von Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe HochschuleEmden/Leerrabe/Downloads/Mathe1/... · y()(streng) monoton steidigende bzw. fll dfallende FkiFunktion: Funktion, die im gesamten Definitionsbereich

von Prof. Dr.‐Ing. Dirk RabeHochschule Emden/Leer

1. Inhalt Abschnitt 1:1. Inhalt Abschnitt 1:„Funktion einer Variablen“„

DefinitionD fi i i d W / D fi i i d Definitions‐ und Wertemenge / Definitions‐ und WertebereichDarstellungsformenGraphische Darstellung von linearen FunktionenUmkehrfunktion bildenWurzelfunktionWurzelfunktionUmkehrbarkeit einer FunktionStü k i d fi i t F ktiStückweise definierte Funktionen

Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 1

1. Definition1. Definition„Funktion einer Variablen“„

Vorschrift, die jedem Element x∈D genau ein Element y∈Wzuordnety∈WzuordnetSchreibweise: y=f(x)

x: unabhängige Veränderliche (Variable) bzw. ArgumentD: Definitionsmenge der Funktiony: abhängige Veränderliche (Variable) bzw Funktionswerty: abhängige Veränderliche (Variable) bzw. FunktionswertW: Wertemenge der Funktion


1.1 Darstellungsformen von1.1 Darstellungsformen von Funktionen

Analytische Darstellung:E li i F f( )Explizite Form: y=f(x)Implizite Form: F(x;y)=0( B 2 2 ) ft k i Fkt(z.B.: x2+y2‐xy=0) – oft keine Fkt.

MengendarstellungGraphische Darstellung imkartesischen Koordinatensystem


Beispielepy=f(x)=x2=x∙xM h ib iMengenschreibweise:

D=RW={y∈R|y≥0}(y Element aus Rfü di il )für die gilt: y≥0)

Bereichschreibweise:Schreibweise 1: W=[0;∞)(eckige Klammer: einschließlich angegebenen Wert (hier 0); runde Klammer: Wert gehört nicht dazu (hier ∞) )


runde Klammer: Wert gehört nicht dazu (hier ) )

Schreibweise 2: W=[0; ∞[ (Bsp2: 0<y<2 => W=]0;2[

Graphische Darstellung vonGraphische Darstellung von Funktionen: lineare Funktionen

lineare Funktionen beschreibbar in folgender Form:( ) bmxxfy +==

m und b seien Konstanten

( ) bmxxfy +==

Wertetabelle:x y Anmerkung

0 b Schnittpunkt mit der y‐Achse

1 m+b Funktionswert für x=1 ist um m gegenüber dem Schnittpunkt mit gegenüber dem Schnittpunkt mit der y‐Achse verschoben

2 2m+b Funktionsgraph ist eine Gerade…


Graphische Darstellung vonGraphische Darstellung von Funktionen: lineare Funktionen

Beispiel (m=‐2, b=4): ( ) 42 +−== xxfy

Wertetabelle:

( ) 42 +−== xxfy

x y Anmerkung

0 b=4 Schnittpunkt mit der y‐Achse

1 m+b=2‐2+4=2

Funktionswert für x=1 ist um m gegenüber dem Schnittpunkt mit der y‐Achse verschoben

m wird auch als Geradensteigungb i h tbezeichnet


1 2 Umkehrfunktion bilden:1.2 Umkehrfunktion bilden:Beispiel: ( ) 42 +−== xxfyp

Umkehrung analytisch bilden:N h ll 214− yNach x umstellen: Bezeichner vertauschen:

222

+−== yyx

214+−=

−= xxy

Umkehrung graphisch bilden:

22y

g gx‐ und y‐Achse vertauschen(also: auch Definitions‐ und Wertemenge vertauschen)Spiegelung an der Winkelhalbierenden y=x


Umkehrfunktion bilden:Umkehrfunktion bilden:Beispiel: ( ) 42 +−== xxfy 2

21

24

+−=−

= xxfUmkehrp 22


2. Beispiel: Umkehrung von y=x2p g yy=f(x)=x2

U k h l i h bildUmkehrung analytisch bilden:Nach x umstellen: yx ±=Bezeichner vertauschen: xy ±=


Beispiele: Umkehrung von y=x2p g yUmkehrunggraphisch bilden:graphisch bilden:

)( 2= xxf

( ) }0|{ ≥∈=±= xRxDxxg

Ist g(x) Funktion?NEIN: für x>0: jedem x‐Argument werden mehr als 1 y‐Wert NEIN: für x>0: jedem x Argument werden mehr als 1 y Wert zugewiesen (Senkrechte zur x‐Achse schneidet g(x) 2x) Also: keine eindeutige Umkehrung möglichAlso: keine eindeutige Umkehrung möglich=> Aufteilung in 2 Funktionen( ) ( )


( ) ( ) xxgxxg −== 21

Wurzelfunktion= xy{ }{ }0|

0|≥∈=≥∈=

yRyWxRxD

negative Halbparabel wird definitionsgemäß bei

{ }0| ≥∈ yRyW

g p gWurzelfunktion abgeschnitten, damit Wurzelfunktion die Anforderung an eine Funktion erfüllt (eindeutige g ( gZuordnung x y)y=x2 ist nicht eindeutig umkehrbary st c t e deut g u e baWurzelfkt. liefert nur die positiven x‐Werte von y=x2


3. Wurzel: Definitionsmenge 3 xy =g: Umkehrfunktion von( ) 3 xxgy == ( ) 3xxfy ==

Definitionsmenge von g(x)?

RDxxgy == 3)(

RWRD

==

Allgemein: Def.‐Menged W lungerader Wurzel‐

funktionen: D=R


Zusammenfassung Wurzelfkt.g

( ) xxgy c( )

⎨⎧ℜ

=

==

ungeradecfürD

xxgy c

{ }⎩⎨ ≥ℜ∈

=geradecfürxx

D0|

In einigen Büchern: Ausschluss negativer x‐Werte für alle c


1.3 Stückweise definierte Fkt.Bisher: Eine Gleichung beschreibt Funktion für gesamten DefinitionsbereichDefinitionsbereichStückweise definierte Funktionen: mehrere Gleichungen fü T il d D fi itifür Teilmengen der DefinitionsmengeBeispiel:

( )111)(

2

>≤

⎩⎨⎧ −

=xfürxfür

xxxf

⎩ fx


Bsp. stückw. definierte FunktionpBetragsfunktion:

⎧00

)(≥<

⎩⎨⎧−

=xfürxfür

xx

xf

Anwendungsbeispiel: g p( )

( ) 2422

422

2 =−x

( ) 2422 2 ==−=−⇔ xx

222

<⎨⎧ +−

=−xfürx

x

022:222

2

=⇒=−<

≥⎩⎨ −

=−

xxxxfürx

x


422:2 =⇒=−≥ xxx

Lösen quadratischer Gleichungenq gz.B.: Lö

32)2(|:642 22 =+⇒−−=−− xxxx

2 Lösungswege:Binomische Ergänzung:

( ) 222Bekannte binomische Formel ( ) – oder hier:2

22

22⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ppxxpx

( ) 222 2 bababa ++=+

Binomische Ergänzung: Term sei gegeben:

22 ⎠⎝⎠⎝p

2222⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛

pxx +2

also hier: ( )222

22

2222⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++=+

ppxpppxxpxx

also hier: ( )( ) 24141

31111222

222

==+⇒=+

=−+=−++=+

xx

xxxxx


312112 −=−−=∨=−=⇒ xx

Lösen quadratischer Gleichungenq gz.B.: Lö

642 2 =+ xx

2 Lösungswege:pq‐Formel:

qppxqpxx −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±−=⇒=++

2

2,12

220

also hier:

⎠⎝

22

2141322

3,20326422

22

±±⎟⎞

⎜⎛±⇒

−==⇒=−+⇔=+ qpxxxx

31

21413222,1

−=∨=⇒

±−=±−=−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±−=⇒

xx

x


31∨⇒ xx

Lösen quadratischer Ungleichungenq g gz.B.: Z b h M l i l (b Di ) i i Z hl

32)2(|:642 22 <+⇒−−>−− xxxx

Zu beachten: Multipl. (bzw. Div.) mit negativen Zahlen=> Drehen des Relationszeichens: '>' ↔ '<' bzw. '≥' ↔ '≤' (E klä )2222(Erklärung: )Binomische Ergänzung:

3232|322|:642 2222 <+⇒+++−>−−⇒−>−− xxxxxxxx

( )( ) 2141

31111222

222

<+⇒<+

<−+=−++=+

xx

xxxxx

( )


Lösen quadratischer Ungleichungenq g gz.B.: a) |x|<2 b) |x|>2 c) |x+1|<2 d) |x+1|≥2I i | | b d Ab d f d Interpretation |x| bedeutet Abstand auf dem Zahlenstrahl von x=0Interpretation |x+1| bedeutet Abstand auf dem Zahlen‐strahl von x=‐1 (x+1=0 nach x aufgelöst ergibt x=‐1)a)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x 22 <<− x)(b)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x22 >∨−< xx()

)(c)-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x 13 <<− x)(

[]d)Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 19

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x13 ≥∨−≤ xx[]

Lösen quadratischer Ungleichungenq g gz.B.: Bi i h E ä j l b i h

32)2(|:642 22 <+⇒−−>−− xxxx

Binomische Ergänzung – jetzt algebraisch:21 <+x

( ) 1für 11für 1

1⎩⎨⎧

−<+−−≥+

=+⇒xxxx

x

( ) 121121−<∧<+−

∨−≥∧<+⇒

⎩

xxxx

( )

1311−<∧−>

∨−≥∧<⇒

xxxx

1313

<<−⇒<∧>

xxx


Lösen quadratischer Ungleichungenq g gBsp2: Drehen Relationszeichen:Bi i h E ä j l b i h

322 >+ xxBinomische Ergänzung – jetzt algebraisch:

… 21 >+x

( ) 1für 11für 1

1⎩⎨⎧

−<+−−≥+

=+⇒xxxx

x

( ) 121121−<∧>+−

∨−≥∧>+⇒

⎩

xxxx

( )

1311−<∧−<

∨−≥∧>⇒

xxxx

1313

>∨−<⇒<∧<

xxxx


2. FunktionseigenschaftengÜberblick:

S ia. Symmetrie:1. gerade Funktion (achsensymmetrisch zur y‐Achse)2 ungerade Funktion (punktsymmetrisch zum Ursprung)2. ungerade Funktion (punktsymmetrisch zum Ursprung)

b. Monotonie:1 monoton fallende Funktion1. monoton fallende Funktion2. monoton steigende Funktion

c Nullstellenc. Nullstellend. Periodizitäte Umkehrbarkeit / inverse Funktione. Umkehrbarkeit / inverse Funktionf. Stetigkeit


2.a.1 gerade Funktionggraphisch: Spiegelung an der Ordinate (y‐Achse)f( ) f( )f(x)=f(‐x)Beispiel: y=x2

Funktion besitztgerade Parität


2.a.2 ungerade Funktionggraphisch: Punktspiegelung am Ursprungf( ) f( )‐f(x)=f(‐x)Beispiel: y=x3

Funktion besitztungerade Parität


Algebraisches Testen der Symmetrieg y

Beispiel 1: f(x)=x2+2Beispiel 1: f(x)=x +2bilde f(-x): f(-x)=(-x) 2+2= x2+2f(x)=f(-x)? JA => gerade Funktion

Beispiel 2: f(x)=x3

bilde f(-x): f(-x)=(-x) 3= (-x)(-x)(-x)=-x3

f(x)=f(-x)? NEINnein

( ) ( )bilde –f(x): -f(x)=-x3

-f(x)=f(-x)? JA => ungerade Funktion

Beispiel 3: f(x)=x3+2bilde f(-x): f(-x)=(-x) 3+2=-x3+2f(x)=f(-x)? NEIN

ja

bilde –f(x): -f(x)=-x3-2-f(x)=f(-x)? NEIN => unsymmetr. Fkt.ja

nein


Weitere SymmetrienyWird eine gerade Funktion um ∆x in x‐Richtung verschoben so ist die verschobene Funktion nicht gerade verschoben, so ist die verschobene Funktion nicht gerade – aber symmetrisch zur Achse x=∆xWi d i d F kti i Ri ht ∆ d Wird eine ungerade Funktion in x‐Richtung um ∆x und in y‐Richtung um ∆y verschoben, so ist die verschobene Funktion nicht mehr ungerade aber symmetrisch zum Funktion nicht mehr ungerade – aber symmetrisch zum Punkt (∆x,∆y)


2.b Monotoniefür beliebige x1∈D, x2∈D gilt:streng monoton fallend: f(x2)< f(x1) für x2 > x1 (‐∞;1]g 2 1 2 1

monoton fallend: f(x2)≤ f(x1) für x2 > x1 (‐∞;2]streng monoton steigend: f(x )> f(x ) für x > x [2;∞)streng monoton steigend: f(x2)> f(x1) für x2 > x1 [2;∞)

monoton steigend: f(x2)≥ f(x1) für x2 > x1 [1;∞)M t i ft f I t ll bMonotonie oft auf Intervalle bezogen


2.b MonotonieWortwahl:

( ) i d b f ll d F k i(streng) monoton steigende bzw. fallende Funktion:Funktion, die im gesamten Definitionsbereich (streng) monoton steigend bzw fallend istmonoton steigend bzw. fallend istMonotone Funktion:Funktion die entweder monoton steigend oder monoton Funktion, die entweder monoton steigend oder monoton fallend ist (aber nicht beides)Streng monotone Funktion:Streng monotone Funktion:Funktion, die entweder streng monoton steigend oder streng monoton fallend istg


2.c NullstellenSchnittpunkte mit der Abszisse (x‐Achse):f(x ) 0f(xN)=0Beispiel: f(x)=(x‐2)2‐4

( ) ( )(x‐2)2‐4=0 ⇔ (x‐2)2=4 ⇔ |x‐2|=2⇒ xN1=4, xN2=0


2.d PeriodizitätFunktionswerte wiederholen sich, wenn man in x‐Richtung um eine Periode fortschreitet (gilt für alle x∈D):Richtung um eine Periode fortschreitet (gilt für alle x∈D):f(x+p)=f(x)Beispiel: p=2


2.e Umkehrbarkeit / inverse Funktion/Bilden der Umkehrfunktion / inversen Funktion:

f( )y=f(x)Umformen: x=g(y)=f‐1(y)Bezeichner vertauschen: y=f‐1(x)Df=Wf‐1 und Df‐1=Wf

Eine Funktion ist eindeutig umkehrbar, wenn es eine eindeutige Zuordnung von y x gibtHinreichende Bedingung für Umkehrbarkeit:Ist eine Funktion entweder streng monoton fallend oder gstreng monoton steigend im gesamten Definitionsbereichso ist sie eindeutig umkehrbar!Beispiele: siehe quadratische und kubische Funktion


Aufgabe: Umkehrfunktiong

75Gesucht Umkehrfunktion zu y=f(x)=5x+7

775

−=

−=yx

yx

( ) ( ) 75

1 −

=

− xxfxgy

x

( ) ( )5

=== xfxgy


2.f Stetigkeitghier zunächst: anschauliche Erklärung für die Stetigkeit einer Funktioneiner Funktionspäter: mathematische Erklärung (Grenzwert…)eine Funktion ist auf einem Intervall stetig, wenn dessen Graph ohne abzusetzen von der unterer Intervallgrenze bi b I ll i h d kbis zur oberen Intervallgrenze gezeichnet werden kann


unstetig unstetig

3. Funktionsklassen

) P f k i

( ) Konstantenseien ,,,,; ii bamncxfy =

( ) cfa) Potenzfunktionen:b) Ganzrationale Funktionen/Polynome:

( ) cxxf =

( ) in

ii xaxf ∑=

0n

c) Gebrochen rationale Funktionen:

i=0

( ) m

in

ii xa

xf∑== 0)

d) Algebraische Funktionen: z B

im

ii xb∑

=0

( ) 12 +xxfd) Algebraische Funktionen: z.B. e) Trigonometrische Funktionen: z.B.) l k

( ) 1+= xxf( ) ( )xxf sin=

( ) xff) Exponential‐Funktion: g) Logarithmus‐Funktion:

( ) xcxf =

( ) xxf clog=

h) Transzendente Funktionen: z.B. Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 34

( ) ( )xxf sin=

3. Funktionsklassen‐Inhaltsübers.

) P f k i

( ) Konstantenseien ,,,,; ii bamncxfy =

( ) cfa) Potenzfunktionen:b) Ganzrationale Funktionen/Polynome:

( ) cxxf =

( ) cn

ii xaxf ∑=

0n

c) Gebrochen rationale Funktionen:

i=0

( ) m

c

ii xa

xf∑

∑== 0

)

d) Algebraische Funktionen: z B

c

ii xb∑

=0

( ) 12 +xxfd) Algebraische Funktionen: z.B. e) Trigonometrische Funktionen: z.B.) l k

( ) 1+= xxf( ) ( )xxf sin=

( ) xff) Exponential‐Funktion: g) Logarithmus‐Funktion:

( ) xcxf =

( ) xxf clog=

h) Transzendente Funktionen: z.B. Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 35

( ) ( )xxf sin=

3.a Potenzfunktion( ) IRccxxf c ∈= :Konstante sei

f(x)x c=1 c=2 c=3 c=4

‐3 ‐3 9 ‐27 81

‐2 ‐2 4 ‐8 162 2 4 8 16

‐1 ‐1 1 ‐1 1

0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

2 2 4 8 16

83 3 9 27 81


Potenzfunktion: Potenz cεIRWurzel auch als reziproke Potenz zu schreiben:

1

Beispiel: Bestimmen Sie folgenden Zahlenwert:( h T h h )

cc xx1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

34

8(ohne Taschenrechner)

Kehrwert einer Potenzfunktion auch als Potenzfunktion h bmit negativer Potenz zu schreiben:

cx−=1

Beispiel: Bestimmen Sie folgenden Zahlenwert: ,

cx⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

34

8 ( ) 22 −−p g ,(ohne Taschenrechner – als Bruch)

8 ( )


Potenzfunktion: hier 0<c<1


Potenzfunktion: hier c<0

f( )

( ) IRccxxf c ∈= :Konstante seif(x)

x c=1 c=‐1

‐3 ‐3 ‐1/33 3 /3

‐2 ‐2 ‐½

‐1 ‐1 ‐1

‐½ ‐½ ‐2

‐1/1000 ‐1/1000 ‐1000

0 0 n d0 0 n.d.

1/1000 1/1000 1000

½ ½ 2

1 1 1

2 2 1/2


3 3 1/3

Potenzfunktion: hier c<0( ) IRccxxf c ∈= :Konstante sei


Potenzrechengesetzegbacbcac 52322222223222:z B

:Basisgleicher mit Termen -onentialPotenz/Exp 2 ausProdukt

⎟⎞⎜⎛ ++

abbb

ccc

1

:Exponenten negative

222222222:z.B. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ==⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅

bc

acbacbcacbcbc

:Exponent gleichemmit Termen 2 ausProdukt

1=−=−⋅⇒=−

( ) ( )cbacbca

:Potenzen ltegeschachteeinander in

3323232323332223332 :z.B. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅

bacbac 62322222222

322 :z.B. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⋅=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

aca c1

:rückeWurzelausd

=


Potenzfunktion: Def.‐/Wertemengeg

b h ( ) IRccxxf c ∈= :Konstante sei

zu beachten: Division durch 0 nicht definiertGerade ganzzahlige Potenzen => y≥0Wurzeln gerader Ordnung nur für x≥0 definiert

c=0 c={1,3,5,…} c={2,4,6,…} c=1/n; n={1,3,5,..}

c=1/n; n={2,4,6,..}

ID IR IR IR IR { IR| }ID= IR IR IR IR {x∈IR|x≥0}

IW= {1} IR {y∈IR|y≥0} IR {y∈IR|y≥0}

c={‐1,‐3,‐5,…} c={‐2,‐4,‐6,…} c=1/n; n={‐1,‐3,‐5,..}

c=1/n; n={‐2,‐4,‐6,..}

ID= IR\{0} IR\{0} IR\{0} {x∈IR|x>0}


ID= IR\{0} IR\{0} IR\{0} {x∈IR|x>0}

IW= IR\{0} {y∈IR|y>0} IR\{0} {y∈IR|y>0}

Potenzfunktion: Def.‐/Wertebereich

b h ( ) IRccxxf c ∈= :Konstante sei

zu beachten: Division durch 0 nicht definiertGerade ganzzahlige Potenzen => y≥0Wurzeln gerader Ordnung nur für x≥0 definiert

c=m/n; n={1,3,5, }

c=m/n; n={2,4,6, }

…n={1,3,5,..}m={1,3,5,..}

n={2,4,6,..}m={1,3,5,..}

ID IR {x∈IR|x≥0}ID= IR {x∈IR|x≥0}

IW= IR {y∈IR|y≥0}


3.b Polynome: y( ) n

ni

n

ii xaxaxaaxaxf ++++==∑ ...2

2100

Definition: n wird als Grad des Polynoms bezeichnetDefinitionsmenge: ID IR

i=0

Definitionsmenge: ID=IRWertemenge: alle reellen Zahlen oder nur Teilmenge d hä K ffi i bdavon hängt von Koeffizienten abBeispiel Wertemenge: y=x4+2x2‐2

Welches ist der kleinste Wert, den y annehmen kann?… IW={y€R|y≥ ‐2 }


Polynome: Beispiely pBeispiel‐Polynomhat 3 Nullstellen:hat 3 Nullstellen:

xN1=‐2xN2=1xN3=2

Abspaltung vonLinearfaktoren(x‐xN) möglich:


( ) ( )( ) ( )( )( )2122244 223 −−+=−+−=+−−= xxxxxxxxxxf

Polynome: Beispiely pAbspaltung von Linearfaktoren (x‐xN) möglich:( ) ( )( ) ( )( )( )1122244 223f

Restpolynom kann jeweils durch( ) ( )( ) ( )( )( )1122244 223 +−+=−+−=+−−= xxxxxxxxxxf

Polynomdivision oderHorner‐Schema oderLösung quadr. Gleichungen

berechnet werden


Polynome: BeispielAbspaltung von Linearfaktoren (x‐xN) möglich:

y p

( ) ( )23

1. Nullstelle durch Ausprobieren der ganzzahligen Teiler ( ) ( )(...24423 −=+−−= xxxxxf

von a0 (4 – wenn alle Koeffizienten ganzzahlig sind und der höchstwertigste 1 ist):

Horner‐Schema:x=4?

a3=1 a2=‐1 a1=‐4 a0=4

x=4 0 4 12 32

1 3 8 36

a3=1 a2=‐1 a1=‐4 a0=4

x=4 0 4 12 32

1 3 8 360+1

*44+-1

*4

x=2?

1 3 8 361 3 8 364 *4

a3=1 a2=‐1 a1=‐4 a0=4

x=2 0 2 2 40 1

f(4)=36

x=2 0 2 2 ‐4

1 1 ‐2 00+1

*2Koeffizienten direkt ausHorner-Schema ablesbar wenn Ergebnis=0

f(2)=0

Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 47( ) ( )( )2244 223 −+−=+−−= xxxxxxxf

Horner-Schema ablesbar, wenn Ergebnis=0

Polynome: Beispiely pPolynomdivision:

Durch manuelles Ausprobieren: Nullstelle x 2 gefundenDurch manuelles Ausprobieren: Nullstelle x=2 gefundenRestpolynom durch Polynomdivision bestimmen( ) ( ) 22:44 223 −+=−+−− xxxxxx( ) ( )( )2

22:44

2

23 −−

++

xxxxxxxx

( ) ( )( )2244 223

( )244

2

2

−−

+−

xxxx ( ) ( )( )2244 223 −+−=+−− xxxxxx

( )4242

+−−+−

xx

Rest immer 0 wenn (hi ) i N ll t ll

( )0

xN (hier 2) eine Nullstelle

Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer

Polynome: Beispiely pNullstellen quadratischer Gleichungen durch binomische Ergänzung oder pq‐Formel bestimmen:Ergänzung oder pq‐Formel bestimmen:

( ) ( )( )2244 223 −+−=+−− xxxxxx022

Vorsicht: Polynom „2x2+2x‐4“ hätte die selben Nullstellen gehabt. Hier

hätte aber der Faktor 2 noch 91

022

2

2

=⎟⎞

⎜⎛++

=−+

xx

xx

hinzugefügt werden müssen:2x2+2x‐4 =2(x‐1)(x+2)

Also: entweder Kontrollrechnung 91

422

⎟⎞

⎜⎛

=⎟⎠

⎜⎝

++ xx

goder Polynomdivision oder

Horner‐Schema

3142

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +x

( )( ) 221

2123

21

2 −+=+−⇒

−=∨=⇒=+

xxxx

xxx

Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer

( )( ) 221 −+=+−⇒ xxxx

Polynom: Grapheny pNullstellen berücksichtigen (am einfachsten, wenn Polynom in faktorisierter Form vorliegt)Polynom in faktorisierter Form vorliegt)Kurvenverlauf für große bzw. kleine x durch hö h t ti t K ffi i t d i i thöchstwertigsten Koeffizienten dominiert:

z.B.:( ) ( )( )( )Für große bzw. kleine x wird Kurvenverlauf von y=x3d

( ) ( )( )( )2124423 −−+=+−−= xxxxxxxf

dominiert


Polynom: Grapheny p


3.c Gebrochen rationale FunktionenDivision zweier Polynome

( )( )( )2124423 ++ xxxxxxz.B.: ( ) ( )( )( )

( )( )23212

6544

2 ++−−+

=+++−−

=xx

xxxxx

xxxxf

Definitionsbereich: Nenner darf nicht 0 werden (Division durch 0 nicht definiert)fü B i i l { }23|IRIDfür Beispiel: Wertebereich: Abhängig von den Koeffizienten

{ }23| −≠∧−≠∈= xxIRxID


Grenzwerte

3.e Trigonometrische FunktionengIm rechtwinkligen Dreieck sind die trigonometrischen Funktionen wie folgt definiert:Funktionen wie folgt definiert:

αsin = gegl

α

α

cos

sin

= an

hyp

l

l

he

lhypα

α

sin

cos =

hypgeggeg

hyp

lll

l

enka

thet

h

lgeg

α

ααα

cos1

cossintan ===

hypan

hypgeg

an

geg

l

lll

α Ankathete Geg

e

αα

αα

sincos

tan1cot ===

geg

an

ll

Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 53lan

Einheitskreis: Kreis mit r=1… Sie können direktmit einem Lineal die

y1

mit einem Lineal dieWerte für sinα undcosα abmessen cosα abmessen …CharakteristischeWerte: α

lgeg=sinα

Werte:x1

αlan=cosαα sinα cosα

0° 0 1

45° 2‐1/2 2‐1/2

90° 1 0

180° 0 ‐1

270° ‐1 0 Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer

54

270 1 0

360° 0 1

Einheitskreis: Kreis mit r=1… Sie können direkt mit einemLineal auch die Werte für tanα

y1

Lineal auch die Werte für tanαabmessen … fü t ü t Si d D i k… für cotαmüssten Sie das Dreieck

so verändern, dass die Gegenkath.die Länge 1 hat α

lgeg=tanα

die Länge 1 hat…x1

αlan=cosαα tanα cotα

0° 0 n.d.

45° 1 1

d90° n.d. 0

180° 0 n.d.

270° n d 0 Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer

55

270 n.d. 0

360° 0 n.d.

BogenmaßgWinkel können in Grad oder imBogenmaß angegeben werden

y1

Bogenmaß angegeben werdenBogenmaß: Bogenlänge Ei h it k iam EinheitskreisKreisumfang (360°): 2π

αViertelkreis (90°): π/2allg. Bogen: α/180°∙ π x1

α

α/° α

0° 0

° /45° π/4

90° π/2

180° π

Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer56

180 π

270° 3/2 π

360° 2 π

Funktionsgraphen: sin(x) und cos(x)g p ( ) ( )


Funktionsgraphen: arcsin(x)g p ( )

A ht i ( ) i ht i k l tt D fi itiAchtung: sin(x) nicht im kompletten Definitions-bereich umkehrbar!


Funktionsgraphen: arccos(x)g p ( )

A ht ( ) i ht i k l tt D fi itiAchtung: cos(x) nicht im kompletten Definitions-bereich umkehrbar!


Funktionsgraphen: tan(x) und cot(x)g p ( ) ( )


Funktionsgraphen: arctan(x)g p ( )

Achtung: tan(x) nicht im kompletten Definitions-bereich umkehrbar!


Trigonometrische Umformungen Ig gFolgt direkt aus dem Einheitskreis und d S t d

Folgt direkt aus dem Einheitskreis und der

G dd fi iti t ( )

Folgt durch Einsetzen der beiden anderen dem Satz des

PythagorasGrunddefinition von tan(x) im rechtwinkligen Dreieck Beziehungen

Mathematik II – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – HS Emden/Leer 62

Trigonometrische Umformungen IIg g

Mathematik II – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – HS Emden/Leer 63

3.f Exponential‐Funktionp( )

}0|{konstant und 0,

>∈==>=

yIRyIWIRIDccxf x

}0|{ >∈== yIRyIWIRID

cc

c


3.f LogarithmusfunktiongUmkehrfunktion der Exponentialfunktion

( ) cxfy x

log==yx c

:en vertauschBezeichnerlog=

( ) xxf clogy 1 == −

c


Rechengesetze Logarithmen2 Herleitungen

Generell gilt:Generell gilt:Exponential‐ und Logarithmusfunktion sind umkehrbar(weil Funktion streng monoton)( g )f-1(f (x))=x (Umkehrfunktion von Funktion ergibt Variable x)Hier:e :2 Herleitung durch Anwendung der Potenzrechengesetze

( )cba baclog=⋅ ⋅

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bb

baccc

cba

baba

baba cccc

llllogloglog

loglogloglog ⋅=⋅=

=

+

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )babacc cccbaba ccc loglogloglogloglog +=⋅⇒=⇒ +⋅

( ) ( )( ) ( )cacc abbaab bccc logloglog ===⋅


( )( ) ( )aba c

bc loglog ⋅=⇒

Rechengesetze Logarithmeng g( ) ( ) ( )( ) ( )loglog

logloglog

⋅=

+=⋅

aba

babab

ccc

( ) ( )

( ) ( )l1ll

:folgt darausloglog

⎟⎞

⎜⎛ b

aba

b

cc

( ) ( )

( ) ( ) 2 71828)e(10:Basen(typischeloglog:hnerTaschenrecmitBerechnung

logloglog

≈=

⋅−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

aa

aba

a

b

cbcb

c

( ) ( ) 2,71828)e(10, :Basen(typischelog

log:hnerTaschenrecmit Berechnung ≈=c

ab

c

Beispielaufgabe: Nach wieviel Jahren hat sich Kapital k0Beispielaufgabe: Nach wieviel Jahren hat sich Kapital k0bei einem Zinssatz von 5% verdoppelt?

05,12 00 ⋅== kkk x

( ) ( ) 2ln05,12 = x


( ) ( ) Jahre2,1405,1ln2ln05,1ln05,1ln2ln ==⇒⋅== xxx

Anwendung Rechengesetze ‐ Ig gStellen Sie folgende Gleichung nach x um: xx 10325 ⋅=

10

223325

3log

10

2

⋅=b

xx

( ) ( )222225

2233log1013log10103log

3log

222

2==+⋅⋅ xxxxx

b

( ) ( )

3ln222225 3og03og03og 222

⎟⎞

⎜⎛

=⋅=⋅= xxxx

2ln2ln3ln1015ln ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅= x

3l102l5ln

=x


3ln102ln +

Anwendung Rechengesetze ‐ IIg gStellen Sie folgende Gleichung nach x um: xx 10325 ⋅=

3log

10

223325 ⋅=

b

xx

( ) ( )3log1013log10103log5log

3log

2222

2

2222225

223+⋅⋅

==xxxxx

b

( ) ( )3log1013log103log5log 2222 2222225 +⋅⋅ =⋅=⋅== xxxx

( )3l1015l ( )5log

3log1015log 22 +⋅= x

3log1015log

2

2

+=x


2

Anwendung Rechengesetze ‐ IIIg gStellen Sie folgende Gleichung nach x um: xx 10325 ⋅=

( ) 3ln102ln3ln2ln32ln5ln 1010 +=+=⋅= xxxxxx

( )5l

3ln102ln += x

3ln102ln5ln

+=x

3ln102ln +


4. Grenzwertbetrachtung, g,Stetigkeit, Polstellen & AsymptotenGrenzwerte allgemeinPolstellen: UnendlichkeitsstellenStetigkeit: mathematische DefinitionStetigkeit bekannter FunktionenAsymptoten gebrochen rationaler Funktionen für x ±∞Asymptoten gebrochen rationaler Funktionen für x ±∞


Grenzwerte: anschauliche Definition

( )⎪

⎪⎨

⎧=<−

= 020

xfürxfürx

xf⎪⎩ >+ 01 xfürx

linksseitiger Grenzwert: man nähert sich x 0 ( )xflim ‐ linksseitiger Grenzwert: man nähert sich x=0 auf dem Funktionsgraph von „links“ so nah wie möglich, man erreicht x 0 aber nie wie groß ist dann f(x)? 0

( )xfx −→0lim


man erreicht x=0 aber nie – wie groß ist dann f(x)? 0

Grenzwerte: anschauliche Definition( )xf

x −→=

00lim

:seSchreibweichemathematis

( ) ⎪⎨

⎧=<−

= 020

xfürxfürx

xf( )

( )f

xfx

x

+→

→

=0

0

20

1lim( )

⎪⎩

⎨>+ 01

0xfürxxfüxf ( )

( )xff

x→

=

0nicht,existiert lim

20

( ) ( )xfxfxx +− →→

≠00

limlim weil

‐ rechtsseitiger Grenzwert: man nähert sich x=0 ( )xf+

lim rechtsseitiger Grenzwert: man nähert sich x 0 auf dem Funktionsgraph von „rechts“ so nah wie möglich, man erreicht x=0 aber nie – wie groß ist f(x)? 1

( )fx +→0

g , g ( )wenn und eine Zahl ist (Anmerkung: ±∞ sind keine Zahlen), so existiert der

( ) ( ) ( )xfxfxfxxx +− →→→

==000

limlimlim ( )xfx 0lim→


ist (Anmerkung: ± sind keine Zahlen), so existiert der Grenzwert – sonst nicht

Grenzwerte: anschauliche Definition

( )⎪

⎪⎨

⎧=<−

= 020

* xfürxfürx

xf ( )⎪⎩

⎨> 0xfürx

Wie müsste f(x) minimal geändert werden damit der Wie müsste f(x) minimal geändert werden, damit der Grenzwert und der Grenzwert damit existiert?( ) 0lim

0=

→xf

x


Stetigkeit: mathematische Definitiong

( )⎪

⎪⎨

⎧=<−

= 000

** xfürxfürx

xf ( )⎪⎩

⎨> 0xfürx

Eine Funktion ist für x=a stetig wenn folgendes gilt:Eine Funktion ist für x=a stetig, wenn folgendes gilt:der Grenzwerte existiert UND

( f f( ) f )( ) ( )ffli

( )xfax→

lim

(Definition von f(x) für x=a vorausgesetzt)

Wie müsste f *(x) geändert werden, damit f*(x) für x=0 ( ) ( )afxf

ax=

→lim


stetig ist?

StetigkeitgFolgende Funktionen sind in deren Definitionsbereichstetigstetig

Potenzfunktionend b h i l F k iganz‐ und gebrochen‐rationale Funktionen

Exponential‐ und LogarithmusfunktionenTrigonometrische Funktionen (sin(x), cos(x), tan(x), arcsin(x), …)Algebraische und transzendente Funktionen

Typische Ursachen für Unstetigkeiten:Definitionslücken (z.B. gebrochenrationale Funktionen)Stückweise definierte Funktionen an den Grenzen der Definitionsintervalle


StetigkeitgStückweise definierte Funktion an den Grenzen der DefinitionsintervalleDefinitionsintervalleVorgehen:


StetigkeitgWeiteres Beispiel für Unstetigkeit

⎧ ≠ 22 xfürx

⎩⎨⎧

=≠

=222

)(xfürxfürx

xf


Polstellen: UnendlichkeitsstellenBeispiel: D fi i i ID { IR| }

( )1

1+

=x

xf

Definitionsmenge: ID={x∈IR|x≠‐1}Grenzwertbetrachtung für x ‐1:

Funktionswert für x=‐1 nicht definiertwir dürfen uns aber x=‐1 beliebig nah auf dem Funktionsgraphen nähern…Wertetabellen:x ‐2 ‐1,1 ‐1‐1/100 ‐1‐1/1000 ‐1‐10‐6

f(x) ‐1 ‐10 ‐100 ‐1000 ‐106( ) −∞=

−−→xf

x 1lim

x 0 ‐0,9 ‐1+1/100 ‐1+1/1000 ‐1+10‐6

f(x) 1 10 100 1000 106( ) +∞=

+−→xf

x 1lim

Existiert ?Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 79

( )xfx 1lim

−→NEIN, weil ±∞ keine Zahlen sind

Polstellen: UnendlichkeitsstellenBeispiel: W i di A d E b i d G

( )1

1+

=x

xf

Was ist die Aussage des Ergebnisses der Grenzwert‐betrachtung und ?( ) −∞=

−−→xf

x 1lim ( ) +∞=

+−→xf

x 1lim


Polstellen: weiteres BeispielpBeispiel: E i i ?

( )( )21

1+

=x

xf ( ) +∞=−−→

xfx 1lim ( ) +∞=

+−→xf

x 1lim

( )fliExistiert ?( )xfx 1lim

−→


GrenzwertsätzeAnmerkung: Grenzwertsätze sind intuitiv verständlich E l di f l d G ä f l d Es gelten die folgenden Grenzwertsätze, wenn folgende Grenzwerte existieren: ( ) ( ) GxgFxf

axax==

→→limlim

( ) ( )( ) GFxgxfax

±=±→

lim

( ) ( )( ) GFxgxf •=•lim( )( ) 0fürlim ≠=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→

GGF

xgxf

ax•Beispiele:

( ) ( )( ) Gxgxfax→

( ) ⎠⎝ g

( ) ( ) 20824lim2limlim2lim 3232 =•+=•+=+ xxxx( ) ( ) 20824lim2limlim2lim2222

•+•++→→→→

xxxxxxxx

( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )21li

21lim

2121lim 2

−+≠⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+ →xxxx x

?=

( )( )( )( )

( )( )

( )( ) 3

13

1li

1lim

11lim

2121lim 2 ==

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+ →xxxx x

( )( ) ( )( )( )21lim212

2 −−⎟⎠

⎜⎝ −−

→→ xxxx

xx


( )( ) ( ) ( ) 11lim1212

22 −⎟⎠

⎜⎝ −⎟

⎠⎜⎝ −−

→→→ xxxx

xxx

Aufgabe Stetigkeitg g( ) ( )( )21

22 −+=

xxxxxf

Bestimmen Sie die Intervalle für die f(x) stetig ist!

( )( )21 −− xx

Gebrochen rationale Funtionen sind in deren Definitionsbereich stetigDefinitionsbereich: (‐∞;1)∪(1;2)∪(2;∞)=> In diesen Intervallen ist f(x) auch stetig( ) g


Aufgabe Stetigkeit ( ) ( )( )2122 −+

=xxxxxfg g

Für welche x liegt eine stetig hebbare Definitionslücke vor?i h bb D fi i i lü k li D fi i i

( )( )21 −− xx

stetig hebbare Definitionslücke liegt vor, wenn Definitions‐lücke durch algebraische Umformungen beseitigt werden kannHi F kt i i d ZählHier: Faktorisieren des Zählers

022 =−+ xx

025,2212

21

21 222

2 =−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++ xxx

( ) ( )( ) 22112

222

++−=∨−=⇒

⎠⎝⎠⎝⎠⎝

xxxxx

( ) ( )( )( )( ) 2

22121

−+

=−−+−

=⇒xx

xxxxxf

D.h.: für x=1 kann die Defintionslücke stetig gehoben werdenAnalysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 84

Aufgabe Stetigkeit ( ) ( )( ) 22

2122 +

=−+

=xx

xxxxxfg g

Untersuchen Sie folgende Grenzwerte.( )( ) 221 −−− xxx

( ) ( ) ( ) ( ) ( )fffff lilililili ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxfxfxfxfxxxxx 31222limlimlimlimlim

>−>−>−>−>− +−

( ) 1lim42limlim −∞=⋅=+

=xxf ( )

( ) 1lim42limlim

2lim4

2limlim

222

∞=⋅=+

=

∞=−

=−

=>−>−>− −−−

xxf

xxxf

xxx

( )

( ) vorliegtGrenzwert endlicher kein weilexistent),(nicht NElim2

lim42

limlim

2

222

=

∞−−

>−

>−>−>− +++

xfxx

xf

x

xxx

( ) ( )( ) { 31

322lim

212limlim

F ktiti lb1

2

11−=

−=

−+

=−−−+

=>−>−>− x

xxxxxxf

xxx ( )( )

( ) ( ) 53lim3

Bereich-Def. im stetig sindFunktionenrationale-gebr.

==>−

fxfx


3>x

Asymptoten ‐ allgemeiny p gAsymptoten gebrochen rationaler Funktionen: Polynome, denen sich die gebr rationale Funktion für x→±∞ annähertdenen sich die gebr. rationale Funktion für x→±∞ annähertVorgehen: Grenzwertbetrachtung für x→±∞3 Fälle:3 Fälle:

Grad Zählerpolynom < Grad NennerpolynomGrenzwert strebt gegen 0 => Asymptote ist y=0g g y p y

Grad Zählerpolynom = Grad NennerpolynomGrenzwert strebt gegen Quotient aus höchstwertigen Koeffizienten

Grad Zählerpolynom > Grad NennerpolynomPolynomdivision durchführen bis der Grad des Restpolynoms kleiner ist als der Grad des NennerpolynomsGrad des Nennerpolynoms

Asymptote ist das in der Polynomdivision berechnete Polynom (Restpolynom / Nennerpolynom strebt gegen 0)


Asymptoten: Beispiely p p( ) 1Nennergrad 2,Zählergrad

212

==−−

=xxxf

( ) ( )2

322:12

−++=−−

xxxx

12

22

−

−−

x

xx

3

4212

−− xx

2lim32lim1lim

32

+=++=− xxx

22 −− ±∞→±∞→±∞→ xx xxx

Graph nähert sich asymptotisch der Geraden a(x)=x+2


trigonom. Fkt.

5. TransformationenEs soll die Transformation von Graphen im kartesischen Koordinatensystem betrachtet werden:Koordinatensystem betrachtet werden:

Verschiebung eines Graphen in x‐ oder y‐AchsenrichtungS k b S h i G h b ü li h d Streckung bzw. Stauchung eines Graphen bezüglich der x‐oder y‐RichtungS i l i G h d d A hSpiegelung eines Graphen an der x‐ oder y‐AchseKehrwertbildung

( )Polynome 2. Grades (als Verschiebung der Normalparabel)Anwendungen:

Skizzieren von Funktionsgraphen, die durch die Transformation bekannter Funktionsgraphen entstehen (Verkettung)Bestimmung von Funktionsgleichungen zu transformierten Bestimmung von Funktionsgleichungen zu transformierten Funktionsgraphen


Erklärung der Transformationengschwarz: Graph der Ausgangsfunktion f(x)

b bl G h d Zi lf k i ( ) b h( )rot bzw. blau: Graph der Zielfunktion g(x) bzw. h(x)Verschiebungen: entgegen der/in x‐Richtung

in y‐Richtung

entgegen der y Richtung


entgegen der y‐Richtung


b bl G h d Zi lf k i ( ) b h( )rot bzw. blau: Graph der Zielfunktion g(x) bzw. h(x)Streckungen/Stauchungen:in y‐Richtung: in x‐Richtung



G h d Zi lf k i ( )rot : Graph der Zielfunktion g(x)Spiegelung:an x‐Achse: an y‐Achse


Mögliche Anwendungen/Aufgabenstellungeng g / g g1. Wie lautet die mathematische Funktionsgleichung der transformierten

Zielfunktion?Zielfunktion?Gegeben/bekannt (z.B. durch Graphdarstellung oder Beobachtung):

Funktionsgraphen der Ausgangs‐ und ZielfunktionFunktionsgleichung der Ausgangsfunktion

Gesucht: die Funktionsgleichung der Zielfunktion2 Durch welche Transformationen lässt sich der Graph der Zielfunktion 2. Durch welche Transformationen lässt sich der Graph der Zielfunktion

aus dem Graph einer elementaren Ausgangsfunktion konstruieren?Gegeben/bekannt:

Funktionsgraph der elementaren AusgangsfunktionFunktionsgleichungen der Ausgangs‐ und Zielfunktion („Ähnlichkeiten“ zueinander)

Gesucht: Funktionsgraph der Zielfunktion;Gesucht: Funktionsgraph der Zielfunktion;auch interessant, um charakteristische Verhalten der Funktion zu ermitteln: z.B. Nullstellen, Extremstellen, Definitions‐ und Wertebereich, Bereiche in denen der Graph steigt/fällt

B i i l fü l F k i i i h F k i P f k i Beispiele für elementare Funktionen: trigonometrische Funktionen, Potenzfunktion, Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion


Verschiebung in y‐Richtungg y gh(x):Verschiebung von f(x)um Δy=2 Einheiten in y Richtungum Δy=2 Einheiten in y‐Richtung

jeder Funktionswert von f(x) wirdum Δy=2 erhöht:um Δy=2 erhöht:h(x)=f(x)+2=f(x)+Δy( ) hi b f( )g(x):Verschiebung von f(x)

um 2 Einheiten entgegen der y‐Richtungbbzw.um Δy=-2 Einheiten in y‐Richtung

j d F kti t f(x) i djeder Funktionswert von f(x) wirdum 2 erniedrigt:( ) f( ) 2 f( ) ( 2) f( ) Δ


g(x)=f(x)-2=f(x)+(-2)=f(x)+Δy

Verschiebung in y‐Richtungg y gÜbrigens: h(x) ist durch die „Verkettung“ der Funktion f(x) mit der lineare Funktion h(f)=f+Δy=f+2 entstanden: h(x)=h(f(x))=h°flineare Funktion h(f) f+Δy f+2 entstanden: h(x) h(f(x)) h fWie geht man schrittweise bei der Berechnung von h(x) vor?für alle x Argumente f(x) berechnen (z B : x=-5 f(-5)=1)für alle x‐Argumente f(x) berechnen (z.B.: x=-5 f(-5)=1)und alle f‐Werte als Argument in h(f) einsetzen ( )(z B : f(-5)=1 h(1)=1+2=3 h(f(x=-5))=3)(z.B.: f(-5)=1 h(1)=1+2=3 h(f(x=-5))=3)alle Wertepaare (x;h(f(x))) im Koordinatenkreuz darstellen ( )(z B (-5;h(f(-5))=3))(z.B. ( 5;h(f( 5)) 3))


Erklärung: Verkettung von Funktioneng gh(x)=h(f(x))=h°f

Es wird für ein x‐Argument f(x) berechnet undEs wird für ein x Argument f(x) berechnet unddas Ergebnis in h(f) eingesetzt und damit h(x)=h(f(x)) berechnet

f(x) wird als innere Funktion bezeichnet( )h(f) wird als äußere Funktion bezeichnet(vergleichbar mit verschiedenen Zwiebelschichten)

h( ) b i h di k F k i B h( ) 2 i ( ) 1)h(x) bezeichnet die verkettete Funktion: z.B. h(x)=2sin(x) + 1)f(x) bezeichnet die innere Funktion in Abhängigkeit von x:

B f( ) i ( )z.B. f(x)=sin(x)h(f) bezeichnet h in Abhängig von f: z.B. h(f)=2f+1

ft i d h(f) h l F kti lb t d t llt B h( ) 2 +1oft wird h(f) auch als Funktion von x selbst dargestellt: z.B. h(x)=2x+1Nachteil der Darstellung der äußeren Funktion als h(x) (anstelle von h(f)):Information, dass x aus innerer Funktion f(x) gebildet wird, geht verloren, ( ) g , gDeshalb: HIER Verwendung von h(f) als Bezeichner für äußere Funktion


Streckung/Stauchung in y‐Richtungg g y gh(x): Streckung von f(x) um Faktor 2 in y‐Richtung

jeder Funktionswert von f(x) mit Faktor 2 multipliziertj ( ) ph(x)=f(x) ∙ 2 ( h(f)=2 ∙ f )h(x)=f(x) ∙ Faktor (Faktor>1)( ) ( ) ( )

g(x): Stauchung um 2 in y‐Richtung j d F k i f( ) i d d h 2 il b jeder Funktionswert von f(x) wird durch 2 geteilt bzw.

mit Faktor ½ multipliziert

g(x)=f(x)/2=f(x) · ½g(x)= f(x) · Faktor (0<Faktor<1) g( ) ( ) ( )


Streckung/Stauchung in y‐Richtungg g y gÜbrigens: h(x) ist durch die „Verkettung“ der Funktion f(x) mit der linearen Funktion h(f)=f·Faktor=f·2 entstanden: h(x)=h(f(x))=h°flinearen Funktion h(f) f Faktor f 2 entstanden: h(x) h(f(x)) h fWie geht man schrittweise bei der Berechnung von h(x) vor?

für alle x Argumente f(x) berechnen (z B : x=-5 f(-5)=1)für alle x‐Argumente f(x) berechnen (z.B.: x=-5 f(-5)=1)und alle f‐Wert in h(f) einsetzen ( )(z B : f=1 h(1)=2 h(f(x=-5))=2)(z.B.: f=1 h(1)=2 h(f(x=-5))=2)alle Wertepaare (x;h(f(x))) in Koordinatenkreuz dastellen ( )(z B (-5;h(f(-5))=2))(z.B. ( 5;h(f( 5)) 2))


Spiegelung an x‐Achsep g gDie Spiegelung an der x‐Achse hat starke Ähnlichkeit mit der Stauchung bzw Streckung – Wie groß ist der Faktor in diesem Fall?Stauchung bzw. Streckung Wie groß ist der Faktor in diesem Fall?

Der Faktor mit dem f(x) multipliziert wird ist in diesem Fall -1Damit wird der Funktionswert bei der Verkettung von f(x) mit g(f)Damit wird der Funktionswert bei der Verkettung von f(x) mit g(f)(g(x)=g(f(x))) einfach negiert – und dies entspricht einer Spiegelung an der x‐Achse: g(f)=-fWie können andere negative Faktoren als -1 interpretiert werden?

als eine Kombination aus einerStauchung/Streckung undeiner Spiegelung an der x‐Achse.


y‐Richtung: Kombination mehrerer Transformationeny gAuch Kombinationen aus

Streckung/StauchungStreckung/Stauchung,Spiegelung undVerschiebung sind möglichVerschiebung sind möglich

Wie lautet die allgemeine „Verkettungsfunktion“ für diese Kombination von Transformationen?

h(x)=h(f(x)) mit h(f)=m·f+b

Beispiel: h(f)=-2·f+1: Interpretieren Sie!Beispiel: h(f) 2 f 1: Interpretieren Sie!1. Spiegelung an x‐Achse und

Streckung um Faktor 2Streckung um Faktor 22. Verschiebung um Δy=1 in y‐Richtung

Hinweis: Reihenfolge von Schritt 1 und 2


Hinweis: Reihenfolge von Schritt 1 und 2nicht vertauschbar! Warum? …(ggf. ausprobieren)

Zusammenfassung: Transformationen in y‐Richtungg y gf(x): zu transformierende (elementare) Ausgangsfunktion h( ) Zi lf k ih(x): ZielfunktionAlle (behandelten) Transformationen in y‐Richtung sind mathematisch eine Verkettung von h(f) und f(x): h(x)=h(f(x))Verschiebungen, Streckungen/Stauchungen und Spiegelungen sind durch lineare Funktionsgleichungen h(f)darstellbar: h(f)=m·f+b Reihenfolge1. m: m<0: Spiegelung an x‐Achse

0<|m|<1: Stauchung in y‐Richtung

gvon Schritt 1 und 2nicht vertauschbar!

|m|>1: Streckung in y‐Richtung2. b: b>0: Verschiebung in y‐Richtung

b 0 h b d hb<0: Verschiebung entgegen der y‐RichtungAnalysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 100

Transformationen in x‐RichtungFür die betrachteten Transformationen in y‐Richtung werden die Ergebnisse (die y‐Werte bzw. Funktionswerte) einer Ausgangsfunktion in eine lineare

gFür die betrachteten Transformationen in y‐Richtung werden die Ergebnisse (die y‐Werte bzw. Funktionswerte) einer Ausgangsfunktion in eine lineare y g gFunktion eingesetzt und damit das Ergebnis verändert bzw. transformiert.

Mathematisch ausgedrückt: Für die Transformationen in y‐Richtung wird die Ausgangsfunktion mit einer linearen Transformationsfunktion verkettet:

y g gFunktion eingesetzt und damit das Ergebnis verändert bzw. transformiert.

Mathematisch ausgedrückt: Für die Transformationen in y‐Richtung wird die Ausgangsfunktion mit einer linearen Transformationsfunktion verkettet: die Ausgangsfunktion mit einer linearen Transformationsfunktion verkettet: h(x)=h(f(x))

Übertragen Sie diese Erkenntnisse auf Tranformationen

die Ausgangsfunktion mit einer linearen Transformationsfunktion verkettet: h(x)=h(f(x))

Analog: Für die betrachteten Transformationen in x‐Richtunggin x‐Richtung!

g gwerden die x‐Argumente der Ausgangsfunktion f(x) durch das Einsetzen in eine lineare Funktion verändert bzw. transformiert.

Mathematisch ausgedrückt: Für die Transformationen in x‐Richtung wird eine lineare Transformationsfunktion tr(x) mit der Ausgangsfunktion verkettet: h(x)=f(tr(x))der Ausgangsfunktion verkettet: h(x)=f(tr(x))Nächste Schritte:

Plausibilisieren dieser Aussagen für die Transformationen in x Richtung


Plausibilisieren dieser Aussagen für die Transformationen in x‐Richtung, Interpretation der Tranformationsfunktionen.

Verschiebung in x‐Richtung: gesucht h(x)

x*642 x642

x Achse gleich: Ausgangsfunk x Achse für

V hi b d A f k i f( ) f di Zi lf k i h( )

x‐Achse gleich: Ausgangsfunk‐tion f(x) und Zielfunktion h(x)

x‐Achse fürZielfunktion h(x*) verschoben

Verschiebung der Ausgangsfunktion f(x) auf die Zielfunktion h(x)um Δx=2 in x‐Richtung: f(x) h(x)A f b t ll G b /b k tAufgabenstellung 1: Gegeben/bekannt:

Funktionsgraphen der Ausgangsfunktion f(x) und Zielfunktion h(x)Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion f(x)Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion f(x)

Gesucht: Funktionsgleichung der Zielfunktion h(x)Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 102

Verschiebung in x‐Richtung: gesucht h(x)Analyse der Verschiebung einesPunkts der Zielfunktion h(x)

f di A f k i f( ) auf die Ausgangsfunktion f(x): (4;h(4)) (4-Δx;f(4-Δx))=(2;f(2))

Zielfunktion: Punkt (x=4;h(x=4))Zielfunktion: Punkt (x=4;h(x=4))wird um Δx=2 entgegen der x‐Richtung verschoben (2;f(x=2))Durch die Verschiebung hat sich der y‐Wert nicht verändert:Durch die Verschiebung hat sich der y‐Wert nicht verändert:h(x=4) = f(tr(x=4)) = f(x=2)Um h(x) berechnen zu können, wird von x also Δx=2 subtrahiert Um h(x) berechnen zu können, wird von x also Δx 2 subtrahiert und der x‐Wert in f(x) eingesetzt: h(x) = f(tr(x)) = f(x–Δx)Die Transformationsfunktion lautet damit: tr(x)=x–Δx( )tr(x) beschreibt die Transformation in x‐Richtung von der Zielfunktion h(x) auf die Ausgangsfunktion f(x)g gDamit ergibt sich: h(x) = f(x–Δx) = f(tr(x))


Verschiebung in x‐Richtung: gesucht Graph von h(x)

x*642 x642

x Achse gleich: Ausgangsfunk x Achse für

V hi b d A f k i f( ) f di Zi lf k i h( )

x‐Achse gleich: Ausgangsfunk‐tion f(x) und Zielfunktion h(x)

x‐Achse fürZielfunktion h(x*) verschoben

Verschiebung der Ausgangsfunktion f(x) auf die Zielfunktion h(x)um Δx=2 in x‐Richtung: f(x) h(x)A f b t ll G b /b k tAufgabenstellung 2: Gegeben/bekannt:

Funktionsgraph der Ausgangsfunktion f(x)Funktionsgleichungen der Ausgangsfunktion f(x) und Zielfunktion h(x)Funktionsgleichungen der Ausgangsfunktion f(x) und Zielfunktion h(x)

Gesucht: Funktionsgraph der Zielfunktion h(x)Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 104

Verschiebung in x‐Richtung: gesucht Graph von h(x)

Jetzt anders herum:Analyse der Verschiebung einesAnalyse der Verschiebung einesPunkts der Ausgangsfunktion f(x)auf die Zielfunktion h(x):( )

(2;f(2)) (?;f(2))=(?;h(?)) = ((tr-1(2);h(tr-1(2)))

Diese Verschiebung (f(x) h(x)) ist der vorher besprochenen Transformation (h(x) f(x)) entgegen gerichtet

i d l i d k h t “ Ri ht t f i tes wird also in der „umgekehrten“ Richtung transformiertalso beschreibt hier die Umkehrfunktion tr-1(x) die Transformation in x‐Richtung:Wie lautet tr(x)?tr(x)=x–Δx => x=tr(x)+Δx tr-1(x)=x+Δx

Um die Verschiebung des Graphens zu erkennen, ist die Umkehrfunktion“ der inneren Funktion von h(x)=f(tr(x)) zu bilden: „Umkehrfunktion der inneren Funktion von h(x)=f(tr(x)) zu bilden:

tr-1(x)=x+Δx – hier also eine Verschiebung um Δx=2 in x‐RichtungAnalysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 105

Zusammenfassung:Vorgehen Verschiebung in x‐Richtung

Verschiebung in x‐Richtung:

Vorgehen Verschiebung in x Richtung

Verschiebung in x Richtung: h(x)=f(tr(x))=f°tr

h(x): Zielfunktion( )f(x): Ausgangsfunktiontr(x): Transformationsfunktion tr(x)=x-Δx

Wenn Verschiebung des Graph von f(x) auf h(x)=f(tr(x)) gesucht:tr-1(x) bilden: (tr(x)=x-Δx umkehren: x=tr(x)+Δx tr-1(x)=x+Δx)

d f blund Transformation ablesen:tr-1(x)=x+Δx Verschiebung um Δx in x‐RichtungW F kti l i h h( ) f(t ( )) htWenn Funktionsgleichung h(x)=f(tr(x)) gesucht:gegebene Verschiebung tr-1(x)=x+Δx umkehren (ergibt tr(x)):(tr-1(x)=x+Δx umkehren: x=tr-1(x)-Δx tr(x)=x-Δx)(tr (x) x+Δx umkehren: x tr (x) Δx tr(x) x Δx)tr(x) in f(x) als innere Funktion einsetzen: h(x)=f(tr(x))


Zusammenfassung:Erkenntnisse Verschiebung in x‐Richtungg g

h(x): Verschiebung von f(x)um Δx Einheiten in x‐Richtungum Δx Einheiten in x RichtungFür die Transformationen in x‐Richtung wirdeine lineare Transformationsfunktion tr(x)( )mit der Ausgangsfunktion f(x) verkettet: h(x)=f(tr(x))tr(x): Abbildung von x tg

wird für mathematische Darstellung von h(x)=f(tr(x)) benötigt:tr(x)=x-Δx

tr-1(x) (Umkehrfunktion von tr(x)): Abbildung tr xAus tr-1(x) ist die Verschiebung der Ausgangsfunktion f(t) auf die Zielfunktion h(x) direkt ablesbar: tr-1(x)=x+Δx

Nächster Schritt: Betrachtung von tr-1(x)=mx+ΔxNächster Schritt: Betrachtung von tr (x)=mx+Δx


Weitere Transformationen in x‐RichtunggAnalog zu Transformationen in y‐Richtung unter Einbeziehung der Erkenntnisse aus der Verschiebung in x‐Richtung:Erkenntnisse aus der Verschiebung in x Richtung:tr-1(x)=mx+Δx: Beschreibung von

Stauchung (0<m<1) / Streckung (m>1) in x‐RichtungStauchung (0 m 1) / Streckung (m 1) in x RichtungSpiegelung an y‐Achse m=-1bzw. Stauchung (0<|m|<1) / Streckung (|m|>1) UND gleichzeitige g ( | | ) / g (| | ) g gSpiegelung an der y‐Richtung (m<0)

tr(x) liefert mathematische Funktion für h(x)=f(tr(x))bzw. (wenn h(x) gegeben): Ausgangsgleichung für Bildung von tr-1(x) (zur Bestimmung graphischer Transformationen)Bilden Sie die Umkehrfunktion zu tr-1(x)=mx+Δx.

tr-1(x)/m=x+Δx/m => x=tr-1(x)/m-Δx/m=(tr-1(x)-Δx)/mBezeichner vertauschen: tr(x)=(x-Δx)/m = x/m-Δx/m


Aufgaben: Transformationen in x‐RichtungAusgangsfunktion: f(x)=sin(x) (schwarz)Bestimmen Sie jeweils tr-1(x) und tr(x) für die

g g

Bestimmen Sie jeweils tr (x) und tr(x) für die Zielfunktion g(x)=f(tr(x)) .Stauchung um Faktor 3 in x‐Richtung (g(x)):

tr-1(x) = 1/3 xtr(x) = 3x => g(x)=f(3x) =sin(3x)

h k h dStauchung um Faktor 3 in x‐Richtung undSpiegelung an y‐Achse ( h(x)=f(tr(x)) ):

tr-1(x) = -1/3 xtr (x) = -1/3 xtr(x) = -3x => h(x)=f(-3x) =sin(-3x)

Stauchung um Faktor 3 in x‐Richtung, g 3 g,Spiegelung an y‐Achse undVerschiebung um π/6 in x‐Richtung (i(x)):

t 1( ) 1/3 /6tr-1(x) = -1/3 x + π/6tr(x) = -3x + π/2 => i(x)=f(-3x + 3)


Weitere AufgabeBestimmen Sie die Transformationsschritte, um den Graphen von f(x)=sin(x) in den Graphen f(x)=sin(-2x+π/2) zu transformieren

d ki i Si f( )

g

und skizzieren Sie f(x):( )( ) ( )

424222,sin πtrxπxtrπxxtrxtrf +−=⇒−=−⇒+−==

( )42

142422

πxxtr +−=−⇒

a) in x‐Richtung um Faktor 2stauchen (höhere Frequenz)

b) an der y‐Achse spiegeln

) / i Ri htc) um π/4 in x‐Richtungverschieben


Polynome 2.GradesyBeispiel y= x2 - 4x + 7 = x2 - 4x +4 -4 +7 =(x-2)2+3

• h(x)=tr1(f(tr2(x)))• tr2(x)=x 2; tr2-1(x)=x+2• tr2(x)=x-2; tr2 1(x)=x+2also: Verschiebung von f(x)=x2

um 2 in x-Richtungg• tr1(f)=f+3also: Verschiebung um 3 in y‐Ri.

Also: Vorgehen1 binomische Ergänzung1. binomische Ergänzung…2. Verschiebung Normalparabel


Weitere Transformationen durch VerkettunggBisher: Verkettung elementarer Funktion f(x) mit linearer Funktionen tr(x)=mx+bFunktionen tr(x)=mx+b

Verkettung in beiden Reihenfolgen:t ° f t (f( )) T f ti i Ri httr ° f=tr(f(x)): Transformation in y‐Richtungf ° tr=f(tr(x)): Transformation in x-Richtung

Jetzt: Verkettung elementarer Funktionen mit beliebigen Jetzt: Verkettung elementarer Funktionen mit beliebigen Funktionen – z.B.:

K h tbild tr(x) 1/x x 1Kehrwertbildung: tr(x)=1/x=x-1

Polynom 2. Grades (für den Sonderfall f(tr)=tr½): tr(x)=x2-af k i (f d S d f ll t (f) f2) f( ) l ( )Potenzfunktion (für den Sonderfall tr(f)=f2): f(x)=log10(-x)

… eigene Strategien entwickeln


KehrwertbildunggBeispiel y=g(x)= 1/x (also Kehrwert von y=f(x)=x)

• 0<f(x)≤1 ∞>g(x)≥11<f(x)<∞ 1>g(x)>0• 1<f(x)<∞ 1>g(x)>0

• 0>f(x)≥-1 -∞<g(x)≤-1• -1>f(x)>-∞ -1<g(x)<0


1 f(x) 1 g(x) 0

Kehrwertbildung Polynomg y( ) 652 23 +−−= xxxxf

Anwendung auch Skizzen gebrochen


Skizzen gebrochen rationaler Funktionen

Weitere verkettete Funktionen2 Beispiele: a) b) Hi k F k i

( ) 12 −= xxf ( ) ( )( )210log xxg −=

Hier verkettete Funktionen: ( ) ( ) ( )

( )xtrxfxxtr =−= 12

Vorgehen (nicht allgemein gültig):

( ) ( ) ( )( )xtrxgtrtrg −== 10log22^22

g ( g g g)Definitionsmenge untersuchen (Einschränkungen z.B. bei log‐, Wurzel‐, tan‐Funktion und bei Divisionen)g , , )Wertemenge der inneren Funktion liefert Werte, die in äußere Funktion eingesetzt werden => Wertemenge für g gGesamtfunktion bestimmen


Weitere verkettete Funktionen2 Beispiele: a) b) V h ( i h ll i ül i )

( ) 12 −= xxf ( ) ( )( )210log xxg −=

Vorgehen (nicht allgemein gültig):Definitionsmenge untersuchen (Einschränkungen z.B. bei log‐, Wurzel‐, tan‐Funktion und bei Divisionen))Wertemenge der inneren Funktion liefert Werte, die in äußere Funktion eingesetzt werden => Wertemenge für Gesamtfunktion bestimmen

E t F kti l f i F kti üb l d Erst Funktionsverlauf innerer Funktion überlegen – dann zur äußeren Funktion vorarbeiten – oder umgekehrt…B i F kti k ü f d h * / t t Bei Funktionsverknüpfung durch +;‐;*;/ getrennt Funktionsverläufe der Einzelfunktionen überlegen und dann verknüpfendann verknüpfenGgf. überlegen, ob sich Funktion für spezielle x‐Argumente vereinfacht (z B bei f(x) für sehr große x)vereinfacht (z.B. bei f(x) für sehr große x)


Weitere verkettete FunktionenBeispiel: a) V h

( ) 12 −= xxfVorgehen:

Definitionsmenge/Wertemenge untersuchenWurzelfunktion (gerade Wurzel) liefert nur Werte ≥0

liefert Werte ≥‐1; Wurzelfunktion nur für Werte ≥0 definiert(also f(x) nicht für -1<x<1 def )

12 −x11012 ≥∨≤⇒≥⇒ xxx (also f(x) nicht für -1<x<1 def.)

f(1)=f(‐1)=0

Ggf überlegen ob sich Funktion für spezielle x‐Argumente

1101 ≥∨−≤⇒≥−⇒ xxx

Ggf. überlegen, ob sich Funktion für spezielle x Argumente vereinfacht (z.B. bei f(x) für sehr große x)

Für betragsmäßig große x-Argumente gilt: g g g g g

( ) xxxfxx =≈⇒≈− 222 1


Weitere verkettete FunktionenBeispiel: a) W lf k i ( d W l) li f W

( ) 12 −= xxfWurzelfunktion (gerade Wurzel) liefert nur Werte ≥0f(x) nicht für ‐1<x<1 definiertf(1)=f(‐1)=0Für betragsmäßig große x‐Argumente gilt: ( ) xxxf =≈ 2

g g g g g


Weitere verkettete FunktionenBeispiel: b) Q d i h F k i li f W

( ) ( )( )210log xxg −=

Quadratische Funktion liefert nur Werte ≥0ergibt sich durch Spiegelung von( )x−10log ( )x10log

( )an y‐Achse => nur für x<0 definiertNegative Werte von (für ‐1<x<0) werden durch

( )x−10log

( )x−10logQuadrierung positivQuadrierung:Q g

für : Funktionswert wird betragsm. kleinerfür : Funktionswert wird betragsm. größer

( ) 1log10 <− x( ) 1log10 >− xfür : Funktionswert wird betragsm. größer( )g10


Weitere verkettete FunktionenBeispiel: b) ( ) ( )( )210log xxg −=


AchsenskalierunggBeispiel: y=f(x)=10x

graphischen Darstellung: Wo ist das Problem?graphischen Darstellung: Wo ist das Problem?keine Skalierung möglich, in der der Funktionsgraph über großen x Bereich dargestellt werden kanngroßen x‐Bereich dargestellt werden kann


Achsenskalierung: logarithmische Darstellungg g gBeispiel: y=f(x)=10x

A f d ä hli h 5Auf dem tatsächlicheny‐Wert (10n) wird dieF kti l 103

105

Funktion log10y angewendet und dasErgebnis auf der y Achse 101

102

10

Ergebnis auf der y‐Achseaufgetragen:z B :

10-1

z.B.:log10100=log10102=2l 50 l 101 7 1 7

10-3

log1050≈log10101,7=1,7


logarithmische Darstellung – Bel oder Dezibelg g[Bel]: dekadischer Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs bzw EnergiegrößenLeistungs‐ bzw. EnergiegrößendB: Dezibel 1Bel=10dB

dBPPB

PPL 1

101

10 log10log ⋅==

gebräuchliches Maß zur graphischen Darstellung von

PP 210

210

gebräuchliches Maß zur graphischen Darstellung von Verstärkungskennlinien (auch im Audio‐Bereich)


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von Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe HochschuleEmden/Leerrabe/Downloads/Mathe1/... · y()(streng) monoton steidigende bzw. fll dfallende FkiFunktion: Funktion, die im gesamten Definitionsbereich