1/4

Tr−êng thpt l−¬ng thÕ vinh Hµ néi

Năm học 2014 – 2015

®¸p ¸n – thang ®iÓm ®Ò thi thö thpt quèc gia n¨m 2015

M«n thi: To¸n M«n thi: To¸n M«n thi: To¸n M«n thi: To¸n – LÇn thø 1 LÇn thø 1 LÇn thø 1 LÇn thø 1 --------------- ðáp án có 04 trang --------------

Câu ðáp án ðiểm

a) (1,0 ñiểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số 4 22 1y x x= − +

Tập xác ñịnh: D = R . lim ; limx x

y y→−∞ →+∞

= +∞ = +∞

ðạo hàm: 3' 4 4y x x= − ; ' 0 0y x= ⇔ = hoặc 1x = ± . 0,25

Các khoảng ñồng biến: ( ) ( )1;0 ; 1;− +∞ . Khoảng nghịch biến: ( ) ( ); 1 ; 0;1−∞ −

Cực trị: Hàm số ñạt cực tiểu tại 1x = ± , 0CTy = ; ñạt cực ñại tại 0x = , yCð = 1. 0,25

Bảng biến thiên: x −∞ -1 0 1 +∞ y' - 0 + 0 - 0 + y +∞ 1 +∞

0 0

0,25

ðồ thị: (Hs có thể lấy thêm ñiểm ( 2;9); (2;9)− ) 0,25 b) (1,0 ñiểm) Tìm m ñể ñồ thị (1) cắt trục hoành tại bốn ñiểm phân biệt có hoành ñộ nhỏ hơn 2.

Phương trình hoành ñộ giao ñiểm ( )4 23 2 0x m x m+ − + − = (1)

ðặt ( )2 20 3 2 0t x t m t m= ≥ ⇒ + − + − = (2) 0,25

ðể (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có 2 nghiệm dương phân biệt 0, 0, 0S P⇔ ∆ > > > 2; 1m m⇔ < ≠ .

0,25

ðiều kiện: Phương trình (2) phải có nghiệm thỏa mãn ñiều kiện 1 20 , 4t t< <

Phương trình (2) có 1 1t = (thỏa mãn), 2 2t m= − 0,25

1 (2,0ñ)

ðiều kiện: 2 4 2m m− < ⇔ > − ðáp số: 2 2, 1m m− < < ≠ .

0,25

a) (0,5 ñiểm) Giải phương trình 2 23cos sin 1 cos sin 2 sinx x x x x+ − = + − .

Phương trình ñã cho tương ñương với 22cos cos sin 2sin cos 0x x x x x− + − =

( )( )2cos 1 cos sin 0x x x⇔ − − = 0,25

• ( )cos sin 0 tan 1 ,4

x x x x k kπ

π− = ⇔ = ⇔ = + ∈ℤ

• 1

2cos 1 0 cos 2 ,2 3

x x x k kπ

π− = ⇔ = ⇔ = ± + ∈ℤ

Vậy phương trình ñã cho có nghiệm: , 2 ,4 3

x k x k kπ π

π π= + = ± + ∈ℤ .

0,25

b) (0,5 ñiểm) Giải phương trình ( )327 33

1log log ( 2) 1 log 4 3

2x x x+ + = + −

2 (1,0ñ)

ðiều kiện: 4

03

x< < . Phương trình ñã cho tương ñương với

( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3log log 2 log 3 log 4 3 log 2 log 3 4 3x x x x x x+ + = + − ⇔ + = − 0,25

www.VNM

ATH.com

2/4

( ) ( ) 2 1( )2 3 4 3 11 12 0

12( )

x tmx x x x x

x L

=⇔ + = − ⇔ + − = ⇔ = −

ðáp số: 1x = .

0,25

Tính tích phân 2

1

1ln .

e xI xdx

x

+= ∫

21 1

1 1ln ln

e e

I xdx xdx A Bx x

= + = +∫ ∫

1 1

1ln ln (ln )

e e

A xdx xd xx

= =∫ ∫

0,25

21 1ln

12 2

eA x= = . 0,25

21

1ln ;

e

B xdxx

= ∫ ðặt 2

1 1 1ln ' ; 'u x u v v

x x x= ⇒ = = ⇒ = −

21

1 1 1 1ln ln

1 1 1

ee e eB x dx x

x x x x= − + = − −∫

0,25

3 (1,0ñ)

1 1 2 21 1

eB

e e e e

− = − − − = − + =

1 2 3 4

2 2

e eI A B

e e

− −= + = + = . ( 0,764)I ∼ (Hs cũng có thể tính ngay

2

1ln ; '

xu x v

x

+= = )

0,25

a) (0,5 ñiểm) Cho ( ) 12 5

1

ii z i

i

−+ + = −

+. Tìm môñun của số phức 21w z z= + + .

Phương trình ñã cho tương ñương với ( )2 5i z+ =5

22

z ii

⇔ = = −+

0,25

Từ ñó 21 6 5w z z i= + + = − . Suy ra | | 36 25 61w = + = . 0,25

b) (0,5 ñiểm) Tính xác suất có ít nhất 1 quả tốt

Gọi A là biến cố “Có ít nhất 1 quả tốt”, suy ra A là biến cố: “Cả 2 quả ñều hỏng” Số biến cố ñồng khả năng: 10.8 = 80

Số cách chọn 2 quả hỏng: 1 14 3. 4.3 12C C = =

0,25

4 (1,0ñ)

Xác suất của biến cố A là: ( ) 12 3

80 20p A = =

Suy ra, xác suất của biến cố A là: ( ) ( ) 31 1

20p A p A= − = − =

17

20.

0,25

Cho (1; 1;2), (3;0; 4)A B− − , ( ) : 2 2 5 0P x y z− + − = 5 (1,0ñ)

ðường thẳng AB ñi qua ñiểm A và có vtcp ( )2;1; 6AB = −����

Phương trình tham số của AB là

1 2

1 ( )

2 6

x t

y t t

z t

= +

= − + ∈ = −

R . 0,25

www.VNM

ATH.com

3/4

Gọi ( )( ) 1 2 ; 1 ;2 6I AB P I AB I t t t= ∩ ⇒ ∈ ⇒ + − + −

1( ) (1 2 ) 2( 1 6 ) 2(2 6 ) 5 0

6I P t t t t∈ ⇒ + − − + + − − = ⇒ =

Suy ra tọa ñộ giao ñiểm của AB và ( )P là ñiểm 4 5

; ;13 6

I −

.

0,25

Mặt phẳng ( )Q qua A và có vtpt ,Q Pn AB n = ��� ���� ���

, trong ñó Pn���

là vtpt của ( )P

Ta có ( )1; 2;2Pn = −���

0,25

Suy ra ( ), 10;10;5PAB n = ���� ���

. Chọn ( )2;2;1Qn =���

Phương trình mặt phẳng ( ) : 2( 1) 2( 1) 1( 2) 0Q x y z− + + + − = ⇔ 2 2 2 0x y z+ + − = . 0,25

Cho hình chóp .S ABCD có ñáy là hình chữ nhật, , 2AB a AD a= = ...

Gọi H là trung ñiểm của ( )AB SH AB SH ABCD⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ,

suy ra HC là hình chiếu của SC lên ( ) � 045ABCD SCH⇒ = . 22ABCDS a=

0,25

22 17

44 2

a aSH HC a= = + =

2.

1 1 17. . . .2

3 3 2S ABCD ABCD

aV SH S a= = =

3 17

3

a.

0,25

( ) ( ) ( ) ( )1 1,( ) ,( ) ,( ) ,( )

2 2d M SAC d D SAC d B SAC d H SAC= = =

Kẻ ( ), ( ) ,( )HI AC HK SI HK AC HK SAC d H SAC HK⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = . 0,25

6 (1,0ñ)

Kẻ 1

2BE AC HI BE⊥ ⇒ = .

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 5 2

4 4 5 5

a aBE HI

BE BA BC a a a= + = + = ⇒ = ⇒ =

Từ ñó suy ra ( )2 2 2 2 2 2

1 1 1 5 4 89 17,( )

17 17 89

ad M SAC

HK HI HS a a a= + = + = ⇒ = =

1513

89

a.

0,25

Trong mặt phẳng tọa ñộ ,Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 15…

Ta có 10 3 10

( , ) . 5 3 523 5 3 5

d G AB BC AB= ⇒ = = ⇒ =

ðường thẳng d qua G và vuông góc với : 2 15 0AB d x y⇒ + − =

0,25

Gọi ( )6;3N d AB N= ∩ ⇒ . Suy ra 1

53

NB AB= = 0,25

Gọi ( ) ( )2 2 2( )2 ; 5 6 8 0 8;4

4

b LB b b AB NB b b B

b

=∈ ⇒ = ⇔ − + = ⇒ ⇒ =

Ta có ( )3 2;1BA BN A= ⇒���� ����

0,25

7 (1,0ñ)

( )37;6

2AC AG C= ⇒���� ����

. ( )1;3CD BA D= ⇒���� ����

ðáp số: ( ) ( ) ( ) ( )2;1 , 8;4 , 7;6 , 1;3A B C D .

0,25

A D

B C

S

H E

I

K

I

G

A B

D CK

N

www.VNM

ATH.com