1

Zadatak 361 (Matej, gimnazija)

U trokutu s osnovicom duljine a i visinom duljine v upišite pravokutnik najveće moguće površine, s tim da jedna stranica pravokutnika pripada osnovici trokuta.

Rješenje 361

Ponovimo!

, , , ,1

1.

b a b a b a b nn m n ma a a a a a n

c c n n n

⋅ −+⋅ = = ⋅ = = − =

.

a

a db

c b c

d

⋅=

⋅

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Srednjice trokuta Dužine koje spajaju polovišta stranica trokuta zovu se srednjice trokuta. Svaki trokut ima tri srednjice. Svaka srednjica trokuta usporedna je sa suprotnom stranicom trokuta, a duljina joj je jednaka polovici duljine te stranice.

pn

mc b

a

2 2,

2,

a b cm n p= = =

Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice proporcionalne.

, .,1 1 1α α β β γ γ= = =

1 1 , .1,a b c

k k ka b c

= = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti.

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je

a : b = k i c : d = k, tada je razmjer ili proporcija

a : b = c : d.

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.

.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju:

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

2

jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine. Konveksni četverokuti su četverokuti kojima su svi kutovi manji od 180°. Paralelogrami su četverokuti kojima su po dvije nasuprotne stranice usporedne (paralelne). Pravokutnik je paralelogram koji ima barem jedan pravi kut (pravi kut ima 90º). Površina pravokutnika je jednaka umnošku njegove duljine a i širine b.

.P a b= ⋅ Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik

( ) 2 ,f x a x b x c= ⋅ + ⋅ +

gdje su a ≠ 0, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Kvadratna funkcija (polinom drugog stupnja)

( ) 2 ,f x a x b x c= ⋅ + ⋅ +

ima ekstrem u točki s apscisom

2.

bx

a= −

⋅�

Ekstrem je minimum ako je a > 0, maksimum ako je a < 0. Oznake za derivaciju su:

( ) ( )( )' lim lim ' .

0 0

f x x f xdy yy f x

x xdx x x

+ ∆ −∆= = = =

∆ → ∆ →∆ ∆

Tablično deriviranje Funkcija Derivacija

c

0

x 1

nx

1nn x

−⋅

Ako je c konstanta, a u = f(x), v = g(x) su funkcije koje imaju derivacije, onda je

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )' ' ' '

,'.c f x c f x f x g x f x g x⋅ = ⋅ ± = ±

Određivanje maksimuma i minimuma funkcije y = f(x) I. Nađe se prva derivacija funkcije

( )' 'y f x=

II. Prva derivacija funkcije izjednači se s nulom

( )' 0f x = III. Riješi se dobivena jednadžba

( )' 0 , , , ... ,1 2 3f x x x x xi= ⇒ su rješenja jednadžbe,

to su vrijednosti apscise za koje zadana funkcija može imati ekstrem, te se točke zovu stacionarne točke

IV. Nađe se druga derivacija funkcije tako da se derivira prva derivacija funkcije

( ) ( )( )''' '' '

y f x f x= =

V. Svaka stacionarna točka x1, x2, x3, ... , xi uvrsti se u drugu derivaciju funkcije. Pri tome vrijedi:

• ( )''za 0 u je minimumf x xi i>

3

• ( )''za 0 u je .maksimumf x xi i<

Ako je ( )'' 0f xi = , dalje slijedi:

VI. Nađe se treća derivacija funkcije tako da se derivira druga derivacija funkcije

( ) ( )( )'''' ''' ''

y f x f x= =

VII. Svaka stacionarna točka x1, x2, x3, ... , xi uvrsti se u treću derivaciju funkcije. Pri tome vrijedi:

• ( )'''za 0 u funkcija ima točku infleksijef x xi i≠

Ako je ( )''' 0f xi = , dalje slijedi:

VIII. Nađe se četvrta derivacija funkcije tako da se derivira treća derivacija funkcije

( ) ( )( ) ( )( )

'4 4 '''y f x f x= =

IX. Svaka stacionarna točka x1, x2, x3, ... , xi uvrsti se u četvrtu derivaciju funkcije. Pri tome vrijedi:

• ( ) ( )4

za 0 u je minimumf x xi i>

• ( ) ( )4

za 0 u je maksimu .mf x xi i<

Ako je ( ) ( )4

0f xi = , slijede daljnja istraživanja.

Ako funkcija f(x) ima derivacije druga derivacija glasi:

( ) ( )( )''' ' .f x f x=

a

y

x

v

P

LK

R

MN

B C

A

Sa slike vidi se:

, , ,BC a AR v KL NM x ML NK PR y= = = = = = =

AP AR PR v y= − = −

, ,CBA MNA BCA NMA BAC NAM∠ = ∠ ∠ = ∠ ∠ = ∠

Iz sličnosti trokuta ∆BCA i ∆NMA slijedi razmjer:

( ) ( ): : : :BC AR NM AP a v x v y a v y v x= ⇒ = − ⇒ ⋅ − = ⋅ ⇒

( )a v a y v x v x a v a y a y a v v x a y v a x⇒ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ − ⇒

( )( )1

/ .v a x

a y v a x yaa

⋅ −⇒ ⇒ =⋅⋅ = ⋅ −

Tada je ploština pravokutnika KLMN jednaka

4

( ) ( ) 2v a x x v a x a v x v x

P x y P x P Pa a a

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒

2 22 2

.a v x v x v x v x v v

P P P v x x P x v xa a aa a a

a⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ = − ⋅ + ⋅

1.inačica

Uočimo da smo dobili kvadratnu funkciju

( ) 2.

vP x x v x

a= − ⋅ + ⋅

Računamo za koju vrijednost x ona ima maksimum.

( ) 2

1

222

, , 0

b

v vP x x v x

vax x

vvva b v c

xa

aaa

= − ⋅ + ⋅

⇒ ⇒ = − ⇒ = ⇒

⋅⋅ −= − = =

= −⋅

� ��

1

1 1 .1 22 2

ax x x

a

v

v

a

⇒ = ⇒ = ⇒ =

⋅ ⋅� � �

Prema tome, ploština pravokutnika je najveća ako je 2

ax = , a to znači da je NM srednjica trokuta

ABC. 2.inačica

Potrebno je odrediti vrijednost x za koju P(x) ima maksimalnu vrijednost. Njezina je derivacija:

( ) ( ) ( ) ( )' '

'2 2 2' 'v v vP x x v x P x x v x P x x v x

a a a= − ⋅ + ⋅ ⇒ = − ⋅ + ⋅ ⇒ = − ⋅ + ⋅ ⇒

( ) ( ) ( ) ( )'2' ' ' '2 1 2 .

v v vP x x v x P x x v P x x v

a a a⇒ = − ⋅ + ⋅ ⇒ = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒ = − ⋅ ⋅ +

Ako funkcija P(x) ima ekstremnu vrijednost, mora biti:

( )' 0 2 0 2 2 .2

/2

v v v aP x x v x v x

a

a vv x

a a= ⇒ − ⋅ ⋅ + = ⇒ − ⋅ ⋅ = − ⇒ − ⋅ −⋅ ⋅ = − ⇒ =

⋅

Da bismo utvrdili da za2

ax = funkcija P(x) ima maksimum treba pokazati da je ( )'' 0 za .

2

aP x x< =

Druga derivacija funkcije P(x) je:

( ) ( )( ) ( ) ( )' '' ''' ' '' ''2 2

v vP x P x P x x v P x x v

a a= ⇒ = − ⋅ ⋅ + ⇒ = − ⋅ ⋅ + ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) 0''' '' '' ''2 0 2 1 2 2 ,

v v v vP x x P x P x P x

a a a a⇒ = − ⋅ ⋅ + ⇒ = − ⋅ ⋅ ⇒ = − ⋅ = ⋅ <⇒ −

tj. funkcija P(x) ima u 2

ax = maksimum. Prema tome, ploština pravokutnika je najveća ako je

2

ax = ,

a to znači da je NM srednjica trokuta ABC.

Vježba 361

U trokutu s osnovicom duljine c i visinom duljine v upišite pravokutnik najveće moguće površine, s tim da jedna stranica pravokutnika pripada osnovici trokuta.

5

Rezultat: .2

cx =

Zadatak 362 (Borna, srednja škola)

Jedna kateta pravokutnog trokuta dulja je od druge za 10 cm, a kraća je od hipotenuze za 10 cm. Kolike su stranice ovog trokuta?

Rješenje 362

Ponovimo!

( ) ( )2 22 2 2 2

2 2, .a b a a b b a b a a b b− = − ⋅ ⋅ + + = + ⋅ ⋅ +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama. Da bi umnožak bio jednak nuli, dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli.

0 0 ili 0 il .i 0a b a b a b⋅ = ⇔ = = = =

c

ba

A B

C

Sa slike vidi se:

, ,AB c BC a CA b= = =

Neka je x duljina veće katete.

.a BC x= =

Tada je:

• duljina kraće katete

10b CA x= = −

• duljina hipotenuze

10.c AB x= = +

Prema Pitagorinu poučku imamo

( ) ( )2 2 2 2 22 2 2 2

10 10AB BC CA c a b x x x= + ⇒ = + ⇒ + = + − ⇒

2 210

2 2 2 220 100 20 100 20 200 100x x x x x x x xx x⇒ + ⋅ + = + − ⋅ + ⇒ + ++ ⋅ = + − ⋅ ⇒

2 2 2 220 20 20 20 20 20 0 40 0x x x x x x x x x x x⇒ ⋅ = − ⋅ ⇒ − ⋅ = ⋅ ⇒ − ⋅ − ⋅ = ⇒ − ⋅ = ⇒

( )nema smi0 0

40sla

0 40 40 .40 0 40

x xx x x cm a cm

x x

= =⇒ ⋅ − = ⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ =

− = =

Dalje će biti:

6

10 40 10 30.

40 10 5010

b CA x b b cm

c c cmc AB x

= = − = − =⇒ ⇒

= + == = +

Vježba 362

Jedna kateta pravokutnog trokuta dulja je od druge za 1 cm, a kraća je od hipotenuze za 1 cm. Kolike su stranice ovog trokuta?

Rezultat: 3 cm, 4 cm, 5 cm. Zadatak 363 (Ante, srednja škola)

Ako za šiljaste kutove trokuta ABC vrijedi jednakost 2 2sin sin 1,α β+ = kakav je trokut

ABC?

Rješenje 363

Ponovimo!

( ) ( ) 2sin cos 90 cos sin 90 , 0, , .x x x x a a a= − = − = ≥

� �

2 2cos sin 1.x x+ =

Šiljasti kut je kut s mjerom manjom od 90º. Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Za šiljaste kutove α i β pravokutnog trokuta vrijedi:

.90α β+ =�

Preoblikujemo zadanu jednakost.

2 2 2 2 2 2 2 2sin sin 1 sin 1 sin sin cos sin co /sα β α β α β α β+ = ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒

( ), šiljasti kutovi

sin 0 , cossin cos sin n

0si 90

α βα α β

αβ

β⇒ ⇒ = ⇒ ⇒

>=

>−

�

90 90 .α β α β⇒ = − ⇒ + =� �

Trokut ABC je pravokutan.

Vježba 363

Ako za šiljaste kutove trokuta ABC vrijedi jednakost 2 2cos cos 1,α β+ = kakav je trokut

ABC?

Rezultat: Pravokutan. Zadatak 364 (Tonka, gimnazija)

U pravokutnome je trokutu mjera jednoga kuta 67º. Koliki je omjer duljina hipotenuze i kraće katete toga trokuta?

. 1.09 . 1.34 . 2.36 . 2.56A B C D

Rješenje 364

Ponovimo!

, .1

n a c b dn

b d a c= = ⇒ =

Šiljasti kut je kut s mjerom manjom od 90º. Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Nasuprot većoj stranici u trokutu leži veći kut. Nasuprot manjoj stranici u trokutu leži manji kut. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.

7

Za šiljaste kutove α i β pravokutnog trokuta vrijedi:

.90α β+ =�

Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze. Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze. Neka je α = 67º. Mjera drugog šiljastog kuta β u pravokutnome trokutu iznosi:

6767 90 90 67 23 .

90

αβ β β

α β

=⇒ + = ⇒ = − ⇒ =

+ =

�

� � � � �

�

Nasuprot manjoj stranici u trokutu leži manji kut. Slika!

ββββ

αααα

c

b

a

1.inačica

sin 1 1sin sin 2.56.

1 sin sin 23

b b b c c c

c c c b b b

ββ β

β= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

�

Odgovor je pod D.

2.inačica

cos 1 1cos cos 2.56.

1 cos cos 67

b b b c c c

c c c b b b

αα α

α= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

�

Odgovor je pod D.

Vježba 364

U pravokutnome je trokutu mjera jednoga kuta 60º. Koliki je omjer duljina hipotenuze i kraće katete toga trokuta?

. 1 . 2 . 1.5 . 0.5A B C D

Rezultat: B. Zadatak 365 (Matej, gimnazija)

Kružnici polumjera r = 3.6 cm upisan je trokut kojem su dvije stranice dugačke 5 cm i 5.8 cm. Koliki su kutovi tog trokuta i kolika je duljina treće stranice?

Rješenje 365

Ponovimo!

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Zbroj kutova u trokutu je 180°.

1 0 .8α β γ+ + =�

Poučak o sinusu U trokutu ABC vrijedi

2 2 2 2sin sin sin sin sin sin

, , , ,a b c a b c

R R R Rα β γ α β γ

= = = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

8

pri čemu su a, b i c duljine stranica trokuta, a R duljina polumjera opisane kružnice tog trokuta. Poučak o kosinusu (kosinusov poučak) U trokutu ABC vrijede ove jednakosti:

2 2 22 cos ,a b c b c α= + − ⋅ ⋅ ⋅

2 2 22 cos ,b a c a c β= + − ⋅ ⋅ ⋅

2 2 22 cos .c a b a b γ= + − ⋅ ⋅ ⋅

Neka su, na primjer, a = 5 cm i b = 5.8 cm, a r = 3.6 cm. Mjere kutova α i β dobijemo pomoću poučka o sinusu.

Kut α sin

/2

12 2 2 sin sin

sin sin sin 2 2

a a a a ar r r

rr rα α

α α

α

α⋅

⋅

−= ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅

51sin 43 58 '59 ''.

2 3

5 džepno

3.6 rač.6 unalo

a cm cm

cr cm mα α

−⇒

=

=⇒ = ⇒ ⇒ =

⋅

�

Kut β sin

/2

12 2 2 sin sin

sin sin sin 2 2

b b b b br r r

rr rβ β

β β

β

β⋅

⋅

−= ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅

5.85.8 džepno

3.6 računa

1sin 53 39 '50 ''.

2 3.6 lo

cmb cm

r c cm mβ α

−⇒ ⇒ =

=

=⇒ ⇒ =

⋅

�

Mjera kuta γ iznosi:

( ) ( )180 180 180 43 58 '59 '' 53 39 '50 ''α β γ γ α β γ+ + = ⇒ = − + ⇒ = − + ⇒� � � � �

džepno

računalo82 21'11''.γ⇒ ⇒ =

�

Duljinu treće stranice c trokuta možemo izračunati na više načina.

1.inačica

Rabimo kosinusov poučak.

2 2 2 2 2 22 cos 2 c s /oc a b a b c a b a bγ γ= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

5

5.8

82 21'11'

2 22 cos

'

c a b a b

a cm

b cmγ

γ

⇒ = + − ⋅ ⋅

=

⋅ ⇒

=

⇒ =

�

( )2 25 5.8 2 5 5.8 co 82 21'11''s 7.1 .c c cm⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =

�

2.inačica

Rabimo sinusov poučak.

: sin : sin sin sin sin1

sii

n /s n

c a c a c aγ α α γ α γα

⋅= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

( )( )

5

82 21'11''

43 58 '59

5 sin 82 21'11''sin7.1 .

sin sin 43 58 '59 '''

'

cma

ac c c

cm

cmγ

γ

αα

=⋅⋅

⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ =

=

=

�

�

�

�

3.inačica

9

Rabimo sinusov poučak.

: sin : sin sin sin sin1

sii

n /s n

c b c b c bγ β β γ β γβ

⋅= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

( )( )

5.8

82 21'11''

53 39 '50

5.8 sin 82 21'11''sin7.1 .

sin sin 53 39 '50 ''''

cmbc c c cm

b cm

γ

β

γ

β

⋅⋅⇒ = ⇒ ⇒ ⇒

=

= =

=

=

�

�

�

�

Vježba 365

Kružnici polumjera r = 36 mm upisan je trokut kojem su dvije stranice dugačke 5 cm i 58 mm. Koliki su kutovi tog trokuta i kolika je duljina treće stranice?

Rezultat: 430 58' 59'', 530 39' 50'', 820 21' 11'', 7.1 cm. Zadatak 366 (Lara, gimnazija)

Vertikalni štap duljine 1 m nalazi se u blizini ulične svjetiljke postavljene na visinu 3 m iznad tla. Horizontalna udaljenost štapa od svjetiljke iznosi 1.6 m. Kolika je duljina sjene štapa na horizontalnoj podlozi?

Rješenje 366

Ponovimo!

.a c

a d b cb d

= ⇒ ⋅ = ⋅

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine katete uz taj kut. Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je

a : b = k i c : d = k, tada je razmjer ili proporcija

a : b = c : d.

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.

.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice proporcionalne.

,, ,1 1 11 1 1

.a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti.

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

Prvi poučak sličnosti (K – K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta. Drugi poučak sličnosti (S – K – S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu, a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne.

10

Treći poučak sličnosti (S – S – S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne. Četvrti poučak sličnosti (S – S – K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne, a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici.

αααα

αααα

x

d

l

s

hF E

A B

C

D

Sa slike vidi se:

3 , 1 , 2AC h m AF DE d m FC AC AF s m= = = = = = − = =

1.6 , , 1.6AD FE l m DB x AB AD DB l x x= = = = = + = + = +

ABC FEC α∠ = ∠ =

1.inačica Iz sličnosti trokuta ∆ABC i ∆DBE dobije se razmjer:

( ): : 3 : 1.6 1 : 3 1.6AC AB DE DB x x x x= ⇒ + = ⇒ ⋅ = + ⇒

3 1.6 2 1.6 2 1.6 0.8 80/ 2 .:x x x x x m cm⇒ ⋅ − = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = =

2.inačica Iz sličnosti trokuta ∆ABC i ∆FEC dobije se razmjer:

( ) ( ): : 3 : 1.6 2 : 1.6 4.8 2 1.6AC AB FC FE x x= ⇒ + = ⇒ = ⋅ + ⇒

( )4.8 2 1.6 2.4 1.6 1.6 2.4 2.4 1.6 0.8: 80 ./ 2x x x x x m cm⇒ = ⋅ + ⇒ = + ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = =

3.inačica Iz sličnosti trokuta ∆DBE i ∆FEC dobije se razmjer:

: : 2 : 1.6 1 : 2 1.6 2 1.6 0.8 80 ./ : 2FC FE DE DB x x x x m cm= ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = =

4.inačica Uočimo pravokutne trokute ∆ABC i ∆DBE i pomoću funkcije tangens odredimo kut α u oba trokuta.

• ∆ABC

3

1.6 1.6

AC htg tg tg

AB x xα α α= ⇒ = ⇒ =

+ +

• ∆DBE

1.

DF dtg tg tg

DB x xα α α= ⇒ = ⇒ =

11

Dalje slijedi:

3

3 11.63 1.6 3 1.6 2 1.6

1 1.6

tgx

x x x x xx x

tgx

α

α

=+

⇒ = ⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ − = ⇒ ⋅ = ⇒+

=

2 1.6 / : 0. 0 .2 8 8x x m cm⇒ ⋅ = ⇒ = =

5.inačica Uočimo pravokutne trokute ∆ABC i ∆FEC i pomoću funkcije tangens odredimo kut α u oba trokuta.

• ∆ABC

3

1.6 1.6

AC htg tg tg

AB x xα α α= ⇒ = ⇒ =

+ +

• ∆FEC

2.

1.6

FC stg tg tg

FE lα α α= ⇒ = ⇒ =

Dalje slijedi:

( ) ( )

3

3 21.64.8 2 1.6 4.8 2 1.6

2 1.6 1.

1

26

.6

/ :

tgx

x xx

tg

α

α

=+

⇒ = ⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⇒+

=

2.4 1.6 1.6 2.4 2.4 1.6 0.8 80 .x x x x m cm⇒ = + ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = =

6.inačica Uočimo pravokutne trokute ∆DBE i ∆FEC i pomoću funkcije tangens odredimo kut α u oba trokuta.

• ∆DBE

1.

DF dtg tg tg

DB x xα α α= ⇒ = ⇒ =

• ∆FEC

2.

1.6

FC stg tg tg

FE lα α α= ⇒ = ⇒ =

Dalje slijedi:

1

1 22 / : 21.6 2 1.6 0.8 80 .

2 1.6

1.6

tgx

x x x m cmx

tg

α

α

=

⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = =

=

2 1.6 / : 0. 0 .2 8 8x x m cm⇒ ⋅ = ⇒ = =

12

Vježba 366

Vertikalni štap duljine 1 m nalazi se u blizini ulične svjetiljke postavljene na visinu 3 m iznad tla. Horizontalna udaljenost štapa od svjetiljke iznosi 16 dm. Kolika je duljina sjene štapa na horizontalnoj podlozi?

Rezultat: 80 cm. Zadatak 367 (4B, TUPŠ)

Odredimo polumjer kružnice opisane trokutu ako znamo da stranice a = 11 cm i b = 18 cm zatvaraju kut od 68º 30'.

. 9.31 . 8.66 . 10.5 . 9.9A cm B cm C cm D cm Rješenje 367

Ponovimo!

Poučak o sinusu U trokutu ABC vrijedi

2 2 2 2sin sin sin sin sin sin

, , , ,a b c a b c

R R R Rα β γ α β γ

= = = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

pri čemu su a, b i c duljine stranica trokuta, a R duljina polumjera opisane kružnice tog trokuta. Poučak o kosinusu (kosinusov poučak) U trokutu ABC vrijede ove jednakosti:

2 2 22 cos ,a b c b c α= + − ⋅ ⋅ ⋅

2 2 22 cos ,b a c a c β= + − ⋅ ⋅ ⋅

2 2 22 cos .c a b a b γ= + − ⋅ ⋅ ⋅

Ploština trokuta kojemu su zadane duljine dviju stranica i mjera kuta između njih računa se po formulama:

1 1 1sin , sin si, .n

2 2 2P a b P a c P b cγ β α= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

Ploština trokuta

4,

a b cP

R

⋅ ⋅=

⋅

gdje su a, b, c duljine stranica trokuta, R polumjer trokutu opisane kružnice.

R

γγγγ

c

b

a

13

1.inačica

2 2 2 2 2 22 cos 2 cos

2 2si si

/

n n

c a b a b c a b a b

c cR R

γ γ

γ γ

= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⇒= ⋅ ⋅ =

metoda1 zamjene/2

2 2 2 22 cos 2 cos

2sin 2 sin

c a b a b c a b a b

c cR R

γ γ

γ γ

= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⇒ ⇒ ⇒⋅ = =

⋅⋅

11

18

68 30 '

2 22 cos

2 sin

a b a bR

a cm

b cm

γ

γ

γ

+ − ⋅ ⋅ ⋅

⋅=

=

⇒ = ⇒

=

⇒

�

( ) ( )2 2

11 18 2 11 18 cos 68 30 '

2 sin 68 30 '

cm cm cm cmR

+ − ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒

⋅

�

�

9.31 .R cm⇒ ⇒ =�

Odgovor je pod A.

2.inačica

/

/

2 2 2 2 2 22 cos 2 cos

4 4

c a b a b c a b a b

a b c R

P

a b cP P

R R

γ γ= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⇒⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅=

⋅ ⋅

meto2 2

2 cos

4

da

zamjene

c a b a b

a b cR

P

γ= + − ⋅ ⋅ ⋅⇒ ⇒ ⇒

⋅ ⋅=

⋅

2 22 cos

4

1sin

2P

a ba

a b a bR b

Pγ

γ= ⋅

⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ ⇒

⋅⋅ ⋅

2 2 2 22 cos 2 cos

1 14 sin sin

24

2

a b a b a b a b a bR R

a b

a b

a b

γ γ

γ γ

⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

11

18

68 30 '

2 22 cos

2 sin

a b a bR

a cm

b cm

γ

γ

γ

+ − ⋅ ⋅ ⋅

⋅=

=

⇒ = ⇒

=

⇒

�

( ) ( )2 2

11 18 2 11 18 cos 68 30 '

2 sin 68 30 '

cm cm cm cmR

+ − ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒

⋅

�

�

9.31 .R cm⇒ ⇒ =�

Odgovor je pod A.

14

Vježba 367

Odredimo polumjer kružnice opisane trokutu ako znamo da stranice a = 11 cm i b = 18 cm zatvaraju kut od 60º.

. 9.07 . 9.12 . 9.5 . 9.02A cm B cm C cm D cm

Rezultat: A. Zadatak 368 (Ante, srednja škola)

U pravokutnom trokutu simetrala kuta α dijeli suprotnu katetu na dva segmenta. Omjer duljine većeg od njih prema duljini manjeg jest:

. : 1 . 1 : cos . 2 : 1 . 1 : cos . 1 : sin2 2 2 2

A ctg B C ctg D Eα α α α

α ⋅

Rješenje 368

Ponovimo!

sin1:

1 c, , .

s,

o,

n a c a d b c n m n mn a a a a a tg

d b db

αα

α

⋅ − ⋅ −= − = = = =

⋅

( )2

122sin sin cos cos sin , 12 221 c

2

,

2

.os

tg

tg tg

tg

αα

α β α β α β αα α

⋅

− = ⋅ − ⋅ = + =

−

,

2 2cos sin

2 2 22 21 cos cos sin :22 2 2o

,

2

.c s

atg a b

b

α αα α α

αα

−

− = = − =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju:

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine katete uz taj kut. Simetrala kuta je pravac koji raspolavlja kut i prolazi njegovim vrhom. Svaka točka simetrale jednako je udaljena od njegovih krakova.

αααα

2

αααα

2 αααα

y

x

b

a D

C A

B

15

Sa slike vidi se:

, , , ,2

BC a DC x BD y CAD DAB CABα

α= = = ∠ = ∠ = ∠ =

Simetrala kuta α dijeli stranicu a na x i y. .x y a+ =

αααα

2

αααα

2 αααα

y

x

b

a D

C A

B

αααα

2

αααα

2 αααα

y

x

b

a D

C A

B

Uočimo pravokutne trokute ∆DCA i ∆BCA i pomoću funkcije tangens dobije se:

/2 2 2

.2

/

x x xtg tg tg

x b tgb b b

x y x y x yx y

b

b tgtg btg tgb b b

α α αα

αα α α

= = == ⋅

⇒ ⇒ ⇒+ + +

+ = ⋅

⋅

⋅= = =

1.inačica

Preoblikujemo drugu jednakost.

1/ 11 y b tg y b tg

xx

y b tg x y b tgx x x x

α αα α

⋅ ⋅+ = ⋅ ⇒ + = ⋅ ⇒ + = =⋅ ⇒ − ⇒

1 2

221

x b tg

b tg b tgy b tg y b tg x y

x x x x xb tg

αα

αα α

α

⋅ − ⋅⋅ ⋅ −

⇒ = =− ⇒ = ⇒ ⇒ =⋅ ⇒

⋅

2 2 2

2 2 2

b tg tg tg tg tg tgy y y

x x xb tg tg

b

b tg

α α αα α α

α α α

⋅ − ⋅ − −

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅

sinsin sin cos sin cossin 22 2 2cos cos cos cos cos cos

2 2 2

sin sin sin2 2 2

cos cos cos2 2 2

y y y

x x x

αα α α αα αα

α α ααα α

α α α

α α α

−⋅ − ⋅

−

⋅ ⋅

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

16

sin2

cos cos co

sin2

cos2

sin2

cos

s12 : 1 : cos .

cossin2

co2

s2

y y yy x

x x x

α

α

α

α

αα

α

α

αα

α

α

⋅ ⋅

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Odgovor je pod B.

2.inačica

Preoblikujemo drugu jednakost.

2 2x b tgx y b tg y b tg x y b tg b tg

αα α α

α+ = ⋅ ⇒ = ⋅ − ⇒ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒= ⋅

2 22 2 2

2 22 2 11 12 2

tg tg tg

y b tg tg y b tg y b

tg tg

α α αα α

αα α

⋅ ⋅

⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒

− −

2 32 1 22 2 2 2 2 2

2 21 1

2 2

tg tg tg tg tg tg

y b y b

tg tg

α α α α α α

α α

⋅ − ⋅ − ⋅ − +

⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

− −

23 12 22 2

2 21 1

2 2

tg tgtg tg

y b y b

tg tg

α αα α

α α

⋅ ++

⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

− −

121

22 cos 2cos2

22 2

cos sin2 2 2

1 1

22 2cos2

2 2 2 2cos sin cos sin

2 2 2 22

122 2cos cos2 co

2s

2

tg tgtg

t

y b y

g

b

α α

α

α

α

αα

α αα

α

α α

α α

α

⋅ ⋅

⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ =

+ =

−⋅

−−

⇒

=−

2 .2 2

cos sin2 2

tg

y b

α

α α⇒ = ⋅

−

Sada je

22 2 2 2

cos sin cos sin12 2 2 2

2 2co

2

2s sin

2 2 2

tg

b

y y y

x x xb t

tg

b

b tgg

α

α α α α

α α

α

α α

⋅ ⋅

− −

= ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ −

17

1: 1 : cos .

cos

yy x

xα

α⇒ = ⇒ =

Odgovor je pod B.

Vježba 368

U pravokutnom trokutu simetrala kuta α dijeli suprotnu katetu na dva segmenta. Omjer duljine manjeg od njih prema duljini većeg jest:

. 1 : . cos : 1 . 1 : 2 . cos : 1 . sin : 12 2 2 2

A ctg B C ctg D Eα α α α

α ⋅

Rezultat: B. Zadatak 369 (Tomislav, srednja škola)

U trokutu ABC, prikazanome na skici, kutovi iABD BCD∠ ∠ imaju jednaku mjeru. Mjera

kuta ACB∠ je 50º, a kuta BDC∠ je 85º. Odredite mjeru kuta .BAC∠

B C

A

D

Rješenje 369

Ponovimo!

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Zbroj svih kutova u trokutu je 180º.

1 0 .8α β γ+ + =�

50°°°°

85°°°°

ββββ

ββββ

αααα

B C

A

D

18

Sa slike vidi se:

, 50 , 85 ,ABD BCD ACB BDC BACβ α∠ = ∠ = ∠ = ∠ = ∠ =� �

50°°°°

85°°°°

ββββ

ββββ

αααα

B C

A

D

Za kutove trokuta BCD vrijedi:

180 85 180DBC BDC BCD DBC β∠ + ∠ + ∠ = ⇒ ∠ + + = ⇒� � �

180 85 95 .DBC DBCβ β⇒ ∠ = − − ⇒ ∠ = −� � �

Sada je

95 95 95 .ABC ABD DBC ABC ABC ABCββ ββ∠ = ∠ + ∠ ⇒ ∠ = + − ⇒ ∠ = + ⇒− ∠ =� � �

Promatramo trokut ABC.

50°°°°

85°°°°

ββββ

ββββ

αααα

B C

A

D

Za njegove kutove vrijedi:

180 50 95 180 180 50 95BAC ACB ABC α α∠ + ∠ + ∠ = ⇒ + + = ⇒ = − − ⇒� � � � � � �

35 .α⇒ =�

19

Vježba 369

Odmor!

Rezultat: … Zadatak 370 (Tomislav, srednja škola)

Duljine dviju stranica raznostraničnog trokuta su 4 i 6, a njima nasuprotni kutovi odnose se kao 1 : 2. Duljina treće stranice trokuta iznosi:

. 8 . 4 . 5 . 6 . 7A B C D E

Rješenje 370

Ponovimo!

, ,1

:1

, , .n a c a d b c a c a cn m n m

a a a a a nb d b d b d b d

⋅ − ⋅ ⋅−= = = − = ⋅ =

⋅ ⋅

( ) ( ) ( ) 3sin 2 2 sin cos cos 180 cos cos 3 4, cos 3 c .s, ox x x x x x x x⋅ = ⋅ ⋅ − = − ⋅ = ⋅ − ⋅�

Ako su a i b brojevi, kažemo da je količnik a : b, b ≠ 0 omjer brojeva a i b. Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je

a : b = k i c : d = k, tada je razmjer ili proporcija

a : b = c : d.

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.

.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Zbroj svih kutova u trokutu je 180º.

1 0 .8α β γ+ + =�

Podsjetimo se poučka o sinusima. U trokutu ABC vrijedi

2sin sin si

,n

a b cR

α β γ= = = ⋅

pri čemu je R polumjer opisane kružnice tog trokuta. Poučak o kosinusu (kosinusov poučak) U trokutu ABC vrijede ove jednakosti:

2 2 22 cos ,a b c b c α= + − ⋅ ⋅ ⋅

2 2 22 cos ,b a c a c β= + − ⋅ ⋅ ⋅

2 2 22 cos .c a b a b γ= + − ⋅ ⋅ ⋅

Da bi umnožak bio jednak nuli, dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli.

0 0 ili 0 il .i 0a b a b a b⋅ = ⇔ = = = = Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Neka je a = 4, b = 6, α : β = 1 : 2. Iz razmjera slijedi:

: 1 : 2 2 .α β β α= ⇒ = ⋅

20

Zbroj kutova u trokutu je 180º pa vrijedi:

180 2 180 3 180 180 3 .α β γ α α γ α γ γ α+ + = ⇒ + ⋅ + = ⇒ ⋅ + = ⇒ = − ⋅� � � �

Pomoću sinusova poučka dobije se:

: sin : sin sin sinsin sin

a ba b a bα β β α

α β= ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

( ) ( )sin 2 sin 4 sin 2 6 s4

in6

a

ba bα α α α⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⇒ ⋅

=⋅ = ⋅ ⇒

=

( ) ( )4 sin 2 6 sin 2 sin 2 3 sin 2 2 sin/ : 2 cos 3 sinα α α α α α α⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒

( )4 sin cos 3 sin 4 sin cos 3 sin 0 sin 4 cos 3 0α α α α α α α α⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ − = ⇒

sin 04 cos

n3 0 4 cos 3 4 cos 3

4 cos 3

ema smis

0

la/ : 4

αα α α

α

=⇒ ⇒ ⋅ − = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒

⋅ − =

3cos .

4α⇒ =

Računamo cos γ.

( ) ( ) ( )3cos cos 180 3 co180 3 s 3 4 cos 3 cosαγ γ α α α α= = − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ − ⋅= − ⋅ =

��

( )3 3 24 cos 3 cos 3 cos 4 cos cos 3 4 cos3

cos4

α α α α α α α= − ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ =− = =

23 3 3 9 3 9 3 9 3 3 9

3 4 3 4 3 34 4 4 16 4

44 4 41 16 4

= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ − = ⋅ − =

3 12 9 3 3 9.

4 4 4 4 16

−= ⋅ = ⋅ =

Računamo duljinu stranice c pomoću kosinusova poučka.

92 2 2 2 2 24 ,

2 cos 4 6

6

9cos

1

2 4 61

66

a b

c a b a b cγγ

= =

== + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

9 92 2 216 36 48 16 3 48

166 16 36 3 9

16c c c⇒ = + − ⋅ ⇒ = + − ⋅ ⇒ = + − ⋅ ⇒

2 2 216 36 27 25 25 / 25 5.c c c c c⇒ = + − ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Odgovor je pod C.

Vježba 370

Duljine dviju stranica raznostraničnog trokuta su 8 i 12, a njima nasuprotni kutovi odnose se kao 1 : 2. Duljina treće stranice trokuta iznosi:

. 16 . 8 . 10 . 12 . 14A B C D E

Rezultat: C.

21

Zadatak 371 (Stjepan, srednja škola)

Omjer kateta u pravokutnom trokutu je 5 : 12. Kolika je veća kateta, ako je polumjer trokutu upisane kružnice jednak 3?

. 19 . 18 . 17 . 16 . 15A B C D E

Rješenje 371

Ponovimo!

( )1:, , , .

nn m n m n na a a a a a b a b a b a b

−= = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

2, 0.a a a= ≥

Ako su a i b brojevi, kažemo da je količnik a : b, b ≠ 0 omjer brojeva a i b. Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je

a : b = k i c : d = k, tada je razmjer ili proporcija

a : b = c : d.

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.

.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Da bi umnožak bio jednak nuli, dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli.

0 0 ili 0 il .i 0a b a b a b⋅ = ⇔ = = = = Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama. Ploština pravokutnog trokuta izračunava se po formuli

2,

a bP

⋅=

gdje su a i b duljine kateta. Poluopseg trokuta je:

2.

a b cs

+ +=

Ploština trokuta ,P r s= ⋅

gdje je r polumjer trokutu upisane kružnice, s poluopseg trokuta. Iz razmjera i Pitagorina poučka odredimo katete a i b te hipotenuzu c.

( ) ( ): 5 : 12 5 , 12 2 22

5 122 2 2 2 2 2metoda

zamjene

a b a t b tc t t

c a b c a b

= = ⋅ = ⋅⇒ ⇒ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒

= + = +

2 2 2 2 2 2 2 225 144 169 169 1 9/ 6c t t c t c t c t⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

22

2169 13 .c t c t⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

Pomoću formula za ploštinu trokuta dobije se:

222 2 2

a bP a b a b a b c

r s r

P

b cs

r

a

s

+ +=

⋅= ⋅ ⋅ + +

⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒

= ⋅

( )5 , 12 , 13

/ 232 2

a t b t ca b a b cr a b r a b c

t

r

⋅ + +⇒ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ + + ⇒

= ⋅ = ⋅ = ⋅⋅

=⇒

( ) 2 25 12 3 5 12 13 60 3 30 60 90t t t t t t t t t⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

( )/2 2 2

60 90 2 3 2 3 0 230 3: 0t t t t t t t t⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ − = ⇒

0 32 3 0 2 3 2 3 .

2 3

nema smisla/ :

0 22

tt t t t

t

=⇒ ⇒ ⋅ − = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

⋅ − =

Računamo duljinu veće katete b.

33 3

12 6 3 18.22

12

122

tb b b b

b t

=⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

= ⋅

Odgovor je pod B.

r

c

b

a

Vježba 371

Omjer kateta u pravokutnom trokutu je 10 : 24. Kolika je veća kateta, ako je polumjer trokutu upisane kružnice jednak 3?

. 19 . 18 . 17 . 16 . 15A B C D E

Rezultat: B. Zadatak 372 (Katarina, maturantica)

Kvadratići u kvadratnoj mreži imaju stranice duljine 1 cm. U kvadratnu mrežu ucrtajte bilo koju točku C tako da površina trokuta ABC bude 6 cm2.

1 cm

1 cm A B

23

Rješenje 372

Ponovimo!

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Visine su trokuta dužine kojima je jedan kraj vrh trokuta, a drugi sjecište okomice (koja prolazi promatranim vrhom) s pravcem na kojem leži suprotna stranica trokuta. Ploština trokuta izračunava se po formuli

, .2

,2 2

b va v c va b cP P P⋅⋅ ⋅

= = =

Ploština trokuta jednaka je polovici produkta duljine jedne njegove stranice i duljine visine koja odgovara toj stranici.

v

1 cm

1 cm DA B

C

Neka je C treći vrh traženog trokuta ABC. Sa slike vidi se:

3 ,AB cm CD v= =

Računamo duljinu visine v trokuta ABC.

2

2 2 2

2/

AB v AB v AB v PP P P v

ABAB

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

22 6

4 .3

cmv v cm

cm

⋅⇒ = ⇒ =

Treći vrh C pripada pravcima koji su usporedni s dužinom AB i od nje udaljeni 4 cm.

1 cm

1 cm A B

C

C' Vježba 372

Odmor!

Rezultat: …

24

Zadatak 373 (Katarina, maturantica)

Duljine stranica trokuta su u omjeru 4 : 5 : 6. Kolika je mjera najvećega kuta toga trokuta?

. 68 21' . 82 49 ' . 90 . 120A B C D� � � �

Rješenje 373

Ponovimo!

( ) 1, , .

n n n n m n ma b a b a a a a a

+⋅ = ⋅ = ⋅ =

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Nasuprot većoj stranici u trokutu leži veći kut. Nasuprot manjoj stranici u trokutu leži manji kut. Poučak o kosinusu (kosinusov poučak) U trokutu ABC vrijede ove jednakosti:

2 2 22 2 2

2 cos cos ,2

b c aa b c b c

b cα α

+ −= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =

⋅ ⋅

2 2 22 2 2

2 cos cos ,2

a c bb a c a c

a cβ β

+ −= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =

⋅ ⋅

2 2 22 2 2

2 cos cos .2

a b cc a b a b

a bγ γ

+ −= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =

⋅ ⋅

Omjer je količnik dviju istovrsnih veličina

: ili ,a

a b k kb

= =

gdje je: a – prvi član omjera, b – drugi član omjera, k – vrijednost (količnik) omjera.

Ako postoji n jednakih omjera :1 1a b k=

:2 2a b k=

:3 3a b k=

... : ,a b kn n =

produženi razmjer je : : : ... : .: : : ... :1 2 3 1 2 3a a a a b b b bn n=

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

4

najveći k

: : 4 : 5

u

.

6 t

: 6 5

a t

a b c b t

c t γ

= ⋅

= ⇒ = ⋅

= ⋅ ⇒

Računamo mjeru kuta γ. 2 2 2 2 2 2

1cos cos

2 2

a b c a b c

a b a bγ γ

+ − + −−= ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

25

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 24 5 6 16 25 361 1

cos cos 22 4 5 40

t t t t t t

t t t

γ γ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅− −

⇒ = ⇒ = ⇒⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

25

240

25 11 1 1

cos cos cos 82 49 '.2 840

t

t

t

t

γ γ γ γ⋅ ⋅− − −

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =⋅ ⋅

�

Odgovor je pod B.

Vježba 373

Duljine stranica trokuta su u omjeru 8 : 10 : 12. Kolika je mjera najvećega kuta toga trokuta?

. 68 21' . 82 49 ' . 90 . 120A B C D� � � �

Rezultat: B. Zadatak 374 (Katarina, maturantica)

Na skici su prikazani trokut ABC i pravac p. Pravac p prolazi polovištem visine iz vrha C toga

trokuta i paralelan je sa stranicom .AB Površina trokuta ABC je 5 cm2. Kolika je površina trapeza ABDE?

p E D

A B

C

Rješenje 374

Ponovimo!

, , ,1

.a a c n a c a d b c a c a c

c nb b b d b d b d b d

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⋅ = = − = ⋅ =

⋅ ⋅

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je

a : b = k i c : d = k, tada je razmjer ili proporcija

a : b = c : d.

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.

.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅ Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Ploština trokuta izračunava se po formuli

, .2

,2 2

b va v c va b cP P P⋅⋅ ⋅

= = =

Ploština trokuta jednaka je polovici produkta duljine jedne njegove stranice i duljine visine koja odgovara toj stranici. Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice proporcionalne.

26

,, ,1 1 11 1 1

.a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti.

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

Prvi poučak sličnosti (K – K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta. Drugi poučak sličnosti (S – K – S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu, a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne. Treći poučak sličnosti (S – S – S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne. Četvrti poučak sličnosti (S – S – K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne, a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici. Površine sličnih trokuta odnose se kao kvadrati duljina pripadnih stranica.

21 1Ako je , tada je .a P

k ka P

= =

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine. Konveksni četverokuti su četverokuti kojima su svi kutovi manji od 180°. Trapez je četverokut koji ima dvije suprotne stranice usporedne. Usporedne stranice trapeza zovu se osnovice, a druge dvije zovu se kraci trapeza. Trapez je četverokut kojemu su barem dvije stranice paralelne (usporedne). Ploština trapeza izračunava se po formuli

2,

a cP v

+= ⋅

gdje su a i c duljine osnovica, v je visina trapeza.

1.inačica

ββββ

ββββαααα

αααα

p PE D

NA B

C

Sa slike vidi se:

1, 2 , 2

2CP PN CN CN CP CN PN= = ⋅ = ⋅ = ⋅

27

Trokuti ∆ABC i ∆EDC slični su (K – K) pa vrijedi razmjer:

2 22

AB CN AB CP AB AB

ED CP ED CP

CP

CPED ED

⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

2 2 ./ EDAB

AB EDED

⋅⇒ = ⇒ = ⋅

Za omjer površina trokuta ∆ABC i ∆EDC vrijedi: 1

2

1

21 1

22

ED CP ED CPP P P ED CPEDC EDC EDC

P P P AB CNABC ABC ABCAB CN AB CN

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1

2 2 2 2 4

P P PED CPEDC EDC EDC

P ED CP P PABC A

ED CP

ED CPBC ABC

⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1 1

4 4

2/ 5

PEDC P P

EDC ABCPAB

P P cmAB A

CC BC

⇒ = ⇒ = ⋅ =⇒⋅ ⇒

1 52 25 .

4 4P cm P cmEDC EDC

⇒ = ⋅ ⇒ =

Površina trapeza ABDE iznosi: 5 5 52 2 2 2

54 1 4

P P P P cm cm P cm cmABDE ABC EDC ABDE ABDE

= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

20 5 152 2.

4 4P cm P cm

ABDE ABDE

−⇒ = ⇒ =

2.inačica

Visina trokuta EDC je dva puta manja od visine trokuta ABC. Zato je površina trokuta EDC četiri puta manja od površine trokuta ABC i iznosi:

1 1 52 25 .

4 45

4

2P P P cm P cmEDC ABC EDC

P cmABC EDC

= ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅= ⇒ =

Površina trapeza ABDE iznosi: 5 5 52 2 2 2

54 1 4

P P P P cm cm P cm cmABDE ABC EDC ABDE ABDE

= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

20 5 152 2.

4 4P cm P cm

ABDE ABDE

−⇒ = ⇒ =

3.inačica

Površina trapeza ABDE je:

2

2 2

AB ED ED EDP PN P PN

ABDE ABDE

+ ⋅ += ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

1

3

2 2

2

1

2

3 EDP PN P ED PN

ABDE ABD

ED AB

PN CNE

⋅⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ⇒

= ⋅

= ⋅

3 1 1 3 1

2 2 2 4 2P AB CN P AB CN

ABDE ABDE⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

28

3 1 3

4 2 4

1

2P AB CN P P

ABDE AP AB CN

AB EC BD ABC=⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =⋅ ⇒ ⋅ ⇒⋅

3 152 25 .

4 4

25 P cm P cm

ABDE ABP cm

ABC DE⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ ==

Vježba 374

Odmor!

Rezultat: … Zadatak 375 (Katarina, maturantica)

Brod je isplovio iz luke. Najprije je 2 sata plovio prema istoku brzinom 12 km / h, a onda se okrenuo prema sjeveru i 5 sati plovio brzinom 14 km / h. Koliko je nakon tih sati plovidbe bio udaljen od luke?

. 69 . 74 . 79 . 84A km B km C km D km

Rješenje 375

Ponovimo!

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama.

S

I

5 h , v2

2 h , v1 Ploveći prema istoku 2 sata brzinom v1 = 12 km / h brod je prešao put od 24 km.

12 2 24 .km

h kmh

⋅ =

Ploveći prema sjeveru 5 sati brzinom v2 = 14 km / h prešao je put od 70 km.

14 5 70 .km

h kmh

⋅ =

29

d70 km

24 km

Iz pravokutnog trokuta pomoću Pitagorina poučka izračunamo hipotenuzu d (udaljenost broda od luke).

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2

24 70 /24 70d km km d km km= + ⇒ = + ⇒

( ) ( )džepno

računalo

2 224 70 74 .d km km d km⇒ = + ⇒ ⇒ =

Odgovor je pod B.

Vježba 375

Brod je isplovio iz luke. Najprije je 120 minuta plovio prema istoku brzinom 12 km / h, a onda se okrenuo prema sjeveru i 300 minuta plovio brzinom 14 km / h. Koliko je nakon tih sati plovidbe bio udaljen od luke?

. 69 . 74 . 79 . 84A km B km C km D km

Rezultat: B. Zadatak 376 (Josip, maturant)

Duljine težišnica koje odgovaraju katetama pravokutnog trokuta su 10 i 4 5.⋅ Izračunajte

duljinu hipotenuze.

Rješenje 376

Ponovimo!

( ) ( ), , , .2n n

a ba a n n na c b d a b a b a an

c db b

== ⇒ + = + ⋅ = ⋅ =

=

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama.

30

tbta

c

b

a

ED

A B

C

Sa slike vidi se:

, , , ,2 2

a bAB c BC a AC b BE EC AD DC= = = = = = =

,AE t BD ta b= =

tbta

c

b

a

ED

A B

C

tbta

c

b

a

ED

A B

C

Uočimo pravokutne trokute ∆AEC i ∆DBC i pomoću Pitagorina poučka dobije se:

2 22 2 2 22 2 22 4

2 2 2 2 22 22 2

metoda

grupiranja

42

a ab t b ta aEC AC AE

bDC BC BD ba ta t bb

+ = + =+ =⇒ ⇒ ⇒ ⇒

+ =+ =+ =

2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

4 4 4 4/ 4

a b a bb a t t b a t ta ab b

⇒ + + + = + ⇒ + + + = + ⋅ ⇒

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 4 4 5 5 4a b b a t t a b t ta ab b

⇒ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⇒

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 25 4 5 4

1/

5a b t t a b t ta ab b

⇒ ⋅ + = ⋅ + ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅+ = ⇒

( ) ( )10

4

24 42 2 2 2 2 2 20

51 4 5

5 5

ta b t t a ba b

a

tb

=

= ⋅⇒ + = ⋅ + ⇒ ⇒ + = ⋅ + ⋅ ⇒

( ) ( )24 42 2 2 2 2

100 4 5 100 16 55 5

a b a b⇒ + = ⋅ + ⋅ ⇒ + = ⋅ + ⋅ ⇒

4 42 2 2 2180

5

2 2180 144.

5a b a b a b⇒ + = ⋅ ⇒ + = ⋅ ⇒ + =

Trokut ABC je pravokutan pa ponovno uporabimo Pitagorin poučak.

2 2144

2 2 2 2 2 2 2144AB BC A b aC cbc a= + ⇒ = ⇒+= + ⇒ ⇒ =

2144 144 12/ .c c c⇒ = ⇒ = ⇒ =

31

Vježba 376

Odmor!

Rezultat: … Zadatak 377 (Krešimir, srednja škola)

Zbroj duljina dviju stranica trokuta iznosi 15 cm, a visine na te stranice iznose 4 cm, odnosno 6 cm. Površina toga trokuta je:

2 2 2 2. 17 . 18 . 29 . 23A cm B cm C cm D cm

Rješenje 377

Ponovimo!

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Ploština trokuta izračunava se po formuli

, .2

,2 2

b va v c va b cP P P⋅⋅ ⋅

= = =

Ploština trokuta jednaka je polovici produkta duljine jedne njegove stranice i duljine visine koja odgovara toj stranici.

( ) ( )15

1515 15

2 2 2 2 22 2

/ 2

2

a bb a

a v a va v a v a va a b a bP b va va b

b vbP

+ == −

− ⋅ − ⋅⋅ ⋅ ⋅= ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒⋅⋅

=

⋅

⋅

=

( ) ( )4

615 4 15 6 4 90 6a v a v a a a aa

a

bb

v

v⇒ ⋅ = − ⋅ ⇒ ⇒ ⋅ = − ⋅ ⇒ ⋅ = − ⋅ ⇒

=

=

4 6 90 10 90 10 90 9 ./ : 10a a a a a cm⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Površina trokuta iznosi:

2

9 9 4 218 .

4 2

a vaa cm cm cmP P cm

v caP

m

⋅= ⋅⇒ ⇒ = ⇒= =

=

Vježba 377

Zbroj duljina dviju stranica trokuta iznosi 1.5 dm, a visine na te stranice iznose 4 cm, odnosno 6 cm. Površina toga trokuta je:

2 2 2 2. 17 . 18 . 29 . 23A cm B cm C cm D cm

Rezultat: B. Zadatak 378 (Valentina, ekonomska škola)

U trokutu su zadane stranice b = 6 cm, c = 4 cm i težišnica iz vrha B, tb = 5 cm. Površina trokuta iznosi:

2 2 2 2. 6 . 12 . 4 3 . 5 3A cm B cm C cm D cm⋅ ⋅

Rješenje 378

Ponovimo!

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.

32

Težišnica trokuta je dužina koja spaja vrh s polovištem nasuprotne stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama. Ako je zadan pravokutan trokut duljina kateta a i b i hipotenuze c, tada Pitagorin poučak glasi:

2 2 2.c a b= +

Ploština pravokutnog trokuta čije su katete a i b dana je formulom

2.

a bP

⋅=

tb

b

2

b

2

αααα

c

D

A B

C

Sa slike vidi se:

1 16 , 3 , 4 , 5 ,

2 2AC b AD AC b AB c BD t CAB

bα= = = ⋅ = ⋅ = = = = = ∠ =

Uočimo trokut DAB. Pomoću Pitagorina poučka provjerimo da je pravokutan. 2

12 2 2 2 2 2 2 25 3 4 25 9 16 25 25.

2BD AD AB t b c

b= + ⇒ = ⋅ + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ =

Trokut CAB je, također, pravokutan i vrijedi α = 90º. Njegova površina iznosi (katete su c i b):

4 6 212 .

2 2

c b cm cmP P P cm

⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ =

Odgovor je pod B.

Vježba 378

U trokutu su zadane stranice b = 12 cm, c = 8 cm i težišnica iz vrha B, tb = 10 cm. Površina trokuta iznosi:

2 2 2 2. 24 . 48 . 36 . 44A cm B cm C cm D cm

Rezultat: B. Zadatak 379 (Davor, ekonomska škola)

Ako za kutove α, β, γ trokuta vrijedi jednakost α – β = 3 · γ, onda je α – γ jednako:

. 30 . 45 . 60 . 90A B C D� � � �

33

Rješenje 379

Ponovimo!

.a b

a c b dc d

=⇒ + = +

=

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Zbroj kutova u trokutu je 180°.

1 0 .8α β γ+ + =�

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju:

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

1.inačica

( )180 180180 3

3

metoda

zamjene3

α β γ β α γα α γ γ

α β γ α β γ

+ + = = − −⇒ ⇒ ⇒ − − − = ⋅ ⇒

− = ⋅ − = ⋅

� �

�

180 3 3 180 2 2 180α α γ γ α α γ γ α γ⇒ − + + = ⋅ ⇒ + + − ⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒� � �

2 2 180 / : 2 90 .α γ α γ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ − =� �

Odgovor je pod D.

2.inačica

180180

3 3 0

zbrojimo

jednakosti

α β γα β γ

α β γ α β γ

+ + =+ + =⇒ ⇒ ⇒

− = ⋅ − − ⋅ =

��

�

2 2 180 2 2 180 / 90 .: 2α γ α γ α γ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ − =� � �

Odgovor je pod D.

Vježba 379

Odmor!

Rezultat: … Zadatak 380 (Nick, gimnazija)

Duljina stranice trokuta iznosi c = 17 cm, a razlika duljina drugih dviju stranica je b – a = 2 cm. Nađi duljine a, b, c stranica trokuta ako se one izražavaju prirodnim brojevima, a opseg trokuta je manji od 40 cm.

Rješenje 380

Ponovimo!

, 0 .a b

a b cc c

< > ⇒ <

Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N, a zapisujemo

{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , 1, , 1, . ...N n n n= − +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Ako su a, b i c duljine stranica trokuta ABC, onda je formula za opseg

.O a b c= + + Nejednakost trokuta:

, , .a b c b a c c a b< + < + < +

Duljina svake stranice trokuta manja je od zbroja duljina njegovih ostalih stranica. Opseg trokuta manji je od 40 cm pa vrijedi nejednadžba:

34

uvjeti

40 2 17 4017

2 2

40 2 17c

b a b a

a b c a a a a=

− = ⇒ = +

+ + < ⇒ ⇒ + + + < ⇒ + < − − ⇒

2 21 2 21 / : 2 10.5 .a a a cm⇒ ⋅ < ⇒ ⋅ < ⇒ =

Uz pretpostavke da su duljine stranica prirodni brojevi i da je duljina svake stranice trokuta manja od zbroja duljina njegovih ostalih stranica, postoje tri rješenja.

Prvo rješenje

c = 17 cm a = 10 cm

b = 2 + a = 2 + 10 = 12 cm

Drugo rješenje c = 17 cm a = 9 cm

b = 2 + a = 2 + 9 = 11 cm

Treće rješenje c = 17 cm a = 8 cm

b = 2 + a = 2 + 8 = 10 cm

Vježba 380

Odmor!

Rezultat: …