WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jarosława … · Podstawy automatyki mgr inż. Bartosz BRZOZOWSKI 2 1 Cel ćwiczenia rachunkowego ... wpływa zarówno na część proporcjonalną,

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jarosława Dąbrowskiego

Ćwiczenie rachunkowe

Korekcja liniowych układów regulacji automatycznej

Podstawy automatyki

mgr inż. Bartosz BRZOZOWSKI

Warszawa 2017


Podstawy automatyki mgr inż. Bartosz BRZOZOWSKI 2

1 Cel ćwiczenia rachunkowego

Podczas ćwiczenia poruszane będą następujące zagadnienia:

przykład wykorzystania do korekcji logarytmicznej charakterystyki amplitudowej

układu otwartego;

dobór członu korekcyjnego.

Celem ćwiczenia jest zdobycie umiejętności praktycznej realizacji powyższych zagadnień.

2 Wymagania wstępne

Przed rozpoczęciem ćwiczeń student zobowiązany jest do zapoznania się z treścią

niniejszej instrukcji. W szczególności istotne jest posiadanie wiedzy teoretycznej z zakresu

poruszanego podczas ćwiczenia rachunkowego. Ponadto student zobowiązany jest prześledzić

ze zrozumieniem wszystkie zamieszczone przykłady, aby wiedzieć w jaki sposób rozpocząć

rozwiązywanie zadań podczas ćwiczeń. W przypadku posiadania wątpliwości po zapoznaniu

się z treścią instrukcji w celu ich wyjaśnienia zaleca się konsultacje się z prowadzącym przed

terminem ćwiczeń rachunkowych.

3 Wiadomości ogólne

Dla danego obiektu znany jest model matematyczny oraz ograniczenia narzucone na

poszczególne sygnały, a także określony zasób informacji o jego warunkach pracy

i występujących zakłóceniach. Należy dla tego obiektu dobrać układ sterowania, który

zapewni wykonanie postawionych zadań – przy spełnieniu wymagań dotyczących stabilności,

dokładności (w stanach ustalonych i przejściowych) oraz charakteru przebiegów

dynamicznych (spełni narzucone kryterium jakości sterowania).

Proces taki w automatyce nazywany jest syntezą układów sterowania i polega na doborze

struktury układu oraz parametrów elementu korekcyjnego, aby układ mógł wykonać

postawione przed nim zadania.

Elementami korekcyjnymi automatyki nazywamy elementy stabilizujące automatyki

których zadaniem jest korygowanie charakterystyk częstotliwościowych i czasowych

układów regulacji.

Elementami stabilizującymi automatyki nazywamy elementy, które zwiększają stabilność

i polepszają jakość procesów sterowania automatycznego przez zmianę właściwości

dynamicznych układu. Za pomocą taki elementów można osiągnąć znaczne zwiększenie

dokładności sterowania. Wobec ciągłego wzrostu wymagań co do jakości procesu sterowania,

duże możliwości techniczne realizacji takich elementów spowodowało ich zastosowanie we

współczesnych układach sterowania automatycznego.



Elementy stabilizujące dzielą się na dwie grupy: szeregowe i równoległe. Elementy

szeregowe włącza się bezpośrednio w kanał przesyłający sygnał sterowania. Natomiast

elementy równoległe stanowią sprzężenie zwrotne, w obwody których włączone są mniej lub

bardziej złożone układy przekształcania sygnałów.

Podstawowymi wymaganiami stawianymi jednowymiarowym układom regulacji

automatycznej są:

dokładność statyczna;

zakres regulacji wielkości wyjściowej;

pasmo robocze (pasmo przenoszonych częstotliwości);

zapas stabilności.

Proces syntezy z zastosowaniem elementów korekcyjnych można podzielić na dwa etapy:

I etap - określenie strukturę układu regulacji i typ regulatora lub/i elementu

korekcyjnego;

II etap - dobór wartości parametrów elementu korekcyjnego.

Dla określenia struktury układu regulacji stosowana jest struktura szeregowa, w której

regulator jest włączony w tor główny układu regulacji, czyli szeregowo z obiektem (rys.1a).

Sygnałem wejściowym regulatora jest sygnał uchyb e(t), a sygnałem wyjściowym –

sterowanie obiektem u(t). Drugim sposobem jest włączenie dodatkowego elementu

korekcyjnego, którego zadaniem jest wstępne uformowanie sygnału uchybu (rys.1b).

Rys.1. Struktura szeregowa układu regulacji (a) i włączanie członu korekcyjnego przed regulatorem (b).

Inną stosowaną strukturą układu regulacji jest struktura z dodatkowym sprzężeniem

zwrotnym (rys.2a), w którym element korekcyjny jest włączany w tor dodatkowego

sprzężenia zwrotnego wokół obiektu regulacji.

Rys.2. Struktura szeregowa układu regulacji: (a) z wewnętrznym sprzężeniem zwrotnym; (b). skorygowanego

zamkniętego układu regulacji.



W obu wymienionych przypadkach regulator i element korekcyjny mają za zadanie taką

modyfikację właściwości obiektu, aby działanie skorygowanego układu zamkniętego było

zadowalające z punktu widzenia przyjętego kryterium jakości. Kryterium to łączy zwykle

wiele elementów – chodzi nie tylko o uzyskanie odpowiednich parametrów odpowiedzi

skokowej z wymuszenie zewnętrzne w(t), ale również o odporność na zakłócenia. Odporność

ta może być wyrażone na przykład przez wymagania narzucone na przebieg sygnału uchybu

w odpowiedzi na zakłócenia skokowe.

4 Rodzaje elementów korekcyjnych i ich wpływ na właściwości

układu regulacji automatycznej

4.1 Element proporcjonalny W proporcjonalnym elemencie korekcyjnym– typu P (rys.3) – związek pomiędzy

sygnałem wyjściowym regulatora u(t), a sygnałem uchybu e(t) jest następujący:

teKtu p (1)

lub po zastosowaniu transformaty Laplace’a:

pKsE

sU (2)

Rys.3. Struktura fragmentu układu regulacji z proporcjonalnym elementem korekcyjnym.

4.2 Element całkowy W całkującym elemencie korekcyjnym– typu I (rys.4) – przyrost wartości sygnał

wyjściowego regulatora u(t) zmienia się proporcjonalnie do sygnału uchybu e(t):

t

i

i

i dtteKtuteT

teKdt

tdu

0

lub1

(3)

Transmitancja całkującego elementu korekcyjnego ma postać:

sTs

K

sE

sU

i

i 1 (4)

Rys.4. Struktura fragmentu układu regulacji z całkującym elementem korekcyjnym.



W układzie takim jeśli wartość e(t) jest stała przez czas Ti, to wartość u(t) podwoi się po

upływie tego czasu. Dla wartości uchybu e(t) równego zero wartość u(t) pozostaje

niezmienna.

W sterowaniu proporcjonalnym obiektu, którego transmitancja nie ma integratora 1/s, w

odpowiedzi na skokowy sygnał wejściowy występuje uchyb w stanie ustalonym. Taki uchyb

ustalony może być wyeliminowany, jeśli w regulatorze doda się algorytm sterowania

całkowego. Jego zastosowanie stabilizuje pracę układu i zmniejsza uchyb ustalony. Zapas

stabilności jest dowolnie duży, jednak pogarszają się nieznacznie właściwości dynamiczne

(obniża się górna granica pasma przenoszenia).

4.3 Element proporcjonalno - całkowy Algorytm pracy elementu proporcjonalno – całkowego – typu PI (rys.5) – zdefiniowany

jest wzorem:

t

i

p

p dtteT

KteKtu

0

(5)

a jego transmitancja przyjmuje ma postać:

i

pT

KsE

sU 11 (6)

Rys.5. Struktura fragmentu układu regulacji z całkującym elementem korekcyjnym.

Czas całkowania Ti wpływa na algorytm całkowy, podczas gdy zmiana wartości Kp

wpływa zarówno na część proporcjonalną, jak i część całkową algorytmu sterowania.

Odwrotność czasu całkowania Ti jest nazywana szybkością działania całkowania –

wskazuje ona jak szybko całka „napełni się” uchybem e(t).

Na rys.5 pokazano przebieg sygnału wyjściowego elementu korekcyjnego u(t)

w przypadku gdy uchyb regulacji e(t) jest jednostkową funkcją skokową.



4.4 Element proporcjonalno - różniczkujący Algorytm pracy proporcjonalno – różniczkującego elementu korekcyjnego – typu PD

(rys.6) – zdefiniowany jest wzorem:

dt

tdeTKteKtu ppp (7)


sTKsE

sUdp 1 (8)

Rys.6. Struktura fragmentu układu regulacji z proporcjonalno-różniczkującym elementem korekcyjnym.

Algorytm działania elementu proporcjonalno - różniczkowego nazywamy sterowaniem

szybkością i ma miejsce, gdy wartość sygnału wyjściowego regulatora jest proporcjonalna do

szybkości zmiany sygnału uchybu. Czas różniczkujący Td jest miarą tego, w jakim stopniu

sterowanie PD wyprzedza sterowanie z regulatorem proporcjonalnym.

Zaletą tego rodzaju elementu wyprzedzający charakter sterowania. Natomiast jego wadą

jest wzmacnianie sygnałów szumów i wywoływanie efektu nasycenia w elemencie

wykonawczym.

Jak widać z rys.6 pokazano przebieg sygnału wyjściowego z elementu korekcyjnego u(t)

w przypadku gdy sygnał uchybu e(t) jest funkcją liniowo narastającą.

4.5 Element proporcjonalno – całkowo - różniczkowy Połączenie w algorytmu korekcji elementów proporcjonalnego, sterowania całkowego i

różniczkowego nazywane jest elementem regulacji proporcjonalno – całkowo – różniczkowej

(typu PID):

dt

tdeTKdtte

T

KteKtu pp

t

i

p

p 0

(9)




sT

sTK

sE

sUd

i

p

11 (10)

Rys.7. Struktura fragmentu układu regulacji z proporcjonalno-całkowo - różniczkującym elementem

korekcyjnym.

Algorytm działania elementu proporcjonalno - różniczkowego nazywamy sterowaniem

szybkością i ma miejsce, gdy wartość sygnału wyjściowego regulatora jest proporcjonalna do

szybkości zmiany sygnału uchybu. Czas różniczkujący Td jest miarą tego, w jakim stopniu

sterowanie PD wyprzedza sterowanie z regulatorem proporcjonalnym.

5 Synteza układów regulacji metodami klasycznymi

Przy stosowaniu klasycznych metod syntezy układów regulacji realizuje się następujące

etapy:

po ustaleniu danych wyjściowych i wynikających z nich założeń, wybiera się

pierwsze rozwiązanie;

wyznacza się odpowiednie wielkości oraz wskaźniki, charakteryzujące

projektowane urządzenia, które są potrzebne do oceny przyjętego pierwszego

wariantu rozwiązania;

na podstawie otrzymanych wyników wprowadza się odpowiednie zmiany i

otrzymuje drugi wariant rozwiązania, który zostaje oceniony, skorygowany, itd.

5.1 Metoda Zieglera – Nicholsa

Przedstawione w tym punkcie dwie tzw. metody Zieglera-Nicholsa polegają na określeniu

nastaw korektora PID w oparciu o pewne parametry, które można w prosty sposób wyznaczyć

doświadczalnie w układzie z badanym obiektem. Pełna znajomość modelu obiektu nie jest

potrzebna.



5.1.1 Metoda oparta na aproksymacji parametrów odpowiedzi skokowej

Metoda ta opiera się na fakcie, że odpowiedź skokowa wielu obiektów (zmierzona

doświadczalnie albo otrzymana w wyniku symulacji) ma kształt pokazany na Rys.8.

Odpowiedź taka jest charakterystyczna dla układów inercyjnych wyższych rzędów, ale można

ją aproksymować charakterystyką skokową członu inercyjnego I rzędu z opóźnieniem

transportowym:

e

s

Ts

k

sE

sU

1 (11)

Rys.8. Aproksymacja parametrów odpowiedzi skokowej obiektu inercyjnego.

Linię styczną należy wystawić w punkcie przegięcia Q charakterystyki skokowej

Na podstawie przebiegu odpowiedzi skokowej rzeczywistego obiektu należy wyznaczyć

graficznie stałą czasową T i opóźnienie τ transmitancji zastępczej jak pokazano na rysunku.

Optymalne nastawy korektora spełniające określone kryterium oblicza się w sposób

teoretyczny dla układu regulacji z obiektem zastępczym. W Tabeli 1 podano wzięte

z literatury wzory na optymalne nastawy dla trzech wymagań co do przebiegu regulacji po

skokowej zmianie zakłócenia: - odpowiedzi aperiodycznej o minimalnym czasie regulacji, -

odpowiedzi oscylacyjnej (κ=20%) o minimalnym czasie regulacji oraz - odpowiedzi

minimalizującej całkę ISE. W układzie z obiektem rzeczywistym nastawy wzięte z tabeli

mogą dawać – ze względu na błąd aproksymacji - przebiegi różniące się od założonych. Tym

niemniej przedstawiona metoda jest skutecznym narzędziem wstępnego strojenia korektora.

Tabela 1. Optymalne nastawy regulatora i wskaźniki jakości dla obiektu statycznego z opóźnieniem przy

skokowej zmianie zakłócenia z=1(t)

Typ

korektora



5.1.2 Metoda oparta na aproksymacji parametrów odpowiedzi skokowej

Druga reguła wyznaczania nastaw korektorów opiera się na znajomości parametrów

układu znajdującego się na granicy stabilności. Parametry te są wyznaczane w następujący

sposób: w układzie zamkniętym z regulatorem typu P zwiększa się współczynnik

wzmocnienia Kp dopóki w odpowiedzi skokowej h(t) nie zaobserwuje się drgań niegasnących

(Rys.9). W takim stanie należy zanotować wartość wzmocnienia krytycznego regulatora

Kp=Kkr oraz zmierzyć okres drgań krytycznych Tkr sygnału wyjściowego.

Rys.9. Wyznaczanie okresu drgań krytycznych układu na granicy stabilności

Nastawy korektora wyznaczone według metody wskaźników drgań krytycznych są

następujące:

Korektor P k = 0.5 kgr

Korektor PI k = 0.45 kgr Ti = Tdr/ 1.2

Korektor PID k = 0.6 kgr Ti = Tdr / 2 Td= Tdr / 8

5.1.3 Metoda linii pierwiastkowych

Metoda linii pierwiastkowych (Evansa) badania stabilności układu zamkniętego została

opracowana dla sterowanego układu o transmitancji

n

i

i

i

m

j

j

j

o

sa

sb

ksM

sLksG

0

0

0

0)( (12)

W torze głównym ze sztywnym, ujemnym sprzężeniem zwrotnym gdzie m≤n.

Transmitancje układu otwartego można zapisać jako

m

mo

pspsps

zszszsk

sM

sLksG

...

...)(

21

21

0

0 (13)

lub w postaci alternatywnej

)(

00

sj oeskRsG

(14)

Na podstawie transmitancji układu zamkniętego

)(

)(

)()(

)(

)(1

)()(

sM

sL

sMskL

skL

sG

sGsG

oo

o

o

o

(15)

równanie charakterystyczne jest dane jako

)()( sMskL oo (16)

h(t)

Kp



lub, z wykorzystaniem alternatywnego zapisu, jako

01)(

0 sj oeskR

(17)

czyli 1)(

0 sj oeskR

(18)

Warunek na granicę stabilności układu zamkniętego można zapisać jako

,...1,0,2)(

1

0

0

lls

skR

(19)

Analiza właściwości linii pierwiastkowych:

linie pierwiastkowe są symetryczne względem osi rzeczywistej;

linie pierwiastkowe zaczynają się w biegunach transmitancji układu otwartego (dla

k=0 w układzie zamkniętym);

linie pierwiastkowe kończą się w zerach transmitancji układu otwartego (dla kw układzie zamkniętym);

liczba rozgałęzień linii pierwiastkowych to maksymalnie max(n,m) - punkty

rozgałęzień są pierwiastkami równania 0oGds

d, jeżeli istnieje taka skończona,

rzeczywista wartość wzmocnienia k>0, dla której po podstawieniu zamiast zmiennej

s pojedynczego pierwiastka równania 0oGds

d jest spełnione 01 oG ;

bieguny wielokrotne transmitancji układu zamkniętego są punktami wspólnymi

odpowiednich linii pierwiastkowych – występują, gdy dla pewnej wartości

wzmocnienia bieguny położone na kilku liniach pierwiastkowych znajdują się w tym

samym punkcie płaszczyzny zespolonej;

liczba linii pierwiastkowych jest równa liczbie biegunów transmitancji układu

otwartego;

każda z linii pierwiastkowych odpowiada przesuwaniu się bieguna transmitancji

układu zamkniętego dla k0 ;

gdy m<n, liczba linii pierwiastkowych kończących się w zerach jest równa m,

pozostałe linie pierwiastkowe oddalają się nieskończenie daleko od środka układu

współrzędnych i dążą do asymptot, tworzących jako linie proste ramiona

symetrycznej gwiazdy, przecinających się pod kątem

mn

a

2

, (20)

a tworzących z dodatnim fragmentem osi rzeczywistej kąt

;1,...,1,0,)12(

mni

mn

iia

(21)

środek gwiazdy odcina na osi rzeczywistej wartość

mn

zp

s

n

i

m

j

ji

a

1 1

(22)



odcinki linii pierwiastkowych pokrywające się z osią rzeczywistą znajdują się w tych

jej częściach, od których na prawo sumaryczna liczba wszystkich rzeczywistych zer i

biegunów transmitancji układu otwartego (łącznie z ich krotnościami) jest

nieparzysta;

kąty wyjścia i wejścia linii pierwiastkowej – kąt wyjścia linii pierwiastkowej z

bieguna oblicza się jako ( qps 1 )

m

j

n

qii

ijqp pszslpsq

1 1

111 )arg()arg()12()arg( , (23)

a kąt wejścia linii pierwiastkowej do zera jako ( qzs 1 )

n

j

i

m

qjj

qz pszjslzsq

1

1

1

11 )arg()arg(2)arg( , (24)

kąt wejścia/wyjścia dla biegunów/zer o krotności d większej niż jeden oblicza się dla

wartości tego bieguna/zera, a pozostałe kąty dla bieguna/zera są przesunięte o d

2;

kąty wejścia linii pierwiastkowej do zera odmierza się do linii, która nakreśliłaby

linia pierwiastkowa, gdyby przeszła przez dane zero;

przecięcie linii pierwiastkowej z osią urojoną –

przecięcie z osią urojoną (jeżeli istnieje) jest zbiorem punktów wyznaczanych za

pomocą tablicy Routha, w których układ staje się stabilny.

Linie o stałym współczynniku tłumienia i krzywe stałej pulsacji drgań ωN tworzą

odpowiednio proste i współśrodkowe okręgi. Na ich podstawie można wyciągnąć wnioski na

temat charakteru przebiegu przejściowego.

α Im{s}

Re{s}0

ω 1

ω 2

ω 3

0<ξ <1

ξ =1

ξ =0

Rys.10. Linie o stałym współczynniku tłumienia ξ i krzywe stałej pulsacji drgań ωN



Kąt odchylenia od osi rzędnych linii stałego współczynnika tłumienia

21

arctg , (25)

przy czym zależność między maksymalnym odchyleniem dynamicznym a współczynnikiem

tłumienia ma postać:

21

e , (26)

lub

22

2

ln

ln

, (27)

Promień okręgu r jest związany z pulsacją drgań zależnością

s

radrN , (28)

Linie stałego współczynnika tłumienia oraz krzywe stałej pulsacji drgań własnych

pokazano na rys. 10.

6 Przykłady zadań rachunkowych

Wykreślić linie pierwiastkowe układu zamkniętego dla )5(

)(

ss

ksGo

.

Transmitancja układu zamkniętego

kss

k

sG

sGsG

o

o

5)(1

)()(

2

Tworzenie linii pierwiastkowych przebiega wg algorytmu:

punkty wyjścia - dla k=0 pierwiastki równania charakterystycznego kss 52=0 są

punktami wyjścia, czyli s=0 oraz s=-5.

punkty wejścia – transmitancja układu zamkniętego nie ma zer;

liczba rozgałęzień linii pierwiastkowych - max(2,0)=2; o punkty rozgałęzień są pierwiastkami równania:

0oGds

d, ,0

)5(

)52(

)5( 22

ss

sk

ss

k

ds

d czyli s=- 2.5;

o równanie 01 oG ma rzeczywiste rozwiązanie k=6.25 dla s=-2.5.

liczba linii pierwiastkowych - równa liczbie biegunów układu zamkniętego, czyli 2.

warunek m<n; wszystkie linie pierwiastkowe oddalają sié do nieskończoności, ramiona symetrycznej gwiazdy asymptot tworzą kąt:

02

2a



i nachylone są do osi rzeczywistej pod katami:

202

)10(0

a ;

2

3

02

)12(1

a

środek gwiazdy odcina na osi rzeczywistej wartość

,5.202

50

02

2

1

i

i

a

p

s

odcinki osi rzeczywistej będące częścią wykresu linii pierwiastkowych: dla k>0 odcinek osi rzeczywistej od +5 do 0 jest częścią wykresu linii pierwiastkowych.

kąty wejścia i wyjścia linii pierwiastkowej:

o dla bieguna )0(0 1 ss

,0)12()5arg()12()arg()0arg( 1110 lslss

dla najmniejszej wartości 02, 5 l .

przecięcie linii pierwiastkowej z osią urojoną

kss 52

0

05

1

0

1

2

k

k

s

s

s

Dla k=0 układ staje się niestabilny. Należy teraz dla wiersza 2s skonstruować wielomian

pomocniczy kssA 2)( , którego pierwiastki dla k=0, czyli 0js , są punktami przecięć linii

pierwiastkowych z osią urojoną.

ω

σ

0

ω 1

ω 2

ω 3

k =6.25

-1-2-3-4-5

-1

-2

1

2



7 Literatura

1. Janusz KOWAL „Podstawy automatyki T1”, Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne AGH, Kraków 2004, Sygnatura: 60378

2. Tadeusz Kaczorek „Teoria sterowania. Tom I Układy liniowe ciągłe i dyskretne”. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977

3. Dariusz HORLA „Podstawy Automatyki” Ćwiczenia rachunkowe część I, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2010

Documents

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jarosława … · Podstawy automatyki mgr inż. Bartosz BRZOZOWSKI 2 1 Cel ćwiczenia rachunkowego ... wpływa zarówno na część proporcjonalną,