Vấn đề 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢNI. Toạ độ vect ơ : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy:

1) = (a1; a2) <=> = a1 +a2

2) Cho = (a1; a2), = (b1; b2). Ta có:

= (a1 b1; a2 b2)3) Cho = (a1; a2), = (b1; b2). Ta có:

. = a1b1 + a2b2

= ; cos( , ) =

II. Toạ độ điểm: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy

1)

2) Cho A(xA; yA), B(xB; yB). Ta có:= (xB-xA; yB-yA)

và AB =

3) Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ) thì

Đặc biệt khi M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì

Nếu G là trọng tâm ABC thì

III. Liên hệ giữa toạ độ hai vect ơ vuông góc, cùng ph ươ ng :Cho = (a1; a2), = (b1; b2). Ta có:1) <=> . = 0 <=> a1b1 + a2b2 = 0

2) cùng phương với <=> a1b2 - a2b1 = 0

3) Ba điểm A, B, C khi và chỉ khi cùng phương

Nhắc lại:1. Trọng tâm của một tam giác là giao điiểm của 3 đường trung tuyến. Trọng tâm chia mỗi trung tuyến của tam giác làm 2 phần 3 kể từ đỉnh.2. Trực tâm của một tam giác là giao điểm của 3 đường cao.

H(x; y) là trực tâm của tam giác ABC

3. Tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác là giao điểm của 3 đường trung trực của 3 cạnh của tam giác đó.

I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Hoặc với d1, d2 là trung trực của hai cạnh của tam giác ABC

4. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường phân giác trong của tam giác đó5. Cho tam giác ABC có phân giác trong AD và phân giác ngoài AE thì

Chú ý:a) Nếu tam giác ABC đều thì tâm đường tròn nội, ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm của tam giác trùng nhau.b) Nếu tam giác ABC cân thì tại đỉnh cân, trung tuyến, đường cao, trung trực, phân giác trong của tam giác trùng nhau

Vấn đề 2: ĐƯỜNG THẲNGA. CÁC KIẾN THỨC C Ơ BẢN I. PH ƯƠ NG TRÌNH Đ Ư ỜNG THẲNG 1) Đường thẳng d đi qua 1 điểm cho trước và có vectơ pháp tuyến cho trước

2) Đường thẳng d đi qua 1 điểm cho trước và có vectơ pháp tuyến cho trước

(t )

Và phương trình chính tắc là =

3) Phương trình đường thẳng d qua 2 điểm A và B với là

4) Đường thẳng d đi qua điểm và vuông góc với đt : Ax + By+ C = 0

- d vuông góc với : Ax + By + C = 0 nên pt d có dạng: – Bx + Ay + C’ = 0

-

5) Đường thẳng d đi qua điểm M0(x0; y0) và song song với : Ax + By+ C = 0- d song song với : Ax + By+ C = 0 nên pt d có dạng: Ax + By + C’ = 0 (C’ )

-

6) Phương trình đường thẳng d đi qua là (PT đoạn chắn).

7) Ph ươ ng trình đ ư ờng phân giác: Cho hai đường thẳng cắt nhau(1): A1x + B1y + C1 = 0 (2): A2x + B2y + C2 = 0

Phương trình hai đường phân giác của các góc hợp bởi (1) và (2) là:

=

8) Đt d đi qua điểm M0(x0; y0) và tạo với đt : Ax + By+ C = 0 một góc

Gọi là vtpt của đt d thì pt d có dạng

d tạo với một góc nên

9) Đt d đi qua điểm M0(x0; y0) và cách điểm N một khoảng cho trước

Gọi là vtpt của đt d thì pt d có dạng

d cách điểm Nmột khoảng k nên

II.VỊ TRÍ T ƯƠ NG ĐỐI CỦA 2 Đ Ư ỜNG THẲNG : Cho 2 đường thẳng:(1): A1x + B1y + C1 = 0 (1)(2): A2x + B2y + C2 = 0 (2)

Toạ độ giao điểm của (1) và (2), nếu có là nghiệm của hệ (1) và (2)Ta có kết quả sau:

- Nếu thì (1) cắt (2)

- Nếu = thì (1) // (2)

- Nếu = = thì (1) (2)

Ghi chú: (1) (2) <=> A1A2 + B1B2 = 0III. GÓC GIỮA HAI Đ Ư ỜNG THẲNG - KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN MỘT Đ Ư ỜNG THẲNG :

1. Góc giữa hai đ ư ờng thẳng :Cho 2 đường thẳng (1) và (2) cắt nhau, lần lượt có các vectơ pháp tuyến là và

Gọi là góc hợp bởi (1) và (2), ta có: cos = (0 900)

2. Khoảng cách từ một điểm đến một đ ư ờng thẳng : a) Định lý: Khoảng cách từ 1 điểm M0(x0; y0) đến đường thẳng (): Ax + By + C = 0 được

cho bởi:

d(M0; ) =

b) Ph ươ ng trình đ ư ờng phân giác: Cho hai đường thẳng cắt nhau

(1): A1x + B1y + C1 = 0 (2): A2x + B2y + C2 = 0

Phương trình hai đường phân giác của các góc hợp bởi (1) và (2) là:

=

Lưu ý:1. Tìm một số x dạng toán lập pt ẩn số x và giải.2. Tìm hai số x, y dạng toán lập pt 2 ẩn số x và y rồi giải.3. Tìm tọa độ điểm A(x; y) dạng toán lập pt 2 ẩn số x và y rồi giải.

Cho d: y = f(x); d’: y = g(x)

Nếu A = d d’ thì tọa độ cuả A là nghiệm của hệ

4. Phương pháp loại bớt ẩn số khi lập phường trình

TH1: (đã loại bớt ẩn y của điểm A)

TH2: M là trung điểm của AB và nếu biết tọa độ của điểm A và điểm M thì có thể tính được tọa độ của điểm B theo tọa độ của A và M. VD A(a; b); M(c; d) thì B(2c-a; 2d-b)TH3: G là trọng tâm của tam giác ABC thì tọa độ điểm B có thể tính theo tọa độ các điểm A, C và G.

5. Phương pháp khai thác gỉa thiết khi btoán cho đường phân giác trong của một góc của một tam giác: Cho tam giác ABC có phân giác trong góc A là At, nếu từ B kẻ By vuông góc với At và cắt AC tại B’ thì tam giác ABB’ cân tại A. Từ đó nếu biết được pt At và tọa độ điểm B thì tính được tọa độ điểm B’ thuộc đường thẳng AC như sau:

B1: Viết pt đt By:

B2: Tìm tọa độ B3: cân tại A nên I là trung điểm của đoạn BB’. Biết tọa độ điểm B và điểm I ta

suy ra tọa độ điểm B’.

Vấn đề 3: ĐƯỜNG TRÒNI. Ph ươ ng trình đ ư ờng tròn

1. Định lý 1: Phương trình đường tròn (C) có tâm I(a; b) bán kính R trong hệ toạ độ Oxy là: (x-a)2 + (y-b)2 = R2

2. Định lý 2: Phương trình x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 với A2 + B2 – C > 0 là phương trình đường tròn tâm I(-A;-B), bán kính R =

* Lưu ý: Nếu điểm M cách điểm I cố định một khoảng không đổi R thì M nằm trên đ tròn tâm I bk R (suy từ đn).II. Vị Trí t ươ ng đối giữa đ ư ờng thẳng và đ ư ờng tròn

Cho đường thẳng () và đường tròn (C) có tâm I và bán kính RGọi d là khoảng cách từ I đến đường thẳng ()

Nếu d > R thì () và (C) không có điểm chung. Nếu d = R thì () và (C) có một điểm chung duy nhất. Khi đó () gọi là tiếp tuyến

của đường tròn (C) và điểm chung gọi là tiếp điểm. Nếu d < R thì () và (C) có hai điểm chung.

III. Ph ươ ng tích, trục đẳng ph ươ ng :

1. Ph ươ ng tích :Cho đường tròn (C): F (x;y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 và điểm M0(x0; y0). Ta có:

PM0/(C) = F(x0; y0) = 2Axo + 2Byo + C.2. Trục đẳng ph ươ ng : Cho hai đường tròn không đồng tâm (C1) và (C2) có phương trình:(C1): x2 + y2 +2A1x +2B1y +C1 = 0(C2): x2 + y2 +2A2x +2B2y +C2 = 0Phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn (C1) và (C2) là:2 (A1 –A2)x + 2(B1- B2)y + C1 –C2 = 0

IV. Tính chất của tiếp tuyến của đường tròn:- Tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.- Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến tiếp tuyến bằng bán kính.

Lưu ý: Tiếp tuyến của một đường tròn cũng là một đường thẳng nên bài toán viết pt tiếp tuyến chính là bài toán viết pt đường thẳng.

Vấn đề 4: ELIP VÀ HYPEBOLELIP HYPEBOL1) Định nghĩa:(E) = F1F2 = 2c, a > c2) Ph ươ ng trình chính tắc :

= 1 với b2 = a2 – c2

3) Hình dạng và các yếu tố:

Cho elip (E): = 1

a) Hình dạng:

b) Các yếu tố: A1A2 = 2a: trục lớn B1B2 = 2b: trục nhỏ Các đỉnh: A1(-a; 0),A2(a; ),B1(0; -b),B2(0; b) Các tiêu điểm: F1(-c; 0), F2(c; 0) Tiêu cự: F1F2 = 2c Bán kính qua tiêu của điểm M :

1) Định nghĩa:(H) = F1F2 = 2c, c > a2) Ph ươ ng trình chính tắc :

= 1 với b2 = c2 – a2

3) Hình dạng và các yếu tố

Cho Hypebol (H): = 1

a) Hình dạng:

b) Các yếu tố A1A2 = 2a: trục thực B1B2 = 2b: trục ảo Các đỉnh:A1(-a; 0), A2(a; 0) Các tiêu điểm: F1(-c; 0), F2(c; 0) Tiêu cự: F1F2 = 2c

Bán kính qua tiêu của điểm M

Tâm sai: e =

Phương trình đường chuẩn:

(1): x = - ; (2): x =

4) Ph ươ ng trình tiếp tuyến :

Cho elip (E): = 1

a) Phương trình tiếp tuyến của (E) tại Mo(xo;yo)

(E) có dạng:

b) Đường thẳng (): Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của (E) <=> A2 a2 + B2 b2 = C2

+ xM > 0 :

+ xM < 0 :

Tâm sai: e =

Phương trình đường chuẩn:

(1): x = - ; (2): x =

Phương trình tiệm cận:

(d1): y = - ; (d2): y =

4) Ph ươ ng trình tiếp tuyến :

Cho Hypebol (H): = 1

a) Phương trình tiếp tuyến của (H) tại Mo(xo;yo)

(H) có dạng:

b) Đường thẳng (): Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của (H) <=> A2 a2 - B2 b2 = C2

Vấn đề 5: PARABOLI. Định nghĩa:

Trong mặt phẳng cho đường thẳng () cố định và điểm F cố định không thuộc . Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho M cách đều () và F được gọi là một parabol

F gọi là tiêu điểm () gọi là đường chuẩn của parabol Khoảng cách p từ tiêu điểm đến đường chuẩn gọi là tham số tiêu của parabol Với M (P); MF gọi là bán kính qua tiêu của điểm M.

II. Ph ươ ng trình chính tắc :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) như trong định nghĩa, trong đó chọn F( ; 0)

và (): x = -

Phương trình chính tắc của parabol (P) là: y2 = 2pxIII. Hình dạng và các yếu tố: Cho Parabol (P): y2 = 2px

1) Hình dạng:

2) Các yếu tố: O(0;0) là đỉnh của parabol Ox là trục đối xứng của parabol

Bán kính qua tiêu của điểm M (P): MF = + xM

IV: Ph ươ ng trình tiếp t uy ến : Cho parabol (P): y2 = 2pxa) Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M0(x0; y0) (P) là y0y = p(x0+x)b) Đường thẳng (): Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của (P) <=> pB2 = 2AC

Vấn đề 6: MỘT SỐ VÍ DỤVD1: Trong mpOxy cho tam giác ABC, A(-1; 2), trung tuyến CM: 5x + 7y -20 = 0, đường cao BK: 5x – 2y - 4 = 0. Viết phương trình các cạnh AC và CB.Giải:

M

A

B C

K

Tọa độ điểm C:

Tọa độ điểm B:

M là trung điểm của AB

Phương trình BC:

VD2: Trong mpOxy cho tam giác ABC, A(1; 2), B(2; 7). Tìm tọa độ điểm C biết độ dài đường cao hạ từ A bằng 1, và C thuộc đường thẳng y – 3 = 0.Giải:

A

B CH

Nếu c=2 thì B và C cùng nằm trên đường thẳng x=2 nên phương trình BClà: x – 2 =0

Khi đó . Vậy C(2; 3)

Nếu c thì phương trình BC là:

Khi đó

Vậy: C(2; 3) hoặc

VD3: Trong mpOxy cho tam giác ABC, trực tâm H(1; -1), E(-1; 2) là trung điểm của AC, BC: 2x – y + 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.Giải:

H

A

B C

VD4: Trong mpOxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và cắt đường tròn (C): x2 + y2 +2x + 6y – 15 = 0 tạo thành một dây cung có độ dài bằng 8.Giải:

x

y

H

O

I

1

B

A

(C) có tâm I(-1; -3), bán kính R = 5. Dựa trên hình vẽ, ta thấy đường thẳng x = 0 (trục tung) không thỏa yêu cầu bài toán. Nên đường thẳng d đi qua gốc tọa độ, cắt (C) tại 2 điểm A, B với AB = 8. Gọi H là

trung điểm của AB thì HA = 4 và IH = d(I; d) = 3 Phương trình d có dạng y = ax

Vậy:

VD5: Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(1 ; 0), B(-2 ; 4), C(-1 ; 4), D(3 ; 5) và đường thẳng d: 3x – y – 5 = 0. Tìm M trên (d) sao cho hai tam giác MAB và MCD có diện tích bằng nhau.Giải:Lấy M( a; 3a -5 ) thuộc (d). Ta có suy ra AB = 5 và pt AB: 4x + 3y - 4 = 0.

suy ra CD = và pt CD: x – 4y – 17 = 0.

Mặt khác d(M;AB) và d(M;CD)

Theo giả thiết diện tích hai tam giác MAB và MCD có diện tích bằng nhau thì

Vậy trên (d) có hai điểm M thỏa mãn đề bài là:

VD6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C) và (C’) cùng đi qua M(1 ; 0). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn

lần lượt tại A, B sao cho MA = 2MB.Giải:

Gọi (d) là đường thẳng qua M có vtcp

Đường tròn (C) có tâm I(1 ; 1), R = 1. (C’) có tâm I’(-2 ; 0) và R’=3 suy ra pt của (C) và (C’) được viết lại (C)

Nếu d cắt (C) tại A thì

Nếu d cắt (C’) tại B thì .

Theo giả thiết MA = 2MB lúc đó

VD7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(2 ; -1), B(1 ; -2) trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Tìm tọa độ dỉnh C của tam giác biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5. Giải:

Ta có M là trung điểm AB nên M . Gọi C (a; b) ta có:

Vì G thuộc d:

Ta có

Theo giải thiết:

Kết hợp với (1) ta có:

VD8: Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm M(2 ; 4) và đường tròn . Viết phương trình đường thẳng qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB.Giải:Ta có: suy ra I(1 ; 3), R = 2, PM/(C) = 1+1-4 = -2 < 0 nên M nằm trong hình tròn (C).

Gọi d là đường thẳng qua M(2 ; 4) có VTCP .

Nếu d cắt (C) tại hai điểm A, B thì có hai nghiệm t. vì vậy điều kiện với mọi a, b.Gọi A(2 + at ; a + bt’), B(2 + at ; 4 + bt’) suy ra M là trung điểm AB thì ta có hệ

Thay vào (1) và áp dụng Viet ta có:

VD9: Trong mp Oxy cho hai đường thẳng (d) 4x – 3y -12 = 0 và (d’): 4x +3y -12 = 0. Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d), (d’) và trục Oy.Giải:Gọi A là giao điểm của d và d’ lúc đó A(3;0) thuộc Ox.Vì BC thuộc Oy nên gọi B là giao điểm của d’ và Oy thì B(0 ; -4) và C là giao điểm của d’ và Oy thì C(0 ; 4). Suy ra B, C đối xứng nhau qua Ox.Từ đó suy ra ABC là tam giác cân tại A suy ra tâm I đường tròn nội tiếp tam giác thuộc Ox suy ra I(a ; 0)Theo tc phân giác trong:

Suy ra Và

Vd10: Trong mp Oxy cho đường thẳng (d)có phương trình x – 2y - 2 = 0 và hai điểm A(-1 ; 2); B(3 ; 4). Tìm M thuộc (d) sao cho có giá trị nhỏ nhất.Giải:

Và min f(t) =

*Lưu ý: Một bài toán có thể có nhiều cách giải, các em đọc hiểu và suy nghĩ, biết đâu các em có thể tìm ra được cách giải hay hơn.

Vấn đề 7: BÀI TẬP Bài 1: Trong mp tọa độ Oxy, xét tam giác ABC vuông tại A, BC: , các đỉnh A, B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 2. tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

ĐS:

Bài 2: Trong mp tọa độ Oxy, xét tam giác ABC có A(5 ; 2). Phương trình đường trung trự cạnh BC và trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x –y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.ĐS: B(37 ; 88), C(-20 ; -31).Bài 3: mp tọa độ Oxy, xét tam giác ABC có A(2 ; 3), trọng tâm G(2 ; 0). Hai đỉnh B, C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d: x + y + 5 = 0 và d’: x +2y – 7 = 0. viết phường trình đường tròn tâm C tiếp xúc với BG.ĐS: (C): (x – 5)2 + (y - 1)2 = 169/25

Bài 4: Cho đường tròn (C): . Viết phương trình đường tròn (C’) có tâm M(5 ; 1) và cắt (C) tại hai điểm A; B sao cho ĐS: (x – 5)2 + (y - 1)2 = 13.Bài 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng d: x – y – 3 = 0 và d’: x + y - 6 = 0. Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d và Ox. Tìm toạ đọ các đỉnh của hình chữ nhật.ĐS: A(2 ; 1), B(11; 4) , C(7 ; 2), D(4 ; -1)Hoặc A(4 ; -1), B(13 ; 2), C(5 ; 4), D(2 ;1) Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD có I(6 ; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1 ; 5) thuộc đường thẳng AB. Trung điểm E của cạnh CD nằm trên đường thẳng x + y -5 = 0. Viết phương trình cạnh AB.ĐS: y = 5 hoặc x – 4y + 19 = 0.Bài 7: Cho (E) : 4x2 + 9y2 = 36 a) Xác định tiêu điểm , độ dài các trục . b) Một đường thẳng thay đổi d : y = x + m . Định m để d cắt (E) tại hai điểm P, Q . c) Tìm tọa độ trung điểm I của PQ . Chứng tỏ I di động trên một đoạn cố định khi d thay đổi . HD: b)

c) I di động trên đường thẳng có pt với

Bài 8: Trong mp tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d: x – y = 0 và d’: 2x + y – 1 = 0. tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết A thuộc d và C thuộc d’, còn B, D thuộc trục hoành.ĐS: A(1;1), C (1;-1), B (0;0) D(2;0) hoặc A(1;1), C (1;-1), B(2 ;0), D(0;0).Bài 9: Cho đường tròn tâm O , bán kính 1 . Gọi A và A’ là hai điểm trên đường tròn có hoành độ là – 1, 1 . Đường thẳng di động x = m ( m ≠ 0, ± 1) cắt đường tròn tại M và M’ ( M có tung độ dương) . a) Tìm tọa độ M và M’. b) Viết phương trình đường thẳng AM và A’M’ . Chứng minh giao điểm của AM và A’M’ di động trên một hypebol cố định. ĐS: a) M

b)

M thuộc hyperbpl x2 – y2 = 1.Bài 9: Cho hình thoi ABCD có A(- 2; 3) , B(1 ; - 1) và diện tích 20 . a) Tính đường cao hình thoi và phương trình cạnh AB . b) Tìm tọa độ điểm D biết nó có hoành độ dương . ĐS: a) h = 4, AB: 4x + 3y – 1 = 0

b) D(3 ; 3)Bài 10: Trong mp tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C): x2 + y2 = 13 và (C’) (x-6)2 + y2 =25 cắt nhau tại A(2; 3). Viết phương trình đương thẳng qua A cắt (C) và (C’) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.ĐS: d: x – 2 =0 và d’: 2x – 3y + 5 = 0.

**************** Chúc các em học tốt **************