Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatorykihome.agh.edu.pl/~zak/downloads/2-Elektronika-2015.pdf · Plan: Definicja prawdopodobieństwa Zdarzenie losowe a zdarzenie elementarne

dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.AGH Katedra Elektroniki, AGHe-mail: [email protected]

http://home.agh.edu.pl/~zak

Wykład 2.Prawdopodobieństwo i elementy

kombinatoryki

Wstęp do probabilistyki i statystyki

Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 2 1

Plan:

Definicja prawdopodobieństwa

Zdarzenie losowe a zdarzenie elementarne

Algebra zdarzeń

Elementy kombinatoryki

Prawdopodobieństwo warunkowe


Definicja prawdopodobieństwa

Klasyczna

Geometryczna

Częstościowa (von Misesa)

Aksjomatyczna (Kołmogorowa)


Definicja klasyczna prawdopodobieństwa

( )Nn=AP a

Pierwszą (klasyczną) definicję prawdopodobieństwa podał P.S. Laplace w 1812 r. Rozważmy doświadczenie losowe kończące się zawsze dokładnie jednym spośród N jednakowo możliwych wyników.Prawdopodobieństwem zdarzenia A nazywamy stosunek liczby na zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A do liczby wszystkich zdarzeń N

A jest podzbiorem tzw. zdarzenia pewnego Ω. A⊂ΩWstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 2 4

Definicja geometryczna prawdopodobieństwa


( ))()(Gmiaragmiara=AP

Paradoks Bertranda


W danym kole prowadzimy „na chybił trafił” ( w sposób losowy) cięciwę.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie ona dłuższa od boku trójkąta równobocznego wpisanego w to koło?

Trzy sposoby rozwiązania, trzy różne odpowiedzi: ½, 1/3, ¼.

Przyczyna paradoksu tkwi w tym, że w treści zadania nie sprecyzowano dokładnie, co należy rozumieć przez poprowadzenie średnicy w sposób losowy.

Definicja częstościowa prawdopodobieństwa

Zaproponowana przez R. von Misesa w 1931 r. Nie ma wad definicji klasycznej ani geometrycznej. Jest zgodna z intuicją i z obserwowalną prawidłowością dotyczącą częstości. Nie jest jednak akceptowalna jako definicja pojęcia matematycznego ( a posteriori).

Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest to granica częstości tego zdarzenia, gdy liczba doświadczeń n dąży do nieskończoności


nAn=AP

n

)(lim)(∞→

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa

( ) 1=ΩP

Każdemu zdarzeniu losowemu A przypisujemy liczbę P(A), zwaną prawdopodobieństwem tego zdarzenia, taką że

1. 0 ≤ P(A) ≤ 1.2. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe

jedności

3. (przeliczalna addytywność prawdopodobieństwa) Prawdopodobieństwo alternatywy przeliczalnej ilości parami wykluczających się zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń: jeżeli A1, A2, …Є M, przy czym dla każdej pary wskaźników i, j (i≠j) jest Ai ∩ Aj =Ø, to


( )∑∞

=

∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

11 kk

kk AP=AP U

Konsekwencje aksjomatów

Prawdopodobieństwo sumy wzajemnie wykluczających się zdarzeń losowych A i B jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń

» (Kołmogorov, 1933)

( ) ( ) ( ) ∅∩∪ =BAgdzie,BP+AP=BAPczyli:


A B

Zdarzenie losowe a zdarzenie elementarne

W każdym doświadczeniu losowym można wyróżnić pewne najprostsze, nierozkładalne, elementarne wyniki (zdarzenia), charakteryzujące się tym, że każde powtórzenie tego doświadczenia kończy się jednym i tylko jednym z nich. Są to zdarzenia elementarne.


Dla każdego doświadczenia losowego rozważamy zbiór wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia. Poszczególne wyniki nazywamy zdarzeniami elementarnymi. Zbiór wszystkich wyników nazywamy przestrzenią wyników albo przestrzenią (zbiorem) zdarzeń elementarnych i oznaczamy symbolem Ω.

Przykład zdarzenia losowego

Rzucamy monetą dwa razy. Możliwe wyniki to: (o, o) – wyrzucenie dwóch orłów (o, r) – wyrzucenie orła, a potem reszki (r, o) – wyrzucenie reszki, a potem orła (r, r) – wyrzucenie dwóch reszek

Zbiór: Ω=(o, o); (o, r) ; (r, o); (r, r) jest zbiorem zdarzeń elementarnych.

Jeżeli zbiór zdarzeń elementarnych ma n-elementów to zdarzeń losowych jest 2n


Przykład zdarzenia losowego

W tej sytuacji możliwych jest 24 zdarzeń losowych.

Wybrane zdarzenia losowe, np.:

A = (o,o); (o,r); (r,o) – wyrzucenie co najmniej 1 orłaB = (o,o); (o,r); - orzeł w pierwszym rzucieG = (o,o) - wyrzucenie dwóch orłówH = (o,r); (r,o) – wyrzucenie dokładnie jednej reszki


Przykład do samodzielnego rozwiązania

Dokonać przeglądu wszystkich (uwzględniając zdarzenie pewne i niemożliwe) zdarzeń (jedno-, dwu-, trzy- , cztero-, pięcio- i sześcio-elementowych) w doświadczeniu polegającym na rzucie kostką. Określić przestrzeń zdarzeń elementarnych. Podać liczbę wszystkich możliwych zdarzeń


Relacje zdarzeń

Suma zdarzeń – zachodzi co najmniej jedno ze zdarzeń A lub B

Iloczyn zdarzeń – zachodzi zdarzenie A oraz zdarzenie B

A∪B

A∩B


A B

A BA A BA∩B

Relacje zdarzeń

Zdarzenie przeciwne – nie zachodzi zdarzenie A

Zdarzenie A pociąga zdarzenie B (operator: zbiór A zawiera się w zbiorze B)

Zdarzenia A i B wzajemnie wykluczające się

A'

A⊂B

∅∩ =BAWstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 2 15

Liczba obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych

W wielu sytuacjach konieczne jest wyznaczenie liczby elementów rozważanego zbioru. Mogą tu być pomocne proste zasady arytmetyczne:reguła dodawaniareguła mnożenia

rzut monetą rzut kostkąwyciąganie kart z talii


Reguła dodawania

Jeżeli dwa zdarzenia wzajemnie się wykluczają, tzn. nie mogą wystąpić jednocześnie, wtedy możemy stosować regułę dodawania.

Twierdzenie dotyczące dodawania. Jeżeli zdarzenie e1 można zrealizować na n1sposobów, a zdarzenie e2 na n2 sposobów orazzdarzenia e1 i e2 wzajemnie się wykluczają, toliczba sposobów w jakich realizują się oba zdarzeniawynosi:

n1+ n2


Jeżeli rozważany zbiór Z jest sumą, rozłącznych parami podzbiorów,

Z= A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Am

i znamy liczbę elementów każdego podzbioru, to liczba elementów zbioru Z jest sumą liczb elementów wszystkich podzbiorów A1, A2, …., Am

Jest to szczególny przypadek zasady włączeń-wyłączeńang. Principle of Inclusion-Exclusion, PIE

Uogólnienie reguły dodawania

|A1 ∪ A2| =|A1| + |A2|


Zasada włączeń-wyłączeń, Principle of Inclusion-Exclusion (PIE)

Rozważmy dwa zdarzenia, e1 i e2, dla których możliwe jest wystąpienie odpowiednio n1 i n2rezultatów. Jednak, tylko jedno zdarzenie może zachodzić a nie oba. W tej sytuacji nie stosuje się reguły dodawania. W języku zdarzeń: od sumy wszystkich możliwych wyników należy odjąć liczbę tych, które są wspólne dla obu zdarzeń. W języku zbiorów:

|A1 ∪ A2| =|A1| + |A2| - |A1∩ A2|


Reguła mnożenia

Jeżeli dwa zdarzenia nie wykluczają się, tzn. mogą zachodzić osobno, wtedy możemy stosować regułę mnożenia.

Twierdzenie dotyczące mnożenia. Jeżeli pewne doświadczenie można wykonać w mkolejnych etapach, przy czym w k-tym etapie możnauzyskać wk wyników, to liczba wszystkich wynikówdoświadczenia jest równa iloczynowi

w1 · w2 · … · wm


Zastosowanie reguł dodawania i mnożenia

Zamek jest strzeżony przez dwie wieże, jedna z nich jest zamknięta kodem dwucyfrowym nieparzystym, druga kodem dwucyfrowym parzystym. Wystarczy złamać kod na jednej wieży, aby wejść. Na ile sposobów możemy wejść do zamku?

Mamy tutaj jednocześnie regułę mnożenia i dodawania.Najpierw mnożenia, wieża z kodem parzystym składa się z 2 cyfr.Możliwe dziesiątki: 2,4,6,8Możliwe jedności: 0,2,4,6,8Zatem z reguły mnożenia kombinacji jest 5×4=20Tak samo w wieży nieparzystej.Możliwe dziesiątki: 1,3,5,7,9Możliwe jedności: 1,3,5,7,9Z reguły mnożenia kombinacji jest 5×5=25Z racji, że mamy „albo” (ta wieża albo tamta) sumujemy nasze wyliczone kombinacje: 25+20=45

21

Wariacje

Wariacją k elementową ze zbioru n elementowego nazywamy każdy ciąg (uporządkowanie) k elementowy utworzony z elementów tego zbioru.


Ilość (ciągów) wariacji zależy od tego czy elementy ciągu mogą się powtarzać czy nie. Istotny jest zatem sposób losowania: bez zwracania =bez powtórzeń; ze zwracaniem=z powtórzeniami

Wariacje bez powtórzeń

Przykład: Rozważmy 3-elementowy zbiór Z=a,b,c i wypiszmy wszystkie wariacje 2-wyrazowe bez powtórzeń:

(a,b) (b,a) (a,c) (c,a) (b,c) (c,b)


Obliczyć liczbę tych ciągów 3x2=6

)1)...(2)(1()(1

0

)( +−−−=−∏−

=

knnnnin=Vk

i

kn

Ogólnie:

Liczba wariacji bez powtórzeń

Liczbę wariacji k elementowych bez powtórzeń ze zbioru n elementowego można obliczyć ze wzoru:


)!(!)(

knn=V k

n −Gdy k=n, tzn. ciąg n elementowy ze zbioru n elementowego (permutacja bez powtórzeń)

Przykład: (abc) (acb) (bac) (bca) (cab) (cba)

Liczba permutacji wynosi n!

Wariacje z powtórzeniami

Przykład: Rozważmy 3-elementowy zbiór Z=a,b,c i wypiszmy wszystkie wariacje 2-wyrazowe z powtórzeniami:

(a,a) (b,a) (c,a)(a,b) (b,b) (c,b)(a,c) (b,c) (c,c)


Obliczyć liczbę tych ciągów3x3=32 = 9

Liczba wariacji z powtórzeniami

Liczbę wariacji k elementowych z powtórzeniami ze zbioru n elementowego można obliczyć ze wzoru:


kkn n=W )(

Zadanie: Wiele urządzeń elektronicznych wymaga od użytkownika wprowadzenia osobistego kodu złożonego z czterech cyfr. Oblicz, ile jest możliwych kodów.

Rozwiązanie: Każdy kod to czteroelementowa wariacja z powtórzeniami ze zbioru dziesięciu cyfr 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

00010104)4(10 ==W

Kombinacje


Kombinacją k wyrazową ze zbioru n elementowego nazywamy każdy k wyrazowy podzbiór (brak uporządkowania) utworzony z elementów tego zbioru.

Ilość (podzbiorów) kombinacji zależy od tego czy elementy podzbioru mogą się powtarzać czy nie. Istotny jest zatem sposób losowania: bez zwracania =bez powtórzeń; ze zwracaniem=z powtórzeniami

Kombinacje bez powtórzeń

Przykład: Rozważmy 3-elementowy zbiór Z=a,b,c i wypiszmy wszystkie kombinacje 2-wyrazowe bez powtórzeń:

a,b a,c b,c


Obliczyć liczbę tych podzbiorów 6/2 = 3

!

)()(

kV=C

knk

n

Ogólnie:

Liczba kombinacji bez powtórzeń

Liczbę kombinacji k wyrazowych bez powtórzeń ze zbioru n elementowego można obliczyć ze wzoru:


)!(!!)(

knkn=C k

n −

Czyli:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=n

k

knC

)(

Kombinacje z powtórzeniami

Przykład: Rozważmy 3-elementowy zbiór Z=a,b,c i wypiszmy wszystkie kombinacje 2-wyrazowe z powtórzeniami:

a,a a,b a,c b,b b,c c,c


Obliczyć liczbę tych podzbiorów 6

Ogólnie liczba kombinacji z powtórzeniami:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−+ 1)(

kn

k

knc

Podsumowanie metod obliczania liczby możliwych zdarzeń

Elementy kombinatoryki

z powtórzeniami

bez powtórzeń

Wariacje (ciągi) -istotna jest kolejność

Kombinacje (podzbiory)—

kolejność nie jest istotna

bez powtórzeń


z powtórzeniami

Kombinatoryka


Prawdopodobieństwo warunkoweWprowadzenie:

Interesuje nas częstość występowania daltonizmu wśród ludzi. W związku z tym wybieramy n osób i badamy, które z nich cierpią na daltonizm.


Rozwiązanie:A – zdarzenie polegające na tym, że wybrana losowo osoba cierpi na daltonizmn(A) = d oznacza liczbę osób wybranych z n, które cierpią na daltonizm

Częstość występowania daltonizmu dana jest wzorem:

nd=A)(ν


Teraz interesuje nas częstość występowania daltonizmu wśród kobiet. Trzeba przeprowadzić nowy eksperyment, wybierając pewną liczbę kobiet (a więc teraz wybór odbywałby się w innej zbiorowości – zbiorowości kobiet, zawartej w poprzednio rozpatrywanej zbiorowości ludzi) i licząc, ile wśród nich jest daltonistek.


Jednak ten nowy eksperyment jest zbyteczny. Częstość występowania daltonizmu u kobiet można wyznaczyć za pomocą częstości zaobserwowanych w pierwszym eksperymencie.



Rozwiązanie:B – zdarzenie polegające na tym, że osoba jest kobietąn(B) = k oznacza liczbę kobiet wśród wybranych n osób

Odpowiednie częstości zdarzeń B i A ∩ B są dane jako:

nk=B)(ν

L=BAn )( ∩

Wśród wybranych kobiet było L daltonistek:

nL=BA )( ∩ν



Dotychczasowe rozważania dotyczą wszystkich n obserwacji. Ograniczmy się teraz do tych k obserwacji, które dały wynik B, i obliczmy jak często występowało w nich zdarzenie A, tzn. obliczmy zaobserwowaną częstość daltonizmu wśród kobiet.

Zauważamy, że zachodzi:kLBA =)(ν

Dla zaznaczenia, że chodzi obecnie o częstość zdarzenia A w stosunku do tych obserwacji, które dały wynik B przyjmijmy inne oznaczenie:

)()()(

BBABA

ννν ∩

=


( ) ( )( )BPBAP=B|AP ∩

Ogólna definicja:

przy założeniu, że P(B) > 0 (tj. zdarzenie B musi być prawdopodobne)



Użyteczne wzory:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) 1

0

=BAPABBPAP=BAPBA

=BAP=BA

ΩAP=AP

⇒⊂

⇒⊂

⇒∅∩


dla dowolnego zdarzenia A

Przykład

Rzucamy trzy razy kostką 6-cio-ścienną. Wiemy, że za każdym razem wypadła inna liczba oczek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że raz wypadło 5 pod warunkiem że za każdym razem wypadła inna cyfra?

( )

( )

( ) ( )( ) Ω

Ω=BPBAP=B|AP

Ω=BP

Ω=BAP

⋅⋅⋅⋅⋅∩

⋅⋅

⋅⋅∩

456345

456

345


Documents

Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatorykihome.agh.edu.pl/~zak/downloads/2-Elektronika-2015.pdf · Plan: Definicja prawdopodobieństwa Zdarzenie losowe a zdarzenie elementarne