Yapı Statiği 2

8/12/2019 Yap Statii 2

1/65

Blm1 zostatik-Hiperstatik-Elastikekil Deitirme

Yayndr oaltlamaz http://mizan.ogu.edu.tr.1

ESOG -MMF1970


2/65

zostatik-Hiperstatik-Elastikekil Deitirme Blm1


NDEKLERSAYFA

BLM 1 2

1.1 zostatik sistemler ve aret Kabul.1.2 Mesnetler.1.3 zostatik Sistemlerin zm ve rnekler1.4 Hiperstatik Sistemler..1.5 Sistemlerin zmnde yaplan Kabuller..

BLM 2 572.1 Virtel ...2.2 Betti Teoremi...2.3 Maxwell Prensibi.

BLM 3 973.1 Mohr Metodu...3.2 Castigliano I Teoremi.3.3 Castigliano II Teoremi

BLM 4 1364.1 A Metodu..4.2 Dm Noktalar Sabit Sistemlerde A Metodu...4.3 Ankastrelik Momentlerinin Bulunmas.4.4 Dn Noktalar Sabit Sistemlere Ait rnekler..4.5 Dm Noktalar Hareketli Sistemlerin A Metoduyla zm.4.6 Simetrik Sistemler A Metoduyla zm4.7 Simetrik Sistem Simetrik Ykleme...4.8 Simetrik Sistem Antimetrik Ykleme

4.9 Is Etkisi

BLM 5 2295.1 Cross Metodu..5.2 Dm Noktalar Sabit Sistemlerin Cross Yntemiyle zm.....5.3 Dm Noktalar Hareketli Sistemlerin Cross Yntemiyle zm

BLM 6 2726.1 Kuvvet Metodu..........................................6.2 Simetrik Sistemler..6.3 Moment Denklemi.

BLM 7 3577.1. Matris Metodlar..7.2. Kafes Sistemlerin Matris Metodu le zm .7.2. ereve Sistemlerin Matris Metodu le

zm

EKLEREK1 Alan arpm Tablosu..... 397EK2 Ankastrelik Moment Tablosu 398EK3 Kaynaklar 399


3/65



BLM 1

1.1. ZOSTATK SSTEMLER VE ARET KABUL

Kolon ve kirilerden oluan yap sistemlerinin boyutlandrlmasnda esas olan,a. Kesme kuvveti (V)

b. Moment (M)

c. Eksenel kuvvet (N)

kesit tesirleri yap elemannn dolaysyla sisteminin,a. Kesit ve fiziksel

b. Mesnet

c. Yk

zelliklerine gre belirlenir. Kesit tesirlerinin iaretlerinin belirlenmesinde elemanlarn ekil

deitirmeleri esas olmak zere yaplmasna karn deiik kabuller yaplarak deiik iaretkabulleri kullanlabilmektedir. Literatrdeki mevcut kaynaklarda eksenel kuvvet iaretinde birfarkllk olmamakla birlikte moment ve kesme kuvvetlerinin izimlerinde deiik iaret kabullerinerastlamak mmkndr. Bu notlarda kullanlan iaret kabul aadaki gibidir.

KESME KUVVETARET KABUL

+

V V

-

V V

EKSENEL KUVVET ARET KABUL

BasnPP -

ekme

PP +

+

Basn

ekmeE LME MOMENT ARET KABUL

M M

-

ekme

BasnM M

Yksz (kendi arl ihmal)

Ykl (P) (kendi arl ihmal)

P

P

Basn Blgesiekme Blgesi


4/65



Yukardaki ekillerden de anlalabilecei gibi, eilme momentinden dolay elemannn uzayanyani ekme meydana gelen ksm art dier ksm ise basn blgesi olarak kabul edilmitir. Bunotlarda moment alan elemann ekme meydana getiren yzne izilmitir. Kesme kuvvetindeise kesiti saat ynnde dndrmeye alan kesme kuvveti art tersi eksi olarak kabul edilmitir.Eksenel kuvvette ise kesitin boyunu ksaltmaya alan basn kuvveti eksi kesitin boyunu

uzatmaya alan ekme kuvveti ise art olarak kabul edilmitir.

Eilmedenekme atla

Eilmedenekme atla

Eilmedenekme atla

Eilmedenekme atla

Eilmedenekme atla

Diyagonal

Kesme atla

DiyagonalKesme atla

DiyagonalKesme atla

Basn Blgesi

P


5/65




6/65




7/65



L= 6m

Py=100sin60=86.6 N

A

B

60oPx=100cos60=50 N

L= 6m

P=100N

A

B

60ox

y

P=100N

RNEK 1: ekilde verilen 200 Nluk kuvvetin A noktasna tanmas.

zm:200 N Anoktasna ekildeki gibi dik mesafe ile arpmyla tanr [Varignon, 1654-1722].

VEYA200 N birleenlerine ayrlarak matris formatyla moment ifadesi yazlarak tanr.

A

i j k

M rxF 8 4 0 565.6k

141.4 141.4 0

= = =

1. MOMENT [BR KUVVETN DKBR EKSENE GRE]

Moment; bir kuvvetin bir noktaya dikmesafesi ile arpmndan oluan kuvvet iftine denir.

Dzlem kuvvetlerin momenti aada ksaca rnek zerinde aklanmtr.

kNm123x4M

kNm205x4LxPM

B

A

========

============

AM PxL 86.6x6 50x0 519.6Nm= = + =

A

4m

200 N

45o

8mx

y

141.4 N

141.4 N

r

B

d

A

4m

200 N

45o

4mx

y

B

4m

45o

d=(22+22)0.5=2.828 m

MA=200x2.828=565.6 kNm

A4

m

200 N

45o

x

y

B

565.6 kNm

A

4m

200 N

45o

x

y

B

565.6 kNm

A

200 N

x

y

B

565.6 kNm

A

4m

200 N

45o

8mx

y

B

L2= 5

m

L1=3m

P=4 kN

AB


8/65



xi yj zk

o

o xi yj zk

r xi yj zk

F F F F

M rxF

M M M M

= + +

= + +

=

= + +

Momentin aret: Vektrel arpm iaret kuralndan kar. Veya M=rxF olmasndan dolay F

kuvveti indis (x,y,z) eksenine bititirilir ve saat dn + tersi alnarak vektrel arpm iaret

kural ile ayn olduu grlr.

MOMENT,

1. Verilen kuvvet-kuvvetlerin eksenlerindeki birleenleri

2. Kuvvet-kuvvetlerin uyguland nokta ile moment alnacak nokta arasndaki noktalarnyer vektrleri

3. 1. ve 2. deki deerler kullanlarak

x y z

M y z

F F

i j k

x

F

====

ile MOMENT-MOMENTLER hesaplanr.

4. Moment hesab iin gerekli olan matris tablodaki gibi oluturulur.

i j k Eksenlerin dorultman kosinsleri

x y z Fkuvvetinin uygulama noktas koordinatlarM =

Fx Fy Fz Fkuvvetinin bileenleri

[[[[ ]]]]

[[[[ ]]]]

x

z y z x y x

y z

x z y y z x z y x

M y z F y F z i F x F z j F x F y k

F F

M F y F z M F x F z M F x F y

i j k

x

F

= = + = = + = = + = = +

= = = = = = = = = = = =

x

z

y

Mxi zFyFM yzx ====

Mzk yFxFM xyz ====

Myj [[[[ ]]]]zFxFM xzy ====

F

r

x

z

y

Mxi

yj

zk

xi

Fyj

Fxi

Fzk

Mzk

Myj

Mo

x z

yMy

F

Fx

Fy

rx

ry

Mz=rxFy- ryFx

yye paralel xe dik olanlar Mzoluturur

x

xe paralel yye dik olanlar Mzoluturur


9/65



L2= 5mL1=3m P=4 kN

AB

L= 6m

Py=100sin60=86.6 N

C

B

60o

L= 6m

P=100N

C

B

60o

x

y

P=100N

z

0

3mx

y

F=40 N

A

5m

-

8m-B

3m

8m

z

0 x

y

F=400 N

2m

-

B

F=300 N

F=500 N

2m

Mx, My ve Mz deerleri skaler olup F kuvvetinin O merkezinden geen eksenlere gremomentleridir. Bu momentler; F kuvvetinin rijit cisme eksenleri etrafnda uyguladdndrme uygulamalardr

o A B

i j k i j k i j kM 3 0 0 0 M 3 5 0 5x40 200Nm M 3 0 8 8x40 320Nm

40 0 0 40 0 0 40 0 0

= = = = = = = =

x

o y

z

B 8 2y

x

x

M [2x50 2x30]ii j k

M 3 2 2 Nm M [3x50 2x40]i

40 30 50M [3x50 2x40]i

i j k i j k i j kM 3 0 8 0 2 8 0 0 6 0

40 0 0

MM [8x30]i

40i

70j

70k

M [8x40] j

0 30 0 0 0 50

22 0i0j 43

= = = = = =

= =

= = + = + = =

=

=

=

= y

z

M 320j

M

240i

0

=

=

=

zellik 1: M momentinin Mx skaler birleeni M ile x ekseni zerindeki birim vektr inin skalerarpmndan;

xxzyxzyx M00]1[M]i.kMi.jMi.iM[i.]kMjMiM[i.M ====++++++++====++++++++====++++++++====

olarak elde edilir. Buna gre Mmomentinin herhangi bir neksenine gre Mnmomenti neksenizerindeki unbirim vektr ile [Mn=M un]arpmdr.

Yukarda klasik olarak momentler vektrel olarak aadaki ekilde aynsnn bulunduu grlr.

kNm123x4M

kNm205x4LxPM

B

A

========

============

CM PxL 86.6x 6 50x 0 519.6Nm= = + =

zkyjxizkyjxi MMMMFFFFzkyjxirFxrM ++++++++====++++++++====++++++++========


10/65



[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] kNm20k0]5[x]4[j0i0

040

005

kji

FFF

zyx

kji

M

zyx

A ====++++++++====

====

====

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] kNm12k03x4j0i0040

003kji

FFF

zyxkji

M

zyx

B ====++++++++====

====

====

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] Nm6.519k0]6[x]6.86[j0i006.8650

006

kji

FFF

zyx

kji

M

zyx

C ====++++++++====

====

====

RNEK 2:ekilde verilen sistemde;a:x, y ve z eksenlerindeki momentleri, b:AD dorultusundaki momenti hesaplaynz.

a:Verilen kuvvetin eksenlerdeki birleenleri,

DE2 2 2

200r [ 12i 18j 40k] F [ 12i 18j 4 [ 52.77i 79.16j 175.90k]12

0k40

]18

= + = + =+ +

+

MO 2 2 2400r [12i 8 j 20k] 24.66F [12i 8 j [194.65i 129.77j 3220k] 4.48

11

]2 20

k= + + = + + = + ++ +

x, y ve zeksenlerine gre moment, DO 12i 8 j MO 12i 8 j 20k= + = + +

yer vektrleri ile hesaplanr.

0

i j k i [1407.2 0.12] [2110.8 0.08] [ 527.76 0.04]

M 12 8 0

52.77 79.16 175.90

j k i j k

12 8 20

194.65 129.77 324.41 140 527.7211 2k]kNm07.08i .72j[

+ + = + =

Eer her eksenin momenti ayr hesaplanrsa matristeki aranan eksen numarasna 1dierlerine0yazlarak ayr ayr aadaki ekilde hesaplanabilir.

x'momenti x'momenti

x

0 0

12 8 20 1407.08kNm

194.65 129.77 324.

1 0 0 1

M 12 8 0 1[1407.2 0.12]

52.77 79.16 175. 490 1

= + = =

y'momenti y'momenti

y

0 0

12 8 20

194.65 129.77 324

1 0 0 1

M 12 8 0 1[2110.80 0.08]

52.77 79 .41.16 175

2110.72kNm

.90

= + = =

1020

128

200 kN

z

y

x

O

B

D

E

20

20

!00 kN"


11/65



z'momenti z'momenti

z

0

12 8 20

194.65 129.77 324.

0 1 0 0 1

M 12 8 0 1[ 527.76 0.04]

52.77 79.16 175.9

527.72kN

0

m

41

= + = + =

b: AD dorultusundaki momenti bulmak iin tm kuvvetler A noktasna tanr ve sonra ADdorultman deerleri ile arplarak AD dorultusundaki moment aadaki ekilde hesaplanr.

rAD=(0-12)i+(0-8)j+(40-0)k=-12i-8j+40k

20

A

AD A AD

0N

2 0

40

0

0N

1759.2[ 200 487.76 ]

i j k i j k

M

51

12 8 40 0 0 40

57.77 79.16 175.9 194.65 129.77 324.41

A moment

j 7786j 7586j

12i 8j 4M M r 758

i 3431.6ik 487.76k

487.3431 76k6j

90.8i

.6i

= + =

= =

+ = =

+ +

i i0k 00

42.52

=

VEYA; ADdorultusundaki momenti bulmak iin tm kuvvetler D noktasna tanr ve sonra DA dorultman deerleriile arplarak DA dorultusundaki moment aadaki ekilde yukarda hesaplanan AD dorultusuyla ayn olarakhesaplanr.

2

2

D

AD A AD

00N 400

0

N

0[0 ] 2595.2

i j k

i 0j 0 2595.28i

2

k 0.04k

0.04

i j k

M 0 0 0 12 8 0

57.77 79.16 175.9 194.65 129.77 324.41

D moment

3692.92j

12i 8 jM M r 3692.92

8i 3892.92j 0.04

595.28i j k

k +

= + =

= = +

+ = =

+ +

+i i40k

00042.52

=

RNEK 3: ekilde verilen kuvvet (100 N, 200 N ve 400 N) ve momentin (600 Nm),

a) AB dorultusunda oluturaca momenti (MAB)

b) Orjinden 14 m uzaktati S-S dorultusundaki momenti (Mss) hesaplaynz.

zm a: Eksenler zerinde olmayan kuvvetlerin ve momentlerin birleenleri bulunur.

AC 2 26j 4kF 200 166.41j 110.94k6 4 +

= = + +

P2 2 2

2i 2j 2kM 600 346.42i 346.42j 346.42k

2 2 2

+ = = +

+ +

B noktasndaki momenti bulunarak AB dorutusundaki birim vektrle arplarak MBA aadaki ekildebulunur.

1020

128

200 kN

z

y

x

O

B

D

E

20

20

!00 kN"

B

6m

4m

A

x

y

6m

100N

200 N

400 N

O

z

C

z

600 Nm

P

2m

2m

2m

x

y

14mS


12/65



100N 400N

P

2 0N

P

0

B

i j k i j k i j k

M 0 0 4 6 0 4 6 0 0

100 0 0 0 400 0 0 166.41 110.94

[ 346.42i 346.42j 346.42k]

[ ]346.42i 4x400

B

346 346.42k.42j 4 6x4x100j 6x1i 100k

= + + +

+

+= + + 0.94j

80.78j

6x166.41k

3744.88k1253.58i

= +

B noktasnda bulunan BM 80.78j1253. 37458i 4.88k= + momenti hangi dorultuya tanacak

ise o yndeki birim vektrle (dogrultman cosinsleri) arplarak tanr.

rnekte ABdorultusunda tanmas isteniine gre bu yndeki birim vektr;

[ ]

AB2 2 2

AB B AB skaler

AB

6i 6j 4ku 0.64i 0.64j 0.426k ise

6 6 4

M M u [ 80.78j ] 0.641253.58i

(1253.58x( 0.

i 0.64 j 0.426k

M (80.98x0.64)j.j 802.29 51.83 1596.79 8

3744.88k

( 3744.88x( 0.426))k.k 46.64))i. 20Ni

+ = = +

+ +

= = + +

+= + = + + =

i i

m

VEYA A noktasndaki moment bulunarak da MABaadaki gibi ayns bulunur.

100N 400

A

AB

P

P

N 200N

A AB

i j k i j k i j k

M 6 6 0 0 6 0 0 6 4

100 0 0 0 400 0 0 166.41 110.94A moment

600k 00 00 346.42j

M M u

9

[ 346.42i 346.42j 346.42k]

[ 346.42i 346.42j 346.42k 346.42i 4 42] 6. k

= + + +

+ + = +

=

+

+

i 346.42j [ 0.64i 0.64 j346.42i ] 846.59 Nm0.426k946.42k

= + + = i

zm b: Kuvvetlerin eksenlere gre analizleri yukarda yaplmt. Burada S noktasnda tm

kuvvetlerden oluan moment hesaplanr ve S dorusu boyunca hesaplanan dorulman

deerleri ile arplarak S dorultusundaki moment aadaki ekilde hesaplanr.

10

S

0N 400N 200N

P[ 346.42i 346.42j 346.42k]

[ 34

i j k i j k i j kM 14 6 4 8 6 4 8 6 4

100 0 0 0 400 0 0 166.41 110.94

S mome6 42i

t.

n

= + + +

+

346.42j+ P346.42k] [00i + 400j+ 100600k] [1600i+ + 00j+ 4003200k]

[1331.28i

+

+ 877.52j+ 400

S A ss

2584.86i

25

1331.28k] 1623.94j

M M u 1

4784.86k

4784.86k84.86i [ j] 1623623.94 .94 Nmj

+

+ += + = = =+ +i i


13/65



RNEK 4:ekildeki kmal kiriin kesme, moment ve normal kuvvet diyagramlarnn izimi.

zm:ilk nce sistemin mesnet tepki kuvvetleri bulunur ve sonra kesim yaplarak her noktannkesit tesirleri [V, M ve N] bulunur.

Yap sistemlerinde yk, kesme kuvveti ve moment arasndaki iliki

4.4. KESME KUVVETLE MOMENT ARASINDAKLK

Fy=0 V - q (dx) [V + dV]= 0 -q (dx) [dV]= 0 dV=- q (dx) dV qdx=

(Kesme kuvvetinin trevi yayl ykn deerini verir.)

Ms=0 V dx + M -q (dx) (dx /2) [M + dM]= 0 Vdx = dM dM Vdx=

(Momentin trevi ise kesme kuvvetinin deerini verir.)

Not:dx kk bir dilim olduu iin2dx

02

= alnmtr.

2 kN/m10 kN

3m

45o

6m

9.54

7.07

By=2.465 kN7.07kN

Ay=16.605 kN

2 kN/m

7.07

2.47

21.21

1.52

7.07

V

M

N-

-

-

+

+

-

7.07V=-7.07 kN N=-7.07 kN M=-7.07xkN

X=3M=-21.21 kNm

x

V

N

M

7.07

Ay=16.605 kNx

V

N

M

3m

V=-7.07+2X+16.605 kNN=-7.07 kN

M=16.605x-7.07(3+x)-2x2/2

#$E$

elikKesit

ekme Blgesi Basn Blgesi

#$E$

Kesit

L

A B

Kesme

Moment

P

L

A B

+ -V V

M+M

dx

M+dM

x

A B

dx

V V+dVM

q(dx)

s


14/65



VEYAj

j ii

V V qdx = Buna gre yayl ykn alan kesme kuvvetini verir.

j

j iiM M V dx = Kesme kuvvetinin alan momenti verir.

L

MM

+

Moment

Kesme

+

P

VV-

i

j

dx

q

x

i

j

dM=Vdx

M

xdx

i

j

dV=qdxV

xdx


15/65



RNEK 1.2: ekildeki konsol kiriin kesme ve momet bantlarnn elde edilmesi

Konsol kiriin A mesnedindeki kesit tesirleri aadaki ekilde bulunur.

Fy=02 2x x

12 V 0 V 123 3

= =

Mz=0 9x

48x12M0M3x

3x

x1248

32

========++++

2 2 3 3

2 2

x 2 x 2x 2 V 12 12 10.67kN M 12x 48 12x2 48 24.89kNm

3 3 9 9= = = = = = =

2 2 3 3

4 4

x 4 x 4x 4 V 12 12 6.67kN M 12x 48 12x4 48 7.11kNm

3 3 9 9= = = = = = =

2 2 3 3

6 6

x 6 x 6x 6 V 12 12 0 M 12x 48 12x6 48 0

3 3 9 9= = = = = = =

4m

12 kN

12 kN

48 kNm

4 kN/m

6m

A

48 kNm

A

6m

3o

-

12 kN

A

6m

+2o

zx

12 kN

48 kNm

2x3

3x

V

M


16/65



RNEK 4.3:Verilen kiriin kesme, momentvenormal kuvvetdiyagramlarnn izimi.

zm: Sistemin mesnet tepki kuvvetleri hesaplanr.

x x x

A y y

B y y

F 0 6 B 0 B 6 kN

6x12M 0 x5 4 x3 B 9 0 B 18.67 kN

2

6x12M 0 x 4 4 x12 A 9 0 B 21.33 kN

2

= = =

= = =

= + = =

a-ave b-bkesitlerinde kesimler yaplarak kesit tesirleri aadaki ekilde hesaplanr.

kN6N3x6N06N0F mx ================++++====

2 myF 0 V 4 0.5x[x / 2] 0 V 4 0.25 x x 3 V 6.25kN= = = + = =

kNm25.14M3x]3/25.0xx4[M0]3/x][x5.0[x5.0x4M0M m3 ========++++========++++++++====

m mxF 0 N 6 0 N 6kN x 7.5 N 6kN x 12 N 6kN= + = = = = = =

2 m m myF 0 V 4 21.33 0.5x[x / 2] 0 V 17.33 0.25x x 3 4.5 7.5 V 3.27kN= + + = = = + = =

3

x x xM 0 M 4x 21.33[x 3] 0.5x[0.5x][x / 3] 0 M 63.99 17.33x x 0.25 / 3= + + = = +

6 kN/m

A B9m3m

4 kN6 kN

67.18BY ====33.21AY ====

6 kN/m

A B

9m3m

4 kN

36 kNa

a

b

b

6 kN

6xB ====

N

V

M

q =[qx/ L]=0.5x

x

4 kN

a-a

6 kN

33.21AY ====

A

4 kN

N

V

M

q =[qx/ L]=0.5x

x

b-b

6 kN


17/65



0M12x

kNm83.30M5.7x

xm

xm

========

========

Maksimum aklk momenti V=0da olduuna gre,

[1/2]

a

17.33Q 0 4 [0.5x]x[0.5] 21.33 0 x 8.33

0.25

x 8.33 maxM 21.33[x 3] 4x 8.33 [0.5x][0.5][8.33 /3] 14.25 32.20kNm

= + = = =

= = =

stenirse saynden de kesim yaplarak sonular kontrol edilebilir.

m mxF 0 N 6 0 N 6k x 9 x 12 N 6kN NN kN 6= = + = = = = =

x

6[12 x]q 6 0.5x

12

= =

2V ([[6 0.5x] 6]x) / 2 18.67 0 V 18.67 0.25x 6x x 4.5 ise V 3.27kN+ + = = + = =

x

x

2 3x

x

M [6 0.5x]x x /2 0.5xx[0.5][2x /3] 18.67x 0

M 18.67 x 4.5 ise

x 9 ise M 14.22

M 30.86kx 3x 0.5x / 6 N

kN

+ +

= =

= = =

=

+

6 kNN

V

M

x

67.18BY ====

6 kN/m

B

12

]x12[6

[M]+

[N]

- 18.67

6.25

67.18BY ==== 33.21AY ====

6 kN/m

A B

9m3m

4 kN

36 kNa

a

b

b

6 kN

6

6xB ====

-

14.25

4[V]-

+

-6.25

15.08

x=8.33


18/65



RNEK 1.3.V,Mve Ndiyagramlar ile [aMmax=?]momentinin hesaplanmas.

zm:lk nce mesnet tepki kuvvetleri hesaplanr.

A y y

B y y

M 0 4 x5x 2.5 4 x 2 4 5 xB 0 B 12.40 kN

M 0 4 x5 x 2.5 4 x 2 4 5 x A 0 A 7.60 kN

= + + = =

= = =

x x xF 0 4 B 0 B 4 kN= = =

VEYA: Kiriin E noktasnda momentin sfr (4 d momenttir bu yzden dikkate alnmaz veya bu noktada yazlanmoment bants bu d momente eitlenir) olacandan E noktasna gre moment alarak Bx tepkisibulunabilir. Yani momenti bilinen bir noktaya gre moment alnarak uygun mesnet tepkikuvvetleri hesaplanabilir(B noktasna gre moment yazlarak Bxbilinmeyeni bulunamaz)

kN00.4B0Bx542x4.125.2x5x43x47x6.70M xxE ========++++++++++++====

kN00.4B4Bx542x4.125.2x5x43x47x6.70M xxE ========++++++++++++====

x

y

F 0 N 7.6 0 N 7.60kN

F 0 V 0 M 0

= + = =

= = =

x y

x

F 0 N 7.6 0 N 7.60kN F 0 V 4 0 V 4

M 0 M 4x 0 M 4x x 1 m M 4kNm x 3m M 12kNm

= + = = = + = =

= + = = = = = =

x y

x

F 0 N 12.4 0 N 12.4kN F 0 V 4 0 V 4

M 0 M 4x 0 M 4x x 1m M 4kNm x 5m M 20kNm

= + = = = = =

= + = = = = = =

C

4 kN

4 kNm

A B

4 kN/m

2m5m

3m

2m

D

AY=7.6

N

V M

x

4 kN

AY=7.6

N

V M

x

B

BY=12.4

BX=4

N

VM

x

C

4 kN

AY=7.6

4 kN/m

N

V

M

x

C

4 kN

4 kNm

AY

B

4 kN/m

3m

2m

D

BY

BX

E

Serbest cisim diyagram[uygulanan ykler ilebulunmas gerekenmesnet tepkileri ]


19/65



x y

2x

F 0 N 4 0 N 4kN F 0 7.6 V 4x 0 V 7.6 4x

x 2m V 0.4 kNm x 5m V 12.4kNm

M 0 7.6 x 4xx[1/ 2] M 4[3] 0 M 7.6x 2x 12

x 2m M 4.8 kNm x 5m M 24kNm

= + = = = = =

= = = =

= = =

= = = =

x

y

2x

F 0 N 4 0 N 4kN

F 0 12.4 V 4x 0 V 12.4 4x

x 2m V 4.4 kNm x 5m V 7.6kNm

M 0 M 4 4xx[1/ 2] 4[5] 12.4x 0 M 12.4x 2x 24

x 2m M 7.2 kNm x 5m M 12kNm

= + = =

= + = = +

= = = =

= + + + = =

= = = =

Sistemin Q, M ve N diyagramlar aadaki ekilde elde edilmitir.

Maksimum aklk momentinin hesab aadaki gibi yaplabilir. [V=0daki x benzer genbantlarndan da bulunarak maksimum moment hesaplanabilir]

kNm78.4]2/9.1][4[9.1]3[4]9.1[6.7Mmaxm9.1x4.12x5

6.7x

a ============

====

VEYA DER YNDEN 1 1 1 ax 5 x

x 3.1 m maxM 12.4[3.1] 4[5] 3.1[4][3.1/ 2] 4 4.78kNm

12.4 7.6

= = = =

VEYA aadaki formller kullanlarak da ayn deerler aadaki gibi bulunur.

SOL YNDEN2 2

a mesnet

V 7.6 V [7.6]x 1.9 maxM M 12 4.78kNm

q 4 2q 2 x 4 = = = = = =

SAYNDEN2 2

1 a mesnet

V 12.4 V [12.4]x 3.1 maxM M 24 4.78kNm

q 4 2q 2 x 4 = = = = = =

NOT: Maksimum aklk momenti her zaman art moment olacak diye bir yaklam olmamaldr. Maksimum momentart iaretli en byk olan moment veya sfra en yakn olan eksi iaretli momenttir.

4 kNm4 kN/m

D E

B

BY=12.4

BX=4

x

N

V

M

C

A B7.6

D

--

-

12.4

4.0 -12 -

-

4.784

20-

-

24

4-

-

-

4

+

7.6

12.4

x

5-x

x1

5-x1

Eksenel kuvvet Kesme kuvveti Moment


20/65



RNEK 1.4.ekilde verilen erevenin V,Mve Nkesit tesirlerinin izimi.

x x D y y

A y y

F 0 D 4kN M 0 4 x5 2x 4 x6 8 8A 0 A 4.5 kN

M 0 4 x3 2x 4 x2 8 4 x2 8D 0 D 3.5 kN

= = = + = =

= + + + = =

x

y

F 0 N 7.6 0 N 7.6 kN

F 0 V 0 M 0

= + = =

= = =

kNm142x4x24x44x5.4M

kNm31x2x22x42x5.4M

4x

2x

========

========

====

====

AY=4.5

N

QM

x

4 kN

A

B

AY=4.5

N

V

M

x

[Yatay kuvvetlerin toplam]H=4

4 kN

A

B

AY=4.5

N

VM

V=4.5-2x [Dey kuvvetlerin toplam]

45o

x

2 kN/m

4m 4m

4m

3m

2m

4 kN

A

B

C

D

8 kNm

E

F

2 kN/m

4 kN

AY

B

C

D

8 kNm

DY

DX

E

F3.12m

1.78m

4 kN V=4.5-qxB

AY=4.5

V

x

VcosVsin

H=[4]

4 kN B

AY=4.5

x

Hcos

Hsin


21/65



x 0 V [4.5]cos45 [4]sin45 0.354 kN

V Vcos Hsin [4.5 2x]cos45 4sin45 x 2 V [4.5 2x]cos45 4sin45 2.48 kN

x 4 V [4.5 2x]cos45 4sin45 5.30 kN

= = =

= = = = = = = =

x 0 N 6.01

N (Hcos Vsin ) [4cos45 [[4.5 2x]sin45] 6.01 1.414x x 2 N 3.17x 4 N 0.354

= =

= + = + = = = = =

]b[kNm23.485x422.2x5.3M

]a[kNm23.4]78.12[x4x2]78.14[x5.4M

E

E

====++++====

====++++++++====

V V cos Hsin [ 3.5]cos[ 66] 4sin[ 66] 2.23 [a][b]= = =

]b][a[82.4]6690cos[]5.3[]66cos[4]66sin[]5.3[]66cos[4]sinVcosH[N ====++++====++++====++++====

F FM 4.5 x [4 3.12] 2 x 4 x [2 3.12] 4 x3 8 4.92kNm[a] M 3.5 x0.88 4 x 2 4.92 kNm [b]= + + + = = =

Vve NYk olmad iin yukardakinin ayns olur.

V V cos Hsin 3.5 cos 66 4 sin 66 3.5 cos 66 4 cos 24 2.23kN= = = =

82.4]6690cos[5.366cos466sin5.366cos4)sinVcosHN ====++++====++++====++++====

8 kNm

D3.5

4

N

V

MH=4

V=3.5

66o

[b]

2 kN/m

4 kN

AY

B

C

N

V

M

H=4

V=3.5

66

[a]

D3.5

4

N

V

MH=4

V=3.5

66o

[b]

2 kN/m

4 kN

AY

B

C

8 kNm

N

V

MH=4

V=3.5

66o

[a]


22/65



ubuk zerinde yk olmad iin xin deiimi ile sadece moment deiir. V ve N deimez.

F

M x[3.5cos66] x[4sin66]

x 2.19 M 2.19[3.5cos66] 2.19[4sin66] 4.89kNm

=

= = =

F

F

M x[3.5 cos 66] x[4 sin 66] 8

x 2.19 3.32 M 5.51[3.5cos66] 5.51[4sin66] 8 4.29kNm

x 2.19 3.32 4.34 M 9.85[3.5cos66] 9.85[4sin66] 8 13.97kNm

= +

= + = + =

= + + = + =

Sistemin V, M ve N diyagramlar aada verilmitir.

D3.5

4

N

V

MH=4

V=3.5

66o

x

8 kNm

D

3.5

4

N

V

MH=4

V=3.5

66

x

2 kN/m

4 kN

AY

B

C

8 kNm

DY

DX

E

F

2.19m

4.34m

3.32m

FA

B

C

D

E

0.35

5.30

2.23

-

+

V 4.92

FA

B

C

D

E

2.23

14.00

3.08

M

4.82

FA

B

C

D

E

4.50

6.01

0.35

N


23/65



RNEK 1.4.ekilde verilen 3 mafsall erevenin V,Mve Nkesit tesirlerinin izimi.

zm:Mesnet ve mafsalda moment ifadesi yazarak mesnet tepki kuvvetleri hesaplanr.

X Y

X Y

X Y

A X Y

C X Y

M 0 5 10 2.5 20 10 (4 2) 10 3 (1.5 8) 2E 11E 0

M 0 2 10 10 3 (1.5 4) 6E 7E 0

2E 11E 450

6E 7E 185

E 13.94 N E 38.375 N

= + + + + = = + + + =

+ =

=

= =

Y XY

XY X Y X

E Y X

C

11A 2A 90A 1.625 N

A 36.063 NA

M 0 5 10 0.5 10 5 20 10 3 1.5 11A 2A 0

M 0 4 10 (2.5 3) 208A 05 8A 2 54A 9

= + = = + =

==

= =

EY

EX

10 kN/m

10 kN20 kNm

3m

10 kN/m

3m

2m

3m

B

C

D

E

2m4m

2mA

AYAX

10 kN/m

10 kN20 kNm

3m

10 kN/m

3m

2m

3m

A

B

C

D

E

2m4m

2m

1.5m

yaylA C Ay x 1M 1.625 4 36.063 (5 3) 0.00 5 (5 / 0 k2 Nm2 03)= + = + +

10 kN/m

20 kNm

B

C

4mAY=1.625

AX=36.063

20kNmsol 20kNmsol

20kNmsol Ay A

d

x

yayl

V 13.94 kN N 1.625 kN

M 1.625 4

10 5 (5 / 2

36.063 (5

1.5

1.5)

40.91kN2 m0) +

= =

= + +

=

BsaV Vcos Hsin [1.625cos90= =

Bsa

( 36.063 ) 13.94 kN

N (Hcos V sin ) [ ( 36.

sin90

co

1

063 )1 s9

0 5

0 5 0

+ =

= + = +

yBsa1.5m Ay Ax ayl

1.625 ] 1.625 kN

M 1.625 4 36.

si

10063 (5 1.5) 40.915 (5 / 2 1.5 kN

n90

) m

+ =

= = ++ +

10 kN/m

20 kNm

B

C

4m

20kNmsol 20kNmsol

20kNmsol Ay A

d

x

yayl

V 13.94 kN N 1.625 kN

M 1.625 4

10 5 (5 / 2

36.063 (5

1.5

1.5)

40.91kN2 m0) +

= =

= + +

=

A

A

A

V V cos Hsin [1.625cos 51.34 ( 36.063)sin51.34 29.18 kN

N (Hcos V sin ) [( 36.063)cos51.34 1.625sin51.34 ] 21.26 kN

M 0

= = =

= + = + =

=

Bsol

Bsol

Bso yayll Ay Ax

V [1.625cos51.34 ( 36.063 )sin51.34 9.87 kN

N [( 36.063 )cos51.34 1.625sin51.34] 9.98 kN

M 1.625 4 36.063 5 61.

10 5

10 5

10 5 (5 8/ 2) 2kNm

= + =

= + + =

= + =

-

AY=1.625

AX=36.063


24/65



9.87

29.18

13.94

9.661.66

3.93

17.28V alan

4.75m

0.79m

Fnoktasnn sandakikesit tesirlerinin dierynden bulunuuyandaki gibidir.

orta

orta

orta A Yaylx Ay

10 2.5

10

V Vcos Hsin [1.625cos51.34 ( 36.063 )sin51.34 9.65 kN

N (Hcos V sin ) [( 36.063 )cos51.34 1.625sin51.34] 5.64 kN

M 1.625 (4 / 2) 36.063 2.

2.5

10 2.5 (2.5 / 2)5 62.16 kNm

= = + =

= + = + + =

= + =

N

V

M

10 kN/m

4m

2.5m

AY=1.625

AX=36.063

Fsa

Fsa

F Yaylsa Ax

[ 10 1.625]

[

V cos[ 37] sin[ 37] 1.66

N [ cos( 37) sin( 37)] 16.16 kN

M 1.625 6 36.063 6.5 2

10 1.625]

10 5 (5 /2 1.5) 2

k[ 36.063 10 5]

[ 36.063

N

4.16 kN

10 5]

0

= =

= + =

=

+

+

+

+

+

+ =

10 kN/m

20 kNm

B

C

4mAY=1.625

AX=36.063

F

10 kN

21.26

9.98

1.63

10.17

16.18

15.77

36.99

Nalan

61.82

69.30

40.91

20.91

28.30

24.15

M alan

29.85

2 2

2

V 17.2829.85

2q 2 (10/(cos45) )

= =

F

10 kN

3m

10 kN/m

3m

2m

3mC

D

Ex=13.94

2m2m

E =38.375

Dsa q

Dsa q

Dsa Ey Ex Yayl

V V cos Hsin [ 38.375 10 3]cos[ 45] 13.94sin[ 45] 3.94 kN

N (Hcos V sin ) [13.94cos( 45) [ 38.375 10 3]sin( 45)] 15.77 kN

M 38.375 3 13.94 3 10 3 (3 /2) 28.305 kNm

= = + =

= + = + + =

= =

Esol

Esol

Esol

V V cos Hsin [ 38.375]cos[ 45] 13.94sin[ 45] 17.28 kN

N (Hcos V sin ) [(13.94)cos( 45) [ 38.375]sin( 45)] 36.99 kN

M 0

= = =

= + = + =

=

-

q

q

Yay

Fsa

Fsa

Fsa l Ey Ex

V Vcos Hsin [ 38.375 ]cos[ 37] 13.94sin[ 37] 1.70 kN

N (Hcos V sin ) [13.94cos( 37) [ 38.375 ]sin( 37)] 16.18 kN

M 38.375

10 3

10 3

10 3 (3 / 2 2)5 13.94 4.5 24.145 kNm

= = + =

= + = + + =

=

+ =

YayDs lol E Ey xM 10 3 (38.375 7 13 3 / 2 2 2.94 6 0.001 00 2)= + = +

F

10 kN

3m

10 kN/m

3m

2m

3mC

D

Ex=13.94

2m2m

E =38.375

q

q

Ya

Fso

yl

l

Fsol

Fsol Ey Ex

V Vcos Hsin [ 38.375 ]cos[ 37] 13.94sin[ 37] 9.69 kN

N (Hcos V sin ) [13.94cos( 37) [ 38.375 ]sin( 37

10

)] 10.17 kN

M 38.375 5 13.94 4.5 24.145 kNm

10 3

10 3

10 3 (3 / 2 2)

10

= = + =

= + = + + =

= =

+

+

+

-


25/65



RNEK 1.4.ekilde verilen 3 mafsall erevenin V,Mve Nkesit tesirlerinin izimi.

zm: Mesnet ve mafsalda moment ifadesi yazarak mesnet tepki kuvvetleri hesaplanr.

X YX

Y

X

A X Y

saG X Y Y

M 0 8 10 10 5 6 9 8 3 20 3B 8B 0

M 0 3 10 10 6 20 6B 6B 0

3B 8B 228B 7.39 kN

B 25.73 kNB 6B 1106

= + + + + = = + + + =

=+ =

+ ==

B Y X y

solG Y X

nters

yn t

YY X

Y erX sX

A 5.73 kN8A 3A 26

2A 9A

M 0 6 6 10 3 20 8A 3A 0

M 0 2A 9A 6 8 48 A 6.61kN0

= + + = =

= =

= = =

20 kNm

6 kN

8 kN

2m 3m 3m 3m

3m

3

m

1m1m1m

10 kN10 kN

BYBX

I

GII

B

A

AYAX

20 kNm

6 kN

8 kN

2m 3m 3m 3m

3m

3m

1m1m1m

10 kN10 kN

III IV

saA

saA

V V cos Hsin [ 5.73cos77.4 ( 6.61)sin77.4 5.20 kN

N (Hcos V sin ) [ 5.73sin77.4 ( 6.61)cos77.4 7.03 kN

= = =

= + = + =

I

I

I

V [ 5.73 cos 77.4 ( 6.61) sin 77.4 5.20 k N

N [ 5.73 sin77.4 ( 6.61)co s77.4 7.03 kN

M 6.61 3 5.73 0.67 16.00 kNm

= =

= + =

= =

AX=6.61 BY=25.73

BX=7.39I

GII

B

A

AY=5.73

20 kNm

6 kN

8 kN

2m 3m 3m 3m

3m

3m1m1m1m

10 kN10 kN

III IV

I

I

I

V [ 5.73 cos 77.4 1.39 sin 77.4 2.60 k N

N [ 5.73 sin77.4 1.39 co s77.4 5.29 kN

M 6.61 3 5.73 0.67 16.00 kNm

= =

= + =

= =

solG

solG

solG

V [ 5.73cos77.4 1.39 sin77.4 2.60 kN

N [ 5.73 sin77.4 1.39co s77.4 5.29 kN

M 6.61 9 5.73 2 8 6 0.03 kNm

= =

= + =

= =

-

saG

saG

V Vcos Hsin [ 5.73cos18.43 7.39 3.10 kN

N (Hcos V sin ) [ 5.73 7.39cos18.43

( sin18.4

8.82

3)

( sin18 ) kN.43

= = =

= + = + =

AX=6.61 BY=25.73

BX=7.39I

GII

B

A

AY=5.73

20 kNm

6 kN

8 kN

2m 3m 3m 3m

3m

3m1m1m1

m10 kN

10 kN

III IV

saII

saII

saII

V [ 15.73 cos18.43 7.39( sin18.43) 12.58 kN

N [ 15.73( sin18.43) 7.39co s18.43] 11.98 kNM 25.73 3 10 3 7.39 5 20 9.76 kNm

= =

= + = = =

saIII

saIII

saIII

V [ 25.73 cos18.43 7.39( sin18.43) 22.06 kN

N [ 25.73( sin18.43) 7.39co s18.43] 15.14 kN

M 7.39 4 20 49.56 kNm

= =

= + =

= =

saIV

saIV

saIV

V 25.73cos45 7.39sin45 23.42 kN

N [ 25.73sin45 7.39cos45] 12.96 kN

M 25.73 3 7.39 3 20 119.36 kNm

= =

= + =

= =

saB

saB

saB

V 25.73cos45 7.39sin45 23.42 kN

N [ 25.73sin45 7.39cos45] 12.96 kN

M 20 kNm

= =

= + =

=

-


26/65



RNEK 1.4.ekilde verilen erevenin V,Mve Nkesit tesirlerinin izimi.

A Y Y

Y

x X

B Y

M 0 8 10 4 10 4 8B 0

F 0 A 10 kN

M 0 8 10 4 10 4 8A 0 A

B 35 kN

45 kN

= = = =

=

=

= + =

zm: Mesnette moment ifadesi yazarak mesnet tepki kuvvetleri hesaplanr.

solC

solC

solC

V V cos Hsin [45cos90 10sin90] 10 kN

N (Hcos V sin ) [45sin90 10cos90] 45 kN

M 10 4 40 kNm

= = =

= + = + =

= =

saC

saC

saC

V [45cos45 10( sin45)] 38.89 kN

N [45( sin45) 10cos45] 24.75 kN

M 10 4 40 kNm

= =

= + =

= =

solD

sol

DsolD

V [5cos45 10( sin45)] 10.61kN

N [5( sin45) 10cos45] 3.54 kNM 45 4 10 4 2 100 kNm

= =

= + = = =

saD

sa

DsaD

V [5cos45 10sin45] 3.54 kN

N [5sin45 10cos45] 10.61kNM 45 4 10 4 2 100 kNm

= =

= + = = =

solE

solE

solE

V [ 35cos45 10sin45] 31.82 kN

N [ 35sin45 10cos45] 17.68 kN

M 45 8 10 4 8 10 4 0 kNm

= =

= + =

= =

saE

saE

saE

V [ 35cos90 0sin45] 0 kN

N [ 35sin90 0cos45] 35 kN

M 45 8 10 4 8 10 4 0 kNm

= =

= + =

= =

RNEK 2.4.ekilde verilen sistemin V, Mve Ndiyagramlarnn belirlenmesi.

3 kN/mI5 kN10 kN

2m 6m 6m

5m

5 kN/m

10 kN

10 kNm

10 kN

5mG

2m

A

B C

D

E

F

H

4m

2.60

22.06

5.20

23.42

12.583.10

V kesme5.29

7.03

8.82

11.9815.14

12.96

N eksenel

15.99

9.76 49.56

119.36

20.00M alan

C

A

10 kN/m

10 kN

4m 4m

4m

2m

B

D

E

10

38.89

31.82

10.61

3.54

V kesme

40

100

M moment N eksenel

45.00

24.75

3.54 10.61

17.68

35.00


27/65



Tanan parann mesnet tepki kuvvetleri,

Fx= 0 Gx= 10 kN Fy= 0 Ay+ Gy= 10 + 5 x 4 = 30

MA= 0 6 Gy5 x 4 x 4 +10 x 10 - 10 x 6 = 0 Gy= 20 kN

MG= 0 6 Ay5 x 4 x 2 10 x 6 + 10 x 4 = 0 Ay= 10 kN

Tayan parann mesnet tepki kuvvetleri,

Fx= 0 Dx= 10 10 + 5 = 5 kN Fy= 0 Dy+ Fy= 3 x 8 + 20 = 44 kN

MD= 0 10 x 10 20 x 2 + 3 x 8 x 2 + 5 x 14 10 10 x 5 -6 Fy=0 Fy=19.67 kN

MF= 0 -10 x 5 + 10x10 20x8-3 x 8 x 4 + 5x14-10+6 Dy=0 Dy=24.33 kN

sa

AsaA

V V cos Hsin 10cos78.69 0sin78.69 1.96 kN

N [0cos78.69 10sin78.69] 9.81 kN

= = =

= + =

solBV Vcos Hsin 10cos63.43 10sin( 63.43) 4.47 kN= = = solBN (Hcos V sin ) (10cos64.43 10sin( 64.43) 13.41kN= + = =

MBA= 10 x 2 = 20 kNm MBH= 10 x 4 10 x 2 = 20 kNm

MBG= 10 x 2 10 x 2+10 x 4 = 40 kNm

MCG= -(20 x 2 +3 x 2 x 1)= -46 kNm

MCD= 10 x 5 +5 x 10 = 100 kNmMCE= 19.67x 6 5 x 4 18 x 3 +10 = 54 kNm

MEC= -5 x 4 +10 = -10 kNm MEI= -5 x 4 +10 = -10 kNm

20 kN

10 kN

2m 4m

5 kN/m

10 kN

A

B

H

10 kN

10 kN

20 kN

10 kN

2m 4m

5 kN/m

10 kN

A

B

H

I5 kN

6m

5m

10 kNm

10 kN

5m

3 kN/m

G

2mC E

F

10 kN

4m

10 kN5 kN

24.33kN 19.67kN

H

V

10 kN

=63.43

10 kN

A

H

V

10 kN

=78.69

Valan

1.96

19.67

15.00

4.47

26.00

+

+

+

5.00

5.00

-1.67-

+

Malan

3.16

10

5420

46

+

+

+ 10

25

+

100

40

1020

N alan

9.81

5

24.33

13.41

10-

+

+

-

19.67

+

-


28/65



1.2. MESNETLER

Bir sistemin, mesnet reaksiyonlar dahil btn kesit tesirlerinin belirlenmesi iin Fx=0,Fy=0veM=0 denge denklemleri belirlenebiliyor ise sistem izostatiktir. zostatik sistemlerde mesnetekilleri ve ykleme durumu etkin olduu iin burada ksa ve genel bir inceleme yaplmaktadr.

Tip Konum Menet ekli Reaksiyonlar Bilinmeyenler Moment Dn

Kenar

Orta

Rx=0Ry0

Kayc

EikRy=R cosRx=R sin

Kenar

OrtaRx

0Ry0

Sabit

EikRy=R cosRx=R sin

M=0 0

TamRx0Ry0

Ankastre

KaycRx0Ry=0

M0 =0

R

Ry

Ry

RyRx

MRx

Ry

MRx

Labil Labil

Labil


29/65



1.3. ZOSTATK SSTEMLERN ZM RNEKLER

RNEK 4.10: ekilde verilen kmal kiriin V,Nve M diyagramlarnn izimi.

Ave Bnoktalarnda MA=0 veMB=0 yazlarak mesnet tepki kuvvetleeri bulunur.

MA=0 -400x2-1000sin30x5+3x6x6+6+6x6x0.5x(3+6+3+2+6x2/3)-20By=0 By=-143.10 N

MB=0 -400x22-1000sin30x25-3x6x14+6-6x6x0.5x(6/3)-20Ay=0 Ay=1079.10 N

RNEK 2.1.Kiriin kesmekuvvet, momentve normalkuvvet alann belirlenmesi.

A

10m

6 kN

4 kN

4m4m

B

C

AX 10m

6 kN

4 kN

4m4m

B

C

AY

MA

3 N/m400 N6 N/m

A B

1000 N

6m3m 2m 3m 6m 3m 2m

1252.8

500

179.1 161.1 143.10

-

+Kesme

900

1258.8

1742.1

930.6

15003300

2762.7

3O

2O

3 N/m400 N6 N/m

A B6m3m 2m 3m 6m 3m 2

m

Moment

866 Eksenel-

6 Nm

1079.1 143.1

866

500


30/65



VC= - 4 kN NC= -6 kN MC= 4 x 4 =16 kNm

VB= 6 kN NC = - 4 kN MB= 4 x 4 6 x 4 =-8 kNm

Ay= 4 kN Ax= -6 kN MA= -(8 + 4 x 10) = -48 kNm

GERBER KRLER

Gerber kiri,1. Hiperstatik sistemlerin mafsallarla izostatik hale getirilmi

2. Basit, kmal ve konsol kirilerin mafsallarla birbirine balanm

Durumlarnn,

a. Taycb. zostatik

sistemlere denir. Gerber kiriler uygulamada at aklarnda ve kpr kirilerinde kullanlr.

Gerber kirilerin oluturulmasnda kirilerin labil olmamasna dikkat edilmelidir. Aada baz

gerber kirizm rnekleri bulunmaktadr.

Aada rnek olarak verilen hiperstatik mtemadi kiriin izostatik olarak (gerber) zm iinmafsallarla deiik durumlarda yapmak mmkndr.

RNEK 2.3.ekilde verilen mtemadi kirii gerber kirihaline getirerek kesme kuvvet vemoment alann belirlenmesi.

Bu mtemadi kiriiki ekilde gerber kirihaline getirilebilir.

1. Durum

Sistem bir tanan ve 2 tayan izostatik sistem haline getirilmitir. Tanan sistem zlerek

mesnet tepkileri tayan sistemlere yk olarak yklenir.

A

4

6

4

B

C

-

-

+V

A

6

4

6

B

C

-

+

-N

8

16

8

C

+

-

+

M

48

4 kN/m 6 kN

2m 5m 6m 6m 8

m

3 kN/m

4 kN/m 6 kN

2m 5m 6m 6m 8

m

3 kN/m

G G

4 kN/m 6 kN

2m 5m 6m 6m 8

m

3 kN/m

G G

4 kN/m 6 kN

2m 5m 6m 6m 8

m

3 kN/m

4 kN/m 6 kN

2m 5m 6m 6m 8

m

3 kN/m

G G


31/65



MA=0 5By3 x 8 4 x 7 x 1.5 = 0 By= 13.20 kN

MB=0 5Ay+ 3 x 3 4 x 7 x 3.5 = 0 Ay= 17.80 kN

MC=0 8Dy+3 x 3 3 x 8 x 4 =0 Dy= 10.88 kN

MD=0 8Cy- 3 x 11 3 x 8 x 4=0 Cy= 16.12 kN

2 2

AB A

V 9.8M M 8 4.01 kNm

2q 2 x 4= = = GG

6 x 6M 9.00kNm

4= =

2 2

CD C

V 13.12M M 9 19.69 kNm

2q 2 x 3= = =

2 2

DC D

V 10.88M M 0 19.73kNm

2q 2 x 3= = =

2. Durum

Devam edecek

MA= 0 3 G1y5 x 4 x 0.5 = 0 G1y= 3.33 kN MG= 0 3Ay- 5x4x2.5 =0 Ay= 16.67 kN

MD= 0 4 G2y3 x 4 x 2 = 0 G2y= 6.00 kN Dy= 6.00 kN

MC= 0 10 By+3 x 4 x 2 + 6 x 4 6 x 5 3.33 x 12 2 x 4 x 11 = 0 By= 11.00 kN

MB= 0 10 Cy+3.33 x 2 +4 x 2 x 1 6 x 14 6 x 5 3 x 4 x 12 = 0 Cy= 24.33 kN

1

2 2

AG A

V 8.67M M 8 1.40 kNm

2q 2 x 4

= = = BM (3.33 x 2 4 x 2 x1) 14.66 kNm= + =

Tayanlar

Tanan

3m 3m

6 kN

G G4 kN/m

2m 5m 3m

G3m 8m

3 kN/m

G

3mm

6 kN

G2y=34 kN/m

2

m

5

m

3m

G3m 8m

3 kN/m

G

G1y=3

10.2010.89

9.8

3

13.12

8V3

9.0

M

9.0

9.0

19.73

8.0

G1 G2

4 kN/m 6 kN

2m 5m 6m 6m 8

m

3 kN/m

G1y=3.33

4 kN/m

2m 3m 4m

3 kN/m

4 kN/m 6 kN

2m 6m 6m 4m

3 kN/mG1y=3.33

G2y=6

4 kN/m 6 kN

2m 5m 6m 6m 8

m

3 kN/m

11.336.00

8.67

0.338.00 6.33

18.00

V

8.00

48.00

14.6616.31

6.001.40M


32/65



CM (6 x 4 3 x 4 x 2) 48.00kNm= + = 6tM (3.33 x 7 4 x 2 x 6) 11x 5 16.51 kNm= + + =

2 2

2 2 2 2

DG D G D DveV 6 V 6

M M 0 6.00 tm M M 0 6.002q 2x3 2

yaq 2x3

= = = = = =

Baz sistemlerin moment ve kesme kuvvet alanlar

RNEK 1.8:ekilde ykleme durumu, kesiti ve emniyet=200 N/mm2 em=50 N/mm

2 olarak

verilen kiriin emniyetle tayabilecei qyknn belirlenmesi.

A y y B y yM 0 qx10 x5 8B 0 B 6.25q M 0 qx10 x3 8 A 0 A 3.75q= = = = = =

Kesitin atalet momentinin hesaplanmas70x20x50 30x40x20

y 36.154cm70 x 20 40 x 30

+= =

+

3 3 32 2 2

x x1 x2

32 4

bh bh 70 x20I I I A d A d 70 x 20 x(50 36.154)

12 12 1230x40

30x40x (36.154 20) 788205.13cm12

= + = + + + = +

+ + =

5

em

My 7.03q(10 )36.154 200.......................................q 6.2kg/ cm

I 788205.13 = = = =

3

em

V Ay 4.25q(10 )x36.154x30x(36.154 / 2)50.........q 14.2kg / cm

Ib 788205.13x30

= = = =

Kiriin emniyetle tayabilecei q= 6.20kg/cm olarak alnr. q= 14.2 kg/cm olarak alnmas durumunda normal gerilmeemniyetle tanamaz.

30

40

20

70q kN/m

8m 2m

2q3.75q

4.25q

2

a

(3.75q)maxM 7.03q

2 xq= =

2q

Kesme kuvvet alan

Moment alan

30

2070

154.36y ==== 077.182/154.362/yy ============

L

qL

2

qL

2

2qL12

2qL12

2qL

8

2qL

24

2qL8

29qL

128

5qL8

3qL8

3o

2qL

15

2qL5

qL10

2qL

30 2qL

20

7qL20

3qL20

2qL

8

2o

qL2

qL2

2qL

9 3

3o

qL3

qL6


33/65



a=6 b=2 c=2h=a +b -3c=6+2-3x2=2ohiperstatik

Dtanhiperstatik

b

a a

cc

a=8 b=3 c=3 (mafsal=mesnet)h=a +b -3c=8+3-3x3=2ohiperstatik

Dtanhiperstatik

b

a a

c

c

c

a

1.4. HPERSTATK SSTEMLER

Bir sistemin, mesnet reaksiyonlar dahil btn kesit tesirleri,

1. Fx=0 Fy=0 M=0

denge denklemleri elde edilen sistemlere izostatik sistemler. Bu denge denklemleri ilemesnet reaksiyonlar ve kesit tesirleri bulnamayan sistemlere ise hiperstatik sistemler denir. Bu temel denklem dnda yazlan ilave denklem saysna sistemin hiperstatiklik derecesidenir. Bir sistemin hiperstatiklik derecesi, verilen sistemi izostatik sistemlere ayrarak yazlandenge denklemleri ile giderilir ve sistemin kesit tesirleri bulunur. Eer bir sistemin hiperstatiklikderecesi mesnet reaksiyonlar kaldrlarak gideriliyor ise dtan, baz elemanlardaki kesittesirleri kaldrlarak gideriliyor ise iten ve her ikisi birlikte yaplarak gideriliyor ise hem itenhem dtan hiperstatik olarak aadaki ekillerdeki gibi tanmlamak mmkndr. Yapsistemlerindeki hiperstatiklik derecesi zm yntemine gre deiiklik gstermektedir. Budurum kuvvet ve a metoduna gre aada rnekler zerinde aklanmaktadr.

a:Sistemdeki mesnet tepkisi saysb:Hiperstatik ksmn kesit tesiri saysc:Hiperstatik ksmn izostatik hale gelince ki para says

h: hiperstatiklik derecesiolmak zere,

h=a +b -3c

h>0 sistem hiperstatik h=0 sistem izostatik h < 0 sistem labil

Mesnet ve ubuk

Mesnet ve u kuvvetleri

tenhiperstatik

Dtanhiperstatik M=0

VbilinmiyorNbilinmiyor

MbilinmiyorVbilinmiyorNbilinmiyor

MbilinmiyorVbilinmiyorNbilinmiyor

M=0VbilinmiyorNbilinmiyor

M=0VbilinmiyorNbilinmiyor

a=3b=0c=1

h=2+1-3x1=0sistem izostatik

a=7b=5c=3h=7+5-3x3=3sistem 3. derecedenhiperstatik

a=4b=2c=2h=4+2-3x2=0sistemizostatik

a=2 b=0 c=1h=2+0-3x1=-1sistem Labil(sadeceubuk-menet ekseninedik yk olmas durumuiin taycdr.)

M1

M2

M3

M1+ M2+ M3

M1

M3

M1+M3

M1

M1


34/65



Verilen Sistem Serbest cisim diyagram Serbest cisim diyagram Serbest cisim diyagram

a=6 b=0 c=1h=3+0-3x1=3[Dtan]sistem 3. derecedenhiperstatik

a=6 b=3 c=2h=6+3-3x2=3sistem 3. dereceden hiperstatik


a=6 b=0 c=1h=3+0-3x1=3 [Dtan]sistem 3. derecedenhiperstatik






a=3 b=6 c=1

h=3+6-3x1=6sistem 6. derecedenhiperstatik

a=3 b=9 c=2

h=3+9-3x2=6sistem 6. dereceden hiperstatik

a=3 b=18 c=5

h=3+18-3x5=6sistem 6. dereceden hiperstatik

22.dereceden17.dereceden11.dereceden Yatay yklerde labil

a=6 b=4 c=3h=6+4-3x3=1o

M=ubuk saysa=mesnet tepkisi saysN=dm saysC=mafsal says

h=3M+a (3N+C)=3x5+6-(3x6+2)=1ohiperstatik

M=ubuk saysa=mesnet tepkisi saysN=dm saysC=mafsal saysh=3M+a (3N+C)=3x3+6-(3x4+1)=2o

hiperstatik

Dtanhiperstatik

18.dereceden

15.dereceden hiperstatik

a=3 b=18 c=3h=3+18-3x3=12sistem 12. dereceden

a=4 b=6 c=2h=4+6-3x2=4sistem 4. derecedenhiperstatik

Sistem 6.derecedenhiperstatik


35/65



Hiperstatik sistemlerin zm metodlarna gre hiperstatiklik derecelerin belirlenmesi;

1. Sistemdeki iki ucu mafsall ubuk says S12. Sistemdeki bir ucu mafsall bir ucu rijit ubuk says S23. Sistemdeki iki ucu rijit ubuk says S3

4. Sistemdeki mesnet tepkisi says a5. Sistemdeki mafsall dm noktas says (mesnetler dahil) d16. Sistemdeki rijit dm noktas says (mesnetler dahil) d2

olmak zere aadaki ekilde bulmak mmkndr.

Kuvvet metoduna gre, n = S1+ 2 S2+ 3 S3+ a ( 2 d1+ 3 d2)

ekil deitirme byklkleri yntemine gre, m = 2 d1+ 3 d2- a

ekil deitirme byklkleri ynteminin zel durumu olan AI ynteminde bilinmeyenleralardr. Eksenel kuvvet ekil deitirmeleri ihmal edildiinden hiperstatiklik derecesi olan m

deeri oldukca klr.RNEK 1.9:ekilde verilen erevenin hiperstatiklik derecesini,a) Kuvvet yntemine greb) ekil deitirme byklkleri yntemine gre belirleyiniz.

1. Sistemdeki iki ucu mafsall ubuk says S1=1 (11)2. Sistemdeki bir ucu mafsall bir ucu rijit ubuk says S2=6 (3,13,14,8,10,4)3. Sistemdeki iki ucu rijit ubuk says S3=8 (1,7,12,16,9,6,5,2)4. Sistemdeki mesnet tepkisi says a=85. Sistemdeki mafsall dm noktas says (mesnetler dahil) d1=16. Sistemdeki rijit dm noktas says (mesnetler dahil) d2=11a. Kuvvet metoduna gre,

n = S1+ 2 S2+ 3 S3+ a ( 2 d1+ 3 d2)

n = 1 + 2 x 6 + 3 x 8 + 8 ( 2 x 1 + 3 x 11)= 10

b. ekil deitirme byklkleri yntemine gre,

m = 2 d1+ 3 d2 a m = 2 x 1 + 3 x 11 8 = 27

Yaplar yatay yklere maruz kald zaman yapnn kirileri demelerle birlikte dier yapeleman kolonlara gre olduka rijit kalmaktadr.

Ikiri=

Ikiri=

Kesme ereve

Ikiri= normal

Normal ereve

916

10

11

12

CBA

5 6

2 31

4

7 8

13

14


36/65



ekildeitirmihal

ekildeitirmemi

ilk hal

Bundan dolay kirilerin rijitliini kolon rijitliinden ok byk olduklarndan sonsuz kabul ederek

(kirilerin deformasyon yapmadn kabul ederek) kolonlarn kirilere ankastre bal olarak

(=0) alnmaktadr. Kabul edilen bu erevelere kesme ereveleri denir. Kesme erevelerinde

kolon rijitlikleri birim yklemeler yaplarak bulunur. erevelerin kesme erevesi olarak kabuledilmesiyle bilinmeyen says yatay deplasman saysna inmektedir. nk kolonlar kirilere

ankastre bal olduu kabul edildii iin buralardaki dnalar sfr (=0) olmaktadr.Yaplar

yatay yklere maruz kaldnda yapnn kirileri demelerle birlikte dier yap eleman

kolonlara gre olduka rijit kalmaktadr.

ekil 5.5.. Kesme ve klasik erevenin karlatrlmas

ereve sistemlerin ekil deitirmesinde kiririjitliklerinin etkisi aadaki gibidir.

ekil 5.7. Kiririjitliin ereve davranna etkisi

1.5. HPERSTATK SSTEMLERN ZMNDE YAPILAN KABULLER

1. BERNOULL (1705) hipotezi (h dx

h

Kiri dilimi

lk durum

Eilmihal

Bernoulli(Dzlem kalmas)Bernoulli

(Dzlem kalmas)

Navier(Dik kalmas)

(L/h)>> hassasiyet azalr.Yksek kirilerde geerli

olmayabilir.

dsdx alnr ve 1. mertebeetkisi geerli olur.

EI=FEI=0

F EIF

tm kiriler=

Kesme erevesi5bilinmeyen

[5 [veya katsays kadar]]

Klasik ereve15bilinmeyen[5 , 10 ]

1

2

3

4

5

Ikiri=

Ikiri=

Kesme ereve

Ikiri= normal

Normal ereve

1

2

3

4

5

I1

I2

I3

I4

I5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5


37/65



2. Baz elastik cisimlerin belirli yk snrlar altnda gerilme-ekil deitirme bantlar lineerolarak deitiini belirten HOOKEkanunlar geerlidir ( Robert Hooke, 1660).

Normal gerilme haliE

11

==== Kayma gerilmesi 11 G ====

3. Elemanlarn boyca uzama-ksalma durumlarnn hesaba katlmad birinci mertebe teorisigeerlidir. Yani ekil deitirmeler elamann boyutlar yannda olduka kkse dengedenklemlerinde ekil deitirmemi boyutlar kullanlr. kinci mertebe teorisikullanlmamaktadr.

====

EIql

3845 4

Bu elemanda yazlacak denge denklemlerin kiri akl ekil deitirmeden sonraki Lolmasna karn Lakl kullanlmasdr.

4. Yukarda verilen 2. ve 3. maddelerin geerli olmas halinde sperpozisyon kurallargeerlidir. Eer bir sistemin bir noktasndaki kesit tesirleri ve ekil deitirmeler sistemzerindeki yklerin her biri iin bulunan deerlerin iaretleri ile toplamna eittir. Aadakirnekte kiriin orta noktasndaki deplasman iin yaplan sperpozisyon grlmektedir.

5. Hook kanunun geerli olmasndan dolay elemanlar lineer elastik olduu iin sistemdekiekil deitirme zerindeki yke baldr. Yani kuvvetler ve ekil deitirmeler orantldr. Budurum aadaki rnekte aklanmaktadr. [rnek q= 2 t/m L=10 m EI= 10080 tm2]

1

Etan ====

1

1

Gtan ====

q

Deplasman Elastik eri L

L


38/65



m0258.010080

10x2

3845

EIql

3845 44

====

====

==== 1032.0

EIql

96

5

EIql

384

5x4 44====

====

====

1.6. ELASTK EKL DETRMELER

Sistemler kendi arlklarndan, zerine uygulanan yklerden ve servis sresincekarlaabilecekleri yklemelerden (s, rzgar ve deprem gibi) dolay ekil deitirirler. Bu ekildeitirmeler;

1. Snr koullar: mesnetlerde deplasmann sfr olmas, ankastre mesnet dnmezken

sabit ve kayc mesnetlerde dnmenin olmas2. Uygunluk koullar:aadaki simetrik sistemin kendi arlndan dolay aklklardateet eimlerinin sfr olmas, mesnetin sa ve solundaki teet eimlerinin eit ve tersiaretli olmas, uygulanan her bir kuvvetin ekil deitirmidurumda etki etmesi,

Olarak hesaplarda dikkate alnr.

Sistemlerde ekil deitirmeler en genel haliyle Eksenel kuvvetten, momentten ve kesmekuvvetinden dolay veya bunlarn karmndan oluur. ncelenen sistemlerde ekildeitirmelerin bilinmesi,

1. Hiperstatik sistemlerin zmnde gerekli olan ilave denklemlerin elde edilmesinde2. Rijitlik orannn belirlenmesinde3. 2. mertebe ektilerin kontrolnde

Hesap hassasiyetini ve zm kolaylatrmaktadr. Aada ekil deitirmeler herbir durumiin ayr ayr hesaplanmaktadr.

1. Eksenel kuvvetten dolay oluan ekil deitirmeler

dlEA

Ndl

Edl.dl

dldl

====

========

====

RNEK 1.10:Verilen ubuktaki birim uzamay ve gerilmeyi hesaplaynz.(E=3.105kg/cm2, N=200 t )

dl Ndl .dl dl dl

dl E EA

= = = =

5

5

2.10dl 500 1.667cm

3.10 .(20x10) = =

dl 1.667

0.00333dl 500

= = =

2N

.E 0.00333x 300.000 1000kg/ cmA = = = =

EA= Eksenel Rijitlik

q


L

4q


L

Kendi arlndan ekil deitirme

L L

P

L LTekil ykten ekil deitirme

Yksz

dL dL dLuzama

N NYk uygulanm EA

Yksz

dL

N

dL

dL

Ykl

20 cm

10 cmkesit

EA

Yksz

dL=500 cm

N=200 tdL=???

dL

Ykl


39/65



RNEK 1.11: Kendi arlndan dolay u noktasndaki deplasman C=?(: zgl arlk A: alan )

Kk xboyundaki uzama, x boyundaki normal kuvvet alannn eksenel rijitlie blnmesi sonucu,

x x

x x

N A xNLd dx dx

EA EA EA

= = =

L2 2L L Lx

C0 0 0x 0

A x x x Ld dx dx

EA E 2E 2E

= = = = =

olarak bulunur. Ksaca ubuun ucundaki deplasman eksenel kuvvet alann EAya blmdr.ekil koni olduu zaman oluan u noktasndaki deplasman ise aadaki ekildehesaplanr.

Koninin kesit yarap ile boyu arasndaki bezerlik yazlr.

L

rxr

L

r

x

r ox

ox ======== [rx: kesilen x boyundaki parac kesitin yarap]

Kesilen x boyundaki paracn hacmi2

2o

32x

L3

rx

3

rxV

====

====

Kesilen x boyundaki paracn ktlesi2

2o

3

L3rxW ====

Kesilen x boyundaki paracn kesit alan2

22o2

x L

xrrA

========

ubuk boyunca arlndan dolay oluan deplasman ise aadaki ekilde hesaplanr.

23o

2L L L2

20 0 02o

2

rx

W L3Ldx dx xdxEA 3E 6Er

E xL

= = = =

c

2or LAL

3

=

ro

y

x

L Nx

W

x

r

EA

C

A L

L +

Normalkuvvet

diyagram

Ax

x

Wx

Nx=Wx= A x


40/65



RNEK 1.12: Kademeli dey ubuun kendi arlndan dolay u noktasndaki C=? (: zglarlk olup btn ubuklarda eittir.)

E2

N

EA22

A2NN

EA

PN 21

====

========

++++====

E2N

E2NA 2

2

++++++++====

E2Z

E3AZ2

E3NZ 2

3

++++++++++++====

E2

E4Z3

E2A

E4N 2

4 2

5

NM 2MA 3MZ 4M M

5E 5E 5E 5E 2E

= + + + +

TOPLAM U NOKTASI DEPLASMANI, M==Z=A=N=LE4L29 2

54321C

====++++++++++++++++==== olarak bulunur.

RNEK 1.13: Kademeli dey ubuun u noktasndaki C=?.(E=2.103kg/ cm2ve kendi arl ihmal )

3

1 5

PL (15 15 7 15 45)10 x 500.1325cm

EA 100 x 2.10

+ + = = =

3

2 5

PL (15 7 15 45)10 x 400.095cm

EA 80 x 2.10

+ = = =

3

3 5PL ( 7 15 45)10 x 40 0.092cmEA 50 x 2.10 + = = =

3

4 5

PL ( 15 45)10 x 300.225cm

EA 20 x 2.10 +

= = =

3

5 5

PL (45)10 x 300.675cm

EA 20 x 2.10 = = =

cm22.1675.0225.0092.0095.01325.054321C ====++++++++++++++++====++++++++++++++++====

2. Eilme momentinden dolay oluan ekil deitirme

C

Eksenel kuvvet diyagram

10EA

8EA

6EA

4EA

2EA

M

Z

A

N

6ZA

8A

10MA

4AA

2NA

100cm2

20 cm2

10 cm2

80 cm2

0.5m

15kN

50 cm

2

0.4m

0.4m

0.3m

0.3m

15kN

45kN

15kN

7kN

d12

1

t

d

y

x

d

d

MM

t.e

Kiridilimi u

dl dl

1

2

1 ve 2 noktalarndanizilen dikler (normaller)

2


41/65



====

====

====

====

====

udl

du

dldl

dld1dl

d

Atalet Momomen2

kuvve nt t me tiu E EI EI d

M ( dA) u E udA u dAM

[ ] dise dlEI

]l

[d

== = = = =

t=eksen dnas, bu a ok kk olduundan radyan deeri eimine eit alnabilir.

ty

2''d MM d d y dEI M y

dl EI dl d dl El I

= = = = = [elastik erinin diferansiyel denklemi]

qdx

MdEIM

dx

yd2

2

2

2========

y : deplasman (elastik eri)y :dnas EI/My ==== :moment

y V / EI= Kesme

EI/qyv ==== yk (kesmenin trevi yke eit olduu iin iareti + olur)

Uygulama: Tabloda verilen konsol kirilerin u deplasman ve dnalarnn hesab

Konsol kiri Yayl yk gen yayl yk

Moment2

x

qxM

2====

3

x

qxM

6L====

M. D.denklemi

2 M qxy

EI 2EI= =

3 M qxy

EI 6LEI= =

Dn

3 3

1 1

3 3

qx qLy C [x L y 0 C

6EI 6EI

qx qL

y ' 6EI 6EI

= + = = =

= +

4 3

1 1

4 3

M qx qLy ' C x L'de y ' 0 C

EI 24LEI 24EI

qx qL

y ' 24LEI 24EI

= = + = = =

= +

E. Eri

4 3 4

2 2

4 3 4

qx qL x qLy C [x L y 0 C

24EI 6EI 8EI

qx qL x qLy

24EI 6EI 8EI

= + + = = =

= +

5 3 4

2 2

5 3 4

qx qL x qLy C x L y 0 C

120LEI 24EI 30EI

qx qL x qLy

120LEI 24EI 30EI

= + + = = =

= +

x=03x 0

c

qL6EI

=

= 4x 0

c

qL8EI

=

= 3x 0

c

qL24EI

=

= 4x 0

c

qL30EI

=

=

+

Dnyn

y

x

=400

=200 =00

=400

y azalan y< 0

MM

+

+

q

x

A

c

L

c

q

x

A

c

c

L

c

q

xL

c

x

c

c

q

L


42/65




Konsol kiri Tekil yk Moment

Moment xM Px==== xM M *====

M. D.denklemi

M PxyEI EI

= = M M *yEI EI

= =

Dn

2 2

1 1

2 2

M Px PLy' C x L 'de y ' 0 C

EI 2EI 2EI

Px PLy '

2EI 2EI

= = + = = =

= +

1 1

M M * x M * Ly ' C x L 'de y ' 0 C

EI EI EI

M * x M * Ly '

EI EI

= = + = = =

= +

E. Eri

3 2 3

2 2

3 2 3

Px PL x PLy C x L y 0 C

6EI 2EI 3EI

Px PL x PLy

6EI 2EI 3EI

= + + = = =

= +

2 2

2 2

2 2

M * x M * Lx M * Ly C x L y 0 C

2EI EI 2EI

M * x M * Lx M * Ly

2EI EI 2EI

= + + = = =

= +

x=03x 0

c

PL2EI

=

= 3x 0

c

PL3EI

=

= x 0

c

M * LEI

=

= 2x 0

c

M * L2EI

=

=


Konsol kiri Yayl yk gen yayl yk

Baz sistemlerin momentleri uzun olmasndan dolay sperpozisyon yntemini kullanmak daha ksa yoldanzme ulatrabilir. (3. blmde Mohr yntemi ile hesapland)

Moment2

x

qxM

2====

3

x

qxM

6L= = = =

M. D.denklemi

2 M qxy

EI 2EI= =

3 M qxy

EI 6LEI= =

Dn

3 3

1 1

3 3

qx qLy C [x L y 0 C

6EI 6EI

qx qLy '

6EI 6EI

= + = = =

= +

4 3

1 1

4 3

M qx qLy ' C x L 'de y ' 0 C

EI 24LEI 24EI

qx qLy '

24LEI 24EI

= = + = = =

=

E. Eri

4 3 4

2 2

4 3 4

qx qL x qLy C [x L y 0 C

24EI 6EI 8EI

qx qL x qLy

24EI 6EI 8EI

= + + = = =

= +

5 3 4

2 2

5 3 4

qx qL x qLy C x L y 0 C

120LEI 24EI 30EI

qx qL x qLy

120LEI 24EI 30EI

= + = = =

= +

c

P

x

A

L

c

x

c

c

PA

L

cx

A

L

M*

c

x

c

c

A

L

M*

q

x

A

c

L

q cx

L

c

q

xL


43/65



x=04x 0

c qL6EI

=

= 4x 0

c qL8EI

=

= 3x 0

c qL24EI

=

= 4x 0

c qL30EI

=

=

Toplam3 3 3x 0

c

qL qL qLToplam dn

6EI 24EI 8EI

=

= = 4 4 4x 0

c

qL qL 11qLToplam deplasman

8EI 30EI 120EI

=

= + =

2. Kesme kuvvetinden dolay oluan ekil deitirme

Kesme kuvvetini maruz bir kirite aralarnda dx kadar mesafe bulunan iki nokta kesme kuvvetidorultusunda birbirine gre dy kadar bir yer deitirme yaparlar. Bu aada aklanmaktadr.


44/65


45/65



Uygulama: ekilde verilen kiriin elastik eri denkleminin elde edilmesi (EI= sabit).

zm: Sistemin hiperstatik olmasndan dolay x mesafesindeki moment ifadesiyazlamadndan bilinen en kesin snr art yk ifadesi kullanlarak zm yaplmtr.

Elastik erinin diferansiyel denklemi;

4

4

3

13

2 2

1 22

231

2 3

3 241 2

3 4

d yEI q

dx

d yEI qx C

dx

d y qxEI C x C

2dx

C xdy qxEI C x C

dx 6 2

C x C xqxEIy C x C 2

24

1

6 2

=

= +

= + +

= + + +

= + + + +

231

2 3

3 241 2

3 4

3

4

C xdy qxAnkastre mesnette x 0 'da Dn 0 olduundan EI C x C

dx 6 2

C x C xqxAnkastre mesnette x 0 'da Deplasman 0 olduundan

C 0

EIy C x C24 6

C 02

= = = + + +

= = = + + +

=

=+

231

2

3 4

3 24

231

2

2

41

1

C xdy qxDn EI y ' C x

dx 6 21 ve 2 denklemlerinde C 0 C 0 yazlrsa,

C x C xqxDeplasman EIy 4

24 6 2

dyx L 'da Dn 0 oldu

3

C Lqundan EI EIy '

dx

x L 'da Deplasman 0 olduunda

L

n EI

C L 06 2

Cqy

L24

= = + +

= =

= + +

= = = +=

= =

+ =

+=

2

1 2

3 22

qL qLC C

2 12L C L

06 2

= =

+ =

2

1 2

4 3 2 2qL qLC C nolu denklemde yazlrsa El

qx qLx qL x4 EIy

24 12ast

24ik eri

2 12 = +

= =

4 3 2 2 4qx qLx qL x qLEIy y

24 12 24 384EI

Lx

2 = + ==

3 2 2 3 2 2qx qLx qL x qx qLx qL xEIy ' EIy '

6 4 12 6 4 12

Ly ' 0x x

2y ' 0L= === + + = =

q

L

q

x


46/65



rnek:ekilde verilen kiriin elastik eri denkleminin bulunmas.

zm:Verilen sistemin mesnet tepki kuvvetleri hesaplanr.x mesafesindeki moment ifadesi;

2 22

2

2 3 22 31

3 4 33 4

1 2

d y 2 (x 2)M 3xy'' 16.33x 4 (x 2) 6 (x 4)EI 2 2dx

4 (x 2) 2 (x 2) 6 (x 4)16.33x 3xy' C2 6 2 6 2

4 (x 2) 2 (x 2) 6 (x 4)16.33x 3xy C x C6 24 6 24 6

= = =

= +

= + +

x=0 ise C2=0 olur. (Not: yukardaki y ifadesinde x balangcnda tekil yklerin ve 2 kN/m yaylykn etkisi olmad iin terimlerini dikkate almyoruz)

3 4 341 2

4 (x 2) 2 (x 2) 6 (x 4)16.33x3 3xy C x C6 24 6 24 6

= + +

Yukardaki ifadeden x=L ise y=0dan C1=-58.98 olarak bulunur. Yukardaki y elastik eriifadesinde C1=-58.98 ve x=6 m alndnda C2=0 olduu grlr.

Dndenklemi2 3 2

2 3 4 (x 2) 2 (x 2) 6 (x 4)16.33x 3xy' 58.982 6 2 6 2 =

Elastik eri denklemi3 4 34 4 (x 2) 2 (x 2) 6 (x 4)16.33x3 3xy 58.98x

6 24 6 24 6

=

Maksimum deplasmann yeri bulunmak istenirse muhtemelen 2 ile 4 m arasnda bir noktadadr.

RNEK 1.15: ekilde ykleme durumu ve zellikleri verilen (EI= sabit)kiriin;

a) Elastik eri denklemini [y=?]b) Kiriin ortasndaki deplasman [x=L/2 =?]c) A ve B mesnetlerindeki dnmeyi bulunuz.[A=? B=?]

q

L

x

6qL

A ====

L6

3qx6

qLxM ====

6

qLA====

Deplasman

q

Elastik eri L

L

3qL

B==== Lqx

)x(q ====

DCBA

3 kN/m2 kN/m

4 kN 6 kN

2m

2m

2m

yA 16.33=

3 kN/m2 kN/m

4 kN 6 kN

yD 19.67=

yA 16.33=

3 kN/m2 kN/m

4 kN 6 kN

yD 19.67=

x


47/65



Elastik erinin diferansiyel denklemi;EIM

dx

yd2

2

====

========

6qLx

L6qx

EI1

ydx

yd 3

2

2

Bu denklemin 1 defa integrali alnrsa,

1

24

C12qLxL24qxEI1y ++++

==== 21

35

CxC36qLxL120qxEI1y ++++++++

====

buradan x=0dan C2=0ve x=Lden C1bulunur.

EI360qL7

CLC36

qL120qL

EI1

0Lx3

11

44

====++++

========

olur. Buna gre dnas denklemi aadaki ekli alr.4 2 31 qx qLx 7qL

yEI 24L 12 360

= +

Bu denklemde xdeikenine deer verilerek istenilen noktann eimi bulunur.rneinAmesnedindeki eimini bulmak iin x=0verilirse,

3 3

A B

1 7qL 1 8qLx 0 ise

EI 360 EI 360

= = =

olarak bulunur. ( c nin cevab)

Denkleminin 1 defa daha integrali ise,

2

335

C360

xqL736

qLxL120

qxEI1

y ++++

++++====

Buradaki C2sabiti ise deplasmann sfr olduu x=0veya x=Lsnr artlar verilerek bulunur ve)0CiseLxveya0x( 2============ yerine yazlr ise elastik eri denklemi aadaki gibi bulunur.

a)5 3 31 qx qLx 7qL x

yEI 120L 36 360

= +

b) Kiriin orta orta=?5 3 3 4

ORTA

L 1 q(L / 2) qL(L / 2) 7qL (L / 2) 7 qlx ise

2 EI 120L 36 360 3840 EI

= = + =

olarak bulunur. Bu elastik eri denkleminde istenilen noktadaki deplasman bulmak iin x

deikenine o noktann deeri verilerek bulunur.

q

L

BA

6

qL

3

qL


48/65



RNEK 1.15.1: ekilde ykleme durumu ve zellikleri verilen (EI= sabit)kiriin;

Elastik eri denkleminin [y=?]

2 44

3 54

qL x xy 7 30 1 15 1360EI l l

qL x x xy 7 1 10 1 3 1

360EI l l l

= +

= +

olduunu gsteriniz.

RNEK 1.16: ekilde verilen (EI= sabit)kiriin Elastik eri denkleminin elde edilmesi

Kiri2 blgeye ayrlr. I. Blge A-B. Bu blgede,

I.Blgede elastik erinin diferansiyel denklemi;EIM

dx

yd2

2

====

I. Blge II. Blge

========

LPax

EI1

ydx

yd2

2

. [[[[ ]]]])xa(PEI1

ydx

yd12

2

======== ..................1


1

2

CL2

PaxEI1

y ++++

==== .. 1I

21

1 C)2

PxPax

EI1

y ++++

==== ................2

21

3

CxC

L6

Pax

EI

1y ++++++++

==== 1II11I

31

21 CxC)

6

Px

2

Pax

EI

1y ++++++++

==== .......3

olur. Buradan C1, C1-1, CII-1ve CII-1 sabitlerin belirlenmesi ise,

3. denklemden (x=0ve x1=0da deplasmann sfr olduu yazlarak)

C2=0 ve CII-1=0

21

3

CxCL6

PaxEI1

y ++++++++

==== denkleminde x=Lde deplasmann sfr snr artndan

6PaL

C1 ==== olur.

CI-1ise, B mesnedinin solundaki teetin eimi, B mesnedinin sandaki teetin eimine eit olmas artndan,

q

L

P

L a

Elastik eri

Deplasman

P

xPa

AL

=

PaxM

L=

PaA

L=

P

PaB P

L= +

x

1M P(x a)=

PaA

L= PaB P

L= +


49/65



1

2

CL2

PaxEI1

y ++++

==== 1I

21

1 C)2

PxPax

EI1

y ++++

====

221

1 1 I 1 1

Px1 Pax 1x L de C Pax C x 0

EI 2L EI 2

= + = + =

C1deeri ve snr artlar yerini yazlr ve iki denklem eitlenir ise CI-1bulunur.

==== 3

PaL2EI1

C 1I Sabitler yerine yazlarak I. ve II. blge iin elastik eri denklemleri,

I. Blge II. Blge

Dnas21 Pax PaL

yEI 2L 6

= +

21

1

Px1 1 2PaLy Pax )

EI 2 EI 3

= +

Deplasman31 Pax PaLx

yEI 6L 6

=

2 31 1 1Pax Px 2PaLx1y )

EI 2 6 3

= +

RNEK 1.17: ekildeki (EI= sabit)kiriin Elastik eri denkleminin belirlenmesi.

Kirii 2 blgeye ayrrz. I. Blge A-C. Bu blgede, ( 0 < x < a )

2 2 2 3 4'C A 1 C A 1 22

qx d y 1 qx 1 qx 1 qxM y y C y C x C

2 EI 2 EI 6 EI 24dx

= = = = + = + +

II. Blge A-B. Bu blgede, ( a < x < L )

2 2 2 2 2

2

3 2 2 4 2 3

A B 3 A B 3 4

qx qL d y 1 qx qLM (x a) y (x a)

2 2b EI 2 2bdx

1 qx qL (x a) 1 qx qL (x a)y C y C x C

EI 6 2b 2 EI 24 2b 6

= + = = +

= + + = + + +

C1, C2, C3, ve C4 sabitleri kirii eiminin ve deplasmanlarnn sfr ve eit olmas artlarndanyararlanarak bulunur. Snr artlar aadaki ekilde bulunur.

A

q

B

b a

L

MB=0 q x L x L x 0.5 bAy=0

b2

qL

qLBb2

qL

A

2

y

2

y ========

2

y

qLA

2b

=

2

y

qLB qL

2b

=

A

q

B

Sistemin ekil deitirmihali

A

q

B

Elastik eri Deplasman


50/65



1. x=a ise deplasman sfr olacandan4

1 2

1 qxy C x C

EI 24

= + +

4 4

1 2 2 1

1 qa 1 qa0 C a C C C a

EI 24 EI 24

= + + = +

2. x=L ise deplasman sfr olacandan

4 2 3 4 2 3

3 4 4 3

1 qx qL (x a) 1 qL qL (L a)y C x C C C L

EI 24 2b 6 EI 24 2b 6

= + + + = + +

3. A mesnedinin sandaki ve solundaki dnalarnn eit olmas artndan (x=a)

3 3 2 2'C A 1 A B 3

3 3

1 3 1 3

1 qx 1 qx qL (x a)y C y C

EI 6 EI 6 2b 2

1 qx 1 qxC C buradan C C

EI 6 EI 6

= + = = + +

+ = + =

4. mesnetler arasndaki blgede x=a da deplasman sfr olma artndan

4 2 3 4 2 3

A B 3 4 4 3

1 q x qL (x a) 1 qa qL (a a)y C x C C C a

EI 24 2b 6 EI 24 2b 6

= + + + = + +

Bu artlarn ortak zmnden

4 4 2

1 3

q(L a )x qL bxC C

24b 12

= =

4 4 4 2

2 4

qa q(L a )a qL baC C

24 24b 12

= = +

I. Blge A-C. Bu blgede, (0


51/65




1

2C

2x

L*M

EI1

y ++++

==== ..........................................................................................................2

21

3

CxC6xL*MEI1y ++++++++

==== .................................................................................................3

Snr artlar x=0 ise y=0 buna gre C2=0

x=L ise y=0 buna gre6

L*MC1 ==== olarak bulunur.

Buna gre dnas bants21 M* x M* L

yEI 2L 6

=

A BM * L M * Lx 0 x L6EI 3EI= = = =

ekil deitirme bants31 M* x M* Lx

yEI 6L 6

=

EI16L*M

2/Lx00xve0x2

ortaBA ========================

RNEK: ekilde verilen kiriin elastik eri denklemini bulunuz.

zm: Kiriin moment alan izilerek moment ifadesi yazlr.

x

2 2 3

x1 1 2

100 50M 50 x 50 x

6 3

M 1 50 1 50x 1 50x 50xy 50 x y 50x C y C x CEI EI 3 EI 2x3 EI 2 18

= =

= = = + = + +

Snr artlar yazlarak sabitler, x=0ve y=0ise C2=0olur. x=6ise y=0dan C1=50olur.

Dniin21 50x

y 50x 50EI 2x3

= +

Elastik eri denklemi

3 21 25x 50xy 50x

EI 9 2

= +

Bu denklemde hangi noktadaki deplasman veya dn isteniyorsa x yerine yazlarak aranandeplasman bulunur.

50 kNA B

50 kN

6m50 kN

A B

50 kN

6m

50

50

16.6716.67

x


52/65



RNEK:ekilde verilen konsol kiriin elastik eri denkleminin bulunmas.

1. Blge [[[[ ]]]]qbx]2/ba[qbMax0 1 ++++====

[ ]"1

2 2'1

3 2 2 3

1

M 1y qbx qb[a b / 2]

EI EI

1 qbx qb xy qbax C x 0 [dn 0] ise C 0

EI 2 2

1 qbx qbax qb xy D x 0 [deplasman 0] ise D 0

EI 6 2 6

= = +

= + = = =

= + = = =

2. Blge 22a x b M qb[a b / 2] qbx qx / 2 = + + = + + = + + = + +

" 22

2 3'2

3 2 2 2 4

2

x 0 [dn 0] ise E

M 1y qbx qb[a b / 2] qx /2

EI EI

1 qbx qbx qxy qbax E

EI 2 2 6

1 qbx qbax qb x qxy Ex F

EIx 0 [deplasman 0] ise F 0

0

6 2 4 24

= =

=

+

= +

= + +

=

=

=

=

=

Kiritam ykl ise

2 2 3 3'2 max

3 2 2 2 4 3

2 max

1 qbx qb x qx qLy qbax a 0 ve b L ise

EI 2 2 6 6EI

1 qbx qbax qb x qx qLy a 0 ve b L ise

EI 6 2 4 24 8EI

= = = =

= = = =

Bulunan deerlerin aada verilen tabloda bulunan deerler ile ayn olduu grlmektedir.

0

EI6

qL

k

3

k

====

====

EI8qL4

max ==== ]L6Lx4x[EI24Px

y 222

++++====

1. ve 2. blgelerdeki elastik eri denklemi aadaki ekilde elde edilir.

a

L

b

y

ki

x

q

a

L

b

max

y

k

i

maxx

x

q

q

aL

bqb

y

ki

M=qb[a+b/2]x

max

y

k

i

maxx

x

L

q


53/65



1. blge

2 2'1

3 2 2 3

1

1 qbx qb xy qbax

EI 2 2

1 qbx qbax qb xyEI 6 2 6

=

=

2. blge

2 2 3'2

3 2 2 2 4

2

1 qbx qb x qxy qbax

EI 2 2 6

1 qbx qbax qb x qxyEI 6 2 4 24

=

=

rnek 1.18: ekilde ykleme durumu kiriinde,

a.A=? B=?

b. Kiriin cnoktasndaki [c=?]deplasmann belirlenmesi

zm:Mesnet tepki kuvvetleri bulunarak moment alan izilir ve kiri2 blgeye ayrlr.

1. Blge xL

Pb

Max0 1 ====

2 3" '1 1 1 1 1 2

M 1 Pb 1 Pbx 1 Pbxy x y C y C x C

EI EI L EI 2L EI 6L

= = = + = + +

2. Blge 2 2Pb Pax

a x L M x p[x a] [b (L a) ise] M PaL L

= = =

2 3 2" '2 2 1 2 1 2

1 Pax 1 Pax 1 Pax Paxy Pa y Pax D y D x D

EI L EI 2L EI 6L 2

= = + = + +

Sabitlerin bulunmas2 2

2 1 2PaL PaLx 0 ise y 0 C 0 x L ise y 0 D L D

6 2= = = = = + +

A: 1. blge iin x=a daki kme 2. blge iin x=bdeki kmeye eit

2 2 3

1 2 1 2 1

PaL PaL Pbay [a] y [b] D L D C a...................................1

6 2 6L= + + = +

B: 1. blge iin x=a daki dn 2. blge iin x=bdeki dne eit

3 2' ' 21 2 1 1

Pa Pbay [a] y [b] Pa D C ....................................................2

2L 2L

= + = +

1 ile2nin ortak zmnden,6

PaD]

L

a2[

L6Pa

D]ab2[L6

PabC0C

3

22

2

112 ====++++====++++========

Sabitler bulunduktan sonra her iki blge iin elastik eri bantlar aadaki ekilde olur.

Ba b

P

cA

PbA L= PaB L=

PabL

a

b

P

c

L


54/65



3 2 23 2 2

1 2

Pb Pa x x x a0 x a y [ x ax [2b a]] a x L y 2L a

6LEI 6EI 6L 2 6L 6

= + + = + +

3 3c 1

2'

A

2

1

2Pa b

3

Pb Pby [a] [ x ax[2b a]] [ a aa[2b a]]

6LEI 6LEI

1 Pbx Paby [0] [2b a]

EI 2L 6L

LE

Pab[2b

LE

I

a]6 I

= = + + = + + =

= = + + =

+

2 2'

B 2 2

3

3

1 PaL Pa ay [L] PaL [2 ]

1 Pa Pa PaL

EI 3EI 2 L 2L L6L6L

= = + + =

+

= = = =

B

21 PL

EIa b x L / 2 ise

16 = = = =c

3

a b x L / 2 isePL

48EI

RNEK: ekilde yklemesi verilen kiriin elastik eri denkleminin bulunmas.

zm

Documents

Yapı Statiği 2