Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

end

isli

ği

Bö

lüm

ü SAYISAL YÖNTEMLER

13.HAFTA İÇERİĞİ13.HAFTA İÇERİĞİ

RUNGE KUTTARUNGE KUTTA

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

end

isli

ği

Bö

lüm

ü

Düşen bir paraşütçünün hızının “v”, zamanın “t” bir

fonksiyonu olarak hesaplamak için Newton’un ikinci

yasasına dayalı aşağıdaki eşitlik yazılabilir.

Burada g yerçekimi ivmesi, m kütle ve c direnç

katsayısıdır. Bilinmeyen fonksiyonu ve onun türevini

içeren bu tür denklemler, diferansiyel denklem olarak

adlandırılır.

vm

cg

dt

dv

v – bağımlı değişken

t –bağımsız değişken

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

end

isli

ği

Bö

lüm

ü

Diferansiyel denklemler derecelerine göre sınıflandırılırlar.

1.Dereceden diferansiyel denklemler

- - LineLineerer birinci dereceden diferansiyel denk.birinci dereceden diferansiyel denk.

- Non-Line- Non-Lineerer birinci dereceden diferansiyel denk.birinci dereceden diferansiyel denk.

f(x,y) nonf(x,y) non linelineeerr

)(xfydx

dy

),( yxfdx

dy

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

end

isli

ği

Bö

lüm

ü

2. Dereceden diferansiyel denklemler

- - LineLineerer ikinci dereceden diferansiyel denk.ikinci dereceden diferansiyel denk.

İkinci dereceden denklem ikinci türev içerirİkinci dereceden denklem ikinci türev içerir

- Non-Line- Non-Lineerer ikinci dereceden diferansiyel denk.ikinci dereceden diferansiyel denk.

f(x,y) nonf(x,y) non linelineeerr

)(xfQydx

dyp

dx

yd2

2

)(),(),( xfyyxQdx

dyyxp

dx

yd2

2

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

end

isli

ği

Bö

lüm

ü

* Yüksek dereceli denklemler birinci dereceden

denklemelere indirgenebilir.

dv = F

dt m

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

end

isli

ği

Bö

lüm

ü

),( yxfdx

dy

eğim

Adım büyüklüğü

yi+1 = yi +Φh

•Bu eşitliğe göre, h aralığı

boyunca eski bir yi

değerinden yeni bir yi+1

değerini ekstrapolasyonla

bulmak için eğim tahmini Φ

kullanılır.

•Bu formül, ileriye doğru adım adım uygulanabilir ve

böylece çözümün yörüngesi çizilebilir.

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

end

isli

ği

Bö

lüm

üEuler Yöntemi

),( yxfdx

dy

*Birinci türev, xi deki eğimin doğrudan tahmini verir.

Φ= f(xi, yi)

*Burada, f(xi, yi), xi ve yi’de hesaplanmış olan diferansiyel denklemdir.

bu tahminler eşitlikte yerine konursa;

Çözüm

Tahmin

GerçekHata

yi+1 = yi +Φh

Euler – Caucy Yöntemi

(noktasal eğim)

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

end

isli

ği

Bö

lüm

üEuler Yöntemi

ÖRNEK: Eşitliği sayısal olarak integre etmek için Euler yöntemini kullanın.

Adım büyüklüğünü 0,5 alarak x =0 dan x=4’e kadar integre edin. Başlangıç

koşulu : x = 0 to y = 1

58x20x12x2dx

dy 23 .

1255505801200112012255

50875501f01y02y

8755505850205012502255

5025550f50y01y

25550x5801

5010f0y50y

23

23

.).).(.).().().((.

).).(.,.().().(

.).).(.).().().((.

).).(.,.().().(

....

).).(,()().(

X Y gerçek Y Euler

0.0 1.00000 1.00000

0.5 3.21875 5.25000

1.0 3.00000 5.87500

1.5 2.21875 5.12500

2.0 2.00000 4.50000

2.5 2.71875 4.75000

3.0 4.00000 5.87500

3.5 4.71875 7.12500

4.0 3.00000 7.00000

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

end

isli

ği

Bö

lüm

üEuler Yöntemi

* Adım aralığı büyük oldukça hata artmaktadır.

Gerçek çözüm

Euler çözüm hatalarını azaltabilmek için iyileştirmeler

yapılmalıdır. Bu yöntemler;

a) Heun’s Method

b) Orta nokta (Midpoint) Method

c) Ralston Method

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

end

isli

ği

Bö

lüm

üRunge-Kutta METODLARI

1

1 1 2 2

1

2 1 11 1

3 3 21 1 22 2

1 1 1 1,2 2 1, 1 1

( , , )

' constants

( , )

( , )

( , )

( , )

' and ' are constants

i i i i

n n

i i

i i

i i

n i n i n n n n n

y y x y h h

a k a k a k

a s

k f x y

k f x p h y q k h

k f x p h y q k h q k h

k f x p h y q k h q k h q k h

p s q s

= sabitler

sabitlerve

• Euler yönteminin hatasını azaltmanın bir yolu çözümde Taylor serisinin

daha yüksek dereceli terimlerini de almaktır.

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

end

isli

ği

Bö

lüm

üRunge-Kutta METODLARI

1. Birinci derece RK methodu

n=1 Euler methodu.

2. İkinci derece RK methodu

),(

),(

)(

11112

1

22111

hkqyhpxfk

yxfk

hkakayy

ii

ii

ii

*Taylor serisinin İkinci derece kuralları

dikkate alındığında açılımında a1, a2,

p1, ve q11 değerleri ile ilgili bağıntılar

elde edilebilir.

2

12

1

1

112

12

21

qa

pa

aa

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

end

isli

ği

Bö

lüm

üRunge-Kutta METODLARI

En çok kullanılan üç metod;

• Heun Methodu (a2=1/2)

• Orta nokta (Midpoint) Methodu (a2= 1)

• Raltson Methodu (a2= 2/3)

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

end

isli

ği

Bö

lüm

üRunge-Kutta METODLARI

y

f(xi,yi)

xi xi+hx

f(xi+h,yi+k1h)

y

a

xi xi+hx

eğim: 0.5(k1+k2)

Heun MethoduEğim tahminini iyileştirmek için, biri aralığın başında diğer sonunda olmak üzere aralık için iki türev hesaplanır. Göz önüne alınan aralık için iyileştirilmiş bir eğim elde etmek amacıyla, daha sonra bu iki türevin ortalaması alınır.

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

end

isli

ği

Bö

lüm

üRunge-Kutta METODLARI

Orta Nokta MethoduAralığın orta noktasındaki y değerini tahmin etmek için Euler Yönetmi kullanılır.

Daha sonra bu tahmini değer, orta noktadaki eğimi hesaplamak için kullanılır.

f(xi+h/2,yi+k1h/2)

y

a

xi xi+hx

Eğim: k2

y

f(xi,yi)

xi xi+h/2x

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

end

isli

ği

Bö

lüm

üRunge-Kutta METODLARI

Ralston Methodu

x

f(xi+ 3/4 h, yi+3/4k1h)

xi+h x

y

f(xi,yi)xi xi+3/4

hy

a

xi

Eğim: (1/3k1+2/3k2)

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

end

isli

ği

Bö

lüm

üRunge-Kutta METODLARI

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

end

isli

ği

Bö

lüm

üRunge-Kutta METODLARI

3. Derece RK methodu

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

end

isli

ği

Bö

lüm

üRunge-Kutta METODLARI

4. Derece RK methodu

hkkkkyy ii )22(6

143211

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

end

isli

ği

Bö

lüm

üRunge-Kutta METODLARI

Örnek: f(x,y)=-2x3+12x2-20x+8,5 denklemini adım büyüklüğünü h=0,5 alarak, x=0’da y=1 başlangıç koşulu ile integre etmek için klasik 4.derceden R.K yöntemini kullanın.

hkkkkyy ii )22(6

143211

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

end

isli

ği

Bö

lüm

üRunge-Kutta METODLARI

5.0*)25.1)21875.4(2)21875.4(25,8(6

11)5.0( y

21875.3)5.0( y