yle TEMEL MATEMATİK · Bölme İşlemi 30 Bölünebilme Kuralları 32 Obeb - Okek 42 Rasyonel Sayılar 57 Ondalık Sayılar 63 2. ÜNİTE - BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM, EŞİTSİZLİK

TYTTEMEL

MATEMATİK KONU

ANLATIMLIÖğretici Anlatım

Çözümlü ÖrneklerPekiştirme Soruları

Konu Tamamlama Testleri

Video anlatım ve soru

çözüm desteğiyle

TYT Temel Matematik Konu Anlatımlı

OL00-SS.02KAN05

978-605-2175-70-5

Saadet Çakır

Halil Arslan, İnci Baykal, Bilal Çakır, Enver Maral

Bilal Çakır, Oğuzhan Değirmenci, Ersen Örenler

Testokul Dizgi-Grafik Servisi

Nilgün Aydoğan

WPC Matbaacılık San. Tic. A.Ş.Osmangazi Mah. Mehmet Deniz Kopuz Cad. No:17 Esenyurt - İSTANBUL tlf: 0 212 886 83 30

0 212 275 00 35 www.testokul.com - [email protected]ülbahar Mah. Cemal Sururi Sk. No:15/E Halim Meriç İş Merkezi Kat 9 Mecidiyeköy - İST.

Fikir ve Sanat Eserleri Kanunu’na göre her hakkı Eksen Yayıncılık ve Eğitim Malz. San. Tic. AŞ.’ye aittir. Eksen Yayıncılık’tan yazılı izin alınmadan kitabın herhangi bir şekilde kısmen veya tamamen çoğaltılması, basım ve yayımı hâlinde gerekli yasal mevzuat uygulanır.

Ürün Adı

Ürün No

ISBN

Yazar

Tashih ve Kontrol

Video Anlatım ve Çözümler

Dizgi Mizanpajve Tasarım

Yayın Yönetmeni

Baskı

İletişim

Copyright ©

Saygıdeğer Öğretmenlerimiz ve Sevgili Öğrenci Arkadaşlarımız,

Sınavların adı değişiyor, sınavlardaki soru dağılımları veya branşlara ait soru sayısı değişebili-

yor. Müfredatın değişmesi, yenilenmesi eğitim gündemimizi meşgul ediyor ama sonuçta sınav

gerçeği değişmiyor. Bu gerçeğin altında milyonlarca öğrenciyi yüksek öğretimde aldığı puana

göre uygun bir programa yerleştirme işlemleri yatıyor. İşte tam bu noktada sonuç odaklı hareket

etmesi gereken öğrenci arkadaşlarımızın yanında sağlam, güvenilir ve ÖSYM'nin soru mantığı-

na göre hazırlanmış başucu kaynakları olmalı ki kısa zamanda olumlu sonuç alabilsinler.

Testokul olarak dört yıllık lise müfredatının konularını bir yıldan daha kısa sürede tamamlamak

ve bu süreçte ÖSYM'nin çizgisinden sapmadan öğrencimizi hedefe ulaştırmak için elinizdeki bu

kitabı hazırladık. Sizin de inceleyince fark edeceğiniz üzere kitabımızda şu teknikleri kullandık:

➤ Yeterli ve öz bilgiye dayalı konu anlatımı

➤ Çözümlü örneklerle konunun püf noktalarının öğretilmesi

➤ Pekiştirme soruları ile ÖSYM sınavında çıkabilecek sorulara hazırlık yaptırılması

➤ Konu tamamlama soruları ile öğrencinin sınava hazır hâle getirilmesi

Peki bu kitapta daha başka neler yaptınız? derseniz,

➤ ÖSYM'deki Durum bölümüyle öğrenciye ÖSYM odaklı bakış açısı kazandırmaya

çalıştık.

➤ Cep Notu bölümüyle konunun öz bilgisini vermeyi amaçladık.

➤ Aman Dikkat! bölümüyle karıştırılması muhtemel bilgilerin doğrularıyla öğrencimizi

uyarma görevimizi yaptık.

➤ Öğrendik mi? bölümüyle anlatılan bir bilginin hatırlatılması yöntemiyle geri besleme

yaptık.

➤ Genel Kültür bölümüyle matematiksel bir bilginin günlük hayattaki kullanımına örnek

verdik.

Ayrıca bu kitaptaki tüm anlatım bölümlerini ve soruları videolu anlatımlarla öğrencimizin hiz-

metine sunduk. Sayfalarda yer alan karekodlardan bu anlatım ve çözümlere ulaşılabilmesi

mümkündür.

Biz anlattık, öğrettik, konuyu kavratıcı ve pekiştirici birçok soruya yer verdik. Kısaca, TYT Temel

Matematik konularını anlamanıza, öğrenmenize ve bu dersin sorularını çözmenize yardımcı

olacak bir kitap hazırladığımıza inanıyoruz. Hedeflediğiniz geleceğe ulaşmanızda katkımız

olabilmesi dileğiyle...

Pekiştirme SorularıArtık direksiyon sende. Bu bölümdeki sorularla bir deneme sürüşüne

çıkacak, öğrendiklerini pekiştireceksin.

KİTABIMIZI TANIYALIM

Konu BaşlığıÖnce ünite içindeki

alt konuları bu başlıklara ayırdık.

Anlatım BölümüKonunun temelini

burada attık, çözümlü örnekleri de burada

verdik.

Cep Notu, Aman Dikkat vs.Kitabın sadece

anlatım ve sorulardan oluşmuyor. Farklı

bölümlerle konunun anlaşılması için her şeyin bulunduğunu

göreceksin.

QR KodVideo formatında anlatılan konular, çözümlü örnekler, pekiştirme soruları ve test sorularının

çözümleri... Kitapla birlikte ders

anlatan bir öğretmen de seninle.

Konu Tamamlama Testi

Birçok soru çeşidiyle ünite sonunda da seninle birlikteyiz. Yapbozun son

parçası bu testler. Bu adımdan sonra sınava

bizce hazırsın.

1. ÜNİTE - SAYILAR

Tam Sayılarda Dört İşlem 8

Temel Kavramlar 10

Tek Sayı - Çift Sayı 14

Asal Sayı ve Aralarında Asal Sayılar 16

Ardışık Sayılar 18

Faktöriyel 22

Sayı Basamakları 24

Bölme İşlemi 30

Bölünebilme Kuralları 32

Obeb - Okek 42

Rasyonel Sayılar 57

Ondalık Sayılar 63

2. ÜNİTE - BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM, EŞİTSİZLİK VE MUTLAK DEĞER

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler 74

Eşitsizlikler 84

Mutlak Değer 96

3. ÜNİTE - ÜSLÜ - KÖKLÜ İFADELER VE ÇARPANLARA AYIRMA

Üslü İfadeler 110

Üslü Sayılarda Dört İşlem 113

Üslü Denklemler 116

Köklü İfadeler 125

Çarpanlara Ayırma 142

Özdeşlikler 144

4. ÜNİTE - PROBLEMLER

Oran - Orantı 160

Sayı - Kesir Problemleri 170

Yaş Problemleri 176

Yüzde Problemleri 182

İşçi Problemleri 194

Hareket Problemleri 196

Grafik Problemleri 204

Sayısal Yetenek Problemleri 207

İÇİNDEKİLER

5. ÜNİTE - MANTIK VE KÜMELER

Mantık 216

Bileşik Önermeler 217

Koşullu Önerme ve İki Yönlü Koşullu Önerme 218

Açık Önerme ve Niceleyiciler 220

Kümeler 224

Kümelerde İşlemler 227

Kartezyen Çarpım Kümesi 232

Küme Problemleri 234

6. ÜNİTE - FONKSİYONLAR

Fonksiyon Kavramı 240

Fonksiyon Çeşitleri 243

Fonksiyonlarda Dört İşlem 246

Fonksiyonların Grafikleri 247

Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi 250

Fonksiyonun Tersi 252

7. ÜNİTE - VERİ SAYMA VE OLASILIK

Sayma Yöntemleri 264

Permütasyon 268

Kombinasyon 272

Binom Açılımı 277

Olasılık 284

Merkezi Eğilim Ölçüleri 290

Merkezî Yayılım Ölçüleri 292

Verilerin Grafikle Gösterilmesi 294

8. ÜNİTE - POLİNOMLAR VE İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

Polinomlar 302

Polinomlarda Sabit Terim ve Katsayılar Toplamı 308

Polinomlarda Bölme İşleminde Kalanı Bulma 310

İkinci Dereceden Denklemler 317

Karmaşık Sayılar 321

İkinci Dereceden Denklemlerde Kök-Katsayı Bağıntıları 324

Cevap Anahtarları 332

30

BÖLME İŞLEMİ

Bölme AlgoritmasıA,B,C,KbirerdoğalsayıveB≠0olmaküzere,

B

C

A

K

A:BölünensayıB:BölensayıC:BölümK:Kalan

olsun.Buradan

1. Bölünen=Bölen .Bölüm+Kalan A=B .C+Kolur.

2. Kalanbölendenküçüktür. K<B

3. Kalanbölümdendeküçükise,bölenilebölümyerdeğiştirebilir.

4. Kalan0ise,A,B’yetambölünür.

Çözümlü Örnek 01 :

AB, BA iki basamaklı birer doğal sayı ve

BA

1

AB

18

olduğuna göre, A – B farkını bulalım.

Verilenbölmealgoritmasından

AB=1.BA+18⇒10A+B=10B+A+18

9(A–B)=18⇒A–B=2


a, b, c birer pozitif tam sayı ve

b

5

a

2

c

3

b

1

olduğuna göre, a’nın c türünden değerini bulalım.

Bölmeişlemlerindena=5b+2veb=3c+1yazılır.

a = 5b + 2 ifadesinde b gördüğümüz yere 3c + 1yazalım.Bunagöre,

a=5b+2=5 . (3c+1)+2a=15c+5+2⇒a=15c+7bulunur.

Pekiştirme Soruları

1. xyxy2beşbasamaklıvexyikibasamaklıdoğalsayılardır.

xy

a

xyxy2

b

olduğuna göre, a – b farkı kaçtır?

A)1010 B)1009 C)1008

D)99 E)9

2. BirKsayısıxilebölündüğündebölüm5,kalanx–1’dir.

Buna göre, x’in eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) K–26

B) K–16

C) K+16

D) K+26

E) K+35

3. x, y, z birer sayma sayısı ve

y

3

x

5

z

4

y

2

olduğuna göre, x’in z türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A)4z+5 B)6z+7 C)10z+3

D)12z+11 E)12z+13

4. 4

B

A

2

B–1

4

A

K

Yukarıdaki bölme işlemlerine göre, K kaçtır?

A)3 B)4 C)5 D)6 E)7

31

Sayılar

Kalan - Bölen İlişkisi Bölmeişlemindekalanbölendenküçüktür.


40B

A

B2

Yukarıdaki bölme işleminde A ve B birer doğal sayı olduğuna göre, A’nın en büyük ve en küçük değerlerini bulalım.

A = 40.B + B2 ve B2<40olmalıdır.

• Bençok6alınırsaA=40.6+62=276

• Benaz0alınırsaA=40.0 + 02=0bulunur.


nbirpozitiftamsayıolmaküzere,50’ninn’yebölümündenkalan5’tir.

Buna göre, n’nin alabileceği değerler toplamını bulalım.

n

x50

5

⇒n.x+5=50 n.x=45ven>5

nsayısı45’inbölenlerive5’tenbüyükolduğundan9,15ve45olabilir.

Ohâlde,toplamları9+15+45=69bulunur.


a, b ve c pozitif tam sayılar olmak üzere,

5b

a

4

4c

b

3

olduğuna göre, a’nın 10 ile bölümünden kalanı bulalım.

a=5b+4veb=4c+3⇒a=5(4c+3)+4

a=20c+19

20c,10’unkatıolduğundana’nın10ilebölümündenkalan19’un10ilebölümündenkalanolan9’dur.


1. HilalileZeyneparasındabirmatematikoyunuşöyleoynanıyor.

•Hilalaklındanbirpozitiftamsayıtutuyor.

•Tuttuğusayının5,7ve10ilebölümündenkalan-larısırasıylaZeynep’esöylüyor.

•ZeynepiseHilal’inaklındantuttuğusayıyıbuluyor.

Buna göre, Hilal’in Zeynep’e söylediği kalanların toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A)0 B)1 C)5 D)19 E)20

2. A ve B doğal sayıları için

10

5

A

B

olduğuna göre, A aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A)50 B)52 C)55 D)58 E)60

3. a, b, c ve d doğal sayıları için

15

c

a

7

20

d

b

13

olduğuna göre, a.b çarpımının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

32

BÖLÜNEBİLME KURALLARI

2, 3 ve 4 ile Bölünebilme2 ile Bölünebilme

Bir sayının birler basamağı çift ise bu sayı 2 ile tam bölünür. Sayı tek ise sayının 2’ye bölümünden kalan 1’dir.

3 ile Bölünebilme

Bir sayının rakamlarının toplamı 3’ün katı ise bu sayı 3 ile tam bölünür.


Üç basamaklı 2a5 sayısı 3 ile tam bölündüğüne göre, a’nın alabileceği değerleri bulalım.

2 + a + 5 = 7 + a toplamının 3’ün katı olması için a;

2, 5 ve 8 değerlerini alabilir.

4 ile Bölünebilme

Bir doğal sayının son iki basamağının oluşturduğu sayı 4’ün katı ise bu sayı 4 ile tam bölünür.


Üç basamaklı 52a sayısı 4 ile tam bölündüğüne göre, a’nın alabileceği değerleri bulalım.

52a sayısının 4 ile bölünebilmesi için son iki basama-ğındaki 2a sayısı da 4 ile tam bölünmelidir.

O hâlde, a rakamı 0, 4 ve 8 değerlerini alabilir.


Dört basamaklı 5x3y sayısının 4 ile bölümünden kalan 2’dir.

Aynı sayının 3 ile bölümünden kalan 1 olduğuna göre, x + y toplamının en büyük değerini bulalım.

• 5x3y sayısının 4 ile bölümünden kalan 2 ise 3y sayısının 4 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır. Bu durumda y: 0, 4 ve 8 değerlerini alabilir. x + y’nin en büyük değeri için y = 8’i alalım.

• 5x38 sayısının 3 ile bölümünden kalan 1 ise, 5 + x + 3 + 8 = 16 + x eşitliğinden x; 0, 3, 6 ve 9 değerlerini alabilir.

O hâlde, x + y en büyük

9 + 8 = 17 olur.


1. Rakamları farklı beş basamaklı 9x48y sayısı 2 ile tam bölündüğüne göre, x + y toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) 17 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13

2. Bir okuldaki öğrenci sayısı üç basamaklı 34K sayısıdır.

Bu okuldaki öğrencilerin tamamı üçerli gruba ayrıldığında 2 öğrenci açıkta kaldığına göre, K’nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

3. Dört basamaklı 25A0 sayısının 4 ile bölümünden kalan 2’dir.

Buna göre, A’nın alabileceği kaç farklı değer vardır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

4. A ve k birer pozitif tam sayı olmak üzere,

Ak, A sayısının k ile bölümünden kalan biçiminde tanımlanıyor.

Örneğin, 50’nin 4 ile bölümünden kalan 2 olduğu için 504 = 2’dir.

Buna göre,

A = 23232323232323

sayısı için A2 + A3 + A4 toplamı kaçtır?

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

33

Sayılar

5 ve 6 ile Bölünebilme5 ile Bölünebilme

Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar, 5 ile tam bölünür.


Üç basamaklı a4b sayısı 3 ve 5 ile tam bölündüğüne göre, a’nın alabileceği değerler toplamını bulalım.

a4b sayısı 5 ile tam bölündüğüne göre, b = 0 veya b = 5 olabilir.

● b = 0 için a40 sayısı 3 ile tam bölündüğüne göre sayı-nın rakamları toplamı olan a + 4 + 0 = a + 4 sayısı 3 ile tam bölünmelidir.

O hâlde, a rakamı 2, 5 ve 8 değerlerini alabilir.● b = 5 için a45 sayısı 3 ile tam bölündüğüne göre,

a + 4 + 5 = a + 9 toplamı 3 ile tam bölünmelidir.

O hâlde, a rakamı 3, 6 ve 9 olabilir.

Buna göre, a’nın alabileceği değerler toplamı

2 + 3 + 5 + 6 + 8 + 9 = 33 bulunur.

6 ile Bölünebilme

2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 6 ile tam bölünür.


Dört basamaklı 3x5y sayısının 5 ile bölümünden kalan 3’tür.

Aynı sayı 6 ile tam bölündüğüne göre, x’in alabileceği değerler toplamını bulalım.

● 3x5y sayısının 5 ile bölümünden kalan 3 ise y = 3 veya y = 8 olabilir.

● 3x5y sayısı 6 ile tam bölünüyorsa hem 2’yle hem de 3 ile tam bölünmelidir.

Bu durumda y çift, yani y = 8 olur.

3x58 sayısının 3 ile tam bölünmesi için x; 2, 5 ve 8 değerlerini alabilir.

O hâlde toplamları, 2 + 5 + 8 = 15 bulunur.


1. x = 32427

y = 154363

olduğuna göre, x2 + x.y – y işleminin sonucunun 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

2. Üç basamaklı 56A sayısı 6 ile tam bölünmektedir.

Buna göre, A rakamı kaçtır?

A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

3.

147*

2580

369

Yukarıda, matematik öğretmeni İnci Hanım’ın evinin giriş kapısında bulunan şifre girme ekranı gösterilmiştir.

İnci Hanım’ın oğlu Furkan üç basamaklı şifreyi unutmuş ve şifreyi annesine sorduğunda annesi şu bilgileri vermiştir.

• Yüzler basamağındaki rakam 7’dir.

• 5 ile bölümünden kalan 2’dir.

• 6’nın tam katıdır.

Buna göre, işlemleri doğru yapan Furkan en çok kaç farklı denemede doğru şifreye ulaşır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Bu sorunun aslında klasik bölünebilme kuralı sorusu olduğunu fark etmelisin. ÖSYM aslında senin alışık olduğun klasik matematik sorularını hikâyelendiriyor. Sen sana klasik gelen sorunun çözüm yolunu bilirsen hikâyeleştirilmiş soruyu da mutlaka çözersin.

ÖSYM’deki Durum

34


Bir sayının 8 ile tam bölünebilmesi için sayının son üç basamağındaki sayının 000 veya 8’in katı olması gerekir.

Örneğin,

23000 ve 24160 sayıları 8 ile tam bölünür.

124010 sayısı 8 ile tam bölünmez, kalan 2’dir.

9 ile Bölünebilme

Bir sayının rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalan o sayının 9 ile bölümünden kalana eşittir. Kısacası, sayının rakamlarının toplamı 9’un katı ise sayı 9 ile tam bölünür.

Örneğin,

2574 sayısının rakamları toplamı

2 + 5 + 7 + 4 = 18 olduğundan 9 ile tam bölünür.


Sekiz basamaklı 44444444 sayısının 9 ile bölümünden kalanı bulalım.

Sayının rakamlarının toplamı

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 32’dir.

32’nin 9 ile bölümünden kalan 5 olduğundan 44444444 sayısının da 9 ile bölümünden kalan 5’tir.


Dört basamaklı 2a52 sayısı 9 ile tam bölündüğüne göre, a’nın alabileceği değerleri bulalım.

2a52 sayısının rakamlarının toplamını bulalım.

2 + a + 5 + 2 = 9 + a toplamı 9 ile tam bölünmeli. O hâlde, a rakamı 0 ve 9 olabilir.


Üç basamaklı 2a5 sayısının 9 ile bölümünden kalan 3 ise, a rakamını bulalım.

2a5 sayısının 9 ile bölümünden kalan 3 ise, rakam-ları toplamının 9 ile bölümünden kalan 3 olmalıdır.

2 + a + 5 = 7 + a toplamı 12 olursa, 9 ile bölümünden 3 kalır. Buradan, a = 5’tir.


1. Eğer bir sayı rakamları toplamına tam bölünüyorsa o sayıya Harshad sayısı denir.

Örneğin, 24 sayısı rakamlarının toplamı olan 2 + 4 = 6’ya tam bölündüğünden bir Harshad

sayısıdır.

Buna göre,

I. 126

II. 301

III. 5120

sayılarından hangileri bir Harshad sayısıdır?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III

D) I ve III E) II ve III

2. Bir kırtasiyeci tanesi 9 TL’den belirli sayıda kalem satın alıyor.

Ödenen miktarın ilk rakamı silik çıktığı için bu faturanın yalnızca •13 biçiminde üç basamaklı bir sayı olduğunu okuyabiliyor.

Buna göre, kırtasiyeci kaç kalem satın almıştır?

A) 37 B) 47 C) 57 D) 67 E) 77

3. Rakamları birbirinden farklı 8 ile tam bölünen sekiz basamaklı en küçük pozitif tam sayının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 5 D) 6 E) 8

4. K sıfırdan farklı bir rakam olmak üzere,

K bir basamaklı KK iki basamaklı KKK üç basamaklı KK...K on basamaklı

sayılarının toplamının 9 ile bölümünden kalan 2’dir.

Buna göre, K kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 8

35

Sayılar


Birler basamağındaki rakam 0 olan sayılar 10 ile tam bölünür.

Cep Notu

Bir sayının 10 ile bölümünden kalan birler basamağın-daki rakamdır.


Üç basamaklı 5AB sayısının 10 ile bölümünden kalan 6’dır.

Bu sayı 4 ile tam bölündüğüne göre, A + B toplamının alabileceği en büyük değeri bulalım.

5AB sayısının 10 ile bölümünden kalan 6 ise, B = 6’dır.

5A6 sayısı 4 ile tam bölünüyorsa A, 1, 3, 5, 7 ve 9 değerlerini alabilir. (16, 36, 56, 76, 96)

O hâlde A + B en büyük 9 + 6 = 15 olur.

11 ile Bölünebilme

Sayının rakamları sağdan sola doğru sırasıyla

... , –, +, –, +

ile işaretlendirilerek toplanır. Bu toplamın 11 ile bölü-münden kalan, o sayının 11 ile bölümünden kalana eşittir.

Örneğin, 2 3 5 2 4 7 → –2 + 3 – 5 + 2 – 4 + 7 = 1 – + – + – +

olduğundan sayının 11 ile bölümünden kalan 1’dir.


Dört basamaklı 9a51 sayısı 11 ile tam bölündüğüne göre, a kaçtır?

9 a 5 1 → –9 + a – 5 + 1 = –13 + a– + – +

ifadesinin 11’in katı olması için a = 2 olmalıdır.


1. Bir okulda öğrencilere 5 rakamdan oluşan okul numaraları verilmektedir.

A1A2A3A4A5 sayısının geçerli bir okul numarası olması için aşağıdaki koşulu sağlaması gerekmektedir.

• 2(A1 + A3) + A2 – A4 sayısının 10 ile bölümünden kalan A5’tir.

Örneğin, 32415 sayısı geçerli bir okul numarasıdır çünkü,

• 2(3 + 4) + 2 – 1 = 15 sayısının 10 ile bölümünden kalan 5’tir.

Beş basamaklı 5A234 sayısı geçerli bir okul numarası olduğuna göre, A rakamı kaçtır?

A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7

2. Dört basamaklı 13ab sayısı 10 ve 9 ile tam bölünüyor.

Buna göre, a rakamı kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

3. Üç basamaklı 3A2 sayısının 11 ile bölümünden kalan 2’dir.

Buna göre, A kaçtır?

A) 9 B) 7 C) 5 D) 4 E) 3

4.

Parolayı girin

5 1

741*

8520

963#

Yanda matematik öğretmeni Nevin Hanım’ın telefonunun parola girme ekranı gösterilmiştir.

Nevin Hanım’ın kızı oyun oynamak için telefonu aldığında dört basamaklı parolanın birler ve yüzler basamağındaki rakamı unuttuğunu fark ediyor. Parolayı annesine sorduğunda “Parola,

10 ile bölündüğünde 3 kalanını veren, 11 ile tam bölünen bir sayıdır.” cevabını alıyor.

Buna göre, parolanın 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 9

36

Aralarında Asal Sayıların Çarpımının Oluşturduğu Sayıya Bölünebilme

Şimdi 6, 12, 15, 18, 20, ...... gibi sayılara bölünebilme kuralını görelim. Korkmanıza gerek yok bunların hepsi için ayrı ayrı kurallar yok.

Genel kuralımız şu: Aralarında asal iki sayının her birine ayrı ayrı bölünebilen bir sayı bu iki sayının çar-pımına da tam bölünür.

Örneğin; hem 3 hem de 10 ile tam bölünen bir sayı

3.10 = 30 ile de tam bölünür.

Genelleştirirsek,

2 ve 3 ile tam bölünen bir sayı 2 .3 = 6 ile,



5 ve 9 ile tam bölünen bir sayı 5 .9 = 45 ile

3 ve 11 ile tam bölünen bir sayı 33 ile

tam bölünür.

Burada tam tersini de söyleyebiliriz.

Bir sayı 12 ile tam bölünüyorsa 3 ve 4’e

99 ile tam bölünüyorsa 9 ve 11’e

tam bölünür.


Dört basamaklı 2a7b sayısı 30 ile tam bölündüğüne göre, a’nın alacağı değerleri bulalım.

2a7b sayısı 30 ile tam bölünüyorsa, hem 3 hem de 10 ile tam bölünmelidir. (5 ve 6’yı da alabilirsiniz ama 3 ve 10 daha kolay)

● Sayının 10 ile tam bölünebilmesi için birler basama-ğındaki rakam yani b, 0 olmalıdır.

● b = 0 için 2a70 sayısının 3 ile tam bölünebilmesi için sayının rakamlarının toplamı olan

2 + a + 7 + 0 = 9 + a toplamı 3 ile tam bölünmelidir.

Buna göre, a rakamı 0, 3, 6 ve 9 değerlerini alabilir.


Rakamları farklı dört basamaklı 3a2b sayısının 36 ile bölümünden kalan 3’tür.

Buna göre, a’nın alabileceği değerleri bulalım.

Sayının 36 ile bölümünden kalan 3 ise 4 ve 9 ile bölümünden kalan 3’tür.

● 3a2b sayısının 4 ile bölümünden kalan 3 ise b = 3 veya b = 7 olmalıdır. Sayının rakamları farklı oldu-ğundan b = 7’dir.

● 3a27 sayısının 9 ile bölümünden kalan 3 ise a = 0 veya a = 9 olmalıdır.


Dört basamaklı 7A1B sayısı için

457A1B

12

olduğuna göre, A’nın alabileceği değerleri bulalım.

7A1B sayısının 45 ile bölümünden kalan 12 ise, 5 ile bölümünden kalan 2, 9 ile bölümünden kalan 3’tür.

● 7A1B sayısının 5 ile bölümünden kalan 2 ise,

B = 2 veya B = 7● 7A12 sayısının 9 ile bölümünden kalan 3 ise,

A = 2’dir.

7A17 sayısının 9 ile bölümünden kalan 3 ise A = 6’dır.


Bir a doğal sayısı 5 ile bölündüğünde bölüm b, kalan 1; b sayısı 3 ile bölündüğünde kalan 2’dir.

Buna göre, a sayısının 15 ile bölümünden kalanı bulalım.

5

b

a

1

Bölme işleminden a = 5b + 1yazılır.

Bölme işleminden b = 3c + 2yazılır.

3

c

b

2

a = 5b + 1 eşitliğinde b yerine 3c + 2 yazılırsa,

a = 5(3c + 2) + 1 = 15c + 11 olur.

Bu eşitlikte 15c, 15 ile tam bölündüğünden

a = 15c + 11’in 15 ile bölümünden kalan 11’dir.

37

Sayılar


1. Üçbasamaklı4ABdoğalsayısı30iletambölünmektedir.

Buna göre, A’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A)18 B)15 C)12 D)10 E)8

2. RakamlarıfarklıdörtbasamaklıA53Bsayısı45iletambölünmektedir.

Buna göre, A kaçtır?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

3. Üç basamaklı K3M sayısı için

36K3M

2

olduğuna göre, K’nin alabileceği kaç farklı değer vardır?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

4. Dörtbasamaklı3A2Bsayısının30ilebölümündenkalan15’tir.

Buna göre, A + B toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

A)14 B)13 C)12 D)11 E)10

5. Birxdoğalsayısı4ilebölündüğündebölümy,kalan2;ysayısı6ilebölündüğündekalan3’tür.

Buna göre, x sayısının 24 ile bölümünden kalan kaçtır?

A)8 B)10 C)12 D)14 E)16

6. Birkırtasiyeci,tanesi45TL’denbelirlisayıdadeftersatınalıyor.Kendisineverilenfaturada,ödenenmiktarınilkvesonrakamlarısilikçıktığıiçinbufaturanınyalnızca•57•biçimindedörtbasamaklıbirsayıolduğunuokuyabiliyor.

Kırtasiyecinin tek sayıda defter aldığı bilindiğine göre, silik çıkan iki rakamın çarpımı kaçtır?

A)5 B)6 C)10 D)15 E)20

38

Konu Tamamlama Testi - 3

1. Rakamlarısıfırdanfarklıüçbasamaklıbirdoğalsayıherbirbasamağındakirakamakalansızbölünebiliyorsabusayıya“tekinsayı”denir.

6K4 sayısı bir tekin sayı olduğuna göre, K kaçtır?

A)2 B)3 C)5 D)6 E)8

2. a ve b doğal sayıları için

15

m

a

4

20

n

b

13

olduğuna göre, a .b çarpımının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

3. x, y ve z pozitif tam sayılar olmak üzere,

x=4y+3

y=6z+5

olduğuna göre, x’in 12 ile bölümünden kalan kaçtır?

A)3 B)5 C)8 D)10 E)11

4. MveNdoğalsayılardır.

7

N+2

M

N

Yukarıdaki bölme işlemine göre, M’nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

A)55 B)60 C)62 D)65 E)72

5. xveybirerpozitiftamsayıdır.

8

y

x

5

Yukarıdakibölmeişlemindebölenvebölümyerdeğiştirdiğindekalandeğişmemektedir.

Buna göre, y’nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

A)9 B)8 C)7 D)6 E)5

6. x,yvezbirerpozitiftamsayıdır.

y

2

x

3

z

3

y

2

Yukarıdaki bölme işlemlerine göre, x’in z türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A)3z+2 B)3z+5 C)3z+7

D)6z+5 E)6z+7

7. İkibasamaklıxydoğalsayısının9ilebölümündenkalan6’dır.

Buna göre, üç basamaklı x5y doğal sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

39

Sayılar

8. 5iletambölünemeyenpozitiftamsayılarküçüktenbüyüğedoğrusıralanarak

1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,...

dizisieldeediliyor.

Buna göre, bu dizinin 100. terimi kaçtır?

A)123 B)124 C)126 D)127 E)128

9. Aşağıda,Zekiöğretmeninmatematikdersindekullanmakiçingeliştirdiğibirışıklıdüzeneğinişleyişiverilmiştir.

Düzeneğebirapozitiftamsayısıkaydediliyor.Dahasonradüzeneğegirilenbirbsayısınınavea–7sayısınıbölüpbölmediğidüzenekteyananrenklilambalaragöreanlaşılıyor.

Budüzeneğegirilenbsayısı

• a’yıtambölüyorsamorlamba

•a–7’yitambölüyorsasarılamba

•a(a–7)’yitambölmüyorsamavilambayanıyor.

Örneğin,düzeneğekaydedilenasayısı32olduğundabsayısının3ve5değerleriiçinsırasıylamavivesarılambalaryanmaktadır.

Zekiöğretmenbirasayısınıdüzeneğekaydediyor.bsayısıiçin2ve5değerlerigirildiğindesırasıylamorvesarılambalaryanıyor.

Buna göre, a sayısı

I. 134

II. 723

III. 927

sayılarından hangileri olabilir?

A)YalnızI B)YalnızII C)YalnızIII

D)IveIII E)I,IIveIII

10. 1 53 7 92 64 8 1110 1312 14 15

1’den15’ekadarnumaralandırılmış15balondanrastgeleikitanesipatlatılıyor.Sağlamkalanbalonlarınnumaralarınıntoplamı9iletambölünüyor.

Patlatılan toplardan birinin numarası 8 olduğuna göre, diğerinin numarası aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A)7 B)6 C)9 D)13 E)15

11. Günlüksabitüretimkapasitesiyleçalışanbirfabrikanınüretimiileilgiliaşağıdakilerbilinmektedir.

•GünlüküretilenürünsayısıdörtbasamaklıK35Msayısıdır.

•Üretilen ürünler otuzaltışarlı kolilendiğinde hiçürünartmamaktadır.

Buna göre, tam kapasiteyle çalışılan bir günde, ürünleri kolilemek için en az kaç koliye ihtiyaç vardır?

A)120 B)121 C)164 D)231 E)232

12.abaüçbasamaklı,abikibasamaklıbirerdoğalsayıdır.

ababa

Yukarıdaki bölme işleminde bölüm ile kalanın toplamı 16 olduğuna göre, a kaçtır?

A)7 B)6 C)5 D)4 E)3

Documents

yle TEMEL MATEMATİK · Bölme İşlemi 30 Bölünebilme Kuralları 32 Obeb - Okek 42 Rasyonel Sayılar 57 Ondalık Sayılar 63 2. ÜNİTE - BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM, EŞİTSİZLİK