Zadaci_predavanja_2

7/25/2019 Zadaci_predavanja_2

1/8

MATRINI METODI RJEAVANJA ELEKTRINIH MREA

Zadatak #1:

Data je rezistivna mrea kao na slici 1.1. Za datu mreu:

a)

nacrtati orijentisani graf, te napisati matrice 0A , 0M , Q i B ;b) odreditimatricu konduktansi grana mree G , odnosno matricu otpornosti grana mree R , a potom

provjeriti meusobni odnos meu ovim matricama 1=G R ;

c)

odrediti direktno matricu otpornosti petlji pR i matricu otpornosti kontura kR , a potom provjeriti

njihove korektnosti koristei se analitikim izrazima T i TRB ;p =R MRM k =R B

d) odrediti direktno matricu konduktansi vorova nG i matricu konduktansi presjeka qG , a potom

provjeriti njihove korektnosti koristei se analitikim izrazima T i TQ .n =G AGA q =G QG

3 4

8

1 25

76

E3

E4R

3 R

4

R1

R2

R5

R7

R8

R6

+ +

E6

E8

+ +

43

2

1

5

Is1

Is2

slika 1.1.Analizirana mrea

Rjeenje:

a)Orijentisani graf mree dat je na slici 1.2.a), dok je na slikama 1.2.b), 1.2.c) i 1.2.d) dat odabir petlji,fundamentalnih kontura, te fundamentalnih presjeka.

3

1

6

2

8

4

7

5

4

1

3

2

5

3

1

I II

III IV

V

6

2

8

4

7

5

4

1

3

2

5

a)orijentisani graf b)odabir unutranjih i vanjske petlje

22


2/8

3

1

6

2

8

4

7

5

4

1

3

2

5

III

I II

IV

3

1

6

2

8

4

7

5

4

1

3

2

5

S2

S1

S4

S3

c)odabir fundamentalnih kontura d)odabir fundamentalnih presjeka

slika 1.2. Orijentisani graf analizirane mree sa naznakom petlji, fundamentalnih presjeka i

fundamentalnih kontura

Prema orijentisanom grafu mree predstavljenom na slici 1.2, odabranim petljama, fundamentalnim

presjecima i fundamentalnim konturama, matrice , , Q i imaju sljedei oblik:0A 0M B

0

0 0 1 1 1 0 1 0

1 1 0 0 1 0 0 0

1 0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 1 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1 1 1

=

A 0

1 0 1 0 1 0 0 0

0 1 0 1 1 0 0 0

0 0 1 0 0 1 1 0

0 0 0 1 0 0 1 1

1 1 0 0 0 1 0 1

=

M

1 1 0 0 1 0 0 0

1 0 1 0 0 1 0 0

1 1 1 1 0 0 1 0

0 1 0 1 0 0 0 1

=

Q

1 0 0 0 1 1 1 0

0 1 0 0 1 0 1 1

0 0 1 0 0 1 1 0

0 0 0 1 0 0 1 1

=

B

b)Matrica konduktansi grana mree G , dimenzija ( )l lN N , odnosno matrica otpornosti grana mree, dimenzija ( , imaju sljedeu strukturu:R )l lN N

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

G

G

G

G

G

G

G

G

=

G

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

R

R

R

R

R

R

R

R

=

R

Obzirom da je konduktansa svake grane mree iG (1, 2,..., 8)i = data kao 1/iG iR= , to je:

23


3/8

111

1 12

21

331

4 411

5 516

6

7 17

81

8

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

RR

RR

RR

R R

RR

RR

RR

R

R

= =

R

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

G

G

G

G

G

G

G

G

=

= =

G

ime se pokazuje meusobni odnos meu matricama 1=G R .

c)Za analiziranu mreu, a prema orijentisanom grafu predstavljenom na slici 1.2.b) za koji je ukupanbroj unutranjih petlji 1 4p l nN N N= + = , matrica otpornosti petlji , dimenzija ( ) , moe

se napisati direktno u obliku:pR p pN N

1 3 5 5 3

5 2 4 5 4

3 3 6 7 7

4 7 4 7

0

0

0

0

p

R R R R R

R R R R R

R R R R

R R R R R

+ +

+ + = + +

+

R

8

R

+

Matrica moe se odrediti i analitiki koristei se izrazom , pri emu je matrica

formirana izostavljanjem vanjske petlje (izostavljanjem pete vrste u matrici ), a prema slici 1.2.b):pR

Tp =R MRM M

0M

1

2

3

4

5

6

7

8

1 3 5

2 4 5

3 6 7

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 01 0 1 0 1 0 0 0

0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0

R

R

R

R

R

R

R

R

R R R

R R R

R R R

= =

=

MR

4 7 80 0R R R

24


4/8

1 3 5

2 4 5

3 6 7

4 7 8

1 3 5 5 3

5 2 4 5 4

3 3 6 7 7

4 7 4 7

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 0 0 0 0 1 0 1

1 1 0 00 0 0 0 0

0 0 1 00 0 0 0 00 0 1 1

0 0 0 1

0

0

0

0

Tp

R R R

R R R

R R R

R R R

R R R R R

R R R R R

R R R R R

R R R R

= =

=

+ +

+ + =

+ +

+ +

R MRM

8R

Za analiziranu mreu, a prema orijentisanom grafu datom na slici 1.2.c), ukupan broj fundamentalnih

kontura je , pa se matrica otpornosti kontura , dimenzija ( , moenapisati direktno u obliku:

1 4k l nN N N= + = kR )

7 8

+

7 8

7

R R

R

8

k kN N

1 5 6 7 5 7 6 7 7

5 7 2 5 7 8 7 7 8

6 7 7 3 6 7 7

7 7 8 7 4

k

R R R R R R R R R

R R R R R R R R R

R R R R R R R

R R R R R R R

+ + + + +

+ + + + = + + +

+

R


formirana prema slici 1.2.c):kR

Tk =R BRB B

1

2

3 1 5 6 7

4 2 5

5 3 6

6

7

8

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 1 1 0

0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

RR

R R R R R

R R R

R R R

R R

R

R

= =

BR

4 70 0 R R

25


5/8

1 5 6 7

2 5 7 8

3 6 7

4 7 8

1 5 6 7 5 7 6 7 7

5 7 2 5 7 8 7 7 8

6 7 7 3

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1

1 1 0 00 0 0 0 0

1 0 1 00 0 0 0 01 1 1 1

0 1 0 1

Tk

R R R R

R R R R

R R R

R R R

R R R R R R R R R

R R R R R R R R R

R R R R

= =

=

+ + + + +

+ + + + =

+ +

R BRB

6 7 7

7 7 8 7 4 7

R R R

R R R R R R R

+ + 8

+

1)

d)Za analiziranu mreu, a prema orijentisanom grafu predstavljenom na slici 1.2.a) za koji je ukupanbroj vorova , matrica konduktansi vorova , dimenzija ( 15nN = nG n nN N , moe se napisati

direktno u obliku:

3 4 5 7 5 3 4

5 1 2 5 1 2

3 1 1 3 6

4 2 2

0

0

n

G G G G G G G

G G G G G G

G G G G G

G G G G

+ + +

+ + = + +

+

G

4 8G+


formirana izostavljanjem pete vrste u matrici koja odgovara voru odabranom kao referentnom

voru:

nG T

n =G AGA A

0A

1

2

3

4

5

6

7

8

3 4 5 7

1 2 5

3 6

2

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 00 0 1 1 1 0 1 0

1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0

G

G

G

G

G

G

G

G

G G G G

G G G

G G

G

= =

=

AG

4 80 0 0G G

26


6/8

3 4 5 7

1 2 5

3 6

2 4 8

3 4 5 7 5 3 4

5 1 2 5 1 2

3 1 1 3 6

4 2

0 1 1 0

0 1 0 1

0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 0 0 0 1 0 0 1

1 1 0 00 0 0 0 0 0

0 0 1 00 0 0 0 01 0 0 0

0 0 0 1

0

Tn

G G G G

G G G

G G

G G G

G G G G G G G

G G G G G G

G G G G G

G G

= =

=

+ + +

+ + =

+ +

G AGA

2 4 80 G G G

+ +

Za analiziranu mreu, a prema orijentisanom grafu datom na slici 1.2.d), ukupan broj fundamentalnih

presjeka je , pa se matrica konduktansi presjeka , dimenzija ( , moe napisatidirektno u obliku:

1 4nn N= =

qG )

2 4 8G G G

n n

1 2 5 1 1 2 2

1 1 3 6 1 3

1 2 1 3 1 2 3 4 7 2 4

2 2 4

0

0

q

G G G G G G G

G G G G G G

G G G G G G G G G G G

G G G

+ +

+ + + = + + + + +

+ +

G

Matrica moe se odrediti i analitiki koristei se izrazom , pri emu je matrica Q

formirana prema slici 1.2.d):qG

Tq =G QGQ

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 5

1 3 6

1 2 3 4 7

2 4

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 01 1 0 0 1 0 0 0

1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0

0 0

G

G

G

G

G

G

G

G

G G G

G G G

G G G G G

G G

= =

=

QG

80 0 0 G

27


7/8

1 2 5

1 3 6

1 2 3 4 7

2 4 8

1 2 5 1 1 2 2

1 1 3 6 1 3

1 2 1 3 1 2 3 4 7

1 1 1 0

1 0 1 1

0 0 0 0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1 1

1 0 0 00 0 0

0 1 0 00 0 0 0 00 0 1 0

0 0 0 1

0

Tq

G G G

G G G

G G G G G

G G G

G G G G G G G

G G G G G G

G G G G G G G G G

= =

=

+ +

+ + +=

+ + + + +

G QGQ

2 4

2 2 40

G G

G G G

+ + 2 4 8

G G G

Zadatak #2:

Za mreu prikazanu na slici 2.1 potrebno je odrediti napone grana i struje u granama mree koristeimetod napona vorova u matrinom obliku.

43

2 1

E2

E1

G G

G

+

G

2

4

+

1

3

Is2

Is1

slika 2.1.Analizirana mrea

Rjeenje:

Neka je vorizabran kao referentni vor. Matrica konduktansi vorova moe se odrediti prema

relaciji:nG

Tn =G AGA

gdje je matrica incidencije vorova data u obliku:A

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 1

=

A

43

12

2

4

13

slika 2.2. Orijentisani graf za analiziranu mreu

a matrica konduktansi grana mree G kao:

0 0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

G

G

G

G

=

G

0

28


8/8

tako da je:

0 0 0 1 0 0 1 0 00 01 1 0 0

0 0 0 1 1 0 1 1 00 1 1 0 0 0

0 1 1 0 1 10 0 00 0 1 1 0 0

0 0 1 0 0 10 0 0

2 0 2 1 0

2 1 2 1

00 2

n

GG G

GG G

GG G

G

G G

G G G G

G G

= =

= =

AG

G

14444244443

1 2

=

Vektor injektiranih struja vorova odreen je prema relaciji:

1 1

22

1 2 1 1 2 1

2 2 2 2

2 2

0 0 1 1 0 00

0 0 0 1 1 00

0 0 1 10 00 0

0

s

n g gs

s s

s s

s s

E IG G

EG G

IG G

GE GE I GE GE I

GE I GE I

I I

= = =

+ +

= = +

i AGv Ai

Vektor napona vorova odreen je relacijom:

1 2 1 1 2 1 2 11

2 2 1 2 1 2 2

32 1 2 1 2

3 33 2 11 1

2 4 2 2 2 2 24 4

1 2 3

s s n

n n n s s s n

ns s

GE GE I GE GE I I v

GE I GE GE I I v G G

vI GE GE I I

+ + + = = + = + =

v G i

s

s

na osnovu ega su naponi grana mree odreeni kao:

1 2 1 2 11 2 1 2

1 2 1 21 2 1 2

31 2 1 2

1 2 1 2 41 2 1 2

3 31 0 03 3

1 1 0 31 12 2 2 2

0 1 1 34 4

0 0 1

s s

s ss sT

n s ss s

s ss s

GE GE I I vGE GE I I

GE GE I I v GE GE I I

vGE GE I I G G

GE GE I I vGE GE I I

+

2

+ + + + = = + = = +

+ + +

v A v

Vektor struja u granama mree odreen je prema relaciji:

1 2 1 2 1 2 1 21 1

1 2 1 2 1 2 1 22

1 2 1 2 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1

3 3

3 01 1

3 04 4

0 0

s s s s s

s s s s

g gs s s s s

s s

GE GE I I GE GE I I I GE

GE GE I I GE GE I I GE

GE GE I I I GE GE I I

GE GE I I GE G

+

+ + + + + = + = + = +

+ + + +

i Gv i Gv

1

2

3

42 1 2s s

i

i

i

iE I I

= + +

Zadatak #3:

29

Documents

Zadaci_predavanja_2