Zmienne losowe Rozkad prawdopodobiestwa zmiennej losowej

dr hab. Ryszard Walkowiak prof. nadzw.

Zmienne losoweRozkad prawdopodobiestwa zmiennej losowej1Definicja zmiennej losowejPrzeprowadzajc badania statystyczne, rwnie z zakresu ochrony rodowiska, zwykle chcemy ich wyniki odnie do pewnej grupy obiektw, lub do pewnego obszaru. Tak grup obiektw, wyrniajcych si posiadaniem cechy, ktr chcemy bada, nazywamy populacj.Badane w danej populacji cechy, np. wzrost wszystkich studentw i studentek Uniwersytetu Przyrodniczego w Poznaniu, albo zawarto metalu cikiego w glebie, mona utosamia ze zmiennymi losowymi, gdy, z uwagi na wielk rnorodno czynnikw wpywajcych na wartoci tych cech, przynaleno wartoci zmierzonej na konkretnym elemencie populacji do okrelonego przedziau jest zdarzeniem zachodzcym z pewnym prawdopodobiestwem.2Typy zmiennych losowychZmienne losowe dzielimy na:jakociowe nie dajce si zmierzy, np. pe, kolor oczu, ksztat licia itp.ilociowe - mierzalne np. wzrost, masa korzeni, wielko skaenia metalem cikim itp.Bdziemy zajmowa si gwnie zmiennymi losowymi ilociowymi. Te zmienne z kolei dzielimy na:dyskretne mogce przyjmowa tylko konkretne, odosobnione wartoci, np. liczba prosit w miocie, liczba nasion w kosie,cige mogce przyjmowa dowoln warto z pewnego przedziau liczbowego, np. wzrost, masa nasion, zawarto metalu cikiego w glebie itp. 3Rozkad prawdopodobiestwa zmiennej losowejPrzyjcie pewnej konkretnej wartoci przez zmienn losow dyskretn, lub wartoci z konkretnego przedziau liczbowego przez zmienn losow cig, nazywamy zdarzeniem losowym. Kademu zdarzeniu losowemu mona przyporzdkowa pewn liczb rzeczywist nalec do przedziau 0,1, nazywan prawdopodobiestwem tego zdarzenia.Przyjto, e prawdopodobiestwo zdarzenia pewnego jest rwne 1, a zdarzenia niemoliwego 0.Przyjto take, e suma prawdopodobiestw wszystkich moliwych zdarze rozcznych, nazywanych te zdarzeniami wykluczajcymi si, jest rwna 1.4Rozkad prawdopodobiestwa zmiennej losowejZamy, e wybieramy losowo jedn osob z pewnej grupy ludzi i e cech badan jest wiek tej osoby. Jeeli przez A oznaczymy zdarzenie, e wiek tej osoby naley do przedziau 0, 20) lat, przez B, e naley do przedziau 20, 40) i przez C, e naley do przedziau 40, ), to P(A) + P(B) + P(C) = P(A B C) = 1 niezalenie od wartoci P(A), P(B) i P(C) ,gdy A B C, rozumiane w sposb nastpujcy:wiek wylosowanej osoby naley do przedziau 0, 20) lub do 20,40) lub do 40, ), jest zdarzeniem pewnym.

5Rozkad prawdopodobiestwa zmiennej losowejZachowanie zmiennej losowej w caej populacji zaley od tego, jak (rwna 1) masa prawdopodobiestwa, utosamiana czasem z czstoci wystpowania zdarzenia, rozoona jest na poszczeglne wartoci lub przedziay wartoci zmiennej losowej. Funkcja, ktra przypisuje poszczeglnym wartociom lub przedziaom wartoci zmiennej losowej prawdopodobiestwa ich wystpienia nazywa si rozkadem prawdopodobiestwa tej zmiennej losowej.6Rozkad prawdopodobiestwa zmiennej losowej wygodnie jest przedstawi graficznie.W przypadku zmiennej losowej dyskretnej jest to diagram, czyli wykres, na ktrym na osi odcitych odkadamy wartoci zmiennej losowej, a na osi rzdnych odpowiadajce im prawdopodobiestwa, rozumiane jako czstoci wzgldne tych wartoci.Zamy, e badamy dwie grupy studentw, A i B. Kada liczy po 20 osb. Zmienn losow s wyniki egzaminu z pewnego przedmiotu.Rozkad prawdopodobiestwa zmiennej losowej dyskretnej7Diagram rozkadu prawdopodobiestwa zmiennej losowej dyskretnejOcenaLiczebnoCzsto/ prawdopodobiestwoABP(A)P(B)2252/20 = 0,15/20 = 0,2534124/20 = 0,212/20 = 0,64828/20 = 0,42/20 = 0,15616/20 = 0,31/20 = 0,05Razem20208Momenty rozkadu prawdopodobiestwa zmiennej losowej dyskretnejRozkad zmiennej losowej moe by scharakteryzowany za pomoc tzw. momentw. S one szczeglnie przydatne gdy zmienna losowa przyjmuje bardzo du liczb wartoci.Najwaniejszymi momentami s warto oczekiwana i wariancja.

9Warto oczekiwana zmiennej losowej dyskretnej X, oznaczana symbolem E(X), obliczana jest wedug wzoru:

gdzie n oznacza liczb wartoci zmiennej losowej X,xi oznacza i t warto tej zmiennej, i = 1, 2, , npi oznacza prawdopodobiestwo wartoci xi

Momenty rozkadu prawdopodobiestwa zmiennej losowej dyskretnej

10W naszym przykadzieE(A) = 20,1 + 30,2 + 40,4 + 50,3 = 3,9E(B) = 20,25+30,6+40,1+50,05 = 2,95W interpretacji fizycznej, jeli kadej wartoci zmiennej losowej przyporzdkowa mas rwn jej prawdopodobiestwu, to warto oczekiwana jest rodkiem cikoci tak powstaego ukadu. Jeli podeprzemy diagram rozkadu prawdopodobiestwa w punkcie odpowiadajcym wartoci oczekiwanej to pozostanie on w rwnowadze.Z tego wzgldu warto oczekiwan nazywa si miar pooenia rozkadu prawdopodobiestwa. Momenty rozkadu prawdopodobiestwa zmiennej losowej dyskretnejOcenaCzstoP(A)P(B)AB2252/20 = 0,15/20 = 0,2534124/20 = 0,212/20 = 0,64828/20 = 0,42/20 = 0,15616/20 = 0,31/20 = 0,05Razem202011Momenty rozkadu prawdopodobiestwa zmiennej losowej dyskretnejE(A) = 3,9E(B) = 2,9512Wariancja jest miar rozproszenia (rozrzutu) wartoci zmiennej losowej wzgldem jej wartoci oczekiwanej.Dla zmiennej losowej dyskretnej X oblicza si j wedug wzoru:

VarA = (23,9)20,1+(33,9)20,2+(43,9)20,4+(53,9)20,3 = 0,89 VarB =(22,9)20,25+(32,9)20,6+(42,9)20,1+(52,9)20,05 = 0,55Zatem wartoci zmiennej losowej B s bardziej skupione wok swojej wartoci oczekiwanej ni wartoci zmiennej losowej A

Momenty rozkadu prawdopodobiestwa zmiennej losowej dyskretnej

13Zmienne losowa ciga przyjmuje wartoci z pewnego przedziau liczbowego (a, b). Niekiedy nawet z przedziau (-, ).Zatem liczba moliwych wartoci takiej zmiennej jest nieprzeliczalna.Wynika std, e prawdopodobiestwo, e zmienna losowa ciga przyjmie warto rwn jakiej konkretnej liczbie jest rwne zeru.Rne od zera moe by jedynie prawdopodobiestwo, e zmienna ta przyjmie warto nalec do pewnego podprzedziau przedziau (a, b). Z tego wzgldu, do opisu rozkadu prawdopodobiestwa zmiennej losowej cigej nie mona uywa diagramu. Jego odpowiednikiem jest funkcja gstoci prawdopodobiestwa.Rozkad prawdopodobiestwa zmiennej losowej cigej14Funkcja gstoci prawdopodobiestwaKada funkcja f(x) o nastpujcych wasnociach:f(x) 0 dla kadej wartoci x nalecej do jej dziedziny;Pole pomidzy wykresem funkcji f(x) a osi odcitych jest rwne 1.

jest funkcj gstoci prawdopodobiestwa jakiej zmiennej losowej.

15Zwizek midzy funkcj gstoci prawdopodobiestwa a prawdopodobiestwem, e wartoci zmiennej losowej X nale do przedziau (a, b)Funkcja gstoci prawdopodobiestwa

ab16Momenty rozkadu prawdopodobiestwa zmiennej losowej cigejWartoci oczekiwan cigej zmiennej losowej X jest

Wariancj cigej zmiennej losowej X jest

Bdziemy uywa nastpujcych oznacze: (mi)- warto oczekiwana, 2 (sigma kwadrat)- wariancja.

17Szczeglne znaczenie w analizie statystycznej maj zmienne losowe o rozkadzie normalnym.Rozkad normalny opisany jest nastpujc funkcj gstoci prawdopodobiestwa:

Wykres tej funkcji nazywany jest krzyw Gaussa

Funkcja gstoci prawdopodobiestwa

18Empiryczny rozkad prawdopodobiestwaCzsto populacje, w ktrych chcemy zbada rozkad zmiennej losowej s tak due, e nie moemy przebada caej populacji. Pobieramy wwczas prb losow n elementw populacji, na ktrych mierzymy warto badanej zmiennej losowej. Estymatorem wartoci oczekiwanej jest wwczas

Estymatorem wariancji jest

19Na podstawie uzyskanych w ten sposb wartoci chcemy okreli rozkad prawdopodobiestwa badanej zmiennej losowej. Aby rozkad ten mona byo okreli wystarczajco dokadnie, liczba elementw w prbie musi by dua, co znacznie utrudnia ich usystematyzowanie.Dobrym przyblieniem wykresu funkcji gstoci prawdopodobiestwa jest tzw. histogram liczebnoci. Jest to wykres supkowy szeregu rozdzielczego.Empiryczny rozkad prawdopodobiestwa20Szereg rozdzielczy otrzymujemy w sposb nastpujcy:Znajdujemy najwiksz ( Rmaks) i najmniejsz (Rmin) obserwacj w prbie. Wszystkie obserwacje w prbie nale do przedziau Rmin, Rmaks.Dzielimy przedzia Rmin, Rmaks na k podprzedziaw zwanych klasami albo przedziaami klasowymi.Dugo klas, d, wyznaczamy w ten sposb, aby kd byo nieco wiksze ni Rmaks Rmin , a pocztek pierwszego przedziau klasowego tak, aby Rmin naleao do pierwszego a Rmaks do ostatniego przedziau klasowego.Liczymy obserwacje nalece do poszczeglnych klas. Otrzymujemy w ten sposb liczebnoci klas.Liczebnoci klas dzielimy przez liczebno caej prby otrzymujc w ten sposb czstoci, ktre utosamia bdziemy z prawdopodobiestwem, e warto zmiennej losowej naley do danej klasy.Bardzo wan decyzj przy konstruowaniu szeregu rozdzielczego jest okrelenie liczby klas. Zaley od niej czytelno histogramu liczebnoci.

Empiryczny rozkad prawdopodobiestwa21Przykadem niech bdzie 1437 prbek gleby pobranych z rnych, losowo wybranych miejsc dawnego wojewdztwa poznaskiego. W kadej prbce zbadano zawarto oowiu. Okazao si, e minimalna zawarto bya rwna Rmin = 1,8 g/kga maksymalna Rmaks = 69,8 g/kgdla rnych liczb klas histogram czstoci przedstawia si nastpujco.Empiryczny rozkad prawdopodobiestwa22Zbyt duo klasEmpiryczny rozkad prawdopodobiestwa

23Zbyt mao klasEmpiryczny rozkad prawdopodobiestwa

24Prawdopodobnie waciwa liczba klasEmpiryczny rozkad prawdopodobiestwa

25rodki przedz. Klas.xiLiczebno niCzsto pixipixi - E(X)(xi-E(X))2pi2,4285580,0055670,01352-13,57761,02630737,285651520,1057760,770646-8,720478,043902312,142755830,4057064,926391-3,863376,055427416,999853820,2658324,5190970,9937280,262507621,856951690,1176062,5705115,8508284,025915226,71405810,0563671,50580210,707936,463074331,57115230,0160060,50531415,565033,877670436,42825120,0083510,30420320,422133,482783541,2853580,0055670,22984225,279233,557630546,14245110,0076550,35321330,136336,952109350,9995540,0027840,14196134,993433,408601355,8566530,0020880,11661139,850533,315374960,7137500044,70763065,5708500049,56473070,4279510,0006960,0490154,421832,0610545n =1437E(X) =16,00612Var(X) =52,532359Empiryczny rozkad prawdopodobiestwa obliczanie momentwSumaSumaPrawdziwe wartoci momentw s nastpujce:E(X) = 16,00689 Var(X) = 50,3841 Jak wida, warto oczekiwana estymowana jest prawidowo, niestety nie mona tego powiedzie o wariancji.26Powodem zej estymacji wariancji jest czynione w szeregu rozdzielczym zaoenie, e wszystkie obserwacje nalece do danego przedziau klasowego s rwne rodkowi tego przedziau. Aby ten bd zminimalizowa, wariancj dla szeregu rozdzielczego estymuje si wedug nastpujcego wzoru:

gdzie:nliczebno prbykliczba przedziaw klasowychniliczba obserwacji naleca do i-tego przedziau klasowego, i = 1, 2, , khdugo przedziau klasowego.

Empiryczny rozkad prawdopodobiestwa obliczanie momentw

27Empiryczny rozkad prawdopodobiestwa obliczanie momentw

Przypomnijmy, e prawdziw wartoci wariancji jestVar(X) = 50,3841 Jak wida, wariancja jest estymowana znacznie lepiej.28LiteraturaRadosaw Kala (2002): Statystyka dla przyrodnikw. Wydawnictwo Akademii Rolniczej im. A. Cieszkowskiego w Poznaniu.Czesaw Platt (1981): Problemy rachunku prawdopodobiestwa i statystyki matematycznej, PWN Warszawa29Arkusz1xi nixini xi2nihVar(X)2.42855819.428447.182840824.857150.60162020697.285651521107.41888068.2657802212.142755837079.2232585961.238118937516.999853826493.9427110396.05180859521.856951693693.8245580735.738498122526.71405812163.8380557804.877859602531.5711523726.1364522924.962783417536.4282512437.13915924.2087767541.285358330.282813635.8409969846.1424511507.5669523420.382612027550.999554203.998210403.8164008155.856653167.569959359.896047667560.7137500065.5708500070.42795170.427954960.0961412025S =143723000.79705443642.558665153

Arkusz2pb (ow)Brzegi przedziaw klasowychxinipixipixi-E(X)(xi-E(X))2*pi2202.4285580.00556715380.0135201113-13.57757181631.0263073427143720.74.85717.285651520.10577592210.7706463466-8.72047181638.04390227011429199.714212.142755830.40570633264.9263905706-3.86337181636.0554273932127728.214.571316.999853820.26583159364.51909721640.99372818370.262507556469426.519.428421.856951690.11760612392.57051116915.85082818374.025915228731223.724.285526.71405810.05636743221.505802400810.70792818376.46307432514336.529.142631.57115230.01600556720.505314161415.56502818373.87767039276227.733.999736.42825120.00835073070.304202505220.42212818373.48278346183928.538.856841.2853580.00556715380.229841892825.27922818373.55763049442721.443.713946.14245110.00765483650.353212908830.13632818376.95210928351926.148.57150.9995540.00278357690.141961169134.99342818373.4086012973839.553.428155.8566530.00208768270.116610960339.85052818373.3153749405469.858.285260.7137500044.7076281837014263.142365.5708500049.56472818370145.967.999470.4279510.00069589420.049010403654.42182818372.0610545462153.872.8565E(X)=16.0061218163Var(X)=52.532358532547.345.441.333.2n=143710.110.210.57.58.714.2121926.615.715.51715.513.219.617.119.716.321.517.51915.519.818.616.114.215.71420.618.81415.413.213.514.112.9111319.711.213.515.914.114.39.713.129.729.114.912.812.111.99.411.113.414.416.111.18.81110.612.715.213.914.38.821.613.313.112.712.412.413.112.215.114.510.212.4129.817.87.514.76.2218.91310.28.510.411.910.69.311.410.39.79.910.310.38.111.18.310.911.59.39.310.411.111.924.28.86.39.39.28.46.611.85.73.113.811.77.49.13.12.714.78.67.311.69.88.911.313.212.61412.915.113.511.619.91312.913.71311.221.3131111.51410.413.214.89.811.71817.21213.710.411.29.311.210.412.312.111.1121316.99.896.813.86.488.286.99.29.49.44.77.132.311.715.17.87.57.79.97.38.810.39.311.19.57.57.18.411.114.212.513.110.912.713.613.813.911.418.519.112.712.611.332.214.66.612.219.29.911.22314.210.98.99.611.611.29.7122011.511.911.511.710.511.110.818.510.113.615.813.112.514.810.918.119.211.71513.511.412.212.21413.613.512.310.715.210.29.11410.11316.318.515.321.219.516.313.928.713.914.912.51212.813.913.511.954.518.114.815.811.217.111.717.712.710.310.79.910.311.514.411.814.512.411.913.311.71523.414.412.813.815.815.513.515.213.51313.918.214.220.214.412.114.814.312.613.235.813.834.124.59.5158.528.322.113.235.318.811.31011.311.113.11219.628.31320.721.318.821.518.117.218.323.118.718.4231618.119.420.81516.214.714.514.512.314.218.623.418.17.916.816.810.7717.117.114.217.1911.520.619.111.710.811.511.513.41415.810.813.210.411.59.81312.112.912.419.417.912.912.414.520.113.713.715.31513.719.114.510.419.917.613.213.710.711.810.410.811.710.29.69.714.411.71210.715.19.915.811.916.211.9149.418.913.514.812.114.316.911.310.611.313.432.214.312.311.718.113.613.821.614.512.4161514.511.611.810.215.318.810.61313.71714.314.316.511.222.219.31317.218.814.157.821.41210.411.59.19.811.710.211.917.912.111.514.114.610.48.711.21613.410.8139.39.810.67.510.612.812.111.912.510.812.310.81310.213.315.11711.214.314.312.419.614.914.518.513.316.616.510.923.527.233.926.127.433.130.424.231.834.230.325.746.539.746.641.848.947.240.84551.344.749.747.942.31919.818.31819.813.321.119.516.719.717.736.31818.4181814.515.416.817.415.216.217.819.314.51417.814.424.616.41616.315.515.714.911.412.512.322.822.516.914.91113.716.115.814.118.115.714.89.99.17.15.921.721.713.621.119.619.915.720.412.61113.611.88.19.110.29.59.48.96.811.39.415.66.89.63.81010.54.3515.810.86.18.16.11.817.86.914.713.214.313.613.815.112.915.815.61612.711.312.712.116.913.613.616.513.211.924.928.413.118.59.310.611.411.39.114.313.71013.28.812.513.111.310.8610.49.714.311.413.17.57.36.18.59.94.86.999.17.26.35.99.67.96.78.58.611.210.48.611.58.611.213.315.616.514.820.51719.217.530.330.327.420.921.320.219.916.726.921.222.344.126.727.232.320.412.319.220.314.214.323.326.120.125.320.124.52228.129.121.821.610.39.911.413.912.710.512.111.410.513.212.71110.57.212.316.511.81414.620.77.9139.66.89.311.97.67.95.710.314.79.6118.89.96.612.711.210.6121012.17.39.915.811.615.710.711.812.220.15.28.611.878.88.27.31213.919.121.513.716.616.321.419.72619.322.819.919.521.623.117.821.131.718.417.220.819.418.223.415.423.62322.921.12020.419.917.425.916.613.717.812.119.912.920.521.616.115.923.524.925.422.218.417.119.525.8191520.316.827.321.31734.333.119.822.123.525.524.827.727.531.237.923.930.734.428.526.923.723.924.82523.120.919.721.725.121.32020.11715.116.917.816.618.912.115.211.5151917.116.717.517.115.514.517.415.816.316.815.817.422.318.61618.817.915.716.31618.218.630.221.920.637.722.58.217.515.614.215.2161416.226.715.21417.913.813.91514.313.716.912.914.424.327.525.921.727.524.928.725.328.727.826.225.429.526.825.722.421.124.425.52521.812.612.518.213.313.720.318.315.814.717.620.917.719.316.516.115.59.715.917.71111.813.16.313.78.815.917.318.522.417.524.225.116.412.425.420.327.41918.22018221816.12117.118.619.31413.125.426.814.320.327.8422024.823.414.814.31514.520.321.219.717.616.120.3212918.423.115.512.714.315.1382516.117.617.815.115.817.427.218.217.731.924.915.220.616.318.114.312.727.73020.521.822.120.321.129.523.124.328.122.326.322.92426.728.920.125.614.19.712.910161214.312.711.310.710.1914.611.610.110.71110.37.61114.611.811.817.711.89.615.815.37.610.513.717.4129.511.244.416.813.315.713.316.315.321.67.510.91614.318.610.717.49.39.815.510.61213.31437.37.512.5815.311.514.312.512.512.411.715.815.912169.611.112.713.119.214.515.916.121.916.317.117.912.916.513.815.217.819.220.315.310.612.81210.98.99.812.39.98.69.924.515.211.215.711.811.710.611.711.613.816.211.614.59.812.710.79.49.614.713.915.111.41217.414.714.111.216.814.517.222.313.115.514.113.314.314.114.315.513.114.515.710.17.35.17.56.515.489.112.611.717.115.812.511.514.215.512.51514.81416.317.424.423.123.322.120.323.325.12119.68.310.633.921.411.315.815.116.212.111.79.212.715.115.413.613.812.312.511.51215.715.113.814.711.914.315.41215.913.513.514.416.113.913.213.814.61514.515.316.715.421.615.715.51816.519.41717.317.2151622.215.716.316.82015.720.619.214.51413.315.112.417.413.317.41213.717.613.318.921.61915.816.416.414.917.621.618.51617.217.616.819.217.614.713.113.613.39.513.611.712.917.114.512.913.214.514.612.913.619.811.423.812.312.119.816.11213.210.913.4152028.914.617.11419.513.652.81621.216.414.621.616.513.814.717.615.713.312.512.510.212.816.313.811.411.411.412.514.11312.7

Arkusz3