STAV INFORMANCH STUDI A KNIHOVNICTV FF UK V PRAZE Ji" Ivnek Vybran kapitoly z kdovn informac Verze 1.0 Praha %jen 2007 2Obsah1 Zakladykodovanateorieinformace 51.1 Vlastnosti kodu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Efektivn kodovan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Kody s identikac chyb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Prenos informac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5 Cvicen ke kapitole 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Zakladykryptograe 272.1 Vigen`erova substitucn sifra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.1 Kryptoanal yza s vyuzitm koincidenc . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.2 Kasiskeho kryptoanal yza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.3 Frekvencn kryptoanal yza pri znalosti periody . . . . . . . . . . . . . 362.1.4 Vernamova sifra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.1.5 Enigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2Sifrov y standard DES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.1 Expanze klcu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.2 Algoritmus sifrovan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.3 Vlastnosti DES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2.4Utoky proti DES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.2.5 Diferencialn kryptoanal yza DES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.2.6 Nov y sifrov y standard AES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.3Sifrovan s verejn ym klcem metoda RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.3.1 Podstata a pouzit RSA-kryptosystemu . . . . . . . . . . . . . . . . 622.3.2 Matematicke principy Eulerova veta . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.3.3 Generovan velk ych prvocsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.3.4 Urcen verejneho a soukromeho klce . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.3.5 Faktorizace a kryptoanal yza RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.4 Dals metody sifrovan s verejn ym klcem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.4.1 Die-Hellmanova metoda v ymeny klcu . . . . . . . . . . . . . . . . 712.4.2 Metoda zalozena na problemu batohu . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.5 Cvicen ke kapitole 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7634 OBSAHPredmluvaDoucebnhotextupropredmetKodovan informac jsouzahrnutyvybranemetodykodovan asifrovan, nanichz je demonstrovanapodstataresenproblemurychlehoazabezpecenehoprenosuzprav.Durazbylkladennaconejjednodussv yklad,kter ybyumoznilsamostatnezvladnutzakladnchal-goritmu a jejich aplikaci na mal ych prkladech. V nezbytne mre jsou uvedenytezpotrebnematematickepojmyav ysledky. Postupyjsoudemonstrovanynaukazkov ychprkladech. Nazaverkazdecasti jsoupripojenyprkladykprocvicovan.Casti jsourelativnesamostatne, tudzjelzestudovatvlibo-volnem porad. K podrobnejsmu studiu problematiky kodovan informac lzedoporucitmonograiJirousek, R. - Ivanek, J. - Masa, P. - Tousek, J. - Vanek, N.: Principydigitalnkomunikace.LEDA,Praha2006.Kapitola1ZakladykodovanateorieinformacePredmetemklasicketeoriekodovan jsouzobrazen konecn ychmnozinob-jektulibovolnehodruhunejcasteji domnozin retezcusymbolunektereabe-cedy. Hlavn aplikace jsou v oblasti prenosu informac. Kodovan ymi ob-jekty jsou v tomto prpade jednotlive zpravy z nejakeho informacnhozdroje. Zakodovanazpravajeprenasenainformacnmkanalemapoteopetdekodov ana.Typickou ulohou teorie kodovan je konstrukce optimalnho kodu.Kriteriumoptimality je pritomspojeno s minimalizac delky kodu prokodovane objekty. Podle potreby se jeste kladou ruzne pozadavky naprpustnost kodu, napr. existencejednoznacnehodekodovan, moznost de-tekceaopravychybpriprenosu,jednoduchostprocesukodovan,apod.Historickysekodyobjevilyvpodobekryptogramujizvestaroveku.Te-prvemodern dobavyt ycilacl zajistitpomoc kodovan rychloua ucelnouprepravuinformac prklademjeMorseuvtelegrafn kod(Morseovaabe-ceda). Ucelenou teorii komunikace (teorii informace) vybudoval koncemctyricat ychletminulehostoletC.Shannon.Vnasemv ykladu,kter yvychazzucebnicamonogra[1,11,4,13,20]sesoustredmenaformulacia resenzakladn ulohykonstrukceoptimalnhokodu. Popsemedvaalgoritmyprokonstrukci efektivnchkoduaukazemejejichvlastnosti. Zmnmeserovnezokodechodhalujcchaodstra nujcchchybypriprenosu.Nazaverukazemezakladnv ysledkyShannonovyteoriet ykajc semryinformace, kapacityinformacnchkanaluaexistenceefek-tivnchkodu.56 KAPITOLA1. ZAKLADYKODOVANIATEORIEINFORMACE1.1 VlastnostikoduDEFINICE1.1NechtA je abeceda symbolu o r prvcch. r-prvkovekodovanmnozinyXjekazdezobrazenK,ktereprirazujeprvkummnozinyXkonecne retezcesymboluzA(jednotlivekody).Jako prkladu si vsimneme Morseova kodovan latinske abecedy. Zde X={A, B, C, D, . . .}. Budeme-litecku chapat jako 0 acarku jako 1, muzemeMorseovokodovanzapsattakto:K(A) = 01, K(B) = 1000, . . .VeskutecnostijeovsemMorseovokodovantrojprvkovenakoncikazdehokodovehoekvivalentupsmenesemus vlozitmezera, kterajetretmsym-bolem.BezpouzitmezerbyzpravyvMorseoveabecedenebylomoznojed-noznacne dekodovat. NaprkladSOS bychom bez mezer mohli cst treba jakoVTB,EUTNI,IJS,apod.V dalsm se budeme zab yvat zejmena (dvojprvkov ym) kodovanm.Vetsinupoznatkuvsaklzesnadnozobecnitnar-prvkovekodovan.Jednoznacnost dekodovan je zakladn pozadavek, kter y na kody klademe.Z hlediska denice kodovan jako zobrazen ovsem nestac, aby toto zobrazenbylo proste (tuto vlastnost napr. Morseovo kodovan ma). Potrebna vlastnostkodusenaz yvaseparabilita.DEFINICE1.2KodovanKjeseparabiln (jednoznacnedekodovatelne),jestlizeprovsechnay1, . . . , ym, z1, . . . , zn Xplat:Jestlize kody K(y1), . . . , K(ym) zapsane za sebe vytvar stejny retezec jakoK(z1), . . . , K(zn),pakm = nayi= ziprovsechnai.Separabiln kodovan tedyprirazujeobjektumzXpodvouruznekodya zretezen kodu prirazen ych ruzn ymposloupnostemobjektu z Xjsounavzajemruzna.V dalsm se soustredme na kodovan do abecedy {0, 1}. Abychom se vy-hnulitrivialnmneuzitecn ymprpadum,budemepredpokladat,zekodovanjeprosteanedavanikdyprazdn y retezec.Nejdulezitejsmprpademseparabilnchkodovan jsoutakove, v nichzzadn y kod nen pocatkemjineho kodu. Takova kodovan jsou rovnezv ysledkemalgoritmuprokonstrukciefektivnchkodu,kterebudemepozdejipopisovat.DEFINICE1.3Kodovan Kma vlastnost prexu, jestlize zadny kodK(x)nenprodlouzenmjinehokoduK(y).1.1. VLASTNOSTIKODU 7VETA1.1(okodovansvlastnostprexu)Kazdek odovan,kteremavlastnostprexu,jeseparabiln.Prklad1.1Snadnosepresvedcme, zenasledujckodovanmnozinyX={x0, x1, . . . , x6}mavlastnostprexu:x0. . . 000x1. . . 001x2. . . 010x3. . . 0110x4. . . 0111x5. . . 1000x6. . . 1001Kodovan s vlastnost prexulzeprehledneznazornit vestromu, jehozuzly jsou vsechny pocatecn useky kodov ych slov a hrany vyjadruj pripojen0nebo1.Nasledujcobr.1.1zachycujestromkoduzpredchozhoprkladu.

0

1

00

0110000

001010

011100

01100111

10001001Obrazek1.1:StromkoduKorenemstromujeprazdn yretezec, listystromujsoujednotlivekody.Znekter ychuzluvystupujepouzejednahrana. Znamenato, zenaprkladslovo 11 nen pocatkem zadneho kodu existuj posloupnosti 0 a 1, ktere nicnemohou znamenat. Jestlize libovoln y retezec symbolu abecedy je pocatkemnejakeho kodu, pak kodovan v jistem smyslu pokr yva mnozinu vsech retezcusymboluzabecedy. Tatovlastnostkodovan sevsouvislosti soptimalizacukazedulezitou,aprotojibudemedenovat.8 KAPITOLA1. ZAKLADYKODOVANIATEORIEINFORMACEDEFINICE1.4Separabiln kodovan Kje uplne, jestlize ke kazdemuretezci wsymbolu kodove abecedy Abudexistuje x1 Xtak, ze wjepocatkemkoduK(x1), neboexistujex2 Xtak,zekodK(x2)jepocatkemretezcew.Kodovan s vlastnost prexuje uplne, jestlizevjehokodovemstromevychaz z kazdeho vnitrnho uzlu prave dve hrany.Upln y kod bychom dostalive v yse uvedenem prklade treba tak, ze bychom zkratili doln vetev stromutakto(vizobr.1.2).

0

1

00

01

1011000

001010

011

01100111Obrazek1.2:Strom uplnehokoduZajmavaje souvislost ruzn ychvlastnost kodovan s rozlozenmdelekkodu. Nejjednoduss je situace, kdy maj vsechny kody w stejnou delku d(w).DEFINICE1.5Kodovan Kmnoziny Xje stejnomerne, jestlize Kjeprostezobrazenaprovsechnax, y Xjed(K(x)) = d(K(y)) = d(cslodnazyvamedelkoustejnomernehokodovanK).Zatmjsme uvadeli prklady nestejnomerneho kodovan. Stejnomernekodovan maraduprednost (zejmenacoset ycespolehlivosti prenosu), aprotojecastouzvano.Prklademjetrebakodovanalfanumerick ychznakuapoveluvpoctacch.VETA1.2(ostejnomernemkodovan)JestlizemnozinaXmamprvku, pakprokazded log2mexistujestej-nomernekodovan mnozinyXsdelkoukodovan d. Kazdetakovekodovanmavlastnostprexu; uplnejepravetehdy,kdyzd = log2m.1.2. EFEKTIVNIKODOVANI 9Slozitejs je situace, kdyz kody nemaj stejnou delku kodovan je nestej-nomerne. Plat nasledujc tri vety (predchoz veta o stejnomernem kodovanjevlastnejejichdusledkemproprpadstejn ychdelekkodu).VETA1.3(KraftMcMillanovanerovnost)1. JestlizekodovanKmnozinyXjeseparabiln,potom

xX12d(K(x)) 12. JestlizeX= {x1, . . . , xm}ajsoudanaprirozenacslad1, . . . , dmta-kova, zem

i=112di 1pakexistujeseparabilnkodovanKmnozinyXskodydanychdelek:d(K(x1)) = d1, . . . , d(K(xm)) = dm.VETA1.4(existencekodovansvlastnostprexu)Ke kazdemu separabilnmu kodovan K(X) existuje kodovan K

(X) s vlast-nostprexutakove,zeobemajstejnerozlozendelekkodu,tj.provsechnax Xjed(K

(x)) = d(K(x)).VETA1.5(o uplnychkodovanch)Separabiln kodovan Kje uplnepravetehdy, kdyzmavlastnost prexuaplat:

xX12d(K(x))= 1.1.2 EfektivnkodovanVtomto clanku se budeme zab yvat konstrukc efektivnch kodovan zapredpokladu, ze je znamo statisticke rozlozen cetnosti objektukodovanemnozinyX(obecneji rozlozen pravdepodobnosti naX). Hlavn interpre-tace problemu efektivnho kodovan je v oblasti prenosu zprav. Zkoumase informacn zdroj, kter y produkuje posloupnost zprav (z mnoziny X).Predpokladame,zezpravyjsouprodukovanynasobenezavisle. Informacnkanal umoz nuje prenaset signaly 0,1 (jeden za jednotku casu). Jde o to naleztkodovan zpravtakove, abyprumernarychlostprenosuzpravinformacnmkanalem byla co nejvets, tj. prumern y pocet signalu pouzit ych na zakodovanzpravybylconejmens.10 KAPITOLA1. ZAKLADYKODOVANIATEORIEINFORMACEDEFINICE1.6NechtX= {x1, . . . , xm}aP=(p1, . . . , pm)jerozdelenpravdepodobnosti na X (tj. pi 0,

mi=1pi= 1). Kazdemu kodovanKmnoziny Xs rozdelenm pravdepodobnost Ppriradme stredn delku kodudp(K) =m

i=1pi d(K(xi)).KodovanK0mnozinyXnazvemeoptimaln prirozdelenpravdepodobnostiP,jestlizeK0mavlastnostprexuaprovsechnakodovanKmnozinyXsvlastnostprexuplat:dp(K0) dp(K).Optimaln kodovan tedyvybramezetrdyvsechkodovan svlastnostprexutak, abystredn delkakodubylaminimaln. Vsimneme si, ze prostejnomernekodovanSmnozinyX= {x1, . . . , xm}sdelkouslovdplatprilibovolnemrozdelenpravdepodobnosti:dp(S) =m

i=1pi d(K(xi)) =m

i=1pi d = dStredn delkastejnomernehokodovan tedynezavis narozdelen pravde-podobnosti nakodovanemnozine. Jestlizerozdelen pravdepodobnosti Pjerovnomerne, tj. pi=1mpro i =1, . . . , ma m=2d, bude stejnomernekodovan optimaln. Pri nerovnomernemrozlozen pravdepodobnost budeoptimaln kodovan vesmes nestejnomerne krats kodybudouprirazenyobjektumsvets pravdepodobnost v yskytuanaopakdels kodyobjektumsmenspravdepodobnostv yskytu.Drvenezseseznammesalgoritmick ymresenmproblemuoptimalnhokodovan,vyslovmevetyoexistenciavlastnostechoptimalnhokodovan.VETA1.6(oexistencioptimalnhokodovan)Pri libovolnem rozdelen pravdepodobnost P= (p1, . . . , pm) na mnozine X={x1, . . . , xm}existujeoptimalnkodovanKmnozinyX,dokoncetakove,zeje uplne. (Jestlizejsouvsechnypravdepodobnosti pinenulove, pakjekazdeoptimalnkodovan uplne.)Podle vety 1.6 se pri hledan optimalnho kodovan stac omezit na uplnakodovan svlastnost prexu. Vzhledemkvetam1.4a1.5jeproblemkon-strukce optimalnho kodovan ekvivalentn nasledujcmuoptimalizacnmuproblemu:Naleztkladnaprirozena cslad1, . . . , dmminimalizujchodnotum

i=1pi di1.2. EFEKTIVNIKODOVANI 11zapodmnkym

i=112di= 1.ProoptimalnstredndelkukoduplatodhadynalezeneC.Shannonem:VETA1.7(ooptimalnstredndelcekodu)Necht K0je optimaln kodovan na mnozineX= {x1, . . . , xm} pri rozdelenpravdepodobnostiP= (p1, . . . , pm).OznacmeH(X, P) = m

i=1pi log2pi(0 log2 0denujemejako0).PakH(X, P) dp(K0) H(X, P) + 1,pricemzdp(K0) = H(X, P)pravetehdy, kdyzexistuj prirozenacslad1, . . . , dmtakova,zepi=12diproi = 1, . . . , m.Poznamenejme, zecsluH(X, P) =

mi=1pi log2piserkaentropie(podrobneji sej budemezab yvatvcasti 1.4), optimaln kodovan seprotovzhledemvete1.7nekdynaz yvaentropicke.Nejznamejs algoritmy pro efektivn kodovan predlozili postupne C.Shannon(1948), D. Human(1952) aR. Fano(1961). Fanuvalgoritmusjeznichnejjednoduss,Shannonuvalgoritmusumoz nujenachazetkodovanlibovolne blzke optimu a konecne Humanuv algoritmus poskytuje vzdy op-timaln kodovan. Seznamme se s Fanov ymaHumanov ymalgoritmem.Kazd yalgoritmusslovnepopsemeapredvedemenastejnemprklade.Vyuzijeme pritomgrafoveho (stromoveho) znazornen upln ych kodusvlastnostprexu.Algoritmus1.1(Fanuvalgoritmus)Vstup: Mnozina X={x1, . . . , xm} s rozdelenmpravdepodobnost P =(p1, . . . , pm).V ystup: KodovanKFPostup: 1. Seradme prvky mnoziny Xdo posloupnosti (xi1, . . . , xim)podleklesajcpravdepodobnosti.12 KAPITOLA1. ZAKLADYKODOVANIATEORIEINFORMACE2. Ze vsech moznych rozdelen teto posloupnosti na dve casti(pocatecn X0a koncovou X1) vybereme to rozdelen, u nehoz jsousouctypravdepodobnostvX0aX1nejblze,tj.hodnota

xiX0pi

xiX1pijeminimaln. (Je-li takovychrozdelen vc, vezmemelibovolneznich.)Prvkum z casti X0pripseme symbol0 a prvkum z casti X1symbol1.3. Kazdou vzniklou cast, ktera obsahuje alespo n dva prvky, rozdelmepostupemzbodu2.aopetpripsemeprvkumpodlejejichumstensymbol 0nebo1.Procesopakujemetakdlouho,azsepuvodnpo-sloupnostrozdelnasamejednoprvkovecasti.4. Kazdemuprvkuxi XnakonecpriradmekodKF(xi) tvorenyposloupnostsymbolu,kterebylypostupneprvkuxipripsany.Prklad1.2ZadanoX= {x1, . . . , x7}srozdelenmpravdepodobnostiP= (0.12, 0.20, 0.11, 0.20, 0.09, 0.09, 0.19).Resenjezachycenonaobr.1.3.StredndelkasestavenehokodovanKFje2.80.Algoritmus1.2(Humanuvalgoritmus)Vstup: Mnozina X={x1, . . . , xm} s rozdelenmpravdepodobnost P =(p1, . . . , pm).V ystup: KodovanKHPostup: 1. Zprvkumnoziny Xvytvorme jednoprvkove skupiny S1={x1}, . . . , Sm= {xm} a sestavme soubor techto skupin{S1, . . . , Sm}srozdelenmpravdepodobnost(p1, . . . , pm).2. Nasledujckrokprovadmeopakovanedotedobyaztentosouborskupinzustanejednoclenny:Najdeme dve skupiny S

, S

se dvema nejnizsmi pravde-podobnostmi p

,p

. Prvkum skupiny S

pripseme symbol 0, prvkumskupinyS

symbol 1(pokudjizprvkymajpripsannejaky retezecvabecede {0, 1},pripisujemenovesymbolydopredu).SkupinyS

,S

potevyjmemezesouboruskupinanahradmejejejichsjedno-cenmS= S

S

spravdepodobnostp = p

+ p

.1.2. EFEKTIVNIKODOVANI 13

0

1

0001

1011010

011

100101110

111x2. . . 0, 2x4. . . 0, 2x7. . . 0, 19x1. . . 0, 12x3. . . 0, 11x5. . . 0, 09x6. . . 0, 090, 590, 410, 20, 390, 230, 180, 20, 190, 120, 110, 090, 09Obrazek1.3:PrkladkFanovualgoritmu3. KazdemuprvkuxiXpriradme slovo KH(xi), ktere vzniklopostupnympripisovanmsymbolu.StredndelkasestavenehokodovanKHje2.78.Hlavn rozdl mezi algoritmyFanaaHumanaspocvavlastne pouzevesmerupostupupribudovankodovehostromu.Fanuvalgoritmusbudujestrom od korene, kdezto Humanuv algoritmus zacna od koncov ych vrcholu.Ukazuje se, ze Humanuv algoritmus lepe vyuzva speciky daneho rozdelenpravdepodobnostadospejevzdykoptimalnmukodovan.VETA1.8(vlastnostiFanovaaHumanovaalgoritmu)ProkazdoumnozinuX= {x1, . . . , xm}akazdepravdepodobnostnrozdelenP =(p1, . . . , pm) se Fanuv algoritmus aHumanuv algoritmus zastav avydaj uplnakodovan svlastnost prexu. HumanuvalgoritmusvydavzdyoptimalnkodovanmnozinyXpripravdepodobnostnmrozdelenP.Fanuvalgoritmusvydavaoptimaln kodovan tezcasto, avsaknevzdy.Protiprklademjev yseuveden yprklad.Presvedcmeseotomvtabulce1.1, v nz jsou zachycena pro srovnan kodovan KF,KHa stejnomerne kodovanKS.14 KAPITOLA1. ZAKLADYKODOVANIATEORIEINFORMACEPrklad1.3

1`````11

10

````0

````110

100001010111001101111x1. . . 0, 12x2. . . 0, 2x3. . . 0, 11x4. . . 0, 2x5. . . 0, 09x6. . . 0, 09x7. . . 0, 19

0,23

0,40

0,18

0,37````````

0,60

1,00Obrazek1.4:PrkladkHumanovualgoritmu1.3 KodysidentikacchybVysoce efektivn kodovan (ve smysluprumerne delkykodu), ktera jsmeprobrali vpredchozmclanku, jsounev yhodnavprpade, ze pri prenosukodu dochaz k chybam. Rozvinula se proto teorie takov ych zpusobu kodovanadekodovan, ktereumoz nuj zjistovat, zedoslokchybepri prenosukodu(kodysdetekc chyb), nebodokonceurcit, kdeajakachybanastala(kodysopravovanmchyb).Nejjednodussmprklademkodusdetekcchybyjeparitnkontrola.Pa-ritn(napr.posledn)bitvn-bitovem retezcijenapl novanhodnotou0nebo1tak, abycelkov ypocet jednicekvretezci byl vzdysud y(usudeparitnkontroly; paritn kontrolesepocet jednicekdopl nujeparitnmbitemvzdynalich y). Totokodovan umoz nujeodhalit, zedoslo(behemuchovavan ciprenosu kodu) v poctaci ci v sti k jedne zamene nuly a jednicky, tj. k chybevjednombitu. Neposkytujevsakzadnouinformaci otom, vekterembituk chybe doslo; muze to dokonce b yt samotn y kontroln paritn bit. Dve chybynastalevjednomkodusemohoudopl novattak, zev ysledn y retezecbudeodpovdatparitnkontroleabudetakpovazovanzaspravn ykod.Pozname-nejme vsak, ze pravdepodobnost jedne bitove chyby v poctaci je tak mala, zepravdepodobnostsoucasnehov yskytudvoutakov ychchybvjednom retezcijezanedbatelna.Obecnerozlisujemechybynekolikadruhu:1. Zamena symbolu jeden ze symbolu je nahrazen jin ym symbolem z teze1.3. KODYSIDENTIFIKACICHYB 15Tabulka1.1:Srovnanstrednchdeleksestaven ychkodovanpiKFKHSx10,12 100 100 000x20,20 00 00 001x30,11 101 101 010x40,20 010 01 011x50,09 110 1100 100x60,09 111 1101 101x70,19 011 111 110stredndelka 2,80 2,78 3,00Tabulka1.2:DruhychybDruhchyby Urcenchyby V ysledn y retezecZamenasymbolu 0 1na2.mste 01011011 0na5.mste 0001001Vynechansymbolu 0na2.mste 0011011na5.mste 000101Vysunutsymbolu 0mezi2.a3.mstem 000011011mezi2.a3.mstem 00101101Prehozensymbolu na3.a4.mste 0010101kodoveabecedy.2. Vynechan symbolu jedenze symboluje vypusten, takze vznikneretezecdelkyojednotkukrats.3. Vsunutsymboluprednekter ysymbol retezcenebonajehokonecjepridandals symbol kodoveabecedy, takzevznikneslovoojednotkudels.4. Prehozensymbolunekteredvasousednsymbolysivymenmsto.Prklad1.4Proilustraci jsouvtabulce1.2uvedenaslova, kteravzniknouzeslova0001101vedvojkoveabecedenekterymichybamitechtoctyrdruhu.Teoriekodusdetekc aopravovanmchybjehloubeji rozpracovanaproprvn druhchyb(zamenasymbolu) vedvojkoveabecede. Zalozil ji vroce16 KAPITOLA1. ZAKLADYKODOVANIATEORIEINFORMACE1950 R. W. Hamming. V Hammingove kodovan jsou vsechny kodove retezcestejnedelkyn(stejnomernekodovan), pricemzn ksymboluslovaneseskutecnou informaci, zb yvajcch k symbolu slouz ke kontrole. V yse zmnenaparitn kontrolavpoctacchje Hamminguvkodpro k =1. Seznammesesezakladnmi poznatkytetoteorieanakonci clankuukazemeprkladHammingova kodu pro n = 7 a k = 3, kter y opravuje jednu zamenu symbolu.Nejprve budeme presne denovat, co se rozum poddetekc a opra-vovanmchyb.DEFINICE1.7Pro kazdy n-bitovy retezec w a kazde prirozene s oznacmeChs(w)mnozinuvsechretezcu, kterevzniknouzwponejvyseszamenachsymbolu; prokazdoumnozinuretezcuWpakoznacmeChs(W) sjednocenvsechmnozinChs(w)prow W.StejnomernekodovanKumoz nuje1. detekci s chyb, jestlize provsechnax, yX, x =y plat K(y) / ChS(K(x)),tj.nejvyseszamenamisymboluvlibovolnemkoduprvkuzXnelzeobdrzetjiny retezec,kteryjekodemjinehoprvkuzX;2. opraven schyb, jestlizeprovsechnax, y X, x =yjeChs(K(x)) Chs(K(y)) = , tj. nejvyseszamenami symboluvlibovolnychdvoukodovych retezcchnelzeobdrzetstejny retezec.Paritn kontrolaje prklademkoduumoz nujchodetekci jedne chyby.Jedinouzamenousymboluvretezci, kter yvyhovujeparitn kontroletotizvzdydostaneme retezec,kter yjnevyhovuje,nentedykodov ym.Jestlize stejnomerne kodovan Kumoz nuje opraven s chyb, muzeme teo-reticky snadno sestrojit prslusne dekodovac zobrazen takove, ze pro retezecujeD(u) =xpravetehdy, kdyzu Chs(K(x)). Totozobrazen Dtedydekodujespravnexivprpade, zepriprenosuprslusnehokodoveho retezceK(x)dosloknejv yseschybam(zamenamsymbolu).Nyn uvedeme zakladn pojemHammingnovy teorie, kter y vystihujevztahretezcuz hlediskamoznosti preveden jednohonadruh yzamenamisymbolu.DEFINICE1.8Jsou-liv, w retezcedelkyn,pakpocetmst,nakterychsev, wod sebe lis, nazyvame Hammingova vzdalenost v, wa znacme hn(v, w).Prklad1.5Hammingova vzdalenost mezi 01010 a 00111 je 3, mezi 000000a111111je6.Poznamenejme, zeprokazdenjehn(v, w) n.1.3. KODYSIDENTIFIKACICHYB 17GeometrickylzeHammingovuvzdalenostznazornitpomoc n-rozmernekrychle, jejzvrcholyjsouvhodneoznacenyn-bitov ymi retezci. Naobrazku1.5jsouzachycenyprpadyn=2an=3. Hammingovavzdalenostmezidveman-bitov ymi retezci jerovnaminimalnmupoctuhran, kterespojujprslusnevrcholyn-rozmernekrychle.Naobrazku1.5seotompron = 2, 3snadnopresvedcme.00 1001 11000 100001 101010 110011 111

Obrazek1.5:HammingovavzdalenostVETA1.9(oHammingovemetrice)Hammingovavzdalenosthnjemetrikanamnozinevsechn-bitovymi retezcu,tj.platproni:1. hn(u, v) = 0pravetehdy,kdyzu = w.2. hn(u, v) = hn(v, u).3. hn(u, v) hn(u, w) + hn(w, v).V metrickem prostoru (mnozine s metrikou) muzeme mluvit o okol bodus ruzn ym polomerem. Pro Hammingovu metriku plat, ze okol bodu (retezce)w o polomeru s je prave mnozina Chs(w) retezcu, ktere z w vzniknou nejv yseszamenamisymbolu.Odtudjizplynenasledujcveta.VETA1.10(podmnkyprodetekciaopravovanchyb)Prodane stejnomerne kodovan KmnozinyXdelkynurcme minimalnHammingovuvzdalenosthn(K) = min{hn(K(x), K(y)); x, y X, x = y}.Potomplat:18 KAPITOLA1. ZAKLADYKODOVANIATEORIEINFORMACE1. Kumoz nujedetekcischybpravetehdy,kdyzs hn(K) 1;2. Kumoz nujeopravenschybpravetehdy,kdyzs 12(hn(K) 1)..Prklad1.6Probereme kod K73(kodovan libovolne 16-ti prvkove mnoziny).JednaseoHamminguvkodpron=7ak=3,tj.vlastnkodovanprovadprvn4symboly,zbyvajc3symbolyslouzkekontrole.x1. . .0000000x2. . .0001011x3. . .0010101x4. . .0011110x5. . .0100110x6. . .0101101x7. . .0110011x8. . .0111000x9. . .1000111x10. . .1001100x11. . .1010010x12. . .1011001x13. . .1100001x14. . .1101010x15. . .1110100x16. . .1111111Nejdrvevypoctemeh7(K73) = min{h7(v, w); v, w K73, v = w} = 3,Totokodovan tedyumoz nujepodlevety1.10detekci dvouaopravovanjednechyby.Vsimnemesinaprkladkodoveho retezce1100001apredstavmesi, ze pri prenosu doslo k chybe na druhem mste byl prijat retezec 1000001.Dekodovan muzeme v tomto jednoduchem prpade snadno provest tak, ze na-jdemekodovy retezec,kteryjevesmysluHammingovyvzdalenostiprijatemunejblizs. Ukaze se, ze je to1100001 (vzdalenost je 1). Podobne bychom treba1111011 i 1110111 dekodovali jako 1111111 (presneji receno jako prvekkodovanemnozinystmtokodem).Sestrojit kody pro detekci nebo opraven zadaneho poctu chyb nen jedno-duche. V yznamnou metodou konstrukce techto kodu je linearn algebra apli-kovana na dvojprvkovou mnozinu {0, 1} se sctanm modulo 2 (jde vlastneobitovouoperaci XOR, budemeji znacit )aobvykl ymnasobenm. Mezi1.4. PRENOSINFORMACI 19n-bitov ymiretezci setytooperaceprovadej pobitech. Linearn podpro-storytohotolinearnhoprostorun-bitov ych retezcusepaknaz yvajlinearnkody. Napr. HamminguvkodzPrkladu1.6jelinearn (soucetkazd ychdvoukodov ych retezcujeopetkodov y retezec).Slinearnmikodylzetaktopracovat bezn ymi algebraick ymi prostredky. Kodovan a dekodovan (detekceaopravachyb)serealizujepomocspecialnchmatic.1.4 PrenosinformacV tomto clanku se budeme zab yvat hlavn oblast aplikace teorie kodovan komunikacnmisystemyproprenosinformac.Matematickouteoriikomuni-kace(zvanoutezteorieinformace)predlozilvroce1948C.Shannon.Dulezite je upresnit, v jakem smyslu budeme pouzvat pojmy komunikaceainformace.Rozlisujsetri urovnekomunikacnchproblemu:technicka, t ykajc sepresnehoarychlehoprenosuformalneupravene(symbolickyzapsane)zpravy;semanticka,t ykajcseprenosuzam yslenehov yznamuzpravy;pragmaticka,t ykajcseuzitecnostizpravyproprjemcenebodopadujejhoprijetnajehochovan.Matematicka teorie komunikace se zab yva technickou urovn komunikace.Zpravy jsou studovany z hlediska pravdepodobnosti jejich v yskytu, ne z hle-diskajejichsmyslu,v yznamu,verohodnostiaefektu.Informacnzdroj- -Informacnkanalprjemce6Zdrojsumukodovanzpravdekod.zpravrusenObrazek1.6:SchemakomunikacnhosystemuObecneschemakomunikacnhosystemujenaznacenonaobr.1.6.Zakladnmproblememteoriekomunikacejenavrhpostupukodovan adekodov antak,abybylmaximalizovanrozsahinformacprenositeln ychko-munikacnm systemem, specialne za prtomnosti sumu. Shannonovy v ysledky20 KAPITOLA1. ZAKLADYKODOVANIATEORIEINFORMACEukazuj zavislost mnozstv arychlosti prenosuinformac navydatnosti in-formacnho zdroje a kapacite informacnho kanalu. Abychom mohli formulo-vat (alespo n zjednodusene) zakladn vety teorie komunikace, musme nejdrvedenovatpojmymrainformaceobsazenavezprave, entropieinformacnhozdrojeakapacityinformacnhokanalu.Numerickamramnozstv informaceobsazenevkonkretn zpravemusb yt funkc pravdepodobnosti v yskytu teto zpravy (nebot z hlediska teorie ko-munikacenenkromepravdepodobnostiv yskytuoobsahuzpravynicjinehoznamo). Intuitivnejeprirozenapredstava, zeprijet menepravdepodobnezpravy prinese vce informace. Opravnene je tez ocekavat, ze mnozstv infor-mace obsazene ve dvou na sobe nezavisl ych zpravach je souctem mnozstv in-formac obsazen ych v kazde z nich. Jestlize budeme navc jeste pozadovat, abymrainformacevjistezprave(zpravevyskytujc sespravdepodobnost 1)byla nulova a zavislost mry informace na pravdepodobnosti v yskytu zpravybyla spojita, zustanou jako vyhovujc pro mru informace pouze logaritmickefunkce.Ukazujetonasledujcveta.VETA1.11(oHartley-Shannonoveformuli)Nechtfjerealnafunkcede-novananaintervalu(0, 1]stemitovlastnostmi:1. fjeklesajc,2. f(p1 p2) = f(p1) + f(p2),3. f(1) = 0,4. fjespojita.Potomf(p) = c logap,kdea > 1,c > 0.Vkonkretn denici mry informace byly nakonec prijaty parametrya =2, c =1. Odpovdatopozadavku, abymrainformace obsazene vezprave, ktera ma pravdepodobnost v yskytu12byla jednotkova. Pro tuto jed-notku informace se pak pouzva oznacen 1 bit (binary digit). Mru informacebudemedenovatprmovsouvislostisinformacnmzdrojem.DEFINICE1.9Informacnzdroj (X, P)jekonecnamnozinazpravX={x1, . . . , xm}srozdelenmpravdepodobnostiP= (p1, . . . , pm).MrainformaceI(x) zpravyx Xspravdepodobnost pjedenovanajakoI(x) = log2p.Stredn mrainformace(entropie)H(X, P)informacnhozdroje(X, P)jevazenyprumermerinformacevsechzpravzdroje:H(X, P) = m

i=1pi log2pi.1.4. PRENOSINFORMACI 21Tabulka1.3:Prkladprov ypocetmryinformaceaentropie(X, P) pilog2pipi log2pix10,12 3,0592 0,3671x20,20 2,3222 0,4644x30,11 3,1847 0,3503x40,20 2,3222 0,4644x50,09 3,4743 0,3127x60,09 3,4743 0,3127x70,19 2,3962 0,4533H(X, P) = 2,7269Prklad1.7Naukazkuvypoctememruinformaceaentropieprorozdelenpravdepodobnosti,ktereznamezprkladu1.2a1.3.Zadani resenprkladuzapsemevtabulce1.3.Uvedena denice informacnho zdroje odpovda nejjednodussmu prpadu,kdy jsou zdrojem produkovany v diskretnm case zpravy z konecne mnoziny,pricemzpravdepodobnostv yskytukazdezpravysenemenaniscasem,anivzavislosti na v yskytechjin ychzprav. Obecnejs denice vsakvedoukeznacnemuzkomplikovanvsech uvah.Denice stredn mry informace pochaz od Shannona. Vychaz z chapanmryinformace jakonahodne velicinynamnozine zpravX. Stredn mrainformacejepakstredn hodnotatetodiskretn nahodneveliciny. Strednmruinformaceinformacnhozdrojelzezavest takeaxiomaticky, podobnejako u mry informace. Samotnou mru informace zpravy v takovem prpadenentrebazavadet.Termn entropie, kter y se pro stredn mru informace casto pouzva,je prevzat z klasicke termodynamiky, kde entropie popisuje stupe n neu-sporadanosti vsystemu. Komunikacn entropievtomtosmyslumer nejis-totuspojenousinformacnmzdrojempredtm, nezjeprijatazprava. Tatonejistotajenejvetstehdy,kdyzvsechnyzpravyjsoustejneocekavane,majstejnoupravdepodobnost.Pro takove rovnomerne rozdelen pravdepodobnosti v yskytu m zprav, kdekazdam apravdepodobnost1m,jeentropierovna:m

i=11m log21m= log21m= log2m.22 KAPITOLA1. ZAKLADYKODOVANIATEORIEINFORMACEVETA1.12(omaximalnentropii)Je-li(X, P)informacnzdrojomruznychzpravach,pak0 H(X, P) log2m,tj.log2mjemaximalnentropieinformacnhozdrojeomzpravach.Maximaln entropie informacnho zdroje typu ano/ne se dvemamozn ymizpravamijetedyrovna1bitu.Maximasenab yvavprpade,kdyobemoznostimajstejnoupravdepodobnost12.Casto se zavad dals pojmy odvozene z pojmu entropie. Relativn entropieHr(X, P) je denovana jako podl skutecne entropie (stredn mry informace)kmaximalnmozne,tj.proinformacnzdrojsmzpravamiHr(X, P) =H(X, P)log2m.Potompodlevety1.12je0 Hr(X, P) 1. Rozdl 1 Hr(X, P)b yvanaz yvanredundanceinformacnhozdroje.Prklad1.8Pri hodnotach z vyse uvedeneho zadan (tab. 1.3 dostavamehodnoturedundanceinformacnhozdrojerovnu1 Hr(X, P) = 1 0.9713 =0.0287.Informacn zdroj (X, P) produkuje v case posloupnost zprav z X.Prorozdelen pravdepodobnosti produkovan ychposloupnost plat obdobazakonavelk ychcsel: Klibovolnemalemu>0existujetakoveprirozenecslon(), zeprovsechnan n()jemoznomnozinuvsechposloupnostzpravdelkynrozdelitnadve casti:na mnozinu asi 2nH(X,P)dulezit ych posloupnost, ktere majvsechnypribliznetutezpravdepodobnostv yskytuadohromadymajpravdepodobnostv yskytualespo n1 ;na zanedbateln y zbytek nedulezit ych posloupnost, ktere maj dohro-madypravdepodobnostmensnez.Presnou, ale nepruhlednouformulaci tohototvrzen prinas nasledujcveta.VETA1.13(Shannon-McMillanovavetaorozdelenprodukovanychslov)Necht(X, P)jeinformacnzdroj.Potomklibovolnemurealnemu > 0exis-tujen()takove, zeprovsechnaprirozenan n()jeP_____y1. . . yn Xn;1nn

j=1log2P(yj) + H(X, P) _____< .1.4. PRENOSINFORMACI 23Informacnkanal jefyzikalnmediumproprenossignalu.Kanalprijmavstupn signaly a vydava v ystupn signaly. Budeme predpokladat, ze navstupukanal prijmaanav ystupuvydavapravensignaluvcasovejed-notceodpovdajc jednezprave. Videaln situaci jsouvstupn av ystupnsignal vzdytotozne, aleveskutecnosti jetakrkavzdyprtomensum, kter ymuzezpusobitnav ystupuchybu.Prtomnost sumupri prenosuinformacnmkanalemje vjednodussmprpade charakterizovanamatic pravdepodobnost prechodumezi signalyna vstupu a v ystupu. Pro kazd y signal je v n uvedeno rozdelenpravdepodobnostiv yskyturuzn ychsignalunav ystupu,jestlizetentosignalbylnavstupu.Podobne jako jsme cselne charakterizovali vydatnost informacnhozdroje,lzecharakterizovatprenosovouschopnostinformacnhokanalu.Tutokapacituinformacnhokanalujemoznodenovatruzn ymizpusoby:pomocmaximalnhomnozstvinformace,kterejeschopenprenestzacasovoujednotku;pomoc maximaln stredn mry informace informacnch zdroju, jejichzzpr avyjekanalschopenspolehliveprenaset;pomocpoctuspolehliveprenositeln ychposloupnost.Pro informacn kanaly, s nimiz se v praxi setkavame, vedoutyto triprstupykestejnehodnotekapacitykanalu.Informacn kanalyajejichkapacitunebudeme presne denovat ve vsobecnosti, alesoustredmeseprojednoduchostnanejjednoduss prpadin-formacnho kanalu, kter y prenas signaly 0,1; kazd y z nich je schopen prenestve stejnem case a prpadne rusen se projevuje stejne pro oba signaly (syme-trie).DEFINICE1.10Binarn informacn kanal s pravdepodobnost chyby pprenas signaly 0,1 se sumem, ktery je charakterizovan touto maticpravdepodobnostiprechodu:0 10 1 p p1 p 1 pKapacitabinarnhokanaluspravdepodobnostchybypjepakurcenatakto:C(p) = 1 + p log2p + (1 p) log2(1 p).24 KAPITOLA1. ZAKLADYKODOVANIATEORIEINFORMACETatodenicezahrnujeiprpadbinarnhoinformacnhokanalubez sumuprop = 0dostanemekapacituC(0) = 1.Druh yextremnprpadnastane,kdyzp=12(spravn yprenosjestejnepravdepodobn yjakochybn y, v ystupjezcelanezavisl ynavstupu). Dosazenmdovzorcezjistme, zeC(12)=0,tj. kanal paknemazadnoukapacitu. Vostatnchprpadechlez kapacitabinarnhokanalumezi0a1,napr.C(0.1) = 1 + 0.1 log2 0.1 + 0.9 log2 0.9 = 0.531.Nynjizmuzemeprikrocitkformalnmupopisujistetrdyjednoduch ychkomunikacnchsystemu.Vezjednodusenempojetkomunikacnhosystemubudemepredpokladat,ze informacn zdroj vysla zpravy v pravideln ychcasov ych intervalech anezavislenapredchozchvyslan ychzpravach.Denici kodovan zpravzobecnme proprpadkomunikacnchsystemutakto: Msto kodovan jedne zpravy budeme uvazovat o kodovan cel ych sek-venc zprav. Prostezobrazen, kterekazdeposloupnosti kzpravprirazujeretezecsymbolu0/1delkyd,budemenaz yvat(k, d)-kodovan.DEFINICE1.11Jednoduch ybinarnkomunikacnsystemjectverice:informacn zdroj (X, P), ktery v pravidelnych casovych intervalech pro-dukuje nezavisle zpravy z mnoziny zprav X= {x1, . . . , xm} s rozdelenmpravdepodobnostiP= (p1, . . . , pm);(k, d) kodovan, kterek-ticmposobejdoucchzpravprirazujepo-sloupnostsignalu0/1delkyd;binarn informacn kanal s pravdepodobnost chyby p, ktery zadobuvyslanjednezpravyprenesensignalu0/1;dekodovaczobrazen.Pro dan y komunikacn system lze na zaklade pravdepodobnosti chyby in-formacnho kanalu, rozdelen pravdepodobnosti zprav a vlastnost pouzitehokodovan urcit pravdepodobnost chybneho prenosu zprav tmto komunikacnmsystemem, tj. pravdepodobnost, zezpravaprijatapodekodovan v ystupuzinformacnhokanalusebudelisitodzpravy, kterabylanavstupkanalupuvodnezakodovana.O tom, zda lze pravdepodobnost chyby pri prenosu minimalizovatvhodn ymkodovanm,seteoretickyvyjadrujenasledujcveta:1.5. CVICENIKEKAPITOLE1 25VETA1.14(Shannonovaprmaaobracenavetaomoznostiprenosu)Nechtje dan informacn zdroj (X, P) se stredn mrou informace H =H(X, P) abinarn informacn kanal skapacitouC=C(p), kteryzadobuvyslanjednezpravyprenesensignalu0/1.Potomplat:1. Jestlizen HC,pakkekazdezadanelibovolnemalechybeprenosuexis-tuje(k, d)kodovanadekodovantak, zevzniklykomunikacnsystemmapravdepodobnostchybnehoprenosuzpravmensnezjezadana.2. Jestlize n a

k1 + a

k, a

k1> a

kjsouresitelnevelicesnadno, dokoncevlinearnmcase: dobatohupostupnepridavamevzdyprvnpredmetvezb yvajc rade,kter ysejestevejde.Prklad2.20Jednoduchymprklademsuperklesajcposloupnostidelkykjea

l=2kl, l=1, . . . , k.Resenm ulohybatohuproobjemS 2k 1jepakbinarnzapiscslaS.Napr.prok = 6je(a

1, . . . , a

k) = (32, 16, 8, 4, 2, 1)superklesajcposloupnostatrebaproS= 52maprslusna ulohabatohu52 = x1 32 + x2 16 + x3 8 + x4 4 + x5 2 + x6 1resenx1x2x3x4x5x6= 110100.Myslenka postupusifrovan na zaklade problemubatohutedy tkv vtom, zezasifrovanouzpravutvor zadan obtzneformytohotoproblemu.Desifrovactajneklcepakumoznprevedenproblemunaproblemsnadn y,jehoz resen je shodne s resenmproblemu obtzneho.Sifrovac metodupopsemepodle[1].Sifrovan ybinarn retezecx1. . . xksifrujemejakosumuS= x1a1 + . . . + xkakpomocverejnehoklcetvoreneho cslya1, . . . , ak.Pridesifrovannaleznemeresen ulohybatohuS, a1, . . . , ak, tm, ze ulohunze popsan ymzpusobemprevadmenaurcit ysnadn yproblembatohu.Konstrukcekryptosystemunazakladeproblemubatohu1. Zvolmesnadn yproblembatohua

1, . . . , a

k.2. Zvolme cslom > a

1 + . . . + a

k,dale cslovnesoudelnesmaknemunajdemeinverznw,kterebudeslouzitkdesifrovan:v w = 1 mod m.74 KAPITOLA2. ZAKLADYKRYPTOGRAFIE3. Sestrojmetransformovan y(obtzn y)problembatohua1= v a

1mod m...ak= v a

kmod mPomocne cslovutajme,stejnejakosoukrom ydesifrovacklcw, m,azverejnme(a1, . . . , ak).Sifrovan: Zprava:x1. . . xkje sifrovanasumouS= x1a1 + . . . + xkak.Desifrovan: Urcmesnadnouformuproblemu:S

= wSmod m,a

1= wa1mod m,...a

k= wa1mod m,jejz resendostanemetakto:x1= 1,kdyzS

a

1;x2= 1,kdyzS

x1a

1 a

2;x3= 1,kdyzS

x1a

1x2a

2 a

3;atd.Desifrovan dava spravn y v ysledek nalezene resen je tez resenm trans-formovaneho(obtzneho) problemubatohudanehoobjemy(a1, . . . , ak), S,nebotplatx1a1 + . . . + xkak= x1(va

1mod m) + . . . + xk(va

kmod m)= v (x1a

1 + . . . + xka

k) mod m = v S

mod m = v w Smod m = S.Prklad2.21Kekonstrukciilustrativnhokryptosystemuvyuzijemesnadnyproblembatohuzpredchozhoprkladu:(32, 16, 8, 4, 2, 1).Zvolmem=89>32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1av=30. Urcmeinverznprvekw = 3,pronejz30 3 = 1 mod 89.Nynvypoctemetransformovanyproblembatohu:a1= 30 32 mod 89 = 70,a2= 30 16 mod 89 = 45,a3= 30 8 mod 89 = 62,a4= 30 4 mod 89 = 31,a5= 30 2 mod 89 = 60,a6= 30 1 mod 89 = 30.2.4. DALSIMETODYSIFROVANISVEREJNYMKLICEM 75Zverejnmetedycsla(70, 45, 62, 31, 60, 30).Napr.zpravaM= 101010budevtomtokryptosystemuzasifrovanasumou:S= 70 + 62 + 60 = 192.Jej desifrovan spocva v transformaci obtzneho problemu batohu pomocsoukromehoklce(w, m) = (3, 89):S

= w Smod m = 3 192 mod 89 = 42,a

1= 3 70 mod 89 = 32,...a

6= 3 30 mod 89 = 1nasnadnyajehovyresen42 = x1 32 + x2 16 + x3 8 + x4 4 + x5 2 + x6 1.Vysledkemjex1=1, x2=0, x3=1, x4=0, x5=1, x6=0, cozdavapuvodnzpravuM= 101010.76 KAPITOLA2. ZAKLADYKRYPTOGRAFIE2.5 Cvicenkekapitole21. Pokuste se pomoc Kasiskeho testu a metody koincidenc rozlustitnasledujc text (vznikl yVigen`erovousifrouzanglickehotextus vy-nechanmmezer):OOBQBPQAIUNEUSRTEKASRUMNARRMNRROPYODEEADERUNRQLJUGCZCCUNRTEUARJPTMPAWUTNDOBGCCEMSOHKARCMNBYUATMMDERDUQFWMDTFKILROPYARUOLFHYZSNUEQMNBFHGEILFEJXIEQNAQEVQRREGPQARUNDXUCZCCGPMZTFQPMXIAUEQAREAVCDNKQNREYCFIFTAQZETQRFMDYOHPANGOLCD(Poznamenejme, ze ke konci textu se vyskytuje chyba vznikla prirucnm sifrovan ciprepisovan sifrovehotextu.)2. Zme ntevklci zprkladu2.8nekter ybitasledujtenaprkladu2.9vprubehu sifrovanstandardemDES,jaksezmenaprojevuje.3. Zvolme-li prvocslap=5, q=13, pakmuzemeproaplikaci metodyRSAstanovitnapr.exponentyi = 5aj= 29,nebot5 29 mod 48 = 1.Ukazte, ze retezec 001010 (tedy cslo 10) je v tomto prpade zasifrovanoretezcem011110 (cslem30). Spouzitmrychle procedury v ypoctuvelk ychmocninukazte, zejetoto cslospravnedesifrovano,tedy, ze3029mod 65 = 10.4. Provedtekryptoanal yzuRSA-kryptosystemusverejn ymklcemm=209,i = 7adesifrujtezpravuy= 295. Vyzkousejte Die-Hellmanovu v ymenu klcu pro q= 11, g= 2, si= 4,sj= 3.6. Desifrujte v kryptosystemu z Prkladu 2.21 zpravu zasifrovanou sumouS= 136.Literatura[1] Adamek,J.:Kodovan.SNTL,Praha1989.[2] BekerH.J., PiperF.C.: Communicationssecurity. Asurveyof crypto-graphy.IEEEProc.129(1982),Pt.A,No.6,str.357376.[3] BuchmannJ.A.: IntroductiontoCryptography. Springer Verlag, NewYork2002.[4]Cern y,J.:Entropiaainformaciavkybernetike.Bratislava,Alfa1981.[5] Churchhouse R.: CodesandCiphers.UniversityPressCambridge 2002.[6] Daemen J., Rijmen V.: AES Proposal: Rijndael. 45 str.(http://CSRC.NIST.GOV/CRYPTOTOOLKIT/AES/RIJNDAEL).[7] DaemenJ., RijmenV.: TheDesignof Rijndael. AESTheAdvancedEncryptionStandard.SpringerVerlag2002.[8] Delfs H., Knebl H.: IntroductiontoCryptography.PrinciplesandAppli-cations.SpringerVerlag2002.xiv+310str.[9] DieW.,HellmanM.E.:Newdirectionsincryptography.IEEETrans.Inform.TheoryIT-22(1976),str.644654.[10] DobdaL.:Ochranadatvinformacnchsystemech.Grada,Praha1998.[11] GallagerR.G.:InformationTheoryandRealibleCommunications.NewYork,1968.[12] PasekaJ.:Kryptograe.MasarykovauniversitaBrno11.2.1998,220str.(http://www.mu.cz/).[13] Pelikan,J.:Teorieinformace.Praha,VSE1970.[14] Pomerance, C.: Vypraven o dvou stech. Pokroky matematiky, fyziky aastronomie43(1998), c.1,str.9-297778 LITERATURA[15] Schneier B.: AppliedCryptography: Protocols, Algorithms, andSourceCodeinC.JohnWiley1996.[16] SeberryJ., PieprzykJ.: Cryptography. AnIntroductiontoComputerSecurity.PrenticeHall1989.[17] SinghS.:Knihakodua sifer.Dokoran,Praha2003.[18] StinsonD.R.:Cryptography:TheoryandPractice.CRCPress1995.[19] Trappe W., Washington L.C.: Introduction to Cryptography with CodingTheory.PrenticeHall2002.[20] Vajda, I.: Teoriainformacie astatistickehorozhodovania. Bratislava,Alfa1982.