Vorlesungsskript, Teil I

Vorlesungsskript, Teil I

Hannover, Ausgabe WiSe 2014/15

Cremer Clemens

Textfeld

Vorwort

Dieses Skriptum enthalt Teile der Skripte”Stromungsmechanik fur Bauingenieure“, Teil I und zu einem geringen

Anteil auch Teil II, Ausgabe 1990. Die Neuzusammenstellung und erste TEX-Fassung (2004) ubernahm Dipl.-

Ing. R. Ratke. Seit einer grundlichen Umarbeitung der TEX-Fassung (2013) durch Herrn Rene Stoelk wird das

Skript kontinuierlich angepasst und erganzt.

Vorwort zur ersten Auflage (1981)

Dieses Skriptum enthalt den Stoff, der in der Vorlesung “Stromungsmechanik I fur Bauingenieure“ im dritten

Semester gelehrt wird. Es handelt sich dabei nicht um ein Lehrbuch und sollte nur als eine Erganzung zu

Vorlesungen und Ubungen verstanden werden. Eine selbstandige Erarbeitung des Stoffes aus dem Skriptum ist

schon deshalb schwierig, weil auf Berechnungsbeispiele verzichtet wurde.

Die erste Version dieses Skriptums ist von Herrn Dr. Gartner auf der Basis meiner handschriftlichen Unterlagen

erstellt worden. An wesentlichen Erganzungen waren die Herren Theunert und Urban sowie Krahn und Ratke

beteiligt. Herr F. Brehm erstellte die attraktive außere Form.

Ihnen und allen anderen Mitarbeitern, die Verbesserungsvorschlage gemacht haben, danke ich fur ihre Mitarbeit.

W. Zielke

i

ii

Inhaltsverzeichnis

Vorwort i

Bezeichnungen viii

Lateinische Buchstaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

Das griechische Alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

Griechische Buchstaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0

Sonstige Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0

A Einfuhrung 1

B Eigenschaften von Fluiden 3

B.1 Maßeinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

B.2 Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

B.3 Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

B.4 Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

B.5 Kompressibilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

B.6 Schallgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

B.7 Viskositat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

B.8 Spezifische Warme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

iii

B.9 Innere Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

B.10 Dampfdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

B.11 Oberflachenspannung und Kapillaritat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

B.12 Stoffwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

C Fluide im Gleichgewicht 15

C.1 Druck als skalare Große . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

C.2 Hydrostatisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

C.3 Hydrostatische Druckverteilung in Flussigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

C.4 Hydrostatischer Druck auf horizontale Boden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

C.5 Hydrostatischer Druck auf ebene geneigte Flachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

C.6 Hydrostatischer Druck auf gekrummte Flachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

C.7 Hydrostatischer Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

C.8 Relativ ruhende Flussigkeiten in bewegten Gefaßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

C.9 Schwimmstabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

D Kinematik der Stromung 33

D.1 Geschwindigkeit, Bahn-, Strom-, Streich- und Zeitlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

D.2 Stromrohre und Stromfaden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

D.3 Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

E Transport von Masse, Impuls und Energie 41

E.1 Transport durch Stromfaden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

E.2 Transport durch Stromrohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

E.3 Transport durch eine gekrummte Flache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

E.4 Transportprozesse infolge Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

iv

F Erhaltungssatze der Stromungsmechanik 51

F.1 Grundgleichungen fur Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

F.2 Ubergang vom Fluidvolumen zum Kontrollraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

F.3 Massenerhaltung (Kontinuitatsgleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

F.3.1 Dichtebestandige Stromung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

F.3.2 Dichteveranderliche Stromung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

F.3.3 Dichtebestandige Stromung mit freier Oberflache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

F.4 Impulserhaltung (Impulssatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

F.4.1 Stationare Stromung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

F.4.2 Stromrohre, instationar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

F.5 Energieerhaltung (Energiesatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

F.5.1 Stromrohre, stationar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

F.5.2 Stromrohre, instationar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

F.5.3 Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

F.5.4 Folgerungen aus der Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

F.6 Zusammenhang zwischen Impulssatz und Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

G Stromungswiderstand 69

G.1 Schubspannungen infolge Viskositat (Zahigkeit)

und Scheinviskositat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

G.2 Beziehung zwischen Wandschubspannung

und Verlust an Stroungsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

G.2.1 Rohrleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

G.2.2 Offenes Gerinne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

G.3 Fließarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

v

G.4 Wandreibung und Geschwindigkeitsverteilung

bei laminarer Rohrstromung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79


bei turbulenter Rohrstromung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

G.6 Wandreibung bei Gerinnestromung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

G.7 Grenzschichten und Ablosungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

G.8 Konzentrierte Fließverluste in Rohren und Gerinnen,ζ-Werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

G.8.1 Ein- und Auslaufverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

G.8.2 Umlenkverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

G.8.3 Verzweigungsverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

G.8.4 Querschnittsanderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

G.8.5 Verschlussorgane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

H Elementare stationare Rohrstromungen 97

H.1 Grundsatzliche Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

H.2 Venturi-Rohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

H.3 Pumpe, Turbine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

H.4 Rohrsystem mit Pumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

I Elementare stationare Gerinnestromungen 105

I.1 Normalabfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

I.2 Wellengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

I.3 Stromen und Schießen, Grenzbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

I.3.1 Betrachtungen bei vorgegebenem konstanten q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

I.3.2 Betrachtungen bei vorgegebenem konstanten E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

I.3.3 Bestimmung von h und v bei gegebener spezifischer Energie und Durchfluss . . . . . . . 114

vi

I.3.4 Grenzgefalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

I.4 Fließwechsel bei Gefalleanderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

I.4.1 Zusammenfassende Darstellung des Wechselsprungs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

J Ausfluss und Uberfall 121

J.1 Ausfluss durch kleine Offnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

J.2 Ausfluss durch große Offnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

J.3 Uberfall uber schmalkroniges Wehr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

J.4 Uberfall uber breitkroniges Wehr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

J.5 Uberfallbeiwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

I Formeln zur Stromungsmechanik 127

vii

Bezeichnungen

Bezeichnungen

x, y, z und t sind raumliche, zeitliche kartesische Koordinaten.

In Klammern . . . gesetzte Buchstaben stehen fur das zugehorige Kapitel.

Lateinische Buchstaben

A [m2] Flache, Querschnittsflache

Ae [m2] eingeschnurter Strahlquerschnitt Ja [m/s] Schallfortpflanzungsgeschwindigkeit

a [m/s2] Beschleunigung

b [m] Breite

c [m/s] Wellengeschwindigkeit

c [Nm/(kg K)] Spezifische Warme

cp [Nm/(kg K)] spezifische Warme fur konstanten Druck Bcv [Nm/(kg K)] spezifische Warme fur konstantes Volumen BDh [m] hydraulischer Durchmesser Dh = 4A/U = 4rh

d [m] (Rohr-) Durchmesser

E [N/m2] Volumenelastizitatsmodul BE [J] Energie FE [W] Energiestrom Fe [J/kg] auf Masseneinheit bezogene Energie

F [N] Kraft ~F = (Fx, Fy, Fz)

f [N/kg = m/s2] auf Masseneinheit bezogene Kraft ~f = (fx, fy, fz)

G [N] Gewicht

g [m/s2] Gravitationskonstante, Fallbeschleunigung

h [m] Drucklinienhohe

h [m] Wassertiefe

hE [m] Energiehohe uber Bezugsniveau

hkap [m] kapillare Steighohe

hM [m] metazentrische Hohe

hS [m] Abstand des Schwerpunktes von der Oberflache

hv [m] Verlusthohe

viii

Bezeichnungen

I [N] Impulsstrom ~I = (Ix, Iy, Iy)

IE [-] Energieliniengefalle

ISo [-] Sohlgefalle

IW [-] Wasserspiegelgefalle

Ix [m4] Flachentragheitsmoment bezuglich der x-Achse

Ixy [m4] Zentrifugalmoment bezuglich der x- und y-Achse

Iξ [m4] Flachentragheitsmoment bezuglich der zu x

parallelen Schwerachse ξ

Iηξ [m4] Zentrifugalmoment bezuglich der zu x

und y parallelen Schwerachsen η und ξ

k [mm] aquivalente Sandrauheit nach Nikuradse

kSt [m1/3/s] Rauheitsbeiwert nach Manning-Strickler

l [m] Lange

M [-] Metazentrum

m [kg] Masse

m [kg/s] Massenstrom

N [-] Eigenschaftsmenge

n [-] Polytropenexponent Bn [m] Koordinate normal zur Wand

~n [-] Normalenvektor

P [W] Leistung außerer Krafte (z.B. durch Pumpen und

Turbinen) am Kontrollraum

P = P − PDr

P [W] Leistung außerer Krafte am Fluidvolumen

einschließlich PDr

PDr [W] Leistung der Druckkrafte auf bewegliche Oberflachen

PM [W] Leistungsaufnahme des Motors

PP [W] Leistungsaufnahme der Pumpe

p [Pa] Druck 1 Pa = 1 N/m2

pD [Pa] Dampfdruck Bpkap [Pa] Kapillardruck

p0 [Pa] atmospharischer Druck

Q [m3/s] Durchfluss, Volumenstrom

Q [W] Warmestrom

q [m2/s] Durchfluss pro Breitenmeter

q [N/m2] Staudruck

R, r [m] Radius

R [m] Ablesung am Venturirohr FR [Nm/(kg K)] spezifische Gaskonstante H.2Re [-] Reynoldszahl Re = vD

ν

r0 [m] Ortsvektor zur Zeit

S [N] Stutzkraft, S = pA+ ρv2A ~S = (Sx, Sy, Sz)

SG [-] Korperschwerpunkt

ix

Bezeichnungen

s [m] Wegkoordinate

Sr [-] Strouhalzahl

T [C, K] Temperatur T[K] = T[C] + 273,16

T [s] Zeitintervall, Schwingungsdauer

t [s] Zeit

~t [-] Tangentenvektor

U [m] Umfang, benetzter Umfang

u [J/kg] auf Masseneinheit bezogene innere

(thermische) Energie

V [m3] Volumen

V [m3/s] Volumenstrom, Durchfluss V = Q

v [m/s] Fließgeschwindigkeit ~v = (vx, vy, vz)

v, vm [m/s] querschnittsgemittelte Fließgeschwindigkeit, wird

mit v gekennzeichnet, wenn aus dem Zusammenhang

hervorgeht, dass diese gemeint ist.

v∗ [m/s] Fließgeschwindigkeit in turbulenter Stromung

v′ [m/s] turbulente Schwankungsgeschwindigkeit

v∞ [m/s] ungestorte Stromungsgeschwindigkeit

vτ [m/s] Schubspannungsgeschwindigkeit vτ =√τ0/ρ

x

y

z

[m] Kartesische (rechtwinklige) Koordinaten

z [m] geodatische Hohe

Das griechische Alphabet

A α B β Γ γ ∆ δ E ε, ε Z ζ H η Θ ϑ, θ

Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta

I ι K κ Λ λ M µ N ν Ξ ξ O o Π π

Jota Kappa Lambda My Ny Xi Omikron Pi

P ρ, % Σ σ T τ Υ υ Φ ϕ, φ X χ Ψ ψ Ω ω

Rho Sigma Tau Ypsilon Phi Chi Psi Omega

x

Bezeichnungen

Griechische Buchstaben

α [-] Energiebeiwert zur Berucksichtigung

der Geschwindigkeitsverteilung

α [-] Verlustbeiwert fur Ausfluss und Offnungen Jβ [-] Impulsbeiwert zur Berucksichtigung

der Geschwindigkeitsverteilung

βp [m2/N] Warmeausdehnungskoeffizient fur konstanten Druck βp = 1ρ∂ρ∂T

βT [m2/N] Kompressibilitatskoeffizient fur konstante Temperatur βT = 1ρ∂ρ∂p

ζ [-] Verlustbeiwert fur ortlich konzentrierte Energieverluste hv = ζ v2/2g

η [kg/(ms) = Pa s] dynamische Zahigkeit η = ρ ν

η [m] zu y parallele Schwerachse Cη [-] Eigenschaft FηM [-] Wirkungsgrad des Motors

ηP [-] Wirkungsgrad der Pumpe

θ [-] Neigungswinkel

λ [-] Reibungsbeiwert hv = λ lDh

v2

2g

µ [-] Ausflussbeiwert Jν [m2/s] kinematische Zahigkeit ν = η/ρ

ξ [m] zu x parallele Schwerachse

π [-] Ludolfsche Zahl π = 3, 14159 . . .

ρ [kg/m3] Fluiddichte

σ [N/m2] Normalspannung

σ [N/m] Oberflachenspannung

τ [N/m2] Schubspannung

τ0 [N/m2] Wandschubspannung

ω [1/s] Kreisfrequenz

xi

Bezeichnungen

Indizes

x

y

z

Kartesische (rechtwinklige) Koordinaten

KR Kontrollraum

KF Kontrollflache

S Schwerpunkt

D Druckmittelpunkt

η zu y parallele Schwerachse

ξ zu x parallele Schwerachse

Sonstige Zeichen

grad Gradient eines Skalarfelds grad =(∂∂x ,

∂∂y ,

∂∂z

)d totales Differential

∂ partielles Differentialddt

totale Ableitung nach der Zeit

~ Kennzeichnung eines Vektors

0

Kapitel A

Einfuhrung

Die Stromungsmechanik behandelt die Gesetzmaßigkeiten der Bewegung von Flussigkeiten und Gasen und die

dabei wirkenden Krafte. Stromungen treten in der Natur und in der Technik in vielfaltigen Erscheinungsformen

auf und fordern das stromungsmechanische Verstandnis der Naturwissenschaftler und der Ingenieure.

Die traditionellen Arbeitsgebiete eines Bauingenieurs betreffen die Standsicherheit und Funktion von Bauwerken.

Hier findet die Stromungsmechanik ihre Anwendung, wenn Bauwerksbelastungen durch Stromungen zu ermitteln

und Bauwerke konkret mit dem Ziel der Nutzung des Wassers oder dem Schutz vor dem Wasser zu bauen sind.

Zu einem neueren, inzwischen etablierten Arbeitsgebiet haben sich der Umweltschutz und die Umwelttechnik

entwickelt. Der Schadstofftransport in Flussen und Seen, im Meer, im Grundwasser und in der Athmosphare

geschieht durch Stromungen, was die Bedeutung der Stromungsmechanik fur diese Arbeitsrichtung unterstreicht.

Einen großen Anwendungsbereich bilden Abflussvorgange in Rohren und Gerinnen. Verwiesen sei auf die Be-

rechnung der Durchflusse und Wasserstande in Flussen und Kanalen und deren Veranderungen durch Baumaß-

nahmen. In der Wasserversorgung spielt der Transport des Wassers durch Fernleitungen und die Verteilung uber

Rohrnetze eine wichtige Rolle, in der Stadtentwasserung die Fortleitung des Abwassers durch Kanalisationsnetze.

Wasserkraftanlagen, Talsperren und Wehre sind faszinierende Ingenieurbauwerke. Sie werden zur Beherrschung

und Nutzung des Wassers gebaut, was profunde Kenntnisse der Stromungsmechanik voraussetzt. In den Ent-

wicklungslandern werden solche Bauwerke zusammen mit Bewasserungssystemen bei den Investitionen auch

weiterhin mit an vorderster Stelle stehen und somit auch deutschen Ingenieurburos die Moglichkeiten interna-

tionalen Wirkens bieten.

Die zunehmende Zahl und Große thermischer Kraftwerke haben fur das Bauingenieurwesen neue und schwie-

rige Probleme aufgeworfen. Man war vom Wasserkraftbau durchaus die Beherrschung großer Wassermengen

gewohnt, wie sie jetzt als Kuhlwasser in noch großeren Mengen den Flussen und Seen entnommen und durch

die Kraftwerke gepumpt werden. Zum ersten Mal ist man jetzt aber auch mit thermischen Fragen der Einlei-

tung erwarmten Wassers in stehende und stromende Gewasser konfrontiert und mit den thermodynamischen

Prozessen in Zusammenhang mit ihrem Warmehaushalt.

1

Kapitel A. Einfuhrung

Bewegungsvorgange im Grundwasser sowie deren Veranderungen als Folge der Wasserentnahme stellen ein

Arbeitsgebiet dar, das Bauingenieure schon lange an die Seite der Grundwassergeologen gestellt hat. Aber auch

die Umstromung von Bauwerken durch Grundwasser, die Durchsickerung von Deichen und Dammen und die

damit verbundenen Sicherheitsuntersuchungen erfordern fundierte Kenntnisse uber die Stromung in”porosen

Medien“.

Die Universitat Hannover hat schon immer einen besonderen Bezug zum Kusteningenieurwesen gehabt; gerade

in ihm sind die Stromungsprobleme besonders vielfaltig. Schlagwortartig seien genannt: die Tidedynamik in

Kustenahe und Tideflussen, Mischungsprozesse von Salz- und Sußwasser, großraumige Sandumlagerungen durch

Tidebewegung und Wellenwirkung, Wellenkrafte auf Deiche, Kaimauern und Bohrinseln.

Wind- und Wellenkrafte auf Bauwerke und windinduzierte Schwingungen sind typische Fragestellungen an

konstruktiv orientierte Bauingenieure. Sie sind aber nur ein Beispiel, denn letztlich ist eine Vielzahl von Hoch-

und Tiefbaukonstruktionen dem Stromungsangriff von Wasser und Luft ausgesetzt, und die schwierigsten dieser

Konstuktionen, wie Bohrinseln, Turme, Brucken, sind es in einem ganz besonderen Maße.

Angesichts dieser eindrucksvollen Liste durfte die Motivation der Bau- und Umweltingenieurstudenten, sich mit

dem Grundlagenfach Stromungsmechanik zu befassen, nicht fehlen. Dabei muss allerdings vorerst das Erkennen

prinzipieller Gesetzmaßigkeiten im Vordergrund stehen, sodass die Anwendungen oft nur angedeutet werden

konnen und den starker anwendungsorientierten Fachern vorbehalten bleiben. Dementsprechend rankt sich der

gesamte Vorlesungsstoff um die drei Prinzipien des Transports von Masse, Impuls und Energie durch stromende

Medien. Hinzu kommt allerdings die fur dieses Fach so typische Empirie, die oft geringschatzig mit dem Begriff

”Koeffizientenhydraulik“ beschrieben wird, durch die aber starker als in anderen Teilgebieten der Mechanik die

Grenzen unseres Verstandnisses von den ablaufenden Prozessen belegt werden.

2

Kapitel B

Eigenschaften von Fluiden

3

Kapitel B. Eigenschaften von Fluiden

B.1 Maßeinheiten

Basis- und abgeleitete Großen mit den Einheiten verschiedener Einheitensysteme

(eingerahmte Einheiten: Gesetz uber Einheiten im Messwesen, 1969)

Großenart Dim. Einheit Umrechnung

Bas

isgr

oßen

Lange L Meter, m 1 m = 102 cm = 103 mm

inch, in 1 in = 2,5400 cm

foot, ft 1 ft = 0,3048 m

Masse M Kilogramm, kg 1 t = 103 kg = 1 Mg

pound-mass, lbm 1 lbm = 0,4536 kg

slug, sl 1 sl = 14,5939 kg

Zeit T Sekunde, s 1 min = 60 s, 1 h = 3600 s

Temperatur ΘKelvin, K

Celsius, CtC = tK - 273,15 ∗

Fahrenheit, F tC = 59 (tF − 32)

Rankine, R tR = 95 tK

Abge

leit

ete

Gro

ßen

Kraft F = MLT2 Newton, N 1 N = 1 kg m/s2 = 105 dyn †

Kilopond, kp 1 kp = 9,80665 N

pound-force, lbf 1 lbf = 4,4482 N

Spannung

Druck

FL2

Pascal, Pa

Bar, bar

1 Pa = 1 N/m2 = 1 kg/(m s2)†

1 bar = 105 Pa = 10 N/cm2

m Wassersaule 1 mWS = 9,80665 kPa

techn. Atmosphare 1 at = 1 kp/cm = 0,980665 bar

phys. Atmospare 1 atm = 1,01325 bar

Torr 1 Torr = 1/760 atm

Arbeit FL Joule, J = Ws 1 J = 1 Nm = 1 kg m2/s2 = 107 erg

Energie Kalorie, cal 1 cal = 4,1868 J

Warme Brit. thermal unit 1 Btu = 1,0551 kJ

Leistung FL/T Watt, W 1 W = 1 J/s = 1 kg m2/s3

Pferdestarke, PS 1 PS = 75 kp m/s = 0,7355 kW

horse-power, hp 1 hp = 0,7457 kW

∗tC , tF , tR, tK sind Zahlenwerte der Temperatur in C, F, R bzw. K†Die Grundeinheiten N bzw. Pa sind fur technische Zwecke sehr klein! Ratsam ist das Rechnen in kN bzw. kPa, mWS oder bar.

4

B.2. Fluid

B.2 Fluid

Die Erscheinungsformen der Materie (Phasen)

sind:

• feste Korper

• Flussigkeiten

• Gase und Dampfe

Fluide

Abhangigkeit der Aggregatzustande

eines Stoffes von Temperatur und Druck

Unterschied zwischen festen Korpern und Fluiden:

Ein Fluid ist durch leichte Verformbarkeit gekennzeichnet. Dazu genugen im Gegensatz zum festen

Korper sehr kleine Krafte und Arbeiten, wenn die Formanderung nur hinreichend langsam erfolgt. Sie

hangt von den angreifenden Normalkraften (Druckkrafte) und Tangentialkraften (reibungsbedingte

Schubspannungen) ab.

Ein fester Korper, der einer Schubspannung ausgesetzt wird, erfahrt eine Deformation, die propor-

tional zur Schubspannung ist.

Unterschied zwischen Flussigkeiten und Gasen bzw. Dampfen:

Ein Gas fullt den zur Verfugung stehenden Raum aus, eine Flussigkeit bildet eine freie Oberflache.

Unterschied zwischen Gasen und Dampfen:

Dampfe sind Gase in der Nahe ihrer Verflussigung. Man spricht von gesattigten Dampfen, wenn

bereits durch eine sehr geringe Temperaturerniedrigung oder Druckerhohung eine Verflussigung ein-

tritt. Sonst spricht man von uberhitzten Dampfen; Gase sind stark uberhitzte Dampfe.

Kontinuum:

Als Modellvorstellung fur ein Fluid dient das Kontinuum. Alle Fluideigenschaften wie Dichte, Vis-

kositat, Temperatur sind stetig verteilt. Dies schließt nicht aus, dass an definierten Flachen auch

sprunghafte Anderungen der Eigenschaften auftreten konnen (Diskontinuitatsflachen).

Das Modell ist zulassig, solange die Abstande in den betrachteten Anwendungsfallen groß sind im

Vergleich zu den Abstanden der Molekule.

5


B.3 Dichte

ρ [kg/m3, t/m3]

Dichte ist die auf das Volumen bezogene Masse. Sie wird als stetige Eigenschaft jedem Punkt des Kontinuums

zugeordnet.

Als Großenordnungen merke man

Wasser ∼ 1000 kg/m3 = 1 t/m3

Meerwasser (Nordsee) ∼ 2,6% hoher als Sußwasser

Luft bei 20C ∼ 1,2 kg/m3

Die Dichte von Fluiden andert sich mit Temperatur und Druck

ρ = ρ(p, T )

dρ =∂ρ

∂pdp+

∂ρ

∂TdT (B.1)

dρ

ρ= βT dp+ βp dT (B.2)

mit βT =1

ρ

∂ρ

∂pund βp =

1

ρ

∂ρ

∂T(B.3)

βT ist ein Kompressibilitatskoeffizient. Er beschreibt, wie groß die durch eine Druckerhohung erzeugte, isotherme

Dichteerhohung ist.

βp ist ein Warmeausdehnungskoeffizient. Er beschreibt, wie groß die durch eine Temperaturerhohung erzeugte,

isobare Dichteerhohung ist.

Die Unterschiede zwischen Flussigkeiten und Gasen sind nicht nur in der Dichte, sondern auch in den Werten

fur βp und βp sehr groß. Man vergleiche auch Abschnitt B.5.

B.4 Zustandsgleichung

Sie beschreibt die Beziehung zwischen Druck, Dichte und Temperatur eines Fluids.

Fur Flussigkeiten ist diese Beziehung nicht als Gleichung, sondern nur in tabellarischer Form angebbar. Dagegen

ist z.B. Luft in dem fur Bau- und Umweltingenieure wichtigen Druck- und Temperaturbereich in guter Naherung

als ideales Gas beschreibbar:p

ρ= RT (B.4)

dabei ist R die spezifische Gaskonstante; z.B. fur Luft R = 287, 04 [Nm/(kg K)]

Mit Gl. (B.1) folgt aus ρ =p

RTdρ

ρ=

dp

p− dT

T

6

B.5. Kompressibilitat

Vergleicht man mit Gl. (B.2), so gilt

βT = 1/p und βp = −1/T .

Wahlt man einen Bezugszustand mit p0, ρ0 und T0, so giltp0

ρ0= RT0.

Setzt man daraus R in Gl. (B.4) ein, so folgt

R =p0

ρ0T0⇒ p

ρT=

p0

ρ0T0

Eine Vereinfachung der Gleichung (B.4) folgt aus der Annahme, dass die Dichte sich ausschließlich aus dem

Druck bestimmen lasst (barotropes Fluid).

Die dafur haufig benutzte Form der polytropen Zustandsgleichung lautet

p

ρn= C

mit dem Polytropenexponenten n

und einer Konstanten C(B.5)

Mit p = C · ρn und dp/dρ = Cnρn−1 = pn/ρ

folgtdρ

ρ=

1

npdp .

Ein Vergleich mit Gl. (B.2) zeigt, dass im polytropen Fall

βT =1

npund βp = 0 . (B.6)

B.5 Kompressibilitat

E [N/m2]

Die Kompressibilitat beschreibt die Dichte- (bzw. Volumen-) anderung aufgrund einer Druckanderung und wird

somit durch den Beiwert βT in Gleichung (B.2) angegeben. Stattdessen wird aber oft auch der Kehrwert, namlich

der Volumenelastizitatsmodul verwendet.

E = 1/βT (B.7)

Wasser:

Die Kompressibilitat von Flussigkeiten ist sehr gering, z.B. gilt fßr Wasser E ≈ 2 ·109 N/m2. Bis auf Sonderfalle

(Schallausbreitung unter Wasser, Druckwellenausbreitung in Rohrleitungen) wird sie in ihrer Wirkung auf die

Stromung vernachlassigt.

Luft:

Fur Gase lasst sich die polytropische Zustandsgleichung und damit Gleichung (B.6a) anwenden:

E =1

βT= np (B.8)

7


Der Zahlenwert des Polytropenexponenten n hangt davon ab, wie die Dichteanderung erzeugt wird, namlich

n = 1, 0 isotherm, d.h. bei gleichbleibender Temperatur

n = 1, 4 adiabatisch, d.h. ohne Warmeaustausch mit der Umgebung.

Etwas vereinfachend kann man sagen, dass eine sehr langsame Kompression der Luft

in dem nebenstehenden Gefaß genugend Zeit fur einen Warmeaustausch mit der Umge-

bung gibt, sodass die Temperatur der Luft konstant (isotherm) bleibt. Dagegen wird bei

einer adiabatischen, im Regelfall schnelleren, Kompression der Warmeubergang durch

die Wande vernachlassigbar sein, sodass die Luft im Gefaß sich erwamt.

Zwischen diesen Grenzfallen gilt 1, 0 < n < 1, 4 . Als Großenordnung fur Luft erhalt man

105 ≤ E ≤ 1, 4 · 105 [N/m2]

Luft ist also 20.000 mal so kompressibel wie Wasser, welches wiederum 100 mal so kompressibel wie Stahl ist.

B.6 Schallgeschwindigkeit

a [m/s]

Aufgrund der Kompressibilitat des Fluids ist eine Druckanderung dp immer mit einer Dichteanderung dρ ver-

bunden. Beide pflanzen sich mit Schallgeschwindigkeit a fort, die sich wie folgt berechnen lasst:

a =

√dp

dρ[m/s] (B.9)

Fur Flussigkeiten folgt hieraus und aus Gleichung (B.2) mit βp = 0 (barotrope Annahme)

a =

√1

ρβT=

√E

ρ. (B.10)

Fur Wasser bei 20C erhalt man a = 1439 m/s.

Fur Gase folgt aus Gln. (B.10), (B.8) und (B.4)

a =

√np

ρ=√nRT .

Fur Luft bei 0C erhalt man mit n = 1, 4 den Wert 332 m/s. Bemerkenswert ist, dass die Schallgeschwindigkeit

zwar von der Temperatur, nicht aber vom Druck abhangt; sie ist in großer Hohe also die gleiche wie am Erdboden

(gleiche Temperatur vorausgesetzt).

8

B.7. Viskositat

B.7 Viskositat

η [Pa s], ν [m2/s]

In dem nebenstehenden Bild sei der Spalt zwischen der oberen und der

unteren Platte mit einem Fluid gefullt. Bewegt man die obere Platte mit

der Geschwindigkeit v0 nach rechts, wahrend die untere Platte festgehal-

ten wird, so stellt sich zwischen beiden eine lineare Geschwindigkeitszu-

nahme von v = 0 unten bis v = v0 oben ein. Außerdem spurt man,

dass ein Bewegungswiderstand, und damit Schubspannungen auftreten.

Experimentell kann man zeigen, dass die Schubspannungen proportional

v0 und umgekehrt proportional dem Plattenabstand d sind.

Diese Aussagen gelten sinngemaß auch im Innern eines Fluids. Ver-

folgt man zwei rechteckige Fluidteilchen vom Zeitpunkt t bis zum Zeit-

punkt t + ∆t, so erkennt man, dass sie sich nicht nur verschoben, son-

dern auch verformt haben (Scherung). Die zwischen ihnen auftretenden

Schubspannungen sind proportional dem Geschwindigkeitsunterschied

∆v und umgekehrt proportional dem Abstand ∆n; n ist dabei die Rich-

tung senkrecht zur Stromung. Als experimentell zu ermittelnder Propor-

tionalitatsbeiwert tritt eine Stoffkonstante, die dynamische Viskositat

(Zahigkeit) η auf.

τ = η lim∆n→0

∆v

∆n(B.11)

Mit τ [N/m2] und∂v

∂n

[ m

s m

]ergibt sich die Maßeinheit von η

η

[N s

m2

]= η

[kg

m s

]= η [Pa s]

Bezieht man die dynamische Viskositat auf die Fluiddichte, so erhalt man die kinematische Viskositat

ν =η

ρ

[m2

s

](B.12)

Gleichung (B.11) geht auf I. Newton zuruck und heißt Newtonsches Zahigkeitsgesetz. Entsprechend wird ein

Fluid, das diesem Gesetz gehorcht, Newtonsches Fluid genannt. Wasser und Luft sind im Gegensatz zu Teer,

manchen Olen und den meisten Polymer-Losungen Newtonsche Fluide.

9


B.8 Spezifische Warme

c [Nm/(kg K)]

Die spezifische Warme c ist die Warmemenge, die ein kg des Fluids um ein Grad erwarmt. Fur Wasser bei 20C

ist c = 4181 Nm/(kg K).

Bei Gasen muss unterschieden werden zwischen cp und cv, d.h. spezifischer Warme fur Temperaturerhohung bei

konstantem Druck bzw. konstantem Volumen.

So gilt fur Luft bei 0C cp = 1005 Nm/(kg K) und cv = 718 Nm/(kg K).

Fur ein ideales Gas liefern Uberlegungen aus der Thermodynamik die Beziehungen: R = cp− cv und n = cp/cv,

mit der spezifischen Gaskonstanten R und dem Polytropenexponenten n; (n = 1, 4 bei Luft).

B.9 Innere Energie

u [J/kg]

Innere Energie eines Fluids ist der Energiegehalt der Molekulbewegung bezogen auf die Masseneinheit des

Fluids. Da thermodynamische Prozesse hier nicht behandelt werden, sei u vereinfacht verstanden als die pro

Masseneinheit gespeicherte Warmemenge. Fur eine Flussigkeit mit konstanter spezifischer Warme gilt dann

∆u = c∆T .

Im hier behandelten Zusammenhang interessiert ausschließlich der Verlust mechanischer Stromungsenergie durch

Flussigkeitsreibung, was zu einem Zuwachs an innerer Energie fuhrt.

B.10 Dampfdruck

pD [Pa]

Bei atmospharischem Druck siedet Wasser bei 100C, auf einem hohen Berg aber schon bei etwas niedrigerer

Temperatur. Umgekehrt lasst sich eine Flussigkeit zur Verdampfung bringen, indem bei festgehaltener Tempe-

ratur der Absolutdruck unter den Dampfdruck abgesenkt wird. Dieser ist stark temperaturabhangig; bei Wasser

ist z.B.

PD = 1, 01 · 105 Pa = 1,01 bar bei 100C

PD = 0, 20 · 105 Pa = 0,20 bar bei 60C und

PD = 0, 02 · 105 Pa = 0,02 bar bei 20C.

Sinkt in einer Flussigkeit der Druck unter Dampfdruck, so bilden sich Dampfblasen, sodass der Druck nicht

weiter fallen kann. Diese Blasen beginnen ihr Wachstum an sogen. Keimen, das sind kleinste Gasblaschen, die

an Schwebstoffteilchen oder an der Behalterwand angelagert und in technischen Flussigkeiten immer vorhan-

den sind. Nur in sorgfaltigen Labormessungen mit keimfreiem Wasser ist es gelungen, auch Zugspannungen in

Flussigkeiten zu erzeugen.

10

B.11. Oberflachenspannung und Kapillaritat

Merke:

Der minimale Druck in einer Flussigkeit ist der Dampfdruck. Im Wasser mit Raumtemperatur liegt er bei

etwa 0, 02 · 105 Pa Absolutdruck. Zugspannungen treten in Flussigkeiten nicht auf.

Die durch Druckabsenkung erzeugte Dampfblasenbildung in Flussigkeiten nennt man Kavitation.

B.11 Oberflachenspannung und Kapillaritat

Ursache fur die Oberflachenspannung sind Kohasionskrafte, mit denen sich die Teilchen einer Flussigkeit ge-

genseitig anziehen. Im Inneren einer Flussigkeit wirken diese Krafte gleichmaßig nach allen Seiten, sodass kei-

ne resultierenden Kraftwirkungen auftreten. An der Flussigkeitsoberflache in einer Schicht mit der Dicke, die

gleich dem Wirkungsradius der Anziehungskraft der Flussigkeitsteilchen ist, treten dementsprechend Kraftwir-

kungen auf, die ins Innere der Flussigkeit gerichtet sind. Diese Kraft, bezogen auf die Flacheneinheit, wird als

Kohasionsdruck bezeichnet.

Soll ein Teilchen aus dem Flussigkeitsinneren an die Oberflache gelangen und damit eine Vergroßerung der

Oberflache bewirken, muss entlang seinem Weg Arbeit gegen den Kohasionsdruck verrichtet werden. Die auf-

zuwendende Arbeit, bezogen auf den Zuwachs der Oberflache, ist die Oberflachenspannung σ .

σ =Arbeit

Flachein

[N m

m2

]=

[N

m

]An der Oberflache verbleiben nur so viele Teilchen, wie zur Bildung einer minimalen Oberflache benotigt werden.

Dabei stellt sich die Oberflache so ein, als ware daruber eine dunne Membran gespannt. Das beschriebene

Verhalten findet man auch an Grenzflachen zwischen zwei Flussigkeiten, die sich nicht mischen.

Im Allgemeinen spielen die Oberflachenspannungskrafte in der Hydromechanik eine untergeordnete Rolle, da

andere wirkende Krafte, wie z.B. die Schwerkraft und die Tragheits- bzw. Reibungskrafte, um ein Vielfaches

großer sind.

11


Technische Bedeutung erlangt die Oberflachenspannung bei der Untersuchung des Verhaltens von Flussigkeiten

in engen Kapillaren. Beruhrt die Flussigkeit einen festen Korper, so werden die Molekule der Flussigkeit in der

Grenzflache von den Molekulen in der festen Wand angezogen. Dieses Phanomen nennt man Adhasion. Sind die

Adhasionskrafte großer als die Kohasionskrafte der Flussigkeit und des daruber befindlichen Gases, so bildet sich

eine konkave Flussigkeitsoberflache aus, und die feste Wand wird benetzt (Wasser-Luft). Im umgekehrten Fall

wird die feste Wand nicht benetzt, und es bildet sich eine konvexe Flussigkeitsoberflache aus (Quecksilber- Luft).

Bei einer ebenen Flussigkeitsoberflache heben sich alle Krafte, die aus der Oberflachenspannung resultieren, in

der Flachenebene auf. Ist die Flussigkeitsoberflache gekrummt, entsteht eine resultierende Kraft senkrecht zur

Flussigkeitsoberflache. Diese Kraft pro Flacheneinheit wird als Kapillardruck pkap bezeichnet.

Ein differentiell kleines Element der gekrummten Flussigkeitsoberflache dA werde begrenzt durch die Linienele-

mente ds1 und ds2, die zwei senkrecht zueinander stehenden Schnitten mit den Krummungsradien r1 und r2

zugeordnet sind.

Die geometrische Summe aller am differentiellen Flachenelement dA angreifenden Oberflachenspannungskrafte

liefert die resultierende Kraft dF .

dF = 2σds1 sindα2

2+ 2σds2 sin

dα1

2

Der Kapillardruck ergibt sich dann zu:

pkap =dF

dA= 2σ

sindα1

2ds1

+sin

dα2

2ds2

12

B.11. Oberflachenspannung und Kapillaritat

Fur kleine Winkel α1 und α2 ist der Sinus des Winkels annahernd gleich dem Argument selbst.

pkap = σ

(dα1

ds1+

dα2

ds2

)Mit ds = rdα folgt dann die erstmals von Laplace angegebene Beziehung fur den Kapillardruck.

pkap = σ(1/r1 + 1/r2)

Angenommen werde eine kreisrunde Kapillare (Haarrohrchen) mit dem Durchmesser dkap und eine halbku-

gelformige Gestalt der Flussigkeitsoberflache. Mit r1 = r2 = dkap/2 ergibt sich der Kapillardruck zu:

pkap =4σ

dkap

Am unteren Ende einer eingetauchten, beiderseits offenen Kapillare muss der Druck von außen und von innen

her gleich groß sein.

Nach dem Gesetz der hydrostatischen Druck-

verteilung gilt dann:

ρg(h− hkap) = ρgh− pkap

Daraus folgt die kapillare Steighohe hkap fur

kreisrunde Kapillaren.

hkap =4σ

ρg dkap

Werte fur σ bei 20C [N/m]

Wasser gegen Luft 0,075

Ol gegen Luft 0,025 - 0,030

Quecksilber gegen Luft 0,472

13


B.12 StoffwerteN

orm

ala

tmosp

hare

:b

eiT

0=

288,1

5K

istp

0=

10,1

3·1

04

N/m

2=

1,0

13

bar

(ents

pri

cht

dem

Dru

ckei

ner

10,3

3m

hoh

enW

ass

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ule

)

Sto

ffT

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Dyn

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pfd

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erflach

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mod

ul

Warm

ed

igkei

tZ

ah

igkei

tZ

ah

igkei

tab

solu

tsp

an

nu

ng

Gask

on

stante

Tρ

E=−

∆p

V ∆V

=−

∆p

ρ ∆ρ

Flu

ss.

:c

Gase

:c p,c v

Flu

ss.

:a

=√ E

/ρ

Gase

:a

=√ c p

RT

cv

ην

(ν=η/ρ)

pD

σR

=c p−c v

C

kg/m

3M

Pa

=10

6N

/m

2N

m/(k

gK

)m

/s

kg/m

sm

2/s

hP

aN

/m

Nm

/(k

gK

)

Wass

er0

999,8

1930,2

4205,8

17,8

0·1

0−

41,7

80·1

0−

66,1

20

998,2

2064,0

4181,1

1439

10,0

0·1

0−

41,0

00·1

0−

623,3

0,0

73

40

992,8

4177,4

6,5

2·1

0−

40,6

57·1

0−

673,7

60

983,2

4,7

0·1

0−

40,6

57·1

0−

6199,2

80

971,8

3,5

6·1

0−

40,6

57·1

0−

6199,2

100

958,3

2,8

2·1

0−

40,6

57·1

0−

61013,2

Mee

rwass

er0

¡1,8

34·1

0−

6

4%

Salz

geh

,20

'1026

1,3

60·1

0−

6

(Nord

see)

40

1,0

58·1

0−

6

Mee

rsalz

'1007

1%

(Ost

see)

01,2

91004,5

717,7

6332

0,1

68·1

0−

413,0·1

0−

6287,0

4

Lu

ft20

1,2

10,1

79·1

0−

414,9·1

0−

6

bei

1b

ar

40

1,1

20,1

91·1

0−

417,0·1

0−

6

60

1,0

60,2

03·1

0−

419,2·1

0−

6

80

0,9

90,2

15·1

0−

421,7·1

0−

6

100

0,9

40,2

29·1

0−

424,5·1

0−

6

Gly

zeri

n20

1261

680·1

0−

6

Qu

ecksi

lber

013595

1431

16,8

9·1

0−

40,1

25·1

0−

60,4

61

100

13351

12,4

0·1

0−

40,0

93·1

0−

6

14

Kapitel C

Fluide im Gleichgewicht

15

Kapitel C. Fluide im Gleichgewicht

Gleichgewicht heißt: Keine gegenseitige Verschiebung der Fluidteilchen. Das Fluid ist im Ruhe- oder Bewe-

gungszustand (s. Abb. unten) bezuglich seiner Gestalt starr.

Die Aerostatik (Gleichgewicht von Gasen) sei im folgenden nicht behandelt, sondern nur die fur Bauingenieure

wichtigere Hydrostatik (Gleichgewicht von Flussigkeiten). Sie findet ihre Hauptanwendung bei der Berechnung

von Kraften auf Bauwerke und Behalter.

ruhendes Gefaß beschleunigtes Gefaß sich drehender Behalter

C.1 Druck als skalare Große

Denkt man sich aus einem Fluid ein Teilchen herausgeschnitten (Eulersches Schnittprinzip), so werden auf

dessen Oberflache von dem umgebenden Fluid Krafte ausgeubt, die, auf eine Flacheneinheit bezogen, innere

Spannungen sind.

In festen Korpern treten Normal- und Schubspannungen auf, wahrend in Fluiden, durch deren Viskositat

(Zahigkeit) bedingt, Schubspannungen nur infolge anhaltender Relativbewegung der Teilchen vorhanden sein

konnen.

Normalspannungen in Fluiden sind immer Druckspannungen, da Zugspannungen im Allgemeinen nicht ubertragen

werden konnen (s. Abschn. B.10).

Fluide im Gleichgewicht bedeutet: Keine gegenseitige Verschiebung der Fluidteilchen, daher keine Schubspan-

nungen. Folglich gilt:

Satz1:

Im Gleichgewicht haben Fluide keine Schubspannungen.

Die Druckkraft auf ein Flachenelement steht senkrecht auf diesem.

Im Gegensatz zur Festigkeitslehre und Stromungslehre viskoser

Fluide (Flussigkeitsreibung!) gilt in der Hydrostatik der fur die

weiteren Ableitungen grundlegende Satz 2.

16

C.1. Druck als skalare Große

Satz 2:

Der Druck an einem Punkt im Fluid ist unabhangig von der Richtung; er ist eine skalare Große. ∗

Dieser Satz wird zunachst fur den ebenen Fall bewiesen und dann auf den raumlichen Fall ubertragen.

Am Element wirkende Krafte:

- innere Spannungen · Flache

(nur Normalspannungen (Satz 1)),

- Massenkrafte · Masse

(Massenkrafte (Krafte/Masse) sind z.B. Erdbeschleuni-

gung, Zentrifugalbeschleunigung, etc.); im Bild nicht ein-

gezeichnet.

Krafte-Gleichgewicht in x- und z-Richtung:

−σxdzdy + σndsdy cos θ + fxdm = 0

−σzdxdy + σndsdy sin θ + fzdm = 0

mit cos θ =dz

ds, sin θ =

dx

ds

und dm =1

2ρ dxdydz (der Masse des Elements) folgt

−σx + σn +1

2ρfxdx = 0

−σz + σn +1

2ρfzdx = 0

Der Grenzubergang dx, dy, dz, → 0 ergibt die Spannungen in einem Punkt.

σn = σx = σy und fur den raumlichen Fall erhalt man

σn = σx = σy = σz = σ

Die Spannungen sind also beim im Gleichgewicht befindlichen Fluid richtungsunabhangig und stellen somit eine

skalare Große dar; da es sich nur um Druckspannungen handelt, setzt man diese positiv:

σ = −p

Merke:

Fluid im Gleichgewicht ; keine gegenseitige Verschiebung der Fluidteilchen

; keine Schubspannungen ; Druck richtungsunabhangig (skalare Große)

∗Blaise Pascal (1623-1662, Frankreich) entwickelt das Prinzip der Hydraulischen Presse als Analogon zu den Hebelgesetzen.

Das Pascalsche Prinzip besagt, dass sich in einer stehenden Flussigkeit, die einen Behalter ausfullt, eine Druckanderung uberall

in der Flussigkeit und an den Behalterwanden gleichzeitig und gleich groß auswirkt.

Pascals Flussigkeitsmaschine zur”

Vermehrung der Kraft“

17


C.2 Hydrostatisches Gleichgewicht

Gleichgewicht am Element in x-Richtung

Auf das Fluidelement mit der Masse dm = ρdxdydz wirken:

- Druckkrafte (innere Spannungen als Oberflachenkrafte

gemaß Schnittprinzip und Satzen 1, 2)

- Massenkrafte (auf Masseneinheit bezogene eingepragte

Krafte, die bei fehlendem Gleichgewicht eine Beschleu-

nigung der Masse bewirken wurden, also Schwer-

kraft und in bewegten Systemen d’Alembertsche

Tragheitskrafte)

Bezeichnungen:

p(x, y, z) dreidimensionales, skalares Druckfeld

(Druck = Kraft/Flache)

~f = (fx, fy, fz) Massenkraft(=Kraft/Masse = Beschleunigung)

als dreidimensionales Vektorfeld

Gleichgewicht der Krafte in x-Richtung:

pdydz −(p+

∂p

∂xdx

)dydz +fxdm = 0

−∂p∂x

dxdydz +fxρdxdydz = 0

∂p

∂x= ρfx

(y- und z-Richtung analog)

Vektordarstellung: (∂p

∂x,∂p

∂y,∂p

∂z

)= ρ (fx, fy, fz) bzw. grad p = ρ~f (C.1)

Eine Flussigkeit ist im hydrostatischen Gleichgewicht, wenn in jedem Punkt (x, y, z) der Gradient des Druck-

feldes p(x, y, z) gleich der mit der Dichte multiplizierten Massenkraft ist. 1

Eine allgemeinere Anwendung dieser Beziehung erfolgt in Abschnitt C.8, wo relativ ruhende Flussigkeiten in

beschleunigten Gefaßen betrachtet werden.

In den folgenden Abschnitten C.3 bis C.7 werden speziell Flussigkeiten unter ausschließlicher Schwerkraftwirkung

behandelt.

1Voraussetzung ist, dass die Massenkraft ein Potential besitzt, wie dies z.B. bei der Schwerkraft der Fall ist. Siehe z.B.:

Truckenbrodt, E.: Fluidmechanik ; Band 1, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1980

18

C.3. Hydrostatische Druckverteilung in Flussigkeiten

C.3 Hydrostatische Druckverteilung in Flussigkeiten

ruhende Flussigkeit: es wirkt nur die Schwerkraft

fx = 0 ;∂p

∂x= 0

fy = 0 ;∂p

∂y= 0

fz = g ;∂p

∂z= ρg ;

dp

dz= ρg

homogene Flussigkeit: Dichte ρ = const., d.h. keine Dichteunterschiede infolge Temperatur, Druck, Salzgehalt

usw.

p1∫p0

dp =

h∫0

ρg dz

p1 − p0 = ρgh

p1 = p0 + ρgh (C.2)

p1 : absoluter Druck am Punkt 1

p0 : atmospharischer Druck auf die Wasseroberflache

ρgh: Uberdruck = absoluter Druck minus atmospharischer Druck

Man betrachte die Gewichtskraft dG einer Wassersaule der Hohe h und der Grundflache dA :

dG = ρghdA;

dann betragt der Druck am Boden

p = dG/dA = ρ gh.

(p = dG/dA gilt nur fur Saulen, vergleiche hydrostatisches Paradoxon, siehe Abschnitt C.4!)

Satz 3:

Der Druck in der Tiefe h unter dem Wasserspiegel ist gleich dem Druck uber dem

Wasserspiegel und der Gewichtskraft pro Flache der daruber liegenden Wassersaule.

19


Darstellung der hydrostatischen Druckverteilung

Der Druck der Normalatmosphare

p0 = 1, 013 bar

entspricht dem Gewicht einer Wassersaule mit der

Hohe:p0

ρg=

1, 013 bar

1000kg

m39, 81 m

s2

= 10, 33 m

Bei der Berechnung von Druckkraften und Druckverteilungen ist es zweckmaßig, mit dem Uberdruck statt mit

dem absoluten Druck zu arbeiten, da der atmospharische Druck ohnehin auf beide Seiten einer Behalterwand

wirkt und sich dadurch aufhebt. In den folgenden Abschnitten C.4 - C.8 bezeichnet p deshalb immer den

Uberdruck.

C.4 Hydrostatischer Druck auf horizontale Boden

Druck am Boden : p = ρgh

Druckkraft auf die Bodenflache A: pA = ρghA

(hydrostatisches Paradoxon: 1 Die Druckkraft auf den Boden kann wesentlich kleiner oder großer als das Gewicht

des Wassers sein.)

1Simon Stevin (1548 - 1620, Holland) entwickelte fast 2000 Jahre nach Archimedes die Hydrostatik weiter. Er berechnete den

Bodendruck in Gefaßen und erklarte das hydrostatische Paradoxon:

”In das Wasser ABCD seien ein fester Korper oder mehrere feste Korper vom gleichen spezifischen Gewicht wie das Wasser

eingetaucht. Dies sei in der Weise geschehen, dass nur das Wasser IKFELM ubrigbleibt. Wenn das so ist, dann be- oder entlasten

die Korper die Flache EF nicht mehr, als es zuvor das Wasser tat. Deshalb sagen wir . . ., dass auf der Flache EF ein Gewicht

lastet, das gleich der Schwere des Wassers ist, das das Volumen des Prismas hat, dessen Grundflache EF ist und dessen Hohe der

Abstand der Ebenen durch MI und EF ist.“

Entsprechend begrundete er, dass im rechten Bild die auf die Flache EF wirkende Kraft vom Betrag gleich der im mittleren Bild

auf die Flache EF wirkenden Kraft ist, von der Richtung aber entgegengesetzt.

”Ware das nicht so, so wurde der geringere Druck dem starkeren nachgeben, was aber nicht sein kann, denn nach . . . bleibt

alles an seinem Platze.“

20

C.5. Hydrostatischer Druck auf ebene geneigte Flachen

C.5 Hydrostatischer Druck auf ebene geneigte Flachen

S Schwerpunkt von A

D Druckmittelpunkt

F resultierende Druckkraft

Zu bestimmen sind:1.) Druckverteilung auf die Flache

2.) Betrag der resultierenden Druckkraft

3.) Wirkungslinie der resultierenden Druckkraft

Druckkraft dF auf ein Flachenelement dA:

dF = p dA = ρghdA = ρgy sin θ dA

Gesamtdruckkraft F :

F =

∫A

p dA =

∫A

ρghdA = ρg

∫A

hdA = ρghSA = pSA (C.3)

mit der Tiefe des Flachenschwerpunktes S: hS = − 1

A

∫A

hdA

und PS als Druck im Schwerpunkt S

Satz 4:

Gedankenmodelle von Stevin

21


Die Druckkraft auf eine geneigte Ebene ist gleich dem Produkt aus Druck im Flachenschwerpunkt und Flache.

Die Wirkungslinie der Druckkraft schneidet die Flache im Druckmittelpunkt D. Er muss stets tiefer als der

Schwerpunkt der Flache liegen (siehe Druckverteilung).

Moment um x-Achse:

yDF =

∫A

ypdA = ρg

∫A

yhdA = ρg sin θ

∫A

y2 dA

mit h = y sin θ

F = ρghSA = ρg sin θ ySA

und

∫A

y2 dA = Ix (Fachentragheitsmoment bezuglich der x-Achse [m4])

yDρg sin θ ySA = ρg sin θ Ix

yD =IxySA

Ix = Iξ +Ay2S Steinerscher Satz. (Iξ Flachentragheitsmoment bezuglich

der zur x parallelen Schwerachse ξ [m4])

Damit folgt schließlich die y-Koordinate des Druckmittelpunktes D:

yD =IξySA

+ yS bzw.

hD =IξySA

sin θ + yS sin θ

=IξhSA

sin2 θ + hS

(C.4)

- Offensichtlich ist yD > yS .

Moment um y-Achse:

xDF =

∫A

xp dA = ρg

∫A

xh dA = ρg sin θ

∫A

xy dA

F = ρghSA = ρg sin θ ySA

und

∫A

xy dA = Ixy (Zentrifugalmoment bezuglich der x- und y-Achse [m4])

xDρg sin θ ySA = ρg sin θ Ixy

xD =IxyySA

Ixy = Iηξ +AxSyS Steinerscher Satz. (Iηξ Zentrifugalmoment bezuglich

der zu x und y parallelen Schwerachsen ξ und η [m4])

Damit folgt die x-Koordinate des Druckmittelpunktes D:

xD =IηξySA

+ xS bzw. xD =IηξhSA

sin θ + xS (C.5)

- Es ist Iηξ = 0 und damit xD = xS , wenn die Flache symmetrisch zur η- und/oder ξ-Achse ist.

- Mit zunehmender Tiefenlage der Flache verringert sich der Einfluss der Flachenwerte A, Iξ und Iηξ auf

die Lage des Druckmittelpunktes, wie aus Gleichungen (C.4) und (C.5) fur yS →∞ leicht ersichtlich ist.

Im Grenzfall fallen Druckmittelpunkt und Schwerpunkt zusammen.

22

C.6. Hydrostatischer Druck auf gekrummte Flachen

C.6 Hydrostatischer Druck auf gekrummte Flachen

Der Flachenvektor d ~A steht senkrecht auf der Flache.

Sein Betrag entspricht dem Flacheinhalt des Elemen-

tes dA. Der Vektor ist positiv, wenn er wie der Druck

auf die Gefaßinnenwand gerichtet ist (vom Fluid weg-

weist).

Die Druckkraft d~F auf d ~A ist (siehe Satz 1)

d~F = ρghd ~A

mit h = Abstand des Elementes dA von der Ober-

flache (=x-y-Ebene)

Komponenten des Flachenvektors (siehe Skizze)

d ~A = (dAx, dAy, dAz)

dAx = Projektion von dA auf eine zur x-Achse senkrecht

stehenden Ebene (parallel zur y-z-Ebene).

Komponenten der Druckkraft d~F

dFx = ρghdAx

dFy = ρghdAy

dFz = ρghdAz

Komponenten der Gesamtdruckkraft ~F

Fx = ρg∫Ax

hdAx

Fy = ρg∫Ay

hdAy

Fz = ρg∫Az

hdAz

(C.6)

Ax, Ay bzw. Az sind die Projektionen der Flache A auf eine Ebene, die senkrecht zur x-, y- bzw. z-Achse steht.

Die Wirkungslinien der horizontalen Komponenten Fx und Fy gehen durch die Druckmittelpunkte (s. Abschnitt

C.5) der Flachenprojektionen Ax und Ay, wahrend Fz im Schwerpunkt des uber Az liegenden Wasserkorpers

angreift.

23


Interpretation der Gleichungen

Treppenanalogon (dargestellt fur eine vertikal gekrummte Flache konstanter Breite)

Satz 5:

Bei vertikal gekrummten Flachen errechnet sich die

- Horizontalkomponente der Druckkraft aus der Druckverteilung auf eine gedachte vertikale Flache, die sich

aus der Horizontalprojektion der wirklichen Flache ergibt,

- Vertikalkomponente der Druckkraft als Gewicht des uber der Flache stehenden oder gedachten Flussigkeitskorpers.

Erganzende Beispiele zu Satz 5

Entgegengesetzte Horizontal komponenten:

Die Wirkungslinien der Druckkrafte FH1, FH2 und FH gehen durch den Schwerpunkt der entsprechenden,

durch die Druckverteilung gebildeten Flache, bzw. durch den Druckmittelpunkt der projizierten Wandflache

(siehe Abschnitt C.5).

24

C.6. Hydrostatischer Druck auf gekrummte Flachen

Entgegengesetzte Vertikal komponenten:

Die horizontale Druckkomponente FH ergibt sich aus der dreieckformigen Druckverteilung an der Horizontal-

projektion der Wand.

FH =1

2· ρgh · h =

1

2ρgh2 (C.7)

Die Wirkungslinie von FH geht durch den Schwerpunkt der Dreiecksflache.

Langs (1)-(2) ist die Vertikalkomponente der Druckkraft nach oben gerichtet. Der Druck ist an jedem Punkt

gleich ρgz, sodass die Resultierende FV 1 wieder gleich dem Gewicht des uber der Flache stehenden (gedachten)

Wasserkorpers ist. Langs (2)-(4) ergibt sich die nach unten gerichtete Kraftkomponente FV 2. Die Wirkungs-

linien von FV 1 und FV 2 gehen jeweils durch den Schwerpunkt des entsprechenden Wasserkorpers.

Die uber dem Wandstuck (2)-(3) befindlichen Flachenanteile der entgegengesetzt gerichteten Druckverteilun-

gen heben sich auf, sodass in der Uberlagerung das von der Wand (1)-(2)-(3) eingeschlossene und uber der

Wand (3)-(4) liegende Flachenstuck verbleibt (siehe Skizze). Somit entstehen zwei neue Resultierende FV a

und FV b, deren Wirkungslinien wieder durch die Schwerpunkte der entsprechenden Flachen gehen.

Es sind nun zwei Falle zu unterscheiden:

Falls FV a 6= FV b, existiert eine resultierende Vertikalkomponente.

Falls FV a = FV b, ist die Resultierende gleich Null, es verbleibt aber ein Moment.

25


Die Kraft FV a beinhaltet einen Auftriebseffekt, der durch eine Wasserverdrangung infolge Wandwolbung her-

vorgerufen wird, wie in dem folgenden Beispiel unmittelbar ersichtlich ist.

Bei dreidimensional gekrummten Flachen sind ganz analog die Vertikalkomponente Fz = FV und zwei Horizon-

talkomponenten Fx und Fy zu ermitteln, wobei die Wirkungslinien dieser Komponenten im Allgemeinen nicht

durch einen Punkt gehen, d.h. sie bilden ein Moment. (Dass im zuvor betrachteten zweidimensionalen Fall ein

Moment anstelle einer Vertikalkomponente verbleibt, stellt dagegen einen seltenen Ausnahmefall dar.)

Bei Zylinder- und Kugelflachen geht die resultierende Druckkraft durch den Mittelpunkt (Begrundung!?).

C.7 Hydrostatischer Auftrieb

inhomogener Korper:

G geht durch den Korperschwerpunkt

FA geht durch den Schwerpunkt der

verdrangten Wassermenge

ρV Masse des verdrangten Wasservolumens V

m Korpermasse

Satz 6:

(Archimedes1) Die Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der verdrangten Wassermenge.

1 Archimedes(287 - 212 v.Chr.), der großte Mathematiker des Altertums, entdeckte das Auftriebsgesetz und die Gesetze der

Schwimmstabilitat (Kippsicherheit schwimmender Korper), denen die nachfolgenden zwei Jahrtausende wenig hinzuzufugen hatten.

Ebenso bekannt ist seine Berechnung von Kreis und Kugel und damit der Zahl π. Von ihm selbst viel weniger geachtet waren seine

”Ingenieurleistungen“, z.B. die hydraulische Schraube, Kriegsmaschinen zur Verteidigung von Syrakus, etc.

Die hydraulische Schraube des Archimedes

26

C.8. Relativ ruhende Flussigkeiten in bewegten Gefaßen

Beweis:

C.8 Relativ ruhende Flussigkeiten in bewegten Gefaßen

Am mit Masse belegten Volumenelement wirken Massenkrafte als außere Krafte. Die Grundgleichung fur die

Beziehung zwischen Druckzuwachs im Fluid und den wirkenden Massenkraften (siehe Abschnitt C.2) lautet:

grad p = ρ~f ;

∂p

∂x

∂p

∂y

∂p

∂z

= ρ

fx

fy

fz

;

∂p

∂x= ρfx

∂p

∂y= ρfy

∂p

∂z= ρfz

Wesentlich fur die Losung dieser Gleichung ist die Kenntnis der wirkenden Massenkrafte ~f . Fur drei charakte-

ristische Beispiele sollen die Massenkrafte ermittelt werden.

Beispiel 1

Ein mit Flussigkeit gefulltes Gefaß befinde sich in Ruhe. Auf die Flussigkeitsteilchen wirkt nur die Schwerkraft.

~f =

fx

fy

fz

=

0

0

−g

27


Beispiel 2

Ein mit Flussigkeit gefulltes Gefaß wird mit konstanter Beschleunigung in x-Richtung bewegt. Auf die Flussigkeitsteilchen

wirkt die Schwerkraft sowie die d’Alembertsche Tragheitskraft entgegengesetzt zur Beschleunigung.

~f =

fx

fy

fz

=

−a0

−g

Beispiel 31

Ein mit Flussigkeit gefulltes Gefaß dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit. Unter der Voraussetzung,

dass sich Flussigkeit und Gefaß zueinander in relativer Ruhe befinden, wirkt auf die Flussigkeitsteilchen die

Schwerkraft und die d’Alembertsche Tragheitskraft als Reaktion auf die zum Drehzentrum hin gerichtete

Zentrifugalbeschleunigung.

Zweckmaßigerweise verwendet man hier Zylinderkoordinaten.

~f =

fr

fz

=

ω2r

−g

Totales Differential des Druckes, d.h. Anderung des Druckes bei vorgegebener Ortsanderung ~ds = (dx, dy, dz),

d.h. beim Ubergang vom Punkt x, y, z zum Punkt x+ dx, y + dy, z + dz:

p = p(x, y, z) dreidimensionales Druckfeld

dp =∂p

∂xdx+

∂p

∂ydy +

∂p

∂zdz =

(∂p

∂x,∂p

∂y,∂p

∂z

)· (dx, dy, dz)

1 Lexis Claude Clairot (1713 - 1765), franzosischer Mathematiker, vollendete die Hydrostatik, indem er das hydrostatische

Gleichgewichtsprinzip entwickelte und auf drehende Behalter anwendete.

28

C.8. Relativ ruhende Flussigkeiten in bewegten Gefaßen

dp = (grad p) d~s = ρ~f d~s = ρ(f cos θ) ds = ρfS ds ;

dp

ds= ρfs (C.8)

Satz 7:

An jeder Stelle des Fluids ist der Druckanstiegin beliebiger Richtung gleich der in diese Richtung weisenden

Komponente der wirkenden Massenkraft, multipliziert mit der Dichte.

Isobaren: Die Niveauflachen des Druckes heißen Isobaren. Auf diesen Flachen ist p = const. bzw.

dp = 0. So ist der Wasserspiegel eine Isobare, da dort atmospharischer Druck herrscht, p = p0.

Aus d~p = ρ~fd~s = 0 folgt ~f ⊥ d~s, d.h. in Richtung von jedem auf ~f senkrecht stehenden d~s ist

p = const. Damit steht der Vektor der Massenkrafte senkrecht auf den Isobaren.

Die Gleichung der Isobaren lautet entsprechend

~fds = fxdx+ fydy + fzdz = 0 (C.9)

Druckberechnung:

Druck pA in Punkt A gegeben.

Druck pB in Punkt B gesucht.

∫ B

A

dp = pB − pA =

∫ B

A

gradp d~s = ρ

∫ B

A

~f d~s

pB = pA + ρ

∫ B

A

~f d~s = pA + ρ

∫ B

A

(fxdx+ fydy + fzdz) (C.10)

Der Wert des Integrals ist unabhangig vom Integrationsweg.

Dabei wird vorausgesetzt, dass sich die Massenkraft ~f aus einem Potential ableiten lasst, d.h. es existiert eine

Potentialfunktion Φ, deren Gradient

(∂Φ

∂x,∂Φ

∂y,∂Φ

∂z

)die Massenkraft ergibt. Wirkt z.B. die Schwerkraft in

z-Richtung, so ist die Potentialfunktion des Schwerefeldes Φ = −gz, und deren Gradient (0, 0, −g) ist die

Massenkraft.

Allgemein gilt, dass der Gradient einer Potentialfunktion Φ ein drehungsfreies Vektorfeld ist, d.h. rot gradΦ = 0,

und fur ein solches ist der Wert eines bestimmten Integrals unabhangig vom Integrationsweg.

29


C.9 Schwimmstabilitat

Ein nicht vollstandig getauchter Korper schwimmt, wenn die Bedingung

G = FA = ρgV

erfullt ist. Diese Bedingung allein genugt nicht zur Aufrechterhaltung eines Gleichgewichts. Die Gewichtskraft G,

die im Schwerpunkt SG des Korpers angreift, und die Auftriebskraft FA, die im Schwerpunkt der Verdrangung

SV angreift, durfen kein Moment zur Folge haben, welches den Korper drehen kann. Decken sich die Richtungs-

linien der Krafte G und FA, was der Fall ist, wenn die Verbindungslinie des Korperschwerpunktes SG und des

Schwerpunktes der Verdrangung SV - die sogenannte Schwimmachse - senkrecht steht, dann tritt kein Moment

auf.

A : Querschnittsflache der Schwimmebene

(Schwimmflache)

Es ist zu untersuchen, ob dieser Gleichgewichtszustand stabil, labil oder indifferent gegenuber Storungen ist.

Ein schwimmender, nicht vollstandig eingetauchter Korper, dessen Schwimmachse senkrecht steht, werde durch

Storungen in Form von Windkraften oder Wellenschlag aus seiner Ausgangslage ausgelenkt. Kehrt der Korper

nach Abklingen der Storung in seine Ausgangslage zuruck, so befindet er sich in einem stabilen Gleichgewichts-

zustand. Wenn der Gleichgewichtszustand instabil ist, dann kippt der Korper um und nimmt danach eine stabile

Lage ein. Bei indifferentem Gleichgewicht bleibt der Korper in der Lage, die er zum Zeitpunkt des Abklingens

der Storung eingenommen hat.

stabil

ruckdrehen

labil

kentern

indifferent

drehen

30

C.9. Schwimmstabilitat

Im folgenden soll die Stabilitat gegenuber Drehung um die Langsachse betrachtet werden, wobei wir uns auf

kleine Drehungen, die sogenannte Anfangsstabilitat, beschranken. Die Gleichgewichtslage ist stabil, wenn eine

Drehung um die Achse durch O ein ruckstellendes Moment um den Schwerpunkt SG erzeugt.

dA sei ein beliebiges Flachenelement der Schwimmflache A

im Abstand y von der Drehachse O, dann ist das zusatzliche

verdrangte Volumen bei Drehung um den Winkel ∆φ

dV = y∆φ dA

und damit der zusatzliche Auftrieb

dFA = ρg dV = ρgy∆φ dA

Die gesamte Auftriebsanderung durch die Drehung um ∆φ

ist naherungsweise Null.

∆FA = ρg∆φ

∫y dA = 0

Das Moment um die Achse durch O infolge Drehung des Schiffes ist

∆M = ρg∆φ

∫y2 dA = ρg∆φ Ix

Das Integral Ix ist das Tragheitsmoment der Schwimmflache. Dieses Moment kann auch durch horizontale

Verschiebung des Verdrangungsschwerpunktes Sv dargestellt werden.

∆M = F ′A ∆s = G∆s

Der Schnittpunkt der Wirkungslinie der Auftriebskraft F ′A mit der Schwimmachse ist das Metazentrum M . Der

Abstand zwischen Korperschwerpunkt SG und Metazentrum M auf der Schwimmachse wird als metazentrische

Hohe hM bezeichnet. Fur kleine Winkel ∆φ gilt dann

∆s = (hM + e)∆φ mit e = SV SG.

Daraus lasst sich die metazentrische Hohe hM berechnen:

hM =IxV− e (C.11)

Proportional dazu ist das ruckdrehende Moment

MR = G · hM sin ∆φ.

Ist hM > 0, d.h. das Metazentrum liegt uber dem Schwerpunkt SG, so ist das Moment aus der Lageveranderung

des Verdrangungsschwerpunktes infolge Drehung um ∆φ ruckstellend und damit die Gleichgewichtslage des

Korpers stabil. Die Anfangsstabilitat ist abhangig vom Tragheitsmoment der Schwimmflache, vom verdrangten

Fluidvolumen und vom Abstand zwischen dem Schwerpunkt des Korpers und dem Schwerpunkt der Ver-

drangung. Sie ist unabhangig vom Drehwinkel ∆φ, so lange dieser lt. Voraussetzung klein ist. Bei großeren

Drehwinkeln ist die Stabilitat vom Drehwinkel selbst abhangig, weil dann das Metazentrum auswandert.

31


32

Kapitel D

Kinematik der Stromung

33

Kapitel D. Kinematik der Stromung

D.1 Geschwindigkeit, Bahn-, Strom-, Streich- und Zeitlinie

Stromungsmechanik ist die Lehre von Bewegung und Kraftegleichgewicht der Fluide, wobei die einzelnen Mas-

senteilchen im Zeitablauf große gegenseitige Verschiebungen erfahren, sodass ein Zusammenhalt der Gesamt-

masse wie bei den festen Korpern nicht mehr gegeben ist. Demgemaß erfordert die gesetzmaßige Erfassung

stromender Fluide besondere Betrachtungsweisen.

Bei der Lagrangeschen1Betrachtungsweise fasst man zu einem Zeitpunkt t0 das Fluid aus punktformigen

Einzelmassen zusammengesetzt auf und verfolgt den anschließenden Bewegungsablauf jedes einzelnen Massen-

elementes zur Zeit t > t0. Die Lage eines Teilchens wird

• zum Zeitpunkt t0 durch den Ortsvektor ~r0 = (x0, y0, z0)

• und danach zeitabhangig durch den Ortsvektor ~r = ~r(~r0, t) = (x(~r0, t), y(~r0, t), z(~r0, t)) dargestellt.

Verfolgt man den Weg eines Fluidteilchens,

so entsteht eine Bahnlinie, die als Zeitaufnahme eines markierten

Teilchens angesehen werden kann. Im Zeitintervall dt wird langs

dieser Bahnlinie der Weg

d~s = ~r(t+ dt)− ~r(t) = d~r

zuruckgelegt.

Daraus erhalt man die Geschwindigkeit des betrachteten Teilchens zum Zeitpunkt t an der Stelle ~r = ~r(~r0, t):

d~r

dt=

d~s

dt= ~v(~r0, t) = (vx, vy, vz) (D.1)

Der Geschwindigkeitsvektor muss die Bahnlinie naturlich tangieren. Ist umgekehrt die Geschwindigkeit gegeben,

so kann die neue Lage ~r(~r0, t1): eines Fluidteilches zum Zeitpunkt t1 berechnet werden:

d~s = ~vdt ⇒ (dx, dy, dz) = (vxdt, vydt, vzdt) ⇒x1∫x0

dx = x1 − x0 =

t1∫t0

vxdt ⇒ x1 = x0 +

t1∫t0

vxdt (D.2)

y1 = y0 +

t1∫t0

vydt

z1 = z0 +

t1∫t0

vzdt

1Johann Louis Lagrange (1763 - 1813, Frankreich), Mathematiker und theoretischer Mechaniker. Er fuhrte das Geschwin-

digkeitspotential und die Stromfunktion (siehe Skript Stromungsmechanik II) in die Hydromechanik ein. Außerdem leitete er die

Gleichung fur die Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit in offenen Gerinnen ab). Die oben erwahnte Lagrangesche Betrachtungs-

weise geht allerdings auf Euler zuruck.

34

D.1. Geschwindigkeit, Bahn-, Strom-, Streich- und Zeitlinie

Bei Lagrangescher Betrachtungsweise erhalt man die Beschleunigung aus der Ableitung der Geschwindigkeit

nach der Zeit bei festgehaltenem r0, d.h. aus der partiellen Ableitung∂~v

∂t. Wendet man auf ein Massenteil-

chen das Newtonsche Grundgesetz (Kraft = Masse · Beschleunigung) an, so ergeben sich die Lagrangeschen

Gleichungen der Stromungsmechanik, deren Losung jedoch im allgemeinen auf großere mathematische Schwie-

rigkeiten stoßt.

Deshalb wird man in der Regel die wesentlich vorteilhaftere Eulersche2 Betrachtungsweise anwenden, die das

individuelle”Schicksal“ der Massenteilchen unbeachtet lasst, und stattdessen danach fragt, welche Geschwindig-

keit (und andere Großen) an einem festgehaltenen Ort zu jedem Zeitpunkt t herrschen. Die stromungsmechanischen

Großen werden also nicht den Fluidteilchen, sondern den Punkten (x, y, z, t) des Raum-Zeit-Kontinuums zuge-

ordnet. Man kommt somit zu einer Feldbetrachtung zu bestimmten Zeitpunkten. So gibt es z.B. Geschwindigkeits-

und Druckfelder.

Das Geschwindigkeitsfeld ist ein Vektorfeld, das sich in einem Versuch sichtbar machen lasst:

Hierzu werden einem stromenden Fluid Schwebstoffteilchen zugesetzt und zum Zeitpunkt t mit einer”Belich-

tungsdauer ∆t“ fotografiert. Auf dem Foto hinterlassen die Schwebstoffteilchen Spuren der Lange ∆s, die je

nach Ausgangslage (x, y, z) unterschiedliche Lange und Richtung aufweisen. Daraus ergeben sich die Geschwin-

digkeiten in bekannter Weise:

Verschiebung eines Schwebstoffteilchens

v(x, y, z, t) = lim∆t→0

∆s

∆t=

ds

dt(D.3)

Im Gegensatz zur Lagrangeschen Betrachtungsweise wird

der weitere Weg der Schwebstoffteilchen nicht mehr ver-

folgt, da nur die”Feldaufnahme“ zu den einzelnen Zeit-

punkten t ermittelt werden soll.

Zur anschaulichen Darstellung des Geschwindigkeitsfelds werden Stromlinien eingefuhrt. Darunter versteht man

Linien, die an jeder Stelle des Stromungsgebietes in der Richtung der dort herrschenden Geschwindigkeit ver-

laufen, d.h. die Geschwindigkeitsvektoren tangieren die Stromlinien.

Der Stromlinienverlauf lasst sich (fur einen bestimmten Zeitpunkt t) aus dem Geschwindigkeitsfeld ~v(x, y, z) =

(vx, vy, vz) ableiten. Geschwindigkeitsvektor ~v und Wegelement d~s auf der Stromlinie sind in einem betrachteten

Punkt parallel:

~v × d~s = ~0 = (0, 0, 0) (D.4)

(~v und d~s spannen bei Parallelitat keine Parallelogrammflache auf, sodass das Vektorprodukt gleich dem Null-

vektor ist.)

2Leonhard Euler (1707-1783), Schweizer Mathematiker mit bahnbrechenden Leistungen in allen Bereichen der Mathematik

und Mechanik. Er vollendete die Grundlagen der klassischen Hydromechanik der Flussigkeiten und kompressiblen Gase. Genannt

seien seine exakte Begriffsbildung fur den Druck und das Eulersche Schnittprinzip. Sie ermoglichten ihm die Anwendung des

Newtonschen Gesetzes auf ein Flussigkeitsteilchen (s. Kapitel F) und daraus die Ableitung der ebenfalls nach ihm benannten

Grundgleichungen der Hydromechanik; das sind: partielle Differentialgleichungen zur Beschreibung der idealen Stromung, deren

Integration langs einer Stromlinie wiederum zur Bernoulli-Gleichung fuhrt.

35


~v × d~s =

~ex ~ey ~ez

vx vy vz

dx dy dz

= (vydz − vzdy, −vxdz + vzdx, vxdy − vydx)

Aus der Bedingung ~v × d~s = ~0 ergeben sich drei Differentialgleichungen fur die Projektionen der Stromlinien

auf die y-z-Ebene, z-x-Ebene und x-y-Ebene:

dz

dy=

vzvy

⇒ in der y-z-Ebene

dx

dz=

vxvz

⇒ in der z-x-Ebene (D.5)

dy

dx=

vyvx

⇒ in der x-y-Ebene

Bei ebenen Problemen sind dz = 0 und vz = 0, sodass nur die letzte Differentialgleichung fur die Stromlinie

y(x) verbleibt.

Eigenschaften der Stromlinien

Im Gegensatz zu den Bahnlinien schneiden sich Stromlinien nie, da sonst in dem Schnittpunkt zwei Geschwin-

digkeiten verschiedener Richtung auftreten wurden, was nicht moglich ist. Außerdem verlaufen die Stromlinien

im Feldinneren stets ohne Knicke, da sonst unendlich große Beschleunigungen auftreten mussten. In sogenannten

Staupunkten am Rande des Feldes konnen sich die Stromlinien dagegen verzweigen bzw. Knicke aufweisen. Im

Verzweigungs- oder Staupunkt ist die Geschwindigkeit stets Null, da der Geschwindigkeitsvektor nur eine ein-

deutige Richtung aufweisen kann - eine Bedingung, die bei einer Verzweigung oder einem Knick nicht erfullbar

ist.

Bislang wurde das Geschwindigkeitsfeld nur zu einem bestimmten Zeitpunkt betrachtet. Bei sogenannten instationaren

Stromungen treten zeitliche Anderungen auf, sodass sich zu jedem Zeitpunkt ein neues Stromlinienbild ergibt.

Zeitunabhangige Stromungen heißen dagegen stationar.

Ob eine Stromung stationar oder instationar ist, kann von dem gewahlten Koordinatensystem abhangen.

In der Abbildung ist die gleiche Stromung auf zwei Weisen a und b dargestellt. Ein Zylinder wird mit konstanter

Geschwindikeit ~v durch ein ruhendes Fluid gefuhrt. Heftet man das Koordinatensystem mit dem Ursprung 0

an den Korper, so erscheint die Stromung stationar (siehe a). Ein raumfestes Koordinatensystem lasst dage-

gen die Stromung instationar erscheinen (siehe b), da das dargestellte Stromlinienbild vom bewegten Zylinder

mitgefuhrt wird.

36

D.2. Stromrohre und Stromfaden

Neben der Geschwindigkeit werden noch weitere stromungsmechanische Feldgroßen betrachtet. Dies konnen

unter anderem Druck, Dichte, Temperatur oder Salzgehalt des Fluids sein, also skalare Großen, die ein Skalarfeld

bilden – im Gegensatz zum Vektorfeld der Geschwindigkeiten.

Außer Bahnlinie und Stromlinie werden noch weitere kinematische Begriffe von Bedeutung definiert:

Streichlinie: Momentaufnahme aller Fluidteilchen, die einen bestimmten Punkt passiert haben. Beispiel:

Rauchfahne eines Schornsteins.

Bei stationaren Stromungen fallen Bahn-,

Strom- und Streichlinie zusammen.

Zeitlinie: Zu einem Zeitpunkt werden langs einer Linie Fluidteilchen markiert. Man betrachtet zu

einem spateren Zeitpunkt die von den markierten Teilchen gebildete Linie.

D.2 Stromrohre und Stromfaden

Die Losung stromungsmechanischer Probleme gestaltet sich im dreidimensionalen Fall i.a. sehr schwierig; ge-

wisse Vereinfachungen bieten dagegen zweidimensionale Betrachtungen, die die physikalischen Vorgange streng

genommen nicht exakt wiedergeben, aber haufig eine brauchbare Naherung darstellen.

Betrachtet man speziell Stromungen in Rohren und Gerinnen, so fuhrt i.d.R. eine eindimensionale Beschreibung

der Vorgange bereits zu hinreichend genauen Resultaten. Bei diesem Problemkreis verlauft die Stromung in ei-

ner durch die Rohr- bzw. Gerinneachse ausgezeichneten Richtung und die geringen, senkrecht zu dieser Achse

auftretenden Bewegungen werden vernachlassigt.

Fur die eindimensionale Eulersche Betrachtungsweise (die wir ausschließlich anwenden werden) bedient man

sich weiterer kinematischer Gebilde, die eng mit dem Stromfadenbegriff zusammenhangen:

Stromrohre:

Stromlinienflache

Die Summe aller Stromlinien, die durch eine ortsfeste Linie gehen, bildet eine

Stromlinienflache. Ist diese Linie geschlossen, so entsteht die Mantelflache einer

Stromrohre. Da sich Stromlinien nicht schneiden bzw. Geschwindigkeiten Strom-

linien tangieren, ist ein Massenfluss durch die Mantelflache der Stromrohre nicht

moglich.

37


Stromrohre

Bildet man eine Stromrohre in einer dreidimensionalen, instationaren Stromung,

so handelt es sich hierbei gemaß der Eulerschen Betrachtungsweise um eine

Momentaufnahme, d.h. die Stromrohren verandern mit der Zeit ihre Lage und

Form.

In der Hydraulik werden dagegen ortsfeste, durch die Rohr- bzw. Gerinnewandung

definierte Stromrohren betrachtet.

Die stromungsmechanischen Großen, insbesondere die Geschwindigkeiten, sind in einer Stromrohre nicht nur

langs der Stromrohrenachse, sondern auch normal dazu veranderlich. Tragt man diese Großen uber einer Quer-

schnittsflache A auf, so ergibt sich ein sogenanntes Profil. Ein Geschwindigkeitsprofil stellt also die Geschwin-

digkeitsverteilung senkrecht zur Achse dar. In der Regel wird jedoch mit Mittelwerten gerechnet, die aus diesen

Profilen gewonnen werden.

Stromfaden:

Stromfaden

Stromlinien, die durch eine endliche Flache A gehen, bilden eine Stromrohre. Stellt

diese Flache dagegen eine infinitesimale Große dA dar, so entsteht ein Stromfaden.

Uber dA werden die betrachteten stromungsmechanischen Großen (im Gegensatz

zu A in der Stromrohre) naturlich nicht mehr variabel angesetzt.

Die Betrachtung des Stromfadens fuhrt zur Stromfadentheorie, in der die Pro-

bleme durch eindimensionale Gleichungen langs einer Raumkurve beschrieben

werden.

Die Summierung aller Stromfaden in einem Rohr oder Gerinne fuhrt auf naturliche Weise zur Stromrohrentheorie.

In der Stromfadentheorie werden die grundlegenden Gesetze abgeleitet, wahrend in der Stromrohrentheorie die

Erweiterung auf die Rohr- und Gerinnehydraulik und die empirische Berucksichtigung zusatzlicher Effekte (z.B.

Stromungswiderstand, Geschwindigkeitsverteilung) vollzogen wird.

D.3 Beschleunigung

Die Kinematik (das heißt der Bewegungsablauf) einer Stromung wird durch auf das Fluid wirkende Krafte

(die Dynamik) bestimmt. Die entsprechenden Grundgleichungen der Stromungsmechanik erhalt man aus dem

Newtonschen Grundgesetz (Impulsgleichung):

d(m~v)

dt= ~F

m~v Impuls1 (= Masse ·Geschwindigkeit)

~F auf die Masse m wirkende resultierende Kraft

Bei zeitlich unveranderlicher Masse resultiert daraus die bekannte Beziehung:

md~v

dt= m~a = ~F

Neben der Geschwindigkeit ~v kommt also als weitere wichtige kinematische Große die Beschleunigung ~a in

Betracht. Wir beschranken uns auf die Eulersche Betrachtungsweise und speziell auf die Stromfaden- bzw.

1siehe Fußnote zu Abschnitt F.1

38

D.3. Beschleunigung

Stromrohrentheorie.

Fuhrt man langs eines Stromfadens die Koordinate s ein, so ist im allgemeinen Fall (ungleichformig und insta-

tionar) die Geschwindigkeit eine Funktion von s und t:

v = v(s, t)

v ist positiv, wenn die Stromung in Richtung der s-Koordinate verlauft.

Denkt man sich die Geschwindigkeit v(s, t) uber der s-t-Ebene als Flache im s-t-v-Raum dargestellt, so kann die

Anderung von v unmittelbar abgelesen werden, wenn man von einem Punkt (s, t) zu einem Punkt (s+ds, t+dt)

ubergeht. Sei v = v(s, t), dann ist v(s+ ds, t+ dt) = v + dv und es gilt:

dv = (tanα)ds+ (tanβ)dt (siehe Abbildung)

=∂v

∂sds+

∂v

∂tdt

Division der totalen Geschwindigkeitsanderung auf der Stromlinie durch dt ergibt die substantielle Beschleunigung,

die sich aus konvektiver und lokaler Beschleunigung zusammensetzt:

dv

dt=

∂v

∂s

ds

dt+∂v

∂t

Beachtet man noch, dass die Substanz (das Fluidteilchen) in der Zeit dt den Weg ds = vdt zurucklegt, so folgt

dv

dt= v

∂v

∂s+∂v

∂t=

1

2

∂(v2)

∂s+∂v

∂t(D.6)

lokale Beschleunigung

konvektive Beschleunigung

substantielle Beschleunigung

39


Die lokale Beschleunigung ∂v/∂t stellt die zeitliche Anderung der Geschwindigkeit an einem festen Ort auf der

Stromlinie dar. Bei stationarer Stromung ist ∂v/∂t = 0.

Die konvektive Beschleunigung v∂v

∂sgibt die Geschwindigkeitsanderung von Ort zu Ort bei fest vorgegebenem

Zeitpunkt an.

Die Abbildung zeigt eine Stromrohre der Lange dsmit abnehmender Querschnittsflache und stationarer Stromung.

Offensichtlich nimmt die Geschwindigkeit infolge der Verengung zu, sodass die Fluidteilchen beschleunigt wer-

den. In diesem Fall der stationaren Stromung ist die substantielle Beschleunigung gleich der konvektiven, wel-

che sich nur bei einer Ortsveranderung, die das bewegte Teilchen erleidet, feststellen lasst. Bei instationarer

Stromung erfahrt das Teilchen mit der Zeit noch eine zusatzliche Beschleunigung infolge lokaler Geschwindig-

keitsanderungen ∂v/∂t.

Man unterscheidet haufig die folgenden Stromungsfalle:

stationare Stromung . . . . :∂v

∂t= 0

instationare Stromung . . .:∂v

∂t6= 0

gleichformige Stromung . :∂v

∂s= 0

ungleichformige Stromung:∂v

∂s6= 0

(In der sich verengenden Stromrohre wird also eine ungleichformige Stromung reprasentiert.)

40

Kapitel E

Transport von Masse, Impuls und

Energie

41

Kapitel E. Transport von Masse, Impuls und Energie

Die Querschnittsflache A sei mit einer Geschwindigkeit der Fluidteilchen v durchstromt. In dem Zeitraum ∆t

legen die Teilchen den Weg ∆s zuruck, sodass in dieser Zeit das Volumen ∆V = Av∆t durch den Querschnitt

stromt. Im instationaren Fall ist die Geschwindigkeit v mit der Zeit veranderlich, und man definiert daher

zweckmaßigerweise den Momentanwert Av als Grenzwert von

lim∆t→0

∆V

∆t= Av = V = Q

Mit

V = Q = Av [m3/s]

erhalt man den sogenannten Volumenstrom, Volumendurchsatz oder Durchfluss, d.h. das Volumen, das pro

Zeiteinheit den Querschnitt A durchfließt.

Entsprechend ist dann ρQ der Massenstrom, d.h. die Fluidmasse, die pro Zeiteinheit den Querschnitt durchfließt:

m = ρQ = ρvA [kg/s]

An die mit der Geschwindigkeit ~v bewegten Fluidteilchen sind noch weitere physikalische Eigenschaften wie

Impuls (~I = m~v) oder kinetische Energie(Ekin = mv2/2

)gebunden, die ebenso wie die pro Zeiteinheit durch

eine Querschnittsflache stromende Masse einem Transportprozess unterliegen.

Analog zum Volumen- bzw. Massenstrom definiert man auch hier einen Impuls- bzw. Energiestrom:

~I = m~v [N] Impuls, der pro Zeiteinheit eine Querschnittsflache durchfließt.

Beachte: Der Impulsstrom hat die Maßeinheit einer Kraft.

Ekin = mv2/2 [J/s = W] Kinetische Energie, die pro Zeiteinheit eine Querschnittsflache durch-

fließt.

Das Produkt ~I = m~v aus Masse und Geschwindigkeit ist der Impuls (oder die Bewegungsgroße) eines Massenpunktes.

Bei Korpern mit der Masse m (siehe auch Abschnitt F.1) ist der Impuls ~I =∫m~vdm. Soweit aber im folgenden

fur alle betrachteten Massenteilchen dm gleiche Geschwindigkeit v vorausgesetzt wird, gilt∫m~vdm = m~v.

42

E.1. Transport durch Stromfaden

E.1 Transport durch Stromfaden

Die (sehr kleine) Querschnittsflache A des Stromfadens wird mit der

Geschwindigkeit v durchstromt, wahrend ein Massenfluss uber die Man-

telflache ausgeschlossen ist.

Fur den Volumenstrom erhalten wir hier

V = Q = vA [m3/s] (E.1)

als skalare Große.

Multiplikation des Volumenstromes mit der Dichte ρ ergibt den entsprechenden Massenstrom

m = ρQ = ρvA [kg/s], (E.2)

der ebenfalls eine skalare Große darstellt.

Der Impuls einer Masse m, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, wird durch die Große

~I = m~v

definiert. Entsprechend stellt das Produkt aus Massenstrom und Geschwindigkeit den Impulsstrom dar:

~I = m~v = ρQ~v = ρv~vA [N] (E.3)

Der Betrag dieser vektoriellen Große ist

I = mv = ρvQ = ρv2A [N]

Die Einheit des Impulsstromes ist die einer Kraft.

Analog zum Impuls ist die Energie einer Masse m, die sich mit der Geschwindigkeit ~v bewegt, gegeben durch

die Große

E = m(u+ v2/2 + gz

)= me [J]

Die dabei berucksichtigten Energieanteile sind

- innere (thermische) Energie mu

- kinetische Energie mv2/2

- potentielle Energie mgz

43


Dem Volumen-, Massen- und Impulsstrom entspricht demzufolge ein Energiestrom (skalare Große) durch den

Querschnitt A

E = m(u+ v2/2 + gz + p/ρ

)= m (e+ p/ρ) [J/s=W] (E.4)

Die Einheit des Energiestroms ist die einer Leistung.

Der Energiestrom enthalt folgende Anteile:

mu = innere Energie/Zeiteinheit

mv2/2 = kinetische Energie/Zeiteinheit

mgz = Lageenergie/Zeiteinheit

mp/ρ = Druckenergie/Zeiteinheit

potentielle Energie

pro Zeiteinheit

Zu der gegebenen Energie E der Masse m tritt demnach beim Energiestrom E ein neuer und fur Stromungen

eigentumlicher Anteil mp/ρp auf, den man wie folgt erklaren kann:

Die Druckkraft pA wirkt auf Fluidteilchen, die sich in der Zeit ∆t um die

Strecke v∆t weiterbewegen. Dabei leistet die Druckkraft in der Zeit ∆t die

Arbeit pA v∆t und ihre Leistung (Arbeit/Zeiteinheit) ist somit:

pAv = p/ρ ρAv = p/ρ m

Innere Energie/Zeiteinheit mu:

u ist die auf die Masseneinheit bezogene innere Energie des Fluids. Bei den hier

behandelten Stromungsvorgangen handelt es sich ausschließlich um thermische

Energie. (Naheres s. Abschnitt F.5).

44

E.2. Transport durch Stromrohre

E.2 Transport durch Stromrohre

Im Gegensatz zum Stromfaden weist die Stromrohre eine uber den Querschnitt veranderliche Geschwindigkeits-

verteilung auf. Deshalb zerlegt man die Stromrohre in Stromfaden und integriert die im Stromfaden betrachteten

physikalischen Großen (z.B. Volumen-, Massen-, Impuls-, Energiestrom) uber den Stromrohrenquerschnitt auf.

Stromrohre, in Stromfaden zerlegt

A sei der Stromrohren- und dA ein infinitesimaler

Stromfadenquerschnitt. In der Stromrohrentheorie wurde

man durch Mitnahme des Geschwindigkeitsprofils zu

einer dreidimensionalen Betrachtung gelangen. Ersetzt

man dagegen das Geschwindigkeitsprofil v durch eine

mittlere Geschwindigkeit v, die sich nur noch in Richtung

der Stromrohrenachse andert, so erhalt man wieder wie bei

der Stromfadentheorie eine eindimensionale Erfassung der

Stromungsvorgange.

Schnitt durch eine Stromrohre mit Geschwindig-

keitsprofil v und mittlerer Geschwindigkeit v

Um die ebenfalls von der Geschwindigkeit v abhangigen

und damit uber den Querschnitt A veranderlichen Großen

wie Volumen-, Massen-, Impuls- oder Energiestrom auf die

mittlere Geschwindigkeit v beziehen zu konnen, mussen die

folgenden Ausdrucke ausgewertet werden:∫A

v dA,

∫A

v2 dA, und

∫A

v3 dA

Die mittlere Geschwindigkeit v in einer Stromrohre wird derart definiert, dass der Volumenstrom Q durch den

Stromrohrenquerschnitt A erhalten bleibt:

Q =

∫A

v dA = vA

Bei dieser Betrachtung wird vorausgesetzt, dass die Geschwindigkeiten v annahernd parallel gerichtet sind, d.h.

der Fluidteilchenfluss erfolgt orthogonal zur Flache A.

Die Mittelung der Großen v2 und v3 fuhrt nicht zu den Mittelwerten v2 und v3:∫A

v2 dA 6= v2A etc.

45


Diese Abweichungen werden durch die Einfuhrung profilabhangiger Beiwerte erfasst:

∫A

v2 dA = βv2A = βvQ

∫A

v3 dA = αv3A = αv2Q

Wenn das Geschwindigkeitsprofil bekannt ist, lassen sich α und β berechnen:

v =1

A

∫A

v dA (E.5)

β =1

v2A

∫A

v2 dA, β ≥ 1 (E.6)

α =1

v3A

∫A

v3 dA, α ≥ 1 (E.7)

Unter Anwendung obiger Mittelungsprozesse lassen sich die in Abschnitt E.1 fur den Stromfaden abgeleiteten

Großen auf die Stromrohre ubertragen.

Volumenstrom Q =

∫A

v dA = vA entspricht Gl. (E.1) (E.8)

Massenstrom m =

∫A

ρv dA = ρvA = ρQ entspricht Gl. (E.2) (E.9)

Impulsstrom ~I =

∫A

ρv~v dA

Der Betrag des Impulsstromes ist

I =

∫A

ρv2 dA = ρβv2A = βmv

Da bei der Integration die Richtung des Impulsstromes erhalten bleibt (~v wird stets annahernd orthogonal zu

A vorausgesetzt), ergibt sich die Vektorgroße zu

46

E.2. Transport durch Stromrohre

~I = βm~v entspricht Gl. (E.3) (E.10)

Energiestrom E =

∫A

(gz +

p

ρ+v2

2+ u

)ρv dA

Annahmen: − Die Druckverteilung uber A sei hydrostatisch.

Dann ist (gz + p/ρ) konstant uber A.

− Die Temperatur sei konstant uber A.

Dann ist u konstant uber A. (E.11)

Damit erhalten wir

E = ρ

(gz +

p

ρ+ u

)∫A

v dA+ρ

2

∫A

v3 dA

= ρ

(gz +

p

ρ+ u

)vA+

ρ

2αv3A

= ρvA

(gz +

p

ρ+ α

v2

2+ u

)

E = m

(gz +

p

ρ+ α

v2

2+ u

)entspricht Gl. (E.4) (E.12)

Die maximalen und minimalen Zahlenwerte fur α und β sind:

vmax ≥ v ≥ vmax/2 mittlere Geschwindigkeit

1 ≤ β ≤ 1.33 Impulsbeiwert

1 ≤ α ≤ 2.00 Energiebeiwert

ideale laminare

Stromung Stromung

Beispiel 1: Ideale Stromung

v = const. ; v = v, α = β = 1

Dieser Idealfall wird bei realen Stromungen nicht erreicht, da durch die Haftbedingung an der Stromungsbegrenzung

(s. Kapitel G) immer ein ungleichformiges Geschwindigkeitsprofil uber dem Fließquerschnitt entsteht.

47


Beispiel 2: Laminare Stromung

A = Kreisquerschnitt

v =

[1−

( rR

)2]vmax

(Geschwindigkeitsprofil = Paraboloid)

Mit dA = 2πr dr und A = πR2 folgt

v =2

R2vmax

R∫0

[1−

( rR

)2]r dr = vmax/2

β =8

R2

R∫0

[1−

( rR

)2]2

r dr =4

3= 1, 33 . . .

α =16

R2

R∫0

[1−

( rR

)2]3

r dr = 2, 0

(Wie im Abschnitt G.4 noch naher ausgefuhrt wird, reprasentiert dieses Profil den Sonderfall einer laminaren

Stromung. Man beachte den sehr großen Beiwert α = 2.)

Beispiel 3: turbulente Stromung

Sehr haufig tritt der Fall auf, dass v ' vmax und α ' β ' 1 ist.

(Genauer: α ' 1, 06 und β ' 1, 02)

Hierbei handelt es sich um ausgepragte turbulente Stromungen, bei

denen ein gedrungenes Geschwindigkeitsprofil vorliegt.

Siehe auch Abschnitt G.5.

48

E.3. Transport durch eine gekrummte Flache

E.3 Transport durch eine gekrummte Flache

In Abschnitt E.2 wurde vorausgesetzt, dass die Geschwindigkeiten annahernd orthogonal zum Stromrohrenquerschnitt

A gerichtet sind. Im folgenden wird der Fluss durch eine Flache allgemeiner gefasst.

d ~A Flachenvektor, steht normal zur Flache, sein Betrag ist

gleich der Große des Flachenelements dA.

~v Durchstromung von dA ist nicht zwanglaufig normal zur

Flache.

Volumenstrom:

durch dA : dQ = ~v d ~A = |~v| · |d ~A| cos θ = v dA cos θ

durch A : Q =

∫A

~v d ~A entspricht Gl. (E.1) und Gl. (E.8) (E.13)

Beachte:

θ im 1. oder 4. Quadranten

cos θ > 0

dQ > 0

θ im 2. oder 3. Quadranten

cos θ < 0

dQ < 0

Massenstrom:

durch dA : dm = ρ dQ = ρ~v d ~A

durch A : m =

∫A

ρ~v d ~A entspricht Gl. (E.2) und Gl. (E.9) (E.14)

Impulsstrom:

durch dA : d~I = dm~v = ρ~v dQ = ρ~v(~v d ~A)

durch A : ~I =

∫A

ρ~v (~v d ~A) entspricht Gl. (E.3) und Gl. (E.10) (E.15)

Energiestrom:

durch dA : dE =

(e+

p

ρ

)dm = ρ

(e+

p

ρ

)~v d ~A

durch A : E =

∫A

ρ

(e+

p

ρ

)~v d ~A entspricht Gl. (E.4) und Gl. (E.12) (E.16)

49


E.4 Transportprozesse infolge Diffusion

Wir haben bisher in diesem Kapitel die Fluidteilchen als Trager ihrer Masse, ihres Impulses und ihrer Energie

betrachtet und kamen aufgrund der Bewegung der Teilchen zum Konzept des Transportes von Masse, Impuls

und Energie. Es handelt sich dabei um einen Transport in Richtung des Geschwindigkeitsvektors (advektiver,

manchmal auch konvektiver Transport genannt).

Neben der Advektion ist die Diffusion in Richtung eines Konzentrationsgefalles der zweite wichtige Mechanismus

eines Transports. Denken wir z.B. an die Diffusion von gelostem Salz von Bereichen hoher Konzentration zu

denen niedriger Konzentration sowie an die Warmeleitung von Bereichen hoher Temperatur zu denen niedriger

Temperatur. Ganz analog gibt es einen Transport des Impulses von Bereichen hohen Impulses zu denen niedrigen

Impulses.

Die Gesetzmaßigkeiten dieser Prozesse hangen eng zusammen mit den internen Stromungsmechanismen, die

vor allem durch die Eigenschaft der Turbulenz und der Fluidviskositat gepragt sind, und die wir in spaterern

Kursen noch einmal aufgreifen werden.

50

Kapitel F

Erhaltungssatze der

Stromungsmechanik

51

Kapitel F. Erhaltungssatze der Stromungsmechanik

F.1 Grundgleichungen fur Korper

Als Grundgleichungen fur die Kinetik der Korper lernten Sie in der Mechanik die Satze von der

Massenerhaltung / Impulserhaltung / Energieerhaltung

kennen, die wir uns hier getrennt fur Massenpunkte und fur Korper noch einmal in Erinnerung rufen wollen.

Massenpunkt der Masse m Korper der Masse m =

∫dm

Massenerhaltung

m = const.

dm

dt= 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∫

dm = const.

d

dt

∫dm = 0

(F.1)

Die Masse vorhandener Materie bleibt erhalten.

Impulserhaltung

(2. Newtonsches Gesetz)

d

dt(~vm) =

∑~F

∣∣∣∣ d

dt

∫~v dm =

∑~F (F.2)

Der Zuwachs des Impulses1 ist gleich der Summe aller außeren Krafte.

Energieerhaltung

(1. Hauptsatz der Thermodynamik)

dE

dt= Q+ P

∣∣∣∣ d

dt

∫edm = Q+ P (F.3)

Der Zuwachs der Energie ist gleich der Zufuhr von Warme (Q)

plus der Leistung außerer Krafte (P ).

Als Energie (E) wird hier sowohl die mechanische (d.h. potentielle und kinetische) als auch die thermische

Energie betrachtet, also

1 Was wir hier Impuls nennen (das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit) wird in der Mechanik meist mit dem Begriff

Bewegungsgroße gekennzeichnet. Impuls ist dort eine uber einen kurzen Zeitraum wirkende Kraft, und es gilt dann Impuls gleich

Anderung der Bewegungsgroße∑

~F ∆t = m∆v

52

F.2. Ubergang vom Fluidvolumen zum Kontrollraum

E = m

(gz +

v2

2+ u

) ∣∣∣∣∣∣∣∣E =

∫edm

=

∫ (gz +

v2

2+ u

)dm

mit u = thermische Energie/Masseneinheit.

Massenpunkte und Korper, wie sie in der Festkorper-Mechanik betrachtet werden, sind sogenannte geschlossene

Systeme, in denen eine vorgegebene Masse von der Umgebung durch materielle oder gedachte, auf jeden Fall

aber durch massenundurchlassige, Begrenzungsflachen getrennt ist.

F.2 Ubergang vom Fluidvolumen zum Kontrollraum

Dem Korper der Festkorpermechanik entspricht in der

Stromungsmechanik das Fluidvolumen mit einer definier-

ten Masse m. Im Bild ist ein solches Volumen markiert und

zu den Zeitpunkten t1 und t2 dargestellt.

Betrachtet man das beliebig abgegrenzte Fluidvolumen und seine Bewegung durch den Raum, so stellt auch

das die Betrachtung eines geschlossenen Systems dar, und die drei Erhaltungssatze sind in obiger Formulierung

prinzipiell anwendbar. Allerdings treten dabei praktische Schwierigkeiten auf, weil

1.) sich die Begrenzungsflachen verformen.

2.) das Interesse nicht so sehr an der Bewegung und dem Verformungszustand einer vorgegebenen Masse des

Fluids besteht, sondern an dem Effekt der Bewegung des Fluids auf seine Begrenzungen, z.B. Rohrwande,

Flussbett, Wehrkorper, windumstromte Bauwerke, etc.

Beispiele:

durchstromte Rohrverzweigung uberstromter Wehrrucken

Es interessiert wenig, wo sich eine betrachtete Masse m bzw. sein Volumen zu jedem Zeitpunkt befindet

und welche Form sie hat. Wichtiger zu wissen ist: Wie sind Geschwindigkeit und Druck an jedem Punkt

des Rohres? Wie ist die Druckverteilung auf dem Wehrrucken, welche Geschwindigkeiten herrschen an

jedem Punkt der Stromung?

53


Wir werden zwangslaufig zu dem Konzept des Kontrollraums (einem sog. offenen System) gefuhrt. Ein

Kontrollraum ist ein beliebig abgegrenztes, raumfestes Volumen, das durchstromt wird, seine Oberflache

(Kontrollflache) ist also massendurchlassig. Raumfest heißt: Vorgegeben nach Gestalt und Große und

in der Regel unbeweglich im Raum. In manchen Anwendungen sind allerdings auch Kontrollraume

zweckmaßig, die sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegen.

Der Ubergang vom mitstromenden Fluidvolumen auf den raumfesten Kontrollraum entspricht dem Ubergang

von der Lagrangeschen auf die Eulersche Betrachtungsweise (Abschnitt D.1), wobei anstelle von einzelnen

die in einem Volumen enthaltenen Fluidteilchen in integraler Form untersucht werden.

In der Abbildung sind Lage und Form eines Fluidvolumens zu verschiedenen Zeitpunkten t0, t0 + ∆t, t1 und t2

dargestellt. Zum Zeitpunkt t0 sind die Kontrollraumgrenzen mit der Oberflache des Fluidvolumens identisch.

Um nach Euler die Stromungsvorgange zu den Zeiten t0, t1, t2 etc. im raumfesten Kontrollraum zu erhalten,

benotigt man den momentanen Durchfluss durch die Kontrollraumgrenzen; dazu werden kleine Massenverschie-

bungen wahrend der Zeitspanne ∆t betrachtet.

Wir wollen hier nun die drei Grundgesetze fur Erhaltung von Masse, Impuls und Energie umformulieren von

dem Fluidvolumen, das sich mit der Stromung mitbewegt, zum ortsfesten Kontrollraum.

54

F.3. Massenerhaltung (Kontinuitatsgleichung)

Ausstromen,

cos θ > 0

Einstromen,

cos θ < 0

Zur Zeit t seien Fluidvolumen und Kontrollraum identisch (gekennzeichnet als Bereich I, starke Umrandung);

zur Zeit t+ ∆t hat sich das Fluidvolumen verschoben (gestrichelte Umrandung), wahrend der Kontrollraum als

Bereich I erhalten bleibt. Mit Bereich II wird die linke und mit Bereich III die rechte Sichel bezeichnet.

F.3 Massenerhaltung (Kontinuitatsgleichung)

Fur den Zeitraum ∆t erhalt man als Zuwachs der Masse m im Fluidvolumen

mt+∆t −mt =

(∫I

ρ dV −∫II

ρdV +

∫III

ρdV

)t+∆t

−(∫

I

ρ dV

)t

Beide Seiten der Gleichung werden durch den Zeitschritt ∆t dividiert und die Glieder der rechten Seite umsortiert.

mt+∆t −mt

∆t=

(∫IρdV

)t+∆t

−(∫Iρ dV

)t

∆t−(∫IIρdV

)t+∆t

∆t+

(∫III

ρdV)t+∆t

∆t

Die gliedweise Durchfuhrung des Grenzuberganges ∆t→ 0 ergibt:

1. Glied:dm

dt=

d

dt

∫dm Zuwachsrate von m im Fluidvolumen

2. Glied:∂

∂t

∫KR

ρdV Zuwachsrate von m im Kontrollraum

3. Glied:

∫ρ~v d ~A =

∫ρv cos θ dA Eintritt von m durch die Kontrollraumflache (cos θ < 0)

4. Glied:

∫ρ~v d ~A =

∫ρv cos θ dA Austritt von m durch die Kontrollraumflache (cos θ > 0)

Das 3. und 4. Glied konnen in einem Ausdruck zusammengefasst werden, wobei das Vorzeichen von cos θ angibt,

ob es sich um Eintritt oder Austritt von Masse aus dem Kontrollvolumen handelt.

Damit erhalt man:d

dt

∫dm =

∂

∂t

∫KR

ρdV +

∫KF

ρ~v d ~A (F.4)

Laut dem Gesetz von der Erhaltung der Masse fur ein Fluidvolumen – Gleichung (F.1) – verschwindet die linke

Seite, und fur den Kontrollraum gilt:

∂

∂t

∫KR

ρdV = −∫KF

ρ~v d ~A (F.5)

55


bzw.∂mKR

∂t= mein − maus (F.6)

Der Zuwachs von Masse in einem Kontrollraum ist gleich der Differenz zwischen ein- und austretendem

Massenstrom.

Im stationaren Fall ist offensichtlich

mein − maus = 0 (F.7)

Fur einen normal durchstromten Querschnitt A gilt (siehe Abschnitte E.1, E.2)

m = ρQ = ρv A

Sonderfalle der Kontinuitatsgleichung

F.3.1 Dichtebestandige Stromung

∂m

∂t= m1 − m2

Wenn die Stromung stationar ist, gilt∂m

∂t= 0. Das gilt aber auch bei instationarer Stromung, sofern sie

dichtebestandig (ρ = const.) ist; dann ist namlich∂m

∂t=

∂(ρV )

∂t= 0, da auch V konstant ist. Somit ist1

m1 = m2; Q1 = Q2; v1A1 = v2A2 (F.8)

F.3.2 Dichteveranderliche Stromung

Im stationaren Fall ist∂m

∂t= 0. Damit gilt wie bei der dichtebestandigen Stromung

m1 = m2, jedoch mit ρ1Q1 = ρ2Q2 und ρ1v1A1 = ρ2v2A2;

1 Benedetti Castelli (1577 - 1644), Sculer des Galilei, formulierte die Kontinuitatsgleichung wie folgt:”Durch Querschnitte

eines Flusses stromen gleiche Wassermengen in gleichen Zeiten, selbst wenn die Querschnittsflachen nicht gleich sind“, und weiter:

”Fließt die gleiche Wassermenge durch zwei ungleiche Querschnittsflachen, so sind die Querschnittsflachen umgekehrt proportional

den Geschwindigkeiten“. Im Grundsatz hatte allerdings Lonardo da Vinci diese Gedanken schon 100 Jahre vorher ausgesprochen.

56

F.4. Impulserhaltung (Impulssatz)

Im instationaren Fall folgt aus∂m

∂t= m1 − m2

V∂ρ

∂t= ρ1Q1 − ρ2Q2 = ρ1v1A1 − ρ2v2A2 ; (F.9)

ist also der Zufluss großer als der Ausfluss, so findet im Kontrollraum eine Dichteerhohung (und damit eine

Druckerhohung) statt.

F.3.3 Dichtebestandige Stromung mit freier Oberflache

Die Flussigkeit mit dem Volumen V fullt nur

einen Teil des gewahlten Kontrollraums aus.

Im stationaren Fall ist neben ρ auch V konstant, sodass mit∂m

∂t=

∂

∂t(ρV ) = 0 wieder (F.9) gilt:

m1 = m2; Q1 = Q2; v1A1 = v2A2

Im instationaren Fall andern sich mit steigendem oder fallendem Flussigkeitsspiegel die Masse und das Volumen

der Flussigkeit im Kontrollraum. Somit gilt

∂m

∂t= m1 − m2;

∂V

∂t= Q1 −Q2 = v1A1 − v2A2 . (F.10)

Ist der Zufluss großer (kleiner) als der Ausfluss, so steigt (fallt) der Wasserspiegel.

F.4 Impulserhaltung (Impulssatz)

Die Anderung des Impulses ~I im Zeitraum ∆t im Fluidvolumen ergibt sich zu

~It+∆t − ~It =

(∫I

~vρdV −∫II

~vρdV +

∫III

~vρdV

)t+∆t

−(∫

I

~vρdV

)t

Analog zur Vorgehensweise bei der Herleitung der Kontinuitatsgleichung im Kapitel F.3 wird die Gleichung

durch den Zeitschritt ∆t dividiert und der Grenzubergang ∆t→ 0 durchgefuhrt.

~It+∆t − ~It∆t

=

(∫I~vρdV

)t+∆t

−(∫I~vρdV

)t

∆t−(∫II~vρdV

)t+∆t

∆t+

(∫III

~vρdV)t+∆t

∆t

d

dt

∫~v dm =

∂

∂t

∫KR

~vρdV +

∫KF

~vρ(~v · d ~A

)Laut Gleichung (F.2) (Impulserhaltung fur ein Fluidvolumen) ist die linke Seite der Gleichung gleich

∑~F und

fur den Kontrollraum gilt daher

∂

∂t

∫KR

ρ~vdV =∑

~F −∫KF

ρ~v (~v · dA) (F.11)

57


bzw.

∂~IKR∂t

=∑

~F + ~Iein − ~Iaus (F.12)

Der Zuwachs des Impulses im Kontrollraum ist gleich der Summe aller außeren Krafte (Massen- plus

Oberflachenkrafte) plus der Differenz zwischen ein- und austretendem Impulsstrom.

Im stationaren Fall gilt offensichtlich die Gleichgewichtsbedingung∑~F + ~Iein − ~Iaus = 0 (F.13)

Fur einen normal durchstromten Querschnitt A gilt siehe (Abschnitte E.1 und E.2)

I = β mv = βρQ2/A = βρAv2 = βρ vQ

Die folgenden Sonderfalle des Impulssatzes gelten nur fur dichtebestandige Stromungen (ρ = const.).

F.4.1 Stationare Stromung

Mit∂~IKR∂t

= 0 gilt

∑~F + ~I1 − ~I2 = 0

Als außere Krafte,∑

~F , sind vorhanden:

−→p1A1 Druckkraft auf die Schnittflache A1 (Oberflachenkraft)

−→p2A2 Druckkraft auf die Schnittflache A2 (Oberflachenkraft)

~G Gewicht des Fluids im Kontrollraum (Massenkraft)

~F Reaktionskraft von der Fluidumrandung

auf das Fluid (Oberflachenkraft)

Die Betrage der Impulsstrome (der Einfachheit halber wird I fur |~I| verwendet) sind

I1 = βρ v21A1 und I2 = βρ v2

2A2

In den Impulssatz geht die Differenz ~I1 − ~I2 ein, d.h. die zwischen den Querschnitten 1 und 2 stattfindende

Anderung des Impulsstroms ~I. Um diese Impulsanderung zu bewirken, muss eine außere Kraft, bildlich gespro-

chen eine Umlenkkraft, aufgebracht werden. Die Impulsanderung kann eine reine Richtungsanderung sein (wenn

z.B. A1 = A2), sie kann aber auch eine Anderung des Betrags des Impulsstroms beinhalten (wenn A1 6= A2).

Man beachte, dass die Druckkraft−→p1A1 und der Impulsstrom ~I1 auf derselben Wirkungslinie liegen und beide in

Richtung des Kontrollraums weisen. Dasselbe gilt fur die Druckkraft−→p2A2 und den umgekehrten Impulsstrom

−~I2 (der ausstromende Impuls geht negativ in den Impulssatz ein).

58

F.4. Impulserhaltung (Impulssatz)

Interpretiert man den Impulsstrom als eine Kraft (er hat die Maßeinheit [N]), so erhalt man die sogenannten

Stutzkrafte als Addition von Druckkraft und Impulsstrom (am Querschnitt 1), bzw. Druckkraft und umgekehrten

Impulsstrom (am Querschnitt 2).

~S1 = p1~A1 + ~I1

~S2 = p2~A2 − ~I2

S1 = p1A1 + βρ v21A1

S2 = p2A2 + βρ v22A2

Mit Hilfe der Stutzkrafte ist das Stromungsproblem rechnerisch auf ein rein statisches zuruckgefuhrt. Im gege-

benen Fall addieren sich vektoriell Reaktionskraft, Stutzkrafte und Gewichtskraft zu null.

~F + ~S1 + ~S2 + ~G = 0 (F.14)

F.4.2 Stromrohre, instationar

In der instationaren Stromung ist das Integral∂

∂t

∫KR

ρ~v dV , das den Zuwachs des Impulses im Kontrollraum

darstellt, auszuwerten, wozu die Kenntnis der Geschwindigkeitsverteilung im Innern des Kontrollraums notwen-

dig ist. Es wird hier deshalb ein einfacher Stromungsfall vorausgesetzt, namlich die Stromrohre:

Die Kontinuitatsgleichung (stationar und instationar) lautet

v(s)A(s) = v1A1 = v2A2 = Q

Das Volumenelement dV wird gewahlt zu dV = A(s) ds. Damit gilt

∂

∂t

∫KR

ρ~v dV =∂

∂t

2∫1

ρ v(s)A(s) d~s = ρ∂Q

∂t

2∫1

d~s = ρ~l∂Q

∂t

Das vektorielle Wegelement d~s ergibt uber die Achse der Stromrohre aufintegriert den Vektor ~l.

(Siehe vorhergehende Abbildung)

59


Die Reaktionskraft ~F der instationaren Stromrohre errechnet sich somit aus Gl. (F.11) unter Berucksichtigung

der Gleichung (F.14) zu

~F = ρ~l∂Q

∂t−(~S1 + ~S2 + ρ ~g V

)(F.15)

F.5 Energieerhaltung (Energiesatz)

Mit e = gz + v2/2 + u erhalt man die Anderung der Energie im Zeitraum ∆t fur das Fluidvolumen, wobei e

die auf die Masse bezogene Energie ist [J/kg].

Et+∆t − Et =

(∫I

eρ dV −∫II

eρ dV +

∫III

eρ dV

)t+∆t

−(∫

I

eρ dV

)t

Nach Division durch den Zeitschritt ∆t und dem Grenzubergang ∆t→ 0 erhalt man:

Et+∆t − Et∆t

=

(∫Ieρ dV

)t+∆t

−(∫Ieρ dV

)t

∆t−(∫IIeρ dV

)t+∆t

∆t+

(∫III

eρ dV)t+∆t

∆t

d

dt

∫edm =

∂

∂t

∫KR

eρ dV +

∫KF

eρ(~v d ~A

)Laut Gleichung (F.3) (Energieerhaltung fur ein System) ist die linke Seite der Gleichung gleich Q + P , wobei

P naturlich auch die Leistung der Druckkrafte auf die bewegliche Oberflache des Fluidvolumens enthalt.

Beim Ubergang zum Kontrollraum mussen wir P aufspalten in eben diese Leistung der Druckkrafte und die

Leistung der verbleibenden außeren Krafte, d.h. P = PDr+P . Erinnern wir uns jetzt noch an PDr = −∫p~v d ~A

(s. Kapitel E), dann gilt fur den Kontrollraum

∂

∂t

∫KR

eρ dV = Q+ P −∫KF

(e+

p

ρ

)ρ~v d ~A

mit e = gz + v2/2 + u

(F.16)

bzw.∂EKR∂t

= Q+ P + Eein − Eaus (F.17)

Der Zuwachs an Energie im Kontrollraum ist gleich der Summe aus Warmezufuhr, Leistung der außeren

Krafte und der Differenz zwischen ein- und austretendem Energiestrom.

Im stationaren Fall ist offensichtlich:

Q+ P + Eein − Eaus = 0 (F.18)

P ist also die Zufuhr bzw. die Abgabe mechanischer

Leistung. Fur praktische Belange ist besonders die sog.

Wellenarbeit wichtig, d.h. technische Arbeit durch Pum-

pen und Turbinen. Pumpen fuhren dem Kontrollraum

Energie zu, Turbinen fuhren Energie an die Umgebung

ab.

60

F.5. Energieerhaltung (Energiesatz)

Fur einen normal durchstromten Querschnitt A gilt (siehe Abschnitte E.1 und E.2):

E =

(gz +

p

ρ+ α

v2

2+ u

)ρv A

Die folgenden Sonderfalle des Energiesatzes gelten nur fur dichtebestandige Fluide (ρ = const.).

F.5.1 Stromrohre, stationar

(ohne Warmeaustausch uber die Mantelflache)

Die Annahme der Stationaritat der Stromung beinhaltet, dass∂EKR∂t

= 0. Vernachlassigt man die Warmezufuhr

Q, die ohnehin nur in gewissen gasdynamischen Anwendungen einen Einfluss auf die Stromung (d.h. auf die

Drucke und Geschwindigkeiten) hat, so erhalt man

E1 + P = E2(gz1 +

p1

ρ+ α

v21

2+ u1

)ρ v1A1 + P =

(gz2 +

p2

ρ+ α

v22

2+ u2

)ρ v2A2

Unter Beachtung der Kontinuitatsgleichung ρ v1A1 = ρ v2A2 = m folgt

gz1 +p1

ρ+ α

v21

2+P

m− (u2 − u1) = gz2 +

p2

ρ+ α

v22

2(F.19)

61


Jeder Term der Gleichung hat die Dimension einer Leistung bezogen auf den Massenstrom und damit die

Maßeinheit [W/(kg/s) = (Nm/s)/(kg/s) = m2/s2]. Im einzelnen haben die Terme folgende Bedeutung:

gz1 +p1

ρ+ α

v21

2: Strom mechanischer Energie durch den Querschnitt 1, bezogen auf den Mas-

senstrom m

P

m: Wellenarbeit bezogen auf den Massenstrom

u2 − u1 : bedeutet einen Zuwachs thermischer Energie auf Kosten mechanischer Energie,

d.h. durch Fluidreibung wird mechanische Energie in Warmeenergie umgewan-

delt.

Diese Energie ist fur mechanische Arbeit verloren, deswegen die Bezeichnungen

Stromungsverlust, Reibungsverlust, Dissipation (s. Kapitel G).

u2 − u1 = 0 ideale (d.h. reibungsfreie) Stromung

u2 − u1 > 0 reibungsbehaftete Stromung

u2 − u1 < 0 ist nur moglich, wenn vom Kontrollraum

Warme nach außen abgefuhrt wird.

Dividiert man Gleichung (F.19) durch g, so erhalt man die erweiterte Bernoulli-Gleichung (F.20). Darin haben

alle Terme die Dimension einer Lange.

z1 +p1

ρg+ α

v21

2g+

P

gm= z2 +

p2

ρg+ α

v22

2g+ hv (F.20)

hv =u2 − u1

gist die Verlusthohe, d.h. der reibungsbedingte Stromungsverlust ausgedruckt in einer Lange.

Inhalt des Kapitels G ist die Berechnung der Verlusthohe aus Geschwindigkeit, Fluideigenschaften und Rau-

heit der Stromungsbegrenzungen. Die wichtige Anwendung von Gleichung F.20 auf Rohrstromungen erfolgt im

Kapitel H.

F.5.2 Stromrohre, instationar

Zusatzlich zu den Termen, die bei der stationaren Stromung auftreten, muss hier der zeitliche Zuwachs der

Energie im Kontrollraum berucksichtigt werden, also

∂EKR∂t

=∂

∂t

∫KR

(gz +

v2

2+ u

)ρdV

darin ist das Volumenelement dV = A ds eine Scheibe senkrecht zur Stromrohre. Die Werte z und u werden

als zeitlich konstant betrachtet, sodass sie bei der zeitlichen Ableitung herausfallen.

∂EKR∂t

=∂

∂t

2∫1

αv2

2ρAds

= αρ

2∫1

∂

∂t

v2

2A ds

= αρ

2∫1

v∂v

∂tAds

62


Mit der Kontinuitatsgleichung m = ρ vA = ρ v1A1 = ρ v2A2 ist m zwar von t, nicht aber von s abhangig und

es folgt

∂EKR∂t

= α m

2∫1

∂v

∂tds

Dividiert man durch m, so kann dieser Term additiv auf der rechten Seite von Gleichung (F.19) erganzt werden.

gz1 +p1

ρ+ α

v21

2+P

m− ghv = gz2 +

p2

ρ+ α

v22

2+ α

2∫1

∂v

∂tds (F.21)

Eine alternative Form fur das Integral ergibt sich mit vA = v1A1 = v2A2:

α

2∫1

∂v

∂tds = α

∂v1

∂t

2∫1

A1

Ads = α

∂v2

∂t

2∫1

A2

Ads

Die neu entstandenen Integrale sind nur geometrieabhangig und stellen somit Konstanten dar.

F.5.3 Bernoulli-Gleichung

Aus dem auf der Vorseite abgeleiteten Energiesatz fur die Stromrohre lasst sich die klassische Form der

Bernoulli1-Gleichung durch folgende Vereinfachungen erhalten.

Die Stromrohre wird zum Stromfaden mit konstanter Geschwindigkeit uber den Querschnitt. Somit gilt α = 1.

Ideale Stromung wird vorausgesetzt, hv = 0. Wellenarbeit P wird nicht berucksichtigt, P = 0.

gz1 +p1

ρ+v2

1

2= gz2 +

p2

ρ+v2

2

2+

2∫1

∂v

∂tds (F.22)

z1 +p1

ρ g+v2

1

2g= z2 +

p2

ρ g+v2

2

2g+

1

g

2∫1

∂v

∂tds (F.23)

1 Johann Bernoulli (1667 - 1748) und sein Sohn Daniel Bernoulli (1700 - 1782)

waren Angehorige der beruhmten Schweizer

Bernoulli-Familie von Physikern und Mathe-

matikern. In ihren Buchern “Hydraulica“ (Johann)

und “Hydrodynamica“ (Daniel) begundeten Vater und

Sohn in hartem Wettbewerb die Stromungsmechanik

und erklarten dabei insbesondere die Wechselwirkung

zwischen Druck und Geschwindigkeit in stati-

onaren und instationaren Stromungen (Bernoulli-

Gleichung).

Bilder aus der “Hydraulica“ zur Herleitung der

Bernoulli-Gleichung und des Drucks eines

Wasserstrahls auf eine Platte.

63


Bei stationarer Stromung fallt selbstverstandlich das Glied mit dem Integral weg. Es verbleibt dann die Aussage,

dass bei stationarer, idealer Stromung der Energiestrom langs des Stromfadens konstant ist.

gz +p

ρ+v2

2= const. (F.24)

z +p

ρ g+v2

2g= const. (F.25)

Anschaulich lasst sich diese Aussage darstellen, wenn man in Gleichung (F.25) folgende Bezeichnungen einfuhrt:

z = geodatische Hohe,p

ρ g= Druckhohe,

v2

2g= Geschwindigkeitshohe.

Dann folgt:

In idealer Stromung ist langs eines Stromfadens die

Summe aus geodatischer, Druck- und Geschwindig-

keitshohe konstant.

Die Beobachtung lehrt jedoch, dass bei realer Stromung der Energiestrom durch Reibung in Stromungsrichtung

abnimmt, was in Gleichung Gl. (F.20) durch die Verlusthohe hv berucksichtigt ist.

Die Bernoulli-Gleichung gilt selbstverstandlich auch fur eine sich langs des Stromfadens andernde Quer-

schnittsflache. Da letztere in der Gleichung aber nicht explizit erscheint, ist sie ohne Anderungen auch auf eine

Stromlinie anwendbar.

F.5.4 Folgerungen aus der Bernoulli-Gleichung

a) Hydrostatik

Die lineare Druckzunahme mit der Wassertiefe in einer stehenden Flussigkeit folgt unmittelbar aus Glei-

chung (F.23)

mit v1 = v2 = 0 und p1 = 0

z1 = z2 +p2

ρg; p2 = ρgh

64


b) Staudruck

Bei der Umstromung eines Korpers tritt an der Vorderseite immer eine Verzweigung einer Stromlinie auf.

Im betreffenden Punkt, dem Staupunkt S, ist die Geschwindigkeit null (sonst wurde ein Geschwindig-

keitssprung vorhanden sein, zu dem eine unendliche Beschleunigung notig ware).

Weit vor dem Korper seien p1 und v1 gegeben. Mit z1 = z2 und v2 = 0 ergibt sich

p1

ρg+v2

1

2g=

p2

ρg

p2 − p1 = ρv2

1

2(F.26)

Im Staupunkt tritt also gegenuber dem Druck in der vom Korper unbeeinflussten Stromung eine Druckerhohung

von p2 auf, dem sog. Staudruck. Bewegt man sich vom Staupunkt langs der Korperkontur weiter, so lehrt

die Bernoulli-Gleichung, dass der Druck wegen zunehmender Geschwindigkeit wieder abnehmen muss.

c) Ausfluss aus Gefaßen

Durch eine kleine Offnung fließe im Punkt 2 Flussigkeit aus einem

Gefaß, dessen Oberflache so groß sei, dass deren Sinkgeschwindigkeit

vernachlassigbar ist.

Dann gilt, da p1 = p2 = 0

z1 = z2 +v2

2

2g; v2 =

√2gh . (F.27)

Diese auf Torricelli1 zuruckgehende Gleichung besagt, dass die Ausflussgeschwindigkeit gleich der Fall-

geschwindigkeit eines aus der Hohe h fallenden Korpers ist.

d) Druck- und Geschwindigkeitsanderungen

Ganz allgemein lehrt die Bernoulli-Gleichung, dass langs einer Stromlinie (Stromfaden, Stromrohre)

eine Geschwindigkeitsabnahme mit einer Druckzunahme und eine Geschwindigkeitszunahme mit einer

Druckabnahme verbunden ist. Diesen dynamischen Druckanderungen ist die Wirkung des hydrostatischen

Drucks uberlagert, sofern langs der Stromlinie Hohenunterschiede vorhanden sind.

1 Evangelista Torricelli (1608 - 1647, Italien) formulierte:

”Flussigkeiten, die aus einer Offnung heftig ausstromen, haben die gleiche Geschwindigkeit, die

ein schwerer Korper oder ein Tropfen der Flussigkeit haben wurde, wenn sie aus der Hohe der

Oberflache bis zur Hohe der Offnung fallen wurden“.

Bereits mehr als 100 Jahre fruher hatte Leonardo da Vinci das nebenstehende Bild mit den

Trajektorien gezeichnet, die beim Austritt eines Strahls in Abhangigkeit des Abstandes von der

Oberflache entstehen.

65


F.6 Zusammenhang zwischen Impulssatz und Bernoulli-Gleichung

In Abschnitt F.4 wurde der Impulssatz hergeleitet, indem das zweite Newtonsche Gesetz auf ein bewegliches

Fluidvolumen angewendet und eine Umformulierung fur einen ortsfesten Kontrollraum vorgenommen wurde.

Der Impulssatz ist damit eine vektorielle Beziehung zwischen allen am Kontrollraum angreifenden Kraften und

den ein- und austretenden Impulsstromen.

Die klassische Bernoulli-Gleichung (F.25) ergab sich in Abschnitt F.5.3 als ein Sonderfall des allgemeinen

Energieerhaltungssatzes. Letzterer ist in Gl. (F.16) unter Berucksichtigung sowohl der mechanischen (poten-

tiellen und kinetischen) als auch der inneren (thermischen) Energie sowie der durch Pumpen und Turbinen

zugefuhrten bzw. entnommenen Energie formuliert worden. Dies ist sinnvoll, weil sich so Reibung als Zuwachs

innerer Energie auf Kosten mechanischer Energie darstellen lasst und weil sich Pumpen und Turbinen logisch

in die Energiebilanz einfugen.

Unter Vernachlassigung von Warmezufuhr, Reibung, Pumpen und Turbinen reduziert sich der Energieerhal-

tungssatz zu der Aussage, dass die mechanische Energie erhalten bleibt. In Anwendung auf eine Stromrohre

bedeutet dies, dass der Energiestrom langs der Stromrohre konstant ist,

ρQ

(gz +

p

ρ+v2

2

)= const.

Mit Q = const. (Kontinuitatsgleichung) und ρ = const. (Inkompressibilitat) entsteht die klassische Bernoulli-

Gleichung.

z +p

ρg+v2

2g= const.

Da in dieser nur die mechanische Energie und der reibungsfreie Fall betrachtet wird, ist es alternativ auch

moglich, sie aus dem Impulssatz oder direkt aus dem zweiten Newtonschen Gesetz herzuleiten. In den meisten

Lehrbuchern wird so vorgegangen, und deshalb soll diese Ableitung nachfolgend wiedergegeben werden.

Man betrachte ein Element ds eines gekrummten Stromfadens mit veranderlicher Querschnittsflache A und

wende auf dieses das zweite Newtonsche Gesetz an. (Die Anwendung des Impulssatzes fuhrt zu demselben

Ergebnis, ist aber etwas umstandlicher.) Die Summe aller am Fluidvolumen in s-Richtung angreifenden Krafte

ist gleich dem Produkt aus Masse und substantieller Beschleunigung.

pA+ p dA− (p+ dp)(A+ dA)− ρgAds sinα = ρAdsdv

dt

66

F.6. Zusammenhang zwischen Impulssatz und Bernoulli-Gleichung

Der zweite Term p dA stellt die Druckkraftkomponente dar, die von der Wand auf das Fluidvolumen in s-

Richtung wirkt.

Die substantielle Beschleunigungdv

dt=

∂v

∂t+v

∂v

∂s(Gl. (D.6)) vereinfacht sich zu v

∂v

∂s, da hier nur die stationare

Stromung betrachtet wird,∂v

∂t= 0. Das bedeutet aber auch, dass s als einzige unabhangige Variable verbleibt,

sodass v∂v

∂sals v

dv

dsgeschrieben wird.

sinα wird ersetzt durchdz

ds.

Beim Ausmultiplizieren wird der Term mit dem Produkt dpdA als Term hoherer Ordnung vernachlassigt. Damit

entsteht folgende Gleichung

ρg dz + dp+ ρv dv = 0

ρg dz + dp+ ρd

(v2

2

)= 0

Fur inkompressible Stromung gilt demnach

d

(ρgz + p+ ρ

v2

2

)= 0

ρgz + p+ ρv2

2= const.

z +p

ρg+v2

2g= const.

Dies ist die klassische Bernoulli-Gleichung fur die stationare, inkompressible, reibungsfreie Stromung. Sie

besagt, dass die Summe aus geodatischer Hohe, Druckhohe und Geschwindigkeitshohe langs des Stromfadens

konstant ist.

67


68

Kapitel G

Stromungswiderstand

69

Kapitel G. Stromungswiderstand

Jedes wirkliche (reale) Fluid weist auf Grund seiner Zahigkeit (Viskositat) einen Verformungswiderstand (in-

nere Reibung) auf und unterscheidet sich dadurch von dem als reibungsfrei angenommenen idealen Fluid. Die

Zahigkeit bewirkt, wiederum im Gegensatz zum idealen Fluid, eine Haftung des realen Fluids an festen Wanden.

ideales Fluid reales, d.h. zahes Fluid

Nun werden sich Luft und Wasser nicht wie Teer oder Honig verhalten, d.h. ihre sehr geringe Zahigkeit lasst

den Einfluss infolge Haftung an der Wand rasch abklingen, sodass außerhalb einer Grenzschicht die Zahigkeit

des Fluids nicht mehr in Erscheinung tritt; das Fluid verhalt sich dort wie ein ideales.

Verfolgt man nun die Grenzschicht langs einer Wandung, so ist eine Zunahme der Grenzschichtdicke in Fließ-

richtung zu verzeichnen. Dies fuhrt z.B. bei genugend langen Rohren dazu, dass sich die Grenzschicht uber den

gesamten Fließquerschnitt erstreckt.

Wir werden uns in den Abschnitten G.1 bis G.6 ausschließlich dem Reibungswiderstand in langen Rohren bzw.

Gerinnen widmen. Erst in den Abschnitten G.7 und G.8 werden wir auf weitere Grenzschichtphanomene, wie

Ablosungserscheinungen und dem daraus resultierenden Formwiderstand eingehen.

G.1 Schubspannungen infolge Viskositat (Zahigkeit)

und Scheinviskositat

Im Gegensatz zur trockenen Reibung fester Korper ist die innere Reibung zwischen zwei Fluidelementen vom

dort herrschenden Druck unabhangig und hangt stattdessen von den Geschwindigkeitsunterschieden benachbar-

ter Fluidteilchen ab (praziser ausgedruckt: vom Geschwindigkeitsgradienten senkrecht zur Fließrichtung).

In obiger Abbildung befinde sich eine dunne Fluidschicht zwischen zwei Platten, von denen die obere mit der

Geschwindigkeit v bewegt wird und die untere fest ist. Aufgrund der Haftbedingung wird das Fluid an der

oberen Platte ebenfalls die Geschwindigkeit v aufweisen, wahrend an der unteren Platte die Geschwindigkeit

Null sein muss. Die Zahigkeit des Fluids bewirkt, dass der Formanderung (Scherung) der Fluidschicht ein Wi-

derstand entgegengesetzt wird, d.h. an der Platte treten Wandschubspannungen τ0 auf (τ0 wirkt auf das Fluid).

Ebenso werden im Inneren des Fluids Schubspannungen τ ubertragen. Fur Wasser und Luft und viele industriell

wichtige Fluide besteht eine lineare Beziehung zwischen Schubspannung und Geschwindigkeitsgradienten, deren

70

G.1. Schubspannungen infolge Viskositat (Zahigkeit) und Scheinviskositat

Proportionalitatsfaktor η die dynamische Zahigkeit genannt wird.

τ = ηdv

dnNewtonsches1 Zahigkeitsgesetz (G.1)

Neben der dynamischen Zahigkeit η [kg/(m s)] wird noch die kinematische Zahigkeit ν = η/ρ [m2/s] als Stoff-

große verwendet. Fluide, die dieser Beziehung genugen, werden als”Newtonsches Fluid“ bezeichnet (nach

Newton, der diese Beziehung dem Sinne nach bereits formulierte).

Das Konzept des”Newtonschen Fluids“ ist offensichtlich analog zu dem des “Hookeschen Korpers“ der

Festkorpermechanik. Jedoch sind beim ersten die Schubspannungen proportional den Verformungs-

geschwindigkeiten, beim zweiten porportional den Verformungen.

Die Zahigkeit wird von der Molekularbewegung beeinflusst, die bei Flussigkeiten und Gasen verschiedenartig

verlauft. Die Flussigkeit weist im Gegensatz zu festen Korpern eine aufgelockerte Gitterstruktur auf, die ein

gegenseitiges Vorbeigleiten (Fließen) der Molekule, wenn auch nicht ohne Widerstand, zulasst. Da sich die

Gitterstruktur bei Temperaturerhohungen zunehmend auflockert, wird dem Fließvorgang entsprechend weniger

Widerstand entgegengesetzt – die Zahigkeit nimmt also dementsprechend ab.

Bei Gasen erhoht sich dagegen die Zahigkeit (Viskositat), wenn die Temperatur zunimmt. Sie wird hervorgerufen

durch eine mittlere Schwankungsbewegung der Gasmolekule, die eine”freie Weglange“ l und eine Geschwin-

digkeit c aufweist. Diese Bewegung fuhrt zu einem lateralen Impulsaustausch mit gegenseitiger Beschleunigung

und Verzogerung der Gasschichten.

Betrachtet man zwei Gasschichten (1) und (2) der Starke l, so weisen diese die mittleren Geschwindigkeiten

v1 und v2 = v1 + ldv

dnauf. Wir wollen nun die Schubspannung zwischen den Schichten berechnen und fuhren

zwei Kontrollraume KR1 und KR2 ein, die sich jeweils mit der Schichtengeschwindigkeit mitbewegen. Im Mittel

erzeugt die Schwankungsbewegung einen Massenstrom m = ρc

3A 2 durch die Kontrollraumflache A.

1Isaac Newton (1642-1727) widmete den zweiten Band seiner”Principia Mathematical Philosophiae Naturalis“ den

Flussigkeiten und Gasen. Der ursprungliche Anlass seiner Beschaftigung mit dem Stromungswiderstand war die Widerlegung der

Anhanger von Descartes, die davon ausgingen, dass der gesamte Raum mit Materie gefullt sei. Dies widersprach Newtons Vor-

stellung von der Planetenbewegung, die nur in einem leeren Raum moglich war. Er fuhrte zahlreiche Experimente mit Pendeln

und Fallgewichten in Luft, Wasser und Quecksilber durch. Dass sich auch ein Genie irren kann, belegte er mit seiner falschen

theoretischen Begrundung des von Torricelli angegebenen Ausflussgesetzes (s. Abschn. F.5.4c). Die richtige lieferte erst Johann

Bernoulli.2 Mit dem Faktor 1/3 wird berucksichtigt, dass aufgrund wechselnder Bewegungsrichtungen (dreidimensionale Bewegung der

Molekule) nur ein Teil der Bewegung einen Massenstrom durch die Flache A bewirkt.

71


Bezuglich der mitbewegten Kontrollraume weisen die aus der Nachbarschicht eindringenden Molekule die Rela-

tivgeschwindigkeit ldv

dnauf, sodass der Massenstrom m zugleich einen Impulsstrom

I = |~I| = ρc

3Al

dv

dn(bzw. ~I1 = −~I2)

bewirkt. Der einstromende Impulsstrom entspricht einer Schubkraft τA an der Flache A, sodass nach Division

durch A folgt

τ = ρc

3l

dv

dn= η

dv

dn

Die Zahigkeit von Flussigkeiten und Gasen ist eine (temperaturabhangige) Fluideigenschaft, die sich aus den

stoffspezifischen Molekularbewegungen ableiten lasst. Nun konnen in den stromenden Fluiden ungeordnete

Schwankungsbewegungen auftreten, die uber den molekularen Bereich hinausgehen. Es handelt sich hierbei

um sogenannte turbulente Bewegungen mehr oder weniger großer Fluidballen. Verlauft die Bewegung dagegen

in geordneten Bahnen (von molekularen Schwankungen abgesehen), so spricht man von laminarer Stromung

oder Schichtenstromung. Entscheidungskriterien uber das Auftreten von laminaren und turbulenten Fließfor-

men werden in Abschnitt G.3 genannt – wir interessieren uns hier fur die Auswirkung der Turbulenz auf die

Schubspannung und benutzen dazu nach einem Gedanken von Prandtl wieder das Modell der molekula-

ren Schwankungsbewegung. Dazu wird c/3 durch die mittlere Schwankungsgeschwindigkeit c′ und l durch den

Prandtlschen Mischungsweg l′ ersetzt und wir erhalten fur die Schubspannung infolge Turbulenz

τ ′ = ρ c′l′dv

dn= η′

dv

dn(G.2)

Die Große η′ stellt nun keine Stoffgroße mehr dar, denn c′ und l′ hangen von den Fließbedingungen ab und sind

im allgemeinen ortlich verschieden. Im Gegensatz zur Fluideigenschaft η stellt η′ scheinbar eine Viskositat dar.

Man spricht deshalb von scheinbarer Zahigkeit der turbulenten Stromung. Die unmittelbare Wirkung beider

Phanomene außert sich im Auftreten von Schubspannungen, die einem Reibungswiderstand entsprechen, wobei

i.a. die turbulente (scheinbare) Reibung wesentlich großer als die laminare ist:

τ ′ τ

Die Großen c′ und l′ sind einer theoretischen Berechnung noch nicht vollstandig zuganglich, da die gesetzmaßige

Verursachung der Turbulenz noch ungeklart ist.

Mit einer Kombination aus theoretischen Uberlegungen und Experimenten ist jedoch eine rechnerische Erfassung

bei Rohr- und Gerinnestromungen fur praktische Zwecke hinreichend gelungen. Die experimentelle Forschung

kann hier nur im Ergebnis wiedergegeben werden; weitere Einzelheiten dazu findet man in der Fachliteratur.

72

G.2. Beziehung zwischen Wandschubspannung und Verlust an Stroungsenergie

G.2 Beziehung zwischen Wandschubspannung

und Verlust an Stroungsenergie

Betrachtet man die Wasserspiegel in zwei Standrohren, die einem durchstromten Rohr aufgesetzt sind, so zeigt

es sich, dass der Wasserstand im Standrohr (2) niedriger als im Standrohr (1) ist. Offensichtlich nimmt also

der Druck in Fließrichtung ab.

Beschranken wir uns momentan auf ein horizontales Rohr, so ist leicht einzusehen, dass auf die Fluidsaule

zwischen den Querschnitten (1) und (2) eine resultierende Druckkraft in Fließrichtung wirkt. Es muss also auf

die Fluidsaule eine durch die Wandschubspannung verursachte Widerstandskraft wirken, die mit der Druckkraft

im Gleichgewicht steht.

Andererseits stellt die Abnahme des Druckes in Fließrichtung eine Verringerung der Stromungsenergie(p

ρg+ z + α

v2

2g

)in Fließrichtung dar, da ja z und v konstant sind.

Wir wollen deshalb als erstes eine Beziehung zwischen der Wandschubspannung und dem Energieverlust herlei-

ten, und erst spater sehen, wie man diese beiden Großen fur eine vorgegebene Durchflussmenge bestimmt.

G.2.1 Rohrleitung

Wandschubspannungen τ0 wirken

auf das stromende Fluid

Wir betrachten ein Rohrstuck der Laange l, dem konstanten Querschnitt A bzw. Umfang U und der Rohrach-

senneigung θ.

73


Wegen A = const. und ρ = const. ist die Geschwindigkeit v = const., sodass Iein = Iaus ist. Der Impulssatz

Gl. (F.13) geht somit in eine Gleichgewichtsbedingung der in Richtung der Rohrachse wirkenden Krafte uber:∑F = p1A− p2A︸︷︷︸

Druck-

− τ0 Ul︸︷︷︸Schub-

+ ρg Al sin θ︸︷︷︸Gewichtskraft

= 0

Der Sinus des Neigungswinkels θ lasst sich durch die geodatische Hohe z ausdrucken

sin θ = (z1 − z2)/l .

Damit folgt

(p1 − p2)A− τ0 Ul + ρg A (z1 − z2) = 0

(p1

ρg+ z1

)−(p2

ρg+ z2

)=

Ul

ρg Aτ0 (G.3)

Andererseits liefert die erweiterte Bernoulli-Gleichung Gl. (F.19) die folgende Beziehung, wobei Wellenarbeit

P Null gesetzt ist.

gz1 +p1

ρ+ α

v21

2= gz2 +

p2

ρ+ α

v22

2+ ghv

Wegen v1 = v2 reduziert sich die Gleichung zu(p1

ρg+ z1

)−(p2

ρg+ z2

)= hv (G.4)

Man beachte, dass die Wandschubspannung τ0 keine Arbeit leistet, und somit nicht in die Energiebilanz eingeht

(v = 0 an der Wand).

Die Große hv wird als Verlusthohe definiert und stellt den Verlust an Stromungsenergie in der Dimension einer

Lange dar.

Durch Vergleich von Gl. (G.3) und Gl. (G.4) folgt die Beziehung zwischen Verlusthohe hv und Wandschubspan-

nung τ0:

hv =Ul

ρg Aτ0 bzw. τ0 =

ρg A

Ulhv (G.5)

Beim Kreisquerschnitt mit dem Durchmesser D ist der Quotient aus Querschnittsflache A

und Umfang UA

U=

π (D/2)2

π D=

D

4; D =

4A

U

Man definiert nun fur beliebige Querschnitte den

hydraulischen Durchmesser Dh =4A

U,

der beim Kreisquerschnitt gerade mit dem Kreisdurchmesser D identisch ist.

Unter Verwendung des hydraulischen Durchmessers kann Gl. (G.5) umgeschrieben werden:

hv =4

ρg

l

Dhτ0 bzw. τ0 =

1

4ρg

Dh

lhv (G.6)

mit Dh =4A

U

A =

U =

durchstromter Querschnitt

benetzter Umfang

74

G.2. Beziehung zwischen Wandschubspannung und Verlust an Stroungsenergie

G.2.2 Offenes Gerinne

Die Gleichung Gl. (G.5) bzw. Gl. (G.6) gilt auch fur Freispiegelgerinne. Wir werden die Ableitung fur das

Gerinne jedoch wiederholen, um dabei auf einige Besonderheiten dieser Stromung einzugehen.

Fur das dargestellte Gerinnestuck der Lange l und dem Neigungswinkel θ sei eine gleichformige Bewegung

und konstanter Fließquerschnitt A vorausgesetzt. Wassertiefe h und Geschwindigkeit v sind ebenfalls konstant.

Wie bei der Rohrleitung heben sich auch hier Iein und Iaus in der Impulsgleichung Gl. (F.13) gegenseitig

auf. Außerdem sind noch die Druckkrafte ρg hSA an den Stellen (1) und (2) gleich. Damit ist allein die

Gewichtskomponente mit der Schubkraft im Gleichgewicht:

ρg Al sin θ = τ0 Ul

Es ist sin θ =z1 − z2

l︸︷︷︸ISo

=(z1 + h)− (z2 + h)

l︸︷︷︸IW

,

wobei mit ISo das Sohlgefalle und mit IW das Wasserspiegelgefalle bezeichnet wird. (Bei gleichformigem Abfluss

(Normalabfluss) ist ISo = IW ).

Ersetzt man sin θ durch den Ausdruck fur ISo, so folgt:

z1 − z2 =U l

ρg Aτ0 =

4

ρg

l

Dhτ0 (G.7)

Dieser Gleichgewichtsbeziehung wird nun wie zuvor bei der Rohrstromung eine Energiebilanz gegenubergestellt.

Dazu schreiben wir den Energiesatz (F.19) in eine dem Gerinne angepasste Form um.

Im Gerinne wird eine hydrostatische Druckverteilung angenommen, so-

dass fur jeden Punkt des Querschnitts die Große

p

ρg+ z konstant ist.

Bezieht man z auf die Gerinnesohle, so ist

p

ρg= h (Wassertiefe).

Der Energiesatz lautet nun

g (z1 + h1) + αv2

1

2= g (z2 + h2) + α

v22

2+ ghv

75


oder umgeformt:

(z1 + h1 + αv2

1

2g)− (z2 + h2 + α

v22

2g) = hv (G.8)

Bei vorausgesetzter gleichformiger Stromung und konstantem Fließquerschnitt A ist h1 = h2 und v1 = v2,

Damit ergibt der Vergleich von Gl. (G.7) und (G.8) in Ubereinstimmung mit Gl. (G.5):

hv =Ul

ρg Aτ0

Die Beziehungen (G.5) bzw. (G.6) sind also fur Rohr- und Gerinnestromungen gultig und gestatten, den infolge

Wandreibung auftretenden Verlust an Stromungsenergie durch die Wandschubspannung auszudrucken.

Uber die Ursache der Wandschubspannung und ihre Berechnung aus der Fließgeschwindigkeit ist damit noch

nichts ausgesagt – dies soll nun Inhalt der folgenden Abschnitte sein.

G.3 Fließarten

Nach einem Versuch von Reynolds1 lassen sich in einer Rohrstromung zwei grundlegend verschiedene Stromungsformen

nachweisen:

laminare Stromung turbulente Stromung

Mengt man einer Rohrstromung uber ein Rohrchen einen Farbstoff bei, so kann unter gewissen Versuchsbe-

dingungen erreicht werden, dass dieser als geradliniger Strahl von der Stromung mitgefuhrt wird. Dies lasst

erkennen, dass sich die Flussigkeitsteilchen auf wohlgeordneten Bahnen bewegen. Eine derartige Stromung

wird laminar genannt. Andert man die Versuchsbedingungen, z.B. durch Erhohung der Fließgeschwindigkeit,

so bemerkt man, dass der Farbstrahl unruhig wird und an wechselnden Stellen zerflattert. Bei zunehmender

Geschwindigkeit verschwindet er schließlich, d.h. der Farbstoff hat sich mit dem Wasser vollig vermischt.

Beim Ubergang in die neue Stromungsform treten offensichtlich Schwankungen, d.h. Quer- und Langsbewegungen

auf, die Bewegung der Fluidteilchen verlauft wirbelig. Die Entstehung dieser turbulenten Stromung kann durch

Anfangsstorungen am Rohreinlauf oder durch Erschutterungen beschleunigt werden.

1 Osborne Reynolds(1842 - 1912), britischer Ingenieur und Physiker, war einer der großen Experimentatoren in der

Stromungsmechanik (und anderen Gebieten). Er demonstrierte die Kavitation, arbeitete mit hydraulischen Tidemodellen und

studierte den Ubergang von laminarer zu turbulenter Stromung. Die Reynolds-Zahl wurde von ihm als maßgebliche Kennzahl

der Stromung entwickelt. Ebenfalls schuf er das Konzept, die turbulente Stromung als eine Uberlagerung einer Grundstromung

mit turbulenten Schwankungen aufzufassen, wodurch es ihm gelang, die Grundgleichungen der zahigkeitsbehafteten Stromung

(Navier-Stokes-Gleichungen) auch auf die turbulente Stromung anzuwenden.

76

G.3. Fließarten

Nach einem Vorschlag von Reynolds (1895) wird die turbulente Stromung in eine Grundbewegung und eine

unregelmaßige Schwankungsbewegung (Mischbewegung) aufgeteilt:

~v∗ = ~v + ~v′

Hierbei ist ~v der zeitliche Mittelwert der Geschwindigkeit ~v∗ der Fluidteilchen und ~v′ die Schwankungsgeschwin-

digkeit. Fur die ubrigen Stromungsgroßen gelten entsprechende Beziehungen:

Druck p∗ = p+ p′

Dichte ρ∗ = ρ+ ρ′

Temperatur T ∗ = T + T ′

etc.

Die unregelmaßig schwankenden Großen ~v′, p′ etc. sind einer direkten Berechnung kaum zuganglich und konnen

allenfalls mit statistischen Methoden erfasst werden. Man wird daher in der Regel versuchen, Beziehungen fur

den zeitlichen Mittelwert ~v, p etc. anzugeben.

Der zeitliche Mittelwert der Geschwindigkeit ~v ist

1

∆t

t0+∆t∫t0

~v∗ dt =1

∆t

t0+∆t∫t0

~v dt+1

∆t

t0+∆t∫t0

~v′ dt = ~v +1

∆t

t0+∆t∫t0

~v′ dt

Erfahrungsgemaß verschwindet die Schwankungsbewegung einer turbulenten Stromung wahrend eines hinrei-

chend großen Zeitintervalls im Mittel. Dies ist eigentlich nicht selbstverstandlich und stellt eine Charakterisie-

rung der Turbulenz dar.

Man definiert daher:

t0+∆t∫t0

~v′ dt = 0

Daraus folgt:

1

∆t

t0+∆t∫t0

~v∗ dt = ~v

Wir werden im folgenden nur die zeitlichen Mittelwerte betrachten und daruberhinaus bei Rohr- und Gerinne-

stromungen die Geschwindigkeit uber den Querschnitt mitteln:

vm =1

A

∫v dA

(vergl. Abschnitt 5.2)

(im folgenden wird der Index m weggelassen, wenn

sich aus dem Zusammenhang ergibt, dass die quer-

schnittsgemittelte Geschwindigkeit gemeint ist).

Geschwindigkeitsprofil

bei (1) laminarer und

(2) turbulenter Stromung

77


Die Fließform wirkt sich auf die Ausbildung des Geschwindigkeitsprofils aus (siehe obige Abb.), wobei sich im

turbulenten Fall aufgrund des lateralen Impulsaustausches eine relativ gleichmaßige Verteilung einstellt:

vm = 0, 5 vmax bei laminarer Stromung

vm ' 0, 8 vmax bei turbulenter Stromung

In Abschnitt G.1 wurde bereits darauf hingewiesen, dass turbulente Querbewegungen einen erheblichen Im-

pulsaustausch quer zur Hauptstromung bewirken, was wiederum mit einer Scheinzahigkeit und entsprechenden

Schubspannungen verbunden ist. Es ist deshalb beim Ubergang von der laminaren zur turbulenten Fließform ein

sprunghafter Anstieg des Reibungsverlustes zu verzeichnen, der sich in einem erheblichen Druckabfall außert.

Die Fließform hat bei Rohr- und Gerinnestromungen, bei Grenzschichtstromungen etc. grundlegend verschiedene

Auswirkungen auf Bewegungsform der Stromung und Quantitat der Stromungsgroßen. Wir interessieren uns

deshalb fur die Frage, wann eine laminare und wann eine turbulente Stromung vorliegt.

Reynolds hat im Jahre 1883 dargelegt, dass der Umschlag einer laminaren Stromung in eine turbulente von

der nach ihm benannten Zahl

Re =vd

ν[dimensionslos]

abhangt. Dabei ist

v mittlere Fließgeschwindigkeit

d Rohrdurchmesser, der allgemein durch den hydraulischen Durch-

messer Dh ersetzt werden kann

(Abschnitt G.2.1)

ν kinematische Zahigkeit des Fluids (Abschnitt G.1)

Die Reynolds-Zahl kann als das Verhaltnis einer typischen Maßzahl fur die Tragheitskraft zu einer typischen

Maßzahl fur die Reibungskraft interpretiert werden. Zur Herleitung sei auf spatere Kurse verwiesen. Auf expe-

rimentellem Wege gelangt man zu der Aussage, dass unterhalb einer kritischen Reynoldszahl die Stromung

immer laminar bleibt und Storungen wieder abklingen. Die kritische Reynoldszahl wird durch die jeweilige

Versuchseinrichtung beeinflusst und daher wie folgt definiert:

Re < 2300 laminare Fließform

Re > 2300 turbulente Fließform

In mit hochster Sorgfalt durchgefuhrten Versuchen treten laminare Stromungen noch bei Reynoldszahlen Re

= 24.000 auf – bei geringsten Storungen erfolgt jedoch ein plotzlicher Umschlag in Turbulenz.

In den meisten technischen Anwendungsbereichen treten jedoch immer Storungen auf und zudem sind hier die

Reynoldszahlen meist sehr hoch (z.B. 105 – 107), sodass in der Regel turbulente Stromungen vorliegen.

Wie die Existenz einer kritischen Kennzahl ( Re ) bereits andeutet, ist der Umschlag von der laminaren in die tur-

bulente Stromungsform ein Stabilitatsproblem. Die laminare Stromung ist immer eine mogliche Stromungsform.

Uberschreitet aber die Fließgeschwindigkeit einen bestimmten Wert (vd

ν> 2300) wird die laminare Stromung

gegen geringste Storungen instabil und geht in die dann stabile turbulente Stromungsform uber.

78

G.4. Wandreibung und Geschwindigkeitsverteilung bei laminarer Rohrstromung


bei laminarer Rohrstromung

Rohrstromungen mit Reynoldszahlen kleiner als 2300 kommen in den technischen Anwendungen selten vor,

wenn man von sehr dunnen Rohren mit geringer Fließgeschwindigkeit einmal absieht

(Re < 2300 ; vd < 2300 · ν = 0, 0023 m2/s bei Wasser).

Die laminare Rohrstromung ist jedoch im Gegensatz zur turbulenten einer theoretischen Betrachtung zuganglich

und erlaubt die Darstellung einiger grundsatzlicher Zusammenhange.

Wie in Abschnitt G.2.1 betrachten wir ein Kreisrohr der Lange l mit dem Radius R = d/2 und wenden

Gleichung (G.5) auf einen zylindrischen Flussigkeitskorper mit dem veranderlichen Radius r an. Dabei ist die

Wandschubspannung τ0 durch die Schubspannung τ im Inneren des Fluids zu ersetzen.

Mit A = πr2 und U = 2πr sowie dem Newtonschen Zahigkeitsgesetz

τ = ηdv

dn= −η dv

dr(bei negativem v ist τ positiv) folgt:

τ =1

2ρgr

lhv = −η dv

dr= −ρν dv

dr

Integration von

dv

dr= − gr

2ν

hvl

ergibt

v(r) = −gr2

4ν

hvl

+ C

Aus der Randbedingung v(R) = 0 (Haftbedingung) folgt fur die Integrationskonstante

C =gR2

4ν

hvl

sodass sich bei laminarer Kreisrohrstromung das folgende parabolische Geschwindigkeitsprofil einstellt:

v(r) =gR2

4ν

(1− r2

R2

)hvl

(G.9)

79


vmax = v(0) =gR2

4ν

hvl

v(r) =

(1− r2

R2

)vmax

Die uber den Querschnitt gemittelte Geschwindigkeit ist

vm =1

2vmax (siehe Abschnitt E.2, Beispiel 2)

sodass wir schließlich

hv =8νl

gR2vm (G.10)

erhalten. Der Verlust an Stromungsenergie hangt also bei laminarer Rohrstromung linear von der Fließgeschwin-

digkeit ab. Wir wenden nun Gleichung (G.10) auf ein horizontales Rohr an und betrachten die Energiebilanz

mit (F.19).

z1 +p1

ρg+ α

v21

2g= z2 +

p2

ρg+ α

v22

2g+ hv

Wegen z1 = z2, v1 = v2 erhalt man

p1 − p2 = ρg hv = 8ρνl

R2vm

; p1 − p2 = 8ηl

R2vm Hagen-Poiseuillesches1 Gesetz (G.11)

Dieses Gesetz liefert den Druckverlust bei laminarer Rohrstromung und wurde von Hagen (1839) und Poi-

seuille (1841) auf experimentellem Wege gefunden. Hagen hat dabei bereits erkannt, dass es nur fur ein

vollausgebildetes parabolisches Profil – vergleiche (G.9) – gilt, also nicht im Anfangsbereich der Rohrmundung.

Wir bringen das Fließgesetz (G.10) noch in eine besondere Form, die auch bei der turbulenten Rohrstromung und

den Gerinnestromungen verwendet wird, und gelangen so zu einer einheitlichen Dar-

stellung der Verlusthohe hv, die eine großere Anzahl meist empirisch gewonnener Formeln ablost.

Beim Kreisrohr ist der Durchmesser d mit dem hydraulischen Durchmesser Dh = 4A/U identisch, sodass der

Radius R in (G.10) mit Dh/2 verallgemeinert werden kann.

hv =8νl

gR2vm = 64

ν

vDh

l

Dh

v2

2g

1Gottfried Hagen (1779 - 1884), deutscher Ingenieur, und J. C. Poiseuille (1799 - 1869), franzosischer Physiker, arbeiteten

gleichzeitig, aber ohne Kenntnis voneinander an der Durchstromung von Rohren. Hagen studierte bereits vor Reynolds den

ubergang von laminarer zur turbulenten Stromung.

80

G.5. Wandreibung und Geschwindigkeitsverteilung bei turbulenter Rohrstromung

Wir definieren nun den laminaren Reibungsbeiwert

λ =64

Remit der Reynoldszahl Re =

vDh

ν

und erhalten

hv = λl

Dh

v2

2gλ =

64

Re(G.12)

Kreisrohr: Dh = d = 2R

In dieser Form wurde das Fließgesetz von Darcy (1858) und Weisbach (1855) fur turbulente Stromung

angegeben.

Im nachsten Abschnitt soll nun fur den dimensionslosen Reibungsbeiwert λ eine Beziehung bei turbulenter

Stromung angegeben werden.


bei turbulenter Rohrstromung

Gleichungen werden im weiteren fur einen Kreisquerschnitt hergeleitet.

Wie in Abschnitt G.4 bereits dargelegt, verwenden wir das allgemeinere Widerstandsgesetz (Fließgesetz) nach

Darcy und Weisbach:

hv = λl

Dh

v2

2g(G.13)

Der Reibungsbeiwert λ konnte fur die laminare Stromung theoretisch unter der Voraussetzung R =Dh

2abge-

leitet werden:

λ =64

Rebei laminarer Stromung (G.14)

Im turbulenten Fall konnen wir fur den Beiwert nach Colebrook-White (1938/39) schreiben:

1√λ⇐ −2 log

(2, 51

Re√λ

+k

3, 71Dh

)(G.15)

λ= Reibungsbeiwert [dimensionslos]

Re= Reynoldszahl Re =vDh

ν[dimensionlos]

k = aquivalente Sandrauheit [m]

Dh = hydraulischer Durchmesser [m], Kreisrohr: Dh = d

k/Dh = relative Sandrauheit [dimensionslos]

Diese implizite Beziehung ist fur eine rechnerische Auswertung sehr unhandlich und wurde von Moody1 als

Diagramm ausgewertet (s.S. 83).

1 Das 1944 von Moody in den U.S.A. veroffentlichte Diagramm ist die Synthese der Forschungsarbeiten vieler Wissenschaftler.

Die laminare Stromungsform war eingehend von Hagen (1834) und Poiseuille untersucht worden. Die Kurve fur hydraulisch

glatte Rohre (k/Dh = 0) entspricht der 1913 von Blasius angegebenen Gleichung (G.16), die 1933 von Prandtl zur Gleichung

(G.17) erweitert und von Nikuradse experimentell bestatigt wurde. Der vollkommen rauhe Bereich wurde von Prandtl (1931)

und v. Karman (1930) wiederum mit experimenteller Unterstutzung durch Nikuradse mittels Gleichung (G.18) beschrieben.

Coolebrook und White fullten schließlich (1938) durch eine Interpolationsformel (Gl. G.15) den sog. ubergangsbereich aus. Diese

Gleichung deckt auch den Bereich aller fruheren Formeln mit ab (mit Ausnahme des laminaren Bereiches).

81


Die Formel von Colebrook-White stellt eine Interpolation verschiedener Sonderfalle turbulenter Rohrstromungen

dar, deren Gesetzmaßigkeiten im einzelnen durch Experimente, gekoppelt mit theoretischen uberlegungen, er-

mittelt wurden.

Neben den Großen Stromungsgeschwindigkeit v, Durchmesser Dh und kinematischer Zahigkeit ν, die sich in der

Reynoldszahl Re =vDh

νniederschlagen, kann bei turbulenter Stromung die Wandbeschaffenheit (d.h. die

Rauheit) von maßgeblichem Einfluss auf die Rohrreibung sein. Experimente haben gezeigt, dass sich Rohre mit

geringer Rauheit und bei geringerer Reynoldszahl als technisch oder hydraulisch glatt verhalten. Bei derartigen

Rohren stellt man also keinen Rauheitseinfluss fest, sodass die Reibungszahl λ nur von der Reynolds-zahl Re

abhangt, wie im laminaren Fall.

Fur laminare Stromungen ergibt sich kein Einfluss der Wandrauheit, wie die Experimente von Hagen und

Poiseuille um 1840 gezeigt haben (G.11), und der Reibungsbeiwert ist nur von der Reynoldszahl abhangig:

λ =64

ReGl. (G.12)

82


83


Fur turbulente Stromungen in hydraulisch glatten Rohren hat Blasius (1913) ein Gesetz angegeben, wonach

ebenfalls λ nur von Re abhangt.

λ =0, 316

4√Re

(G.16)

Spatere Versuche haben jedoch gezeigt, dass diese Formel fur Re > 100.000 nicht mehr zutrifft.

Zu einem allgemeingultigen Gesetz gelangt man durch theoretische uberlegungen, wobei einige Konstanten

experimentell ermittelt werden mussen (siehe z.B. Truckenbrodt, Stromungsmechanik, S. 206/207). Wie bei der

laminaren Stromung wird auch hier zunachst das Geschwindigkeitsprofil ermittelt:

v

vτ= 5, 75 log

(R− rν

vτ

)+ 5, 5

vτ =

√τ0ρ

Schubspannungsgeschwindigkeit (Definition)

τ0 = ρλ

8v2m Wandschubspannung, folgt aus (G.6) und (G.13)

5, 75 und 5, 5 Messwerte

(Die Beziehung gilt nicht in Wandnahe, da dort eine dunne laminare Schicht”haftet“, und gilt im ubrigen nur

naherungsweise. In Rohrmitte weist das Profil einen Knick auf.)

Nun muss noch die mittlere Geschwindigkeit vm ermittelt werden (vergleiche das Vorgehen im laminaren Fall,

Abschnitt G.4. Sie ergibt sich zu

vm = vmax − 4, 07vτ

vmax = v(r = 0) = vτ

[5, 75 log

(Rvτν

)+ 5, 5

](4, 07 experimentell ermittelt)

Eliminieren von vmax und Einsetzen von

vτ = vm

√λ

8, sowie R = d/2 ergibt schließlich

1√λ

= 2 log(Re√λ)− 0, 8 (G.17)

wobei die Zahlenwerte 2 und 0,8 den sorgfaltigen Messwerten von Nikuradse (1932) nachtraglich angepasst

worden sind. Die Beziehung (G.17) bestatigt die Formel nach Blasius fur den Bereich Re < 100.000.

Beim Widerstandsgesetz des rauhen Rohres kommt die Abhangigkeit des Reibungsbeiwerts λ von der Wandbe-

schaffenheit neu hinzu (bislang nur λ = λ(Re)).

84


hydraulisch glatt

δ0 > k

Ubergangsbereich

δ0 < k

vollkommen rauh

δ0 ' 0

Um zu einer quantitativen Aussage uber die Wandrauheit zu gelangen, hat man die sogenannte aquivalente

Rauheit k (auch ks) eingefuhrt. Die experimentellen Untersuchungen beziehen sich auf Rohre, deren Wan-

dung mit Sandkornern vom Durchmesser k beklebt worden sind. Die tatsachliche Wandbeschaffenheit (z.B.

Gusseisenrohr-Verkrustung) wird dabei durch ein aquivalentes k ausgedruckt, das zu gleichen Reibungsverlus-

ten fuhrt. (s.S. 86)

Wichtig ist, dass fur die grundlegenden Untersuchungen die naturliche bzw. technische Wandbeschaffenheit in

ihrer Vielfalt durch eine definierte geometrische Große (namlich k) ersetzt wird.

Als dimensionslose Große zur Erfassung der Wandrauheit wird die relative Rauheit k/Dh eingefuhrt.

Gesucht wird nun eine Beziehung λ = λ(Re, k/Dh), wobei Dh der hydraulische Durchmesser ist (Abschnitt

G.2.1).

Man stellt nun fest, dass drei Falle zu unterscheiden sind:

λ = λ(Re)

laminar

turbulent, hydraulisch glatt

λ = λ(Re, k/Dh) turbulent, ubergangsbereich

λ = λ(k/Dh) turbulent, vollkommen rauh

Wenn die Wandunebenheiten durch eine laminare Unterschicht der Dicke δ0 eingehullt werden (siehe Abb.),

so verhalt sich das Rohr wie ein glattes. Die laminare Unterschicht ist naturlich erst recht bei vollig laminarer

Stromung vorhanden. Somit ergibt sich in diesem Fall fur λ keine Abhangigkeit von k/Dh (siehe (G.12) und

(G.17)).

In einem ubergangsbereich wird infolge Abnahme der laminaren Schichtstarke δ0 die Wandrauheit k nur teilweise

aktiviert. Es ist deshalb sinnvoll, den vollkommen rauhen Bereich zu untersuchen, damit der im Experiment

vorgegebene Korndurchmesser k tatsachlich zur Wirkung kommt.

85


Widerstandsgesetz fur Rohrstromungen

hv = λl

Dh

v2

2g; Dh =

4A

U; τ0 =

ρg

l

A

Uhv

aquivalente Rauheit k fur rauhe Rohre

Stahlrohre k [mm]

Leitungen aus gezogenem Stahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,01 bis 0,05

Geschweißte Rohre von handelsublicher Gute:

neu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,05 bis 0,10

nach langerem Gebrauch gereinigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,15 bis 0,20

maßig verrostet, leichte Verkrustung . . . . . . . . . . . . . . . 0,40

schwere Verkrustung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Genietete Leitungen mit Langs und Quernahten:

a) Bleckdicke unter 5 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,65

b) Blechdicke 5 bis 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,95

c) Blechdicke uber 12 mm und 6-12 mm, wenn

Nietnahte mit Laschen verdeckt . . . . . . . . . . . . . . . 3

d) Blechdicke uber 12 mm mit verlaschten Nahten . 5,5

e) in ungunstigem Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bis 50

Gusseisenrohre

Neue Leitungen mit Flansch- oder Muffenverbindung . . . 0,15 bis 0,3

Gusseiserne Rohre:

inwendig bitumiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,12

neu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 bis 1

angerostet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 bis 1,5

verkrustet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 bis 3

Beton und Druckstollen

Rohrleitungen und Stollen in Stahlbeton

mit sorgfaltig handgeglattetem Verputz . . . . . . . . . . . . 0,01

neue Leitungen aus Schleuderbeton mit glattem Verputz 0,16

Betonrohre, Glattstrich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,3 bis 0,8

Druckstollen mit Zementverputz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 bis 1,6

Betonrohre, roh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 bis 3

Beton, schalungsrauh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Sonstige Rohre

Asbest-Zement-Rohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,1

Holzrohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,2 bis 1

1

1 Tabelle nach Schroder, H. und Press, R.: Hydromechanik im Wasserbau, W. Ernst & Sohn, Berlin, Munchen 1966

86

G.6. Wandreibung bei Gerinnestromung

von Karman (1930) und Prandtl (1932) haben zunachst wieder ein Gesetz fur das Geschwindigkeitsprofil

abgeleitet, woraus die folgende Beziehung (wie bei (G.17)) entsteht:

1√λ

= −2 log

(k

Dh

)+ 1, 14 (G.18)

Die Werte 2 und 1,14 sind wiederum auf experimentellem Wege von Nikuradse (1933) gefunden worden.

Fur den ubergangsbereich erhalt man durch Interpolation der Formeln (G.17), hydraulisch glatt und (G.18),

vollkommen rauh nach Coolebrook-White (1938) eine Aussage. Die Beziehung (G.15) erfasst alle Bereiche

der turbulenten Stromung.

G.6 Wandreibung bei Gerinnestromung

Wie in Abschnitt G.2.2 bereits ausgefuhrt, erhalten wir aus (F.19) fur das Freispiegelgerinne unter der Annahme

einer hydrostatischen Druckverteilung die erweiterte Bernoulli-Energiegleichung fur einen Stromfaden an der

Sohle (statt vm wird v geschrieben):

z1 + h1 +v2

1

2g= z2 + h2 +

v22

2g+ hv mit α ' 1

Außerdem fuhrt man noch die folgenden Begriffe ein:

Sohlgefalle ISo = (z1 − z2)/l

Wasserspiegelgefalle IW = [(z1 + h1)− (z2 + h2)]/l

Energieliniengefalle IE =

[(z1 + h1 +

v21

2g

)−(z2 + h2 +

v22

2g

)]/l

= hv/l

Bei hinreichend langen Gerinnen

mit konstanten Fließbedingungen (Sohlgefalle, Reibung, Querschnitt etc. konstant) stellt sich eine gleichformige

Stromung, der Normalabfluss ein, und es gilt

h1 = h2; v1 = v2; ISo = IW = IE

87


Der hydraulische Durchmesser Dh wurde bereits in Abschnitt G.2.1 eingefuhrt:

Dh =4A

U,

A durchflossener Querschnitt

U benetzter Umfang

(A reprasentiert die Gewichtskraftkomponente, U die Schubkraft infolge Wandreibung, siehe Abschnitt G.2.2).

Daneben wird noch der hydraulische Radius rh benutzt:

rh =A

U=Dh

4

Experimente zeigen bei gleichformiger Stromung die gleiche quadratische Abhangigkeit zwischen Fließgeschwin-

digkeit und Verlusthohe wie bei der Rohrstromung. Es kann also wieder die Beziehung von Darcy und Weis-

bach (G.13) benutzt werden:

hv = λl

Dh

v2

2gbzw. IE =

hvl

= λ1

Dh

v2

2g(G.19)

Der Reibungsbeiwert λ wird auch hier mit der Interpolationsformel von Colebrook-White (G.15) bestimmt:

1√λ⇐ −2 log

(2, 51

Re√λ

+k

3, 71Dh

)(G.20)

Die Reynoldszahl wird wie bei der Rohrstromung mit Re =v Dh

νdefiniert, und fur den

Umschlag der Fließform gilt die gleiche kritische Grenze:

Re < 2300 laminare Stromung

Re > 2300 turbulente StromungLaminare Gerinnestromungen sind im Bauwesen jedoch kaum vorhan-

den. Typische aquivalente Rauheiten k sind in der nachfolgenden Tabelle und entsprechende Werte im Diagramm

am Ende des Abschnitts G.5 angegeben.

Neben den Gleichungen von Darcy-Weisbach und Colebrook-White existieren noch eine Reihe (alterer)

empirischer Gesetze, z.B. ist die Formel von Manning-Strickler (1923) 1 am gebrauchlichsten:

v = kSt r2/3h I

1/2E (G.21)

1 Im 18. und 19. Jahrhundert waren Ingenieure mit der Notwendigkeit konfrontiert, Rohrleitungen, Kanale, Flussstaustufen

bauen zu mussen, ohne dass die Gesetzmaßigkeiten des Fließwiderstandes bekannt waren. Sie fuhrten teilweise ohne Kenntnis

voneinander Natur- und Labormessungen durch und entwickelten daraus empirische Gleichungen, in denen der Fließwiderstand aus

Geschwindigkeit, Rauheit, Durchmesser bzw. Wassertiefe berechnet wird. Angestrebt wurde eine Gleichung, die fur Gebirgs- und

Flachlandflusse, Kanale, Rohrleitungen gleichermaßen anwendbar ist. Die Gleichungen, die dieses Ziel nur sehr bedingt erreichten,

die aber z.T. noch heute verwendet werden, tragen meist den Namen ihrer Erfinder.

Schon 1757 fuhrte Albert Brahm in seinem in Aurich erschienenen Buch”Anfangsgrunde der Deiche- und Wasserbaukunst“

aus, dass die verzogernde Wirkung des Fließwiderstandes im Gleichgewicht mit der Schwerkraft und proportional dem Quadrat der

Fließgeschwindigkeit ist. Die erste Formel, die dies zum Ausdruck brachte, war die des Franzosen Chezy (1718 - 1798). Es folgten

weitere von Manning (1816 - 1897, Irland), Weisbach (1806 - 1871, Deutschland), Darcy (1803 - 1858, Frankreich), Gauckler

(1826 - 1905, Frankreich), Ganguillet (1818 - 1894, Schweiz), Kutter (1818 - 1888, Schweiz), Strickler (1887 - 1963, Schweiz).

88

G.6. Wandreibung bei Gerinnestromung

Widerstandsgesetze fur Gerinnestromungen

Darcy-Weisbach

IE = λ1

Dh

v2

2g

bzw.

v =

√8g

λr

1/2h I

1/2E

mit Dh = 4 rh

Manning-Strickler

v = kSt r2/3h I

1/2E

kSt = Rauheitsbeiwert

mit λ nach Colebrook-White (G.20) als Funktion der Reynolds-Zahl und

der relativen Rauheit k/Dh. Darin ist k die aquivalente (Sand-)Rauheit.

Gerinne: kSt [m1/3/s] k [mm]

Glatte Holzgerinne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 0,60

Glatter unversehrter Zementputz,

glatter Beton mit hohem Zementgehalt 80 0,80

Hausteinquader, gut gefugte Klinker . . . . . . . . . . . 70 . . . 80 1,8 . . . 1,5

Alter Beton, Bruchsteinmauerwerk . . . . . . . . . . . . 50 20

Erdkanale, regelmaßig, rein, ohne Geschiebe

mittlerer Kies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 75

Naturliche Flussbetten, mit Geroll

und Unregelmaßigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . 30 bis 400

Gebirgsflusse mit grobem Geroll, bei

ruhendem Geschiebe mit unverkleideter,

roher Felswand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 . . . 28 bis 1500

wie vor, bei in Bewegung befindlichem

Geschiebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 . . . 22 bis 3000

Stollen und Betonrohrleitungen:

Geschliffener Zementputz großter Glatte . . . . . . . 100 0,01

Betonstollen von weniger sorgfaltiger

Ausfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 . . . 80 10 . . . 0,16

Alte, aus Einzelrohren bestehende

Betonrohrleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3 . . . 1

1

1 Auszug aus Schroder, H. und Press, R.: Hydromechanik im Wasserbau, W. Ernst & Sohn, Berlin, Munchen 1966

89


Diese Beziehung gewinnt man aus einem Potenzansatz

v = kSt rαh I

βE

wobei α und β experimentell bestimmt worden sind. Unbefriedigend ist die”Dimension“ des Rauheitsbeiwertes

kSt [m1/3/s], der nur von der Wandrauheit abhangt (also nicht wie λ auch von Re ). Die kSt-Werte sind auf

Seite 89 angegeben.

Eine Beziehung zwischen λ und kSt lasst sich (formal!) ableiten, wenn die Gleichungen

v = (2g Dh IE/λ)1/2 aus (G.19) und

v = kSt r2/3h I

1/2E aus (G.21)

gleichgesetzt werden:

λ = 8g k−2St r

−1/3h (G.22)

Beachte:

Bestimmt man λ aus (G.22) und setzt dies in (G.19) ein, so benutzt man eigentlich die Formel (G.21) nach

Manning-Strickler.

G.7 Grenzschichten und Ablosungen

In den vorigen Abschnitten wurde der Verlust an Stromungsenergie infolge Wandreibung eingehend behandelt.

Wir kommen nun zu weitergehenden Betrachtungen uber den Wandeinfluss auf Stromungen.

Das Newtonsche Zahigkeitsgesetz τ = ndv

dnlasst erkennen, dass sich Fluide geringer Zahigkeit η (z.B. Was-

ser, Luft) bei Stromungen mit schwachem Geschwindigkeitsgefalle nahezu reibungsfrei verhalten (τ0 ' 0).

Tatsachlich stellt sich uberwiegend eine derartige Stromung ein und lediglich in Wandnahe fuhrt die Haft-

bedingung (v = 0 an der Wand) zu einer ubergangschicht mit starkem Geschwindigkeitsgradienten, sodass

selbst bei geringer Zahigkeit erhebliche Schubspannungen entstehen.

Diese Ubergangsschicht wurde von Prandtl1 unter dem Begriff Grenzschicht eingefuhrt und einer theoreti-

schen Behandlung zuganglich gemacht.

0

1Ludwig Prandtl (1875 - 1953) ist der wohl bedeutendste

Stromungsforscher dieses Jahrhunderts. Er fuhrte die im 19.

Jahrhundert sich isoliert entwickelnde theoretische Hydrome-

chanik der Mathematiker mit der angewandten”Koeffizienten-

hydraulik“ der Ingenieure zusammen. Sein beruhmtester Bei-

trag ist die Grenzschichttheorie, durch die eine Vielzahl von

Stromungsphanomenen erklart und berechnet werden konnte. Sie

entstand in seinen Jahren an der damaligen Technischen Hoch-

schule Hannover (1901 - 03). Danach wurde er Direktor des

Kaiser-Wilhelm-Instituts fur Stromungsforschung in Gottingen,

das auf Jahrzehnte zum “Mekka“ der Stromungsforscher in aller

Welt wurde.

Prandtls Wasserkanal, den er mit der Hand betrieb und

in dem er seine ersten bahnbrechenden Untersuchungen

(in Hannover) durchfuhrte.

90

G.7. Grenzschichten und Ablosungen

Damit wird das Stromungsgebiet in einen außeren, quasi reibungsfreien Bereich und eine Grenzschicht (Rei-

bungsschicht) mit reibungsbehaftetem Fluid unterteilt.

ohne Reibung mit Reibung

Definition der

Grenzschichtdicke

Der ubergang zwischen Grenzschicht und Außenstromung verlauft asymptotisch, sodass die Grenzschichtdicke

δ einer Festlegung bedarf. Haufig definiert man δ derart, dass die Geschwindigkeit außerhalb der Grenzschicht

um maximal 1% infolge Wandreibung verzogert wird (siehe Abb.). Dabei wird man nur dann von einer Grenz-

schicht sprechen, wenn diese relativ dunn bleibt, also infolge geringer Zahigkeit der Wandreibungseinfluss rasch

abklingt.

Langs einer Wandung nimmt die Grenzschichtdicke laufend zu, was in Rohr- und Gerinnestromungen aufgrund

langer Fließstrecken dazu fuhrt, dass schließlich der gesamte durchstromte Querschnitt unter Wandreibungsein-

fluss steht. Nur fur diese vollausgebildete Stromung gelten auch die Fließgesetze aus Abschnitt G.4 bis G.6, da

ja in den Ableitungen ein entsprechendes Geschwindigkeitsprofil vorausgesetzt wurde.

Wir kommen nun zu dem Fließverhalten in der Grenzschicht selbst. Bei einsetzender Stromung entsteht zunachst

immer eine dunne laminare Schicht (Haftung an der Wand), die sich anschließend aufbaut. In der Anlaufstrecke

bleibt die Grenzschicht laminar und kann bei ausreichender Fließgeschwindigkeit und hinreichender Grenz-

schichtdicke, die ja mit Null beginnt und langs der Wandung zunimmt, turbulent werden. (Auch hier lassen sich

kritische Reynoldszahlen angeben.)

91


Charakteristisch fur Grenzschichten ist der

Ablosevorgang bei umstromten Korpern, der in

der nebenstehenden Darstellung veranschaulicht

wird, ohne dass er hier im einzelnen erklart werden

soll. Das Thema wird in spateren Kursen wieder

aufgegriffen werden.

Ablosung an

scharfkantigen Ecken

Das Grenzschichtkonzept wurde von Ludwig Prandtl 1904 veroffentlicht und in den darauffolgenden Jahr-

zehnten in Gottingen weiterentwickelt. Es ist vom technischen Standpunkt aus eine der wichtigsten Entwick-

lungen in der Stromungsmechanik und erlaubt die Erklarung vieler Phanomene, die vorher unverstandlich und

widerspruchlich schienen.

G.8 Konzentrierte Fließverluste in Rohren und Gerinnen,ζ-Werte

Ablosung bei plotzlicher Querschnittserweiterung 1

Querschnittsveranderungen, Verzweigungen etc. sind immer mit Verlusten an Stromungsenergie verbunden, bei

denen vor allem Ablosungen eine Rolle spielen. Sie sind meist nur geringfugig von der Reynoldszahl abhangig,

sodass die entsprechenden Beiwerte ζ als Konstanten betrachtet werden konnen. Sie werden in der Form

hv = ζv2

2g

in der Bernoulli-Gleichung berucksichtigt.

Insgesamt setzt sich die Verlusthohe hv in der Bernoulli-Gleichung aus Wandreibungsverlusten und der Sum-

me aller Einzelverluste zusammen.

1 aus Eck, B.: Technische Stromungslehre, Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1966

92

G.8. Konzentrierte Fließverluste in Rohren und Gerinnen,ζ-Werte

ortlich konzentrierte Verluste

hv = ζv2

2g

Bei ζ : v = Geschwindigkeit unmittelbar hinter der Storstelle

Bei ζ ′ : v = Geschwindigkeit unmittelbar vor der Storstelle

G.8.1 Ein- und Auslaufverluste

ζ = 0, 5 ζ = 0, 25 ζ = 0, 1 ζ ′ = 1, 0

G.8.2 Umlenkverluste

rm/d\β 15 30 60 90

2 0,03 0,06 0,12 0,14

5 0,03 0,05 0,08 0,11

10 0,03 0,05 0,07 0,11

\β 15 30 60 90

glatt 0,042 0,13 0,47 1,13

rauh 0,062 0,16 0,68 1,27

93


G.8.3 Verzweigungsverluste

G.8.3.1 scharfkantige Rohre (konst. Durchmesser)

β 90 90 45 45

Qa/Q ζ ′a ζ ′d ζ ′a ζ ′d

0,2 0,88 -0,08 0,68 -0,06

0,4 0,89 -0,05 0,50 -0,04

0,6 0,95 0,07 0,38 0,07

0,8 1,10 0,21 0,35 0,20

β 90 90 45 45

Qa/Q ζa ζd ζa ζd

0,2 -0,40 0,17 -0,38 0,17

0,4 0,08 0,30 0,00 0,19

0,6 0,47 0,41 0,22 0,09

0,8 0,72 0,51 0,37 -0,17

G.8.3.2 symmetrische Hosenrohre mit Qa/Q = 0, 5

rm/d ζ

0,5 4,4

0,75 2,4

1,0 1,6

1,5 1,0

2,0 0,8

β ζ

10 0,4

30 1,2

45 2,8

60 4,0

90 5,6

G.8.4 Querschnittsanderung

Erweiterung

ζ ′ =

(A1

A2− 1

)2

Verengung

ζ = 0, 5

(1− A2

A1

)2

94

G.8. Konzentrierte Fließverluste in Rohren und Gerinnen,ζ-Werte

G.8.5 Verschlussorgane

Drosselklappe Ringkolbenschieber

bei Großrohrleitungen: ζ = 0, 3 ζ = 1, 5

bei Versorgungsleitungen: ζ = 0, 5 bis ζ = 4, 0

Quelle:

Schroder, H. und Press, R.: Hydromechanik im Wasserbau, W. Ernst & Sohn, Berlin, Munchen 1966

Weitere Angaben:

Idel′chik: Handbook of Hydraulic Resistance, Transl. from Russian, 1966

Miller, Donald S.: Internal Flow Systems, BHRA Fluid Engineering, 1978

95


96

Kapitel H

Elementare stationare Rohrstromungen

97

Kapitel H. Elementare stationare Rohrstromungen

H.1 Grundsatzliche Beziehungen

Die Stromung in einer Rohrleitung ist das naturlichste und einfachste Beispiel fur das stromungsmechanische

Konzept der Stromrohre. Im Gegensatz zu offenen Gerinnen ist in Rohrleitungen die durchstromte Flache nur

durch die Rohrgeometrie festgelegt. Mit Beschrankung auf stationare, inkompressible Stromungen stehen uns

aus den vorangegangenen Kapiteln folgende Grundgleichungen zur Verfugung:

Kontinuitatsgleichung

Q1 −Q2 = 0 (Gl. F.8)

Impulssatz

~F + ~G+ ~S1 + ~S2 = 0 (Gl. F.14)

S = Stutzkraft, senkrecht

auf Schnittflache

Erweiterte Bernoulli-Gleichung

(Skizze im nachfolgenden Text)

z1 +p1

ρg+ α

v21

2g+

P

gm= z2 +

p2

ρg+ α

v22

2g+ hv (F.20)

mit der Verlusthohe hv =

(λ

l

Dh+∑

ζ

)v2

2g(G.13) mit (G.8)

Der Impulssatz findet vorwiegend Anwendung bei der Berechnung der Krafte von Fluid auf Rohrwande, ins-

besondere auf Rohrkrummer, -verzweigungen, -vereinigungen und -querschnittsanderungen. Daruber ist den in

Kap. F.4 gemachten Ausfuhrungen nichts hinzuzufugen, sodass wir uns hier vorwiegend mit der Anwendung der

erweiterten Bernoulli-Gleichung beschaftigen. Mit ihrer Hilfe werden wir Durchflusse, Fließgeschwindigkeiten

und Druckverteilungen in Rohrleitungen berechnen.

98

H.1. Grundsatzliche Beziehungen

Energielinie und Drucklinie

Ohne Wellenarbeit P wird fur praktische Berechnungen folgende anschauliche Darstellung der Gleichung (F.20)

benutzt:

Der Ausdruck hE = z +p

ρg+ α

v2

2gtragt den Namen Energiehohe und setzt sich zusammen aus

- dem Abstand der Rohrachse uber einem Bezugshorizont,

- der Druckhohe pρg , sowie der

- Geschwindigkeitshohe α v2

2g .

Die Energielinie entspricht der Energiehohe. Aufgrund des Reibungsverlustes wird bei stationarer Stromung hE

grundsatzlich in Fließrichtung kleiner, d.h.

die Energielinie ist in Fließrichtung geneigt.

Die Drucklinie setzt sich aus dem Abstand der Rohrachse uber dem Bezugshorizont und der Druckhohe zusam-

men. Energielinie und Drucklinie unterscheiden sich um die Geschwindigkeitshohe.

In der Drucksonde steht der Wasserspiegel bis zur Drucklinie, im Pitotrohr bis zur Energielinie (letzteres gilt

wegen der Ungleichformigkeit des Geschwindigkeitsprofils nur naherungsweise).

99


H.2 Venturi-Rohr

Das Venturi-Rohr1 dient der Messung des Durchflusses in einem Rohr.

Bei Vernachlassigung von Verlusten gilt die Bernoulli-Gleichung

p1

ρg+ α

v21

2g= ∆z +

p2

ρg+ α

v22

2g

Die Beziehung zwischen der Ablesung der Quecksilbersaule R und den Drucken p1 und p2 ist hydrostatisch

gegeben durch

p1 + ρgz + ρgR− ρHg gR− ρgz − ρg∆z = p2

und daraus

R =ρ

ρHg − ρ

(p1

ρg− p2

ρg−∆z

).

Setzt man v1 = Q/A1 und v2 = Q/A2 in die Bernoulli-Gleichung ein und lost diese nach Q auf, so ergibt sich

Q = µA1

√2g(ρHg − ρ)

αρ

R

A21/A

22 − 1

(H.1)

Der Beiwert µ wurde eingefuhrt, um die Abweichung des wirklichen Durchflusses von dem theoretisch be-

rechneten zu erfassen. Er kompensiert nicht berucksichtigte Reibungsverluste. Großenordnungsmaßig ist µ =

0, 96 . . . 0, 99 und wird durch Eichung eines Venturi-Rohres gewonnen.

Frage:

Warum wird p1 vor der Verengung und nicht hinter der Erweiterung gemessen?

1Giovanni Battista Venturi (1746 - 1822), italienischer Physiker, fuhrte umfangreiche Messungen in Rohrverengungen und

Dusen durch und wurde zu einem der Wegbereiter der experimentellen Hydraulik.

100

H.3. Pumpe, Turbine

H.3 Pumpe, Turbine

Eine Pumpe fuhrt einem Rohrsystem Energie P zu:

Erweiterte Bernoulli-Gleichung: (F.20)

z1 +p1

ρg+ α

v21

2g︸︷︷︸hE1

+P

gm= z2 +

p2

ρg+ α

v22

2g︸︷︷︸hE2

P = gm (hE2 − hE1)

P = ρgQ∆hE (H.2)

Mit z1 = z2 und A1 = A2 ist ∆hE =∆p

ρg.

P = Q∆p

Die Pumpe bewirkt dann eine Druckerhohung ∆p und halt dadurch die Fordermenge Q aufrecht. Ist dagegen

z1 < z2 und A2 < A1, so wird ein Teil der Leistung dazu verwendet, um den geodatischen Hohensprung ∆z zu

uberwinden und um das Wasser zu beschleunigen.

P ist die dem Fluid zugefuhrte Leistung. Die Leistungsaufnahme der Pumpe PP ist wegen ihres begrenzten

Wirkungsgrades um 10÷20% hoher. Ebenfalls ist die Leistungsaufnahme des Motors hoher als die der Pumpe.

PM ηM PP ηP P

Elektr. Netz =⇒ Motor =⇒ Pumpe =⇒ Stromung

PP = ηMPM ; P = ηPPP ; P = ηP ηMPM

101


Aufgabe:

Ersetze Pumpe durch Turbine. Zeichne das

Energieliniendiagramm und entwickle die

Gleichungen.

Beachte:

Die Turbine entnimmt der Stromung Ener-

gie, sodass eine Erniedrigung der Energie-

linie erfolgt.

Stromung =⇒ Turbine =⇒ Generator =⇒ Elektr. Netz

H.4 Rohrsystem mit Pumpe

h1 − hE2 =

(λAlAdA

+ ζ ′ein

)v2A

2g

hE3 − hE2 =P

ρg Q=

ηp PPρg Q

hE3 − h4 =

(λBlBdB

+ ζaus

)v2B

2g

In den Reservoirs sind die Wasserspiegelkoten gleich den Ener-

giehohen, da dort die Geschwindigkeiten v = 0 sind.

hE1 = h1; hE4 = h4;

Beispiel: gegeben: h1, lA, dA, λA, ζ′ein,

h4, lB, dB, λB, ζaus,

Q, ηP

gesucht: Dimensionierung der Pumpe,

d.h. welche Forderhohe ∆hE = hE3 − hE2 und welche Leistungsaufnahme PP muss

die Pumpe haben, damit eine Fordermenge Q gepumpt werden kann?

102

H.4. Rohrsystem mit Pumpe

Rechengang:

Verlusthohe in Leitung A: hvA =

(λAlAdA

+ ζ ′ein

)Q2

2g A2A

Verlusthohe in Leitung B: hvB =

(λBlBdB

+ ζaus

)Q2

2g A2B

Forderhohe: ∆hE = h4 − h1 + hvA + hvB

Die Gesamtforderhohe setzt sich aus den Reibungsverlusten hvA+hvB

und der geodatischen Forderhohe h4 − h1 zusammen.

Leistung: PP =ρg Q

ηP∆hE

Aufgabe:

Zeichne das Energieliniendiagramm fur ein Rohrsystem mit Turbine und entwickle die Gleichungen!

103


104

Kapitel I

Elementare stationare

Gerinnestromungen

105

Kapitel I. Elementare stationare Gerinnestromungen

Neben den Rohrstromungen stellen die Gerinnestromungen das zweite elementare Anwendungsgebiet des

Stromrohrenkonzepts dar. Im Gegensatz zur Rohrstromung hat das Fluid in einer Gerinnestromung eine freie

Oberflache, so dass der Fließquerschnitt nicht nur durch die Gerinnegeometrie, sondern auch durch die Was-

sertiefe und damit durch die Stromung selber bestimmt wird. Im Abschnitt G haben wir bereits den Verlust

an Stromungsenergie infolge Wandreibung und Turbulenz betrachtet. In diesem Abschnitt werden nun eini-

ge grundlegende, durch die freie Oberflache bedingte, also fur die Gerinnestromung typische Erscheinungen

behandelt.

Es sei nochmals darauf hingewiesen, dass wir fur die elementare Gerinnestromung davon ausgehen, dass wir

Stromungsbewegungen senkrecht zur mittleren Fließgeschwindigkeit vernachlassigen konnen. Es ist deshalb

plausibel anzunehmen, dass der Wasserdruck in vertikale Richtung hydrostatisch verteilt ist. Die Druckhohe

entspricht also direkt der Wassertiefe h.

I.1 Normalabfluss

Wir knupfen an Abschnitt G.2.2 an und schreiben die Energiegleichung (G.8) fur die stationare Gerinnestromung

z1 + h1 + αv2

1

2g= z2 + h2 + α

v22

2g+ hv (I.1)

In Gerinnen mit der Sohlneigung ISo = tanθ unterliegt der Fließvorgang einerseits einer Beschleunigung g sinθ

und andererseits einer Verzogerung infolge Wandreibung. Ein gleichformiger Abfluss, Normalabfluss genannt,

kann sich einstellen, falls Gewichtskraftkomponente in Fließrichtung und Reibungswiderstand gleich sind:

ρg Al sinθ = τoUl

Falls ρg Al sinθ > τoUl ist, so fuhrt die Beschleunigung zu einer Geschwindigkeitszunahme und damit auch zu

einer Vergroßerung des Reibungswiderstandes (vergl. Formel (G.19)), bis schließlich das Gleichgewicht herge-

stellt ist. Entsprechendes gilt fur den umgekehrten Fall. Voraussetzung ist ein prismatisches Gerinne konstanten

Gefalles, konstanter Rauheit und ausreichender Lange. Der Normalabfluss ist damit ein Sonderfall der allge-

meinen Fließbewegung in offenen Gerinnen. Fur die Betrachtung ungleichformiger Stromungen stellt er eine

wichtige Hilfsgroße dar. Wegen der Gleichformigkeit des Abflusses gilt:

v = const. (v = vn)

h = const. (h = hn)

ISo = IW = IE (s. Abschnitt G.6)

106

I.1. Normalabfluss

v und h erhalten den Index n, wenn ein Normalabfluss vorliegt.

Als Beispiele fur ungleichformigen Abfluss seien die Senkungs- und Staulinie genannt:

Senkungslinie

Staulinie

Die Relationen zwischen Sohlgefalle ISo, Wasserspiegelgefalle IW und Energieliniengefalle IE sind der folgenden

Darstellung zu entnehmen:

beschleunigt gleichformig verzogert

(Normalabfluss)

IE < IW > ISo IE = IW = ISo IE > IW < ISo

Berechnung des Normalabflusses

(s. auch Abschnitt G.6)

Die drei Grundaufgaben bei vorgegebener Querschnittsform, d.h. A(h) und U(h) sind bekannte Funktionen der

Wassertiefe h

Typ gegeben: gesucht:

1.) k bzw. kSt, ISo, Q hn, vn

2.) k bzw. kSt, ISo, hn Q, vn

3.) k bzw. kSt, Q, hn ISo

107


Sie werden mit den Formeln von Darcy-Weisbach (G.19) mit dem Reibungsbeiwert λ nach Colebrook-

White (G.20), siehe Moody-Diagramm, oder der von Manning-Strickler (G.21) gelost. Der zweite Weg ist

bei breiten Rechteckquerschnitten einfacher, da er dann ohne Iterationen auskommt.

Bei Normalabfluss sind die Gefalle gleich: IE = IW = ISo → I. Die grundlegenden Formeln lauten:

Darcy-Weisbach: I = λ1

Dh

v2n

2g

mit Dh =4A

U(allgemein)

bzw. Dh = 4h (breiter Rechteckkanal)

λ ist iterativ zu bestimmen. Da naturliche Fließ-

gewasser i.d.R. voll turbulent sind, wahlt man

zweckmaßig den Startwert λ(0) am rechten Rand

des Diagramms (zu k/Dh passend).

Manning-Strickler: vn = kSt r2/3h I1/2

mit rh =A

U(allgemein)

bzw. rh = h (breiter Rechteckkanal)

Tabelle der kSt-Werte → Abschnitt G.6 und For-

melsammlung

Grundaufgabe 1: hn, vn aus k bzw. kSt, ISo, Q


Dh

Q2

2g A2

A⇐ Q

√λ

2g Dh I; Dh(0), λ(0) geschatzta)

Manning-Strickler:Q

A= kSt r

2/3h I1/2

A⇐ Q

kSt r2/3h I1/2

; rh(0) geschatzta)

bhn ⇐Q

kSt h2/3n I1/2

(breites Rechteck)

hn ⇐(

Q

bkSt I1/2

)3/5

(breites Rechteckb))

; hn = hn(A), vn = Q/A

Grundaufgabe 2: Q, vn aus k bzw. kSt, ISo, hn


Dh

v2n

2g

vn ⇐√

2g Dh I

λ;

λ(0) geschatzta)

Dh = Dh(A) b)

Manning-Strickler: vn = kSt r2/3h I1/2 ;

rh = rh(A) b)

; Q = Avn

a) ab hier iterieren!b) ohne Iteration

108

I.2. Wellengeschwindigkeit

Grundaufgabe 3: ISo aus k bzw. kSt, Q, hn


Dh

v2n

2g

mit A = A(hn), vn = Q/A, Dh = Dh(A),

Re = vnDh/ν, λ = λ(Re, k/Dh) b)

Manning-Strickler: vn = kSt r2/3h I1/2

I =

(vn

kSt r2/3h

)2

mit A = A(hn), vn = Q/A, rh = rh(A) b)

I.2 Wellengeschwindigkeit

Durch geringes Eintauchen einer Stauwand in eine Gerinnestromung mit der Fließgeschwindigkeit v wird eine

Storung der Oberflache erzeugt. Stromaufwarts pflanzt sich eine Schwallwelle mit der Geschwindigkeit c−v fort

und stromabwarts eine Sunkwelle mit der Geschwindigkeit c+ v. Die zur Stromung relative Fortpflanzungsge-

schwindigkeit c kleiner Storungen kann nach den Formeln

allgemeiner Querschnitt c =

√gA

b(I.2)

Rechteckquerschnitt c =√g h (I.3)

berechnet werden, falls die folgende Voraussetzung zutrifft:

• Vertikale Beschleunigungen sind vernachlassigbar.

(d.h. Die Stromfaden haben vernachlassigbare Krummung.)

Diese Bedingung ist z.B. fur winderzeugte Wellen auf dem Meer, auf Flussen und Seen nicht erfullt. Die Fort-

pflanzungsgeschwindigkeit dieser Wellen ist auch von der Wellenlange abhangig und deutlich kleiner als nach

Gleichung (I.2). Die Wellengeschwindigkeit c kann aus einer Impulsbilanz im mitbewegten System hergeleitet

werden.

a) ab hier iterieren!b) ohne Iteration

109


√g h1 <

√g h2

Betrachtet man Schwall- und Sunkwellen in Gerinnen,

so sind die vertikalen Beschleunigungen sehr gering, und

die Wellengeschwindigkeit lasst sich aus Gl. (I.2) bzw.

(I.4) ermitteln. Allerdings fuhrt die unterschiedliche Was-

sertiefe im Wellenfrontbereich dort zu unterschiedlichen

Fortpflanzungsgeschwindigkeiten und demzufolge zu ei-

ner permanenten Oberflachenverformung. Wenn sich die

dargestellte Welle nach rechts bewegt, wird der Ab-

stand e vergroßert, d.h. eine Sunkwelle flacht sich ab.

Bei umgekehrter Bewegungsrichtung (relativ zur

Hauptstromung) wird sich der Abstand e verkleinern,

d.h. eine Schwallwelle steilt sich auf.

Fur die Geschwindigkeit relativ zum Ufer c+ v einer Welle sind vier Falle zu unterscheiden:

Schwallwelle, stromaufwarts

Sunkwelle, stromabwarts

Schwallwelle, stromabwarts

Sunkwelle, stromaufwarts

I.3 Stromen und Schießen, Grenzbedingungen

Anmerkung: Weil es hier nur um die Darstellung prinzipieller Zusammenhange geht, werden alle Ableitungen

am Rechteckquerschnitt durchgefuhrt, und α grundsatzlich gleich 1,0 gesetzt.

v = Q/A; mit A = bh folgt

v = q/h, mit q = Q/b (I.4)

Damit ist q immer der Abfluss pro Breitenmeter.

110

I.3. Stromen und Schießen, Grenzbedingungen

Die Betrachtungen dieses Abschnitts beziehen sich auf einen Fließquerschnitt an einer festgehaltenen Stelle des

Gerinnes. Gefalle (ISo, Iw, IE), Reibungsverlust, konvektive Beschleunigung etc. sind nur durch Vergleich be-

nachbarter Querschnitte erfassbar und wirken sich somit auf die hier angestrebten lokalen Beziehungen innerhalb

eines Querschnitts nicht aus.

Wir fuhren zunachst die folgenden Bezeichnungen ein:

h = Wassertiefe hE = Energiehohe

z = Sohlkote E = spezifische Energiehohe

v2

2g= Geschwindigkeitshohe

Fur stationare (zeitunabhangige) Stromung erhalt man fur die Energiehohe mit (I.4):

hE = z + h+v2

2g= z + h+

q2

2g h2

Die Sohlkote z stellt fur einen bestimmten Fließquerschnitt eine Konstante dar, sodass zweckmaßigerweise nur

die spezifische Energiehohe betrachtet wird:

E = h+q2

2g h2, mit q = Q/b (I.5)

Die Großen E, q und h, und aus ihnen abgeleitet auch v, stellen Zustandsgroßen dar, die den Fließzustand an

einem Fließquerschnitt beschreiben. Gleichung (I.5) stellt eine Beziehung zwischen ihnen her und ist demnach

eine Art Zustandsgleichung des Fließquerschnitts. Die Aussagen, die in dieser Gleichung enthalten sind, kann

man am besten erarbeiten, indem man sie untersucht

1.) fur q = const. ⇒ E = E(h)

2.) fur E = const. ⇒ q = q(h) .

111


I.3.1 Betrachtungen bei vorgegebenem

konstanten q

Die Funktion (I.5)

E = h+q2

2g h2

besitzt zwei Asymptoten:

h = 0 (E-Achse) und

E = h (1. Winkelhalbierende).

1. Folgerung: Eine Abflussmenge q kann bei gleicher spezifischer Energie mit zwei verschiedenen Wassertiefen

abgefuhrt werden (konjugierte Wassertiefen).

2. Folgerung: Eine Abflussmenge q kann nur abgefuhrt werden, wenn die spezifische Energie gleich oder großer

einer minimalen spezifischen Energie, der Grenzenergie, ist. Beim Abfluss im Grenzzustand konnen kleine

anderungen der spezifischen Energie verhaltnismaßig große anderungen im Wasserstand hervorrufen.

Wir betrachten nun speziell den Grenzzustand:

E = h+q2

2g h2(Gl. (I.5))

; Egr = hgr +q2

2g h2gr

(I.6)

Egr ist das Minimum von E(h) an der Stelle h = hgr .

dE

dh

∣∣∣∣hgr

= 0 ; 1− q2

gh3gr

= 0

; hgr = 3

√q2

gGrenztiefe (I.7)

Egr = hgr +q2

2g h2gr

(Gl. (I.6))

= hgr +h3gr

2g h2gr

(mit (I.7))

=3

2hgr

; hgr =2

3Egr Grenztiefe (I.8)

vgr =q

hgr=√

2g(Egr − hgr) (Gl. (I.6))

=√ghgr (mit (I.8))

; vgr =√ghgr (I.9)

112

I.3. Stromen und Schießen, Grenzbedingungen

Man vergleiche die Formeln (I.3) und (I.9).

3. Folgerung: Unter Grenzbedingungen ist die Fließgeschwindigkeit gleich der Wellengeschwindigkeit.

Der Abflussvorgang wird wie folgt definiert:

stromender Abfluss: v < vgr und h > hgr (I.10)

schießender Abfluss: v > vgr und h < hgr (I.11)

Bei stromendem Abfluss konnen sich Storungen stromaufwarts ausbreiten (c > v), bei schießendem Abfluss

dagegen nicht (c < v).

Der Abflussvorgang, ob stromend oder schießend, kann auch mit einer nach Froude 1 benannten dimensions-

losen Kennzahl definiert werden:

Fr =v√gh

;Fr < 1 stromend

Fr = 1 Grenzzustand

Fr > 1 schießend

(I.12)

Unter Beachtung von (I.9) und (I.10, I.11) lasst sich (I.12) unmittelbar ableiten.

I.3.2 Betrachtungen bei vorgegebenem

konstanten E

Aus Auflosung von (I.5) nach q

E = h+q2

2g h2

; q = h√

2g(E − h) (I.13)

4. Folgerung: Bei vorgegebener spezifischer Energie E kann nicht mehr als eine

maximale Wassermenge qmax abgefuhrt werden.

Aus (I.13) folgt q =√

2g√Eh2 − h3 und durch die Ableitung

dq

dh=

√2g

2· 1√

Eh2 − h3· (2Eh− 3h2) .

qmax erhalt man ausdq

dh= 0 ,

(erfullt, wenn die rechte innere Ableitung verschwindet)

(2Eh− 3h2) = h(2E − 3h) = 0

; h =2

3E (I.14)

1 William Froude(1846 - 1924), britischer Schiffsbauingenieur, entwickelte den ersten Schiffskanal zur Ermittlung des Schiffs-

widerstands und legte dadurch den Grundstein zum sog. hydraulischen Modellversuchswesen. Die nach ihm benannte Froude-Zahl

hat er allerdings selbst nicht gekannt.

113


Ein Vergleich von (I.14) mit (I.8) ergibt die

5. Folgerung: Der maximale Abfluss bei vorgegebener spezifischer Energie E findet unter Grenzbedingungen

statt, d.h. h = hgr und v = vgr .

Aus (I.13) und (I.14) folgt somit

qmax =

√8

27gE3 =

2

3E

√g

2

3E (I.15)

I.3.3 Bestimmung von h und v bei gegebener spezifischer Energie und Durchfluss

Bei Anderung der spezifischen Energie E infolge Sohlschwellen oder -vertiefungen bzw. des auf die Breite

bezogenen Durchflusses q besteht oft die Notwendigkeit, den neuen Fließzustand (h, v) aus den neuen Werten

(E, q) zu berechnen.

Zunachst ist immer mit Gl. (I.15) zu uberprufen, ob die spezifische Energie E ausreichend ist, den Durchfluss

q uberhaupt zu transportieren! Die beiden Moglichkeiten sind:

• q ≥ qmax: Die Natur”hilft sich selbst“ fur Fall, dass die Energie nicht ausreicht: Es wird ein Aufstau

von genau der Hohe erzeugt, dass die notwendige Energie gerade vorhanden ist. Der Abfluss findet also

unter Grenzbedingungen statt, siehe (I.7 – I.9). Es wird dann v =√ghgr und in Umkehrung von (I.8)

E ⇐ Egr = 32 hgr .

• q < qmax: Wenn E groß genug ist, fuhrt (I.5) auf eine kubische Gleichung fur die unbekannte Wassertiefe

h mit je einer Losung fur den schießenden bzw. stromenden Zustand sowie einer weiteren (physikalisch

unsinnigen), die immer negativ ist. Die Losung der kubischen Gleichung kann umgangen werden mittels

Umstellung von (I.5):

E = h+v2

2g= h+

q2

2g h2= h+

C

h2mit C =

q2

2g

Damit ergeben sich die Iterationsformeln:

Stromen:

Startwert: h(0) = E

Iteration: h(ν+1) ⇐ E − C

h2(ν)

(I.16)

(I.4) ; v = q/h

Schießen:

h(0) = 0

h(ν+1) ⇐

√C

E − h(ν)(I.17)

114

I.4. Fließwechsel bei Gefalleanderungen

I.3.4 Grenzgefalle

Vorgegeben sei ein Gerinne, in dem Querschnitt, Gefalle und Rauheit konstant sind. Fur einen vorgegebenen

Abfluss q wird sich bei genugender Lange des Gerinnes ein gleichformiger Abfluss (Normalabfluss) einstellen,

je nach Gefalle ist dieser Abfluss stromend oder schießend. Das Gefalle, bei dem der Abfluss gerade unter

Grenzbedingungen ablaufen wurde, ist das Grenzgefalle Igr.

Also gilt bei Normalabfluss:

ISo < Igr Normalabfluss ist stromend

ISo = Igr Normalabfluss unter Grenzbedingungen

ISo > Igr Normalabfluss ist schießend

Wir hatten dem E-h-Diagramm entnehmen konnen, dass eine Abflussmenge q bei gleicher spezifischer Energie

sowohl schießend als auch stromend abgefuhrt werden kann. Die obigen Aussagen uber das Gefalle ergeben nun

eine zusatzliche Bedingung, sodass der Fließzustand eindeutig bestimmt ist.

Wie im Abschnitt G.6 ausgefuhrt, kann das Gefalle nach den Formeln von Darcy-Weisbach oder Manning-

Strickler ermittelt werden:

ISo = ISo(h)

Igr = Igr(hgr)

I.4 Fließwechsel bei Gefalleanderungen

Wie in Abschnitt I.3 abgeleitet, kann ein vorgegebener Abfluss q sowohl stromend als auch schießend abgefuhrt

werden. Welcher Fließzustand sich einstellt, hangt vor allem von dem vorhandenen Gefalle ab. Es ergibt sich

also die Frage, wie bei einem Gefallewechsel der ubergang von einer Fließform in die andere vor sich geht.

Dazu ist folgendes zu beachten:

Schießen: v > c; Storungen pflanzen sich mit v + c und v − c nur stromabwarts fort. Damit ist eine

Beeinflussung des Wasserspiegels nach oberstrom nicht moglich. Der Wasserspiegel stellt sich

ganz unabhangig davon ein, welche Bedingungen unterstrom herrschen.

Stromen: v < c; Storungen pflanzen sich mit c − v stromaufwarts und mit c + v stromabwarts fort.

Deswegen ist eine Beeinflussung des Wasserspiegels nach oberstrom moglich, sodass sich

dieser in Abhangigkeit davon einstellt, welche Bedingungen unterstrom herrschen.

115


Im obigen Bild sei der Normalabfluss oberstrom des Sohlknicks stromend und unterstrom schießend. In ausrei-

chender Entfernung vom Knickpunkt stellt sich der jeweilige Normalabfluss ein. uber den Knickpunkt fließt das

Wasser mit der dem gegebenen Abfluss Q zugehorigen minimalen spezifischen Energie, d.h. es stellt sich dort

die Grenztiefe ein. Dadurch ist das Wasserspiegelprofil nach unterstrom (im Schießen) und nach oberstrom (im

Stromen) widerspruchsfrei festgelegt; der Ubergang vom Stromen zum Schießen erfolgt kontinuierlich.

Im zweiten Bild sei der Normalabfluss oberstrom des Sohlknicks schießend und unterstrom stromend. Da im

Schießen eine Beeinflussung des Wasserspiegels von unterstrom nicht moglich ist, wird der schießende Normal-

abfluss sich bis zum Gefalleknick erstrecken. Analog ist im Stromen eine Beeinflussung des Wasserspiegels von

oberstrom nicht moglich, sodass sich der stromende Normalabfluss bis zum Sohlknick erstreckt. Dort tritt also

ein Sprung der Wassertiefe auf; der Ubergang vom Schießen zum Stromen ist diskontinuierlich.

Diese Art des Fließens wird mit Wechselsprung bezeichnet. Man kann ihn leicht

erzeugen, indem man einen Teller waagerecht unter einen fallenden Wasser-

strahl halt, wobei sich auf dem Teller eine kreisformige stehende Welle, d.h. ein

Wechselsprung bildet.

Kennzeichnend fur den Wechselsprung ist der starke Verlust an Stromungsenergie, der in ihm stattfindet. Wir

wollen nun die grundsatzlichen Beziehungen fur einen Wechselsprung auf horizontaler Sohle ableiten.

116


Energiegleichung (Bernoulli):

h1 +v2

1

2g= h2 +

v22

2g+ hv

hv kann nicht vernachlassigt werden!

Impulssatz:

1

2ρgh2

1 + ρh1 v21 −

≈ 0

τ0l =1

2ρgh2

2 + ρh2 v22

bzw. S1 = S2 (Stutzkrafte)

;1

2gh2

1 −1

2gh2

2 = v22 h2 − v2

1 h1

Kontinuitatsgleichung:

Q = v1 h1b = v2 h2b ; v1 h1 = v2 h2 = q

Impulssatz und Kontinuitatsgleichung ergeben zwei Gleichungen fur die vier Unbekannten h1, v1, h2 und v2.

Sind diese bekannt, so kann aus der Energiegleichung noch die Verlusthohe hv berechnet werden.

Eine zweckmaßige Auflosung der Gleichungen sei exemplarisch fur den Fall durchgefuhrt, dass die Bedingungen

im Oberstrom (h1, v1) gegeben sind.

Mit h1 und v1 ist auch die Froudezahl gegeben: Fr21 =

v21

gh1.

117


Mit der Kontinuitatsgleichung lasst sich die Impulsgleichung umformen:

h21 − h2

2 =2

g(v2

2 h2 − v21 h1)

=2

gv2

1 h21

(1

h2− 1

h1

)

(h1 + h2)(h1 − h2) =2

gv2

1 h21

1

h1 h2(h1 − h2)

h1 + h2 = 2v2

1

gh1

h21

h2= 2Fr2

1

h21

h2(h2

h1

)2

+h2

h1− 2Fr2

1 = 0

h2

h1=

1

2

[+

(−)√

1 + 8Fr21 − 1

]; h2 (s. Fußnote)1 (I.18)

Wegen Vertauschbarkeit der Indizes in

den Ausgangsgleichungen gilt ebenso:

h1

h2=

1

2

[+√

1 + 8Fr22 − 1

]; h1

Aus der Kontinuitatsgleichung erhalt man die Geschwindigkeit v2 = v1h1

h2. Damit lasst sich schließlich der

Verlust an Stromungsenergie im Wechselsprung ermitteln. Der Energiesatz liefert:

hv = E1 − E2 =

(h1 +

v21

2g

)−(h2 +

v22

2g

)[m]

1 Das negative Vorzeichen der Wurzel ergibt keine Losung, da nur positive h-Werte in Betracht kommen.

118


I.4.1 Zusammenfassende Darstellung des Wechselsprungs

Fr1 = 1 . . . 1, 7 Welliger Sprung

Fr1 = 1, 7 . . . 2, 5 Schwacher Sprung

Fr1 = 2, 5 . . . 4, 5 Oszillierender Sprung

Fr1 = 4, 5 . . . 9, 0 Stetiger Sprung

Fr1 => 9, 0 Starker Sprung

hkhj

=1

2

[√1 + 8Fr2

j − 1

]

hv = E1 − E2 =(h2 − h1)3

4h1 h2

E2

E1=

(8Fr21 + 1)3/2 − 4Fr2

1 + 1

8Fr21 (2 + Fr2

1)

∆h

E1=

√1 + 8Fr2

1 − 3

Fr21 + 2

Der Energieverlust kann sehr hoch sein und uberschreitet die Wandreibungsverluste um ein Vielfaches. So werden

bei einer Froudeschen Zahl von 2 ca. 10% und bei Fr = 4 bereits ca. 40% der Stromungsenergie dissipiert.

Trotzdem sind die damit verbundenen Temperaturerhohungen sehr gering. Sie lassen sich berechnen, indem man

die zur Erwarmung notige Warmemenge, ρQc∆T (mit der spezifischen Warme c), dem Energieverlust ρghvQ

gleichsetzt. Daraus folgt ∆T = ghv/c. Mit c = 4200N m

kg Kund hv = 100 m (was sehr hoch, aber bei der

uberstromung einer großen Talsperre denkbar ist) folgt ∆T = 0, 23 K.

In diesen geringen Temperaturanderungen liegt die Ursache, dass bei hydrodynamischen Berechnungen zwar die

Energieverluste, nicht aber die daraus resultierenden Temperaturanderungen und die mit diesen verbundenen

Dichteanderungen berucksichtigt werden.

119


120

Kapitel J

Ausfluss und Uberfall

121

Kapitel J. Ausfluss und Uberfall

Die Bernoulli-Gleichung erlaubt die Berechnung einiger einfacher, fur die praktische Anwendung aber wich-

tiger Stromungen, von denen hier einige typische Falle behandelt werden.

J.1 Ausfluss durch kleine Offnung

Ausfluss aus einem Gefaß

Es ist

z1 − z2 = h

p1 = p2 = 0 (bzw . atm. Druck)

v1 =A2

A1v2 .

Mit v = v2

folgt aus der Bernoulli-Gleichung (F.25)

h =v2

2g

(1− A2

2

A21

).

Falls A1 A2 kann man die Sinkgeschwindigkeit v1 im Gefaß vernachlassigen und es gilt

(Formel von Toricelli):

v =√

2g h .

Die vorhandene Flussigkeitsreibung fuhrt zu einer verminderten Geschwindigkeit,

v = α√

2g h ,

wobei der Korrekturfaktor α je nach Große von h den Wert 0,96 bis 1,0

annimmt. Zur Berechnung des Ausflusses Q muss noch die Einschnurung

(Kontraktion) des Strahls berucksichtigt werden:

Q = µA√

2g h mit µ = αAe/A (J.1)

Ebenso kann der Ausfluss aus einem Staubecken berechnet werden, wenn

die Zustromgeschwindigkeit vernachlassigbar gering ist.

122

J.2. Ausfluss durch große Offnung

Wir betrachten wieder eine der Stromlinien, fur die die Bernoulli-Gleichung gilt:

Es ist z1 + h1 = z2 + h

p1 = ρg h1

p2 = 0

v1 =A2

A1v2

und v2 = v ,

sodass aus der Bernoulli-Gleichung (F.25) fur A1 A2 wieder die Formel von Toricelli folgt. Bei ver-

nachlassigter Zustromgeschwindigkeit v1 erfolgt also eine Umsetzung der in Hohe der Offnung gegebenen stati-

schen Druckhohe h in die Geschwindigkeitshohe v2/2g = h. Auch hier gilt Formel (J.1).

J.2 Ausfluss durch große Offnung

Wenn die Differenz h2 − h1 im Vergleich zu (h1 + h2)/2 groß ist, kann die statische Druckanderung ge-

genuber dem mittleren Druck nicht mehr vernachlassigt werden (vergl. Abschnitt J.1), d.h. v ist jetzt eine

Funktion von h.

v(h) =√

2g h

dQ = v(h) b(h) dh

Q =

h2∫h1

v(h) b(h) dh

Mit der Breite b = const. und unter Berucksichtigung

des Ausflussbeiwertes µ folgt

Q =2

3µb√

2g(h

3/22 − h3/2

1

)(J.2)

123


J.3 Uberfall uber schmalkroniges Wehr

Die Uberfallgleichung ergibt sich aus Abschnitt J.2

mit h1 = 0

h2 = hu .

; Q =2

3µ b hu

√2g hu (J.3)

Bei scharfkantigem, beluftetem Uberfall (siehe Skizze)

betragt µ ≈ 0, 64. uber dem Wehr ist die Wassertiefe

deutlich geringer als die Grenzwassertiefe, da wegen

der stark gekrummten Stromfaden keine hydrostatische

Druckverteilung vorhanden ist.

J.4 Uberfall uber breitkroniges Wehr

Bei geringer Krummung der Stromfaden kann eine Berechnung als offenes Gerinne erfolgen. Vernachlassigt man

Zustromgeschwindigkeit und Reibungsverluste, so lautet die konstante Energiehohe hE beim Rechteckquer-

schnitt der Breite b

hE = z + h+v2

2g= z + h+

Q2

2g b2 h2= z + E ,

wobei die Großen z, h und v von x abhangen.

Der Ubergang vom Stromen zum Schießen erfolgt uber der Wehrkrone, sodass sich dort die Grenzbedingung

einstellt:

hgr =2

3E =

2

3(hE − zKrone) =

2

3hu

und hgr =3

√Q2

g b2.

Daraus folgt Q =2

3

1√3b hu

√2g hu

124

J.5. Uberfallbeiwerte

Diese Formel ist mit (J.3) identisch, wenn der Wert 1/√

3 = 0, 58 wieder durch den Uberfallbeiwert µ ersetzt

wird:

Q =2

3µ b hu

√2g hu mit µ = 0, 58

J.5 Uberfallbeiwerte

a) b) c)

d) e) f)

nach1

Uberfallform Kronenausbildung µ

a) breit, scharfkantig, waagerecht . . . . . . . . . . . . . . . . 0, 49 . . . 0, 51

b) breit, gut abgerundete Kanten, waagerecht . . . . 0, 50 . . . 0, 55

c) breit,vollstandig abgerundet

z.B. mit ganz umgelegter Stauklappe . . . . . . . . . 0, 65 . . . 0, 73

d) scharfkantig, Uberfallstrahl beluftet . . . . . . . . . . . ≈ 0, 64

e) rundkronig, mit lotrechter Oberwasser-

und geneigter Unterwasserseite . . . . . . . . . . . . . . . 0, 73 . . . 0, 75

f) dachformig, gut ausgerundet . . . . . . . . . . . . . . . . . . bis 0,79

Man beachte die Analogie zu Formel J.1, denn wegen hgr = 23hu entspricht 2

3hu ziemlich genau der Aus-

trittsoffnung an der Wehrkrone. Der”Toricelli-Ausdruck“

√2g hu ist naturlich fur mittlere Verhaltnisse zu

groß und wird uber µ entsprechend vermindert.

1 Press, H.: Stauanlagen und Wasserkraftwerke, Teil II: Wehre, 2. Aufl. Berlin 1959, Wilh. Ernst & Sohn

125


126

Anhang I

Formeln zur Stromungsmechanik

Den Klausuren zum Kurs Stromungsmechanik wird je ein Exemplar dieser Formelsammlung beigelegt.

127

Anhang - Formelsammlung

Formeln zur Stromungsmechanik Stand: SoSe 2014

Zahlenwerte

Große Zeichen Wert Naherung fur Klausuren

Atmospharischer Normaldruck p0 103.000 Pa 100 kPa = 10 mWs

Erdbeschleunigung g 9,81 m/s2 10 m/s2

Stoffwerte (20 C, Normaldruck)

Wasser νW = 1, 0 · 10−6 m2/s ρW = 1000,0 kg/m3

Luft νL = 14, 9 · 10−6 m2/s ρL = 1,2 kg/m3

Erdol (Baku) νO = 2, 6 · 10−6 m2/s ρO = 824,0 kg/m3

(1 g/cm3 = 1 kg/l = 1 t/m3)

ν =η

ρ; τ = η

∂v

∂n

Hydrostatik

Lage des relativ ruhende Fluide

Druckmittelpunktes in bewegten Gefaßen

p = pu + ρ gh

Fx = pSAx

Fz = ρ gV

F = pSA (eben)

xD =IξηyS ·A

+ xS

yD =Iξ

yS ·A+ yS

pB = pA + ρB∫A

~f d~s

= pA + ρB∫A

(fxdx+ fydy + fzdz

)fr = ω2 · r

Schwimmstabilitat

hM =IxV− e

Erhaltungssatze

Massenerhaltung Impulserhaltung

m1 = m2

ρ1 v1A1 = ρ2 v2A2 bzw.

v1A1 = v2A2 (ρ = const.)∂vx∂x

+∂vy∂y

+∂vz∂z

= 0

S = puA+ βρ v2A = puA+ βρQv

~Sein + ~Saus + ~Fauβere + ~G = 0

Energieerhaltung Spezifische Energie (Gerinne)

z1 +p1

ρg+ α

v21

2g+

P

gm= z2 +

p2

ρg+ α

v22

2g+ hv E = h+

v2

2g

Energiehohe Iteration, wenn E und q gegeben:

hE = z +p

ρg+ α

v2

2gKonstante: C = q2/(2g)

Stromen: h ⇐ E − C/h2; h0 = E

Schießen: h ⇐√C/(E − h); h0 = 0

Zahlenangaben sind Naherungswerte zu Ubungszwecken ohne Anspruch auf Vollstandigkeit

128

Formeln zur Stromungsmechanik

Ortlich konzentrierte Verluste

hv = ζv2

2gBei ζ : v = Geschwindigkeit unmittelbar hinter der Storstelle

Bei ζ′ : v = Geschwindigkeit unmittelbar vor der Storstelle

1. Ein- und Auslaufverluste

ζ = 0, 5 ζ = 0, 25 ζ = 0, 1 ζ′ = 1, 0

2. Umlenkverluste

rm/d\β 15 30 60 90

2 0,03 0,06 0,12 0,14

5 0,03 0,05 0,08 0,11

10 0,03 0,05 0,07 0,11

\β 15 30 60 90

glatt 0,042 0,13 0,47 1,13

rauh 0,062 0,16 0,68 1,27

Wandreibungsverluste

Darcy-Weisbach

hv = λl

Dh

v2

2g; Dh =

4A

U; τ0 =

ρg

l

A

Uhv

Stahlrohre k [mm]

Leitungen aus gezogenem Stahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,01 bis 0,05

Geschweißte Rohre von handelsublicher Gute:

neu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,05 bis 0,10

nach langerem Gebrauch gereinigt . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,15 bis 0,20

maßig verrostet, leichte Verkrustung . . . . . . . . . . . . . . . 0,40

schwere Verkrustung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Genietete Leitungen mit Langs und Quernahten:

a) Blechdicke unter 5 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,65

b) Blechdicke 5 bis 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,95

c) Blechdicke uber 12 mm und 6-12 mm, wenn

Nietnahte mit Laschen verdeckt . . . . . . . . . . . . . . 3

d) Blechdicke uber 12 mm mit verlaschten Nahten . 5,5

e) in ungunstigem Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bis 5o

Gußeisenrohre

Neue Leitungen mit Flansch- oder Muffenverbindung . . . 0,15 bis 0,3

Gußeiserne Rohre:

inwendig bitumiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,12

neu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 bis 1

angerostet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 bis 1,5

verkrustet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 bis 3

Beton und Druckstollen

Rohrleitungen und Stollen in Stahlbeton

mit sorgfaltig handgeglattetem Verputz . . . . . . . . . . . . 0,01

neue Leitungen aus Schleuderbeton mit glattem Verputz 0,16

Betonrohre, Glattstrich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,3 bis 0,8

Druckstollen mit Zementverputz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 bis 1,6

Betonrohre, roh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 bis 3

Beton, schalungsrauh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l0

Sonstige Rohre

Asbest-Zement-Rohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,1

Holzrohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,2 bis 1

3. Verzweigungsverluste

3.1 scharfkantige Rohre (konst. Durchmesser)

β 90 90 45 45

Qa/Q ζ′a ζ′d ζ′a ζ′d0,2 0,88 -0,08 0,68 -0,06

0,4 0,89 -0,05 0,50 -0,04

0,6 0,95 0,07 0,38 0,07

0,8 1,10 0,21 0,35 0,20

β 90 90 45 45

Qa/Q ζa ζd ζa ζd

0,2 -0,40 0,17 -0,38 0,17

0,4 0,08 0,30 0,00 0,19

0,6 0,47 0,41 0,22 0,09

0,8 0,72 0,51 0,37 -0,17

3.2 symmetrische Hosenrohre mit Qa/Q = 0, 5

rm/d ζ

0,5 4,4

0,75 2,4

1,0 1,6

1,5 1,0

2,0 0,8

β ζ

10 0,4

30 1,2

45 2,8

60 4,0

90 5,6

Manning Strickler

v = kSt r2/3h I

1/2So ; rh =

A

U

Gerinne: kSt [m1/3/s] k [mm]

Glatte Holzgerinne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 0,60

Glatter unversehrter Zementputz,

glatter Beton mit hohem Zementgehalt 80 0,80

Hausteinquader, gut gefugte Klinker . . . . . . . 70 . . . 80 1,8 . . . 1,5

Alter Beton, Bruchsteinmauerwerk . . . . . . . . . 50 20

Erdkanale, regelmaßig, rein, ohne Geschiebe

mittlerer Kies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 75

Naturliche Flußbetten, mit Geroll

und Unregelmaßigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . 30 bis 400

Gebirgsflusse mit grobem Geroll, bei

ruhendem Geschiebe mit unverkleideter,

roher Felswand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 . . . 28 bis 1500

wie vor, bei in Bewegung befindlichem

Geschiebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 . . . 22 bis 3000

Stollen und Betonrohrleitungen:

Geschliffener Zementputz großter Glatte . . . 100 0,01

Betonstollen von weniger sorgfaltiger

Ausfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 . . . 80 10 . . . 0,16

Alte, aus Einzelrohren bestehende

Betonrohrleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3 . . . 1

Tabellen nach Schroder, H. und Press, R.: Hydromechanik im Wasserbau W. Ernst & Sohn, Berlin, Munchen 1966

129

Anhang - Formelsammlung

Reibungsbeiwert λ nach Colebrook-White

laminar (Re < 2330): λ =64

Re

turbulent (Re > 2330):1√λ⇐ −2 · log10

(2, 51

Re√λ

+k

3, 71 D

)(iterativ!)

Wechselsprung

h2

h1=

1

2

(√1 + 8Fr2

1 − 1

)Grenzzustand

hgr = 3

√q2

g=

2

3Egr

vgr =√ghgr

Spiegelliniengleichung

dh

ds= ISo

h3(s)− h3n

h3(s)− h3gr

Uberfall

Q =2

3µ b hu

√2g hu hu= Uberstauhohe

Form Kronenausbildung µ

breit, scharfkantig, waagerecht . . . . . . . . . . . . 0, 49 . . . 0, 51

breit, gut abgerundete Kanten, waagerecht 0, 50 . . . 0, 55

breit,vollstandig abgerundet

z.B. mit ganz umgelegter Stauklappe . . . . 0, 65 . . . 0, 73

scharfkantig, Uberfallstrahl beluftet . . . . . . . ≈ 0, 64

rundkronig, mit lotrechter Oberwasser-

und geneigter Unterwasserseite . . . . . . . . . . . 0, 73 . . . 0, 75

dachformig, gut ausgerundet . . . . . . . . . . . . . . bis 0,79

Uberfallbeiwerte nach Press, H.: Stauanlagen und Wasserkraftwerke, Teil II: Wehre, 2. Aufl. Berlin 1959, Wilh. Ernst & Sohn

130

Documents

Vorlesungsskript, Teil I