3 Funkcije

3.1 Pojam funkcije

Neka su D i K neprazni skupovi i f pravilo koje svakom elementu skupa D pridruzuje

tocno jedan element skupa K. Tada se uredena trojka (D,K, f) naziva preslikavanje

ili funkcija sa skupa D u skup K i oznacava sa f : D → K. Skup D zovemo podrucje

definicije ili domena, a skup K podrucje vrijednosti ili kodomena funkcije f .

y

x f(x)

f(y)

f

fD K

Funkcija f element x ∈ D preslikava u element y ∈ K, a to zapisujemo formulom

f(x) = y. Varijablu x zovemo nezavisna varijabla ili argument funkcije, a varijablu

y zovemo zavisna varijabla.

Graf funkcije f je skup Γf = {(x, y) : y = f(x) zax ∈ D} ⊆ D ×K.

Slika funkcije f je skup R(f) = {f(x) : x ∈ D}.

1

Primjer 1. Koje su od sljedecih pravila pridruzivanja funkcije?

i)

D Kf

f

ii)

D Kf

f

f

f

f

iii)

D Kf

f

f

Skup f(A) = {f(x) : x ∈ A} ⊆ K zovemo slika skupa A ⊆ D.

Skup f−1(B) = {x ∈ D : f(x) ∈ B} ⊆ D zovemo praslika skupa B ⊆ K.

2

D Kf

f

f

AB

Primjer 2. f : R → R, f(x) = x + 1, A = 〈0, 1] =⇒ f(A) = 〈1, 2], f−1(A) =

〈−1, 0].

Primjer 3. f : R → Z, f(x) = ⌊x⌋, A = {1, 2} =⇒ f(A) = {1, 2}, f−1(A) =

[1, 3〉.

Za dvije funkcije f : A → B i g : C → D kazemo da su jednake i pisemo f = g, ako

je A = C, B = D i f(x) = g(x), ∀x ∈ C.

Primjer 4. Neka su f1 i f2 realne funkcije realne varijable zadane formulama

f1(x) =x2 − 4

x− 2, f2(x) = x+ 2. Tada je f1 6= f2, jer D(f1) = R \ {2} i D(f2) = R.

Primjer 5. Ako su si : N → R, i = 1, 2, zadane s s1(n) =n(n + 1)

2i s2(n) =

1 + 2 + · · ·+ n tada je s1 = s2 (dokaz matematickom indukcijom).

Neka je f : D → K, A ⊆ D. Funkcija g : A → K zadana sa f(x) = g(x), ∀x ∈ A, zove

se restrikcija ili ogranicenje funkcije f na skup A. Oznaka: g = f |A.

D Kf

A

f=g

f=g

Primjer 6. Neka je s : R → R zadana sa s(x) =x(x+ 1)

2. Tada je s|N = s1 = s2

(pri cemu su s1, s2 funkcije iz Primjera 5.).

Zadatak 1. Odredite slike i praslike skupova S1 i S2 obzirom na funkciju f ako je

a) f : Z → N, f(n) = n2, S1 = {1, 4}, S2 = {5}b) f : R → R, f(x) = −x2 + 3, S1 = {1, 3}, S2 = 〈−1, 1].

3

Zadatak 2. Zadana je funkcija f : C → C, f(z) = 2z−1+i. Odredite skupove f({2−i, 1}),f−1({3− i, 4i}).

3.2 Kompozicija funkcija

Neka su f : A → B i g : C → D dvije funkcije. Ako je R(f) = f(A) ⊆ C tada je

jedinstveno odredena funkcija h : A → D takva da je h(x) = g(f(x)) = (g ◦ f)(x) kojuzovemo kompozicija funkcija f i g.

Primjer 5. f : R → R, f(x) = 3x + 1; g : R → R, g(x) = x2 =⇒ g ◦ f, f ◦ g :

R → R, (g ◦ f)(x) = 9x2 + 6x+ 1, (f ◦ g)(x) = 3x2 + 1.

Svojstva kompozicije funkcija:

(i) nije komutativna: f ◦ g 6= g ◦ f ,

(ii) asocijativna je: f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h

Napomena 1. R+ := 〈0,+∞〉, R+

0 := [0,+∞〉, R− := 〈−∞, 0〉, R−

0 := 〈−∞, 0]

Zadatak 3. Odredite g ◦ f i f ◦ g ako su funkcije f i g

a) f : R → R, f(x) = x4; g : R+

0 → R, g(x) =√x,

b) f : R → R, f(x) = 4− x2; g : R+ → R, g(x) = ln x,

c) f : N → Z, f(n) = −2n; g : Z → Z, g(n) = n2 − 7,

d) f : R → R, f(x) = |x − 1| + 1; g : R → R, g(x) = 2 − |x|. Odredite i prasliku skupa

{2, 3} s obzirom na funkciju f ◦ g, tj. skup (f ◦ g)−1({2, 3}).

Zadatak 4. Dane su funkcije f, g : R → R: f(x) = ax+ b, g(x) = cx+ d, a, b, c, d ∈ R. Uz

koji uvjet funkcije f i g komutiraju (u smislu komponiranja funkcija)?

3.3 Surjekcija, injekcija i bijekcija

Za funkciju f : D → K kazemo da je surjekcija ako ∀y ∈ K postoji barem jedan

x ∈ D takav da je f(x) = y, tj. ako je slika domene cijela kodomena (R(f) = K).

4

Za funkciju f : D → K kazemo da je injekcija ako razlicite elemente domene preslikava

u razlicite elemente kodomene:

∀x1, x2 ∈ D, (x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2))

⇐⇒ ∀x1, x2 ∈ D, (f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2).

Za funkciju f : D → K kazemo da je bijekcija (obostrano jednoznacno preslikavanje,

1 na 1 korespodencija) ako je i surjekcija i injekcija.

Primjer 6. Ispitajte injektivnost, surjektivnost i bijektivnost sljedeih funkcija:

a)

D K

f

a

c

b

d

e

f

f

b)

D K

f

a

c

b

d

e

f

f

f

5

c)

D K

a

b

d

e

f

f f

Zadatak 5. Odredite sve funkcije f : A → A i ispitajte njihovu injektivnost, surjektivnost

i bijektivnost ako je

a) A = {1, 2};

b) A = {1, 2, 3}.

Zadatak 6. Pokazite (kontrapozicijom) da je f : N \ {1} → Q definirana formulom f(n) =n+ 1

n− 1injekcija.

Zadatak 7. Dokazite tvrdnje:

a) kompozicija surjekcija je surjekcija;

b) kompozicija injekcija je injekcija;

c) kompozicija bijekcija je bijekcija.

Zadatak 8. Dane su funkcije f : X → Y i g : Y → Z. Dokazite sljedece tvrdnje:

a) Ako je kompozicija g ◦ f surjekcija, onda je i g surjekcija. Mora li i f biti surjekcija?

b) Ako je kompozicija g ◦ f injekcija, onda je i f injekcija. Mora li i g biti injekcija?

6

3.4 Inverzna funkcija

Neka su f : D → K i g : K → D funkcije. Ako vrijedi:

a) (f ◦ g) = 1K

b) (g ◦ f) = 1D

tada se funkcija g naziva inverznom funkcijom funkcije f i oznacava sa g = f−1.

Svaka bijekcija f : D → K ima inverznu funkciju definiranu na K s vrijednostima u

D.

Graf inverzne funkcije f−1 simetrican je grafu funkcije f obzirom na pravac y = x.

Racunanje inverzne funkcije:

1. Jednadzbu y = f(x) rijesimo po nepoznanici (varijabli) x.

2. Ako postoji jedinstveno rjesenje te jednadzbe, onda f ima inverznu funkciju.

3. Ako rjesenje postoji, ali nije jedinstveno, onda funkcija f nije injekcija, pa nema

inverznu funkciju. (Npr. f(x) = x2, f : R → [0,+∞〉.)

Zadatak 9. Pokazite da je funkcija f bijekcija i odredite joj inverznu funkciju ako je

a) f : R \ {5} → R \ {3}, f(x) = 3x

x− 5,

b) f : R−

0 → R+

0 , f(x) = x2.

Zadatak 10. Neka je f zadana s f(x) =ex − e−x

ex + e−x, f : R → R(f). Odredite skup R(f).

Dokazite da je f bijekcija i odredite joj inverznu funkciju.

Zadatak 11. Odredite inverzne funkcije sljedecih funkcija

a) f(x) =3 · 2x + 1

2x − 5

b) f(x) = 4

√

2x− 5

3x− 7

c) f(x) = log42− x

x+ 4

7

3.5 Ekvipotentni skupovi

Kazemo da su skupovi S i T ekvipotentni, odnosno da imaju isti kardinalni broj, ako

postoji barem jedna bijekcija sa skupa S u skup T . Oznaka: S ∼ T ili k(S) = k(T ).

Primjer 1. 1. {1, 3, 5} ∼ {12, 200, 1035},

2. {1, 2, 3 . . .} ∼ {2, 4, 6, . . .}.

Zadatak 12. Dokazite da je k(Z) = k(N).

Zadatak 13. Dokazite da su svi zatvoreni segmenti realnih brojeva medusobno ekvipo-

tentni.

Zadatak 14. Zadana je funkcija

f : 〈0, 1〉 → R+, f(x) =1

x− 1.

a) Dokazite da je f bijekcija.

b) Sto iz toga zakljucujemo o kardinalnosti skupova 〈0, 1〉 i R+ ?

8

3.6 Neka svojstva realnih funkcija

Neka je f : D → K funkcija. Ako je D ⊆ R onda kazemo da je f funkcija (jedne) realne

varijable, a ako je K ⊆ R onda kazemo da je f realna funkcija.

3.6.1 Nul-tocke funkcije

Neka je f : D → R funkcija. Kazemo da je x0 ∈ D nul-tocka funkcije f ako vrijedi

f(x0) = 0.

Ako je D ⊆ R, onda graf funkcije f u nul-tocki x0 sijece ili dodiruje x-os.

Zadatak 15. Odredite, ako postoje, nul-tocke sljedecih funkcija:

a) f : R → R, f(x) = x2 + 5,

b) h : R → R, h(x) = x2 − 6x+ 9,

c) l : R → R, l(x) = (x− 3)(x+ 4)(x− 5).

3.6.2 Parnost funkcije

Neka je D ⊆ R takav da (x ∈ D =⇒ −x ∈ D), tj. D je simetrican skup s obzirom na

ishodiste.

Kazemo da je f : D → R parna funkcija ako je

f(−x) = f(x), ∀x ∈ D.

Primjer 1. Sljedece funkcije su parne:

f(x) = |x|, g(x) = x2n, n ∈ N, h(x) = cosx, x ∈ R

Kazemo da je f : D → R neparna funkcija ako je

f(−x) = −f(x), ∀x ∈ D.

Primjer 2. Sljedece funkcije su neparne:

f(x) = x2n−1, n ∈ N, g(x) = sin x, h(x) = tgx, x ∈ R.

Graf parne funkcije simetrican je s obzirom na y-os. Parna funkcija nije injekcija.

9

Graf neparne funkcije simetrican je s obzirom na ishodiste. Ako je 0 ∈ D tada graf

neparne funkcije prolazi kroz ishodiste, tj. f(0) = 0.

Zadatak 16. Ispitajte parnost i neparnost sljedecih realnih funkcija realne varijable

a) f(x) = |x|+ x4,

b) f(x) = x5 − sin x,

c) f(x) =cosx

x3,

d) f(x) = tgx− x5 + 1,

e) f(x) = ln1 + x

1− x,

f) f(x) = 5

√

(x− 1)2 + 5

√

(x+ 1)2.

Zadatak 17. Dokazite da svaku funkciju f : R → R mozemo zapisati kao zbroj parne i

neparne funkcije.

Zadatak 18. Dokazite:

a) Zbroj/razlika parnih funkcija je parna funkcija.

b) Zbroj/razlika neparnih funkcija je neparna funkcija.

Zadatak 19. Dokazite:

a) Umnozak parnih funkcija je parna funkcija.

b) Umnozak neparnih funkcija je parna funkcija.

c) Umnozak parne i neparne funkcije je neparna funkcija.

3.6.3 Konveksnost, konkavnost i tocke infleksije

Neka je D ⊆ R i f : D → R funkcija. Kazemo da je f konveksna na intervalu

〈a, b〉 ⊆ D ako je

f(x1 + x2

2

)

≤ f(x1) + f(x2)

2, ∀x1, x2 ∈ 〈a, b〉.

Ako vrijedi stroga nejednakost, onda je f strogo konveksna.

10

Neka je D ⊆ R i f : D → R funkcija. Kazemo da je f konkavna na intervalu

〈a, b〉 ⊆ D ako je

f(x1 + x2

2

)

≥ f(x1) + f(x2)

2, ∀x1, x2 ∈ 〈a, b〉.

Ako vrijedi stroga nejednakost, onda je f strogo konkavna.

Vrijedi: f je konveksna ⇐⇒ −f je konkavna.

Neka je D ⊆ R i f : D → R funkcija. Kazemo da je c ∈ D tocka infleksije funkcije f

ako postoji δ ∈ R, δ > 0 takav da je f strogo konveksna na 〈c− δ, c〉 i strogo konkavna

na 〈c, c+ δ〉 ili da je f strogo konkavna na 〈c− δ, c〉 i strogo konveksna na 〈c, c+ δ〉.

Zadatak 20. Koristeci definiciju dokazite da je:

a) f : R → R, f(x) = ax2 + bx+ c, a > 0 konveksna na R,

b) g : R → R, g(x) = ax2 + bx+ c, a < 0 konkavna na R,

c) h : R+ → R, h(x) = loga x, a > 1 konkavna na R+,

d) l : R+ → R, l(x) = loga x, a ∈ 〈0, 1〉 konveksna na R+.

Zadatak 21. Dokazite da funkcija f : R → R, f(x) = x3 ima tocno jednu tocku infleksije.

3.6.4 Monotonost funkcije

Neka je D ⊆ R i f : D → R funkcija. Kazemo da je f monotona rastuca na intervalu

〈a, b〉 ⊆ D ako

∀x1, x2 ∈ 〈a, b〉 x1 < x2 =⇒ f(x1) ≤ f(x2).

Ako vrijedi stroga nejednakost, onda je f strogo monotono rastuca.

Neka je D ⊆ R i f : D → R funkcija. Kazemo da je f monotona padajuca na

intervalu 〈a, b〉 ⊆ D ako

∀x1, x2 ∈ 〈a, b〉 x1 < x2 =⇒ f(x1) ≥ f(x2).

Ako vrijedi stroga nejednakost, onda je f strogo monotono padajuca.

Vrijedi: f je monotona rastuca ⇐⇒ −f je monotono padajuca.

Teorem: Ako je f strogo monotona onda je f i injektivna.

11

Zadatak 22. Koristeci definiciju odredite koje su funkcije monotono rastuce/padajuce, a

koje su strogo monotono rastuce/padajuce, ako je zadano:

a) f : R → R, f(x) = −2x+ 5,

b) f : R → R, f(x) = x3,

c) f(x) =

0, x ≤ 0;

1, x > 0.

d) f : R → R, f(x) = x2,

e) f : R+ → R, f(x) =1

x,

f) f(x) =

−x, x ≤ −1;

1, −1 < x < 1;

−x+ 2, x ≥ 1.

3.6.5 Lokalni ekstremi funkcije

Okolina tocke x0 ∈ R je svaki skup koji sadrzi neki otvoreni interval oko x0.

Kazemo da funkcija f : 〈a, b〉 → R u tocki x0 ∈ 〈a, b〉 postize lokalni minimum ako

postoji okolina O(x0) ⊆ 〈a, b〉 tocke x0 takva da je

f(x) ≥ f(x0), ∀x ∈ O(x0).

Ako vrijedi stroga nejednakost, onda govorimo o strogom lokalnom minimumu.

Kazemo da funkcija f : 〈a, b〉 → R u tocki x0 ∈ 〈a, b〉 postize lokalni maksimum ako

postoji okolina O(x0) ⊆ (a, b) tocke x0 takva da je

f(x) ≤ f(x0), ∀x ∈ O(x0).

Ako vrijedi stroga nejednakost, onda govorimo o strogom lokalnom maksimumu.

Lokalne minimume i lokalne maksimume zovemo lokalnim ekstremima funkcije.

Funkcija f : D → R postize globalni minimum u tocki x0 ∈ D ako

f(x) ≥ f(x0), ∀x ∈ D.

Ukoliko za svaki x 6= x0 vrijedi stroga nejednakost, govorimo o strogom globalnom

minimumu (u tom slucaju, on je jedinstven).

12

Funkcija f : D → R postize globalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako

f(x) ≤ f(x0), ∀x ∈ D.

Ukoliko za svaki x 6= x0 vrijedi stroga nejednakost, govorimo o strogom globalnom

maksimumu (u tom slucaju, on je jedinstven).

Zadatak 23. Koristeci definiciju odredite ekstreme sljedecih funkcija, ako je zadano:

a) f : R → R, f(x) = |x| − 3,

b) f : R → R, f(x) =

−x, x ≤ −1;

1, −1 < x < 1;

x, x ≥ 1.

c) f : R → R, f(x) = 3− (x− 2)2.

3.6.6 Ogranicenost, infimum i supremum funkcije

Kazemo da funkcija f : D → R

i) ogranicena odozdo, ako postoji broj m ∈ R takav da je f(x) ≥ m, ∀x ∈ D,

u tom slucaju m zovemo donja ograda (ako postoji jedna donja ograda, postoji

ih i beskonacno mnogo: svaki broj koji je manji od m)

ii) ogranicena odozgo, ako postoji broj M ∈ R takav da je f(x) ≤ M, ∀x ∈ D,

u tom slucajuM zovemo gornja ograda (ako postoji jedna gornja ograda, postoji

ih i beskonacno mnogo: svaki broj koji je veci od M)

iii) ogranicena, ako je ogranicena odozdo i odozgo.

Funkcija f je ogranicena ako i samo ako joj je ogranicen skup vrijednosti, tj. ako joj

je slika ogranicen skup.

Ako je funkcija f : D → R

a) ogranicena odozdo, onda njenu najvecu donju ogradu zovemo infimum funkcije,

i oznacavamo infD

f,

b) ogranicena odozgo, onda njenu najmanju gornju ogradu zovemo supremum funk-

cije, i oznacavamo supD

f.

Vrijedi

13

1. infD

f = inf{f(x) : x ∈ D}

2. supD

f = sup{f(x) : x ∈ D}

3. Ako postoji x0 ∈ D takav da je f(x0) = infD

f, onda je x0 tocka globalnog mini-

muma.

4. Ako postoji x0 ∈ D takav da je f(x0) = supD

f, onda je x0 tocka globalnog maksi-

muma.

Zadatak 24. Provjerite ogranicenost sljedecih funkcija

a) f : R → R, f(x) = ex,

b) f : R−

0 → R, f(x) = ex,

c) f : R → R, f(x) = 2− e−x,

d) f : R → R, f(x) = 3 sin x,

e) f : R → R, f(x) = (x− 5)2,

f) f : R → R, f(x) = −x2 + 4,

g) f : R → R, f(x) = 3x+ 10,

h) f : [0, 3] → R, f(x) = 3x+ 10,

3.6.7 Periodicnost

Neka je D ⊆ R i f : D → R funkcija. Kazemo da je f periodicna ako postoji

T ∈ R, T > 0 takav da je

1. ∀x ∈ D =⇒ x+ T ∈ D,

2. f(x+ T ) = f(x), ∀x ∈ D.

Najmanji broj T, ako postoji, za koji vrijedi gornje svojstvo zovemo temeljni period

funkcije f.

Zadatak 25. Ispitajte periodicnost sljedecih funkcija

a) f : R → R, f(x) = cosx

4,

b) f : R+

0 → R, f(x) = cos√x+ cos

√2x,

14

c) f : R → R, f(x) = A1 sinω1x+ A2 cosω2x, A1, A2, ω1, ω2 ∈ R.

d) f : R → R, f(x) = x sin x.

Zadatak 26. Neka je a ∈ R+. Neka je f realna funkcija za koju vrijedi

f(x) =1 + f(x− a)

1− f(x− a), ∀x ∈ Df .

Dokazite da je f periodicna s periodom T = 4a.

Zadatak 27. Zadana je funkcija f : R → R. Neka je T ∈ R+ takav da je

f(x+ T ) + f(x) = 0, ∀x ∈ R.

Dokazite da je f periodicna.

Zadatak 28. Dokazite da je funkcija f : Df → R, f(x) =

√

log3 cos2πx√2

periodicna s

periodom T =√2.

15