Upload
mishazujev
View
735
Download
5
Embed Size (px)
DESCRIPTION
22b Voolu diferentsiaalvõrrandid, potentsiaal, voolufunktsioon, keerised
Citation preview
22b Voolu pidevus
2. Hüdrodünaamika
21. Voolamine avadest22. Voolu pidevus23. Survekadu
22b Ülevaade
Bernoulli seadusReynoldsi arvVoolufunktsioonVoolu potentsiaal
22b ÕpiväljundidTeadmised
○ mis on Bernoulli seadus
○ millest sõltub rõhk liikuvas vedelikus
○ mis on Bernoulli võrrand ideaalvedeliku jaoks
○ millal tohib kasutada Bernoulli võrrandit
Oskused○ kasutada Bernoulli
seadust○ arvutada rõhku
liikuvas vedelikus○ leida voolu kiirust
22b Kirjanduse loetelu[1] Hüdraulika ja pumbad. Aleksander Maastik jt. [2] Hüdromehaanika. K. Laigna[3] Hüdraulika. L.Tepaks[4] Hüdraulika. J. Rabinovitš
[5] Гидравлика. Р.Р. Чугаев[6] Гидравлика. А.И. Богомолов, К.А. Михайлов[7] Гидравлика. Е. З. Рабинович[8] Гидравлика. И.З. Френкель
[9] Engineering fluid mechanics. W.P. Graebel[10] Understanding Hydraulics. L.Hamill
[1] lk 51-58
[2] lk 79-85[3] lk 74-84[4] lk 79-87
[5] стр. 95-101[6] стр. 67-72
[7] стр. 68-74[8] стр. 120-124, 143-147, 152-156[9] p.123-129
[10]
Terminid (1)Bernoulli printsiip - kui vedeliku kiirus suureneb, selle rõhk langeb.Statsionaarne vool - igas punktis kiirus konstantne, ei sõltu ajast. Erinevates punktides ta on erinev. Ebastatsionaarne (muutuv) vool - ühes ja samas punktis kiirus võib olla erinevate väärtustega erinevatel ajahetkedel. Voolujoon - kiirusväljas asuv kõverjoon, mille igas punktis puutuja siht ühtib kiirusvektori sihiga selles punktis. Trajektoor - vedelikuosakese liikumistee ruumis; kirjeldab osakese asendit eri hetkedel.
Terminid (2)Vool on liikuv vedelik, mida ümbritseb liikumatu keskkond (kas gaasiline, tahke või vedel). Vabavool - liigub raskusjõu toimel. Vabapind - kokkupuutepind gaasilise keskkonnaga. Survevool - liigub välisjõu toimel mistahes suunas. Joad võivad olla vabajoad (gaasis) või sukeljoad (vedelikus). Voolu ristlõige (elavlõige) - voolu risti voolujooni lõikav pind. Märgpiire (märgperimeeter) - voolava vedeliku kokkupuutejoon elavlõike liikumatu piirdega (v.a. vabapind)Hüdrauliline raadius - elavlõike ja märgpiirde suhe. Vooluhulk - ristlõiget ajaühikus läbiv vedeliku maht.
Voolu parameetrid
χ - märgpiire (m)
Hüdrauliline raadius (m)R = A / χ
A - elavlõige (m2)
Toru hüdrauliline raadius R = 0,25d
Bernoulli seadusKui vooluhulk ei muutu, voolu ristlõikes madalama kiirusega valitseb suurem rõhk.
Bernoulli kolmikliige
Bernoulli võrrandi geomeetriline tõlgendus
surve, m
pikkus, m
1) z - kõrgussurve + 2) piesomeetersurve + 3) kiirussurve
Täissurve =
Bernoulli võrrandi füüsikaline (energeetiline) tõlgendus
energiajoon
survejoonkineetiline energia
potentsiaalne rõhu-
erienergia
erienergia
potentsiaalne asendi-
erienergia
Reynoldsi arv
Määrab voolamise režiimi. Torus Re alla 2000 laminaarne, üle 4000 turbulentne. Kanalis alla 500 laminaarne, üle 1000 turbulentne.
Vee kinemaatiline viskoossus on 10-6 m2/s
Näide
Leida voolukiirus torus läbimõõduga 10 cm, kus voolab vooluhulk 4 liitrit sekundis.
Lahendus:Voolukiirus sõltub vooluhulgast ja ristlõike pindalast. u=Q/A = Q / (π d2 /4)u = 0,004 x 4 / 3,14 x 0,01 = 0,5 m/s
Küsimused
Mida on vaja teada voolukiiruse leidmiseks torus?Millistel juhtudel kehtib Bernoulli kolmikliige?Mida väidab Bernoulli printsiip?Kuidas iseloomustatakse laminaarne voolamine?Kuidas iseloomustatakse turbulentne voolamine?Mis jääb muutmatuks statsionaarses voolus?Mis tingimusel voolamine on statsionaarne?Mida näitab Reynoldsi arv?Mille poolest erineb ideaalvedelik reaalvedelikust?Mida iseloomustab Bernoulli võrrandi kolmas liige geomeetriliselt?Mis on vooluhulk? Mõõtühikud?
Kontrolli oma teadmisi
Kontrolli oma teadmisi
Peale mooduli läbimist...
● teate, mis on voolamise Euleri võrrandid
● teate, mis on div(u), potentsiaalne voolamine
● teate, mis on reaal- ja ideaalvedelik
● teate, mis asi on Bernoulli võrrandi energeetiline tõlgendus
● teate, mis on voolufunktsioon
● oskate määrata, kas vool on potentsiaalne, divergentsivaba
● oskate leida voolufunktsiooni● oskate leida kiirusvektori
väärtust
1. Voolu pidevus
● Mis on divergentsivaba kiirus
● Mis on kokkusurumatus
● määrata, kas vool on pidev või mitte
● leida kiirusvektori komponendid
Voolu pidevusMatemaatiliselt kokkusurumatus avaldatakse läbi kiiruse divergentsi.
Divergents on skalaarkorrutis kiirusvektori komponentide vahel ja osatuletise komponentide vahel.
Kiirus on esitatud vektorina ruumis.
Kiirusvektori kuju
z
x
y
kiiru
s
u (rõh
tkompo
nent
x-telj
e
suun
as)
v, (rõhtkomponent y-telje suunas)
w, (vertikaalne komponent)
Kiirusvektor 2D-diagrammil
Kiirusvektor 2D-diagrammil
Kiirusvektor 2D-diagrammil
NäideAntud kiiruse jaotus, määrata, kas vool on kokkusurumatu (ehk divergentsivaba).
Lahendus:Vool on kokkusurumatu ainult juhul, kui kiiruse divergents on null. Esimese liikme (u) osatuletis x järgi: (-4x + y + z)'x = -4 Teise liikme (v) osatuletis y järgi:(x -3y + 2z)'y = -3Kolmanda liikme (w) osatuletis z järgi:(4x - 6y + 4z)'z = 4Liidame kõik kokku: -4 - 3 + 4=-3 ei ole null.
Vastus: kokkusurumatuse tingimus ei ole täidetud
Kontrolli oma teadmisi
Antud kiiruse jaotus u(x,y,z). Kas vool on kokkusurumatu? Kuidas tuleb muuta vektorit, et vool oleks kokkusurumatu?
Küsimused
Kuidas matemaatiliselt avaldatakse vedeliku kokkusurumatus?
2. Voolufunktsioon (ψ)
● Mida tähendab voolufunktsioon
● Milleks seda on vaja
● määrata, kuhu vool on suunatud
Voolufunktsioon (ψ)
Voolufunktsioon on üksiku voolujoone võrrand.
Ühesuunaline voolamine
Kiirusvektor
Kahesuunaline voolamine
Kiirusvektor
Voolujoone graafik
Kiirusvektor
Voolufunktsioon
3
4
x
y
Punase joone võrrand:
Näide
Antud kiirusvektor, leida voolufunktsioon.
Lahendus: Leida integraalid nii, et osatuletised annaksid kiirusvektori komponendid.
Küsimused
Kas voolujooned võivad lõikuda? Kuidas, miks?Mida näitab voolufunktsioon?Milleks on vaja voolufunktsiooni?Mis jooned on risti voolujoontega?
Kontrolli oma teadmisi
Antud kiirusvektor, leida voolufunktsioon, kanda 2 joont graafikule.
Antud voolufunktsioon, leida kiirusvektor.
Leida kiirusvektori suund ja suurus punktis A (x,y).
Kanda graafikule voolujooned.
3. Kiiruse potentsiaal (φ)
● Mis on potentsiaalne voolamine
● Mille jaoks seda on vaja● Mis on keerilisus ja
pöörelisus● Millal voolus võivad olla
keerised
● määrata, kas vool on pöörisevaba
Kiiruse potentsiaal (φ)
Potentsiaalne voolamine tähendab, et keeriseid ei esine. See ei tähenda, et voolujooned on sirged.
Kiiruse potentsiaal
Potentsiaalne voolamine on matemaatiline lihtsustus, mis eeldab, et voolus ei ole keeriseid (pööriseid). Iga keerisevaba liikumine on potentsiaalne ja iga potentsiaalne voolamine on keerisevaba.
Potentsiaaljooned on risti voolujoontega.
Ühel potentsiaaljoonel on samad kiirusvektori väärtused.
Potentsiaaljoone graafikKiirusvektor
Kiiruse potentsiaal
3
4
x
y
-4
-3Helesinise joone võrrand:
NäideAntud kiiruse funktsioon, määrata, kas voolamine on keerisevaba.
Lahendus:Keerisevaba voolamine toimub ainult juhul, kui kiirusvektori rootor on null. Rootor koosneb kolmest komponendist:1: 4 - 4 = 0
2: 0 - 0 = 0
3: 2x - 4x - 5 = -2x-5
Summa: 0 + 0 + (-2x-5) < 0Vastus: voolamine ei ole keerisevaba
Harjutus1. Antud kiirusvektor, on vaja leida potentsiaalLahendus: Leida integraalid nii, et osatuletised annaksid kiirusvektori komponendid.
2. Antud potentsiaalne funktsioon, leida kiirusvektorLahendus: Leida osatuletised vastava muutuja järgi.
3. Leida kiirusvektori suund ja suurus punktis A (x,y,z)Lahendus: Panna x, y ja z väärtused kiirusvektori võrrandisse.
4. Kanda joonisele potentsiaaljooned.Lahendus: Leida potentsiaalfunktsioon, leida kaks kuni neli punkti, ühendada punktid (sirgjoon, kõverjoon, ringjoon).
Kontrolli oma teadmisiMäärata, kas voolamine on potentsiaalne: