La tarea estáinmersa en una relación de semejanza. Revisarsi asocia magnitudes de escalas diferentes(razones externas).

7a y 7b. Determinar las cantidades quecorresponden a los datos dados en tabla. Losdatos son el resultado de una situaciónplanteada. Revisar la estrategia que emplea elalumno en su llenado y si establece relaciónentre las preguntas formuladas y la tabla.

8. Dada una tarea ilustrada a través de dibujos(botes de pintura), el alumno debe completarlos datos faltantes conocidos tres valores; setiene que revisar su estrategia.

9. Determinar el valor desconocido de unproblema, apoyado en el modelo de la comprade objetos conocidos por el estudiante (bolsasde dulce), dados tres datos. Revisar quéestrategia emplea.

10a y 10b. Indagar si el estudiante puedeinventar un problema relacionado con trescantidades dadas en una tabla. Revisar si puedellenarla y solucionar el problema que hayaplanteado.

Propósitosespecífico decada bloque

Propósitosde cada

tarea

Tabla 1. Propósitos del cuestionario inicial.


Las dos primeras tareas exploraron los aspectos cualitativos en el terreno de laproporcionalidad.

Tarea 1. Tarea 2.

Las tres siguientes estuvieron enfocadas al tránsito de lo cualitativo a lo cuantitativo:

Tarea 3. Tarea 4.

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Tarea 5.

Tarea 6a. Tarea 6b.

Las ocho tareas restantes del cuestionario se centraron en el campo cuantitativo delpensamiento del estudiante.


Tarea 7a y 7b. Tarea 8.

Tarea 9. Tarea 10a y 10b.

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Para entrelazar los pensamientosproporcionales cualitativos y cuantitativosde Paulina en el programa didáctico, sediseñaron varias situaciones queestuvieron asociadas a modelos deenseñanza, según la definición de modeloque dan Figueras, Filloy y Valdemoros(1987): es el conjunto de estrategias deenseñanza que engloban significados,tanto en el lenguaje técnico como en ellenguaje cotidiano, tratamientos didácticos,modos específicos de representación y lasrelaciones que haya entre ellos.Trabajamos dichos en distintos momentos,lo cual se asemeja a lo señalado porStreefland (1993) en su teoría realista,tocante a la estrategia de cambio enperspectiva, pues creamos un modelo y lotratamos de explotar al máximo a la luz deuna idea, para luego retomarlo y utilizarloen torno a otra idea.

Escogimos a Paulina porque caracterizó aaquellos estudiantes que mostraron en elcuestionario inicial un gran apego al manejode algoritmos, pero carentes de sentido;además, tuvo pocas elaboraciones en elterreno cualitativo. A lo largo de laexperiencia de enseñanza Paulina hizonotorio un enriquecimiento en supensamiento cualitativo, logrando unaconciliación en ambos campos; de igualmanera, pese al progreso que alcanzó enel terreno numérico, no abandonó elaspecto cualitativo de la proporcionalidad.

Análisis de los progresos de Paulina

Al contrastar el cuestionario inicial y el finalse encontró lo siguiente:

El cuestionario inicial y el final estuvieronintegrados por las mismas tareas, pero sediferenciaron en la finalidad de suaplicación, ya que el primero fue denaturaleza exploratoria y el segundo se

centró en la evaluación del programa deenseñanza. Como el lapso entre laaplicación de ambos fue de ocho meses,no hubo ninguna influencia entre ellos.

Al resolver el cuestionario inicial, Paulinaevidenció un predominio en el uso de losalgoritmos de manera mecánica y pocotrabajo en el terreno cualitativo; además,se observó en ella un escaso empleo de lointuitivo, así como en el aspecto visual. Delas 13 tareas de que constó el cuestionarioinicial, tuvo nueve aciertos.

De las trece tareas, con las dos primerasbuscamos que Paulina diera justificacionesmás fundamentadas en la apreciacióncualitativa, prescindiendo de cantidadesexplícitas asociadas a las relaciones deproporcionalidad dadas. En las tressiguientes empleamos la cuadrícula con laintención de favorecer la realización de untránsito a la cuantificación. Las tareasrestantes consistieron en situaciones derazón y proporción cuantificadas, ya quele dimos a Paulina algunos valores y lepedimos nuevos valores. Para algunas deestas tareas utilizamos una tabla como unmodo de representación para elreconocimiento de razones externas ointernas.

Con respecto a las cuatro tareas quePaulina respondió en forma errónea,hacemos referencia a ellas en las tareas 1y 4. La tarea 1 aborda la elección de lareducción del dibujo de una casa; Paulinaseleccionó aquella que no correspondía,dando como argumento “que era la másparecida a la original”, mientras que en elcuestionario final eligió la casa reducida,basándose primero en su intuición ydespués en la medición de cada parte quela integraba. Así, obtuvo las razones entrelas distintas magnitudes de la casa reducidacon respecto al dibujo original,

pero también


volvió a mencionar en su explicación que lacasa “C se parece a la casa de Antonio”,agregando que“es semejante, es decirproporcional” (véanse Cuadros 1 y 2). Sepuede notar que la expresión “se parece a”cambió de significado para ella entre laaplicación del cuestionario inicial y la del final,pues mostró una comprensión del términoproporción como la relación de equivalencia

entre dos razones, sin dejar de lado la parteintuitiva, que fue explotada a lo largo delprograma de enseñanza. Hay otrasevidencias para afirmar esto: Paulina resolvióde manera incorrecta la tarea 4 en elcuestionario inicial, pero de forma correctaen el final. Lo importante son lasexplicaciones que dio, las cuales se dan aconocer en los Cuadros 4 y 5.

Cuadro 1. Tarea 1 del cuestionario inicialresuelta por Paulina.

Cuadro 2. Tarea 1 del cuestionario Finalresuelta por Paulina.

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Ahora, al señor Escalante le han pedidorealizar una ampliación del siguiente dibujooriginal:

Cuadro 3. Tarea 4 del cuestionario inicial y final.

En la figura que aparece en el Cuadro 4 seobserva que hay una parte del dibujoampliado. Se solicitó que se amplificara demanera lineal la figura, basándose en loque ya se tenía dibujado y haciendohincapié en que conservara la misma formaque el diseño original

Cuadro 4. Tarea 4 del cuestionario inicialresuelta por Paulina.

Paulina completó la figura, pero no sepercató que sus lados los habíaamplificado al doble del diseño original,cuando debía ser al triple, como muestrala parte que se le dio dibujada.

Cuadro 5. Tarea 4 del cuestionario final resueltapor Paulina.

En el Cuadro 5 Paulina muestra laequivalencia establecida entre dosrazones, obtenidas a partir de lacomparación de las dos magnitudesconsideradas en la parte media del barco.

Durante la enseñanza

Con el propósito de favorecer elpensamiento cualitativo de Paulina durantela enseñanza, requerimos de tareas en lasque se utilizaran cantidades para serresueltas, como actividades decomparación, que le permitieron a Paulinaidentificar relaciones de semejanza entrefiguras en términos muy intuitivos, como“reducción” y “ampliación”; dichas nocioneslas trabajamos con referencia a situacionesconcretas del tipo de la experiencia deldibujo a escala y la idea de lafotocopiadora.

En el paso de lo cualitativo a lo cuantitativo,Paulina generó un ordenamiento al hacercomparaciones, ya que empleó las frases“mayor que...” y “menor que...”, lo cualcoincide por lo señalado por Piaget (1978).


Posteriormente, usó la medida al hacercomparaciones: primero confrontó objetosentre sí, sobreponiendo una figura en otra;después aplicó un instrumento de medida.De acuerdo con Freudenthal (1983), losrecursos desplegados por Paulina a estenivel se llaman comparadores.

Luego, Paulina estableció relaciones entremagnitudes, trabajó en el campo de losnúmeros naturales y también usó

expresiones fraccionarias, incursionandode manera elemental en el campo de losracionales. Además, llegó a designar a larazón como la relación entre dosmagnitudes y a la proporción como larelación de equivalencia entre dos razones,lo que concuerda con las definicionesdadas por Hart (1988).

La Tabla 2 presenta los modelos deenseñanza que utilizamos y sus propósitos.

Modelo

A. Diseño desalones de fiesta

B. El mundo deBlanca Nieves y

los 7 enanos

C. Elaboración demarcos parafotografías

D. El granproblema de la

huella

Conjunción de losmodelos B y C

E. Torneo defútbol

F. Construye tupropia cancha

G. La fotografíade tu equipo.

Sesiones

2

7

2

1

3

2

1

2

Propósito(s)

• Reconocimiento cualitativo de la noción de proporcionalidad.

• Integración del tamaño y la forma de los dibujos parafavorecer la construcción de la noción de proporcionalidad.

• Nociones de reducción y ampliación empleando,primeramente, las ideas de la fotocopiadora y del dibujo aescala. Posteriormente, usando algún instrumento de medidapara hacer comparaciones de naturaleza cuantitativa.

• Dar sentido a la razón, vista como una relación entremagnitudes.Usar la tabla para trabajar razones internas yexternas.

• Utilizar la proporción a través de estimaciones. Este modelofue tomado y adaptado de Lesh y Doerr (2001).

• Dar sentido a la proporción vista como una relación deequivalencia entre razones.

• Trabajar con las razones encontradas a partir de las medidasde tres canchas de fútbol y mostrar su equivalencia paradeterminar proporciones.

• Pintar en el patio de su escuela la mayor cancha posible yque sea proporcional a la dada, conociendo el largo y anchode su patio.

• Usar diferentes modos de representación al trabajar laproporción.

Tabla 2. Modelos de enseñanza.

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A continuación, describiremos la maneraen que fue trabajado el modelo de BlancaNieves y los siete enanos con losestudiantes de sexto grado de primaria.

Modelo 2. El mundo de BlancaNieves y los siete enanos

Se utilizó el cuento de la literatura clásica“Blanca Nieves y los siete enanos”durante siete sesiones. El modelopermit ió ser t rabajado a la luz dediferentes nociones; una de ellas, la dereducción, se apoyó en la experiencia deldibujo a escala y de la fotocopiadora,para lo cual se solicitó a los estudiantesque compararan la cama de BlancaNieves con la de los enanos, con lo queproducirían argumentos de caráctercual i tat ivo. Se trató la noción dereducción a través de tres vías: escrita,oral y con el empleo del dibujo.

Posteriormente, el modelo fue utilizadoal abordar la noción de ampliación, quetambién se basó en la idea de lafotocopiadora y del dibujo a escala. Eneste caso, se empleó otro mobiliario dela casa de los enanos (la mesa) y losalumnos debían seleccionar entre cuatroopciones la mesa que correspondía aBlanca Nieves, con lo que tambiéngenerarían argumentos de caráctercualitativo.

En las siguientes sesiones, el modelopermitió que el estudiante verificara lareducción y la ampliación de las figurascon algún instrumento de medida parahacer comparaciones de naturalezacuantitativa. Fue introducida la tablacomo un recurso para organizar datos.Se emplearon las frases “cuántas vecescabe...” o “qué parte representa de...” alhacer referencia a la mitad y al doble deuna magnitud.

• Planeación de las dos primerassesiones, usando el modelo 2

Propósito: Abordar la noción de reducción.

Trabajo del estudiante

– Observar el dibujo de la cama de BlancaNieves y elegir, de 8 camas pequeñas,la(s) que correspondan a los enanos.

– Observar las camas y elegir aquella quesea la reducida a la de Blanca Nieves(reducción vista desde la idea de lafotocopiadora o la del dibujo a escala).

– Responder algunas preguntas en formaoral y escrita.

Dinámica del trabajo

Grupal-colectiva-individual.

Intervención en lo grupal

En principio, se solicita al grupo querecuerde el cuento de Blanca Nieves; entretodos los alumnos se reconstruye lahistoria.

Una vez que se llegue a la parte en queBlanca Nieves limpió la cabaña de los enanosy se sintió cansada, por lo cual recostó en lacama de los enanos, se pregunta si cabíaen una de las camitas. Se continúa diciendoque los enanos le construyeron una cama aBlanca Nieves y se les muestra el dibujo.

Cada equipo saca el contenido del sobre,donde encontrarán dibujos de 8 camaspequeñas y una grande. Se les pide quebusquen y elijan, entre esas camas, la quecorresponda a la de los enanos. Seformulan varias preguntas: ¿cómo será lacama de los enanos?, ¿qué entienden porreducción de una figura? Esta última sehace porque se busca una cama reducidaa la de Blanca Nieves.


Interesa saber la idea que tienen losalumnos sobre la reducción de una figuray las expresiones verbales que empleanal referirse a ella, así como a la forma ytamaño, ya que en la primera sesión, enlos hechos, había una conjunción de formay tamaño, no así en lo verbal. Cada equipoelige la cama de los enanos y se cuestionael porqué de esa elección.

Intervención en lo colectivo

Se solicita a cada equipo que muestre lacama elegida y que den argumentos sobresu elección. Si hay discrepancias entre losequipos, se piden más argumentos, de talforma que cada equipo esté convencido dela elección que hizo y no dude. Si llegasea haber un momento en que no se veaavance en los estudiantes, se intervendríacon nuevas preguntas hasta que todosreconozcan cuál es la cama reducida.

Intervención en lo individual

Los alumnos darán respuesta a algunaspreguntas que se han formuladocolectivamente, pero por escrito. Laretroalimentación se lleva a cabo en elmomento colectivo:

- Comparando diversos resultados.- Revisando las situaciones críticas.

• Planeación de las dos siguientessesiones

Propósito: Abordar la noción deampliación.


– Observar el dibujo de la mesa de losenanos y seleccionar, entre cuatromesas grandes, la que corresponda ala de Blanca Nieves.

– Observar las mesas y elegir aquella quecorresponda a la amplificada, que es lade Blanca Nieves (ampliación vistadesde la idea de la fotocopiadora o ladel dibujo a escala).



Grupal-colectiva-individual.


Cada equipo revisa el contenido del sobre,donde se encuentran dibujos de cuatromesas grandes y una pequeña. Se les pideque busquen y elijan la que corresponda ala de Blanca Nieves.

Se formulan varias preguntas: ¿cómo creesque es la mesa de Blanca Nieves?, ¿cómose busca una mesa que sea la ampliaciónde la mesa de los enanos?, ¿Quéentienden por ampliación de una figura?

Interesa saber la idea que tienen losalumnos sobre la ampliación de una figuray las expresiones verbales que emplean alreferirse a tal noción, así como a la formay el tamaño. Cada equipo trabaja en laelección de la mesa de Blanca Nieves y seprocede a preguntar el porqué fueseleccionada.


Se solicita a cada equipo que muestre lamesa elegida y que den argumentos sobresu elección. Si hay discrepancias entre losequipos, se piden más justificaciones delas posiblemente dadas, de tal forma quecada equipo esté convencido de la elecciónque hizo y no dude. Si hubiera un momentoen que no se viera avance en losestudiantes, se intervendría con nuevas

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preguntas hasta que todos reconozcan cuáles la mesa amplificada.


Los alumnos responderán por escritoalgunas preguntas que se han formuladocolectivamente. La retroalimentación selleva a cabo en el momento colectivo:

-Comparando las respuestas de losestudiantes.-Revisando distintas situaciones queemergieran.

• Planeación de las tres últimassesiones

Propósito: Hacer comparaciones decarácter cuantitativo.


– Verificar que la cama elegida para losenanos es la correcta, haciendo uso dealgún instrumento de medida.

– Medir los largos de las camas de losenanos y de Blanca Nieves ycompararlos.

– Indicar si es el doble del largo de unacama con respecto al largo de la otracama.

– Medir otras dimensiones (alto y anchodel respaldo) y hacer comparaciones.


– Escribir las relaciones entre las medidasobtenidas como una fracción.


Grupal-individual-colectivo.


Se cuestiona al grupo si hay otra formadiferente a la que se usó para comprobarque la cama elegida es la de los enanos.

Realizan mediciones, ya sea con una reglao poniendo la cama elegida de los enanossobre la de Blanca Nieves.

Los estudiantes deben completar una tablacon los datos que se soliciten. Asimismo,responden a preguntas que se les formulenen forma oral, como: ¿si comparas loslargos de las dos camas qué puedes decir?,¿cuántas veces cabe el largo de una en ellargo de la otra?

Se hacen las mismas preguntas para el altoy el ancho de los respaldos de las doscamas.


Los alumnos contestan por escrito algunaspreguntas que se han formuladocolectivamente.


Se solicita a diferentes alumnos que lean yrespondan las preguntas en voz alta. Secomparan las respuestas y donde hayadiscrepancias hay una discusión. Laretroalimentación se lleva a cabo en elmomento colectivo:

-Comparando las diferentes justificacionesdadas por los estudiantes.-Llegando a un acuerdo que satisfaga atodo el grupo.

Intervención en la segunda parte individualdel trabajo

Se solicita a los niños que dibujen unacama más grande y una más pequeña dela de Blanca Nieves y los enanos,

Vínculo entre el pensamiento proporcional cualitativo y cuantitativo: el caso de Paulina

nuevas situaciones en torno a la razón y laproporción.

En las entrevistas

Se aplicaron tres entrevistas a Paulina, unapor semana, tras la realización de laenseñanza y la aplicación del cuestionariofinal. Las entrevistas –cuyo propósitocentral fue evaluar el programa deenseñanza– se integraron con tareasnuevas que tenían metas en común con elprograma didáctico y el cuestionario;además, permitieron una retroalimentaciónen Paulina.

Con las tareas iniciales que propusimos enlas entrevistas, revisamos la manera comoPaulina mantuvo lo cualitativo a la luz dehaber trabajado lo cuantitativo, el peso quetuvo la imagen visual y lo perceptual en laresolución de las tareas. Luego, con lasentrevistas indagamos en el manejo quePaulina dio a las tablas, el reconocimientoen ellas de las razones y su expresión comofracciones; asimismo, pudimos observarcuándo empleó razones internas yexternas, el pasaje de un sistema simbólicoa otro y si planteó una situación que lacondujera a utilizar una proporción pararesolverla.

A continuación, presentamos el desarrolloy análisis de la primera entrevista, que tuvorelación con el modelo de enseñanza deBlanca Nieves y los siete enanos.

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respectivamente. Una cama será laampliación de las dadas; la otra, unareducción de la de los enanos. Se lesformulan preguntas en torno a qué medidasles dieron a las dimensiones de la camaampliada y reducida, respectivamente, ycómo las obtuvieron.

Los alumnos completan una tabla con losdatos solicitados y realizan comparaciones.Establecen relaciones entre lasdimensiones de una cama con respecto alas dimensiones de la otra, utilizando lanotación de fracción.

En lo anterior se expuso la forma de trabajocon el modelo de Blanca Nieves para daruna idea de cómo eran abordados losmodelos, cuyo objetivo era hacer el tránsitodel pensamiento proporcional cualitativo alcuantitativo.

Paulina, al finalizar las sesiones de trabajo,mostró una estrecha relación entre supensamiento cualitativo y cuantitativo, locual implicó el sentido que le dio a sutrabajo en el terreno numérico,circunstancia que al principio no se veíareflejada. Al término de la experiencia deenseñanza y con la aplicación delcuestionario final se enriquecieron enPaulina sus significados y sus procesos decuantificación. A nivel de la designación,llegó a emplear un lenguaje técnico; deigual manera, alcanzó la generalización,mediante la cual se vieron favorecidas

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Cuadro 6. Primera parte de la entrevista. Cuadro 7 . Seleccionar el ropero reducido.

Los enanos tienen un ropero proporcional al de Blanca NievesElígelo de los siguientes cuatro que se te muestran:

Observa el dibujo del ropero de Blanca Nieves

Paulina midió tanto el largo como el anchodel ropero de Blanca Nieves, así como loslargos y anchos de los cuatro dibujosmostrados para que eligiera la reducciónsolicitada. Una vez hecho esto, obtuvo lasrazones en las que se encontraban lasmagnitudes de algunas partes de lareducción con las correspondientes alropero original. Un segmento del diálogoque se sostuvo con ella en la entrevista semuestra a continuación:

– E: ¿En qué te basaste para elegir elropero de los enanos?

– P: Medí y el ropero B es proporcional alde Blanca Nieves porque todas susrazones son equivalentes (señala lo quehabía escrito: 12/8=6/4=3/2).

– E: ¿Me puedes decir cómo obtuviste lasrazones?

– P: Comparando las medidas del roperode Blanca Nieves con el ropero de losenanos. Los numeradores de cadafracción son los que miden distintaspartes del ropero de Blanca Nieves; por

ejemplo, el 12 es lo que mide de alto; 8es lo que mide su base; 3 es lo que mideel largo de una ventanita (indica uno delos dibujos que representa un adornodel ropero); 1.5 es el ancho de esaventanita. Los denominadores de lasfracciones son las medidas de esaspartes, pero del ropero de los enanos(las medidas mencionadas por Paulinaestán dadas en centímetros).

Paulina se basó en la medición paraestablecer vínculos y llegar de este modoa la determinación de razones. También enesta parte de la entrevista se hizo notorioel apoyo que tuvo en lo perceptual, ya quedijo: “El ropero A es larguísimo, el C es muyancho y el D es muy chiquito. Aunque medí,también me fijé que esos tres no se venproporcionales al de Blanca Nieves”.

Asimismo, Paulina mostró un manejo de loconceptual cargado de sentido, al identificara la razón como una relación y a laproporción como la relación de


equivalencia entre razones (Hart, 1988), y no abandonó el aspecto cualitativo, ya queusó categorías verbales y el sentido común para constatar que el ropero elegido era elcorrecto. Al respecto, escribió lo que se indica el Cuadro 8.

En la segunda parte de la entrevista, se pidió hacer un dibujo con las condiciones quese señalan:

2. Haz el dibujo de un ropero que sea proporcional al de Blanca Nieves, pero más grande. ¿Cómo obtuviste las medidas anteriores? ______________________.

Paulina tomó las medidas de cada parteque conformaba el ropero de BlancaNieves y las duplicó para hacer el dibujosolicitado (Cuadro 9). Después de quePaulina leyó en voz alta las indicaciones,la entrevistadora le formuló algunaspreguntas:

– E: ¿Cómo lo vas a dibujar?– P: Podría ser que el ropero de Blanca

Nieves sería la mitad de éste (señalala hoja donde iba a dibujarlo), la mitaddel grande y el grande el doble del deBlanca Nieves.

– E: ¿El doble en cuanto a área o adimensiones lineales?

– P: En cuanto a las dimensioneslineales.

– E: Entonces, ¿cuánto van a medir lasdimensiones del ropero que vas a

Cuadro 8. Lo que escribió Paulina sobre la elección del ropero reducido.

dibujar?– P: Si la base del ropero de Blanca

Nieves es 8 centímetros, aquí lopodemos hacer de 16 centímetros(midiendo con su regla traza elsegmento de la base). Si esto mide 12centímetros (refiriéndose a la altura delropero de Blanca Nieves), sería 24centímetros (traza el segmentoutilizando su regla).

Paulina midió cada parte del ropero deBlanca Nieves y duplicó las medidasobtenidas, empleando el algoritmo de lamultiplicación hasta terminar de hacer eldibujo, como se muestra a continuación.La acción de duplicar implica que Paulinatenía fluidez en el manejo de losoperadores multiplicativos; en este caso,el (x 2).

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Cuadro 9. Dibujo amplificado por Paulina.

Paulina no hizo operaciones por escrito, sinomentalmente, y en voz alta duplicó los valoresde las magnitudes, lo cual indica su habilidaden el cálculo aritmético y en el uso deloperador natural (x2). Lo que dijo Paulina enla entrevista, respecto a que las dimensioneslineales del ropero de Blanca Nieves son lamitad del grande o que las dimensioneslineales de éste corresponden al doble delas de Blanca Nieves, evidenció una claridad

en el manejo de la reciprocidad, lo cualcoincide con lo que señala Piaget (1978a yb) en cuanto a tal modalidad de reversibilidad.El dominio de la reciprocidad muestra quePaulina tiene un pensamiento con mayorgrado de abstracción.

Enseguida, Paulina dibujó un ropero máspequeño, pero proporcional al de los enanos,como se demandó en la entrevista:

3. Ahora haz un ropero que sea proporcional al de los enanos, pero que seamás pequeño.

¿Cómo obtuviste las medidas anteriores? _________________

Vínculo entre el pensamiento proporcional cualitativo y cuantitativo: el caso de Paulina

Cuadro 11. Dibujo reducido por Paulina.

4. Completa la siguiente tabla:

Escribe las razones en las que se encuentran las medidas de los altoscon respecto a los anchos de los roperos que tú quieras comparar ____.Compara las razones que escribiste y di cómo son entre sí __________.

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De las magnitudes obtenidas del ropero de los enanos, Paulina sacó la mitad de cadauna empleando el algoritmo de la división, aunque no escribió ninguna operación, yaque las hizo mentalmente. Al respecto, escribió lo siguiente:

Cuadro 10. Respuesta dada por Paulina.

El dibujo que hizo se presenta acontinuación:

Se notó que Paulina tiene claras lasnociones tanto de reducción como deampliación, vistas desde la idea del dibujoa escala y de la fotocopiadora. Además, alusar el operador natural (x2) en la

ampliación y el algoritmo de la división parala reducción, ocupó implícitamente eloperador fraccional (x1/2). Esto se toma deDienes (1971a y b, 1972) cuando los niñosestán multiplicando por uno y dividiendoentre dos. Más tarde aparece en loformulado por Kieren (1985).

El hecho de que Paulina, por un lado,duplicara todas las magnitudes para hacerla amplificación y, por otro, obtuviera lamitad de las mismas para hacer lareducción, reflejó el significado adecuadodel término proporción. Además, elseñalamiento que hizo respecto a que unafigura reducida o amplificada conserva lamisma forma, sólo que cambia de tamaño,indicó que, aunque trabajó muy bien conalgoritmos, no quedó opacado supensamiento cualitativo.

Posteriormente, como parte de estaprimera entrevista, se le pidió a Paulina loque a continuación se presenta:

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Paulina primero llenó la tabla con los datosque obtuvo de las medidas de cada roperoy después escribió las razones externassolicitadas, estableciendo la relación entrelas magnitudes que obtuvo de la mismatabla. Al respecto, dijo:

– P: El ropero A es de veinticuatrodieciseisavos (escribió 24/16), el deBlanca Nieves es de doce octavos(escribió 12/8), lo que corresponde amedidas establecidas en centímetros.

– E: ¿Qué es lo que estás escribiendo?– P: Las razones.

Continuó diciendo:

– P: El de los enanos es de seis cuartos(escribió 6/4) y el del ropero D es detres medios (escribió 3/2), lo quetambién corresponde a medidasestablecidas en centímetros.

– E: ¿Cómo obtuviste las razones?– P: Leyéndolas de la tabla.– E: ¿Qué leíste?– P: Como me piden la razón del alto con

respecto al ancho de los roperos queyo quisiera decir, primero leí cuántomide el alto del ropero A y después suancho, es decir, la razón es veinticuatrodieciseisavos y así para los demás.

De acuerdo con Freudenthal (1983), esposible interpretar que Paulina estáadentrándose en un dominio incipiente delos racionales, ya que presenta un buenpunto de partida para desarrollar elmanejo de estos números; aunque no essistemático, lo será más adelante.También logró relacionar ambascolumnas de la tabla, lo cual indica queentendió a la razón como una relaciónentre magnitudes, como la define Hart(1988). Por otra parte, al comparar lasrazones entre sí , af i rmó que sonequivalentes y que los roperos sonproporcionales y semejantes entre ellos.

Para determinar la equivalencia entre lasrazones, Paulina usó el algoritmo de lasimplificación, al ir sacando mitades. Alrespecto, escribió:

24/16=12/8=6/4=3/2, simplificando (lo quecorresponde a medidas establecidas encentímetros).

Con el fin de saber si las razones eranequivalentes, Paulina recurrió a la divisióndel numerador entre el denominador decada fracción, dándose cuenta de que entodos los casos obtenía un entero y unmedio. Esto implica que manejó el factorescalar como una constante, lo quecoincide con lo dicho por Vergnaud (1991).

En la última parte de esta entrevista sepidió lo siguiente, que fue leído en voz altapor Paulina:

Paulina eligió el ropero A y el de BlancaNieves. Expresó como fracciones a lasrazones de sus largos con respecto a susanchos; las magnitudes que relacionó lasobtuvo de la tabla. Al respecto, mostramosun fragmento de esta parte de la entrevista:

– E: ¿Me puedes explicar qué es lo quevas a hacer? (Después de un momentode silencio y de que Paulina leyó en vozbaja las instrucciones, dijo):

– P: Vamos a comparar entre dos roperoslos largos y los anchos. Por ejemplo,aquí podría ser 24/12 y 16/8 (señala lasdos columnas de tabla. Las medidascorresponden a centímetros).

5. Ahora, escribe la razón en la que seencuentran las medidas de la altura de dosroperos y escribe la razón en que están lasmedidas de los anchos de esos mismosroperos que elegiste.

Compara ambas razones entre sí ¿cómo son?___________.


Paulina tuvo cierta dificultad para identificarque las dos razones son equivalentes, loque se nota en la trascripción:

–P: Porque 24 no es el doble de 16 ni 12es el doble de 8 (señala tanto losnumeradores como los denominadoresde cada fracción). Para que seanequivalentes debo de simplificar; porejemplo, 24/6 es equivalente a 12 /3porque dividí arriba y abajo entre 2.

Finalmente, reconoció la relación deequivalencia entre ellas:

– P: 24 centímetros es el largo del roperoA, y 12 centímetros es lo que mide subase, mientras que 16 centímetros esel largo del ropero de Blanca Nieves y8 centímetros es su ancho (señala losdibujos de los roperos). Si el largo delropero A es el doble de su ancho (indicalas magnitudes tanto en la figura comoen la fracción), es decir, si 24 es el doblede 12 y 16 es el doble de 8 (señala enla tabla) entonces son equivalentes,pues están en la misma razón, es decir,al doble.

Al principio, se observó en Paulina un arraigoen el algoritmo referido a que dos fraccionesson equivalentes si tanto el numerador comoel denominador son multiplicados o divididospor un mismo número; es decir, tiene unbuen manejo de los operadoresmultiplicativos. Sin embargo, al apoyarse enel dibujo, se dio cuenta que las magnitudesde los largos de los roperos con respecto alas de sus anchos eran el doble y que esteconsiste en otro procedimiento paradeterminar la equivalencia entre dos razones.Lo visual cobró mucha fuerza para quePaulina saliera del problema.

Esta situación mostró cómo Paulina pudotransitar de un registro a otro (del dibujo alnumérico) y la conexión de ambos lepermitió no sólo llegar a una respuestacorrecta, sino dejar asentado lo vistodurante las sesiones del programa deenseñanza.

Conclusiones

Paulina mostró un fuerte avance en tornoa dos aspectos importantes: el desarrollode su pensamiento cualitativo sobre larazón y la proporción y la carga de sentidoque le dio al empleo de algoritmos.Además, evidenció en la resolución de lasdistintas tareas la fuerza que cobró el datoperceptual y el apoyo en su experiencia, locual implicó el desarrollo alcanzado en elterreno cualitativo de la proporcionalidad.

El trabajo algorítmico nos permitió explorarel reconocimiento tácito de los operadoresen los que Paulina estaba pensando, tantonaturales como fraccionarios. Estos últimoslos aplicó en forma implícita, al multiplicarun valor por un número, como primer paso,luego al dividir lo obtenido entre otronúmero, o dividir primero y multiplicardespués. Tal procedimiento remite aDienes (1971a y b, 1972) y a Kieren (1985).

A nivel de la construcción de significados,éstos fueron enriquecidos junto con losprocesos de significación; en lo tocante asu designación, Paulina llegó a usar lostérminos matemáticos correspondientes.Finalmente, Paulina llegó a construir losconceptos de razón y proporción, lo quese notó por su aplicabilidad en distintosámbitos y por el uso de los distintos modosde representación.

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Elena Fabiola Ruiz LedesmaCinvestav-IPN

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Marta Valdemoros ÁlvarezDepartamento de Matemática EducativaCinvestav-IPN

E-mail: [email protected]

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