XXI Oficina Nacional de Problemas de Corte, Empacotamento e Correlatos

Estudo de Heurísticas para a Resolução do Problema do Carregamento de Paletes com Círculos

Giancarlo Csonge Barotti Débora Pretti Ronconi

Introdução• Carregamento de paletes com cilindros variados, sendo a otimização

resposta ao aproveitamento máximo da base retangular

• Aplicações: tubulações, cabos e rolos...

• É possível, teoricamente, fazer todas as combinações e achar uma ou várias soluções ótimas

• De um ponto de vista prático, buscamos contornar a necessidade de testar todas as soluções possíveis

• Métodos heurísticos ajudam a buscar uma solução aproximada em tempo considerável. Esta característica é fundamental para decisões de curto prazo como aquelas associadas a problemas reais

Descrição do Problema• Problema de corte circular restrito, denotado

problema CC

• O problema consiste numa placa retangular que deve ser cortada em quantas peças circulares, de diversos tamanhos, for possível

• Cada peça é caracterizada por um raio, uma quantidade e um lucro (ou peso). O lucro é a área da peça de cada tipo. Assim, o objetivo é maximizar a área utilizada da placa

Métodos Estudados

• Downsland et al. (2007) – Padrão Hexagonal• Huang et al. (2006) – Maximal Hole Degree• Zhang e Deng (2005) – Discos Elásticos• George et al. (1995) – Nº de Posição• Hifi e M'Hallah (2004) – Heurística Construtiva• Birgin et al. (2005) – Problema de Decisão

Birgin et al. (2005) • Cilindros idênticos em uma base retangular• Resolução por um problema de decisão não-linear:

“Dados k círculos de raio r e um retângulo de lados d1 e d2, até quando é possível alocar todos os círculos dentro do retângulo ou não?”

• Objetivo: determinar os centros de cada um dos k círculos, p1, ... , pk

[r, d1 - r] × [r, d2 - r], resolvendo o seguinte problema:

Minimizar ∑i≠j max(0, (2r)2 – || pi – pj ||2

2)2

Sujeito a r ≤ p1i ≤ d1 – r, e

r ≤ p2i ≤ d2 – r, para i = 1, ... , k.

Generalização• Para k círculos de raios r1, r2, ... , rk diferentes, através de algumas poucas

alterações na formulação não-linear original de Birgin et al., obtemos a formulação:

Minimizar ∑i≠j max(0, (ri + rj)2 – || pi – pj ||2

2)2

Sujeito a ri ≤ p1i ≤ d1 – ri, e

ri ≤ p2i ≤ d2 – ri, para i = 1, ... , k.

• Problema: não basta apenas adicionar mais círculos, como no método original, para assegurar a maximização, uma vez que não há uma ordem definida que garanta a maximização da área ocupada

Definindo um Ordenamento Inicial Básico

Problema Decrescente Crescente Alternado Decrescente

Alternado Crescente

SY1 79,110 75,240 77,468 77,468 SY2 79,051 69,943 73,428 73,428 SY3 80,353 71,162 76,930 76,324 SY4 79,718 76,175 79,224 78,793

• ordenamento decrescente dos círculos propicia, entre os ordenamentos básicos, os melhores resultados, sendo que o ordenamento crescente apresenta o resultado oposto

Aleatoriedade vs. Informações

• O método de Birgin et al. (2005) utiliza diversas soluções iniciais aleatórias para obter uma solução final

• Como, de algum modo, agregar informações úteis ao método?

Aprendendo com Problemas Menores

• Tentar empacotar os círculos da melhor forma possível em um retângulo menor, guardar esta informação e utilizá-la em um problema maior e assim por diante

• O empacotamento da base retangular original será então influenciado por uma série de empacotamentos anteriores

Parâmetros

• Breve definição dos parâmetros para o método a seguir

Quantidade de Passos

• É a quantidade de expansões a serem realizadas ou, alternativamente, a quantidade de paletes reduzidos a serem resolvidos

• Ex:

3 passos ( 16 passos na heurística final)

Proporção

• Refere-se à proporção entre as dimensões do subproblema inicial comparado ao retângulo original do problema

• Ex:

Proporção de 50%

Salto

• Salto: determina o momento em que deve-se interromper a resolução de um subproblema e expandi-lo para um retângulo maior

– Saltar, ou expandir o retângulo, somente após exaustão do subproblema, ou

– Saltar assim que o houver a primeira falha ao adicionar um círculo

– Saltar quando uma determinada densidade for atingida (ou quando ocorrer a primeira falha)

Densidade

• Em alguns casos o método atingia alta densidade de ocupação para os subproblemas, apresentando queda nesta densidade apenas no retângulo definitivo

• A densidade máxima encontrada para a heurística final foi de 75%

Posicionamento

• Posicionamento: resolvido um retângulo, onde localiza-lo no próximo?

Retângulo recém resolvido

Retângulo recém resolvido

Alocação

• Refere-se à areá passível de alocação de novos círculos, considerando interferir ou não na solução repassada do ultimo subproblema resolvido

Persistência

• Refere-se ao número de tentativas para se adicionar cada círculo onde serão utilizadas as informações da solução obtida no último sub-problema

– N correspondente a quantidade de tentativas de se adicionar cada novo círculo

– Das N tentativas, fixadas em 1000, qual a quantidade de vezes em que utilizaremos ou não as informações adquiridas nos subproblemas resolvidos anteriormente?

Categorias de Persistência

• Apenas na primeira tentativa;• Nas primeiras 500 tentativas; • Em todas as 1000 tentativas;• Abandono progressivo das informações

obtidas;

Memória

• É a quantidade de tentativas, das N tentativas de se adicionar um círculo, nas quais serão adotadas como coordenadas iniciais, para todos os círculos já alocados, as coordenadas da última alocação sucedida

• Testes demonstraram que uma memória de 50 tentativas é o suficiente

Resumo da Heurística• Adicionar os Círculos em ordem decrescente• 16 passos (ou subproblemas)• Expandir ao primeiro círculo não alocado• Densidade máxima em um subproblema: 75%• Soluções iniciais obtidas centralizadas• Tenta-se como solução inicial:• 50 primeiras - ultima solução sucedida obtida• Outras 950 tentativas - solução obtida no último subproblema resolvido

Exemplo

Exemplo

Desenvolvimento

Resultados

  GENCAN Proporção: 70%; Proporção: 50%; Proporção: 50%;

Decrescente

2 Passos; 16 Passos; 16 Passos;

Salto tipo 2. Salto tipo 3. Salto tipo 3;

      Memória: 50.

SY1 79,1104 79,7747 79,9122 81,0387

SY2 79,0506 78,7666 79,9140 80,8434

SY3 80,3530 80,6294 80,6294 81,3341

SY4 79,7178 80,3302 79,2005 81,738

Ocupação Média

79,5580 79,8752 79,9140 81,2386

Resultados

  GENCAN            

  Decrescente HC GA-BH M-GENCAN SY   B1.0

SY1 79,110 79,582 80,723 81,0387 83,186 -

SY2 79,051 77,535 79,412 80,8434 81,638 81,638

SY3 80,353 79,756 81,653 81,3341 81,940 81,940

SY4 79,718 80,307 80,388 81,7380 81,738 81,738

SY5 81,740 82,220 82,220 82,2199 82,220 82,220

SY6 81,584 82,042 82,176 82,2425 82,243 82,243

Ocupação Média

79,994 79,8800 80,8792 81,4348 82,1444   82,0780

Conclusão• Contornamos a questão do ordenamento dos círculos• Confrontamos o valor de informações à aleatoriedade quanto a

soluções iniciais• As informações passadas dos subproblemas mostraram-se valor

para a geração de novas soluções