Vjezbe 11

Vjezbe 11

Integriranje iracionalnih funkcija

∫Mx + N√

ax2 + bx + cdx =

M

2a

∫2ax + b√

ax2 + bx + cdx

+

(N − bM

2a

)∫dx√

ax2 + bx + c

∫dx

(Mx + N)√

ax2 + bx + c

supstitucijom

t =1

Mx + N

svodimo na prethodni.

Vjezbe 11

Integriranje iracionalnih funkcija

∫Mx + N√

ax2 + bx + cdx =

M

2a

∫2ax + b√

ax2 + bx + cdx

+

(N − bM

2a

)∫dx√

ax2 + bx + c

∫dx

(Mx + N)√

ax2 + bx + c

supstitucijom

t =1

Mx + N

svodimo na prethodni.

Vjezbe 11

Integriranje iracionalnih funkcija

4. Rijesite sljedece integrale:

a)

∫dx√

2 + 3x − 2x2

b)

∫5x + 4√

x2 + 2x + 5dx

c)

∫dx

(x − 1)√

x2 + 2x

d)

∫2x − 8√

1− x − x2dx

Vjezbe 11

Integriranje iracionalnih funkcija

4. Rijesite sljedece integrale:

a)

∫dx√

2 + 3x − 2x2

b)

∫5x + 4√

x2 + 2x + 5dx

c)

∫dx

(x − 1)√

x2 + 2x

d)

∫2x − 8√

1− x − x2dx

Vjezbe 11

Integriranje iracionalnih funkcija

4. Rijesite sljedece integrale:

a)

∫dx√

2 + 3x − 2x2

b)

∫5x + 4√

x2 + 2x + 5dx

c)

∫dx

(x − 1)√

x2 + 2x

d)

∫2x − 8√

1− x − x2dx

Vjezbe 11

Integriranje iracionalnih funkcija

4. Rijesite sljedece integrale:

a)

∫dx√

2 + 3x − 2x2

b)

∫5x + 4√

x2 + 2x + 5dx

c)

∫dx

(x − 1)√

x2 + 2x

d)

∫2x − 8√

1− x − x2dx

Vjezbe 11

Binomni integral

Binomni integral∫xm(a + bxn)pdx , m, n, p ∈ Q, a, b ∈ R

1) p ∈ Z, supstitucija x = tk , gdje je k zajednicki nazivnik od mi n

2) m+1n ∈ Z, supstitucija a + bxn = tk , gdje je k nazivnik od p

3) m+1n + p ∈ Z, supstitucija b + ax−n = tk , gdje je k nazivnik

od p

Vjezbe 11

Binomni integral

5. Rijesite sljedece integrale:

a)

∫dx

x4√

1 + x2

b)

∫x3dx

(9− x2)√

9− x2

c)

∫x5 7√

2− 3x6dx

d)

∫dx

√x(

4√

x + 1)10

e)

∫x−11(1 + x4)−

12 dx

Vjezbe 11

Binomni integral

5. Rijesite sljedece integrale:

a)

∫dx

x4√

1 + x2

b)

∫x3dx

(9− x2)√

9− x2

c)

∫x5 7√

2− 3x6dx

d)

∫dx

√x(

4√

x + 1)10

e)

∫x−11(1 + x4)−

12 dx

Vjezbe 11

Binomni integral

5. Rijesite sljedece integrale:

a)

∫dx

x4√

1 + x2

b)

∫x3dx

(9− x2)√

9− x2

c)

∫x5 7√

2− 3x6dx

d)

∫dx

√x(

4√

x + 1)10

e)

∫x−11(1 + x4)−

12 dx

Vjezbe 11

Binomni integral

5. Rijesite sljedece integrale:

a)

∫dx

x4√

1 + x2

b)

∫x3dx

(9− x2)√

9− x2

c)

∫x5 7√

2− 3x6dx

d)

∫dx

√x(

4√

x + 1)10

e)

∫x−11(1 + x4)−

12 dx

Vjezbe 11

Binomni integral

5. Rijesite sljedece integrale:

a)

∫dx

x4√

1 + x2

b)

∫x3dx

(9− x2)√

9− x2

c)

∫x5 7√

2− 3x6dx

d)

∫dx

√x(

4√

x + 1)10

e)

∫x−11(1 + x4)−

12 dx

Vjezbe 11

Integrali trigonometrijskih funkcija

∫R(cos x , sin x)dx

supstitucija: tgx

2= t

dx =2

t2 + 1dt

sin x =2t

t2 + 1

cos x =1− t2

t2 + 1

Vjezbe 11

Integrali trigonometrijskih funkcija

1. Rijesite sljedece integrale:

a)

∫dx

8− 4 sin x + 7 cos x

b)

∫dx

4 sin x + 3 cos x + 5

c)

∫dx

sin x(2 + cos x − 2 sin x)

Vjezbe 11

Integrali trigonometrijskih funkcija

1. Rijesite sljedece integrale:

a)

∫dx

8− 4 sin x + 7 cos x

b)

∫dx

4 sin x + 3 cos x + 5

c)

∫dx

sin x(2 + cos x − 2 sin x)

Vjezbe 11

Integrali trigonometrijskih funkcija

1. Rijesite sljedece integrale:

a)

∫dx

8− 4 sin x + 7 cos x

b)

∫dx

4 sin x + 3 cos x + 5

c)

∫dx

sin x(2 + cos x − 2 sin x)

Vjezbe 11

Integrali trigonometrijskih funkcija

∫R(cos x , sin x)dx

I) R(− sin x , cos x) = −R(sin x , cos x), supstitucija cos x = t

II) R(sin x ,− cos x) = −R(sin x , cos x), supstitucija sin x = t

III) R(− sin x ,− cos x) = R(sin x , cos x), supstitucija tg x = t

Vjezbe 11

Integrali trigonometrijskih funkcija

2. Rijesite sljedece integrale:

a)

∫cos3 x + cos5 x

sin2 x + sin4 xdx

b)

∫dx

sin2 x + 2 sin x cos x − cos2 x

c)

∫sin2 x

cos6 xdx

Vjezbe 11

Integrali trigonometrijskih funkcija

2. Rijesite sljedece integrale:

a)

∫cos3 x + cos5 x

sin2 x + sin4 xdx

b)

∫dx

sin2 x + 2 sin x cos x − cos2 x

c)

∫sin2 x

cos6 xdx

Vjezbe 11

Integrali trigonometrijskih funkcija

2. Rijesite sljedece integrale:

a)

∫cos3 x + cos5 x

sin2 x + sin4 xdx

b)

∫dx

sin2 x + 2 sin x cos x − cos2 x

c)

∫sin2 x

cos6 xdx

Vjezbe 11

Integrali trigonometrijskih funkcija

∫sinm x cosn xdx

I) m neparan, m > 0, supstitucija cos x = t

II) n neparan, n > 0, supstitucija sin x = t

III) m + n paran, m + n < 0, supstitucija tg x = t

IV) m i n parni, m > 0, n > 0 podintegralnu funkciju trebanapisati kao zbroj trigonometrijskih funkcija visestrukog kuta.

Vjezbe 11

Integrali trigonometrijskih funkcija

3. Rijesite sljedece integrale:

a)

∫sin5 x cos2 xdx

b)

∫cos5 x

sin3 xdx

Vjezbe 11

Integrali trigonometrijskih funkcija

3. Rijesite sljedece integrale:

a)

∫sin5 x cos2 xdx

b)

∫cos5 x

sin3 xdx

Vjezbe 11

Integrali trigonometrijskih funkcija

I)

∫sin ax cos bxdx =

1

2

∫(sin(a− b)x + sin(a + b)x)dx

II)

∫sin ax sin bxdx =

1

2

∫(cos(a− b)x − cos(a + b)x)dx

III)

∫cos ax cos bxdx =

1

2

∫(cos(a− b)x + cos(a + b)x)dx

Vjezbe 11

Integrali trigonometrijskih funkcija

4. Rijesite sljedece integrale:

a)

∫sin 2x sin 3xdx

b)

∫sin x cos 2x cos 3xdx

Vjezbe 11

Integrali trigonometrijskih funkcija

4. Rijesite sljedece integrale:

a)

∫sin 2x sin 3xdx

b)

∫sin x cos 2x cos 3xdx

Vjezbe 11