Upload
others
View
13
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia
Výpočet vnit řních sil I
přímý nosník, zatížení bodové
• Vnit řní síly - základní pojmy• Výpočet vnit řních sil p římého vodorovného nosníku
2
Vnit řní síly
• Prut v rovině – 3°volnosti
• Podepření - 3 vazby→ odebrány 3°volnosti, staticky ur čitá úloha
• Vnější zatížení a reakce – musí být v rovnováze → 3 podmínky rovnováhy, z nich 3 neznámé reakce
• Vnější zatížení a reakce se nazývají vnější síly
• Uvnitř nosníku působením vnějších sil vznikají vnitřní síly
• Obecnou výslednici vnitřních sil rozkládáme na tři složky: • v ose prutu - normálová síla [kN]• kolmo na osu prutu - posouvající síla [kN]• ohybový moment [kNm]
3
+z+y +x
a b
l
h
d
F2
F
1 2Osa prutu
P1 P2
1 2
Raz Rbz
Rax
a b
lStatické schéma:statický model nosné konstrukce
Průřez prutu
Výpočet nosníku v osové úlozePůsobí-li zatížení pouze v ose nosníku = ve směru normály průřezu, vzniká vnitřní síla – normálová síla
4
Normálová síla N [kN]
ba
F
+
ba
-
tah
tlak
FRax
Rax
NN
NN
N N osa nosníku
Normálová síla Nv libovolném průřezu xnosníku je rovna algebraickému součtu všech vnějších sil působících v ose nosníku zleva nebozprava od x.
Kladná normálová síla vyvozuje v průřezu x tah a působí ven z průřezu.
V opačném případě je normálová síla záporná a vyvozuje tlak.
+Vnější síly
5
Příklad – N síly
Řešení příkladu 4.2 Obr. 7.3. / str. 91
Zadání: sestrojit průběh normálových sil N
Průběh normálových sil po celé délce se znázorňuje graficky formou diagramu(grafu).
ba
b
a
F3 =16F1 =18
F3 =10
F2 =12
F1 =12 F2 =16Rax=18kN
Rbx=10kN
kladné normálové síly N se vynášejí nahoru, záporné normálové síly N se vynášejí dolů
6
Výpočet nosníku v p říčné úloze
Zatížení – síly kolmo na osu prutu a momentové zatížení.
l/2 l/2
P Rbx=0
RbzRaz
a b
M
V příčné úloze dva druhy vnitřních sil: posouvající síla a ohybový moment .
7
Posouvající síla Vv libovolném průřezu xnosníku je rovna algebraickému součtu všech vnějších sil působících kolmo k ose nosníku zleva nebozprava od x.
Kladná posouvající síla počítána zleva směřuje nahoru. V opačném případě je záporná.
Kladná posouvající síla počítána zprava směřuje dolů. V opačném případě je záporná.
Posouvající síla V [kN]
ba
VV
RbRa
F
VV-+
+V
V
osa nosníku
Vnější síly
8
Příklad – V síly
b
Rbz=18
a
Raz=344
F1=10kN F2=40kN F3=2kN
2 2
c d e2 2
b
Rbz=18
a
Raz=344
F1=10kN F2=40kN F3=2kN
2 2c d e
2 2
kladné posouvající síly Vse vynášejí nahoru,
záporné posouvající síly Vse vynášejí dolů
V
…… s podporami
…… bez podpor, jen síly
-10
24
-16
2
9
Ohybový moment M v libovolném průřezu x nosníku je roven algebraickému součtu všech statických momentů od všech vnějších sil zleva nebo zprava od x.
Kladný ohybový moment počítaný zleva otáčí po směru chodu hodinových ručiček. V opačném případě je záporný.
Kladný ohybový moment počítaný zprava otáčí proti směru chodu hodinových ručiček. V opačném případě je záporný.
Kladným ohybovým momentem jsou dolní vlákna tažena a horní tlačena (nosník je prohýbán směrem dolů). U záporného ohybového momentu je to naopak.
Ohybový moment M [kNm]
M M
b
Rb
a
Ra
FM M
b
Rb
a
Ra FM M
tah
tah
tlak
tlak
-
+
+
osa nosníku
10
Ohybový moment M [kNm] v libovolném průřezu x nosníku je roven algebr. součtu všech statických momentů od všech vnějších sil zleva nebo zprava od x. Má tendenci nosník deformovat – ohýbat . Jedná se o vnit řní sílu.
Ohybový moment verzus statický moment
M M+
osa nosníku
Statický moment Ms [kNm] v libovolném bodě nosníku je roven algebr. součtu všech statických momentů od všech vnějších sil (z obou stran). Má tendenci nosníkem otá čet. Jedná se o vnější účinek.
Ms
+osa nosníku
11
Příklad – ohybové momenty M
b
Rbz=18
a
Raz=344
F1=10kN F2=40kN F3=2kN
2 2
c d e2 2
b
Rbz=18
a
Raz=344
F1=10kN F2=40kN F3=2kN
2 2c d e
2 2
M
…… s podporami
…… bez podpor, jen síly
ohybové momenty M se vynášejí vždy na stranu tažených vláken (důležité),u nosníku nahoru záporné, dol ů kladné hodnoty
-20-4
28
12
M M
+V
V
N N
M M
-V
V
N N
Směr působení vnit řních sil
Kladné sm ěry vnit řních sil:
Záporné sm ěry vnit řních sil:
Kladné sm ěry vn ějších sil:Mezi vnější síly patří zatížení a reakce.Při jejich výpočtu využíváme znaménkovou konvenci pro vnější síly.
+
13
Podmínka rovnováhy elementu
N Nx1
x2F
Je-li nosná stavební konstrukce v rovnováze, musí být v rovnováze každá její část.
ba
Rax
→ je-li prut v rovnováze, musí být v rovnováze každý jeho bod.
→ každou dílčí část tělesa, které je v rovnováze, můžeme pomyslně osamostatnit a i tato osamostatněna část musí být v rovnováze.
Jeden ze základních principů stavební mechaniky:
14
Schwedlerovy vztahy -Diferenciální podmínka rovnováhy elementu v osové ú loze
N N+dNx1
x2 x
x dx
z
n
-N + (N+dN) + n.dx = 0
→ nx
N −=d
d
∑Fix = 0:
Výslednice všech sil působících na element musí být nulová:
15
Schwedlerovy vztahy –Diferenciální podmínky rovnováhy elementu v p říčné úloze
V
V+dV
M M+dM
x1
x2x
x dx
z
m
q
dQ = q.dx
-V + (V+dV) + q.dx = 0
-M + (M+dM) – V.dx + q.dx.dx/2 + m.dx = 0
→ qx
V −=d
d
→ mVx
M −=d
d
∑Fiz = 0:
Σ Mi,x2 = 0:
Výslednice všech sil působících na element musí být nulové:
pro m=0: Vx
M =d
d
Člen q.dx.dx/2 můžeme zanedbat (extrémně malý)
+
16
Závěry ze Schwedlerových vztah ů – extrémní hodnoty vnit řních sil
Závěry:( )
0d
d =x
xfExtrém funkce f(x):
0d
d =−= qx
V
0d
d == Vx
M
Extrém posouvajících sil Vje v průřezu, kde q=0
Extrém ohybových momentů M je v průřezu, kde V=0nebo mění znaménko
→
→
inte
grac
e
deriv
ace
M
V
-q
Derivačně – integra ční schéma
pro m=0:
qx
V −=d
d
Vx
M =d
d
Schwedlerovy vztahyJohann Wilhelm Schwedler (1823-1894)
významný německý inženýrn
x
N −=d
d.1 q
x
V −=d
d.2 V
x
M =d
d.3
3. Vztah odvozen pro m=0:
17
Extrém M může vzniknout:a) v podporových bodechb) v působištích osamělých sil
(znaménko V se mění skokem)c) pod spojitým zatížením v místě,
kde je V=0
Shrnutí - určení extrémních hodnot vnit řních sil
n = nebezpečný (kritický) průřez
0d
d == Vx
M Extrém M v průřezu, kde V=0 nebomění znaménko
→
1º
n
Mmax2º
+
+-
Mmax
M
Vn
1º
0º
+
+
-
18
Souvislost mezi spojitým p říčným zatížením a pr ůběhy vnit řních sil
Souvislost mezi spojitým příčným zatížením a průběhy vnitřních sil Obr. 7.23. / str. 103
qx
V −=d
d
d
dV
x
M =Závěry: d
d2
2
qx
M −=
inte
grac
e
deriv
ace
M
V
-q
1. řád funkce V(x) a M(x)→ typ čáry v diagramech
2. místa extrému u V(x) a M(x)
19
příklad 1 – normálové síly
a bc
Rax= 60,62kN
Raz= 23,33kN
Rbz = 11,67kN
P = 70 kN
Px = 60,62 kN
Pz = 35 kN60°
2 4
6
a bcRax
Px
N
Nac = - Rax
Ncb = - Rax + Px
Nbc = 0Nca = - Px
- 60,62
+ hodnoty kreslit nad osu
- 60,62 = Nca
+ +
+
+zleva:
zprava:
Ncb = 0
první index značí místo, ve kterém je síla určena (bod c), druhý index, zda se jedná o hodnotu vlevo
nebo vpravo od bodu (c)( tady Nca =-60,6kN, tedy hodnota těsně vlevo od bodu c (směrem k bodu a)
Značení vnit řní síly v p řípadě,že v jednom bod ě má 2 hodnoty- tady bod c(platí obecn ě pro všechny síly):
20
příklad 1 – posouvající síly
a bc
Raz Rbz
V
23,33
- 11,67 = Vcb
Pz = 35 kN Va=Vac = Raz
Vcb = Raz - Pz
Vb=Vbc = - Rbz
Vca = - Rbz + Pz
- 11,67
23,33 = Vca
+ hodnoty kreslit nad osu+ +
+
a bc
Rax= 60,62kN
Raz= 23,33kN Rbz = 11,67kN
P = 70 kN
Px = 60,62 kN
Pz = 35 kN
60°
2 4
6
+
zprava:
zleva:
+
V bodě c působí osamělé zatížení, proto počítat 2 hodnoty V síly – Vca a Vcb – silový skok
Dopsat stupně polynomů !!!
21
příklad 1 –posouvající síly–všechny rovnice zleva i zprava-porovnání
a bc
Raz Rbz
V
23,33
- 11,67 = Vcb
Pz = 35 kN Va=( Vac) = Raz
Vca = Raz
Vcb = Raz – Pz
Vb =( Vbc) = Raz – Pz
Vbc =( Vbc)= - Rbz
Vcb = - Rbz
Vca = - Rbz + Pz
Va =( Vac)= - Rbz + Pz
- 11,67
23,33 = Vca
+ +
+
a bc
Rax= 60,62kN
Raz= 23,33kN
Rbz = 11,67kN
P = 70 kN
Px = 60,62 kN
Pz = 35 kN
60°
2 4
6
+zprava:
zleva:
+
Výsledky výpočtů zleva i zprava jsou shodné, volíme
vždy variantu jednodušší.Není třeba uvádět všechny
rovnice. Zde jsou pouze pro názornost.
v bodě c počítat 2 hodnoty V síly– silový skok
22
zprava:Mb = 0
Mx = Rbz . x
Mc = Rbz . lbc
Mx = Rbz . x - Pz . (x - lbc)
Ma = Rbz . l - Pz . lac= 0
zleva:Ma = 0
Mx = Raz . x
Mc = Raz . lac
Mx = Raz . x - Pz . (x - lac)
Mb = Raz . l - Pz . lcb = 0
Raz
příklad 1 – ohybové momenty
a
bc
RbzPz = 35 kN
M
46,67 ( Raz . lac = Rbz . lbc )
oh.momenty vynášet na stranutažených vláken (dole + znaménko)
V
- 11,67
23,33
a bc
Raz Rbz
P = 70 kN
Px = 60,62 kN
Pz = 35 kN60°
lac = 2 lbc = 4
6
+
Rax
+
+
Dopsat stupně polynomů !!!
23
( )kNm33,231=⋅= azLd RM
příklad 1 – schéma vnitřních sil v bodě d
+Pz
Px
RbzRaz
Rax
Vd
Nd
Md ( )→−=−= kN6,60axLd RN
( )↑== kN33,23azL
d RV
a bc
Raz Rbz
P = 70 kN
Px = 60,6 kN
Pz = 35 kN
1 5
6
Rax
d
Pz
Px Rbz
Raz
Rax
Vd
Nd
Md
( )kNm33,2315 =⋅−⋅= zbzLd PRM
( )→−=−= kN6,60xPd PN
( )↓=+−= kN33,23zbzP
d PRV
24
( )kNm67,462 =⋅= azLc RM
příklad 1 – schéma vnitřních sil v bodě c vlevo od síly – výpočet zleva
+
Pz
PxRbz
Raz
Rax
Vca
Nca
Mc
( )→−=−= kN6,60axLca RN
( )↑== kN33,23azL
ca RV
a bc
Raz Rbz
P = 70 kN
Px = 60,6 kN
Pz = 35 kN
lac = 2 lbc = 4
6
Rax
V bodě c není osamělé momentové zatížení (není zde skoková změna v průběhu M),proto vnitřní moment v bodě c Mc nemusí mít značeni dvěma indexy.
V
Vcb
- 11,67
23,33 = Vca
+
25
( )kNm67,464 =⋅= bzLc RM
příklad 1 – schéma vnitřních sil v bodě c vlevo od síly – výpočet zprava
Pz
PxRbz
Raz
Rax
Vca
Nca
Mc
( )←−=−= kN6,60xPca PN
( )↓=+−= kN33,23zbzP
ca PRV
a bc
Raz Rbz
P = 70 kN
Px = 60,6 kN
Pz = 35 kN
lac = 2 lbc = 4
6
Rax
V bodě c není osamělé momentové zatížení (není zde skoková změna v průběhu M),proto vnitřní moment v bodě c Mc nemusí mít značeni dvěma indexy.
V
Vcb
- 11,67
23,33 = Vca
+
26
příklad 1 – schéma vnitřních sil v bodě c vpravo od síly – výpočet zleva
a bc
Raz Rbz
P = 70 kN
Px = 60,6 kN
Pz = 35 kN
lac = 2 lbc = 4
6
Rax +
Pz
Px Rbz
Raz
Rax
Vcb
NcbMc
0=+−= xaxLcb PRN
( )↓−=−= kN67,11zazL
cb PRV
( )kNm67,462 =⋅= azLc RM
V bodě c není osamělé momentové zatížení (není zde skoková změna v průběhu M),proto vnitřní moment v bodě c Mc nemusí mít značeni dvěma indexy.
V
Vcb=-11,67- 11,67
Vca+
27
příklad 1 – schéma vnitřních sil v bodě c vpravo od síly – výpočet zprava
a bc
Raz Rbz
P = 70 kN
Px = 60,6 kN
Pz = 35 kN
lac = 2 lbc = 4
6
Rax
Pz
Px
RbzRaz
Rax
Vcb
Ncb
Mc
0=PcbN
( )↑−=−= kN67,11bzP
cb RV
( )kNm67,464 =⋅= bzPc RM
V bodě c není osamělé momentové zatížení (není zde skoková změna v průběhu M),proto vnitřní moment v bodě c Mc nemusí mít značeni dvěma indexy.
V
- 11,67
Vca
+
Vcb=-11,67
28
Rax = 6,36kN
bRaz = 6,36kN
Ma = 31,82kNm 45°P = 9kNPz=6,36
Px=6,36
5
xP
M(x)P = - Pz . xL
-6,36
6,36
-31,82
M(x)L = Raz . xP - Ma
xL
a
N
V
M
a b
Raz=6,36kN
Ma=31,82kNm45°
P = 9kN
5
x
Rax=6,36kN
zadání
příklad 2
řešení
Zkontrolujte stupně polynomů !!!
1°
0°
29
příklad 3
M = 3kNm
6 39
a b
Raz = 0,333kN Rbz=0,333kN
-0,333
Mca =-2
Mcb =1
- Raz . x
-Raz.xL + M = Rbz.xP
czleva:
- úsek acMa = 0Mx = - Raz . xMca = - Raz . 6Mcb = - Raz . 6 + M
- úsek cbMx = - Raz . x + M Mb = - Raz . l + M = 0
zprava:- úsek cb
Mb = 0Mx = Rbz . xMcb = Rbz . 3Mca = Rbz . 3 – M
- úsek caMx = Rbz . x - M Mb = Rbz . l - M = 0
xL (zleva) x P (zprava)
v bodě c počítat 2 hodnoty momentu – momentový skok
= 0N
V
M
Zkontrolovat polynomy
0°
1°
1°
30
příklad 3 – schéma vnitřních sil v bodě c – výpočet zleva
M = 3kNm
6 3
a b
RazRbz
c
+
RazVc
Nc=0
Mca
Rbz
M
( )kNm26 −=⋅−= azLca RM
0=LcN
( )↓−=−= kN33,3azL
c RV
V bodě c není osamělé silové zatížení (není zde skoková změna v průběhu V ani N), proto vnitřní síly Vc i Nc v bodě c nemusí mít značeni dvěma indexy. U momentu nutno počítat 2 hodnoty.
Mca =-2
Mcb =1
M1°
1°
+
RazVc
Nc=0Mcb
Rbz
M
( )kNm16 =+⋅−= MRM azLcb
0=LcN
( )↓−=−= kN33,3azL
c RV
31
( )kNm23 −=−⋅= MRM bzPca
příklad 3 – schéma vnitřních sil v bodě c – výpočet zprava
M = 3kNm
6 3
a b
RazRbz
c
RazVc
Nc=0
Mca
Rbz
M0=P
cN
( )↑−=−= kN33,3bzP
c RV
Mca =-2
Mcb =1
M1°
1°
RazVc
Nc=0
Mcb
Rbz
M
( )kNm13 =⋅= bzPcb RM
0=PcN
( )↑−=−= kN33,3bzP
c RV
V bodě c není osamělé silové zatížení (není zde skoková změna v průběhu V ani N), proto vnitřní síly Vc i Nc v bodě c nemusí mít značeni dvěma indexy. U momentu nutno počítat 2 hodnoty.
32
Příklad 5
NM M
+V
V
N N
+
V
M
a bc
P = 10 kN
24
6
30°
-5,00
8,66
-17,32
4,33
Raz=4,33 Rbz=12,99Znaménková konvence
pro vnější síly
Znaménková konvencepro vnitřní síly
33
Okruhy problém ů k ústní části zkoušky
1. Výpočet vnitřních sil přímého nosníku
2. Diferenciální podmínky rovnováhy elementu přímého nosníku, Schwedlerovy vztahy, využití
3. Určení extrémních hodnot vnitřních sil
4. Značení vnitřních sil v místě působiště bodového zatížení