PROJECT WATER DEEL 1 Opgave 4: Stroming door een doorlatende dam.

Groep 1

Maarten van der Poel – 0822202 Youness Kabbouch– 0841122

Hamza Chaouki– 0823873 Tim van Dam – 0837296 Taimur Aryai - 0799122

02 OKTOBER 2013 HOGESCHOOL ROTTERDAM

1

i. Samenvatting

Dit rapport betreft de uitwerking van een vraagstuk over stroming door een waterdoorlatende dam.

In het eerste hoofdstuk wordt een korte inleiding gegeven en in het tweede hoofdstuk wordt het

vraagstuk duidelijk geformuleerd.

De opdracht wordt vervolgens in hoofdstuk 3 met de hand uitgerekend. Dit hoofdstuk wordt gesplitst

in subhoofdstukken waarin in hoofdstuk 3.1 het debiet wordt berekend, in hoofdstuk 3.2 worden de

waterstanden berekend en in hoofdstuk 3.3 wordt de doorstroomtijd uitgerekend.

In hoofdstuk 4 wordt de opdracht met behulp van het programma MicroFEM uitgerekend. Hierin

wordt stapsgewijs beschreven hoe de uitkomst tot stand is gekomen. Ook dit hoofdstuk is

onderverdeeld in subhoofdstukken.

In hoofdstuk 5 worden de uitkomsten van de twee methoden beschouwd. De uitkomsten worden

vergeleken en toegelicht.

Ten slotte wordt de conclusie getrokken dat de analytische methode nauwkeuriger is. De conclusie

wordt toegelicht in hoofdstuk 6 waarin ook de aanbeveling wordt gedaan om andere programmatuur

te raadplegen.

2

ii. Inhoudsopgave

i. Samenvatting ........................................................................................................................ 1

1. Inleiding ................................................................................................................................ 3

2. De opdracht .......................................................................................................................... 4

3. Analytische uitwerking ........................................................................................................... 5

3.1. Het debiet...................................................................................................................... 5

3.2. De waterstanden............................................................................................................ 7

3.3. Reistijd .......................................................................................................................... 9

4. Uitwerking m.b.v. MicroFem .................................................................................................12

4.1. De invoer ......................................................................................................................12

4.2. De Waterstanden ..........................................................................................................14

4.3. Het Debiet ....................................................................................................................15

4.4. De reistijd .....................................................................................................................16

5. Vergelijking van de methoden ...............................................................................................17

5.1. Uitkomsten ...................................................................................................................17

5.2. Toelichting ....................................................................................................................17

6. Conclusie en aanbeveling ......................................................................................................18

3

1. Inleiding

Door leraren van de Hogeschool Rotterdam zijn wij als goed samenwerkend projectteam

civieltechnisch ingenieurs gevraagd om het grondwatergedrag binnen een dam te voorspellen. Eerst

zal met behulp van een analytische methode het grondwatergedrag door de dam worden voorspeld.

Vervolgens zal met behulp van software een model worden gesimuleerd en uitgerekend. Ten slotte

worden de uitkomsten van beide methoden vergeleken.

4

2. De opdracht

Op onderstaande afbeelding, Figuur 1, is de dam te zien waarbij voorspeld moet worden hoe het

grondwater zich binnen deze dam zal gedragen.

Figuur 1. Waterdoorlatende dam op een ondoorlatende laag. Overgenomen uit de modulewijzer Project Water Deel 1, n@tschool, dhr. J Langedijk (september 2013).

Het voorspellen van het gedrag van het grondwater binnen de dam kan door middel van het

berekenen van een aantal aspecten. De letterlijke opdracht luidt:

- Bereken het debiet door de dam en bereken de waterstanden.

- Hoe lang doet het water er gemiddeld over om door de doorlatende laag in de dam te

stromen?

Gegevens:

H1 = Waterstand links van de dam = 10,0 [m]

H(x) = Waterstand behorende bij x = ??? [m] (in Figuur 1 “H” i.p.v. “H(x)”)

H2 = Waterstand rechts van de dam = 8,0 [m]

X = plaats binnen de dam (0 < x < L)= 3,0 [m]

L = Breedte van de dam = 40,0 [m] (in Figuur 1 “B” i.p.v. “L”)

K = Doorlatendheidscoëfficiënt = 2,0 [m/dag]

5

3. Analytische uitwerking

In dit hoofdstuk wordt met de hand de opdracht uitgewerkt. Het hoofdstuk wordt onderverdeeld in

3.1 het debiet, 3.2 de waterstanden en 3.3 de reistijd.

3.1. Het debiet

Het debiet door de dam kan worden bepaald met behulp van de wet van Darcy. Hier onder wo rdt

stapsgewijs beschreven hoe deze wet van Darcy leidt tot de oplossing van dit vraagstuk. De wet van

Darcy luidt als volgt:

Aan beide kanten met H vermenigvuldigen geeft:

Integreren van deze laatste vergelijking geeft:

Wanneer we in deze vergelijking X = 0 invoeren is H gelijk aan H0. Hiermee wordt de waarde van de

constante C bepaald.

Hieruit volgt:

(1)

6

Met behulp van deze vergelijking (1) kunnen we een vergelijking opstellen om het debiet door de

dam (Q) te bepalen. Hiervoor stellen we X gelijk aan L, waardoor H(x) gelijk is aan HL. De vergelijking

wordt dan:

(2)

(3)

Met behulp van vergelijking 3 kan het debiet door de dam worden berekend. Als we alle waarden in

de formule invoeren krijgen we:

Het debiet door de dam bedraagt 0,90 m3/dag per strekkende meter.

7

3.2. De waterstanden

We hebben nu een vergelijking opgesteld voor het bepalen van het debiet door de dam. Wat we

vervolgens willen is een vergelijking die de plaatshoogte van het water dat door de dam stroomt

goed weergeeft. Hiervoor gebruiken we vergelijking (2):

(2)

(4)

In vergelijking (4) is te zien dat de term gelijk is aan

Als we nu vergelijking (1) combineren met vergelijking (4) krijgen we de volgende vergelijking:

(1)

(4)

(5)

Dit is vervolgens weer om te schrijven tot vergelijking (6):

(6)

Als nu elke willekeurige waarde voor x wordt ingevuld, is het resultaat van de vergelijking de

bijbehorende waterstand binnen de dam. Als we x = 3 invullen is te zien dat:

De waterstand bij x = 3 is gelijk aan 9,86 m.

8

Met behulp van vergelijking (6) kan de plaatshoogte op ieder punt in de dam worden berekend. Deze

vergelijking is in Microsoft Excel ingevoerd en met behulp van dit programma een plaatshoogtelijn

getekend. De grafiek is te zien in de onderstaande Figuur 2.

Figuur 2. Plaatshoogtelijn door de dam. Gemaakt met behulp van Microsoft Excel, Tim van Dam (Oktober 2013).

Naast de plaatshoogtelijn is in de bovenstaande grafiek ook een lineaire lijn getekend. Deze lijn toont

aan dat het verloop van de waterstand niet lineair is.

7

7,5

8

8,5

9

9,5

10

10,5

11

0 5 10 15 20 25 30 35 40

pla

atsh

oo

gte

X-waarde

Plaatshoogtelijn

plaatshoogte H(x) [m]

Lineair verloop

9

3.3. Reistijd

De tijd dat een waterdeeltje er over doet om door de dam heen te stromen noemen we de reistijd

van het waterdeeltje. Om de reistijd te bepalen moeten we de gemiddelde stroomsnelheid (v gem)

weten. De stroomsnelheid door de dam is gelijk aan de filtersnelheid q(x) gedeeld door het effectieve

poriëngehalte neff. De neff waarde voor deze dam is 0,3.

De filtersnelheid door de dam is gelijk aan het debiet dat door de dam stroomt, gedeeld door het

doorstroom oppervlakte. We beschouwen de dam per strekkende meter, de filtersnelheid kan dan

worden benaderd met vergelijking (7) welke vergelijking (3) en vergelijking (6) bevat.

waarin: (3) en: (6)

(7)

Vergelijking (7) weergeeft het verloop van de filtersnelheid door de dam. Links is de waterstand gelijk

aan H0 en dus 10 meter, terwijl de waterstand bij HL 8 meter bedraagt. Aangezien het debiet constant

is door de dam, moet de filtersnelheid wel toenemen naarmate de waterstand afneemt. In de

onderstaande grafiek , Figuur 3, is het verloop van deze filtersnelheid te zien.

Figuur 3. Fi ltersnelheid door de dam. Gemaakt met behulp van Microsoft Excel, Tim van Dam (Oktober 2013).

0,085

0,090

0,095

0,100

0,105

0,110

0,115

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Filt

ers

ne

lhe

id [

m2

/s]

X-waarde [m]

Filtersnelheid

Filtersnelheid q(x) [m2/s]

10

Het gemiddelde van de filtersnelheid door de dam is gelijk aan het oppervlakte onder de lijn gedeeld

door de breedte van de dam. In de afbeelding hieronder is het oppervlakte onder de functie q (x)

gearceerd. Zie figuur 4.

Figuur 4. Oppervlakte onder q(x) . Gemaakt met behulp van Microsoft Excel, Tim van Dam (Oktober 2013).

De gemiddelde filtersnelheid is gelijk aan het oppervlakte onder q (x) (zie figuur 4) gedeeld door de

breedte van de dam, ofwel de integraal van q (x) gedeeld door de breedte (L). De integraal van q (x) is

vergelijking (8).

(8)

Dit ziet er erg ingewikkeld uit. Deze vergelijking kan sterk worden vereenvoudigd aangezien bijna alle

waarden constant zijn. We schrijven vergelijking (8) om naar vergelijking (9).

(9) Hierin zijn:

(10)

-

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Filt

ers

ne

lhe

id q

(x)

[m2

/s]

x-waarde

Filtersnelheid

filtersnelheid q(x) [m2/s]

11

Als we q(x) integreren krijgen we:

(11)

(12)

Als we nu vergelijking (12) invullen krijgen we:

(13)

Het oppervlakte onder q(x) van x = 0 tot en met x = L is gelijk aan:

De gemiddelde filtersnelheid q(gem) door de dam is gelijk aan 4 / 40 = 0,10 m2/dag. De stroomsnelheid

door de dam is dan:

(15)

De gemiddelde stroomsnelheid door de dam is 0,333 meter per dag. De reistijd van een waterdeeltje

dat door de dam reist is gelijk aan de afgelegde afstand gedeeld door de gemiddelde snelheid:

(16)

Het duurt 120 dagen voordat een waterdeeltje door de dam heen is.

12

4. Uitwerking m.b.v. MicroFem

In dit hoofdstuk wordt stapsgewijs laten zien hoe het vraagstuk m.b.v. MicroFEM is opgelost. Het

hoofdstuk wordt onderverdeeld in 4.1 de invoer, 4.2 de waterstanden, 4.3 het debiet en 4.4 de

reistijd.

4.1. De invoer

In MicroFEM is eerst het bovenaanzicht van het model getekend. Als breedte van de dam is gekozen

voor 10 meter in plaats van 1 meter omdat het simpelweg wat beter oogt en makkelijker invoeren is.

De transmissie, ofwel KD waarde, die is ingevoerd is gelijk aan de K waarde maal de laagdikte die we

later moeten bepalen. In dit opdracht dient de dikte bepaald te worden aan de hand van een

formule.

De waterstand aan de linkerkant van de dam bedraagt 10,0 meter en aan de andere kant 8,0 meter.

In onderstaande Figuur 5 is dit te zien in MicroFEM. Ook zijn deze hoogten ‘vast gezet’ zodat ze niet

veranderen.

Figuur 5. Bovenaanzicht van het model in MicroFEM. Gemaakt met behulp van MicroFEM, Taimur Aryai

(Oktober 2013).

In het vak ‘trans’ dient de formule ingevoerd te worden en is namelijk; h1*2. De 2 is de k-waarde en de h1 is de laagdikte die niet bekend is. Dit is te zien in Figuur 6.

Figuur 6. Invoer van de transmissiecoëfficiënt. Gemaakt met behulp van MicroFEM, Taimur Aryai

(Oktober 2013).

13

Ook dient de laagdikte van de watervoerende laag te worden aangegeven. Om een laagdikte

(‘Thickness’) in te voegen dient er via de tab ‘Project’ de selectie ‘project manager’ aangeklikt te

worden. Met de +-teken kan er een nieuwe tab in het project ingevoerd worden en daar dient onder

aquitard de waarde 10 ingevoerd te worden als totale laagdichte van de water doorvoerende laag.

Zie Figuur 7.

Figuur 7. Invoer van de laagdikte van de watervoerende laag. Gemaakt met behulp van MicroFEM, Taimur Aryai

(Oktober 2013).

14

4.2. De Waterstanden

Nu we alles ingevoerd hebben kan MicroFEM beginnen met rekenen. Aan de hand van de

plaatshoogten aan beide zijden van de dam en de KD waarde kan de plaatshoogte op elk willekeurig

punt in de dam worden bepaald met behulp van MicroFEM. De plaatshoogtelijn die daaruit

voortkwam is te zien in Figuur 8.

Figuur 8. Plaatshoogtelijn in MicroFEM. Gemaakt met behulp van MicroFEM, Taimur Aryai (Oktober 2013).

De rode lijn is het verloop van de waterstand binnen de dam. De x-as is de breedte van de dam en de

y-as is de waterstand in meters. De witte lijn is een lineaire lijn om aan te tonen dat het verloop van

de waterstand niet lineair is.

Als we de waterstand bij x = 3 aflezen uit de grafiek komen we op een waarde van c.a. 9,85 meter.

15

4.3. Het Debiet

Voor het bepalen van het debiet door de dam moeten we in de loopmodus kijken naar de

waterbalans. Het volgende scherm verschijnt dan, weergeven in Figuur 9.

Figuur 9. Waterbalans in de dam. Gemaakt met behulp van MicroFEM, Taimur Aryai (Oktober 2013).

In de tabel is te zien dat inflow - outflow 0 is. Dit klopt aangezien er geen sprake is van berging of

neerslag. Het debiet door de dam is 8.969 m3/dag op basis van de invoer. Maar omdat we de laag 10

m breed genomen hebben dient het bovenstaande debiet nog door 10 gedeeld te worden.

Dan wordt het debiet 0.8969 oftewel 0.90 m³/dag.

16

4.4. De reistijd

Voor het bepalen van de reistijd wordt in de tekenmodus een flowline getekend. Na spelen met de

grootte van de maximale tijd en de tussenstapjes is gekozen voor een maximale reistijd van 1 jaar en

tussenstappen van 0,05 jaar. De poseusiteit in de dam is 0,3, een standaartwaarde voor zand.

Dit is te zien op de onderstaande afbeelding, Figuur 10.

Figuur 10. Flowline en bijbehorende invoer. Gemaakt met behulp van MicroFEM. Tim van Dam (Oktober 2013).

In Figuur 10 zijn c.a. 7,2 streepjes te zien. Elk streepje staat voor 0,05 jaar, dus de totale reistijd van een waterdeeltje bedraagt 0,05 x 7,2 x 365 = c.a. 131 dagen.

17

5. Vergelijking van de methoden

Het vraagstuk is op twee manieren opgelost. Eerst is het vraagstuk analytisch opgelost, waarbij met

de hand is gerekend en gebruik is gemaakt van Maple 17 en Microsoft Exce l. Vervolgens is met

behulp van de software MicroFEM een antwoord gevonden op het vraagstuk. De uitkomsten worden

in dit hoofdstuk vergeleken met elkaar. In hoofdstuk 5.1 worden de uitkomsten getoond en

vervolgens toegelicht in hoofdstuk 5.2

5.1. Uitkomsten

Tussen de twee methoden, de analytische methode en de methode met behulp van de software

MicroFEM, zijn verschillen opgetreden tussen een aantal uitkomsten. De uitkomsten staan hieronder in een tabel naast elkaar vergeleken, zie Figuur 11.

symbool Analytisch MicroFEM eenheid

Het debiet door de dam Q 0,900 0,897 [m3/dag]

De waterstand bij x = 3 H(X=3) 9,864 9,850 [Meter]

De reistijd van het water T 120,0 131,4 [dagen]

Figuur 11. Vergelijking tussen de uitkomsten van de analytische methode en de methode m.b.v. MicroFEM.

Gemaakt met behulp van Microsoft Excel. Tim van Dam (Oktober 2013).

5.2. Toelichting

Het debiet.

Wat betreft het debiet is niet duidelijk waar het verschil vandaan komt. Het verschil is dan wel heel

klein, maar een echte verklaring hebben we er niet voor. Met afrondingsfouten in de analytische berekening of met onnauwkeurigheid van het programma heeft het niet te maken.

De waterstand.

De waterstand komt goed overeen tussen beide methoden. Ook de plaatshoogtelijn die met de twee

verschillende methoden is gemaakt zijn zo goed als identiek aan elkaar. Het verschil dat er is tussen

de twee waarden in Figuur 11 is te wijten aan de onnauwkeurigheid van het aflezen van de grafiek

die door MicroFEM gemaakt is.

De reistijd.

In tegenstelling tot het debiet en de waterstand is er een groter verschil in de reistijd van het water

door de dam heen. Het kan zijn dat er een kleine onnauwkeurigheid zit in het aflezen van de reisduur

die berekend is door MicroFEM. Deze onnauwkeurigheid kan echter niet zo groot zijn als het verschil

dat hier optreedt tussen de twee methoden. De oorzaak daarvan weten we niet, maar wellicht heeft het iets te maken met het verschil dat er in het debiet was.

18

6. Conclusie en aanbeveling

De conclusie die te trekken is na het uitwerken van dit vraagstuk is dat de analytische methode

accurater lijkt te zijn dan de methode waarbij MicroFEM gebruikt wordt. Het is echter wel weer een

nadeel van de analytische methode dat het erg veel werk is om het handmatig uit te rekenen. Wij adviseren om de uitkomst van de analytische methode als maatgevende uitkomst te beschouwen.

De aanbeveling die wij doen is om andere software te raadplegen en om te kijken of deze software

nauwkeuriger resultaat heeft dan MicroFEM.